ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UNA PLACA CUADRADA ... · Para ello se propuso una malla de 6 x 6...
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ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UNA PLACA CUADRADA SIMPLEMENTE APOYADA EN SU
CONTORNO
Material preparado por: Diego R. Hunicken y Carlos A. Prato
Mayo 2012
En este práctico se analiza una placa cuadrada simplemente apoyada en todo su contorno
sometida a una carga uniforme normal a su plano medio. El objetivo es ilustrar la distribución
de momentos flectores M11 y M22, momentos torsores M12 y M21 , esfuerzo de corte
transversal N13 y N23, y las reacciones a los largo de su perímetro.
La solución del problema se encara en primer lugar a través de la solución de la ecuación
diferencial de la placa mediante series de Fourier, cuyos principales resultados están
sintetizados en las tablas dadas en Timoshenko y Woinowsky-Krieger, McGraw-Hill Editores
1959. El desarrollo teórico del procedimiento puede ser consultado en ese texto, o en las notas
de clase disponibles en la página web de la cátedra. Los resultados constituyen la solución
exacta de la ecuación diferencial de cuarto orden de la placa plana isótropa y elástica.
Por otro lado, se encaran dos formas aproximadas alternativas de solución. Una es la técnica
de elementos finitos con el programa SAP 2000 utilizando un modelo de elementos finitos.
Para ello se propuso una malla de 6 x 6 elementos rectangulares para cubrir el dominio de la
placa. La otra propuesta, que responde a una forma aproximada de tratar el problema consiste
en un modelo numérico basado en reemplazar la placa por medio de un modelo de barras
prismáticas (elementos de viga) que conforman un emparrillado plano. La discretización de
ambos modelos utiliza elementos de las mismas dimensiones.
La idea es ilustrar las principales características del comportamiento de la placa bajo la carga
uniforme en toda su superficie, desde los desplazamientos transversales, los momentos
flectores y torsor, los esfuerzos de corte transversal N13 y N23, y las reacciones en los puntos de
apoyo.
Geometría de la placa y del modelo numérico
Figura 1: Esquema de la placa
Las dimensiones y datos del problema son:
• Longitud de los lados de la placa: 4 m
• Espesor: 0.15 m
• Módulo elástico: 300000 kg/cm2
• Módulo de Poisson: ν = 0.2
• Carga distribuida: q = 500 kg/m2
Condiciones de borde: los nudos del perímetro de la placa tienen restingido el
desplazamiento según el eje x3, y la rotación alrededor de un eje perpendicular al borde. En las
esquinas no hay desplazamientos ni giros.
Solución con elementos finitos (Programa SAP 2000)
La Figura 2 ilustra la ley de variación del desplazamiento transversal u3 de la placa, que
presenta un máximo al centro.
Figura 2: Desplazamiento normal de la placa al centro: u3max = 0.59 mm para ν = 0.2, y u3max =
0.61 mm para ν = 0
La Figura 3 ilustra las curvas de nivel de la variable M11 que resultan del análisis con elementos
finitos. Un primer comentario es que la forma de las curvas de nivel de M11 presenta ciertos
vértices en los distintos contornos que reflejan la naturaleza aproximada de la solución. Esos
contornos deberían ser curvas suaves que delimitan los sectores de la placa que tienen
distintos valores de la variable. De todos modos, el valor de M11 al centro, M11 max = 0.36 t.m/m
puede considerarse como una aceptable estimación de su valor exacto, tal como surge de la
comparación con la solución exacta que se presenta más adelante
.
Resultados similares se presentan en la Figura 4 para M22 , los que dada la doble simetría de la
configuración de la placa respecto a los dos ejes ortogonales que pasan por su centro son
similares pero rotados 90º en planta.
En las Figuras 3 y 4 se puede apreciar que el momento flector máximo se produce al centro de
la placa, y que disminuye hacia los bordes. La distribución de ambos momentos flectores
presentan simetría respecto a los dos ejes paralelos a los bordes que pasan por el centro.
Como se ilustra en la Figura 5, el momento torsor M12 presenta una distribución de tipo
antisimétrica respecto a esos ejes cartesianos paralelos a los bordes de la placa, y como era de
esperar tiene valor nulo en el punto central, y a todo lo largo de los dos ejes de simetría. El
momento torsor resulta máximo en las esquinas.
En la Figura 6 se ilustra la variación del esfuerzo de corte N13 en toda la placa. Se puede
apreciar que esta variable presenta resultados simétricos con respecto a ambos ejes de
simetría, y que el valor máximo se encuentra al centro de los bordes de la placa paralelos al eje
x2. La distribución del corte transversal N23 es similar pero girada 90º en planta respecto a la de
N13.
