ESFERICa

TRIGONOMETRA ESFRICA

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1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekn (116 30 E, 40 N).

2.- En la geometra eucldea, los ngulos interiores de un tringulo suman 180, pero, en la geometra hiperblica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un tringulo es siempre menor de 180 y en la geometra de Riemann dicha suma es siempre superior a 180, como en el caso de un tringulo situado sobre una esfera. Obtener el rea del tringulo esfrico determinado por: La Corua (4 43 O, 43 22 N), Barcelona (5 50 E, 41 24 N) y Las Palmas (11 44 O, 28 9 N).

3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un tringulo esfrico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a = 60 0031, b = 137 2040, c = 116 0032 b. Tres lados: a = 90, b = 48 50, c = 6738, c. Tres ngulos: A = 70 0025, B = 131 1015, C = 94 5053 d. Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos

a = 64 2403, b = 42 3010, C = 58 4052 e. Dos ngulos y el lado comprendido entre ellos

c = 116 1205, A = 70 5115, B = 131 2026 f. Dos lados y un ngulo no comprendido entre ellos

a = 58 4622, b = 137 0250, B = 131 5233 g. Dos ngulos y un lado no comprendido entre ellos

a = 70, B = 119, A = 76

4.- Hallar los lados a y b de un tringulo esfrico del que se conoce: A = 90, B = 47 5454, a - b = 13 4050

5.- Resolver, si es posible, los siguientes tringulos esfricos rectngulos, siendo A=90:

a) a=60 07 13, C=59 00 12. b) b=167 03 38, B=157 57 33. c) a=112 42 36, b=76 44 15.

6.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100, hallar la altura esfrica sobre el lado a y decir si es interior o exterior al tringulo.

7.- Calcular los arcos de circunferencia mxima correspondientes a:

AdministradorNotaTodas las palabras en color azul estnrecogidas y definidas en el Vademcum requiere su instalacin.


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A=8430'B

C

c=10422'

b=5410'

a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ngulo C.

8.- Demostrar que en un tringulo esfrico rectngulo se verifica:

1) Un cateto y su ngulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.

2) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa.

9.- Demostrar que en un tringulo esfrico equiltero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a) b) sec A - sec a = 1 c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1.

10.- Un avin vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 m siguiendo un crculo mximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40 24; longitud: Oeste 3 41 Tokio latitud: Norte 35 40; longitud: Este 139 45 y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide: a) Qu distancia recorre el avin entre Madrid y Tokio? b) A qu distancia del Polo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina Crculo Polar rtico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el da. El Crculo Polar rtico se encuentra a una latitud Norte 60 30. Sobrevuela el mencionado avin el Crculo Polar rtico?

11.- Un avin se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geogrficas del punto donde se encontrar el avin al cabo de 3 horas de vuelo. Coordenadas geogrficas Madrid: 40 24 latitud N, 3 41 longitud O Coordenadas geogrficas de Nueva York: 40 45 latitud N, 74 longitud O Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avin: 6371 km


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12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 4835' Norte con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 3652 Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en direccin Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha. NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.

13.- Un barco que parte del punto A (latitud 3650' N. y longitud 7620' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia mxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida.

14.- Resolver el tringulo esfrico tal que:

A = 68 39 07, B = 74 07 12, a = 51 42 08

15.- Un navo parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia mxima. Las coordenadas geogrficas de ambos puntos son: Calcular la distancia recorrida por el navo y el rumbo del mismo. Nota: Radio de la tierra R6371 km.

16.- Resolver el tringulo esfrico de que se conocen los datos:

a=760000; A=700000; B=1190000

17.- Resolver el siguiente tringulo esfrico rectngulo:

A = 90, b = 46 46 04, B = 57 28 03

18.- Resolver el tringulo esfrico rectngulo ( = 90) sabiendo que:

B = 157 57 33 b = 167 3 38

19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitan 3 puntos, A, B y C, vrtices de un tringulo esfrico. Los ngulos en A y B valen

Longitud 2030'40'' E

BLatitud 4850'02'' N

55Longitud 48'10'' E

ALatitud 5545'13'' N



respectivamente A = 70 y B = 119, y el lado opuesto al ngulo A tiene como valor a = 76.

Se pide calcular la distancia esfrica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a.

20.- Dos tringulos esfricos tienen en comn los elementos siguientes: a=5142, A=6839, B=7407. Calcular el lado b en ambos tringulos y analizar si ambas soluciones son vlidas.

21. Resolver el siguiente tringulo esfrico, sabiendo: a = 79 48, b = 53 12 y A = 110 2

22.- a) Resolver el tringulo esfrico rectiltero e issceles tal que b=c=600000 b) Determinar los ngulos de un tringulo esfrico equiltero cuya rea sea igual a la mitad del rea encerrada por una circunferencia mxima

23.- Dadas las coordenadas geogrficas de las siguientes ciudades:

Santiago de Compostela: 4252 N ; 833 O Madrid : 4024 N ; 341 O Girona: 4159 N ; 249 E

Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular: a) Distancias esfricas entre estas ciudades b) Superficie del tringulo esfrico que tiene por vrtices dichas ciudades.

24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20 31 N, longitud 70 11 E) y llegar al puerto B (latitud 42 22 N, longitud 10 45 W). Calcular: a) La distancia AB (llamada distancia ortodrmica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km. b) El rumbo inicial. c) El rumbo final.

25.- Resolver el tringulo esfrico rectngulo (A = 90), sabiendo que: a = 143 21 58 y b = 167 03 38.



26.- Un avin vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de 10.000 m. De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela 2.000 km hasta llegar a un punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son

Madrid: 3 41' Oeste; 4024' Norte Nueva York: 7400' Oeste; 4045' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avin recorre ciclos de la esfera). Se pide: a). Distancia entre Madrid y Nueva York. b). Distancia recorrida por el avin.

27.- Un avin parte de un lugar cercano a Nueva York (74 longitud Oeste; 4045 latitud Norte) con rumbo 3010 (direccin Norte y Oeste). Dar las coordenadas del punto de su recorrido ms cercano al Polo Norte.

28.- Resolver el tringulo esfrico rectiltero a=90, A=36 25 08, c=102 00 00, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular:

a) La superficie que ocupan l y su tringulo polar. b) Hallar la mediana esfrica del tringulo dado que parte del

vrtice B. c) Hallar la distancia esfrica desde el vrtice A al vrtice C, as

como desde el vrtice B al lado b.

29.- Demostrar que en un tringulo esfrico rectngulo se verifica:

a) Si A=90, entonces tgc cosa = senb cotgB.

b) Si A=90, entonces: 2a c a c btg tg tg

2 2 2.

c) Si C=90, entonces cos2A sen2c = sen (c+a) sen (c-a).

30.- Demostrar que la bisectriz esfrica de un ngulo de un tringulo esfrico, divide al lado opuesto en dos arcos cuyos senos son proporcionales a los senos de los lados contiguos.

31.- En un tringulo esfrico se verifica que a+b=180. Calcular el arco de ciclo que es la mediana correspondiente al lado c.

32.- En el tringulo esfrico rectiltero en el que c=90; obtener la altura esfrica correspondiente al lado c en funcin de los otros dos



lados.

33.- Expresar en funcin de los lados de un tringulo esfrico el producto senA senB senC.

34.- Demostrar que en todo tringulo esfrico se verifica que:

a b 180 A B 180 .

35.- Demostrar que si dos ngulos de un tringulo esfrico son rectos, los lados opuestos a estos ngulos son cuadrantes y el tercer ngulo est medido por el lado opuesto. Si los tres ngulos de un tringulo esfrico son rectos, demustrese que la superficie esfrica del tringulo es un octante de la esfera.

36.- En un tringulo esfrico rectngulo la suma de los catetos vale 100, la hipotenusa mide 80; calcular el valor del cateto ms pequeo.

37.- Si es el exceso esfrico del tringulo esfrico en el que a=b y C=90, calcular tg en funcin de a

38.- Calcular la distancia mnima en km que hubiera tenido que recorrer

las naves de Cristbal Colon en su primer viaje y descubrimiento de

Amrica.

Datos: Considrese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de

Tenerife y llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas

39.- Calcular el valor del coseno del exceso esfrico del tringulo cuyos

lados miden a=b=3

y c=2

.

40.- Calcular el rea del tringulo esfrico y el volumen de la pirmide esfrica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro



equiltero cuyos diedros miden 100 y cuyo vrtice es el centro de dicha esfera.

41.- De un tringulo esfrico trazado en una superficie esfrica cuyo radio es 10 dm se conocen: A = 71 20; B = 119 25; C = 60 45. Se pide: a) Resolver el tringulo. b) Hallar su rea. c) Hallar el volumen de la pirmide esfrica cuyo vrtice es el centro de la esfera y su base el tringulo dado.

42.- Hallar el rea del pentgono esfrico cuyos ngulos miden 87 16, 108 34, 126 23, 150 y 156 48 en una esfera de 16 dm de radio.

43.- En todo tringulo esfrico issceles (b=c), se verifican las relaciones siguientes:

a) a Asen senb sen2 2

b) A acos senB cos2 2

44.- De un tringulo esfrico se conocen: a = 74 05 00, b = 63 17 00, A = 113 42 00 a) Analizar cuntos tringulos esfricos se adaptan a estos datos. b) Resolver el los tringulos, segn proceda.

45.- En un tringulo esfrico se verifica 2p=a+b+c=180. Demostrar que cosA+cosB+cosC=1.

46.- Calcular la distancia en km, entre Madrid y Mlaga, siendo las coordenadas de Madrid longitud 3 41 Oeste y latitud 402430 Norte, y las de Mlaga 04955 Oeste y 364313 Norte.

47.- Resolver el tringulo esfrico conociendo el lado a=120100, la altura h=42150 y la mediana m=62100 que parten del vrtice A.

AdministradorNotaTodas las palabras en color azul estnrecogidas y definidas en el Vademcum requiere su instalacin.



48.- Determinar los ngulos A y B de un tringulo esfrico conocida su diferencia B-A=3214 y los lados opuestos a=672535 y b=1434446.

49.- En un tringulo esfrico rectngulo (A=90) la suma de los catetos vale 100 y la hipotenusa 80, calcular los catetos.

50.- Un avin parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40 N, 3 O. Su rumbo es 78 NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y su velocidad de 610 km/h. Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avin atraviesa el paralelo 30N y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar, considerando el radio de la tierra de 6373 km.

