INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “DANIEL ÁLVAREZ

BURNEO”

GEOMETRIA DEL ESPACIO

Dr. Vicente Matamoros Paz.

INTRODUCCIÓNRama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

HISTORIA DE LA ESFERA

Una de las esferas más perfectas creadas por el ser humano, refractando la imagen de Albert Einstein. Se aproxima a la esfera ideal con un error menor que el tamaño de cuarenta átomos alineados.

DEFINICIÓN

• Es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

• Una esfera(del griego “sfaira”) es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Coloquialmente hablado también se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra bola . La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor.

ELEMENTOS

• SUPERFICIE ESFÉRICA

Es el lugar geométrico de los puntos del espacio cuyas distancias a otro llamado centro es igual a una longitud constante que se llama radio. Se define también diciendo que es la superficie engendrada por una semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro.

La semicircunferencia es la generatriz de la superficie esférica, el diámetro es el eje de revolución y sus extremos los polos.

Ejemplo: La superficie esférica engendrada por la rotación de la semicircunferencia ACB, alrededor del diámetro AB.

• RADIO DE LA ESFERA Y DE LA SUPERFICIE

Es la distancia o segmento que une el centro con los puntos de la superficie; por definición, todos los radios de una misma esfera son iguales.

• CUERDA

Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la superficie.

• DIÁMETRO

Es la cuerda que pasa por el centro; todos los diámetros de una misma esfera o superficie esférica son iguales, puesto que equivalen a la suma de dos radios.

• CIRCULO MÁXIMO

Todo plano M que pasa por el centro de una superficie esférica, la corta según una circunferencia máxima, y a la esfera, según un círculo también máximo, del mismo radio y centro que la superficie esférica.

• CIRCULO MENOR

Todo plano M que pasa por cualquier punto del radio de una esfera, menos por los puntos extremos, determina una circunferencia en la superficie esférica u un círculo en la esfera, cuyo centro es el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la esfera al plano, y cuyo radio es menor que el de la esfera. A estas circunferencias, intersecciones de la superficie esférica, y a los círculos intersecciones de la esfera, se les llama circunferencias menores y círculos menores respectivamente.

1.Una secante no puede cortar a una superficie esférica mas que en dos puntos.2.Por tres puntos de una esfera se puede trazar un círculo y sólo uno.3.Todas las circunferencias máximas de una esfera son iguales.4.Todo círculo máximo divide a la esfera y a la superficie esférica en dos partes iguales, llamadas hemisferios.

COROLARIOS

• POLOS Se llaman polos de un círculo ABC de la esfera O, los extremos P, P‘ del diámetro perpendicular al plano de ese círculo.

Los polos P , P' de un círculo menor, el centro D de este círculo y el centro O de la esfera correspondiente, están en línea recta.El diámetro que los contiene se llama eje polar del círculo.Por dos puntos de la superficie esférica, no diametralmente opuestos, no puede pasar más que una circunferencia máxima, pero si una infinidad de circunferencias menores.

• COMPAS ESFÉRICO

Para trazar arcos en la superficie de una esfera, se usa un compás esférico, cuyas ramas son curvas.

Desde un mismo polo pueden describirse infinitas circunferencias, paralelas entre sí por ser sus planos perpendiculares a la línea de los polos.Para describir en la superficie de una esfera un arco de circunferencia máxima, se toma una distancia polar igual a la cuerda de un cuadrante, es decir:

PB = r raíz de 2

FIGURAS INSCRITAS EN LA ESFERA

FIGURAS CIRCUNSCRITAS EN LA ESFERA

PLANOS Y RECTAS TANGENTES EN LA ESFERA Se dice que un plano es tangente a una esfera cuando no tiene más que un punto común con ella. Este punto común se llama punto de contacto.

El plano perpendicular al radio de una esfera en su extremo, es tangente a la esfera, con lo cual queda demostrada su existencia.

TEOREMA

• Todo plano perpendicular a un radio de una esfera en su extremo, es tangente a la superficie esférica en dicho punto.

Sea el plano P perpendicular al radio OI, en su extremo I. Siendo el radio OI perpendicular al plano P, cualquier otro segmento OL que une el centro con un punto del plano distinto de I, será oblicuo y, por tanto, mayor que OI. El plano P no tendrá más puntos comunes con la esfera que el I, y será, por consiguiente, tangente a la misma.

TEOREMA

• El lugar geométrico de las tangentes trazadas a una esfera O, desde un punto exterior A, es un cono de revolución.

Desde un punto exterior A, tracemos una tangente cualquiera AC, a la esfera, y sea C el punto de contacto.El plano determinado por el centro O y la tangente AC corta a la esfera según un círculo máximo, al cual es tangente la recta AC.La hipotenusa AO y el cateto OC del triángulo rectángulo AOC son valores constantes; por tanto, el ángulo OAC lo será también, y la tangente AC será la generatriz que, en su movimiento alrededor del eje AO, engendrará un cono de revolución .

Este cono se llama como circunscrito a la esfera. La circunferencia B, B‘, descrita por el punto C en su trayectoria, se llama circunferencia de contacto.