Figura 3: Momentos flectores M11 (M11 max = 0.36 t.m/m)
Figura 4: Momentos flectores M22 (M22 max = 0.36 t.m/m)
Figura 5: Momentos torsores M12 (M12 max = 0.27 t.m/m)
Figura 6: Esfuerzo de Corte N13 (N13 max = 0.44 t/m)
La Figura 7 presenta la variación de las fuerzas de reacción en los nudos del borde de la placa.
Se trata de las fuerzas concentradas necesarias en esos puntos para equilibrar los esfuerzos del
interior de la placa. Se puede apreciar que la reacción es máxima en los nudos ubicados al
centro de los bordes, como también lo es el esfuerzo de corte N13 (N13 max = 0.44 t/m) no es
igual a la reacción por unidad de longitud de borde en el mismo punto, o corte efectivo ( N13 efec
= 0.59 / 0.667 = 0.85 t). Este resultado pone en evidencia lo ya demostrado en forma general
en relación a que la reacción externa por unidad de longitud a lo largo de los lados paralelos al
eje x2, está dado por lo que se ha denominado corte efectivo, N13 efec:
N13 efec = N13 + ∂ M12 /∂ x2 (1)
La diferencia entre la reacción por unidad de longitud de borde, que por definición es igual al
corte efectivo: R = N13 efec, y el corte N13 , proviene del segundo término de la ecuación (1).
El N13 efec max dado por la solución de elementos finitos puede ser estimado como la suma de
N13max = 0.44 más la derivada de M12 despecto a x2 en el mismo punto. Si bien esta derivada no
está dada como un resultado del modelo de elementos finitos, puede ser estimada a partir del
valor máximo del momento torsor (en la esquina) M12 max = 0.27 t.m/m, y la distancia entre la
esquina y el punto central del lado, es decir 2 m. Si la variación de M12 a lo largo del borde
fuese lineal, la derivada sería igual al cociente 0.27 / 2 = 0.135. Sin embargo, una expresión
más razonable para esa variación es una semionda senoidal, con lo que la derivada en el punto
central sería igual a 0.135 x π / 2 = 0.21 t /m, es decir que el valor máximo de N13 efec resulta
con esta aproximación ad-hoc N13 efec max = 0.44 + 0.21 = 0.65 t/m.
Por otro lado, el esfuerzo de corte efectivo N13 efec representa en la teoría el valor de la
reacción por unidad de longitud del borde, mientras que los valores de la reacción R
consignados en la Figura 7 corresponden a las fuerzas concentradas en los nudos del borde. A
partir de esta definición, el valor máximo del corte efectivo N13 efec max se puede obtener sin
aproximación ad-hoc dividiendo la máxima reacción concentrada en el punto central de lado
(0.57 t) por la separación entre los nudos (0.667), que da para la reacción máxima por unidad
de longitud el valor de 0.85 t/m. La diferencia entre el valor estimado más arriba a partir de la
derivada de M12 respecto a x2 (0.65 t/m) y esta otra forma de determinarlo por via de la
reacción (0.85 t/m) se debe a que la solución de elementos finitos es una solución aproximada.
En esta figura también se puede apreciar que la reacción cambia burscamente de signo en las
esquinas de la placa, y que esa reacción implica que para mantener las esquinas con
desplazamiento u3 nulo, es necesario retenerlas con una fuerza de anclaje hacia abajo.
Como se ha demostrado al presentar en la parte teórica del curso, el sentido físico del corte
efectivo, o corte de Kirchhoff, cuando en el borde de una placa se presenta un cambio brusco
de dirección de su perímetro tal como ocurre en las esquinas de una placa cuadra o
rectangular, la fuerza de anclaje necesaria es igual a dos veces el momento torsor en dicho
punto, es decir que Rmax = 2 M12 max . En la Figura 7 el valor de la fuerza de anclaje en las
esquinas es Rmax = 0.41 t, mientras que el valor del momento torsor máximo en ese punto es
M12 max = 0,27 t.m/m, es decir que la reacción vertical concentrada en las esquinas debería ser
R max = 2 x 0.27 = 0.54 t, mientras que el valor consignado como R max = 0.41 t. Esta diferencia, o
inconsistencia entre el valor teórico de la reacción concentrada de esquina (0.54 t) y el valor
dado como reacción externa en la esquina (0.41 t) se debe a que el método de elementos
finitos provee una solución aproximada del problema.
Figura 7: Reacción de apoyo en los nudos del borde (Resquina = -0.41 t)
Solución aproximada a través de un emparrillado “equivalente”
La Figura 8 presenta un esquema del emparrillado plano “equivalente” con que se ha
aproximado la placa. Los nudos se encuentran en la intersección de elementos de viga
dispuestos en ambas direcciones cartesianas.
