Errores de Medicion - Apunte Elemental[1]

7/23/2019 Errores de Medicion - Apunte Elemental[1]

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Unidades de medición

Todas las mediciones constan de una unidadque nos indica lo que fue medido y un númeroque indica cuántas de esas unidades fueronmedidas. Ambas cosas son necesarias. Si dicesque un amigo te va a dar 10, sólo estásdiciendo cuánto. También necesitas decir dequé se trata: 10 dedos, 10 centavos, 10 dólareso 10 chistes. Si el profesor te pide que midas lalongitud de un trozo de madera y le contestas36, esa respuesta no es correcta. Tu profesornecesita saber también si esa longitud está encm, pies o metros. Todas las mediciones debenexpresarse con un número y una unidadapropiada.

Números

En ciencia se usan dos clases de números:los que se cuentan o definen y los que resultande una medición. Hay una gran diferencia entreun número contado o definido y un número

medido. Se puede especificar el valor exacto deun número contado o definido, pero el valorexacto de un número medido no puedeconocerse.

Por ejemplo, puedes contar con absolutacerteza el número de sillas que hay en tu salónde clases, el número de dedos de tu mano o elnúmero de monedas que llevas en el bolsillo.Los números contados no están sujetos a error(a menos que al número contado sea tangrande que no puedas estar seguro de llevar

bien la cuenta!)Los números definidos son relacionesexactas que han sido establecidas comoválidas. El número exacto de segundos en unahora y el número exacto de lados de uncuadrado son ejemplos de esto. Los númerosdefinidos tampoco están sujetos a error.

Todos los números medidos, no importa concuánto cuidado se realice la medición, implicancierto grado de incertidumbre. ¿Qué anchuratiene tu escritorio? ¿Es acaso de 98.5 cm, 98.52cm, 98.520 cm ó 98.5201 cm? No puedesexpresar su medida exacta con absolutacerteza.

Incertidumbre en las

medicionesLa incertidumbre de una medición depende dela precisión del dispositivo utilizado y de lahabilidad de la persona que la realizó. Laslimitaciones humanas intervienen casi siempreque se hace una medición. Además, no esposible evitar la incertidumbre ocasionada porla limitada precisión de los instrumentos demedición.

La incertidumbre de una medición se puede

ilustrar con las dos reglas de 1 metro quemuestra la figura A. Las medicionescorresponden a la longitud de una mesa.Suponiendo que el extremo de la regla dondeestá el cero haya sido colocado cuidadosa yprecisamente en el borde izquierdo de la mesa,¿cuál es la longitud de ésta?

La escala de la regla que aparece en la partesuperior de la figura está graduada en cm.Usando esta escala puedes decir concertidumbre que la longitud debe estar entre 82y 83 cm. Más aún, puedes añadir que seencuentra más cerca de la marca de 82 que dela de 83 cm, y puedes estimar que la longitud

es de 82.2 cm.La escala de la regla inferior muestra más

subdivisiones y tiene mayor precisión porqueestá graduada en milímetros. Con esta regla

Cifras significativas e incertidumbre en lasmediciones



puedes decir que la longitud estádefinitivamente entre 82.2 y 82.3 cm, y puedesestimar la longitud en 82.25 cm.

Observa que ambas lecturas contienenalgunos dígitos que conocemos con exactitud yun dígito más (el último) que ha sido estimado.Observa también que la incertidumbre en la

lectura de la regla inferior es menor que en lade la regla superior. La regla inferior nospermite hacer lecturas hasta centésimos, y lasuperior, hasta décimos. La regla inferior esmás precisa que la superior.

Ninguna medición es exacta. Su expresióncontiene dos clases de información: (1) lamagnitud de la medición y (2) la precisión de lamisma. La ubicación del punto decimal y elvalor del número expresan la magnitud. Laprecisión se indica con el número de cifras

significativas.

Cifras significativas

En cualquier medición, las cifras significativasson los dígitos que se conocen con certeza másun dígito que es incierto. La medición de 82.2cm (hecha con la regla superior de la figura A)tiene tres cifras significativas, y la medición de82.25 cm (hecha con la regla de abajo) tiene

cuatro cifras significativas. El dígito del extremoderecho siempre es un estimado. Siempre seescribe solamente un dígito estimado comoparte de una medición. Sería incorrectoinformar que la longitud de la mesa de la figura A, medida con la regla de abajo, es de 82.253cm. Este valor de cinco cifras significativastendría dos dígitos estimados (el 5 y el 3) ysería incorrecto porque indicaría una precisiónmayor de la que esa regla puede proporcionar.

Se han desarrollado reglas estándar para

escribir y usar las cifras significativas, tanto enlas mediciones como en valores calculados apartir de ellas.

Regla 1: En números que no contienen ceros,todos los dígitos son significativos.

Ejemplos:

3.1428 cinco cifras significativas3.14 tres cifras significativas469 tres cifras significativas

Regla 2: Todos los ceros entre dígitossignificativos son significativos.

