ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS …

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE

INGENIEROS DE MINAS

Titulación: Ingeniero Técnico de Minas

PROYECTO FIN DE CARRERA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A

LOS RECURSOS NATURALES

VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE

SENSORES DE TEMPERATURA

Elias Martínez Lobelle Septiembre 2013

TITULACIÓN: INGENIERO TÉCNICO DE MINAS

ESPECIALIDAD: RECURSOS ENERGÉTICOS, COMBUSTIBLES

Y EXPLOSIVOS

Autorizo la presentación del proyecto

“Vigilancia por análisis de ruido de sensores de temperatura”

Realizado por

Elias Martínez Lobelle

Dirigido por

Cristina Montalvo Martín

Firmado: Prof. Cristina Montalvo Martín

Fecha:………………………………………………

I

ÍNDICE

RESUMEN ................................................................................. VII

ABSTRACT ............................................................................... VII

Documento 1: MEMORIA ............................................................. 1

1 Objetivos y alcance ................................................................... 2

2 Antecedentes ............................................................................. 3

2.1 Sensores de temperatura (TRPs y Termopares) ................................................. 3

2.1.1 Características de las TRPs ......................................................................... 3

2.1.2 Características de los Termopares .............................................................. 6

2.2 Sensores de temperatura en centrales nucleares ................................................. 8

2.3 Señales .............................................................................................................. 12

2.4 Herramientas .................................................................................................... 12

2.4.1 Autocorrelación ........................................................................................ 12

2.4.2 Transformada de Laplace .......................................................................... 13

2.4.3 Transformada de Fourier .......................................................................... 18

3 Análisis de sistemas ................................................................ 25

3.1 Sistemas de primer orden ................................................................................. 25

3.1.1 Obtención del tiempo de respuesta ........................................................... 27

3.2 Sistema de segundo orden ................................................................................ 31

4 Análisis estadístico .................................................................. 37

4.1.1 Desviación típica ....................................................................................... 37

4.1.2 Sesgo ......................................................................................................... 39

4.1.3 Curtosis ..................................................................................................... 41

4.1.4 Histogramas de casos anómalos ............................................................... 43

5 Análisis espectral .................................................................... 45

5.1 Teorema del muestreo ...................................................................................... 45

II

5.1.1 Aliaising .................................................................................................... 45

5.2 Modelo autorregresivo (AR) ............................................................................ 46

5.2.1 Cálculo de los coeficientes autorregresivos .............................................. 46

5.2.2 Criterio de información de Akaike ........................................................... 47

5.3 Ajuste ............................................................................................................... 48

5.3.1 Estacionariedad de la señal ....................................................................... 49

5.3.2 Filtro .......................................................................................................... 50

5.3.3 Remuestreo ............................................................................................... 55

5.3.4 Proceso de solape ...................................................................................... 55

5.4 Estimación del tiempo de respuesta por medio de la PSD ............................... 58

5.5 Calibración cruzada .......................................................................................... 62

5.6 Cálculo de la incertidumbre ............................................................................. 63

5.7 Estudio de un caso particular ........................................................................... 65

6 Conclusiones ........................................................................... 70

7 Bibliografía ............................................................................. 71

7.1 Bibliografía general .......................................................................................... 71

7.2 Páginas Web ..................................................................................................... 71

Documento 2: ESTUDIO ECONÓMICO .................................... 72

Documento 3: ANEXOS .............................................................. 76

ANEXO A: Ruido ........................................................................ 77

Primer ciclo (C1) medidas 4_2 ....................................................................................... 78

Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre .............................................................. 82

Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre .............................................................. 87

Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio ...................................................................... 91

Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio ...................................................................... 96

Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 100


Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 108


III

ANEXO B: AIC .......................................................................... 114

Primer ciclo (C1) medidas 4_2 ..................................................................................... 115

Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre ............................................................ 118


Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio .................................................................... 127






ANEXO C: PSD ......................................................................... 150

Primer ciclo (C1) medidas 4_2 (print -dmeta) .............................................................. 151









IV

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Comparación de resistencia relativa frente a temperatura en distintos

materiales de una TRP ...................................................................................................... 4

Figura 2: Ilustración del elemento sensor de un TRP ....................................................... 5

Figura 3: Ensamblaje de un TRP ...................................................................................... 6

Figura 4: Componentes básicos del circuito de un termopar ............................................ 7

Figura 5: Sensor típico de un termopar ............................................................................. 8

Figura 6: Diagrama simplificado del lazo de refrigeración primario de una planta PWR 9

Figura 7: Representación de la respuesta de una TRP a un escalón de temperatura en el

reactor ............................................................................................................................. 10

Figura 8: parte imaginaria y parte real de para una frecuencia de 3 Hz .............. 21

Figura 9: Nuevas funciones resultado de los productos y ..... 22

Figura 10: Respuesta a una delta de Dirac de un sistema de primer orden (tau=0,1) ..... 26

Figura 11: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden (tau=5) ........................ 28

Figura 12: Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden (tau=10) ..................... 29

Figura 13: Obtención de tau mediante el ajuste por una recta de mínimos cuadrados del

régimen permanente ........................................................................................................ 30

Figura 14: Carro .............................................................................................................. 31

Figura 15: Respuestas al escalón .................................................................................... 33

Figura 16: Respuestas a rampa ....................................................................................... 34

Figura 17: Respuestas a delta de Dirac ........................................................................... 35

Figura 18: Respuestas a armónicos ................................................................................. 36

Figura 19: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de diciembre

4_2 .................................................................................................................................. 43

Figura 20: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de junio 4_3

........................................................................................................................................ 44

Figura 21: Histogramas de los termopares del C3 (tercer ciclo) medidas de septiembre

4_2 .................................................................................................................................. 44

Figura 22: AIC del termopar CET4 de las medidas del C1 ............................................ 48

Figura 23: Ejemplo de una señal estacionaria en media ................................................. 49

Figura 24: Ejemplo de una señal estacionaria en varianza ............................................. 50

Figura 25: Modelo AR y PSDy antes del filtrado ........................................................... 51

Figura 26: Modelo AR y PSDy sin solapar .................................................................... 57

V

Figura 27: Modelo AR y PSDy solapadas y ajustadas ................................................... 58

Figura 28: Evolución del tiempo de respuesta de los distintos termopares .................... 61

Figura 29: Evolución del tiempo de respuesta de las TRPs ............................................ 62

Figura 30: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (filtradas)

........................................................................................................................................ 66

Figura 31: AIC del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (señal

filtrada) ............................................................................................................................ 67

Figura 32: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (sin filtrar)

........................................................................................................................................ 68

Figura 33: señal de ruido del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 . 69

Figura 34: respuesta del compensador de atraso-adelanto para una entrada del tipo

rampa .............................................................................................................................. 74

VI

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Transformadas de Laplace de varias funciones ................................................ 15

Tabla 2: Comparación entre órdenes de magnitud de DFT y FFT ................................. 23

Tabla 3: Resultados de las desviaciones típicas de los termopares y las TRPs .............. 38

Tabla 4: Datos de Sesgo de los termopares y las TRPs .................................................. 40

Tabla 5: Datos de curtosis de los termopares y las TRPs ............................................... 42

Tabla 6: Tiempos de respuesta de varios sensores, obtenidos con señales filtradas a

frecuencias de corte de 1,25 Hz y 2,5 Hz ....................................................................... 52

Tabla 7: Ejemplos de la transformada de Fourier de una señal par y otra impar ........... 53

Tabla 8: Transformada de Fourier de señal par e impar filtrada .................................... 54

Tabla 9: Remuestreo de una variable .............................................................................. 55

Tabla 10: Datos del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs ......................... 60

Tabla 11: Media total, valores máximos y mínimos de TRPs y Termopares ................. 63

Tabla 12: Incertidumbre de medida ................................................................................ 64

Tabla 13: Media e incertidumbre del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs

........................................................................................................................................ 65

VII

RESUMEN

En este proyecto se van a aplicar las técnicas de análisis de ruido para caracterizar la

respuesta dinámica de varios sensores de temperatura, tanto termorresistencias de

platino como de termopares. Estos sensores son imprescindibles para él correcto

funcionamiento de las centrales nucleares y requieren vigilancia para garantizar la

exactitud de las medidas. Las técnicas de análisis de ruido son técnicas pasivas, es decir,

no afectan a la operación de la planta y permiten realizar una vigilancia in situ de los

sensores.

Para el caso de los sensores de temperatura, dado que se pueden asimilar a sistemas de

primer orden, el parámetro fundamental a vigilar es el tiempo de respuesta. Éste puede

obtenerse para cada una de las sondas por medio de técnicas en el dominio de la

frecuencia (análisis espectral) o por medio de técnicas en el dominio del tiempo

(modelos autorregresivos). Además de la estimación del tiempo de respuesta, se

realizará una caracterización estadística de las sondas. El objetivo es conocer el

comportamiento de los sensores y vigilarlos de manera que se puedan diagnosticar las

averías aunque éstas estén en una etapa incipiente.

ABSTRACT

In this project we use noise analysis technique to study the dynamic response of RTDs

(Resistant temperature detectors) and thermocouples. These sensors are essential for the

proper functioning of nuclear power plants and therefore need to be monitored to

guarantee accurate measurements. The noise analysis techniques do not affect plant

operation and allow in situ monitoring of the sensors.

Temperature sensors are equivalent to first order systems. In these systems the main

parameter to monitor is the response time which can be obtained by means of

techniques in the frequency domain (spectral analysis) as well as time domain

(autoregressive models). Besides response time estimation the project will also include

a statistical study of the probes. The goal is to understand the behavior of the sensors

and monitor them in order to detect any anomalies or malfunctions even if they occur in

an early stage.

1

Vigilancia por análisis de ruido de sensores de

temperatura

Documento 1: MEMORIA

2

1 Objetivos y alcance

El objetivo que se persigue en el presente proyecto consiste en averiguar el tiempo de

respuesta de los instrumentos de medida que controlan la temperatura de entrada y

salida del núcleo de una central nuclear, termorresistencias de platino y Termopares

respectivamente.

Para ello se usan las técnicas de análisis de ruido. Mediante estas técnicas y él estudio

estadístico de las señales de los sensores a lo largo de un cierto periodo se lleva a cabo

la visualización de los sensores y de su tiempo de respuesta a lo largo del tiempo

transcurrido. Gracias a la monitorización y control de la deriva que presentan los

sensores es posible identificar problemas en los instrumentos de medida y validar su

correcto funcionamiento.

Mediante las técnicas mencionadas se puede realizar un mantenimiento predictivo de

toda clase de instrumentos de medida. Para este proyecto se han estudiado las

termorresistencias de platino (TRP) o RTDs (resistance temperature detectors) y los

termopares de salida del núcleo CETs (core exit thermocouples).

3

2 Antecedentes

2.1 Sensores de temperatura (TRPs y Termopares)

2.1.1 Características de las TRPs

Una TRP (Termorresistencia de platino) está compuesta de seis elementos:

Sensor

Estructura de soporte

Material aislante

Cables conectores

Vaina

Termopozo

Hoy en día, el elemento sensor de todas las TRPs está hecho de platino. Antes el

elemento sensor era níquel o cobre. En la figura 1 se compara la resistencia relativa con

la temperatura para el caso del platino, cobre y níquel. El platino es más lineal que el

cobre y el níquel además de abarcar mayor rango de temperatura. El cobre y el níquel

tienen mayor resistencia relativa de salida pero el cobre solo es útil hasta 250ºC. El

níquel no sigue una dinámica lineal.

Además de abarcar un amplio rango de temperatura y seguir una dinámica lineal, el

platino tiene la ventaja de poderse fabricar en diámetros pequeños. Es un metal noble

(químicamente inactivo) que no se oxida y puede hacerse con gran pureza. Los

diámetros de cable de platino usados para las TRPs están en un rango entre 0,05-0,5

mm.