Las propiedades mecánicas de las barras que conforman el emparrillado han sido definidas con
el criterio que la energía de deformación de las mismas aproximen lo mejor posible la energía
de deformación de un elemento de placa de iguales dimensiones bajo esfuerzos constantes en
el interior del elemento. Cada elemento de barra tiene una longitud igual al lado ∆ = 0.67 m
del elemento de placa que representa. El momento de inercia en flexión de las barras
interiores del emparrillado (en ambas direcciones cartesianas) está dado por:
I = ∆ h3 / 12 (1 - ν2
), y la mitad de este valor para las barras a lo largo
del perímetro de la placa. La constante de torsión “J” de la sección transversal de una barra
interior puede demostrarse que está dada por J = ∆ h3 / 6. Nótese que para una sección
rectangular delgada de espesor h, J está dada por J= ∆ h3 / 3, pero en el presente caso como el
objetivo es representar la rigidez en torsión de una placa a través de dos vigas perpendiculares
iguales, la constante de rigidez que se debe tomar para aproximar la energía de deformación
de un elemento cuadrado de placa de lados ∆ es J = ∆ h3 / 6. Naturalmente, la constante de
torsión de las barras perimetrales es J = ∆ h3 / 12 debido a que el ancho de dichas barras es la
mitad del de las barras interiores.
Figura 8 Esquema del emparrillado
La Figura 9 representa la variación del desplazamiento transversal a la placa u3 para el caso de
ν = 0.2 en la que se indica que el valor máximo de u3 es igual a 0.68 mm. Se puede apreciar que
este valor es aproximadamente un 17 % mayor al valor obtenido con elementos finitos (0.59
mm). Esta mayor flexibilidad respecto a la placa analizada con elementos finitos se puede
explicar por el hecho que la representación de la placa mediante barras se basa en garantizar
la continuidad de los giros de las barras exclusivamente en los nudos, mientras que los
elementos finitos denominados “compatibles” garantizan continuidad de giros no sólo en los
nudos sino también a lo largo de los bordes interiores de los elementos, por lo que la
aproximación con barras tiene una inherente mayor flexibilidad que se manifiesta con
desplazamientos mayores que los dados por elementos finitos.
Figura 9 Desplazamiento transversal de la placa al centro para ν = 0.2
umax = 0.68 mm
La Figura 10 representa la variación de los momentos flectores en las barras del modelo. Se
puede apreciar que el momento máximo corresponde al nudo central de la placa (0.25 t.m). El
momento máximo por unidad de ancho de placa resulta entonces igual a dicho valor dividido
por el ancho de cada barra ∆ = 0.67m, es decir 0.25 / 0.67 = 0.37 t.m/m, que es muy cercano al
dado por elementos finitos (0.36 t.mm).
La Figura 11 representa la variación del momento torsor, que presenta un valor máximo tal
que dividido por el ancho ∆ = 0.67 m resulta igual a 0.23 t.m/m. El máximo valor del momento
torsor dado por el modelo de elementos finitos fue de 0.27 t.m/m, es decir que los resultados
presentan una mayor diferencia que los momentos flectores. Como se puede apreciar que la
rigidez torsional del modelo de barras es inferior a la que tiene implícita el modelo de
elementos finitos y en consecuencia da valores inferiores de los momentos flectores. Esta
característica está en consonancia con la menor rigidez general del modelo de barras que
tambien se manifiesta en mayores desplazamientos transversales u3. , y esta característica está
vinculada con la observación anterior que el modelo de barras garantiza la continuidad de
giros sólo en los nudos y no en todo el contorno de los elementos finitos.
Figura 10 Momentos flectores (M max = 0.37 t.m/m)
La Figura 12 representa la variación del esfuerzo de corte en las barras del emparrillado, y la
Figura 13 las reacciones exteriores en los nudos del perímetro. Se puede apreciar que la
reacción de anclaje necesaria en los nudos de esquina dada por este modelo coincide con la
obtenida con el modelo de elementos finitos. Pero debe tenerse en cuenta que ambos
modelos son aproximados y esta coincidencia de valores es resultado un tanto fortuito ya que
las restantes variables del problema presentan diferencias algo más significativas.
De todos modos, se puede concluir del presente análisis con dos técnicas aproximadas de
representación de la placa que ambos procedimientos dan valores de similar distribución
espacial, con valores máximos que son aceptablemente concordantes para los efectos del
diseño de la placa.
Figura 11 Momentos torsores en las barras (M12 max = 0.23 t.m/m)
Figura 12 Esfuerzos de corte de las barras (N13 max = 0.61 t/m)
Figura 13 Reacciones de apoyo en los nudos de la placa (Resquina = -0.40 t)
Comparación de los resultados con la solución analítica “exacta”
La Tabla 1 contiene un resumen de los principales resultados obtenidos con los modelos
aproximados y su comparación con la solución exacta dada por Timoshenko y Woinowsky-
Krieger para la placa. Los resultados de la Tabla corresponden a un módulo de Poisson ν = 0,
por lo que la comparación no es estrictamente válida, pero sirve para orientar al lector en la
validez de los resultados obtenidos con ambos modelos aproximados a los efectos de diseño
de placas de hormigón armado en las que el módulo de Poisson es aproximadamente ν = 0.2
en lugar de 0.
