Errores y obstáculos en el concepto de número decimal de ...

UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES

EXPERIMENTALS

Errores y obstáculos en el concepto

de número decimal de alumnos adultos

de diferentes culturas

en un entorno de falta de libertad

Màster de recerca en didàctica de les matemàtiques i de les ciències experimentals

Autor

Eduard Piñero Nieto

Tutora

Carmen Azcárate Giménez

12 de setiembre de 2011

AGRADECIMIENTOS

En cualquier proceso de creación, ya sea pintar un cuadro, construir una pared o

realizar un trabajo de máster, como éste, hay momentos buenos y, otros, no tan buenos.

En esos momentos no tan buenos, es decir, difíciles, es cuando podemos descubrir las

personas que están realmente con nosotros.

Pues bien, por suerte ha habido muchas personas con las que he podido contar en las

situaciones complicadas que han ido surgiendo durante el proceso de creación de este

trabajo de final de máster. Las dos personas que más cerca han estado en éste, mi

proceso de construcción, han sido mi tutora, Carmen, que me ha guiado magistralmente

en un camino que no era el que le hubiera gustado que siguiera, pero que de todas

formas, siempre ha estado a mi lado, acompañándome, a veces, orientándome, otras; y

mi otra guía, Lourdes, que sin su inestimable ayuda me hubiese ahogado en un mundo

de análisis estadístico que me superaba por completo.

Quiero agradecer a todos los profesores y profesoras del Máster, en especial a Jordi,

porque sin su dedicación, sin su predisposición y sin su profesionalidad no hubiese

recibido todos los muchos conocimientos que aprendí durante este curso necesario para

elaborar este trabajo. A todos mis compañeros y compañeras del Máster porque sin sus

ánimos, sin sus apoyos y sin sus angustias, que también eran las mías, tampoco podría

haber producido nada.

No puedo olvidarme de dar las gracias a las profesoras, maestras y maestros del Cento

de Formación de Adultos Carme Karr que me han dejado que les robara sus clases y sus

alumnos. Como no, a los alumnos, unos alumnos especiales, pero que aún así

contestaron de forma totalmente desinteresada los cuestionarios, la materia prima de

este trabajo.

Para acabar, quiero agradecer a dos personas fundamentales en este trabajo, mi madre y

mi padre, que me dieron la vida y una base sólida para escoger caminos como éste que

me han permitido crecer día tras día.

A todos y todas, muchas gracias; este trabajo, quizás lo haya redactado yo, pero lo

hemos creado entre todos, así que es tan mio como vuestro.

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

1. Introducción .................................................................................................... 3

2. Marco teórico .................................................................................................. 52.1 El error en la historia ............................................................................... 52.2 Aprendizaje, aprendizaje matemático y error .......................................... 72.3 Una explicación al origen del error: los obstáculos en el aprendizaje de

las matemáticas ....................................................................................... 112.4 Las dificultades en el concepto de número decimal y la búsqueda de

obstáculos en los errores producidos ...................................................... 15

3. Problema y objetivos de la investigación .................................................... 193.1 Problema de investigación ...................................................................... 193.2 Objetivos de la investigación ................................................................... 20

4. Metodología .................................................................................................... 214.1 Aproximación metodológica ..................................................................... 214.2 Población y contexto ............................................................................... 244.3 El instrumento de la investigación: el cuestionario .................................. 284.4 El grupo piloto .......................................................................................... 304.5 La recogida de datos ............................................................................... 33

5. A nálisis de datos y resultados ...................................................................... 345.1 V aciado de los cuestionarios ................................................................... 345.2 E studio de frecuencias de los errores cometidos .................................... 375.3 A nálisis comparativo entre el nivel educativo de los alumnos y los

errores cometidos .................................................................................... 425.4 L os errores cometidos por los alumnos considerados obstáculos

cognitivos .................................................................................................50

5.5 A nálisis de cuestionarios significativos de alumnos representativos ....... 54

6. C onclusiones y prospectiva .......................................................................... 566.1 C onclusiones ........................................................................................... 566.2 P rospectiva .............................................................................................. 59

7. Bibliografía ...................................................................................................... 61

Anexos ............................................................................................................. 65

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1. Introducción

La enseñanza y el aprendizaje de los números constituye un proceso que se

desarrolla a lo largo de toda la escolaridad primaria y secundaria. Este proceso se

estructura alrededor de diferentes sistemas numéricos, comenzando por los números

naturales en la educación primaria y acabando con la introducción de los números reales

y complejos en la enseñanza secundaria.

Un conjunto que resulta especialmente difícil en este proceso de aprendizaje es el de los

números decimales; múltiples estudios confirman la lentitud en la adquisición del

concepto de número decimal que va desde el primer contacto en la educación primaria

hasta la educación secundaria, sin que se pueda asegurar, como veremos en el presente

estudio, que a esta edad estén resueltas todas las dificultades que su aprendizaje

plantea.

La investigación realizada analiza la naturaleza de los errores producidos relacionados

con el concepto de número decimal, con su escritura y con sus operaciones. Así,

siguiendo a Centeno (1988) nuestro trabajo clasifica los errores en cuatro tipos diferentes

atendiendo a su origen. Así tendremos errores relacionados con la lectura y escritura de

los números decimales según el valor de posición, errores relacionados con el cero,

errores debidos al orden de los decimales y errores con las operaciones.

Nuestra conjetura inicial será que los errores sobre los números decimales no son

debidos a distracciones, sino que la hipótesis es que se reproducirán en diferentes

alumnos y situaciones, revelándonos la existencia de modelos implícitos erróneos. Los

errores repetibles y persistentes estarán relacionados con una cierta manera de conocer

que permitirá detectar las resistencias a la evolución de un concepto; es decir, estaremos

ante unos errores sistemáticos debidos a una deficiente estructura conceptual del sistema

numérico decimal.

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Consideraremos que los errores producidos son debidos a una extensión de reglas que,

aún manifestándose correctas en ciertos casos, resultan equivocadas en otros. Los

alumnos en su proceso de aprendizaje cometen estos errores por un ejercicio racional de

generalización a situaciones que se consideran erróneamente análogas; para ello

seguiremos los postulados de Brousseau (1983) y afirmaremos que estos errores de

orden conceptual serán debidos a obstáculos cognitivos; mostrando como un cierto

número de fuertes convicciones sobre las propiedades que poseen los números y las

operaciones que son realizadas, ligadas a la concepción de número, importadas en los

decimales en el caso de la extensión del concepto, crearán errores sistemáticos

particularmente resistentes.

La investigación experimental llevada a cabo será de tipo empírico que utiliza una

metodología descriptiva para analizar los errores producidos en la respuesta a un

cuestionario con ejercicios y problemas sobre números decimales. El método de

investigación didáctica es cuantitativa con una muestra que se acerca a los doscientos

sujetos. Las respuestas de estos sujetos se analizan mediante herramientas informáticas,

a través de paquetes de procesamiento estadísticos, como el programa SPSS.

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2. Marco teórico

2.1. El error en la historia

“La escuela del futuro (...) sería aquella en la que el

alumno tendría permiso para cometer ese gran error

que es la esperanza”

(George Steiner: Elogio de la transmisión)

La presencia de dificultades y errores en la adquisición y en el desarrollo del

conocimiento es una constante a lo largo de toda la historia de la humanidad. No

obstante, la manera como la sociedad se ha revelado ante estas dificultades y estos

errores en el progreso del saber humano ha estado en continuo cambio y evolución.

La evolución de la ciencia, como modelo indiscutible de fiabilidad y de verdad, ha estado

plagado de conocimientos incompletos, insuficientes, deficientes y erróneos. En

diferentes periodos del progreso científico se han tomado como válidos, conceptos y

procedimientos equivocados, ideas contradictorias y justificaciones falsas. El error ha

estado y está presente, de forma constante, en el progreso de la ciencia y son muchos

los filósofos de la ciencia, epistemólogos y pensadores que se han preocupado del papel

central que han ocupado las ideas equivocadas en el avance científico.

Sócrates ya afirmó que “todos nosotros podemos errar, y con frecuencia erramos

individual y colectivamente; pero la idea del error y la fiabilidad implica que podemos

buscar la verdad, la verdad objetiva (...); si respetamos la verdad, debemos aspirar a ella

examinando persistentemente nuestros errores: mediante la infatigable crítica racional y

mediante la autocrítica” (Rico, 1995).

También el filósofo Karl Popper en su obra “Conjeturas y refutaciones” da un rol

destacable a los errores en la adquisición del conocimiento humano como fuente para su

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progreso. El autor propone que la verdad es difícil de alcanzar y, una vez lograda, se

puede volver a perder fácilmente. Al igual que la verdad científica, ésta no se presenta de

forma manifiesta sino que ha de ser constantemente revisada y evaluada.

Popper nos advierte que no existen fuentes últimas del conocimiento; toda idea y

sugerencia debe ser sometida a examen crítico. La pregunta que debemos hacernos no

es quién hizo una afirmación sino si ésta es cierta y se ajusta a los hechos. La afirmación

realizada quedará, pues, sometida a las revisiones críticas y a las pruebas propias y

ajenas. Estas convicciones enlazan con otra idea importante que se extrae del trabajo de

Popper: ”el conocimiento no puede partir de la nada, su progreso consiste,

principalmente, en la modificación de un conocimiento anterior”.

Estas reflexiones no diferirán substancialmente de otro importante filósofo francés,

Gaston Bachelard, que propone el concepto de obstáculo epistemológico para dar una

explicación a los errores que aparecen de forma inevitable en el progreso de la ciencia.

Comienza su obra “La formación del espíritu científico” afirmando que:

“Cuando se investigan las condiciones psicológicas del progreso de la ciencia hay que

plantear el problema del conocimiento científico en términos de obstáculos; en el acto

mismo de conocer, íntimamente, es donde aparecen, por una especie de necesidad

funcional, los entorpecimientos y las confusiones; es ahí donde mostraremos causas de

estancamiento y hasta de retroceso, es ahí, donde discerniremos causas de inercia que

llamaremos obstáculos epistemológicos.

El conocimiento de lo real es una luz que siempre proyecta alguna sombra; jamás es

inmediata y plena. Al volver sobre un pasado de errores se encuentra la verdad. En

efecto, se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal

adquiridos y superando aquello que, en el espíritu mismo, obstaculiza.

La noción de obstáculo epistemológico puede ser estudiada en el desarrollo histórico del

pensamiento científico y en la práctica de la educación” (Bachelard, 1988).

En nuestro trabajo veremos que todas estas reflexiones toman sentido y nos serán útiles

para el modo que entendemos la educación en general, y la educación de las

matemáticas, en particular.

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2.2. Aprendizaje, aprendizaje matemático y error

Las ideas expuestas en el apartado anterior tienen, también, reflejo en la

educación, y sobretodo, en las propuestas constructivistas del aprendizaje. Los diferentes

enfoques del constructivismo coinciden en que el conocimiento es construido mediante

estructuras cognitivas que se activan en la mente del individuo. Estas estructuras, en

continuo desarrollo, se van transformando mediante la actividad educativa. En el proceso

habitual de construcción del conocimiento aparecerán, sin duda, dificultades y errores,

debidos al conflicto producido entre el antiguo y nuevo conocimiento. El proceso descrito

incluirá, entonces, el diagnóstico de errores, su detección, corrección y superación

mediante actividades que promuevan la práctica evaluadora del profesor y el ejercicio

autocrítico de los propios alumnos (Rico, 1995).

