Espacios de Hardy

Zarate Sebastian

13 de junio de 2017

Preliminares

1. Introduccion

Los espacios de Hardy fueron introducidos por Frigyes Riesz en 1923, no porque

fueran espacios muy difıciles, sino en honor a Godfrey Harold Hardy que ya los

habıa utilizado alla por 1915. Toda esta teorıa de funciones analıticas en espacios

de Hardy fue muy estudiada a mediados del siglo XX, en particular por Helson y

Lowdenslager, y que sigue siendo estudiada hasta hoy. En principio vamos a probar

muchas propiedades y teoremas clasicos para caracterizar estos espacios, aunque

el enfoque por momentos puede resultar mas algebraico que analıtico, es parte del

laburo que vamos a hacer. En una segunda parte nos vamos a concentrar en las

algebras que caen entre H∞ y C(T), hay muchas que cumplen esa propiedad y por

eso vamos a probar varios resultados al respecto. En particular uno de los resultados

mas interesantes es el Teorema de la corona, que probo Carleson en los anos 70, y

que lo enunciamos pero no probamos porque es realmente difıcil.

2. Preliminares

Veamos un popurrı de definiciones y notaciones que vamos a usar mas adelante

y que conviene tener a mano.

Definicion 2.1. A es un algebra sobre C es un C-EV dotado de una transformacion

bilineal A×A → A, (a, b) = a · b tal que :

Es asociativa ;

∀ λ ∈ C, λ(ab) = a(λb).

Luego B sera una subalgebra de A si es un subespacio cerrado bajo el producto.

Definicion 2.2. Un algebra de Banach (AB)A, es un algebra sobre C con una norma

||·|| que la convierte en espacio de Banach (EB) y tal que para todos a, b ∈ A cumple

la desigualdad:

||ab|| ≤ ||a|| ||b||.

En particular si el algebra tiene unidad (que llamaremos convenientemente 1) el AB

es unital y ||1|| = 1.

Definicion 2.3. Recordemos que dada un algebra de Banach A , podemos definir

los multiplicadores en A como los morfismos ϕ : A → C, no nulos.En particular si el

algebra Aes abeliana y unital, estos multiplicadores (tambien llamados caracteres)

viven en el dual A∗ y son unitarios (de norma 1). Notamos al conjunto de todos los

caracteres en A como χA.

1

Preliminares

Ahora bien con esto en mente vamos a definir la transformada de Gelfand.

Definicion 2.4. Sea A un AB abeliana tal que χA es no vacıo. Definimos la trans-

formada de Gelfand Γ : A → C(χA) tal que Γ(a) = a con a(ϕ) = ϕ(a).

Teorema 2.5. Sea M un ideal maximal de L∞, entonces la transformada de Gelfand

Γ es un isomorfismo isometrico de L∞ en C(M). Mas aun Γ(f) = γ(f) para f ∈ L∞.

Proposicion 2.6. Hagamos una pruebita que es facil pero que vale la pena tenes

escrita alguna vez. Si M,N son cerrados de un EB y M ⊥ N entonces M ⊕ N es

cerrado.

Demostracion. si tomamos x ∈ M +N tal que xs → x, {xs}s∈N ∈ M + N , consi-

deremos la proyeccion ortogonal sobre M PM . Entonces PM(xs) = ms ∈ M porque

M ⊥ N . Luego como M es cerrado y PM continua tenemos que

PM(x) = m ∈M . Analogamente 1− PM proyecta sobre el ortogonal a M y por

lo tanto Q = (1 − PM)(xs) = ns ∈ N y como es cerrado y Q continuo resulta que

Q(x) = n ∈ N ası M +N es cerrado porque x = m+ n.

�

Teorema 2.7. Sea B un EN, S ⊂ B un subespacio y ϕ ∈ S∗. Entonces existe un

funcional Ψ ∈ B∗ tal que:

Ψ extiende a ϕ, es decir Ψ(x) = ϕ(x) para todo x ∈ S.

||Ψ||E∗ = ||ϕ||S∗ .

Recordemos el Teorema de Stone-Weierstrass que vamos a usar mas adelante.

Teorema 2.8. Sea (X, τ) un espacio topologico compacto Hausdorff. Si A ⊂ C(X)

tal que :

1. Es cerrada por conjugaciones (f ∈ A → f ∈ A);

2. Las funciones constantes estan en A;

3. Separa puntos de X (si x 6= y en X, existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y)).

Entonces A es || · ||∞-densa en C(X).

Teorema 2.9. Sea X un ELKH (espacio localmente compacto Hausdorff). Para

cualquier funcional lineal positivo φ en C(X) existe una unica medida de Borel

regular en X tal que

φ(f) =

∫X

fdµ.

2

Preliminares

Definicion 2.10. Sea T = {z ∈ C /‖z| = 1} y 1 ≤ p <∞, definimos los espacios

Lp(T) = {f : T→ C /

∫T|f(λ)|pdλ <∞}

donde dλ = 12dθ y teniendo en cuenta que las funciones son en realidad clases

de funciones dadas por f ∼= g si y solo sı f = g (λ-pp). Observar que la medida

utilizada esta normalizada y que en el caso p =∞ tomaremos

L∞(T) = {f : T → C / ||f ||∞ < ∞} donde la norma infinito es la del supremo

como siempre. Ademas todos estos espacios son EB con sus normas respectivas.

Definicion 2.11. Para todo n ∈ Z definimos εn sobre T como εn(z) = zn, notar

que si z = eiθ, εn(eiθ) = einθ. En particular {εn}n∈Z resulta ser una BON (base

ortonormal) de L2(T) con el producto interno

〈f, g〉 =1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)g(eiθ)dθ.

En efecto si n 6= m,∫ 2π

0

εn(eiθ)εm(eiθ)dθ =

∫ 2π

0

εn−m(eiθ)dθ = 0

(porque la funcion ei(n−m)θ tiene primitiva) y la integral da 2π si n = m. El hecho

de que generen es consecuencia directa del Teorema 2.8 y de que las funciones

continuas C(T) son densas en Lp(T), 1 ≤ p <∞ (en particular si p = 2). Esto sale

facil considerando que las funciones simples de soporte finito, i.e de medida finita,

son densas en Lp y luego aproximando a estas simples por funciones continuas.

Notacion: Con la definicion anterior, notamos por

P = {N∑

n=−N

αnεn : αn ∈ C} (2.1)

a los polinomios trigonometricos sobre T. Ademas P+ seran los polinomios trigo-

nometricos analıticos (en criollo serıa n > 0). Luego los polinomios trigonometricos

son || · ||∞ densos en C(T) porque son cerrados por conjugacion, claramente las cons-

tantes estan y la funcion ε1 separa puntos, lo que completa la afirmacion anterior.

Proposicion 2.12. La clausura de P+ en C(T) resulta ser el algebra del disco

(D = D(0, 1)) A(D) = {f ∈ C(D) / f|D◦ es analıtica en D◦}. Esta algebra resulta

unital y cerrada.

Demostracion. Probemos estas afirmaciones (la de unital es gratis porque el 1 esta).

3

Espacios de Hardy

En efecto sea {fn}n∈N en A(D) tal que fn → f ∈ C(D), si x ∈ D◦ tomemos una

curva cerrada γ en D◦ que contenga a x en su interior. Dado que fn ∈ A(D),

fn(x) =1

2πi

∫γ

fn(z)

z − xdz

y por lo tanto

f(x)− 1

2πi

∫γ

f(z)

z − xdz| ≤ |f(x)− fn(x)|+ | 1

2πi

∫γ

fn(z)− f(z)

z − xdz| ≤

≤ ||f − fn||∞ +1

2π`(γ)||f − fn||∞

ε

con ε = d(x, γ) > 0. Luego como ||f − fn||∞ −−−→n→∞

0, tenemos que

f(x) = 12πi

∫γf(z)z−xdz y por lo tanto f ∈ A(D).

Veamos que P+||·||∞

= A(D). Sea f ∈ A(D), tomemos 0 < r < 1 y sea fr ∈ C(D)

dada por fr(z) = f(rz). Como f es uniformemente continua (el disco cerrado es

compacto) tenemos que

lımr→1−

||fr − f ||∞ = 0.

Esto ultimo no sale ni a palos sin la uniformidad, no porque lo diga yo, sino porque

necesitamos un δ que nos haga la gracia para todos los z. Entonces podemos ”meter”

el lımite cuando calculamos la norma infinito y nos queda

lımr→1−

||fr − f ||∞ = supz∈D

lımr→1−

|f(rz)− f(z)| = 0.

Las ventajas ahora son dos, primero la convergencia es uniforme como queremos, y

segundo fr es analıtica en un disco D(0, 1r) y mas aun la serie de Taylor asociada

converge uniformemente en D. Luego fr es lımite uniforme de polinomios de P+ (la

gracia es que lo voy extendiendo al disco) y como converge uniformemente a f , f

tambien es lımite de estos polinomios.

�

3. Espacios de Hardy

Queremos en un principio definir los espacios de Hardy y ver muchas de sus

propiedades, porque son muy utiles para definir y trabajar con los operadores de

Toeplitz entre otras cosas.

Definicion 3.1. Sea 1 ≤ p ≤ ∞ definimos el espacio de Hardy Hp como:

Hp = {f ∈ Lp(T) /1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0 si n > 0}.

4

Espacios de Hardy

Esto puede escribirse de forma reducida usando la transformada de Fourier,

f(n) = 12π

∫ 2π

0

f(eiθ)ε−n(eiθ)dθ = 0 para todo n < 0.

Proposicion 3.2. Hp es cerrado en Lp(T) para 1 ≤ p ≤ ∞ y por lo tanto un EB.

Demostracion. Sea {fm}m∈N una sucesion en Hp tal que fm → f ∈ Lp(T) (la con-

vergencia con la norma p). Luego 12π

∫ 2π

0

fm(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0 para todo n > 0.

Cabe notar que para el caso ∞ es sencillo pues las fm convergen uniformemente a

f y por lo tanto 12π

∫ 2π

0

f(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0 para todo n > 0.