Tabla 1 Comparación de resultados para una placa cuadrada de lados 4 m x 4m bajo carga
uniforme q = 500 kg/m2, espesor h = 0.15 m, E = 300000 kg/cm
2, y ν = 0.2
Variable Elementos finitos Emparrillado Solución en series
Timochenko(1)
M11 max (t.m/m) 0.36 0.37 0.38
M21 max (t.m/m) 0.27 0.23 --
N13 max (t/m) 0.44 0.61 0.68
N13 efec max (t/m) 0.85 0.87 0.82
Reacción en esquinas
(t)
0.41 0.40 0.52
Desplazamiento al
centro u3 (mm)
0.59 0.68 0.59
(1) El resultado corresponde a un módulo de Poisson ν = 0.3
Comentarios finales:
• Se puede apreciar que ambas soluciones aproximadas dan valores razonablemente
próximos a la solución exacta en todas las variables referidas a la distribución de
esfuerzos. Sin embargo, el desplazamiento vertical dado por el emparrillado
equivalente tal como fue presentado, da un desplazamiento 17% superior al real.
Esta situación ya se comentado que se origina en las hipótesis que el emparrillado
equivalente sólo exige continuidad de giro en los nudos y no a lo largo de los
bordes de los elementos como lo hace una formulación compatible de elementos
finitos.
• Una manera de mejorar la aproximación de los resultados del método del
emparrillado consiste en ajustar la rigidez en torsión de las vigas que integran el
emparrillado. La constante de torsión J de las barras utilizada para obtener los
resultados aquí presentados fue: J = ∆ h3 / 6. Si en lugar de ese valor se toma un
valor algo superior, por ejemplo J = ∆ h3 / 4, la distribución de esfuerzos
prácticamente no se modifica, pero el desplazamiento máximo que resulta de 0.60
mm presenta un error respecto al valor teórico exacto de sólo el 1.7%.
Solución con series de Fourier
La solución analítica citada en la comparación de esfuerzos y desplazamientos antes
presentada está basada en la solución con series trigonométricas o de Fourier desarrollado en
las notas de la teoría de placas del curso.
Una primera aproximación a la solución consiste en tomar el primer término de la serie doble
en el cual los coeficientes “m” y “n” de la serie de Fourier son iguales a la unidad. Para una
carga distribuida uniforme “q” aplicada en toda la placa el coeficiente “p11” de la serie de
Fourier resulta:
p11 = q 16 /π2 = 0.5 x 16 / π
2 = 0.81 t/m
2 y la constante a11:
a11 = p11 a4 /( D 4 π
4) = [0.81 x 4
4/ (D 4 π
4] = 0.532 / D
y el momento flector máximo al centro de la placa resulta:
Mmax = D π2 a11 (1+ν) / a
2 = q a
2 4(1+ν) / π
4 = q a
2 [4 x 1.2/ π
4] = 0.0493 q a
2
= 0.0493 x 0.5 x 16 = 0.394 t.m/m
Este valor del momento máximo se obtiene con sólo considerar el primer término de la serie
doble de Fourier, y es bastante próximo (un error relativo del 2.6%) al obtenido con la solución
en series completa, y también con los otros procedimientos de análisis aproximado
desarrollados (0.36 t.m/m, y 0.37 t.m/m). Se puede apreciar que el parámetro p11 representa
la amplitud de una carga de variación senoidal en ambas direcciones, y su valor para el primer
término de la serie doble de Fourier es aproximadamente 1.6 q. Esto significa que si uno tiene
una carga uniforme en toda la placa, la amplitud de la carga asociada a ese armónico es
aproximadamente 1.6 veces la carga uniforme. Como el momento flector resultante es
0.394/0.38 = 1.04 veces el valor exacto, se puede concluir que con una carga senoidal de
amplitud 16 / ( π2 x 1.04) = 1.56 q se obtiene el máximo momento de la placa considerando
sólo el primer armónico. Naturalmente esa aproximación se refiere a esa variable, y en ese
punto (punto central), pero es un indicador representativo de la validez de los resultados a los
efectos del diseño de la placa.
El máximo momento torsor está dado por la expresión:
Mtorsor max = q a2 x 4 /π
4 = 0.041 q a
2 = 0.328 t.m/m
La reacción de anclaje en la esquina de la placa resulta R = 2 Mtorsor max = 0.656 t
Se puede apreciar que la reacción en la esquina presenta un error del 26% respecto a la
solución indicada en la Tabla (0.52 t) que incluye un elevado número de términos de la serie de
Fourier y que puede ser considerada como exacta.