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Diferencia de potencial y potencial eléctricos

En el campo gravitatorio.

Diferencia de potencial y potencial eléctricos

El trabajose cuantifica por la fuerza queejerceel campoy la distanciarecorrida.ejerceel campoy la distanciarecorrida.

dFWrr

⋅=

Diferencia de potencial eléctrico

Si se desea colocar el cuerpoen elmismopuntoun “agenteexterno”tienemismopuntoun “agenteexterno”tieneque realizar el mismotrabajo pero ensentidocontrariopara vencer el campo.

dgmdFWrrrr

⋅=⋅=−


El trabajo seconsidera negativocuando se realizaen contra delcampo(-W).


Cuando el trabajo es negativo, la diferenciade energía potencial (Epf-Epi) es positiva yaque el punto “f” se encuentraa una ciertaque el punto “f” se encuentraa una ciertaaltura con respecto a la referencia implícitaque es el nivel del piso y cuya energíapotencial en ese punto vale cero (puntoinicial i).

PiPfP EEEW −=∆=−


En caso eléctrico se presentaunasituaciónsemejante: Paramoverunasituaciónsemejante: Paramoverunacargade un punto inicial “i” a unpunto final “f” en contradel campoun “agente externo” tienen quedesarrollar trabajo


∫∫ ⋅−=⋅−=f

i

f

ifi dEqdFW lrr

lrr

Donde:

.seguidaatrayectorílaindicaquevectorelesd

campoelesE

eléctricaaargclaesq

lr

r


Se define la diferencia de potencial eléctricocomo el trabajo que un “agente externo”realiza para mover una carga del puntorealiza para mover una carga del puntoinicial “i” al punto final “f”:

∫ ⋅−==−=−=∆f

i

fiif ldE

q

W

q

WVVV

rr

Diferencia de potencial o voltaje debido a una carga puntual

¿Quién realiza el trabajo para mover los pelillos deconejo?


Considere la carga puntual Q mostradaen la figura:


Se desea determinar la diferencia depotencial que realiza “un agente externo”para mover la carga puntual Q del puntopara mover la carga puntual Q del punto“i” al punto “f”.Utilizando la expresiónanterior:

[ ]VdEVVVVf

iif ∫ ⋅−=−=∆= lrr


Recordando que el campo eléctricoproducido por una carga puntual Q secuantifica por:cuantifica por:

Sustituyendo en la ecuación anterior

r̂

r

QkE

2e=r


=⋅⋅−=−=∆ ∫ VC

Jdr̂

r

QkeVVV

f

i 2if lr

drdademásy;dd)180cos(1dcosr̂dr̂ −=−=°=θ=⋅ llllr

lr drdademásy;dd)180cos(1dcosr̂dr̂ −=−=°=θ=⋅ lllll

f

i

f

i 2iffi r

1kQ

r

drkQVVVV

==−==∆ ∫

[ ]Vr

1

r

1kQVVVV

if

iffi

−=−==∆

http://wps.aw.com/aw_young_physics_11/13/3510/898593.cw/index.html

Ejemplo de Diferencia de potencial o voltaje debido a una carga puntual

Considere la carga puntual Q=2.51 [nC]mostrada en la figura. Determine la diferenciade potencial entre los puntos A(0,30,0)[cm] yde potencial entre los puntos A(0,30,0)[cm] yB(0,50,0)[cm], es decir, VAB.

Ejemplo de Diferencia de potencial o voltaje debido a una carga puntual

Utilizando la expresión y sustituyendo valores:

−=−==∆ BAAB

11QkeVVVV

−=−==∆BA

BAAB rrQkeVVVV

−×××= −

5.0

1

3.0

11051.2109V 99

AB

( ) ]V[045.30)33.1(59.22233.359.22V A B ==−=


¿De donde a donde se mueve la carga?¿Quién realiza el trabajo?Si el punto B cambiara de coordenadas(0,50,0)[cm] a (0,0, 50)[cm]. ¿Cuál seria el valor(0,50,0)[cm] a (0,0, 50)[cm]. ¿Cuál seria el valorde la diferencia de potencial VAB?Si el punto B cambiara de coordenadas a(0,30,0)[cm]. ¿Cuál seria el valor de ladiferencia de potencial VAB?¿Cómo son las superficies equipotenciales parala carga puntual?

