ESTABILIDAD 6.1. GENERALIDADES PARA EL ESTUDIO DE ESTABILIDAD6.1.1 Concepto de estabilidad El concepto de estabilidad es aplicable a sistemas elctricos de corriente alterna y se estudian tres casos: a). Estabilidad en estos casos transitorio (comprenden un periodo de tiempo de 01 seg.Estabilidad en estado dinmico (comprende un periodo de tiempo de 1-800). Estabilidad en estado permanente (comprende un periodo de tiempo de 800 seg.).De los casos anteriores el de mayor inters es el de estabilidad en estado transitorio. Estabilidad: se dice que un sistema es estable cuando todas sus maquinas permanecen en sincronismo o en paso.6.1.2. EL ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Desde 1920 el problema de la estabilidad de los sistemas de potencia ha sido objeto de una intensa investigacin, efectundose un gran numero de de pruebas de laboratorio y desarrollndose mtodo de anlisis que ha sido debidamente comprobados.Algunos de estos mtodos analticos desarrollados son los sig. diagrama circulare (mtodo de clarke) para el estudio del comportamiento de los sistemas de potencia en el estado permanente. este mtodo es aplicable solo a dos maquinas o a dos grupos de maquinas.

un mejor estudio de la teora de las maquinas sncronas (generalmente haciendo uso de la transformacin dy o), en especial del comportamiento del estado transitorio de las maquinas de polos salientes y de rotor cilndrico.El mtodo de las componentes simtricas para el calculo de los efectos de corto circuitos asimtricos.

dos maquinas con dibujo de la curva de oscilacin, empleando los mtodos de paso a paso para la solucinde ecuaciones diferenciales, particularmente la ecuacin de oscilacin, dando la posicin angular de una maquina contra el tiempo.

el criterio de reas iguales para la estabilidad de sistemas de dos maquinas o dos grupos de maquinas.varias maquinas con reduccin de la red a las barras internas de las maquinas.

varias maquinas con el sistema de barras de detenidas.De los mtodos que se mencionan, los que mas emplean en la actualidad, haciendo uso de las comparaciones digitales ,son los 4,6 y 7, con algunas variables.6.1.3 EL PROBLEMA DE LA ESTABILIDADCuando los generadores de corriente alterna en accionados por maquinas de vapor alternativas, uno de los problemas fundamentales de servicio era el de las oscilaciones. Las variaciones peridicas de velocidad. Las variaciones peridicas resultantes en la tensin y la frecuencia se trasmitan a los motores conectados al sistema. Las oscilaciones de los motores, originadas por las variaciones de tensin y frecuencia, hacia que, a veces perdieran completamente el sincronismo, si su frecuencia natural de oscilacin coincida con la 1 frecuencia de oscilacin originada por las maquinas de accionamiento de los generadores.Consideremos un motor sncrono conectado por un transformador a una fuente de energa. Veremos mas adelante la energa suministrada al motor viene determinada por la tensin de la fuente, la tensin interna del motor y del ngulo de fase entre estas dos tensiones. E l ngulo de fase depende de la posicin del rotor del motor. La potencia aplicada al motor cuando marcha con la velocidad constante es desde luego, igual ala proporcionada por el motor ms sus prdidas. Si aumenta la carga cargada hasta que el motor, este no puede suministrar toda la carga hasta que aumenta la potencia tomada. Por lo tanto, el motor marchara ms despacio. El de fase entre la tensin interna del motor y la tensin del sistema aumenta hasta que la potencia aplicada al motor sea igual ala suministrada ms las perdidas.Mientras el ngulo aumenta, el exceso de potencia exigida por l motor sobre la tomada de la red, se compensa con la energa almacenada por el sistema giratorio. Al disminuir la velocidad del motor, la energa almacenada suministra parte de la carga. Si