51.- En la Tierra, sea el crculo mximo que pasa por los puntos A (latitud 0, longitud 60 O) y B (latitud 60 N, longitud 0) Se pide: a) Distancia en kilmetros entre los puntos A y B.

b) Puntos en que dicho crculo mximo corta el Ecuador c) Puntos en que dicho crculo mximo corta el paralelo 60 N Nota: Radio de la Tierra R = 6378 km

52.- Sea el tringulo esfrico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyos vrtices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas: B (longitud: 120 Este, latitud: 40 Norte), C (longitud: 30 Oeste, latitud: 60 Norte)

Se pide: a) Resolver el tringulo. b) Calcular la superficie del tringulo.

53.- Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud 42 Cul es la longitud del punto de llegada?, si: a) Parte de la longitud 125 O. b) Parte de la longitud 160 E. (Tomar como radio de la tierra 6370 km)



54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia mxima desde la localidad de Dutch Harbor (latitud: 53 53 N, longitud: 166 35 O) hasta un punto M (latitud: 37 50 S, longitud: 144 59 O). Se pide: a) Calcular la distancia y el rumbo de salida (ngulo que forma la trayectoria con el meridiano del punto de salida indicando polo y direccin Este u Oeste). b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador. c) Hallar el rea del tringulo esfrico determinado por el Polo Norte y ambos lugares.

55.- Un avin parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar el rumbo y la distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Talavera la Real y Nueva York son:

Talavera la Real: 6 46 24' Oeste; 3852'35 Norte Nueva York: 7400' Oeste; 4045' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avin recorre ciclos de la esfera). Determinar cual es la mxima latitud que alcanza dicho vuelo

56.- Un avin parte de Kopervik (Noruega) hacia Fortaleza (Brasil). Las coordenadas geogrficas de dichas ciudades son:

Kopervik (longitud: 5 18 E, latitud: 59 17 N) Fortaleza (longitud: 38 29 O, latitud: 3 41 S) Tomando como radio de la tierra R = 6371 km, hallar: a) La distancia entre ambas ciudades. b) La distancia recorrida por el avin que vuela a 10 km de altura. c) Las coordenadas geogrficas del punto H en que la trayectoria

corta al ecuador.

57.- Dado el tringulo esfrico de ngulos B = 344911 y C = 1185836 y siendo c (el lado opuesto al ngulo C), de valor c = 100. Se pide: a) Hallar la altura esfrica sobre el lado a (opuesto al ngulo A) indicando si es interior o exterior al tringulo b) Resolver el tringulo



58.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100, Calcular los arcos de circunferencia mxima correspondientes a: a) Mediana sobre el lado c. b) Bisectriz del ngulo C.

59.- a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10 29 N, 68 00 O) y Cdiz (Espaa) (36 30 N, 6 20 O). b) Hallar el rumbo inicial y el rumbo final de un barco que se dirija de Puerto Cabello a Cdiz. c) Calcular la latitud y longitud de la posicin del barco cuando haya recorrido 3000 km. d) Si el barco no parase en Cdiz, sino que siguiera navegando por la circunferencia mxima que une ambas ciudades, localizar el punto del recorrido ms prximo al polo norte (dar su latitud y longitud). Nota: tomar como radio de la tierra 6370 km.

60.- Un barco realiza un viaje desde Bergen (Noruega) (60 24 00N, 5 19 00E) hasta St. Johns (Canad) (47 34 00N, 52 41 00O). Se pide calcular:

a) La distancia entre ambas ciudades. b) El rumbo inicial (ngulo entre el norte del meridiano y la

trayectoria medido en sentido de las agujas del reloj). c) La distancia ms corta del Polo Norte a la trayectoria.

61.- Un avin parte de una ciudad A(Cdiz) hacia otra ciudad B(Bristol). Las coordenadas geogrficas de dichas ciudades son:

A (longitud: 6 20 O, latitud: 36 30 N); B (longitud: 2 38 O, latitud: 51 27 N)

a) Calcular la distancia entre ambas ciudades d(A B). b) Sabiendo que las coordenadas geogrficas de otra ciudad C(Oviedo) son (longitud: 5 50 O, latitud: 43 22 N) y conocidas las distancias: d(A, C) = 764.6003 km, d(B, C) = 930.1393 km, hallar la distancia aproximada a la que pasa el avin de la ciudad C. Nota: tomar, en ambos apartados, el radio de la esfera sobre la que realizar los clculos R = 6370 km.



62.- Un barco sale de un punto A (38 3 N, 40 20 O) con un rumbo N 23 20 E. Tras haber realizado una travesa por una circunferencia mxima entra en un punto B con un ngulo de 43 15 (43 15 =ngulo ABN). Se pide, calcular:

a) Las coordenadas del punto B. b) La distancia entre A y B

63.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston (EEUU) con direccin a Monrovia (Liberia). Sabiendo que las coordenadas geogrficas de dichas ciudades son:

Boston (longitud: 71 03 O, latitud: 43 23 N) Monrovia (longitud: 10 49 O, latitud: 6 20 N)

a) Calcular la distancia entre ambas ciudades. b) Hallar la longitud del punto donde la trayectoria corta al Ecuador.

64.- Desde un punto M de la Tierra situado sobre el meridiano de Greenwich y con latitud 45N parte un avin hacia otro punto P. Este punto P equidista del Polo Norte, del Punto M y de un punto Q de coordenadas (653148.72 E, 45 N). El avin se ve obligado a aterrizar en un punto A, cuando lleva recorridos 2/3 de su camino, al Este de M. Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio y que la altitud de vuelo del avin es despreciable frente a esta magnitud. Hallar:

a) Las coordenadas geogrficas del punto de aterrizaje b) El tiempo que tard en efectuar ste si llev una velocidad

constante de 800 km/h c) El rea del tringulo esfrico definido por los puntos M, A y el

Polo Norte

65.- Calcular la superficie del tringulo esfrico que tiene por vrtices las siguientes ciudades Rio de Janeiro (Brasil) (latitud: 22540 S; longitud: 431359 O) Atenas (Grecia) (latitud: 375840 N; longitud: 234340 E) Kingston (Jamaica) (latitud: 17590 N; longitud: 76480 O)



66.- Dadas las coordenadas de las siguientes ciudades: Tokio (Japn): (354550N; 1402330E) Tahit (Polinesia Francesa): (174000 S; 1574934O)

Y conocidas las distancias esfricas entre Tokio y Honolulu (Hawaii) que es de 6.146,812 km y entre Tahit y Honolulu que es de 4.430,312 km. Siendo el radio de la Tierra es de 6.373 km. Se pide: a) Calcular la distancia esfrica entre Tokio y Tahit, expresada en km. b) Calcular la superficie esfrica del tringulo formado por Tokio, Tahit y Honolulu.

67.- Un avin parte con rumbo 30 10 (ngulo que forma el meridiano con la trayectoria medido en el sentido de las agujas del reloj) desde un punto A de coordenadas

A longitud 74 00 00 O, latitud: 40 45 00N a) Calcular las coordenadas geogrficas (latitud y longitud) del punto de la trayectoria ms cercano al Polo Norte. b) Hallar la distancia en unidades sexagesimales y en km desde el punto A hasta Madrid longitud 3 41 00 O, latitud: 40 24 00N.

68.- Tomando como radio de la tierra 6370 km: a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10 29 N, 68 00 O) y Cdiz (Espaa) ( 36 30 N, 6 20 O). b) Hallar el rumbo de un avin que se dirija de Puerto Cabello a Cdiz. c) Calcular la latitud y longitud de la posicin del avin cuando haya recorrido 3000 km desde Puerto Cabello. d) Si el avin no aterrizase en Cdiz, sino que siguiera volando por la circunferencia mxima que une ambas ciudades, localizar el punto del recorrido ms prximo al polo norte (dar su latitud y longitud).

69.- Un barco parte del punto A de latitud 5817' Norte y longitud 12831 Oeste y navega 132 millas con un rumbo 243. Hallar la posicin del punto de llegada.

NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.



EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver los siguientes tringulos esfricos:

1) A=90, b=38 17 46, c=37 04 13. 2) A=90, B=52 38 34, C=50 38 15. 3) b=114 31 18, B=119 42 34, C=72 03 16. 4) A=112 24 32, B=61 12 40, a=72 36 24. 5) A=161 16 32, B=126 57 15, a=163 17 55.



1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekn (116 30 E, 40 N). Solucin:

3601 R 2L

L 1R 2 360 PP

.

Hay que hallar el radio del paralelo de Pequn PR . Llamando TR al radio de la tierra (6371 km) y llamando O y O a los centros del ecuador y del paralelo de Pequn P, respectivamente, se tiene que:

4880.466350 sen RRRR

OPPO'50 sen TP

T

P km.

Sustituyendo en 360

1 R 2L P , se obtiene L= 85.1802 km.

O

O

P RP

RT 50



2.- En la geometra eucldea, los ngulos interiores de un tringulo suman 180, pero, en la geometra hiperblica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un tringulo es siempre menor de 180 y en la geometra de Riemann dicha suma es siempre superior a 180, como en el caso de un tringulo situado sobre una esfera. Obtener el rea del tringulo esfrico determinado por: La Corua (4 43 O, 43 22 N), Barcelona (5 50 E, 41 24 N) y Las Palmas (11 44 O, 28 9 N). Solucin: Planteamiento: Con las coordenadas geogrficas de las tres ciudades podemos calcular las distancias entre ellas, lo que nos proporciona el valor de los lados del tringulo esfrico PBN determinado por las tres ciudades. Con los tres lados y aplicando el teorema del coseno podemos calcular los tres ngulos de dicho tringulo necesarios para la obtencin del rea pedida. En el tringulo esfrico CBN (Corua, Barcelona, Polo Norte): CN = colatitud de la Corua = 90 - 43 22 = 46 38 BN = colatitud de Barcelona = 90 - 41 24 = 48 36 ngulo CNB= long. Corua + long. Barcelona = 4 43 + 5 50 = 10 33 Por el teorema del coseno: cosCB = cosCN cosBN + senCN senBN cos(CNB) = 0,9901927456CB=8 1 51.42. Anlogamente en el tringulo CNP (Corua, Las Palmas, Polo Norte): CN = Colatitud de la Corua = 90 - 43 22 = 46 38 PN= colatitud de Las Palmas = 90 - 28 9 = 61 51 ngulo PNC = long. Las Palmas - long. Corua = 11 44 - 4 43 = 7 1 Por el teorema del coseno: cosCP = cosCN cosPN + senCN senPN cos(PNC) = 0.9601396347CP=161353.79 Y para el tringulo PBN (Las Palmas, Barcelona, Polo Norte): PN= colatitud de Las Palmas = 90 - 28 9 = 61 51 BN = colatitud de Barcelona = 90 - 41 24 = 48 36 ngulo PNB = long. Las Palmas + long. Barcelona = 11 44 + 5 50 = 17 34 Por el teorema del coseno: Cos PB = cos PN cos BN + sen PN sen BN cos(PNB) = 0.9425365278 PB= 19 31 4.83. Ahora calculamos los ngulos del tringulo PBC. (Para facilitar la notacin les vamos a designar por la letra de la ciudad, es decir: P= ngulo(CPB); B= ngulo (PBC); C = ngulo (BCP)) Por el teorema del coseno

.06"1 '8 24912594357.0cos cos-CB oscos PsenPBsenCP

PBCPcP

0.32"2 '53 545751626179.0coscos-CP oscos BsenPBsenCB

PBCBcB

BP

C N



4.81" 6' 102209641375.0cos cos-PB oscos CsenCBsenCP

CBCPcC

As, el exceso esfrico es E = P + B + C 180 = 1 07 26.19, al ser un valor muy pequeo nos indica que el tringulo tiene poca deformacin con respecto al tringulo plano PBC.

