Como se estudia la Matematica

Octavio Alberto Agustın AquinoUniversidad de la Canada

21 de junio de 2012

Resumen

Se presenta de modo conciso la estructura de los textos matematicosy como se estudian, desde una perspectiva personal.

1. Introduccion

La Matematica ocupa un lugar especial dentro de las disciplinas cientıfi-cas porque, ademas de las aplicaciones que tiene para resolver problemasreales, los que la cultivan le demandan una firmeza extraordinaria. Enpalabras de Isaac Asimov [1]:

En la mayorıa de las ramas de la ciencia, su proceso ha-cia el progreso es tanto de correccion como de extension. [...]Solo en la Matematica no hay correcciones significativas —solamente extension. Una vez que los griegos desarrollaron elmetodo deductivo, fue correcto lo que hicieron, correcto parasiempre. La obra de Euclides es incompleta y su trabajo hasido enormemente extendido, pero no ha tenido que corregirse.Sus teoremas son, cada uno de ellos, validos hasta hoy.

Siendo ası, es de esperarse que los matematicos que se aproximan a untexto con el fin de asimilar material nuevo tampoco procedan como losdemas cientıficos. En consecuencia, no es comun que elaboren resumenes,cuadros sinopticos, mapas mentales o acudan a otros artificios tradicio-nales1 durante su aprendizaje. Una razon es que, aunque tales tecnicas

1Aunque, por supuesto, no niego que esto pueda resultar de utilidad para algunos estu-diantes. Pero es sugerente que los libros de Matematica contienen pocos de estos recursos.

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ayudan a retener y organizar la informacion, no estan pensados para cri-ticarla de manera vehemente ni para sacar conclusiones no triviales de lamisma.

2. Un ejemplo caracterıstico

¿Cual serıa entonces el metodo empleado por los matematicos paraaprender? Con el fin de exponerlo, cuando menos desde mi punto de vista,a continuacion presento un mini-texto estandar de Matematica.

La teorıa de numeros estudia las propiedades de los numeros ente-ros: . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .. A pesar de parecer muy sencillos,estos numeros tienen propiedades misteriosas. Tanto, que algunaspermanecen sin ser demostradas. Una clase especial de numeros,que a continuacion definiremos, ha fascinado a los matematicosdurante milenios.

Definicion 1. Un numero n > 1 se dice primo si sus unicosdivisores son el 1 y el mismo, y compuesto en caso contrario.

Ejemplo 1. Los numeros 2, 3, 5 son primos, mientras que 4, 8, 333son compuestos.

Teorema 1 (Euclides). Hay una infinidad de numeros primos.

Demostracion. Supongamos que hubiera una cantidad finita denumeros primos, digamos P1, . . . , Pn. Entonces el numero Q =P1P2 · · ·Pn+1 es mayor que 1 y no es divisible entre cualquiera deellos, porque deja un residuo de 1 en la division. Pero todo numeron > 1 es divisible entre algun numero primo, ası que alguno de losdivisores de Q es un primo distinto de P1, . . . , Pn. En consecuencia,toda lista finita de primos siempre es incompleta, luego hay unainfinidad de numeros primos.

Ejercicio 1. Demuestre, como se afirma en la demostracion an-terior, que todo numero n > 1 es divisible entre algun numeroprimo.

Lo primero que debe hacerse es leer de manera rapida el texto. Ge-neralmente al principio el autor da una breve introduccion al tema, en elque puede decir por que le interesa o por que puede interesarle al lector.

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A veces tiene fines inspiracionales, otras veces tiene un tono admonito-rio, y en otras tantas refleja la pasion que siente un matematico por suespecialidad.

A continuacion se estructura el texto en torno a secciones claramenteidentificadas como “definiciones”, “teoremas”, “ejemplos”, etcetera. Va-rias de estas etiquetas no necesitan explicacion en cuanto a sus propositos,con la posible excepcion de los teoremas.

Un teorema es, segun Jose Antonio de la Pena [2], una verdad ma-tematica, si bien la palabra viene del griego theorein, que quiere decir“algo a lo que hay que mirar”. En otras palabras, es un hecho que va-le la pena resaltar porque nos dice algo particularmente interesante outil, que no es inmediatamente obvio y que es posible deducir a partirde algunos principios bien establecidos. Tales principios estan contenidosprecisamente en las definiciones o en los lugares marcados como “axio-mas”, “postulados” o “principios”.

Aunque, como dice Asimov, los teoremas una vez demostrados ası que-dan para la posteridad2, en muchos casos los textos presentan algunademostracion. Esto es por dos razones principales:

1. Vencer al escepticismo del estudiante, que hace bien en oponer resis-tencia. Aun si un teorema aparece en un libro y ha sido sancionadopor venerables generaciones de matematicos, uno debe convencersepor sı mismo de la veracidad de las afirmaciones.