4

Figura 1: Comparación de resistencia relativa frente a temperatura en distintos materiales de una TRP

Para construir el elemento sensor de una TRP se enrolla el cable de platino alrededor de

una estructura soporte. A continuación se conectan cuatro cables de platino a dos puntos

del extremo de la estructura soporte tal como se ve en la figura 2. A estos cables se les

llama cables conectores. Las TRPs están compuestas de cuatro cables conectores. Dos

de ellos se utilizan para medir la resistencia de los cables conectores y restarla al bucle

de resistencia. A dos de los cables conectores se les aplica una corriente constante. Los

otros dos se usan para medir la caída de potencial en el elemento de platino del cual se

resta la resistencia de la TRP.

5

Figura 2: Ilustración del elemento sensor de un TRP

La resistencia en el punto de congelación (0ºC) de una TRP industrial es típicamente de

100 ohmios o 200 ohmios.

Durante la fabricación del elemento sensor se mide la resistencia del cable de platino en

un baño de hielo a su vez ajustando el largo del cable hasta obtener una resistencia de

100 ohmios o 200 ohmios en el punto de congelación del agua.

La siguiente ecuación da la resistencia del cable en función de su largo :

La resistividad del cable (una propiedad intrínseca del elemento metálico) viene dada

por la letra griega ro . El área de la sección del elemento se calcula mediante la

ecuación siguiente:

es el diámetro.

La construcción de la TRP se completa cuando se inserta el montaje de la figura 2 en la

vaina (figura 3).

6

Figura 3: Ensamblaje de un TRP

Se distinguen dos tipos de TRPs: de inmersión directa y montadas dentro de un

termopozo. Las TRPs de inmersión directa tienen mejor tiempo de respuesta

comparadas con las TRPs de termopozo. Sin embargo, las TRPs de inmersión directa

son difíciles de reemplazar.

2.1.2 Características de los Termopares

Un termopar está compuesto de dos metales (cables) unidos el uno al otro por un

extremo y sin unir por el otro (figura 4). El punto donde se juntan los dos cables se

llama unión de medida. Por el otro extremo, en la unión de referencia, los cables están

unidos a un indicador de temperatura. Si la unión de medida y la unión de referencia se

encuentran a temperaturas diferentes se produce un voltaje llamado fuerza

electromagnética (f.e.m.). La magnitud de la f.e.m. depende de las propiedades de

ambos metales y la diferencia de temperatura entre la unión de medida y la unión de

referencia. Para calibrar termopares se inserta la unión de referencia en un baño de hielo

(0ºC).

7

Figura 4: Componentes básicos del circuito de un termopar

Para medir en entornos a altas temperaturas se insertan los dos cables dentro de una

vaina que aísla eléctricamente (figura 5). Una vez dentro de la vaina, esta se sella

herméticamente para proteger de la humedad. Si la humedad lograra entrar dentro del

termopar, esté daría una señal ruidosa.

8

Figura 5: Sensor típico de un termopar

Si hiciera falta más protección de la que provee la vaina, está puede ser insertada dentro

de un termopozo. Este es el caso de termopares usados en entornos con fluidos a alta

velocidad o muy reactivos. Además de proteger el sensor, el uso del termopozo hace

más fácil reemplazar el termopar.

2.2 Sensores de temperatura en centrales nucleares

La mayoría de temperaturas de procesos críticos en plantas nucleares se miden usando

Termorresistencias de platino y termopares.

Por ejemplo, en reactores de agua a presión, en inglés, pressurized water reactor

(PWR), la temperatura del lazo de refrigeración primaria se mide usando TRPs y la

temperatura del agua que sale del núcleo se mide usando termopares. El propósito de los

termopares es de control y no se les requiere gran precisión y rendimiento del tiempo de

respuesta.

Las TRPs relacionadas con la seguridad nuclear deben pasar pruebas ambientales y

sísmicas. El Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) establece los

requerimientos necesarios para demostrar que pueden sobrevivir un loss of coolant

accident (LOCA) y un evento sísmico sin dejar de proveer un servicio fiable.

9

Las características más importantes de las TRPs para la seguridad y eficiencia de

plantas nucleares son: gran fiabilidad ante accidentes, estar bien calibradas y tener

tiempos dinámicos de respuesta pequeños.

La figura 6 representa un diagrama simplificado de la rama de refrigeración primaria en

una planta PWR.

Figura 6: Diagrama simplificado del lazo de refrigeración primario de una planta PWR

La potencia térmica P es el producto de la diferencia de temperatura ∆T del núcleo y el

caudal másico en la rama de refrigeración primaria. La ∆T es típicamente de 30ºC.

Un error de un grado en la medida de ∆T corresponde con un 3,33 % de potencia de

salida. Es importante calibrar bien TRPs para la economía de una planta nuclear. La

calibración debe ser de 0,3 ºC o mejor, antes de instalarse.

10

Figura 7: Representación de la respuesta de una TRP a un escalón de temperatura en el reactor

En la figura 7 se ilustra la importancia que tiene el tiempo de respuesta de las TRPs en

plantas nucleares. En ella está representada la respuesta a un escalón de temperatura del

refrigerante primario en una central PWR. Para garantizar que el sistema funcione de

forma segura, las TRPs deben de activar de inmediato una acción que mitigue el efecto,

y si es necesario, un scram del reactor. Es por eso que los requisitos del tiempo de

respuesta de TRPs del refrigerante primario en plantas PWR son tan importantes. Estos

requisitos varían de planta a planta. En plantas donde las TRPs se instalan dentro de

termopozo en el lazo de refrigeración primaria, el tiempo de respuesta debe de estar en

un rango entre 4,0-8,0 s. Hay gran contraste con los 1,0-3,00 s de tiempo de respuesta

requerido de las TRPs de inmersión directa instaladas en lazos de bypass. Algunas

plantas usan líneas de bypass para ayudar a recoger toda el agua del reactor de los lazos

de refrigeración y mezclarla antes de medir la temperatura del refrigerante primario. Las

TRPs de los lazos de bypass deben de tener tiempos de respuesta rápidos para

compensar el tiempo que tarda el agua desviada del lazo de refrigeración primaria en

alcanzar el lugar donde se mide su temperatura.

11

Método para detectar problemas con TRPs y termopares de salida del núcleo.

Examinar el tiempo de respuesta de TRPs y termopares in situ (mientras la central está

en operación) permite medir el tiempo de respuesta “in service” de los sensores para

cumplir los requisitos especificados y pasar regulaciones.

Otras ventajas de examinar el tiempo de respuesta in situ son: prever mantenimiento

futuro, detectar fallos incipientes y controlar la deriva de los sensores además de planear

el reemplazo de los mismos.

Finalmente, examinar el tiempo de respuesta permite a las plantas distinguir entre

problemas del sensor y problemas del cable o conector y hacer un diagnóstico de

anomalías del sensor o proceso.

No se examina el tiempo de respuesta de los termopares en centrales nucleares

regularmente como sucede con las TRPs dado que no es tan importante para la planta

nuclear. Cuando se examina el tiempo de respuesta de un termopar, las centrales

nucleares prefieren usar el método de análisis de ruido.

El método de análisis de ruido está basado en el hecho de que la salida de todos los

procesos de los sensores de planta nuclear contienen fluctuaciones debidas al flujo

neutrónico, transferencia de calor de carácter aleatorio, turbulencias, vibraciones y otros

fenómenos mecánicos y termo hidráulicos. Estas fluctuaciones (ruido) se pueden extraer

de la salida del sensor y analizar para obtener el tiempo de respuesta del sensor. El

método se compone de tres pasos: obtención de la información, cualificar la

información y analizar la información.

La salida normal de un termopar es una señal DC la cual contiene superpuesta el ruido

procesado (señal AC). Durante la obtención de la información, se extrae el ruido de la

salida del termopar mediante la extracción de la componente DC de la señal y la

amplificación de la componente AC. Esto se consigue con equipos de procesamiento de

señal, amplificadores, filtros y otros componentes. La señal AC se digitaliza usando una

frecuencia de muestreo alta (e.g. 1kHz) y almacenándola para el análisis.

Durante el análisis, la información del ruido se analiza en el dominio de la frecuencia o

el tiempo. Para el análisis en el dominio de la frecuencia, se debe obtener la Power

Spectral Density (PSD) de la señal del ruido mediante el algoritmo Fast Furier

Transform. A continuación se superpone la PSD con un modelo matemático del

termopar del cual se calcula el tiempo de respuesta. Las PSDs de las plantas nucleares

12

tienen diversas formas dependiendo de la planta, la instalación y servicio del termopar,

las condiciones de proceso y otros efectos. Para el análisis en el dominio del tiempo, la

información del ruido es procesada mediante el modelo autorregresivo (AR). Este

modelo proporciona la respuesta al impulso y al escalón de las cuales se calcula el

tiempo de respuesta del sistema. Normalmente se analiza el ruido tanto en el dominio de

la frecuencia como en el del tiempo y los resultados se promedian para obtener el

tiempo de respuesta del sistema.

2.3 Señales

Las señales son las medidas de las TRPs y termopares. Se llama señal a los datos

obtenidos de una TRP o un termopar durante el período de tiempo que este se encuentra

midiendo sin interrupción. Es decir, si un termopar está tomando medidas entre las 9 am

y las 10am del día 26 de marzo de 2011 por ejemplo, esas medidas compondrán una

señal.

Hay centrales nucleares que funcionan durante 12 meses pero las hay también que

funcionan durante 24 meses o incluso centrales que funcionan indefinidamente. Las

centrales que si necesitan hacer paradas cada cierto tiempo, por ejemplo las que

funcionan durante 12 meses, el décimo tercer mes se les recarga el combustible gastado

y de nuevo se ponen en funcionamiento. Esos períodos de 12 meses que la central está,

aportando electricidad a la red, se llaman ciclos.

Las diferentes señales se identificarán por: el ciclo, mes y momento (período del día)

que fueron tomadas, además de, el termopar o TRP con que fueron tomadas.

2.4 Herramientas

A continuación se exponen los métodos de cálculo (herramientas) necesarios para el

tratamiento de las señales mediante la técnica de análisis de ruido.

2.4.1 Autocorrelación

La autocorrelación C se forma hallando el valor medio en todo el proceso del producto

del valor de la función en un instante t por el valor de la función en un instante

separado del anterior un intervalo .

13

A continuación se tiene un ejemplo para su cálculo:

El resultado de realizar la autocorrelación de un vector con un número de puntos dado

es un vector nuevo cuyo número de puntos equivale a , siendo el número de

puntos del vector sin correlacionar. Es importante tener en cuenta esta faceta de la

autocorrelación para cálculos posteriores.

2.4.2 Transformada de Laplace

Definición de la transformada de Laplace

Sea f (t) una función del tiempo t. La transformada de Laplace de f (t) es la siguiente

función de s:

El comportamiento de un termopar se puede aproximar por una función diferencial de

primer orden. Esta ecuación representa como responde el sistema (termopar) a

diferentes tipos de entradas. Para facilitar el cálculo se usa la transformada de Laplace

14

tanto de la función de respuesta al impulso del sistema como de las diferentes entradas

(escalón, rampa, impulso y aleatoria). Con la transformada de Laplace de estas

funciones se puede resolver el cálculo para obtener la respuesta del sistema

algebraicamente. Una vez calculada la respuesta se utiliza la transformada inversa de

Laplace para ver la respuesta en el dominio t y poder interpretar como responde el

sistema.

Transformada inversa de Laplace

El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de su transformada de

Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La transformada inversa de

Laplace se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:

La integral de inversión es complicada y, por tanto, no se recomienda su uso. Un

método conveniente para obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de

transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una

forma que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que

la función en cuestión no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace. Si una

transformada específica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones

parciales y escribirse en términos de funciones simples de s para las cuales ya se

conocen las transformadas inversas de Laplace.

