ESPAD III * TC 1 NUMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS.
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ESPAD III * TC 1NUMEROS NATURALES Y NMEROS ENTEROS
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Tipos de nmerosNATURALES (N) ENTEROS ( Z)NEGATIVOS RACIONALES ( Q ) FRACCIONARIOS REALES ( R )
IRRACIONALES
IMAGINARIOS
COMPLEJOS ( C )
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Funcin y utilidad de los nmeros.Los nmeros permiten:
CONTAR Nmeros cardinalesORDENAR Nmeros ordinalesIDENTIFICAR
Y adems....
EXPRESAR MEDIDASMedirCALCULAR Aritmtica
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LOS NMEROS NATURALESOrigen de los nmeros naturalesLos nmeros naturales surgen por la necesidad de contar.Tal y como se conocen hoy en da, los nmeros naturales son: 0, 1, 2, 3, 4... Se representan con la letra N.
El sistema de numeracin decimalEs un sistema que sirve para expresar cualquier nmero. En l se utilizan diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9A estas cifras se les llama cifras arbigas, porque fueron introducidas por los rabes. Cada cifra fue elegida segn el nmero de ngulos que tena su grafo original:
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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
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NMEROS ENTEROSUn nmero entero a es menor que otro b, si para pasar del nmero a al nmero b hay que aadirle una o ms unidades.Se escribe a < b
Ejemplo 1
2 < 5Al 2 hay que aadirle 3 unidades para llegar al 5.
Ejemplo 2
- 2 < 3Al - 2 hay que aadirle 5 unidades para llegar al 3.
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Un nmero entero a es mayor que otro b, si para pasar del nmero a al nmero b hay que quitarle una o ms unidades.Se escribe a > b
Ejemplo 1
5 > 2 Al 5 hay que quitarle 3 unidades para llegar al 2.
Ejemplo 2
2 > - 3Al 2 hay que quitarle 5 unidades para llegar al - 3.
Ejemplo 3
- 2 > - 5Al - 2 hay que quitarle 3 unidades para llegar al - 5.
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USO DE NMEROS ENTEROSUSOS
Hay situaciones que se pueden expresar matemticamente utilizando slo los nmeros naturales.Ejemplos: Edad de una persona, nmero de hijos de una familia, nmero de viviendas en un barrio, etc.
Pero hay otras situaciones en que aparecen cantidades que necesitan un sentido, y que se representan con los nmeros positivos y negativos.Ejemplos:Ganar o perder dinero, tener o deber.Temperatura por encima o por debajo de 0C.Tiempo despus de Cristo o antes de Cristo.Alturas de una vivienda o stanos.El conjunto de nmeros positivos (N, naturales) y nmeros negativos son los nmeros enteros (Z).
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LOS NMEROS NEGATIVOSSe expresan con un delanteEjemplo: 5
Los + estn por encima de cero, y los por debajo de cero.Ejemplo: 5 < 0 ; + 7 > 0
El cero no es ni + ni Ejemplo: 0 ; + 0 Mal ; 0 Mal
Cuando se opera con debern ir entre parntesisEjemplo: 5 + ( 3)
Cuando el n es + no se pone signo.Ejemplo: 5 = 5 ; + 9 = 9 ; + 13 = 13
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Sumas y diferencias SIN PARNTESISSea la expresin: A = 2 + (-3) + 4 + (-5) + (-6) + 7 + 8 Los parntesis que hay en ella no son tales. Es una manera de indicar que son nmeros enteros negativos.No se pueden poner dos signos seguidos: 2 + - 3
Resolvemos:
Se escriben todos los nmeros aplicando la regla de los signos:
A = 2 3 + 4 5 6 + 7 + 8
Y finalmente se opera de izquierda a derecha; o se suman por un lado todos los positivos y por otro lado todos los negativos, restndose ambas sumas:
A = (2 + 4 + 7 + 8 ) ( 5 + 6) = 21 11 = 10
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Otro ejemplo:
Sea la expresin: B = 3 - (-2) + 7 - (-5) + (- 4) + 1 + 8 Resolvemos:
Se escriben todos los nmeros aplicando la regla de los signos:
B = 3 + 2 + 7 + 5 4 + 1 + 8
B = (3 + 2 + 7 + 5 + 1 + 8 ) ( 4) = 26 4 = 22
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Sumas y diferencias CON PARNTESISSea la expresin:
A = 2 + ( 3 4 ) + 1 ( - 5 + 6 7 ) Resolvemos:
Se realizan las operaciones que hay dentro de los parntesis:
A = 2 + ( 1) + 1 ( 6)
Y finalmente se opera ya sin parntesis:
A = 2 - 1 + 1 + 6 = 9 1 = 8
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Otro ejemplo: Sea la expresin:
B = - 5 + ( 3 + 4 ) + 2 ( - 7 + 6 8 ) Resolvemos:
Se realizan las operaciones que hay dentro de los parntesis:
A = - 5 + (1) + 2 ( 9)
Y finalmente se opera ya sin parntesis:
A = - 5 + 1 + 2 + 9 = 12 5 = 7
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MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROSPara hallar el producto de dos nmeros enteros:
1.-Se multiplican sus valores absolutos.2.-El resultado es un nmero positivo si los dos nmeros tienen el mismo signo.3.-El resultado es un nmero negativo si los dos nmeros tienen el signo diferente. Regla de los signos de la multiplicacin:
(+) x (+) = (+)(+) x (-) = (-)(-) x (+) = (-)(-) x (-) = (+)
Ejemplos:4 x (-9) = - 36;(-3) x (- 7) = 21
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DIVISIN DE NMEROS ENTEROSEn una divisin exacta se cumple siempre:Dividendo = divisor x cociente
Dividir dos nmeros entre s es encontrar un tercer nmero cuyo producto por el divisor nos de el dividendo. Regla de los signos de la multiplicacin:
(+) : (+) = (+)(+) : (-) = (-)(-) : (+) = (-)(-) : (-) = (+)
Ejemplos:36 : (-9) = - 4;(-21) : (- 3) = 7
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DIVISIN EXACTA:D =d.c
Si un nmero (D=dividendo) se divide entre otro (d=divisor), se obtiene el cociente (c ).Si el resto es 0 entonces la divisin es exacta.