Centrándonos en la disciplina matemáticas, según Martín Socas, “la mayoría de los

autores consideran que los errores no tienen un carácter accidental sino que surgen por

las estrategias y reglas personales que los alumnos emplean en la resolución de la

situación problemática y son consecuencia de las experiencias anteriores en

Matemáticas” (Socas, 2007). Y sigue afirmando, que sería necesario, pues, “diagnosticar

y tratar mucho más seriamente de cómo lo hacemos, los errores de los alumnos. Esta

información permitirá al profesorado arbitrar procedimientos y remedios efectivos para

ayudar a los alumnos en la corrección de dichos errores”.

Una aproximación histórica a la evolución que ha tenido el estudio de las producciones

matemáticas de los alumnos que contienen errores nos lleva a distinguir tres periodos o

etapas (Socas, 2007):

1ª Etapa: Durante este primer periodo que va desde principios del siglo XX hasta la

década de los años setenta las investigaciones sobre errores se basaban en la idea de

que éstos eran una anomalía que era necesario subsanar. Los estudios focalizaban su

atención, substancialmente, en el recuento del número de soluciones incorrectas que

daban los alumnos a diferentes problemas, realizando posteriormente, una clasificación

que permitiera discernir de qué forma surgen los errores, partiendo siempre de la solución

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correcta. Finalmente, se efectuaban inferencias sobre qué factores, sobretodo de

contenido matemático, podían haber producido el error.

2ª Etapa: A partir de los años ochenta, se consideran las producciones incorrectas de los

alumnos como algo consustancial a los procesos de enseñanza y aprendizaje. Se

normaliza así el error y el objetivo será, en este periodo, indagar sobre los equívocos de

los alumnos, pero no solo a través de su clasificación, sino sobretodo, profundizar en el

pensamiento del alumno en el proceso de construcción de los objetos matemáticos.

En esta etapa destacan las aportaciones de Brousseau, Davis y Werner (1986)

describiendo que “los errores que cometen los alumnos muestran, en algunos casos, un

patrón consistente; los alumnos tienen con frecuencia concepciones inadecuadas sobre

los objetos matemáticos; a veces, estas concepciones inadecuadas les conducen a usar

procedimientos inadecuados que no son reconocidos como tales por sus profesores.

Llegan a utilizar, en algunos casos, métodos propios ignorando el método propuesto por

el profesor. Esto les lleva a señalar posibles caminos en los que el error puede

presentarse: los errores como consecuencia de concepciones inadecuadas, los errores

como la aplicación correcta de un procedimiento sistematizado que es inapropiado, los

errores como consecuencia del uso de métodos propios del estudiante, en general

informales, entre otros” (citado en Socas, 2007).

Otra contribución importante durante este periodo son los estudios de Mulhern que

caracteriza los errores cometidos por los alumnos como: sorprendentes y

extremadamente persistentes; éstos pueden ser sistemáticos o por azar, siendo más

interesantes e importantes, desde el punto de vista didáctico, los primeros; finalmente, el

autor afirma que los alumnos que cometen errores ignoran el significado de los objetos

matemáticos; es decir, las respuestas que son incorrectas no son puestas en cuestión por

estos alumnos (Mulhern, 1989).

Un logro importante durante esta etapa es reconocer que los errores no son debidos solo

a los alumnos; son también motivados por otros elementos del proceso educativo, ya sea

el profesorado, el currículo o el contexto sociocultural e institucional, así como sus

interrelaciones. El estudio sobre errores se centrará no, únicamente, en las producciones

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de los alumnos sino, sobretodo, en los procesos de enseñanza-aprendizaje y en todos los

elementos que intervienen.

3ª Etapa: En la actualidad, según Socas (2007), “parece necesario desde la Didáctica de

la Matemática, avanzar en la delimitación de las causas posibles de los errores que

cometen los alumnos y tener una explicación de cada error particular del alumno, de

manera que podamos actuar sobre él a nivel de grupo o a nivel individual, siendo

conscientes de las dificultades debidas a las distintas variables que interaccionan en el

proceso educativo y que condicionan el error al convertirse en dificultades u obstáculos

en el aprendizaje”.

Luis Rico propone cuatro principales líneas de investigación, no excluyentes, en el

estudio de errores en el aprendizaje de las matemáticas (Rico, 1995):

a) Estudios sobre análisis de errores, causas que los producen o elementos que

los explican; realizando clasificaciones y taxonomías de los errores detectados.

b) Trabajos acerca del tratamiento curricular de los errores en el aprendizaje de

las matemáticas. Se incluyen aquí estudios sobre la previsión de errores, su detección y

propuesta de medios para su corrección, debidos al contenido matemático y a la

organización en la enseñanza de las matemáticas.

c) Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad para

detectar, analizar, interpretar y tratar los errores de sus alumnos.

d) Trabajos de carácter técnico que incluyen procedimientos estadísticos y

elementos psicométricos, que permiten realizar investigaciones de contraste de hipótesis

que justifiquen el origen o la causa de determinados errores.

En nuestro trabajo nos situaremos en la primera línea de investigación analizada por el

profesor Luis Rico, centrándonos en la aproximación epistemológica en el estudio de los

errores. El mismo autor nos muestra las ideas generales de este planteamiento extraídas

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de González, J. L. (1992): Pensamiento Relativo. Análisis de errores en tareas de

traducción-interacción entre sistemas de representación. Tesis Doctoral Inédita y que

nosotros reproducimos íntegramente, por su interés en nuestro estudio (Rico, 1995):

“La reconstrucción y apropiación de conocimiento matemático exige una labor depurativa

constante en la que se ponga en cuestión el conocimiento vulgar, empírico, parcial, falso

en unos casos o superficial en otros, que tienen los individuos en cada momento

educativo, para que se produzcan rupturas con los conceptos y representaciones

necesariamente limitados, y que aparezcan en su lugar nuevas concepciones, teorías y

procedimientos, como alternativas más amplias, profundas e integradoras. Este punto de

vista caracteriza el proceso de aprendizaje como resultado de modificaciones cualitativas

del conocimiento en la dirección del conocimiento científico y por tanto de un

pensamiento más evolucionado. A grandes rasgos, el conocimiento matemático se

construye paulatinamente mediante actos sucesivos de abstracción, a partir de la

realidad, para desembocar en un nivel en el que el trabajo se realiza con entes y

relaciones matemáticas con poca o nula conexión con la realidad en la mayoría de los

casos. Se trata de un proceso en cadena con sucesivas rupturas y ampliaciones, en el

que aparecen dificultades inherentes al salto cualitativo que supone el paso de la realidad

concreta cotidiana a la realidad matemática formal. En este proceso, el individuo debe ir

abandonando y sustituyendo progresivamente ciertos tipos de conocimiento por otros

más evolucionados, venciendo las resistencias naturales que suelen presentarse ante

modificaciones. Los conocimientos antiguos que funcionan no son desechados

completamente sino que quedan integrados y valorados dentro de la nueva y más

completa visión que surge del aprendizaje. En esta dinámica, los errores que cometen los

individuos de forma persistente son manifestaciones de la presencia de un fenómeno

más amplio, que algunos autores denominan inadaptación del conocimiento, provocada

por obstáculo. El error dentro de esta interpretación es un hecho constatable que tiene su

origen o es debido a la presencia de uno o varios obstáculos como fenómenos más

generales y arraigados en el individuo "

Desarrollemos este enfoque epistemológico en el estudio de errores en el siguiente

apartado.

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2.3. Una explicación al origen del error: los obstáculos en el

aprendizaje de las matemáticas

Según Socas (2007) los errores aparecen en los alumnos cuando han de resolver

nuevos problemas que los obligan a hacer una revisión o re-estructuración de los

conocimientos que tienen adquiridos. Matz (1980) lo resume afirmando que “los errores

son intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una

nueva situación”

Siguiendo con otro trabajo previo de Socas (1997), se consideran tres ejes en el análisis

del origen de los errores que cometen los alumnos: debidos a un obstáculo, motivados

por una ausencia de sentido o producidos por actitudes afectivas y emocionales. Nuestro

estudio se limitará a los errores debidos a obstáculos, exhortando al lector la consulta del

estudio de Socas si tuviera interés en las otras propuestas.

Ya en la introducción de nuestro trabajo, hicimos referencia a la noción de obstáculo,

introducido por primera vez por el filósofo francés Gaston Bachelard (1988) en el contexto

de las ciencias experimentales enmarcándolo en el concepto de obstáculo

epistemológico. No reproduciremos aquí la reseña de la introducción, daremos cuenta de

las diferentes clases de obstáculos epistemológicos que recoge el autor: primera,

surgidas de la tendencia a confiar en engañosas experiencias intuitivas; segunda,

debidas a la tendencia a generalizar ocultando la particularidad de cada nueva situación;

y tercera, motivados por las diferencias entre el lenguaje científico y el lenguaje coloquial.

El concepto de obstáculo es retomado por Guy Brousseau en didáctica de las

matemáticas, adaptándolo al contexto de la práctica educativa, afirmando que “el error y

el fracaso no tienen el rol simplificado que en ocasiones uno quiere hacerles jugar. El

error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertitud, del azar que uno cree en

las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento

anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que, ahora, se revela falso, o simplemente

inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos e imprevisibles, están constituidos

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de obstáculos. Tanto en el funcionamiento del maestro como en el del alumno, el error es

constitutivo del sentido del conocimiento adquirido” (Brousseau, 1983).

Continúa el autor, argumentando que los nuevos obstáculos, antes conocimientos, son

debidos a la interacción del alumno con el medio en una situación que hace que esos

antiguos conocimientos hayan sido correctos para un cierto dominio, pero que ahora

resultarán erróneos para el nuevo problema planteado.

Brousseau distingue tres diferentes obstáculos presentes en el sistema didáctico

atendiendo a su origen, según se sitúen en uno u otro de los polos del sistema didáctico,

es decir el alumno, el profesor o el saber (véase Figura 1):

a) Obstáculos de origen ontogenético o psicogenético, debidos a las limitaciones y

características propias del desarrollo del alumno.

b) Obstáculos de origen didáctico, resultado de una opción o de un proyecto del

sistema educativo, entre éstas se incluirían las elecciones que realiza el profesor en el

momento de plantear una situación de enseñanza.

c) Obstáculos de origen epistemológico, resultado de concepciones constitutivas

del conocimiento e intrínsecamente relacionados con el propio concepto matemático e

inherentes a la noción a la que se refieren. Es decir, se podrá rastrear en la historia de las

matemáticas y en la comunidad de matemáticos de una determinada época para hallar

los obstáculos que se han debido tomar consciencia y se han buscado vías para

superarlos. El rechazo del obstáculo será explícito y formará parte del saber matemático.

