62

ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EJEMPLO 34 Una pelota en caída libre Se deja caer una pelota de masa m desde una altura h arriba del piso, como en la figura 29. a. Determínese la rapidez de la pelota cuando se encuentra a una altura y por arriba del piso, despreciando la resistencia del aire. Puesto que la pelota está en caída libre, la única fuerza que actúa sobre ella es la gravitacional; por lo tanto, es posible aplicar la ley de conservación de la energía mecánica. Cuando la pelota se libera a partir del reposo a una altura h por arriba del piso, su energía cinética es 0Ki = y su energía potencial es mghUi = , en donde la coordenada y se mide a partir del nivel del piso. Cuando la pelota se encuentra a una distancia y arriba del piso, su energía cinética es 2

f21

f mvK = y su energía potencial en relación con el piso es mgyUf = . Al aplicar la ecuación se obtiene

( )( )yhg2v

yhg2vmgymvmgh0

UKUK

f

2f

2f2

1

ffii

−=

−=

+=+

+=+

b. Determínese la rapidez de la pelota en y si se hubiera tenido una rapidez inicial

v en la altitud inicial h. En este caso, la energía inicial incluye la energía cinética igual a 2

i21 mv y la

ecuación da

)yh(g2vv

)yh(g2vvmgymvmghmv

2if

2i

2f

2f2

12i2

1

−+=

−+=

+=+

Obsérvese que este resultado coincide con una expresión de la cinemática

)yy(g2vv 020y

2y −−= , en donde hy0 = .

63

Figura 29. Se deja caer una pelota desde una altura h arriba del piso. Inicialmente, su energía total es energía potencial, igual a mgh respecto al piso. A la altura y, su energía total es la suma de las energías cinética y potencial Además, este resultado es válido incluso si la velocidad inicial forma un ángulo con la horizontal (como es la situación con los proyectiles). EJEMPLO 35 Bloque en movimiento sobre un plano inclinado Un bloque de 3 kg se desliza hacia abajo de un plano inclinado áspero cuya longitud es de 1 m como se ve en la figura 30a. El bloque parte del reposo en la parte superior y experimenta una fuerza constante de fricción cuya magnitud es de 5 N; el ángulo de inclinación es de 30°. a. Utilice los métodos de la energía para determinar la rapidez del bloque al llegar hasta el extremo inferior del plano inclinado.

64

Figura 30. a) Un bloque se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado áspero, con la influencia de la gravedad. Su energía potencial disminuye mientras que su energía cinética aumenta. b) Diagrama de cuerpo libre para el bloque. Puesto que 0vi = , la energía cinética inicial es cero. Si se mide la coordenada y a partir del extremo inferior del plano, entonces m50.0yi = . Por lo tanto, la energía mecánica total del bloque en el extremo superior es la energía potencial dada por

J7.14)m50.0(sm80.9)kg3(mgyUE 2iii =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

Cuando el bloque llega al punto más bajo, su energía cinética es 2

f21 mv , pero su

energía potencial es cero ya que su elevación es 0yf = . En consecuencia, la energía mecánica total en la parte inferior es 2

f21

f mvE = . Sin embargo, en este caso no se puede decir que fi EE = ya que existe una fuerza no conservativa que realiza el trabajo W ' sobre el bloque, a saber, la fuerza de rozamiento, fsWnc −= , en donde s es el desplazamiento a lo largo del plano. (Recuérdese que las fuerzas normales al plano no efectúan trabajo sobre el bloque puesto que son perpendiculares al desplazamiento.) En este caso, N5f = y m1s = , por lo tanto,

J5)m1)(N5(fsWnc −=−=−= Esto significa que se pierde parte de la energía mecánica debido a la presencia de la fuerza retardadora. Al aplicar el teorema del trabajo y la energía en la forma de la ecuación se tiene

65

s/m54.2v

s/m47.6kg3J4.19v

J7.9J5J7.14mvmgymvfs

EEW

f

222f

2f2

1

i2f2

1

ifnc

=

==

=−=

−=−

−=

b. Verifíquese la respuesta obtenida en el inciso a usando la segunda ley de

Newton con el fin de hallar primero la aceleración. Sumando las fuerzas a lo largo del plano se obtiene

maf30senmg =−°

2

2

s/m23.3kg3N5)500.0)(s/m80.9(

mf30senga

=

−=−°=

Dado que la aceleración es constante, se puede aplicar la expresión

as2vv 2i

2f += , en donde 0vi = :

s/m54.2vs/m46.6)m1)(s/m23.3(2as2v

f

2222f

====

Ejercicio Suponiendo que el plano inclinado no tiene fricción, calcúlese la rapidez final del bloque y su aceleración a lo largo del plano inclinado. Respuesta 3.13 m/s; 4.90 m/s2. EJEMPLO 36 Movimiento sobre un carril curvo Una niña de masa m se deja deslizar sobre una resbaladilla curvada de manera irregular y cuya altura es h, como en la figura 31. La niña parte del reposo desde la parte superior. a. Determínese la rapidez de la niña al llega al extremo inferior, suponiendo que no existe fricción.

