ENERGIA ESPECIFICA MOMENTO
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323
Energía específica y momentaCapítulo VII
CAPITULO VIIENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1 Energía específica
La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma deltirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal dereferencia arbitrariamente escogido y se expresa así
Energía = zg
Vy ++
2
2
α (7-1)
y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la
sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.
Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina
energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.
gV
yE2
2
α+= (7-2)
La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como estáreferida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.
Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un
324
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paraleloy aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentalesde la ecuación 7-1.
La energía específica se interpreta gráficamente así
Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. Enconsecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.
Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente deCoriolis es igual a la unidad. Entonces,
gV
yE2
2
+= (7-3)
es la ecuación de la energía para este caso particular.
Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección
transversal, que es una función del tirante y ( AQV = ).
2
2
2gAQ
yE += (7-4)
En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,gasto y tirante
2Vg2
Línea de energía
yFondo (plano de referencia)
α
E
Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica
325
Energía específica y momentaCapítulo VII
( )QE,öy = (7-5)
Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia decada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.
Así, si aceptamos que el gasto es constante
( )Ey φ= (7-6)
Pero si la energía es constante,
( )Qy φ= (7-7)
7.2 Energía específica a gasto constante
Discusión de la curva yE −
La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el
eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,
tal como se ve en el Figura 7.2.
Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,
2
2
2gAQ
yE +=
que evidentemente son
0=− yE ; 0=y
Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( yE = ) y por el eje deabscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerseque tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente alfondo.
Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a
0=dydE
326
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva yE − )
Tirante
y
g2
V22
2y RIO
CRISIS
TORRENTE
VcV < F < dEdy
0 < < 11
Q = CONSTANTEdE
= 0dy
2 gcV
2
yc
2 g1V 2
y1
y2
Emin
1V
g2
2
y1= + = + 2y22 g
V 2
E
TORRENTE RIO
y1
= +E y2 gV 2
Energía Específica
F =V = cV 1 = 1g
Q 2 T
A3
F >VV > c
dE< 01 dy45º
E = y
= +E2Vy
g2
y1e son tirantes alternos
Vg2
2
F > 1
y2
V1
g2
2c
E E1 2( = )
> (flujo supercrítico) ( < )y y1 c
y y( > )VV2 c< (flujo subcrítico) F < 1
g2 2 g 2
2 2
c
Si < no hay flujo posible del gastoE E Qmin
Q
g
T2
< 13A
A
2
g
Q> 13
T
327
Energía específica y momentaCapítulo VII
y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene
dydA
gAQ
dydE
3
2
1−= (7-8)
Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en lafigura
Para cada valor del tirante y , que es
variable, hay un valor del área A y un
valor del ancho superficial T . El áreaes
( ) ( )∫=y
dyyTyA
0
Al diferenciar esta expresión se llega a
TdydA =
Luego,
dydAT = (7-9)
Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérveseen el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas lassecciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene
3
2
1gA
TQdydE −= (7-10)
Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir
un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas
01 3
2
=−=gA
TQdydE
y
dy
T
A
328
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
o bien,
TA
gQ 32
= ó 13
2
=gA
TQ (7-11)
que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.
Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse
adimensional al dividir ambos miembros por 5L .
5
3
5
2
TLA
gLQ = (7-11a)
siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).
Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dosasíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.
La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que
13
2
<gA
TQ
La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumpleque
13
2
>gA
TQ
El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)
13
2
=gA
TQ
La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.
De esta última ecuación se obtiene
TAgAQ =
329
Energía específica y momentaCapítulo VII
El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,
TA
d =
es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,
gdAQ =
o bien,
gdTAgV ==
que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina
velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).
cc gdTAgV == (7-12)
Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en
las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , cA y en lugar de T , cT , etc. Por
comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de
A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.
Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidadcrítica sería
cc dg
Vα
= (7-13)
De la ecuación 7-12, para 1=α , se obtiene que
22
2cc d
gV = (7-14)
Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitaddel tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14son absolutamente equivalentes.
330
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a lamínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.
El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza porque la velocidad siemprees menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos correspondea un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica.Por eso se llama régimen supercrítico.
De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que
gV
yE ccmin 2
2
+= (7-15)
Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entretirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.
Los tirantes 1y e 2y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía
específica se denominan alternos.
Introducción del Número de Froude
Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.
El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de lasfuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es
TAgV
gdVF == (7-16)
Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces
1==c
c
gd
gdF (7-17)
Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude esigual a 1.
331
Energía específica y momentaCapítulo VII
En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y, por lo tanto, el número deFroude es menor que 1.
En un torrente la velocidad de la corriente es mayor que la crítica y, por lo tanto, el número deFroude es mayor que 1.
Examinemos nuevamente la ecuación 7-10
3
2
1gA
TQdydE −=
Al introducir AQV = se obtiene
TA
g
VdydE 2
1−= (7-18)
Pero, (ec. 7-16)
TA
g
VF =
De donde,
21 FdydE −= (7-19)
Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,
0=dydE
(7-20)
Condición que es precisamente la de energía mínima.
Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,
10 <<dydE
(7-21)
332
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Propagación de una onda superficial
Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos
Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad
c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a
gyc = (7-22)
Siendo y la profundidad de la corriente.
Resulta evidente que la condición paraque un onda pueda remontar la corrientees que su celeridad sea mayor que lavelocidad de la corriente.
En un torrente siempre se cumple quela velocidad media de la corriente es
mayor que gy (sección rectangular).
De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar lacorriente.
En cambio, en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.
En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta
permanece estacionaria, ( Vc = ).