El método de fracciones parciales se basa en el hecho de que encontrar la transformada

de Laplace o su inversa es una operación lineal. Por ello, si una transformada se pudiera

descomponer en una suma de transformadas más simples, se podría encontrar la inversa

de la transformada global obteniendo por separado la inversa de cada función más

simple y luego sumándolas.

Para obtener cada transformada inversa que componen la suma de transformadas

simples obtenidas de la descomposición en fracciones parciales, se utiliza una tabla de

transformadas de Laplace (tabla 1).

15

Tabla 1: Transformadas de Laplace de varias funciones

Transformada de Laplace del escalón

La función escalón se define como:

, para

, para

Si

La transformada de Laplace es una integral impropia dado que el límite superior es

infinito. Para resolver se sustituye infinito por otra variable, en este caso he escogido w.

Se hace una sustitución en u:

Transformada de Laplace de la rampa

La función rampa se define como:

, para

16

, para

Si

Resolvemos con integración por partes:

Para resolver v, se hace una sustitución por u igual que en el ejemplo de escalón.

L’Hôpital:

Transformada inversa de la respuesta al escalón

El denominador puede escribirse como el producto de dos factores:

Entonces la función puede expresarse en forma de fracciones parciales como la suma de

dos términos:

Donde A y B son constantes.

17

Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.

Sustituyendo A en la ecuación obtendremos el otro término, B:

Dividimos el nominador y denominador de la segunda fracción por τ:

Miramos en la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) las fracciones con las que

corresponden y sustituimos.

Transformada inversa de la respuesta a la rampa


Sustituyendo A en la ecuación obtendremos el otro término, B:

Se multiplica el numerador y denominador de la segunda fracción por s:

La segunda fracción se puede descomponer de nuevo en dos fracciones.

18


Sustituyendo C en la ecuación obtendremos el otro término, D:

Finalmente nos queda:

Miramos en la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) las fracciones con las que

corresponden y sustituimos.

2.4.3 Transformada de Fourier

La transformada de Fourier (continua)

La transformada de Fourier cambia la información, del dominio del tiempo al dominio

de la frecuencia. Esta información puede ser una señal, una función de onda, un voltaje,

datos financieros, etc.…

(1)

En la ecuación (1) aparece la función continua en el dominio del tiempo. Una

manera de representar esta función es como suma de amplitudes que ocurren en cada

punto del tiempo. El valor de la función en el tiempo δ(t-t1) es igual a . Si se

define para todo el rango del tiempo obteniendo , , , se puede

representar la función como la suma de las amplitudes correspondientes en cada

momento del tiempo.

19

Cualquier señal en el dominio del tiempo es por lo tanto una suma de números que

representan la amplitud de la señal en puntos discretos del tiempo.

Otra manera de representar una señal en el dominio del tiempo es haciendo la suma de

funciones que cubren todo el rango del tiempo. Funciones que cubren todo el rango del

tiempo son esencialmente ondas.

Describimos una onda sinusoidal como la magnitud M de dicha onda por una

exponencial. Aplicando el teorema de Euler se puede descomponer dicho producto en

una suma de un número real y otro imaginario.

Donde A representa la amplitud de la parte real y B, la amplitud de la parte imaginaria.

Se puede reproducir sumando todas las posibles combinaciones de ondas

sinusoidales que tienen la amplitud correcta.

(2)

El proceso de cálculo de la transformada de Fourier se puede resumir en el algoritmo

representado a continuación.

20

Para entender el algoritmo que sigue el proceso de cálculo de la transformada de Fourier

se presenta un ejemplo.

Se va a realizar la transformada de Fourier de la siguiente función:

Donde y tienen frecuencias de y respectivamente.

Lo primero que pide el algoritmo es asignar un valor de omega.

Si por ejemplo, el valor asignado de n, tiene una frecuencia , el resultado

de la parte real y la parte imaginaria de a lo largo de todo el tiempo, es el

representado en la figura 8.

Comienzo n = asignar valor

Sumatorio a lo largo de

todo t

Multiplicar por δt

Incrementar n Ultima n?

Fin

21

Figura 8: parte imaginaria y parte real de para una frecuencia de 3 Hz

Se procede a multiplicar el valor de por los valores de la parte real y la parte

imaginaria obtenidos anteriormente para cada instante de tiempo.

De esta manera se obtienen dos nuevas funciones (figura 9). Una resultado del producto

de la parte real y la función y la otra resultado de la parte imaginaria y la

función .

A continuación se resuelven las integrales definidas de la ecuación (2). Estas, no son

más que los sumatorios de los valores obtenidos de la multiplicación del paso anterior

para la parte real y la parte imaginaria respectivamente.

El resultado de las dos integrales dará el valor de las dos áreas finales, resultado del

sumatorio de las áreas comprendidas entre las nuevas funciones (resultado de la

multiplicación anterior) y el eje de abscisas para la parte real y la imaginaria

respectivamente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2

tiempo

f(t)

parte real de ejw t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2

tiempo

f(t)

parte imaginaria de ejw t

22

Figura 9: Nuevas funciones resultado de los productos y

En la imagen a de la figura 9, el sumatorio de las áreas coloreadas dará otra área

correspondiente al valor de la parte real del número complejo para

de frecuencia . El sumatorio de las áreas de la imagen b corresponde al valor

de la parte imaginaria para la misma frecuencia.

Se obtiene de esta forma el valor de , transformada de Fourier de la función

para de frecuencia .

Para acabar, se incrementa el valor de . Si se trata del último valor se termina el

algoritmo y se da por concluido el cálculo de la transformada de Fourier.

FFT

Fast Fourier transform (FFT) es un algoritmo para calcular eficientemente la

transformada de Fourier.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2

tiempo

a

f(t)·ejw t

f(t)

parte real de ejw t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2

tiempo

b

f(t)·ejw t

f(t)

parte imaginaria de ejw t

23

La Discrete Fourier Transform (DFT) es una operación para evaluar la transformada de

Fourier continua de una señal muestreada

con un número finito de

muestreos . Se define como:

Para el análisis espectral y filtrado, computar la DFT supone un gran número de

operaciones. Se desarrollan algoritmos eficientes para reducir el número de operaciones.

A estos se les llama Fast Fourier Transform Algorithms o Algoritmos FFT.

A continuación vemos el número de cálculos que supone hacer la DFT.

Ejemplo: N=2

Se observa que para cada valor de k hacen falta: N multiplicaciones complejas y N-1

sumas complejas. Dado que hay tantas k igual al valor de N, para cualquier valor de N,

se necesitan realizar N2 multiplicaciones complejas y N

2-N sumas complejas.

El número de operaciones complejas necesarias para computar DFT tiene un orden de

magnitud igual a N2. El número de operaciones complejas de algoritmos FFT es de un

orden de magnitud igual a Nlog2N.

Supongamos que una operación compleja tarda 1 ns. En la tabla 2 vamos a comparar el

tiempo de cálculo entre DFT y FFT para distintos valores de N.

Tabla 2: Comparación entre órdenes de magnitud de DFT y FFT

N DFT: N^2 (ns) FFT: Nlog2N (ns)

1,00E+03 1,00E+06 9,97E+03

1,00E+06 1,00E+12 1,99E+07 1,00E+09 1,00E+18 2,99E+10

Vemos a continuación el ejemplo expuesto en la fila 3 de la tabla 2

24

Concluimos que sale a cuenta realizar la transformada de Fourier con un algoritmo FFT

cuando hay que tratar muchos datos.

El algoritmo FFT usado para el cálculo de las señales en este proyecto es una función

integrada del programa MATLAB.

25

3 Análisis de sistemas

Se pretende determinar el comportamiento del sensor por medio de la ecuación modelo

también llamada función de transferencia que relaciona la señal de entrada al sistema

con la de salida.

La función de transferencia que se muestra a continuación, se define como el cociente

entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.

En lo sucesivo, se analizarán las respuestas del sistema a entradas tales como la función

escalón, rampa e impulso. Se supone que las condiciones iniciales son cero.

El proceso de cálculo para la obtención de la respuesta del sensor a una cierta entrada es

el que se muestra a continuación.

H(s): función de transferencia

e(t): entrada al sistema en el dominio del tiempo

s(t): salida del sistema en el dominio del tiempo

E(s): transformada de Laplace de la entrada

S(s): transformada de Laplace de la salida

A continuación, se explican los sistemas de primer y segundo orden por medio de

simulaciones realizadas con MATLAB.

3.1 Sistemas de primer orden

Son aquellos cuya función de transferencia es de la forma:

(3)

H1(s): función de transferencia de primer orden

26

Respuesta al impulso (delta de Dirac) de un sistema de primer orden. La

transformada de Laplace de la entrada impulso es la unidad y la salida será igual a la

función de transferencia:

Para simularlo se crea como entrada una matriz fila compuesta de 0 excepto un solo

valor igual a la unidad, situado en la mitad de la longitud del vector:

En la figura 10 aparece la salida producto de una entrada tipo función delta de Dirac a

un sistema de primer orden. El sistema de primer orden es el modelo matemático que

mejor asemeja la respuesta física de un sensor de temperatura. Si un sensor se encuentra

en un baño de temperatura constante en el cuál se produce un repentino aumento de

temperatura durante un solo instante para luego volver a las condiciones iniciales, se

puede intuir, que el sensor medirá igualmente un repentino aumento de temperatura y

debido al calentamiento residual, este medirá una bajada residual hasta volver a medir

las condiciones iniciales (figura 10).

Figura 10: Respuesta a una delta de Dirac de un sistema de primer orden (tau=0,1)

28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

salida

entrada

27

3.1.1 Obtención del tiempo de respuesta

De las respuestas de los sistemas de primer orden a las entradas del tipo función escalón

y rampa se puede determinar el tiempo de respuesta. Es decir, el tiempo que tarda el

sensor en dar la respuesta después de experimentar una entrada simulado mediante la

función de transferencia correspondiente.

Respuesta al escalón de un sistema de primer orden. Dado que la transformada de

Laplace de la función escalón es 1/s, sustituyendo E(s)=1/s en la ecuación (3) y

reordenando los términos:

Se obtiene:

A continuación se aplica la transformada inversa de Laplace:

Si hacemos t=τ se obtiene 0,632 lo que indica que cuando han transcurrido τ segundos

la salida s(t) alcanza un 63,2% de su amplitud.

Para simularlo se crea como entrada una matriz fila cuya primera mitad está compuesta

de 0 y la otra mitad es igual a la unidad:

En la figura 11 aparece la salida producto de una entrada tipo función escalón a un

sistema de primer orden. Si un sensor se encuentra en un baño de temperatura constante

en el cuál se produce un repentino aumento de temperatura la cual mantiene constante,

se puede intuir, que el sensor medirá un aumento progresivo hasta que la medida iguala

la temperatura real del baño (figura 11).

28

Figura 11: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden (tau=5)

Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden. Dado que la transformada de

Laplace de la función rampa es 1/s2, sustituyendo E(s)=1/s

2 en la ecuación (3) y

reordenando los términos:

Se obtiene:

A continuación se aplica la transformada inversa de Laplace:

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

salida

entrada

29

Figura 12: Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden (tau=10)

La respuesta a la rampa, salida del sistema de primer orden, se divide en dos partes.

Se puede distinguir el régimen transitorio que corresponde con la parte de la salida en la

que domina el término de la exponencial. Por otra parte, el régimen permanente

corresponde con la parte de la salida a partir de la cual se aprecia una recta de pendiente

constante ( se hace despreciable) (figura 12).

Resulta que la parte de la salida que más se asemeja con una recta, no tiene pendiente

constante.

El tiempo de respuesta será la diferencia en tiempo entre la entrada y la salida (en

régimen permanente). Para determinar el tiempo de respuesta se debe calcular la

derivada en cada punto de la salida. La derivada en un punto de una función es por

definición la pendiente de esa función en dicho punto. Si se realizan las derivadas en

todos los puntos de la función, se obtendrán valores que cada vez se aproximen más al

valor de la pendiente de la rampa de entrada.

