Enteros y Reales

8/18/2019 Enteros y Reales

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El conjunto de los enterosEl conjunto de los enteros esta constituido por los númerosenteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmense representa mediante la letraZ .

Z = {…, - , -!, -", #, ", !, , …$%a recta num&rica sirve para representar gr'(icamente conjunde números.

# " ! ) * +-"-!--)-*-+-


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El anillo de los enteros%os enteros (orman lo ue se conoce como unanillo .

/n anillo es un conjunto dotado de las propiedades ue se m'sadelante.

En los enteros se de(inen dos operaciones la suma y lamultiplicaci0n.

%as propiedades de estas operaciones se listan a continuaci0n


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1alor absoluto de un entero2e(inimos el valor absoluto como sigue.El valor absoluto dea se denota por 3a3 =a si a 4 # y 3a3 = 5 a si a 6#. S7mbolicamente8a 4 #→ 3a3 =a ∧ a 6 #→ 3a3 = 5 a

Es decir, el valor absoluto de un entero es el número ue resulteliminar el signo ue lo precede.

3)3 = )

35 3 = 39)*3 = )*


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:ropiedadesAxioma 1 . :ropiedad conmutativa de la suma. Sia y b ∈ Z ,entonces

a 9 b = b 9 aAxioma 2 . :ropiedad asociativa de la suma. Sia, b y c ∈ Z ,

entonces ;a 9 b< 9c = a 9 ;b 9 c<

Axioma 3 . Elemento neutro de la suma. Sia ∈ Z , entoncesa 9 # = # 9a = a

Axioma 4 . nverso aditivo. Sia ∈ Z , entoncesa 9 ;5 a< = ;5 a< 9 a = #


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:ropiedades ;cont.<Axioma 5 . :ropiedad conmutativa de la multiplicaci0n. Sia y b ∈ Z , entonces

ab = baAxioma 6 . :ropiedad asociativa de la multiplicaci0n. Sia, b y c

∈ Z , entonces ;ab


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:ropiedades del anillo de los enteros Ley de cancelaciónSe cumple la siguiente proposici0n8 sia, b y c ∈ Z y a 9 b = a 9c, entoncesb = c.

Demostración . Suponemosa 9 b = a 9 c. Sumamos a cadamiembro de la igualdad el inverso aditivo de a.;5 a< 9 ;a 9 b< = ;5 a< 9 ;a 9 c<

:or la propiedad asociativa.

;;5 a< 9

a< 9

b = ;;5

a< 9

a< 9

c:or el a>ioma de elemento inverso de la suma.

# 9 b = # 9c2ado ue # es el elemento neutro de la suma.

b = c


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:ropiedades del anillo de los enteros;cont.<

Si a y b ∈ Z y a 9 b = a , entoncesb = #.

:ara todo enteroa# = #a = #.

Se cumple ue 5;5 a< =a.

Se cumple la siguienteregla de signos para el producto de dosenteros.

;5 a


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2i(erencia de enteros

2e(inimos la di(erencia de dos enteros de la siguiente manera.

Si a y b ∈ Z, a 5 b es la di(erencia de a y b y se calcula como.

a 5 b = a + ;5 b<

Se cumple la siguiente ley distributiva.

Si a y b ∈ Z, a;b 5 c< =ab 5 ac


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%ey de cancelaci0n para lamultiplicaci0n

Si a , b y c ∈ Z , y a ≠ #, entoncesab = ac implicab = c.

Demostración . ?a ab = ac ue tenemos ueab 5 ac = #, de donde

a ;b 5 c< = # y comoa ≠ #, entoncesb 5 c = #, ob = c.


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@rden en los enteros El conjunto de los enteros es un conjunto ordenado. 2ados donúmeros enteros el mayor de ellos es el ue se encuentra m'sla derecAa en la recta num&rica y el menor es el ue est' a laiB uierda. Cs7, 4 !, * 6 ,5 6 5!, # 4 5*.

2e(inimos el conjunto de los naturales D como el conjunto(ormado por los enteros positivos, es decir D = {", !, , ), …$

on este conjunto podemos precisar el orden en los enteros.


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:ropiedades de los naturalesSe cumplen las siguientes propiedades.

%a suma de dos números naturales es un número natural.