Ríos y torrentes
Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).
En cambio, en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.
La conclusión que obtenemos es que la relación E
gV 22
describe el régimen de la corriente.
La relación E
gV 22
es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.
En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumentael tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en laFigura 7.2a.
yV
c - V c + V
333
Energía específica y momentaCapítulo VII
En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.
Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondoque implican un cambio en la energía específica.
Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)
Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, hansido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en formade resumen, sus principales características.
i) La curva yE − (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una
superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.
ii) En un torrente, dydE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).
iii) La curva yE − tiene dos asíntotas que son yE = ; 0=y .
iv) La curva yE − tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,
0=dydE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.
El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominancríticos.
v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre lacurva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que secaracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.
vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.
vii) En la zona superior de la curva yE − la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo
subcrítico).En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujosupercrítico).
viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisises 1.
ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.
334
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0>dydE .
En cambio, en un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía
específica 0<dydE
.
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante
Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la
forma siguiente
g
Qyx
32
232 =
Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de
energía.
Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,
2T
x = g
Vy
2
2
=
Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11
y
E
RIO
TORRENTE
∆y
∆E
∆Ey∆
En un río las variaciones de
E e y son del mismo signo y
del mismo orden de magnitud.
En un torrente las variaciones de
E e y son de diferente signo y
de diferente orden de magnitud.45º
T
A
g
Q 32
=
335
Energía específica y momentaCapítulo VII
Siendo en este caso,
xT 2= gy
Q
V
QA
2==
Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la
expresión propuesta.
Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.
7.3 Sección rectangular
Condiciones críticas
En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación
TA
gVc =
expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el
ancho superficial.
Tal como lo señalamos antes, siendo el flujo crítico se sobreentiende que A es cA y T es
cT .
En una sección rectangular la relación TA (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,
cc gyV = (7-23)
que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato
22
2cc y
gV = (7-24)
Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía develocidad es igual a la mitad del tirante crítico.
336
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
La energía que corresponde a las condiciones críticas es
gV
yE cc 2
2
+=
Este valor de la energía es el mínimo en la curva yE − , tal como se ve en la Figura 7.2.
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
Eyc 32= (7-25)
Eg
Vc
31
2
2
= (7-26)
Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en uncanal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después depresentar la ecuación 7-15.
Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordandoque
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular
yE
c
c
31
E
3E2
2Vg2
337
Energía específica y momentaCapítulo VII
cc y
qAQ
V ==
cc gyV =
q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión
corresponde al sistema métrico.
En general, la energía específica de un canal rectangular es
gV
yE2
2
+=
Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a
gyV
yE
21
2
+=
Introduciendo el número de Froude gyV
F = se obtiene
21
2FyE += (7-28)
Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,
yE
dydE 23−= (7-29)
Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1=F esto significa condiciones críticas, y se
obtiene cyE23= , tal como se demostró anteriormente.
Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por
oo
o32
3
2
467,0 qgq
yc == (7-27)
338
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
0=dydE , obteniéndose también cyE
23= .
Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)
La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico
es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4
2
2
2gyq
yE += (7-30)
Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico cy se obtiene
ccc ygyq
yy
yE
2
2
2+=
Pero, en una sección rectangular
3
2
gq
yc =
ó lo que es lo mismo,
32cgyq = (7-31)
Reemplazando se obtiene
2
2
2yy
yy
yE c
cc
+= (7-32)
que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente
2
2
31
32
yy
yy
EE c
cmin
+= (7-32a)
339
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular
RIO
CRISIS
TORRENTE
45º
E = ycyy
Ec
y
Ecy yc
yyc
y 2
22= +
yc E=
32
0 1 21,5 3
1
2
3
340
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Variación del gasto con el tirante a energía específica constante
El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.
Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7
( )Qy φ= , para energía constante
La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es
2
2
2gyq
yE +=
De acá podemos despejar el gasto específico q
( )yyEgq −= 2 (7-33)
Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un
valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gastomáximo
0=dydq
( ) ( ) 0212 2
121
=
−−−= − yyEyEg
dydq
De donde,
Ey32=
Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en uncanal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.
El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas
23
cccc byggybyAVQ ===
341
Energía específica y momentaCapítulo VII
Pero, en un canal rectangular Eyc 32=
Luego,como bQ
q = se obtiene
23
23
32
Egq
= (7-34)
En el sistema métrico
23
704,1 Eq = (7-35)
Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específicadado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.
Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales
remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y son arrastradas por la corriente con una velocidad
de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.
Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.
Entonces,
c - V = 2,2
c + V = 3
De donde,
c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s
A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que
g
cy
2
= = 0,69 m
El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s
Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1
y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica, como puede fácilmente comprobarse.
(F= 0,15).
Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad sería de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la
onda se produce contra la corriente su velocidad sería 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.
342
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante
RIO
CRISIS
TORR
ENTE
= 1F
R < 1F
F>
1T
= 0dy
dq
q = 2g(E - y) y
3
q = 1,704 E 2
qmax
q2V
2 gR
Vc
2g
2
VT
2g
2
23c
y = y
(sección rectangular)
yR
E
q
max
maxq < q
q = 1,704 E 23
(sección rectangular)
y
q
= (1 + 1 + )y
T
Ty
4FR
28FR
2yR
y
y= (1 + 1 + )
8
T4 FT
2
FR T2
Los subíndices R y T se
refieren a río y torrente
343
Energía específica y momentaCapítulo VII
Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla quemuestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente enfunción del tirante, para valores comprendidos entre 1,50 m y 0,10 m.
Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular elárea, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.
Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación7-27
3
2
gqyc = = 0,4673 m (0,47 aprox.)
En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23
cc gyV = = 2,14 m/s
La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de1 m3/s/m en un canal rectangular.
( ) 7009,0214,24673,0
2
=+g
cy gVc 22 E (mínima)
Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento(ríos y torrentes).
Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).
Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica (régimensupercrítico).
Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.
Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos
a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor quela crítica el régimen es subcrítico).
El número de Froude es menor que 1 y los valores de dydE son positivos, pero menores que 1.
344
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que
la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores
de dy
dE son negativos.
Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son
tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.
En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.
En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.
Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.
En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a
1,05 m.
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3
yc
1 m
Tirantes alternos
RIO
CRISIS
TORRENTE45º
E = y
y
E
cy
0 1,00 2,001,50 2,50
1,00
2,00
(m)
0,50
1,50
0,50
(0,20)
(1,46)
0,7009
1,48
(m)
2gcV
2
0,4673 0,2336
q = 1 m /s/m3
0,17 (Número de Froude)0,18
0,32
0,69
1,001,26
1,94
3,57
345
Energía específica y momentaCapítulo VIITA
BLA
7.1
EJE
MP
LO 7
.3 (
= 1
m3 /s
/m)
346
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una
pequeña onda superficial.
En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de
otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.
Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el
tirante crítico yc la siguiente relación
3
21
22
212
cyyy
yy=
+
Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica
g
Vy
g
Vy
22
22
2
21
1 +=+
Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene
22
2
221
2
1 22 gy
qy
gy
qy +=+
Pero en un canal rectangular
3
2
g
qyc =
Luego,
22
3
221
3
1 22 y
yy
y
yy cc +=+
Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a
3
21
22
212
cyyy
yy=
+
En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía
específica). A modo de comprobación
( ) ( )1027,0
66,146,120,02
22
=
que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.
347
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.4 Sección parabólica
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente)
TA
gVc =
Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3del área del rectángulo circunscrito
TyA c32=
reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene
cc gyV32= (7-36)
o bien,
cc gyV32=
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene
32
2cc y
gV = (7-37)
yc
T
A
348
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con ladefinición de energía específica en condiciones críticas se obtiene
Eyc 43= (7-38)
Eg
Vc
41
2
2
= (7-39)
En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, encondiciones críticas.
El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a lascondiciones críticas. Su expresión para un canal parabólico es
cc gyTyQ32
32=
A cV
23
21
23
32
cyTgQ
= (7-40)
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene
TQ
q =
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico
2Vg2
yE
c
c
41 E
4 E3
349
Energía específica y momentaCapítulo VII
23
21
23
32
cygq
= (7-41)
De donde, en el sistema métrico
32
701,0 qyc = (7-42)
El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condicionescríticas
23
1067,1 Eq =
(7-43)
Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es
41
21
41
41
16427
g
Q
pyc
= (7-44)
Considerar que la ecuación de la parábola es pyx 22 =
Solución.
La expresión general para las condiciones
críticas viene dada por la ecuación 7-11
T
A
g
Q 32
=
Por ser una parábola el área es
TyA c32=
Por condición de parábola
( )cc y
T
y
T
y
xp
822
2
222
===
c
2T
py= 2
cy( , )
y
T
x
2xy
23
43
7039,1
= Eq
350
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
De donde,
cpyT 8=
cc pyyA 832=
Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)
41
21
41
41
16427
g
Q
pyc
=
que es la expresión propuesta.
7.5 Sección triangular.
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente).
TA
gVc =
En el triángulo el área es
TyA c21=
Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene
yc
T
A1
z
351
Energía específica y momentaCapítulo VII
cc gyV21= (7-45)
o bien,
cc gyV21=
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene
42
2cc y
gV = (7-46)
ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.
Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticasse obtiene
Eyc 54= (7-47)
Eg
Vc
51
2
2
= (7-48)
ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica encondiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular
yc
2 gV 2
c
54 E
E
51
E
352
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.
cc gyTyAVQ21
21==
23
21
23
21
cyTgQ
= (7-49)
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial TQq =
23
21
23
21
cygq
=
de donde, en el sistema métrico
23
7920,0 Eq = (7-50)
o bien,
32
9346,0 qyc = (7-51)
Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es
4,02,02
=zQ
gyc (7-52)
siendo z el talud.
Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante críticoen el sistema métrico es
4,07277,0 Qyc =
Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en uncanal triangular.
La energía específica es
gV
yE2
2
+=
De donde,
353
Energía específica y momentaCapítulo VII
( )yEgV −= 2
Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es
2zyA =
Luego,
( )yEgzyAVQ −== 22
Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego
0=dydQ
De acá se obtiene inmediatamente
Eyc 54=
verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que lascondiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo paraenergía constante.
Nota.En algunas de las ecuaciones en las que aparece la aceleración de la gravedad se hareemplazado ésta por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.
Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquiersistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazadopreviamente el citado valor de la gravedad.
7.6 Sección trapecial
c
T
A1z
b
y
354
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)
TA
gVc =
En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones
( )yzybA +=
zybT 2+=
que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan
( )c
ccc zyb
yzybgV
2++= (7-53)
o bien,
cc
cc gy
zybzyb
V2+
+=
Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidadcrítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.
Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si
b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad
crítica en una sección rectangular.
Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11
TA
gQ 32
=
se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por
( )g
Qzyb
yzyb
c
cc233
2=
++
(7-54)
Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe
355
Energía específica y momentaCapítulo VII
recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponer
valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).
Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el áreadel trapecio de la siguiente manera
cyTb
A2+=
valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da
cc yTTb
gV2+= (7-55)
De donde,
EbT
Tbg
Vc
++=
52
2
(7-56)
EbT
Tyc +
=5
4 (7-57)
Obsérvese que siempre se cumple
EEbT
TE
54
54
32 <
+<
cy : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)
Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial encondiciones críticas. (Se observa que es función del talud).
cy
E
E
g2
2Vc
b + T
4T
5T + b
5T + bE
356
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenidaa partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.
La energía específica es
gV
yE2
2
+=
La velocidad es
( )yEgV −= 2
El gasto es
( ) ( )yEgyzybQ −+= 2 (7-58)
La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)
0=dydQ
Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene
( ) 02435 2 =−−+ bEyzEbzy cc (7-59)
que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta
expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si
hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular..
Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a
zbzEbEzbzE
yc 109161634 222 +++−= (7-60)
Abaco de Ven Te Chow
Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) quepermite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un métodográfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximadoy luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.
Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es
357
Energía específica y momentaCapítulo VII
gQ
Z = (7-61)
Se entra al gráfico con el valor de 5,2b
Z y se obtiene el valor de
byc para cada valor del talud
z , (Figura 7.9).
Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un caudal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la
base es de 0,50 m. El talud es 3.
Solución. Si partimos de la expresión general g
Q
T
A 23
= se tiene, luego de reemplazar el gasto, que
TA 2,103 =
Luego,
( ) ( ) cccc yyyzybA 35,0 +=+=
cyT 65,0 +=
( ) ( )ccc yyy 65,02,1035,0 32 +=+
Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo
el valor del tirante crítico yc = 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y
análisis, otros valores:
2,5b
Z
b
yz
cy
bc
358
Arturo RochaH
idráulica de tuberías y canales
A = 4,18 m2
Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)
0,00019
0,001 0,01 0,1 1432 765
0,01
10
0,02
0,030,04
0,060,080,1
0,2
1,00,80,6
0,40,3
2
1086
43
100,001 0,01 0,1 1
2,5D
Z
z = 2,0z = 2,5z = 3,0z = 4,0
z = 1,0z = 0,5
z = 0
(rectangular)
circular
Dy
y
b
1z
D
ób
y
100
(Secciones circulares)
(Secciones trapeciales)2,5b
Z
5 6 72 3 4 9 976432 5 976432 5 976432 5
z = 1,5
c
yc
359
Energía específica y momentaCapítulo VII
A = 4,18 m2
Vc = 2,39 m/s,
g
Vc
2
2
= 0,29 m
g
VyE c
c 2
2
+= = 1,39 m
Obsérvese que también se cumple que cc gdV =
T
Ad c = = 0,59 m 59,08,9 ×=cV = 2,40 m/s
Se aprecia que Eyc 79,0= valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a
este último, pues la figura es casi triangular.
También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.
Entonces,
19,3==g
QZ 18
5,2=
b
Z
De donde, (Figura 7.9),
2,2=b
yc yc = 1,10 m
A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,
7-48 y 7-60.
0,29 m
1,10 m
0,50 m
31
21 % E
79 % E
Línea de energía
E = 1,39 m
360
Arturo RochaH
idráulica de tuberías y canalesTABLA 7.2
SECCIONES CRITICAS (g
VyE cc 2
2
+= )
(Sistema métrico)
RECTANGULO PARABOLA TRIANGULO TRAPECIO
E32 E
43 E
54 E
bTT+5
4
32
467,0 q 32
701,0 q 32
935,0 q 322467,0 q
TbT+
TIRANTE CRITICO cy
214
1
1456,0 Qp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
52
728,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
zQ
zbzEbEzbzE
109161634 222 +++−
ENERGIA DE VELOCIDAD g
Vc
2
2
E31
E41
E51
EbTbT++
5
VELOCIDAD CRITICA cV cgy cgy816,0 cgy707,0 cgyT
bT2+
GASTO MAXIMO maxq 23
704,1 E 23
107,1 E 23
792,0 E 232
3
5854,8 E
bTTb⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
cy = 2x 2 py
T
b1
zz
1
T T T
yc
yc
yc
q =QT
361
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.7 Sección circular y otras secciones
Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas porla ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos laprimera de ellas
TA
gQ 32
=
En una sección circular el área es (ec.6-37)
( )θθ sen2
2
−= rA
Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene
( )
2sen
cos1θ
θ−== rdydA
T (7-62)
Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.
Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene
( )( )
( )( ) 2
sencos1sen
82sen
cos1sen
8
35362 θθθθθ
θθθ
−−=
−−= r
rr
gQ
Haciendo 2D
r =
( )
( )θ
θθθ
cos12
sensen
2
3
8
52
−
−
= Dg
Q (7-63)
Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a
Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir
D
θyc
362
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
2sen2
2sen
cos1 θθθ =−
(7-64)
Luego,
( ) 25
21
23
4
2sen2
sen2
Dg
Q
−=θ
θθ (7-65)
En el sistema métrico
( ) 25
21
23
2sen
sen1383,0 DQ
−=θ
θθ (7-66)
Esta última expresión, en el sistema métrico, es la que da las condiciones críticas en unatubería circular parcialmente llena, la que hidráulicamente es un canal.
Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente
ángulo θ que da condiciones críticas.
El tirante crítico es
−=
2cos1
2θDyc (7-67)
La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función
( )θφ=25
D
Q (7-68)
El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico datambién las condiciones críticas para otros conductos abovedados.
