Curso: LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA EN EL SEGUNDO CICLO Prof. Ma. Rosa Loiero y Federico Maloberti

Segundo Encuentro (17-05 y 31-05)

Primera Parte:Analizar las actividades desarrolladas en el primer encuentro a partir de los siguientes fragmentos

La geometra del plano en la escolaridad obligatoria - Algunas reflexiones acerca de su enseanza -Marta Porras y Rosa Martnez

Cul es el estado actual de la enseanza de la geometra del plano?Observamos que, en la mayora de los casos, las actividades geomtricas aparecen en la enseanza corno actividades para "hacer" en geometra, ms que como situaciones que contribuyan: al aprendizaje de la geometra.Se evidencia un desequilibrio entre lo sensible y lo geomtrico en la enseanza actual.En la escolaridad obligatoria actual, parece ser que se opta por lo sensible. Haciendo abuso de las tendencias a "lo concreto", se magnifica el rol del dibujo en el aprendizaje de las nociones geomtricas. Los dibujos ofician como "seales" que pretenden comunicar qu es una figura y sus propiedades. Consideramos que no son alternativas vlidas; un estudio basado exclusivamente en definiciones y propiedades, ni uno basado exclusivamente en "dibujos". Si bien los dibujos ayudan a hacer funcionar los conocimientos que a nivel implcito se tiene de los objetos geomtricos, en la enseanza primaria actual la experiencia con los objetos geomtricos se basa en la imagen que brindan los dibujos llegando a transformarse estos ltimos en el objeto mismo de estudio. El aprendizaje de la figura se realiza bsicamente sobre lo que se "ve", y muchas propiedades no tienen cabida ms que una mera enumeracin, por consiguiente, hay una prdida importante de significado.

Pero si la evidencia fuera algo absoluto y las propiedades se "vieran" en los dibujos, no sera necesario estudiarlas.

Adems, si se tiene la cultura de la evidencia en la enseanza, hay construcciones que no podrn plantearse. Slo podrn pensarse figuras "fieles" a las imgenes.

Otra caracterstica de la enseanza es la particular relacin que se propone con los dibujos, ya sea en el aula como en los textos de uso escolar. Para que el alumno pueda reconocer figuras se le suministran "modelos" que pueden considerarse figuras tpicas. Es decir, figuras donde se toman regularmente valores idnticos para las variables en juego y, en consecuencia, resultan en su mayora semejantes, de tamaos similares y en la misma posicin, El alumno almacena en su memoria estos "prototipos", los que siempre conciernen a casos particulares. Eso explicara las dificultades de reconocimiento cuando las figuras no estn en la posicin habitual o cuando la relacin de las dimensiones es muy diferente a las de las figuras tpicas almacenadas..

No descalificamos la incorporacin del dibujo en la enseanza. Sino que es necesario considerar los alcances y lmites de sus usos en la planificacin de situaciones de enseanza.

Nos interesa sealar, tambin, cmo se da la presentacin de las nociones en la enseanza de la geometra. En muchos casos, el maestro muestra los elementos y relaciones constitutivas de la nocin que quiere ensear; mientras el alumno observa, escucha y realiza tareas de las cuales ya tiene el modelo. Suele descuidarse el tratamiento del "sentido" de las nociones. Es lo que en didctica de la matemtica se llama presentacin ostensiva de las nociones.Una prctica probable es que se presente un polgono diciendo: "Esto es un............." *y se muestre un dibujo de dicha figura. Lo que se interpreta es que tal figura tiene la misma forma que la del dibujo; es decir, que los ngulos son congruentes a los del dibujo presentado y los lados proporcionales a Ios del mismo. En consecuencia, en esta clase slo estarn las figuras que sean semejantes a la mostrada. Para las figuras que no son polgonos regulares esto ser una dificultad. La semejanza entre los que s son regulares hace posible que la imagen sirva para construirlo.