El rea es )26.19" '07 1(180

63702S = 795976,0562 km2 Nota: del tringulo PCB hemos calculado todos sus elementos y conviene comprobar que los clculos son correctos:

Comprobacin: 3416961,0 ;3416961,0 ;3416961,0 senC

senPBsenB

senCPsenP

senCB



3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un tringulo esfrico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a = 60 0031, b = 137 2040, c = 116 0032 b. Tres lados: a = 90, b = 48 50, c = 6738, c. Tres ngulos: A = 70 0025, B = 131 1015, C = 94 5053 d. Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos

a = 64 2403, b = 42 3010, C = 58 4052 e. Dos ngulos y el lado comprendido entre ellos

c = 116 1205, A = 70 5115, B = 131 2026 f. Dos lados y un ngulo no comprendido entre ellos

a = 58 4622, b = 137 0250, B = 131 5233 g. Dos ngulos y un lado no comprendido entre ellos

a = 70, B = 119, A = 76 Solucin: a) Aplicando el teorema del coseno:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A sencsenb

cbaA coscoscoscos = 0,2912659729 A=730358.

Anlogamente: cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B

sencsenacabB

coscoscoscos = - 0,6632204119 B=1313245

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C

senbsenabacC

coscoscoscos = - 0,1207886561 C=965615

Comprobacin: Usando el teorema del seno obtenemos informacin acerca de la validez o precisin de los resultados.

905354,0 ;905353,0 ;905355,0 senCsenc

senBsenb

senAsena

(5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error menor que 1 segundo)

b) Se trata de un tringulo rectiltero en a = 90 luego su polar es rectngulo en Ap = 90 y los elementos conocidos de dicho polar son: Ap=180- a = 90; Bp =180- b =131 10; Cp = 180- c = 112 22 Aplicamos las reglas del pentgono de Neper al tringulo polar:



cosap= cotgBp cotgCp = pp CtgBtg 1 = 0,3598094492 ap = 68 54 41.42

cosBp=sen(90-bp)senCp = cosbp senCp )(cos

cosp

pp Csen

Bb = -0,7118022192

bp= 135 22 54.2 cosCp=sen(90-cp)senBp = coscp senBp )(

coscos

p

pp Bsen

Cc = -0,5054907662.

cp= 120 21 50.1 Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos

9330259,0 ;9330260,0 ;9330258,0 senCsenc

senBsenb

senAsena

Y ahora calculamos los datos del tringulo dado que nos faltaban: A = 180 - ap = 111 5 18.58 (si queremos dar solo hasta los minutos A 111 5) B = 180 - bp = 44 37 5.8 (si queremos dar solo hasta los minutos B 44 37) C = 180 - cp = 59 38 9.9 (si queremos dar solo hasta los minutos C 59 38)

c) Aplicando el teorema del coseno para ngulos: cos A cos Bcos Ccos A cos BcosC senBsenCcosa cosa 0,530015814

senBsenC

a=575937. Anlogamente,

cos B cos A cosCcos B cos A cosC senAsenCcos b cos b 0,733898576senAsenC

b=1371251

cosC cos A cos BcosC cos A cos B senAsenBcos c cosc 0,437657969senAsenB

c=1155716

Ap=90

90-cp 90-bp

ap ap

Bp

bp

cp Ap

Cp

Bp Cp



Comprobacin: 902369,0 ;902369,0 ;902369,0 senCsenc

senBsenb

senAsena

d) Aplicando el teorema del coseno:

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C = 0,6352607851 c = 50 33 38.42 Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para calcular A y B:

sencsenbcbaA coscoscoscos = -0,06951358 A = 93 59 9.32

sencsenacabB coscoscoscos = 0,6644274671 B = 48 21 41.7


senBsenb

senAsena

e) Aplicando el teorema del coseno para ngulos:

cos C cos A cos B senAsenBcos c 0,0965239 C 95 32'21'' Y ahora teorema del coseno para los ngulos de nuevo para calcular a y b:

senC coscoscoscos

senBCBAa = 0,5242012028 a = 58 23 7.86

senC coscoscoscos

senACABb = -0,7361569118 b = 137 24 18.2


senBsenb

senAsena

f) Por el teorema del seno:

baB'51' 51' 110AbaB'09' 08' 69A

10.93442821A senBsen b sen

Asen a sen

Las dos soluciones son vlidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos soluciones. Resolvemos ahora dos tringulos esfricos:

Uno para A1=69 08 09 y otro para A2=110 51 51 Datos conocidos del 1 tringulo: A1= 690809, a, b, B Aplicando las analogas de Neper:

1

1

1

A Bcosc a b2tg tg 1,5370151

A B2 2cos2

2

1c = 56 57 5.92 c1= 113 54 12

22cos

2cos

2 11

BAtgba

baCtg

= 1,04520437

21C = 46 15 58.25 C1= 92 31 57



Comprobacin: 9151244,0 ;9151243,01

1 senCsenc

senBsenb

senAsena

Datos conocidos del 2 tringulo: A2=1105151, a, b, B Aplicando las analogas de Neper:

22

cos

2cos

2 2

22 batg

BA

BActg

= 3,810561712

22c =75 17 13.2 c2= 150 35 27.8

22cos

2cos

2 22

BAtgba

baCtg

= 3,436280124

22C = 73 46 27.66C2= 1473255.3

Comprobacin: 22

sencsena senb 0,9151243; 0,91512439senA senB senC

g) Por el teorema del seno:

8470342211,076

11970 sen

sensensenA

senasenBsenb

"34'6122"26'5357180"26'5357

2

1

bb

b .pero al ser B>A ha de verificarse que b > a =70,

luego, en este caso b = b2 = 122 6 34 y solo hay una solucin vlida. Aplicando las analogas de Neper:

22

cos

2cos

2batg

BA

BActg

= 1,322596405

2c = 52 54 27 c= 105 48 53.9

22cos

2cos

2 BAtgba

baCtg

= 1,121304997

2C = 48 16 22.24 C= 96 32 44.49

Comprobacin: sena senb senc0,968460; 0,968459senA senB senC



4.- Hallar los lados a y b de un tringulo esfrico del que se conoce: A = 90, B = 47 5454, a - b = 13 4050 Solucin: Dividiendo miembro a miembro en las analogas de Neper:

''33 '02 21 tg''27 '57 68 tg

''25 '50 6 tg2

batg

2BAtg

2BAtg

2batg

2batg

2BAsen

2BAsen

2ctg

2batg

2BAcos

2BAcos

2ctg

2batg

'.3453' 2' 78ba'.6726' 1' 392

ba810479989.02

batg

Por hiptesis, '50' 40' 13ba . Resolviendo el sistema lineal

'50' 40' 13ba'.3453' 2' 78ba

,

se obtiene:

'2' 11' 32b'52' 51' 45a.



5.- Resolver, si es posible, los siguientes tringulos esfricos rectngulos, siendo A=90: a) a=60 07 13, C=59 00 12. b) b=167 03 38, B=157 57 33. c) a=112 42 36, b=76 44 15. Solucin: a) cos(90-c) = senasenC = 0,743252702177866

a C A13

c 4815

00 '339 '27 ''''

c 48 00'33''

cosa =cotgBcotgC atgC

tgBcos

1 = 1,205950365 B = 50 20 1.49 cosC=cotga tgb tgb tga cos C 0,8963258673 b 41 52'14'' Comprobacin: 86707312,0 ;86707310,0 ;86707311,0

senCsenc

senBsenb

senAsena

b) sena=senb/senB = 0,5966976997

1

2

a 36 38'02'' b A B

a 143 21'58'' b A B

No podemos rechazar ninguno de los valores obtenidos luego: Existen dos soluciones de tal forma que b es obtuso:

2

1

c 34 34 ' 34''tg bsen c 0.56749939c 145 25' 26''tg B

, ya que al ser 1a aguda, 1c y b han de

ser ambos obtusos.

cos BsenC 0,95106682cos b

21

C 72 00'07''

C 107 59'53''

, ya que al ser 1a aguda, 1C y B

han de ser ambos obtusos. Recuerda que a catetos obtusos corresponden ngulos obtusos e hipotenusa aguda. Comprobacin:

59669769,0 ;59669769,0 ;59669770,0 2121 senCsenc

senCsenc

senBsenb

senAsena

senAsena

c) Por el teorema del seno:

sen bsen A sen 76 44 '15 ''sen 90sen B 1,0551sen a sen112 42 '36 ''

No existe un tringulo esfrico con los datos dados.



6.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100, hallar la altura esfrica sobre el lado a y decir si es interior o exterior al tringulo.

