Equilibrio de un sistema de Fuerzas

Preuniversitario a IngenieríaPreuniversitario a IngenieríaPreuniversitario a IngenieríaPreuniversitario a Ingeniería

FÍSICA

ESTÁTICA

SISTEMA DE FUERZAS COMPOSICIÓN DE FUERZAS

PRIMERA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO MOMENTO DE UNA FUERZA

SEGUNDA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS CUPLA TEOREMA DE VARIGNON

Laura Gómez LeytLaura Gómez LeytLaura Gómez LeytLaura Gómez Leytonononon ---- CENTRO EDUCATIVOCENTRO EDUCATIVOCENTRO EDUCATIVOCENTRO EDUCATIVO –––– Preuniversitario Preuniversitario Preuniversitario Preuniversitario –––– Física

2

ESTÁTICA

ActividadActividadActividadActividad: Escucha : Escucha : Escucha : Escucha en en en en el siguiente podcastel siguiente podcastel siguiente podcastel siguiente podcast la introducción al tema la introducción al tema la introducción al tema la introducción al tema::::

http://www.espaciopodcast.com/podcast/4701http://www.espaciopodcast.com/podcast/4701http://www.espaciopodcast.com/podcast/4701http://www.espaciopodcast.com/podcast/4701

Actividad: Actividad: Actividad: Actividad: Observa el siguiente video:Observa el siguiente video:Observa el siguiente video:Observa el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=iU8zA2BUFCg&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=iU8zA2BUFCg&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=iU8zA2BUFCg&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=iU8zA2BUFCg&feature=related

Sistema de fuerzas Dos o más fuerzas actuando sobre un cuerpo rígido o una partícula, constituyen

un Sistema de FuerzasSistema de FuerzasSistema de FuerzasSistema de Fuerzas y donde cada fuerza actuante constituye una componentecomponentecomponentecomponente. En términos generales para fuerzas coplanares, existen:

� Sistemas de fuerzas concurrentesconcurrentesconcurrentesconcurrentes: que son aquellas cuyas rectas de acción se cortan en un punto.

� Sistema de fuerzas colinealescolinealescolinealescolineales (variante de las concurrentes): que son aquellas fuerzas con recta de acción coincidente.

� Sistema de fuerzas paralelasparalelasparalelasparalelas: son las fuerzas cuyas rectas sostén nunca se intersecan.

En estos sistemas es útil el concepto de:

� ResultanteResultanteResultanteResultante o fuerza única capaz de reemplazar a todas las del sistema con el mismo efecto.

� EquilibranteEquilibranteEquilibranteEquilibrante: fuerza única de igual intensidad y dirección que la resultante, pero de sentido opuesto y que equilibra el sistema.

La composicióncomposicióncomposicióncomposición o resolución de un Sistema de Fuerzas consiste en encontrar su resultante. El procedimiento cuenta con un método gráficométodo gráficométodo gráficométodo gráfico y otro analítico.analítico.analítico.analítico.


3

Composición de fuerzas concurrentes La resolución gráficaresolución gráficaresolución gráficaresolución gráfica utiliza dos métodos: el del paralelogramo y del polígono, ya

analizados cuando se estudiaron los vectores. Ten en cuenta que si el polígono da cerrado es porque el sistema está en

equilibrioequilibrioequilibrioequilibrio. (Es decir, la resultante vale cero, o lo que es lo mismo, no hay resultanteno hay resultanteno hay resultanteno hay resultante). La resolución analíticaresolución analíticaresolución analíticaresolución analítica puede subdividirse en dos grandes métodos:

a) por descomposición trigonométrica, empleando las componentes cartesianas de cada vector fuerza,

b) por resolución de triángulos.

a) La descomposición trigonométricadescomposición trigonométricadescomposición trigonométricadescomposición trigonométrica fue analizada en el tema de vectores y es el método más conveniente para el caso de tres o más fuerzas concurrentes.

b) Por resolución de triángulosresolución de triángulosresolución de triángulosresolución de triángulos. Es el método más práctico cuando el sistema presenta solamente dos fuerzas concurrentes, que son los casos más frecuentes.

Este método de resolución a su vez distingue la resolución de triángulos rectángulos donde se aplican las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras. Mientras que en el caso de triángulos oblicuángulos se utilizan los Teoremas del coseno y del seno.

