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Espacios de Hilbert y Notación de Dirac

Alonso Contreras-Astorga

CINVESTAV, México

Diciembre 2012

Índice• Espacios de Hilbert• Operadores lineales en espacios de Hilbert• Notación de Dirac

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Espacios de Hilbert

Definición: El par (X ,d) es un espacio métrico si X es unconjunto y d(x , y) es una función real valuada, llamada métricadefinida para x , y ∈ X que satisface las condiciones

i) d(x , y) ≥ 0 y d(x , x) = 0 ∀x , y ∈ X .ii) Si d(x , y) = 0, entonces x = y .iii) d(x , y) = d(y , x)

iv) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z, y)

Una secuencia {xn} en un espacio métrico se llama secuenciade Cauchy si para cada ε > 0 existe un N tal que d(xn, xm) ≤ εpara cualquier elección de n,m ≥ N.Un espacio métrico (X ,d) es completo si cada secuencia deCauchy en (X ,d) es convergente en (X ,d).

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Espacios de Hilbert

Definición: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobreX es un mapeo que asocia a cada par de vectores x , y unescalar, denotado 〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, x , y , z ∈ X ,ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 λ ∈ K ,iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉,iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0→ x = 0.

Un espacio con producto interno se define como un espaciolineal junto con su producto interno definido sobre X .Definición: Dos vectores x e y son ortogonales cuando〈x |y〉 = 0.

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Espacios de Hilbert

Definición: Una norma en X es ‖·‖ : X 7→ R tal que

i) ‖x‖ ≥ 0; ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0.ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

Un espacio lineal normado es un par (X , ‖·‖) donde X es unespacio lineal y ‖·‖ es una norma sobre X .Un espacio con producto interno tiene una estructura natural deespacio normado con la norma ‖x‖ =

√〈x |x〉 y un espacio

normado tiene la estructura natural de espacio métrico cond(x , y) = ‖x − y‖.

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Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno, conuna norma definida por el producto interno y que además escompleto.Ejemplos1.- Sea X = Cn si x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn)definamos

〈x |y〉 =n∑

k=1

x̄kyk .

X es un espacio de Hilbert.

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Espacios de Hilbert

2.- Sea L2(R) el conjunto de todas las funciones medibles de R enC tales que verifiquen la siguiente propiedad: Si f (x) ∈ L2(R),entonces: ∫ ∞

−∞|f (x)|2dx <∞

L2(R) es un espacio vectorial. Si lo dotamos con el productointerno

〈f |g〉 =

∫ ∞−∞

f (x)g(x)dx

y la norma asociada, entonces L2(R) es un espacio de Hilbert.

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Espacios de Hilbert

3.- Consideremos el conjunto de sucesiones de númeroscomplejos (an)n∈N tales que:

∞∑n=1

|an|2 <∞

con el producto escalar

〈A|B〉 =∞∑

n=1

anbn

donde A = (an) y B = (bn), este conjunto es un espacio de Hilbertllamado `2.

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Espacios de Hilbert

Definición: Sea S un conjunto de vectores en un espacio conproducto interno X . S es un sistema o conjunto ortonormal si:

i) ‖x‖ = 1, ∀x ∈ S,ii) 〈x |y〉 = 0. ∀x , y ∈ S con x 6= y .

Teorema (Desigualdades de Bessel): Sea A un conjuntoortonormal de vectores contenido en un espacio con productointerno X . Sean x , y ∈ X . Sea {x1, x2, ..., xn, ...} una sucesión deelementos de A (finita o infinita). Entonces

i)∞∑

n=1

|〈x |xn〉|2 ≤ ‖x‖2

ii)∞∑

n=1

|〈x |xn〉〈xn|y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.

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Espacios de Hilbert

Definición: Un conjunto ortonormal A ⊂ X se llama completo siy sólo si no existe en X otro conjunto ortonormal conteniendoestrictamente en A. A este c. o. c. se le llama base ortonormal.

Definición: Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si elcardinal de sus conjuntos ortonormales completos es finito onumerable.