el motor oscila alrededor de nuevo punto de equilibrio y, eventualmente llaga al reposo, la aplicacin de la carga no ha sido causa de la perdida de estabilidad del motor. Si el aumento de carga es excesivamente grande o se aplica muy bruscamente el motor puede perder el sincronismo, en cuyo caso se dice que se ha sobre pasado de limite de estabilidad. El limite de estabilidad es el mximo flujo posible de energa que se puede pasar por un punto particular determinado del sistema cuando todo el sistema o la parte de el ala que se refiere el limite de estabilidad, esta en rgimen de estabilidad.6.1.4. EL EFECTO DE LA INESTABILIDAD. Cuando una maquina sale del sincronismo o de paso con respecto a otras del sistema, se presentan fenmenos desagradables ;por ejemplo un generador no constituye realmente una fuente de potencia elctrica, un motor no entrega potencia mecnica a la velocidad adecuada, un condensador sncrono no mantiene su voltaje propio en las terminales. Para un sistema de potencia en particular, se puede decir que la inestabilidad, adems de ocasionar molestias a los consumidores por un mal servicio produce fenmenos indeseables que se pueden resumir como sigue:a). si la inestabilidad se presenta como consecuencia de una falla, la liberacin de la falla puede no restaurar la estabilidad b). se producen fluctuaciones de voltaje que continuo aun despus de que se libere la fallaLa maquina o grupo de maquinas que quedan fuera de paso con respecto a otras maquinas del sistema pueden volverse a estar en paso o bien quedar desconectadas del resto del sistema d).Se tiene una operacin incorrecta de los relevadores es decir que los relevadores pueden operar en falso, de tal forma que los interruptores pueden interrumpir circuitos que no es necesarios interrumpir.Por todo esto se puede concluir que la inestabilidad es un fenmeno inestable en los sistemas d potencia y a que se produce un mal efecto en la calidad del servicio. En tal virtud un sistema de potencia se debe disear y operar de manera que la inestabilidad ocurra muy rara vez.6.2 TIPOS DE ESTABILIDAD 6.2.1. ESTABILIDAD TRANSITORIA EN SISTEMAS DE POTENCIA.El anlisis de cualquier sistemas de potencia para determinar su estabilidad en rgimen transitorio, lleva con sigo la consideracin de algunas de3 las propiedades mecnicas de las maquinas del sistemas, ya que despus 2 de una perturbacin cualquiera las maquinas han de ajustar los ngulos relativos de sus rotores para cumplir las condiciones impuestas de transferencia de potencia. La estabilidad transitoria se refiere alas influencias de perturbaciones grandes. Estas perturbaciones se deben normalmente a averas de las cuales las margraves son el corto circuito de las tres fases que es lo que gobiernalos lmites de la estabilidad transitoria. Los lmites tambin pueden basarse sobre otros tipos de averas,especialmente la derivacin de una sola fase a tierra que es, con mucho, la ms frecuente en la prctica. 6.2.1. RESPUESTA DE UN SISTEMA DE POTENCIA A UN DISTURBIO.Se presentan varios fenmenos cuando ocurre un disturbio, pero para el estudio de la estabilidad transitoria solo se consideran las sig. una redistribucin de la carga elctrica sobre cada uno de los generadores, esto se debe a que la red elctrica equivalente, aque se conecta cada generador, cambia rpidamente, por tanto, cambia la potencia elctrica que se suministra al sistema de cada unidad.Dicho cambio brusco en la potencia elctrica que entra ala red causa un desequilibrio en los pares aplicados alos rotores de las maquinas, ya que la potencia mecnica que entra a cada maquina no cambia inmediatamente.Este desequilibrio es la potencia de aceleracin en la ecuacin para la dinmica del rotor durante el disturbio. la respuesta electromecnica esta prxima con una redistribucin de la potencia de salida de las