Ensayo Final Formación Profesores

CIMA UAEH Didáctica de la Matemática Maestría en Ciencias Matemáticas y su Didáctica Marcos Campos

“La Formación de Profesores de Matemáticas con un

enfoque en lo Histórico y Epistemológico” Una

Alternativa para Mejorar la Calidad de la Educación.

INTRODUCCIÓN:

El Sistema Educativo Nacional (SIEN) en México está organizado en tres grandes

niveles: educación básica, educación media superior, y educación superior, los

cuáles se integran de la siguiente forma:

Educación básica, comprende los servicios de preescolar, primaria y secundaria y

concentra la matrícula más numerosa de todo el sistema educativo. También

incluye los servicios de educación inicial, educación especial y educación para

adultos. La Educación Secundaria constituye los tres últimos grados de la

educación básica. Desde 1993 es obligatoria y se imparte a la población de entre

12 y 16 años de edad que concluyó la primaria.

La Educación media superior está conformada por tres servicios: el bachillerato

general, el bachillerato tecnológico y la educación profesional técnica. La mayor

parte de estos servicios se imparte en tres años pero hay algunos con dos años de

duración. Para cursar este nivel es indispensable haber concluido la educación

secundaria y la mayoría de las escuelas exige la presentación de un examen de

admisión.

En la Educación superior, el objetivo es formar profesionales en las diversas áreas

de la ciencia, la tecnología y la docencia. Para ello el nivel se divide en: educación

universitaria, educación tecnológica y educación normal. En este rubro también se

ubica el postrado, que incluye los estudios de especialidad, maestría y doctorado.

La Enseñanza de las Matemáticas en el nivel medio superior implica que los

alumnos que provienen de la educación secundaria, debieron haber desarrollado

de manera amplia el pensamiento numérico, algebraico y geométrico, ya que

desde edades tempranas se debió haber estimulado; basta recordar que desde el

nivel preescolar el niño es expuesto a objetos de diferentes formas y tamaños,

hace conjuntos de cosas y es capaz de discernir sobre cual tiene más o menos

elementos.


Posteriormente en la educación primaria él debe desarrollar de alguna manera

habilidades algebraicas al tener que encontrar cantidades desconocidas aunque

no les designe propiamente como variables o incógnitas. Durante su enseñanza

secundaria, el adolescente debe formalizar conceptos como incógnitas o variables,

desarrolla habilidad para comprender teoremas algebraicos y geométricos y en

general debería llegar totalmente preparado para ampliar los conocimientos en

ramas elementales de las matemáticas como el estudio del álgebra y geometría de

nivel medio superior.

Por desgracia, la triste realidad a la que nos enfrentamos los docentes de

bachillerato es que los alumnos que nos llegan, tienen un cúmulo de

conocimientos mal estructurados y aislados entre sí, que no presentan relación

alguna entre los mismos. Si a esto los profesores del nivel medio superior

contribuimos aportando conocimientos matemáticos que parecieran estar

desarticulados entre sí y con la realidad, el alumno ingresará en el mejor de los

casos al nivel superior con serias deficiencias que impedirán su correcto

desenvolvimiento.

Schleider (2005) en el reporte del panorama de la educación en México,

menciona: “Los estudiantes con una capacidad para las matemáticas por debajo

de nivel 2 en la escala de evaluación de PISA es probable que encuentren graves

problemas al utilizar las matemáticas en su vida futura […] La proporción con

capacidad insuficiente varía extensamente, de por abajo del 10% en Finlandia y

Corea, a por arriba del 60% en México”

Schleider (2005) menciona: “ Dentro de los países de la OCDE, en matemáticas,

Finlandia, Corea y los Países Bajos lograron puntuaciones promedio

estadísticamente similares (entre 538 y 544 puntos) significativamente por arriba

de la puntuación promedio de los otros países de la OCDE. Otros once países

tienen puntuaciones medias que están por encima del promedio de OCDE, otros

cuatro obtuvieron el nivel promedio, mientras que las once restantes tienen un

desempeño significativamente por debajo del promedio de la OCDE. México

obtuvo la puntuación media más baja en la escala de las matemáticas (385) […]

En promedio de los estudiantes que concluyen la educación preparatoria,

vocacional o su equivalente, en donde México continúa con la Tasa más baja de la

OCDE, sólo un 25% de los mexicanos entre 25 y 34 años de edad tienen la

educación vocacional o preparatoria, comparado con el promedio de 75% de la

OCDE”.


