ensayos probabilisticos

7/25/2019 ensayos probabilisticos

1/12

Dpto. Didctico de Matemticas. Probabilidad.

Ao acadmico: 2010-2011 I.E.S. La EraDepartamento Didctico de

Matemtica!i"e#: $ac%. &&SSComplementos terico-prcticos. Tema:Probabilidad.'ea#i(ado por: D. )*an )o Mennde( Da(+ Ldo. en &&. ,ica por #a .&.M. pro-/eor areado de Matemtica en E.S.

Teora de la Probabilidad.

1.- ( ) A 0

2.- Si A $ = + *ceo incompati3#e+ entonce ( ) ( ) ( )$A$A +=

4am3in podemo #eer 5*e #a interecci6n de do *ceo incompati3#e e

e# *ceo impoi3#e+ en ete cao #a pro3a3i#idad de #a *ni6n e i*a# a #a*ma de #a pro3a3i#idade indi"id*a#e. 7enera#i(ndo#o a m de do *ceo incompati3#e do a do+

( )i 8 i ii 1i 1

A A A A

==

= =

U

9.- ( ) 1E = + #a pro3a3i#idad de# *ceo e*ro e i*a# a #a *nidad.

3er"aci6n: eto e de3ido a 5*e i tran/ormamo #a 2.- para m*c%o

*ceo+ ta#e 5*e ( )i 8 i ii 1i 1

A A A A

==

= =

U + entonce+ i por

e8emp#o+ tomamo e# inter"a#o [ ]1+0 + #a pro3a3i#idad de pinc%ar *nn;mero raciona#+ + era:

{ }[ ]

00521+0#e de Lap#ace?

Definiciones y conceptos. Pgina.- i


2/12


( )poi3#ecaoden*mero

/a"ora3#ecaoden*meroA2 =

olo es !lido en el caso en "ue todos los sucesos posibles sean e"ui-probables o !erosmiles.

Si e# n;mero de cao poi3#e e m* rande se #ace necesario elempleo de la combinatoria.

Modelo a$iomtico ( )( )+E+E : A@ioma:

Si ( ) ( )$A$A

&omo ( )$ A $ A= ( ) ( ) ( ) ( )A $ A $ A $ A = = + + como( ) $ A 0 + neceariamente e c*mp#e e# a@ioma.

( ) 1A2 + a 5*e ( ) ( ) 1EAEA = ( ( )A21A2 =

&omo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A E A A A A A A A AA A

= = + = = ( ( )A1A =

( ) 0 = + a 5*e ( ) ( )E 1 E 1 1 0 = = = =

( ) ( ) ( ) ( )$A$A$A += + para *ceo compati3#e o no >%M-PO&T'(T)? &on ( ) ( )$A$AA = + donde adem $A$A = *ceo

incompati3#e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A $ A $ A A $ A $ = = + . I*a#mente( ) ( ) ( $A$A$ += . De am3o %ec%o+ adem de 5*e

( ) $A$A$A$A = + donde #o *ceo de# e*ndomiem3ro on incompati3#e do a do+ ##eamo a 5*e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )$A$A$A$A$A$A +=++=

Probabilidad condicionada: ea e# epacio pro3a3i#tico ( )++E . Se a3ea 5*e oc*rri6 e# *ceo $+$ . A%ora ( ) A+A + de3e er modi/icada+a 5*e por e8emp#o:

La pro3a3i#idad de acar *n cinco+ a# #an(ar *n dado de parc%+ e

1 + pero i

no dicen 5*e a#i6 *n n;mero par+ en ee cao e# *ceo acar *n cinco e im-poi3#e+ e decir+ #a pro3a3i#idad a%ora de acar cinco e n*#a.