Teorema Sea X un espacio de Hilbert de dimensión finita oinfinita. Sea {x1, x2, ...} un c. o. c en X . Entonces

‖x‖2 =∞∑

k=1

|〈xk |x〉|.

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Espacios de Hilbert

Teorema: Sea A un conjunto ortonormal completo en un espaciode Hilbert separable y de dimensión infinita X . Entonces

i) [A] = X

ii) si y ∈ X entonces y =∞∑

n=1

〈xn|y〉xn.

Ejemplos de conjuntos ortonormales completos1.- Sea X = Cn

(1,0,0, ...,0); (0,1,0, ...,0); ... (0,0,0, ...,1).

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Espacios de Hilbert

2.- Sea X = `2

e1 = (1,0,0, . . . ,0, . . . )e2 = (0,1,0, . . . ,0, . . . )e3 = (0,0,1, . . . ,0, . . . )

...

3.- En L2(0,2π), el conjunto

x0(t) =1√2π, x1(t) =

cos t√π, x2(t) =

sin t√π, x3(t) =

cos 2t√π

, . . .

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Espacios de Hilbert

Dos teoremas muy importantes

Teorema 1:Sea X un espacio de Hilbert de dimensión finita n. Entonces X yCn son isométricos.

Teorema 2:Sea X un espacio de Hilbert separable y de dimensión infinita.Entonces X y `2 son isométricos.

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Espacios de Hilbert

El espacio dual de X .

Definición: Sea f una aplicación lineal de un espacio normado Xen C. Si f es además continuo, lo llamaremos funcional linealcontinuo, o simplemente funcional.

Definición: Sea f una aplicación lineal de X en C. Diremos que festá acotada si existe una constante positiva K tal que

|f (x)| ≤ K‖x‖, ∀x ∈ X .

El conjunto de todas las funcionales acotadas en X forman unespacio vectorial llamado espacio dual de X , denotado por X ∗.Además es normado y completo con la norma

‖f‖ = inf{K |(∀x ∈ X )|f (x)| = K‖x‖}.14 / 46

Espacios de Hilbert

Teorema de representación de RieszSea f un funcional acotado en un espacio de Hilbert X . Entoncesexiste uno y sólo un vector y ∈ X tal que

f (x) = 〈y |x〉 ∀x ∈ X .

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Operadores lineales en espacios de Hilbert

Definición: Un operador lineal entre dos espacios normados X eY es una aplicación lineal entre ambos. En particular puede seruna aplicación de un espacio de Hilbert consigo mismo.

Sea A un operador lineal continuo en un espacio de Hilbert X .Fijemos x ∈ X y consideremos el siguiente producto escalar〈x |Ay〉 para todo y en X . La aplicación f (y) = 〈x |Ay〉 es unfuncional lineal y continuo en X , el teorema de Riez nos aseguraque existe, fijado x , un único z ∈ X tal quef (y) = 〈z|y〉 = 〈x |Ay〉,∀y ∈ X . Esto lo podemos hacer con cadauno de los x ∈ X , con lo que obtenemos una aplicación de X en simismo, A†, que llamaremos operador adjunto de A, y tal queA†x = z. De esta manera

〈x |Ay〉 = 〈A†x |y〉, ∀x , y ∈ X .16 / 46


Propiedades de operadores adjuntos: Sean A y B dosoperadores acotados en un espacio de Hilbert X , y sea λ unnúmero complejo. Entonces

(A + B)† = A† + B†

(λA)† = λA†

(AB)† = B†A†

Definición: Sea X un espacio de Hilbert y T un operador linealcontinuo, se dice que T es autoadjunto si T = T †.

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Ejemplo: Sea el espacio de Hilbert L2([0,1]). Sea ahora latransformación Q : L2([0,1]) 7→ L2([0,1]) definida de la siguientemanera

(Qf )(x) = xf (x),∀f ∈ L2([0,1]).