66

Figura 31. Si la resbaladilla no presenta fricción, la rapidez de la niña en la parte inferior depende únicamente de la altura de la resbaladilla y es independiente de la forma de ésta. En primer lugar, obsérvese que la fuerza normal, N, no realiza trabajo sobre la niña dado que esta fuerza siempre es perpendicular a cada elemento del desplazamiento. Además, puesto que no existe fricción, 0Wnc = y se puede aplicar la ley de la conservación de la energía mecánica. Sí se mide la coordenada y a partir del punto inferior de la resbaladilla, entonces hyi = ; 0yf = , y se tiene

gh2v

0mvmgh0UKUK

f

2f2

1

ffii

=

+=+

+=+

¡Obsérvese que este resultado es igual al que se obtendría si la niña se hubiera dejado caer verticalmente desde la altura h! Por ejemplo, si h = 6 m, entonces

( ) s/m8.10m6sm80.92gh2v 2f =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

b. Si hubiera una fuerza de rozamiento actuando sobre la niña, ¿cuál sería el

trabajo efectuado por esta fuerza? En este caso, 0Wnc ≠ y la energía mecánica no se conserva. Se puede utilizar la ecuación para encontrar el trabajo efectuado por la fricción, suponiendo que la velocidad final en el punto inferior se conoce:

mghmvEEW 2f2

1ifnc −=−=

Por ejemplo, si s/m0.8vf = , kg20m = y m6h = , se encuentra que

67

J536

)m6(sm80.9)kg20()s/m0.8)(kg20(W 2

221

nc

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Nuevamente, ncW es negativa ya que el trabajo efectuado por la fricción en el deslizamiento siempre es negativo. Obsérvese, sin embargo, que en virtud de que la resbaladilla es curva, la fuerza normal cambia de magnitud y dirección durante el movimiento. Por lo tanto, la fuerza de rozamiento, que es proporcional a N, también cambia durante el movimiento. ¿Piensa el lector que sería posible de-terminar µ a partir de estos datos? EJEMPLO 37 La escopeta de juguete cargada por resorte El mecanismo de lanzamiento de una escopeta de juguete consta de un resorte cuya constante de fuerza no se conoce, como se muestra en la figura 32a. Al comprimir el resorte una distancia de 0.12 m, el fósil es capaz de lanzar un proyectil de 20 g a una altura máxima de 20 m cuando se dispara verticalmente desde el reposo. Despreciando todas las fuerzas de resistencia, a) determine el valor de la constante del resorte.

Figura 32.

68

Solución Puesto que el proyectil parte del reposo, la energía cinética inicial en el sistema es cero. Sí la referencia para la energía potencial se toma en la posición más baja del proyectil, entonces su energía potencial gravitacional inicial también es cero. En consecuencia, la energía total inicial del sistema es la energía potencial elástica almacenada en el resorte, que es 2kx2 , en donde m12.0x = . Como el proyectil sube a una altura máxima m20h = , su energía potencial gravitacional final es igual a rngh, su energía cinética final es cero, y la energía potencial elástica final es cero. Dado que no existen fuerzas no conservativas, se puede aplicar la conservación de la energía mecánica de lo cual resulta

mghkx221 =

)m20)(s/m80.9)(kg02.0()m12.0(k 2221 =

o bien, m/N544k =

b. Calcúlese la rapidez del proyectil cuando éste pasa a través de la posición de

equilibrio del resorte (en donde 0x = ) como se muestra en la figura 32b. Solución Utilizando el mismo nivel de referencia para la energía potencial gravitacional que en la parte a, se ve que la energía inicial del sistema es todavía la energía potencial elástica 2kx2 . La energía final del sistema, cuando el proyectil se mueve a través de la posición no estirada del resorte consta de la energía cinética 2kmv2 , y la energía potencial gravitacional del proyectil, mgx. En consecuencia, la conservación de la energía en este caso da

mgxmvkx 2212

21 +=

Y despejando v resulta

s/m7.19

)m12.0)(s/m80.9(2kg02.0

)m12.0)(m/N544(v

gx2mkxv

22

2

=

−=

−=

Ejercicio ¿Cuál es la rapidez del proyectil cuando está a una altura de 10 m? Respuesta 14.0 m/s.