maquinas de acuerdo con la energa cintica de las masas rotatorias. Sin en el sistema existen motores grandes sus inercias tambin se afectaran por esta redistribucin de carga. la respuesta electromecnica resultara una variacin en la velocidad del rotor, cuyo giro dar un cambio en la carga elctrica.6..2.1.2. LA ECUACION DE ANGULO DE POTENCIAA manera de introduccin para el estudio de la estabilidad consideramos un sistema de potencia elemental, formado por un generador sncrono que suministra potencia a un rotor por medio de un circuito compuesto por reactancias inductivas en series, como se muestra en la figuraEG y EM son los voltajes internos del generador y del motor respectivamente XG Y XM son las reactancias del generador y el motor respectivamenteXL es la reactancia de la lneaNormalmente los valores EG y EM consideran como constantes y los valores de las reactancias XG Y XM dependen de si el estudio es en estado permanente (reactancia sincrona)o en el estado transitorio (reactancia transitoria).Combinando las reactancias de las maquinas y de la lnea se tiene una reactancia total. X = XG + XL +XM.Y se forma un circuito elctrico o que consiste de dos fuentes de voltaje constante. 3 EG y EM que se conectan a travs de una reactancia x. ( la resistencia se desprecia).Los voltajes EG y EM se generan por el flujo que producen devanados de campo de las maquinas su desfasamiento es el mismo que el ngulo elctrico entre los rotores de la maquina.El diagrama vectorial de voltaje se muestra a continuacin:EG jxi EM

Vectorialmente: _ _ EG = E M + JX ISi se toma como referencia EM, _EM = EM "O_ EG = EG "_ EG = "_EG* es el conjugado de EG La potencia de salida del generador se da por :_ P = RE (EG * I)RE representa la parte real _ P = RE (EG * EG EM .)JX 4 RE (EG "-90 DESARROLLANDO Y SIMPLIFICANDOP = EG EM X.SENEsta ecuacin se conoce como ecuacin de ngulo de potencia . Se puede observar que la potencia que se trasmite del generador al motor depende del desfasamiento entre EG Y EM. La mxima potencia que se trasmite en estado permanente del generador al motor ocurre cuando Pmax = EG EMX Se dice que Pmax es el lmite de la estabilidad en el estado permanente del generador y representa la mxima potencia que se puede trasmitir sin perder el sincronismo.La educacin se puede3 graficar, as se obtiene lo que se conoce como curva de ngulo de potencia de dos maquinas con resistencia de red despreciaLa potencia que se trasmite durante un disturbio se conoce como limite de estabilidad transitoria; por debajo de tal potencia del sistema es estable y por arriba es inestable. 6.2.2. LA ESTABILIDAD DE REGIMEN PERMANENTEEn condiciones de equilibrio, el circuito equivalente de un sistema de dos maquinas se considera que es una red simple de dos partes de terminales la tensin del extremo trasmisor para las condiciones de rgimen permanente, es la tensin de la reactancias sincrnica del generador, y la tensin de el extremo receptor es la tensin detrs de la reactancia sincrnica del motor.A partir del diagrama de crculo de una red de dos pares de terminales, se desarrollan ecuaciones para la potencia en los extremos de trasmisor y receptor de la red. Las ecuaciones se aplican al sistema de dos maquinas y dan la potencia desarrollada del generador y el motor si las tensiones de tras de las reactancias sincrnicas de las maquinas sustituyen Vs y Vr si las constantes generalizadas del circuito incluyen la red formada por las impedancias sincrnicas de las maquinas y del circuito que las conecta. Las ecuaciones se transforman en lasMOTOR: 2Pm: | Eg|* |Em| .cos( |B| |B|GENERADOR: 5 2 Pg: | Eg|* |Em| .cos( |B| |B|de igual forma a partir de las ecuaciones para la potencia en los extremos trasmisor y receptor de la red, la potencia mxima desarrollada por el motor y el generador puede determinarse por las