Aclarando Brousseau que por ello “no quiere decir que se deba amplificar su efecto ni

que deban reproducirse en el medio escolar las condiciones históricas en las que han

sido vencidos” (Brousseau, 1983).

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Obstáculos

epistemológicos

(el saber)

Obstáculos

ontogenéticos

(el alumno)

Obstáculos didácticos

(el profesor)

Figura 1

Artigue (1990) menciona los trabajos de Duroux (1983) que propone una serie de

condiciones necesarias para poder calificar de obstáculo a una concepción que produce

errores en los alumnos. Esta relación fue modificada por Brousseau (1989), quedando

como sigue:

a) Un obstáculo será un conocimiento, una concepción, no una dificultad ni una

falta de conocimiento.

b) Este conocimiento produce respuestas adaptadas a un cierto contexto,

frecuentemente reencontrado.

c) Pero engendra respuestas falsas fuera de este contexto. Una respuesta

correcta y universal exige un punto de vista notablemente diferente.

d) Además, este conocimiento resiste a las contradicciones con las que se le

confronta y al establecimiento de un conocimiento mejor. No es suficiente poseer un

conocimiento mejor para que el precedente desaparezca. Es pues indispensable

identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber.

e) Después de tomar conciencia de su inexactitud, el obstáculo continua

manifestándose de forma intempestiva y obstinada.

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Se podrían resumir estas categorías afirmando que la noción de obstáculo

epistemológico queda incluida en una categoría más amplia, la de obstáculo cognitivo,

que a la vez es un caso particular de otra noción más general, la de concepción. El objeto

principal de la didáctica de las matemáticas será, según Brousseau, estudiar las

condiciones que deben cumplir las situaciones o problemas propuestos al estudiante para

favorecer la aparición, el funcionamiento y el resultado de esas concepciones sucesivas,

de esta forma explicitar los obstáculos presentes en los alumnos con el objetivo de

superarlos.

Brousseau (1989) precisa que el trabajo del investigador en didáctica de las matemáticas,

relacionado con la noción de obstáculo, consiste substancialmente en: encontrar los

errores recurrentes mostrando que se reagrupan alrededor de concepciones, hallar los

obstáculos que aparecen en la historia de las matemáticas, y por último, confrontar los

obstáculos históricos con los obstáculos de aprendizaje con el objetivo de establecer su

carácter epistemológico (Artigue, 1990).

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2.4. Las dificultades en el concepto de número decimal y la

búsqueda de obstáculos en los errores producidos

Los profesionales de la educación matemática saben que, en mayor o menor

medida, el aprendizaje de los números decimales es particularmente difícil para los

alumnos. Para estos alumnos, la extensión del concepto de decimal requerirá un cambio

conceptual, debiendo integrar las nuevas ideas acerca de estos números con sus

conocimientos previos sobre la base de los números naturales (Desmet et alt., 2010).

Los resultados de la cuarta evaluación de National Assessment of Educational Progress

(NAEP) en el área de matemáticas en los Estados Unidos reveló que la escuela media y

los estudiantes de secundaria tenían dificultades en elementos relativos al ordenamiento

de los números decimales (Lindquist,1989).

Owens y Super (1992), por su parte, afirman que las investigaciones sobre el aprendizaje

de los números decimales indica que hay un problema en el conocimiento conceptual de

los niños sobre los decimales. Muchos alumnos parecen tener un conocimiento

instrumental que conduce a la aplicación de "normas sin razón" en lugar de la

comprensión racional que implica la interrelación entre los conceptos y la comprensión de

por qué la utilización de una regla o no. En consecuencia, los niños presentan muchos

conceptos erróneos sobre los decimales, como se indica en el estudio de National

Assessment of Educational Progress.

Grisvart y Leonard (1981, 1983), en uno de los primeros estudios sobre la dificultad de los

números decimales, muestran que los alumnos utilizan tres reglas para ordenar los

números que contienen cifras decimales. Los autores hacen notar que si bien estos

implícitos pueden producir buenas respuestas en un gran número de casos, dan

respuestas erróneas en muchos otros. Las reglas a las que hacen referencia son las

siguientes:

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Regla 1: Entre dos números decimales con la misma parte entera el número

superior es aquél donde el valor de la parte decimal es mayor.

Ejemplo: 12,113 >12,4 ya que 113>4 o 12,04>12,3 ya que 4>3

Regla 2: Entre dos números decimales con la misma parte entera el número

superior es aquél donde el número de cifras decimales es menor.

Ejemplo: 12,24<12,7 o 12,94<12,9

Regla 3: Aparece cuando hay más de dos números para comparar y uno de ellos

contiene un cero como primera cifra decimal, entonces, el número menor es aquel donde

la primera cifra decimal es un cero. Seguidamente se aplicaría la regla primera. En cierto

sentido, este patrón es una mejora de la regla 1 ya que conduce a más respuestas

correctas.

Ejemplo: 12,09 < 12,8

Según las investigaciones realizadas por Grisvart y Leonard (1981, 1983) el 89 % de los

errores cometidos en la tarea de ordenación de los números decimales son debidos a la

aplicación de alguna de estas tres reglas. El implícito más frecuentemente utilizado en las

respuestas incorrectas es la regla 1, juntamente con la regla 3, en los casos en que se

puede aplicar. La aplicación de la regla 2 es menos sistemática, raramente se aplica sola,

siendo utilizada en relación con la regla número 3. Los autores afirman que los alumnos

que dan buenas respuestas cuando se trata de comparar una pareja de números

decimales recurren a las reglas descritas cuando la situación es más compleja (ordenar

cinco números decimales, por ejemplo) obteniendo, así, respuestas incorrectas.

Los autores afirman que aunque la frecuencia de utilización de estos preceptos van

disminuyendo con la edad, los alumnos mayores los siguen utilizando cuando se les

presentan tareas más complejas que la comparación de dos números decimales.

Otros autores que investigaron la existencia y frecuencia de uso de las reglas implícitas

desarrolladas por Grisvard y Leonard fueron Vance (1986) en Canadá, Resnick et alt.

(1989) en Estados Unidos o Nesher y Peled (1986) en Israel llegando a similares

conclusiones que los autores franceses. Así, en el estudio canadiense el 48% de los

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estudiantes de sexto curso y el 15% de séptimo curso de una muestra de 507 alumnos

utilizaron la regla primera, mientras que el 8% de los estudiantes de sexto curso y el 19%

de séptimo curso utilizaron la regla segunda. En el estudio israelí los investigadores

pudieron verificar la utilización de las reglas citadas en similares porcentajes en alumnos

de sexto, séptimo y noveno curso.

Resnick et al. (1989) solicitó a los participantes de su estudio que compararan dos

números decimales seleccionando el mayor de ellos. A partir de los resultados obtenidos,

los autores establecieron las fuentes conceptuales de los errores cometidos y de las

normas aplicadas para su producción, según las reglas descritas por Grisvart y Leonard

(1981, 1983). Para Resnick y colaboradores la utilización de la regla primera corresponde

a una inmadura concepción de los números decimales debida a una extensión de las

propiedades de los números naturales. Mientras que el uso de la segunda regla se deriva

de la enseñanza de las fracciones decimales, pudiéndose interpretar como un exceso de

generalización de la idea de que una décima parte siempre es más grande que una

centésima.

Las investigaciones de Lesh y Schultz (1983) y de Post, Behr, Lesh, y Wachsmuth (1985)

encontraron que muchos de los conceptos erróneos acerca de los números decimales

que poseen los alumnos también se encuentran entre los docentes. En otra investigación,

Lester (1984) halló que en cincuenta por ciento de unos seiscientos futuros maestros de

primaria no pudieron superar con éxito más del 75% de una prueba de competencia

aritmética, siendo con mayor frecuencia los errores cometidos debidos a cuestiones

donde aparecían las fracciones y/o los decimales.

Grossman (1983) afirma que menos del 30% de los 7.100 estudiantes que cursaban el

primer año de universidad de la ciudad de Nueva York seleccionó la respuesta correcta

en una pregunta que les instaba a que seleccionaran el número más pequeño de un

determinado conjunto de cinco números decimales. La respuesta incorrecta más

frecuente fue la que tenía más dígitos decimales, siendo ésta seleccionada con más

frecuencia que la respuesta realmente correcta.

Artigue (1990) asegura que algunas de las investigaciones didácticas mencionadas

(Grisvard, Leonard, Perrin) confirman que los conocimientos adquiridos sobre los

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números naturales devienen obstáculos en la extensión de este conjunto al de números

decimales. Continua diciendo que “un cierto número de fuertes convicciones sobre las

propiedades que poseen los números y las operaciones que son realizadas (números que

tienen un predecesor y un sucesor, la multiplicación que produce números más grandes,

la división que produce números más pequeños...) y sus propiedades, ligadas de forma

definitiva a la concepción de número, importadas en los decimales en el caso de la

extensión del concepto, crean errores particularmente resistentes”.

Daremos cuenta en nuestro trabajo si los resultados de las investigaciones citadas se

corresponden con nuestra realidad.

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3. Problema y objetivos de la investigación

3.1. Problema de investigación

Centeno (1988) en su obra Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué? nos da

cuenta de numerosos estudios que confirman la lentitud en la adquisición del concepto de

número decimal, afirmando que “el tiempo necesario para realizar este camino que va del

primer contacto con los números decimales hasta el dominio de los mismos, puede

extenderse desde los ocho o nueve años hasta los trece o catorce, sin que se pueda

asegurar que a esta edad están resueltas todas las dificultades que este aprendizaje

plantea”.

Esta última cita es el motor de la presente investigación; nuestra intención será revelar si

continúan existiendo problemas y dificultades con el concepto de número decimal en

personas adultas. Así, trataremos de dar respuesta a las siguientes cuestiones:

1. ¿Cometen errores los alumnos adultos en ejercicios y problemas básicos de

ordenación, escritura y operaciones con números decimales?

2. Si es así, ¿qué errores emergen en las respuestas de los alumnos adultos en las

cuestiones que implican el uso de los números decimales?

3. De estos errores, ¿Cuáles pueden ser motivados por obstáculos?

19

3.2. Objetivos de la investigación

Sigue la misma autora realizando una clasificación de los errores más frecuentes

relacionados con el concepto de número decimal, con su escritura y con sus operaciones

(Centeno, 1988):

a. Errores relacionados con la lectura y escritura de los números: valor de

posición.

b. Errores relacionados con el cero.

c. Errores relacionados con el orden de los decimales.

d. Errores relacionados con las operaciones.

Mediante un cuestionario que recogerá ejercicios y problemas que requieran

conocimientos del concepto de número decimal, el objetivo de nuestro trabajo será

analizar los errores cometidos en las producciones de alumnos adultos de diferentes

culturas en una situación particular, la falta de libertad.

A través de la clasificación de errores de Julia Centeno, realizaremos una clasificación de

éstos producidos por los alumnos y consideraremos que no son debidos a distracciones;

al contrario, nuestra hipótesis inicial es que se reproducirán en diferentes alumnos y

situaciones, revelándonos la existencia de modelos implícitos erróneos. Los errores

repetibles y persistentes estarán relacionados con una cierta manera de conocer que

permitirá detectar las resistencias a la evolución de un concepto; es decir, estaremos ante

obstáculos cognitivos. Es decir, distinguiremos aquellos errores debidos a obstáculos,

entendido como extensión de las propiedades de los números naturales a los números

decimales, en el sentido que le da Guy Brousseau.

