Empezaremos por el Álgebra lineal...

Empezaremos por el Álgebra lineal porque:

• Las soluciones de una ecuación diferencial, como la ecuación de Schroedinger, son

base de algún espacio vectorial.

• Las operaciones de simetría son transformaciones lineales de R3 R3.

• El concepto de representación irreducible une al Algebra Lineal con la Teoría de

Grupos, ayudándonos a conocer “cualitativamente” a las funciones de onda.

Laura Gasque 2016-2 1

Conceptos que tenemos que recordar:

• Espacios vectoriales

• Subespacios

• Bases

• Dependencia e independencia lineal

• Matrices

• Con su extraña multiplicación


PURO REPASO

Súper rápido

ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una operación

binaria (“suma”) definida entre ellos y un “producto escalar” definido entre uno de

sus elementos y un elemento de un Campo K (por. ej. los números reales), tal que:

• Para la operación binaria, V V V se cumple:

• Conmutatividad

• Asociatividad

• Existencia del elemento neutro para esa operación

• Existencia de los inversos para todos los elementos

• Para el producto escalar K x V V se cumple:

• Asociatividad a(bu) = (ab)u

• Existencia del neutro para el producto escalar

• Distributividad del producto escalar sobre la suma vectorial (escribirlo)

• Distributividad de la suma escalar sobre el producto escalar (escribirlo)


Ejemplos muy conocidos

• Los “vectores” en R2 (parejas ordenadas de números reales)

• R2 = (a,b)a,b R

• Los “vectores” en R3 (ternas ordenadas de números reales)

• R3 = (a,b,c)a,b,c R

• i.e. las “flechas” de la física


Otros ejemplos más interesantes

• Las funciones (continuas en un intervalo): f C (a,b)

• La suma entre ellas . . .

• La multiplicación de ellas por números reales . . .

• ¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?

• Revisen la definición . . . ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una o...


Subespacios Vectoriales

• Definición: Un subconjunto U de un espacio vectorial V es un

subespacio de V si él mismo es un espacio vectorial.

• Criterio del subespacio (teorema)

• Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y

bajo el producto escalar.


¿Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos de

vectores en R2?

• V1 = (0,0), (1,1),(2,2), (3,3)

• V2 = (a,a) aR

• V3 = (a,2a) aR

• V4 = (a, a+1) aR

• ¿podemos hacer una generalización geométrica?Laura Gasque 2016-2 7

Ejemplos con funciones• P = el conjunto de todos los polinomios:

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2 . . . . + a1x + ao

¿Son funciones continuas?

¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?

¿Este conjunto (P) satisface el criterio del subespacio?

Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y bajo el producto escalar.

• Otro ejemplo

P3= P(x) = a3x

3 + a2x2 + a1x + ao a R P3 P C (a,b)

¿Cumple con el criterio

del subespacio?


¿Cumple con el criterio

del subespacio?

Más ejemplos de subespacios de funciones• f(x) = sen x; g(x) = cos x f: R R g: R R

• T =asenx + bcosx a, b R

• f(x) = sen x; p(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2xn-2+ . . . . + ax +a0

f: R R g: R R

TP = a senx + b p(x) a, b R¿Cumple con el criterio

del subespacio?


Dependencia e independencia lineal


Dependencia lineal

• Lenguaje formal: Un conjunto de n vectores vi es linealmente

DEPENDIENTE si existe un conjunto de ai (distinto de ai =0 i) tal que

• a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0

• Lenguaje común: Un conjunto de vectores es linealmente DEPENDIENTE,

si cualquiera de ellos puede expresarse como una combinación lineal de los

demás.


Independencia lineal

• Lenguaje formal: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si

la única posibilidad de que

a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0 es que ai = 0 i

• Lenguaje común: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si

no es posible expresar a cualquiera de ellos como combinación lineal de los

demás.


Ejemplos (relevantes) de dependencia e

independencia lineal con vectores en C

• Sean 1, 2, y 3 funciones C

• 1 = 1 + 2 + 3

• 2 = 21 + 2 + 3

• 3 = 21 - 2 - 3

• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?

• Sean 1, 2, y 3 funciones C

• 1 = 1 + 2 + 3

• 2 = 21 - 2 - 3

• 3 = 2 - 3

• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?


Tarea 1

Base de un espacio vectorial: Definición:

• Un subconjunto S V es una base de V si:

• Es linealmente independiente

• Genera a todo el espacio vectorial


Ejemplos en Rn

• R3 = (a,b,c) a,b,c R

• Base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

• ¿qué otra?

• Probar que (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) es una base para R3


Anti-ejemplos para bases en R3

• ¿Por qué (1,0,0), (0, 2, 0) no es

una base de R3

• ¿Por qué (1,1,1), (2,1,0) (0,-1,-2)

no es una base de R3

Laura Gasque 2016-2

16

Ejemplos de bases en un espacio de funciones

• Series de Taylor (combinaciones lineales de polinomios)

• Series de Fourier (combinaciones lineales de senos y cosenos)


Ortogonalidad de vectores


Producto interior o producto escalar:

Definición

• Es una operación binaria entre vectores cuyo producto es un escalar, que

debe cumplir las siguientes propiedades:

• uv = vu v, u V

• u (v+w) = (u v) + (u w) v, u, w V

• u v = (u v) = u v v, u V, K

• uu 0 v V, uu = 0 si y solo si u= 0.