Actividad: Actividad: Actividad: Actividad: Observa y analiza el siguiente Observa y analiza el siguiente Observa y analiza el siguiente Observa y analiza el siguiente link:link:link:link:

http://www.dhttp://www.dhttp://www.dhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/estatica_index.htmlidactika.com/fisica/estatica/estatica_index.htmlidactika.com/fisica/estatica/estatica_index.htmlidactika.com/fisica/estatica/estatica_index.html

Equilibrio de un Sistema de Fuerzas Concurrentes Primera condición del equilibrio: “Equilibrio de Traslación”

Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza externa, éste permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Pero sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas y seguir en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo, si consideramos un cuerpo sobre una superficie horizontal, la superficie ejerce una

fuerza normal ( N ) sobre el cuerpo que se opone al peso ( gmw .= ) y que hace que el

cuerpo esté en reposo. De este modo las fuerzas que actúan sobre el cuerpo tienen igual magnitud y sentido contrario, pues si no ocurriera esto, el cuerpo se movería. De lo anterior se puede decir que la suma de las fuerzas aplicadas al cuerpo, o sea la fuerza resultante, es nula. Esto significa que los efectos de las fuerzas se compensan dando como resultado el no cambio en su estado de movimiento de traslación. Decimos, entonces:

“Si“Si“Si“Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo se encuentra la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo se encuentra la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo se encuentra la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación.”en equilibrio de traslación.”en equilibrio de traslación.”en equilibrio de traslación.” Ecuaciones para la primera condición de equilibrio.Ecuaciones para la primera condición de equilibrio.Ecuaciones para la primera condición de equilibrio.Ecuaciones para la primera condición de equilibrio.

Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son 1F , 2F , 3F ,… nF el cuerpo se

encuentra en equilibrio de traslación si:

∑ =++++= 0...321 nFFFFF

Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas en cuyo origen colocamos el cuerpo y sobre los ejes proyectamos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, tendremos:

∑ = 0xF y y y y 0=∑ yF


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Las ecuaciones anteriores son la expresión matemáticaexpresión matemáticaexpresión matemáticaexpresión matemática correspondiente a la

primera condición de equilibrioprimera condición de equilibrioprimera condición de equilibrioprimera condición de equilibrio de un cuerpo. Otra forma de resolver problemas de fuerzas concurrentes en mediante la

aplicación del Teorema de LamyTeorema de LamyTeorema de LamyTeorema de Lamy

ActividadActividadActividadActividad: Analiza la propuesta.: Analiza la propuesta.: Analiza la propuesta.: Analiza la propuesta. http://www.didactika.com/fisica/estatica/teorema_lamy.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/teorema_lamy.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/teorema_lamy.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/teorema_lamy.html

ActividadActividadActividadActividad:::: AAAAnaliza la resolución del problema:naliza la resolución del problema:naliza la resolución del problema:naliza la resolución del problema: http://www.youtube.com/watch?v=qaitoRVDhW0&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=qaitoRVDhW0&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=qaitoRVDhW0&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=qaitoRVDhW0&feature=related

Metodología para la resolución de problemas de Estática ActividadActividadActividadActividad: Observa y anali: Observa y anali: Observa y anali: Observa y analiza el siguiente videoza el siguiente videoza el siguiente videoza el siguiente video sobre análisis dinámico sobre análisis dinámico sobre análisis dinámico sobre análisis dinámico

http://www.youtube.com/watch?v=RXBW4suUbTU&feature=channelhttp://www.youtube.com/watch?v=RXBW4suUbTU&feature=channelhttp://www.youtube.com/watch?v=RXBW4suUbTU&feature=channelhttp://www.youtube.com/watch?v=RXBW4suUbTU&feature=channel

Actividad:Actividad:Actividad:Actividad: CCCConsidera otro ponsidera otro ponsidera otro ponsidera otro problema resueltoroblema resueltoroblema resueltoroblema resuelto en un plano inclinado en un plano inclinado en un plano inclinado en un plano inclinado

http://www.youtube.com/watch?v=urzkL0ioMnEhttp://www.youtube.com/watch?v=urzkL0ioMnEhttp://www.youtube.com/watch?v=urzkL0ioMnEhttp://www.youtube.com/watch?v=urzkL0ioMnE

Se pueden dar los siguientes pasos que se deben seguir para resolver los problemas de Estática, cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se encuentra en equilibrio son concurrentes.

1. Se ilustra la situación descrita en el problema con un dibujo en diagrama. A esta representación se la llama diagrama del cuerpo librediagrama del cuerpo librediagrama del cuerpo librediagrama del cuerpo libre (DCL)

2. Se determina el punto donde concurren todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo analizado.

3. A partir de dicho punto se dibujan todas las fuerzas.

4. Se dibuja un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el punto de concurrencia, de tal forma que la mayor cantidad de fuerzas queden ubicadas en los ejes.

5. Se hallan los componentes rectangulares de las fuerzas.

6. Se aplica la primera condición de equilibrio Σ FFFFxxxx = 0 y Σ FFFFyyyy= 0

7. Se resuelve el sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos.

¿Recordamos la suma de vectores por sus componentes rectangulares?