Definimos la probabilidad condicionada ( )$BA + leemos probabilidadde "ue se de el suceso ' #abiendo sucedido ya el suceso *+ como

( ) ( )

( )( ) 0$con+

$

$A$BA = . Se tata de *na pro3a3i#idad a 5*e "eri-

/ica #o a@ioma:

+,.- ( ) A+0$BA +a 5*e ( ) 0$ > ( ) 0$A

+.- Si ( )( ) ( ) ( )A & A & B $ A B $ & B $ = = +

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )$

$&$A

$

$&A$B&A

=

=

+ pero por er #o*ceo $A $& incompati3#e+ entonce #a pro3a3i#idad de #a

Definiciones y conceptos. Pgina.- ii


3/12


*ni6n e i*a# a #a *ma de #a pro3a3i#idade de cada *no de #o

con8*nto de #a *ni6n ( )

( )

( )

( )( ) ( )$B&$BA

$

$&

$

$A+=

+

+.- ( ) ( )

( )

( )

( )1

$

$

$

$E$BE ==

=

Obser!acin/: norma#mente la probabilidad condicionada se suele escri-bir en la forma ( ) ( ) ( )$BA$$A = + i adem ( ) 0A + entoncetenemo 5*e ( ) ( ) ( ) ( )$BA$AB$A = + i #o *ceo on adem inde-

pendiente+ ( ) ( ) ( )$A$A =

Obser!acin/0:tre *ceo independiente do a do on ta#e 5*e

( ) ( ) ( ) ( ) A $ & A $ & = + a*n5*e no iempre e a.

E8emp#o: Se #an(an do dado+ *no 3#anco otro nero. Sean #o *ceoACacar p*nt*aci6n impar con e# dado nero+ $Cacar p*nt*aci6n im-

par con e# dado 3#anco &C5*e #a *ma de #o acado ea par.

( )2

1A = + a 5*e #a mitad de #o n;mero on pare #a mitad impare

( )2

1$ = + por i*a# moti"o.

ara ete ;#timo cao mira #a e@p#icacione 5*e "ienen a contin*aci6n

de e##a "er 5*e ( )2

1& = . 3er"a 5*e:

par par C impar impar C par par impar C impar par C impar

Etota#9ne0roimpareEtota#9ne0ropare93#ancopare

Etota#9ne0roimpare

Etota#9ne0ropare93#ancoimpare

4ota# de cao poi3#e 9F = 4ota# de cao /a"ora3#e 1G2 =

ro3a3i#idad de Lap#ace ( )21

91G

poi3#e/a"ora3#e& ===

Probabilidad de "ue salga impar negro e impar blanco

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F

1

2

1

2

1&$&A$A$A ===== + a 5*e on

toda e##a independiente. Sin em3aro+ la probabilidad de "ue salga impar negro1 impar blan-

co y "ue la suma sea parer( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) == $AB&$BAA$AB&$A&$A

( ) ( ) ( )&$A

G

1

2

1

2

1

2

1

F

11

2

1

2

1==== + a 5*e e# 5*e #a *ma

ea par %a3iendo a#ido 3#anco e impar nero e impar e

Definiciones y conceptos. Pgina.- iii


4/12


( ) ( )E$AB& = . L*eo #a independencia de3e pedire+ no o#opara #o *ceo do a do+ ino tam3in para #a terna.

Probabilidad compuesta:#a pro3a3i#idad de 5*e e prod*(can m*c%o *ce-o a #a "e(+ er:

( ) ( ) ( ) ( )1n21n219121n

1i

i AAABAAABAABAAA =

=

Obser!acin/2:no con/*ndir *ceo incompati3#e con *ceo indepen-diente+ a 5*e para #o primero A $ = + mientra 5*e para #o e*n-do ( ) ( ) ( )$A$A =

Probabilidad total:por #o enera#+ *n *ceo no oc*rre de manera ai#ada ino5*e para 5*e ee *ceo oc*rra e %an de ana#i(ar di"ero %ec%o+ moti"o+ cir-c*ntancia ai#ada+ pero toda determinante de 5*e p*eda oc*rrir dic%o *ceo.or e8emp#o+ *n a"i6n a# aterri(ar o a# depear e p*ede etre##ar por c*#pa de #o

pi#oto+ por e# etado de #a r*eda de# tren de aterri(a8e+ por #a nie3#a+ #a ##*"ia o e#%ie#o+ etc. HSean 1 2 9 nA + A + A + + AL *n itema comp#eto de *ceo+ e decir 1 2 nA A A E =L + adem i 8A A = . ara *n *ceo c*a#5*iera $+ e tiene 5*e

( )1 2 n$ E $ $ A A A $ = = L ( ) ( ) ( )1 2 n$ A $ A $ A $ =L + por con-

tit*ir 1 2 9 nA + A + A + + AL *n itema comp#eto de *ceo+ entonce #o *ceo( ) ( ) ( )1 2 n$ A + $ A + + $ A L on incompati3#e entre i+ por #o 5*e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

1 1 2 2 n n i ii 1

$ A $ B A A $ B A A $ B A A $ B A=

= + + + = L + 5*e e

#a pro3a3i#idad tota#.