Esta transformación está bien definida ya que para todaf (x) ∈ L2([0,1]) tenemos:∫ 1

0|(Qf )(x)|2dx =

∫ 1

0|xf (x)|2dx ≤

∫ 1

0|f (x)|2dx <∞

y por lo tanto (Qf )(x) ∈ L2([0,1]). Además es lineal.

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Para demostrar que Q es acotado, i. e. es continuo,

‖Qf‖2 =

∫ 1

0|xf (x)|2dx ≤

∫ 1

0|f (x)|2dx = ‖f‖2, ⇒ ‖Qf‖ ≤ ‖f‖,

lo cual nos dice que Q es un operador acotado y además sunorma es menor o igual a 1.Notemos además que para todos f ,g ∈ L2([0,1]), se tiene:

〈g|Qf 〉 =

∫ 1

0g(x)xf (x)dx =

∫ 1

0xg(x)f (x)dx = 〈Qg|f 〉,

es decir, Q es autoadjunto.

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Definiciones: Sea A un operador lineal continuo.• A es normal si A†A = AA†.• A es autoadjunto si A† = A.• A es isométrico si ‖Ax‖ = ‖x‖, ∀x ∈ X .• A es unitario si es isométrico y sobre.

Proposición: Sea U un operador acotado en el espacio deHilbert X .• Si U es invertible y U−1 = U†, entonces U es unitario.• U es unitario si y sólo si I = U†U = UU†.

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Proyectores:Sea P un operador continuo en el espacio de Hilbert X . P es unproyector si P2 = P y P† = P. El operador nulo y la identidad sonproyectores.

Ejemplo: Sea M un subespacio cerrado de X que no coincida conX . Se sabe que X = M ⊕M⊥, siendo M⊥ 6= {0}. Para todo x ∈ Xexiste una única descomposición x = y + z con y ∈ M y z ∈ M⊥.Definamos Px = y . P es un proyector.

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Sea A un operador con dominio D ⊂ X , siendo X un espacio deHilbert. Diremos que y ∈ D, y 6= 0, es un eigenvector (autovalor)de A si existe un número complejo λ tal que Ay = λy . λ si puedeser cero. Entonces y es un eigenvector (autovector) de A coneigenvalor (autovalor) λ.• Diremos que λ ∈ C pertenece al espectro discreto de A si es

un eigenvalor de A.• Diremos que λ ∈ C pertenece al espectro residual de A si no

es un eigenvalor de A y además el rango del operador A− λIno es denso en X .

• λ ∈ C pertenece al espectro continuo de A si no es uneigenvalor ni tampoco está en el residual de A, y la inversa dela aplicación A− λI no es continua. Si es continua λ perteneceal resolvente.

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Lema: Sea A un operador autoadjunto y acotado en un espaciode Hilbert. Entonces sus eigenvalores son reales.

Lema: Sea A un operador autoadjunto y acotado en un espaciode Hilbert X . Sean x e y dos eigenvalores de A con diferenteeigenvalor. Entonces x e y son ortogonales.

Lema: Si U es unitario, sus eigenvalores (si existen) tienenmódulo uno.

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En el caso de operadores no acotados, la definición de operadoradjunto debe de tomar en cuenta los dominios.Sea A un operador con dominio D denso en un espacio de Hilbert(de dimensión infinita y separable) X . Para definir el adjunto dweA, comencemos por definir su dominio:

D∗ = {y ∈ X | existe z ∈ X tal que 〈z|x〉 = 〈y |Ax〉, ∀x ∈ D}

De este modo, el adjunto de A es

A†y = z, ∀y ∈ D∗.

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Propiedades de los operadores adjuntos:• A† es lineal.• A† es siempre un operador cerrado.• Si α ∈ C entonces (αA)† = αA†.• Sea A y B dos operadores en X con dominios D(A) y D(B).

Diremos que B extiende a A, y escribiremos B � A, siD(A) ⊂ D(B) y además para todo z ∈ D(A) se verifica queAz = Bz. Nuestra propiedad siguiente dice que

Si B � A⇒ A† � B†

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• Si definimos D(A + B) = D(A) ∩ D(B) yD(A† + B†) = D(A†) ∩ D(B†) entonces

A† + B† ≺ (A + B)†.