ActividadActividadActividadActividad: Inter: Inter: Inter: Interactúa en actúa en actúa en actúa en cada una de cada una de cada una de cada una de lalalalassss siguiente siguiente siguiente siguientessss simulaci simulaci simulaci simulacioooonnnneseseses http://www.didactika.com/fisica/applets/resultante_x_componentes_rectangulares.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/applets/resultante_x_componentes_rectangulares.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/applets/resultante_x_componentes_rectangulares.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/applets/resultante_x_componentes_rectangulares.html

http://www.walterhttp://www.walterhttp://www.walterhttp://www.walter----fendt.de/ph14s/equilibrium_s.htmfendt.de/ph14s/equilibrium_s.htmfendt.de/ph14s/equilibrium_s.htmfendt.de/ph14s/equilibrium_s.htm

Momento de una fuerza Actividad:Actividad:Actividad:Actividad: Analiza las siguientes propuestas: Analiza las siguientes propuestas: Analiza las siguientes propuestas: Analiza las siguientes propuestas:

http://wwhttp://wwhttp://wwhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/momento_fuerza.htmlw.didactika.com/fisica/estatica/momento_fuerza.htmlw.didactika.com/fisica/estatica/momento_fuerza.htmlw.didactika.com/fisica/estatica/momento_fuerza.html http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_1_3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_1_3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_1_3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_1_3.htm

Cuando nos referimos al equilibrio de un cuerpo o sistema, estamos incluyendo

dos condiciones generales:


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a) La sumatoria de todas las fuerzas que actúan debe ser igual a 0La sumatoria de todas las fuerzas que actúan debe ser igual a 0La sumatoria de todas las fuerzas que actúan debe ser igual a 0La sumatoria de todas las fuerzas que actúan debe ser igual a 0. Esto determina lo que se conoce como equilibrio traslacionalequilibrio traslacionalequilibrio traslacionalequilibrio traslacional. Es decir en estas condiciones el cuerpo puede estar en reposo o animado de movimiento rectilíneo y uniforme (trayectoria rectilínea y velocidad constante).

Ahora bien, un cuerpo puede estar en equilibrio desde el punto de vista de la traslación, pero no de la rotación, por lo tanto, es necesaria una segunda condición:

b) La sumatoria de momentos sobre un cuerpo o sistema debe ser igual a 0La sumatoria de momentos sobre un cuerpo o sistema debe ser igual a 0La sumatoria de momentos sobre un cuerpo o sistema debe ser igual a 0La sumatoria de momentos sobre un cuerpo o sistema debe ser igual a 0. Esto se conoce como equilibrio rotacionalequilibrio rotacionalequilibrio rotacionalequilibrio rotacional. Es decir bajo esta sumatoria el cuerpo puede estar en reposo o animado de movimiento circular uniforme (trayectoria circular) y velocidad angular constante.

En relación a esta segunda condición es que aparece el concepto de momento de una momento de una momento de una momento de una fuerza o torque:fuerza o torque:fuerza o torque:fuerza o torque:

Toda fuerza tiene naturalmente tendencia a provocar rotaciónrotaciónrotaciónrotación al actuar con un cuerpo. Es decir prácticamente siempre cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, existe un punto o eje, respecto al cual el cuerpo puede rotar. Si la fuerza aplicada no está en la misma dirección que dicho punto, habrá rotación, es decir habrá momento de una fuerza.

Cuando una fuerza F actúa sobre una partícula aislada en un punto A, cuya posición en relación a un punto de giro O está dado por el vector

r y teniendo en cuenta que dos vectores ( F y r ) determinan un plano (xy) que contiene a dichos

vectores, puede decirse que el torquetorquetorquetorque (ττττ) o momento

de la fuerza F , es un vector cuya dirección es perpendicular al plano xyxyxyxy. El momento de una fuerza es una magnitud vectorial, pues proviene de un producto vectorialproducto vectorialproducto vectorialproducto vectorial. Este torquetorquetorquetorque resulta del producto vectorial:

ττττ = = = = Fr × Donde:

r es el vector posición,

F es la fuerza que actúa El torquetorquetorquetorque es una magnitud vectorialmagnitud vectorialmagnitud vectorialmagnitud vectorial, donde el vector representativo, tiene:

� direccióndireccióndireccióndirección: normal al plano formado por el punto O centro de momentos y la fuerza

� sentidosentidosentidosentido: es el de la regla de la mano derecha o el de avance de un tirabuzón que gira en igual sentido que la rotación. (Esta regla señala que si los dedos índice y

medio representan los vectores r y F , respectivamente, el pulgar indica la dirección y sentido del vector resultante)

� módulomódulomódulomódulo: dado por: θcos..Fr

Donde θ el menor ángulo comprendido entre r y F


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Es decir, el módulo del vector momentomódulo del vector momentomódulo del vector momentomódulo del vector momento de una fuerza respecto de un punto “O” es igual al producto del módulo de la fuerza por la distancia del punto a la fuerza. Otra Otra Otra Otra DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición::::

Momento de unaMomento de unaMomento de unaMomento de una fuerza fuerza fuerza fuerza: : : : es el producto de la intensidad de una fuerza por la menor distancia que existe entre el punto o eje de rotación y la recta de acción de dicha fuerza.