Si 1 ≤ p < ∞, notar que Hp =⋂n>0

{f ∈ Lp(T) /1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0} y

para cada n > 0, {f ∈ Lp(T) / 12π

∫ 2π

0

f(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0} son subespacios cerrados

dado que si consideramos Fn(f) = f(−n) es un funcional lineal y su nucleo para

cada n > 0 son los subespacios anteriores. Veamos que Fn es lineal. Dado λ ∈ C:

Fn(λf + g) = (λf + g)∧(−n) =1

2π

∫ 2π

0

(λf(eiθ) + g(eiθ))εndθ =

= λ1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)εndθ +1

2π

∫ 2π

0

g(eiθ)εndθ = λFn(f) + Fn(g).

Luego Fn es un funcional lineal (acotado pues |f(n)| ≤ ||f ||p||εn||q = ||f ||p) y su

nucleo es {f ∈ Lp(T) / 12π

∫ 2π

0

f(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0}. Por lo tanto Hp es cerrado.

�

Observacion 3.3. En particular, de la definicion de P+ se deduce que H2 es la

clausura (en L2) de P+. En efecto

〈f, εn〉 =1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)ε−n(eiθ)dθ = 0

si n < 0. Si a esto le agregamos que {εn}n∈Z es BON de L2(T), tenemos que P+ es

BON de H2.

Definicion 3.4. Sea φ ∈ L∞(T), podemos representar a φ en L(L2(T)) por φ→Mφ,

donde Mφ es el operador de multiplicacion dado por Mφf = φf para f ∈ L2(T).

Con esta definicion empezamos con algunos resultados basicos.

Proposicion 3.5. Sea φ ∈ L∞(T), H2 es un subespacio invariante por Mφ si y solo

si φ esta en H∞.

5

Espacios de Hardy

Demostracion. Si MφH2 esta contenido en H2 entonces φ.1 esta en H2 (porque 1

esta en H2), y por lo tanto φ ∈ L∞(T) ∩H2 ⊂ H∞.

Recıprocamente si φ ∈ H∞ y εn ∈ H2 con n > 0, entonces para m < 0 tenemos:

(φεn)∧(m) =1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)εn(eiθ)ε−m(eiθ)dθ =1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)ε−n(eiθ)εm(eiθ)dθ =

=1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)ε−n+m(eiθ)dθ =1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)εn−m(eiθ)dθ = φ(−n+m) = 0

ya que − n+m < 0.

Luego φ ∈ P+ ⊂ H2. (H2 = P+ = {εn/ n < 0}⊥).

Mas aun tenemos que φ(N∑n=0

αnεn) =N∑n=0

αn(φεn), luego φH2 ⊂ H2 porque P+ =

H2 y Mφ es continua en L2.

�

Un corolario inmediato de esto es que H∞ es un algebra.

Corolario 3.6. El espacio H∞ es un algebra.

Demostracion. Sean φ, ψ ∈ H∞ entonces :

Mφψ(H2) = Mφ(MψH2) ⊂MφH

2 ⊂ H2.

Luego por la proposicion anterior φψ ∈ H∞ y por lo tanto H∞ es un algebra.

�

Teorema 3.7. Sea µ en M(T) el espacio de medidas de Borel en T y∫T εndµ = 0

para n ∈ Z. Entonces µ = 0.

Demostracion. Recordemos que los polinomios trigonometricos P son densos en

C(T) y que el dual de C(T) es M(T). Luego la medida µ representa el funcional

nulo y por lo tanto debe ser la medida nula. En efecto por la densidad de P tenemos

que∫T fdµ = 0 para cualquier f ∈ C(T) y por lo tanto µ debe ser 0.

�

Veamos algunos resultados que se obtienen de este teorema.

Corolario 3.8. Sea f una funcion en L1(T) tal que

1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)εn(eiθ)dθ = 0 para todo n ∈ Z,

entonces f = 0 (λ-pp).

6

Espacios de Hardy

Demostracion. Sea µ sobre T tal que µ(E) =∫Ef(eiθ)dθ . Entonces nuestra hipotesis

puede escribirse como∫T εndµ = 0 para todo n ∈ Z y luego µ = 0 por el teorema

anterior. Por lo tanto f = 0 (λ-pp).

�

Corolario 3.9. Si f es una funcion real en H1, entonces f = α (λ-pp) para algun

α ∈ R.

Demostracion. Sea α = 12π

∫ 2π

0

f(eiθ)dθ, α es real y

∫ 2π

0

(f − α)εndθ = 0 para todo n ≥ 0.

Mas aun dado que f − α es real la ecuacion anterior vale conjugada∫ 2π

0

(f − α)ε−ndθ = 0 para todo n ≥ 0.

Luego vale para todo n ∈ Z y por lo tanto f = α (λ-pp).

�

Corolario 3.10. Si f y f estan en H1 entonces f = α (λ-pp) para algun α ∈ C.

Demostracion. Apliquemos el corolario anterior a 12(f +f) y a 1

2i(f−f) que son dos

funciones H1 por hipotesis. Entonces Re(f) y Im(f) son constantes y por lo tanto

f es constante (f = α ∈ C).

�

Ahora daremos una caracterizacion de los subespacios invariantes de ciertos ope-

radores unitarios. Gracias a los resultados obtenidos por Beurling en un caso parti-

cular de este problema, se avanzo mucho en el estudio de algebra de funciones y en

particular desperto mucho interes sobre los espacios de Hardy.

Teorema 3.11. Sea w ∈ B(L2(T)) tal que wv = vw para v el shift bilatero con

respecto a {εn}n∈Z. Entonces existe φ ∈ L∞(T) tal que w = Mφ.

En particular A = {Mψ / ψ ∈ L∞(T)} ⊂ B(L2(T)) es una MASA (maximal

abelian subalgebra).

Demostracion. Sea ψ ∈ P , ψ =N∑

n=−N

αnεn =N∑

n=−N

αnεn1 .

Luego

N∑n=−N

αnvn =

N∑n=−N

αnMnε1

=N∑

n=−N

αnMεn1= M(

N∑n=−N

αnεn) = Mψ

7

Espacios de Hardy

con ψ ∈ P . Notar que hemos usado que ψ → Mψ es un ∗-isomorfismo unital

para ψ ∈ L∞(T). Ademas

wMψ = w(N∑

n=−N

αnvn) =

N∑n=−N

αnwvn =

N∑n=−N

αnvnw = Mψw

recordando que v y w conmutan. Luego Mψw = wMψ para todo ψ ∈ P .

Ahora bien si ψ ∈ L∞(T) ⊂ L2(T) entonces existe {ψn}n∈N ⊂ P tal que

||ψn − ψ||2 −−−→n

0 (P es denso en L2), luego ||w(ψ) − w(ψn)||2 −−→n

0 para

w ∈ B(L2(T)).

Si tomamos subsucesiones convenientes, podemos asumir que ψn −−−→n

ψ (λ-pp)

y en consecuencia w(ψn) −−−→n

w(ψ) (λ-pp).

Sea ϕ = w(ε0) ∈ L2(T), entonces w(ψn) = wMψn(ε0) = Mψw(ε0) = w(ε0)ϕ

ya que ψn ∈ P ⊂ L∞(T).

Luego tenemos que ψnϕλ−pp−−−→n

w(ψ) y ψnϕλ−pp−−−→n

ψϕ, por lo que w(ψ) = ϕψ

(λ-pp) para toda ψ ∈ L∞(T). Ahora veamos que ϕ ∈ L∞(T):

Dado n ≥ 1 sea En = {|ϕ| > ||w||+ 1n}, luego En ⊂ T es medible y por lo tanto

χEn ∈ L∞(T) ⊂ L2(T).

Ahora bien,

||w||2||χEn||22 ≥ ||wχEn||22 = ||ϕχEn||22 =

∫En

|ϕ|2dλ ≥ (||w||+ 1

n)2λ(En) = (||w||+ 1

n)2||χEn||22

y resulta que ||w||2||χEn||22 ≥ (||w|| + 1n)2||χEn||22. Como vale para todo n ≥ 1

||χEn||2 = 0 y por lo tanto λ(En) = 0 para todo n ≥ 1.

Luego λ({x ∈ T/ |ϕ(x)| > ||w||}) ≤∑ngeq1

λ(En) = 0 y en consecuencia

||ϕ||∞ ≤ ||w||. Luego Mϕ ∈ B(L2(T)), w ∈ B(L2(T)) y Mϕ = w en L∞(T), que

es denso en L2(T). Entonces Mϕ = w en L2(T).

Mas aun si B ⊂ B(L2(T)) es una subalgebra abeliana tal que A ⊂ B entonces

A = B. En efecto si w ∈ B resulta que v, w ∈ B pues v ∈ A ⊂ B, y wv = vw. Luego

w ∈ A. (recordar que v era el shift).

�

Ahora sı, ya que esto es una MASA le damos para adelante y probamos el

siguiente teorema.

Teorema 3.12. Sea µ una medida de Borel positiva sobre T, un subespacio cerrado

M de L2(µ) cumple que ε1M = M si y solo si existe un subconjunto boreliano

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Espacios de Hardy

E ⊂ T tal que

M = L2E(µ) = {f ∈ L2(µ) / f(eiθ) = 0 para eiθ /∈ E}.

Demostracion. Si M = L2(µ), entonces ε1M = M pues ε1f(eiθ) = f(eiθ) = 0.

Recıprocamente, si ε1M = M , M = ε−1ε1M = ε−1M . Luego M reduce a Mε1

en L2(µ) (porque M es invariante por ε1 y por ε−1 = ε∗1 o equivalentemente M⊥

tambien es invariante por ε1). Ahora bien sea F la proyeccion ortogonal sobre M ,

entonces F conmuta con Mε1 (porque Mε1 reduce a M) y por lo tanto con Mφ para

φ ∈ C(T). Luego por el Teorema 3.11, F es de la forma Mφ para algun φ ∈ L∞(µ).

�

Teorema 3.13. Si µ es una medida de Borel positiva en T, un subespacio cerrado

no trivial M de L2(µ) cumple que ε1M ⊂M y⋂n≥0

εnM = {0} si y solo si existe una

funcion ϕ boreliana tal que |ϕ|2dµ = dθ2π

y M = ϕH2.

Demostracion. Sea ϕ una funcion medible Borel tal que |ϕ|2dµ = dθ2π

, entonces la

funcion ψ(f) = ϕf es µ-medible para f en H2 y

||ψ(f)||22 =

∫T|ϕf |2dµ =

1

2π

∫ 2π

0

|f(eiθ)|2dθ = ||f ||22.