El producto de dos números naturales es un número natural.

Si a es un número entero, solo se cumple una de lassiguientes8

". a es un número natural.!. a = #.

. 5 a es número natural.


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@perador 4Si a y b ∈ Z , se dice uea es mayor ueb si a 5 b es un númeronatural. Es decir, la di(erencia de a y b es positiva.

Ejemplo8* 4 ) ya ue * 5 ) = "∈ D

5 4 5 * ya ue 5 5;5 *< = 5 9 * = !∈ D

+ 4 5 + ya ue + 5;5 +< = 5 + 9 + = "!∈ D


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:ropiedades de 4Se cumple la siguiente propiedad transitiva.

Si a 4 b y b 4 c, entoncesa 4 c.

Fambi&n se cumple ueSi a, b y c ∈ Z , y a 4 b, entoncesa 9 c 4 b 9 c.

Si a 4 b, entonces 5 a 6 5b.

Si a 4 b y c 4 #, entoncesac 4 bc .

Si a 4 b y c 6 #, entoncesac 6 bc .


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nducci0n

/n conjunto esinductivo si, para cadaa ∈ A, entoncesa 9 "tambi&n pertenece a A. El conjunto de los números naturalesue incluye al # es un conjunto inductivo.

%os siguientes pasos se siguen para Aacer demostracion

inductivas.". :robar ue la proposici0n se cumple para #.

!. Suponer ue la proposici0n se cumple paran y probar ue

esto implica ue se cumpla paran 9 ".. 2educir ue la proposici0n se cumple para todos los

elementos de D.


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Ejemplo "Sea H n = # sin = # y H n9" = " 9 ! H n. 2emostrar H n = !n 5 "

8 H # = !# 5 " = " 5 " = #

H 8 se cumple H n = !n 5 "

H n9" = " 9 ! H n = " 9 !;!n

5 "< = " 9 !n9"

5 !=

!n9"

5 "onclusi0n8

∀n8 H n = !n 5 "


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Ejemplo !:ara todon8 !;n 9 !8 !;# 9 !H 8 !;n 9 !!; n 9 " 9 !


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Ejemplo :ara todon 9 !n es divisible por .

8 # 9 !J# = # 9 # = # es divisible por .

H 8n 9 !n = k ;n9"


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Kodi(icaci0n de la base inductiva%a base inductiva no debe ser siempre conn = #.:odemos comenBar en cual uiern#, tomando P ;n#< como basede inducci0n.

P ;n#<∀n; P ;n≥ n#


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Ejemplo ):ara todo !n 6 nL para n≥ ).

8 !) 6 )L o "+ 6 !)

H 8 !n 6 nL

!J!n = !n9" 6 !JnL 6 ;n9"


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Ejemplo *:ara todo "9! 9 9) 9…9n = ;n;n9"8 " = ;";"9"H 8 "9!9 9) 9…9n = ;n;n9""9! 9 9) 9…9n 9 ;n9"

= ;n!;n9"

= ;;n9"< ;n9!< M !< !


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Ejemplo +:ara todo !n9"9! n9!es divisible por .

8 "9! " =

H 8 !n9"9! n9! = m !; n9" !n9" 9 !>!n9!

= > !n9" 9 !> !n9" 9 !>!n9!

= > !n9" 9 !; !n9" 9 !n9!<

= > !n9" 9 ! ; m<

= ; !n9" 9 !<

onclusi0n8 !n9"

9!n9!

es divisible por .


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2ivisibilidad

/n entero a esdivisible por un enterob si e>iste un enteroc tal ue8

a = bJc

Se dice uea es unmúltiplo deb./n número ue tiene solo dos divisores, " y el mismo, se llamannúmero primo .

%os números ue no son primos se les llamacompuestos .Se suele e>presar de la (ormaa3b, ue se leea divide ab, oa esdivisor deb.


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:ropiedades de la divisibilidadSeana , b, y c ∈ Z . Fenemos las siguientes propiedades b'sicas8a3a ;:ropiedad Ne(le>iva


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ombinaci0n lineal/na combinación lineal de dos enterosa , b es una e>presi0n dela (orma

ar 9 bs2onde r y s son enteros.

/n entero c divide a los enterosa y b si y solo sic divide acual uier combinaci0n lineal dea y b.