ecuaciones 2Pm,max: | Eg|* |Em| |A| * |Em| cos( |B| |B|2Ps,max: | Eg|* |Em| . + |A| * |Em| cos( |B| |B|la potencia dada por las ecuaciones anteriores es la potencia por fase si las tensiones son de lnea a neutro si las tensiones. de las ecuaciones son tensiones trifsicas entre lneas, la potencia e la potencia total trifsica. Como se explico en la otra seccin si el circuito contiene resistencias, no puede alcanzarse la mxima potencia de salida del generador, ya que la mxima potencia de entrada a motor sobrepasara antes de obtenerse la mxima salida del generador.En la figura 15.1se han representado los diagramas de circulo de potencia desarrollada por el generador y el motor de un sistema de dos maquinas .K Wr Pgmaxinductiv

circulo de potencia del generador kwcirculo de potenciadel motor

kwr capacitiva Pm (max) Diagrama de crculo del generador y el motor de un sistema de dos maquinas.Las circunferencias se han dibujado para valores iguales de Eg y Em son similares a las circunferencias de los extremos trasmisor y receptor discutidos en otros captulos. El Pm.max representa la potencia mxima que 6 puede ser desarrollado por el motor. si el ngulo de par de sobre el rbol dar lugar a un aumento de mxima la potencia desarrollada por el motor . si la carga en el rbol exige una potencia mayor que la desarrollada para sincronismo si la potencia por desarrollada es menor que la potencia de salida del rbol. El exceso de potencia necesaria sobre la potencia desarrollada, debe ser suministrada a expensas de la energa almacenada en el sistema giratorio por la disminucin de su velocidad. El incremento resultante para disminuye aun mas su velocidad, dando lugar a valores mayores acabara por perder el sincronismo completamente.El unto Pgmax de la figura anterior es la potencia maxima teorica producida por el generador, pero no es preciso considerarla en el sistema de las maquinas, puesto que el motor pierde el sincronismo cuando antes de que el generador desarrolle su maxima potencia. La diferencia entre las dos potencias desarrolladas por el motor y el generador, para cuaquier angulo de par es la perdida de potencia en la red de conexin.Si se desprecia la resistencia el diagrama de impedancia de secuencia positiva para un sistema de dos maquinas es el representando en la figura siguiente en el que la X influyer las reaciones sincronicas por unidad del generador y el motor, las reacciones del circuito de conexin. Dando que se desprecian la resistencia y la admitancia en el paralelo las constantes generalizadas por el circuito de red son:A = 1"0 B =|X| "90 C = 0 D = 1 " 0*al sustituir las constantes anteriores en las ecs. (capitulo 6.2.2). la pot4encia tranferidaq entre dos maquinas biene dada porPmax: | Eg|* |Em| . sen|X| *de igual forma de las ec uaciones (15.3 y 15.14) la potencia tranferida valePmax: | Eg|* |Em| . (15.6) 2como se desprecia la resistencia , no hay perdida del tipo I R y toda la potencia electrica dad por el generador la toma el motor. Despreciando la resistencia y la capacidad en pararlelo se obtiene para el motor un valor calculado mas alto para que el klimitev de estabilidad en el regimen permanente en el que realmente existe como puede verse comparando con las ecc. 15.3 y 15.6. la constante | y con la resistencia incluye |es el angulo de impedancia es menor que 90 si se considera la resistencia. Estos dos factores hacen que la potencia calculada incluyendo la resistenia sea mas pequea que la calculada si esta se esprecia; esto es la omision de R da un resultado mas optimista si se incluye la capacidad en pararlelo, la lnea de trasnporte entre los extremos trasmisor y receptor se puede representar por el ecuaciones 6.20 dan para las constantes generalizadas de circuito, 7 1 + ZY Y B = Z 2 Si Y = 0, la constante A es 1, 0/0, pero si se incluye