20

4. Metodología

4.1. Aproximación metodológica

Como ya anunciamos al principio de este trabajo el objetivo de esta investigación

es analizar los errores cometidos por personas adultas de distintas nacionalidades

distinguiendo aquellos errores debidos a obstáculos. Por este motivo, consideramos que

la investigación que se ha llevado a cabo se enmarca en un estudio de base

metodológica cuantitativa que incluye una combinación de investigación experimental con

un estudio ex post-facto.

Siguiendo a Bisquerra (2009) la investigación experimental ha de tener necesariamente

seis características distintivas: una equivalencia estadística de sujetos en diversos grupos

formados al azar, una comparación de dos o más grupos o conjuntos de condiciones, una

manipulación directa de una variable independiente, una medición de cada variable

dependiente, el uso de estadísticos inferenciales y un diseño de investigación que

permita un control máximo de las variables extrañas.

Comprobaremos tanto en este apartado metodológico como en el siguiente de resultados

como nuestro estudio cumple con todos estos obligados condicionantes de la

investigación experimental.

No obstante, según Joan Mateo (Bisquerra, 2009): “los fundamentos científicos de una

investigación experimental exigen que el investigador controle las condiciones de

producción del fenómeno a analizar, como paso previo al control de las variables que

intervienen en el mismo”. Añade el autor: “Sin embargo, la situación más habitual en la

investigación en ciencias sociales y humanas, reside en la dificultad de generar y dominar

los fenómenos sujetos de estudio (...). El caso más paradigmático lo constituyen aquellos

fenómenos en los que los hechos que los configuran ya se han producido cuando nos

aproximamos al estudio”. Este tipo de investigación toma la denominación de ex post-

facto, es decir, después de los hechos.

21

Este tipo de investigación es apropiada para establecer posibles relaciones de causa-

efecto observando que ciertos hechos han ocurrido y buscando en el pasado los factores

que los hayan podido ocasionar. Se diferencia del verdadero experimento en que en éste

la causa se introduce en un momento determinado y el efecto se viene a observar algún

tiempo después.

Las características principales de este tipo de estudio es que el investigador escoge uno

o más efectos que desea observar y se retrotrae en el tiempo en busca de posibles

causas, relaciones y su significado proporcionando información útil sobre la naturaleza

del problema, así puede dar cuenta de qué factores están asociados, bajo qué

circunstancias y en qué secuencia aparecen.

La principal debilidad o crítica que se le hace a este tipo de investigación consiste en que

por falta de control sobre los factores supuestamente causales, no es posible establecer

con un margen de seguridad aceptaba cuales son, realmente, la causa o las causas que

se aducen.

Un modelo organizativo de los estudios ex post-facto son los descriptivos. El estudio

descriptivo es un tipo de investigación elemental que trata sobre la descripción de

fenómenos, analizando su forma, acción, cambios producidos por el paso del tiempo,

similitudes con otros fenómenos, etc. Según Fox (citado en Bisquerra, 2009): “Son

estudios propios de las primeras etapas del desarrollo de una investigación y nos

preparan el camino para la configuración de nuevas teorías o investigaciones”

Los estudios descriptivos en educación intentan determinar el “qué es” de un fenómeno

educativo, no limitándose solo a la recogida de datos sino que da cuenta de preguntas

sobre el estado presente de una situación educativa con implicaciones que van más allá

de los límites establecidos en los propios elementos estudiados (Bisquerra, 2009).

Para Joan Mateo las fases de un estudio descriptivo ha de contemplar los propios de la

investigación cuantitativa y que es la llevada a cabo en este trabajo: identificación y

formulación del problema a investigar (apartado 3.1, de nuestro trabajo) , establecimiento

de los objetivos del estudio (apartado 3.2.), selección de la muestra (apartado 4.2.),

diseño o selección de los sistemas de recogida de información (apartado 4.3.), recogida y

22

análisis de los datos (apartado 4.5. y 5) y, por último, la derivación de conclusiones

(apartado 6).

23

4.2. Población y contexto

La investigación se ha desarrollado en una escuela de adultos ubicada en el

Centro Penitenciario de Lledoners en la población de Sant Joan de Vilatorrada

(Barcelona). Para tener una visión general de la distribución y estructura del centro ver

imagen del Anexo 1.

Prisión y educación son dos contextos que se interrelacionan en las escuelas de los

centros penitenciarios catalanes. Así, en todos las prisiones de Catalunya hay ubicado en

su interior un centro de formación de adultos del Departament d'Ensenyament que ofrece

la misma oferta formativa que cualquier otra escuela de adultos repartidas por el territorio

catalán. Los estudios que se ofrecen están divididos en cuatro bloques (ver Anexo 2):

1) Enseñanzas iniciales y básicas: incluirían tres niveles de lengua catalana,

dos de lengua castellana, un nivel inicial de inglés o francés y, finalmente,

un nivel de informática.

2) Formación básica: con tres niveles de formación instrumental, que se

equipararía, respectivamente, a alfabetización, neolectores y certificado

escolar; y dos niveles de graduado en educación secundaria obligatoria.

3) Preparación para las pruebas de acceso: son los cursos que tienen la

finalidad de preparar a los alumnos para realizar las pruebas de acceso

para los Ciclos Formativos de Grado Medio, Grado Superior y Universidad.

4) Competencias para la sociedad a la información: este bloque incluye dos

niveles funcionales de informática y uno de lengua inglesa o francesa.

En los centros educativos ubicados en prisiones, además de estos cuatro bloques, se da

apoyo a los alumnos que estudian carreras universitarias a través del programa

específico de la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Así, en nuestra escuela

hay alumnos que realizan los estudios universitarios de Derecho, Psicología, Turismo,

Educación Social, Historia y Administración y Dirección de Empresas.

24

Actualmente, el Centro Penitenciario de Lledoners tiene unos 750 internos

aproximadamente, de los cuales 400 están matriculados en la escuela de la prisión, lo

que representa una escolarización que supera el cincuenta por ciento.

La población objeto de la investigación está compuesta por 160 alumnos de la escuela

donde se realizan los diferentes estudios apuntados anteriormente. La propuesta inicial

en la investigación era que todos los alumnos de la escuela, unos cuatrocientos, fueran

objeto de la muestra, pero finalmente, se han descartado diversos grupos. Así no se han

incluido en el estudio los niveles de formación instrumental 1 y 2 por el bajo nivel de

formación que ostentan y los grupos de castellano inicial debido a las dificultades de

idioma en la comprensión del cuestionario.

La edad media de los sujetos de la investigación es de cerca de 37 años; desglosando

por franja de edad: alumnos menores de 25 años tenemos 17, de 25 a 34 años hay 58

personas, de la franja de 35 a 44 años tenemos 53 alumnos, 22 personas más entre 45 y

54 años; y, finalmente, 10 sujetos de más de cincuenta y cinco años. Como se puede

observar por los datos, el grueso de edad de la población de la investigación se

encuentra entre 25 y 44 años, sumando un setenta por ciento de la muestra. Véase la

distribución de edad en el siguiente gráfico:

25

Casi la mitad de la población de la investigación, cerca del cuarenta y tres por ciento, es

de origen español (68 personas), dieciocho más son del resto de Europa, cuarenta y una

personas son del continente africano, no obstante hay que destacar que de éstos

veintiocho son de Marruecos o Argelia, los individuos de América del Sud representan 18

% (29 personas) y el resto son de América del Norte y Asia, cuatro personas más.

Respecto al nivel de estudios de la población cabe destacar que uno de cada cinco no

dispone de estudios primarios finalizados (34 personas), algo más de la mitad de los

sujetos investigados dispone solo de estudios primarios finalizados o la actual educación

secundaria obligatoria (90 personas); y del resto de alumnos, que representan solo un

veinte por ciento poseen estudios de formación profesional (nueve sujetos), de

bachillerato (doce sujetos), universitarios (once sujetos) y cuatro sujetos más en la

categoría de otros estudios. El siguiente gráfico muestra de forma más concreta el nivel

de estudios de los sujetos de la investigación:

En relación al oficio de los investigados, destaca que el sesenta por ciento de la

población son trabajadores con ocupaciones elementales, trabajos no cualificados o

obreros de la construcción; sumados a los veintiocho que afirman no tener ningún oficio,

resulta que tres de cada cuatro están en estas categorías. Contrasta con el poco número

26

de directores y gerentes, solo tres, tal y como era de prever en el entorno penitenciario

donde se realiza la investigación. El resto de sujetos son trabajadores de servicios de

restauración, catorce sujetos, técnicos o profesionales intelectuales o de apoyo, diez

sujetos. El siguiente esquema da muestra detallada de la descripción realizada:

27

4.3. El instrumento de la investigación: el cuestionario

En todos los estudios descriptivos presentados en el apartado 2.4. del Marco

Teórico muestran los errores cometidos por niños y adultos con respecto al concepto de

número decimal. El instrumento utilizado más extensamente se basa en un cuestionario

más o menos extenso sobre la comparación de números decimales, la lectura y escritura

de números decimales o operaciones básicas entre estos números.

Nuestro cuestionario confeccionado a partir de los estudios que hemos analizado intenta

recoger información de los errores cometidos por la población estudiada atendiendo a la

clasificación propuesta por Julia Centeno: errores relacionados con la lectura y escritura

de los números, errores relacionados con el cero, errores relacionados con el orden de

los decimales y errores relacionados con las operaciones.

A continuación se da cuenta de los diferentes ítemes del cuestionario elaborado,

indicando que se pretende avaluar:

1) Se trata de un ejercicio de ordenación donde se pone a prueba las

dificultades que tienen los alumnos para interpretar el valor de posición de

los números decimales y su orden.

2) Este ítem pretende reconocer si se tienen conocimiento de la densidad de

los números decimales.

3) Este problema pone a prueba las dificultades con la multiplicación de

números decimales por 10 ó 1000.

4) El ejercicio pretende aproximar los números decimales a las unidades más

cercanas con el objetivo de saber si comprenden entre que número natural

está comprendido el número decimal.

5) Se trata de una cuestión relacionada con el orden de los decimales.

6) El problema propuesto pretende dar cuenta de la suma de números con

distintas cifras decimales.

28

7) El ejercicio muestra el conocimientos sobre en el significado de las cifras

decimales relacionado con su lectura y escritura.

8) El ítem propone la realización de cinco operaciones de suma de números

decimales y cinco operaciones de producto de pares de números

decimales.

9) El ejercicio sugiere la continuación de diferentes series con números que

contienen cifras decimales.

10) Este problema está relacionado con las operaciones de producto y división

de números decimales.

11) Los cuatro problemas propuestos pretenden poner a prueba el

conocimiento sobre la ordenación de los números decimales.