Ejemplo8 seaa = "!, b = " yc = +, entonces

+ = "!r 9 " s donde r = 5" y s = "/na condici0n necesaria para ue un número g sea combinaci0nlineal dea y b es ue g sea divisible entre todo divisor común de

a y b.


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Ejemplos:robar ue *! no es combinaci0n lineal de !# y "*.

2ivisores de !# y "* es *

* 3 *! por lo tanto no e>iste una combinaci0n lineal

Encuentre una combinaci0n lineal de "! en t&rminos de I , "#"#! 5 I = ), "! = O), entonces O"#! 5 OI = "!

:ruebe ue si c = #n9+, entoncesc no es combinaci0n lineal de"#!# y !"#.

2ivisores de "#!# y !"# son8 !, , *, "#, "* y #.

2ivisores de #n9+ son8 !, , +, etc. Do tiene como divisor a * por lo tanto no es posible obtener una combinaci0n lineal.


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Clgoritmo de la divisi0n .Seana P y∈ b D. Entonces e>isten∈ , r P con #∈ 6 r 63b| tales uea = b 9 r . Cdem's, y r son únicos.

Demostración . Seaa4# yb4#. onsidere los enteros de la(ormaa 5 bs. Sear = a 5 b 4= # el menor de estos enteros. 2ea u7

a = b 9 r Si r ≥b, ya uer = a 5 b , obtenemosr 5 b = a 5 b 5 b = a 5 b; 9 "


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Supongamos ue e>istenQ yr Q adem's de y r , tales ue

a = b 9r r 6b

a = b Q 9r Q r Q6b2e las anteriores obtenemos

b; 5 Q< =r Q 5r

2e donde3b|| 5 Q3 = 3r Q 5r|

:ero 3r Q 5r| ! b , lo anterior implica ue

3b|| 5 Q3 = # y 3r Q 5r| = #omo 3b3≠ #, se tiene ue

= Q yr = r Q

@mitiremos los casos dea o b o ambos negativos.

Seaa = ) + yb = "


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Seaa = ) + yb = ) + = " J!* 9 ""

= !* yr =""

Seaa = 5) + yb = 5 " 5 ) + = 5 " J!* 5 ""

:ero 5 "" no sirve como residuo ya ue es negativo, por tanto

5 ) + = 5 " J!+ 9 +

= !+ yr = + y # 6 r = + 6 35" 3 = "Seaa = 5) + yb = "

5) + = " J;5!*< 5 "" = " J;5!*< 9 " ;5"< 9 " 5 ""=

5) + = " J;5!+< 9 + = 5!+ yr = + y # 6r = + 6 35" 3 = "

Seaa = ) + yb = 5 "

) + = ;5"


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K'>imo común divisor 2ados dos enterosa y b distintos de #, decimos ue el enterod 4"

es unm"#imo común divisor ;denotado por ;a , b< o mcd;a ,b


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:ropiedadesSi a y b son enteros positivos yd = as 9 bt es su combinaci0n lineal positiva m7nima, entonces todo divisor ded es divisor tambi&n dea y b.

Demostración . Fenemos uea = d 9 r con #≤ r 63d 3, sustituyendod = as 9 bt , se tiene

a = ;as 9 bt < 9 r @ r = a ;" 5 s < 5bt r es combinación lineal de a y b

:ero como #≤ r 6 d y d es la combinaci0n positiva m7nima dea y b,resulta uer = #, es decir,a = d y por tantod 3a2e igual (orma se demuestra ued 3b.

orolario 8 el mcd;a , b< es la combinaci0n m7nima positiva dea y b.


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:rimos relativos2os númerosa y b son primos entre si ; primos relativos < si sum'>imo común divisor es ". Es decir,a y b son primos entre si, siy solo si,

" = as 9 bt

!ro"osición 8 Sia|bc y mcd;a , b< =", entoncesa3c.

Demostración .