Esa menor distancia, que debe ser siempre una perpendicular, constituye lo que se denomina brazbrazbrazbrazo de momentoo de momentoo de momentoo de momento y es indispensable para que exista esta magnitud. Elementos del momento de una fuerza:Elementos del momento de una fuerza:Elementos del momento de una fuerza:Elementos del momento de una fuerza:

� centro de momentoscentro de momentoscentro de momentoscentro de momentos: es el punto del cuerpo respecto del cual se toma la distancia a la fuerza;

� brazo de momentosbrazo de momentosbrazo de momentosbrazo de momentos: es la distancia (perpendicular) que existe entre el centro de momentos y la fuerza aplicada.

Momento nuloMomento nuloMomento nuloMomento nulo::::

Esto ocurre cuando la recta de acción de la fuerza actuante pasa por el centro de momentos, resultando el brazo de momentos nulo.

Puede decirse también que la efectividad de una fuerzaefectividad de una fuerzaefectividad de una fuerzaefectividad de una fuerza para provocar rotación para provocar rotación para provocar rotación para provocar rotación

está determinada por su momento. El momento de una fuerza respecto de un punto “El momento de una fuerza respecto de un punto “El momento de una fuerza respecto de un punto “El momento de una fuerza respecto de un punto “OOOO” mide la tendencia de la ” mide la tendencia de la ” mide la tendencia de la ” mide la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo sobre el cual actúa, alrededor del punto “fuerza a hacer girar el cuerpo sobre el cual actúa, alrededor del punto “fuerza a hacer girar el cuerpo sobre el cual actúa, alrededor del punto “fuerza a hacer girar el cuerpo sobre el cual actúa, alrededor del punto “OOOO”.”.”.”.

Unidades de momentoUnidades de momentoUnidades de momentoUnidades de momento:::: Las unidades surgen de la ecuación de dimensión del momento, es decir del

producto: fuerza fuerza fuerza fuerza .... distancia distancia distancia distancia, sin fusionarse, es decir, en cada sistema es:

c.g.sc.g.sc.g.sc.g.s SISISISI TTTTécnicoécnicoécnicoécnico

dina.cm N.m kgf.m

Signos de los momentos:Signos de los momentos:Signos de los momentos:Signos de los momentos:

Cuando sobre un cuerpo actúan un conjunto de momentos, como ya se dijo, la condición de equilibrio, exige, que la sumatoria de todos ellos debe ser igual a 0. Por lo tanto para poder realizar dicha sumatoria a los momentos debe atribuírseles signos. Convencionalmente un momento es de

� signo positivosigno positivosigno positivosigno positivo cuando su tendencia de giro es en sentido antihorario antihorario antihorario antihorario

� signo negativosigno negativosigno negativosigno negativo cuando tiende a provocar giro en sentido horariohorariohorariohorario. Resumiendo:

ActividadActividadActividadActividad: Observa el siguiente video, te permitirá resumir los conceptos sobre momento : Observa el siguiente video, te permitirá resumir los conceptos sobre momento : Observa el siguiente video, te permitirá resumir los conceptos sobre momento : Observa el siguiente video, te permitirá resumir los conceptos sobre momento de una fuerzade una fuerzade una fuerzade una fuerza

http://www.youtube.com/watch?v=a91wFb4DhVc&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=a91wFb4DhVc&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=a91wFb4DhVc&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=a91wFb4DhVc&NR=1

En consecuencia si existe equilibrio respecto de las rotaciones debe ser:

F

o


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Nota: Se debe tener en cuenta que las fuerzasfuerzasfuerzasfuerzas no tienen signos, pero los

momentosmomentosmomentosmomentos sí tienen signos.

Hablamos de suma algebraica pues los momentos ssssíííí tienen signo.

Segunda Condición de equilibrio – “Equilibrio de Rotación” ActividadActividadActividadActividad: Investiga en el siguiente link: Investiga en el siguiente link: Investiga en el siguiente link: Investiga en el siguiente link ssssoooobbbbre la segunda condicire la segunda condicire la segunda condicire la segunda condición de equilibrioón de equilibrioón de equilibrioón de equilibrio::::

http://www.didactika.com/fisica/estatica/2da_condihttp://www.didactika.com/fisica/estatica/2da_condihttp://www.didactika.com/fisica/estatica/2da_condihttp://www.didactika.com/fisica/estatica/2da_condicion_equilibrio.htmlcion_equilibrio.htmlcion_equilibrio.htmlcion_equilibrio.html

Si a un cuerpo que puede girar alrededor de un eje, se le aplican varias fuerzas y

no producen variación en su movimiento de rotación, se dice que el cuerpo se encuentra en “equilibrio de rotaciónequilibrio de rotaciónequilibrio de rotaciónequilibrio de rotación”. El cuerpo puede estar en reposo o tener movimiento uniforme de rotación. Para que un sólido se encuentre en equilibrio deben cumplirse dos condiciones:

� No debe acelerar de manera rectilínea. � No debe rotar con cierta aceleración angular.