No es de extrañarse que tras la problemática detectada se aborde a nivel

Latinoamérica el problema del aprendizaje de las matemáticas en la búsqueda de

entenderlo mejor y poder atacar algunas de sus componenentes.

Por medio de la observación directa, en la práctica docente cotidiana, se ha

percibido que en la transición del nivel secundaria al bachillerato un buen

porcentaje de estudiantes desertan de la escuela, y entre las múltiples causas que

manifiestan, una de las principales es la dificultad para aprobar los cursos de

matemáticas en los primeros 3 semestres. Los estudiantes de nivel medio superior

que cursan matemáticas, no perciben la concatenación que existe entre los

diferentes saberes de las ramas elementales de la Matemática (aritmética,

álgebra, geometría y trigonometría) lo cual dificulta la adquisición de nuevos

saberes matemáticos.

Blacker (2005) sostiene que: “el alumno concibe la matemática como un Universo

cuyos contenidos se encuentran totalmente fragmentados y separados, sin

relación entre sí, como: Lógica, Conjuntos, Relaciones, Aritmética, Álgebra,

Geometría y Trigonometría”.

El problema de la desarticulación de saberes matemáticos tiene varias

componentes que no solo atañe al estudiante, pues él es sólo un actor dentro

proceso enseñanza-aprendizaje en el sistema educativo mexicano, y no basta con

justificar que los alumnos no aprenden por falta de interés o de empeño; el

profesor es el otro actor importante y juega un papel protagónico en éste proceso.

Si el profesor no advierte la concatenación entre saberes matemáticos y no tiene

claro los conocimientos previos que poseen los alumnos, ni los que deberá poner

en juego en le siguiente curso de Matemáticas, la situación se complica.

Al respecto Blacker también menciona: “en algunos temas de álgebra el alumno

resuelve los problemas con procesos aritméticos, pero usualmente el profesor no

los acepta porque están en álgebra y los procesos deben ser algebraicos. En otros

casos el alumno resuelve algunos problemas en Geometría con procesos

algebraicos, pero el profesor no los acepta porque están en Geometría […] En

este sentido el alumno desconoce la relación que existe entre los datos simbólicos

y no puede extraer la información contenida en la expresión matemática. No hay

comprensión de la información expresada en el lenguaje matemático”

¿Cuáles son los factores que impiden que los estudiantes de cursos de

Matemáticas logren integrar los “conocimientos matemáticos” que han aprendido

en un todo? ¿Cómo se puede mejorar el aprendizaje de las Matemáticas entre

nuestros estudiantes? ¿Cómo influye la concepción que tienen los estudiantes

sobre la Matemática, y la concepción del propio profesor? ¿Qué se puede


proponer para mejorar resultados tan pobres como los que se presentan en la

prueba PISA o ENLACE? A continuación se exponen algunas ideas sobre la

importancia de la formación de Profesores de Matemáticas, para combatir las

problemáticas mencionadas.

Desarrollo

Los resultados de la primer prueba ENLACE aplicada a estudiantes de educación

media superior ya están computados, a nivel nacional, los estudiantes que

alcanzaron el nivel de “Excelente” en la prueba de habilidad matemática es

apenas del 2.39%, la prueba la presentaron un total de776, 284 estudiantes de

todos los subsistemas del nivel medio superior; 9.32% del total se ubicó en el nivel

de “Bueno” en habilidad matemático, el resto está entre “Elemental” e

“Insuficiente”

El problema es grave, haciendo un análisis de los resultados, no se le puede

“achacar” a una sola causa, simplemente el llamado “grado de marginación” que

se entiende como la situación socioeconómica de la zona geográfica en que los

estudiantes estudian, no puede ser causal, dado que los resultados positivos no se

han distribuido de manera uniforme entre las zonas de menor marginación, lo

mismo hubo buenos y malos resultados en localidades rurales y urbanas, escuelas

públicas y privadas, bachilleratos generales y tecnológicos; la problemática va más

allá de culpar un solo factor a uno de los actores; no se puede atribuir los malos

resultados solamente a los estudiantes o a los profesores; no contemplar a los

padres de familia y pensar que ellos no inciden de alguna manera en la

problemática sería un grave error.