Luego la imagen M de H2 por ψ (que es isometrico), es un subespacio cerrado de

L2(µ). Ademas M es invariante por Mε1 pues ε1(ψ(f)) = ψ(ε1f) ya que

ε1(ϕf) = ϕ(ε1f). De esto se deduce que εn(ψ(f)) = ψ(εnf) usando

εn1 = εn. Por ultimo, notar que⋂n≥0

εnM = ψ(⋂n≥0

εnH2) = {0}

dado que⋂n≥0

εnH2 = {0} y ψ es inyectiva (λ-pp pero con eso me alcanza porque

estamos en H2) y por lo tanto probamos lo que querıamos.

Recıprocamente, supongamos que M es un subespacio cerrado no trivial inva-

riante por Mε1 que cumple⋂n≥0

εnM = {0}.

Luego L = M ε1M = M ∩ (M ∩ ε1M)⊥ = M ∩ ε1(M)⊥ es no trivial y

εnL = εnMεn+1M dado que como Mε1 es isometrico en L2(µ) e inyectivo tenemos

que ε1L = ε1M ∩ ε1((ε1M)⊥) = ε1M ∩ ε2(M)⊥ = ε1M ε2M .

En efecto, si f ∈ ε1((ε1M)⊥) entonces f = ε1g con g ∈ (ε1M)⊥ luego

〈f, ε2M〉 = 〈ε1g, ε2M〉 = 〈g, ε1M〉 = 0.

9

Espacios de Hardy

Por otro lado si f ∈ (ε2M)⊥, para toda g ∈ ε2M vale que

0 = 〈f, g〉 = 〈f, ε1(ε1M)〉 = ε−1f, ε1M〉.

Entonces ε−1f ∈ (ε1M)⊥ y por lo tanto f ∈ (ε1(ε1M)⊥).

Luego el subespacio⊕n≥0

εnL esta contenido en M porque M es Mε1 invariante .

Mas aun M (⊕n≥0

εnL) =⋂n≥0

εnM = {0}, para ver esto basta notar que

M (⊕n≥0

εnL) = M ∩ (M ∩ (⊕n≥0

εnL))⊥ = M ∩ (⊕n≥0

εnL)⊥ = M ∩ (⋂n≥0

(εnL)⊥)

Si f ∈ M ∩ (⋂n≥0

(εnL)⊥). Para n = 0 L⊥ ⊃ M por lo que L⊥ ∩ M = M ⊂ M .

Ahora bien pensemos que pasa para n = 1, por un lado tenemos que ε1L⊥ =

ε1M ∩ (ε1M)⊥ + ε2M = ε1M ∩ ((ε1M)⊥ ⊕ ε2M)

porque ε2M ⊂ ε1M y por lo tanto ε1M⊥ ⊂ ε2M

⊥ y εiM son cerrados y el

ortogonal siempre es cerrado. Para rematar esto tenemos la cuenta hecha a parte en

los preliminares (ver Prop 2.6).

Si x ∈ ε1M ∩ ((ε1M)⊥ ⊕ ε2M = (ε1L)⊥, resulta que

x = ε1m = y + z con y ∈ ε1M⊥, z ∈ ε2M

luego

ε1m− z = y

y por lo tanto y = 0 porque son ortogonales (ε1M ⊃ ε2M). Entonces x ∈ ε2M y

resulta (ε1L)⊥ ⊂ ε2M . Usando induccion sobre la expresion para εnL obtenemos lo

que querıamos.

Ahora bien sea ϕ ∈ L ⊃ M⊥ y εnM ⊂ ε1M , entonces ϕ ⊥ εnM y por lo tanto

es ortogonal a εnϕ para n > 0, luego:

0 = 〈εnϕ, ϕ〉 =

∫T|ϕ|2εndµ para n > 0.

Ademas si n < 0,

0 = 〈ε−nϕ, ϕ〉 = 〈ϕ, ε−nϕ〉 = 〈ϕ, εnϕ〉 =

∫T|ϕ|2εndµ para n < 0.

Luego por el Teorema 3.7 y el Corolario 3.9 tenemos que |ϕ|2dµ = dθ2π

. En efecto

como dµ no tiene que ser nula y ϕ tiene norma uno, 〈ε0ϕ, ϕ〉 =∫T |ϕ|

2dµ = 1 y por

el Corolario 3.9 como |ϕ|2 es real debe ser constante por lo que |ϕ|2dµ = dθ2π

.

10

Espacios de Hardy

Supongamos ahora que L tiene dimension mayor a uno y sea ϕ′ de norma uno

en L y ortogonal a ϕ. Entonces tenemos que

0 = 〈εnϕ, εmϕ′〉 =

∫Tϕϕ′εn−mdµ para n,m ≥ 0.

y por lo tanto∫T εkdν = 0 para k ∈ Z, con dν = ϕϕ′dµ.

Luego por el Teorema 3.7 ϕϕ′ = 0 (µ-pp), pero ||ϕ||2 = ||ϕ′||2 = 1 por lo cual

llegamos a una contradiccion y por lo tanto L tiene dimension uno. Luego ϕP+ es

denso en M . En efecto si ψ ∈M y n < 0,

〈ϕεn, ψ〉 = 〈ϕ, ε−nψ〉 = 0

pues ε−nψ ∈ ε−nM con −n > 0.

Por lo que resulta M = ϕH2.

�

Definicion 3.14. Sea ϕ ∈ H∞, es una funcion ”inner”(que serıan funciones del

interior ) si |ϕ| = 1 (pp).

Ahora veamos un corolario de Beurling sobre lo anterior.

Corolario 3.15. Si Mε1 = Mε1|H2 , un subespacio cerrado no trivial M de H2 es

invariante por Mε1 si y solo si M = ϕH2 para alguna funcion inner ϕ.

Demostracion. Si ϕ es una funcion inner, entonces ϕP+ esta contenido en H∞ por-

que ya probamos que H∞ es un algebra y por lo tanto esta contenido en H2. Como

ϕH2 es la clausura de ϕP+, tenemos que ϕH2 es un subespacio cerrado invariante

por Mε1 .

Por otro lado si M es un subespacio no trivial cerrado invariante por Mε1 , por el

teorema anterior tomando dµ = dθ2π

y existe una funcion medible ϕ tal que M = ϕH2.

Como |ϕ|2 dθ2π

= dθ2π

resulta |ϕ| = 1 (θ-pp) y por lo tanto como 1 ∈ H2, ϕ · 1 ∈ H2 y

ϕ es inner (esta en H2 ∩ L∞ ⊂ H∞).

�

Veamos ahora un caso general de estos teoremas.

Teorema 3.16. Sea µ una medida Boreliana positiva en T, entonces todo subespacio

cerrado M invariante por Mε1 puede descomponerse de manera unica como suma

directa de M = M1 ⊕ M2 tal que cada Mi es invariante por Mε1 , ε1M1 = M1 y⋂n≥0

εnM2 = {0}.

11

Espacios de Hardy

Demostracion. Sea M1 =⋂n≥0

εnM , es un subespacio cerrado invariante por Mε1 y

cumple que ε1M1 = M1. Probemos esto ultimo, sea f ∈ M1 luego f = εng para

alguna g ∈ M para cada n > 0 y por lo tanto ε1f = εn+1g para cada n > 0.

Esto vale pues εn+1g cae en el εn+1M y como la interseccion es infinita no tenemos

problemas (el n = 0 lo tiro porque M es Mε1 invariante).

Sea M2 = M M1 = M ∩M⊥1 , entonces f ∈ M esta en M2 si 〈f, g〉 = 0 para

toda g ∈ M1. Ademas como ε1 es isometrico, 〈ε1f, ε1g〉 = 0 y como ε1M1 = M1

tenemos que ε1f ∈M2 y por lo tanto M2 es invariante por Mε1 .

Luego si f ∈⋂n≥0

εnM2 ⊂⋂n≥0

εnM ∩ εn(M⊥1 ), resulta estar en M1 y por lo tanto

es f = 0.

�

Todos estos teoremas pueden combinarse para describir completamente los subes-

pacios invariantes por Mε1 pero segun Douglas se complica la cosa ası que confiamos

en el y dejamos de lado el enunciado.

Teorema 3.17. (F. y M. Riesz)

Si f es una funcion no nula en H2, entonces el conjunto {eiθ ∈ T / f(eiθ) = 0}tiene medida nula.

Demostracion. Sea E = {eiθ ∈ T / f(eiθ) = 0} supongamos que E tiene medida no

nula, definimos

M = {g ∈ H2 / g(eiθ) = 0 , eiθ ∈ E}. Notar que M es un subespacio cerrado

invariante por Mε1 y es no trivial pues f ∈M .

Probemos que es cerrado, sea {gn}n∈N ∈M tal que ||gn− g||2 −−→n

0 con g ∈ H2.

Entonces ∫E

|g|2dλ ≤∫E

|g − gn|2dλ+

∫E

|gn|2dλ ≤ ||g − gn||22.

Por lo tanto g ∈M (porque |g| ≥ 0) y la medida de E no es nula.

Luego M es cerrado y claramente es invariante por Mε1 porque ε1(eiθ)g(eiθ) = 0.

Por lo tanto por el Corolario 3.15, existe una funcion inner ϕ tal que M = ϕH2.

Ahora bien como 1 ∈ H2, ϕ esta en M y por lo tanto si eiθ ∈ E, ϕ(eiθ) = 0. Ahora

bien como ϕ es inner, |ϕ| = 1 (pp) y resulta que∫E|ϕ|2dλ = 0 lo cual es absurdo si

λ(E) 6= 0. Por lo tanto E tiene medida cero.

�

Veamos otro Teorema de los hermanos Riesz.

12

Espacios de Hardy

Teorema 3.18. S i ν es una medida boreliana en T tal que∫εndν = 0 para todo

n > 0, entonces ν es absolutamente continua (con respecto de θ) y existe una f ∈ H1

tal que dν = fdθ.

Demostracion. Recordemos la definicion de medida absolutamente continua: ν es

absolutamente continua con respecto de θ si para cualquier E ⊂ T tal que θ(E) = 0

entonces ν(E) = 0. Ahora bien sea |ν| la variacion total de ν ,

(|ν|(E) = sup∞∑i=1

|ν(Ei)| con {Ei} particion de E).

