Emaitzak 3. dbh
448
Click here to load reader
-
Upload
martin54321 -
Category
Education
-
view
455 -
download
51
Transcript of Emaitzak 3. dbh
DBHko lehen mailarako Matematika 3Erantzunak Zubia / SantillanarenHezkuntza-argitalpenetarako SaileanJoseba Santxo Uriartereneta Enric Juan Redalenzuzendaritzapean sortu, taxutueta gauzaturiko talde-lana da.
Proiektu honetan egile-talde honekesku hartu du:
Ana María GazteluAugusto González
EDIZIOARafael NevadoCarlos Pérez
PROIEKTU-ZUZENDARITZADomingo Sánchez FigueroaAinhoa Basterretxea Llona
Matematika 3 DBH
Irakaslearentzako baliabideakERANTZUNAK
ZubiaSantillana
908272 _ 0001-0003.qxd 27/9/07 17:16 Página 1
Aurkezpena
2
138
Ekuazio-sistemak5
BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALA
SISTEMA MOTAK GRAFIKO BIDEZ EBAZTEA
BI EZEZAGUNEKO BI EKUAZIOREN SISTEMAK
ORDEZKATZEA BERDINTZEA LABURTZEA
EBAZPEN-METODOAK
PROBLEMAK EBAZTEA BI EZEZAGUNEKO
BI EKUAZIOREN SISTEMEN BIDEZ
Bat-bateko ikasbidea
Udaberriko jaialdia urtean behin ospatzen zen, maharajaren jauregian. Festa hartara gonbidatua izatea itzal handiko pertsonei mugaturiko ohorea zen.
Elefantearen gainera igotzean, Brahmagupta jakintsua eta Serhane, harenlaguntzaile gaztea, bat etorri ziren maharajaren eskuzabaltasunagoraipatzean, segizioa bidali baitzien, jauregira lagun ziezaieten.
Laguntzaile gazteak bidearen erdia eman zuen ikasi behar zituen jakintzagaiez kexatzen:
–Maisu, zergatik ikasi behar dut aljebra? Ez dauka inolakoerabilgarritasunik; bost txanpon baditut bost txanpon ditut, eta ez bost ezezagun... Eta ezezaguna edozer izan ahal izatea naturaren aurkakoa da.
Brahmaguptak hitza hartu zuen, eta geratzen zitzaien bidearen erdian, aljebraren baliagarritasuna azaldu zion ikasleari:
–Mundu honetako gauza guztiek dute bere esanahia: elefantearen bekokiko izarra ez da izarra soilik: elefantea maharajarena dela esan nahi du. Era berean, lau zirkuluz koroatutako gurutzea ez da marrazkia soilik, hiriaren sinboloa ere bada. Matematikan, sinpleena gauzei esanahia kentzea da, zenbakiekin eragiketak egitea eta, ondoren, emaitza interpretatzea.
Hitz horien ostean, maisuak eta ikasleak isilean egin zuten jauregira iristeko geratzen zitzaien kilometroa.
Ekuazio baten laguntzaz, kalkulatu elefantearen gainean egin zuten distantzia.
x = distantzia
→ 2x + x + 4 = 4x → x = 4
4 km-ko distantzia egin zuten.
12
14
1x x x++ ++ ==
Sailaren izenak (Jakintzaren Etxea) planteamendu jakin bati erantzutendio: ikasleek eguneroko bizitzan moldatzeko beharrezko ezagutzak lortzeahelburu duten Matematikako proiektu bat aurkezteko planteamenduari.Irakaskuntzaren derrigorrezko etapan, matematika-jakintzak, errealitateainterpretatzen eta deskribatzen ez ezik, hartan jarduten lagundu behar dieikasleei.
Ildo horretan, eta kontuan izanda Matematika, maila hauetan, prozedu-razko irakasgai hutsa dela, ikaslearen liburuan egindako ariketa eta pro-blema guztiak ebatzita daude material honetan. Gure helburua ez da eba-tzitako ariketak tresna hutsa izatea, proposamen didaktikoa baizik, ikas-leei liburuan aurkezten diren kontzeptu eta prozedura guztiak beregana-tzen laguntzeko.
73
2
c) Lurretik Neptunorainoko distantzia:
4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km
Abiadura: 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h.
Lurretik Neptunora behar den denbora:
(4,3504 ⋅ 109) : (3,6 ⋅ 105) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 egun
Joan-etorria egiteko denbora bikoitza; hau da, 1.006 egun, 2 urte eta 9 hilabete,gutxi gorabehera; beraz, joan-etorria egin daiteke.
Kontuan hartu behar da suposatu dugula hasieratik gehienezko abiaduraharrapatu dugula: 360.000 km/h.
Mikel Londresera iritsi berri da. Bidaian abiatu baino lehen 200 libera aldatuzituen banketxean. Hau da eman zioten agiria:
Euro batek 0,649900 libera balioditu; hortaz, aldatu zituen 200liberak 307,74 € ordaindu zituen.Mikelek 48,5 libera balio duengaltza parea erosi nahi du, etaeurotara pasa nahi du prezio hori,kostuaz jabetzeko.a) Iritzirako kalkulua zuzen egin al
du? Zenbateko errorea egin du?b) Hoteleko bost gauek 467 liberako
kostua badute, zenbat izango dakostu hori eurotan, Mikelenzenbatespenei jarraiki? Eta zeinda benetako kostua?
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €; beraz, zenbatespena okerra da. Mikelekegindako errore absolutua 14,63 €-koa da, eta errore erlatiboa, 0,196 €-koa.
b) Benetako kostua 718,57 €-koa da eta egindako errorea: 718,57 ⋅ 0,196 == 140,84 €. Beraz, zenbatespena: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
ATZERRIKO BILLETEAK ETABIDAIA TXEKEAK DIBISATAN EROSTEA ETATXEKEAK KONTUAN SARTZEA DIBISATAN
MIKEL AGIRRE BADIOLA J.Helbidea ARGIAREN ETORBIDEA, Z/GHerria MUNGIAK.P. 28082 N.A.N/I.K. 978687623
Kontzeptua: EZKUTUKO ERAGIKETA
REF. 6036786
BBAANNKKUUAAERAKUNDEA - BULEGOA - KONTUA
2038 - 5538948273647783 EUR
DOKUMENTUA DIBISA ZENBATEKOA KANBIO-TASA KONTRABALIOA
BILLETEAK GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR
307,74 EUR
ERAGIKETA-DATA: 2007/7/31 BALIO-DATA: 2007/7/31 GUZTIRA 307,74 EUR
Komisioak eta gastuak
(Doakionaren sinadura)
BAN
KUA BANKUA
(sinadura eta zigilua)BB AA NN KK UU AA
106���
60 € ingurubalio ditu...
ERANTZUNAK
72
EGUNEROKOAN
Internet sarean nabigatzen genbiltzala, web orri hau aurkitu dugu.
a) Zenbateko distantzia dago Merkurio eta Saturnoren artean?b) Zein da handiena Lurretik Uranorako distantzia ala Martetik Neptunorakoa?c) Bigarren web orriko espazio-ontziaz, zenbat denbora behar da Neptunora
iristeko? Gai izango ginateke Neptuno eta Lurra arteko joan-etorria egiteko?
a) Merkuriotik Saturnorainoko distantzia:
1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 == 1,37109 ⋅ 109 km
b) Lurretik Uranorainoko distantzia:
2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km
Martetik Neptunorainokoa:
4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 kmMartetik Neptunora distantzia handiagoa dago Lurretik Uranora baino.
105���
Zenbaki errealak
Planeten sorrera
Planetak duela 4.500 milioi urte inguru eratu ziren, Eguzkiarekin batera.
Oro har, Eguzkian geratu ez ziren material arinak astunak baino gehiago urrundu ziren.
Hasierako gas- eta hauts-hodeia kiribilka zebilen, eta zona trinkoagoak zituen, planeten hastapenak zirenak.
Grabitateak eta talkek materia gehiago eraman zuten zona horietara, eta errotazio-higidurak biribildu egin zituen.
Planetak Ekuatore-erradioa
Distantzia Eguzkiraino
(km) Ilargiak Errotazio
periodoa Orbita
Merkurio 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 egun 87,97 egun
Artizarra 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 egun 224,7 egun
Lurra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 ordu 365,256 egun
Marte 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 ordu 686,98 egun
Jupiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 ordu 11,86 urte
Saturno 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 ordu 29,46 urte
Urano 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 ordu 84,01 urte
Neptuno 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 ordu 164,8 urte
*Zenbait astronomoren esanetan, Saturno planetari 23 satelite dagozkio
Astronautak
Espazioan biziEsplorazioanBakarrik al gaude?
EsplorazioanExoMars
Etorkizunean Marten egingodiren esplorazioakGarraiobideberriak
Espazioan zehar nabigatzea
Orain arte, ia misio espazial guztiek erregai eta erregarri bidez elikatutako kohete-motorrak erabili izan dituzte. Tamalez, motor horiek ez dira oso eraginkorrak; adibidez, abiarazi zuten unean, ESAren Rosetta espazio-zundaren pisuarenerditik gora erregaia zen.
Egun, ontziek garraiatzen duten erregai kantitatea murrizteko moduak ikertzenari da ESA. Abiapuntuetako bat ioizko motorra da, gasa espaziorantz ‘jaurtitzen’duen ‘pistola’ elektrikoa erabiliko duena.
Ioizko kohete-motor elektrikoak bultzada-indar oso txikia duen arren, gero etaabiadura handiagoa hartzen du, harik eta, unea heltzean, espazio-ontziariabiadura handiz lekualdatzeko aukera ematen dion arte.
SMART 1 zundak ioizko motorra probatu du, arrakastaz probatu ere, LurretikIlargira egindako bidaian. Erabilitako erregai kilogramo bakoitzeko, ontziarenabiadura-igoera 10 aldiz handiagoa da ioizko motorrarekin kohete-motorarruntarekin baino.
Orobat, kohete-motorren ordez ‘eguzki-belak’ baliatuko dituzten espazio-ontziakerabiltzea aztertzen ari da ESA. Eguzkiaren argiak tamaina handiko bela batengainean ‘jo’ eta beste planetetaraino bultza dezake espazio-ontzia. Eguzki-haizetan hilabete askotan egindako bidaiaren ostean, mota horretako espazio-ontziak orduko 360.000 km-ko abiadura lor dezake.
Espazioko estazioak
EsplorazioanLaborategia
Jolasa
Berriak
908272 _ 0001-0003.qxd 20/9/07 15:48 Página 2
3
Aurkibidea0. unitatea Berrikusketa 4-13
1. unitatea Zenbaki arrazionalak 14-43
2. unitatea Zenbaki errealak 44-73
3. unitatea Polinomioak 74-79
4. unitatea Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 100-137
5. unitatea Ekuazio-sistemak 138-177
6. unitatea Zenbakizko proportzionaltasuna 178-207
7. unitatea Progresioak 208-241
8. unitatea Leku geometrikoak.Irudi lauak 242-273
9. unitatea Gorputz geometrikoak 274-309
10. unitatea Higidurak eta antzekotasunak 310-337
11. unitatea Funtzioak 338-365
12. unitatea Funtzio linealak eta afinak 366-393
13. unitatea Estatistika 394-421
14. unitatea Probabilitatea 422-447
908272 _ 0001-0003.qxd 20/9/07 15:48 Página 3
4
ZENBAKIAK
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren sei multiplo.a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723
a) 10, 15, 20, 25, 30, 35b) 20, 30, 40, 50, 60, 70c) 100, 150, 200, 250, 300, 350d) 144, 216, 288, 360, 432, 504e) 200, 300, 400, 500, 600, 700f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren bi zatitzaile.a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725
a) 1 eta 5 c) 3 eta 50 e) 20 eta 80 g) 6 eta 100b) 3 eta 5 d) 10 eta 19 f) 5 eta 9 h) 5 eta 25
Idatzi dagokion hitza hutsuneetan (multiploa edo zatitzailea).a) 6ren ... da 24 c) 25en … da 125b) 24ren … da 12 d) 17ren … da 51
a) 6ren multiploa da 24 c) 25en multiploa da 125b) 24ren zatitzailea da 12 d) 17ren multiploa da 51
Adierazi zein zenbaki diren lehenak, eta zein, konposatuak: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 eta 6.723.
Lehenak: 79, 239, 313
Konposatuak: 93 = 3 ⋅ 31 117 = 32 ⋅ 13 585 = 32 ⋅ 5 ⋅ 131.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 6.723 = 34 ⋅ 83
Aurkitu 100etik 120ra arteko zenbaki lehenak.
100etik 120ra arteko zenbaki lehenak: 101, 103, 107, 109 eta 113.
Bete hutsuneak.a) Zt (30) = {1, 2, 3,�,�,�, 15,�}b) Zt (100) = {1, 2,�,�, 10,�, 25,�, 100}c) Zt (97) = {�, 97}d) Zt (48) = {�, 2, 3, 4, 6,�,�,�,�,�}
a) Zt (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}b) Zt (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}c) Zt (97) = {1, 97}d) Zt (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
006
005
004
003
002
001
Berrikusketa0
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 4
5
0
Kalkulatu zenbaki pare hauen z.k.h.
a) 6 eta 14 c) 5 eta 15 e) 76 eta 85 g) 160 eta 180b) 9 eta 10 d) 42 eta 4 f) 102 eta 104 h) 281 eta 354
a) 2 c) 5 e) 1 g) 20
b) 1 d) 2 f) 2 h) 1
Kalkulatu zenbaki hauen m.k.t.
a) 7 eta 14 c) 9 eta 16 e) 61 eta 49 g) 150 eta 415b) 12 eta 7 d) 8 eta 25 f) 280 eta 416 h) 296 eta 432
a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450
b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984
Kalkulatu zenbaki multzo bakoitzaren z.k.h. eta m.k.t.
a) 25, 50 eta 100 c) 40, 42 eta 48 e) 8, 10, 12 eta 14b) 6, 7 eta 8 d) 12, 18 eta 20 f) 2, 4, 6, 8 eta 10
a) m.k.t. (25, 50, 100) = 100 z.k.h. (25, 50, 100) = 25
b) m.k.t. (6, 7, 8) = 168 z.k.h. (6, 7, 8) = 1
c) m.k.t. (40, 42, 48) = 1.680 z.k.h. (40, 42, 48) = 2
d) m.k.t. (12, 18, 20) = 180 z.k.h. (12, 18, 20) = 2
e) m.k.t. (8, 10, 12, 14) = 840 z.k.h. (8, 10, 12, 14) = 2
f) m.k.t. (2, 4, 6, 8, 10) = 120 z.k.h. (2, 4, 6, 8, 10) = 2
Bi salgai-ontzi portutik atera zirenurtarrilaren 1ean. Lehenengoa handik26 egunera itzuli zen, eta bigarrena, 30 egunera. Etengabejoan-etorrian dabiltza biak. Zenbategun pasatuko dira bi salgai-ontziekberriro ere portuan topo egin arte?
m.k.t. (26, 30) = 390.Itsasontziek 390 egun barru egingo dute topo portuan, hau da, hurrengourteko urtarrilaren 25ean egingo dute topo.
Bi soka-biribilki ditugu, 144 eta 120 m-ko luzerakoak, hurrenez hurren. Ahalik eta neurri handieneko zenbat zati berdin egin daitezke soka-biribilkiekin?
z.k.h. (144, 120) = 24.Soka zatien neurri maximoa 24 m-koa da, eta beraz, egin daitekeen zati kopurua hau da:
= 6 + 5 = 11 zati.144
24
120
24+
011
010
009
008
007
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 5
6
Idatzi baldintza betetzen duten zenbaki oso guztiak.
a) −4 baino handiagoak eta +2 baino txikiagoak.b) +3 baino txikiagoak eta −5 baino handiagoak.c) +1 baino txikiagoak eta −2 baino handiagoak.d) −5 baino handiagoak eta +6 baino txikiagoak.
a) −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2
b) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3
c) −2 < −1 < 0 < 1
d) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6
Adierazi zenbakizko zuzenean zenbaki hauek: −6, 0, −8, +3, −5 eta +4.
Adierazi zenbakizko zuzenean markatutako puntu bakoitzari dagokion zenbaki osoa.
a)
b)
a) A = −5, B = −3, C = 2, D = 5
b) A = −6, B = −4, C = −1, D = 3
Osatu, zenbaki osoak idatziz.
a) −3 <� <� <+1 c) −9 <� <� <−6b) +3 >� >� >−1 d) −15 <� <� <−10
Jar al daiteke zenbaki bat baino gehiago hutsune bakoitzean?
a) −3 < −2 < −1 < +1 c) −9 < −8 < −7 < −6
b) +3 > +2 > +1 > −1 d) −15 < −14 < −13 < −10
Ebazpena ez da bakarra, c) atalerako izan ezik.
Kalkulatu.
a) ⏐+3⏐ b) ⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐
a) ⏐+3⏐ = 3 c) ⏐−7⏐ = 7 e) ⏐+5⏐ = 5
b) ⏐−3⏐ = 3 d) ⏐−4⏐ = 4 f) ⏐−9⏐ = 9
Kalkulatu zenbaki hauen aurkakoak.
a) −5 b) +8 c) −15 d) −40 e) +125 f) −134
a) aur (−5) = +5 c) aur (−15) = +15 e) aur (+125) = −125
b) aur (+8) = −8 d) aur (−40) = +40 f) aur (−134) = +134
017
016
015
0
A B C D
A B C D
0
014
−8 −6 −5 +3 +40
013
012
Berrikusketa
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 6
7
0
Kalkulatu.
a) (−11) + (+4) c) (−20) + (−12)b) (+13) + (+12) d) (+11) + (−15)
a) (−11) + (+4) = −7 c) (−20) + (−12) = −32
b) (+13) + (+12) = 25 d) (+11) + (−15) = −4
Egin kenketa hauek.
a) (−5) − (+5) c) (−15) − (−17)b) (+3) − (−7) d) (+8) − (+7)
a) (−5) − (+5) = −10 c) (−15) − (−17) = 2
b) (+3) − (−7) = 10 d) (+8) − (+7) = 1
Kalkulatu.
a) (−4) + (+5) − (−18) c) (+20) − (−5) − (+5)b) (+30) − (+7) + (−18) d) (−12) − (+3) − (−7)
a) (−4) + (+5) − (−18) = 19 c) (+20) − (−5) − (+5) = 20
b) (+30) − (+7) + (−18) = 5 d) (−12) − (+3) − (−7) = −8
Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen.
a) (+13) + � = (+12) c) (−15) −� = (+9)b) � + (−20) = (−12) d) � − (+8) = (+7)
a) −1 b) 8 c) −24 d) 15
Kalkulatu.
a) (+4) ⋅ (−5) c) (−40) ⋅ (−10)b) (−40) ⋅ (+8) d) (+2) ⋅ (+15)
a) (+4) ⋅ (−5) = −20 c) (−40) ⋅ (−10) = 400
b) (−40) ⋅ (+8) = −320 d) (+2) ⋅ (+15) = 30
Egin zatiketa hauek.
a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10)
a) (+35) : (−7) = −5 c) (−18) : (−2) = 9
b) (−21) : (+3) = −7 d) (+40) : (−10) = −4
Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen.
a) (+13) ⋅ � = (+39) c) (−15) : � = (+5)b) � ⋅ (−6) = (−42) d) � : (+8) = (+2)
a) 3 b) 7 c) −3 d) 16
024
023
022
021
020
019
018
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 7
8
Egin eragiketa hauek.
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3)b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5)c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4)d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) = 6 + (−2) − (−4) = 8
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) = 7 − (+1) + (−3) = 3
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) = 3 + (−1) − (−11) = 13
d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) = −8 + (+5) + (−16) = −19
e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) = 10 − (+1) + (−12) = −3
f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) = 1 − (−1) + (−9) = −7
g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) = −1 − (0) = −1
h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) = 3 + (−4) − (−5) = 4
Kalkulatu adierazpenen balioak.