Es un error pensar por otro lado que los profesores de matemáticas inciden mas

bien poco en los malos resultados y el bajo rendimiento de sus estudiantes, pese a

lo que suelen presentar las estadísticas, pensemos por un momento, si los

estudiantes de nivel medio, que es el nivel en el que ya se suele tener un

evaluación por parte de los estudiantes para el desenvolvimiento de sus

profesores, evaluaran cotidianamente con una calificación baja a sus docentes de

matemáticas, las instituciones escolares ya hubieran tomado cartas en el asunto,

podemos asumir que en términos generales, los estudiantes que han tenido malos

resultados en pruebas como PISA o ENLACE, evaluaron positivamente a sus

profesores.

Para reforzar lo anterior, se cita los resultados de una encuesta realizada a

Prestadores de Servicios Profesionales (Profesores) que el subsistema de


bachillerato CONALEP realizó a 3,070 de los estudiantes de sexto semestre de la

generación 2000-2007 (quienes presentaron la prueba ENLACE) a nivel nacional:

El 41.63% calificó a sus profesores como “Excelentes” los calificaron como “Muy

Buenos” y el 18.21% como “Buenos” en ese mismo estudio se estableció que el

83% del cuerpo docente tenía estudios superiores (10% posgrado, 49%

licenciatura y 24% pasantes), el 14% tenía estudios de nivel medio y el 3% fue

clasificado como “otros” Faltan otros estudios que correlacionen por ejemplo el

perfil de los profesores de matemáticas con los resultados, pero pese a que la

estadística puede ser favorable, se propone que todos los profesores de

matemáticas en todos los diferentes subsistemas, homogeneícen conocimientos,

estrategias didácticas, recursos, etc. si bien se ha tratado de atacar una de las

componentes de la educación media superior en México a través de la reciente

Reforma de Bachillerato, la cual pretende estandarizar currículo, trámites, etc.

entre los tan diversos subsistemas ¿por qué no apostar por la “estandarización” en

cuanto a conocimientos y prácticas docentes?

Para proponer un programa masivo de formación docente, a cualquier nivel, la

preocupación es ¿en qué vamos a formara a los profesores de matemáticas? ¿en

qué nos vamos a basar, en lo que ellos enseñan, en lo que los alumnos aprenden,

en cómo lo enseñan, con que recursos o herramientas?, etc.

Creemos firmemente que el profesor de matemáticas, sin ser un matemático

profesional, un investigador en matemática pura, o alguien que demuestra

Teoremas no antes demostrados, etc. (como se mencionará más adelante) debe

ser sin embargo un gran conocedor del contenido matemático que enseña y más,

por otro lado, un cúmulo de conocimientos por parte de una persona, no implica

después que sea capaz de transmitirlos; por último, si el profesor no tiene

conocimientos sólidos en Historia de la Matemática y no es capaz de implementar

en el aula de clases actividades similares a las que históricamente fueron

permitiendo el surgimiento de los distintos saberes matemáticos, ¿cómo

contestará a las preguntas de los estudiantes curiosos - que siempre hay- de

cuándo surgió o cómo surgió +o por qué surgió tal concepto matemático?

Es por lo anterior que la formación de profesores en matemáticas deberá girar en

torno a esas tres componentes: Contenido Matemático, Didáctica de la

Matemática e Historia de la Matemática, se pretende desarrollar y discutir algunas

ideas relacionadas a estos componentes, citando a algunos de los teóricos más

recocidos en esos campos a continuación:

La Matemática es una actividad sociocultural (Chevallard, 1997) y como tal se

deben involucrar no solo estudiantes y profesores, sino que en un sentido más


amplio, si se toma en cuenta la Teoría de la Transposición Didáctica de Chevallard

(TAD), la transposición que se lleva desde el saber erudito o también denominado

sabio (en particular los saberes matemáticos), hasta volverse un saber enseñando

por parte de los profesores de matemáticas (en el aula de clases), involucra la

participación de Matemáticos profesionales, posteriormente los investigadores en

educación matemática, los escritores de libros de texto, los expertos en diseño

curricular, la escuela como tal por parte de sus autoridades y los padres de familia,

también participan en esta transposición.