3rmula de *ayes:para *no c*a#5*iera de #o *ceo A8e "eri/ica iempre5*e:

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

8 8 8

8 n

i i

i 1

$ A A $ B A A B $

$ A $ B A=

= =

a 5*e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 8 8 8 A $ A $ B A $ A B $ = = + "er o3er"a-

ci6nJ9 . Ka 5*e ditin*ir #a e@preione

( )8 A + e #a probabilidad a priori. !o #a dan.

( )8 A B $ + e #a probabilidad a posteriori. !o #a piden.

( ) ( )8 8 A $B A + on #a verosimilitudes. Se ded*cen de #o datoinicia#e.

( ) $ + e #a probabilidad total. Se ca#c*#a como e %a "ito anteriormen-

te.

)4emplos de aplicacin: ),.-de #a /6rm*#a de $ae:

Definiciones y conceptos. Pgina.- i"


5/12


4enemo ei ca8a 5*e contienen cada *na doce 3om3i##a en tota#+ entre3*ena /*ndida. na ca8a contiene G 3*ena F /*ndida. Do ca8acontienen 3*ena /*ndida. E# reto+ 9 ca8a+ contienen F 3*ena G/*ndida. Se e#ie *na ca8a a# a(ar e e@traen tre 3om3i##a in reemp#a-(amiento+ e# re*#tado e 5*e 2 on 3*ena 1 et /*ndida. &*# e #a

pro3a3i#idad de 5*e #a ca8a e#eida contena e@actamente 3*ena /*ndidaN. ucesos+ &Ce@traer do 3om3i##a 3*ena *na /*ndida+ AiCecoer

*na ca8a de# tipo i+ $iCacar *na 3om3i##a 3*ena a #a i-ima.

Probabilidades a priori+ ( ) ( ) ( )1 2 91 1 1

A A A 9 2

= = =

E# con8*nto { }1 2 9E A +A +A= e *n sistema completo de sucesos+ a

5*e ( ) ( ) ( ) ( )1 2 91 1 1

E A A A 1 9 2

= + + = + + =

4ener en c*enta 5*e e# *ceo e#eir *na ca8a de# tipo 1+ 2 o 9 esindependiente de la forma en "ue se e$traen las bombillas+ 5*eta e e@traen in reemp#a(amiento.

Probabilidad total

( ) ( )( )( ( )( ) ( )( )1 1 2 9 1 1 2 9 1 1 2 9 & A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $= ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 9 2 1 2 9 2 1 2 9A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $ ( )( ) ( )( ) ( )( ))9 1 2 9 9 1 2 9 9 1 2 9A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $ como

cada *no de #o *ceo encerrado entre parntei entre *nione+ sonincompatibles entre si+ entonce #o anterior e tran/orma en

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 9 1 1 2 9 1 1 2 9 & A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 9 2 1 2 9 2 1 2 9 A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 1 2 9 9 1 2 9 9 1 2 9 A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $+ + + +cada uno de los sumandos son las !erosimilitudes. A #a "eroimi#i-t*de dearro##ada ern:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 9 1 1 2 9 1 1 2 9 & A A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 9 1 2 1 1 2 1 9 1 2 A $ $ B $ $ B $ $ A $ $ B $ $ B $ $= +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 9 1 21F

A $ $ B $ $ B $ $1O

+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 9 2 1 2 9 2 1 2 9 & A A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 9 1 2 2 1 2 1 9 1 2 A $ $ B $ $ B $ $ A $ $ B $ $ B $ $= +

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 9 1 29

A $ $ B $ $ B $ $22

+ =

Definiciones y conceptos. Pgina.- "