Entonces existe una funcion ψ tal que dν = ψd|ν| y |ψ| = 1 (|ν|-pp) (por una

consecuencia de Radon-Nikodym, para mas informacion ver el libro de Rudin [1] ).

Si M = Span{εn / n > 0} es el subespacio cerrado de L2(|ν|) entonces

〈εn, ψ〉 =

∫Tεnψd|ν| =

∫Tεndν = 0

y por lo tanto ψ es ortogonal a M en L2(|ν|).

Supongamos que M = M1 ⊕M2 donde esta descomposicion la obtenemos del

Teorema 3.16 (M es obviamente invariante por Mε1), si ademas E es un subconjunto

de T medible Borel que nos da el Teorema 3.12 tal que M1 = L2E(|ν|), entonces:

|ν|(E) =

∫T|ψ|2χEd|ν| = 〈ψ, ψχE〉 = 0,

dado que ψχE esta en M1 y ψ es ortogonal a M . Luego M1 = {0} (porque mi E

quedo de medida nula) y por lo tanto por el Teorema 3.13 existe una funcion medible

ϕ tal que M = ϕH2 y |ϕ|2|dν| = dθ2π

. Como ε1 ∈ M existe g ∈ H2 tal que ε1 = ϕg

(|ν|-pp) y ϕ 6= 0 (|ν|-pp). Luego |ν| es mutuamente absolutamente continua con la

medida de Lebesgue (que aca nadie dijo nada pero tiene que ser esta dθ). Luego si

f ∈ L1(T) tal que dν = fdθ, por hipotesis resulta que f ∈ H1 (porque si integramos

con los ε da 0 para n > 0).

�

Observacion 3.19. Los ultimos dos Teoremas pueden ser combinados en uno so-

lo y nos queda algo ası como: Una medida analıtica (o sea compleja sobre T) es

mutuamente absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

3.1. El Ideal Maximal M∞

Ahora queremos laburar un poco con el ideal maximal M∞ del algebra de Banach

conmutativa H∞. Lo primero que vamos a hacer es incrustar el disco D en M∞ (vıa

un embedding, o sea un morfismo inyectivo).

13

Espacios de Hardy

Sea z ∈ D, definimos un funcional lineal acotado ϕz en H1 tal que

ϕz(f) =1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)

1− ze−iθdθ con f ∈ H1.

Dado que1

1− ze−iθvive en L∞(T) y H1 ⊂ L1(T), resulta que ϕz es un funcional

lineal acotado en H1 (lo de lineal es gracias a la integral y lo de acotado porque

f ∈ H1). Mas aun, dado que1

1− ze−iθ=∞∑k=0

e−inθzn (geometrica) y la serie converge

absolutamente, resulta que

ϕz(f) =∞∑k=0

zk(1

2π

∫ 2π

0

fε−kdθ).

Ahora bien si consideramos p ∈ P+, tenemos que

ϕz(p) = p(z) (3.1)

y por lo tanto ϕz juega como un funcional lineal multiplicativo en P+. Ahora que-

remos ver que ϕz es multiplicativo en H∞.

Lema 3.20. Sean f, g ∈ H2 y z ∈ D, entonces fg ∈ H1 y ϕz(fg) = ϕz(f)ϕz(g).

Demostracion. Sea {pn}n≥1 y {qn}n≥1 sucesiones en P+ tales que:

lımn→∞

||f − pn||2 = lımn→∞

||g − qn||2 = 0.

Como el producto de dos funciones en L2 esta en L1 (Holder), tenemos que

||fg − pnqn||1 ≤ ||fg − png||1 + ||png − pnqn||1 ≤ ||f − pn||2||g||2 + ||pn||2||g − qn||2

y por lo tanto lımn→∞

||fg − pnqn||1 = 0. Luego como cada pnqn esta en H1 (de nuevo

Holder) tenemos que fg ∈ H1. Mas aun como ϕz es continua, resulta:

ϕz(fg) = lımn→∞

ϕz(pnqn) = lımn→∞

ϕz(pn) lımn→∞

ϕz(qn) = ϕz(f)ϕz(g).

�

Ahora sı vamos a mandar el disco en M∞.

Teorema 3.21. Sea z ∈ D la restriccion de ϕz a H∞ es un funcional lineal multipli-

cativo en H∞ (morfismo). Mas aun la funcion F de D en M∞ definida por F (z) = ϕz

es un homeomorfismo.

14

Espacios de Hardy

Demostracion. Sea ϕz restringida a H∞ acabamos de probar en el lema anterior

que ϕz es un morfismo sobre H1 y sabemos que H∞ ⊂ H1. Luego fijada f ∈ H1, la

funcion ϕz(f) es analıtica en z y por lo tanto F es continua. Ademas ϕz(ε1) = z por

lo que F es biyectiva. Por ultimo tomemos una red {ϕzλ}λ∈Λ en M∞ que converja a

ϕz, entonces :

lımλ∈Λ

zλ = lımλ∈Λ

ϕzλ(ε1) = ϕz(ε1) = z,

y por lo tanto F es un homeomorfismo ( F−1 es continua).

�

Observacion 3.22. Con esto probado de ahora en mas vamos a pensar a D como

un subconjunto de M∞ porque para algo hicimos las cuentas.

Veamos algunas definiciones que ya sabemos y que deberıan estar en los preli-

minares, pero que quedan mejor si las ponemos por aca.

Recordemos o mejor dicho notemos a la transformada de Gelfand sobre H∞ por

f , (la Gelfand Γ : H∞ → C(M∞)) como H∞ es unital y conmutativa, resulta que

los caracteres viven en el dual, y f(ϕ) = ϕ(f). Ahora bien, ya que hicimos todas

esas ”cuentitas” con M∞ y D, pensemos a la transformada de Gelfand restringida

a D, f|D que es analıtica. Veamos esto, a priori parece que todo anda pero no se

entiende muy bien de donde salen las cosas, recordemos todo lo que probamos para

el algebra del disco en 2.12. En particular, acabamos de probar que ϕz(ε1) = z y en

consecuencia los polinomios de P+ pasan de largo por ϕz i.e. ϕz(p) = p(z).

Ahora bien si tomamos f ∈ H∞ y tomamos una sucesion pn ∈ P+ que convergen

a f con ||·||∞, que son analıticas y ”ϕz(f) = f(z)” justamente porque los polinomios

trigonometricos son densos en el algebra del disco con la norma supremo.

Hagamos las cuentas, sea pn(z) = ϕz(pn), pn =n∑k=0

akεk tenemos que:

ϕz(p) = p(z) para p ∈ P+,

aca no hay duda de que eso es analıtico y como pn||·||∞−−−→ f resulta que

ϕz(f) =∑n≥0

anϕz(εn) =∑n≥0

anzn

y ahora si esto es bien analıtico.

Aparentemente y si le creemos a Douglas (es ası creer o reventar) este ideal M∞

es bastante complicado. De hecho hay un resultado de Carleson el Teorema de la

corona, que dice que D es denso en M∞ (con la norma || · ||∞). Al parecer la prueba

es difıcil, ası que le vamos a seguir el juego a Douglas y evitamos dar mas detalles.

15

Espacios de Hardy

Mas aun por la complejidad de M∞ no es viable calcular el espectro de funciones

en H∞ usando Gelfand, pero gracias a este teorema que no probamos se puede

probar que la clausura de f(D) coincide con el espectro de f . Esto si lo podemos

probar y aca viene.

Teorema 3.23. Sea ϕ una funcion en H∞, entonces ϕ es invertible (en H∞) si y

solo si ϕ|D es acotada fuera del cero (fuera de un entorno del cero).

Demostracion. Si ϕ es invertible en H∞, entonces ϕ no puede anularse en el espacio

compacto M∞ y por lo tanto |ϕ(z)| ≥ ε > 0 si z ∈ D.

Por otro lado si |ϕ(z)| ≥ ε > 0 para z ∈ D y definimos ψ(z) = 1ϕ(z)

, tenemos que

ψ es analıtica y acotada por 1ε

en D. Luego ψ tiene un desarrollo en serie dado por

ψ(z) =∞∑n=0

anzn que converge en D.

Dado 0 < r < 1 tenemos que:

∞∑n=0

|an|2r2n =1

2π

∫ 2π

0

|ψ(reiθ)|2dθ ≤ 1

ε2,

porque los zn son ortogonales. Luego∞∑n=0

|an|2 ≤1

ε2. Por lo tanto existe f ∈ H2

tal que f =∞∑n=0

anεn. Si ϕ =∞∑n=0

bnεn en H2 (recordar que los εn son la BON),

entonces ϕ(z) =∞∑n=0

bnzn para z ∈ D (ya hicimos la cuenta para H∞, aca es lo

mismo porque los polinomios analıticos convergen en || · ||2 a H2). Mas aun como

ϕ(z)ψ(z) = 1 tenemos que

(∞∑n=0

bnzn)(

∞∑n=0

anzn) = 1

para z ∈ D. Luego∞∑n=0

(n∑k=0

bkan−kzn) = 1 para z ∈ D y por unicidad de las series

de potencias, tenemos que

n∑k=0

bkan−k =

{1 si n = 0.

0 si n > 0.

Luego

lımN→∞

||ϕ−N∑n=0

bnεn||2 = lımM→∞

||f −M∑m=0

amεm||2 = 0

y por lo tanto

lımN→∞

||ϕf − (N∑n=0

bnεn)(N∑m=0

amεm)||1 = 0.

16

Espacios de Hardy

En consecuencia

lımN→∞

||(ϕf − 1) +2N∑

n=N+1

cnεn||1 = 0 con cn =N∑

k=n−M

akbn−k.

Entonces

1

2π

∫ 2π

0

ϕfεkdθ =

{1 si k = 0,

0 si x 6= 0,

y por lo tanto ϕf = 1 por el Corolario 3.9. Nos queda probar que f ∈ L∞(T)

pero esto sale pues {f(reiθ)}r∈(0,1) son acotadas uniformemente por 1ε

y dado que

lımr→1−

f(reiθ) = f(eiθ) en casi todo punto eiθ ∈ T.

�

Notar que este ultimo parrafo prueba de paso que si f ∈ H2 y f es acotada en

D, entonces f ∈ H∞.

Ahora buscamos dar otra caracterizacion sobre la invertibilidad de las funciones

H∞ y a eso nos encaminamos.

