Control Automático II

Laboratorio N°6

Estabilidad de Sistemas de Control

2015_2

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Objetivo

Analizar la estabilidad de los sistemas lineales en lazo cerrado por medio de la ubicación de los polos de la función de transferencia de lazo cerrado y el criterio de estabilidad de Routh

Introducción teórica El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad, lo cual implica que debemos analizar las condiciones donde un sistema se vuelve inestable. Un sistema de control es estable si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Las funciones de transferencia en lazo cerrado de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen la forma

Donde los coeficientes a y b son constantes y m ≤ n

Para encontrar los polos en lazo cerrado debemos factorizar el polinomio del denominador, llamado polinomio característico. El criterio de Estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano sin tener que factorizar el polinomio del denominadorCuando se aplica el criterio de Routh a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes del polinomio característico

Procedimiento

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1. Aplicar el criterio de Routh para determinar el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con realimentación unitaria, cuya función de transferencia de lazo abierto es

a) Obtener la función de transferencia de lazo cerrado

Ks3+3 s2+2 s+K

b) ¿Cuál es el polinomio característico?

G (s )=s3+3 s2+2 s+K

c) Mostrar la tabla de Routh

S3 1 2 0S2 3 K 0S1 B0 B1 0S0 C0 C1 0

d) ¿Cuál es el rango de valores de K?

B0=3 x2−1 xK3

=2−K3

B1=3 x 2−1 xK3

=0

C0=B0 xK−3x 0B0

=K

C 1=B0 x0−3 x0B0

=0

Luego B0 y C0 deben ser positivos diferentes de 0

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Por eso realizamos la siguiente condición

B0>0∧C 0>0

Finalmente

2− K3

>0………………K>6

El rango de k seria <+∞;6>

e) Analizar la respuesta del sistema para k=1, k=2 y k=3. Considerar el siguiente código MatLab para realizar el análisis

f) Analizar la respuesta del sistema para K=6?

Para un valor de K = 6 reemplazando en la ecuación anterior

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2− k3>0

Para K =6 entonces 0 > 0 y generamos una indeterminación lo cual originara una desestablilizacion en el sistema

2. En la actualidad se emplean discos duros en los ordenadores para almacenar la información. Un cabezal de lectura se desplaza sobre el disco giratorio a las posiciones requeridas en las operaciones de lectura o grabación de información. Este desplazamiento ha de ser rápido y preciso. En la figura adjunta se presenta el diagrama de bloques del sistema de desplazamiento del cabezal de lectura.

a) Obtener la función de transferencia de lazo cerrado

Ks+Kas4+6 s3+11 s2+s (6+k )+Ka

b) ¿Cuál es el polinomio característico?

G (s )=s4+6 s3+2 s2+s (6+k )+Ka

c) Mostrar la tabla de Routh

s4 1 11 Kas3 6 (6+K) 0s2 B0 B1 B2s C0 C1 C2 1 D0 D1 D2

++d) Determinar los intervalos de estabilidad de K y a. ¿Qué valores podría tomar a para

K =40?

B0

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e) Analizar la respuesta del sistema para diferentes valores de K y a

3. Para el siguiente diagrama de bloques, se pide el rango de valores de K para que el

sistema sea estable

a) Obtener la función de transferencia de lazo cerrado

b) ¿Cuál es el polinomio característico?

c) Mostrar la tabla de Routh

d) Determinar los intervalos de estabilidad de K y analizar la estabilidad

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R(s)

+ Ks+2

s (s2+2 s+5 )(s+5)C(s)

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