29

4.4. El grupo piloto

En los trabajos cuantitativos donde nos encontramos con grandes poblaciones, se

suele realizar una prueba piloto, ésta consiste en la aplicación previa a menor escala de

los procedimientos que se realizarán en el estudio general. A partir de esta experiencia

previa se podrán realizar ajustes que permitan validar de forma más objetiva el

instrumento.

En nuestro estudio, el 14 de marzo de 2011 se pasó a un grupo piloto la primera versión

del cuestionario elaborada con el objetivo de poner a prueba su idoneidad (ver Anexo 3).

El grupo piloto estaba formado por nueve alumnos adultos del grupo de la clase de Pre-

acceso que coordina el autor del estudio. La clase de Pre-acceso está destinada a

alumnos que desean realizar el Curso a Mayores de 25 años en la Universidad Nacional

de Educación a Distancia, habiendo de superar una prueba selectiva. Estos alumnos no

han recibido una instrucción específica sobre los números decimales en el marco del

curso debido a que se supone que es un contenido que ya han de dominar.

Los componentes de este grupo poseen distinta formación académica de origen, desde

estudios primarios a universidad. Las edades de los alumnos en este grupo piloto están

comprendidas entre los 28 a los 47 años. Las procedencias también son dispares,

predominando las culturas de origen latino: cuatro alumnos de nacionalidad española,

dos de Bolivia, uno de Uruguay, uno de República Dominicana, y finalmente, un alumno

de origen rumano.

Se pasó el cuestionario en un contexto de aula ordinaria y se dieron unas instrucciones

mínimas sobre el estudio llevado a cabo, en general, y sobre el ejercicio, en particular. No

se impuso límite de tiempo para responder al cuestionario. El tiempo en realizar el

cuestionario fueron de 20 minutos, el alumno que menos tardó, y de 90 minutos, el que

más tiempo necesitó para su finalización.

30

A continuación se resumen las observaciones que se hicieron en la realización del

cuestionario:

1. Cuestionario excesivamente largo para según que alumnos. No obstante, el tiempo de

respuesta no depende nivel educativo del adulto.

2. Algunos alumnos solicitan un folio para anotar operaciones que no se encuentra en el

dossier del cuestionario.

3. Algunos alumnos de origen latinoamericano no entendían el significado de la coma

como representación de la expresión del decimal.

4. Dificultades en la expresión “comprendido” del ítem 2.

5. Dificultades en comprender la expresión “por término medio” del enunciado del ítem 3.

6. En el ítem 4 los alumnos preguntan como marcar el número mayor.

7. La expresión “canalón de un tejado” del ítem 10 crea dificultades por falta de léxico del

alumnado.

8. En el ejercicio 11 el sistema monetario del euro no posee monedas de 25 céntimos y

en algunos casos crea confusión.

9. La pregunta “¿Quién ha corrido más rápido?” y la expresión “marca” del ítem 13 c) crea

confusión que ha tenido que ser aclarada verbalmente.

Seguido del análisis en la realización de la prueba por parte del grupo piloto, se

determinan las siguientes modificaciones para la versión final del cuestionario (ver Anexo

4):

1. Reducir el cuestionario eliminando los siguientes ítems:

Ej. 3 – No aportan más información de las que nos pueda dar el ítem 8 de

operaciones.

Ej. 7 – Problema que crea dificultad sin aportar relevancia a nuestro estudio

(aplicación de una regla de tres).

Ej. 11 – Vistos los resultados del estudio piloto, el ejercicio no aporta información

concluyente en la investigación.

31

Ej. 14 – Eliminar los apartados d, e y f debido a que se concluye lo mismo que en

los apartados a, b y c del mismo ejercicio.

2. Al eliminar preguntas quedará una parte de un folio del mismo cuestionario para

queden constancia de las operaciones realizadas.

3. Aclarar al inicio de la realización del cuestionario con cada grupo que el significado de

la coma se corresponde con el signo del punto, por si existiera esa duda.

4. Cambiar la redacción y la forma del ejercicio 2 por “Escriba un número que esté entre

cada una de las parejas siguientes: a) 1,3 – ___ – 1,4 (...)”.

5. Cambiar la palabra “Marque” del ítem 4 por la palabra “Redondee”.

6. Cambiar la expresión “canalón de un tejado” del ítem 10 por la de “tubería”.

7. Cambiar la redacción de la cuestión 13 c) por “ha corrido en 14,17 segundos (...)” y la

pregunta por “¿Quién ha corrido en menos segundos?”, aún siendo repetitivos es más

claro el enunciado.

32

4.5. La recogida de datos

Una vez realizados los ajustes oportunos al cuestionario inicial derivados del estudio

piloto se pasó a realizar la recogida de datos del grueso de la muestra. El cuestionario

definitivo (ver anexo 5) se realizó durante la última semana de marzo y la primera de abril

en el contexto de aula ordinaria solicitando al profesor o profesora de referencia el tiempo

dedicado a sus clases.

Al inicio se ha explicado a los alumnos el contexto de la investigación, justificada por una

necesidad cada vez mayor de comprensión de los números decimales; entre otros

motivos, debido al cambio de moneda de peseta a euro. Posteriormente se ha dado una

breve orientación sobre el cuestionario y entregado éste. Es importante aclarar que no

hubo ninguna limitación del tiempo en la realización de los ejercicios por parte de los

alumnos.

Se hizo hincapié en que no se sintieran presionados por desconocer la respuesta. Este

énfasis se debió al comprobar, en los primeros grupos, que había cierta resistencia por

parte de los alumnos adultos a ser evaluados.

Mientras se realizaba la prueba, a algunos alumnos les surgieron algunas dudas a las

que se dieron respuesta si no se trataba de contenidos del cuestionario.

El tiempo de respuesta del cuestionario fue dispar; algunos alumnos acabaron en veinte

minutos, en cambio, otros necesitaron todo el horario de la clase que se extiende a unos

cien minutos.

33

5. Análisis de datos y resultados

5.1. Vaciado de los cuestionarios

Una vez los cuestionarios fueron contestados por los alumnos, se realizó la

extracción de datos utilizando para este objetivo el programa de procesamiento

estadístico PSPP (versión libre del conocido programa de IBM, el SPSS).

Para el vaciado de datos se consideraron las siguientes variables personales que fueron

introducidas en el programa estadístico (ver Anexo 6):

1) Nombre: indicando solo las iniciales del alumno que responde el

cuestionario por motivos de protección de datos.

2) Edad: se incluyen los años que tiene el alumno.

3) Nacionalidad: se da cuenta del origen del alumno según las siguientes

categorías: española, europea excepto España, Magreb (Marruecos,

Túnez y Argelia), Resto de África, Asia, América del Norte, América del

Sud y Centro, Oceanía.

4) Tiempo en España: se muestra los años que el alumno de origen

extranjero lleva en España.

5) Estudios: el cuestionario también hacía hincapié en los estudios previos

del alumno; éstos se han clasificado según la siguiente distribución: sin

estudios, con estudios primarios no finalizados, con estudios primarios

finalizados, con la secundaria obligatoria acabada, con formación

profesional, con secundaria no obligatoria o bachillerato o con estudios

universitarios.

6) Profesión: de la misma forma, se refleja la profesión de los encuestados

según una adaptación de la Clasificación Nacional de Ocupaciones

aprobada este año 2011 por el Instituto Nacional de Estadística y que

daría lugar a las siguientes categorías: sin profesión; directores y gerentes;

34

técnicos y profesionales científicos e intelectuales; técnicos y profesionales

de apoyo; empleados contables, administrativos y otros empleados de

oficina; trabajadores de los servicios de restauración, personales,

protección y vendedores; trabajadores cualificados en el sector agrícola,

ganadero, forestal y pesquero; artesanos y trabajadores cualificados de las

industrias manufactureras y la construcción; ocupaciones elementales y

trabajadores no cualificados y, finalmente, una categoría para otras

profesiones.

En cuanto a los ejercicios del cuestionario se clasificaron en seis variables, tal y como se

muestran a continuación:

1) Errores de ordenación 1: en esta categoría se analiza las respuestas del

ejercicio 1 del cuestionario, clasificándolos en cinco rangos: 0- Ningún

error, 1- De 1 a 3 errores, 2- De 4 a 6 errores, 3- De 7 a 9 errores, 4- Con

10 o más errores.

2) Errores de ordenación 2: aquí se analizan las respuestas del ejercicio 5 del

cuestionario, clasificándolos, igualmente, en cinco rangos: 0- Ningún error,

1- De 1 a 4 errores, 2- De 5 a 8 errores, 3- De 9 a 12 errores, 4- Con 13 o

más errores.

3) Problemas de ordenación: en este caso las respuestas analizadas son las

de los cuatro problemas del ítem 11, éstos son catalogados en los

siguientes rangos: 0- Ningún error, 1- Un error, 2- Dos errores, 3- Tres

errores, 4- Cuatro errores.

4) Errores de escritura: estudiando las respuestas de los ejercicios 7 y 9 del

cuestionario, estando clasificados según los siguientes rangos: 0- Ningún

error, 1- De 1 a 4 errores, 2- De 5 a 8 errores, 3- De 9 a 12 errores, 4- Con

13 o más errores.

5) Errores con el cero: en esta categoría se analiza la combinación de las

respuestas de los ejercicios 3, 5 (apartados f,h,k,l) y 8 (apartados i,j) del

cuestionario donde aparecen ceros en su desarrollo; se han clasificado en

los siguientes rangos: 0- Ningún error, 1- De 1 a 2 errores, 2- De 3 a 4

errores, 3- De 5 a 6 errores, 4- Con 7 o más errores.

35

6) Errores en las operaciones: se describen aquí los errores en las

respuestas de los ítem 8 y 10 relacionados con la operación de suma y

producto de números decimales; se clasifican, igualmente, en los

siguientes rangos: 0- Ningún error, 1- De 1 a 3 errores, 2- De 4 a 6 errores,

3- De 7 a 9 errores, 4- Con 10 o más errores.

Como se puede observar, los seis tipos de errores se han clasificado en cinco rangos: 0,

para indicar que no se ha producido ningún error, y de 1 a 4, para indicar un número

creciente de errores. Vemos que para un mismo rango no coinciden en cada tipo de error

el número de equívocos; ello es debido a que el número de errores posibles es diferente.

Lo que se ha realizado ha sido distribuir el máximo número de errores de cada tipo en los

cuatro rangos para mantener la uniformidad del rango.

Asimismo se aprecia que los ejercicios de ordenación de los números decimales se han

estructurado en tres variables distintas, la mitad de las seis establecidas. Este mayor

peso específico, respecto a los otros tipos de errores se justifica debido a que los de

ordenación de los números decimales son los que más dificultades producen y son,

también, las dificultades que mayor interés provocan en los investigadores de otros

estudios precedentes aludidos en el apartado de referentes teóricos.

Se puede observar que los ítems 2, 4 y 6 del cuestionario no han sido analizados. El

ejercicio 2 no ha sido incluido en el catálogo de respuestas observadas debido a las

dificultades que dio en su comprensión, tal y como se ha explicado en el apartado de

descripción del instrumento. Por su parte el ejercicio 4 no se considera relevante para el

estudio de las dificultades de los números decimales y su comprensión de lo que se

debía realizar también mostró dificultades. Finalmente, el problema 6, no se ha incluido

debido a que su extenso redactado produjo dificultades de comprensión lingüística; por

este motivo su incorporación en el análisis provocaría un sesgo que no sería coherente

con el estudio de los errores en los números decimales.