6/12


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 9 1 2 9 9 1 2 9 9 1 2 9 & A A $ $ $ A $ $ $ A $ $ $ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 1 2 1 9 1 2 9 1 2 1 9 1 2 A $ $ B $ $ B $ $ A $ $ B $ $ B $ $= +

( )

( ) ( ) ( )9 1 2 1 9 1 2

A $ $ B $ $ B $ $

OO+ =

&on #o 5*e #a pro3a3i#idad tota# er ( )1F 9 10

&1O 22 OO 990

= + + =

La pro3a3i#idad a poteriori pedida e

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2

9 & A A & B A FO22 A B &

10 & & 10990

= = = =

or diarama de r3o#:

10

9P11

F210

9G

121

P10

9F11

2

91 10

9

P10

9G

11 2

FF 10

12 91

$$ 1 G P F 1F

$ tota# 12 11 10 FO

$1 G F P 1F

$ tota# 12 11 10 FO$

$tipoJ1

1 F G P 1F$ tota#

12 11 10 FO$$$

=

=

=

G10

9911

2 210

9

$$

$

4ener en c*enta para e# c#c*#o: Si*iendo *na mima rama #a pro3a3i#idade 5*e no encontremo

e "an m*#tip#icando

A# cam3iar de rama #a pro3a3i#idade 5*e e ac*m*#en en #a mimamediante prod*cto e *man en e# tota#. ara e# reto de #a "eroimi#it*de:

Definiciones y conceptos. Pgina.- "i


7/12


F10

9O11

210

9

121

O

109

112

O1 10

9 9

O10

911

2

O 10

12 91

O11

$$ 1 O 1

$ tota#9 12 11 10 22

$1 O 1

$ tota#9 12 11 10 22$

$tipoJ2

1 O 1$ tota#

9 12 11 10 22$

$$

=

=

=

10

9

2 F10

9

$$

$

210

9911

G210

9F

121

910

9G11

2

P101

2 9

910

9F11

2

PG 10

12 91

P11

$

$ 1 F 9 G 2$ tota#

2 12 11 10 OO$

1 F G 9 2$ tota#

2 12 11 10 OO$

$

tipoJ91 G F 9 2

$ tota#2 12 11 10 OO$

$$

= =

=

F

109

2 10

9

$$

$

A p*e ( )11F 1F 1F 1F

& AFO FO FO 1O

= + + = + ( )21 1 1 9

& A22 22 22 22

= + + = +

( )9 2 2 2 & AOO OO OO OO

= + + =

&on #o 5*e #a pro3a3i#idad tota# er ( )1F 9 10

&1O 22 OO 990

= + + =

Lo diarama de r3o# a*dan m*c%o a ac#arar #a idea+ pero oc*pan m*-c%o epacio para 5*e ean c#aro+ de3en er#o+ p*e en cao contrario #o;nico 5*e %aran era comp#icarno m #a coa.

).-de $ae. A *na pr*e3a de e#ecci6n de perona# ac*den perona con in tit*#a-

ci6n. Se a3e 5*e #a pro3a3i#idad de 5*e *n tit*#ado *pere #a pr*e3a e de#

Definiciones y conceptos. Pgina.- "ii


8/12


0Q+ #a de 5*e *n no tit*#ado #a *pere e de# F0Q. Si #a pro3a3i#idad de5*e *n indi"id*o+ e#eido a# a(ar+ *pere #a pr*e3a e de# FGQ+ ca#c*#ar #a

proporci6n de indi"id*o tit*#ado #a pro3a3i#idad de 5*e ea *n no tit*-#ado+ a3iendo 5*e no %a *perado #a pr*e3a. ucesosACtener tt*#o $C*perar #a pr*e3a.

Probabilidades a priori ( ) $ B A 0.= + ( ) $B A 0.F= ( ) $ 0.FG=

istema completo { } { }E A+A $+$= Probabilidad total

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) $ A $ A $ A $ A $= = + =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) A $B A A $ B A A $B A 1 A $ B A= + = +

De donde ( )

( ) ( )

( ) ( )

$ $B A 0.FG 0.F A 0.F $B A $ B A 0. 0.F

= = =

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

A $ A $B A 0. 0. A B $

$ $ 0.O2 19

= = = = + a 5*e

( ) ( ) $ B A 1 $ B A 1 0.F 0.= = = ).-te6rico.