2. Mostrar alguna tecnica o estrategia de razonamiento matematico,lo que le ayuda al estudiante en un futuro para anadir conocimientonuevo. En muchos casos las demostraciones ya existentes pueden seradaptadas para los nuevos problemas o inspirar su solucion.

Una vez hecha una lectura de exploracion, es recomendable leer concuidado las definiciones y contrastarlas con los ejemplos. Es decir, com-probar que el autor esta en lo cierto al asegurarnos que un ejemplarsatisface o no las condiciones de la definicion.

Por ejemplo: la primera definicion del mini-texto comienza por afirmarque un numero primo tiene dos divisores: al uno y a el mismo. Si nosdetenemos ahı, resultarıa que todos los numeros son primos. Pero, masadelante, menciona a los numeros compuestos y en el ejemplo exhibeambos tipos de numeros. Eso significa que, por alguna razon, no todos

2O casi. Pero es rarısimo que un teorema falso sobreviva mucho tiempo haciendose pa-sar por verdadero. Hay que diferenciar esto de las conjeturas, que son enunciados que losmatematicos barruntan que pueden ser verdaderos y que se vuelven teoremas hasta que sondemostrados.

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los numeros son primos. Efectivamente: la definicion especifica que “susunicos divisores son el 1 y el mismo”, y es por eso que el 5 es primopero el 8 no. Haciendo la division de 5 entre 1, 2, 3, 4 y 5 vemos que esexacta unicamente cuando el divisor es 1 o 5, mientras que no pasa lomismo con el 8. Puede suceder que un autor no proporcione ejemplos delas definiciones, pero aun ası el estudiante debe tratar de construir lospropios para mejorar su comprension.

Comprendidas las definiciones y exploradas lo suficiente en los ejem-plos, ya es posible estudiar los teoremas y sus demostraciones. Todos losteoremas comienzan por indicar de algun modo sus hipotesis o puntosde partida, y terminan con sus conclusiones o puntos de llegada. Comoen cualquier viaje, es menester identificarlas tan claramente como seaposible.

Continuando con esta analogıa, las demostraciones son como el ca-mino explıcito que hay que seguir para ir del punto de partida al puntode llegada. Hay cabida, por supuesto, para las rutas panoramicas, lasautopistas y los caminos de terracerıa.

Dependiendo del nivel del libro de texto, las demostraciones puedenser mas o menos detalladas. Un estudiante de Matematica debe examinarcon sumo cuidado cada paso de las mismas; si detecta algun salto dema-siado grande para su comprension, debe intentar suplir las etapas inter-medias del razonamiento. En caso de que le sea imposible, puede acudircon su profesor con preguntas muy especıficas, que son mas edificantes ofaciles de responder que el proverbial “no entendı nada, explıqueme desdeel principio”.

Por ultimo se pueden ensayar los ejercicios. Es comun que los primerostengan por intencion construir mas ejemplos para las definiciones o queel estudiante las critique para afianzar su comprension. Enseguida vienenlos que extienden algunos teoremas del texto o rellenan huecos de susdemostraciones. Terminan con algunos ejercicios mas intrincados o en losque es cada vez menos evidente como pueden resolverse a partir de lasdefiniciones y los teoremas ya conocidos.

3. Heurısticas

Hasta aquı todo bien respecto a la estructura y el modo de abordar untexto matematico pero, ¿como resolver los ejercicios? Muchos textos denivel elemental traen las soluciones al final del libro, y eso acostumbra alos estudiantes a pensar que las respuestas en la Matematica son unicas,

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incontrovertibles y accesibles solamente para algunos iluminados.Pero incluso si esto fuera cierto (que no lo es), es de capital impor-

tancia que los estudiantes busquen sus propios caminos para llegar a unresultado. La mala noticia es que la resolucion de problemas (o ejercicios)no es una tarea facil ni hay reglas consagradas en piedra para llevar acabo esta tarea. Lo mejor que se puede hacer es poner en practica lasheurısticas, que son principios razonables que la experiencia ha mostradocomo eficaces para dicho fin.

No entraremos en detalles sobre el tema. Una buena referencia alrespecto son los libros de Polya [4] o el de Zeitz [5]. Pero se puede daruna pequena ilustracion con la demostracion del teorema y el ejerciciodel mini-texto presentado anteriormente.