Solucin: Por tanto, hemos de calcular primero los ngulos B y C:

cosB=sencsena

cab

cos coscos = 0.820952891 B = 34 49 11 ' ''

cosC=senbsena

bac

cos coscos = -0.484454398 C =118 5 3 8 ' 6 ''

Luego al ser B = 34 49 11< 90 y C = 118 58 36> 90, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al tringulo ABC y su valor es un ngulo agudo. Considerando el tringulo ABH rectngulo en H

senh= senBsenc = 0.562321217 h = 34 12 ' 59 ''145 47' 1'' 90

Si la altura sobre el lado a es interior (h), al tringulo ABC, entonces h, B y C han de ser todos agudos o todos obtusos, pues son ngulos que se oponen al cateto h, en los tringulos rectngulo en que h),divide al tringulo ABC. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h, B y (180- C) agudos u obtusos simultneamente es decir, B y C han de tener distinto carcter.

a

b

c

A

B

C

h

h H



7.- Calcular los arcos de circunferencia mxima correspondientes a: a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ngulo C. Solucin: a) Previamente obtenemos a: cosa = cosbcosc + senbsenc cosA= -0.06998607184 a = 94 00 47.47. Se verifica que al ser b



8.- Demostrar que en un tringulo esfrico rectngulo se verifica: a) Un cateto y su ngulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. b) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa. Solucin: a) Por el pentgono de Neper: cosB=sen(90-b)senC=cosbsenC

b 90 y B90 y B>90cos b

b y B ambos agudos o ambos obtusos. b) Ahora es: cosa=sen(90-b)sen(90-c)=cosbcosc b 90 cos b 0

cosa cos bcosc 0 a 90c 90 cosc 0

b 90 cos b 0cosa cos bcosc 0 a 90

c 90 cosc 0

b 90 cos b 0cosa cos bcosc 0 a 90

c 90 cosc 0

Recprocamente: a 90 cosa cos bcosc 0 signo(cos b) signo(cosc) b y c son ambos agudos o ambos obtusos. a 90 cos a cos bcosc 0 signo(cos b) signo(cosc) b y c son de distinto cuadrante. (Esta demostracin se puede ver tambin en los apuntes de teora, publicados en la Escuela))



9.- Demostrar que en un tringulo esfrico equiltero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a) b) sec A - sec a = 1 c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1. Solucin: Equiltero: los tres lados iguales a=b=c Y por el teorema del coseno cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A=cos2a + sen2a cos A Y despejando

2

2

cosa cos acos Asen a

a) 2

2 2

cos a cos a cos a(1 cos a) cos a(1 cos a) cos acos A(1 cosa)(1 cosa) 1 cosasen a 1 cos a

b) Por el apartado

anterior: 1 1 1 cosa 1 1 cosa 1sec A seca 1cos A cosa cosa cosa cosa

c) Sabemos que: 1 coscos2 2 y

1 cossen2 2 y as en nuestro caso:

Acos1acos12

Acos1 2

acos122Asen

2acos2

cos a 11 cos a 1 1 cos a 11 cos a 1 cos a

, por el apartado a).



10.- Un avin vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 m siguiendo un crculo mximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40 24; longitud: Oeste 3 41 Tokio latitud: Norte 35 40; longitud: Este 139 45 y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide: a) Qu distancia recorre el avin entre Madrid y Tokio? b) A qu distancia del Polo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina Crculo Polar rtico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el da. El Crculo Polar rtico se encuentra a una latitud Norte 60 30. Sobrevuela el mencionado avin el Crculo Polar rtico? Solucin: Planteamiento: a) Con las coordenadas geogrficas de Madrid y

Tokio podemos calcular la distancia entre ellas. b) La distancia h al Polo Norte se calcula en el

tringulo rectngulo MPN (donde P es el pie del arco perpendicular a MT por N.

c) El valor obtenido para d nos indicar si la trayectoria del avin corta al Crculo Polar rtico o no.

a) Calculamos MT en el tringulo MTN donde:

MN= colatitud de Madrid = 90- 40 26= 49 34 TN= colatitud de Tokio =90-35 40= 54 20 ngulo MNT= long. Madrid + long. Tokio = 3 42 + 13945=143 27 Aplicando el teorema del coseno: cos MT = cosMN cosTN + senMN senTN cos(MNT)= - 0,1186149437

distancia de Madrid a Tokio en unidades angulares = MT = 96 48 43.83. Ahora bien, para calcular en unidades lineales la distancia recorrida por el avin hemos de tener en cuenta que vuela a 10 km por encima de la superficie terrestre, luego:

Distancia recorrida por el avin = d = 43.83" 48' 96180

)106370( = 10780,23 km b) Para calcular h usamos el tringulo MPN . En l conocemos P = 90 y MN = colatitud de Madrid 49 34, necesitamos un dato ms, por ello calculamos el ngulo M= NMT en el tringulo utilizado en el apartado anterior:

Aplicando el teorema del coseno:

senMT sencoscoscoscos

MNMTMNNTM = 0,8732584817 M = 29 0937,68 (rumbo

M T

h

N

P



del avin desde Madrid). El pentgono de Neper correspondiente al tringulo MPN es:

sen(90-h) = senM. senMN = 0,3708812703

11.92" 46' 21 - 18011.92" 46' 21

h pero h y su ngulo opuesto

M han de tener el mismo carcter luego h ha de ser agudo. Por tanto:

distancia al Polo N es h = 21 46 11.92

Vamos a aproximar esta distancia en unidades de longitud (km) por la distancia a la vertical del Polo a 10 km de altitud:

Distancia desde el avin = h = "11.92" 46' 21180

)106370( = 2424,14 km c) Al ser h=214611.92 < (90-6030) =2930 (colatitud del Crculo Polar rtico:

S SE SOBREVUELA EL CRCULO POLAR

P=90

MN

M

90-h 90-MH

N



11.- Un avin se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geogrficas del punto donde se encontrar el avin al cabo de 3 horas de vuelo. Coordenadas geogrficas de Madrid: 40 24 latitud N, 3 41 longitud O. Coordenadas geogrficas de Nueva York: 40 45 latitud N, 76 longitud O. Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avin: 6371 km.

Solucin: Sea A = Madrid, B = Polo Norte, C = Nueva Cork, C = Punto donde se encuentra el avin al cabo de tres horas de vuelo. En el tringulo esfrico ABC:

c = 90 - 40 24 = 49 36 a = 90 - 40 45 = 49 15 B = 76 3 41 = 72 19. Teorema del coseno en ABC para hallar b: cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B = 0.5936860994 b = 53 15 04.51 Teorema del coseno de nuevo, para calcular A: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

cos a-cos b cosccos A A 64 15' 42 ''senb senc

Del tringulo ABC, se conocen:

A 64 15' 42 '' , c = 49 36 y puede calcularse fcilmente b pues es la distancia recorrida por el avin en tres horas de vuelo: km 29703hkm/h 990'b .

En unidades angulares, resulta ser: '.4635' 42' 26'b'b km 2970

360km 6371 2

.

Se aplica el teorema del coseno al tringulo ABC, para obtener el lado a, que corresponde a la colatitud de C: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A a = 43 18 50 Latitud del punto C = 90 - 43 18 50 = 46 41 10 N. Se aplica el teorema del seno al tringulo ABC, para obtener el ngulo B: sen b' sen a' sen b' sen Asen B' B' 36 10' 17''sen B' sen A sen a'

Ntese que B ha de ser agudo por ser B< B. Longitud el punto C = 36 10 17 + 3 41 = 39 51 17 O

B

C A a c

C b

a b

B


12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 4835' Norte con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 3652 Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en direccin Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha. NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo. Solucin: Se conocen en millas las longitudes de los arcos de paralelos AA y BB; las millas divididas por los cosenos de las latitudes da en minutos los ngulos ANA y BNB, cuya diferencia es el ngulo ANB:

R= radio de la Tierra rRcos

siendo la latitud del paralelo.

Luego la longitud de la circunferencia mxima ser: 2 r2 R

cosy la distancia recorrida por

cada barco expresad llas o minutos:

20 56A ' NAcos 48 35'

18 56B' NBcos36 52 '

7.218301749 =7 En el tringuNA=90-4835=41NB=90-3652=53y el ngulo compren

cos A 'B

ecuador

paralelo R R

r

Paralelo

N=Polo Norte

A

B

GreenwichA

B a en miUnidad Docente de Matemticas de la E.T.S.I.T.G.C. 30

1693.044819

A ' NB' A ' NA B' NB 433.09810501259.946714

minutos que son

1305. lo ANB se conocen dos lados: 25 08 dido:

' cos NA 'cos NB' senNA 'senNB'cos A ' NB' 0.9749692997A 'B' 12.84648185=1250'47'' 770,79 millas o minutos



13.- Un barco que parte del punto A (latitud 3650' N. y longitud 7620' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia mxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida. Solucin: * Planteamiento En el tringulo esfrico CAB: Conocemos CA: (90 Latitud de A). Conocemos CB: (90 Latitud de B). Conocemos el ngulo C. * datos del tringulo C=7620-5000=2620 b=90-3650=5310 a=90 Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C cos c = 0 + 0,8003827 . 1. 0,8962285 = 0,1773257 de donde c = 440957 la distancia recorrida viene dada por L = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km Obtenindose L = 4911 km Ahora se calcula el rumbo: Queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. senA=sena.senC/senc= 0.6901737602, luego el rumbo ser 1402721 O bien, cos a = cosb cosc + senb senc cos A 0 = 0,5994893 . 0,7173257 + 0,8003827. 0,696738 cosA cos A = - 0,7711352 A = 140 2721 (Rumbo medido desde el Norte )

Ecuador

C=Polo Norte

A

B

Greenwich

b

a

Latitud 3650'A

Longitud 7620'

Latitud 0B

Longitud 50



14.- Resolver el tringulo esfrico tal que: A = 68 39 07, B = 74 07 12, a = 51 42 08

Solucin:

Por el teorema del seno: sen a sen b sen b 0.8104585953sen A sen B

12

b 54 08' 26.7''b 125 51' 33.3''

baBA , luego ambos valores de b son vlidos. 1 solucin: A, B, a y '26.7' 08' 54b1 1c , 1C ? Aplicando las analogas de Neper:

4228571561.02

BAcos

2BAcos

2batg

2ctg

2ctg

2BAcos

2BAcos

2batg 1111 1c 22 55' 17''

2

1c 45 50' 34'' y luego teorema del coseno para obtener 1C : 5244613013.0

bsen senabcos acosccoscosCcosC bsen senabcos acosccos

1

1111111

C1=58 22 4.9 2 solucin: A, B, a y '33.3' 51' 125b2 2c , 2C ? Aplicando las analogas de Neper:

01422834.152

BAcos

2BAcos

2batg

2ctg

2ctg

2BAcos

2BAcos

2batg 2222 2c 86 11' 22.3''

2

2c 172 22' 44.6'' y luego teorema del coseno para obtener 2C : 9875366309.0

bsen senabcos acosccoscosCcosC bsen senabcos acosccos

2

2222222

C2 = 170 56 40.6



15.- Un navo parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia mxima. Las coordenadas geogrficas de ambos puntos son: Calcular la distancia recorrida por el navo y el rumbo del mismo. Nota: Radio de la tierra R6371 km. Solucin: En el tringulo esfrico CAB: Conocemos CA: (90 Latitud de A). b=90-554513=341447 Conocemos CB: (90 Latitud de B). a=90-485002=410958 Conocemos el ngulo C: C=554810-203040=351730 Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C cos c = 0,924639118 de donde c = 222310 la distancia recorrida viene dada por D = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km. Obtenindose 2489 km Ahora se calcula el rumbo: queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. senA=sena.senC/senc= 0,853689, luego el rumbo ser 865502 o bien, 93 04 58 Por el teorema del coseno:

cos a = cosb cosc + senb senc cos A cosa cos bcosccos Asenbsenc = -0,053774288.