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 d) 100 − 22 ⋅ 5b) (−12) ⋅ 7 : 3 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4c) 9 − 12 : 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 = 5
b) (−12) ⋅ 7 : 3 = −28
c) 9 − 12 : 4 = 6
d) 100 − 22 ⋅ 5 = −10
e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 = −13 − 2 + 4 = −11
f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 = −135 + 21 = −114
Egin eragiketak.
a) (−4) − (−6) : (+3)b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2)c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9)d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5)e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6)f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]
a) (−4) − (−6) : (+3) = (−4) − (−2) = −2
b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) = −1 − (−14) = 13
c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) = (−11) − (+2) − (−9) = −4
d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + (+5) = −12
e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) = (−5) − (−9) − (−1) = 5
f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] = (+3) − (−3) = 0
027
026
025
Berrikusketa
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 8
Kalkulatu.
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3)b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)]d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) = 30 − 12 = 18
b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 = [(−1) + 9] ⋅ 7 = 56
c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] = 2 ⋅ (−2) = −4
d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] = (−6) − (−143) = 137
Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen.
a) (−6) ⋅ [(−1) + �] = −18 c) 3 − [� ⋅ 5] = 18b) 8 ⋅ [4 −�] = 32 d) 1 + [3 : �] = −2
a) 4 b) 0 c) −3 d) −1
Adierazi arrazoi banaren bidez.
a) Testaren 55 galderetatik 36 asmatu ditut.b) 68 arrautza genituen eta 12 hautsi dira.c) Lehen txandan 94 ikaslek bazkaltzen dute, eta bigarrenean, 65ek.d) Fruitu-denda batean, 7 kutxa tomate eta 3 kutxa piper daude.
a) b) c) d)
Ikastetxeko jangelan, 3 ogi jartzen dituzte 8 ikasleko. Gaur 124 ikaslek bazkaldu dugu eta 50 ogi jarri dituzte. Eutsi al diote proportzioari?
eta arrazoiek proportzioa osatzen duten ala ez aztertuko dugu.
3 ⋅ 124 � 8 ⋅ 50
Beraz, ez diote eutsi proportzioari.
Bereizi zer arrazoik osatzen duten proportzioa.
a) b) c)
a) Proportzioa osatzen dutenak: .
b) Proportzioa osatzen dutenak: .
c) Proportzioa osatzen dutenak: .7 5
3
10
4
,=
10
2
50
10=
2
1
6
3=
7 53
46
32
104
,, , ,
102
5010
308
205
, , ,21
82
63
95
, , ,
032
50
124
3
8
031
3
7
65
94
12
68
36
55
030
029
028
9
0ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 9
10
«MENDIBIDE: GALDETUTAKOEN %8K SOILIK KRITIKATU DU UDALAREN LANA.»
Mendibidek 7.000 biztanle baditu, zenbat biztanlek onartzen dute, gutxigorabehera, udalaren lana?
7.000ren % 8 = 560 biztanlek kritikatzen dute udalaren lana.
Beraz, 7.000 − 560 = 6.440k onartzen dute udalaren lana.
Eskuinean jogurt baten konposizioa ageri da:
Kalkulatu osagaien pisua, jogurta 125 g-koa bada.
125 g jogurtean osagai hauek daude:
125en % 3,5 = 4,375 g proteina
125en % 13,4 = 16,75 g karbohidrato
125en % 1,9 = 2,375 g koipe
GEOMETRIA
Marraztu poligono hau koadernoan, eta adierazi aldeak, erpinak eta angeluak. Marraztu diagonalak. Zenbat diagonal ditu?
5 diagonal ditu.
Marraztu erregularrak ez diren oktogono, eneagono eta dekagono bana, eta haien diagonalak.
036
035
034
033
Berrikusketa
NUTRIZIO-BALIOAProteinak: % 3,5
Karbohidratoak: % 13,4Koipeak: % 1,9
G
G
G
G
Erpina
Diagonala
Aldea
Angelua
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 10
11
0
Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak.
a) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake alde baino.b) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake angelu baino.c) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake diagonal baino.
a) Okerra. c) Zuzena; esate baterako,
b) Okerra. triangeluak eta karratuak.
Marraztu zirkunferentzia bat, konpasa erabiliz. Ondoren, marraztu korda bat etadagozkion bi arkuak.
Alboko zirkunferentzian, adierazi zer zuzenki diren kordak, erradioak eta diametroak.
Erantzun galdera hauei.
a) Izan al daiteke aldeberdina triangelu angeluzuzen bat?b) Zenbatekoak dira triangelu angeluzuzen isoszele baten angeluak?c) Triangelu angeluzuzen baten angelu zorrotz bat beste angelu
zorrotza halako hiru da. Zer neurri dute angeluek?
a) Ez, triangelu aldeberdinaren hiru angeluak 60°-koak direlako.
b) Angelu bat 90°-koa da, eta beste biak, 45°-koak.
c) Angelu bat 90°-koa da; beste bat, 22,5°-koa; eta hirugarrena, 67,5°-koa.
Triangelu isoszele baten angelu desberdina 50°-koa da. Zenbatekoak dira angeluberdinak?
Angelu berdinak:
.180 50
265
−= °
C
A B
041
040
Kordak
Diametroa
Erradioak
F
F
G
G
G
G
039
G
FBA� arkuaKorda
G AB� arkua
B
A
038
037
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 11
12
Triangelu angeluzuzen, isoszele eta eskaleno bana marraztu, eta oinarriarekikoparaleloa den zuzen batez ebakitzen baditugu, zer poligono lortuko dugu kasubakoitzean?
Triangelu angeluzuzenaren kasuan, oinarria kateto bat bada, beste triangeluangeluzuzen bat eta trapezio angeluzuzen bat lortuko ditugu. Oinarriahipotenusa bada, triangelu angeluzuzen bat eta trapezio bat lortuko ditugu.
Triangelu isoszelearen kasuan, oinarria alde desberdina bada, triangeluisoszele bat eta trapezio isoszele bat lortuko ditugu. Oinarria alde berdin batbada, triangelu isoszele bat eta trapezio bat lortuko ditugu.
Kalkulatu zenbatekoa den C$ alboko trapezio angeluzuzenean, jakinik B$ = 45°dela.
A$ = 90°, D$ = 90° eta B$ = 45° → C$ = 360 − 90 − 90 − 45 = 135°
FUNTZIOAK
Idatzi puntu bakoitzaren koordenatuak.
A(3, 2) C(0, 4) E(5, −3) A(3, 6) C(−4, 5) E(−5, 0)
B(−4, 2) D(1, −3) F(−2, −2) B(6, 1) D(0, −1) F(4, −3)
AB
C
D E
F
Y
X
A
B
C
D
E
F
1
1
1
1
G
Y
X
044
043
042
Berrikusketa
Triangelua eskalenoa bada, jatorrizkoaren antzeko triangelu eskaleno bat eta trapezio bat lortuko ditugu.
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 12
13
0
Puntu hauek ditugu: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) eta D(−2, -3):a) Adierazi planoan.b) Elkartu ordena alfabetikoan, eta gero, elkartu D eta A. Zer irudi lortu duzu?
Erronboide bat.
Egin gauza bera puntu hauekin: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) eta E(0, −4).
Pentagono bat lortzen da.
Adierazi grafikoki puntu hauek: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) eta E(−1, 2).a) Esan zein diren ordenatu bera duten puntuak.b) Zenbat puntuk dute abzisa bera? Zein dira?
a) Ordenatu bera: A, D eta E.
b) Abzisa bera: A eta C.
Marraztu koordenatu-ardatzak, puntua A(2, -1) izan dadin.
A
Y
X
2
−1
048
AE
B
C
D
Y
X0
5
3
1
−1
−3
−5
047
A
E
BC
D
Y
X1
1
046
A
B
C
D
Y
X1
1
045
3−3 5 7
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 13
14
Zenbaki arrazionalak1
ZEHATZAK PERIODIKOAKEZ-ZEHATZAK ETAEZ-PERIODIKOAK
SOILAK
ZATIKIAK
MISTOAK
ZENBAKIHAMARTARRAK
ZATIKI BALIOKIDEA
ERAGIKETAK
ZATIKILABURTEZINA
ZENBAKIARRAZIONALAK
ZATIKETABATUKETA KENKETA BIDERKETA
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 14
Egunari:
Gauari: 69
23
=
39
13
=
Oroitzapenen bidezidorra
Aita santuaren tronuaren egoitza zabal eta huts ageri zen Silvestre II.aren aurrean. Antzinahain boteretsua izandako Erromako aita santuak galdua zuen jada bere botere politiko guztia. Haatik, haren presentzia hutsa nahikoa zen edonoren baitan errespetu ia mistikoa sorrarazteko.
Zahartzarora helduta, bere iraganeko bideetan zehar paseatzea atsegin zuen. Inork ezinziezaiokeen haraino jarraitu, eta aske sentitzen zen. Atseginez oroitzen zuen Ripollekokataluniar monasterioan egindako egonaldia, hango liburutegi izugarrira egindakobisitaldi sarriak, eta Hegoaldetik etorritako zientzia.
Oroimenera etortzen zitzaizkion zenbait pasadizok aurpegia alaitzen zioten. Adibidez, fitxetan arabiar zenbakiak idatzita zituen abako hura oroitu zuen. Berak egin zuen, eta xehetasun handiz azaldu zuen haren erabilera. Oroitu zuen, orobat, denbora zatikatzeko makina haren proiektua, fraideen kanpaiak ordeztu behar zituena: matutiak, laudeak, primak, tertziak...
Liburua ireki zuen eta, ausaz, denbora neurtzeko makinaren proiektua agertu zitzaion. Honela zioten proiektu haren lehenengo lerroek:
Eguna eta gaua dira eguna osatzen duten bi zatiak;
ez dira berdinak, ordea. Abenduaren lehenean
3 kandela erre dira egunez; gauez, berriz,
6 kandela…
Bat-batean, kandeletako kea haize-laster baten ostean bezala, denboran atzera marraztutako balizko bidea desagertu egin zitzaion, idazkariaren ahotsa entzutean; jakinarazten zion, apur bat urrunetik, hurrengo audientzia hastear zegoela.
Egunaren zer zati emango zenizkioke egunari eta gauari?
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 15
16
ARIKETAK
Kalkulatu.
a) 450en b) 350en
a) b)
Aztertu zatiki hauek baliokideak diren ala ez.
a) eta b) eta
a) Baliokideak dira; izan ere: 7 ⋅ 6 = 42 = 2 ⋅ 21.
b) Ez dira baliokideak; izan ere: 12 ⋅ 25 = 300 � 600 = 60 ⋅ 10.
Adierazi zatiki hauek batekoaren zati gisa, grafiko baten bidez.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Idatzi zenbakizko balio hauek dituzten zatikiak:
a) 2 b) −2 c) 0,5 d) 1,5
a) c)
b) d)
Idatzi, beheko zatiki hauetako bakoitzerako, lau zatiki baliokide: bi anplifikazioz eta bi sinplifikazioz.
a) b) c)
ANPLIFIKAZIOZ SINPLIFIKAZIOZ
a)
b)
c)12
28
6
14
3
7= =
12
28
24
56
36
84= =
690
360
230
120
69
36= =
690
360
1 380
720
2 070
1 080= =
. .
.
120
60
60
30
40
20= =
120
60
240
120
360
180= =
1228
690360
12060
005
3
21 5= ,
−= −
6
32
1
20 5= ,
14
72=
004
63
55
74
410
003
1025
1260
216
72
002
3
7350 150⋅ =
4
5450 360⋅ =
37
45
001
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 16
17
1
Kalkulatu zatiki hauen zatiki laburtezinak.
a) b) c)
a) z.k.h. (18, 40) = 2 ⎯→
b) z.k.h. (60, 75) = 15 →
c) z.k.h. (42, 56) = 14 →
Aurkitu, izendatzailea 100 izanik, zatiki hauen baliokideak diren zatikiak:
, eta .
zatikia laburtezina da. Laburtezina izaten jarraituko al du zenbakitzailea
eta izendatzailea 7z biderkatzen baditugu?
Ez da izango laburtezina, zenbakitzaileak eta izendatzaileak 7 biderkagai komuna izango baitute.
Ordenatu txikienetik handienera.
a)
b)
a) m.k.t. (9, 3, 5, 30) = 90;
b) m.k.t. (5, 4, 7, 9) = 1.260;
3
7
4
9
3
5
3
4< < <
4
9
560
1 260=
.
3
5
756
1 260
3
4
945
1 260
3
7
540
1 260= = =
.,
.,
.,
1
3
11
30
2
5
4
9< < <
4
9
40
90
1
3
30
90
2
5
36
90
11
30
33
90= = = =, , ,
35
34
37
49
, , ,
49
13
25
1130
, , ,
009
ab
008
11
20
55
100=
39
50
78
100=
13
25
52
100=
1120
3950
1325
007
42
56
3
4=
60
75
4
5=
18
40
9
20=
4256
6075
1840
006
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 17
18
Ordenatu txikitik handira: .
m.k.t. (9, 3, 4, 5 ,7) = 1.260;
Zenbat balio behar du a-k izan dadin?
a-k 7 baino handiagoa izan behar du: a > 7.
Kalkulatu.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Egin biderketa hauek.
a) b)
a)
b)
Egin eragiketa hauek.
a) b)
a)
b) − − − = − − − =59
4
3
14
140
28
63
28
6
28
209
28
− + − = − + − =−7
2
9
4
5
8
28
8
18
8
5
8
15
8
− − −594
314
− + −72
94
58
014
( )− ⋅ =−
= −411
2
44
222
12
5
7
3
84
15
28
5⋅ = =
( )− ⋅4112
125
73⋅
013
48
3
12
3
8
3
4
3− = − =
5
3
4
3
1
3− =
57
8
40
8
7
8
47
8+ = + =
7
8
3
8
10
8
5
4+ = =
483
−578
+
53
43
−78
38
+
012
a5
75
>011
−<−< < <
3
4
2
3
5
9
6
7
8
5
8
5
2 016
1 260
6
7
1 080
1 260= =
.
.,
.
.
5
9
700
1 260
2
3
840
1 260
3
4
945
1 260=
−=− −
=−
.,
.,
.,
59
23
34
85
67
, , , ,− −
010
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 18
19
1
Osatu zatiki banarekin.
a) b)
a)
b)
Egin zatiketa hauek.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Kalkulatu.
a) b)
a)
b)
Egin eragiketak.
a) b)
a)
b)
Osatu zatiki banarekin, berdintza horiek zuzenak izan daitezen.
a) b)
a) b)6
5
3
5
30
15
6
3: = =
3
5
21
20
60
105
4
7: = =
:35
63
== 2120
35
:
019
9
4
5
6
8
9
6
5
83
36
6
5− +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−: :
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =−415
216
−⋅ + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =−⋅ =
7
3
3
5
5
6
7
12
7
3
51
60
357
180
94
56
89
65
− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:
− ⋅ + −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
73
35
56
712
018
4
25
8
2
7
20
4
25
73
20
349
100− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
5
9
7
5
4
15
5
9
17
15
76
45+ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = + =
425
82
720
− −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
59
75
415
+ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
017
( ) :− =−
=−
510
9
45
10
9
2
8
11
3
5
40
33: =
47
2
8
7: =
9
5
4
7
63
20: =
( ) :−5109
811
35
:
472
:95
47
:
016
3
7
1
21
10
21
3
7
10
21
1
21+ = − =
−→
1
4
1
3
1
12
1
3
1
12
1
4− =
−+−=→
= −121
37−= 1
413+
015
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 19
20
Adierazi zati osoa, zati hamartarra, periodoa eta aurreperiodoa.
a) 0,333… c) 3,37888…b) 234,4562525… d) 0,012333…
a) Zati osoa: 0. c) Zati osoa: 3.
Periodoa: 3. Aurreperiodoa: 37.
Periodoa: 8.
b) Zati osoa: 234. d) Zati osoa: 0.
Aurreperiodoa: 456. Aurreperiodoa: 012.
Periodoa: 25. Periodoa: 3.
Sailkatu zenbaki hauek.a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6
a) Periodiko soila.
b) Periodiko mistoa.
c) Hamartar zehatza.
Osatu hamarna zifra hamartar izan arte.a) 1,347347… c) 3,2666…b) 2,7474… d) 0,253737…
a) 1,3473473473 c) 3,2666666666
b) 2,7474747474 d) 0,2537373737
Idatzi bi zenbaki hamartar ez-zehatz eta ez-periodiko.
2,12345678… eta 56,12112111211112…
Zatiketa egin gabe, sailkatu zatiki hauek adierazpen modua kontuan hartuz: zenbaki osoa, hamartar zehatza ala periodikoa. Azaldu nola egin duzun.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Periodikoa. f) Periodikoa.
b) Periodikoa. g) Osoa.
c) Hamartar zehatza.h) Hamartar zehatza.
d) Osoa.
e) Hamartar zehatza. i) Periodikoa.−−
=−−
346
222
173
111→111
240
37
80= →
−=−84
210
2
5→
−−
346222
176
95
−84210
111240
76
−8517
17525
53
024
023
022
021
020
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 20
Idatzi zenbaki hauek adierazteko bina zatiki:a) Zenbaki osoa.b) Zenbaki hamartar zehatza.c) Zenbaki hamartar periodikoa.
a) b) c)
Zatiki batean zenbakitzailea izendatzailearen multiploa ez bada, eta izendatzaileak2 eta 5 ez diren biderkagaiak baditu, zer zenbaki hamartar mota adierazten du?
Hamartar periodiko soila adierazten du, ez delako osoa eta izendatzaileko biderkagaiak ez direlako ez 2 eta ez 5.
Lortu zenbaki hamartar hauen zatiki sortzaileak.
a) 3,54 f) 0,8)
b) 9,87 g) 0,77)
c) 0,000004 h) 5,211)
d) 24,75 i) 37,111)
e) −7,002 j) −2,02)
a) f)
b) g)
c) h)
d) i)
e) j)
Adierazi zatiki gisa.
a) 3,9)
b) 1,79)
c) 15,9)
Zeren baliokide da 9z osatutako periodoa?
a) b) c)
9z osatutako periodoa ondorengo zenbaki oso handiagoaren baliokidea da.
Osatu: a) b)
a) b) 5 628
5, =5 33
533
100, =
5 65
, = �5 33533
, =�
029
144
916=
162
918=
36
94=
028
−200
99
−=−7 002
1 000
3 501
500
.
.
.
4 120
111
.2 475
100
99
4
.=
5 206
999
.4
1 000 000
1
250 000. . .=
7
9
987
100
8
9
354
100
177
50=
027
026
5
3
8
35eta
3
5
7
2eta
4
2
20
4eta
025
21
1ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 21
22
Lortu zenbaki hauen zatiki sortzaileak.
a) 3,24)
b) 11,87)
c) 5,925)
a) b) c)
Kalkulatu, zatiki sortzaileak erabiliz.
a) 2,75 + 3,8 b) 5,06)− 2,95
)
a)
b)
Arrazoitu, zatiki sortzaileak lortu gabe, zergatik diren okerrak berdintza hauek.
a) c)
b) d)
a) Okerra da, izendatzaileak 990 izan behar duelako: 99 periodoarengatik eta 0 aurreperiodoarengatik.
b) Okerra da, izendatzaileak ezin duelako zati osoa, periodoa etaaurreperiodoa elkartuta baino handiagoa izan; kasu honetan, 23.
c) Okerra da, zatidura 2 baino txikiagoa delako (55 < 2 ⋅ 45) eta zenbakia 12 baino handiagoa.
d) Okerra da, izendatzaileak 900en zatitzailea izan behar duelako; eta ez da.
Osatu taula hau, kontuan izanik zenbaki bat lauki batean baino gehiagotan egondaitekeela.