30

Se debe establecer un rango de tolerancia a partir del cual el valor se aproxime lo

suficiente al valor de la pendiente de entrada para poder considerarlo régimen

permanente

A continuación se aproximan los puntos del régimen permanente por medio de una recta

de mínimos cuadrados. La resta del corte de ambas rectas con el eje de abscisas

determina el valor del tiempo de respuesta (figura 13).

Figura 13: Obtención de tau mediante el ajuste por una recta de mínimos cuadrados del régimen

permanente

31

3.2 Sistema de segundo orden

Figura 14: Carro

El sistema representado en la figura 14 está compuesto por un carro de masa m,

conectado a la pared por medio de un muelle o resorte y un amortiguador.

El amortiguador es un dispositivo que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento.

Está formado por un pistón y un cilindro lleno de aceite. El aceite resiste cualquier

movimiento relativo entre la varilla del pistón y el cilindro, debido a que el aceite debe

fluir alrededor del pistón (o a través de orificios en el pistón) de un lado del pistón al

otro. El amortiguador esencialmente absorbe energía que se disipa como calor.

En este sistema, m representa la masa, b denota el coeficiente de fricción viscosa y k es

la constante del resorte.

La segunda ley de Newton establece que

Donde m es la masa, a es la aceleración de la masa y ∑F es la suma de las fuerzas que

actúan sobre la masa.

Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación y re ordenando los

términos, se obtiene la función de transferencia.

Se define omega y gamma como:

32

(1) Sistema subamortiguado o subcrítico. γ<ω

Una k más grande significa un muelle más rígido. Un muelle rígido se diferencia

de otros muelles porque se contrae y relaja con dificultad.

Si la ω crece, la frecuencia natural del muelle fn también crece (directamente

proporcional). El muelle oscila a una frecuencia mayor apreciándose mayor

vibración.

En este tipo de sistema, la mayor parte de la energía es absorbida y se disipa en

el muelle y el amortiguador tiene menos efecto dado que tiene un coeficiente de

fricción viscosa b pequeño (ejerce menos resistencia).

(2) Sistema sobreamortiguado o supercrítico. γ>ω

En este caso la constante del muelle es pequeña y con lo cual el muelle será de

tipo poco rígido causando mayor oscilación en la salida del sistema. Es un

muelle que se deja contraer y relajar con facilidad

La oscilación del sistema viene determinada por el muelle.

(3) Sistema crítico. γ=ω

(4) Sistema nada amortiguado. k=0

Es un sistema compuesto solamente por el carrito con su masa y un

amortiguador. No hay muelle.

Debido a la falta de un muelle, este tipo de sistema oscilará hasta estar en

reposo.

Como veremos más adelante, si la entrada es un armónico, cuya frecuencia es la

frecuencia natural del sistema, este entrará en resonancia.

En la figura 15 se representan las diferentes respuestas que tiene un sistema de segundo

orden cuando se le aplica una entrada de tipo escalón.

33

Figura 15: Respuestas al escalón

Descripción de las respuestas (figura 15).

- La salida de un sistema tipo subamortiguado a la entrada escalón será una

función con oscilación de alta frecuencia al principio pero cuya oscilación

disminuirá debido al amortiguamiento hasta que finalmente sea una recta.

- La entrada escalón del sobreamortiguado produce un gran salto en amplitud que

enseguida se ve amortiguado de forma que no da tiempo a oscilar.

- En el caso de tratarse de un sistema tipo crítico produce la misma respuesta que

el sobreamortiguado pero de igual amplitud a la entrada.

- Cuando el sistema no está amortiguado (solo se compone de muelle), este

produce una salida de gran amplitud y oscilación. La función de respuesta a la

entrada escalón no se ve reducida como sucede en otros casos debido a que no

hay amortiguación con componente de fricción que la afecte.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tiempo(s)

y

respuestas a escalon

escalon

salida esc10(subamortiguado)

salida esc20(sobreamortiguado)

salida esc30(crítico)

salida esc4(nada amortiguado)

34

En la figura 16 se han simulado las diferentes respuestas de un sistema de segundo

orden cuando se le aplica una entrada de tipo rampa.

En ella se observa que cuando se trata de un sistema crítico, la salida al sistema se

asemeja a la salida de un sistema de primer orden. Es decir, el sistema de segundo orden

crítico se comporta como un sistema de primer orden cuando se ve expuesto a las

entradas tipo escalón (figura 15) y rampa (figura 16).

Figura 16: Respuestas a rampa

En la simulación representada en la figura 17 aparecen las diferentes respuestas de un

sistema de segundo orden cuando se le aplica una entrada de tipo rampa.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

tiempo(s)

y

respuestas a rampa

rampa

salida ram10(subamortiguado)

salida ram20(sobreamortiguado)

salida ram30(crítico)

salida ram4(nada amortiguado)

35

Figura 17: Respuestas a delta de Dirac

Para la simulación representada en la figura 18 se ha usado como entrada un armónico

de frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema.

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tiempo(s)

y

respuestas a Dirac

d Dirac

salida deL1(subamortiguado)

salida deL2(sobreamortiguado)

salida deL3(crítico)

salida deL4(nada amortiguado)

36

Figura 18: Respuestas a armónicos

La frecuencia natural de un objeto es la frecuencia producida de forma natural por el

choque de objetos, también se define como la frecuencia a la cual el objeto o sistema

entra en resonancia.

La salida producida por él sistema es un armónico cuya amplitud crece a medida que

aumenta el tiempo. El sistema ha entrado en resonancia. Si el tiempo tiende a infinito, la

amplitud de la respuesta del sistema también tiende a infinito. Este fenómeno se conoce

como resonancia.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

tiempo(s)

y

respuesta a armonicos

entrada armonico1

entrada armonico2

salida arm1(subamortiguado)

salida arm2(nada amortiguado)

37

4 Análisis estadístico

A continuación se van a definir distintos parámetros estadísticos que se calcularan para

las señales con el fin distinguir, que señales son válidas y cuáles pueden dar problemas

durante el proceso de análisis de ruido.

Los parámetros estadísticos se calculan sobre el ruido de la señal, el cual, se va a

describir más adelante.

4.1.1 Desviación típica

La desviación típica o standard deviation (σ) se define como la raíz cuadrada de la

varianza.

Donde n es el nº de puntos de la señal y la media.

La desviación típica da información de cómo están distribuidos los datos de la señal

alrededor de la media. Pueden estar alejados, dispersos o cerca de la media. Informa de

dónde están concentrados el mayor número de datos de una señal.

Un valor de la desviación típica pequeño indica que los datos están concentrados cerca

de la media. Sin embargo, un valor alto de la desviación típica indica que los datos se

encuentran desperdigados sobre un amplio rango de valores.

En la tabla 3 aparecen los resultados de las desviaciones típicas de las señales de los

termopares y las TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor de la desviación típica de

los termopares y las TRPs se encuentra entre 0,049 – 1,227 y 0,163 – 0,407

respectivamente. Los pocos casos que presentan valores muy dispares en comparación

con la gran mayoría de los resultados, se han dejado fuera para los cálculos del

promedio de la desviación típica, dado que falsean la estadística. Lo mismo sucede a

continuación con los cálculos de sesgo y curtosis. El promedio de los valores de

desviación típica de los termopares y las TRPs de la tabla 3 es de 0,241 y 0,248

respectivamente.

38

Tabla 3: Resultados de las desviaciones típicas de los termopares y las TRPs

C1mar4_2 C2dic4_2 C2dic4_3 C2jun4_2 C2jun4_3 C3jul4_2 C3jul4_3 C3sep4_2 C3sep4_3

CET1 0,28882821 0,34727045 0,08794702 0,37711082 0,37427913 0,10931744 0,11245822 0,10184532 0,22228868

CET2 0,22179951 0,27205186 0,06883291 0,23991033 0,22804508 0,07552556 0,07183736 1755,96663 1,22660525

CET3 0,05676165 874,527005 0,05975635 0,20030208 0,19256168 0,05948493 0,05349082 0,05583127 1,00375489

CET4 0 0,26337967 0,06879346 0,24913842 0,24705945 0,06585137 0,05780774 0,05755699 0,82173728

CET5 0 0,06996416 0,0655966 0,07312242 14,0577819 0,06438675 0,05837563 0,05655923 1,17319647

CET6 0,20892225 0,29771042 0,05370513 0,24301035 0,21807644 0,05846914 0,0504135 0,04941727 1,14531681

RTD1 0,23688556 0,40748861 0,26449003 0,28920044 0,2363748 0 0,22651238 0 0

RTD2 0,20102892 0,28149307 0,23776076 0,23865228 0,17293328 0 0,1627493 0 0

RTD3 0,21414744 0,3108125 0,29352519 0,28820607 0,21410825 0 0,18925138 0 0

39

4.1.2 Sesgo

El sesgo o skewness es una medida de asimetría. Las medidas de asimetría son

indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una

distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su

representación gráfica.

Como eje de simetría consideramos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por

la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de

valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de

desviaciones con signo positivo que con signo negativo. El valor del sesgo es nulo.

Decimos que hay asimetría positiva (a la derecha) si hay valores más separados de la

media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (a la izquierda), si hay valores

más separados de la media a la izquierda.

El sesgo se calcula de la siguiente manera:

En la tabla 4 aparecen los resultados del sesgo de las señales de los termopares y las

TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor del sesgo de los termopares y las TRPs se

encuentra entre -0,419 – 1,326 y -0,47 – 1,409 respectivamente. El promedio de los

valores del sesgo de los termopares y las TRPs de la tabla 4 es 0,237 y 0,44

respectivamente.

40

Tabla 4: Datos de Sesgo de los termopares y las TRPs


CET1 0,59656634 0,63079244 0,41261951 0,98046447 0,89306728 0,8759361 1,32634946 1,08978385 -0,05388855

CET2 0,08965421 0,29316539 -0,06536201 0,04410082 0,05373249 0,07167538 0,1347932 0,80898989 0,97258124

CET3 0,31520482 -10,0523898 0,41969172 0,13176113 0,14905935 0,12349422 0,03013827 0,17375316 0,19280529

CET4 0 0,20483522 0,09312725 -0,00683337 -0,03763377 -0,10376712 -0,22998025 -0,05303558 0,18806318

CET5 0 -0,24364243 -0,23060335 -0,41935115 0,01623493 -0,16858253 0,44592745 0,39206137 0,95718556

CET6 0,08483044 0,13162503 -0,04445928 -0,10789001 -0,20696758 -0,36862199 -0,0357738 0,24623772 1,22672632

RTD1 -0,29374629 -0,47013338 -0,06404375 0,02655123 0,17500764 0 -0,20573943 0 0

RTD2 0,74644793 0,31195057 0,63333589 0,17018619 0,42327696 0 0,8650502 0 0

RTD3 1,09435037 0,53704037 0,90585761 0,47208483 1,17820498 0 1,40883463 0 0

41

4.1.3 Curtosis

La curtosis es una medida de la tendencia puntiaguda de una distribución de

probabilidad. Distribuciones de probabilidad con curtosis presentan tendencias

más puntiagudas que la distribución normal. Distribuciones de probabilidad con curtosis

presentan tendencias menos puntiagudas respecto a la distribución normal.

La curtosis se calcula de la siguiente manera:

En la tabla 5 aparecen los resultados de la curtosis de las señales de los termopares y las

TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor de la curtosis de los termopares y las TRPs

se encuentra entre 2,716 – 10,75 y 2,459 – 6,213 respectivamente. El promedio de los

valores de curtosis de los termopares y las TRPs de la tabla 5 es de 4,668 y 3,512

respectivamente.