Muchos alumnos piensan que las Matemáticas son eternas y estáticas, que hablan de verdades inmutables y que en ellas todo está ya descubierto. Piensan que los Matemáticos son como semidioses dedicados a una ciencia fría, extraña, poderosa e incomprensible para la mayoría de la gente. Pero …. ¿Fomentamos nosotros esa idea dejando a un lado la Historia de las Matemáticas y dando la idea, por omisión, de que éstas son atemporales?, o por el contrario ¿contamos en nuestras clases las necesidades y los problemas reales que hicieron pensar e investigar nuevos métodos matemáticos a personas reales, con fecha y lugar de nacimiento? Santiago Medrano (1972) en su libro “Modelos Matemáticos” menciona: Si un

estudiante reprueba asignaturas que se entienden de carácter teórico como por

ejemplo: historia, español o biología, los padres de familia recriminan al estudiante

dando argumentos como el siguiente “¿cómo haz reprobado un curso tan fácil que

solo implica que leas?”, en cambio cuando reprueban el curso de Matemáticas, lo

disculpan diciendo algo como “no importa, las matemáticas son difíciles, yo por

soy abogado o estudié comunicación”

Cabe notar, el año en que fue escrito lo anterior, y parece ser un patrón que se

repite hasta nuestros días; claro está que cambiar la mentalidad de los millones de

padres de familia en México se antoja una tarea ardua y difícil, sin embargo es

más factible pensar en la formación de profesores, particularmente de nivel medio

superior, esperando que ellos influyan en la forma de pensar de sus estudiantes, y

a su vez sean los estudiantes quienes influyan en la forma de pensar de sus

padres.

¿Qué hacemos en nuestras clases? Ya sabemos que uno de nuestros intereses es que nuestros alumnos aprendan técnicas matemáticas necesarias que les ayuden a resolver problemas con los que se enfrentarán en otras asignaturas de su carrera: cálculo, álgebra, geometría…, pero también deberíamos desear que nuestras clases incentivaran el desarrollo integral del alumnado, es decir, tanto su desarrollo intelectual como cultural, y para esto podemos utilizar como instrumento la Historia de las Matemáticas.


La historia de las cifras, de los sistemas de numeración, de los signos y el lenguaje algebraico, así como problemas clásicos que surgieron en diversas épocas, la vida y obra de matemáticos … todo vale, cualquier cosa que les haga ver que las Matemáticas son una ciencia fluida, siempre en movimiento, cautivadora y por supuesto que ha llevado a la humanidad a logros que eran impensables en otros tiempos, y que los matemáticos han influido y siguen influyendo en el avance y en la historia de la humanidad tanto o más que cualesquiera otros científicos, pensadores o artistas. Es usual que el profesor encuentre algún concepto matemático que es especialmente difícil de comprender para el estudiante. Generalmente al alumno se le presenta este concepto en su última forma, obviándose el proceso histórico de su construcción. Autores como Fauvel (1991) reconocen que los obstáculos históricos ayudan a explicar lo que los alumnos hoy encuentran dificultoso. Clinard (1993) considera que las inconveniencias que un alumno tiene en relación con cierto objeto matemático, tienen semejanza con las dificultades históricas que este objeto presentó durante su creación y posterior evolución. Así, el estudio de obstáculos de índole epistemológica, referidas a un concepto matemático, a menudo ayudan a explicar las incomprensiones que presentan los alumnos en torno a este concepto. Al respecto, Ernest señala que la Historia de la Matemática puede señalar al docente o investigador elementos matemáticos potencialmente problemáticos para la comprensión de los alumnos. Este autor cita a modo de ejemplo, el concepto del número cero, el cual tomó a la humanidad mucho tiempo y esfuerzo desarrollar, mismo que es para los alumnos fuente de obstáculos epistemológicos. Otro ejemplo indicado por el autor es la extensión del sistema numérico de los naturales a los enteros y luego de los enteros a los racionales, proceso que es dificultoso en su construcción conceptual en los procesos de enseñanza-aprendizaje, al igual que presentó obstáculos en su desarrollo conceptual histórico. Para Bruno D’ Amore El profesor de Matemáticas no es un creador de teoremas ni

