Espacios de señalesEspacios de...

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Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 1/44

Señales y algebra Bases y transformacionesEspacios de señales

Espacios de señalesEspacios de señales

Agosto de 2010

Procesamiento Digital de Señales

Licenciatura en Bioinformática

FI-UNER



Organización

1 Señales y algebra lineal

2 Espacios de señales

3 Bases y transformaciones lineales

2



• En general se asocia a las señales con “elementos aislados”.

• Incorporar a las señales en un marco estructurado: el espacio vectorial.

• Considerando a las señales como vectores de un espacio n-dimensional se puede:

– aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de los espacios vectoriales.

– interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectiva conceptual sencilla.

IntroducciónIntroducción

Señales y algebra



3

T1

T2

2

2

3

m

T

21


R2

Señales y algebra

3



0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5- 1

- 0 . 8

- 0 . 6

- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

m

T

En 1 hora ...

Para señales continuas...

Ya no se puede representar gráficamente como un “vector”en el espacio “tradicional”, pero el concepto es el mismo.


R60

R∞

Señales y algebra




Espacios de señales

Una “señal” es un elemento de un espacio S.

Interesa estudiar a cada señal en relación al resto.

Una “señal” es un elemento de un espacio S.

Interesa estudiar a cada señal en relación al resto.

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Para ello debo primero definir un conjunto:

Significa el conjunto de las x, tal que P sea cierto, óSi P es cierto implica que x pertenece a S.

S

{ ; ( ) Re[exp( )]}

=2 f - t ,

S x x t j tc

f R

α ω

ω π α

= = +

∞ ≤ ≤ ∞ ∈

Ejemplo: conjunto de las señales sinusoidales.

{ ; } S x p P x S= ⇒ ∈

Conjunto de señalesConjunto de señales


x



{x; x(t) = A1, x(t) > A1 }{x; x(t)= A2, x(t) < A2 }

{x; x(t) = 0, T1 > t v t > T2}

{ }1 2 1 2

( ) ( )

; ( ) 0, ,

j tX x t e dt

x x X

ωω

ω ω ω ω ω ω ω

∞−

−∞

=

= = > <

∫

A1

A2

t

T1 T2

Señales limitadas

temporalmente

Señales limitadas

temporalmente

Señales limitadas

en amplitud

Señales limitadas

en amplitud Señales de

banda limitada

Señales de

banda limitada



5



• El conjunto de elementos satisfacen una condición, pero además pueden cumplir otras propiedades...

• En particular se debe dotar al conjunto de:

– una estructura geométrica (espacio de señales).

– una estructura algebraica (espacio vectorial).





• Si al conjunto de señales definido anteriormente le agregamos una métrica (distancia) entonces estamos hablando de un espacio de señales.

Estructura geométricaEstructura geométrica


• Propiedades

• La distancia es un concepto muy importante asociado a un espacio.

DistanciaDistancia

ℜ→}y,x{:d

• Significados: “error”, “diferencia” o “grado de aproximación” entre dos señales.

yx0)y,x(d0)y,x(d =⇔=∧≥

)x,y(d)y,x(d =

)z,y(d)y,x(d)z,x(d +≤

Simetría

Desigualdad del triángulo

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DistanciaDistanciaEstructura geométricaEstructura geométrica


• Ejemplos

xy)y,x(d −=

22 xy)y,x(d −=

x=[x1,x2,x3]

y=[y1,y2,y3]

2123

1nnn xy)y,x(d

−= ∑

=



• Proporciona información acerca del “tamaño” de un elemento del espacio.

NormaNormaEstructura geométricaEstructura geométrica


0x0x y 0x =⇔=≥

yxyx +≤+

xx α=α

• La norma se refiere a un solo elemento, mientras que la distancia a dos.

• Existen muchas normas, pero la más utilizada es la denominada norma-p.