36

5.2. Estudio de frecuencias de los errores cometidos

Una vez realizado el vaciado de los cuestionarios en el programa estadístico, el

primer paso efectuado fue un análisis estadístico descriptivo de las frecuencias de las

seis variables referentes a los grupos de errores, según la clasificación examinada en el

apartado anterior.

Así, respecto a la primera variable de errores, los “errores de ordenación 1”,

correspondientes al ejercicio 1 del cuestionario, observamos cómo la mayoría de los

sujetos tienen entre uno y seis errores (rango 1 y 2) de los diez posibles del ejercicio. En

una proporción casi igual, el cuarenta por ciento está en el rango 1 (de uno a tres errores)

y el treinta y cinco por ciento se encuentra en el rango 2 (de cuatro a seis errores).

También podemos ver que solo veintidós sujetos (trece por ciento) no han cometido

ningún error; asimismo, el número de sujetos que responden de forma equivocada en

más de seis ocasiones suman diecisiete, lo que representa algo más del diez por ciento

(ver Gráfico 1).

Gráfico 1

37

Siguiendo con las dificultades de ordenación de los números decimales, examinamos los

“errores de ordenación 2”, que analiza el ejercicio 5 del cuestionario, observando cómo

hay una variabilidad de errores; siendo el caso más general la realización de uno a cuatro

errores (rango 1), con un porcentaje que supera el treinta y cinco por ciento. Es

significativo, cómo casi uno de cada tres sujetos cometen nueve o más errores (rango 3 y

4) de los quince posibles y solo el veinte por ciento de la población, treinta y tres

alumnos, no cometen ningún error en el ejercicio. (ver Tabla 1).

Tabla 1

En cuanto a los Problemas de ordenación, donde se analizan los errores producidos por

los problemas del ítem 11 del cuestionario, podemos observar que en estos ejercicios,

donde los números decimales están contextualizados, las dificultades son menores, casi

el sesenta por ciento de los sujetos cometen uno o ningún error en su ejecución, siendo

un porcentaje que supera el cuarenta por ciento la cantidad de alumnos que no cometen

ningún error; tal y como puede observarse en la Tabla 2. El dieciséis por ciento de la

población comete dos errores y casi el quince por ciento se equivoca en más de tres

ocasiones de los cuatro problemas propuestos.

Tabla 2

38

El siguiente grupo analizado es el de los “errores de escritura”, estudiando los ejercicios 7

y 9 del cuestionario. Cabe señalar, en este caso, como los errores, aún siendo poco

significativos, más del ochenta por ciento comete cuatro o menos errores de los nueve

posibles (rango 0 y 1), la mayoría de éstos se producen en el ejercicio 7 donde se pide

que se muestre que cantidad indica un número decimal escrito en palabras: 37

milésimas, 18 centésimas y 4 décimas. Con esta consideración, solo el veinte por ciento

de los sujetos (treinta y tres personas) no cometen errores en la escritura de los números

decimales (Ver la Tabla 3).

Tabla 3

También resultan importantes los errores relacionados con el cero, siendo más del

cuarenta por ciento la cantidad de personas que cometen más de tres errores de los ocho

posibles. Asimismo resulta significativo el número de sujetos que no responden a los

ejercicios incluidos en esta categoría, el quince por ciento, superando al resto de

categorías. El reciente análisis lo podemos observar en el siguiente gráfico (Gráfico 2):

Gráfico 2

39

Para finalizar el presente análisis de frecuencias de errores, destacamos el poco número

de personas que no cometen ningún error en la categoría de “errores en las

operaciones”, solo diez alumnos. El resto de frecuencias se distribuye de forma uniforme,

tal y como se puede ver en la Tabla 4; la mitad aproximadamente de los sujetos realizan

menos de seis errores, y similar porcentaje producen un número superior a siete de los

trece errores posibles o no responden a los ejercicios implicados en la categoría.

Tabla 4

El estudio de las frecuencias de los errores no quedaría completo sin antes realizar un

estudio de las correlaciones entre los diferentes errores cometidos mediante el test de

Chi-cuadrado de Pearson.

La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos

variables que intervienen en una distribución bidimensional determinando si los cambios

en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda,

diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.

En nuestro caso, se puede observar en la Tabla 5 como si que existe una correlación

entre los diferentes errores. Observamos que en casi todas las interrelaciones de errores

el grado de significación, Sig. (2-tailed), está próximo al cero. Ello indica que hay

correlación entre las variables dos a dos. Es decir, los errores cometidos son mutuamente

dependientes entre ellos, determinando que los sujetos del estudio, en general, cometen

errores de forma consistente en el desarrollo del cuestionario.

40

Correlaciones entre tipo de errores

Errores de

ordenación_1

Errores de

ordenación_2

Problemas

ordenación

Errores de

escritura

Errores

con el cero

Errores en

operaciones

Errores de

ordenación_1

Pearson

Correlation1 ,461** ,351** ,271** ,393** ,209**

Sig.

(2_tailed),000 ,000 ,001 ,000 ,008

Errores de

ordenación_2

Pearson

Correlation,461** 1 ,376** ,438** ,398** ,196*

Sig.

(2_tailed),000 ,000 ,000 ,000 ,013

Problemas de

ordenación

Pearson

Correlation,351** ,376** 1 ,375** ,439** ,369**

Sig.

(2_tailed),000 ,000 ,000 ,000 ,000

Errores de

escritura

Pearson

Correlation,271** ,438** ,375** 1 ,390** ,415**

Sig.

(2_tailed),001 ,000 ,000 ,000 ,000

Errores con el

cero

Pearson

Correlation,393** ,398** ,439** ,390** 1 ,682**

Sig.

(2_tailed),000 ,000 ,000 ,000 ,000

Errores en

operaciones

Pearson

Correlation,209** ,196* ,369** ,415** ,682** 1

Sig.

(2_tailed),008 ,013 ,000 ,000 ,000

Tabla 5

41

5.3. Análisis comparativo entre el nivel educativo de los alumnos

y los errores cometidos

Recordemos, tal y como vimos en el apartado 4.2., que el nivel de estudios

finalizados de la población analizada es más bien bajo, destacando que uno de cada

cinco no dispone de estudios primarios finalizados (34 personas) y algo más de la mitad

de los sujetos investigados dispone solo de estudios primarios finalizados o la actual

educación secundaria obligatoria (90 personas). Es decir, el ochenta por ciento de la

población del estudio no supera los estudios de educación secundaria obligatoria. El

veinte por ciento restante poseen estudios de formación profesional (nueve sujetos), de

bachillerato (doce sujetos), universitarios (once sujetos) y cuatro sujetos más en la

categoría de otros estudios.

En esta sección se realiza un análisis comparativo entre el nivel de estudios de los

sujetos de la investigación y los errores cometidos en las seis categorías propuestas. Con

este objetivo se ha realizado el test de Chi-cuadrado de Pearson entre estas variables, se

han obtenido tablas cruzadas y se han extraído diagramas de cajas entre los parámetros

expuestos mediante el programa estadístico utilizado en la investigación.

Como pudimos observar en el apartado anterior, el test de Chi-cuadrado de Pearson nos

da cuenta de las correlaciones que pudieran existir entre un par de variables analizadas.

En nuestro caso realizamos la prueba a la variable nivel de estudios con cada una de las

seis categorías de errores, tal y como puede observarse en la siguiente tabla 6:

42

Correlaciones Tipos de error / Estudios finalizados Estudios finalizados

Errores_de_ordenación_1

Pearson Correlation -,303**

Sig. (2-tailed) ,000

Errores_de_ordenación_2



Problemas_de_ordenación



Errores_de_escritura

Pearson Correlation -,107


Errores_con_el_cero



Errores_en_operaciones

Pearson Correlation -,068


Tabla 6

Observando la Tabla extraída del programa estadístico vemos que si existe correlación

entre el nivel de estudios finalizados con casi todas las tipologías de errores, no obstante,

podemos observar algunas excepciones. Recordemos que existe correlación cuando los

valores de significación, indicado con Sig. (2-tailed) y negrita en la tabla, no superan el

0,01.

Así podemos ver que hay una correlación positiva entre los estudios finalizados y los

errores cometidos en los ítems de ordenación, tanto los ejercicios que componen las

43

categorías de errores de ordenación 1 y 2 como los ejercicios de los que están

compuesto la categoría de problemas de ordenación. Así en los tres casos el índice de

significación no supera el 0,008 lo que indicaría una buena correlación.

En el mismo caso nos encontraríamos con los errores derivados del uso del cero,

también con un índice de significación bajo, 0,004, lo que indicaría que existe correlación

entre el nivel de estudios y este tipo de error.

La Tabla 6 nos mostraría los casos opuestos, los que no existen correlaciones entre el

nivel de estudios y el tipo de error, observando que ello ocurre con los errores de

escritura y los errores en las operaciones, con una significación (léase Sig. (2-tailed)) de

0,177 y 0,394, respectivamente. Ambos casos muy superiores al índice límite de 0,01 que

indicaría la existencia de esta correlación.

Pero, ¿qué implica que exista o no correlación entre el nivel de estudios y los errores

cometidos?. A grandes rasgos se podría afirmar que la existencia de correlación nos

indicaría que un mayor nivel de estudios pronosticaría un menor número de errores en la

resolución de los ítems que compondrían la categoría del error y, al contrario, a un nivel

de estudios bajo nos daría un número mayor de errores. Veamos, caso por caso,

mediante gráficas y tablas si, ciertamente, así es.

Analizando el diagrama de cajas del gráfico 3 observamos como, efectivamente, a mayor

nivel de estudios las cajas se van desplazando hacia la parte baja de la gráfica lo que

indicaría un número menor de errores de ordenación del tipo 1. Podemos ver como el

salto se produce entre los alumnos que tienen hasta un nivel de secundaria obligatoria y

los que tienen estudios superiores a la formación profesional o bachillerato. Resulta

relevante observar como no existe diferencia alguna entre los errores que cometen los

alumnos con estudios primarios y los que tienen la secundaria obligatoria finalizada.

44

Gráfico 3

Realizando el mismo análisis en el Gráfico 4, comparando el nivel de estudios con los

errores de ordenación 2, podemos llegar a semejante conclusión que en el caso anterior.

Aún no siendo un diagrama tan uniforme como en el caso anterior podemos observar la

tendencia a la baja del número de errores conforme aumenta el nivel de estudios.

Podemos observar, igualmente, como el salto a un menor número de errores se produce

justo después una vez finalizada la secundaria obligatoria.

45

Gráfico 4

En cuanto a los problemas de ordenación cruzados con el nivel de estudios, podemos

observar en el Gráfico 5 como de la misma forma existe una disminución clara de los

errores en función de un mayor nivel académico. En este caso la diferencia entre los

estudios inferiores a la secundaria obligatoria y los que son superiores es mayor, con una

media de ningún error para estudios post-obligatorios. Esta mayor diferencia puede estar

motivada por una mayor dificultad de comprensión lingüística en la realización de los

problemas para aquellos sujetos que poseen un nivel de estudios bajo.