" = as 9 bt , entoncesc = asc 9 btcCAora bien,a3a y a|bc , a divide a la combinaci0n lineala ; sc< 9;bt


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K7nimo común múltiplo

El $%nimo &omún $últiplo ;denotado Ra , b o mcm;a , b


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Kcd O mcm:roposici0n8 Sia y b son enteros positivos, entonces el producto dea y b es igual al producto de su mcd y mcm. Es decirab = mcd;a ,b


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El algoritmo de Euclides:ara calcular elmcd de dos enterosa y b ;ambos 4#,suponemosa 4 b< se de(ineni y r i recursivamente mediantelas ecuaciones8

a = b" + r

" ()!r

"!b*

b = r " ! + r ! ()!r !!r " *r " = r ! + r ()!r !r ! *....

r k - = r k -! k -" + r k -" ;#!r k -"!r k -!< r k -! = r k -" k ;r k = #<

El m'>imo común divisor es el último residuo di(erente de #.


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Ejemplo de algoritmo de Euclidea = !)+, b = ""aMb = !)+M"" = ! 9 "#M"" ," = !, r " = "#

bMr " = "" M"# = "" 9 M"#,! = "", r ! =

r "Mr ! = "#M = " 9 !M , = ", r = !

r !Mr = M! = ),) = !, r ) = #,

mcd;!)+, "" < = !


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Kcd como combinaci0n linealEl mcd dea y b se puede e>presar como la combinaci0n positivam7nima lineal dea y b.

Ejemplo8

a = ) yb = !! "! = "!# 5 "#

) = ">!! 9 "!# = "!# 5 ;!! 5 "!#<

!! = ">"!# 9"# = !>"!# 5 !!

"!# = ">"# 9 "! = !>; ) 5 !! < 5 !!"# = I>"! = !> ) 5 >!!

mcd = "! mcd;a , b< = !a 5 b

= - / = 01


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CctividadEncuentre el mcd y mcm de las siguientes parejas utiliBando ealgoritmo de Euclides8

!+#) y " ))

)#* y *"#

E>prese el mcd como combinaci0n lineal de "!# y " )


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Ejemplos

alcule ; ), #


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alcule ;5 *,5)


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UactoriBaci0n únicaFeorema de (actoriBaci0n única ;teorema (undamental de laaritm&tica


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2emostraci0n2emostraci0n. Suponga ue e>iste un conjunto K de números no pueden e>presarse como en ;"


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2emostraci0n ;cont.<CAora demostraremos ue la (actoriBaci0n es única. Suponga e>isten dos (actoriBaciones para a

a = p" p! p 2p na = " ! 2 r

gualando p" p ! p 2p n = " ! 2 r

como p" divide al producto de la iB uierda, debe dividir al

producto de la derecAa, digamos ue divide a". Dos ueda p ! p 2p n = ! 2 r

Cn'logamente, se puede decir para p ! = !, p = , Aasta llegar a

tener " = 3 39" 2 r si 3 6 t , lo cual es imposible, similarmente sit


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Kcd, mcm y (actoriBaci0nSe puede demostrar ue para dos números a y b con(actoriBaciones en primos dadas por

el mcd y el mcm se pueden e>presar como

2onde r i = min{mi, s i$ y t i = ma>{mi, s i$

n

n

sn

s s s

mn

mmm

p p p pb

p p p pa!"

!"

!"

!"

=

=

n

n

t n

t t t

r n

r r r

p p p pbamcm

p p p pbamcd !"

!"

!"

!"


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ejemploUactorice en potencias de primos y encuentre mcm y mcd8

"I)#)# *)+###


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Dúmeros racionalesonsideremos el producto cartesiano deZ × ;Z 5 {#$< dado por&

= {;a , b< 3a ∈ Z y b ∈ ;Z 5 {#$< $

2e(inimos la relaci0n V8

;a , b< V ;aQ,bQ< siab Q =ba QEjemplo8

; , )< V ;"!, "+< ya ue J"+ = ) = )J"!

d d


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:ropiedades%a relaci0n V es una relaci0n de e uivalencia.

a< V es re(le>iva ya ue ;a , b< V ;a , b< oab = ba . b< V es sim&trica ya ue ;a , b< V ;a' , b'


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Dotaci0n (raccionariaSe utiliBa la siguiente notaci0n8

aMb = {; #, y< 3 ;a , b< V ; #, y


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@peraciones con racionales%ema "8

;a4b = a'4b' y c4d = c'4d'


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@peraciones con racionales ;cont%ema !8

;a4b = a'4b' y c4d = c'4d'


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Suma y producto de racionales2e(inimos la suma de los racionalesaMb y cMd como

2e(inimos el producto de los racionalesaMb y cMd como

bd

bcad

d

c

b

a +=+

bd ac

d c

ba =×


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:ropiedades"< %a suma es conmutativa.aMb 9 cMd = cMd 9 aMb !< %a suma es asociativa. ;aMb 9 cMd < 9eM 5 = aMb 9 ;cMd 9 eM 5 <

< #M" es el id&ntico aditivo

mMn 9 #M" =mMn)< Fodo racional tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo demMn es 5 mMn .

