Estadística 2009 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente:...
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Estadística2009
Maestría en FinanzasUniversidad del CEMA
Profesor: Alberto Landro
Asistente: Julián R. Siri
Clase 9
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
• Dado un proceso AR(1):
Vamos a:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Analizar las condiciones de estacionariedad.
d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales. Graficarlas.
1. Ejercicios de procesos AR
12 0.9 . . . 0;4t t t tY Y e e i i d
Ejercicio 1)
a) Expresión del proceso con la notación de operadores autorregresivos:
1. Ejercicios de procesos AR
1
1 1
1 1
1
1
2 0.9
1
t t t
t t t
t t t
t t
t t
Y Y e
Y Y e
Y Y e
B Y e
B Y e
Ejercicio 1)b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,
Ahora bien, dado que
Entonces
1. Ejercicios de procesos AR
1 1t t tE Y E E Y E e
1t tE Y E Y
0tE e
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
1. Ejercicios de procesos AR
1 1
0
1
1
1
1
220 Media del proceso
1 1 0.9
t t tE Y E E Y E e
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, primero
centraremos las variables, y hay que tener en cuenta que:
1. Ejercicios de procesos AR
2
0 1, 2,...t j t
t t e
E y e j
E y e
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Entonces, el cálculo de la varianza es:
1. Ejercicios de procesos AR
0 1 1
21 1
2 21 0
2 21 0
2
0 21
( )
1
1
t t t
t t
e
e
e
Var y Var y e
Var y Var e
2
421,05263
1 0.9
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:
1. Ejercicios de procesos AR
0
1 1 1 1 1 1
0
1 1 0 0,9 21,0526 18,9474
t t t t t tE y y E y y E y e
1
2 2 1 1 2 2
0
2 1 1 1 1 0
2 22 1 0 0,9 21,0526 17,0526
t t t t t tE y y E y y E y e
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la
autocovarianza de orden k, es:
1. Ejercicios de procesos AR
1 0 0kk j
Ejercicio 1)
c) Análisis de las condiciones de estacionariedad.Dado que la varianza del proceso ha de ser positiva y finita, el
coeficiente , en valor absoluto, tiene que ser menor a la unidad:
CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD:
1. Ejercicios de procesos AR
1 1
1
2
0 21
( )1
etVar y
Ejercicio 1)
c) Hallar la función de autocorrelación.Dada la generalización de las autocovarianzas, podemos encontrar una
expresión general de la función de autocorrelación (FAC):
1. Ejercicios de procesos AR
1 00 1
0
1
1
2
2
0.9 0.9
0.9 0.81
kk
k k
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Observaciones
Ejercicio 1)
c) Hallar la función de autocorrelación parcial.
1. Ejercicios de procesos AR
11 1 1 0.9
1
1, 11
1
1,1
22 1 1 2 1
22 21 1 1
2
22 2
2,3,...
1
1 1
0.81 0.90
1 0.9
j
j j i ji
jj j
j i ii
Y YY j
Y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Observaciones
Ejercicio 2)
• Un ejercicio para ustedes. Otro proceso AR(1):
Desarrollen:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Analizar las condiciones de estacionariedad.
d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales.
1. Ejercicios de procesos AR
12 0.9 . . . 0;4t t t tY Y e e i i d
Ejercicio 3)
• Dado un proceso AR(2):
Tareas:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
1. Ejercicios de procesos AR
1 22 0.9 0.7 ~ . . . 0;4t t t t tY Y Y e e i i d
Ejercicio 3)
a) Expresión del proceso con la notación de operadores autorregresivos:
1. Ejercicios de procesos AR
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
21 2
2
2 0.9 0.7
1
t t t t
t t t t
t t t t
t t
t t
Y Y Y e
Y Y Y e
Y Y Y e
B B Y e
B Y e
Ejercicio 3)b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,
Ahora bien, dado que
Entonces
1. Ejercicios de procesos AR
1 1 2 2t t t tE Y E E Y E Y E e
1 2t t tE Y E Y E Y
0tE e
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
1. Ejercicios de procesos AR
1 2
1 2
1 2
1
22.5
1 1 0.9 0.7
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, una vez
más centramos las variables ( ) y tenemos en cuenta que:
1. Ejercicios de procesos AR
2
0 1, 2,...t j t
t t e
E y e j
E y e
tY
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Entonces, el cálculo de la varianza es:
1. Ejercicios de procesos AR
0 1 1 2 2
1 1 2 2
21 1 2 2
( )t t t t t t t t
t
e
E y y E y y E y y E e y
Var e
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:
1. Ejercicios de procesos AR
0 1
1 1 1 1 1 2 2 1 1
0
1 1 0 2 1 1 1 2 01
t t t t t t t tE y y E y y E y y E y e
1 0
2 2 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 0 1 1 2 0 2 0
22 1 2 0 2 0
1
1
t t t t t tE y y E y y E y y
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la
autocovarianza de orden k (>2), es:
1. Ejercicios de procesos AR
1 1 2 2 2k k k j
Ejercicio 3)
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
1. Ejercicios de procesos AR
0
01 11 1 2 1 2 1
0 0 0
2 1 1
11
2
1
0.52941
k k
Ejercicio 3)
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
1. Ejercicios de procesos AR
02 12 1 2 1 1 2
0 0 0
12 1 2
2
21
2 22
1
-0.223531
Ejercicio 3)
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.Respecto a la condición de estacionariedad del AR(2), dado que la
varianza del proceso es mayor que cero, deberán ser numerador y denominador del mismo signo, por lo que se debe cumplir:
1. Ejercicios de procesos AR
2
1 2
2 1
1
1
1
Ejercicio 3)d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
Si dividimos a todo por , nos queda:
1. Ejercicios de procesos AR
2 20 1 1 2 2Y e
0
20 1 2
1 20 0 0 0
2
1 1 2 20
2 21 1 2 2
1
1 10.89744
e
e
Y e
Ejercicio 3)Entonces:
1. Ejercicios de procesos AR
1
2
5.76923
-2.435897
Ejercicio 4)
• Considere el siguiente modelo:
Tareas:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
1. Ejercicios de procesos AR
1 22 0.5 0.3 ~ . . . 0;4t t t t tY Y Y e e i i d
Ejercicio 5)
• Considerando el modelo:
Tareas:
a) Hallar la media del proceso.
b) Expresar el modelo en forma de desvíos.
c) Verificar si se cumple la condición de estacionariedad.
d) Hallar la varianza y covarianza del proceso.
e) Hallar la función de autocorrelación.
f) Si es igual a 35, ¿qué podemos decir respecto de ?
g) ¿Y qué podría decirse en cambio si el valor de fuese –0.8?
h) Si en el proceso anterior , ¿qué puede decir respecto de ?
1. Ejercicios de procesos AR
215 0.8 4t t t eY Y e
80Y 81Y
1
80 3Y 81Y
Ejercicio 6)
• En un modelo AR(2) se obtuvo:
Tareas:
a) Calcular los parámetros y .
b) Analizar las condiciones de estacionariedad.
c) Calcular la función de autocorrelación.
1. Ejercicios de procesos AR
1 20.815 0.685
1 2