−0,224466881010… −1,897897897…− 240,67543 −3,0878787… −1,5
Idatzi baldintzak betetzen dituzten zk. arrazionalak adierazten dituzten 4na zatiki:
a) 1 baino txik. eta −1 baino handiagoak. b) −1 baino hand. eta 0 baino txik.
a) b)− − − −5
9
1
3
2
5
51
65, , ,
− −7
9
2
3
2
5
48
65, , ,
034
Zenbakiarrunta
Zenbakiosoa
Hamartarzehatza
Hamartarperiodikoa
Hamartar ez-zehatzaeta ez-periodikoa
Zenbakiarrazionala
24 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543−1,5 −3,0878787… −1,897897897…
−3,0878787…24
−1,5
033
012456495
,�=0 023
321990
, � =
12 375545
,�=0 243
241999
, � =
032
456
90
266
90
190
902− = = ,1�
275
100
38
10
275 380
100
655
1006 55+ =
+= = ,
031
5 866
990
.1 069
90
.292
90
030
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 22
23
1
Idatzi arrazionalak ez diren eta tarte hauetan dauden launa zenbaki:
a) −1etik 1era bitartean b) −1etik 0ra bitartean
a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…;0,135791113…
b) −0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…;−0,135791113…
ARIKETAK
Adierazi enuntziatu hauek zatiki bana erabiliz.
a) Pizza bat zortzi zatitan banatu dute, eta Jonek bi jan ditu.b) 20 ikasleko ikasgela batetik, 15 ikasle txango bat egitera joan dira.c) 7 neskaz osatutako lagun talde batetik 3 ilegorriak dira.d) 5 pertsonatik batek bizkarreko arazoak ditu.
a) b) c) d)
Idatzi irudi bakoitzean zati koloreztatuak adierazten duen zatikia.
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
Adierazi zatiki hauek, irudi geometrikoak erabiliz.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
49
76
52
37
038●
3
5
2
8
1
4=
11
8
1
3
037●
1
5
3
7
15
20
3
4=
2
8
1
4=
036●
035
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 23
24
Koloreztatu irudi honen .
Kalkulatu.
a) 180ren c) 40ren e) 320ren
b) 420ren d) 540ren f) 1.342ren
a) 90 b) 350 c) −16 d) 240 e) 200 f) −366
041
−311
49
56
58
−25
12
040●
23
039●
EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DIRA ZATIKI INPROPIOAK ZENBAKIZKO ZUZENEAN?
Adierazi zatiki hau zenbakizko zuzenean: .
LEHENA. Zenbaki oso batez gehi zatiki propio batez adierazten da zatikia.
→ →
Zatikia 5etik 6ra bitartean dago.
BIGARRENA. 5etik 6ra bitartean dagoen zuzenaren zatia izendatzaileak adierazitako zatitan banatu (3) eta zenbakitzaileak adierazten duen adina zati hartzen dira (1).
Zuzen zati hori zatitzeko, jatorria 5en duen zuzenerdia marrazten da, nahi denmaldarekin; eta hiru zuzenki berdin marrazten dira.
Azken zuzenkiaren muturra 6 adierazten duen puntuarekin lotzen da, eta beste bietatik zuzen horrekiko paraleloak diren bi zuzen marrazten dira.
5 6
5 16
3
6
5 6
16
35
1
3= +16 3
1 5
16
3
163
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 24
25
1
Adierazi zenbaki arrazional hauek.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Zer zatiki adierazten du letra bakoitzak?
a)
b)
c)
a) b) c)
Adierazi zatiki pare hauek baliokideak diren ala ez.
a) d)
b) e)
c) f)
a) 3 ⋅ 7 � 10 ⋅ 21. Ez dira baliokideak.
b) −1 ⋅ 30 � 7 ⋅ (−14). Ez dira baliokideak.
c) 6 ⋅ 8 � 10 ⋅ 3. Ez dira baliokideak.
d) −2 ⋅ 5 � 3 ⋅ (−4). Ez dira baliokideak.
e) 2 ⋅ 20 = 5 ⋅ 8. Baliokideak dira.
f) 20 ⋅ 450 � 50 ⋅ 120. Ez dira baliokideak.
2050
120450
eta6
1038
eta
25
820
eta− −17
1430
eta
− −23
45
eta3
10217
eta
044●
62
6
38
6+ =1
1
5
6
5+ =− − =
−2
2
3
8
3
C
6 7
B
1 2
A
−3 −2 −1
043●
28
8
3 4
−−
= = +28
8
28
83
4
8
13
3
4 5
13
34
1
3= +
−7
5
−2 −1
−= − −
7
51
2
5
2
9
0 1
−−288
−75
133
29
042●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 25
26
Kalkulatu x-ren balioa, zatikiak baliokideak izan daitezen.
a) b) c) d)
a) x = = 15 c) x = = 8
b) x = = 6 d) x = = 3
Osatu.
Jarri batera baliokideak diren zatikiak.
Lortu zatiki hauetako bakoitzaren lau zatiki baliokide; bi anplifikazio bidez, etabeste bi sinplifikazio bidez.
Anplifikazioa: . Anplifikazioa: .
Sinplifikazioa: . Sinplifikazioa: .
Anplifikazioa: . Anplifikazioa: .
Sinplifikazioa: . Sinplifikazioa: .
Anplifikatu zatiki hauek, kontuan hartuz zatikien izendatzaileek 300 bainohandiagoak eta 400 baino txikiagoak izan behar dutela.
a) b) c) d) e) f)
a) c) e)
b) d) f)−770
350
−30
370
162
312
120
320
900
330
100
360
−115
38
−337
311
2752
518
049●●
504
72
252
36
126
18= =
60
36
30
18
10
6= =
504
72
1 008
144
1 512
216= =
. .60
36
300
180
600
360= =
30
45
6
9
2
3= =
8
100
4
50
2
25= =
30
45
300
450
600
900= =
8
100
16
200
24
300= =
50472
3045
6036
8100
048●
− −1
2
3
6eta
4
2
10
5eta−−
20
40
2
4eta
2040
42
12
105
24
36
, , , , ,− −
−−
047●
2
3
4
6
4
6
20
30
30
45= = = =
23
46 30
30= = = =�
� �
�
046●
14 9
42
⋅9 4
6
⋅
12 6
9
⋅10 6
4
⋅
1442 9= xx
1269
=9 64x
=104 6= x
045●
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 26
27
1
Sinplifikatu zatiki hauetako bakoitza, zatiki laburtezina lortu arte.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Adierazi zatikien sinplifikazio hauen artean zein dauden gaizki eginda, etaargudiatu zergatia.
a) c)
b) d)
a) Gaizki, zenbakitzaileko eta izendatzaileko batugaiak ezin direlako sinplifikatu.
b) Ongi.
c) Gaizki, zenbakitzaileko eta izendatzaileko batugaiak ezin direlako sinplifikatu.
d) Ongi; hala ere, gehiago sinplifika daiteke.
Idatzi eta , zatikien zatiki baliokide bana. Izendatzaile bera izan behar dute.
m.k.t. (5, 6) = 30
Ordenatu handienetik txikienera.
a) d)
b) e)
c) f)25
47
835
12
, , ,38
1024
2048
, ,
− −4360
1040
810
, ,− −11
87
8,
− − −46
216
512
, ,49
78
,−
053●
→ 1
5
6
30
4
6
20
30= =eta
46
15
052●●
4080
40 2080 20
24
= =::
2214
2 112 7
117
= ⋅⋅
=
2018
15 515 3
53
= ++
=2213
11 1111 2
112
= ++
=
051●●
1
3
2
3
4
9
10
7
8
9
105
4
5
15=
5
4
1
2
618
4060
818
3021
1618
2108
5511
1512
2040
050●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 27
28
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Idatzi pare hauen artean dagoen zatiki bana:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)−+−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−5
9
6
92
11
18:
7
6
8
62
15
12
5
4+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =:
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
6
1
52
1
60:
9
7
11
92
158
126+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =:
−+−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−3
7
2
52
29
70:
4
5
7
82
67
80+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =:
− −59
69
eta− −37
25
eta97
119
eta
−16
15
eta76
86
eta45
78
eta
055●●
054
2
5
28
70
4
7
40
70
8
35
16
70
1
2
35
70
4
7
1
2
2= = = = > >, , , →
55
8
35>
10
40
15
60
8
10
48
60
10
40
43
60
8
10=
−=−
>−
>−
, →
−=− −
=− −
>−>−4
6
8
12
21
6
42
12
5
12
4
6
21
6, →
3
8
18
48
10
24
20
48
10
24
20
48
3
8= = = >, →
−>−7
8
11
8
4
9
7
8>−
EGIN HONELA
NOLA LORTZEN DA BI ZATIKIREN ARTEAN DAGOEN ZATIKI BAT?
Bilatu eta idatzi bi zatiki hauen artean dagoen zatiki bat: eta .
LEHENA. Bi zatikiak batu egin behar dira.
BIGARRENA. Sortutako zatikia 2z zatitu behar da.
zatikia eta zatikien artean dago.7
6
4
9
29
36
29
182
29
36: =
4
9
7
6
8
18
21
18
29
18+ = + =
76
49
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 28
29
1
Kalkulatu.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Egin kenketa hauek.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Kalkulatu.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Egin eragiketak.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)−
− − =−18
21
63
21
49
21
130
21
−+ − =
−8
20
15
20
20
20
13
20
18
24
15
24
192
24
159
24+ − =
−10
12
20
12
15
12
45
12
15
4+ + = =
14
30
20
30
5
30
11
30− − =
−24
16
5
16
6
16
23
16+ − =
− − −67
373
715
23
16
− −56
53
54
+ +
912
58
8+ −− + −25
34
132
516
38
+ −
059●
189
63
3
63
9
63
14
63
191
63− − + =
70
77
110
77
84
77
96
77+ − =
156
156
13
156
60
156
109
156+ − =
150
210
21
210
70
210
199
210− + =
24
6
1
6
7
6
30
65− + = =
34
7
3121
17
29
− − +416
76
− +57
110
13
− +
11
125
13+ −10
11107
1211
+ −257
117
27
+ −
058●
154
66
33
66
6
66
115
66− − =
15
30
2
30
13
30− =
126
84
12
84
14
84
100
84− − =
23
11
73
12
111
− −32
17
212
− −510
115
−3311
1011
−
057●
63
7
5
7
6
7
62
7+ − =
21
6
12
6
8
6
41
6+ + =
−7
2
8
4
957
67
+ −52
32
92
− −72
286
+ +34
54
14
+ +
056●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 29
30
Egin eragiketa hauek.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Osatu hutsuneak.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Egin biderketa hauek.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Egin eragiketa.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)9 3 11
4 11 3
9
4
⋅ ⋅⋅ ⋅
=27
42
9
14=
162
35− = −
14
36
7
18
3
24
1
8=
36
30
6
5=
94
311
113
⋅ ⋅−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
14
36
29
74
⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
97
65
3⋅ ⋅96
37⋅12
536⋅
063●●
84
9
28
3=
70
6
35
3=
40
14
20
7=
12
15
4
5=
2149⋅7
2103
⋅514
8⋅23
65⋅
062●
= − − =−1
4
1
6
1
5
7
60= − =
4
5
4
6
2
15
= − − =−3
9
3
7
3
8
79
504= − =
1
2
1
3
1
6
= 16
14
15
− −= 46
45−
= 39
37
38
+= 12
13+
061●●
1 521
1 287
99
1 287
1 573
1 287
3 193
1 287
.
. .
.
.
.
.+ + =
9
18
2
18
2
18
9
18
1
2+−+ = =
588
924
77
924
330
924
995
924+ + =
50
70
7
70
43
70+−=
385
77
70
77
110
77
565
77+ + =
−7
16
1311
113
119
+ +51011
107
+ +57
110
+ −
711
112
514
+ +12
19
218
+ − +− + −516
216
060●
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 30
31
1
Kalkulatu.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Egin zatiketa hauek.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Osatu hutsuneak.
a) d)
b) e) (−5) ⋅
c) f) = −2
a)
b)
c)
d)
e)
f) = − =−4
52
2
5: ( )
=−
− =10
35
2
3: ( )
= = =1
4
1
5
1
6
30
4
15
2: :
= =3
9
3
7
3
8
56
27: :
=−=−4
5
4
6
6
5:
= =1
4
1
3
3
4:
45
:= 39
37
38
⋅ ⋅
= −103
= −46
45
:
= 16
14
15
: := 14
13
⋅
066●●
− =−15
60
1
4
64
3
11
21
14
105
2
15=
56
103
:−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟8
38
:
113
7:75
212
:
065●
−=−40
90
4
9
20
84
5
21=
63
30
21
10=
10
24
5
12=
815
65
:−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
512
74
:
95
67
:58
32
:
064●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 31
32
Kalkulatu.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Egin eragiketak.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Adierazi zenbaki bakoitzaren zati osoa eta zati hamartarra.
a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820…b) 274,369 d) 127,4555… f) −7,0222…
a) Zati osoa: 0. Zati hamartarra: 75.
b) Zati osoa: 274. Zati hamartarra: 369.
c) Zati osoa: 1. Zati hamartarra: 8989…
d) Zati osoa: 127. Zati hamartarra: 4555…
e) Zati osoa: 2. Zati hamartarra: 161820…
f) Zati osoa: −7. Zati hamartarra: 0222…
069●
3
5
21
20
33
20+ =
72
15
13
15
72
13: =
2
75
37
7+ =
8
5
7
30
48
7: =
4
3
7
18
17
18− =
4
5
17
72
17
90⋅−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =−
3
10
5
4
19
20− =
−7
6
21
60
49
60− =
25
310
718
: −85
35
1130
: +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
12
65
75
43
⋅ + :25
34
54
⋅ −45
524
49
⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
27
32135
+ :83
59
65
13
: :⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
76
320
815
− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
068●●●
8
3
7
15
33
15− =
7
51
2
5− =
35
36
7
3
2
5
245
108
2
5
1 441
540⋅ + = + =
.6
5
16
21
46
105− =
91
4
41
159
41
60
499
60− ⋅ = − =
11
20
7
3
77
60⋅ =
97
12
2
5
529
60− + =
4
5
7
12
48 35
60
13
60− =
−=
914
73
25
− ⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟2
35
47
34
⋅ − :
23
34
15
37
: − ⋅914
73
25
− ⋅ +45
14
73
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
914
73
25
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
35
47
34
1: : −45
14
73
− ⋅
067●●
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 32
33
1
Adierazi, zatiki batez eta zenbaki hamartar batez, irudi hauetako bakoitzaren zati koloreztatua.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Adierazi zenbaki hauen artean zein diren periodikoak, eta zein, ez. Periodikoak direnetan, adierazi periodoa.
a) 1,333… d) 6,987654…b) 2,6565… e) 0,010101…c) 3,02333… f) 1,001002003…
a) Periodikoa; periodoa, 3.
b) Periodikoa; periodoa, 65.
c) Periodikoa; periodoa, 3.
d) Ez-periodikoa.
e) Periodikoa; periodoa, 01.
f) Ez-periodikoa.
Sailkatu beheko zenbaki hamartarrak mota hauetan: zehatzak, periodiko soilak, periodiko mistoak, eta ez-zehatzak eta ez-periodikoak.
a) 1,052929… f) 13,12345666…b) 0,89555… g) −1.001,034034…c) −7,606162… h) 0,0000111…d) 120,8 i) −1,732e) −98,99100101… j) 0,123456777…
a) Periodiko mistoa. f) Periodiko mistoa.
b) Periodiko mistoa. g) Periodiko soila.
c) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. h) Periodiko mistoa.
d) Zehatza. i) Zehatza.
e) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. j) Periodiko mistoa.
072●●
071●●
1
60 1666= , ...
3
40 75= ,
1
20 5= ,
1
20 5= ,
070●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 33
34
Arrazoitu zer zenbaki mota adierazten duen zatiki bakoitzak: osoa, hamartar zehatza ala periodikoa.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Zehatza, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagai bakarra 2 delako.
b) Osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiploa delako.
c) Periodiko mistoa, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagaiak 2 eta 3 direlako.
d) Zehatza, izendatzaileko biderkagai bakarrak 2 eta 5 direlako.
e) Periodiko mistoa, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagaiak 5 eta 3 direlako.
f) Periodiko soila, izendatzaileko biderkagaiak ez direlako 2 eta 5.
g) Osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiploa delako.
h) Zehatza, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagai bakarrak 2 eta 5 direlako.
i) Periodiko mistoa, izendatzaileko biderkagaiak 2, 3 eta 5 direlako.
Lortu zatiki sortzaileak.
a) 5,24 c) 3,7)
e) 5,12)
b) 1,735 d) 5,43)
f) 0,235)
a) c) e)
b) d) f)
Adierazi zenbaki hauek zatiki gisa.
a) −7 d) 9,6)
g) 9,54)
b) 6,05 e) 4,07)
h) 0,315)
c) −0,00182 f) −14,413)
i) 0,0123)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)122
9 900
61
4 950. .=−
14 399
999
.− = −
182
100 000
91
50 000. .
312
990
52
165=
403
99
605
100
121
20=
859
90
87
9
29
3=
−7
1
075●
233
990
538
99
1 735
1 000
347
200
.
.=
461
90
34
9
524
100
131
25=
074●
1990
1521
424
21420
−3430
− 4411
221−
5120
2736
073●
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 34
35
1
Adierazi zenbaki hamartarrak zatiki gisa, eta zatikiak zenbaki hamartar gisa.
a) f) k)
b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435c) 13,7
)h) 6,16
)m) 1,274
)
d) 8,91)
i) 18,57)
n) 0,315)
e) j) 2,265)
ñ) 0,0123)
a) 1,125 f) 0,81)
k) 1,12)
b) g) l)
c) h) m)
d) i) n)
e) 4,8 j) ñ)
Kalkulatu, zatiki sortzaileak erabiliz.
a) 0,2777… + 2,333… c) 0,44… ⋅ 2,5151…b) 3,5666… − 2,2727… d) 1,13888… : 0,9393…
a) c)
b) d)
Adierazi baieztapen hauek zuzenak ala okerrak diren, eta arrazoitu erantzuna.
a) Zenbaki hamartar oro adieraz daiteke zatiki gisa.b) Zenbaki oso bat zatiki gisa adieraz daiteke.c) Zenbaki hamartar periodikoek infinitu zifra hamartar dituzte
komaren ostean.d) Zenbaki hamartar baten periodoa 0 bada, zenbaki zehatza da.
a) Okerra, hamartar ez-zehatzak eta ez-periodikoak ezin dira adierazi zatiki gisa.
b) Zuzena, zatikia zenbakia zati bat izango da.
c) Zuzena periodiko soilen kasuan, baina okerra periodiko mistoen kasuan.
d) Zuzena, zifra hamartarren kopuru zehatza duelako.
078●●
1 025
900
93
99
451
372
.: =
321
90
225
99
1 281
990− =
.
44
100
249
99
913
825⋅ =
25
90
21
9
235
90
47
18+ = =
077●●
12
990
2
165=
2 039
900
.
284
900
71
225=
1 839
99
613
33
.=
802
90
401
45=
1 273
999
.555
90
37
6=
124
9
10 435
10 000
2 087
2 000
.
.
.
.=
278
1 000
139
500.=
735
100
147
20=
4810
10190
911
98
076●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 35
36
30 metro oihal ditugu. Kalkulatu zenbat metro diren:
a) oihalaren b) oihalaren c) oihalaren
a)
b)
c)
Enpresa batek aste honetan 12.300 €-ren bi bosten irabazi ditu. Kalkulatu zenbat diru irabazi duen enpresa horrek.
Irabazitakoa: €.
Aita batek alabari 30 € eman dizkio, eta semeari, arrebak jasotakoaren herena.Zenbat diru jaso du semeak?
Semeak jasotakoa: €.
Urtebetetze-egunean, amari kutxa bat bonboi oparitu diogu.
Dagoeneko jan ditugu kutxaren . Kutxak 40 bonboi bazituen, zenbat bonboi
geratzen dira?
Kutxaren geratzen da; hau da: bonboi.1
440 10⋅ =
1
4
34
083●●
082
1
330 10⋅ =
081●
2
512 300 4 920⋅ =. .
080●
5
630 25⋅ = m
7
3030 7⋅ = m
3
530 18⋅ = m
56
730
35
079●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA PROBLEMAK GUZTIZKOAREN ZATI BAT ZENBATEKOA DEN JAKINDA?
Ikasgelan, mutilak dira. Zenbat neska daude, guztira 25 ikasle badaude?
LEHENA. Ezaguna den zatia, , kenduko diogu guztizkoari, 1, zati ezezaguna kalkulatzeko.
neskak dira.
BIGARRENA. Zati horrek guztizkoan, 25, adierazten duen proportzioa kalkulatzen da.
15 neska253
5
3
525
3 25
5
75
5en = ⋅ =
⋅= =
12
5
5
5
2
5
3
5− = − =
2
5
25
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 27/9/07 17:34 Página 36
37
1
BHI bateko ikasle guztien hiru zortziren betaurrekodunak dira. 129 ikaslekbadituzte betaurrekoak, zenbat ikasle dira guztira?
ikasle dira guztira.