A estas condiciones se le llama “dededede equilibrioequilibrioequilibrioequilibrio” y matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

� Condición de equilibrio de traslación: La suma de las fuerzas externas que La suma de las fuerzas externas que La suma de las fuerzas externas que La suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es un vector nulo actúan sobre un cuerpo es un vector nulo actúan sobre un cuerpo es un vector nulo actúan sobre un cuerpo es un vector nulo

∑ = 0xF y y y y 0=∑ yF

� Condición de equilibrio rotacional: La suma de los momentos de torsión La suma de los momentos de torsión La suma de los momentos de torsión La suma de los momentos de torsión debidos a todas las fuerzas externasdebidos a todas las fuerzas externasdebidos a todas las fuerzas externasdebidos a todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, respecto a que actúan sobre el cuerpo, respecto a que actúan sobre el cuerpo, respecto a que actúan sobre el cuerpo, respecto a cualquier punto específico, debe ser cero.cualquier punto específico, debe ser cero.cualquier punto específico, debe ser cero.cualquier punto específico, debe ser cero.

0, =∑ OFM

Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el pesopesopesopeso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producido por su peso.

Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gravedad.centro de gravedad.centro de gravedad.centro de gravedad.

Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es imposible tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con los talones contra la pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada con una mano, extiendes y levantas el otro brazo? Para responder a esto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro de gravedad y su aplicación al equilibrio estático.

Equilibrio rotacionalEquilibrio rotacionalEquilibrio rotacionalEquilibrio rotacional ⇔⇔⇔⇔ 0, =∑ OFM

La suma algebraicasuma algebraicasuma algebraicasuma algebraica de los momentos o torques de las fuerzas aplicadas al cuerpo, respecto a un punto cualquiera debe ser igual a cero.

Esto es: 0, =∑ OFM


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Centro de gravedadCentro de gravedadCentro de gravedadCentro de gravedad

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedadcentro de gravedadcentro de gravedadcentro de gravedad es la posiciónposiciónposiciónposición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo.

Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Centro de masaCentro de masaCentro de masaCentro de masa....

Es la posición geométricaposición geométricaposición geométricaposición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda su masa, corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje se simetría.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante, esto es, si g g g g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

ActividadActividadActividadActividad: Analiza la propuesta del problema y su resolución: Analiza la propuesta del problema y su resolución: Analiza la propuesta del problema y su resolución: Analiza la propuesta del problema y su resolución http://www.youtube.com/watch?v=NBvjzht66mohttp://www.youtube.com/watch?v=NBvjzht66mohttp://www.youtube.com/watch?v=NBvjzht66mohttp://www.youtube.com/watch?v=NBvjzht66mo

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo:

Dos cuerpos de masas m1 =12g y m2 =4g se encuentran suspendidos de los extremos de un alambre cuya masa es despreciable (ver figura). Calcular la distancia “x” a uno de los extremos de la cual debe suspenderse el sistema para que permanezca en equilibrio.

Solución:Solución:Solución:Solución: La figura muestra el diagrama que representa las fuerzas que actúan sobre el

alambre; como la masa del alambre es despreciable no se dibuja su peso. Como el alambre se encuentra en equilibrio de traslaciónequilibrio de traslaciónequilibrio de traslaciónequilibrio de traslación se debe cumplir que:

Σ Fy = 0 ⇒ Τ – m1 g – m2 g = 0, o sea Τ = m1 g + m2 g de donde Τ = (12 g). (980 cm/s2) + (4 g) . (980 cm/s2) Τ = 15 680 dina De lo anterior se puede decir que la fuerza de tensión (Τ) que ejerce la fuerza es de igual magnitud y de sentido contrario al peso total del sistema. Para que el alambre se encuentre en equilibrio de rotación, se debe cumplir que

ττττrrrr = 0 = 0 = 0 = 0. Al aplicar esta segunda condiciónsegunda condiciónsegunda condiciónsegunda condición de equilibrio escogiendo como eje de rotación

el punto de suspensión (o), resulta:

o x

8cm

2

1w 2w

T


9

A O B

m1 g x – m2 g (8 cm – x) = 0 Si se despeja la distancia (x) resulta: m1 g x – m2 g · 8 cm + m2 gx = 0

(m1 + m2 ) g x= 8 cm m2 g

o sea, x = 21

2·8

mm

mcm

+

de donde x = cmgg

gcm2

412

4·8 =+

Composición de fuerzas paralelas Analizaremos los siguientes casos:

a) de 2 únicas fuerzas paralelas: a.1) de igual sentido; a.2) de distinto sentido

b) de más de 2 fuerzas paralelas Fuerzas paralelas de igual sentidoFuerzas paralelas de igual sentidoFuerzas paralelas de igual sentidoFuerzas paralelas de igual sentido:

Actividad:Actividad:Actividad:Actividad: Observa cómo se determina la resul Observa cómo se determina la resul Observa cómo se determina la resul Observa cómo se determina la resultante en este casotante en este casotante en este casotante en este caso http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=509http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=509http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=509http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=509