Video 31 voltaje y energía

Diferencia de potencial debido a varias cargas puntuales

Considere el plano xy dela figura donde semuestran dos cargasmuestran dos cargaspuntuales q1= -20[uC](1,2)[cm],q2=40[uC] (2,5) [cm] ylos puntos A(2,2)[cm],B(5,5)[cm] y C(6,2)[cm],determinar:


a) La diferencia de potencial entre los puntos A y B, es decir,VAB.

−+

−=+= ⋅

2B2A2

1B1A12AB1ABAB r

1

r

1keq

r

1

r

1qkeVVV

2B2A1B1A rrrr

×−

×⋅+

×−

×⋅= −−−− 222221AB 103

1

103

1qke

105

1

101

1qkeV

( ) [ ]V104.14020100108.1V 65AB ×−=+−×−=


b) La energía potencial eléctrica de q2.

Comoel potencialdeun punto(explicarpotencialComoel potencialdeun punto(explicarpotencialeléctrico) representa la energía potencial porunidad de carga, al multiplicarla por la carga seobtiene la energía potencial total.

⋅==

1212222 r

1qkeV;VqU


b) La energía potencial eléctrica de q2.

Sustituyendo valores:

⋅== 1qkeV;VqU

⋅==

1212222 r

1qkeV;VqU

( ) )62.31(101801010

11020109V 3

269

2 ×−=

××−××= −

−

[ ]V10691.5V 62 ×−=

( ) [ ]J7.22710691.51040U 662 −=×−×= −


c) El trabajo necesario para mover una cargaq3 =-8[uC], cuasiestáticamente, del punto A alpunto B.

( ) [ ]J2.115104.14)108(VqW 66BA3BA −=××−=⋅= −

De la definición de trabajo

BA

B

ABA qVdEqW =⋅−= ∫ lrr


Considere el plano xy, donde se encuentrantres cargas puntuales q1=10[nC](-2,2)[cm],q2=-20[nC](0,-2)[cm] y q3=20[nC]q2=-20[nC](0,-2)[cm] y q3=20[nC](2,2)[cm]; y los puntos A(0,2)[cm] yB(2,0)[cm], determinar:La diferencia de potencial VAB. 4 351:5[V]


Determine:a) La diferencia de potencial entre los puntos A y

B, esdecir,VAB.B, esdecir,VAB.b) La energía potencial eléctrica de q2.c) El trabajo necesario para mover una carga

q4 = 10[uC], cuasiestáticamente, del punto Aal punto B.

Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos producida por una línea infinita cargada uniformemente

.En la figura se muestra una línea con cargapositivadistribuidauniformemente,coincidentepositivadistribuidauniformemente,coincidentecon el eje “x”. La diferencia de potencial entrelos puntos inicial i y final f queda definida porla siguiente expresión:

Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos producida por una línea infinita cargada uniformemente

∫ ⋅−=⋅

f

iif ldEVrr

∫ ⋅−=⋅ iif ldEV

Realizando el producto punto

[ ]Vy

ykyk

y

dykdyEV

f

if

i

f

i

f

iif ln2ln22 λλλ =−=−=⋅−= ∫∫⋅

Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos producida por una superficie

infinita cargada uniformemente

.Una superficie infinita,con distribuciónuniforme de cargapositiva σ, coincidentecon el plano “xz”, semuestra en la siguientefigura, determinar ladiferencia de potencialV fi.



Comoen toda la trayectoria entre los puntosinicial i y final f se cumple que el campoeléctricoestadefinidoporeléctricoestadefinidopor

jE ˆ

2 0εσ=

r



entonces la diferencia de potencial entre dichos puntoses

yfyffydyldEV

σ−=⋅σ−=⋅−= ∫∫rr yf

yi0

yf

yi0

f

iif y2

dy2

ldEVεσ−=⋅

εσ−=⋅−= ∫∫⋅

rr

]V)[yy(

2V fi

0if −

εσ

=⋅

Diferencia de potencial eléctrico producida por dos superficies infinitas,

paralelas y con cargas iguales en magnitud y signo contrario.

El punto inicial i es coincidente con la superficie de la izquierda(que tiene carga negativa) y el punto final f es coincidente conla superficie de la derecha (que tiene carga positiva).