A = 93 04 58

El rumbo inicial de A a B ser: 360-A=266 55 02

ecuador

C=Polo Norte

AB

Greenwich

b a

20Longitud 30'40'' E

BLatitud 4850'02'' N

Longitud 5548'10'' E

ALatitud 5545'13'' N



16.- Resolver el tringulo esfrico de que se conocen los datos: a=760000; A=700000; B=1190000

Solucin: Por el teorema del seno:

sen a sen b sen asen b senB =0,9031035sen A sen B sen A

b 64 34' 08''b 115 25' 52'' >a B A

Aplicando las analogas de Neper:

A Bcosc a b cos(94 30 ')2tg tg tg(95 42 '56 '') 0,86151311A B2 2 cos( 24 30 ')cos

2

, c 81 29' 26'' y luego

teorema del coseno para obtener C bien: a bcosC cos( 19 42 '55'')2tg 0,743969

a b A B2 cos(95 42 '56 '')tg(94 30 ')cos tg2 2

C= 73 17 46



17.- Resolver el siguiente tringulo esfrico rectngulo: A = 90, b = 46 46 04, B = 57 28 03

Solucin:

A = 90 Obtenemos las frmulas a partir del pentgono de Neper

a B C 90-c 90-b

senbcos 90 b senb sena senB sena=senB

0.8641859432 12

59 47 '24 '' aa

12012 '36 '' a

;

A=90 > B a > b. Luego, ambas soluciones son vlidas. Sen c = cotg B cotg (90 b) = tgb

tgB = 0.6784953626 1

2

42 43'34 '' cc

13716 '26 '' c

, ya que al ser

1a 90 y b 90 , debe ser 1c 90 .

Cos b = sen C sen (90 -b) = sen C cos b cos BsenCcos b

= 0.7851265898 1

2

51 43'57 '' CC

12816 '03'' C

, pues c1 y C1 han de ser ambos agudos o ambos obtusos.

Hay, entonces, dos soluciones:

A=90



18.- Resolver el tringulo esfrico rectngulo ( = 90) sabiendo que: B = 157 57 33 b = 167 3 38

Solucin: Por el teorema del seno:

sen a sen b sen Asen bsen asen A sen B sen B

a 36 38'02 '' b A Ba 143 41'58'' b A B .

A = 90 Obtenemos las frmulas a partir del pentgono de Neper

a B C 90-c 90-b Resolvemos ahora dos tringulos esfricos:

Sen c = cotg B cotg (90 b) = tgbtgB

21

34 34'34'' cc

145 25'26'' c

, ya que al ser 1a 90 y b 90 , debe ser 1c 90 .

Cos b = sen C sen (90 -b) = sen C cos b cos BsenCcos b

21

72 00'07'' CC

107 59'53'' C

, pues c1 y C1

han de ser ambos agudos o ambos obtusos. Hay, entonces, dos soluciones: a=363802; c=1452526; C=1075953 y a=1432158; c=343434; C=720007

A=90



b

c

19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitan 3 puntos, A, B y C, vrtices de un tringulo esfrico. Los ngulos en A y B valen respectivamente A = 70 y B = 119, y el lado opuesto al ngulo A tiene como valor a = 76.

Se pide calcular la distancia esfrica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a. Solucin:

Lo que se pide en el problema es calcular la altura d sobre el lado a

Para calcular d se resuelve el tringulo rectngulo ABH, del que se conocen H=90 y B=119. Se necesita, por tanto, otro dato y ste puede ser el ngulo C. Para calcular el lado c, se resuelve el tringulo ABC Se tiene un tringulo en el que se conocen dos ngulos y un lado no comprendido entre ellos.

Aplicando el teorema del seno . 0,903103573sen a sen Bsen bsen a

b=64349 solucin no vlida pues B > A b > ( a = 76 ) b=1152551

cos2 0,861486188

2 2cos2

A Bc a btg tgA B

c = 81 29 20

por el teorema del coseno se obtiene C = 73 17' 40'' (NOTA: se poda haber calculado directamente C sin calcular c/2, ya que en este caso no se utilizar c

para calcular la altura esfrica) Como C es agudo y B obtuso, el tringulo corresponde a la figura dibujada y la altura es exterior. Ahora hay que resolver el tringulo rectngulo AHB conocidos H,B y c

Por el teorema del seno . 0,864988471 90

sen b sen Csen dsen

d = 595253 d = 12077 solucin no vlida puesto que C < H d > (b = 115 25 51) Pasando el ngulo a radianes d = 1,045127397 rad distancia= d . R = 6657,461 km

BC a

b d

H



20.- Dos tringulos esfricos tienen en comn los elementos siguientes: a=5142, A=6839, B=7407. Calcular el lado b en ambos tringulos y analizar si ambas soluciones son vlidas. Solucin: Calcular el lado b en ambos tringulos.

Se aplica el T. del seno: Asen

Bsen asen bsen Bsen bsen

A sen asen

sen b = 0,8104309 12

b 54 08'b 125 52'

son las soluciones buscadas, puesto que tanto una como otra verifican: b > a y a + b < 180



21. Resolver el siguiente tringulo esfrico, sabiendo: a = 79 48, b = 53 12 y A = 110 2 Solucin:

Se aplica el T. del seno: sen a sen b sen A sen b sen B sen A sen B sen a

sen B = 0,764362 B 49 51' 01''



22.- a) Resolver el tringulo esfrico rectiltero e issceles tal que b=c=600000 b) Determinar los ngulos de un tringulo esfrico equiltero cuya rea sea igual a la mitad del rea encerrada por una circunferencia mxima Solucin:

a) Rectiltero y '' 00 ' 0060cb , luego, 90a .

31

csen bsen c cos b cosa cosA cosA cos csen bsen c cos b cosa cos

A 109 28 ' 16 ''

31

csen asen c cos a cosb cos B cosB cos csen asen c cos a cosb cos

B 54 44 ' 08 ''= C b) rea de un crculo mximo: 2r rea del tringulo esfrico: 2 2 r rS A B C 180 2180 A B C 180 90 A B C 270 Por tanto, 3A 270 A B C 90



23.- Dadas las coordenadas geogrficas de las siguientes ciudades: Santiago de Compostela: 4252 N ; 833 O Madrid : 4024 N ; 341 O Girona: 4159 N ; 249 E Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular: a) Distancias esfricas entre estas ciudades b) Superficie del tringulo esfrico que tiene por vrtices dichas ciudades Solucin: a) distancia Santiago (S) Madrid (M) tringulo P (polo norte), M, S datos lado m = 90 - 4252 = 4708 lado s = 90 - 4024 = 4936 ngulo P = 833 - 341 = 452 solucin: aplicando el teorema del coseno

cos p = cos m * cos s + sen m * sen s * cos P p=42337 la distancia es d (S,M)= 0,076682979941 (rad)*6371= 488,547 km

distancia Madrid (M) Girona (G) tringulo P, G, M

datos lado m = 90 - 4159=4801 lado g = 90 - 4024 = 4936 ngulo P = 341+249= 630

solucin: aplicando el teorema del coseno cos p = cos g * cos m + sen g * sen m * cos P p=50823 la distancia es d (M,G)= 0,089705075(rad)*6371= 571,511 km

distancia Santiago (S) Girona (G) tringulo P, S, G

datos lado s = 90 - 4159=4801 lado g = 90 - 4252 = 4708 ngulo P = 833+249= 1122

solucin: aplicando el teorema del coseno cos p = cos g * cos s + sen g * sen s * cos P p=82549 la distancia es d (M,G)= 0,147136104 (rad)*6371= 937,404 km

b) Se necesita calcular los ngulos del tringulo SGM del que se conocen los tres lados: m = 82549 s = 50823 g = 42337 Resolviendo el tringulo M = 1241153 S = 302130 G = 253625 Ahora se aplica la frmula de la superficie del tringulo esfrico S+G+M = 180 09 48 S = (R2/180) (S+G+M-180) S = (R2/180) (0948) = 115709,07 km2

P

M G

g m

p P

S G

g s

p

M

S G

g s

m



24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20 31 N, longitud 70 11 E) y llegar al puerto B (latitud 42 22 N, longitud 10 45 W). Calcular: a) La distancia AB (llamada distancia ortodrmica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km. b) El rumbo inicial. c) El rumbo final. Solucin: Punto A. Longitud = 70 11 E. Latitud = 20 31 N. Punto B. Longitud = 10 45 W. Latitud = 42 22 N. a) Clculos del tringulo PBA a = 90 - Latitud de B = (90 - 42 22 N) = 47 38. b = 90 - Latitud de A = (90 - 20 31N) = 69 29. P = Longitud A + Longitud B = 70 11 + 10 45 = 80 56. Aplicando el t. del coseno para lados: cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P. Luego: cos p = cos(47 38 ) cos(6929) + sen(47 38) sen(69 29)cos(80 56)= = 0.345223879 p = arc cos 0.345223879 = 69,804537 Considerando la Tierra esfrica con radio R = 6.371 km, el valor de un ciclo es 2R = 40.030 km. Un grado de ciclo valdr: 40.030 / 360 = 111,2 km por grado La distancia AB en km es 69,80 . 111,2 km = 7762,26 km. b) Rumbo inicial: 360- A Rumbo inicial: 360- A =360- 51126= 308 58 34 c) Rumbo final: 180 + B

Rumbo final: 180 + '56' 12' 80 = 260 12 56

'26' 1' 51 A 0,6289926 0,878989750,55287811

psen bsen p cosb cos - a cos A cos

'56' 12' 80 B 0.16994225 0.693423010.11784187

psen asen p cosa cos - cosb B cos



25.- Resolver el tringulo esfrico rectngulo ( A = 90 ), sabiendo que: a = 143 21 58y b = 167 03 38.