de teorías, es un profesional, experto en Matemática, a quien la sociedad le propone de hacer sí que los jóvenes ciudadanos construyan y aprendan a usar competencias matemáticas. En primer lugar, él debe conocer la Matemática, no obstante sobre este punto se hayan presentado diversas posiciones, yo lo juzgo un punto de partida al que no se puede renunciar (D’Amore, 1999a). “Cómo” se aprende la Matemática no es sólo un problema psicológico, pedagógico o didáctico, como ingenuamente se podría pensar en un primer momento, porque el “cómo” está estrechamente ligado al “qué”, el aprendizaje matemático es también un hecho que tiene que ver con la Epistemología; por ejemplo, hay


quienes creen que el aprendizaje de la Matemática puede reducirse únicamente a cálculos (en diversos niveles), como si este fuera el sentido de la Matemática […] ¿cómo podemos pensar que un joven llegue a construirse conocimiento matemático?. En una visión epistemológica realista, esta posición podría incluso encontrar un puesto, dado que los conceptos matemáticos son el punto de llegada ideal; mientras que en una visión pragmática el concepto es la construcción personal obtenida en cada momento (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2001; D’Amore, 2003a), en el paso de una relación personal con el saber, hacia una relación institucional, en una visión antropológica (Chevallard, 1992). El profesor tiene dos papeles principales que consisten en: Efectuar una transposición didáctica; el profesor no puede limitarse

banalmente a repetir la Matemática aprendida en la Universidad (su lugar de formación cultural, en lo que concierne a la Matemática); él debe transformar la Matemática (el saber matemático elaborado durante su formación académica) en un saber que sea adecuado a los alumnos que tiene bajo su cargo, es decir, él debe transformar el Saber en un “saber de enseñar” (D’Amore, 1999b); esta transformación no es un hecho banal, por el contrario, es ampliamente creativa y forma parte estrechamente de la profesionalidad del docente (Fandiño Pinilla, 2002);

Comunicar la Matemática; todos nosotros sabemos que, en una situación

de aula, el carácter mediador del profesor es mucho más fuerte y que el estudiante casi nunca tiene acceso directo al Saber, limitando su propio empeño a la relación personal con el profesor y al aprendizaje de la Matemática que el profesor ha elegido para él (en forma más o menos consciente, más o menos vinculada); por tanto, el paso de la Matemática enseñada del docente al aprendiz se da en una situación comunicativa por demás fuerte, dominada por las complejas redes de la pragmática de la comunicación humana (Watzlawick, Beavin, Jackson, 1976).

El profesor de matemáticas no puede olvidar que su tarea fundamental no es explicitar lo que sabe, sino construir unas situaciones apropiadas de aprendizaje para el alumno, es decir que además de “matemáticas” el profesor debe conocer los procesos de aprendizaje de la matemática en la mente humana. Muchos de los problemas que se le plantean al profesor de matemáticas no caen sólo de manera pura dentro de una sola de las dos dimensiones de la formación del profesor de las que hemos hablado: ♦ ¿Existen en matemáticas procedimientos “rutinarios” y procedimientos “creativos”?