Algo que pudiera extranar a los principiantes es que muchas demos-traciones empiezan negando la conclusion a la que se quiere llegar. Enel teorema cuya demostracion aparece en el mini-texto, se dice que ladefinicion de primo encierra dentro de sı que hay una infinidad de ellos3.Pero la demostracion comienza ¡negando esto ultimo! Entonces suponeque hay una cantidad finita de primos y termina viendo que la lista ne-cesariamente omite a alguno de ellos. Siendo que no se puede admitiral mismo tiempo que la dichosa lista de primos los tiene a todos y lefalta alguno, no puede ser verdad que hay una cantidad finita de primos.En consecuencia, nos equivocamos al suponer que se podıa terminar derecabar tal lista y la verdad es que hay infinitos primos4.

A esto se le llama “demostracion por contradiccion” o reductio ababsurdum, y una gran cantidad de razonamientos matematicos son deeste estilo. Hasta en la vida diaria es muy socorrida: “No puede ser comotu dices, porque si ası fuera, entonces sucederıa esto y aquello otro. Pero,como no es el caso, estas equivocado”.

Pasemos a examinar el ejercicio. Podemos observar de entrada quetodos los numeros tienen al menos un divisor: a ellos mismos. Para unnumero mayor que 1, digamos el 1313, ¿tendra un divisor que sea el maspequeno posible pero mayor que 1? ¡Claro que sı! Un numero cualquierano tiene una infinidad de divisores, ası que al compilar la lista con los queson distintos de 1 podemos ordenarla y senalar inequıvocamente al mas

3Es decir, la unica hipotesis es la definicion de numero primo, y la conclusion es que hayuna infinidad de numeros primos.

4Vale senalar que lo que demostro Euclides fue que siempre hay mas primos que en cual-quier conjunto finito dado de primos, y que su demostracion no utiliza la reduccion al absurdocomo arma principal. Le agradezco a mi amigo Jose Hernandez Santiago el atraer mi atencionhacia este punto y el artıculo [3] al respecto.

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pequeno de ellos. Para el 1313 tal divisor mınimo es el 13. Ese divisormınimo tiene que ser primo. Si no lo fuera, tendrıa que ser divisible entrealgun numero distinto de el y de 1. Esto es imposible, porque ese “algunnumero” tambien dividirıa al numero original y serıa menor que nuestrodivisor mınimo5. Por lo tanto, el menor divisor (mayor que 1) de unnumero cualquiera tiene que ser primo.

La heurıstica que aparecio aquı se le suele llamar “buscar al elementoextremo”; es decir, el mas pequeno, el mas grande, el mas sencillo, elmas complicado, etcetera. Ese elemento generalmente tiene propiedadesque ponen en claro el comportamiento de las definiciones o se les puedeaplicar mas directamente los teoremas ya vistos.

4. Conclusiones

Para terminar, podrıamos afirmar que el proceso de aprendizaje de laMatematica a partir de sus textos es hacer una viviseccion muy cuidadosade los mismos. Hay que separarlos en partes digeribles buscando entendercomo se ensamblan entre sı, para despues rearmarlos y finalmente “sen-tarnos sobre de ellos” para ver si aguantan o para encontrarles facetasdesconocidas.

La parte donde se practica con el material aprendido generalmenteson los ejercicios, problemas o las preguntas que nos surjan de la sim-ple curiosidad a partir de la teorıa ya estudiada. Los mecanismos pararesolverlos se denominan heurısticas, y solamente la practica ayuda aperfeccionarlas y reconocer cuando y como debemos aplicarlas.

Vale agregar a estas conclusiones que el procedimiento bosquejadopara el estudio de la Matematica es marcadamente recursivo: en mu-chas ocasiones un texto largo esta integrado de textos mas pequenos (loscapıtulos, por ejemplo) que a su vez se pueden descomponer en mini-textos y ası sucesivamente. El estudiante debe estar consciente de elloy organizar su mente del mismo modo, para que no pierda de vista losconocimientos que ya adquirio y los pueda emplear en la construccion deotros nuevos.

5El reductio ab absurdum asoma aquı su cabeza otra vez ¿no se los dije?

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Referencias

[1] Boyer, Carl y Merzbach, Uta: A History of Mathematics, segundaedicion, Wiley, 1991.

[2] de la Pena, Jose Antonio: Algebra en todas partes, Fondo de CulturaEconomica, 1999.

[3] Hardy, Michael y Woodgold, Catherine: Prime simplicity, Math. In-telligencer, Vol. 31, No. 4, pp. 44-52, 2009.

[4] Polya, George: How to solve it, segunda edicion, Princeton UniversityPress, 1973.

[5] Zeitz, Paul: The Art and Craft of Problem Solving, segunda edicion,Wiley, 2007.

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