En esta presentacin, los saberes no aparecen como tiles para resolver un problema que se les plantea a los alumnos. Las situaciones didcticas se reducen a la circulacin del saber oficial. El alumno debe aprender la leccin, hacer los ejercicios, memorizar algoritmos suministrados por el maestro o los textos, resolver los problemas que elige el docente, pero eso no es suficiente. Habr alumnos que, por razones personales, sean capaces de aprender, es decir, de buscar las semejanzas entre la situacin de presentacin y aqulla que ellos deben resolver; que tengan la autonoma para recurrir a lecciones para algo que han olvidado, para interrogarse sobre las razones de sus elecciones, etctera. El problema es que la instalacin del alumno en esta posicin que Brousseau (1986) calificara de a-didctica es aleatoria, el xito del aprendizaje est ligado ms a las caractersticas personales del alumno que a la accin del maestro que ha elegido esta presentacin. La dificultad reside en que, presentando las nociones de este modo, no hay posibilidades de obtener un conocimiento donde la nocin adquiera sentido por ser una solucin adecuada al problema.

Por ejemplo, si un problema de construccin geomtrica viene acompaado del algoritmo correspondiente, el alumno, repitiendo los pasos, podra obtener el dibujo esperado, pero no habr interactuado con las propiedades que le dan sentido a ese algoritmo.

Otra caracterstica de la presentacin ostensiva es la ausencia de la justificacin de los procedimientos empleados en la resolucin de una situacin de enseanza. La justificacin en la enseanza de la geometra del plano, en el nivel primario, se sustituye por la evidencia, por lo que no tiene cabida la reflexin sobre las propiedades puestas en juego. La confrontacin tiene un carcter ficticio. La enseanza se reduce, en la mayora de los casos, a la prctica de algoritmos y mecanismos difcilmente reutilizables en otro contexto.

Se presenta a un grupo de alumno la siguiente consigna: Trazar la mediatriz del siguiente segmento

Y se le entrega una hoja en la cual un segmento de 6 cm se encuentra paralelo al borde a una distancia de medio centrmetro.

GEOMETRA EN LOS PRIMEROS AOS DE LA ESCUELA MEDIA - Direccin de Currcula - Secretara de Educacin - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires - Horacio Itzcovich; Gustavo Barallobres Y Carmen Sessa

1. La relacin con el espacio fsicoLa geometra se ha constituido en parte como una modelizacin del espacio fsico. Se establece entonces una particular relacin entre este espacio fsico - con los datos que provienen de la percepcin y la medicin- y los objetos geomtricos (figuras, cuerpos, etc.) que son objetos tericos que obedecen a las reglas de la matemtica (en su definicin, sus reglas de funcionamiento y los modos de validacin de sus propiedades).

Las figuras y los cuerpos son sin duda objetos geomtricos considerados para la enseanza en la escolaridad bsica. ()

Las actividades() centradas en la construccin de figuras, promueven la anticipacin por parte de los alumnos, permitiendo el establecimiento de relaciones entre distintos elementos de las figuras.

() Estamos hablando de un proceso, y para ir logrndolo, las situaciones que se presenten a los alumnos deben cumplir ciertas caractersticas: permitir que los saberes geomtricos aparezcan como instrumentos en la resolucin de problemas que no puedan ser resueltos desde la percepcin o desde la medicin.

O sea, estamos pensando que un problema geomtrico debe reunir ciertas caractersticas que detallamos a continuacin:

Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos geomtricos.

El problema pone en interaccin al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio fsico, sino a un espacio conceptualizado al cual las figuras-dibujos trazadas por este sujeto no hacen ms que representar.

La funcin que cumplen los dibujos en la resolucin del problema no es la de permitir arribar a la respuesta por simple constatacin sensorial.

La validacin de la respuesta dada al problema- es decir la decisin autnoma del alumno acerca de la verdad o falsedad de su respuesta- no se establece empricamente sino que se apoya en las propiedades de los objetos geomtricos. Las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras, producen nuevo conocimiento sobre los mismos.Lo que estamos afirmando es que son las caractersticas de los problemas planteados y una cierta organizacin de la clase las que van a permitir enriquecer el trabajo en geometra. En particular, la exigencia de una argumentacin podra apoyarse en la insuficiencia de lo perceptivo y de la medicin para llegar a la respuesta. Al respecto dice Dilma Fregona (en el Libro del Docente de El libro de la Matemtica 7 Ed. Estrada): La geometra no es slo un conjunto de saberes sino un modo de relacin con ciertos problemas. Y ms adelante: Si se quiere llevar al alumno al dominio de los conocimientos geomtricos es necesario poner de relieve el obstculo que representa la evidencia del dibujo.