42

Tabla 5: Datos de curtosis de los termopares y las TRPs


CET1 4,08680831 3,93279365 3,91251708 5,09732345 4,34055399 5,46638551 8,89160226 7,87145751 3,34865347

CET2 2,85103896 2,75386992 4,16424938 3,00265024 3,19672178 3,63078567 3,24748522 17,4615071 3,63443303

CET3 10,7499782 773,031556 9,67541033 3,17449995 3,23019591 5,14129934 7,83363993 7,44099486 3,1317559

CET4 0 2,99306596 2,8253572 2,96066399 2,71605869 5,16598267 8,39468819 3,05892282 3,15559386

CET5 0 5,69212032 4,71493812 3,59112547 1,61005805 4,69864293 6,54717336 7,60762431 4,20910154

CET6 2,82341313 2,76502537 4,68186802 3,2317193 3,44753924 3,31550236 3,1694111 8,9462374 4,197947

RTD1 3,25724893 3,48568822 2,45915824 2,57888327 3,39939245 0 3,16129929 0 0

RTD2 3,79256797 2,54590467 3,73005455 2,53005681 3,22172212 0 4,85797969 0 0

RTD3 4,60555711 3,08540024 3,96334459 3,04443903 4,71886001 0 6,21308338 0 0

43

4.1.4 Histogramas de casos anómalos

En las figura 19, 20 y 21 están representados los histogramas de diferentes señales en

las que alguno de los histogramas presenta una anormalidad característica respecto a la

dinámica normal de los otros histogramas.

Las medias 4_2 del termopar CET3 del segundo ciclo (C2) tomadas en diciembre

(figura 19) presentan una desviación típica de 874 (tabla 3) y una curtosis de 773 (tabla

5Tabla 5), muy por encima de las respectivas medias cuyos valores son 0,24 y 4,67.

Podemos establecer por lo tanto que las medidas tomadas en esta fecha y hora por el

termopar CET3 están fuera de rango.

Figura 19: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de diciembre 4_2

Lo mismo mencionado antes ha sucedido en otros dos casos pero con otros termopares

y en distintas ocasiones.

Las medidas 4_3 del termopar CET5 del segundo ciclo (C2) tomadas en junio (figura

20Figura 20) tienen desviación típica de 14 (tabla 3) por encima de la media y curtosis

de 1,61 (tabla 5) por debajo de la media.

-1 -0.5 0 0.5 10

500

1000

1500

2000CET1

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET2

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1CET3

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET4

-1 -0.5 0 0.5 10

1000

2000

3000

4000CET5

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET6

44

Figura 20: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de junio 4_3

Las medidas 4_2 del termopar CET2 del tercer ciclo (C3) tomadas en septiembre (figura

21Figura 21) tienen desviación típica de 1756 (tabla 3) muy por encima de la media y

curtosis de 17 (tabla 5) también por encima de la media.

Figura 21: Histogramas de los termopares del C3 (tercer ciclo) medidas de septiembre 4_2

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET1

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET2

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET3

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800CET4

-1 -0.5 0 0.5 10

50

100

150

200CET5

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600

800

1000CET6

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

2000

4000

6000CET1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-1

-0.5

0

0.5

1CET2

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

2000

4000

6000CET3

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

500

1000

1500

2000

2500CET4

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

2000

4000

6000CET5

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

1000

2000

3000

4000

5000CET6

45

5 Análisis espectral

5.1 Teorema del muestreo

El teorema del muestreo permite obtener el eje de frecuencias de las señales para poder

pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia.

Las medidas de este trabajo fueron muestreadas a una frecuencia de 1000 Hz. Es decir,

se tomaba una medida cada milésima de segundo, mil medidas en el transcurso de un

segundo. Estas medidas se remuestrearon a una frecuencia de 50 Hz.

Las formulas necesarias para crear el eje de frecuencias se describen a continuación:

Siendo:

: Frecuencia de Nyquist

: Frecuencia de muestreo o Sampling frecuency

: Número de puntos de la señal

5.1.1 Aliaising

Cuando se obtienen muestras periódicas de una señal sinusoidal, puede ocurrir que se

obtengan las mismas muestras que se obtendrían de una señal sinusoidal igualmente

pero con frecuencia más baja. Específicamente, si una sinusoide de frecuencia f Hz es

muestreada s veces por segundo, y s ≤ 2·f, entonces las muestras resultantes también

serán compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm es la frecuencia de

muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de señales, cada una de las sinusoides se

convierte en un "alias" para la otra.

Está demostrado rigurosamente que para evitar el aliasing es necesario asegurarse de

que en la señal analógica a muestrear con una frecuencia s, no tenga componentes

sinusoidales de frecuencia mayor a s/2. Esta condición es llamada el criterio de Nyquist,

y es equivalente a decir que la frecuencia de muestreo s debe ser al menos dos veces

mayor que el ancho de banda de la señal.

http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al

http://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Hercio

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_muestreo_de_Nyquist-Shannon

http://es.wikipedia.org/wiki/Ancho_de_banda

46

5.2 Modelo autorregresivo (AR)

5.2.1 Cálculo de los coeficientes autorregresivos

El modelo autorregresivo (AR) es un modelo de serie temporal que permite predecir

futuros valores de la serie. Se basa en la hipótesis de que el instante actual, , está

determinado por los instantes anteriores, .

La ecuación que rige el modelo autorregresivo es la siguiente:

Siendo:

: Conjunto de datos estacionarios en el momento actual.

: Coeficientes del modelo autorregresivo.

: Valor de los datos en k momentos anteriores.

: Componente aleatoria sin información (ruido blanco).

En este apartado se trata de obtener el modelo autorregresivo con las ecuaciones de

Yule-Walker.

Para ello se debe determinar el orden del modelo. El orden del modelo AR corresponde

con el número de coeficientes autorregresivos del que éste se compondrá.

Más adelante, trataremos de determinar cuál es el orden adecuado según el criterio de

información de Akaike.

Si a cada punto de la señal, x, se le resta la media de la señal se obtiene la componente

de ruido de dicha señal.

Se hace la media:

Se resta la media a cada punto de la señal xi y se obtiene el ruido r.

47

Antes de proceder a calcular los coeficientes autorregresivos se debe hacer la

autocorrelación del ruido.

Este conjunto de n ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones de Yule-Walker, y

permiten obtener los coeficientes autorregresivos aj para un modelo de orden n a partir

de los n primeros valores de la autocorrelación de la respuesta del sistema.

La matriz Cj-k por su inversa es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una

matriz que cumple la propiedad de ser elemento neutro del producto de matrices. Esto

quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad no tiene ningún

efecto.

La matriz de coeficientes autorregresivos aj queda despejada para su uso.

5.2.2 Criterio de información de Akaike

El criterio de información de Akaike ayuda a elegir el orden del modelo. El orden del

modelo da el número de coeficientes autorregresivos. El criterio de información de

Akaike da como resultado un valor de amplitud concreto para un cierto número de

coeficientes autorregresivos. Estos valores de amplitud se representan en un gráfico en

el eje de las ordenadas y a su vez, en el eje de abscisas, irá representados los distintos

órdenes del modelo.

Un número elevado de coeficientes dará lugar a un buen ajuste pero no es práctico. Un

número bajo de coeficientes puede no ser suficiente para representar bien el modelo.

La fórmula para calcular el AIC (Akaike information criterion) es como sigue:

Donde N es el número de puntos de la señal y n es el orden del modelo AR

48

En la figura 22 se ha representado el AIC del termopar CET4. Como puede verse, en

este caso se seleccionarían 4 coeficientes autorregresivos para la representación del

modelo. Un solo coeficiente autorregresivo daría un mal ajuste. Dos coeficientes darían

un buen ajuste y podría darse por válido el modelo. Incluyendo solamente dos

coeficientes más, es decir, con cuatro coeficientes no se complica mucho el cálculo y se

obtiene un modelo válido. Si aumentamos el número de coeficientes por encima de

cuatro, se complica el cálculo y apenas se mejora el ajuste del modelo.

Figura 22: AIC del termopar CET4 de las medidas del C1

5.3 Ajuste

El proceso de ajuste de una PSDy con el modelo AR requiere seguir los siguientes

pasos.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6

-5.95

-5.9

-5.85

-5.8

-5.75

-5.7

-5.65x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

49

5.3.1 Estacionariedad de la señal

Primero elegimos el rango de la señal que sea más estacionario. La parte que más

interesa de la señal, es la parte que sea estacionaria tanto en media como en varianza.

Una señal estacionaria en media se encuentra siempre centrada en torno a una constante.

En el caso que vemos a continuación esa constante es el eje de abscisas.

Vemos que a partir de la mitad la señal sufre un cambio de amplitud. Esto no afecta a la

media sin embargo tendrá efecto sobre la varianza.

Valor medio de :

Varianza:

Este es el caso de una señal estacionaria en media, no estacionaria en varianza (figura

23Figura 23).

Figura 23: Ejemplo de una señal estacionaria en media

En la siguiente gráfica se aprecia la misma amplitud a lo largo de todo el eje de tiempos.

Dado que la amplitud no varía tampoco lo hará la varianza. Puede verse un cambio en la

media debido a que la señal se sale del eje de abscisas y sufre una translación progresiva

0 20 40 60 80 100 120 140 160-3

-2

-1

0

1

2

3

t

50

a lo largo de una recta inclinada. Este es el caso de una señal estacionaria en varianza,

no estacionaria en media (figura 24).

Figura 24: Ejemplo de una señal estacionaria en varianza

5.3.2 Filtro

Una vez que se ha elegido el rango de datos a utilizar, se procede al filtrado de la señal.

En la zona de altas frecuencias de una PSDy sin filtrar, aparecen una serie de picos que

no se encuentran en la dinámica del sensor (figura 25).

0 20 40 60 80 100 120 140 160-20

0

20

40

60

80

100

120

t

51

Figura 25: Modelo AR y PSDy antes del filtrado

Estos picos son una serie de resonancias que dificultan un buen ajuste del modelo AR

por lo que interesa eliminarlos.

Dado que estos picos se encuentran en un rango de frecuencias altas donde no hay

información relevante, está totalmente justificado el filtrado de esta parte de la señal.

No se debe elegir una frecuencia de corte menor a 2,5 Hz dado que alteraría la señal

dándo tiempos de respuesta ( ) incongruentes.

A continuación se muestra en la tabla 6 los tiempos de respuesta de los termopares y

TRPs del segundo ciclo (C2), medidas4_2 del mes de junio, obtenidos para una

frecuencia de corte de 2,5 Hz y 1,25 Hz.

10-3

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modelo AR)CET6

PSDy

H(w) modeloAR

52

Tabla 6: Tiempos de respuesta de varios sensores, obtenidos con señales filtradas a frecuencias de corte

de 1,25 Hz y 2,5 Hz

f=1,25 Hz f=2,5 Hz

CET1 0,20747888 0,8169156

CET2 0,12986029 0,26871337

CET3 0,17938873 0,40692799

CET4 0,24216146 0,40042914

CET5 0,2310059 0,54873623

CET6 0,24288325 0,58413857

RTD1 1,2934497 2,20236029

RTD2 0,74079392 1,77146371

RTD3 0,93933523 4,02406572

Se puede observar en la tabla 6 que los valores de tiempos de respuesta para la

frecuencia de corte de 1,25 Hz rondan la mitad o menos que los de frecuencia 2,5 Hz.

Esto es debido a que el filtro a frecuencias de corte demasiado bajas no solo elimina la

parte de frecuencias altas donde se encuentran los picos no deseados si no también parte

de la información que contribuye a un cálculo correcto del tiempo de respuesta.

Dado que la frecuencia de corte debe ser un múltiplo de la frecuencia de muestreo

anterior, el próximo múltiplo es frecuencia de corte 5 Hz. Esta frecuencia filtra poco

para el propósito que se persigue. El criterio a seguir es no coger una frecuencia de corte

demasiado baja de manera que se pierda información crucial y se falsee el resultado del

tiempo de respuesta ni tampoco demasiado alta de forma que apenas se haya filtrado la

parte que se desea eliminar para poder llevar a cabo un buen ajuste con pocos

coeficientes autorregresivos.

También se aplica el filtrado a las señales de TRPs.