Ejemplos:

7.053 cuatro cifras significativas7053 cuatro cifras significativas302 tres cifras significativas

Regla 3: Los ceros a la izquierda del primer

dígito que no es cero sirven solamente parafijar la posición del punto decimal y no sonsignificativos.

Ejemplos:

0.0056 dos cifras significativas0.0789 tres cifras significativas0.000001 una cifra significativa

Regla 4: En un número con dígitos a laderecha del punto decimal, los ceros a laderecha del último número diferente de ceroson significativos.

Ejemplos:

43 dos cifras significativas43.0 tres cifras significativas43.00 cuatro cifras significativas0.00200 tres cifras significativas0.40050 cinco cifras significativas

Regla 5: En un número que no tiene puntodecimal y que termina con uno o más ceros

(como 3 600), los ceros con los cuales terminael número pueden ser o no significativos. Elnúmero es ambiguo en términos de cifrassignificativas. Antes de poder especificar elnúmero de cifras significativas, se requiereinformación adicional acerca de cómo seobtuvo el número. Si el número es resultado deuna medición, los ceros probablemente no sonsignificativos. Si el número ha sido contado odefinido, todos los dígitos son significativos(suponiendo que el recuento haya sido

perfecto!).Se evitan confusiones expresando los

números en notación científica. Cuando estánexpresados en esta forma, todos los dígitos seinterpretan como significativos.

Ejemplos:

3.6 × 105 dos cifras significativas3.60 × 105 tres cifras significativas3.600 × 105 cuatro cifras significativas2 × 10-5 una cifra significativa

2.0 × 10-5 dos cifras significativas2.00 × 10-5 tres cifras significativas



Redondeo

Una calculadora muestra ocho o más dígitos.¿Cómo puedes redondear ese número de cifrasa, digamos, tres cifras significativas? Tresreglas sencillas rigen el proceso de eliminar losdígitos no deseados (no significativos) delresultado.

Regla 1: Si el primer dígito que se va aeliminar es menor que 5, ese dígito y todos losdígitos que le siguen simplemente se eliminan.

Ejemplo:

54.234 redondeado a tres cifrassignificativas se convierte en 54.2.

Regla 2: Si el primer dígito que se va a

eliminar es mayor que 5, o si es 5 seguido dedígitos diferentes de cero, todos los dígitossiguientes se suprimen y el valor del últimodígito que se conserva se aumenta en unaunidad.

Ejemplo:

54.36, 54.359 y 54.3598 al ser redondeadosa tres cifras significativas quedan todoscomo 54.4.

Regla 3: Si el primer dígito que se va aeliminar es un 5 que no va seguido de ningúnotro dígito, o si es un 5 seguido sólo de ceros,se aplica la regla par-impar. Es decir, si elúltimo dígito que se va a conservar es par, suvalor no cambia, y tanto el 5 como los cerosque lo siguen se suprimen. Pero si el últimodígito a conservar es impar, entonces su valorse aumenta en uno. La intención de esta reglapar-impar es promediar los efectos delredondeo.

Ejemplos:54.2500 con tres cifras significativas sevuelve 54.2

54.3500 con tres cifras significativas sevuelve 54.4.

Cifras significativas ycantidades calculadas

Supongamos que al medir la masa de unpequeño bloque de madera obtienes unalectura de 2 gramos en una balanza, y observasque su volumen es de 3 cm cúbicos alsumergirlo en el agua contenida en unaprobeta graduada. La densidad de ese trozo demadera es igual a su masa dividida entre suvolumen. Si divides 2 entre 3 en tu calculadora,la lectura de la pantalla es 0.6666666. Seríaincorrecto informar que la densidad del bloquede madera es de 0.6666666 gramos porcentímetro cúbico. Al hacerlo así, estaríassuponiendo un grado de precisión que no se justifica. Tu respuesta se debe redondear a un



número razonable de cifras significativas.El número de cifras significativas permitido

en un resultado calculado depende del númerode cifras significativas de los datos usados paracalcularlo, y del tipo de operación uoperaciones matemáticas que se hayanefectuado para obtener dicho resultado. Existen

reglas distintas para la multiplicación y ladivisión, y para la suma y la resta.

Multiplicación y divisiónEn el caso de la multiplicación y la división, larespuesta deberá tener el mismo número decifras significativas que el dato inicial que tengamenos cifras significativas. En el cálculo de ladensidad del ejemplo anterior, la respuestadebe redondearse a una sola cifra significativa:0.7 gramos por centímetro cúbico. Si la medida

de la masa hubiera sido 2.0 gramos y la delvolumen se hubiera mantenido en 3 cmcúbicos, la respuesta seguiría redondeándose auna sola cifra significativa, es decir, a 0.7gramos por centímetro cúbico. Si el resultadode la medición de la masa hubiera sido 2.0gramos y el volumen medido hubiera sido 3.0 ó3.00 cm cúbicos, entonces la respuesta seredondearía a dos cifras significativas: 0.67gramos por centímetro cúbico.