2. Los diferentes registros en geometra.

En la presentacin y el tratamiento de la informacin en geometra se ponen en juego tres tipos diferentes de registros:

- el registro figurativo, ligado al sistema perceptivo visual (representacin grfica de figuras y dibujos en general).

- el registro del lenguaje natural, con sus posibilidades de descripcin y explicitacin.

- el registro del lenguaje simblico - propio de la matemtica - que adquiere caractersticas particulares en geometra y que incluye el recurso de las frmulas.

Prestaremos especial atencin al registro figurativo. Las representaciones grficas, o sea los dibujos sobre el papel, constituyen una parada intermedia entre los objetos tericos y los objetos reales. El dibujo de un cuadrado sobre una hoja puede ser considerado tanto la representacin grfica del objeto geomtrico cuadrado como la representacin de un objeto cuadrado del espacio fsico.

La construccin de los objetos tericos de la geometra se constituye apoyndose en la percepcin, pero al mismo tiempo oponindose a los datos de la evidencia. Este juego de acuerdos y desacuerdos parece ser propicio para su aprovechamiento didctico.

Como docentes debemos tener en cuenta la importancia que nuestros alumnos asignan al registro figurativo. En particular, en los casos de no congruencia entre la informacin dada en diferentes registros, por ejemplo, un texto acompaado de un dibujo, es usual que los estudiantes consideren como ms importante los datos provenientes del dibujo. Lograr una relacin cuidadosa con las figuras que incluya una toma de conciencia acerca de la no concordancia entre la informacin en diferentes registros es un objetivo al cual apuntar, no parece ser un punto de partida a exigir.

Segunda parte:

Resolver las siguientes actividades y hacer un listado de los conocimientos geomtricos que se movilizan al momento de la resolucin.

Primera Actividad

Copiar los sigueitnes dibujos en hoja lisa y hoja cuadriculada de manera tal que se conserven las dimensiones del dibujo original.

Segunda Actividad

Construir un segmento que sea el doble del modelo que sigue a continuacin, con regla no graduad y comps

Tercera Actividad

Escribir las instrucciones que les daras a un compaero para que construya el siguiente dibujo sin poder ver el original.

Tercera Parte:

Leer el siguiente fragmento extrado del Diseo Curricular de Primer CIcloFORMAS: FIGURAS Y CUERPOS GEOMTRICOS

El estudio en el primer ciclo de las figuras y de los cuerpos geomtricos introduce a los alumnos en la modelizacin de los objetos en el espacio. El estudio de las formas deber facilitar que los alumnos hagan evolucionar sus conocimientos geomtricos basados en la percepcin hacia el anlisis de las propiedades de las formas, sus relaciones y sus elementos. Esto involucra un trabajo simultneo con las figuras y los cuerpos.

El trabajo con las figuras se centra, en un comienzo, en la identificacin de las formas ms conocidas y utilizadas (cuadrados, rectngulos, tringulos, crculos). Ms all del nombre, que en numerosas ocasiones tendr que ser incorporado, el nfasis deber estar puesto en ciertas caractersticas de las figuras: cantidad de lados, la rectitud o curvatura de stos. Asimismo, ser interesante promover la bsqueda de un vocabulario apropiado para describirlas tanto oralmente como a travs de un mensaje escrito.

La evolucin de los conocimientos de los alumnos permitir priorizar el estudio de las relaciones de las figuras que no son evidentes o perceptibles desde los dibujos: paralelismo y perpendicularidad de los lados de los cuadrados y rectngulos, medida de los lados de los cuadrados, relaciones entre los lados de un tringulo, etc. Estos aspectos posibilitan que se avance en el terreno de la clasificacin de las figuras en torno de sus propiedades y elementos, lo que exigir volver a revisar las relaciones de las propias figuras.