Los picos aparecen en la zona de frecuencias altas. Para deshacernos de las amplitudes

correspondientes a ese rango de frecuencias y mantener el resto de la señal nos

crearemos un filtro pasa bajos.

La señal se encuentra en él dominio del tiempo. Para identificar las frecuencias donde

aparecen los picos correspondientes a resonancias que distorsionan un buen ajuste del

modelo AR con la PSDy, hay que pasar la señal del dominio del tiempo al dominio de la

frecuencia mediante la transformada de Fourier.

53

Cuando se hace la transformada de Fourier, dependiendo de si la señal es par o impar

surgen complicaciones. A continuación se verán ejemplos de transformada de Fourier

de señal par e impar.

Tabla 7: Ejemplos de la transformada de Fourier de una señal par y otra impar

TF señal par frecuencia TF señal impar Frecuencia

6.0229+0i 1 -8.9748+0i 1 0.14074+0.56391i 2 -6.9248-2.2054i 2 -0.40108-3.4109i 3 2.9924-0.73762i 3 6.637+0.4799i 4 0.47772-0.85723i 4

0.085418+5.3743i 5 3.3873-4.9263i 5 1.0332+1.3585i 6 0.79134+4.6745i 6

-9.4193-1.0425i 7 3.5944+0.23738i 7 2.3951-2.3352i 8 2.7276-1.148i 8 -1.685-3.0685i 9 1.2347+2.2145i 9 3.5058+1.479i 10 0.39292-4.8704i 10

6.2394+0i 11 -3.9728+5.1041i 11 3.5058-1.479i 12 -3.9728-5.1041i 12

-1.685+3.0685i 13 0.39292+4.8704i 13 2.3951+2.3352i 14 1.2347-2.2145i 14 -9.4193+1.0425i 15 2.7276+1.148i 15 1.0332-1.3585i 16 3.5944-0.23738i 16

0.085418-5.3743i 17 0.79134-4.6745i 17 6.637-0.4799i 18 3.3873+4.9263i 18

-0.40108+3.4109i 19 0.47772+0.85723i 19 0.14074-0.56391i 20 2.9924+0.73762i 20

-6.9248+2.2054i 21

La transformada de Fourier de una señal que contiene una serie de datos (vector), da

como resultado, un vector donde el primer valor es un número real y en el caso de

tratarse de una señal par, el primer valor después del valor que corresponde con la mitad

de la longitud del vector, también es un valor real. El resto de valores son complejos y

dependientes entre sí. Es decir, el último valor del vector, transformada de Fourier, está

relacionado con el segundo valor del vector y será el conjugado de éste. Lo mismo

sucede con el resto de valores.

A continuación se escoge la frecuencia de corte. La frecuencia de corte será aquella a

partir de la cual se dejará pasar por el filtro todos los datos de mi señal iguales o

inferiores a dicha frecuencia y el resto de valores se hacen nulos.

Para el ejemplo se ha escogido una frecuencia de corte igual a 4 Hz. Todos aquellos

valores de la transformada de Fourier por encima de frecuencia 4 Hz se harán nulos,

54

teniendo en cuenta, los valores iguales y menores a frecuencia 4 dependen de sus

conjugados y estos no deben hacerse nulos.

Tabla 8: Transformada de Fourier de señal par e impar filtrada

6.0229+0i -8.9748+0i 0.14074+0.56391i -6.9248-2.2054i -0.40108-3.4109i 2.9924-0.73762i 6.637+0.4799i 0.47772-0.85723i

0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i

0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i

0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i

6.637-0.4799i 0+0i -0.40108+3.4109i 0.47772+0.85723i 0.14074-0.56391i 2.9924+0.73762i

-6.9248+2.2054i

Por último se hace la transformada inversa de Fourier y el resultado será la señal filtrada

(figura 26).

Antes de utilizar el filtro con las señales se hará una simulación para validar el filtro.

Para ello, se utilizará como señal, una señal periódica compuesta de armónicos de

distintas frecuencias.

Siendo t el tiempo y x la señal, se tendrá que:

Se utiliza como frecuencia de corte del filtro la frecuencia de 8 Hz, podrá comprobarse,

que el armónico de frecuencia igual a 10 Hz ya no forma parte de la señal filtrada. La

señal filtrada deberá ser igual a:

55

El resultado es fácil de comprobar. Se dibuja por un lado, el gráfico correspondiente a la

señal filtrada y por otro lado, el gráfico que representa una nueva señal periódica que

contiene los armónicos de frecuencias igual e inferior a la frecuencia de corte.

Deberá dibujarse solo la parte real del resultado de la transformada inversa de Fourier

de la señal de salida del filtro.

5.3.3 Remuestreo

Consiste en reducir la frecuencia de muestreo de una variable x conservando cada

enésima muestra empezando por la primera muestra de la variable.

Si una variable x está muestreada a 60 Hz y queremos remuestrearla a una nueva

frecuencia igual a 20 Hz, se debe conservar cada 60/20 muestra de la variable inicial.

Se obtiene de esta manera la nueva variable x (remuestreo).

Tabla 9: Remuestreo de una variable

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x (re muestreo) 1 4 7 10

La nueva frecuencia de muestreo 20 Hz, debe de ser un múltiplo de la frecuencia de

muestreo inicial para que la división de ambas sea un número entero.

La frecuencia de corte elegida para el filtrado de la mayor parte de las señales es de 2,5

Hz.

Dado que la frecuencia de muestreo de la señal anterior al remuestreo es de 50 Hz y se

obtiene una frecuencia de muestreo nueva igual a 5 Hz, la señal remuestreada estará

compuesta por cada décimo (50/5) valor de la señal inicial.

5.3.4 Proceso de solape

Una vez filtrada la señal, el siguiente paso consiste en calcular el criterio de Akaike de

la señal para seleccionar el número de coeficientes AR adecuado.

56

Se debe comprobar que el orden del modelo AR elegido según el criterio de

información de Akaike es tal que la pendiente del modelo AR corresponde con la

pendiente de la PSDy.

El último paso en el ajuste para conseguir el solape del modelo AR y la PSDy deseado

consiste en normalizar la PSDy respecto a un cierto valor.

Dado que los primeros valores de la PSDy no son representativos de ella, se erigirá un

valor de entre los primeros que permita solapar el modelo AR con la PSDy.

Esto se consigue escogiendo como punto inicial de la medida en dB del eje de

ordenadas, un valor distinto al primero de forma que la PSDy se traslada a lo largo del

eje Y (ordenadas) para solapar con el modelo AR.

El eje de ordenadas (dB) viene determinado por:

desde i=1 hasta i=n.

Siendo n el número de puntos de la PSDy.

El primer punto que se representa es nulo ya que:

57

Figura 26: Modelo AR y PSDy sin solapar

Si en lugar de dividir por él primer valor de la PSDy, divido por el séptimo valor, el 0

del eje de ordenadas estará a una amplitud igual a la amplitud del séptimo valor de

PSDy:

De esta forma el modelo AR y la PSDy quedan solapadas tal como se muestra en la

figura 27.

10-3

10-2

10-1

100

101

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

58

Figura 27: Modelo AR y PSDy solapadas y ajustadas

5.4 Estimación del tiempo de respuesta por medio de la PSD

En este apartado se va a obtener el tiempo de respuesta teniendo en cuenta que el

sensor, ya sea TRP o termopar, es equivalente a un sistema de primer orden.

Si la frecuencia es de valor:

(4)

Sabiendo además que:

Se sustituye en la ecuación que da el valor de la amplitud, la cual se resuelve

mediante el cálculo de números complejos, factorización y las propiedades de los

logaritmos tal y como se muestra a continuación.

10-3

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

59

Se obtiene finalmente el valor de la amplitud -3 dB. Esto demuestra que la caída a 3 dB

siempre se produce a una frecuencia igual a:

Dado que no se tendrá una caída de 3 dB exacta debido a la resolución de la frecuencia,

se establece un rango. Se buscaran aquellas frecuencias para una caída entre 3,2 dB y

2,8 dB. La frecuencia que se encuentre en la mitad de este rango será la que se utilice

para averiguar el tiempo de respuesta.

En la tabla 10 se muestran los tiempos de respuesta de los termopares y las TRPs

calculadas mediante la caída a 3 dB. Más adelante se tratará de excluir aquellas medidas

incongruentes que pueden significar un mal funcionamiento del sensor y se dará un

valor más exacto y preciso del valor real del tiempo de respuesta por medio de la

calibración cruzada y el cálculo de la incertidumbre.

60

Tabla 10: Datos del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs


CET1 0,35818607 0,66249862 0,3405949 0,8169156 0,47933724 0,6256225 0,63414265 0,73744191 2,99036077

CET2 0,29794271 0,79306405 0,55433558 0,26871337 0,33847282 0,34130819 0,30349099 1,53027851

CET3 0,30749936 0,88573186 0,80880725 0,40692799 0,64163253 0,67344902 0,837916 0,55245648 0,1706541

CET4 0 0,31161503 0,57184092 0,40042914 1,0793024 0,31799934 0,45843787 0,58729608 0,15731145

CET5 0 0,5830936 0,70247699 0,54873623 11,2396318 1,07220172 0,97298306 0,8600246 1,10867117

CET6 0,91302331 1,09747247 0,81487331 0,58413857 0,55717833 1,14770889 0,93128378 0,80880725 1,61361051

RTD1 2,99036077 3,74654395 2,91026182 2,20236029 4,7933724 0 2,71624436 0 0

RTD2 2,3966862 2,50730249 1,86256756 1,77146371 2,26353697 0 1,15996201 0 0

RTD3 3,46754599 4,72390324 3,62165915 4,02406572 4,46505923 0 3,46754599 0 0

61

Los tiempos de respuesta de los termopares CET2, CET3, CET5 y CET6 evolucionan

de forma similar. Estos termopares sufren grandes fluctuaciones en amplitud de sus

tiempos de respuesta.

Figura 28: Evolución del tiempo de respuesta de los distintos termopares

Las TRPs (figura 29) presentan una evolución similar. El tiempo de respuesta de la

primera medida del segundo ciclo (C2 diciembre) aumenta respecto al primer ciclo, sin

embargo, en junio del segundo ciclo, vuelve a bajar el tiempo de respuesta hasta valores

inferiores al de partida en RTD1 y RTD2.

No hay medidas de las TRPs para el ciclo 3, de modo que, a diferencia de los

termopares, sólo hay datos de tiempo de respuesta de dos ciclos.

C1 C2dic C2jun C3jul C3sep0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

tau

CET1

CET2

CET3

CET4

CET5

CET6

62

Figura 29: Evolución del tiempo de respuesta de las TRPs

5.5 Calibración cruzada

La calibración cruzada, introducida por H.M. Hashemian, es un método de calibración

in situ de TRPs y termopares. La idea es que la media total de las medidas de todos los

instrumentos de medida de un mismo tipo (TRPs o termopares) es la que más se acerca

a representar el valor real del entorno donde se mide. Luego, a la media de cada uno de

los instrumentos en particular, se le substrae la media total para obtener el valor de la

desviación que presenta ese instrumento. Si el valor de la desviación supera el criterio

aceptado, ese instrumento se quita del cálculo de la media total. El proceso de cálculo se

repite hasta que se hayan identificado todos los instrumentos mal calibrados.

Esta misma idea se puede trasladar a los resultados de tiempo de respuesta. De entrada

se observa que alguno de los valores es excesivamente alto como para tratarse de un

valor válido de tiempo de respuesta. Estos valores se excluyen del cálculo de la media

total porque falsean el resultado estadístico.

C1 C2dic C2jun C3jul C3sep1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tau

RTD1

RTD2

RTD3

63

Este es el caso del termopar CET5 en junio del segundo ciclo (C2jun4_3) (tabla 10).

El cálculo de la media total y de los valores máximos y mínimos de los tiempos de

respuesta tanto de los termopares como de TRPs está representado en la tabla 11 que se

muestra a continuación.