Definicion 3.24. Una funcion f ∈ H2 es ”outer”(ahora son externas o exteriores)

si fP+ = H2. Una definicion alternativa es que una funcion f ∈ H2 es outer si es

un vector cıclico para el operador Mε1 .

Proposicion 3.25. Una funcion ϕ ∈ H∞ es invertible (en H∞) si y solo si ϕ es

invertible en L∞ y es outer.

Demostracion. Si 1ϕ∈ H∞ entonces ϕ es invertible en L∞. Mas aun como

ϕP+ = ϕH2 ⊃ ϕ( 1ϕH2) = H2 resulta que ϕ es outer tambien.

Recıprocamente si 1ϕ∈ L∞(T) y es outer, entonces ϕH2 = ϕP+ = H2. Luego

existe una funcion ψ ∈ H2 tal que ϕψ = 1 y 1ϕ

= ψ en H2. Por lo tanto

1ϕ∈ L∞ ∩H2 ⊂ H∞.

�

En particular esto junto con la prueba anterior, muestra que una funcion outer

no puede anularse en D. Sin embargo la propiedad de ser outer es mucho mas sutil

que esto.

Veamos un resultado fundamental que muestra la utilidad de las funciones inner

y outer.

Proposicion 3.26. Sea f ∈ H2 no nula, entonces existen funciones inner y outer ,

ϕ y g respectivamente, tales que f = ϕg. Mas aun, f esta en H∞ si y solo si g ∈ H∞.

17

Espacios de Hardy

Demostracion. Sea M = fP+ entonces M es un subespacio cerrado no trivial in-

variante por Mε1 y por el Corolario de Beurling 3.15 es de la forma ϕH2 para

alguna funcion inner ϕ. Dado que f ∈ M , existe una g ∈ H2 tal que f = ϕg.

Sea N = gP+, entonces existe otra funcion inner ψ tal que N = ψH2. Luego la

inclusion fP+ = ϕgP+ ⊂ ϕψH2 (es clara por como queda definida f) implica que

ϕH2 = fP+ ⊂ ϕψH2 (porque N tambien cumple Beurling) y por lo tanto debe

existir una h ∈ H2 tal que ϕ = ϕψh. Como ϕ y ψ son inner, ψ = h y por lo tanto

el Corolario 3.10 asegura que ψ es constante ( y como ya era inner resulta ser 1).

Luego gP+ = H2 y g es outer. Por ultimo como |f | = |g| resulta que f ∈ H∞ si y

solo si g ∈ H∞.

�

Proposicion 3.27. Sean g, h ∈ H2 tales que g es outer. Entonces |h| ≤ |g| si y solo

si existe una funcion ξ ∈ H2 tal que h = gξ y |ξ| ≤ 1.

Demostracion. Si h = gξ y |ξ| ≤ 1 entonces |h| ≤ |g|. Por otro lado si g es outer,

existe una sucesion en P+ {pn}n≥1 tal que

lımn→∞

||1− png||2 = 0.

Si |h| ≤ |g| resulta que

||hpn − hpm||22 =1

2π

∫ 2π

0

|pn − pm|2|h|2dθ ≤1

2π

∫ 2π

0

|pn − pm|2|g|2dθ =

= ||gpn − gpm||22 ≤ ||gpn − 1||22 + ||1− gpm||22.

Luego {pnh}n≥1 es de Cauchy (en H2) y converge a una funcion ξ ∈ H2. Mas

aun

||gξ − h||1 ≤ ||g||2||ξ − pnh||2 + ||gpn − 1||2||h||2 −−−→n→∞

0

y resulta gξ = h como querıamos.

�

Corolario 3.28. Sean g1, g2 outer en H2 tales que |g1| = |g2|, entonces g1 = λg2

para algun λ ∈ T.

Demostracion. Por la proposicion anterior existen funciones h, ξ ∈ H2 tales que

|h|, |ξ| ≤ 1 y g1 = hg2 y g2 = ξg1. Luego g1 = hξg1 y por el Teorema 3.17 el conjunto

donde g1 se anula tiene medida nula, por lo que ξh = 1 y h = ξ. Entonces h y h

estan en H2 y por el Corolario 3.10 h es constante y de modulo 1.

�

18

Espacios de Hardy

Ahora se viene un Teorema sobre subespacios ”simply invariant ” ,que viene a

ser simplemente invariantes, y este senor Douglas no nos dice en ningun lado a que

se refiere con simplemente invariantes, pero por el contexto y las referencias que usa

se refiere a que Mε1M (M y⋂n≥0

εnM = {0} y tenemos el Teorema 3.13 que nos va

a ser de ayuda.

Teorema 3.29. Sea f ∈ L2(T), entonces existe una funcion g outer tal que |f | = |g|(pp) y si solo si M = fP+ es un subespacio simplemente invariante por Mε1 . (i.e.

tal que M = ϕH2 con ϕ ∈ L∞(T)).

Demostracion. Si |f | = |g| para alguna funcion outer g, entonces f = ϕg con

ϕ ∈ L∞(T) y |ϕ| = 1. Luego

M = fP+ = ϕgP+ = ϕ(gP+) = ϕH2,

y por lo tanto M es simplemente invariante. (Recordar que multiplicar por ϕ es

continua).

Recıprocamente si fP+ es simplemente invariante por Mε1 , existe una funcion

ϕ ∈ L∞(T), |ϕ| = 1 tal que fP+ = ϕH2 por el Teorema 3.13. Como f esta en M

existe una funcion g ∈ H2 tal que f = ϕg. Por la Proposicion 3.26 existen h, ξ inner

y outer respectivamente tales que g = hξ. Luego

ϕgP+ = ϕH2 ⊂ ϕhH2

porque ξ es outer y g = hξ. Entonces existe k ∈ H2 tal que ϕ = ϕhk y como |ϕ| = 1

tenemos que h = k (porque multiplico por h y me queda ϕh = ϕk). Ahora bien

recordando el Corolario 3.10 resulta que h es constante y por lo tanto 1. Esto ultimo

concluye la prueba y g resulta outer.

�

Corolario 3.30. Sea f ∈ L2(T) tal que |f | ≥ ε > 0, entonces existe una funcion g

outer tal que |g| = |f |.

Demostracion. Sea M = fP+, entonces Mε1M es la clausura de

{fp : p ∈ P+, p(0) = 0}.

Ahora bien la distancia entre f y estos fp es:

||f − fp||22 =1

2π

∫ 2π

0

|f |2|1− p|2dθ ≥ ε2 1

2π

∫ 2π

0

|1− p|2dθ ≥ ε2,

y resulta que f /∈ Mε1M . Luego M es simplemente invariante por Mε1 (justamente

porque el Mε1 viene ”achicando” a M) y por el Teorema anterior existe g outer tal

19

Espacios de Hardy

que |g| = |f |.�

Corolario 3.31. Si f ∈ H1 entonces existe g ∈ H2 tal que |g|2 = |f | (pp).

Demostracion. Si f = 0 tomamos g = 0 y listo. Sea f ∈ H1 no nula, entonces existe

h ∈ L2 tal que |h|2 = |f |. Gracias al Teorema 3.29 es suficiente probar que hP+

es un subespacio simplemente invariante por Mε1 . Supongamos que no lo cumple.

Entonces ε−Nh esta en hP+ para N > 0 y por lo tanto existe una sucesion {pn}n≥1

tal que

lım→∞||pnh− ε−Nh||2 = 0.

Luego

||ε−Nh− pnh||22 =1

2π

∫ 2π

0

|h2ε−2N − 2h2pnε−N + h2p2n|dθ =

=1

2π

∫ 2π

0

|h2ε−N − h2(2pn − p2nεN)|dθ =

= ||h2ε−N − h2(2pn − p2nεN)||1,

y por lo tanto h2ε−N esta en h2P+||·||1

. Entonces existe una funcion ϕ, |ϕ| = 1 tal

que f = ϕh2, y resulta que ε−Nf = ϕ(ε−Nh2) esta en ϕh2P+

||·||1= fP+

||·||1 ⊂ H1

para N > 0.

Luego f ≡ 0 lo que es absurdo, en efecto si ε−Nf estuviera en H1

12π

∫ 2π

0

fε−N+1dθ = 0 y como f ∈ H1 el Corolario 3.8 asegura f = 0 . Por lo

tanto hP+ es simplemente invariante y esto completa la demostracion.

�

Corolario 3.32. Sea f ∈ H1 entonces existen g1, g2 ∈ H2 tales que

|g1| = |g2| = (|f |) 12 y f = g1g2.

Demostracion. Sea g una funcion outer tal que |g| = (|f |) 12 , entonces existe una

sucesion {pn}n≥1 tal que

lımn→∞

||gpn − 1||2 = 0.

Por lo tanto tenemos que

||fp2n − fp2

m||1 ≤ ||f(pn − pm)pn||1 + ||f(pn − pm)pm||1 =

= ||gpn||2||g(pn − pm)||2 + ||gpm||2||g(pn − pm)||2,

y usando que ||gpn||2 esta acotada y que gpn − 1 tiende a cero en norma dos

resulta que {fp2n}n≥1 es una sucesion de Cauchy en L1(T) y converge a una funcion

20

Espacios de Hardy

ϕ ∈ H1. Tomando eventualmente una subsucesion tal que

lımn→∞

(fp2n)(eiθ) = ϕ(eiθ) (pp)

y

lımn→∞

(gpn)(eiθ) = 1 (pp)

vemos que ϕg2 = f (porque p2ng

2 tiende a 1 con || · ||2). Por otro lado como |g2| = |f |(pp) resulta que |ϕ| = 1 (pp) y las funciones g1 = ϕg y g2 = g estan en H2, cumplen

f = g1g2 y |g1| = |g2| = (|f |) 12 .

�

Corolario 3.33. La clausura de P+ en L1(T) es H1.

Demostracion. Sea f ∈ H1, entonces f = g1g2 con g1, g2 ∈ H2. Si tomamos {pn}n≥1

y {qn}n≥1 sucesiones en P+ tales que

lımn→∞

||g1 − pn||2 = lımn→∞

||g2 − qn||2 = 0

resulta que {pnqn}n≥1 es una sucesion en P+ y cumple

lımn→∞

||f − pnqn||1 = 0.

En efecto,

||f−pnqn||1 ≤ ||g1g2−g1qn||1 + ||g1qn−pnqn||1 ≤ ||g1||2||g2−qn||2 + ||qn||2||g1−pn||2.