• Propiedades

7



• Secuencias discretas

• Señales continuas

p1

n

pp )n(xx

= ∑

∞

−∞=

Norma-pNorma-pEstructura geométricaEstructura geométrica


p1

pp dt)n(xx

= ∫

∞

∞−



AMPLITUD de la señal x

ACCIÓN de la señal x

ENERGÍA de la señal x

)n(xsupXNn∈

∞=

}0)n(x:n{#ppx

0plim0X ≠=→

=

2

2X



1X

Medida de DISPERSIÓN

8



x1

E(x)1/2

A(x)

x2







9



• Otros ejemplos:

– Norma del Volumen Mínimo (similar a ||x||0)

– Norma de Cauchy

– Norma Varimax

– Otras dependiendo de la aplicación...

NormaNormaEstructura geométricaEstructura geométrica




dt)t(xT

P

)n(xN

P

T

T

x

N

Nn

x

2

2

2

1

2

1

∫

∑

−

−=

=

=


Potencia mediaPotencia mediaEstructura geométricaEstructura geométrica

10




dt

2T

T

)t(xT21

Tlim

xP

2N

Nn)n(x

N21

Nlim

xP

∫

∑

−∞→

=

−=∞→=

Potencia media totalPotencia media totalEstructura geométricaEstructura geométrica




Conjunto de señales

Espacio de señales


Espacio de señales

Estructura geométrica

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• Conjunto para el que están definidas las operaciones binarias (cerradas) de:

– Multiplicación de cualquier elemento POR un ESCALAR – Adición ENTRE cualesquiera de sus elementos

• Estas operaciones son conmutativas, asociativas y distributivas.

• Poseen elemento neutro y cancelativo

• A los elementos de los espacios lineales los llamamos VECTORES y podemos referirnos al espacio como ESPACIO VECTORIAL

Espacio vectorialEspacio vectorialEstructura algebraicaEstructura algebraica





Espacio de señales

Espacio vectorial


Espacio de señales

Espacio vectorial

Estructura algebraica



12



• Son aquellos espacios vectoriales en los que TODOS sus elementos poseen norma finita.

• Los subconjuntos de señales que poseen energía finita o acción finita son espacios normados.

Espacio vectorial normadoEspacio vectorial normado


Estructura algebraicaEstructura algebraica





Espacio de señales

Espacio vectorial

Espacio vectorial normado


Espacio de señales

Espacio vectorial

Espacio vectorial normado

Norma finita

Estructura algebraica


13



Proyección de un vector en otroProyección de un vector en otroProducto internoProducto interno


v1

v2

ve

c2.v2

c2.v2: proyección de v1 sobre v2

v1=c2.v2+ve

θ



Además, el producto interno se define como:

La componente (o proyección) de v1 a lo largo de v2 es:



Entonces se puede escribir:

22

212

,c

v

vv=

Si 212 ,c vv=

c2 mide el parecido entre v1 y v2c2 mide el parecido entre v1 y v2

)cos(.vvc 122 θ=

)cos(.v.vv,v 2121 θ=

12 =v

14



v

v2c2.v2

θ



v1

c1.v1

222

212

1

12211 .

,.

,v.cv.cv v

v

vvv

v

vv+=+=



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1Producto interno de señales

Señales iguales

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

Señales ortogonales

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

Señales opuestas

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

0y,x >

0y,x <

0y,x =

Producto internoProducto interno


x[n], y[n] → N muestras

x[n]

y[n]

x[n]

y[n]

x[n]

y[n]

x[n].y[n]

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Conjunto generadorConjunto generador

Bases y transformaciones

Dado un conjunto N vectores (señales) X0={xi} con N<∞

∑=

α=N

1iiixx combinación lineal de vectores xi, donde αi son escalares.

Variando los αi se genera un nuevo conjunto X, que en el caso que sea un espacio vectorial entonces X0 es un conjunto generador de ese espacio.



∑=

=αN

1iii 0x {xi} son linealmente independientes

Base

Conjunto generador.

{xi} linealmente independientes.

Definición de baseDefinición de base


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OrtogonalidadOrtogonalidad


Se define un conjunto X0 como ortogonal si:

ji kx,x

ji 0x,x

ji

ji

=∀=

≠∀=

Además, si k = 1 entonces X0 es ortonormal.

Entonces, si X0 es una base del espacio vectorial X, los coeficientes αi se pueden calcular mediante el producto interno entre el vector (señal) y cada uno de los elementos de la base.