Sean A $ do *ceo o3re ( )+ + + donde ( ) ( ) A 0.P $ 0.O= = .

*eden er A $ incompati3#eN. Si A $ on independiente+ ca#c*#ar #apro3a3i#idad de 5*e e de *no de e##o. Si ( ) ( ) ( ) ( )A $ A $ 0 A $ A $ 1.2 = = = + = + #o

c*a# e a3*rdo A $ + no on incompati3#e.

( ) ( ) ( ) A $ A $ = + por er independiente+ con #o 5*e #a pro3a-

3i#idad de 5*e oc*rra *no o#o er ( ) ( ) ( )( ) *no o#o A $ A $= =( ) ( ) A $ A $= + + como+ por otro #ado+ a3emo 5*e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A $ A $ A $ A A $ A A $= + = =

+ con #o 5*e ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) A $ A 1 $ A $ = =

+ de i*a# modo( ) ( ) ( ) A $ $ A = + no 5*eda de/initi"amente 5*e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *noi o#o A $ A $ 0.P 0.O 0.9 0.O 0.O= + = + =

)0.-Sean A $ do *ceo independiente. Son tam3in independiente A

$ . odemo poner 5*e ( ) ( ) ( ) A $ 1 A $ = N. A $ independiente ( ) ( ) ( ) A $ A $ = + por otro #ado

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A $ A $ A A $ A $= = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) A $ A A $ A 1 $ A $ = = =

+

Definiciones y conceptos. Pgina.- "iii


9/12


#*eo i on independiente. De i*a# modo e p*ede demotrar 5*e #o*ceo A $+ A $ tam3in #o on.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A $ A $ A $ A $ A $ = + = +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) A $ A 1 $ $ A $ 1 $ = + = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) A $ $ A 1 1 1 $ 1 A 1 A $ = + = =

como 5*eramo demotrar. )2.-n 8*ador de /;t3o#+ epecia#ita en #an(ar pena#ti+ mete F de cada O 5*e

tira. ara #o pr6@imo tre pena#ti 5*e tire+ e conideran #o i*iente*ceo ACmete o#o *no de e##o+ $Cmete do de #o tre &Cmete e#

primero. Ka##a #a pro3a3i#idad de #o *ceo A $+ A & $ & .

L#amemo M a meter e# pena#ti , a /a##ar#o. ( ) ( )F F 1

M , 1O O O

= = = +

de# en*nciado. E# diarama de r3o# era:F

O

FO

1O

FO

FO

1O

1O

FO

FO

1O

1O

F F F FM MMM

O O O 12OMF F 1 1

, MM,O O O 12O

MF 1 F 1

M M,MO O O 12O,

F 1 1 F, M,,

O O O 12O1 F F 1

M ,MMO O O 12OM

1 F 1, ,M,

O O O,

=

=

=

=

=

F

O

1O

1O

F

12O

1 1 F FM ,,M

O O O 12O,1 1 1 1

, ,,,

O O O 12O

=

= =

De donde { }A M,,+ ,M,+ ,,M= + { }$ MM,+ M,M+ ,MM= { }& MMM+ MM,+ M,M+ M,,= .{ }A $ M,,+ ,M,+ ,,M+ MM,+ M,M+ ,MM =

A $ = + { }A & M,, = { }$ & MM,+ M,M =

L*eo+ no 5*eda:

Definiciones y conceptos. Pgina.- i@


10/12


( )F 1 1 12

A 9O O O 12O

= = + ( )F F 1 FG

$ 9O O O 12O

= = + ( )F 1 1 F

A &O O O 12O

= = +

( )F F 1 F 1 F 92

$ &O O O O O O 12O

= + =

( ) ( ) ( ) ( )

12 FG 0

A $ A $ A $ 012O 12O 12O = + = + + =

)5.-En *na c#ae de in/anti# %a nia 10 nio. Si e ecoen tre a#*mnoa# a(ar+ &*# e #a pro3a3i#idad de 5*e ean #o tre nioN. do nio *naniaN. a# meno *n nioN. S*ceo !iCnio a #a i-ima+ niCnia a #a i-ima

