SISTEMAS DE CONTROL

ESTABILIDAD RELATIVA

MARCO A. HINOJOSA T.

JULIO C. SOTOMAYOR

Estabilidad Relativa

El sistema 2 es más estable relativamente que el sistema 1

Criterio de estabilidad de Nyquist

Al diseñar un sistema de control es necesario que sea estable y quetenga una estabilidad relativa adecuada. En esta seccióndemostraremos que la traza de Nyquist no solo indica si un sistema esestable sino también el grado de estabilidad de un sistema estable

Un sistema de control de retroalimentación simple como elmostrado en la figura 1, es estable si su Ecuación Característica aLazo Cerrado, F(s) = 1 + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz con parte realpositiva.

FIGURA 1

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta

frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado;

basado en un teorema de la variable compleja que se

fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano

complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio

de estabilidad se nombrarán a continuación.

Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no

pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria

cerrada en el plano F(s).

Si el contorno en el plano S (Γs ), encierra igual número de ceros

que polos de F(s), el contorno en F(s), (ΓF (s) ), no encerrará el

origen.

Si el Γs encierra n polos de F(s), ΓF (s) rodea al origen n-veces

en sentido anti horario.

Si el Γs encierra m ceros de F(s), ΓF (s) rodea al origen m-veces

en sentido horario

Ejemplo

Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s

(Γs) y se realizaran las transformaciones de dichos

contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus

correspondientes transformaciones se muestran en las

figuras.

El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve ensentido horario, por lo que en el primer caso el Γs encierra un polo y uncero de F(s) y en el segundo caso, el Γs encierra un cero de F(s).Como puede observarse, en el primer caso el ΓF (s), no encierra elorigen pues el número de ceros y polos de F(s) encerrados en el Γsson iguales. En el segundo caso, el ΓF (s) encierra al origen unavez, pues existe un cero de F(s) encerrado en el Γs .

Aplicación al análisis de la

estabilidad a lazo cerrado

Para realizar un análisis de la estabilidad a lazo cerrado a partir

de la respuesta frecuencial a lazo abierto, utilizando el Teorema

del Mapeo, se deben tener las siguientes consideraciones:

F(s) será la Ecuación Característica a Lazo Cerrado, es decir, F(s) =

1 + G(s)H(s)

El Γs a utilizar será el semiplano derecho del plano S, tal como se

muestra en la figura 8.4

Z = # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del

plano S

P = # polos de G(s)⋅H(s) en el semiplano derecho del plano S

N= Z - P el número de vueltas en sentido horario que ΓF( s ) le da al

origen

De manera que, para que el sistema sea estable, Z debe ser cero, lo que se

logra en los siguientes casos:

• Si P = 0 entonces N debe ser cero

• Si P ≠ 0 entonces N deber ser igual a -P.

De allí se desprende que, si se conocen los polos de lazo abierto (P) y los

encierros que da al origen el ΓF ( s ) (N), se puede saber si existen ceros

con parte real positiva (Z).

Para particularizar la aplicación del criterio a un sistema de controlde retroalimentación simple, se propone lo siguiente:

Definir F’(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s)

P’ y Z’ de F’(s) corresponden con los polos y ceros de lazo abierto

La transformación sobre el Plano F’(s), se realiza tomando en cuentaque el Γs no debe pasar por ningún polo o cero de F’(s)

El encierro del origen por el ΓF(S) es equivalente a encerrar el punto (-1,0) por el contorno ΓF’(S)

El ΓF’(s) se conoce como el Diagrama de Nyquist.

N’ corresponde al número de encierros que le da el ΓF’(s) al punto (-1,0)

El valor de Z, ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado, sepuede conocer a partir de N’ y de P, pues N’ = Z – P

Si P = 0 entonces Z = N’ por lo tanto el ΓF’(s) no debe encerrar al punto(-1,0) para que el sistema sea estable. En este caso, es suficienterealizar la traza del Nyquist para s = jω y verificar si encierra al (-1,0), locual equivale a realizar el diagrama polar de G(jω)H(jω).

Si P ≠ 0 se tiene que el sistema a lazo abierto es inestable, pero a lazocerrado puede ser estable. En este caso, se hace necesario realizar elDiagrama de Nyquist completo para conocer el valor de N’ y verificar laestabilidad.

Si ΓF’ (S) pasa por (-1,0) entonces los ceros de la EcuaciónCaracterística a Lazo Cerrado se encuentran sobre el eje jω y el sistemaa lazo cerrado será críticamente estable.