También puede emplearse el gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) .
363
Energía específica y mom
entaC
apítulo VII
Ejem
plo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diám
etro es 1 m. C
alcular
Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas
D/2
DD/2
D
y y y
31 2 4
DD/2
y
0 1 2 3 4 5 6
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
0
0,10
0,20
0,30
0,10 0,20 0,30
12
34
4
3
2
1
yc
D
D
Q5/2
4 5 6
D
364
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
a) tirante críticob) velocidad críticac) energía mínimad) ángulo en el centro
Solución. Vamos a usar la Figura 7.10
225 =
D
Qo
oo yc = 0,81 m
A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente
−=
2cos1
2θD
yc
2cos1
5,081,0 θ
−= θ = 256º 38’
θ = 4,4791 rad
El área es
( ) ( )9729,04791,4225,0
2
2
+=−= θθ senr
A
A = 0,6815 m2
Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7
D
y = 0,81, 2D
A = 0,6815 o
oo A = 0,6815 m2
La velocidad crítica es
6815,02
==A
QVc = 2,93 m/s o
oo
g
Vc
2
2
= 0,44 m
La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m
Hay también la posibilidad de usar el gráfico de Ven Te Chow
g
QZ = = 0,64 ;
25
D
Z= 0,64 o
oo yc = 0,80 m
Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es
aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista
gráficos especialmente preparados.
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
365
Energía específica y momentaCapítulo VII
Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.
Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puedeconseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.
En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener unrégimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimientoy, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.
Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igualal tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.
Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variacionesde la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Seproduce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.
Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libremayor.
Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que unacondición de diseño sea
+≥
+
c
cc T
Ay
gV
y2
05,12
2
(7-69)
Cambiando la notación se podría escribir
+≥
205,1 c
c
dyE (7-70)
La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de lavelocidad normal. (Manning, Chezy, etc).
TAgVc =
nSR
V21
32
=
Igualando ambas expresiones se obtiene
366
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
TAgnSR c =
2
1
3
2
de donde,
34
2
R
nTA
gSc = (7-71)
que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.
Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería
TP
Cg
Sc 2= (7-72)
En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al
ancho superficial, TP = .
entonces la ec. 7-72 queda reducida a
2Cg
Sc =
pero, 2
8C
gf = , de donde,
fgC 82 = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,
8f
Sc = (7-73)
Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de
0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?
Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es
cc gyV = (ec. 7-19)
Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe
ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico
y sea normal.
367
Energía específica y momentaCapítulo VII
cgyn
SR =21
32
De donde,
El tirante crítico es según la ec. 7-27
3
2
g
qyc = = 0,92 m
El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene
( )( )3
4
2
34
2
46,0
018,092,08,9 ×==
R
ngyS c
c = 0,0082
cS = 0,0082
Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.
Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,
cuyo tirante es igual al tirante crítico.
Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).
Ejemplo 7.9 En un canal de concreto
frotachado el gasto es de 3,86 m3/s. La
sección transversal es la mostrada en la
figura. Calcular: a) el tirante crítico y la
energía específica correspondiente, b) la
pendiente para que se establezca un flujo
crítico normal.
Solución.
a) La condición general de crisis es 5204,123
==g
Q
T
A
2
21
21
cc yTyA ==cyT =
De donde,
88
563c
c
c y
y
y
T
A==
c
T
A
45º
y
368
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
8
5cy
= 1,5204 ooo yc = 1,648 ≈ 1,65 m
358,186,3
==A
QVc = 2,84 m/s
g
V
2
2
= 0,412 ≈ 0,41 m
E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m
Podría emplearse la ecuación 7-52,
4,02,04,02,0
5,086,322
=
=
gz
Q
gyc = 1,648 ≈ 1,65 m
siendo,
5,02
102
21 =+
=+
=zz
z
b) S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica
n
SRVV c
c
21
32
==
2cc yyP += = 3,9835 m
9835,33613,1
==P
AR = 0,3417 m
( )
015,0
3417,084,2
21
32
==c
c
S
V
Obteniéndose finalmente,
Sc = 0,0076
369
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )
En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente críticacorrespondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,
una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).
Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interéspráctico se presenta acá para favorecer el esclarecimiento teórico.
Examinemos en primer lugar un canal rectangular.
En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)
34
2
R
nTA
gSc =
Para un canal rectangular es
( )31
34
34
2 2
c
cc
y
yb
b
gnS +==(7-74)
La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de 0=c
c
dydS
Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene
cyb 6= (7-75)
de donde,
cyP 8= (7-76)
cyb
R43
8== (7-77)
que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente
límite LS .
Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a
3
1
2
38
b
gnS L = (7-78)
370
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces
234Cg
SL =
(7-79)si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),
2
8C
gf = se llega a
6f
SL = (7-80)
El gasto que corresponde a la pendiente límite es
25
6 cygQ = (7-81)
Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es(ec. 7-71)
TA
PgnSc
31
34
2=
La pendiente límite se obtiene a partir de 0=c
c
dydS , teniendo en cuenta que
cyzbP 212 ++=
( ) cc yzybA +=
czybT 2+=
Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones
dydT
dydP
PT
TA
34
2
−= (7-82)
que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en
esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 cyA = que es lo correcto para un canal
rectangular.
371
Energía específica y momentaCapítulo VII
Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es
0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.
Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es
(ec. 7-78)31
2
67,2b
gnSL = = 0,0038
Luego,
6b
yc = = 0,40 m
g
qyc
2
= ooo 3
cgyq = = 0,792 m3/s/m
(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s
cc gyV = = 1,98 m/s
Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)
n
SRV
21
32
= = 1,98 m/s
n
RC
61
= = 58,4 m1/2/s
2
8C
gf = = 0,0229
60229,0=LS = 0,0038
7.10 Transiciones
Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de lasuperficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambiopuede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondoascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho delcanal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para elestudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es
372
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
despreciable. En consecuencia, cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dossecciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
ag
Vy
gV
y ++=+22
22
2
21
1 (7-83)
siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). Si no existiera una grada de fondo,
entonces 0=a . La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la
grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad.
QAVAV == 2211
Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observaen las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre envarios casos.
La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específicasignifica una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Porel contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos yuna disminución en los torrentes.
El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)
Curva yE − para diferentes caudales
Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una
familia de curvas yE − . Es evidente que para un canal rectangular la recta que une el origen
con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la
condición crítica del respectivo caudal).
373
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.11 Grada positiva en un río
Figura 7.12 Grada negativa en un río
1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E2
a
Línea de energía
qE1 y1 y
2
E2
E 1
a
y
Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2
Luego, E < E2 1
Del gráfico de la energía específica y < y2 1
En un río una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
45º
E
1
y
y1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
qE 1
y2
y1
E1
E 2
a
y
Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2
Luego, E > E2 1
Del gráfico de la energía específica y > y2 1
En un río un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
45º
E
1
E y +2 g2 2
2V 2
374
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente
1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
q
E1
y1
y2
E1
E2
a
y
Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2
Luego, E > E2 1
Del gráfico de la energía específica y < y2 1
En un torrente un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
45º
E
1
y
y1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
q
E 1
y2 y
1
E 2
E 1
a
y
Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2
Luego, E < E2 1
Del gráfico de la energía específica y > y2 1
En un torrente una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
45º
E
1
375
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales
2 gV 2
1
cVg2
2
yc
E min
a
Línea de energía
q
E
E min
E
a
y
Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max
sobre la grada debe ser mínima E = y + cVg2
2
El máximo valor de la grada, sin alterar
las condiciones aguas arriba, corresponde
a condiciones críticas (energía mínima).
45ºmax
V2 g
22
1y
y2
RIO
TORRENTE
RIO
max
TORRENTE
E
min c
y
45º
q < q < qE = y
V2 g
2
E = y +
1q
min
q2
3q
1 2 3
pendiente = 2/3(canal rectangular)
E (1)
321
E (2)min
E (3)min
376
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada
positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre
desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía
específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo
gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?
Solución.
Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,
respectivamente
25,02
45,22
80,22
22
1 ++=+g
V
g
V
Por continuidad,
2,114 11
1
Q
y
Q
A
QV ===
35,73 2
2
Q
y
QV ==
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene
Q = 13,64 m3/s
Efectuando las operaciones indicadas se tiene que
1V = 1,22 m/s; 2V = 1,86 m/s;g
V
2
21
= 0,08 m;g
V
2
22
= 0,18 m
4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m1
3 q = 4,55 m /s/m23
Línea de energía0,08 m
0,10 m
y = 1,28 mc2
2,45 m2,63 m
0,25 m
cy = 1,06 m1
2,88 m 2,80 m3Q = 13 ,64 m /s
45º
2,80 m
2,88 m
1,06 m
1,59 m
1,06 m 0,53 m
E
y
377
Energía específica y momentaCapítulo VII
De donde,
g
VyE
2
21
11 += = 2,88 m
g
VyE
2
22
22 += = 2,63 m
Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos
1F = 0,23 ; 2F = 0,38 ; 1cy = 1,06 m ; 2cy = 1,28 m
Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.
El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es
1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es cy23
, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía
es
maxmin1 aEE +=
2,88 = 1,92 + maxa
maxa = 0,96 m
La depresión de la superficie libre es 0,56 m
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energíaespecífica
Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay uncambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.
En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la
caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a minE , (lo que ocurre teóricamente
sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).
Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento deenergía.
Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante críticoque se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobreel plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable lasuposición de una distribución hidrostática de presiones.
378
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 vecesel tirante sobre la grada.
El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de cy3 a cy4 ,
aproximadamente, aguas arriba de la grada.
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
La segunda Ley del movimientode Newton dice que el cambiode la cantidad de movimiento porunidad de tiempo es igual a laresultante de las fuerzasexteriores.
Consideremos un canal con unflujo permanente cualquiera y unvolumen de control limitado pordos secciones transversales 1 y2, la superficie libre y el fondodel canal, tal como se ve en laFigura 7.18.
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)entre las secciones 1 y 2 se obtiene
( ) fFWsenPPVVQ −+−=− θββρ 211122 (7-84)
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la EnergíaEspecífica
L
y1
y2
Wsenθ
P1 P2
Q
Ff
1 2
Figura 7.18 Gráfico para la deducción de la ecuaciónde la Fuerza Específica.
y
E
yc
≈ 3,5yc
ENERGIAMINIMA
E min
379
Energía específica y momentaCapítulo VII
expresión en la que: ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; Vvelocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; fF fuerza debida a la fricción; θ ángulo
que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W senθ componente del peso en la
dirección del escurrimiento; y es el tirante.
En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que esválido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmentevariado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cadauna de ellas sea aplicable la ley hidrostática.
Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.
En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.
Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el
volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 == ββ . Entonces la
ecuación 7-84 se reduce a
( ) 2112 PPVVQ −=− ρ (7-85)
La fuerza hidrostática P es Ayγ , siendo y la profundidad del centro de gravedad.
Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos
reemplazos se llega a
222
2
111
2
AygAQ
AygAQ +=+ (7-86)
Como los dos miembros son análogos se puede escribir
AygAQ +
2
= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)
que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.
Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmenteuna fuerza por unidad de peso de agua.
380
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
gAQ 2
es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y
por unidad de peso.
Ay es la fuerza hidrostática por unidad de peso.
A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta
El gráfico de la Fuerza Específica es
Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles 1y e 2y . Los
tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.
En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo
( ) ( )0
..2
2
=+−=dy
AyddydA
gAQ
dyEFd
De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que
Figura 7.19 Fuerza Específica
RIO
TORRENTE
y2
F. E.Fuerza específica
(Momenta)
yc
y1
M
yTirante F. E. mínima
ec. 7-87
381
Energía específica y momentaCapítulo VII
22
2 dg
V =
que se puede comparar con la ecuación 7-14.
Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde acondiciones críticas.
Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puedeexaminar un canal rectangular en el que
bqQ = ; 11 byA = ; 22 byA =
21
1
yy = ;
22
2
yy =
siendo b el ancho del canal.
Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunassimplificaciones a
( )2121
2
21
yyyygq += (7-88)
Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es
3
2
gq
yc =
valor que sustituido en 7-88 nos da
( )21213
21
yyyyyc += (7-89)
Siendo 1y e 2y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).
382
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
7.13 Salto hidráulico
El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.
fhEE += 21 ( ) ( )21 .... EFEF =
La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1y e 2y
son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1E a 2E .
Salto hidráulico en un canal rectangular
Partimos de la ecuación 7-88
( )2121
2
21
yyyygq +=
Se divide ambos miembros por 31y , y luego de algunas sustituciones se llega a
+=
1
2
1
2
1
21 1
21
yy
yy
gyV
De donde,
+=
1
2
1
221 1
21
yy
yy
F
Figura 7.20 Salto hidráulico
2 g
2E
2V2
y2
fh = (∆E)1-2
RIO
TORRENTESALTO
1y
g2
2V1
E1
Línea de energía
383
Energía específica y momentaCapítulo VII
De acá se obtiene una ecuación en 1
2
yy
02 21
1
2
2
1
2 =−+
F
yy
yy
Resolviendo esta ecuación se obtiene
( )18121 2
11
2 −+= Fyy
(7-90)
Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los
tirantes conjugados 1
2
yy es función exclusiva del número de Froude incidente
( )11
2 Fyy ϕ=
Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.
Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es quehay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.
El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas decorriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el pasoviolento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.
El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de lavelocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo quese traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también laincorporación de aire a la masa líquida.
El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.
Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchassimplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representaciónesquemática, del modo como ocurren los fenómenos.
Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectosde las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promediotemporal son en este caso de poca utilidad.
384
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valorestan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de laestructura.
Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar laatención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación lassolicitaciones variables”.
Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuenciay amplitud.
Tipos de salto
En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue lossiguientes tipos de salto
1=F Flujo crítico, no hay salto
7,11 << F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)
5,27,1 << F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña
5,45,2 << F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales
95,4 << F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)
9>F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)
Pérdida de energía en el salto
La perdida de energía en el salto hidráulico se define así
+−
+=
gV
yg
Vyh f 22
21
1
22
2 (7-91)
expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñastransformaciones a
( )21
312
21 4 yyyy
EEhE f
−=−==∆ (7-92)
385
Energía específica y momentaCapítulo VII
Eficiencia
Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica despuésdel salto y la que hay antes de él.
( )( )2
12
1
21
23
21
1
2
281418
FFFF
EE
++−+=
(7-93)
La pérdida de energía relativa es
11
21EE
EE ∆=− (7-93a)
Altura del salto ( ih )
La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto
( 12 yyhi −= )
Se demuestra fácilmente que
2
3812
1
21
1 +−+
=F
F
Ehi
(7-94)
Longitud del salto ( L )
La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,etc.). Aproximadamente se tiene que
( )129,6 yyL −= (7-95)
En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.
Oleaje
En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y
periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como SH a la altura
significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que
( )161
11
−= Fy
H S (7-96)
Para 71 ≤F
386
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Ejemplos de salto hidráulico
Línea de energía
g2V1
2
y1
h = E - Ef 1 2
g2V 2
2
2y
L
Canal
ColchónDispipador
Rápida
1y 2
y
Vertedero Oleaje
yn
yn
yn
Línea de energía
y1ay2
E
Compuerta
y1
yny
S
Para vencer un desnivel se construye una
rápida. Al final de ella debe disiparse
la energía. El salto hidráulico actúa como
un disipador de energía
a)
b)
En un río se costruye una presa derivadora
(barraje) para elevar el nivel del agua
en época de estiaje. La energía se disipa
por medio de un salto hidráulico.
c)
Si en un canal se coloca una compuerta
que deja una abertura en la parte inferior
se produce aguas abajo un salto hidráulico.
En la figura se observa el llamado
salto hidráulico libre.
d)
Si el tirante normal aguas abajo es mayor
que y se produce el llamado salto
hidráulico ahogado.2
(y es el tirante normal aguas abajo)n
387
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.
Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.
La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuertadebe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.
Sea a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces acy c=2 . La
ecuación de la energía específica es
gV
yg
Vy
22
22
2
21
1 +=+
Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad
QAVAV == 2211
Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.
Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta
fhg
Vy
gV
y ++=+22
22
2
21
1
En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.