Estudia los siguientes ejemplos. Supón que

los números por multiplicar o dividir sonresultado de mediciones.

Ejemplo A:

8.536 × 0.47 = 4.01192 (respuesta en lacalculadora)

El dato de entrada que tiene el menornúmero de cifras significativas es 0.47, condos cifras significativas. Por lo tanto, larespuesta de 4.01192 obtenida en la

calculadora debe redondearse a 4.0.

Ejemplo B:

3840 ÷ 285.3 = 13.459516 (respuesta en lacalculadora)

El dato de entrada que tiene el menornúmero de cifras significativas es 3840, contres cifras significativas. Por tanto, larespuesta de 13.459516 obtenida en lacalculadora debe redondearse a 13.5.

Ejemplo C:

3360.0 ÷ 3.000 = 12 (respuesta en la

calculadora)

Ambos datos de entrada contienen cuatrocifras significativas. Por tanto, la respuestacorrecta debe contener también cuatro cifrassignificativas, y la respuesta de 12 obtenidaen la calculadora debe escribirse como12.00. En este caso, la calculadora nos

proporcionó muy pocas cifras significativas.

Suma y restaEn la suma o la resta, la respuesta no debetener dígitos más allá de la posición del últimodígito común a todos los números sumados orestados. Estudia los siguientes ejemplos:

Ejemplo A:

34.617.8

+1567.4 (respuesta en la calculadora)

La posición del último dígito común a todosestos números es la correspondiente a lasunidades. Por tanto, la respuesta de 67.4obtenida en la calculadora debe redondearsea unidades, y es 67.

Ejemplo B:

20.0220.002

+20.000260.0222 (respuesta en la calculadora)

La posición del último dígito común a todosestos números es la correspondiente a lascentésimas. Por tanto, la respuesta de lacalculadora de 60.0222 debe redondearse acentésimas, y es 60.02.

Ejemplo C:

345.56 − 245.5 = 100.06 (respuesta en lacalculadora)

La posición del último dígito común a los dosnúmeros con los cuales se efectuó esta restaestá en el lugar correspondiente a lasdécimas. Por tanto, la respuesta deberedondearse a 100.1.



Incertidumbre porcentual

Si tu tía te cuenta que ganó $100 en la bolsade valores, te causará mayor impresión si esaganancia fue sobre una inversión de $100 quesi la obtuvo con $10.000 de inversión. En elprimer caso, habría duplicado su inversión y su

ganancia habría sido de 100%. En el segundocaso, habría obtenido solamente 1% deganancia.

En las mediciones que se realizan en ellaboratorio, la incertidumbre porcentual esgeneralmente más importante que la magnitudde la incertidumbre. Medir algo con precisiónde un centímetro puede ser correcto oincorrecto, dependiendo de la longitud delobjeto que se intenta medir. Medir la longitudde un lápiz de 10 cm con ±1 cm de precisión es

muy diferente que medir la longitud de uncamino de 100 metros con la misma precisiónde ±1 centímetro. En la medición del lápiztenemos una incertidumbre relativa de 10%. Lamedición del camino tiene una incertidumbrede sólo una parte en 10 000, o sea, de 0.01%.

Error porcentual

Es fácil confundir la incertidumbre y el error. Laincertidumbre se refiere al intervalo dentro del

cual es probable que se encuentre el valor real,con respecto al valor medido. Se usa cuando elvalor real no se conoce con seguridad, y sólo seinfiere a partir de las mediciones. Laincertidumbre se refleja en el número de cifrassignificativas empleadas al expresar unamedición.

El error en una medición es la cantidad en lacual ésta difiere de un valor ya conocido que hasido aceptado porque fue determinado porobservadores calificados, valiéndose de equipo

de alta precisión. Es una medida de la exactituddel método de medición aplicado y también dela habilidad de la persona que realizó dichamedición. El error porcentual, que general-mente es más importante que el error real, secalcula dividiendo la diferencia entre el valormedido y el valor aceptado de una cantidad,entre el valor aceptado, y multiplicando elcociente por 100%.

Error% = (valor aceptado − valor medio) × 100

valor aceptado

Por ejemplo, supongamos que el valormedido de la aceleración de la gravedad es de9.44 m/s2. El valor aceptado es de 9.80 m/s2.La diferencia entre los dos valores es (9.80m/s2 ) − (9.44 m/s2 ), o sea, 0.36 m/s2.

error % = 0.36 m/s2

× 100%9.80 m/s2

= 3.7%

Fuente:

Paul Robinson, “Física Conceptual – Manualde Laboratorio”, Addison Wesley Longman,Mexico, 1998.

Compilado por la Cátedra de Física I dela carrera de Ingeniería Electromecánica.Profesor Titular: Dra. Sonia P. Brühl

Facultad Regional Concepción del UruguayUniversidad Tecnológica Nacional

Abril de 2007

Errores de Medicion - Apunte Elemental[1]

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