Producto escalar para vectores en Rn

• Ya se lo saben

• Es fácil ver que cumple con las propiedades


Producto escalar para funciones

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones continuas de Rn Rn

𝑓𝑔 = 𝑎

𝑏𝑓𝑔 𝑑𝑥

¿Cumple con las propiedades?


Definición de ortogonalidad

• Dos vectores son ortogonales si

• uv = 0

• Tarea 1: Traer un ejemplo de dos funciones ortogonales en un intervalo


TRANSFORMACIONES LINEALES

• T

• vi T(vi)

• V1 V2


Definición

• Una Transformación Lineal de un V1 a un V2, es una función A que asocia a

cada vector de x V1 un solo vector A(x) V2 de tal forma que

• A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2)

• A(x) = A(x)

xV, R


Ejemplos

f : R R f(x) = senx

• ¿es lineal?

• f(x+y) = f(x)+ f(y) ¿ ?

• sen(x+y) senx + seny

• NO es lineal

: g : R R g(x) = 3x +2

• ¿es lineal?

• g(x) = 3x +2

• g(y) = 3y +2

• g(x+y) = g(x) + g(y) ??

• g(x+y) = 3(x+y) +2 = 3x +3y +2

• g(x)+g(y) = 3x+2+3y+2 = 3x + 3y +4

• NO es lineal Laura Gasque 2016-2 25

Otro ejemplo

T : R2 R2 vi = (xi, yi)

T(x,y) = (x+y, 2x) ¿es lineal?

1ª Parte: ¿ T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) ?

• T(v1 + v2) = T[(x1,y1) + (x2,y2)]

• T(x1 + x2, y1 +y2)

• = (x1+x2+ y1+y2 , 2x1+2x2)

• T(v1) + T(v2) = T(x1,y1)+ T(x2,y2)

• (x1+y1, 2x1) +(x2+y2, 2x2) =

• (x1+y1 + x2+y2 , 2x1+ 2x2 )


• Segunda parte: ¿ T(vi) = T(vi) ?

• ¿ T[(x1,y1)] = [T(x1, y1)]?

• T(x1, y1)] = (x1 + y1 , 2x1)

• (x1 + y1 , 2x1) = (x1 + y1 , 2x1)

• Sí es lineal


Algunos de los ejemplos que nos van a interesar

Os : R3 R3 v = (x, y, z)

C2(x, y, z) = (-x, -y, z) rotación alrededor del eje z

xz (x, y, z) = (x, -y, z) reflexión a través del plano xz

i(x, y, z) = (-x, -y, -z) inversión

E(x, y, z) = (x, y, z) identidad

Puede demostrarse que todas son Transformaciones Lineales


Dos maneras de caracterizar a una

T.L : Rn RN

• Definiendo el efecto de la

transformación sobre un vector

cualquiera.

• T (x, y, z) = (x´, y´, z´)

• Donde x´= f(x, y, z)

y´= g(x, y, z)

z´= h(x, y, z)

• Definiendo el efecto de la

transformación sobre un conjunto de

vectores base, por ej., la canónica

• T(1, 0, 0) =

• T(0, 1, 0) =

• T(0, 0, 1) =


Ilustrar con ejemplos: C2, xz

Relación entre las dos

• Todo vector en R3 puede expresarse como

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

• T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)]

• Y por ser lineal . . .

• = xT(1, 0, 0)+ yT(0, 1, 0) + zT(0, 0, 1)


Ejemplo importante: C4(x, y, z) = ( , , )

• Encontremos la T.L de R3 R3 que se asocia con una rotación de 90°

alrededor del eje z (en sentido opuesto a las manecillas).

• Definiendo el efecto de la transformación sobre un conjunto de vectores

base, por ej., la canónica

• C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0)

• C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0)

• C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

• C4(x, y, z) = ?Laura Gasque 2016-2 31

C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0)

C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0) C4(x, y, z) = ?C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

• C4(x, y, z) = C4[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)]

= [xC4(1,0,0) + yC4 (0,1,0) + zC4 (0,0,1)] porque C4 es lineal

= x(0,1,0) + y(-1,0,0) + z(0,0,1)

= (0, x, 0) + (-y, 0, 0) + (0, 0, z)

C4(x, y, z) = (-y, x, z)


Matriz asociada a una Transformación Lineal

T: V1V2 (puede ser V1=V2, que de hecho, será nuestro caso ahora )

• Escribir el efecto de la T.L. sobre los vectores de la base elegida de V1, como una combinación lineal de los vectores base

• C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0) = 0(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)

• C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0) = -1(1, 0, 0) +0(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)

• C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)

0 -1 0 x -y

1 0 0 y = x

0 0 1 z z

¿Recuerdan la multiplicación

de matrices?


Ejercicio: Matrices asociadas a

C42 = C2 : R3 R3 y C4

3 : R3 R3

(usando la base canónica)

OJO: Las matrices asociadas a una misma transformación lineal

son diferentes según la base que se elija.


Ejercicio fácil : Matrices asociadas a xy: R

3 R3 xz: R3 R3 yz: R

3 R3


Y súper fácil: Matriz asociada a la transformación E

(idéntica, o neutra)


Ejercicio menos fácil: Matrices asociadas a

C3 = : R3 R3 y C32 : R3 R3


Tarea 1


Empezaremos por el Álgebra lineal...

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