♦ ¿Qué procedimientos mentales básicos nos permitirían caracterizar la actividad matemática? ♦ ¿Son importantes las demostraciones de un teorema: para qué le valen a un estudiante de matemáticas de Secundaria ¿y de Bachillerato o Universidad? ♦ ¿Cómo caminar durante un proceso heurístico –de descubrimiento- con un alumno? ¿Se pueden hacer colectivamente, o es mejor individualmente? ♦ ¿Cómo se produce en los alumnos el salto de lo finito a lo infinito? ♦ ¿Es necesario para los alumnos trabajar sobre lo concreto (ábaco, objetos manipulables, multiplicar con los dedos,.......) o sólo se debe trabajar sobre abstracciones? ♦ ¿Matemática sólo como lenguaje simbólico (o literal) o también se pueden usar representaciones gráficas de objetos? Ciertamente la formación de un profesor requiere de elementos que van más allá de lo disciplinario y que se enmarcan en la metodología del aprendizaje, la didáctica y las ciencias pedagógicas en general. Estos aspectos, si bien son de la mayor importancia, de ningún modo deben opacar lo disciplinario. Un profesor debe saber Matemática, debe conocer su disciplina con tal soltura que le permita sentirse seguro en lo que finalmente va a enseñar. En la preparación de estos estándares hemos tenido en cuenta los siguientes elementos, los que nos han permitido seleccionar material y determinar la profundidad requerida para cada tópico seleccionado: La formación de un profesor debe darle soltura en el manejo de todas las materias que deberá enseñar en el salón de clases. Debe otorgar una preparación sólida que le permita al profesor, en el futuro, enfrentar los cambios curriculares que con certeza se presentarán. Esta formación debe dar la perspectiva que le permita al profesor ubicarse en el contexto de la Matemática, adquiriendo una visión global de la disciplina.

El Profesor de Matemática debe tener un manejo del pensamiento matemático y de los fundamentos de la Matemática que le permitan entender cómo ésta se construye.

El Profesor debe tener una buena noción de los aspectos abstractos de la Matemática, los que muchas veces están desarrollados como una necesidad de responder a preguntas fundamentales, sin tener necesariamente una aplicación práctica inmediata.


El Profesor de Matemática debe tener muy claro el rol de la Matemática en la resolución de problemas de la vida diaria. Debe conocer la enorme utilidad práctica de la Matemática y entender que este aspecto estimula continuamente su desarrollo.

En relación a los dos puntos anteriores, el Profesor de Matemática debe conocer aspectos históricos del desarrollo de la Matemática, especialmente para comprender qué problemas motivaron los desarrollos matemáticos y el contexto en el cual se dieron.

El Profesor de Matemática tiene una clara noción de la importancia de la idea de algoritmo, la cual se hace imprescindible con el advenimiento de los computadores.

El Profesor de Matemática sabe que la disciplina está en constante creación y conoce desarrollos matemáticos recientes, como la teoría del caos y la geometría fractal.

Conclusión

No se ha pretendido descubrir algo nuevo o proponer lo que ha nadie se le había

antes ocurrido, es sin embargo labor de un docente de matemáticas, un futuro

maestro en ciencias en matemáticas con enfoque en didáctica y un investigador

en formación, insistir en la importancia de mirar hacia la formación de profesores,

pero sin caer en los “típicos” cursos de didáctica general en la cual se reúnen

profesores de todas las áreas y en los cuáles se les dan consejos, estrategias, etc.

tanto a profesores de español, inglés, historia,…, como al de matemáticas.

El problema del aprendizaje de la Matemática tiene diversas caras y dimensiones,

es ingenuo pensar que un curso, un diplomado, una especialidad, etc. impartido a

los profesores de una institución, una ciudad, un país, etc. resolverán el problema

clásico de la educación de todos los tiempos, sin embargo el atacar a una de las

componentes de este problema, mediante una capacitación y formación de

profesores de manera sistemática, bien planeada, dirigida por expertos, como los

investigadores en Matemática Educativa, pensamos firmemente puede subsanar

algunas de las eventualidades del macro mundo de la enseñanza de la

matemática a nivel escolar.


BIBLIOGRAFÍA

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Didáctica de las Matemáticas Universidad de Sevilla), Año 2000, Vol 18 , pp (285-

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D’AMORE, Bruno; “El papel de la Epistemología en la formación de profesores de Matemática de la escuela secundaria” Universidad de Bologna, Italia (2007)

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SCHLEICHER, Andreas “Panorama de la Educación 2005. Breve Nota Sobre

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