tanto la resistencia como la capacida en paralelo, |A| es menor que 1,0 y es un angulo efectos opuestos sobre la potencia maxima. Ordinariamente, despreciar la capacidad en paralelo proporciona un resultado pesimista de limite de estabilidad. En los calculos de estabilidad es preciso usar el mismo criterio respecto ala inclusin en el analisis de resistencia y la admitancia en paralelo que en cualquier otro tipo de calculo.es frecuente que el grado de exactitud que se obtiene, haciendo un calculo mas preciso, no compense las complicaciones que trae consigo. En el caso de la estabilidad el regimen transitorio, la resistencia es importante en las oscilaciones amortiguadas y desperdiciar lleva aun resultado pesimista. En la ecuacin 15.6 sugiere que los metodos a utilizar para aumentar los limites de estabilidad en el regimen permanente de un sistema un aumento en la exitacion del generador del motor o de ambos aumenta la potencia maxima que puede ser transferida entre las maquinas . si las tensiones internas se aumentan, sin aumewetar las potencias transferidas en el angulo de par reduccion en la reactancia de la red da lugar a un aumento de limite de estabilidad, si las lineas de transporte contribuyen con una cantidad considerable a la reactancia total de sistema se puede obtener un aumento de limite de estabilidad utilizando dos lineas paralelas. Por dismnucion de l reactancia de la lnea aumenta el limite de la estabilidad .6.2.2.1.METODO DE CLARKE PARA DETERMINAR EL LIMITE DE ESTABILIDAD DE ESTADO PERMANENTE .vamos asuponer que se tiene una red sin perdidas es decir se desprecian la s resistencias y se considera que la red es de reactancia puraspara dos maquinas finitas se tiene: La grafica vertical que se construye para la determinacin de limite de estabilidad en estado permanente se conoce como grafica de clarke y es la que se ndica a continuacin:D E2 V2G 0 90= V1 AE1 FLA POTENCIA MAXIMA QUE SE TRASMITE ES:P = E1 E2 . XI +Xl+X2El problema consisite en determinar e1 y e2, si conocemos V1 y V 2, para calcular P. 8 El procedimientopara trazar la grafica de clarke se indica a continuacin :

se indica a escala sobre una lnea recta(vertical)las caidas de voltaje X1I, X2I, Y XlI. b)se determinan los lugares geometricos para los vectores V1 y V2, o sea V1 . = constanteV2Por ejemplo, se puede tomar un 75% de V1 y haciendo centro en B se traxza un arco cuyo centro este en F hasta cortar lo anterior y se determina un ppunto H. haciendo centro en D orto arco con radio V1 y se hace centro en D orto arco con radio V2 el punto de corte es el punto G.c)la union de los puntos G y H determina el punto medio de DF. las rectas OB =V2, OA = V1 permiten determinar automticamente E1 y E2.Los valores de E 1 y E2 se pueden determinar tambien en forma analitica del modo que se indica a continuacin aIX1 E1 bV1 IX2 90 cV2 dE2 IX2e del triangulo recdtangulo oac 2 Em=E1 C (13.3)Del tringulo obc 9 2 2 Em = V1 ( C IX1) (13.4) Del triangulo oec: 2 2 Em = E2 B (13.5) Del triangulo odo : 2 2 Em= V2 ( B IX 2) (13.2) 2 2 2 E1 + E2 = ( B + C) = ( IX ) (13.7)DONDE : X = X1 + Xi + X2DE 13.3 Y 13.4 2 2 2V1 = E1 C + ( C IX1) 2 2 2V2 = E1 2 (IX1+ I X1)De 13.5 y 13.6. 2 2 2V2 = E2 B + ( B IX2) 2 E2 - 2 B I X2 + (I X2)De 13.3 y 13.5 2 2 2E1 E2 = C B = ( C + B) ( C B ) DE 13.7 2 2 2 10 E1 + E2 = ( B + C) = ( I X) Sumando y restando las ecuaciones anteriores se tiene 2E1 = ( B + C) C = IXC ( 13.10) 2E1 = ( B + C) B= IXC (13.11)DE 13.7 I = E1 +E2 (13.12)2 XDE 13.10CI = X E1De 13.10 CI = X (13.13)E12De 13.10 BI = X (13.14)E22 Substituyendo 13.12, 13.13 y 13.14 por 13.8, 13.9 y 13.7Substituyendo 13.12 por 13.8V12 = E12 2E12 = X1_ + (E12 + E22) X2_ X X12V12 = E12 (1 X1_ ) 2 + E22 X2 X X12Multiplicando por X2 11 V12 X2 = E12 (X2 X12) + E22 X12 V12 X2 = E12 (Xe X2)2 + E22 X12 (13.15) Substituyendo 13.13 