46

Gráfico 5

Continuando con el estudio entre la formación académica de los sujetos de la

investigación y el número de errores cometidos, a la vista del Gráfico 6 no se puede

afirmar que existe una correlación significativa entre el nivel de estudios y los errores de

escritura. Observamos como aún habiendo una tendencia a reducir el número de errores

conforme aumenta el nivel de estudios, situándose las cajas en la parte baja en los

estudios superiores al bachillerato, no obstante, la media prácticamente se sitúa en el

mismo número de errores. No habiendo una reducción significativa tal y como se

observaba en los tres grupos de errores de ordenación anteriores. Ya vimos que esto,

efectivamente, era así por el nivel de significación que nos mostraba el test Chi-cuadrado

de Pearson de 0,177, superior al 0,01 que mostraría que existiría una correlación entre

ambas variables.

47

Gráfico 6

Lo mismo ocurre con los errores en la operaciones, pero de forma aún más marcada. Ya

pudimos observar que el test de Chi-cuadrado nos daba una significación de 0,394, la

correlación más dispar entre el nivel de estudios y el tipo de error. Vemos como en el

Gráfico 7 no exista la tendencia a ir descendiendo el número de errores en función del

nivel académico y observamos como las medias van bailando entre los valores de error 2

y 3. Extrañamente los sujetos con formación profesional cometen más errores en

operaciones que los alumnos con estudios inferiores, hecho que no sucedía en ninguno

de los casos anteriores.

48

Gráfico 7

49

5.4. Los errores cometidos por los alumnos considerados

obstáculos cognitivos

El presente trabajo da cuenta como muchos de los errores cometidos se han

reproducido de forma sistemática, en diferentes ejercicios y por distintos alumnos,

revelando la existencia de muchos modelos implícitos erróneos. Consideramos que estos

errores no han aparecido de forma aislada, sino que están relacionados con una cierta

manera de conocer que permite detectar las resistencias a la evolución del concepto del

número decimal. Siguiendo el marco teórico que sustenta nuestro estudio, hemos

considerado que estos errores, persistentes y repetitivos, se tratan de obstáculos

cognitivos.

A continuación, analizando ítem a ítem el cuestionario propuesto, destacamos los errores

más habituales cometidos por los alumnos motivados por lo que nosotros consideramos,

tal y como decíamos, obstáculos cognitivos.

Así, en el ejercicio 1 se pedía ordenar dos conjuntos de números decimales: 40,2–4,12–

4,02–43,25–40,12–4,325 y 0,606–0,0666–0,6–0,66–0,060–0,066.

En la ordenación del primer grupo de números decimales el error más frecuente y

reproducido por multitud de alumnos es considerar que el número decimal 40,2 es más

pequeño que el decimal 40,12. Observaríamos como estos errores se deberían a la

aplicación de la primera regla a la que hacían referencia los autores Grisvart y Leonard

(1981, 1983) y que vimos en el apartado teórico. Recordemos la Regla 1, que los

alumnos utilizarían en la ordenación de números decimales, afirmaba que “Entre dos

números decimales con la misma parte entera el número superior es aquél donde el valor

de la parte decimal es mayor”. Por ejemplo 12,113 >12,4 ya que 113>4 o, como nuestro

ejercicio, 40,12>40,2 ya que 12>2, errando así la respuesta.

Hemos podido ir observando en el vaciado de los cuestionarios que la utilización de esta

Regla ha resultado un obstáculo cognitivo insalvable para muchos sujetos, provocando

50

un gran número de errores en las respuestas, ya sean en ejercicios de ordenación o en

operaciones aritméticas con números decimales.

La segunda colección, como era de prever, producía mayores dificultades, y

consiguientemente, mayor número de errores. La equivocación más habitual en este caso

era debida a la aplicación de la Regla 2 de Grisvart y Leonard (1981, 1983), que

considera que “entre dos números decimales con la misma parte entera el número

superior es aquél donde el número de cifras decimales es menor”. Por ejemplo 12,24 <

12,7, pero 12,94<12,9; o como en nuestro caso considerar erróneamente que 0,66 < 0,6.

El objetivo del ejercicio 3 era resolver un problema que implicaba multiplicar un número

decimal por diez y por mil, siendo los errores más repetidos los siguientes:

83,25x10=830,25 ó 83,25x10=83,250 y 83,25x1000=83000,25 ó 83,25x1000=83,25000.

Observamos cómo el obstáculo está motivado porque el número decimal se separa la

parte entera de la decimal tratándola de forma independiente y no como un número

global.

El ítem 5 del cuestionario tenía como finalidad comparar parejas de números decimales e

indicar cuál era mayor. Los errores cometidos se justifican, como en el ejercicio 1, por la

aplicación errónea de las reglas establecidas por los autores Grisvart y Leonard (1981,

1983). Las equivocaciones más comúnmente cometidas son las que a continuación se

indican: 8,7<8,14 (aplicación errónea de la regla 1); 12,53<12,5 (regla 2); 4,7<4,70 (regla

2) ó 4,7>4,70 (regla 1); 12,05=12,5 (regla 3) y 0,36=0,036 (regla 3).

En el ejercicio 7 donde se pedía qué decimales indicaban las siguientes cantidades: 37

milésimas, 18 centésimas y 4 décimas; produjo muchas dificultades a casi todos los

encuestados con variedad de resultados. El error más habitual fue responder 37000, 18 y

4, respectivamente. El obstáculo, en este caso, es no tener realmente claro el concepto

de decimal y su significado.

En cuanto al ejercicio 8, relacionado con las operaciones de sumar y multiplicar números

decimales, los errores más significativos se recogen en la siguiente tabla:

51

3,7 + 5,8 = 8,15 0,3 x 0,3 = 0,9 ó 00,9

15,45 + 12,55 = 27,100 2,5 x 3 =6,15 ó 6,5

0,85 + 0,2 = 0,87 2,3 x 2,3 =4,9 ó 4,6 ó 52,9

0,7 + 0,4 + 0,2 = 0,13 437,56 x 10 = 4370,56 ó 437,560 ó 4370,560

2,37 + 14,6 = 16,43 75,24 x 100 = 7500,24 ó 75,2400 ó 7500,2400

Estos errores se justifican mediante los mismos obstáculos que provocaban los

equívocos del ejercicio 3; es decir, por el hecho de que el número decimal no se

considera como una unidad compuesta de una parte entera y una parte fraccionaria

separada por la coma, sino que la coma lo que hace es separar dos números enteros

cometiendo la equivocación de sumar o multiplicar independientemente la parte entera

por un lado y la parte decimal por el otro.

Por su parte en el ejercicio 9 que solicitaba continuar dos series de números decimales,

los errores más significativos se daban, sobretodo, en la primera de las series,

observando que el obstáculo es similar a la estudiada en los ejercicios anteriores:

a) 14,07 – 14,08 – 14,09 – 15,00 – 15,1 ó 14,010 – 14,011

b) 3,96 – 3,97 – 3,98 – _____ – 3,100

El ejercicio 10 demandaba marcar el resultado mayor de la operación producto y la

operación cociente de tres parejas de números (9x3 y 9:3; 9x0,3 y 9:0,3, 9x0,3 y 0,9:0,3).

En el primer caso no ha habido ningún error significativo, no así en el segundo y el

tercero. En estos casos el obstáculo era producto de la extensión de la creencia de que el

resultado de multiplicar dos números siempre ha de ser mayor que su división. Un

alumno, respecto a esta cuestión, lo proclamó con la expresión “divide y vencerás”.

52

Para concluir, el último ítem del cuestionario, que requería la comparación de dos

números decimales mediante problemas en contextos que podían ser cercanos al

alumno, también ha provocado ciertas dificultades. Así, en el apartado a) se trataba de

comparar la altura de dos personas, una de 1,61 metros y otra de 1,8 metros; pues bien,

algunos alumnos interpretaban que 1,8 metros resultaba ser 1 metro y 8 centímetros,

afirmando que éste era más bajo. Un caso similar ocurría en el apartado b) dónde se

comparaba el largo de dos mesas de 3,3 metros y 3,04 metros. De igual manera que en

el apartado anterior, algunos sujetos de la investigación interpretaban el número 3,3

metros como 3 metros y 3 centímetros, dando así una respuesta errónea. En el apartado

c) también se requería la comparación de dos números decimales mediante un problema

de velocidad en segundos; se trataba de responder a la cuestión de qué es menos tiempo

14,036 segundos o 14,17 segundos, a lo que en algún caso la respuesta era que 14,036

es mayor, debido a la comparación entre números decimales tomados como enteros.

Finalmente, el último apartado había que indicar qué cantidad de dinero era mayor si 2

euros y 55 céntimos ó 2,7 euros; pues bien, algunos alumnos consideraron que 2,7 euros

correspondían a 2 euros y 7 céntimos, errando, así, en su repuesta. Como los errores de

ordenación anteriormente analizados estos errores se justifican por lo que nosotros

consideramos un obstáculo cognitivo debido a la aplicación incorrecta de las tres reglas

ya ampliamente citadas de Grisvart y Leonard (1981, 1983).

53

5.5. Análisis de cuestionarios significativos de alumnos

representativos

En este apartado analizaremos algunos ejemplos de cuestionarios de alumnos

que nos parecen representativos debido a la incongruencia en las respuestas que ofrecen

en el global del cuestionario.

Podemos ver cómo JBG de nacionalidad española, con cincuenta y nueve años y

estudios de bachillerato, no comete ningún error en la ordenación de decimales,

realizando correctamente los tres ejercicios propuestos. No ocurre lo mismo con los ítems

relacionados con las operaciones, sobre todo en las que interviene el cero, cometiendo

errores tales como 83,25x10=830,25 ó 75,24x100=7500,24. Estos errores se entienden

solo por un obstáculo cognitivo, posiblemente de origen didáctico, en la comprensión del

producto de números decimales por múltiplos de diez.

AH de treinta y cuatro años, nacionalidad española y estudios primarios finalizados o

MAT de cincuenta y cinco años, nacionalidad española y estudios de bachillerato,

cometen errores en el mismo sentido que el sujeto anterior. De esta forma, y sin errores

significativos en la ordenación de números decimales, AH y MAT cometen errores que

muestran una concepción equivocada en el significado de las décimas y centésimas. Así

reproducen los mismos errores que el sujeto anterior con respecto al producto de

múltiplos de diez, añadidos a los siguientes sobre las operaciones de decimales:

3,7+5,8=8,15; 0,85+0,2=0,87;2,5x3=6,15 y 2,3x2,3=4,9; entre otros en el mismo sentido.

Resultan significativos estos errores en el caso de AH cuando es uno de los pocos

sujetos de la investigación que no comete ningún error en la escritura de los decimales,

indicando correctamente el significado de 37 milésimas, 18 centésimas y 4 décimas.