*< El producto es conmutativo. ;aMb


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:ropiedades ;cont.<< "M" es el id&ntico multiplicativo

;mMn


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CctividadNealiBar las siguientes operaciones con racionales8; M)< 9 ;!M <

; M "


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Nacionales positivos2e(inimos el conjunto de los racionales positivos como

&9 = {aMb 3aMb ∈ &, ab ∈ Z 9$

2onde Z 9 es el conjunto de los enteros positivos.

:ara cadaaMb ∈ & es verdadera una y solo una de lasa(irmaciones siguientes8

a


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@rden en&2e(inimos el orden en& de la siguiente manera.

aMb 4 cMd si aMb 9;5 cMd


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Se cumplen las siguientes proposiciones8

;a4b 6 c4d < ∧ ;c4d 6 e45


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Enteros como racionales%a siguiente (unci0n mapea de un entero a un racional.

i8Z → &2e(inida como

i;a< =aM"Esta (unci0n es inyectiva, es decir, dadosa y b enteros sii;a< =i;b


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El subconjuntoD de&El subconjuntoD ;racionales decimales< de& est' (ormado porlos racionales de la (orma8

aM"#n

Se utiliBa la notaci0n de punto decimal para representar a estoracionales.

Ejemplo8

! "M"### = #.! "M"## = #.#

! !!M"### = ! . !!


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%as sumas y productos de elementos deD pertenecen aD.

2e(inimos8

D9 = D ∩ &9

D 5 = D ∩ & 5

%os elementos deD9

son de la (orma A.a "a !…a n,

2onde C es un entero no negativo ya i ∈ {#, ", !, …, I$

%os elementos deD 5 son de la (orma 5 A.a "a !…a n,

2onde C es un entero no negativo ya i ∈ {#, ", !, …, I$

@ d D


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@rden enDSe cumple lo siguiente8i< # 4 # ∀ # ∈ D-.

ii< # 4 y siempre ue # ∈ D9 y y ∈ D-

iii< # 4 #∀ # ∈ D9.

iv< 2ados los elementos cual uiera deD9,

# = A.a "a !…a n,

y = 7 .b"b!…bn,

# 4 y en cual uiera de los dos casos siguientes8a< A 4 7 b< Si A = 7 e>iste un enterom≤n tal uea i =bi parai 6 n y a m 4 bm


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@rden enD ;cont.<v< 2ados # ∈ D9 y y ∈ D9,

5 # 4 5 y si y 4 #

Negla de los signos8Se cumple la regla de los signos.

;5 A.a "a !…a n


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Negla de los signosSe cumple la regla de los signos8

;5 A.a "a !…a n


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CctividadEstableBca cual de los dos racionales es el mayor y cual elmenor.

! M ) y +*MI+

M) y !*M !

EstableBca cual de los dos elementos deD es el mayor y cual elmenor.

-" .)*! +! y -" .)*! !

)+. +##! y )+. +## +

@rdene de mayor a menor los siguientes números racionales

M), *M+, )M , +M" , MI, "*M"I, )M*


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Dúmeros realesEl conjunto de los reales positivos denotados como+ 9, est'(ormado por números de la (orma

A.a "a !a …,

2onde los puntos suspensivos indican ue Aay una in(inidad daes.El conjunto de los reales negativos+ 5 son de la (orma

5 A.a "a !a …,

Si agregamos el #.####… tendremos el conjunto de los realescomo

+ = + 9 ∪ + 5 ∪ {#.###…$

E>cluimos números en los uea i = I, parai4n.