Baserritar batek 2.275 m-ko lur-saila hesiz inguratu nahi du. Lehen egunean
lanaren egin du, eta bigarrenean, . Zenbat metrotan falta zaio hesia jartzea?
→ -tan falta zaio.
Lagun batzuek 105 km egin dituzte bizikletaz. Lehen egunean bidearen egin
dute; bigarrenean, ; eta gainerakoa hirugarrenerako utzi dute.
Zenbat km egin dituzte egun bakoitzean?
1. eguna→ 3. eguna → 105 − (28 + 35) = 42 km
2. eguna→
Familia batek bere diru-sarreren etxebizitzaren alokairuan erabiltzen du,
telefonoan, eta garraioan eta arropan.
Nola banatzen dira gastuak, hileroko diru-sarrerak 3.000 € badira?
Alokairua ⎯→ € Garraioa, arropa → €
Telefonoa → €
Kanpamendu batean, gazteen europarrak dira; , asiarrak; eta gainerakoak,afrikarrak. Guztira 800 gazte badaude:
a) Zenbat europar gazte daude?b) Asiarren erdiak neskak badira, zenbat asiar neska daude?c) Gazte horien artean zenbat dira afrikarrak?
a) Europarrak→
b) Asiarrak →
c) Afrikarrak → 800 − 300 − 160 = 340
1
5800 2 160 2 80⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =: :
3
8800 300⋅ =
15
38
088●●
1
603 000 50⋅ =.
1
83 000 375⋅ =.
1
153 000 200⋅ =.
18
160
115
087●●
4
15105 28⋅ = km
1
3105 35⋅ = km
415
13
086●●
16
352 275 1 040⋅ =. . m1
3
7
2
51
29
35
16
35− +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
25
37
085●●
3
8
129 129 8
3344= =
⋅=
xx→
084●●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 37
38
90 m luze den burdin haria daukagu. saldu ditugu 3 €/m-an; gainerakoaren,
4 €/m-an; eta geratzen diren metroak, 2 € m-an. Metroa 2 €-an erosi badugu,
zenbateko irabazia izan dugu?
, 3 €/m-tan, 180 € dira.
, 4 €/m-tan, 20 € dira.
90 − 60 − 5 = 25 m, 2 €/m-tan, 50 € dira.
Burdin hariak 90 ⋅ 2 = 180 € balio zuen eta 180 + 20 + 50 = 250 €kobratu dugu. Beraz, 250 − 180 = 70 € irabazi dugu.
Honela banatu dute hiru lagunek kinielan irabazi dituzten 90 €-ak: lehenengoak bostena eskuratu du; bigarrenak, berriz, lehenengoak jasotakoarenherena; eta hirugarrenak, azkenik, bigarrenak jasotakoaren erdia.
a) Zer zatikik adierazten du bakoitzak jaso duena?
b) Zenbat diru eskuratu du lagun bakoitzak?
c) Zenbat diru utzi dute funtserako?
a) 1.a → 2.a → 3.a →
b) 1.a → € 2.a → € 3.a → €
c) 90 − (18 + 6 + 3) = 63 € utzi dute funtserako.
1
3090 3⋅ =
1
1590 6⋅ =
1
590 18⋅ =
1
2
1
15
1
30⋅ =
1
3
1
5
1
15⋅ =
1
5
091●●
1
690 60 5⋅ − =( ) m
2
390 60⋅ = m
16
23
090●●
089
Zenbaki arrazionalak
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA ZATIKI BATEN ZATI BAT?
Ainhoak liburu bat irakurri behar du eskolarako. Lehen egunean laurdena iraku-rri du, eta bigarrenean, geratzen zitzaionaren erdia. Zer zatikik adierazten du bi-garren egunean irakurritakoa?
LEHENA. Bila gabiltzan zatia adierazten duen zatikia kalkulatuko dugu.
Lehen egunekoa: , eta bigarrenekoa: .
BIGARRENA. Zatikiaren zatia kalkulatuko dugu.
Bigarren egunean irakurri du: .
Hortaz, bigarren egunean liburuaren irakurri ditu.3
8
3
42
3
8: =
11
4
3
4− =
1
4
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 38
39
1
Berogailu batean, lehenik uraren erdia gastatu da; eta gero, geratzen zenarenlaurdena. Oraindik ere 12 litro geratzen badira, zenbatekoa da berogailuarenedukiera?
Lehenik: .
Gero: .
Geratzen dena: .
¬-koa da berogailuaren edukiera.
Lagun batzuek mendiko ibilaldi bat antolatu dute: lehen egunean ibilbideosoaren laurdena egin dute; bigarren egunean, herena egin dute; eta gainerakoa(25 km) hirugarren egunerako utzi dute. Zer zatiki adierazten dute hirugarrenegunean egindako kilometroek? Guztira, zenbat kilometro egin dituzte?
Hirugarren egunean egindakoa: .
Guztira egindako kilometroak: .x = =255
1260: km
11
4
1
3
5
12− − =
094●●●
x = =123
832:
11
2
1
8
3
8− − =
1
41
1
2
1
8⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
2
093●●●
092
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA GUZTIZKOA, ZATI BAT ZENBATEKOA DEN JAKINDA?
Igerileku bat guztizko edukieraren osatzeraino dago beteta. Oraindik ere
880 litro behar dira erabat betetzeko. Zein da igerilekuaren guztizko edukiera?
LEHENA. Igerilekuaren zati hutsa adierazten duen zatikia kalkulatuko dugu.
BIGARRENA. x etraz izendatuko dugu igerilekuaren guztizko edukiera.
x bakanduz:
Igerilekuaren edukiera 3.960 litrokoa da.
x = =⋅= =880
2
9
880 9
2
7 920
23 960:
..
x x-ren2
9
2
9880= ⋅ =
17
9
9
9
7
9
2
9− = − =
79
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 39
40
Kalkulatu kenketa hauek.
a) Lortutako emaitzekin, egin batuketa hau.
b) Aurreko emaitza kontuan hartuz, zein izango da, zure ustez, batuketa honenemaitza?
a)
b)
Bi ontzi hauek pitxer batean husten aditugu, zein izango da pitxarreko ur- eta ozpin-proportzioa?
Nahasteak 5 zati ur eta 2 zati ozpin izango ditu.
Uraren proportzioa da, eta ozpinarena, .2
7
5
7
096●●●
= − =11
1 001
1 000
1 001.
.
.
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
1 001 000+ + + + + + + =…
. .
1
1 001 000
1
1 000
1
1 001. . . .= −
= − + − + − + − + − = − =11
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
61
1
6
5
6
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30+ + + + =
1
4
1
5
1
20− =
1
2
1
3
1
6− =
1
5
1
6
1
30− =
1
3
1
4
1
12− =1
1
2
1
2− =
12
16
112
120
130
142
11 001 000
+ + + + + + … +. .
12
16
112
120
130
+ + + +
12
13
13
14
14
15
15
16
1 12
- -
- -
-
095●●●
NAHASTEA
2 zati ur
1 zati ozpin
NAHASTEA
3 zati ur
1 zati ozpin
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 40
41
1
Irudiak bederatzi karratu ditu, aldearen luzera 1 dutenak. Adierazi puntuek hau betetzen dute:
PQ = QR = RS = ST =
Zuzen batek puntu horietako batekin lotzen du X,eta azalera bereko bi zatitanbanatzen du irudia. Zein da zuzen hori?
XQ zuzena da; triangelu eta karratu bana osatzen ditu. Triangeluaren oinarria
4 da, eta altuera, . Beraz, azalera: .
Bestalde, karratuaren azalera 1 da.
Azalera 3,5 + 1 = 4,5 da, azalera osoaren erdia: .
EGUNEROKOAN
Auzo-komunitate batek eguzki-plakak instalatu nahi ditu, eraikineankontsumitzen den energiaren zati bat haien bidez eskuratzeko. Enpresainstalatzaile bati galdetuta, behean ageri diren datuak jaso dituzte.
098●●●
9
24 5= ,
47
42 3 5⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =: ,1
3
4
7
4+ =
14
X
T SRQP
097●●
X
ERANTZUNAK
EGUZKI-PLAKAK JARTZEKO
AURREKONTUA
Auzo-komunitatea: Eguzki kalea, 23
Eguzki-plakak
eta instalazioa.Guztira: 22.000 €
Gure txostenaren arabera, eguzki-plakak jartzeak orain
kontsumitzen dugun energiaren
aurrezteko aukera emango liguke.27
Q
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 41
42
Enpresa instalatzaileak auzo-komunitateari jakinarazi dio zenbait erakundeofizialek diru-laguntzak ematen dituztela eguzki-plakak jartzeko.
Auzo-komunitatea argindarrez hornitzen duen enpresa elektrikoak 8,6726zentimo kobratzen ditu kilowatteko. Bi hileko azken ordainagirian 48 auzoetakobakoitzak 46,34 € ordaindu ditu.Zenbateko epean amortizatuko dituzte eguzki-plakak eta instalazioa, komunitatearen kontsumoa jarraitua bada?
Plaken kostua eta instalazioa: 22.000 €.
Diru-laguntza: ⋅ 22.000 = 11.000 €.
Hileko gastua: (48 ⋅ 46,34) : 2 = 1.112,16 €.
Gastuan aurreztutakoa: €.
Amortizazio-epea: (22.000 − 11.000) : 317,76 = 34,62 hil.
Beraz, hiru urte baino gutxiago beharko dute gastua amortizatzeko.
Aste Santuan gertatutako auto-istripuei buruzko berriek agerian utzi duteezbehar kopuruak gora egin duela nabarmen.
099●●●
2
71 11216 317 76⋅ =. , ,
1
2
ENERGIAREN DIBERTSIFIKAZIORAKOETA AURREZTEKO ERAKUNDEA
Jakinarazten dizugu zure auzo-komunitateak Eguzki kaleko23ko eraikinean eguzki-plakak jartzeko egin zuen diru-laguntzaren eskaria onartua izan dela. Diru-laguntza horieguzki-plaken eta instalazioaren kostuaren erdia izango da.
Zenbaki arrazionalak
Aste Santuan errepidean izandako ezbeharren kopurua
108 pertsona hil dira auto-istripuetan
Autoan hildakoen erdiek ez ze-ramaten segurtasun-uhala lotuta.
Motoan hildakoen hirutik ba-tek ez zuen kaskoa jarrita.
Hildakoen erdiek 35 urte bai-no gutxiago zituzten. Haien arte-an lautik batek, berriz, 25 urtebaino gutxiago zituen
Bost istriputik bitan arreta gal-tzea ageri da arrazoi nagusi gisa;bide-arauak haustea, berriz, bostistriputik batean; eta gehiegizkoabiaduran joatea, hamarretik hi-rutan.
Ibilgailua Hildakoak
Autoak 91
Motoak 17
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 42
43
1
Azken paragrafoa istripuei buruzkoa da, baina guk hildakoei buruzkoa balitzbezala ebatziko dugu problema; beraz, paragrafoa hau izango litzateke:
Arreta galtzea faktore nagusia izan da bost hildakotik bitan; bide-arauak haustea, hirutik batean; eta gehiegizko abiadura, hamarretik hirutan.
Horrela ez eginez gero, ezingo litzateke hildakoen kopurua finkatu; izan ere, istripu batean hildako bat baino gehiago egon daiteke edobakar bat ere ez.
ERANTZUNAK
Hildakoak
Segurtasun-neurriak
Uhala lotu gabe zihoan 1
291 45 5 46⋅ = ≈,
Ez zuen kaskoa jarrita 1
317 5 6 6⋅ = ≈,
�
Segurtasun-neurriakbetetzen zituen 108 − 46 − 6 = 56
Adin-tarteak
35 urtetik beherakoak 1
2108 54⋅ =
35 urtetik gorakoak 1
2108 54⋅ =
25 urtetik beherakoak 1
454 13 5 14⋅ = ≈,
Istripuaren arrazoi nagusia
Arreta galtzea 2
5108 43 2 43⋅ = ≈,
Bide-arauak haustea 1
3108 36⋅ =
Gehiegizko abiadura 3
10108 32 4 32⋅ = ≈,
Aurreko arrazoietatik batere ez
Gehiegizko abiadura bide-arauak haustea da; beraz, 108 − 36 − 43 = 29. 29 pertsona hil zirenhorren ondorioz.
Istripuaren arrazoi nagusia arrazoi bakar bat dela arigara suposatzen; hau da, ez da kontuan hartu istripuakarrazoi nagusi bat baino gehiago izan dezakeela.
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 43
44
Zenbaki errealak2
ADIERAZPENA
ZENBAKIARRAZIONALAK
ZENBAKIIRRAZIONALAK
BERREKETA HURBILKETAK
ERROREAK
ZENBAKIERREALAK
BERRETZAILEPOSITIBOA
BERRETZAILENEGATIBOA
IDAZKERAZIENTIFIKOA
ERAGIKETAK
BATUKETA KENKETA BIDERKETA ZATIKETA
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 44
Arrazoi irrazionala
Kristo aurreko V. mendearen hasieran, bizitzaren ilunabarrean zegoen Pitagoras handiak, mundua eta hark zenbakiekin duen harremana ikertu zituenak, kreaziokogauza guztien edertasun arrazionala aurkitu zuenak, hau aitortu zion ikasleetako bati,arranguraz beteta:
–Entzun –esan zion Hipaso Metapontokoari–; bizitza osoa igaro dut egia zenbakietanbilatzen; haietan, edo haien arrazoietan, zegoen gizatiartasunaren eta jainkotiartasunarenazalpena; dena zen perfektua eta azalgarria, arrazoizkoa...
Hipasok miretsita begiratzen zion maisuari, buruarekin baiezkoa eginez.
Bitartean, Pitagorasek aurrera egin zuen:
–Nire bizitza bukatzear dagoen honetan, egia lazgarri bat aitortu behar dizut: aspaldi aurkitu nituen; beste batzuk daude.
–Beste batzuk? –galdetu zuen Hipasok.
–Bai, hor daude, baina neurtezinak dira: edonork egin dezake aldeen luzera 1 duen karratu bat; haatik, ez da haren diagonala neurtzeko gai izango. Pentalfaren arrazoia ere, ez da arrazoizkoa; beste horietakobat baizik, antzaldatuta.
Sinesten ez baduzu, saiatu 3 urrats zabal eta 5 urrats luze den gela honen diagonala neurtzen.
Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
Gelaren zabalera eta luzera zenbaki osoen bidez neur daitezkeenarren, diagonala zenbaki irrazional bat da; hau da, ez da neurgarria.
3 5 9 2534 5 830951
2 2++ ++= == = , …
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 45
46
ARIKETAK
Kalkulatu berreketa hauek.
a) 32 d) (−5)3 g) (4,25)4
b) 74 e) (−2,02)4 h)
c) (−9)2 f) i) (−14,32)8
a) 9 d) −125 g) 326,25390625
b) 2.401 e) 16,64966416 h)
c) 81 f) i) 8.622.994,474905370624
Kalkulatu (−0,8)2, (−0,8)3 eta (−0,8)4. Zein da handiena?
(−0,8)2 = 0,64 (−0,8)3 = −0,512 (−0,8)4 = 0,4096
Handiena (−0,8)2 da.
Adierazi berreketa gisa.
a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b)
a) 36 b)
Kalkulatu berreketa hauek.
a) 7−3 d) (−5)−2 g) j)
b) 71 e) (−5)0 h) k)
c) 7−1 f) (−5)−1 i) l)
a) e) 1 i)
b) 7 f) j)
c) g) k) 1
d) h) l) −5
8
8
5
1
5
1
252( )−=
5
8
625
4 096
4
4=
.1
7
− = −5
8
5
5
3.125
32.768
1
5
1
51( )−= −
5
8
1
7
1
3433=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−85
185
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
85
085
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−85
585
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
004
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
7
3
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅1
717
17
003
002
−3.125
32.768
−1
27
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
58
5
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
13
3
001
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 46
47
2
Esan zuzena ala okerra den.
a) Berretzaile negatiboko berreketak beti dira positiboak.b) 0 berretzaileko berreketak beti dira positiboak.
a) Okerra, berretzailea bikoitia bada soilik izango da positiboa.
b) Zuzena, 1 da beti.
Nola kalkulatuko zenuke (0,2)−3?
Kalkulatu.
a) (8 ⋅ 4)3 d) [6 ⋅ 5]−2
b) [(−1) ⋅ (−4)]3 e) [(−3) ⋅ 5]−2
c) f)
a) 83 ⋅ 43 = 512 ⋅ 64 = 32.768 d)
b) (−1)3 ⋅ (−4)3 = (−1) ⋅ (−64) = 64 e)
c) f)
Ebatzi:
a) b)
a)
b) (−6)5 = 65 = 7.776
Esan desberdintza hauetatik zein den zuzena.
a) b)
a) Zuzena da: .
b) Okerra da: .[ ( )]2 1 2 164 4⋅ − = = >1
2
1
2
1
8
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
1
4
[ ( )]2 112
4⋅ − <12
14
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ <
009
14
3
14
3
5 5
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
537.824
243
35
102
⋅ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−
( )273
5
⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
008
3
5
2
2=
9
25
4
5
3
3=
64
125
1
3 5
1
9 25
1
2252 2( )− ⋅=
⋅=
1
6 5
1
36 25
1
9002 2⋅=
⋅=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−53
245
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
007
0 21
50 2
1
55 125
33
3, ,= ( ) =⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
−−
→
006
005
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 47
48
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) 54 ⋅ 56 e) [22]3
b) (−9)6 : (−9)2 f) [(−2)2]3
c) g)
d) h)
a) 54+6 = 510 e) 22⋅3 = 26
b) (−9)6−2 = 94 f) (−2)2⋅3 = 26
c) g)
d) h)
Sinplifikatu berreketen eragiketa hauek.
a) (43 ⋅ 42)3 d) (711 : 75)2
b) [(−5)3 : (−5)2]2 e) (72 ⋅ 94)2
c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3]4 f) [(−3)5 ⋅ 45]2
a) 4(3+2)⋅3 = 415 d) 7(11−5)⋅2 = 712
b) (−5)(3−2)⋅2 = 52 e) 74 ⋅ 98
c) (4,2)(4+3)⋅4 = (4,2)28 f) 310 ⋅ 410
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) 25 ⋅ 43 b) (3−5 ⋅ 93)−2
a) 25 ⋅ 43 = 25 ⋅ 26 = 211
b) (3−5 ⋅ 93)−2 = (3−5 ⋅ 36)−2 = 3−2
Idatzi, idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 493.000.000 c) 0,0004464 e) 253b) 315.000.000.000 d) 12,00056 f) 256,256
a) 4,93 ⋅ 108 c) 4,464 ⋅ 10−4 e) 2,53 ⋅ 102
b) 3,15 ⋅ 1011 d) 1,200056 ⋅ 101 f) 2,56256 ⋅ 102
Idatzi idazkera zientifikoz emandako zenbaki hauek, zifra guzti-guztiak jarriz.
a) 2,51 ⋅ 106 b) 9,32 ⋅ 10−8 c) 3,76 ⋅ 1012
a) 2.510.000 b) 0,0000000932 c) 3.760.000.000.000
014
013
012
011
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−4
3
4
31
3 3 03
5
3
5
4 2 8⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
·
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+4
3
4
3
3 3 65
6
5
6
10 6 4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
43
43
3 3
:35
4 2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥⎥
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
43
43
3 356
56
10 6⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟:
010
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 48
49
2
Idazkera zientifikoari jarraiki, zenbaki hauek ez daude zuzen idatzita. Zuzendu.
a) 0,247 ⋅ 108 b) 24,7 ⋅ 108 c) 0,247 ⋅ 10−8
a) 2,47 ⋅ 107 b) 2,47 ⋅ 109 c) 2,47 ⋅ 10−9
Banketxe baten finantza-aktiboak 52 bilioi euro dira, gutxi gorabehera. Adierazikopuru hori idazkera zientifikoa erabiliz.