Aplica lo observado para determinar la resultante del sistema propuesto

CCCCaracterísticas de la resultantearacterísticas de la resultantearacterísticas de la resultantearacterísticas de la resultante

a) Su intensidad es igual a la suma algebraica de las intensidades de sus componentes (este caso es una suma)

b) La dirección es paralela a las direcciones de sus componentes c) El sentido es el mismo que el de las componentes d) El punto de aplicación divide al segmento AB en dos segmentos que son inversamente proporcionales a las fuerzas adyacentes. (Relación de Stevin). Es decir la resultante se ubica entre ambas fuerzas y más próxima a la fuerza mayor. La regla de Stevin proviene de aplicar la SSSSegunda condición del equilibrioegunda condición del equilibrioegunda condición del equilibrioegunda condición del equilibrio

AB

R

AO

F

OB

F == 21


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Fuerzas de sentido contrarioFuerzas de sentido contrarioFuerzas de sentido contrarioFuerzas de sentido contrario:

La resultanteresultanteresultanteresultante presenta estas características:

a) Su intensidad es igual a la suma algebraica de sus componentes ( este caso una resta)

b) La dirección es paralela a las de las componentes

c) El sentido es el de la mayor de las componentes

d) El punto de aplicación (o) está fuera del segmento que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas, situado siempre del lado de la mayor y determina dos segmentos que cumplen con la relación de Stevin.

ActividadActividadActividadActividad: Analiza la propuesta e interactúa : Analiza la propuesta e interactúa : Analiza la propuesta e interactúa : Analiza la propuesta e interactúa eeeen ellan ellan ellan ella:::: http://www.walterhttp://www.walterhttp://www.walterhttp://www.walter----fendt.de/ph14s/lever_s.htmfendt.de/ph14s/lever_s.htmfendt.de/ph14s/lever_s.htmfendt.de/ph14s/lever_s.htm

Cupla ActividadActividadActividadActividad: Analiza la siguiente guía: Analiza la siguiente guía: Analiza la siguiente guía: Analiza la siguiente guía sob sob sob sobre par o cuplare par o cuplare par o cuplare par o cupla http://www.didactika.com/fisica/estatica/cupla.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/cupla.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/cupla.htmlhttp://www.didactika.com/fisica/estatica/cupla.html

Se llama cuplacuplacuplacupla o par de fuerzaspar de fuerzaspar de fuerzaspar de fuerzas al sistema de fuerzas paralelas

de igual intensidad y sentidos opuestos. El plano determinado por ambas fuerzas se llama plano de

acción de la cupla y la distancia entre sus rectas de acción se llama brazo de la cupla.

Como la cupla cupla cupla cupla es un sistema de dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos y de igual módulo; el módulo de la resultante será igual a la diferencia entre los módulos de las fuerzas componentes, en consecuencia la resultante es nula y el sistema no se traslada. Esto significa que una cupla nunca puede ser reemplazada o equilibrada por una única fuerza.

“Ningún cuerpo rígido s“Ningún cuerpo rígido s“Ningún cuerpo rígido s“Ningún cuerpo rígido sometido a la acción de una cupla está en equilibrio”ometido a la acción de una cupla está en equilibrio”ometido a la acción de una cupla está en equilibrio”ometido a la acción de una cupla está en equilibrio” Como ambas rectas de acción de las fuerzas no coinciden, el cuerpo en consecuencia, está sujeto a un movimiento de rotación.

“La acción de una cupla sobre un cuerpo rígido se manifiesta“La acción de una cupla sobre un cuerpo rígido se manifiesta“La acción de una cupla sobre un cuerpo rígido se manifiesta“La acción de una cupla sobre un cuerpo rígido se manifiesta por su tendencipor su tendencipor su tendencipor su tendencia a a a a a a a hacerlo girar “hacerlo girar “hacerlo girar “hacerlo girar “

F1

F2

A B


11

El momento originado por un par o cupla es independiente de la posición del

centro o eje de rotación respecto del cual se consideren los momentos de las fuerzas componentes.

El vector momento de una cuplacuplacuplacupla es un vector de:

� direccióndireccióndireccióndirección: normal al plano de acción de la cupla

� sentidosentidosentidosentido: dado por la regla de la mano derecha

� módulomódulomódulomódulo: igual al producto de la intensidad de la fuerza por el brazo de la cupla, es decir:

� Mcupla = F.d

� signosignosignosigno: se determina siguiendo el mismo criterio empleado para el momento de una fuerza.