Tabla 11: Media total, valores máximos y mínimos de TRPs y Termopares

Media Termopar Máximo Mínimo

0,711165942 2,99036077 0,15731145

Media RTD Máximo Mínimo

3,060580103 4,7933724 1,15996201

5.6 Cálculo de la incertidumbre

El tiempo de respuesta es una medida indirecta. Las medidas indirectas son aquellas que

se obtienen por el cálculo del valor del mensurando a partir de las medidas de otras

magnitudes. Es decir, el tiempo de respuesta, se obtiene a partir de una fórmula

matemática de la cual forma parte el parámetro que se mide.

En este caso se trata de un solo parámetro (frecuencia) y la fórmula matemática se

obtiene despejando el tiempo de respuesta de la ecuación (4):

Las incertidumbres de las medidas indirectas se han calculado mediante las formulas

que se exponen a continuación:

64

Siendo:

: Magnitud de entrada.

: Incertidumbre expandida de medida

: Incertidumbre de medida.

: Incertidumbre típica de tipo A debida a la respetabilidad de las medidas.

: Coeficiente de sensibilidad.

: Incertidumbre típica de la magnitud de entrada.

: Incertidumbre típica de tipo B debida a la resolución.

: Semirango (la mitad de la resolución de la magnitud de entrada). Se utilizará en

resolución del eje de frecuencia la gráfica de la PSD.

: Factor de cobertura (95%) igual a 2.

En la tabla 12 están expuestas las incertidumbres de medida correspondientes a cada

termopar y TRP.

Tabla 12: Incertidumbre de medida

Incertidumbre de medida (expandida)

CET1 0,52

CET2 0,31

CET3 0,59

CET4 0,39

CET5 0,75

CET6 0,52

RTD1 1,2

RTD2 0,89

RTD3 0,76

Se puede decir que la medida que más se aproxime al valor real, se encuentra en una

franja centrada en la media de los tiempos de respuesta de cada termopar y TRP

más/menos los valores de la incertidumbre de la medida correspondiente (tabla 13).

65

Tabla 13: Media e incertidumbre del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs

Media del tiempo de respuesta

Incertidumbre

CET1 0,85 ± 0,52

CET2 0,55 ± 0,32

CET3 0,59 ± 0,59

CET4 0,49 ± 0,39

CET5 2,1 ± 0,75

CET6 0,94 ± 0,53

RTD1 3,0 ± 1,2

RTD2 1,8 ± 0,89

RTD3 3,5 ± 0,76

5.7 Estudio de un caso particular

En la figura 30 viene representada la PSDy de las medidas4_2 tomadas en septiembre

del segundo ciclo (C2). En ella se puede observar que está PSDy contrasta de las otras

(contenidas en el ANEXO C). Presenta una forma errática, es decir, no sigue la

dinámica de las otras PSDy y a simple vista se puede observar que no va a haber un

único valor definido para la caída a 3 dB.

66

Figura 30: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (filtradas)

Si se observa la gráfica del criterio AIC de la PSDy filtrada (figura 31), éste también se

sale de la dinámica que presentan los otros AIC (contenidos en el ANEXO B). No hay

ningún número por debajo de 20 coeficientes autorregresivos que den un buen ajuste del

modelo AR a la PSDy. El orden del modelo AR necesario supondría muchos

coeficientes autorregresivos para ajustar bien la PSDy, la cual, oscila con un rango de

amplitud grande y a una frecuencia elevada. Es por eso que sería difícil observar un

único valor válido de la caída a 3dB.

10-3

10-2

10-1

100

101

-20

-15

-10

-5

0

5

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modeloAR

67

Figura 31: AIC del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (señal filtrada)

Si se comprueba que antes de filtrar la señal del termopar CET2 la PSDy cae enseguida

y no alcanza un valor de -3 dB o por debajo, es razonable pensar que no va a ser posible

obtener un valor del tiempo de respuesta.

En consecuencia, en septiembre del tercer ciclo (C2sep4_2), no hay un valor para el

tiempo de respuesta del termopar CET2 (tabla 3).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.8272

-6.827

-6.8268

-6.8266

-6.8264

-6.8262

-6.826

-6.8258x 10

4

orden n

AIC

CET2

AIC

68

Figura 32: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (sin filtrar)

Este suceso anómalo ocurre porque las medidas de partida tienen una desviación típica

de 1756 (tabla 3). Un valor tan grande significa que las medidas se encuentran muy

dispersas respecto a la media. A continuación, en la figura 33, se aprecia este efecto. Se

observa que las otras señales (contenidas en el ANEXO A), difieren de esta por tener

una distribución más cercana a la media.

10-3

10-2

10-1

100

101

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

69

Figura 33: señal de ruido del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

medidas

am

plit

ud

CET2 señal de ruido

señal

70

6 Conclusiones

En este proyecto se han analizado las señales de los sensores de temperatura

pertenecientes a una central nuclear. Los resultados obtenidos indican que uno de los

termopares puede estar funcionando de manera indebida ya sea por problemas del

circuito eléctrico del sensor, un fallo en el aislamiento o debidos a la deriva.

El análisis estadístico de una de las señales del CET5 muestra valores anómalos. Esto va

a afectar al análisis de ruido haciendo que éste se salga de la dinámica general que

muestran el resto de sensores. Mediante la técnica de análisis de ruido se han calculado

los tiempos de respuesta de los sensores. Se ha averiguado que el CET5 presenta en un

determinado caso un tiempo de respuesta superior a los demás sensores. Esto ha

afectado a la incertidumbre haciéndola aumentar. Se puede concluir que el CET5 debe

ser reemplazado.

A lo largo del proyecto han surgido señales problemáticas de analizar mediante los

métodos disponibles. Concretamente, la señal de septiembre del CET2, presenta valores

con gran dispersión. No ha sido posible calcular su tiempo de respuesta. Sin embargo, el

análisis de ruido resulta ser una buena herramienta para la vigilancia de sensores. Las

técnicas de análisis de ruido presentan grandes ventajas al llevarse a cabo in situ y no

interferir en la operación normal de la planta. A su vez, el análisis estadístico es un buen

complemento para el análisis de ruido, dando por válidas las conclusiones además de

aportar información significativa.

71

7 Bibliografía

7.1 Bibliografía general

BALBÁS, Miguel. CHICHARRO, José Manuel. GARCÍA BERROCAL, Agustín.

(2002): Ruido blanco en la excitación de sistemas mecánicos. Fundación Gomez Pardo,

Madrid

HASHEMIAN, H.M. JIANG, Jing (2009): “Nuclear plant temperature

instrumentation’’ Elsevier

HASHEMIAN, H.M. (2005): Sensor performance and reliability. ISA The

Instrumentation, Systems, and Atomation Sociaty, Durham

OGATA, Katsuhiko (1998): Ingeniería de control moderna, 3ª. Ed. A Simon & Schuster

Company

MEADE, M.L. DILLON, C.R. (1993): Señales y sistemas Modelos y comportamiento.

Addison-Wesley iberoamericana, Wilmigton, Delaware, E.U.A

JIN-HO PARK, HAN-YOUNG YOON, HEE-CHEOL KIM, CHONG-CHUL LEE

(1992): “Obtimization of Dynamic Terms in Core Overtemperature Delta-T Trip

Function” Journal of the Korean Nuclear Society Volume 24

7.2 Páginas Web

es.wikipedia.org

72



Documento 2: ESTUDIO ECONÓMICO

73

En este documento se van a estudiar las pérdidas económicas de las centrales nucleares

debidas a un mal seguimiento de los tiempos de respuesta de las TRPs. Para ello se van

a introducir los conceptos de over temperatura delta-t trip function (OT∆T) y departure

from nuclear boiling (DNB) entre otros.

OT∆T (Over temperatura delta-t trip function) se usa para contolar que el DNBR

(departure from nuclear boiling ratio) no sobrepase el límite establecido ya que si lo

hiciera y no se iniciara la parada del reactor a tiempo, podría producirse la entrada en

ebullición del agua en el reactor y debido a ello el sobrecalentamiento de las barras de

combustible.

DNB es el punto a partir del cual, la transferencia de calor de las barras de combustible

al agua del reactor baja, debido al efecto aislante de la manta de gas, que se forma

alrededor de las barras de combustible por la entrada en ebullición del agua del reactor.

DNBR es la proporción de flujo de calor necesaria para causar el DNB respecto al flujo

de calor actual del reactor.

A continuación se va a ver cómo influye los tiempos de respuesta de las TRPs en el

cálculo de OT∆T, ecuación (5).

(5)

Donde es la diferencia de temperatura medida entre el lazo caliente y el lazo frío,

es la diferencia de temperatura indicada, que no debe ser sobrepasada por la medida

y que se ajusta dependiendo de las variaciones de presión y temperatura del reactor.

En la ecuación (5) aparece el siguiente conjunto:

Donde y son constantes de tiempo y s, es el operador matemático de Laplace. Este

conjunto se conoce como compensador de atraso-adelanto, en inglés, lead-lag

compensator y es el parámetro que se introduce en la ecuación (5) para compensar los

tiempos de respuesta de las TRPs.

74

El compensador de atraso-adelanto tiene la función de amplificar la entrada en la etapa

inicial y más adelante, hace que la salida converja gradualmente con los valores

originales de entrada.

Se va a considerar un caso en él que la temperatura en el reactor aumenta gradualmente

durante un cierto tiempo y cuando finalice, se mantenga constante. Esto es un cambio

de temperatura del tipo rampa. La medida que se obtendrá de las TRPs estará retrasada

debida al tiempo de respuesta y por lo tanto corresponderá con un valor de temperatura

inferior al que realmente se tendrá en ese instante ya que la temperatura siguió subiendo

en los instantes posteriores. Si la medida de temperatura de las TRPs se hace pasar por

un compensador de atraso-adelanto, de modo que esta queda amplificada para que

concuerde con el valor real, se habrá conseguido compensar los tiempos de respuesta de

las TRPs que de otro modo me estarían dando un valor que no es válido. La figura 34 es

el resultado de la simulación del compensador de atraso-adelanto aplicado a una entrada

del tipo rampa.

Figura 34: respuesta del compensador de atraso-adelanto para una entrada del tipo rampa

Si se considera una central nuclear de 1000 MW de potencia donde debido a problemas

de las TRPs, el tiempo de respuesta de estas ha aumentado, las taus del cálculo en la

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

500

1000

1500

tiempo

entrada

salida

75

ecuación (5) dejaran de ser válidos. La amplificación de las medidas de temperatura

podría ser insuficiente de modo que el DNBR sobrepasaría el límite establecido

causando un DNB y la alarma de la medida de OT∆T saltaría y pararía el reactor

demasiado tarde.

La parada del reactor a tiempo no hubiera supuesto daños en el reactor y al día siguiente

se podría haber puesto en marcha de nuevo, causando unas pérdidas de:

Para el cálculo económico se ha supuesto un precio del KWh de 0,05 €.

Sin embargo, si no se hubiera detectado a tiempo la subida de temperatura debido a que

los tiempos de respuesta de las TRPs se hubieran salido de rango, el reactor hubiera

entrado en ebullición. Esto hubiera significado posibles daños y la parada del reactor.

Suponiendo que reemplazar las TRPs y las reparaciones necesarias hubieran tardado

una semana, la planta hubiera estado parada causando unas pérdidas de 8400000 €.

Con la vigilancia de los tiempos de respuesta de las TRPs en las centrales nucleares se

pueden evitar pérdidas económicas pudiendo programar el reemplazo de TRPs o

cambiando las constantes de tiempo acorde con los nuevos valores de tiempo de

respuesta.