DIVISIN ENTERA:D=d.c+r
Si hay resto distinto de 0, entonces la divisin es entera.
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EJEMPLO DE DIVISIN EXACTA:
Dividendo = divisor x cociente
12 : 6 = 2D =d.c 12 = 6.2
Pues D=12, d=6 y c=2
EJEMPLO DE DIVISIN ENTERA:
Dividendo = divisor x cociente + resto
13 : 5 = 2 y de resto 3D=d.c+r 13 = 5.2 + 3
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SACAR FACTOR COMN
Si tenemos 12 + 15 , a veces nos interesa sacar factor comn.12 = 3.415 = 3.5
El 12 y el 15 tienen un factor comn, que es el 3.
Lo extraemos: 12 + 15 = 3.4 + 3.5 = 3.(4+5)
Vemos si es verdad:
12 + 15 = 3.(4+5) , 27 = 3.9 , 27 = 27
La operacin de sacar factor comn es la inversa de aplicar la propiedad distributiva.
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JERARQUA EN LAS OPERACIONESCuando hay mezcla de sumas, productos, parntesis, etc
Primero se realizan los PARNTESIS, si les hay.Si hay parntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera.
Segundo las POTENCIAS y RACES, si las hay.
Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.
Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay
Si hay una igualdad en el orden o jerarqua en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.
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Ejemplo 1
5 + 4 7 2 + 6 =
Todas son sumas o restas, presentan el mismo orden jeraquico.
Operamos de izquierda a derecha:= 5 + 4 7 2 + 6 == 9 7 2 + 6 == 2 2 + 6 == 0 + 6 == 6
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Ejemplo 2
8 : 4 . 7 : 2 : 7 =
Todas son productos o divisiones, presentan el mismo orden jerrquico.
Operamos de izquierda a derecha:
= 8 : 4 . 7 : 2 : 7 = = 2. 7 : 2 : 7 = = 14 : 2 : 7 = = 7 : 7 = = 1
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Ejemplo 3
5 + 4.3 7.9 + 40:5 =Hay sumas, restas, productos y divisiones.Primero efectuamos los productos y divisiones de izquierda a derecha:= 5 + 4.3 7.9 + 40:5 == 5 + 12 7.9 + 40:5 == 5 + 12 63 + 40:5 == 5 + 12 63 + 8 =Y despus las sumas y restas de izquierda a derecha:= 5 + 12 63 + 8 == 17 63 + 8 == 46 + 8 == - 38
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Ejemplo 4:
5 + 4.(3 7).9 + 40:5 =
Vemos que hay un parntesis. Ser lo primero que efectuemos:= 5 + 4.(-4).9 + 40:5 =
Luego productos y divisiones, de izquierda a derecha:= 5 + (-16).9 + 40:5 == 5 + (-144) + 40:5 == 5 + (-144) + 8 =
Y despus las sumas y restas de izquierda a derecha:= 5 - 144 + 8 == 139 + 8 == - 131
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Ejemplo 5:
5 + 4.[3 7.(9 2)] : 4. 5 + 2 =
Vemos que hay un parntesis anidado.5 + 4.[3 7.(9 2)] : 4. 5 + 2 =
Queda:5 + 4.[3 7.7] : 4. 5 + 2 =
En el parntesis que queda hay restas y productos.
Queda:5 + 4.[3 49] : 4. 5 + 2 =5 + 4.[ 46] : 4. 5 + 2 =
Vemos que hay sumas, productos y divisiones.
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5 + 4.[ 46] : 4. 5 + 2 =Vemos que hay sumas, productos y divisiones.
Productos y divisiones de izquierdas a derecha, quedando:5 + [ 184] : 4. 5 + 2 =5 + [ 46] . 5 + 2 =
Finalmente las sumas y restas de de izquierdas a derecha, quedando:
5 + [ 230] + 2 =- 225 + 2 =- 223