5,2 ⋅ 1013
Ebatzi eragiketa hauek, idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 7,77 ⋅ 109 − 6,5 ⋅ 107 d) (34 ⋅ 103) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2)b) 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103 e) (0,75 ⋅ 107) : (0,3 ⋅ 103)c) 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102 f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (0,65 ⋅ 107)
Ez ahaztu emaitza idazkera zientifikoan adierazi behar dela beti.
a) 777 ⋅ 107 − 6,5 ⋅ 107 = 770,5 ⋅ 107 = 7,705 ⋅ 109
b) 0,005 ⋅ 103 + 1,3 ⋅ 103 = 1,305 ⋅ 103
c) 0,373 ⋅ 100 + 1 ⋅ 100 = 1,373 ⋅ 100
d) 3,4 ⋅ 104 ⋅ 2,52 ⋅ 10−1 = 8,568 ⋅ 103
e) (7,5 ⋅ 106) : (3 ⋅ 102) = 2,5 ⋅ 104
f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (6,5 ⋅ 106) = 52,39 ⋅ 1015 = 5,239 ⋅ 1016
Kalkulatu kasu bakoitzean falta den gaia.
a) 2,5 ⋅ 106 −� = 8,4 ⋅ 105 c) (2,5 ⋅ 106) ⋅ � = 8,4 ⋅ 105
b) 9,32 ⋅ 10−3 + � = 5,6 ⋅ 10−2 d) (9,52 ⋅ 10−3) : � = 5,6 ⋅ 10−2
a) � = 1,66 ⋅ 106 c) � = 3,36 ⋅ 101
b) � = 4,668 ⋅ 10−2 d) � = 11,7 ⋅ 10−1
Ebatzi batuketa hau: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099. Ondoren, egin batuketakalkulagailuz. Zer gertatzen da? Zergatik gertatzen da hori?
7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099 = 1,28 ⋅ 10100. Kalkulagailuz ∃ lortzen da, magnitude ordena 100 baita, 3 zifrakoa, eta kalkulagailuak 2 zifra bakarrik erabiltzen ditu.
Adierazi zenbaki hamartar hauek arrazionalak ala irrazionalak diren.
a) 4,325325325…b) 4,330300300030000300000…c) 1,23233233323333233333...d) 3,12359474747…
a) Arrazionala. c) Irrazionala.
b) Irrazionala. d) Arrazionala.
020
019
018
017
016
015
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 49
50
Idatzi bost zenbaki arrazional eta bost irrazional.
Arrazionalak → 1,16)
; 1,6)
; 8; 2,83)
; 0,4625
Irrazionalak → 2,123456789101112...; 6,111213141516171819...;
0,010010001...; π;
Eman al dezakezu komaren ostean hamartar bakarra duen zenbaki irrazionalik? Eta bi dituenik?
Ez, infinitu digitu behar baitira komaren ostean.
Eten ehunenetan eta milarenetan, eta biribildu ehunenetara eta milarenetara.
a) 1,234564668 g)b) 2,7
)h) 3,222464
c) 4,51)
i)d) 1,43643625 j) 1,6467538e) 2,222 k) 1,1234…f) 3,127
)l) 5,5
)
a) Etendura: 1,23 eta 1,234. Biribilketa: 1,23 eta 1,235.
b) Etendura: 2,77 eta 2,777. Biribilketa: 2,78 eta 2,778.
c) Etendura: 4,51 eta 4,515. Biribilketa: 4,52 eta 4,515.
d) Etendura: 1,43 eta 1,436. Biribilketa: 1,44 eta 1,436.
e) Etendura: 2,22 eta 2,222. Biribilketa: 2,22 eta 2,222.
f) Etendura: 3,12 eta 3,127. Biribilketa: 3,13 eta 3,128.
g) Etendura: 2,23 eta 2,236. Biribilketa: 2,24 eta 2,236.
h) Etendura: 3,22 eta 3,222. Biribilketa: 3,22 eta 3,222.
i) Etendura: 1,73 eta 1,732. Biribilketa: 1,73 eta 1,732.
j) Etendura: 1,64 eta 1,646. Biribilketa: 1,65 eta 1,647.
k) Etendura: 1,12 eta 1,123. Biribilketa: 1,12 eta 1,123.
l) Etendura: 5,55 eta 5,555. Biribilketa: 5,56 eta 5,556.
Kalkulatu aurreko ariketako atal bakoitzean egindako errore absolutua etaerrore erlatiboa.
a)
b)
c) Hurbilketa 4,51 4,515 4,52Errore absolutua 0,005151515 0,000151515 0,004848485Errore erlatiboa 0,00114094 3,3557E−05 0,001073826
Hurbilketa 2,77 2,777 2,78 2,778Errore absolutua 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222Errore erlatiboa 0,0028 0,00028 0,0008 0,00008
Hurbilketa 1,23 1,234 1,235Errore absolutua 0,004564668 0,000564668 0,000435332Errore erlatiboa 0,003697391 0,000457382 0,00035262
024
3
5
023
022
2
021
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 50
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2,1236 g-ko zizare baten pisua hurbiltzerakoan 0,0236 g-ko errore absolutuaegin dugu. 824,36 kg-ko idi batena hurbiltzerakoan, berriz, 4,36 kg-ko errorea.Zein kasutan egin dugu errore handiena?
Zizarearen kasuan, errore erlatiboa 0,01111 da.
Idiaren kasuan, errore erlatiboa 0,00528 da.
Zizarearen kasuan egin dugu errore handiena.
Adierazi zenbakia zuzen errealean, modu zehatzean. Horretarako, egin1 cm eta
cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena.
2
3026
025
Hurbilketa 5,55 5,555 5,56 5,556Errore absolutua 0,005555556 0,000555556 0,004444444 0,000444444Errore erlatiboa 0,001000000 0,000100000 0,000800000 0,000080000
Hurbilketa 1,12 1,123Errore absolutua 0,003456789 0,000456789Errore erlatiboa 0,003076922 0,000406592
Hurbilketa 1,64 1,646 1,65 1,647Errore absolutua 0,006753800 0,000753800 0,003246200 0,000246200Errore erlatiboa 0,004101281 0,000457749 0,001971272 0,000149506
Hurbilketa 1,73 1,732Errore absolutua 0,002050808 0,000050808Errore erlatiboa 0,001184034 0,000029334
Hurbilketa 3,22 3,222Errore absolutua 0,002464000 0,000464000Errore erlatiboa 0,000764632 0,000143989
Hurbilketa 2,23 2,236 2,24Errore absolutua 0,006067977 0,000067977 0,003932023Errore erlatiboa 0,002713682 0,000030400 0,001758454
Hurbilketa 3,12 3,127 3,13 3,128Errore absolutua 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222Errore erlatiboa 0,002486679 0,000248668 0,00071048 0,00007
Hurbilketa 2,22 2,222Errore absolutua 0,002 0Errore erlatiboa 0,00090009 0
Hurbilketa 1,43 1,436 1,44Errore absolutua 0,00643625 0,00043625 0,00356375Errore erlatiboa 0,004480707 0,000303703 0,002480966
51
2ERANTZUNAK
1
1
1
0
3
3
2
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 51
52
Adierazi zenbakia, bai modu zehatzean, bai hamarrenetara hurbilduta. Erabili 1 cm eta 2 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena.
Zer zenbakiren adierazpena da irudi hau?
OP2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 → OP =
Adierazi grafikoki modu zehatzean. Nola egin duzu?
Ardatz horizontalean 3 bateko hartu behar dira, eta bertikalean, 2.
Hipotenusaren luzera:
Adierazi grafikoki tarte hauek.
a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) [3, 7)
a)
b)
c)
d)
Zer tarteren adierazpena da hau?
(−7, −1) tartearena.
Zer zenbaki hartzen ditu (-1, 4] tarteak?
a) 0 b) 3,98 c) d) −0,3)
Zenbaki guztiak tartekoak dira.
2
032
−7 −1
031
3 7
3 6
2 5
1 4
030
3 2 132 2+ =13
132
2 310
13029
82
210
P
028
5 2 236067= …,
5027
Zenbaki errealak
0
2,2 2,4 2,7
1 2
15
5
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 52
53
2
Zenbat puntu daude [1, 2] tartean? Eta [1,1; 1,2] tartean? Eta [1,11; 1,12]tartean?
Hutsa ez den edozein tartetan infinitu puntu daude.
ARIKETAK
Idatzi biderketa hauek berreketa gisa eta kalkulatu emaitzak.
a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)
c)
a) 24 = 16
b) (−5)6 = 15.625
c)
Adierazi behekoak biderketa gisa eta kalkulatu emaitzak.
a) (−3)4 c) 56 e) (2,5)3
b) d) f) (−2,3)4
a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81
b)
c) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 15.625
d)
e) (2,5) ⋅ (2,5) ⋅ (2,5) = 15,625
f) (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) = 27,9841
Idatzi adierazpen hauek berreketa gisa, ahal bada.
a) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3)b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 f) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 g) 23 + 23 + 23 + 23d) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 h) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
a) 95 e) 63
b) Ezin da. f) Ezin da.
c) Ezin da. g) Ezin da.
d) Ezin da. h) Ezin da.
036●●
10
3
10
3
100
9
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
1
2
1
2
1
2 ⎟⎟⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠1
2
1
2
1
2⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
1
2
1
128
103
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
12
7
035●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−2
5
8
125
3
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
25
25
25 ⎟⎟
034●
033
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 53
54
Kalkulatu berreketa hauen emaitzak, kalkulagailua erabiliz.
a) 25 d) g) (0,7)2 j) (−2)5
b) 64 e) h) (0,04)6 k) (−6)4
c) 123 f) i) (1,32)8 l) (−12)3
a) 64 e) 5,0625 i) 9,2170395205042176
b) 1.296 f) 0,027 j) −32
c) 1.728 g) 0,49 k) 1.296
d) 0,000244140625 h) 0,000000004096 l) −1.728
Adierazi zenbaki hauetako bakoitza zenbaki positibo baten berreketa gisa.
a) 8 b) 27 c) 16 d) 81 e) 64 f) 125 g) 49 h) 121
a) 23 b) 33 c) 24 d) 34 e) 26 f) 53 g) 72 h) 112
Idatzi zenbaki hauetako bakoitza zenbaki negatibo baten berreketa gisa.
a) 16 c) 49 e) 121 g) −27 i) 64b) −125 d) −128 f) 144 h) −216
a) (−4)2 c) (−7)2 e) (−11)2 g) (−3)3 i) (−8)2
b) (−5)3 d) (−2)7 f) (−12)2 h) (−6)3
Kalkulatu berreketa hauek.
a) (−2)2 b) (−3)3 c) −(−82) d) −(−2)3
a) 4 b) −27 c) −64 d) 8
Esan berdintza hauek zuzenak diren ala ez.
a) Okerra. d) Okerra.
b) Zuzena. e) Zuzena.
c) Okerra. f) Zuzena.
041●●
040●●
039●●
038●●
310
3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
32
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
14
6⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
037●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 54
55
2
Idatzi zenbaki bakoitza zenbaki oso baten berreketa gisa.
a) −81 d) −1.000 g) −49
b) −8 e) −25 h) −2.187
c) −16 f) −512 i) −7.776
a) −34 d) (−10)3 g) −72
b) (−2)3 e) −52 h) (−3)7
c) −24 f) (−2)9 i) (−6)5
Kalkulatu a-ren balioa berdintza hauetan.
a) 2a = 32 c) a4 = 2.401
b) 3a = 729 d) a3 = 216
a) a = 5 c) a = 7
b) a = 6 d) a = 6
Kalkulatu berreketa hauek.
a) 2−3 d) 4−2 g) (−5,02)−3
b) (1,3)−2 e) (−3)−2 h) (−2)−4
c) f) i)
a)
b)
c) 22 = 4
d)
e) 0,1)
f)
g)
h)
i) (−6)2 = 36
1
2
1
160 0625
4( )−= = ,
1
5 02
10079047629
3( )−= =
, 126,5060080,
5
3
125
27
3
3( )−= −
1
3
1
92( )−= =
1
4
1
160 0625
2= = ,
1
1 3
1
1690 5917159
2( ), ,,= =
1
2
1
80 125
3= = ,
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−16
2−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−3
5
312
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
044●
043●●●
042●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 55
56
Kalkulatu berreketen emaitzak, kalkulagailua erabiliz.
a) 7−4 c) (−0,07)−4 e) (0,12)−7
b) (−4)−7 d) f)
a) 0,0004164931 d) 0,19753086419753
b) −0,00006103515625 e) 2.790.816,47233653
c) 41.649,312786339 f) −0,064
2−2, 2−3 eta 2−5 berreketak ditugu.
a) Zein da handiena?b) Nolakoa da berreketa, berretzaile negatiboaren balio absolutua handitzen
doan heinean?c) Erantzun aurreko galderei, baina 0,7−3, 0,7−4 eta 0,7−5 berreketak dituzula.
a) Berreketa handiena 2−2 da.
b) Berretzailearen balio absolutua handiagoa den heinean, berreketa orduaneta txikiagoa da.
c) Handiena 0,7−5 da. Zenbat eta handiagoa berretzailearen balio absolutua orduan eta handiagoa da berreketa. Kasu honetan, berrekizuna bata bainotxikiagoa da; horregatik da aurreko kasuaren desberdina.
Kalkulatu berreketa hauen balioak.
a) 25 ⋅ 23 d) (−4)9 ⋅ (−4)5 ⋅ (−4)b) 25 : 23 e) (−4)9 : (−4)5 : (−4)c) 37 ⋅ 32 ⋅ 34 f) (7 ⋅ 4)0
a) 28 = 256 d) (−4)15 = −1.073.741.824
b) 22 = 4 e) (−4)3 = −64
c) 313 = 1.594.323 f) 1
Kalkulatu berreketen eragiketa hauen emaitzak, kalkulagailua erabiliz.
a) (0,03)2 ⋅ (0,03)4
b) (4,1)6 ⋅ (4,1)4
c) (1,2)2 ⋅ (1,2)5 ⋅ (1,2)8
d) (0,6)2 ⋅ (0,6)4 ⋅ (0,6)12
e) (0,7)6 ⋅ (0,7)13 ⋅ (0,7)11
a) 7,29 ⋅ 10−10
b) 1.342.265,931
c) 15,40702157
d) 1,015599567 ⋅ 10−4
e) 2,25393403 ⋅ 10−5
048●
047●
046●●●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−52
332
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
045●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 56
57
2
Adierazi emaitzak, berreketa bakar baten bidez.
a) (33 ⋅ 34 ⋅ 38) : 39
b) (−2)4 ⋅ (−2)6 ⋅ (−2)5
c) (−7)8 : (−7)4 ⋅ (−7)2
d)
e)
f) (−5)8 : [(−5)3 : (−5)3]g) [69 ⋅ 65] : [64 ⋅ 62]
a) 36
b) (−2)15 e)
c) (−7)6 = 76 f) (−5)8
d)g) 68
Ebatzi adierazpen hauek, berreketen propietateak aplikatuz.
a) 74 ⋅ 34 = 2.401 ⋅ 81 = 194.481
b) (−5)5 ⋅ 35 = −3.125 ⋅ 243 = −759.375
c)
d) (−8)3 : 53 = −512 : 125
e)
f)
g) (−6)18
h) (0,3)6
i) (−0,5)30
j) −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
6
5
4
6
7
3
45 5⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥= −:
55 5
5 5
5
5
3
6 7
2
7
⋅⋅
= −
( )
( )
0 16
3
0 0256
9
2
2
, ,
−=
64
27
512
216
4 096
729⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
.
050●●
5
2
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
9
1
9
2 2
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−19
19
2 3
:11
91
9
4⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
:
52
52
52
4 3⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟:
66
049●●
ERANTZUNAK
a) (7 ⋅ 3)4
b) [(−5) ⋅ 3]5
c)
d) [(−8) : 5]3
e) [(0,16) : (−3)]2
f)
g) (−6)2 ⋅ (−6)4 ⋅ (−6)12
h) (0,3)2 ⋅ (0,3)4
i) (−0,5)6 ⋅ (−0,5)13 ⋅ (−0,5)11
j) −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
36
36
3 2
46
73
5⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥:
43
86
3
⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 57
58
Adierazi zatiketa bakoitzaren emaitza, berreketa bakar baten bidez.
a) 38 : 34 d) 3140 : (−31)4 : (−31)b) (−9)12 : (−9)4 e) (0,5)30 : (0,5)5 : (0,5)3
c) (−12)15 : 123 : 125
a) 34 d) −3135
b) (−9)8 e) (0,5)22
c) −127
Osatu.
a) 23 ⋅� = 25 d) (−3)12 : � = (−3)6
b) (−4)5 ⋅ � = (−4)10 e) � : 56 = 5
c) ⋅ � = f) � :
a) 23 ⋅ 22 = 25
b) (−4)5 ⋅ (−4)5 = (−4)10
c)
d) (−3)12 : (−3)6 = (−3)6
e) 57 : 56 = 5
f)
Bilatu a-ren balioa berdintza hauetan.
a) 5a ⋅ 53 = 56 c) (−6)a : (−6)8 = (−6)0
b) (−2)5a : (−2)2a = (−2)6 d)
a) a = 3 c) a = 8
b) a = 2 d) a = 3
53
53
53
3 2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟
a
⎟⎟
9
054●●●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟1
3
1
3
1
3
3 0
: ⎟⎟⎟⎟
3
7
2
7
2
7
2
6 1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
77
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
13
13
0 372
7⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
72
6⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
053●●
052●●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA AURKAKO BERREKIZUNAK DITUZTEN BERREKETEN BIDERKETAK?
Adierazi berreketa bakar batez: (−3)4 ⋅ 32.
LEHENA. Berrekizun negatiboa deskonposatuko dugu; ondoren, biderketaren berreketa-propietatea aplikatuko dugu.
(−3)4 ⋅ 32 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32
BIGARRENA. Berrekizun bereko berreketen eragiketak egin, eta ebatzi egingo dugu.
(−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34+2 = 1 ⋅ 36 = 36
051
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 58
59
2
Ebatzi eragiketa hauek.
a) 25
b) 2−6 ⋅ 2−4 = 2−10
c) (−3)−3
d) (−3)8 : (−3)5 = (−3)3
e)
f)
g) 33
h) (−5)11
i) (−6)−15 ⋅ (−6)−20 = (−6)−35
Adierazi eta zuzendu berdintza hauen akatsak.
a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310
b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 30 = 1
c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49−6 = 43
d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = [(−2) ⋅ (−2)]6+3 = 49
e) −32 ⋅ 32 = (−3)2+2 = (−3)4 = 34
f) 2 ⋅ (−3)2 = [2 ⋅ (−3)]2 = (−6)2 = 62
g) 85 ⋅ 87 = (8 + 8)5+7 = 1612
h) 31 ⋅ 30 = 31⋅0 = 30 = 1
a) 32 ⋅ 33 ⋅ 35 = 32+3+5 = 310
b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 0
c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49−2 ⋅ 44 = 47 ⋅ 44 = 47+4 = 411
d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = (−2)6+3 = (−2)9
e) −32 ⋅ 32 = −32+2 = −34
f) 2 ⋅ (−3)2
g) 85 ⋅ 87 = 812
h) 31 ⋅ 30 = 31+0 = 31
056●●
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟
− −1
4
1
4
1
4
6 6
: ⎟⎟⎟⎟ =0
1
1
3
9⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
055●●
ERANTZUNAK
a) 24 ⋅ 2−2 ⋅ 23
b) (2−2)3 ⋅ 2−4
c) (−3)−5 : (−3)2 ⋅ (−3)4
d) [(−3)−2]−4 : (−3)5
e)
f)
g) 3−6 : 3−7 ⋅ 32
h) (−5)8 : (−5)−2 : (−5)−1
i) [(−6)3]−5 ⋅ [(−6)−5]4
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −
14
14
6 2
:
33
13
13
13
2 5⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟
−
: ⎟⎟
−6
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 59
60
Argudiatu berdintza hauek zuzenak diren ala ez.
a) 9−1 = −9
b) (−2)−4 = 24
c) (−3)−6 = 3−6
d) (−3)−3 = (−3)−2 ⋅ 3−1
e) 4−3 = (−4)−1 ⋅ (−4)4
f) (2−5)−1 = 2−6
a) Okerra: .
b) Okerra: .
c) Zuzena: .
d) Okerra: (−3)3 = (−3)2 ⋅ (−3)−1 � (−3)2 ⋅ 3−1.
e) Okerra: (−4)−1 ⋅ (−4)4 = (−4)3 � 4−3.
f) Okerra: (2−5)−1 = 25.