Observación:Observación:Observación:Observación:

La diferencia fundamental que existe entre el vector momento de una cupla y el correspondiente al momento de una fuerza es que el vector Mcupla es un vector libre, se define sólo en función de las fuerzas y la distancia que separa sus rectas de acción; no se lo asocia con un punto particular del plano como es necesario para determinar el Mfuerza. Esto permite dibujar el vector Mc como normal al plano de la cupla y en cualquier punto. En resumen: Sus características más importantes son que presenta:

∑∑∑∑ F = 0 F = 0 F = 0 F = 0 ∑∑∑∑ M M M M ≠≠≠≠ 0 0 0 0

Una cupla está siempre presente en una rotación. No hay rotación sin cupla.Una cupla está siempre presente en una rotación. No hay rotación sin cupla.Una cupla está siempre presente en una rotación. No hay rotación sin cupla.Una cupla está siempre presente en una rotación. No hay rotación sin cupla. Tal es así, que podría decirse que un cuerpo tiene equilibrio rotacional, cuando la sumatoria de los momentos de las cuplas que sobre él actúan es igual a 0.

Propiedades fundamentales de las cuplasPropiedades fundamentales de las cuplasPropiedades fundamentales de las cuplasPropiedades fundamentales de las cuplas

1) Cualquier cupla actuante sobre un cuerpo rígido puede ser reemplazada por otra que tenga igual momento e igual plano de acción sin que su efecto se altere.

Una cupla puede desplazarse a cualquier parte de su plano de acción. Dos cuplas coplanares de igual momento son equivalentes.

2) El efecto externo de una cupla sobre un cuerpo rígido no cambia si la cupla se transfiere de un plano a otro paralelo a él.

3) Toda cupla aplicada a un cuerpo rígido libre, tiende a hacerlo girar alrededor de su centro de masa.

RecuerdaRecuerdaRecuerdaRecuerda: centro de masa: es aquel punto del cuerpo por el cual debe pasar la recta de acción de una fuerza para imprimirle a éste un movimiento de traslación puro.

Actividad: Actividad: Actividad: Actividad: Resumiendo equiResumiendo equiResumiendo equiResumiendo equilibrio, condiciones del equilibrio. Aplicaciones a máquinas librio, condiciones del equilibrio. Aplicaciones a máquinas librio, condiciones del equilibrio. Aplicaciones a máquinas librio, condiciones del equilibrio. Aplicaciones a máquinas simplessimplessimplessimples

http://www.slideshare.net/fisicavicenciana/equilibriohttp://www.slideshare.net/fisicavicenciana/equilibriohttp://www.slideshare.net/fisicavicenciana/equilibriohttp://www.slideshare.net/fisicavicenciana/equilibrio----dededede----traslactraslactraslactraslacinininin----yyyy----rotacion?src=related_normal&rel=918339rotacion?src=related_normal&rel=918339rotacion?src=related_normal&rel=918339rotacion?src=related_normal&rel=918339

¿¿¿¿Continuamos resumiendoContinuamos resumiendoContinuamos resumiendoContinuamos resumiendo????: : : : http://www.youtube.com/watch?v=X_go1ICvoEUhttp://www.youtube.com/watch?v=X_go1ICvoEUhttp://www.youtube.com/watch?v=X_go1ICvoEUhttp://www.youtube.com/watch?v=X_go1ICvoEU


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Teorema de Varignon “El momento de la resultante de un sistema de fuerzas cuale“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas cuale“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas cuale“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera squiera squiera squiera (concurrentes(concurrentes(concurrentes(concurrentes

o no), respecto de un punto cualquiera del plano, es igual a la suma de loso no), respecto de un punto cualquiera del plano, es igual a la suma de loso no), respecto de un punto cualquiera del plano, es igual a la suma de loso no), respecto de un punto cualquiera del plano, es igual a la suma de los momentos momentos momentos momentos de las fuerzas componentes del mismo sistema, respecto de dicho punto”.de las fuerzas componentes del mismo sistema, respecto de dicho punto”.de las fuerzas componentes del mismo sistema, respecto de dicho punto”.de las fuerzas componentes del mismo sistema, respecto de dicho punto”.

∑=1

nFR oo

MM

Como consecuencia del enunciado del teorema, se infiere el siguiente corolario: “La suma algebraica de todos los momentos de un sistema de fuerzas “La suma algebraica de todos los momentos de un sistema de fuerzas “La suma algebraica de todos los momentos de un sistema de fuerzas “La suma algebraica de todos los momentos de un sistema de fuerzas

cualesquiera, respecto de un punto cualquiera del plano, menos el momento de la cualesquiera, respecto de un punto cualquiera del plano, menos el momento de la cualesquiera, respecto de un punto cualquiera del plano, menos el momento de la cualesquiera, respecto de un punto cualquiera del plano, menos el momento de la resultante de dicho sistema, respecto del mismo punto, es igual a cero”.resultante de dicho sistema, respecto del mismo punto, es igual a cero”.resultante de dicho sistema, respecto del mismo punto, es igual a cero”.resultante de dicho sistema, respecto del mismo punto, es igual a cero”.