Un error distinto en el mismo ejercicio cometen CFR con veintitrés años, nacionalidad

española y la secundaria obligatoria finalizada y AAC de treinta y dos años, de origen

senegalés y estudios secundarios. En estos casos el error se produce en otro sentido,

considerando que éste es producto de un obstáculo cognitivo en la comprensión de los

números decimales distinto al anterior. Así, en los productos anteriores relacionados con

54

el cero los resultados erróneos que da el sujeto son los siguientes: 83,25x10=83,250 ó

75,24x100=75,2400.

Otro problema diferente es el de los sujetos, sobretodo de nacionalidad marroquí, que no

cometen errores en las operaciones con números decimales pero tienen serias

dificultades en la ordenación de estos números. Este es el caso de OA (veintinueve años,

nacionalidad marroquí y estudios secundarios finalizados) que no cometiendo errores en

las operaciones, no reconoce el mayor entre dos números decimales: produce múltiples

errores en el ejercicio cinco pero, sorprendentemente, no así en los problemas de

ordenación del ítem once. En cambio TA (treinta y cinco años, nacionalidad marroquí y

estudios primarios) o HZ (cuarenta y tres años, nacionalidad marroquí y estudios

secundarios finalizados) también los comete en los cuatro problemas de ordenación

propuestos, pero no así en las operaciones. Aún siendo significativa la cantidad de

sujetos marroquíes con esta dificultad, también los hay de otros orígenes como JCR

(treinta y cinco años, nacionalidad española y estudios primarios) o NMC (cincuenta y

seis años, origen español y estudios primarios).

Otro caso distinto es el de PZ (nacionalidad ecuatoriana y estudios primarios) donde los

errores solo se producen de ordenación cuando están contextualizados, es decir, no

comete errores en el ejercicio de ordenación número cinco pero sí en los problemas del

ítem once.

Los casos de RBR (treinta y dos años, nacionalidad española y estudios primarios), CPR

(treinta y cinco años, nacionalidad española y estudios primarios) y de CMB (veintidós

años, nacionalidad peruana y estudios secundarios) resultan paradigmáticos debido a

que no cometen errores ni en la ordenación ni en las operaciones con números decimales

pero si lo hace en la comprensión del significado de milésimas, centésima y décimas

cometiendo todos los errores posibles en el ejercicio siete.

Para acabar esta revisión más particularizada, nos encontramos con casos extremos con

sujetos con estudios universitarios como OE de treinta años, nacionalidad nigeriana o JT

con cuarenta y un años y de nacionalidad cubana, con múltiples dificultades en la

resolución del cuestionario; o por el contrario, AA con veintinueve años, origen marroquí y

sin estudios primarios finalizados, que no comete errores en ningún ejercicio.

55

6. Conclusiones y prospectiva

6.1. Conclusiones

Un estudio descriptivo permite establecer el estado de la cuestión de un

determinado fenómeno educativo, en nuestro caso la comprensión de personas adultas

del concepto de número decimal. Estos estudios, como el nuestro, tal y como afirma Fox

(Bisquerra, 2009), son propios de la fase inicial de una investigación, preparándonos para

la elaboración de una nueva fase. Este ha sido nuestro objetivo: conocer si la

comprensión de los números decimales está resuelta o no a edades adultas, en personas

de distintos orígenes y formación académica dispar.

Las personas adultas tienen un contacto continuo con los números decimales: “la

inflación ha subido el 4,7%”, “el presupuesto para el próximo año es de 24,5 billones de

euros”, “el disco duro del ordenador es de 2,1 GB” o “el jugador de baloncesto mide 2,15

metros”. Pero la pregunta que surge es, ¿realmente entienden que significan estos

números con coma? La conclusión más general que podemos ofrecer, que se extrae del

presente estudio, es que los números decimales ocasionan múltiples dificultades en

muchos sujetos adultos con independencia de la edad, origen o nivel formativo.

Se han analizado las frecuencias de errores producidos en el desarrollo de un

cuestionario con ejercicios sobre los números decimales clasificando la cantidad de

errores de los distintos ejercicios en seis categorías: errores de ordenación 1 y 2, errores

en problemas de ordenación, errores de escritura, errores con el cero y errores en las

operaciones. Como hemos podido observar en el apartado 5.2 la población investigada

comete, en conjunto, una media que supera la mitad de los errores posibles del

cuestionario.

56

En el punto 5.3 hemos podido establecer una relación entre el nivel de estudios y el

número de errores cometidos. Una relación clara, sobretodo en el caso de ordenación de

los decimales y en los problemas de ordenación de números decimales, suponiendo, en

este caso, que podía ser debido a las dificultades lingüísticas de comprensión de los

enunciados de los problemas. En los ejercicios de operaciones y escritura de los números

decimales, en cambio, no se puede extraer una relación causal entre un nivel de estudios

inferior con un mayor número de errores.

En este mismo apartado hemos podido observar como el número de errores era similar

entre aquellos alumnos que tenían un nivel de estudios primarios y aquellos que poseen

la enseñanza secundaria obligatoria, produciéndose el descenso en el número de errores

a partir de la formación profesional y bachillerato, pero no antes, que se mantienen en

semejantes niveles. En esta apreciación quedan excluidos, como hemos podido observar,

los ejercicios de ordenación y, sobretodo, las operaciones con números decimales, donde

no existe ninguna correlación estudios-errores.

No se han podido establecer otras relaciones determinantes como el origen o edad de los

sujetos o la profesión de los mismos y la cantidad de errores. Quizás solo se puede

apuntar que hay una tendencia, más cualitativa que cuantitativa, entre el origen de la

población de la investigación y el número o el tipo de errores cometidos. Así se puede

apreciar una tendencia entre los alumnos de origen latino (excluyendo los de

nacionalidad española) a tener más dificultades en los ejercicios con números decimales.

Todo lo contrario que los alumnos de los países del este de Europa que poseen mayor

dominio del concepto decimal. También en el análisis de las distintas categorías de

errores hemos podido observar que hay una tendencia a que la población marroquí

cometa más errores de ordenación, pero no en las operaciones; o la española que es

todo lo contrario, que cometen errores en las operaciones, pero tienen menos dificultades

en la ordenación.

En el presente trabajo se ha podido observar como muchos de los errores cometidos se

han reproducido de forma sistemática, en diferentes ejercicios y por distintos alumnos,

revelando la existencia de muchos modelos implícitos erróneos. Considerábamos que la

repetición de estos errores estaban relacionados con una cierta manera de conocer que

permite detectar las resistencias a la evolución del concepto del número decimal. Estos

errores, los hemos considerado como obstáculos cognitivos, pero sin poder considerarlos

57

si eran de origen didáctico (debidos al profesor), ontogenético (por el alumno) o

epistemológico (motivados por conflictos con el saber).

Nuestra idea inicial era considerar los errores que se han cometido y analizados en el

apartado 5.4 como obstáculos epistemológicos. No obstante, mediante un análisis más

objetivo de la problemática nos parecía que esta denominación resultaría precipitada y

podría ser discutible. Efectivamente, para que estos errores puedan ser calificados como

obstáculos epistemológicos sería oportuno realizar un estudio histórico comparativo más

profundo. Para solventar este inconveniente hemos preferido englobarlos a todos los

errores estudiados como obstáculos cognitivos no especificando de que tipo son.

Finalmente, el estudio ha puesto de manifiesto una dificultad general en los números

decimales, con sujetos que han cometido errores frecuentes en todas las categorías. Aún

siendo la casuística amplia, y aunque solo se han ofrecido algunos ejemplos

significativos, hemos visto en el apartado 5.5 alumnos con dificultades específicas en la

ordenación o hemos hallado otros con múltiples errores en las operaciones, pudiendo

incluso distinguir algunos con problemas específicos en la suma y otros solo en la

multiplicación.

58

6.2. Prospectiva

El estudio descriptivo, como inicio de una investigación, tiene sus potencialidades

pero también sus limitaciones. En nuestro estudio no hemos podido determinar los

motivos o las causas de las dificultades y los errores producidos por los sujetos que nos

aportaría así mayor información sobre la naturaleza del problema.

Un estudio cuantitativo permite manejar muchos datos a través de potentes herramientas

informáticas. Estos programas informáticos son complejos y requieren de un aprendizaje

que puede permitir ahondar en los resultados. Aquí solo se utilizan estas herramientas de

una forma superficial. No obstante, creemos que un mayor conocimiento de estos

instrumentos nos ofrecería resultados más amplios y profundos.

En una segunda fase de esta investigación se podría realizar un estudio cualitativo, a

través por ejemplo de entrevistas, que nos permitiría profundizar en el razonamiento

cognitivo de los sujetos e indagaría sobre el origen y fundamento de las dificultades sobre

el concepto de número decimal.

El presente estudio descriptivo permite anticipar algunas de las implicaciones didácticas

que todo trabajo en investigación educativa ha de contener. Este trabajo nos ha permitido

descubrir como muchas personas adultas sustentan sus interpretaciones del concepto de

número decimal en modelos falsos produciendo los errores que hemos podido observar y

analizar. El profesor o profesora ha de conocer estos modelos erróneos de los alumnos

para poder intervenir creando las condiciones para poder superar estos obstáculos y

progresar en los conocimientos y en la reorganización de los conceptos matemáticos. El

error ha de jugar un papel importante haciéndolo funcionar como motor de acción y

reflexión en unas situaciones didácticas apropiadas; el alumno, niño o adulto, debe

analizar su fracaso, reconsiderando sus estrategias o sus concepciones y rectificando su

manera de proceder (Brousseau, 1983). Una situación donde el alumno, protagonista de

su proceso educativo, ha superado una situación problemática que le ha conllevado a un

nuevo aprendizaje.

59

Para acabar no se ha hecho referencia al contexto donde se ha realizado la investigación,

la falta de libertad de la población, como factor determinante en los resultados. El estudio

cualitativo no ha permitido establecer esta conexión y consideramos que no sería así si el

estudio se hubiera desarrollado en otro paradigma más cualitativo.

60

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63

Vance, J. H. (1986). Ordering decimals and fractions: A diagnostic study. Focus on

Learning Problems in Mathematics, 8 (2), 51-59.

64

Índice de Anexos

1. El Centro Penitenciario de Lledoners (Sant Joan de Vilatorrada) ............. 67

2. Oferta educativa de los centros y aulas de formación de personas adultas de Cataluña (se incluyen los ubicados en centros penitenciarios) ................................................................................................ 68

3. Cuestionario del grupo piloto ....................................................................... 69

4. Resultados del grupo piloto y modificación del cuestionario ................... 73

5. Cuestionario definitivo ................................................................................... 75

6. Resumen de variables analizadas ................................................................ 79

65

A1. El Centro Penitenciario de Lledoners (Sant Joan de

Vilatorrada

66

A2. Oferta educativa de los centros y aulas de formación de

personas adultas de Cataluña (se incluyen los ubicados en

centros penitenciarios).

67

A3. Cuestionario del grupo piloto.

68

A4. Resultados del grupo piloto y modificación del cuestionario.

72

A5. Cuestionario definitivo

74

A6. Resumen de variables analizadas

78

Errores y obstáculos en el concepto de número decimal de ...

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