en líneaAprendoOrientaciones para el trabajo

4°medio

Matemática

Clase 41

Desarrollo

Para resolver esta guía necesitarás tu libro y tu cuaderno de matemática. Realiza todas las actividades que te proponemos en tu cuaderno, agregando como título el número de

la clase que estás desarrollando.

InicioInicio

Observa el desarrollo de la siguiente actividad y luego practica:

Indicación: Evalúa si la relación f, representada en el siguiente diagrama sagital, es una función.

Primer análisis: ¿Qué requiere f para ser función?f : A→B Es función si para todo elemento del conjunto A existe un único elemento en el conjunto B.

Segundo análisis: ¿Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen en B?Sí, todos los elementos tienen una imagen: El elemento 1 se relaciona con el elemento 0. El elemento 2 se relaciona con el elemento 1. El elemento 3 se relaciona con el elemento 9.

Tercer análisis: ¿Algún elemento de A tiene más de una imagen?No, a partir del segundo análisis observamos que cada elemento de A se relaciona con un único elemento en B.

Finalmente, f : A →B si es función.

A

019

10

123

Bf

El objetivo de esta clase es aplicar los contenidos relativos a funciones: condiciones para que una relación sea una función, representación gráfica y algebraica de una función y evaluación de una función.

AE 3

Actividad 1Realiza la actividad 1 de la sección Evaluación de proceso del texto del estudiante en la página 106.

Observa el desarrollo de la siguiente actividad y luego practica:

Indicación: La siguiente tabla corresponde a los valores de una función h, desconocida. Analiza y luego responde:

a. Representa gráficamente en el plano cartesiano la función h.b. Expresa algebraicamente la función h. c. ¿La función h es creciente o decreciente? Fundamenta tu respuesta.d. ¿Cuál es el valor de h(65)?

a. Representa gráficamente en el plano cartesiano la función h.

Primer paso: Construye un plano cartesiano en tu cuaderno que contemple, en el eje X, los valores desde el –2 hasta el 2. Y, en el eje Y, los valores desde el –4 hasta el 4.

Observación: Puede ser más amplio, pero lo principal es que contemple los valores entregados en la tabla, ya que en base a ellos debes hacer el análisis.

x – 2 – 1 0 1 2

h(x) – 4 – 2 0 2 4

Segundo paso: Cada par de valores de la tabla lo consideraremos como un par ordenado, es decir: si x = –2 y h(x) = –4 , entonces, corresponden al par ordenador (–2,–4).

Tercer paso: Ubicaremos cada punto en el plano cartesiano y los uniremos. De esta manera, tendremos la representación gráfica de la función h.

b. Expresa algebraicamente la función h.

Primer paso: Determinar qué tipo de función es. Tener la gráfica de esta función nos permite conocer qué tipo de función es. En este caso, notamos que su representación gráfica es una recta.

Segundo paso: Determinar la ecuación de la función dada. Cómo nuestra función corresponde a una recta y tenemos dos puntos pertenecientes a ella, utilizaremos la ecuación:

y – y1 = (x – x1)

Tercer paso: Definir los puntos a utilizar, determinando los valores x1, y1, x2, y2.De nuestra tabla de valores o gráfica determinaremos dos puntos cualesquiera (lo importante es que pertenezcan a la función).Sean A(–2,–4) y C(0,0), entonces: x1 = –2 e y1 = –4 ; x2 = 0 e y2 = 0

Cuarto paso: Reemplazar los valores en la ecuación definida en el segundo paso.

y – (–4) = ( x – ( –2))

Quinto paso: Despejar y. Dada la ecuación: y – (–4) = ( x – ( –2))

Desarrollamos los paréntesis y operamos según corresponda:

y + 4 = (x + 2) / 0 + 4 = 4 y 0 + 2 = 2

y + 4 = (x + 2) / = 2

y + 4 = 2(x + 2) / Aplicamos la propiedad distributiva: 2(x + 2) = 2x + 4

y + 4 = 2x + 4 / (–4)y = 2x

Finalmente, la expresión algebraica (o analítica) de la función h es: h(x) = 2x

A B C D Ex – 2 – 1 0 1 2

h(x) – 4 – 2 0 2 4

0 – (– 4)0 – (– 2)

0 – (– 4)0 – (– 2)

y2 – y1

x2 – x1

0 + 40 + 2

42

42

c . ¿La función es creciente o decreciente? Fundamenta tu respuesta.

Primer análisis: ¿Al aumentar el valor de x en la gráfica, aumenta también el valor de y?