por 13.9V22 X2 = E12 X22 + E22 (Xe + X1)2 (3.16) Resolviendo el sistema de ecuaciones 13.15 y 13.16 se encuentran las incongnitas E1 y E2 . E12 = __[V12 (Xe + X1)2 V22 X12 ] X2 (13.17)(Xe + X2)2 (Xe + X1)2 X12 X22 E12 = __[V2 (X + X2)2 V12 X22 ] X2 (13.18)(Xe + X2)2 (Xe + X1)2 X12 X22 Simplificando los denominadores se tieneE12 = __[V2 (X + X)2 V22 X12 ] X2 (13.19)(XeX + 2X1 X2) XeX E22 = __[ V22 (Xe + X2)2 V12 X22 ] X2 (13.20)(XeX + 2X1 X2) XeX El limite de estabilidad es:Pm = E1 E2X Desarrollando, nos da la ecuacin 13.21V12 V22 [ (Xe + X1)2 (Xe + X2)2 + X12 X22 ] _________________________________________________Pm = V14 X22 (Xe + X1)2 V24 X12 (Xe + X2)2(Xe X + 2X1 X2 ) Xe (13.21)Si V1 = V2 = V la ecuacin 13.21 se simplifica: Pm = V2 (Xe + 2X1) + (Xe + 2X2) (13.22)XeX + 2X1 X2 12 Referencia: Libro: Int. al anlisis de SEP Autor: Gilberto E. HarperPag: 220

Extensin del diagrama de Clarke para cubrir cualquier red de reactancias.Cualquier red de reactancias a travs de la cual se transmite potencia de una mquina sincrona a otra se puede reducir a un circuito cuyas reactancias equivalentes estn en serie. El procedimiento consiste en reducir la porcin de la red externa de las mquinas sincronas a un circuito equivalente, que ser de reactancias puras si la red original tambin lo era. Como las mquinas se representan asimismo por una fuente en serie con una reactancia se tiene una red con reactancias puras como la que se ilustra en la figura. Las reactancias capacitivas en derivacin que aparecen en la figura pueden ser tambin inductivas. La simplificacin de circuito anterior se hace aplicando el teorema de Thevenin hacia la izquierda y a la derecha de la reactancia X l.El teorema de Thevenin establece que una red lineal de dos terminales se puede reemplazar por una fuente de voltaje en serie con una reactancia, sin alterar las condiciones externas de la red. La impedancia del circuito equivalente de Thevenin es igual a la impedancia de entrada de la red original con su fuente de voltaje interna en corto circuito. = X1 XS_ (13.23) X1 + XSEn forma anloga para el motor: = X2 Xr_ (13.24) 13 X2 + XrLa fuente de voltaje que establece el teorema de Thevenin es el voltaje de circuito abierto en las terminales de la red.Para el generador es el voltaje a travs de Xs con X1 desconectada E1 Xs = E1 (X1 + Xs) E1 = Xs E1 (13.25)X1 + Xs En forma anloga para el motor:E2 = Xr E2 (13.26)X2 + Xr EjemploPara el sistema que se ilustra en la figura siguiente se construy el diagrama de Clarke y se calcularn E1=1.50, E2=1.0. Los datos son los siguientes:X1=0.40, Xe=1.0, X2=0.30, Xr=Xs= j 5.0 14 Solucin: La potencia mxima transmitida se da por:Pm = E1 E2 . + Xe + X2Segn el teorema de Thevenin, donde: = X1 Xs = 0.40 (-5.0) = 0.435 X1 + Xs 0.40 5.0 = X2 Xr = 0.30 (-5.0) = 0.320 X2 + Xr 0.30 5.0E1 = Xs x E1 = 5.0 x 1.50 = 1.63X1 + Xs 0.40 5.0 E2 = Xr x E2 = 5.0 x 1.0 = 1.06X2 + Xr 0.30 5.0 Pm = 1.63 x 1.06 = 1.728 . = 0.9850.435 + 1.0 + 0.320 1.755El problema consiste en determinar E1 y E2, si conocemos V1 y V2, para poder calcular P. El procedimiento para trazar la grfica de Clarke se indica a continuacin:Se indican a escala sobre una lnea recta (vertical) las cadas de voltaje X1I, X2I, y XeI. 15 Se determinan las lugares geomtricos para los vectores V1 y V2, o seaV1 . = constante V2Por ejemplo, se puede tomar un 75% de V1 y haciendo centro en B se traza un arco: con el 75% de V2 se traza un arco cuyo centro est en F hasta cortar al anterior y se determina un punto H. Haciendo centro en B se traza un arco con radio V1 y se hace centro en D otro arco con radio en V2 el punto de corte es el punto G.La unin de los puntos G y H determina el punto 0 sobre el semicrculo que se traz previamente por c punto medio de DF.Las rectas OB= V2, OA= V1 permiten determinar automticamente E1 y E2. G M 16