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) (23)4
b) [(−3)3]2
c) [−64]3
d)
e)
f) [−52]4
a) 212 c) −612 e)
b) (−3)6 d) f) 58
Kalkulatu berreketa hauen balioak.
a) [(−3)2]2 ⋅ [(−3)3]3
b) [(5)8]2 : [(−5)4]3
a) (−3)4 ⋅ (−3)9 = (−3)13 = 1.594.323
b) 516 : (−5)12 = 516 : 512 = 54 = 625
059●●
1
3
8⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
5
15
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
35
3 5
13
2 4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
058●
( )( )
− =−
= =− −31
3
1
336
6 66
( )− = =− −2 21
24 4
4
91
91− =
057●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 60
61
2
Ebatzi.
a) (−2)−4 ⋅ [(−2)2]3 e) −2−3 ⋅ (−2−4)
b) 34 ⋅ [(−3)2]−2 f) (−26) ⋅ (−2−6)
c) (−8)3 ⋅ 2−4 g) (−3)4 ⋅ (−34)
d) (−2)−3 ⋅ 2−3 h) 4−3 ⋅ 2−2
a) (−2)−4 ⋅ (−2)6 = (−2)2 e) 2−7
b) 34 ⋅ 3−4 = 30 = 1 f) 20 = 1
c) (−2)9 ⋅ 2−4 = (−2)5 g) −38
d) −2−3 ⋅ 2−3 = −2−6 h) 2−6 ⋅ 2−2 = 2−8
Osatu berdintza hauek.
a) [(−5)3]� : (−5)7 = (−5)5 c) [73]5 : 7� = 1
b) [�2]5 ⋅ �4 = (−3)14 d) 119 ⋅ [112]3 = 11�
a) [(−5)3]4 : (−5)7 = (−5)5
b) [(−3)2]5 ⋅ (−3)4 = (−3)14
c) [73]5 : 715 = 1
d) 119 ⋅ [112]3 = 1115
Sinplifikatu berreketen biderketa hauek.
a) 54 ⋅ 253 e) −123 ⋅ 185
b) 84 ⋅ 162 f) (−63)5 ⋅ 212
c) 63 ⋅ 125 g) −723 ⋅ (−4)7
d) 47 ⋅ 32 h) 322 ⋅ (−24)3
a) 54 ⋅ 56 = 510 e) −26 ⋅ 33 ⋅ 25 ⋅ 310 = −211 ⋅ 313
b) 212 ⋅ 28 = 220 f) −310 ⋅ 75 ⋅ 32 ⋅ 72 = −312 ⋅ 77
c) 23 ⋅ 33 ⋅ 210 ⋅ 35 = 213 ⋅ 38 g) −36 ⋅ 29 ⋅ (−214) = 36 ⋅ 223
d) 214 ⋅ 25 = 219 h) 210 ⋅ (−2)9 ⋅ 33 = (−2)19 ⋅ 33
063●●●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA BERREKETEN BIDERKETAK, BERREKIZUNEK BIDERKAGAI BERAK
DITUZTENEAN?
Ebatzi 162 ⋅ 32−2.
LEHENA. Biderkagai lehenetan deskonposatzen dira.
162 ⋅ 32−2 = (24)2 ⋅ (25)−2
BIGARRENA. Eragiketak egiten dira: berreketen berreketa eta berrekizun bereko berreketen biderketa.
(24)2 ⋅ (25)−2 = 28 ⋅ 2−10 = 2(8−10) = 2−2
062
061●●
060●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 61
62
Kalkulatu eta adierazi emaitzak berreketa bakar baten bidez.a) (52 ⋅ 252)3 c) ((−2)12)3 ⋅ 85 e) ((3)12)3 ⋅ ((−27)5)2
b) (92 : (−27)4)4 d) (63 ⋅ 362)6 f) (162 : 643)5 ⋅ 44
a) (56)3 = 518 d) (67)6 = 642
b) (−34 : 312)4 = 3−32 e) 336 ⋅ 330 = 366
c) 236 ⋅ 215 = 241 f) (44 : 49)5 ⋅ 44 = 4−25 ⋅ 44 = 4−21
Egin berreketen eragiketa hauek eta sinplifikatu lortutako emaitzak ahal duzungehiena.a) 4012 : ((−4)6)−6
b) (−45)15 ⋅ ((−15)3)−6
c) (92 : 274)−4 ⋅ (6−3 ⋅ 36−2)
d)
a) 512 ⋅ 236 : 2−72 = 512 ⋅ 2108
b) −330 ⋅ 515 ⋅ 3−18 ⋅ 5−18 = −312 ⋅ 5−3
c) (3−8)−4 ⋅ (2−7 ⋅ 3−7) = 2−7 ⋅ 3−39
d) [1−3 : (−2 ⋅ 3)]−1 = −2 ⋅ 3
Adierazi eragiketa hauen emaitzak 10 berrekizuneko berreketa gisa.a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000 c) 0,00000000001 : 1.000.000.000b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000 d) 0,000001 : 1.000
a) 10−3 b) 10−2 c) 10−20 d) 10−9
Adierazi idazkera zientifikoan.a) Hiru bilioi eta erdi. c) Hamar milioiren.b) Berrehun milaren. d) Ehun mila milioi eta erdi.
a) 3,5 ⋅ 1012 b) 2 ⋅ 10−1 c) 1 ⋅ 10−5 d) 1,000005 ⋅ 1011
Idatzi, zifra guztiak jarriz, idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek.a) 3,432 ⋅ 104 c) 3,124 ⋅ 10−7
b) 1,3232 ⋅ 10−3 d) 5,3732 ⋅ 107
a) 34.320 c) 0,0000003124
b) 0,0013232 d) 53.732.000
Eragiketak aurrez egin gabe, jakingo al zenuke esaten eragiketa hauen emaitzak zer magnitude-ordenatakoak diren?a) 6,3 ⋅ 102 + 4,5 ⋅ 102 c) (2,6 ⋅ 103) ⋅ (3,1 ⋅ 104)b) 7,7 ⋅ 104 − 7,2 ⋅ 104 d) (5 ⋅ 107) : (2,5 ⋅ 106)
a) 3 b) 3 c) 7 d) 1
069●●
068●
067●
066●
34
43
32
43
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤−
: ( )⎦⎦
⎥⎥⎥
−1
065●●●
064●●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 62
63
2
Egin eragiketa hauek eta adierazi emaitzak idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 113,5 ⋅ 10−6 + 0,0001 ⋅ 104
b) 7.693,57 ⋅ 10−2 + 0,7861 ⋅ 106
c) 3.023.500 ⋅ 10 − 0,0317 ⋅ 1012
d) 4.023 ⋅ 104 − 1.234,57 ⋅ 1011
e) (20.100 ⋅ 103) : (2,7 ⋅ 105)f) 0,35 ⋅ (1,24 ⋅ 10−8)g) (1.435 ⋅ 103) ⋅ (6,7 ⋅ 107)h) (32,130 ⋅ 10−6) : (3,7 ⋅ 107)i) (54,3 ⋅ 10−7) : (6,7 ⋅ 105)
a) 1,0001135 ⋅ 100 d) −1,2345695977 ⋅ 1014 g) 9,6145 ⋅ 1013
b) 7,861769357 ⋅ 105 e) 7,444444444 ⋅ 101 h) 8,683783784 ⋅ 10−13
c) −3,1669765 ⋅ 1010 f) 4,34 ⋅ 10−9 i) 8,104477612 ⋅ 10−12
Kalkulatu kasu bakoitzean falta den gaia.
a) 15 ⋅ 104 + � = 13 ⋅ 103
b) 4,6 ⋅ 1011 + � = 2,1 ⋅ 104
c) (32,15 ⋅ 104) ⋅ � = 65,53 ⋅ 104
d) (3,6 ⋅ 102) : � = 6,12 ⋅ 1012
a) 1,37 ⋅ 105 c) 2,038258165 ⋅ 100
b) −4,59999979 ⋅ 1011 d) 5,882352941 ⋅ 10−11
Adierazi zer zenbaki multzo zehatzi dagokion zenbaki edo adierazpen bakoitza.
a) 7,65444… e) π − e i)b) −11,2 f) 1,010222… j) 1c) 999 g) 300,301302… k) 6,585959…
d) 9,88777… h) l) 1,00111…
a) 7,654)
→ Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa.
b) −11,2 → Hamartar zehatza; Q multzoa.
c) 999 → Arrunta; N multzoa.
d) 9,887)
→ Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa.
e) π − e → Irrazionala; I multzoa.
f) 1,0102)
→ Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa.
g) 300,301302… → Irrazionala; I multzoa.
h) → Arrunta; N multzoa.
i) → Irrazionala; I multzoa.
j) 1 → Arrunta; N multzoa.
k) 6,5859)
→ Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa.
l) 1,001)
→ Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa.
99 9 94987e = …,
169 13=
169
99e
072●
071●●
070●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 63
64
Ordenatu zenbaki hauek handienetik txikienera.
a)
b)
a)
−1,73)
< −1,73206 < −1,7320508… < −1,4
−1,73)
< −1,73206
b) →
Aztertu zenbaki hauek, eta esan zein diren arrazionalak eta zein irrazionalak.a) 0,444444… c) 0,151155111555…b) 0,323232… d) 0,234432234432…Eman, ahal den kasuetan, zenbakiaren zatikizko adierazpena.
a) Arrazionala, . c) Irrazionala.
b) Arrazionala, . d) Arrazionala, .
075
234 432
999 999
2 368
10 101
.
.
.
.=
32
99
4
9
074●
1 1 001 1 089 1110
9< < < =, ,
� � �,
10
911= ,�
< − < −37
5
− = − − = −3 173205087
51 4, …; ,
1 1 00111109
1111 1 08999; , ; ; , ; ,… … …
− − − −375
1 7333 1 73206; ; , ; ,…
073●
Zenbaki errealak
EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DIRA ERROAK, ERROKIZUNAK BERBIDURA PERFEKTUEN BATURA EZ DIRENEAN?
Erregela eta konpasa erabiliz, marraztu zenbakia zuzen errealean.
LEHENA. Errokizuna berbiduren batuketa gisa deskonposatu behar da, berbiduraperfektuak izatera iritsi arte.
BIGARRENA. Alderantzizko ordenan, kalkulatu-tako erlazioak adierazten dituzten triangelu an-geluzuzenak marraztu behar dira.
Hau da lehenengo erlazioa: .
HIRUGARRENA. Triangelu angeluzuzenak eraikibehar dira, bakoitza aurrekoaren hipotenusarengainean. Gero, zentrotzat 0 eta erradiotzat azkentriangeluaren hipotenusa dituen arkua eraikikodugu, zuzena P' puntuan ebakiko duena. Puntuhorren abzisa izango da bila gabiltzan erroa.
erlazioa adierazten duentriangelua eraikiko dugu. ( ) ( ) .2 1 3
2 2 2+ =
1 1 22 2 2+ = ( )
3 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2= + = + +( ) ( )
3
10
1
1
3
32
P
1
10
P'
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 64
65
2
Adierazi grafikoki zenbaki erreal hauek, goiko prozedura erabiliz.
a) b) c) d)
a), b) eta c)
d)
Adierazi grafikoki, erregelaz eta konpasez, zenbaki erreal hauek.
a) b) c) d)
a) 26 = 52 + 12
b) 40 = 62 + 22
c) 161 = 122 + 17
17 = 42 + 12
d) 187 = 132 + 18
118 = 42 + 2
112 = 12 + 12
4
13 14
187
187
F
4
1
12 13
161
161
F
0 1
2
2 3 4 5 6 7
4040
F
1
26
F
26
0 1 2 3 4 5 6
1871614026
077●
11 10 12 2
2( ) = ( ) +
10 3 12
2 2( ) = +
0 1
1
2 3 4
11
F
10
11
8 7 12 2( ) = ( ) +
7 6 12 2( ) = ( ) +
6 5 12 2( ) = ( ) +
5 2 12
2 2( ) = +
0 1
1
2
5
6
78
67
8
FF F3
11786
076●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 65
66
Azaldu, arrazoi bidez, zenbaki erreal hauek grafikoki adierazteko modua.
a) c)
b) d)
a) adieraziko dugu 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatu,
erdibitzailea marraztu eta zuzenkiaren erdiko puntua lortuko dugu: .
b) 0 puntuan elkar ebakitzen duten bi zuzen egingo ditugu. eta adieraziko ditugu zuzen batean, eta 1 zenbakia, bestean. Ondoren,
eta 1 elkartzen dituen zuzena marraztuko dugu eta -tik igarotzen
den zuzen paraleloa. Bigarren zuzenarekiko ebakidura-puntua: .
c) adieraziko dugu, 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta.
adieraziko dugu, 1 × neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta,
erdibitzailea marraztu eta zuzenkiaren erdiko puntua lortuko dugu: .
d) adieraziko dugu, 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta.
adieraziko dugu, 1 × neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta
eta -ren luzera -ren ondoren jarriko dugu.
Zer zenbaki adierazten du P puntuak kasu bakoitzean?
a)
b)
a) . Beraz, P-k zenbakia adierazten du.
b) . Beraz, P-k zenbakia 5 adierazten du.16 9 5+ =
2016 4 20+ =
P
0 4
3
P
0 4
2
079●●
32
23
2
3
2
23
2
3
2
32
32
2
2
2
2 3+32
32
22
078●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 66
67
2
1 + zenbakia:
a) Arrazionala ala irrazionala da?b) Adierazi, zuzen errealean, modu zehatzean.
a) Irrazionala.
b)
Adierazi zenbaki hauek zuzen errealean, hurbilketa bidez.
a) 0,9)
b) 1,202202220… c)
a)
b)
c)
Idatzi hiru zenbaki irrazional, zati hamartarrean 0 eta 1 digituak erabiliz.Arrazoitu zenbaki bakoitzaren sortze-prozesua
Zati hamartarra 1ekin hasi eta ondoz ondoko bi batekoaren artean aurrekoenartean baino 0 bat gehiago sartuko dugu: 1,1101001000100001…
Hasteko 1 eta 0 bana idatziko dugu, eta ondoren bi 1 eta bi 0:1,10110011100011110000…
Zenbaki lehenei dagozkien lekuetan 1 idatziko dugu, eta gainerakoetan, 0:1,01101010001010001000001…
Idatzi bi zenbaki erreal eta bi irrazional, adierazitako zenbakien artean daudenak:
a) 7,1 eta 7,11
b) eta 1
c) 0,63)
eta 0,636633666333…
d) � eta
a) Errealak: 7,102 eta 7,109. Irrazionalak: eta 7,10110111011110...
b) Errealak: 0,9)
eta 0,95. Irrazionalak: eta 0,919293949596...
c) Errealak: 0,634 eta 0,635. Irrazionalak: 0,636465666768... eta 0,636261605958...
d) Errealak: 3,15 eta 3,16. Irrazionalak: 3,15012384… eta 3,162122334489…
0 9,
50 5,
10
89
083●●
082●●
−3
− 15
F−4
1 2
1,202202220…
F
0 1
0,9)
F
− 15
081●●
0 1 2 3 4
1 2+
F
2080●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 67
68
Biribildu zenbaki hauek milarenetara eta eten milarenetan. Ondoren, kalkulatuegindako errore absolutua.
a) 1,2468 d) 0,67)
g)
b) 5,3)
e) 3,28)
h) 9,12)
c) 21,9673 f) i) 6,54)
a) Biribilketa: 1,247. Errorea: 0,0002.Etendura: 1,246. Errorea: 0,0008.
b) Biribilketa: 5,333. Errorea: 0,0003)
.Etendura: 5,333. Errorea: 0,0003
).
c) Biribilketa: 21,967. Errorea: 0,0003.Etendura: 21,967. Errorea: 0,0003.
d) Biribilketa: 0,677. Errorea: 0,00032)
.Etendura: 0,0676. Errorea: 0,00076
).
e) Biribilketa: 3,283. Errorea: 0,00017)
.Etendura: 3,282. Errorea: 0,00082
).
f) Biribilketa: 4,123. Errorea: 0,000105626...Etendura: 4,123. Errorea: 0,000105626...
g) Biribilketa: 4,359. Errorea: 0,000101056...Etendura: 4,358. Errorea: 0,000898944...
h) Biribilketa: 9,121. Errorea: 0,00021)
.Etendura: 9,121. Errorea: 0,00021
).
i) Biribilketa: 6,545. Errorea: 0,00045)
.Etendura: 6,545. Errorea: 0,00045
).
Kalkulatu zenbaki hauek hamarrenetara hurbiltzean egin daitekeen errorerikhandiena.
a) 5,697 b) 0,28)
c)
Zer emaitza lortu duzu? Hurbildu duzun zenbakiaren araberakoa al da?
a) 0,097 b) 0,088888 c) 0,0852575695...
Hiru kasuetan, zenbakiak etetean egiten da errorea, bigarren hamartarra 5 baino handiagoa baita.
Idatzi hauek betetzen dituen zenbaki bana:
a) Hamarrenetara biribiltzean eta hamarrenetan etetean zenbaki bera ematea.b) Ehunenetara biribiltzean 5,87 zenbakia ematea.c) Ehunenetara biribiltzean 11,56 ematea, eta hurbilketan egindako errore
absolutua 0,003 izatea.d) Hamarrenetan etetean 0,7 ematea, eta hurbilketan egindako errore absolutua
0,025 izatea.
a) 1,23 b) 5,8685 c) 11,563 d) 0,675
086●●
21
085●
17
19
084●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 68
69
2
Adierazi grafikoki tarte hauek.
a) [−2, 3] c) (−5, 1]b) (−1, 0) d) [6, 9)
a) c)
b) d)
Zer tarte daude hemen adierazita?
[−5, 1) eta (−2, 4).
Adierazi zuzen errealean tarte hauek, eta seinalatu aldi berean lau tarteetakoakdiren bi zenbaki.
a) [1, 5] b) (4, 6] c) (3,5; 9) d) [0, 6)
a) c)
b) d)
Lau tarteetakoak diren zenbakiak: 5 eta 4,5.
Behatu adibideari eta adierazi tarte bakoitza, desberdintzak erabiliz.(2, 5] honen baliokide da: 2 < x ≤ 5
a) [−1, 2] c) [0, π] e) (11, 15]b) (1, 5) d) (6, 7) f) [0, 11)
a) −1 ≤ x ≤ 2 c) 0 ≤ x ≤ π e) 11 < x ≤ 15
b) 1 < x < 5 d) 6 < x < 7 f) 0 ≤ x < 11
Idatzi −0,8)
zenbakia barnean duten bi tarte.
[−5, 0) eta (−0,9; −0,8)
Tarte hauetatik zein erabiliko zenuke −3 baino handiagoak eta 5 edo txikiagoakdiren zenbaki errealen multzoa adierazteko?
a) (−3, 5) b) [−3, 5) c) (−3, 5] d) [−3, 5]
c) aukera: (−3, 5].
Adierazi berreketa gisa aitona-amonak, birraitona-amonak eta herenaitona-amonak.
Aitona-amonak: 22; birraitona-birramonak: 23; herenaitona-amonak: 24.
093●●
092●
091●
090●●
0 64 6
3,5 91 5
089●
−2 4
−5 1
088●
6 9−1 0
−5 1−2 3
087●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 69
70
Arku-tiroko lehiaketa bat antolatu dute. Lehiakideak hautatu ondoren, bosna kideko bost talde eratu dituzte. Taldekide bakoitzak bost gezi ditu itura tiratzeko. Zenbat gezi beharko dira, orotara?
53 = 125. 125 gezi behar dira.
Ikasgelako liburutegiak hiru apalategi ditu. Apalategi bakoitza hiru apalek osatzendute, eta apal bakoitzak hiruna liburu dituzten hiru atal ditu. Zenbat apal, atal etaliburu ditu liburutegiak? Adierazi emaitza berreketa gisa.iiiiii
Apalak: 32 = 9 Atalak: 33 = 27 Liburuak: 34 = 81
Jonek 32 €-ko ordainsaria izaten du astero. Gurasoek zigorra jarri diote, etaasterik aste erdira murriztu diote. a) Adierazi prozesu hori, berreketak erabiliz.b) Zenbat asteren buruan izango da Jonen ordainsaria 25 zentimokoa
soilik?
a) 25, 24, 23, 22, 2, 1, b) 7 asteren buruan.