Diferencia de potencial eléctrico producida por dos superficies infinitas,

paralelas y con cargas iguales en magnitud y signo contrario.

yf

yi0

yf

yi0

f

iif ydy2

2ldE2V

εσ−=⋅

εσ−=⋅−= ∫∫⋅

rr

]V)[yy(V −

σ=

Como los puntos se encuentran sobre las superficies cargadas,que se encuentran separadas una distancia “d”, como se ilustraen la figura, la diferencia de potencias se puede expresar enfunción del campo.

]V)[yy(V fi

0if −

εσ

=⋅

][VdEV if ⋅=⋅http://wps.aw.com/aw_young_physics_11/13/3510/898593.cw/index.html

Potencial eléctrico debido a una carga puntual

Si se selecciona unpunto de referencia (queen la mayoría de losen la mayoría de loscasos es el infinito otierra) se puede hablardel potencial en unpunto

r

QkV =

Potencial eléctrico debido a dos cargas puntuales de diferente

signo

Ver: Física para ciencias e ingeniería. Tomo II. Quinta edición.Serway- Beichner.. Edit. Mac. Graw Hill.

Potencial eléctrico en un punto debido a dos cargas de

diferente signo

Campo eléctrico de ruptura

= VVE

=m

V

d

VER

Para el aire el campoeléctrico de rupturavale 0.8 [MV/m]

Gradiente de potencial

En la mayoría de los problemas prácticos no esposible obtener la función que determinaelposible obtener la función que determinaelvector campo eléctrico en cada punto de unaregión, con base en la distribución de carga,debido a que está última no es conocida.


Generalmente la información que se tiene es ladiferencia de potencial, por ello eldiferencia de potencial, por ello elprocedimiento usual es obtener primero lafunción de potencial y a partir de ésta elcampo eléctrico.


),,( zyxV

Si se considera la funciónpotencial

),,( zyxV

La variación de la función es:

( ) ldVdzz

Vdy

y

Vdx

x

VdVV ⋅∇=

∂∂+

∂∂+

∂∂=≈∆


z

V

y

V

x

VV zyx

∂∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∇

Ya que la divergencia de una funciónes

zyxV

∂+

∂+

∂=⋅∇

Recordando quesi A y B son dospuntos muycercanos

lrr

lrr

dEV

dEVA

BAB

⋅−=∆

⋅−= ∫


VE −∇=r

Comparando las ecuaciones

VE −∇=Es decir

z

VE

y

VE

x

VE zyx ∂

∂−=∂∂−=

∂∂−= ;;


Al evaluar el gradiente de la función potencialeléctrico, obtenemos un vector perpendiculara la superficie,el cual señalaen la direccióna la superficie,el cual señalaen la direcciónde aumento máximo de la función depotencial; es por ello que aparece un signonegativo en la ecuación anterior ya que, porconvención, la dirección del vector campoeléctrico es contraria.


En la siguiente figura se muestra una caja dearena con dos placas metálicas en sus extremosa las cuales se le aplica una diferencia dea las cuales se le aplica una diferencia depotencial de 50 [V]. Se define el sistemacartesiano con el eje de las y’s a la derecha, eleje de las x’s saliendo fuera de la hoja y el eje delas z’s hacia arriba.


Se observa que la dirección en donde lavariación es mayor es en el eje “y” el cual esperpendiculara las placasy el valor aumentaperpendiculara las placasy el valor aumentaconforme nos acercamos a la terminal positiva.En cuanto los ejes “x” y “z” no hay variacióndel potencial al desplazarse sobre dichos ejes yaque se trata de superficies equipotenciales.


La operación matemática que nos permitacalcular el vector perpendicular a una superficieequipotencialesel gradiente,en nuestrocaso,el

jx

VVE ˆ

∂∂−=∇−=

rr

La pendiente representa la variación depotencial con respecto a la distancia y porlo tanto el campo eléctrico

equipotencialesel gradiente,en nuestrocaso,elgradiente de potencial

Bibliografía.

Gabriel A. Jaramillo Morales, Alfonso A. Alvarado Castellanos.Electricidad y magnetismo.Electricidad y magnetismo.Ed. Trillas. México 2003

Sears, Zemansky, Young, FreedmanFísica UniversitariaEd. PEARSON. México 2005

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