Sí. Al observar la gráfica notamos que para cualquier par de puntos (x1 ,y1 ) y (x2 ,y2 ), si x1< x2 , entonces y1 < y2

Por ejemplo: Sean A(–2, –4) y B(–1,–2). Luego, se cumple que, como –2 < –1 , entonces –4 < –2Por lo tanto, h es una función creciente.

d. ¿Cuál es el valor de h(65)?

Primer paso: Determinar la representación algebraica de h.Cómo ya la trabajamos previamente, sabemos que h(x) = 2x

Segundo paso: Evaluar la función en x = 65h(x) = 2x

h(65) = 2 • 65 = 130

Finalmente, el valor de h(65) es 130.

Actividad 2Realiza las actividades 2 y 3 de la sección Evaluación de proceso del texto del estudiante en la página 106.

EvaluaciónResponde las siguientes preguntas, encerrando en un círculo la letra de la alternativa correcta.

Dado el siguiente diagrama, ¿h es una función?

a) Si es función, ya que todos los elementos del dominio tienen una imagen.b) Si es función, ya que todos los elementos del codominio tienen una única imagen.c) No es función, ya que existe un elemento del codominio que tiene dos preimágenes. d) No es función, ya que todo el codominio tiene al menos una imagen. e) No es función, ya que existe un elemento en el dominio que tiene dos imágenes.

1

Cierre

2 ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la representación algebraica de f?

a) f(x) = xb) f(x) = x –1c) f(x) = x2–1d) f(x) = x + 1e) f(x) = x2 + 1

Utiliza el siguiente gráfico para responder las preguntas 2 y 3:

¿Cuál de los siguientes valores corresponde a f(2)?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

3

Revisa tus respuestas en el solucionario y luego revisa tu nivel de aprendizaje, ubicando la cantidad de respuestas correctas, en la siguiente tabla:

Completa el siguiente cuadro, en tu cuaderno:

Mi aprendizaje de la clase número ______ fue: _______________________________.

3 respuestas correctas: Logrado.2 respuestas correctas: Medianamente logrado.1 respuesta correcta: Por lograr.

A continuación, puedes utilizar las páginas del texto escolar correspondientes a la clase.

Unidad

Textoescolar

Matemática

4°medio

2

Evaluación de proceso

106 Unidad 2 - Funciones

1. Determina cuál o cuáles de los siguientes diagramas sagitales representan una función. Justifica tu respuesta, en cada caso.a.

A

abc

123

Bf

b. D

x

y

123

Fg

c. P

abc

xyz

Qh

2. A partir de las funciones:

f(x) = 2x2 – 1 g(x) = x – 35

h(x) = √x + 2

determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a. g(8) = 0

b. La preimagen de 75

en g es 10.c. f (2) – h(2) = 5d. La imagen de 7 en h es √7.e. La imagen de 10 en g(10) = 2.f. La preimagen de 49 en f es 7.g. f tiene un máximo relativo.h. Dom g = R – {5}i. Dom h = R+

3. Las siguientes tablas corresponden a valores de dos funciones f y g desconocidas.

x 0 –1 1 –2 2 –3 3

f (x) 1 –1 3 –3 5 –5 7

x 0 –1 1 –2 2 –3 3

g(x) – 12 –1 0 – 3

212 –2 1

a. Representa gráficamente, en el plano cartesiano, las funciones f y g.

b. A partir de la gráfica, define las funciones f y g, usando una expresión algebraica.

c. Las funciones f y g, ¿son crecientes o decrecientes?, ¿cómo lo supiste?

d. ¿Cuál es el valor de f (–4) + g(7) · f (5) – g(–6)?

4. Determina si las funciones f y g de la pregunta anterior son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

5. Respecto de las funciones f y g de la pregunta 3, ¿g podría ser la inversa de f? Justifica.

6. Observa la gráfica de la función f y, luego, realiza las actividades indicadas.

X1

1

–1–1

Y

f (x)

0

a. ¿Para qué valores de x la función es creciente?, ¿y para qué valores es decreciente?

b. La función, ¿tiene mínimos relativos?, ¿cuáles?c. La función, ¿tiene máximos relativos?, ¿cuáles?d. Determina 3 puntos que pertenezcan a la

gráfica de la función.e. ¿Cuál es el valor de f (4) + f (5)?

Aplica lo aprendido hasta este momento en la unidad y desarrolla las siguientes actividades.

Texto_Mat_4M (2019).indb 106 09-09-19 15:40