TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

ALGEBRA LINEAL

INVESTIGACION UNIDAD 4

EQUIPO 4

TEMA:

4.3 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL

4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

M.C DIANA ERENDIRA DEL ANGEL GREER

CATEDRATICO

PRESENTAN:

JIMENEZ CRUZ NORA

BUSTOS PIEDAD DIEGO ALEXIS

GONZÁLEZ PÉREZ JESÚS EUGENIO

ORDOÑEZ GARCIA MAR NOHELY

CERRO AZUL, MAYO 2015.

COMBINACIÓN LINEAL.

Se ha visto que todo vector v = (a,b,c) en R3  se puede escribir en la forma

V = a( i) + b( j) + c( k)

En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j y k. de manera mas general se tiene la siguiente definición

Combinación lineal

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma α1v1+α2v2+…+αn vn

Donde, a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1,v2,…,vn.

EJEMPLO

Ejemplo :dados los vectores x=(1,2) e y=(3,-1),hallar el vector

Combinación lineal z= 2x + 3y

Z= 2(1,2)+3(3,-1)=(2,4)+(9,-3)=(11,1)

INDEPENDENCIA LINEAL

Sean v1,v2,…,vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1,c2,…,cn no todos cero tales que

c1v1+c2v2+…+cnvn=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

EJEMPLO INDEPENDENCIA LINEAL

Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente:

4 1 -1

x1= 6 ,x2 = 3 , x3 = -2

1 4 -2

Solución: Debemos ver cómo deben ser las constantes c 1, c 2 y c 3 para que:

c1x1 +c2x2+c3x3=0

El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda:

4 1 -1 0 1 0 0 0

6 3 -2 0 0 1 0 0

1 4 -2 0 0 0 1 0

Como el sistema tiene solución única c 1 = 0, c 2 = 0 y c 3 = 0 se deduce que la única forma de combinar los vectores x’s para que den el vector cero es la que tiene todos los coeficientes cero.

Por tanto, el conjunto de vectores es linealmente independiente

BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

BASE

Un conjunto de vectores v1,v2,…,vn es una base para un espacio vectorial V si

i) {v1,v2,…,vn } es linealmente independiente.

ii) {v1,v2,…,vn } genera a V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn

La base canónica en Rn consiste en n vectores.

Ejemplo de bases

1.-la base canónica(o base natural, base estándar) de Rn

e1= (1,0,…..,0) e2= (0,1,…..,0) …….. en-(0,0,… .1)• son linealmente independientes porque forman un determínate no

nulo.

• son sistemas generador de Rn porque todo vector (a1,a2,…., an)Є Rn se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1,a2,……., an)=a1(1,0,…..,0)+a2(0,1,…..,0)+….+ an(0,0,…..,1)

Si el espacio vectorial tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en cada base y V se denomina un espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

La dimensión de V se denota por dim V.

Si H es un subespacio del espacio de dimensión finita V, entonces dim H< dim V.

Los únicos subespacios propios de R3 son los conjuntos de vectores que están en una recta o en un plano que pasa por el origen.

Dimensión

Ejemplo de dimensión

1.-Rn tiene dimensión pues tiene una base de n elemento (p. ej. La canónica).

2.-M 2x2 = matrices 2x2 con términos reales tiene dimensión 4.una base de M2x2

es: 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1 . 3.-P2= polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales tiene dimensión 3.una base de p2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:

1+0x+0, 0+x+0, 0+0x+ (es decir, los polinomios 1,x,

Otra base: 1+2x+3, 4+, 3-x-5