Otra mOtra mOtra mOtra manera de definirlo:anera de definirlo:anera de definirlo:anera de definirlo: “Si un sistema cualquiera de fuerzas admite resultante, el momento de la misma “Si un sistema cualquiera de fuerzas admite resultante, el momento de la misma “Si un sistema cualquiera de fuerzas admite resultante, el momento de la misma “Si un sistema cualquiera de fuerzas admite resultante, el momento de la misma

respecto de cualquier punto del espacio es igual a la suma geométrica de los respecto de cualquier punto del espacio es igual a la suma geométrica de los respecto de cualquier punto del espacio es igual a la suma geométrica de los respecto de cualquier punto del espacio es igual a la suma geométrica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto”.momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto”.momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto”.momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto”.

Condiciones de equilibrio sobre un sistema de fuerzas cualesquiera

La condición necesaria y suficientecondición necesaria y suficientecondición necesaria y suficientecondición necesaria y suficiente para que cualquier sistema de fuerzas se encuentre en equilibrio es que la suma de las proyecciones de todas las fuerzas sobre cada uno de los ejes coordenados y la suma de las proyecciones de los momentos de todas las fuerzas respecto de dichos ejes, sean independientemente nulas.

Para que un sistema cualquiera de fuerzas esté en equilibrio, es necesarionecesarionecesarionecesario y suficientesuficientesuficientesuficiente que se verifiquen las siguientes condiciones:

� Primera condiciónPrimera condiciónPrimera condiciónPrimera condición: la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema debe ser nula, esto es:

∑∑∑∑ F x = 0 F x = 0 F x = 0 F x = 0 ∑∑∑∑ Fy = 0 Fy = 0 Fy = 0 Fy = 0 ∑∑∑∑ Fz = 0 Fz = 0 Fz = 0 Fz = 0

Para sistemas de fuerzas en el plano, la condición se reduce a: ∑∑∑∑ Fx = 0 Fx = 0 Fx = 0 Fx = 0 ∑∑∑∑ Fy = 0 Fy = 0 Fy = 0 Fy = 0

� Segunda condiciónSegunda condiciónSegunda condiciónSegunda condición: la suma de los momentos respecto de un punto o de un eje cualquiera del plano y que se ejercen sobre el cuerpo, debe ser nula. Esto equivale a:

∑∑∑∑ M (o)x = 0 M (o)x = 0 M (o)x = 0 M (o)x = 0 ∑∑∑∑ M(o)y = 0 M(o)y = 0 M(o)y = 0 M(o)y = 0 ∑∑∑∑ M(o) z = 0 M(o) z = 0 M(o) z = 0 M(o) z = 0


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Como todas las fuerzas son coplanares, los momentos resultan colineales, de

manera tal que la condición:

∑∑∑∑ M(o) = 0 M(o) = 0 M(o) = 0 M(o) = 0 Se reduce a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas respecto de un punto arbitrario (o).

Estas dos condiciones permiten resolver cualquier problema relacionado con cuerpos en equilibrio estático. De manera que,

� si se cumple la PrimeraPrimeraPrimeraPrimera condición, nononono se produce traslacióntraslacióntraslacióntraslación

� si se cumple la SegundaSegundaSegundaSegunda condición, nononono se produce rotación o girorotación o girorotación o girorotación o giro del cuerpo.

∑ Fx = 0 Garantiza que no hay traslación en x.no hay traslación en x.no hay traslación en x.no hay traslación en x.

∑ Fy = 0 Garantiza que no hay traslacno hay traslacno hay traslacno hay traslación en y.ión en y.ión en y.ión en y.

∑ Mó = 0…….Garantiza que no hay rotno hay rotno hay rotno hay rotaaaaciónciónciónción. Resumiendo:Resumiendo:Resumiendo:Resumiendo:

Para resolver los problemas de estática en donde las fuerzas nononono pasan por un mismo punto hay que plantear tres ecuaciones. Estas ecuaciones van a ser: ∑Fx , ∑Fy , y ∑Mó= 0

Resolviendo las ecuaciones que se planteen, luego se calcula lo que se solicita.

� Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule alguna incógnita. Generalmente ese punto es el apoyo.

� No siempre deben emplearse las tres ecuaciones para resolver el problema. Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el problema usando sólo la ecuación de momentos.

� Para resolver un problema no necesariamente debemos plantear ∑Fx, ∑Fy. A veces se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidas a puntos distintos. (Por ejemplo, los 2 apoyos de una barra).

ActividadActividadActividadActividad: : : : AAAAnaliza los siguientes problemas resueltosnaliza los siguientes problemas resueltosnaliza los siguientes problemas resueltosnaliza los siguientes problemas resueltos

http://www.youtube.com/watch?v=XsHhttp://www.youtube.com/watch?v=XsHhttp://www.youtube.com/watch?v=XsHhttp://www.youtube.com/watch?v=XsH----zVpJVy8&feature=relatedzVpJVy8&feature=relatedzVpJVy8&feature=relatedzVpJVy8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=boKyOrqXPw0http://www.youtube.com/watch?v=boKyOrqXPw0http://www.youtube.com/watch?v=boKyOrqXPw0http://www.youtube.com/watch?v=boKyOrqXPw0

Equilibrio de un sistema de Fuerzas

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