El trabajo con figuras geomtricas tambin involucra el desarrollo de capacidades tendientes a poder construirlas, a reproducirlas. Para que esto sea posible los alumnos podrn usar, ante los problemas planteados, diversos recursos y harn progresivas conceptualizaciones en torno de las caractersticas y propiedades de las diferentes figuras.

Bajo ciertas condiciones, el trabajo alrededor de las construcciones de figuras puede favorecer la puesta en juego explcita o implcita de algunas de las relaciones que las caracterizan.

Por ejemplo: se pide a los alumnos que copien en papel cuadriculado el siguiente dibujo, tambin presentado en papel cuadriculado:

Los alumnos debern establecer ciertas relaciones que les garanticen la efectividad en la reproduccin: contar la cantidad de cuadraditos que "ocupa" cada lado, decidir si usan o no una regla para medir, determinar los puntos medios de cada lado (aunque no sepan que se llaman puntos medios), etc. Ellos pueden validar su trabajo mediante la superposicin entre ambas figuras.

Los tiles de geometra que se permiten usar para copiar la figura y el tipo de papel en que es presentada y en el cual se realizar el copiado son variables didcticas por considerar, pues modifican las exigencias de las situaciones y favorecen el establecimiento de nuevas relaciones. En el caso del ejemplo, si se pide a los alumnos que copien el dibujo en papel liso, el problema los enfrenta con la dificultad de garantizar el paralelismo o la perpendicularidad de los lados, aspecto que el papel cuadriculado resuelve. Esta exigencia provocada por el uso de papel liso convierte a la actividad en ms adecuada para segundo ciclo.

En esta situacin, entonces, los instrumentos de geometra empiezan a desempear un nuevo papel. Poder anticipar la posicin de la regla o la escuadra para lograr el xito en el copiado es una de las capacidades que se trata de desarrollar. Este punto es explotado con mayores posibilidades en el segundo ciclo, pero resulta pertinente iniciarlo en el primero.

El trabajo en torno de los cuerpos geomtricos involucra problemas que requieran la reproduccin y la descripcin de los cuerpos ms conocidos. Al igual que con las figuras geomtricas, para poder describirlos, reproducirlos con modelos presentes y ausentes, se necesita de un anlisis de las propiedades. El anlisis de las caractersticas de los cuerpos, a su vez, se ir profundizando en dichas actividades. Tambin se podr desarrollar un trabajo en torno de las relaciones entre los cuerpos y las figuras construyendo cuerpos a partir de distintas figuras, determinando qu diferentes "huellas" o sombras produce cada cuerpo, etc.

Adems, resulta interesante poder avanzar con los alumnos en la interpretacin de desarrollos planos de cuerpos. Por ejemplo: "Para armar un cubo se recortaron los siguientes dibujos: Cules van a permitir armar efectivamente un cubo mediante pliegues por las lneas marcadas?"

Se busca con este tipo de actividad que los alumnos anticipen que algunos desarrollos no son vlidos por no contener la cantidad de caras necesarias, que otros no son vlidos por no responder a la distribucin de las caras que permitan armarlo, etctera.

La intencin es que los alumnos trabajen con las relaciones entre las caras, las aristas, etc., y que puedan responder y fundamentar sus respuestas sin recurrir al armado efectivo de los cubos, el que puede reservarse como verificacin de las anticipaciones si fuera necesario (si los argumentos no se muestran suficientes o no alcanzan para zanjar una discusin). El trabajo con figuras y cuerpos tambin implica introducir a los alumnos en un vocabulario especfico, no slo de los nombres de cuerpos y de figuras, sino tambin de los elementos que los componen. La incorporacin progresiva de este vocabulario especfico deber aparecer como una necesidad de formulacin ante un problema planteado. Por ejemplo, al enviar un mensaje escrito a otro compaero para describir una forma geomtrica, para describir oralmente un cuerpo geomtrico, al contestar preguntas acerca de las propiedades de una figura en un juego de adivinacin, etc. El estudio de las figuras, de los cuerpos y de las relaciones entre ambos en el primer ciclo permite iniciar a los alumnos en el campo de los problemas geomtricos.

Cuarta Parte

Buscar en libros de texto viejos de cuarto y quinto grado las actividades con las cuales se inicia el trabajo en geometra.

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