Solucin: Por el teorema del seno o bien utilizando el pentgono de Neper:

sen bsen A sen167 03'38''sen 90sen B 0,375266076sen a sen143 21'58''

22 02'27''B No valido157 57'33'' A b a

cosa=sen(90-b) sen(90-c)=cosb cosc

cosacosc 0,823372356cos b

c 34 34'34'' cosC=cotga cotg(90-b)=tgb cotga

tgbcosC 0,3089837tga

C 72 00'07''



26.- Un avin vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de 10.000 m. De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela 2.000 km hasta llegar a un punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son:

Madrid: 3 41' Oeste; 4024' Norte Nueva York: 7400' Oeste; 4045' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avin recorre ciclos de la esfera). Se pide: a). Distancia entre Madrid y Nueva York. b). Distancia recorrida por el avin. Solucin: a) distancia Madrid (A) Nueva York (B) tringulo P (polo norte), A, B datos: lado a = PB = 90 - 4045 = 4915 lado b = PA = 90 - 4024 = 4936 ngulo P = 74 - 341 = 7019 solucin: aplicando el teorema del coseno

cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P=0,6173829954 p=515229

La distancia es d (A,B)= p R180 = 0,9053847013 (rad)*6371= 5768 km

b) Se necesita resolver dos tringulos esfricos: 1er tringulo P, C, A

datos: ngulo A =45 (noroeste)

lado c = AP = 4936 lado p =AC = 2000/(6371+10)=0,3134304967(rad)=175729

solucin: aplicando el teorema del coseno cos a = cos p cos c + sen p sen c cos A=0.782571939 a=383012 cos p = cos a cos c + sen a sen c cos P1

ecuador

P=Polo Norte

B

p

Greenwich A 2

2

Longitud 74 W=B

Latitud 4045' N=

2 1

2

1

A

P

2000 km

4915 4936

C

P1

C A

c

p

B



1

1

cos p cos a cos ccos P 0,9366772827senasenc

P 20 29 '57 ''

2 tringulo P, B, C

datos: lado b = 383012

lado c = 4915 ngulo P = 7019=P1+P2=202957+P2

P2=P-P1= 494903 solucin: aplicando el teorema del coseno cos p = cos b cos c + sen b sen c cos P2 p=352356

la distancia es d (B;C)= p R180 = 352356

180 6371= 3936,177 km

Ahora la distancia total recorrida ser: d(A,C)+d(C,B)= 3936,177 + 2000 = 5936,177 km

P2

B C

c b=383012

p



27.- Un avin parte de un lugar cercano a Nueva York (74 longitud Oeste; 4045 latitud Norte) con rumbo 3010 (direccin Norte y Oeste). Dar las coordenadas del punto de su recorrido ms cercano al Polo Norte. Solucin: Nueva York (A) el punto mas cercano al Polo Norte ser B. tringulo P (polo norte), A, B datos: lado b = PA = 90 - 4045 = 4915 ngulo A = 3010 (rumbo) ngulo B = 90 (punto ms cercano a P) Por el teorema del seno o bien utilizando el pentgono de Neper:

sen bsen A sen 4915'sen 3010 'sen a 0.3806893463sen B sen 90

22 22'35'' b A B a157 37'25''

No valido

Latitud 2=90-a = 90 - 222235=673725 cosb=cotgP cotgA

1tgP 2.633364639 P 6912 '22 ''cos btgA

Longitud P=2-1=691222 2=P+1=691222+74=1431222 Coordenadas:

ecuador

P=Polo Norte

B

p

Greenwich A

1

1

Longitud 74 O=A

Latitud 4045' N=

2 1

2

1

90

2

2

Longitud 14312'22'' O=B

Latitud 6737'25'' N=



28.- Resolver el tringulo esfrico rectiltero a=90, A=36 25 08, c=102 00 00, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular: a) La superficie que ocupan l y su tringulo polar. b) Hallar la mediana esfrica del tringulo dado que parte del vrtice B. c) Hallar la distancia esfrica desde el vrtice A al vrtice C, as como desde el vrtice B al lado b. Solucin: Resolveremos previamente el tringulo polar por ser rectngulo: Ap=180-a=90; ap=180-A=1433452; Cp=180-c=78 ap Bp Cp 90-cp 90-bp cosap=cotgBpcotgCp

p p pp p

1tgB 0, 2641439724 B 16512 '13'' b 180 B 14 47 '47 ''cos a tgC

cos(90-cp)=senap senCp p p ps enc sena senC 0.5807108495

p p pp p

35 30 '02 '' a C Ac C 180 c 144 29 '58

144 29 '58'' No valido

cosCp= cotg(90-bp)cotgap p p ptgb cos C tga 0.1533936481 p pb 17116 '45'' B 180 b 8 43'15''

a) rea del tringulo esfrico:

2 2 2 r 5S A B C 180 36 25'8 '' 8 43'14 '' 144 29 '58'' 180 4,2058km180180 rea del tringulo esfrico polar:

2 2 2p p p r 5S A B C 180 90 16512 '13'' 78 180 66,8476km180180 en total ser: 71,0535 km2

Ap=90



b) Mediana esfrica sobre b: Puesto que, en el tringulo de la izquierda, conocemos dos lados y el ngulo comprendido, utilizamos el teorema del coseno: cosm=cosc cos(b/2)+senc sen(b/2) cosA=

= - 0.1048273963 luego m=960102

c) La distancia del vrtice A al vrtice C es la longitud del lado b:

b = 14 47 47 b r 5L b 14 47 '47 '' 1,291 km180 180

La distancia del vrtice B al lado b es la longitud de la altura sobre b: Considerando el tringulo ACH rectngulo en H

senh= senasenC= 0.5807069025 h = 35 30' 01'' c A 90144 29' 59''

b = 35 30 01 b r 5L b 3530 '01''180 180 3,097 km

A=3625'08C

B c=102' a=90' m b/2=72353.5



29.- Demostrar que en un tringulo esfrico rectngulo se verifica: a) Si A=90, entonces tgc cosa = senb cotgB.

b) Si A=90, entonces: 2a c a c btg tg tg

2 2 2.

c) Si C=90, entonces cos2A sen2c = sen (c+a) sen (c-a). Solucin: a) a B C 90-c 90-b Del pentgono de Neper obtenemos las frmulas siguientes: cosa=sen(90-b) sen(90-c)=cosb cosc senc=cos(90-c)=cotg(90-b) cotgB=tgb cotgB Ahora sustituyendo:

cosbcosc tgb cotgB

senctgc cosa = tgc cosb cosc = cosb cosc = senc cosb = tgb cotgB cosb = senb cotgBcosc

b) Conocidas las analogas de Neper:

A Ccosa c b2tg tgA C2 2cos2

;

A Csena c b2tg tgA C2 2sen2

y las frmulas trigonomtricas: A C A C A Csen(A C) sen 2 2sen cos

2 2 2

A C A C A Csen(A C) sen 2 2sen cos2 2 2

c)

2

2 2 2 2

A 90

A C A C A C A Ccos s en cos s ena c a c b b b2 2 2 2tg tg tg tg tgA C A C A C A C2 2 2 2 2cos s en cos s en

2 2 2 21 sen A C sen 90 Cb b cos C b b2 tg tg tg tg1 2 sen 90 C 2 cos C 2 2sen A C2

sen (c+a) sen (c-a) = (senc cosa + cosc sena) (senc cosa - cosc sena) = sen2c cos2a cos2c sen2a = = sen2c cos2a (1-sen2c) sen2a = sen2c cos2a sen2a + sen2c sen2a = sen2c (cos2a + sen2a) sen2a =

A=90



= sen2c - sen2a = (*) Del pentgono de Neper obtenemos la frmula siguiente: sena = cos(90-a) = senA senc c B A 90-a 90-b Ahora sustituyendo en (*): (*)=sen2c - sen2a = sen2c sen2A sen2c = sen2c (1 sen2A) = sen2c cos2A

C=90



30.- Demostrar que la bisectriz esfrica de un ngulo de un tringulo esfrico, divide al lado opuesto en dos arcos cuyos senos son proporcionales a los senos de los lados contiguos. Solucin: Considerando dos tringulos esfricos y el teorema del seno, tenemos:

Sobre el tringulo ABD: 11

Asensen D2

sen a sen c

Sobre el tringulo ADC: 22

Asensen D2

sen a sen b

Despejando e igualando: 1 21 2sen D sen DAsen sen a sen a

2 sen c sen b

Como 1 2 1 2D D 180 senD senD Simplificando, queda 1 2sen a sen a

sen c sen b

B C

cb

D2 a2

A

a1 D

A/2

D1

A/2



31.- En un tringulo esfrico se verifica que a+b=180. Calcular el arco de ciclo que es la mediana correspondiente al lado c. Solucin: Considerando dos tringulos esfricos y el teorema del coseno, tenemos:

Sobre el tringulo CBD: 1c ccos a cos m cos senm sen cos D2 2

Sobre el tringulo CDA: 2c ccos b cos m cos senm sen cos D2 2

Como 1 2 1 2D D 180 cos D cosD y por hiptesis a b 180 cos a cos b , igualamos:

1 1c c c ccos a cos m cos senm sen cos D cos m cos senm sen cos D cos b2 2 2 2 c2cos m cos 02

cos m 0 m 90ccos m cos 0 c c2 cos 0 90 c 180 no es factible, puesto que a-b



32.- En el tringulo esfrico rectiltero en el que c=90; obtener la altura esfrica correspondiente al lado c en funcin de los otros dos lados. Solucin: Considerando dos tringulos esfricos y el teorema del coseno, tenemos:

Sobre el tringulo CBH: 1 1 1 1cos acos a cosh cos c senh senc cos90 cosh cos c cos ccosh

Sobre el tringulo CHA: 2 2 2 2cos bcos b cosh cos c senh senc cos90 cosh cos c cos ccosh

Como por hiptesis 1 2 1 2c c c 90 cos c senc , sustituyendo, elevando al cuadrado y sumando:

2 2 22 2 2

1 2 2 2 22 2 2

2 2 2

cos a cos a cos a cos bcos c senc sen c 1 sen c cos ccosh cos h cos h cos h

cos h cos a cos b

B c1

A

ab

h 90 c2

C

H c=90

90



33.- Expresar en funcin de los lados de un tringulo esfrico el producto senA senB senC. Solucin:

Sabemos que A A AsenA sen 2 2sen cos2 2 2

y por las funciones de los ngulos mitad sen p b sen p cAsen

2 senbsenc y

senp sen p aAcos2 senbsenc

, siendo a b cp

2

Por consiguiente:

A A B B C CsenAsenBsenC 2sen cos 2sen cos 2sen cos2 2 2 2 2 2

A A B B C C8sen cos sen cos sen cos2 2 2 2 2 2

32 2 2

sen p b sen p c senpsen p a sen p a sen p c senpsen p b8

senbsenc senbsenc senasenc senasenc

senpsen p a sen p b sen p csen p b sen p a senpsen p c8

senbsena senbsena sen asen bsen c



34.- Demostrar que en todo tringulo esfrico se verifica que:

a b 180 A B 180 .