TEOREMA

• La sección producida en una superficie (cilíndrica, cónica) de revolución por un plano que corte a todas las generatrices y oblicuamente al eje es una elipse.Sea la superficie Q, y el plano P; consideramos dos esferas O y O’ inscritas en la superficie y tangentes al plano en los puntos F y F‘.

Sea M un punto de la sección y tracemos por el la generatriz HH’. Los segmentos MF y MH son iguales, por ser tangentes trazadas a la esfera O desde un mismo punto M.También son iguales MF’ y MH’, por la misma razón, respecto de la esfera O’.

Por tanto MF’ es igual a MH + MH’ = HH’ distancia constante para cualquier punto M de la sección.Luego la curva es una elipse de focos F y F‘ y cuyo eje mayor tiene una longitud igual a HH’.

FIGURAS EN

LA ESFERA

☺ CASQUETE ESFÉRICO:

Es la porción de superficie esférica comprendida entre la esfera y un plano secante a esta.

Área y volumen de un casquete esférico

o ZONA ESFÉRICA:

Es la porción de superficie comprendida entre dos planos paralelos y secantes a la esfera. Las secciones producidas por estos dos planos son círculos.

Área y volumen de una zona esférica

o HUSO ESFÉRICO

El huso esférico es la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella

• CUÑA ESFÉRICA

La cuña esférica es la parte de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

Área del Huso Esférico

Volumen de la Cuña Esférica

• HEMISFERIO

Es cada una de las partes en que queda dividida la superficie esférica por un plano que pasa por el centro de la esfera, llamado plano diametral.

• SEMIESFERA

Parte de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

•SEGMENTO ESFÉRICO

• SECTOR ESFÉRICO

Sólido generado al girar un sector de círculo alrededor del diámetro que biseca al sector. También se puede formar un sector esférico moviendo un radio a lo largo de un círculo sobre la superficie de una esfera. Normalmente consiste en un segmento esférico y un cono circular recto

Sólido formado cortando una esfera con uno o dos planos paralelos.

POSICIONES

RELATIVAS DE DOS

ESFERAS

TEOREMA .- Si dos esferas son secantes, se cortan según una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la línea de los centros de las esferas, y cuyo pie es el centro de la circunferencia misma.

Sean A y B los círculos generadores de dos esferas, y EF el eje de revolución.

La línea de los centros AB es mediatriz de la cuerda común CD, cuyo punto medio es I (215, 2 grados). En la rotación, el segmento IC engendra un círculo cuyo plano es perpendicular a la línea de los centros

POSICIONES DE DOS ESFERAS Cualquier plano que pase por la línea de los centros corta a

las superficies esféricas según circunferencias máximas, y las cinco posiciones que éstas puedan ocupar nos dan las cinco posiciones análogas que pueden tener dos esferas.

Cuando dos esferas son secantes, la distancia de sus centros es menor que la suma de sus radios y mayor que su diferencia. Si son tangentes exteriores, la distancia de sus centros es igual a la suma de sus radios; si son tangentes interiores, la distancia de sus centros será igual a la diferencia de sus radios. Cuando son exteriores, la distancia de sus centros es mayor que la suma de sus radios, y cuando son interiores, la distancia de sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

COROLARIO

Cuando dos esferas son tangentes, la línea de los centros pasa por el punto de contacto.

CONSTRUCCIONES EN LA SUPERFICIE ESFÉRICA

En la superficie esférica se pueden realizar construcciones análogas a las que se efectúan en el plano, utilizando para ello el compás esférico. Con él se pueden trazar circunferencias máximas y menores, haciendo centro en un polo que no esté más alejado de la circunferencia que el otro, llamado antipolo.

Más importante que estas construcciones es la construcción en un plano de los elementos de una figura esférica, los elementos desconocidos de un triángulo esférico cuando se dan los datos suficientes para determinarle.

AREA

VOLUMEN

DESARROLL

O

Existen dos desarrollos con los cuales podemos formar la esfera:

1.Mediante husos la superficie de la esfera no es desarrollable; pero si se descompone en husos, fácilmente se logra desarrollarla en la práctica con una aproximación suficiente, como sucede, por ejemplo para la construcción de globos.

Sea desarrollar la superficie de una esfera de 7 mm de radio. Supongamos la esfera descompuesta en 12 husos iguales. La circunferencia de un círculo máximo es igual a: mmr 4471416,32.2

Se construye un rectángulo ABCD de 44mm de base 44/2 mm de altura.

Desde el punto E, mitad de AD, se traza EF paralela a Ab.Luego se divide EF en 12 partes iguales y en medio de cada división se traza una perpendicular hasta encontrar AB y DC; por último, se unen los extremos de cada perpendicular por medio de dos arcos de círculo.

2.Mediante zonas:

Se corta la esfera por una serie de planos paralelos (cuanto más numerosos mayor precisión), los cuales descomponen la esfera en rebanadas o segmentos esféricos, y la superficie esférica en zonas y dos casquetes.

Se remplaza cada segmento por un tronco de cono de revolución de bases paralelas y de misma altura que el segmento, y se desarrollan sus superficies laterales de modo que presenten dos ejes de simetría comunes rectangulares, como lo indica el esquema.