analisis dimencional en la energia de trabajo su-pongamos que se tiene un cuerpo que inicialmenteesta en reposo por lo tanto las condiciones inicialesson cero es decir x(0)=0, v(0)=0 a dicho cuerpo se le

aplica una fuerza que provoca que se mueva

w =

∫f · dx (1)

una vez que empıeza a desplazarse este queda librede la fuerza pero ahora se mueve a traves de energiacinetica

k =

∫f · dx (2)

para resolver esta integral necesitamos la fuerza enfuncion de la velocidsad para ello sabemos que el rit-mo de cambio de la cantidad de movimiento es iguala la fuerza

f =dp

dt(3)

sustituyendo valores obtenemos lo siguiente

K =

∫dp

dt· dx (4)

sabemos que la el ritmo de cambio de la distancia es lavelocidad, lna ecuacion se transforma en lo sigueinte

K =

∫v · dp (5)

teniendo lo siguinete recurrimos a la difinicion de lacantidad de movimiento en forma relativista

P = mλv (6)

donde λ es es una constante de contraccion

λ =1

2

√1−

(vc

)2 (7)

sabiendo estoponemos a la cantidad de movimeintoes su expresion no condesada

p =mv

2

√1−

(vc

)2 (8)

regresando al camino, necesitamos la cantidad de mo-vimiento en funcion de la velocidad para lo cual vva-mos a tener que cvalcular el ritmo de cambio de lacantidsad de movimiento con respecto de la velocidad

dp

dv=

2

√1−

(vc

)2 dmvdv −mv

d 2√

1−( vc )

2

dv(2

√1−

(vc

)2)2 (9)

recurrimos a derivar los terminos de la expresion ob-teniendo lo siguiente

dp

dv=

2

√1−

(vc

)2m−mv( 1

2 )(

1−(vc

)2) 12−1 (−2v

c2

)1−

(vc

)2lo que sigue es simplemente simplificar la exprecion lomas compacta posible, esto con la simple idea que nospermitira mas adelante poder resolver una integralmas facil el lector puede hacer caso omiso y realizarlopara verificar l odicho antes

dp

dv=

2

√1−

(vc

)2m+mv

(1−

(vc

)2)− 12 ( v

c2

)1−

(vc

)2dp

dv=

m

[(1−

(vc

)2)− 12

] [1−

(vc

)2+(

v2

c2

)][1−

(vc

)2]dp

dv=

m[1−

(vc

)2] 32

una vez realizado este punto dejamos al incrementoinfinitesimal de la cantidad de movimiento solo paraingresarlo en la integral

K =

∫v · mdv[

1−(vc

)2] 32

(10)

ahora hacemos un cambio de variable para realizar la

evaluacion tomamos a u = 1−(vc

)2y du = − 2vdv

c2

1

K =−mc2

2

∫du

[u]32

K =−mc2u

12

212

K = −mc2u 12

y este es el resultado final de la energia mecanicarelativista

K = −mc2[

2

√1−

(vc

)2](11)

suponga que se tiene un cuerpo que se somete a unafuerza que viene de la siguiente forma

−→F =

−→f0 + k−→v (12)

de tal forma que lo que se quiere calcular es la dis-tancia que recorre el proyectil en funcion de la velo-cidad usando la segunda ley de newton obtenemos lasiguiente expresion

−→f0 + k−→v = m

d2x

dt2(13)

como se podra notar se trata de una ecuacion de se-gundo orden lo que implica un esfuerzo mayor pararesolverla sim embargo podemos dejarla en funcionde la velocidad para obtener una ecuacion diferencialde primer orden

−→f0 + k−→v = m

dv

dt(14)

lo que sigue a continuacion es utilizar la regla de lacadena en la velocidad observe que no altera la ecua-cion

−→f0 + k−→v = m

dv

dt

dx

dx(15)

−→f0 + k−→v = mv

dv

dx(16)

como podra ver ahora tenemos velocidad y distan-cia tenemos las dos variables buscadas, lo que si-gue es integrar la distancia en funcion de la veloci-dad,ordenando se obtiene lo siguiente

dx =mvdv−→f0 + k−→v

(17)

∫ x

0

dx =

∫ v

0

mvdv−→f0 + k−→v

(18)

para poder tener la solucion de la misma es necesariovolver la integral unicamente en dimenciones de lavelocidad ∫ x

0

dx =m

f0

∫ v

0

vdv

1 + kvfo

(19)

como podra ver la funcion que esta dentro de la inte-gral unicamente tiene dimenciones de velocidad estose realiza con el afan que a la hora de resolver la inte-gral el logaritmo nos quede adimencional realizamosun cambio de variable

u = 1 +kv

fo(20)

du =k

f0dv (21)

∫ x

0

dx =m

f0

∫ f0[u−1]k

f0duk

u(22)

∫ x

0

dx =m

f0

∫ f20 [u−1]du

k2

u(23)∫ x

0

dx =m

f0

∫f20 [u− 1] du

k2u(24)∫ x

0

dx =mf0k2

∫[u− 1] du

u(25)∫ x

0

dx =mf0k2

∫ (du− 1

udu

)(26)∫ x

0

dx =mf0k2

[∫du−

∫1

udu

](27)∫ x

0

dx =mf0k2

[1

2u− ln(u)

](28)

x =mf0k2

[(1 +

kv

fo

)− ln(1 +

kv

fo)

](29)

x =mf0k2

[fo + kv

f0− ln(1 +

kv

fo)

](30)

x =mf0k2

[fo + kv − f0 ln(1 + kv

fo )

f0

](31)

2

eliminando terminos tenemos la solucion de la ecua-cion diferencial

x =m

k2

[fo + kv − f0 ln(1 +

kv

fo)

](32)

lo que sigue es realizar el analisis dimencionalparatener una ecuacion consistente

x =m

k2

[fo + kv − f0 ln(1 +

kv

fo)

](33)

[L] =[M ][MT

]2([

ML

T 2

]+

[M

T

] [L

T

]−[ML

T 2

]ln

[1 +

[MT

] [LT

]MLT 2

])(34)

SUPRIMIMOS TERMINOS IGUALES

[L] =

[T 2]

M

([ML

T 2

]+[M

T

] [L

T

]−[ML

T 2

]ln

[1 +

[MT

] [LT

]MLT2

])(35)

COMO PODRA NOTAR DE UN LADO HAY LONGI-TUD Y DEL OTRO TAMBIEN POR LO TANTO LAECUACION ES CONSISTENTE

[L] = ([L] + L− [L] ln [1 + 1]) (36)

dejar la ecuacion en funcion de la velocidad

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