Solucin:

De la analoga de Neper:

a bcosA B 2tga b C2 cos tg

2 2

podemos observar que:

a bcos 02 ya que

a b90 902 y adems Ctg 0

2 ya que C0 90

2 . Por tanto,

A B a bsigno tg signo cos2 2

Consideramos las tres posibilidades:

Si a+b180

a b a b A B A B90 cos 0 tg 0 90 A B 1802 2 2 2



35.- Demostrar que si dos ngulos de un tringulo esfrico son rectos, los lados opuestos a estos ngulos son cuadrantes y el tercer ngulo est medido por el lado opuesto. Si los tres ngulos de un tringulo esfrico son rectos, demustrese que la superficie esfrica del tringulo es un octante de la esfera. Solucin:

2 3 3 12 1 3 3

1 3 3 2

A 90 r r b 90r

B 90 r r a 90

y adems 1 2C r , r c

Como el tercer ngulo es tambin recto el tercer lado (c=90) tambin lo es, resultando un tringulo trirrectngulo y trirectiltero que es la octava parte de la esfera.

A=90

B=90

C

b

c

a

r1

r2

r3

1 2

3



36.- En un tringulo esfrico rectngulo la suma de los catetos vale 100, la hipotenusa mide 80; calcular el valor del cateto ms pequeo. Solucin: Datos: A=90, a=80, b+c=100 Del pentgono de Neper: cosa=sen(90-b)sen(90-c)= cosbcosc=cos80 del coseno de la suma: cos(b+c)=cosbcosc-senbsenc=cos100=cos80-senbsenc => senbsenc=cos80-cos100 Y del coseno de la diferencia: cos(b-c)=cosbcosc+senbsenc=cos80+cos80-cos100 = 3cos80 => b-c=583616 Resolviendo el sistema:

b c 100b c 58 36 '16 ''

b 7918'8''

c 20 41'52''



37.- Si es el exceso esfrico del tringulo esfrico en el que a=b y C=90, calcular tg en funcin de a Solucin:

tg tg A B C 180 tg A B 90 180 tg A B 90 tg 90 A B

1 cot g A cot g Bcot g A B (*)

cot g A cot g B

Si a=b, entonces A=B. Del pentgono de Neper obtenemos la frmula siguiente: cos A= senBsen(90-a)=senB cosa, de dnde, cosa = cotgA=cotgB c B A 90-a 90-b Ahora sustituyendo en (*):

21 cot g A cot g B 1 cos a cos a 1 cos a(*)cot g A cot g B cos a cos a 2cos a

sena tg2cosa

C=90



38.- Calcular la distancia mnima en km que hubiera tenido que recorrer las

naves de Cristbal Colon en su primer viaje y descubrimiento de Amrica.

Datos: Considrese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de Tenerife y

llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas.

Solucin: Datos:

Coordenadas de Santa Cruz de Tenerife: Latitud. 28 28 Norte Longitud. 16 15 Oeste

Coordenadas de S. Salvador en las Bahamas: Latitud. 24 00 Norte Longitud 74 35 Oeste

Resolviendo el tringulo esfrico:

tp = 90 - 28 28 = 61 32

sp = 90 - 24 00 = 66

P = 74 35 16 15 = 58 20

Distancia entre Tenerife y S. Salvador:

cos st = cos sp cos tp + sen sp sen tp cos P =

= cos 66 cos 61 32 + sen 66 sen 61 32 cos 58 20

st = 52 0 48.83

distancia = st(radianes).R =

= (52 0 48.83) (/180) (6371) = 5783,64442km.



39.- Calcular el valor del coseno del exceso esfrico del tringulo cuyos lados

miden a=b=3 y c=

2 .

Solucin: Primeramente resolvemos el tringulo esfrico con el pentgono de Neper para tringulos rectilteros, o bien, con el teorema del coseno. Adems a=b A=B. cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A.

Y despejando

1 1cos cos cos 0cos a cos b cos c 13 3 2 2 2cos A cos Bsenbsenc 3 3sen sen 13 2 2

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C.

22

22

2 22

1cos cos 0cos c cos a 1 2 22 3 2cos C senC 1 cos C

3 3sen a 3sen3 2

ahora

2 2

cos cos A B C 180 cos 2A C 180 cos 2A C cos 2A cos C sen2AsenC

1 2 1 2 1 2 2(cos A sen A)cos C 2senA cos AsenC 23 3 3 3 3 3

= 79



40.- Calcular el rea del tringulo esfrico y el volumen de la pirmide esfrica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro equiltero cuyos diedros miden 100 y cuyo vrtice es el centro de dicha esfera. Solucin: Si los ngulos diedros miden 100, los vrtices del tringulo esfrico sern A=B=C=100 y el exceso esfrico =A+B+C-180=300-180=120

rea del tringulo esfrico: 2 2 r 6S A B C 180 120180 2 275, 3982 cm

Volumen de la pirmide esfrica: 1 1V S h 75,3982 63 3

3150,7964 cm



41.- De un tringulo esfrico trazado en una superficie esfrica cuyo radio es 10 dm se conocen: A = 71 20; B = 119 25; C = 60 45. Se pide: a) Resolver el tringulo. b) Hallar su rea. c) Hallar el volumen de la pirmide esfrica cuyo vrtice es el centro de la esfera y su base el tringulo dado. Solucin: a) Para resolver el tringulo esfrico utilizamos el teorema del coseno para ngulos

cos A cos Bcos Ccos A cos Bcos C senBsenCcos a cos a 0,105357137senBsenC a=8357.

Anlogamente, cos B cos A cos Ccos B cos A cos C senAsenCcos b cos b 0,404994

senAsenC b=11353

cosC cos A cos BcosC cos A cos B senAsenBcosC cosc 0.401681senAsenB c=6619

b)

rea del tringulo esfrico:

2 2 r 10S A B C 180 71 30 '180 2 2124,79 dm c)

Volumen de la pirmide esfrica: 1 1V S h 124,79 103 3

3415,96 dm



42.- Hallar el rea del pentgono esfrico cuyos ngulos miden 87 16, 108 34, 126 23, 150 y 156 48 en una esfera de 16 dm de radio. Solucin: rea del pentgono esfrico:

2

n 5 1 2 3 4 5

2 2

rS A A A A A (n 2)180180

16 168716'+108 34'+126 23'+150+156 48'-3 180 629 01' 5402 2

= 2397,7302 dm



43.- En todo tringulo esfrico issceles (b=c), se verifican las relaciones siguientes:

a) a Asen senb sen2 2

b) A acos senB cos2 2

Solucin: a) De las razones trigonomtricas del ngulo mitad:

22b c

asensen p b sen p c sen p b sen p bA 2sen2 senbsenc senb senbsen b

a Asen senb sen2 2

b) Aplicando la frmula de Bessel del coseno para ngulos: cosA=-cosBcosC+senBsenCcosa=-cos2B+sen2Bcosa y como b c B C

2 2 2 2 2A 1 cos A 1-cos B+sen Bcosa sen B+sen Bcosa sen B(1+cosa)cos2 2 2 2 2

(1+cosa) asenB senB cos2 2



44.- De un tringulo esfrico se conocen: a = 74 05 00, b = 63 17 00, A = 113 42 00 a) Analizar cuntos tringulos esfricos se adaptan a estos datos. b) Resolver el los tringulos, segn proceda. Solucin:

a) Por el teorema del seno:

sena

senb senAsenB 0.8505144307

'56' 43' 121'04' 16' 58

B

a > b A > B B 58 16' 04'' Solucin nica.

b) Aplicando las analogas de Neper:

2027464054.02

batg

2BAcos

2BAcos

2ctg

c 11 27' 40''

2 c 22 55' 20''

Mediante el teorema del coseno:

cos c-cos a cos bcos C 0.9286917248sen a sen b

C 21 46' 06''



45.- En un tringulo esfrico se verifica 2p=a+b+c=180. Demostrar que cosA+cosB+cosC=1. Solucin: Dato: a+b+c=180 a=180-(b+c) cosa=cos(180-(b+c))=-cos(b+c)=-cosbcosc+senbsenc utilizamos el teorema del coseno cos a cos bcos c senbsenccos A

cos a cos bcos c -cosbcosc+senbsenc-cosbcosc senbsenc-2cosbcosccos A 1 2cot gbcot gcsenbsenc senbsenc senbsenc

Anlogamente, cos B 1 2cot ga cot gc cos C 1 2cot ga cot gb

cos A cos B cos C 1 2cot gb cot gc 1 2cot ga cot gc 1 2cot ga cot gb

3 2 cot gb cot gc cot ga cot gc cot ga cot gb 1 cot gb cot gc cot ga cot gc cot ga cot gb 1

Demostramos la ltima expresin:

1 1 1 1 1 1 tga tgb tgccot gbcot gc cot ga cot gc cot ga cot gbtgb tgc tga tgc tga tgb tgatgbtgc

tg 180 (b c) tgb tgc tg b c tgb tgc(*)

tg 180 (b c) tgbtgc tg b c tgbtgc

Sabemos que:

tgb tgctg b c1 tgbtgc

ahora

tgb tgc tgb tgctg b c tgb tgc tgb tgc 1 tgbtgc tgb tgc1 tgbtgc(*)

tgb tgctg b c tgbtgc tgb tgc tgbtgctgbtgc1 tgbtgc

tgbtgc tgb tgc1

tgb tgc tgbtgc



46.- Calcular la distancia en km, entre Madrid y Mlaga, siendo las coordenadas de Madrid longitud 3 41 Oeste y latitud 402430 Norte, y las de Mlaga 04955 Oeste y 364313 Norte. (R=6371 km) Solucin: Datos: A=341-04955=2515 b= 90-402430=493530 c=90-364313=531647 solucin del tringulo: A(polo); C(Madrid); B(Mlaga) aplicando el teorema del coseno: cos a = cosb cosc + senb senc cos A obtenemos a=41832 por lo que la distancia recorrida es d = a(radianes). R = a (/180) (6371) = 479 km

b

a

c

B

A

C



47.- Resolver el tringulo esfrico conociendo el lado a=120100, la altura h=42150 y la mediana m=62100 que parten del vrtice A. Solucin: Consideramos el tringulo rectngulo HAM: m H=90 m=6210 M A h=4215 90-a1 90-h

cosm=cosa1cosh 1cos mcos a 0,630761cosh

1a 50 53'37'' En el tringulo rectngulo HAC: b H=90

1aHC a 11015'37 ''2

C A h=4215 90-HC 90-h

cos b cos HCcosh 0, 2649992 b 105 21'59'' senhsenC 0,697295senb

4412'37'' C 90 h b135 47'13''

senHCsenA ' 0,968341senb

75 32'38''