• Si definimos D(AB) = {y ∈ X |y ∈ D(B) tal que By ∈ D(A)} y siD(AB) es denso en X ,

B†A† ≺ (AB)†.

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Definiciones:Un operador A es llamado simétrico (o Hermítico) si A ≺ A†, esdecir

〈y |Ax〉 = 〈Ay |x〉; ∀x , y ∈ D(A).

Un operador simétrico es autoadjunto si A = A†.

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Ejemplos de operadores no acotados.Sea X = L2(R). Consideremos

D = {φ(x) ∈ L2(R)|xφ(x) ∈ X}.

D es un espacio vectorial, además se puede probar que es densoen X . Consideremos el operador Q : D 7→ X

Qφ(x) = xφ(x).

Se conoce a esta transformación como el operador de posición.Este operador es autoadjunto en el dominio señalado.

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Ejemplos de operadores no acotados.Definamos ahora el espacio de Schwartz, S como el conjunto defunciones f (x) infinitamente diferenciables en todos los puntos deR y tales que

limx→±∞

xn dm

dxm f (x) = 0; ∀n,m = 0,1,2, . . .

En este subespacio Q y el operador

Pψ(x) = −i~ddxψ(x),

son esencialmente autoadjuntos, es decir, son operadoressimétricos y su clausura es autoadjunta.

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Proposición: En S

[Q,P] = QP − PQ ≺ i~I.

Definición: Sea A un operador y sea x ∈ D(A) ∪ D(A2).Llamaremos dispersión de A en x al número:

∆x (A) =√〈x |(A− 〈x |Ax〉I)2x〉 =

√〈x |A2x〉 − (〈x |Ax〉)2.

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Principio de Heisenberg Sea f ∈ S. Entonces:

(∆f Q)(∆f P) ≥ ~2.

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Notación de Dirac

En mecánica cuántica, la interpretación probabilística de lafunción de onda ψ(r, t) dice que |ψ(r, t)|2d3r representa laprobabilidad de encontrar al tiempo t la partícula en el volumend3r al rededor del punto r.

La probabilidad de encontrar a la partícula en algún lugar delespacio es 1, de este modo∫

d3r |ψ(r, t)|2 = 1.

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Notación de Dirac

Un espacio de Hilbert "natural" para trabajar es L2(R). Sinembargo es muy grande. Llamaremos F ⊂ L2(R) al subespacioal conjunto de funciones suficientemente regulares que soncuadrado integrable.

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Notación de Dirac

"Bases" que no pertenecen a FOndas PlanasLas funciones

vp(x) =1√2π~

eipx/~

no son de cuadrado integrable, por lo tanto no pertenecen a F yno pueden ser un conjunto ortogonal completo o baseestrictamente, sin embargo cumple propiedades similares a las delas bases:

ψ(x) =

∫ ∞−∞

dpψ(p)vp(x)

ψ(p) = 〈vp|ψ〉.34 / 46

Notación de Dirac

El "producto interno" entre dos elemento de la base está dado por

〈vp|vp′〉 =1

2π

∫dx~

ei x~ (p

′−p) = δ(p − p′).

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Notación de Dirac

Funciones DeltaDe la misma manera que en el caso de ondas planasintroducimos el conjunto {ξx0(x)} etiquetadas por el índicecontinuo x0 y definidas

ξx0(x) = δ(x − x0)

Este conjunto representa una familia de funciones δ centradas enlos puntos x0. Estas funciones no son de cuadrado integrable sinembargo podemos ver que

ψ(x) =

∫dx0ψ(x0)ξx0(x)

ψ(x0) = 〈ξx0 |ψ〉 =

∫dxξx0(x)ψ(x).