�

Lo copado de este Corolario es que ahora podemos calcular el dual de H1. Antes

de probar este teorema, definamos un subespacio cerrado de Hp.

Definicion 3.34. Definimos Hp0 el subespacio cerrado de Hp para∞ ≥ p ≥ 1 como

sigue:

Hp0 = {f ∈ Hp /

1

2π

∫ 2π

0

fdθ = 0}.

Teorema 3.35. Los espacios (H1)∗ y L∞(T)/H∞0 son isometricamente isomorfos.

Demostracion. Como H1 ⊂ L1(T) tenemos una funcion φ de L∞(T) en (H1)∗ con-

tractiva tal que

φ(ϕ)(f) =1

2π

∫ 2π

0

ϕfdθ para ϕ ∈ L∞(T) y f ∈ H1.

21

Espacios de Hardy

(Es decir agarramos un funcional del dual de L1 y lo restringimos a (H1)∗).

Mas aun por el Teorema de Hahn-Banach, y usando la caracterizacion de L1(T)∗

(que es el L∞), dado un Ψ ∈ (H1)∗ existe una funcion ϕ ∈ L∞(T) tal que

||ϕ||∞ = ||Ψ|| y φ(ϕ) = Ψ. Luego la funcion φ es suryectiva (porque justamente

agarra los ϕ y con eso llena (H1)∗) y por lo tanto induce un isomorfismo isometrico

de L∞(T)/Ker(φ) en (H1)∗. Veamos quien es el Ker, sea g una funcion en Ker(φ)

entonces

1

2π

∫ 2π

0

gεndθ = φ(g)(εn) = 0 para todo n ≥ 0,

y como g esta en L∞(T) y εn ∈ H1 resulta que g ∈ H∞0 . Por otro lado si g ∈ H∞0entonces φ(g)(p) = 0 para cada p ∈ P+ ( porque integrar contra las εn me da 0 para

todo n ≥ 0). Luego por el Corolario 3.33 g da cero contra toda f ∈ H1 y por lo

tanto g ∈ Ker(φ).

�

Teorema 3.36. SiA = P+||·||∞

Hay un isomorfismo isometrico natural entre (C(T)/A)

y H10 .

Demostracion. Sea ϕ ∈ H10 , tomemos el funcional lineal dado por

ψ(f) =1

2π

∫ 2π

0

fϕdθ para f ∈ C(T)

es acotado y se anula en A (justamente porque ϕ vive en H10 ). Luego si consideramos

la funcion

ψ0(f + A) = ψ(f) =1

2π

∫ 2π

0

fϕdθ

esta bien definida en C(T)/A y define un elemento de (C(T)/A)∗. Mas aun si conside-

ramos la funcion φ(ϕ) = ψ0 resulta ser un morfismo contractivo de H10 en (C(T)/A)∗.

Notar que ||φ(ϕ)|| = ||ψ0|| ≤ ||ϕ||1 y por lo tanto es contractivo.

Ademas si ψ0 es un funcional acotado en C(T)/A la composicion ψ0 ◦ π donde π

es el homomorfismo entre C(T) y C(T)/A, define un elemento ν de C(T)∗ = M(T)

tal que

ψ0(f + A) = ψ(f) =

∫Tfdν para f ∈ C(T)

y ||ν|| = ||ψ0|| (Gracias a H-B). En particular si g ∈ A,∫T gdν = 0 y por el Teorema

3.18 existe una funcion ϕ ∈ H10 tal que

ψ0(f + A) =1

2π

∫ 2π

0

fϕdθ para f ∈ C(T)

y ||ϕ||1 = ||ν|| = ||ψ0||.

Luego Φ es un isomorfismo isometrico de H10 en (C(T)/A)∗.

�

22

Espacios de Hardy

Observacion 3.37. Notar que si consideramos la funcion natural i de C(T)/A en

su doble dual L∞(T)/H∞ (o sea la inmersion canonica) resulta ser de la forma

i(f +A) = f +H∞. Mas aun como este i es isometrico resulta que i(C(T)/A) es un

subespacio cerrado de L∞/H∞ y la preimagen de este subespacio por el homomor-

fismo de L∞ en L∞/H∞ tambien resulta cerrado. Esto nos dice que el subespacio

H∞ + C(T) es cerrado en L∞(T). Esta ”prueba” la hizo un tal Sarason.

Cabe destacar que H∞ + C(T) resulta ser un algebra y no es la unica algebra

cerrada que cae entre H∞ y L∞. Por eso mismo nos vamos a dedicar a ver que pasa

con estos subespacios.

Teorema 3.38. Sea L el conjunto de funciones en L∞ de la forma

L = {ψϕ con ψ ∈ H∞ y ϕ inner }

es una subalgebra densa de L∞(T).

Demostracion. Que es una subalgebra sale rapido si tomamos las siguientes igual-

dades:

(ψ1ϕ1)(ψ2ϕ2) = (ψ1ψ2)(ϕ1ϕ2)

y

(ψ1ϕ1 + ψ2ϕ2) = (ψ1ϕ2 + ψ2ϕ1)(ϕ1ϕ2).

y nos queda cerrado con la suma, asociativo y conmutativo.

Por otro lado, L es lineal y las funciones simples son densas en L∞, ası que

alcanza probar que las funciones caracterısticas estan en L||·||∞

para ver que L es

denso.

Sea E un subconjunto medible de T y sea f una funcion en H2 tal que

|f(eiθ)| =

{12

si eiθ ∈ E2 si eiθ /∈ E

Esta funcion existe por el Corolario 3.30. Mas aun como f es acotada, esta en

H∞ y tambien esta 1+fn para n > 0. Si 1+fn = ϕngn es una factorizacion obtenida

de la Proposicion 3.26, (ϕn inner, gn outer), entonces |gn| = |1 + fn| ≥ 12

y por lo

tanto 1gn

esta en H∞ por la Proposicion 3.25.

Luego 11+fn

= 1gnϕn esta en L y dado que

lımn→∞

||χE −1

1 + fn||∞ = 0

(porque si eiθ ∈ E, fn = 2n

2n+1y si no esta en E fn = 1

1+2n) y por lo tanto IE esta

en L||·||∞

. Esto ultimo permite concluir que L es denso en L∞.

�

23

Espacios de Hardy

Veamos ahora el Teorema de Gleason-Whitney.

Teorema 3.39. Si Ψ es un funcional lineal multiplicativo en H∞ y f1, f2 son

funcionales lineales positivos en L∞(T) tales que f1|H∞ = f2|H∞ = Ψ, entonces

f1 = f2.

Demostracion. Sea u una funcion a valores reales en L∞(T), entonces existe una

funcion invertible ϕ ∈ H∞ por la Proposicion 3.25 y el Corolario 3.30, tal que

|ϕ| = eu. Mas aun como f1 y f2 son positivos, tenemos que

|Ψ(ϕ)| = |f1(ϕ)| ≤ f1(|ϕ)| = f1(eu)

y

|Ψ(1

ϕ)| = |f2(

1

ϕ) ≤ f2(

1

|ϕ|) = f2(e−u).

Si los multiplicamos, como Ψ es multiplicativo nos queda

1 = |Ψ(ϕ)||Ψ(1

ϕ)| ≤ f1(eu)f2(e−u)

y por lo tanto la funcion Γ(t) = f1(etu)f2(e−tu) queda bien definida para todo t ∈ Ry tiene un mınimo absoluto en t = 0 (porque vale 1). Luego Γ es diferenciable y por

la continuidad y la linealidad de f1 y f2 tenemos

Γ′(t) = f1(uetu)f2(e−tu)− f1(etu)f2(u−tu).

Si tomamos t = 0 resulta que

0 = Γ′(0) = f1(u)f2(1)− f1(1)f2(u)

y por lo tanto f1(u) = f2(u). Para completar la prueba basta tomar parte real y

parte imaginaria porque los funcionales son lineales.

�

Teorema 3.40. Sea U un algebra cerrada tal que H∞ ⊂ U ⊂ L∞(T), entonces el

ideal maximal MU de U es homeomorfo a un subconjunto de M∞.

Demostracion. Si φ es un funcional lineal multiplicativo en U , entonces φ|H∞ es un

funcional lineal multiplicativo en H∞ y por lo tanto tenemos una funcion continua

η : MU → M∞. Mas aun sea φ′ una extension de φ a L∞(T) usando Hahn-

Banach. Por un lado L∞(T) es isometricamente isomorfo a C(ML∞) por el Teorema

2.5. Ademas φ′ es integrar con respecto a una medida Boreliana ν en ML∞ por el

Teorema de representacion de Riesz-Markov 2.9.

Luego ν(ML∞) = φ′(1) = 1 = ||φ′|| = |ν|(ML∞) y el funcional φ′ es positivo y

esta unicamente determinado por φ|H∞ por el Teorema anterior. Luego resulta que

η es uno a uno y por lo tanto un Homeo.

�

24

Espacios de Hardy

Ya que hicimos todo este laburo, veamos algunos ejemplos de algebras que caen

entre H∞ y L∞.

Definicion 3.41. Si Σ es un semigrupo de funciones inner que contiene al 1, entonces

la coleccion {ψϕ / ψ ∈ H∞, ϕ ∈ Σ} es una subalgebra de L∞ y su clausura la

notamos UΣ.

Notar que esto es un algebra y la justificacion ya la dimos en 3.38.

Veamos que H∞ + C(T) es una de estas.

Proposicion 3.42. Si Σ(ε) es el semigrupo de funciones inner {εn : n ≥ 0}, entonces

UΣ(ε) = H∞ + C(T).

Demostracion. Sabemos que H∞ + C(T) es cerrado por 3.37 , luego resulta que

H∞ + C(T) = H∞ + P ||·||∞ . Ahora bien

H∞ + P = {ψε−n / n ≥ 0}

y por lo tanto se completa la prueba.