104 27'22'' A' 90 HC b

c

a

b

C

A

B

m

H M

h

h

a1

m

M

A

H

H=90

H=90



En el tringulo rectngulo HAB: H=90 aBH HC 911'23''

2

h=4215 c B A 90-BH 90-h

cos c cos BH cosh 0,730717 c 43 03'12'' senhsenB 0,984896senc

8 01'45'' B 90 h c171 59'15''

senBHsenA '' 0, 233937senc

13 31'44'' A'' 90 BH c166 28'16''

Por ltimo, sobre el vrtice A hemos considerado dos ngulos A y A, en cuyo caso:

A=A+A=1042722+133144=1175906

H=90

c

a2

h

H

A

B



48.- Determinar los ngulos A y B de un tringulo esfrico conocida su diferencia B-A=3214 y los lados opuestos a=672535 y b=1434446. Solucin: De la analoga de Neper:

b asenB A C C2tg cot g t g 2,219908b a2 2 2sen2

C 131 29'59''

Del teorema del coseno cosc=cosacosb+senasenbcosC=-0,671383 C 13210 '26 ''

Con el teorema del seno 6856 'senasenCsenA 0,933162 A C a c111 04 'senc no podemos

decidir as.

senbsenCsenB 0,597626senc

36 43'01''B14317'59'' C b c

Comparando ahora B con A:

a b A B tampoco nos sirve para decidir. Ha de ser A+B+C>180, no nos dice nada. Comprobamos con el teorema del coseno para ngulos que nos dar el valor nico: cosA=-CosBcosC+senBsenCcosa-0,359449 A 111 04'00''



49.- En un tringulo esfrico rectngulo (A=90) la suma de los catetos vale 100 y la hipotenusa 80, calcular los catetos. Solucin: Como el dato es b+c=100 usamos las analogas de Gauss-Delambre:

b c B C B Ccos cos coscos50 B C B C2 2 2 cos 0,593333 53 36 '22 ''a A cos 40 s en45 2 2cos s en2 2

b c B C B Cs en cos coss en50 B C B C2 2 2 cos 0,8426961 3234 '27 ''

a A s en40 s en45 2 2s en s en2 2

Resolviendo el sistema:

B C 5336 '22 '' B 8610 '49 ''2B C C 21 01'55''3234 '27 ''

2

Por ltimo, del pentgono de Neper: cosC=cotga cotg(90-b), entonces tgb=cosC tga= 0,3778146 b 20 41'52''

c 100 b 7918'08''



50.- Un avin parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40 N , 3O. Su rumbo es 78 NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y su velocidad de 610 km/h. Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avin atraviesa el paralelo 30N y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar, considerando el radio de la tierra de 6373 km. Solucin:

Resolviendo el tringulo sen B = (senC senc) / senb senB = 0,86522234892638450965733190209936 B1=595429.17 B2=180-B1= 1200530.83 Como b



51.- En la Tierra, sea el crculo mximo que pasa por los puntos A (latitud 0, longitud 60 O) y B (latitud 60 N, longitud 0) Se pide: a) Distancia en kilmetros entre los puntos A y B.

b) Puntos en que dicho crculo mximo corta el Ecuador c) Puntos en que dicho crculo mximo corta el paralelo 60 N Nota: Radio de la Tierra R = 6378 km Solucin:

a) Es un problema de clculo de la distancia entre dos puntos de la esfera. Sea el tringulo esfrico de vrtices A, B y N (Polo Norte)

Conocidos dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, calcula el lado n mediante el teorema del coseno obtenindose n=753120,96 La distancia pedida se obtiene pasando este ngulo a radianes, n n=1,31811609 rad y multiplicando por el radio de la Tierra dist = n. RT = 8406,944 km

b) Dado que los crculos mximos se obtienen de la interseccin con la esfera de planos que

pasan por el centro de la misma, los puntos de corte de los crculos mximos con el Ecuador tienen longitudes que difieren en 180. Por tanto, el punto A tiene por coordenadas A (longitud 120E, latitud 0)

Figura1. Proyeccin sobre el plano del Ecuador terrestre

A

B

N=60

b=90 a=90-60=30



c) Segn la figura 1 anterior, todos los puntos de corte del crculo mximo del problema con los paralelos son simtricos respecto del plano que contiene al meridiano 30E, por lo que el otro punto de corte con el paralelo 60N es B(longitud 60E, latitud 60N)

NOTA: este apartado tambin se puede resolver de forma analtica mediante resolucin de tringulos esfricos. Hay que resolver el tringulo esfrico NBB del que se conocen los lados b=30, b=30. El otro dato conocido es el ngulo B, que se obtiene del tringulo NBA del apartado a). El ngulo B en NBA es B = 1163354,18. Por tanto, el ngulo B en NBB vale B=180-1163354,18=632605,82 Se busca resolver un tringulo esfrico conocidos dos lados y un ngulo no comprendido entre ellos. La incgnita del problema es el ngulo N. Se obtiene N = 60

A

B

N

b=90 b=30

B

b=30



52.- Sea el tringulo esfrico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyos vrtices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas: B (longitud: 120 Este, latitud: 40 Norte), C (longitud: 30 Oeste, latitud: 60 Norte) Se pide: a) Resolver el tringulo. b) Calcular la superficie del tringulo. Solucin: a) (Considerando positivos la latitud Norte y la Longitud Este) Datos del problema: ngulo A = 120+30 = 150 Lado c = 90-40 = 50 Lado b = 90-60 = 30 Resolucin: Se trata de un tringulo del que se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, que se resuelve aplicando el teorema del coseno para lados sucesivamente, y se obtiene: a = 76 59' 57,38'' B = 14 52' 1,33'' C = 23 8' 50,75''

b) La superficie de este tringulo viene dada por 2

( 180 )180

RS A B C siendo A,B,C los ngulos expresados en grados, obtenindose: A+B+C 180 = 8,0144667

S = 5690115 km2

A (0,90)

B (120,40) C (-30,60)



53.- Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud 42 Cul es la longitud del punto de llegada?, si: a) Parte de la longitud 125 O. b) Parte de la longitud 160 E. (Tomar como radio de la tierra 6370 km)

a) Si el barco parte de la longitud 125 O, la longitud del punto de llegada es: 125- 24 12 25= 100 47 35O (pues va hacia el Este).

b) Si el barco parte de la longitud 160E, la longitud del punto de llegada es:

160+ 24 12 25= 184 12 25E (pues va hacia el Este)= 360- 184 12 25= 175 47 35 O.

O

O

42

r

R

La relacin entre el radio del paralelo de latitud 42 y el radio R de la Tierra es: r = R sen (90-42) = 6370 sen 48. Por otro lado, los 2000 km en el paralelo 42 corresponde al ngulo central tal que:

360

20002 r

4863702720000

22000360

senr 2000 km 24 12 25



54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia mxima desde la localidad de Dutch Harbor (latitud: 53 53 N, longitud: 166 35 O) hasta un punto M (latitud: 37 50 S, longitud: 144 59 O). Se pide: a) Calcular la distancia y el rumbo de salida (ngulo que forma la trayectoria con el meridiano del punto de salida indicando polo y direccin Este u Oeste). b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador. c) Hallar el rea del tringulo esfrico determinado por el Polo Norte y ambos lugares. Solucin

Conocemos, por tanto, dos lados y el ngulo comprendido luego hemos de aplicar el teorema del coseno para hallar directamente el lado DM:

Cos(DM)= cos (DN) cos(MN) +sen (DN)sen(MN)Cos (DNM)= -0,06264828854 DM = 93 35 30.6 y pasando a km "6.30 '35 93

1806370DM = 10405,3037 km.

El rumbo de salida viene dado por el ngulo NDM, medido desde el Norte hacia el Oeste:

Cos(MN)= cos (DM) cos(DN) +sen (DM)sen(DN)Cos (NDM)

)()()cos()cos()cos()cos(

DNsenDMsenDNDMMNNDM = -0,9566267926

rumbo = DNM = N 163 3 47,6 Este.

b) Para localizar el punto C donde la trayectoria corta al Ecuador trabajamos con el tringulo esfrico MAC, rectngulo en A, determinado por los puntos: M. C: Interseccin de la trayectoria con el Ecuador. A: Interseccin del meridiano de M con el Ecuador. El punto C tiene latitud 0 por estar en el Ecuador y su longitud = longitud de M +AC (Oeste).

M

G

N D

A C

Designamos por D al punto que indica la localidad de Dutch Harbor y por M al punto de destino.

a) Para calcular el arco DM consideramos el tringulo esfrico de vrtices D, M, N. En l conocemos: Lado DN: colatitud del punto D = 90-53 53 00 DN = 36 7 00. Lado MN: 90 + latitud del punto M = 90+37 50 00 MN = 127 50 00. ngulo DNM = diferencia de longitudes de D y N (por estar ambos puntos al Oeste de Greenwich. DNM=166 3500-144 5900=21 36 00.



Para resolver un tringulo rectngulo necesitamos dos datos (adems del ngulo recto). En este caso disponemos de:

Lado AM = latitud de M 37 50 00. ngulo CMA = DMN que lo podemos calcular en el tringulo DNM considerado en el apartado anterior.

Cos(DN)= cos (DM) cos(MN) +sen (DM)sen(MN)Cos (DMN)=

)()()cos()cos()cos()cos(

MNsenDMsenMNDMDNDMN = 0,9760801154 DMN = 12 33 25,3.

Ayudndonos del pentgono de Neper elegimos la frmula que nos relaciona los datos con el lado que queremos calcular:

Cos (90-AM) = cotg (CMA) cotg (90-AC) tg(AC)= CMAtgAMsen

CMAcotgAMsen

)( =sen(375000)tg(123325,3)=0,13662075553.

AC = 7 46 46.66 y la longitud de C es 7 46 46.66 + 144 59 = 152 45 46.66. Luego la trayectoria corta al ecuador en el punto C :

C (latitud: 0 N, longitud: 152 45 46.66.O)

c) El rea del tringulo esfrico DMN es:

S = 180

6370 2 (21 36 00 + 163 3 47,6 + 12 33 25,3 -180) = 12195389,75.

S = 12195389,75 km2

CM

A=90 CMA

90-AM 90-AC

ACM

A C

M



55.- Un avin parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar el rumbo y la distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Talavera la Real y Nueva York son:

Talavera la Real: 6 46 24' Oeste; 3852'35 Norte Nueva York: 7400' Oeste; 4045' Nort

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