69

EJEMPLO 38 Colisión masa-resorte A una masa de 0.80 kg se le imprime una velocidad inicial s/m2.1vi = hacia la derecha y choca contra un resorte ligero cuya constante de fuerza es

m/N50k = , como en la figura 33. a. Si en la superficie no existe fricción, calcúlese la compresión inicial máxima del resorte después de la colisión.

Figura 33. Un bloque se desliza sobre una superficie horizontal lisa y choca con un resorte ligero. a) Inicialmente la energía mecánica es toda energía cinética. b) La energía mecánica es al suma de la energía cinética del bloque y la energía potencial elástica en el resorte . c) La energía es enteramente energía potencial. d) La energía se transforma de nuevo en la energía cinética del bloque. La energía total permanece constante. Solución La energía mecánica total se conserva puesto que 0Wnc = . Aplicando la ecuación a este sistema con 0vf = se tiene

m152.0)s/m2.1(m/N50

kg8.0vkmx

kx00mv

if

2f2

12i2

1

===

+=+

b. Si actúa una fuerza de rozamiento constante entre el bloque y la superficie con

5.0=µ y si la rapidez del bloque justo antes de chocar es s/m2.1vi = , ¿cuál es la compresión máxima del resorte?

Solución En este caso, la energía mecánica del sistema no se conserva debido a la presencia de la fricción, la cual realiza trabajo negativo sobre el sistema. La magnitud de la fuerza de rozamiento es

70

N92.3sm80.9)kg80.0(5.0mgNf 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=µ=µ=

Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cuando el bloque se desplaza desde 0xi = hasta xxf = es

J)x92.3(fxWnc −=−=

Sustituyendo esto en la ecuación se tiene

( )( )( )

0576.0x92.3x25

2.180.021x

250x92.3

0mv)kx0(W

2

22

2i2

1221

nc

=−+

−=−

+−+=

Despejando la ecuación cuadrática para x se tiene m0924.0x = y m294.0x −= . La raíz físicamente aceptable es cm24.9m0924.0x == . La raíz negativa es inaceptable dado que el bloque debe desplazarse hacia la derecha del origen después de alcanzar el reposo. Obsérvese que 9.24 cm es menor que la distancia que se obtiene en el caso sin fricción del inciso a. Este es el resultado que era de esperar ya que la fuerza de rozamiento retarda el movimiento del sistema. EJEMPLO 39 Bloques conectados en movimiento Se conectan dos bloques por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción como se ve en la figura 34. El bloque de masa m1 está sobre una superficie áspera y se conecta a un resorte cuya constante de fuerza es k. El sistema se libera a partir del reposo cuando el resorte no está estirado. Si m2 cae una distancia h antes de quedar en reposo, calcúlese el coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y la superficie.

71

Figura 34. A medida que el sistema se mueve desde la parte más alta a la elevación más baja de m2, el sistema pierde energía potencial gravitacional pero gana energía potencial elástica en el resorte. Parte de la energía mecánica se pierde por la presencia de la fuerza de fricción que es no conservativa entre m1 y la superficie. Solución En esta situación existen dos formas de energía potencial a considerar: la energía potencial gravitacional y la energía potencial elástica almacenada en el resorte. Se puede escribir el teorema del trabajo y la energía de la siguiente manera (1) sgnc UUKW ∆+∆+∆= en donde gU∆ es el cambio en la energía potencial gravitacional y sU∆ es el

cambio en la energía potencial elástica del sistema. En este caso, 0K =∆ puesto que las velocidades inicial y final del sistema son cero. También, ncW , es el trabajo realizado por la fricción, dado por (2) ghmfhW 1nc µ−=−= El cambio en la energía potencial gravitacional está asociado únicamente con m2 ya que la coordenada vertical de m1 no cambia. Por lo tanto, se obtiene (3) ghmUUU 2ifg −=−=∆ en donde las coordenadas se han medido desde la posición más baja de m2. El cambio en la energía potencial elástica en el resorte está dado por (4) 0khUUU 2

21

ifs −=−=∆ Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en la (1) se obtiene

221

21 khghmghm +−=µ−

gmkhgm

1

21

2 −=µ

Esta ecuación representa una técnica experimental posible para medir el coeficiente de fricción cinético. Por ejemplo, si m1 = 0.50 kg, m2 = 0.30 kg, k = 50 N/m y m100.5h 2−×= , se encuentra que

72

( ) ( )

( )

345.0mN80.9kg50.0

m100.5mN50

sm80.9kg30.0 2

21

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=µ

−