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Subconjuntos de N Se cumple lo siguiente8

Z ⊂ D ⊂ & ⊂ +

Z 9 = D9 ∩ Z

Z 5 = D 5 ∩ ZD9 = + 9 ∩ D

D 5 = + 5 ∩ D

&9 = + 9 ∩ &

& 5 = + 5 ∩ &

Z

+

& D

@rden en+


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@rden en+ Se cumple lo siguiente8i< # 4 # ∀ # ∈ + -.

ii< # 4 y siempre ue # ∈ + 9 y y ∈ + -

iii< # 4 #∀ # ∈ + 9.

iv< 2ados los elementos cual uiera deD9,

# = A.a "a !…,

y = 7 .b"b!…,

# 4 y en cual uiera de los dos casos siguientes8a< A 4 7 b< Si A = 7 e>iste un enterom≤n tal uea i =bi parai 6 n y a m 4 bm


68/89

@rden en+ ;cont.<v< 2ados # ∈ + 9 y y ∈ + 9,

5 # 4 5 y si y 4 #

Ejemplo8

# 4 -#.####"#.###!… 4 - .)+ )…

).**+… 4 #.#

.")"*I!+* *…4 .")"*I!*+ …-).*+ * *…4 -).*+ +I …

).*+ * *…6 ).*+ +I …


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Neales y Nacionales:roposici0n. Entre cadaα y β ∈ + Aay un elemento deD.Ejemplo

α = .)* ) )…

β = ). ) I) …sea c = .*, entoncesα 6 c 6 β.

α = . +)* )+…

β = . +)* I##…c = . +)* *,

sea c = . +)* *, entoncesα 6 c 6 β.


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Neales y Nacionales:roposici0n. :ara cadaα ∈ + y cada entero positivon e>istea D tal uea 6 α 6 a 9 "# 5 n.Ejemplo.α ∉ D

α = !. +) +)…

Fomamosa = !. + yn = !, entonces

!. + 6 !. +) +)… 6 !. + 9 "# 5! = !.

α ∈ D

α = !. +) ,

Fomamosn = +, a = !. +) 5 "# 5+ = !. +) !

!. +) ! 6 !. +) 6 !. +) ! 9 "# 5+ = !. +) )


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otas y (ronterasSea S⊂ + . 2ecimos ueα ∈ + es unacota superior ;in5erior < de8 si α ≥ # ;α ≤ #< para todo # ∈8 .S⊂ + . 2ecimos ue8 est' acotado superiormente ;in5eriormente <si e>isteα ∈ + ue es una cota superior ;in(erior< de8 .

Sea S⊂ + . 2ecimos ueα es una 5rontera superior ;in5erior < de8 si8

"


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SupremoEl supremo ;%n5imo< de 8 ;o 5rontera superior ;in5erior ima< de las cotas superior;in(eriores< de8 .

El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup8 ;in(8 iste

sup;-∞, ∞< no e>iste in( ;-∞, *< no e>iste


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K'>imo y m7nimo

El m'>imo ;m7nimo< de un intervalo S de números reales es elelemento ue es (rontera superior ;in(erior< y ue pertenece a

Ejemplo8

;"W 8 el m'>imo es , el m7nimo no e>iste.

R*W 8 el m'>imo es , el m7nimo es *.

R-"W∞ < 8 el no e>iste, el m7nimo es -".


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Feoremas

Enunciaremos el siguientes teoremas sin demostraci0n.

Feorema ". Fodo conjunto no vac7o de+ acotado superiormente;in(eriormente< tiene (rontera superior ;in(erior


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Suma de reales2ados α ∈ + , β ∈ + , sean

A = { # 3 # ∈ D, # ≤ α$B = { # 3 # ∈ D, # ≤ β$C = { # 9 y 3 # ∈ A , y ∈ B $

2e(inimos α 9 β = supC .

Ejemplo8 seaα = !. … yβ = +.+ + …, e>istena y b tales ueα 6 a y β 6 b. :or ejemploa = !. ), yb = +.+ +)Entonces

α 9 β 6 a 9 b

@ sea ueα 9 β = !. )9+.+ +) = I.#""


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:roducto de reales2ados α ∈ + , β ∈ + , sean

A = { # 3 # ∈ D, # ≤ α$B = { # 3 # ∈ D, # ≤ β$C = { #y 3 # ∈ A , y ∈ B $

2e(inimos αβ = supC .