Una pequena observacion sobre esto, no es difıcil creerse que esa suma da lo

que tiene que dar, pero para que no quede muy mentiroso notemos que si queremos

construir a alguien de H∞+P , tenemos que preocuparnos por la parte de exponente

negativo de los polinomios porque la otra cae en H∞ porque son finitos. Por lo tanto

es como sumarle a H∞ polinomios en z y si ahora me dan una f en H∞+P , agarro

primero una ψ ∈ H∞ que cubra mi parte positiva (o sea ψ = φ +N∑n=0

anεn) y le

sumamos otras Ψε−n que cubran la parte de los conjugados. Luego ψ y Ψ viven en

el conjunto {ψε−n / n ≥ 0}.�

En particular el ideal maximal de UΣ puede ser identificado con un subespacio

cerrado de M∞ por el Teorema 3.40. La siguiente proposicion algebrosa nos permite

identificar dicho subconjunto.

Proposicion 3.43. Sea X un espacio compacto Hausdorff y V el algebra contenida

en C(X) con ideal maximal M , y sea Σ un semigrupo de funciones de modulo 1

en V . Si VΣ es el algebra {ψϕ / ψ ∈ V, ϕ ∈ Σ} y MΣ es el ideal maximal de VΣ,

entonces MΣ puede ser identificado con

{m ∈M / |ϕ(m)| = 1, para ϕ ∈ Σ}

(ϕ es la transformada de Gelfand).

25

Espacios de Hardy

Demostracion. Sea Ψ un funcional lineal multiplicativo en VΣ, entonces Ψ|V es un

funcional lineal multiplicativo en V , luego si tomamos η(Ψ) = Ψ|V resulta ser una

funcion continua de MΣ en M (bueno porque aca no contamos nada pero los ideales

maximales de un AB conmutativa tienen una correspondencia uno a uno con el

conjunto de funcionales multiplicativos). Si Ψ1 y Ψ2 estan en MΣ tales que

η(Ψ1) = η(Ψ2), entonces Ψ1|V = Ψ2|V . Mas aun si ϕ ∈ Σ, tenemos que

Ψ1(ϕ) = Ψ1(1

ϕ) = Ψ1(ϕ)−1 = Ψ2(ϕ)−1 = Ψ2(ϕ)

y como son multiplicativos tenemos que Ψ1 = Ψ2. Luego η es un homeomorfismo

de MΣ en M (porque ya nos quedo continuo y biyectivo, que la inversa es continua

lo tenemos gratis por el TFI) .

Mas aun dado que |Ψ(ϕ)| ≤ ||ϕ|| = 1 y 1|Ψ(ϕ)| = |Ψ(ϕ)| ≤ ||ϕ|| = 1 tenemos que

|Ψ(ϕ)| = 1 para Ψ ∈MΣ y ϕ ∈ Σ. Luego el rango de Ψ queda contenido en

{m ∈M / |ϕ(m)| = 1 ϕ ∈ Σ}

por definicion. Si no se ve del todo, recordemos que ϕ(m) = m(ϕ) y si pedimos la

norma 1 las Ψ|V cumplen esto.

Nos queda solamente la otra inclusion, sea m ∈M tal que |ϕ(m)| = 1 para toda

ϕ ∈ Σ.

Sea Ψ ∈ {ψϕ / ψ ∈ V, ϕ ∈ Σ} tal que Ψ(ψϕ) = ψ(m)ϕ(m), resulta que

Ψ es multiplicativo (porque la Gelfand es multiplicativa) y tenemos la siguiente

desigualdad

|Ψ(ψϕ)| = |ψ(m)||ϕ(m)| = |ψ(m)| ≤ ||ψ|| = ||ψϕ||.

Esta ultima desigualdad prueba que Ψ puede ser extendida a un funcional lineal

multiplicativo en VΣ .

Luego η(Ψ) = 0 y esto completa la demostracion

�

Volvamos ahora al contexto de Uσ de la Definicion 3.41.

Corolario 3.44. Sea Σ un semigrupo de funciones inner, entonces el ideal maximal

MΣ de UΣ (todo esto en L∞) puede ser identificado con

{m ∈M∞ / |ϕ(m)| = 1 para ϕ ∈ Σ}.

Demostracion. Tomemos el algebra H∞, justamente el H∞Σ = UΣ es la clausura

de {ψϕ / ψ ∈ H∞, ϕ ∈ Σ} y por la Proposicion anterior esta identificado con

{m ∈M∞ / |ϕ(m)| = 1, ϕ ∈ Σ}.�

26

Espacios de Hardy

Ahora vamos a usar el Teorema de Gleason-Whitney para determinar la trans-

formada de Gelfand.

Teorema 3.45. Existe un homeomorfismo η de M∞ en la bola unitaria del dual de

L∞(T) tal que ψ(m) = η(m)(ψ) para ψ en cualquier algebra U que caiga entre H∞

y L∞(T) y m ∈MU .

Demostracion. Sea m ∈ M∞ y tomemos η(m) la unica extension positiva de m a

L∞(T) por el Teorema 3.39. Dado que un funcional lineal multiplicativo en U se

extiende a una extension positiva de m en L∞(T), tenemos que ψ(m) = η(m)(ψ)

para ψ ∈ U .

Nos queda ver que η es homeo (la biyectividad la tenemos por definicion de η).

recordemos que por Alaoglu la bola unitaria de L∞(T)∗ es w∗-compacta. Luego si

{mα}α∈A es una red en M∞ tal que converge a m, cualquier subred de {η(mα)}α∈Atiene una subred convergente y su lımite es una extension positiva de m y por lo

tanto igual a η(m). Luego η es continua y resulta ser un homeo.

�

Con esto probado sera util considerar ϕ(m) = η(m)(ϕ) para ϕ ∈ L∞(T). Enton-

ces la restriccion ϕ|D va a coincidir con la extension armonica de una funcion L∞(T)

sobre el disco.

Corolario 3.46. Sea U un algebra que cae entre H∞ y L∞(T), entonces U = H∞

o U contiene a H∞ + C(T).

Antes de pasar a la demostracion, notemos que este resultado muestra la par-

ticularidad de H∞ + C(T) y de cierta forma explica por que le dimos tanta bola

antes.

Demostracion. Ya sabemos que por el Teorema 3.40 podemos identificar al ideal

maximal de U con un subconjunto MU de M∞. Si el cero en D no esta en MU ,

entonces ε1 es invertible en U (porque ε1(m) = η(m)(ε1) es acotada Teorema 3.23)

y por lo tanto C(T) esta contenido en U porque las construyo con la clausura de los

polinomios sobre ε1 y su conjugado.

Veamos que pasa si 0 esta en MU . Como 0 ∈ MU si consideramos primero la

Gelfand en H∞, la podemos extender a MU usando el η de antes (que justamente

es una extension positiva) por lo que :

ϕ(0) = η(0)(ϕ).

27

Espacios de Hardy

Ahora bien la pregunta es como juega aca la η en 0. Si tomamos η(0) la extension

de la evaluacion en 0, podemos considerarla como

η(ϕ) =1

2π

∫ 2π

0

ϕdθ

( es decir extendemos de forma positiva a la evaluacion desde H∞ a MU). Luego

podemos considerar la Gelfand como ϕ(0) = η(0)(ϕ) = 12π

∫ 2π

0

ϕdθ

(lo que pasa es que el η es la extension positiva de 0 en el dual de L∞ y la forma

de hacerlo es con esta integral, lo bueno es que tenemos unicidad por el Teorema

3.39). Luego si ϕ ∈ U pero no esta en H∞ tenemos que 12π

∫ 2π

0

ϕεndθ 6= 0 para

algun n > 0,

y 0 6= (ϕεn)∧(0) = ϕ(0)εn(0) = 0 porque las εn viven en H∞. Luego esto es

absurdo lo que completa la demostracion.

�

Lema 3.47. Sea ϕ ∈ H∞ y z ∈ D tal que ϕ(z) = 0, entonces existe ψ ∈ H∞ tal

que ϕ = (ε1 − z)ψ.

Demostracion. Sea ρ ∈ H∞, luego (ϕρ)∧(z) = ϕ(0)ρ(0) = 0. Si ρϕ =∑n≥0

anεn es el

desarrollo de ρϕ como elemento de H2, resulta que∑n≥0

anzn = (ρϕ)∧(z) = 0

por (3.1) y por lo tanto

〈ρϕ, 1

1− zε1

〉 = 〈∑n≥0

anεn,∑n≥0

znεn〉 =∑n≥0

anzn = 0.

Luego tenemos que

1

2π

∫ 2π

0

εkε1ϕ

1− zε1

dθ = 〈εk,ε1ϕ

1− zε1

〉 =1

2π

∫ 2π

0

ϕεk−1

1− zε1

dθ = 〈εk−1ϕ,1

1− zε1

〉 = 0

para todo k ∈ N. Luego la funcion ε1ϕ1−zε1 esta en H∞. Si elegimos Ψ = ε1ϕ

1−zε1 tenemos

que (ε1 − z)ψ = ϕ.

�

Corolario 3.48. El ideal maximal de H∞+C(T) puede ser identificado con M∞\D.

Demostracion. Por el Corolario anterior tenemos que

MH∞+C(T) = {m ∈M∞ / |ε1(m)| = 1}.

28

Espacios de Hardy

Nos queda probar que este conjunto es M∞ \ D. Sea m ∈ M∞ tal que |ε1(m)| < 1

y fijemos ε1(m) = z. Si ϕ ∈ H∞, entonces ϕ− ϕ(z) · 1 se anula en z y por el Lema

3.47 tenemos que ϕ− ϕ(z) = (ε1 − z)ψ para algun ψ ∈ H∞. Luego si evaluamos en

m ∈M∞, nos queda

ϕ(m)− ϕ(z) = (ε1(m)− z)ψ(z) = 0,

y ϕ(m) = ϕ(z). Entonces m = z como querıamos probar (porque entonces nos dice

que el m vive en el disco).

�

Este ultimo Teorema parece tirar abajo un poco el tema de las funciones inver-

tibles en H∞ + C(T) porque nos saca de juego al disco. Sin embargo nos vamos a

arremangar y arreglar las cosas usando la extension armonica de una funcion sobre

el disco (esas cosas con Poisson). Primero busquemos una expresion concreta para

la Gelfand en D.

Lema 3.49. Sea z = reiθ en D y ϕ ∈ L∞(T), entonces

ϕ(z) =∑n∈Z

anr|n|eınθ =

1

2π

∫ 2π

0

ϕ(eit)κr(θ − t)dt

donde κr(t) =1− r2

1− 2r cos(t) + r2es el nucleo de Poisson y an = 1

2π

∫ 2π

0

ϕε−ndt.

Mas aun ||ϕ||∞ ≤ ||ϕ||∞.