Etxebizitza baten azalera 117,13 m2-koa da, eta beste batena, 73,65 m2-koa.Biribildu metro koadroetara eta eten metro koadroetan etxebizitza bakoitzarenazalera. Zein hurbilketa da zehatzena.
Lehenengoan, biribilketa 117 m2 da eta etendura ere bai; beraz, errorea bera da: 0,13 m2.
Bigarrenean, biribilketa 74 m2 da, eta errorea, 0,35 m2. Etendura 73 m2 da, eta errorea, 0,65 m2. Beraz, biribilketa da zehatzena.
Tren-geltokirik hurbilenerako distantzia 16,74 km da. Koldok dio distantzia hori 16 km dela eta Eiderrek, berriz, 17 km dela. Nork egin du hurbilketarik zehatzena?
Eider gehiago hurbildu da eta 0,26 km-ko errorea egin du; Koldok, berriz,0,74 km-ko errorea egin du.
DBH 3ko ikasleek Hizkuntzako lehen ebaluazioan lortu dituzten notak hauekizan dira:
Hurbileneko zenbaki osoan eteteanlortzen den nota jartzen du irakasleakbuletinean.a) Zer nota egokituko zaie?b) Zer nota izango lukete, eten ordez
biribilduta?
a) 2, 6, 8, 6, 7, 9, 3, 4, 5, 3, 6, 9, 4, 5, 9, 9, 6, 3, 8, 2, 7, 4, 9, 1, 5
b) 3, 6, 9, 6, 8, 9, 3, 5, 5, 4, 6, 10, 4, 6, 10, 9, 7, 4, 8, 3, 7, 5, 9, 2, 5
099●●
098●●
097●●
1
2
1
22,, , …
096●●●
095●●
094●●
Zenbaki errealak
2,56,48,66,17,693,2
4,55,23,86,49,74,3
5,89,79,36,83,78,4
2,67,24,79,11,65
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 70
71
2
Bost litro ur mineral dituen botila batean honako hau dago idatzita: «5 litro ± % 5».
a) Zer esan nahi du ohar horrek?b) Zein balioren artekoa da botilaren edukiera?
a) Esan nahi du 5 litro dituela diotenean gehienez % 5eko errorea egingo dutela, gutxiagoz edo gehiagoz.
b) 4,75 eta 5,25 litroren artean.
Berretzailea osoa eta positiboa duen berreketa bat berrekizuna baino handiagoaal da beti? Zein kasutan da hala?
Berrekizuna baino handiagoa da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada.
Berretzaile oso negatiboko berreketa berrekizuna baino handiagoa da? Ba dago emaitza berrekizuna baino txikiagoa duen baliorik?
Berrekizuna baino handiagoa da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada, eta txikiagoa izango da, berrekizuna 1 baino txikiagoa bada.
Eman jarraipena segida honi.
Arkimedesek, K.a. III. mendean π zenbakiaren
hurbilketa gisa zatikia eman zuen.
a) Idatzi gehiagozko eta gutxiagozko hiru hurbilketa π-rentzat eta zatiki horrentzat.
b) Biribildu bi zenbaki horiek milarenetara eta alderatu emaitzak. Zer gertatzen da?
c) Eta ehunenetara biribiltzen badituzu?
a) Gutxiagoz: 3; 3,1; 3,14.
Gehiagoz: 4; 3,2; 3,15.
b) . Emaitzen aldea 1 milaren da.
c) . Ehunenetara hurbilduta, emaitza bera da.22
7314 314≈ ≈, ,; π
22
73143 3142≈ ≈, ,; π
227
104●●●
22 = 12 + 3
32 = 22 + 5
42 = 32 + 7
52 = 42 + 9
n2 = (n − 1)2 + (2n − 1)
22 = 12 + 3
32 = 22 + 5
42 = 32 + 7
52 = � 2 +�n2 = …
103●●●
102●●●
101●●●
100●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 71
72
EGUNEROKOAN
Internet sarean nabigatzen genbiltzala, web orri hau aurkitu dugu.
a) Zenbateko distantzia dago Merkurio eta Saturnoren artean?b) Zein da handiena Lurretik Uranorako distantzia ala Martetik Neptunorakoa?c) Bigarren web orriko espazio-ontziaz, zenbat denbora behar da Neptunora
iristeko? Gai izango ginateke Neptuno eta Lurra arteko joan-etorria egiteko?
a) Merkuriotik Saturnorainoko distantzia:
1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 == 1,37109 ⋅ 109 km
b) Lurretik Uranorainoko distantzia:
2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km
Martetik Neptunorainokoa:
4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 kmMartetik Neptunora distantzia handiagoa dago Lurretik Uranora baino.
105●●●
Zenbaki errealak
Planeten sorrera
Planetak duela 4.500 milioi urte inguru eratu ziren, Eguzkiarekin batera.
Oro har, Eguzkian geratu ez ziren material arinak astunak baino gehiago urrundu ziren.
Hasierako gas- eta hauts-hodeia kiribilka zebilen, eta zona trinkoagoak zituen, planeten hastapenak zirenak.
Grabitateak eta talkek materia gehiago eraman zuten zona horietara, eta errotazio-higidurak biribildu egin zituen.
Planetak Ekuatore-erradioa
DistantziaEguzkiraino
(km)Ilargiak Errotazio
periodoa Orbita
Merkurio 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 egun 87,97 egun
Artizarra 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 egun 224,7 egun
Lurra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 ordu 365,256 egun
Marte 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 ordu 686,98 egun
Jupiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 ordu 11,86 urte
Saturno 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 ordu 29,46 urte
Urano 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 ordu 84,01 urte
Neptuno 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 ordu 164,8 urte
*Zenbait astronomoren esanetan, Saturno planetari 23 satelite dagozkio
Astronautak
Espazioan biziEsplorazioanBakarrik al gaude?
EsplorazioanExoMarsEtorkizuneanMarten egingodiren esplorazioakGarraiobideberriak
Espazioan zehar nabigatzea
Orain arte, ia misio espazial guztiek erregai eta erregarri bidez elikatutako kohete-motorrak erabili izan dituzte. Tamalez, motor horiek ez dira oso eraginkorrak; adibidez, abiarazi zuten unean, ESAren Rosetta espazio-zundaren pisuarenerditik gora erregaia zen.
Egun, ontziek garraiatzen duten erregai kantitatea murrizteko moduak ikertzenari da ESA. Abiapuntuetako bat ioizko motorra da, gasa espaziorantz ‘jaurtitzen’duen ‘pistola’ elektrikoa erabiliko duena.
Ioizko kohete-motor elektrikoak bultzada-indar oso txikia duen arren, gero etaabiadura handiagoa hartzen du, harik eta, unea heltzean, espazio-ontziariabiadura handiz lekualdatzeko aukera ematen dion arte.
SMART 1 zundak ioizko motorra probatu du, arrakastaz probatu ere, LurretikIlargira egindako bidaian. Erabilitako erregai kilogramo bakoitzeko, ontziarenabiadura-igoera 10 aldiz handiagoa da ioizko motorrarekin kohete-motorarruntarekin baino.
Orobat, kohete-motorren ordez ‘eguzki-belak’ baliatuko dituzten espazio-ontziakerabiltzea aztertzen ari da ESA. Eguzkiaren argiak tamaina handiko bela batengainean ‘jo’ eta beste planetetaraino bultza dezake espazio-ontzia. Eguzki-haizetan hilabete askotan egindako bidaiaren ostean, mota horretako espazio-ontziak orduko 360.000 km-ko abiadura lor dezake.
Espaziokoestazioak
EsplorazioanLaborategia
Jolasa
Berriak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 72
73
2
c) Lurretik Neptunorainoko distantzia:
4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km
Abiadura: 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h.
Lurretik Neptunora behar den denbora:
(4,3504 ⋅ 109) : (3,6 ⋅ 105) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 egun
Joan-etorria egiteko denbora bikoitza; hau da, 1.006 egun, 2 urte eta 9 hilabete,gutxi gorabehera; beraz, joan-etorria egin daiteke.
Kontuan hartu behar da suposatu dugula hasieratik gehienezko abiaduraharrapatu dugula: 360.000 km/h.
Mikel Londresera iritsi berri da. Bidaian abiatu baino lehen 200 libera aldatuzituen banketxean. Hau da eman zioten agiria:
Euro batek 0,649900 libera balioditu; hortaz, aldatu zituen 200liberak 307,74 € ordaindu zituen.Mikelek 48,5 libera balio duengaltza parea erosi nahi du, etaeurotara pasa nahi du prezio hori,kostuaz jabetzeko.a) Iritzirako kalkulua zuzen egin al
du? Zenbateko errorea egin du?b) Hoteleko bost gauek 467 liberako
kostua badute, zenbat izango dakostu hori eurotan, Mikelenzenbatespenei jarraiki? Eta zeinda benetako kostua?
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €; beraz, zenbatespena okerra da. Mikelekegindako errore absolutua 14,63 €-koa da, eta errore erlatiboa, 0,196 €-koa.
b) Benetako kostua 718,57 €-koa da eta egindako errorea: 718,57 ⋅ 0,196 == 140,84 €. Beraz, zenbatespena: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
ATZERRIKO BILLETEAK ETABIDAIA TXEKEAK DIBISATAN EROSTEA ETATXEKEAK KONTUAN SARTZEA DIBISATAN
MIKEL AGIRRE BADIOLA J.Helbidea ARGIAREN ETORBIDEA, Z/GHerria MUNGIAK.P. 28082 N.A.N/I.K. 978687623
Kontzeptua: EZKUTUKO ERAGIKETA
REF. 6036786
BBAANNKKUUAAERAKUNDEA - BULEGOA - KONTUA
2038 - 5538948273647783 EUR
DOKUMENTUA DIBISA ZENBATEKOA KANBIO-TASA KONTRABALIOA
BILLETEAK GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR
307,74 EUR
ERAGIKETA-DATA: 2007/7/31 BALIO-DATA: 2007/7/31 GUZTIRA 307,74 EUR
Komisioak eta gastuak
(Doakionaren sinadura)
BAN
KUA BANKUA
(sinadura eta zigilua)BB AA NN KK UU AA
106●●●
60€ ingurubalio du...
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 73
74
Polinomioak3
ERAGIKETAK
MONOMIOAK
POLINOMIO BATENZENBAKIZKO BALIOA
POLINOMIOAK
BATUKETA KENKETA BIDERKETA ZATIKETA
ERAGIKETAKPOLINOMIOEKIN
BATUKETARENBERBIDURA
KENKETARENBERBIDURA
BATUKETA BIDERKENKETA
LABURBIDEZKOFORMULAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 74
Kalifaren zerbitzaria
Mohamed urduri zebilen Jakinduriaren Etxeko egoitzetan gora eta behera, Al-Khwarizmi jakintsuaren bila. Hark zion irakatsia kantitate ezezagunak kontatzeko eta erabiltzeko metodoa, Mohamed gazteak kalifaren jauregian hornidura-funtzionario gisa egiten zituen lanetan aplikatzen zuena.
Azkenik, iturri baten ondoan eserita aurkitu zuen maisua.
–Maisu, errepasatuko al ditugu atzoko kalkuluak?
–Pozten nau zure ezagutza-egarri horrek. –Al-Khwarizmiharritu egiten zuen Mohamedek aisialdi oro ikasten emateak.
–Ontasuna eta ezagutza dira pobreen aberastasunak eta, gizon guztiak bezala, neuk ere aberats izan nahi dut; gainera, ez dago aberastasun horiek kenduko dizkidan lapurrik –erantzun zuen Mohamedek, irribarrez.
–Ondo da, ondo da! –erantzun zuen jakintsuak, harrituta bezain jostari, eta zenbait ariketa aritmetiko proposatu zizkion, berak hizkuntza aljebraikoa eta ekuazioak aztertzen ziharduen bitartean.
Oholtxoan, honako hau zegoen idatzita: «Berbidura batek eta hamar errok hogeita hemeretzi bateko egiten dituzte...».Hizkuntza aljebraiko modernoan: x2 + 10x = 39.
Nola idatziko zenuke hizkuntza aljebraikoan «Zenbaki baten kuboa ken hiru aldiz zenbaki horren berbidura ken bost bateko» esaldia?
Zenbaki baten kuboa = x3
Berbidura bider hiru = 3x2
Bost bateko = 5
x3 – 3x2 – 5
908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 75
76
ARIKETAK
Adierazi monomio hauen koefizientea, letrazko zatia eta maila.
a) −3x3y 2z 4 b) −5b2c3 c) x15y d)
a) Koefizientea: −3 Letrazko zatia: x3y 2z 4 Maila: 3 + 2 + 4 = 9
b) Koefizientea: −5 Letrazko zatia: b2c3 Maila: 2 + 3 = 5
c) Koefizientea: 1 Letrazko zatia: x15y Maila: 15 + 1 = 16
d) Koefizientea: Letrazko zatia: xy5 Maila: 1 + 5 = 6
Zehaztu monomio pare hauek antzekoak diren ala ez.
a) y −5z 5x 2y 3 c) xy 3 y −xy 3
b) 6x 3y 4 y 6x 4y 3 d) 7x y −x
a) Antzekoak dira. c) Antzekoak dira.
b) Ez dira antzekoak. d) Antzekoak dira.
Idatzi beheko monomio hauen aurkako monomioak.
a) b) −4a2b3 c) −5x9 d) 9x11
a) b) 4a2b3 c) 5x9 d) −9x11
Idatzi monomioa, ahal bada:
a) Koefizientea 2 eta letrazko zatia xy 6 dituena.b) Koefizientea −3 izan eta −2x3-ren antzekoa dena.c) Maila 7 izan eta −4x2y-ren antzekoa dena.d) Letrazko zatia x3y 4 izan eta −4x3y-ren aurkakoa.
a) 2xy6
b) −3x3
c) Ezin da. Mailak ezin du 7 eta 3 izan aldi berean.
d) Ezin da. Mailak ezin du 7 eta 4 izan aldi berean.
Egin eragiketa hauek.
a) 6x 2 + 2x 2 − x 2 + 3x 2 − x 2 d) (−8x 2y) ⋅ (−4xy2)b) 3x 2y 2 − 2x 2y 2 + 6x 2y 2 − x 2y 2 e) (15xy) : (−3x)c) (−5ab) ⋅ (6abc) f) (2xyz) : (−2xy)
a) 9x2 d) 32x3y3
b) 6x2y2 e) −5y
c) −30a2b2c f) −z
005
004
−1
23 2xy z
12
3 2xy z
003
12
2 3 5x y z
002
−2
3
−23
5xy
001
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 76
77
3
Sinplifikatu adierazpen hauek.
a) −2x3 − x2 + 5x2 − 6x + x − 2x2 − 6xb) 5x − (x2 + 3x3) + 3x 2 − x3 + 2xc) 11x7y 3 + 4xy5 − 9x7y 3 + xy 5 − x2
a) −2x3 + (−1 + 5 − 2)x2 + (−6 + 1 − 6)x = −2x3 + 2x2 − 11x
b) (−3 − 1)x3 + (−1 + 3)x2 + (5 + 2)x = −4x3 + 2x2 + 7x
c) (11 − 9)x7y3 + (4 + 1)xy5 − x2 = 2x7y3 + 5xy5 − x2
Kalkulatu: −x2y − (−3x2 ⋅ 7y) + (16x2y 3z : 4y 2z).
−x2y + 21x2y + 4x2y = 24x2y
Adierazi polinomio hauen mailak, aldagaiak eta gai askeak.
a) P(x, y) = −2x5 − x2y 2 + 5x3 − 1 + 3x3 + 3b) Q(x, y) = x2 + 4x3 − x − 9 + 4x 4y 3
c) R(x, y) = x 9 − x 7y 3 + y13 − 4d) S(x, y, z) = 7x2yz − 3xy2z + 8xyz2
a) Maila: 5. Aldagaiak: x, y. Gai askea: 3 − 1 = 2.
b) Maila: 3 + 4 = 7. Aldagaiak: x, y. Gai askea: −9.
c) Maila: 13. Aldagaiak: x, y. Gai askea: −4.
d) Maila: 2 + 1 + 1 = 4. Aldagaiak: x, y, z. Gai askea: 0.
Laburtu polinomio hau eta kalkulatu aurkakoa.
R(x) = x5 + 1 − 3 + 4x5 − 3x − 2x
R(x) = 5x5 − 5x − 2, eta aurkakoa: −R(x) = −5x5 + 5x + 2.
Idatzi ezaugarri hauek dituen polinomio bat: bi aldagaikoa, 7. mailakoa, 3. mailako gai bat duena eta gai askerik gabea.
adibidez: 5x5y2 − 3xy2.
Kalkulatu polinomioaren zenbakizko balioa, kasu bakoitzean.
a) P(x) = 3x6 + 2x5 − 3x 4 − x2 + 7x − 2, x = 0 denean.b) P(x, y) = −x 4y − x2y + 7xy − 2, x = 1, y = 2 denean.
a) P(0) = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 − 0 + 7 ⋅ 0 − 2 = −2
b) P(1, 2) = −1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 = 8
011
010
009
008
007
006
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 77
78
Polinomio hauek izanik:P(x, y) = 3x2y + xy − 7x + y − 2Q(x, y) = −xy 2 + 4y 2 − 3x
kalkulatu zenbakizko balioak: P(0, 0) P(1, 1) Q(0, −1) Q(0, 2)
P(0, 0) = 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 − 7 ⋅ 0 + 0 − 2 = −2
P(1, 1) = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 − 7 ⋅ 1 + 1 − 2 = −4
Q(0, −1) = −0 ⋅ (−1)2 + 4 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 0 = 4
Q(0, 2) = −0 ⋅ 22 + 4 ⋅ 22 − 3 ⋅ 0 = 16
Laburtu polinomio hauek eta kalkulatu zenbakizko balioa x = 2 den kasurako.
a) P(x) = 4 − 3x2 + x − x2 + 1b) Q(x) = x4 − 4 − 3x2 + x − x2 + 1 − 3x4 − 3x
a) P(x) = −4x2 + x + 5 P(2) = −4 ⋅ 22 + 2 + 5 = −9
b) P(x) = −2x4 − 4x2 − 2x − 3 P(2)= −2 ⋅ 24 − 4 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − 3 = −55
Zenbaki bat polinomio baten erroa da, zenbaki horrentzat polinomioarenzenbakizko balioa zero denean. −4 eta 4 zenbakiak polinomio honen erroak al dira?
P(x) = x2 − 5x + 4Jakingo al zenuke beste erro bat kalkulatzen?
P(−4) = (−4)2 − 5 ⋅ (−4) + 4 = 40 → −4 ez da erroa.
P(4) = 42 − 5 ⋅ 4 + 4 = 0 → 4 erroa da.
Polinomio honek beste erro bat du: x = 1.