Ejemplo:

Tramo 3

Se representa sustituyendo s = - jω en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.6).

CONCLUSIÓN:

Como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N= 0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-1,0)), entonces Z = 0 siendo el sistema estable. Además, también se puede concluir que será estable para cualquier ganancia pues, a pesar que la ganancia aumenta nunca se encerrará al punto (-1,0)

Márgenes de Ganancia y Fase

En la figura se muestra las trazas polares de G(jw) para tres

valores diferentes de la ganancia K en lazo abierto. Para un

valor grande de la ganancia de K, el sistema es inestable.

Conforme la ganancia se decrementa hacia cierto valor de la

ganancia, el sistema esta al borde de la inestabilidad y

presenta oscilaciones sostenidas. Para un valor pequeño de

la ganancia K, el sistema es estable.

Margen de Fase.- el margen de fase es la cantidad de

atrasos de fase adicional en la frecuencia de cruce de

ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la

inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia es la

frecuencia en la cual |G(jw)|, magnitud de la función de

transferencia de lazo abierto es unitaria.

Obtenga los márgenes de fase y de ganancia del sistema de la figura8-77 para los casos en los

Que K=lO y K=lOO.

RESOLUCION:

Los márgenes de fase y de ganancia se obtienen con facilidad de lastrazas de Bode. La figura 8-78(a) contiene las trazas de Bode de lafunción de transferencia en lazo abierto determinada con K = 10. Losmárgenes de fase y de ganancia para K = 10 son

Margen de fase = 21°, Margen de ganancia = 8 dB

Por tanto, la ganancia del sistema se incrementa en 8 dB antes de que ocurra la inestabilidad.

Incrementar la ganancia de K = 10 a K = 100 mueve el eje 0 dB 20 dB hacia abajo, como se aprecia en la figura 8-78(b). Los márgenes de fase y de ganancia son

Margen de fase = -3O”, Margen de ganancia = -12 dB

EJEMPLO

Por tanto, el sistema es estable para K = 10, pero inestablepara K = 100.

Observe que uno de los aspectos convenientes del enfoque delas trazas de Bode es la facilidad con la cual se evalúan losefectos de los cambios de ganancia.

Considere que, para obtener un desempeño satisfactorio,debemos incrementar el margen de fase a30°- 60’. Para ello sedecrementa la ganancia K. Sin embargo, no es convenientedecrementar K, dado que un valor pequeño de K producirá unerror grande para la entrada de la pendiente Esto sugiere quepuede ser necesario volver a dar forma a la curva de respuestaen frecuencia en lazo abierto agregando una compensación.

en donde

Según lo obtenido mediante la ecuación (8-6), para 0≤ ξ ≤

0.707, el valor máximo de M ocurre en la frecuencia wr, en la

cual

El ángulo Ɵ se define en la figura 8-80. La frecuencia wr es

la frecuencia de resonancia. En la frecuencia de resonancia,

el valor de Mes máximo y se obtiene a partir la ecuación (8-

7),que se reescribe como

en donde M, se define como la magnitud del pico deresonancia, valor que se relaciona con el amortiguamiento delsistema.

La magnitud del pico de resonancia proporciona un indicio de laestabilidad relativa del sistema. Una magnitud del pico deresonancia grande indica la presencia de un par de polosdominantes en lazo cerrado con un factor de amortiguamientopequeño, lo cual produce una respuesta transitoriainconveniente. En cambio, una magnitud del pico de resonanciapequeña indica la ausencia de un par de polos dominantes enlazo cerrado con un factor de amortiguamiento relativopequeño, lo que significa que el sistema está bien amortiguado.

Recuerde que Mr es real solo si 5 < 0.707. Por tanto, no hayuna resonancia en lazo cerrado si 5 > 0.707. [El valor de M, esunitario sólo si 5 > 0.707.Véase la ecuación (8-8).] Dado que enun sistema físico es fácil medir los valores de M, y wr, éstos sonmuy útiles para verificar que los análisis teórico y experimentalcoincidan. Sin embargo, debe señalarse que, para problemasprácticos de diseño, es más común especificar el margen defase y el margen de ganancia que la magnitud del pico deresonancia para indicar el grado de amortiguamiento de unsistema.

http://web.usal.es/~sebas/TEORIA/TEMA7-

REGULACION.pdf

http://prof.usb.ve/montbrun/PS2320nyquistversionvieja.pdf