Analisis de sistemas decontrol en el espacio de

estados

Cuevas, Hernández, Valderrama

Indice• Representación de Funciones de transferencia en el Espacio de

Estados– Representaciones canónicas en el espacio de estados

• Forma Canónica controlable• Forma Canónica Observable• Forma Canónica Diagonal• Forma Canónica de Jordan

– Eigenvalores de una matriz A de nxn– Diagonalización de una matriz de nxn– Invarianza de EigenValores– No-unicidad de un conjunto de variables de estado

• Solución de una ecuación de estado invarante en el tiempo– Solución de ecuaciones de estado homogéneas– Matriz Exponencial– Acercamiento por la transformada de Laplace para la solución de una

ecuación de estado homogénea– Matriz de transición de estado– Propiedades de la matriz de transición de estado– Solución de ecuaciones de estado no homog éneas– Acercamiento por la transformada de Laplace para la solución de una

ecuación de estado no homogénea

Un sistema cualquiera sepuede representar asi:

Forma canónica controlable

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Forma canónica de Jordan

Ejemplo de representaciones

Forma canónica controlable

Sea:

Representese en espacio de estados en la forma canónicacontrolable, observable y de Jordan

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Eigenvalores de una matriz Ade nxn

Los eigenvalores son las raices de la siguienteecuación característica

Por ejemplo, considerese:

Los eigenvalores son entonces -1, -2 y -3

Diagonalización de una matriznxn

Sea una matriz con eigenvalores distintos:

La transformación x=Pz, donde P es

Donde λn son distintos eigenvalores de A

Transformará P-1AP en la matriz diagonal:

EjemploConsiderese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema

Donde:

o de forma estándar:

Los eigenvalores de A son:

Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado zmediante la transformacion:

donde:

entonces al sustituir en la ecuacion de espacios de estados original se tiene:

y al multiplicar por P-1

simplificando da

La ecuación de salida se modifica asi:

Invarianza de Eigenvalores

Para comprobar que los eigenvalores son identicos aun despues de unatransformacion lineal se demostrará que se mantiene la relacion:

=

Puesto que la determinante de un producto es el producto de lasdeterminantes, se tiene:

La no unicidad de un conjuntode variables de estado

Se comprobará que un conjunto de variables de estado no es unico para un sistemadado. Sean x1, x2, …, x3 un conjunto de variables de estado. Entonces se pueden tomarcomo otro conjunto de variables de estado cualquier conjunto de funciones:

Siempre que para cada conjunto de valores corresponda un conjuntoúnico de valores x1, x2, …, xn, y viceversa. Por lo cual, si x es un vector de estado,entonces , donde

Es también un vector de estado, mientras que P sea no singular. Se puede obtener lamisma información sobre el comportamiento de un sistema de diferentes vectores deestado.

Solución de ecuación deestado homogenea

Matriz ExponencialEs convergente para cualquier tfinita, la cual la hace apropiadapara ser calculada por metodoscomputacionales

Y tiene las propiedades

Acercamiento a la solución de una ecuación deestado homogénea por medio de la

transformada de Laplace

Matriz de transición de estado

Donde es una solución de

y se verifica de la siguiente manera

La matriz detransición contienetoda la informaciónacerca delmovimiento libre delsistema quedescribe

Si los eigenvalores de la matriz de coeficientes A, entonces la matriz detransición contendrá los n exponenciales

Si la matriz A es diagonal, se tiene que

Si hay multiplicidad en los eigenvalores, si por ejemplo los eigenvalores de A son:

Entonces la matriz de transición contendrá ademas de los exponenciales

terminos como y

Propiedades de la matriz detransición de estado

Para el sistema invariante en el tiempo

para el cual

se tienen las siguientes propiedades

EjemploSea un sistema descrito por la ecuación de estado descrita por la matriz

Obtengase la matriz de transición de estado y su inversa

Puesto que

La matriz de transición esta dada por:

Para este sistema:

la inversa de sI-A esta dada por

Por lo cual

Puesto que

Solución de una ecuación deestado no homogénea

Considerando elcaso escalar

Considerando el caso para la ecuación de estado no homogenea descrita por:

Empleo de la transformada de Laplacepara la solución de una ecuación de

estado no homogénea

EjemploObtener la respuesta en el tiempo del siguiente sistema

Donde u es el escalón unitario que ocurre en t=0

Para este sistema se tiene que:

Se había obtenido previamente la matriz de transición para este sistema:

Asumiendo la condición inicial x(0) = 0, se tiene: