Escala logarítmica 1

Escala logarítmica

Gráfica doble logarítmica (o, simplemente,logarítmica).

y = x (verde), y = 10x (rojo), y = log (x) (azul).

Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza ellogaritmo de una cantidad física en lugar de la propia cantidad.

Un ejemplo sencillo de escala logarítmica muestra divisionesigualmente espaciadas en el eje vertical de un gráfico marcadascon 1, 10, 100, 1000, en vez de 1, 2, 3, 4.La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útilcuando los datos cubren una amplia gama de valores - el logaritmolos reduce a un rango más manejable. Algunos de nuestrossentidos funcionan de manera logarítmica (ley de Weber-Fechner),lo que hace especialmente apropiadas a las escalas logarítmicaspara representar estas cantidades. En particular, nuestro sentido deloído percibe cocientes iguales de frecuencias como diferenciasiguales en el tono. Además, los estudios en niños pequeños y entribus aisladas han demostrado que las escalas logarítmicas puedenser la manera más natural de representar los números por parte delos seres humanos.[1]

Definición y base

En una escala logarítmica de base 10, las primeras potencias de 10 (1, 10, 100, 1000...) sedisponen a intervalos iguales

Otra escala logarítmica de base 10, con mayor resolución. Nótese que los intervalos 10-20y 10-30 son equivalentes respectivamente a los intervalos 1-2 y 1-3.

Las escalas logarítmicas se definen enfunción de las potencias de la cantidadsubyacente (base), o se tiene que estarde acuerdo en medir la cantidad enunidades fijas.Las bases de logaritmos másempleadas son 10 (base de loslogaritmos decimales) y el número e(base de los logaritmos naturales oneperianos)

Si la magnitud a representar no es unapotencia entera de la base delogaritmos empleada, para representardicha medida en la escala logarítmica habrá que añadirle una constante aditiva.

La base de los logaritmos también tiene que ser especificada, a menos que el valor de la escala se considere comouna magnitud dimensional expresada en unidades logarítmicas genéricas (de base indefinida).

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Ejemplos de escalasEn la mayoría de las escalas logarítmicas, los valores pequeños (o razones) de la cantidad subyacente (base)corresponden a valores negativos de la medida logarítmica. Ejemplos bien conocidos de tales escalas son:• Escala de magnitud sísmica de Richter y escala de magnitud de momento (MMS) para la fuerza de terremotos y

movimientos de la tierra.• ban y deciban, para medida de la información o del peso de la evidencia;• Bel y decibelio (dB). También el dBm y el dBi o decibelio isótropo.• Neper para la potencia acústica (volumen) y potencia eléctrica;• Semitono, segunda menor, segunda mayor, y octava para el tono relativo de las notas de música ;• Logit para probabilidades (odds) en estadística;• Escala Técnica de Amenaza de Impacto de Palermo;• Línea de tiempo logarítmica;• Conteo de diafragmas para las ratios de exposición fotográfica;• Valoración de la baja probabilidad del número de 'nueves' en la expansión decimal de la probabilidad de lo que no

está ocurriendo: por ejemplo, un sistema en el que se producirá un error con una probabilidad del 10-5 tiene un99,999% de fiabilidad: "cinco nueves".

• Entropía en termodinámica.•• Información en teoría de la información .•• Curvas de distribución del tamaño de partículas del suelo.Algunas escalas logarítmicas se diseñaron de tal manera que los valores grandes (o razones) de la cantidadsubyacentes corresponden a valores pequeños de la medida logarítmica. Ejemplos de tales escalas son:• pH para medidas de acidez y alcalinidad;• Escala de magnitud estelar para el brillo de las estrellas ;• Escala Krumbein de tamaño de las partículas en Geología.• Absorbancia de la luz por muestras transparentes.

Unidades logarítmicasLas unidades logarítmicas son unidades matemáticas abstractas que pueden ser utilizadas para expresar lascantidades (físicas o matemáticas) que se definen en una escala logarítmica, es decir, que son proporcionales al valorde una función logaritmo. En este artículo, una determinada unidad logarítmica se denotará usando la notación [logn], donde n es un número real positivo, y [log ] aquí denota la función logaritmo indefinido Log ().Existen magnitudes que se definen como escalas logarítmicas absolutas, que responden a la expresión general:

Ejemplo: la entropía (S)y otras escalas logarítmicas relativas, referidas a una cantidad que se emplea como referencia y que adoptan laforma general:[2]

Ejemplo: la sonoridad o potencia sonora de una señal, en decibelios.

EjemplosEjemplos de unidades logarítmicas son las unidades comunes de la información, como el bit [log 2] y el byte 8[log 2]= [log 256], también el nat [log e] y el ban [log 10]; la unidad de entropía (J/K), las unidades de magnitud de fuerzarelativa de una señal, como el dB, 0,1 [log 10], y el bel [log 10], Neper [log e], y otras unidades de escalalogarítmica, como el punto de la escala de Richter [log 10] o (en general) la unidad del correspondiente orden demagnitud llamada a veces factor de diez o década (en este sentido equivale a [log 10], y no a 10 años).

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MotivaciónLa motivación que sustenta el concepto de las unidades logarítmicas es que podemos definir una cantidad en unaescala logarítmica en términos de un logaritmo de una cierta base específica para hacer una elección (totalmentearbitraria) de una unidad de medida de dicha cantidad, que se corresponde con la base de logaritmo específica (eigualmente arbitraria) que se seleccionó. Debido a la identidad

Los logaritmos de cualquier número dado respecto de dos bases diferentes (en este caso b y c) sólo se diferencian enel factor constante logc b. Esta constante se puede considerar que representa el factor para la conversión de unarepresentación numérica de una cantidad logarítmica pura (indefinida) log a, desde una unidad arbitraria de medida(la unidad [log c]) a otra (la unidad [log b]), ya que

Por ejemplo, de la definición estándar de la entropía de Boltzmann, S = k·ln W (donde W es el número de manerasde organizar un sistema o número de estados posibles, y k es la constante de Boltzmann) también se puede escribirmás simplemente como S = log (W), donde "log" aquí denota el logaritmo indefinido, y nos queda k = [log e], esdecir, identificamos la unidad física de entropía k con la unidad matemática [log e]. Esta identidad es válida porque

Por lo tanto, podemos interpretar la constante de Boltzmann simplemente como la expresión (en términos deunidades físicas más estándar) de la unidad logarítmica abstracta [log e] que se necesita para convertir la cantidadnumérica pura sin dimensiones, ln W (que utiliza una elección arbitraria de base, llamada e) en una cantidadlogarítmica pura más fundamental Log (W), lo que implica que no es necesaria la elección de base una particular, ypor ende ninguna elección concreta para la unidad de medida física de la entropía.

Representación gráfica

Una escala logarítmica hace que sea fácil comparar valores que cubren una amplia gama,como en este mapa que muestra el número de muertos, por nacionalidad, en el terremoto

del océano Índico de 2004

Una escala logarítmica es también unaescala gráfica en uno o ambos lados deuna gráfica donde x es un númeroimpreso a una distancia c · log (x)desde el punto marcado con el número1. Una regla de cálculo tiene escalaslogarítmicas y los nomogramas amenudo emplean escalas logarítmicas.En una escala logarítmica, unadiferencia igual en orden de magnitudse representa por una distancia igual.La media geométrica de dos númerosestá a medio camino entre los números.

El papel cuadriculado logarítmico, antes del advenimiento de la informática gráfica, fue una herramienta científicabásica. Las representaciones en papel con una escala semilogarítmica pueden mostrar las funciones exponenciales,como líneas rectas. Igual ocurre con las funciones potenciales en un papel con dos escalas logarítmicas. (véanse lasgráficas semilogarítmica y logarítmica al comienzo del artículo).

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Cuando es necesario representar una serie de valores y el rango que abarcan es grande, una escala logarítmica puedeproporcionar un medio de visualización de los datos que permite que se puedan determinar los valores a partir de lagráfica. La escala logarítmica se representa con distancias proporcionales a los logaritmos de los valores que serepresentan. Por ejemplo, en la figura superior, en ambas gráficas, se han representado los valores: 2, 5, 20, 60, 320,780, 1500, 4900.

Gráficas logarítmica y semilogarítmica. Ecuaciones de las líneasLas escalas logarítmica y semilogarítmica[3][4] se utilizan preferentemente para representar dos tipos de funciones(para mayor facilidad, se utilizan logaritmos naturales cuya base es el "número e"):

      Función exponencial

        Función potencial

Representando una función exponencial

En el primer caso, gráfica izquierda, vemos el trazado de la función usando una escala lineal (y frentea x). En una escala semilogarítmica, gráfica central, se obtiene una línea recta, igual que en el tercer caso, gráficaderecha, en el que se representa Ln y frente a x, usando escalas lineales, .

y = e0,5·x       (lin-lin) y = e0,5·x       (lin-log) Ln y = Ln e0,5·x = 0,5·x       (log-log)

Escalas lineales en ambos ejes Semilogarítmica: eje X lineal; eje Y con escalalogarítmica

Ambos ejes lineales

Los puntos representados tienen valores de x igual a -6; -5,5; -5; -4,5;... 0; ...; 4,5; 5: 5,5; 6

Escala logarítmica 5

Representar Ln y vs x usando un eje vertical con escala lineal (derecha) es equivalente a representar y vs x usando un eje vertical con escalalogarítmica (centro). En ambos casos, la escala del eje horizontal es lineal y por ello la gráfica central es una representación semilogarítmica o

lin-log.

Es decir, al trazar una función exponencial en una escala semilogarítmica (equivalente a representar Ln

y frente a x en ejes con escalas lineales) se obtiene: , que es una línea recta.

Representando una función potencial

Ahora vemos el trazado de la función usando diferentes posibilidades. En la gráfica izquierda se empleanescalas lineales (y frente a x). En una escala logarítmica, gráfica central, se obtiene una línea recta, igual que en eltercer caso, gráfica derecha, en el que se representa Ln y frente a Ln x, usando escalas lineales,

.

y = x4       (lin-lin) y = x4       (log-log) Ln y = 4·Ln x       (log-log)

Escalas lineales Logarítmica Lineales

Los puntos representados tienen valores de x igual a 0; 0,2; 0,4; 0,6;... ...; 4,2; 4,4: 4,6; 4,8.

Representar Ln y vs Ln x en ejes con escala lineal (derecha) es equivalente a representar y vs x en representación logarítmica (ambos ejes conescala logarítmica; centro).

O sea, al trazar la función potencial y=xb en una escala logarítmica para ambos ejes (y frente a x; gráfica central) seobtiene una línea recta semejante a la que se obtiene al representar log y frente a log x en ejes con escala lineal(gráfica derecha) pues tiene la ecuación de una línea recta.

Unidades de información• bit [log 2]• byte 8[log 2] = [log 256]• nat [log e]• ban [log 10]

Unidades de la fuerza relativa de una señal• bel [log 10]• decibelios 0,1 [log 10]• Neper [log e]

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Escala•• Orden de magnitud•• Década

Aplicaciones•• Octava•• pH•• Escala de Richter

Referencias[1][1] con referencias:[2] Teoría de la Comunicación (http:/ / arantxa. ii. uam. es/ ~tco/ Documentacion/ Tema_II_1_Introduccion_Caracterizacion_de_senales_ver0.

pdf) Tema II: Señales, sistemas y perturbaciones. Jorge A. Ruiz Cruz. Escuela Politécnica Superior. Universidad Autónoma de Madrid. Pág.14

[3] Elementos de métodos numéricos para Ingeniería. (http:/ / books. google. es/ books?id=FU6UKclO2MMC& pg=PA14) Juan Manuel IzarLandeta. UASLP, 1998 ISBN 968-7674-45-8. Pág. 14 y sig.

[4][4] Fundamentos matemáticos de la ingeniería II. Miguel Alamar Penadés, Bernardino Roig Sala, Anna Vidal Meló. Ed. Universidad Politécnicade Valencia, 2006 ISBN 84-9705-937-9. Pág. 142

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Fuentes y contribuyentes del artículo 7

Fuentes y contribuyentes del artículoEscala logarítmica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66883250  Contribuyentes: Alex299006, Armando-Martin, Diegusjaimes, Sabbut, 7 ediciones anónimas

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