Demostracion. Es bien sabido (en cualquier curso de funciones analıticas se ve) que

el nucleo de Poisson es positivo y continuo, mas aun, dado que

κr(t) = Re(1 + reit

1− reit) =

∑n∈Z

r|n|eint,

resulta que ||κr||1 = 12π

∫ 2π

0

κr(t)dt = 1 (porque la integral revienta a todos los eint

y nos queda solamente el de n = 0).

�

Luego

| 1

2π

∫ 2π

0

ϕ(eit)κr(θ − t)dt| ≤ ||ϕ||||kr||1 = ||ϕ||∞.

Por ultimo ya habıamos visto que la transformada de Gelfand sobre D quedaba

como ϕ(z) =∑

n∈Z anr|n|einθ donde z = reiθ y ϕ ∈ H∞, resulta que define una

extension positiva de una evaluacion en z (ver 3.22) . Mas aun el Teorema 3.39

asegura la unicidad de esta extension. Por lo tanto tenemos lo que querıamos.

29

Espacios de Hardy

Lema 3.50. La funcion de H∞ + C(T) en C(D) dada por ϕ → ϕ|D es asintoti-

camente multiplicativa, es decir para ϕ, ψ ∈ H∞ + C(T) y dado ε ≥ 0, existe K

compacto en D tal que

|ϕ(z)ψ(z)− (ϕψ)∧(z)| < ε para z ∈ D \K.

Demostracion. Como H∞ + C(T) =⋃n≥0

ε−nH∞ vamos a probar que vale para fun-

ciones de la forma ε−nϕ con ϕ ∈ H∞. Sea ϕ =∑n≥0

anεn la expansion de ϕ con los

coeficientes de Fourier y tomemos z = reit, entonces:

|(ε−nϕ)∧(z)− ε−n(z)ϕ(z)| ≤n∑k=0

|r|k−n| − rk+n||ak|+ (1

rn− rn)||

∞∑k=n+1

akεk||∞,

usando el Lema 3.49.

Luego si |1 − r| < δ tenemos que |(ε−nϕ)∧(z) − ε−n(z)ϕ(z)| < ε3. Ahora bien

tomemos ϕ1 y ϕ2 en H∞ y z ∈ D, si hacemos una cosa parecida tenemos:

|(ε−nϕ1)∧(z)(ε−mϕ2)∧(z)− (ε−n−mϕ1ϕ2)∧(z)| ≤≤ |(ε−nϕ1)∧(z)(ε−mϕ2)∧(z)− ε−n(z)ϕ(z)ε−m(z)ϕ2(z)|++ |ε−n(z)ϕ1(z)ε−m(z)ϕ2(z)− ε−n−m(z)(ϕ1ϕ2)∧(z)|+

+ |ε−n−m(z)ϕ1ϕ2(z)− (ε−n−mϕ1ϕ2)∧(z)| < 3ε

3= ε

Luego obtenemos lo que buscabamos.

�

Teorema 3.51. Sea ϕ en H∞ + C(T), entonces ϕ es invertible si y solo si existen

δ, ε > 0 tales que

|ϕ(reit)| ≥ ε para 1− δ < r < 1.

Demostracion. Usemos el Lema anterior, para ε > 0 existe δ > 0 tal que para

1− δ < r < 1, tenemos

|ϕ(reit)1

ϕ(reit)− 1| < ε

y sale directo si tomamos ε suficientemente pequeno (el viejo truco del ε chico).

Recıprocamente si ϕ ∈ H∞ + C(T) tal que |ε(reit)| ≥ ε > 0 para 1 − δ < r < 1,

elegimos ψ ∈ H∞ y un entero N tal que |ϕ− ε−Nψ||∞ < ε3. Luego existe δ1 > 0 tal

que para 1− δ1 < r < 1 tenemos que

|(ε−Nψ)∧(reit)− ε−N(reit)ψ(reit)| < ε

3.

30

Espacios de Hardy

Ahora bien usemos el Lema 3.49, entonces nos queda

|ϕ(reit)− rNe−iNtψ(reit)| < 2ε

3

y por lo tanto |ψ(reit)| ≥ ε3

si tambien asumimos que r > 1 − δ. Sean z1, ..., zN

los ceros de la funcion analıtica ψ(z) en D contando multiplicidades. Como ψ(z)

no es cero cerca del borde, las multiplicidades son finitas (por el ppio. del modulo

maximo si tiene un mınimo cae en la clausura). Usando el Lema 3.47 multiples veces

podemos encontrar una funcion θ en H∞ tal que ψ = pθ donde

p = (ε1 − z1)...(εn − zn).

Dado que ψ = pθ, resulta que θ tampoco se anula en D y es acotada lejos del

cero. Luego θ es invertible en H∞ por el Teorema 3.23. Mas aun como p es invertible

en C(T) resulta que ε−Nψ es invertible en H∞ + C(T) porque como p es invertible

”se come” todas las ε−N .

Por ultimo como lımr→1−

||ϕ − ϕr|| = 0 donde ϕr(eit = ϕ(reit), tenemos que

|ϕ(eit)| ≥ ε (pp) y luego |(ε−Nψ)(eit)| ≥ 2ε3

(pp).

Entonces

||(ε−Nψ)−1|| < 3

2ε

y por lo tanto ϕ es invertible en H∞ + C(T) porque el conjunto de invertibles es

abierto en las AB.

�

Ahora si veamos el ultimo Teorema (no de Fermat) y pasemos a hacer algunos

ejercicios.

Teorema 3.52. Sea ϕ continua en T, entonces la funcion ϕ definida en el disco

cerrado tal que ϕ|D = ϕ y vale ϕ en T, es continua.

Demostracion. Sea p ∈ P . Entonces obviamente lo puedo extender de esta manera

(porque p(z) =N∑

n=−N

anr|n|eint y cuando r → 1 esto tiende a p y como el disco es

compacto la convergencia es uniforme). Si ϕ es una funcion continua en T y {pn}n≥1

es una sucesion de polinomios trigonometricos que la aproxima ( lımn→∞

||ϕ−pn||∞ = 0),

entonces lımn→∞

||ϕ− pn|| = 0 pues por el Lema 3.49 tenemos

|ϕ(z)− pn(z)| ≤ ||ϕ− pn||∞. Luego ϕ es continua en D.

�

31

Espacios de Hardy

3.2. Ejercicios

1. Si f ∈ L1(T) tal que:

1

2π

∫ 2π

0

f(eit)dt = 0 =1

2π

∫ π

−πf(eit)dt

y

F (t) =

∫ t

−πf(eiθ)dθ,

entonces la extension armonica f cumple que

f(reiθ) =1

2π

∫ π

−πκ′r(t)F (θ − t)dt,

donde κr(t) es el nucleo de Poisson.

Demostracion. Notemos que

f(reit) =1

2π

∫ π

−πκr(θ − t)f(eit)dt =

1

2π

∫ π

−πκr(θ − t)dF (t)

usando que F ′(t) = f(eit). Luego si integramos por partes nos queda

F (π)κr(θ − π)− F (−π)κr(θ + π)−∫ π

−π−κ′r(θ − t)F (t)dt.

Ahora bien notemos dos cosas, primero F (π) es 0 por hipotesis, y segundo la

convolucion es conmutativa y por lo tanto∫ π

−πκ′r(θ − t)F (t)dt =

∫ π

−πκ′r(t)F (θ − t)dt.

�

2. Si f ∈ H1, entonces f = ϕg con ϕ una funcion inner y g ∈ H1 outer.

Demostracion. Sea f ∈ H1, por el Corolario 3.32 existen g1, g2 ∈ H2 tales que

f = g1g2. Como g1, g2 ∈ H2 por el Corolario 3.26 existen sendas funciones

ϕ1, ϕ2 inner y h1, h2 ∈ H2 outer tales que g1 = ϕ1h1 y g2 = ϕ2h2. Luego

f = ϕ1ϕ2h1h2 con ϕ1ϕ2 inner y h1h2 ∈ H1.

Nos falta probar que h1h2 es outer en H1, como h1, h2 ∈ H2 son outer, resulta

que para cualquier h ∈ H2 existen sucesiones pn y qnde polinomios analıticos

tales que

||h1pn − h||2 −−−→n→∞

0 y ||h2qn − h||2 −−−→n→∞

0

32

Espacios de Hardy

Claramente h1h2 ∈ H1, para ver que es outer tomemos una funcion τ ∈ H1,

por el Corolario 3.32 τ = τ1τ2 con τ1τ2 ∈ H2. Ahora usemos que h1, h2 son

outer en H2, entonces existen pn y qn sucesiones de P+ tales que:

||h1pn − τ1||2 −−−→n→∞

0

y

||h2qn − τ2||2 −−−→n→∞

0.

Ahora notemos que

||τ1τ2 − h1pnh2qn||1 ≤ ||τ1τ2 − τ1h2qn + τ1h2qn − h1pnh2qn||1 ≤≤ ||τ1||2||τ2 − h2qn||2 + ||h2qn||2||τ1 − h1pn||2 −−−→

n→∞0

dado que τ1 ∈ H2 y h2qn es acotado en H2.

Luego h1h2 es outer en H1.

�

3. Sean ϕ y ψ funciones de modulo uno en L∞(T), luego ϕH2 = ψH2 si y solo si

ϕ = λψ λ ∈ C, |λ| = 1.

Demostracion. Por un lado la vuelta es obvia porque si ϕ = λψ entonces

ϕH2 = ψλH2 = ψH2. Veamos la otra implicacion, sea ϕ · 1 ∈ ψH2 y ψ · 1 ∈ϕH2, entonces ϕ = ψh1 y ψ = ϕh2. Luego ψ = ψh1h2 y por lo tanto tenemos

que h1 = h2, pero ahora h1, h2 ∈ H2 y como h21 = h2

2 ∈ H1 y h22 = h1

2 ∈ H1

tenemos que h21 es constante por el Corolario 3.10. Por lo tanto h1 es constante

y como |ϕ| = |h1||ψ| tenemos que |h1| = 1.

�

33

REFERENCIAS

Referencias

[1] Ronald G. Douglas , Banach Algebra Techniques in Operator Theory, 1972.

[2] Gerard J. Murphy , C∗-Algebras and Operator Theory, 1990.

[3] Walter Rudin , Real and complex analysis, 1987.

34