Ejemplo8 seaα = !. … yβ = +.+ + …, e>istena y b tales ueα 6 a y β 6 b. :or ejemploa = !. ), yb = +.+ +)Entonces

αβ 6 ab@ sea ueαβ = !. )×+.+ +) = "*. * )*! +*" +


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:ropiedades"< %a suma en+ es conmutativa.a 9 b = b + a !< %a suma en+ es asociativa. ;a 9 b< 9c = a 9 ;b 9 c <

< # es el id&ntico aditivo en+

a 9 # =a)< Fodo real tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo dea es 5 a .

*< El producto en+ es conmutativo.ab = ba+< El producto en+ es asociativo.

a ;bc< = ;ab


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:ropiedades ;cont.<< " es el id&ntico multiplicativo en+

a" = a

< Fodo real di(erente de # tiene un inverso multiplicativo, elinverso multiplicativo dea o a 5".I< El producto distribuye a la suma

a ;b 9c< =ab 9 ac

d d d d


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Se cumplen las siguientes proposiciones en los reales8

;a 6 b < ∧ ;b 6 c


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Nacionales y reales%a siguiente (unci0n mapea de un racional a un real. 98& → + 2e(inida como

9;a4b< =ab - "

Esta (unci0n es inyectiva, es decir, dadosa4b y c4d racionales

9;a4b< = 9;c4d


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Nepresentaci0n decimal de racionale

:ara obtener la representaci0n de un racional dividimosnumerador entre denominador. El número obtenido es siempreun decimal peri0dico.

Ejemplo

#.)! * ")!

#!#

+#)#*#"#

#!#

= #.)! * "

= #.!.+

**+")I*#

= "."! )

C i id d


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CctividadEncontrar el supremo y el in(imo si e>isten en cada caso.{", "M!, "M , "M),"M*, …$

{ # ∈ + 3 # 6 !$

;*, R-+,∞<

Encuentre la representaci0n de los siguientes racionales comodecimales peri0dicos

)*M

! M)

N 7 d l


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Na7ces de reales:ara cadaα ∈ + 9 y cadan ∈ Z e>iste un número únicoβ ∈ + * tal

ueβn = α . Este realβ se denota por

β = sup { # 3 # ∈ + , #n 6 α$

Ejemplo

".!)* #I … =

?a ue8

".!)* #I * = !.IIIIII )!!6

n Z

*

N l d l


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Neglas de los e>ponentes:ara cadaα ∈ + 5 {#$ yn ∈ Z de(inimos

α n = ααα JJJα n (actores

α 5 n = ;α n< 5".

α # = "

α mJα n = α m+n

;α m


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Neglas de los e>ponentes ;cont.<:ara cadaα,β ∈ + 5 {#$ yn, m ∈ Z de(inimos

Ejemplos8( ) n mmn

mnm n

nnn

ZZ

ZZ

Z[[Z

===

( ) )+)--!!*+Z

I-"!

!!

-) !

!!!

===== ==

N l d l


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Neglas de los e>ponentes ;cont.<:ara cadaα,β ∈ + * y m4n, r4s ∈ & y n, s ∈ Z * de(inimos

α m4nβm4n = ;αβ


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1alor absoluto de un real2e(inimos el valor absoluto como sigue.El valor absoluto deα se denota por 3α 3 =α si α 4 # y 3α3 = 5 α siα 6 #. S7mbolicamente8α4 # → 3α3 =α ∧ α6 # → 3α3 = 5 α

Es decir, el valor absoluto de un entero es el número ue resulteliminar el signo ue lo precede.

Se tienen las siguientes propiedades8

a< 3α 3≥ #, 3α 3 = # solo siα = #.

b< 3αβ 3 = 3α 3 3β 3

c< 3α + β 3≤ 3α 3 9 3β 3

omo consecuencia 3α 5 β 3≥ 33α 3 5 3β 33

Ej l


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Ejemplos3;-*


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CctividadE(ectúe las operaciones con e>ponentes8; a < ;5)a ! y

; #!

; a # 5 +< 5"M ; "a 5"+b"!< 5"M)

alcule los siguientes valores absolutos

3* 9 ;-

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