76



Documento 3: ANEXOS

77



ANEXO A: Ruido

78

Primer ciclo (C1) medidas 4_2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

79

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD2

81

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD3

82

Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

83

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

84

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

85

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD2

86

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD3

87


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

88

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

89

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

90

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD2

91

Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

92

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

93

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

94

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD1

95

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD3

96


0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

97

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

98

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

99

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD1

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD2

100

Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

102

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

103


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

104

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

105

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

106

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-4

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD1

107

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

RTD3

108

Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

109

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

110

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

111


0 2 4 6 8 10 12

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo

Am

plit

ud

CET1

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Tiempo

Am

plit

ud

CET2

112

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Tiempo

Am

plit

ud

CET3

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tiempo

Am

plit

ud

CET4

113

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Tiempo

Am

plit

ud

CET5

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Tiempo

Am

plit

ud

CET6

114



ANEXO B: AIC

115

Primer ciclo (C1) medidas 4_2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.9

-5.8

-5.7

-5.6

-5.5

-5.4

-5.3

-5.2

-5.1x 10

4

orden n

AIC

CET1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.8

-5.7

-5.6

-5.5

-5.4

-5.3

-5.2x 10

4

orden n

AIC

CET2

AIC

116

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.946

-6.944

-6.942

-6.94

-6.938

-6.936

-6.934

-6.932x 10

4

orden n

AIC

CET3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6

-5.95

-5.9

-5.85

-5.8

-5.75

-5.7

-5.65x 10

4

orden n

AIC

CET6

AIC

117

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.8

-6.79

-6.78

-6.77

-6.76

-6.75

-6.74

-6.73

-6.72

-6.71x 10

4

orden n

AIC

RTD1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.23

-6.225

-6.22

-6.215

-6.21

-6.205

-6.2x 10

4

orden n

AIC

RTD2

AIC

118


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.225

-6.22

-6.215

-6.21

-6.205

-6.2

-6.195

-6.19

-6.185

-6.18

-6.175x 10

4

orden n

AIC

RTD3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.8

-5.7

-5.6

-5.5

-5.4

-5.3

-5.2

-5.1

-5x 10

4

orden n

AIC

CET1

AIC

119

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.65

-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4

-5.35

-5.3

-5.25

-5.2x 10

4

orden n

AIC

CET2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.495

-7.49

-7.485

-7.48

-7.475

-7.47x 10

4

orden n

AIC

CET3

AIC

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.75

-5.7

-5.65

-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4x 10

4

orden n

AIC

CET4

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.932

-6.93

-6.928

-6.926

-6.924

-6.922

-6.92

-6.918

-6.916x 10

4

orden n

AIC

CET5

AIC

121

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.95

-5.9

-5.85

-5.8

-5.75

-5.7

-5.65

-5.6

-5.55x 10

4

orden n

AIC

CET6

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.645

-6.64

-6.635

-6.63

-6.625

-6.62

-6.615

-6.61

-6.605

-6.6x 10

4

orden n

AIC

RTD1

AIC

122

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.24

-6.235

-6.23

-6.225

-6.22

-6.215x 10

4

orden n

AIC

RTD2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.225

-6.22

-6.215

-6.21

-6.205

-6.2

-6.195

-6.19

-6.185x 10

4

orden n

AIC

RTD3

AIC

123


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7

-6.95

-6.9

-6.85

-6.8

-6.75x 10

4

orden n

AIC

CET1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.585

-6.58

-6.575

-6.57

-6.565

-6.56

-6.555

-6.55x 10

4

orden n

AIC

CET2

AIC

124

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.034

-7.032

-7.03

-7.028

-7.026

-7.024

-7.022

-7.02

-7.018

-7.016x 10

4

orden n

AIC

CET3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.817

-6.8165

-6.816

-6.8155

-6.815

-6.8145

-6.814x 10

4

orden n

AIC

CET4

AIC

125

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.922

-6.92

-6.918

-6.916

-6.914

-6.912

-6.91

-6.908x 10

4

orden n

AIC

CET5

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.145

-7.14

-7.135

-7.13

-7.125

-7.12

-7.115

-7.11x 10

4

orden n

AIC

CET6

AIC

126

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.75

-6.74

-6.73

-6.72

-6.71

-6.7

-6.69

-6.68x 10

4

orden n

AIC

RTD1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.245

-6.24

-6.235

-6.23

-6.225

-6.22

-6.215x 10

4

orden n

AIC

RTD2

AIC

127


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.22

-6.215

-6.21

-6.205

-6.2

-6.195

-6.19

-6.185

-6.18x 10

4

orden n

AIC

RTD3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.7

-5.6

-5.5

-5.4

-5.3

-5.2

-5.1

-5

-4.9x 10

4

ordenn

AIC

CET1

AIC

128

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4

-5.35

-5.3

-5.25

-5.2

-5.15x 10

4

ordenn

AIC

CET2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.7

-5.65

-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4

-5.35

-5.3

-5.25x 10

4

ordenn

AIC

CET3

AIC

129

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.75

-5.7

-5.65

-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.806

-6.804

-6.802

-6.8

-6.798

-6.796

-6.794

-6.792

-6.79

-6.788x 10

4

ordenn

AIC

CET5

AIC

130

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.85

-5.8

-5.75

-5.7

-5.65

-5.6

-5.55

-5.5

-5.45x 10

4

ordenn

AIC

CET6

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.425

-6.42

-6.415

-6.41

-6.405

-6.4

-6.395

-6.39

-6.385x 10

4

ordenn

AIC

RTD1

AIC

131

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.222

-6.22

-6.218

-6.216

-6.214

-6.212

-6.21

-6.208

-6.206x 10

4

ordenn

AIC

RTD2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.23

-6.225

-6.22

-6.215

-6.21

-6.205

-6.2

-6.195

-6.19

-6.185x 10

4

ordenn

AIC

RTD3

AIC

132


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.7

-5.6

-5.5

-5.4

-5.3

-5.2

-5.1

-5

-4.9x 10

4

ordenn

AIC

CET1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4

-5.35

-5.3

-5.25

-5.2

-5.15x 10

4

ordenn

AIC

CET2

AIC

133

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.42

-5.4

-5.38

-5.36

-5.34

-5.32

-5.3

-5.28

-5.26

-5.24x 10

4

ordenn

AIC

CET3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.65

-5.6

-5.55

-5.5

-5.45

-5.4x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

134

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.37

-8.365

-8.36

-8.355

-8.35

-8.345

-8.34

-8.335

-8.33x 10

4

ordenn

AIC

CET5

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.85

-5.8

-5.75

-5.7

-5.65

-5.6

-5.55

-5.5x 10

4

ordenn

AIC

CET6

AIC

135

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.63

-6.625

-6.62

-6.615

-6.61

-6.605

-6.6

-6.595x 10

4

ordenn

AIC

RTD1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.214

-6.212

-6.21

-6.208

-6.206

-6.204

-6.202

-6.2

-6.198

-6.196x 10

4

ordenn

AIC

RTD2

AIC

136


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.16

-6.155

-6.15

-6.145

-6.14

-6.135

-6.13x 10

4

ordenn

AIC

RTD3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.85

-8.8

-8.75

-8.7

-8.65

-8.6

-8.55

-8.5

-8.45

-8.4x 10

4

ordenn

AIC

CET1

AIC

137

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.16

-8.155

-8.15

-8.145

-8.14

-8.135

-8.13x 10

4

ordenn

AIC

CET2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.718

-8.716

-8.714

-8.712

-8.71

-8.708

-8.706

-8.704x 10

4

ordenn

AIC

CET3

AIC

138

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.765

-8.76

-8.755

-8.75

-8.745

-8.74x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.76

-8.755

-8.75

-8.745

-8.74

-8.735

-8.73

-8.725x 10

4

ordenn

AIC

CET5

AIC

139


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.97

-8.96

-8.95

-8.94

-8.93

-8.92

-8.91

-8.9x 10

4

ordenn

AIC

CET6

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.1

-7.05

-7

-6.95

-6.9

-6.85

-6.8

-6.75

-6.7x 10

4

ordenn

AIC

CET1

AIC

140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.6228

-6.6226

-6.6224

-6.6222

-6.622

-6.6218

-6.6216

-6.6214

-6.6212

-6.621

-6.6208x 10

4

ordenn

AIC

CET2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.974

-6.972

-6.97

-6.968

-6.966

-6.964

-6.962

-6.96x 10

4

ordenn

AIC

CET3

AIC

141

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.05

-7.045

-7.04

-7.035

-7.03

-7.025

-7.02x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.94

-6.935

-6.93

-6.925

-6.92

-6.915x 10

4

ordenn

AIC

CET5

AIC

142

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.15

-7.14

-7.13

-7.12

-7.11

-7.1

-7.09x 10

4

ordenn

AIC

CET6

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.78

-6.76

-6.74

-6.72

-6.7

-6.68

-6.66x 10

4

ordenn

AIC

RTD1

AIC

143

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.23

-6.225

-6.22

-6.215

-6.21

-6.205x 10

4

ordenn

AIC

RTD2

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.235

-6.23

-6.225

-6.22

-6.215

-6.21

-6.205

-6.2

-6.195

-6.19x 10

4

ordenn

AIC

RTD3

AIC

144


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.1

-7.05

-7

-6.95

-6.9

-6.85

-6.8

-6.75

-6.7x 10

4

ordenn

AIC

CET1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.8272

-6.827

-6.8268

-6.8266

-6.8264

-6.8262

-6.826

-6.8258x 10

4

ordenn

AIC

CET2

AIC

145

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.988

-6.986

-6.984

-6.982

-6.98

-6.978

-6.976

-6.974

-6.972

-6.97x 10

4

ordenn

AIC

CET3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.06

-7.055

-7.05

-7.045

-7.04

-7.035

-7.03x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

146

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.062

-7.06

-7.058

-7.056

-7.054

-7.052

-7.05

-7.048

-7.046x 10

4

ordenn

AIC

CET5

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.165

-7.16

-7.155

-7.15

-7.145

-7.14

-7.135

-7.13

-7.125

-7.12x 10

4

ordenn

AIC

CET6

AIC

147


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.73

-6.72

-6.71

-6.7

-6.69

-6.68

-6.67

-6.66

-6.65

-6.64x 10

4

ordenn

AIC

CET1

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4.52

-4.51

-4.5

-4.49

-4.48

-4.47

-4.46

-4.45x 10

4

ordenn

AIC

CET2

AIC

148

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3.775

-3.77

-3.765

-3.76

-3.755

-3.75x 10

4

ordenn

AIC

CET3

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3.99

-3.985

-3.98

-3.975

-3.97

-3.965x 10

4

ordenn

AIC

CET4

AIC

149

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4.48

-4.475

-4.47

-4.465

-4.46

-4.455

-4.45

-4.445

-4.44

-4.435x 10

4

ordenn

AIC

CET5

AIC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4.54

-4.535

-4.53

-4.525

-4.52

-4.515

-4.51

-4.505

-4.5

-4.495

-4.49x 10

4

ordenn

AIC

CET6

AIC

150



ANEXO C: PSD

151

Primer ciclo (C1) medidas 4_2 (print -dmeta)

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

152

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

153

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modelo AR)RTD1

PSDy

H(w) modelo AR

154

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

155


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

156

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

157

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

158

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)RTD1

PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modelo AR )RTD2

PSDy

H(w) modelo AR

159


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

160

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

161

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

162

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

163

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

164


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

165

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)CET4

PSDy

H(w) modelo AR

166

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)CET6

PSDy

H(w) modelo AR

167

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)RTD1

PSDy

H(w) modeloA

R

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

168


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

169

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)CET2

PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)CET3

PSDy

H(w) modelo AR

170

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

171

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

172

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

173


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

174

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

175

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloRAR)CET6

PSDy

H(w) modelo AR

176


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

177

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

178

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

179

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modelo AR)RDT1

PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

180


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

181

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

182

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

183


10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

184

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

R)CET2

PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)

PSDy & H(modeloA

Rpropio)CET3

PSDy

H(w) modelo AR

185

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

186

10-2

10-1

100

101

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency(Hz)

PS

D &

H(d

B)


PSDy

H(w) modelo AR

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS …

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