NN2211

N

1iii x...xxxx α++α+α=α=∑

=

Suponga que quiere representar el vector x en RN generado por el conjunto X0={xi}, con i= 1..N.

Representación de señalesRepresentación de señales


⟩⟨α++⟩⟨α+⟩⟨α=⟩⟨ iNNi22i11i x,x...x,xx,xx,x

Efectuando producto interno por xi a ambos miembros:

17



Representación de señalesRepresentación de señales


⟩⟨α=⟩⟨ iiii x,xx,xSi X0 es ortogonal, entonces:

2i

i

ii

ii

x

x,xx,xx,x ⟩⟨

=⟩⟨

⟩⟨=α

⟩⟨α=⟩⟨ iiii x,xx,xSi X0 es ortonormal, entonces:

⟩⟨=α ii x,x

Concepto importante: αi es la componente de la señal x en xi.Concepto importante: αi es la componente de la señal x en xi.



Base no completaBase no completa


Si {xi} no genera el espacio en que está contenido x →→→→ base no es completa.

x=[2, 4, 7]

==

0

1

0

0

0

1

}e,e{X 21b

2e,xc 11 =⟩⟨=x=c1.e1+c2.e2 →→→→

4e,xc 22 =⟩⟨=→→→→ x = [2, 4, 0]

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Entones la suma vectorial anterior es sólo una aproximación a x, y lleva implícito un error.

¿De qué manera se pueden seleccionar adecuadamente los ci para reducir el error de aproximación?





NN2211

N

1iii x...xxxy~ α++α+α=α=∑

=

Suponga que quiere representar el vector y en RN generado por el conjunto ortogonal X0={xi}, con i= 1..N.

2M

1j

N

1iijij

2

2

N

1iii

2

222

xyxyy~yeECT ∑ ∑∑= ==

α−=α−=−==

0i

ECT=

α∂∂

⟩⟨

⟩⟨=α

ii

ii x,x

x,y

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• Polinomios de Legendre [-1,1]

• Polinomios de Chebyshev [-1, 1]

• Polinomios de Hermite [- ∞, ∞]

• Funciones de Hermite [- ∞, ∞]

• Funciones de Walsh [0,T]

• Funciones de Haar [0,1]

• Wavelets

• Funciones de Fourier

Bases ortogonalesBases ortogonales




• Funciones de Haar:

Ejemplos: waveletsEjemplos: wavelets


20



• Onditas de Meyer:

Ejemplos: waveletsEjemplos: wavelets




Cambio de baseCambio de base

==

1

0

0

0

1

0

0

0

1

}e,e,e{X 321e xXe=α1.e1+α2.e2+α3.e3 =4.e1+8.e2+9.e3= [4,8,9]


x= [4, 8, 9]

−

−

==

3

13

13

1

2

26

16

1

02

12

1

}x,x,x{X 3211 xX1=β1.x1+ β2.x2+ β3.x3= 6√2.x1+11/3√2.x2+5/3√2.x3=[4,8,9]

21





e1

e2

e3

x1

x2

x3

x





¿Cómo pasar de Xe a X1?

xXe=xX1 =β1.x1+β2.x2+β3.x3==6√2.x1+11/3√2.x2+5/3√2.x3=[4,8,9]

[β1.x1+β2.x2+β3.x3]=[α1,α2,α3]

β

β

β

−

−

=

β

β

β

=

α

α

α

3

2

1

3

2

1

321

3

2

1

.

31

62

0

31

61

21

31

61

21

.x x x

1XXe x.Mx =

XeT

1X x.Mx =

M: matriz de transición o de cambio de base.

x1 x2 x3

22





Energía de una señal discretaEnergía de una señal discreta

2N

1n)n(x)x(E ∑

==

[ ]

161335

,6311

,26)x(E

1619,8,4)x(E

2

e1X

21X

=

=

==

∑=

∑=

β=α=N

1n

2n

N

1n

2n)x(ESi ambas bases son ortonormales:

Si una de ellas es solo ortogonal: ∑=

∑=

β=α=→=N

1n

2nn

N

1n

2nnnn k)x(E kx,x



Fin de la claseFin de la clase

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