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 9 1 210 G 9

9 nio ! ! B ! ! B ! !1 1O 1F 1F

= = =

( ) ( ) ( ) ( ) 2!1n !!n !n! n!! + #a tre on e5*ipro3a3#e+ #*eo no 5*edar

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 9 1 2 10 2P 2!1n 9 ! ! B ! n B ! ! 91 1O 1F O

= =

( ) ( ) ( )1 2P

a# meno *n nio nin;n nio 1 tre nia 12G 2G

= = = = + a 5*e

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 9 1 2 O F 1

tre nia n n B n n B n n1 1O 1F 2G

= = =

Definiciones y conceptos. Pgina.- @


11/12


Ao acadmico: 200F-200O I.E.S. La EraDepartamento Didctico de

Matemtica!i"e#: $ac%. &&SSComplementos terico-prcticos. Tema:lgebra de Bool y Leyes Morgan'ea#i(ado por: D. )*an )o Mennde( Da(+ Ldo. en &&. ,ica por #a .&.M. pro-/eor areado de Matemtica en E.S.

6eyes de Morgan y lgebra de *ool:ean A $ do *ceo de *n e@peri-mento a#eatorio c*o epacio m*etra# e ). uceso seguro: con8*nto )+ epacio m*etra#+ contiene a todo #o *ceo

e#ementa#e+ por tanto+ oc*rrir iempre. uceso imposible: e e# con8*nto "aco + no poee *ceo e#ementa#e.

7nin de sucesos: A $ + e e# *ceo /ormado por #o re*#tado de# e@pe-rimento 5*e pertenecen a a#*no >*no a# meno? de #o *ceo A $.

A E E = A A =

cA A A A E = =

%nterseccin: A $ + e e# *ceo /ormado por #o re*#tado de# e@perimento5*e pertenecen im*#tneamente a #o do *ceo A $. A E A =

A =

cA A A A = =

Diferencia: A $ + e e# *ceo /ormado por #o re*#tado de# e@perimento5*e pertenecen a A no a $. ( ) ( ) ( )A $ A $ $ A A $ =

cA $ A $ A $ = =

uceso contrario: cA A E A= = + e e# *ceo /ormado por #o re*#tadode# e@perimento 5*e no pertenecen a A. 4am3in e denomina suceso comple-mentario.

ucesos incompatibles:e dice 5*e do *ceo A $ on incompati3#ec*ando A $ = .

6eyes de Morgan:

( ) ( )c c cA $ A $ A $ A $ = = =

( ) ( )c c cA $ A $ A $ A $ = = =

&esto de propiedades: >R#e3ra de $oo#? Conmutati!as: A $ $ A = + A $ $ A =

'sociati!as: ( ) ( )A $ & A $ & = + ( ) ( )A $ & A $ & =

%dempotentes: A A A = + A A A =

'bsorcin: ( )A A $ A = + ( )A A $ A = + tam3in e #a

denomina de simplificacin.

Distributi!as: ( ) ( ) ( )A $ & A $ A & = + para #a interec-

ci6n ( ) ( ) ( )A $ & A $ A & =

Definiciones y conceptos. Pgina.- i


12/12


)lementos neutros: A A = + A = + A E A = + por ;#ti-mo A E E = .

Complementacin: cE E= = c E = =

%n!olucin: ( ) ( )c

cA A A= =

Propiedades de las probabilidades: ( ) ( ) ( ) ( ) A $ A $ A $ = + + para *ceo compati3#e+ para

*ceo incompati3#e ( ) ( ) ( ) A $ A $ = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A $ A $ B A $ A B $ = = + para *ceo depen-

diente+ para *ceo independiente+ ( ) ( ) ( ) A $ A $ =

)4emplos grficos:

Definiciones y conceptos. Pgina.- ii

'

*A $A $

'

*' *A $

' ' '

** *

CC C

( ) ( ) ( )A $ & A $ A & =

A $A &

( ) ( ) ( )A $ & A $ A &

=

A $ A &

''

'

* **

CC

C

'

'c

)

' *

$ AA $ A $

( ) ( ) ( )A $ A $ A $ $ A

=

ensayos probabilisticos

Documents

Transcript of ensayos probabilisticos