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Notación de Dirac

Y la relación de ortonormalidad, es decir el producto interno entredos elementos de la "base"

〈ξx0 |ξx ′0〉 =

∫dxδ(x − x0)δ(x − x ′0) = δ(x0 − x ′0).

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Notación de Dirac

Notación de DiracPuesto que la física no depende de la base que utilicemos, ycomo ya vimos que los espacios de Hilbert son isométricos entreellos, podemos elegir trabajar en un espacio "abstracto" y cuandobusquemos una propiedad en particular de nuestro sistemaaterrizar al espacio de Hilbert que nos sea más cómodo. Así, encorrespondencia uno a uno con F introducimos el subespacio de"kets" E .

ψ(x) ∈ F ⇐⇒ |ψ〉 ∈ E .

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Notación de Dirac

El producto interno entre dos kets se escribe

〈|φ〉||ψ〉〉 = 〈φ|ψ〉.

El espacio dual de E es el espacio vectorial de funcionaleslineales que actúan sobre los kets, a cada vector de este espaciose le conoce como "bra", la etiqueta de los bra está dada por elteorema de representación de Riez,

τ(|ψ〉) = 〈τ |ψ〉.

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Notación de Dirac

La notación de Dirac ofrece una manera simple de representar losproyectores. Sea |ψ〉 un ket normalizado. Ahora el operador

Pψ = |ψ〉〈ψ|

es un proyector. El significado geométrico es que proyecta todoslos kets al subespacio generado por |ψ〉.

El proyector para un subespacio de dimensión n se construyetomando n kets normalizados ortogonales entre sí{φ1, φ2, . . . , φn}. De esta manera

Pn =n∑

j=1

|φj〉〈φj |.

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Notación de Dirac

Más sobre basesUn conjunto de kets, discreto {|ui〉} o continuo {|wα〉}, satisface larelación de ortonormalización:

〈ui |uj〉 = δij , 〈wα|wα′〉 = δ(α− α′).

Un vector cualquiera se escribe en la base {|ui〉} como

|ψ〉 =∑

j

cj |uj〉 =∑

i

〈uj |ψ〉|uj〉 =

∑j

|uj〉〈uj |

|ψ〉El operador entre paréntesis debe ser la identidad para que secumpla la igualdad.

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Notación de Dirac

Haciendo lo mismo con la base continua {|wα〉}:

|ψ〉 =

∫dαc(α)|wα〉 =

∫dα〈wα|ψ〉|wα〉

=

∫dα|wα〉〈wα|ψ〉 =

(∫dα|wα〉〈wα|

)|ψ〉.

Resumiendo, las bases deben cumplir la relación de cerraduraque es ∑

j

|uj〉〈uj |= I,∫

dα|wα〉〈wα|= I

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Notación de Dirac

Representación en las bases {|x〉} y {|p〉}Tomemos los vectores delta de Dirac y de ondas planas previos.

ξx0(x) ⇐⇒ |x0〉vp0(x) ⇐⇒ |p0〉

Ahora, utilizando la relación de cerradura escribimos

|ψ〉 =

∫dx |x0〉〈x0|ψ〉 =

∫dx |p0〉〈p0|ψ〉.

Los coeficientes 〈x0|ψ〉 y 〈p0|ψ〉 son calculados directamente

〈x0|ψ〉 =

∫dxξx0(x)ψ(x) = ψ(x0)

〈p0|ψ〉 =

∫dxvp0(x)ψ(x) = ψ(p0),

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Notación de Dirac

donde ψ(p) es la transformada de Fourier de ψ(r).

El valor ψ(x0) de la función de onda en el punto x0 es elcoeficiente que acompaña al vector |x0〉 de la descomposición de|ψ〉 en la base {|x〉}.

La función de onda en el espacio de momentos ψ(p) puedeinterpretarse de manera análoga.

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Bibliografía recomendada:• Arch W. Naylor, George R. Sell, Linear Operator Theory in

Engineering and Science, New York, Holt, Rinehart andWinston 1971.

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe, QuantumMechanics, New York, John Wiley and Sons, 1977.

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Gracias

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