La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las
Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo
Línea de energía
a y2
E
21
g2V
V 2
g22
y1
388
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
condiciones de aguas abajo. Ellas son
a) No se forma salto
b) Se forma un salto libre
c) Se forma un salto sumergido (ahogado)
Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el
análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en
un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión
−+=
1
222
2
121yy
Fyys
Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 el
tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo del
salto. Despréciese la fricción en el canal.
Solución. Por continuidad, 2211 yVyV = . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-
85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).
( )1221 VVQPP −=− ρ
Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene
( ) ( )122222
2
21
VVyVg
yys −=−γ
γ
Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a
( )122
222
2
121
VVy
V
gy
y s −=
− γγ
−=−
2
1222
2
2
121V
VF
y
y s
Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.
389
Energía específica y momentaCapítulo VII
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VII)
1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirantecrítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones7-25 y 7-26.
2. Demostrar que un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas, debetener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.
3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos
Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 n = 0,0125
Calcular
a) el tirante normalb) la energía específica correspondiente al flujo uniforme
c) el gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b
Verificar que se cumple la ecuación 7-14.
4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentesvalores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente paraq = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?
5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será lapendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando elgasto sea de 6 m3/s?
Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería enél? (¿Río o torrente?) ¿Por qué?
6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer unapiedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguasabajo, de las ondas superficiales producidas.
7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos 1y e 2y la
siguiente relación 22
21
22
2
1
++=
FF
yy
390
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente
crítica es 24,6943
1
2 f
y
n
c
= ( g = 9,8 m/s2)
9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistemamétrico, las siguientes ecuaciones
a) 23
13,3 cmax yq = b) 21
21
56,213,3 mincc EyV ==
c) d)
e)
10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es laecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.
11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es yx 162 = , la energíaespecífica mínima es 0,3611 21Q .
12. Hallar el tirante crítico para elcanal de la figura. El gasto es de8 m3/s. ¿Cuál es la energía quecorresponde a las condicionescríticas? Demostrar que secumplen las ecuaciones 7-14,7-56 y 7-57.
13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s yconduce un gasto de 10 m 3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para qué pendientese establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estascondiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s, ¿qué tipo de flujose establecerá?
14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial (b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular lapendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a laenergía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.
yc
45º 60º
2,20 m
3 27,0 maxmin qE =
3max c q2,14V =
3 2467,0 maxc qy =
391
Energía específica y momentaCapítulo VII
15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canalmostrado en la figura para que seproduzca un movimiento uniformecon el mínimo contenido de energíapara un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendoque la rugosidad del contornocorresponde a G = 0,46 en la fórmulade Bazin?.
Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujose presentaría con la pendiente crítica calculada.
16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud delcanal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del puntoB es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.
Calcular
a) el tirante normal
b) el tirante crítico
c) la pendiente crítica
d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente
(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).
17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máximaeficiencia hidráulica, hallar
a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía
b) la energía específica cuando el gasto sea de 15 m3/s
18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s
a) establecer si este flujo es un río o un torrente
b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?
(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)
19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.
20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m 3/s.Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.
c
45º
3,00 m
y
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Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
21. Calcular la altura de río y de torrente quepodrían producirse en el canal cuya secciónaparece en la figura, para un gasto de 6,5m3/s y una energía específica de 3,14 m.Calcular también para cada uno de los dosregímenes, el número de Froude y elcorrespondiente valor de dydE en la curva
yE − . Dibujar la curva yE − y verificartodos los valores calculados, así como lascondiciones críticas.
22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de30 m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?
23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es
(ec. 7-52)4,02,0
2
=zQ
gyc
24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s.¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la mismaenergía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gastomáximo sea de 321,8 l/s?.
25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es
2,08883,1 QVc =
26. Para el canal mostradoen la figura ¿Cuál es eltirante crítico para ungasto de 12 364 l/s?¿Cuál debe ser elcoeficiente n de Kutterpara que con unapendiente de 0,0022 seestablezca un flujocrítico normal?
c
1:2
1,50 m1:1
1:1
90º
y
1
1,00 m
0,25
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Energía específica y momentaCapítulo VII
27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirantede 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de losregímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gastomencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobaciónhacer el cálculo con la Figura 7.10.
28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de6 m 3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadradopara que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?
29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río ytorrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que
++=
2
2 8114 R
R
R
T
FF
yy
o bien,
++=
2
2 8114 T
T
T
R
FF
yy
RF y TF son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando RF = TF =1?
30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho,por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ningunaalteración. El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar eltirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico.Dibujar el perfil de la superficie libre.
31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobreelevación de una grada de fondo para que seproduzca un régimen crítico.
32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es lamáxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condicionesde aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m.
33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal seproduce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayorque el que hay después del resalto, hallara) el tirante crítico b) el tirante antes del resaltoc) el tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta)e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP
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Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipaciónde energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirantedespués del salto y el gasto.
35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % dela energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.
36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en elque se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son 1y e 2y , se cumple que
2381
21
21
1
12
+−+
=−F
FE
yy
siendo 1E y 1F la energía específica y el número de Froude antes del salto.
37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que dejaen el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuertaes de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. Noconsiderar la fricción.
38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana verticalque descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma unresalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular
a) el caudal b) la fuerza sobre la compuertac) la altura conjugada del resalto d) la energía disipadae) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)f) la altura y la eficiencia del salto
No considerar la fricción.
39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas
a) yE − para q = 5 m3/s/mb) yEF −.. para q = 5 m3/s/mc) yq − para E = 4 m
Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 ≤≤ y m,valores de y∆ = 0,50 m.
40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es
22
21
ygyq +