Kalkulatu polinomio pare bakoitzaren arteko batura, kendura eta biderkadura.a) R(x) = x4 − x + 1; S(x) = x2 + 1b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x − 1c) R(x) = 5x7 − x8 + 1; S(x) = x2 + x6 − 1d) R(x) = x5 − x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2xe) R(x) = 7x3 + 2x2 + x − 3; S(x) = x4 + x2 − 8f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2
a) R(x) + S(x) = (x 4 − x + 1) + (x2 + 1) = x4 + x2 − x + 2R(x) − S(x) = (x 4 − x + 1) − (x2 + 1) = x4 − x2 − xR(x) ⋅ S(x) = (x 4 − x + 1) ⋅ (x2 + 1) = x6 + x4 − x3 + x2 − x + 1
b) R(x) + S(x) = (x + 1) + (x2 + x − 1) = x2 + 2xR(x) − S(x) = (x + 1) − (x2 + x − 1) = −x2 + 2R(x) ⋅ S(x) = (x + 1) ⋅ (x2 + x − 1) = x3 + 2x2 − 1
c) R(x) + S(x) = (5x7 − x8 + 1) + (x2 + x6 − 1) = −x8 + 5x7 + x6 + x2
R(x) − S(x) = (5x7 − x8 + 1) − (x2 + x6 − 1)= −x8 + 5x7 − x6 − x2 + 2R(x) ⋅ S(x) = (5x7 − x8 + 1) ⋅ (x2 + x6 − 1) =
= −x14 + 5x13 − x10 + 5x9 − 5x7 + x8 + x6 + x2 − 1
015
014
x = 2⎯⎯→
x = 2⎯⎯→
013
012
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 78
79
3
d) R(x) + S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) + (x 3 + 2x) == x5 − x4 + 2x3 + 4x + 1
R(x) − S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) − (x 3 + 2x) = x5 − x4 + 1R(x) ⋅ S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) ⋅ (x 3 + 2x) =
= x8 − x7 + 3x6 − 2x5 + 4x4 + x3 + 2x2 − 2x
e) R(x) + S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) + (x 4 + x2 − 8) == x4 + 7x3 + 3x2 + x − 11
R(x) − S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) − (x 4 + x2 − 8) == −x4 + 7x3 + x2 + x + 5
R(x) ⋅ S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) ⋅ (x 4 + x2 − 8) == 7x7 + 7x6 + 8x5 − x4 − 55x3 − 11x2 + 24
f) R(x) + S(x) = (x7 + 3) + (x 3 + x2 + 4x + 2) = x7 + x3 + x2 + 4x + 5R(x) − S(x) = (x7 + 3) − (x 3 + x2 + 4x + 2) = x7 − x3 − x2 − 4x + 1R(x) ⋅ S(x) = (x7 + 3) ⋅ (x 3 + x2 + 4x + 2) =
= x10 + x9 + 4x8 + 2x7 + 4x4 + 3x3 + 3x2 + 12x + 6
Kalkulatu −A(x) + B(x) eta −A(x) − B(x) polinomio hauekin:A(x) = 3x 4 − 5x3 + x 2 − 7B(x) = −3x 4 + x3 − 2x + 1
−A(x) + B(x) = −(3x4 − 5x3 + x2 − 7) + (−3x4 + x3 − 2x + 1) == −6x4 + 6x3 − x2 − 2x + 8
−A(x) − B(x) = −(3x4 − 5x3 + x2 − 7) − (−3x4 + x3 − 2x + 1) == 4x3 − x2 + 2x + 6
Kalkulatu aurreko ariketako bi polinomioen arteko biderkadura, horretarakobanatze-propietatea baliatuz.
A(x) ⋅ B(x) = (3x4 − 5x3 + x2 − 7) ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) == 3x4 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) − 5x3 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) ++ x2 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) − 7 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) == (−9x8 + 3x7 − 6x5 + 3x4) + (15x7 − 5x6 + 10x4 − 5x3) ++ (−3x6 + x5 − 2x3 + x2) + (21x4 − 7x3 + 14x − 7) == −9x8 + 18x7 − 8x6 − 5x5 + 34x4 − 14x3 + x2 + 14x − 7
Kalkulatu.
a) (x3 − 3x2 + 2x) : xb) (2x3 − 3x2 − 5x − 5) : (x − 2)c) (2x3 − 3x2 + 4x − 3) : (x2 + x − 1)d) (x4 + x3 − x2 + x + 1) : (x3 − 5)e) (−6x5 + x3 + 2x + 2) : (4x3 + 2x + 3)f) (x8 − 1) : (x5 + x3 + x + 2)g) (x − 1) : xh) (x2 − 1) : (x + 1)i) (x2 − 5x + 6) : (x − 2)
018
017
016
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 79
80
a) x2 − 3x + 2
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) x2 − x − 1 x + 1
− x2 − x x − 1
− x2 − x − 1− x2 − x + 1− x2 − x − 0
x − 1 x− x 1
x − 1
x8 − x6 − x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1 x5 + x3 + x − 2
− x8 − x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1 x3 − x− x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1
x6 + x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1
− x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1
x4 + x3 − x2 + 5x + 1 x3 − 5
− x4 + x3 − x2 + 5x x + 1
x3 − x2 + 6x + 1
− x3 − x2 + 6x + 5
−x2 + 6x + 6
2x3 − 3x2 + 4x − 3 x2 + x − 1
− 2x3 − 2x2 + 2x 2x − 5
−5x2 + 6x − 3
+ 5x2 + 5x − 5
11x − 8
2x3 − 3x2 − 5x − 5 x − 2
− 2x3 + 4x2 2x2 + x − 3
x2 − 5x − 5
− x2 + 2x− 3x − 5
3x − 6
−11
−6x5 + x3 + + 2x + 2 4x3 + 2x + 3
−6x5 + 3x3 + + 1
4x3 + + 2x + 2
− 4x3 + − 2x − 3
− 19
22x
9
22x
−3
22x
9
22x
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 80
i)
Egin zatiketa hauek eta aztertu ondo eginda dauden.
a) (x3 − 4x2 + 5x − 2) : (x2 − 2)b) (x 4 + x2 + 3) : (x3 + 3x2 + 2x + 6)
a)
(x2 − 2) ⋅ (x − 4) + (7x − 10) = (x 3 − 4x2 − 2x + 8) + (7x − 10) == x3 − 4x2 + 5x − 2
b)
(x3 + 3x2 + 2x + 6) ⋅ (x − 3) + (8x2 + 21) = (x4 − 7x2 − 18) + (8x2 + 21) == x4 + x2 +3
Kalkulatu polinomioen zatiketa honen hondarra.
Zatikizuna ⎯⎯→ P(x) = x5 + x3 − x2 + 5x − 3Zatitzailea ⎯⎯→ Q(x) = x3 + x − 1Zatidura ⎯⎯⎯→ C(x) = x2
R(x) = P(x) − Q(x) ⋅ C(x) = (x 5 + x3 − x2 + 5x − 3) − (x 3 + x − 1) ⋅ x2 == (x 5 + x3 − x2 + 5x − 3) − (x 5 + x3 − x2) == 5x −3
Atera polinomio hauen biderkagai komuna.
a) 8x2 − 4x d) −12ab3 + 4b2 − 6b4
b) 18x3y 2 − 12x2y 3 e) 34a4 − 14a3b + 28ab3
c) 30a2b − 15ab2 + 5a2b2 f) 20a4b2c + 36a2b − 18a3b2
a) 4x ⋅ (2x − 1) d) 2b2 ⋅ (−6ab + 2 − 3b2)
b) 6x2y2 ⋅ (3x − 2y) e) 2a ⋅ (17a3 − 7a2b + 14b3)
c) 5ab ⋅ (6a − 3b + ab) f) 2a2b ⋅ (10a2bc + 18 − 9ab)
021
020
x4 − 3x3 + 2x2 − 6x + 13 x3 + 3x2 + 2x + 6
− x4 − 3x3 − 2x2 − 6x x − 3
− 3x3 − 2x2 − 6x + 13
− 3x3 + 9x2 + 6x + 18
8x2 + 6x + 21
x3 − 4x2 + 5x − 12 x2 − 2
− x3 − 4x2 + 2x x − 4
− 4x2 + 7x − 12
− 4x2 + 7x − 18
7x − 10
019
x2 − 5x + 6 x − 2
− x2 + 2x x − 3
− x2 − 3x + 6− x2 − 3x − 6
− 0
81
3ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 81
82
Atera polinomio hauen biderkagai komuna.
a) b) x ⋅ (xy 2 − y) + y 2 ⋅ (4xy − 3y) c)
a)
b) y[x ⋅ (xy − 1) + y2(4x − 3)]
c)
Kalkulatu a, ax3y + 4x4y2 − 6xay3 polinomioaren biderkagai komuna 2x2y izateko.
Hirugarren gaiari erreparatuz, a > 2 bada, hiru gaien biderkagai komunak x ber 3 izango luke eta hori ezinezkoa da; eta a < 2 bada, hiru gaien biderkagai komunak x ber 2 baino zenbaki txikiago bat izango luke. Beraz, ebazpen bakarra a = 2 da.
Garatu laburbidezko formula hauek.
a) (x + 7)2 e) (x − 4)2
b) (2a + 1)2 f) (3a − b)2
c) (6 + x)2 g) (5 − x)2
d) (3a2 + 2b)2 h) (2b 2 − 5b 3)2
a) x2 + 14x + 49 e) x2 − 8x + 16
b) 4a2 + 4a + 1 f) 9a2 − 6ab + b2
c) 36 + 12x + x2 g) 25 − 10x + x2
d) 9a4 + 12a2b + 4b2 h) 4b4 − 20b5 + 25b6
Garatu.
a) (3x3 − a2)2 b) (x2 + x3)2 c) (2x + x3)2 d) (6ab 2 − 2y)2
a) 9x6 − 6x3a2 + a4 c) 4x2 + 4x4 + x6
b) x4 + 2x5 + x6 d) 36a2b4 − 24ab2y − 4y2
Adierazi batuketaren edo kenketaren berbidura gisa, egokiena zer den.
a) x2 + 6x + 9 c) x2 + 4xy + 4y 2
b) 4x2 − 12xy + 9y 2 d) x 4 + 2x2 + 1
a) (x + 3)2 c) (x + 2y)2
b) (2x − 3y)2 d) (x2 + 1)2
Kalkulatu biderketa hauek.
a) (x + 7) ⋅ (x − 7) b) (7x + 4y) ⋅ (7x − 4y)
a) x2 − 49 b) 49x2 − 16y2
027
026
025
024
023
xx x−
−−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
7
1
5
xx
21⋅ −( )
x x x x2 227 5− − −x x2
2 2−
022
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 82
83
3
Aztertu adierazpen hauek batuketa bider kenketa gisa adieraz daitezkeen.
a) x2 − 1 b) x 4 − 9 c) 16 − x2
a) (x + 1) ⋅ (x − 1) b) (x2 + 3) ⋅ (x2 − 3) c) (4 − x) ⋅ (4 + x)
Adierazi biderketa gisa.
a) 4x2 − 4x + 1 c) 100x2 − 4z 6
b) 9a2 − 30ab + 25b2
a) (2x − 1)2 b) (3a − 5b)2 c) (10x + 2z3) ⋅ (10x − 2z3)
Behatu adibideari eta kalkulatu buruz.
1.0002 − 9992 = (1.000 + 999) ⋅ (1.000 − 999) = 1.999 ⋅ 1 = 1.999
a) 462 − 452 b) 1202 − 1192 c) 5002 − 4992
a) 91 b) 239 c) 999
Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek.
a) b) c) d)
a) b) c) d) x
Sinplifikatu: a) b)
a) b)
Kalkulatu a izateko.
4x2 + 4ax + a2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 → a = 3
ARIKETAK
Esan adierazpen hauek monomioak diren ala ez.
a) 2x2 + yz c) 5x5y 2 e)
b) d) f) 3ab + 2a2
a) Ez da monomioa. c) Monomioa da. e) Ez da monomioa.
b) Monomioa da. d) Monomioa da. f) Ez da monomioa.
xyz2
11
2 4x y −
32
13
x y+
034●
4 42 3
2 32 2x ax a
xx
+ ++
= +033
( ) ( )
( )
x x
x
x+ ⋅ −−
=+3 3
2 3
3
2
( )x
xx
−−
= −2
22
2
xx
2 92 6
−−
x xx
2 4 42
− +−
032
2
y
5
3
2x yx
y
2
44
2x yxy
63
2
2 2
x yx y
53
3 2x yxy
xxy
3
031
030
029
028
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 83
84
Esan monomio hauek antzekoak diren.
a) xz, 3xy, −6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4
b) ab, a 2b, 7b d) 8xy2, 7xy
a) atalean antzekoak: 3xy, −6xy; xz ez da besteen antzekoa.
b), c) eta d) ataletan ez dago antzeko monomiorik.
Egin monomioen batuketa hauek.
a) xz + 3xz + 6xz c) 9c 9 + c 9 + c 9
b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy
a) 10xz b) 37a2b c) 11c9 d) 81xy
Egin monomioen kenketa hauek.
a) 3xz − 6xz c) 18xy − 7xy − 3xy − 3xyb) 9a 2b − 2a 2b d) 5x 9 − x 9 − x 9 − x 9
a) −3xz c) 5xy
b) 7a2b d) 2x9
Egin eragiketak eta adierazi emaitza den monomioaren maila.
a) 2x2 + 3x2 − 7x2 + 8x2 − x2
b) 5xy3 − 2xy3 + 7xy3 − 3xy3 + 12xy3
c) 3abc − 2abc + 6abc + 9abc − 4abcd) 5xz − 3xz + 15xz − 11xz + 8xz − 3xze) (2xyz) ⋅ (2x2yz 3)f) (−2abc) ⋅ (3a 2b 2c 2) ⋅ (−bc)g) 7x ⋅ (2xy) ⋅ (−3xy5) ⋅ (xy)h) (6ac3) ⋅ (−2a 2c3) ⋅ (−3ac) ⋅ (−4a 3c2)i) (21x2y 3) : (7xy2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y 5a 3b 6) : (8x2y 3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)
a) 5x2 Maila: 2. g) −42x4y7 Maila: 11.
b) 25xy3 Maila: 4. h) −144a7c9 Maila: 16.
c) 12abc Maila: 3. i) 3xy Maila: 2.
d) 11xz Maila: 2. j) 3a Maila: 1.
e) 4x3y2z4 Maila: 9. k) 2x2y2ab Maila: 6.
f) 6a3b4c4 Maila: 11. l) Maila: 6.5
22 3m ng
038●
037●
036●
035●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 84
85
3
Egin eragiketa hauek.
a) −xz + 6xz + xyz − 8xz c) 9c 9 − c 9 − c 9 + 10c 9
b) 9a 2b − 2a 2b + 8a 2b − a 2b d) 8xy + 7xy − xy + 3xy − xy
a) −3xz + xyz b) 14a2b c) 17c9 d) 16xy
Egin biderketa hauek.
a) xy ⋅ 3xy ⋅ (−6xy) c) 8xy2 ⋅ 7xyb) ab ⋅ a 2b ⋅ 7b ⋅ ab d) 15x9 ⋅ (−3x9)
a) −18x3y3 b) 7a4b3 c) 4y d) −45x18
Egin monomioen arteko zatiketa hauek.
a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9
b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x 4
a) 3 b) 9 c) 3 d) 4 e) 5 f) 4x3
Kalkulatu eta sinplifikatu emaitza ahalik eta gehien.
a) 2x2 − 5(−x2) + 8x2 − (2x) ⋅ (3x)b) 2x ⋅ (−y) + 7xy − yx + (−4x) ⋅ (−5y)c) 3x2 − (−x)2 + 3(−x2) + (−3) ⋅ (−x)2
d) (2xy − 3xy + 7xy) ⋅ (2ab)e) (x2 − 3x2 + 6x2 − 2x2) ⋅ (−5zx)
a) 2x2 + 5x2 + 8x2 − 6x2 = 9x2 d) (6xy) ⋅ (2ab) = 12xyabb) −2xy + 7xy − xy + 20xy = 24xy e) (2x2) ⋅ (−5zx) = −10x3zc) 3x2 − x2 − 3x2 − 3x2 = −4x2
Arrazoitu berdintza hauek zuzenak ala okerrak diren.
a) Zuzena: x ⋅ x ⋅ x = x1+1+1 = x3.
b) Okerra, ezin da berrekizun bereko eta berretzaile desberdineko berreketenkenketarik egin.
c) Zuzena: x3 ⋅ x4 = x3+4 = x7.
d) Okerra, berreketa berrekizuna aldi kopuru jakin batean biderkatzea da, ezbatzea.
e) Zuzena: (x2)2 = x2 ⋅2 = x4.
f) Okerra: .xx
− =22
1
a) x · x · x = x3
b) x2 - x = xc) x3 · x 4 = x7
d) x5 = 5xe) (x2)2 = x 4
f) x-2 = -x2
043●●
042●●
041●
040●
039●
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 85
86
Adierazi polinomio hauen maila, gai askea eta aurkako polinomioa.a) P(x) = −x3 + x2 − 7x − 2 d) S(x) = 8b) Q(x) = −x2 + 2x + 6 e) T(x) = 12x − x2 + x4
c) R(x) = x + 1 f)
a) Maila: 3 Gai askea: −2 Aurkakoa: x3 − x2 + 7x + 2
b) Maila: 2 Gai askea: 6 Aurkakoa: x2 − 2x − 6
c) Maila: 1 Gai askea: 1 Aurkakoa: −x − 1
d) Maila: 0 Gai askea: 8 Aurkakoa: −8
e) Maila: 4 Gai askea: 0 Aurkakoa: −x4 + x2 − 12x
f) Maila: 2 Gai askea: Aurkakoa:
Arrazoitu zuzena ala okerra den.a) Polinomio bat bi monomioren batuketa da.b) Polinomio baten maila osagai dituen monomioen mailarik
handiena da.c) Polinomio baten koefizienteak zenbaki arruntak dira beti.d) Polinomio orotan dago x2 daukan gai bat.
a) Okerra. Polinomio bat bi monomio edo gehiagoren batuketa edo kenketa da.
b) Zuzena.
c) Okerra. Koefizienteak edozein motatako zenbakiak dira.
d) Okerra. Aldagaiak ez du zertan x izan, eta ez da beharrezkoa 2. mailako gai bat izatea.
Laburtu polinomio hauek.a) P(x) = −x2 − x − 2 − x3 + x2 − x − 2b) Q(x) = −x2 + x2 + 6 − x + x2 − 7x − 2c) R(x) = x + 1 − x + x2
d) S(x) = 8 − x + 34 − x + 324e) T(x) = x4 + x4 − x3 + x2 − 7x − 2
f)
a) P(x) = −x3 − 2x − 4
b) Q(x) = x2 − 8x + 4
c) R(x) = x2 + 1
d) S(x) = −2x + 364
e) T(x) = 2x4 − x3 + x2 − 7x − 2
f) U(x) = 3
7
1
62x x− −
U x x x x( ) = − − −12
16
27
2 2
046●
045●●
− + +1
2
1
62x x−
1
6
U x x x( ) = − −12
16
2
044●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 86
87
3
Kalkulatu polinomio bakoitzaren zenbakizko balioa, aldagaiaren balio hauetarako.
a) A(x) = x + 1, x = 1 denean
b) B(x) = x 4 + 3, x = 2 denean
c) C(x) = 4x5 − x2 + 3, x = −1 deneand) D(x) = −9x 4 + 7x2 + 5, x = 1 deneane) E(x) = x3 + x2 + x + 2, x = −2 deneanf) F (x) = x 4 + x 4 − x3 + x2 − 7x − 2, x = 0 deneang) G(x) = −14, x = −2 denean
a) A(1) = 1 + 1 = 2b) B(2) = 8 + 3 = 11c) C(−1) = −4 − 1 + 3 = −2d) D(1) = −9 + 7 + 5 = 3e) E(−2) = −8 + 4 − 2 + 2 = −4f) F(0) = −2g) G(−2) = −14
Aurkitu polinomio honen zenbakizko balioak:P(x, y) = 2x2y + xy 2 − 3xy + 5x − 6y + 9
a) P(0, 0) c) P(−1, 1) e) P(1, 2)b) P(1, 1) d) P(1, −1) f) P(2, 1)
a) P(0, 0) = 2 ⋅ 02 ⋅ 0 + 0 ⋅ 02 − 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 − 6 ⋅ 0 + 9 = 9
b) P(1, 1) = 2 ⋅ 12 ⋅ 1 + 1 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 1 + 9 = 8
c) P(−1, 1) = 2 ⋅ (−1)2 ⋅ 1+ (−1) ⋅ 12− 3 ⋅ (−1) ⋅ 1+ 5 ⋅ (−1)− 6 ⋅ 1+ 9 = 2
d) P(1, −1) = 2 ⋅ 12 ⋅ (−1)+ 1 ⋅ (−1)2− 3 ⋅ 1 ⋅ (−1)+ 5 ⋅ 1− 6 ⋅ (−1)+ 9= 11
e) P(1, 2) = 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 1 ⋅ 22 − 3 ⋅ 1 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 2 + 9 = 4
f) P(2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 1 + 9 = 17
049
048●
12
047●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA POLINOMIO BATEN KOEFIZIENTEA, HAREN ZENBAKIZKO BALIOETAKO
BAT EZAGUNA DENEAN?
Kalkulatu k-ren balioa polinomio honetan: P(x) = x2 − x + k, si P (2) = 5.
LEHENA. Aldagaia bere balioaz ordezkatu behar da polinomioan.
P(x)
BIGARRENA. Sortzen den ekuazioan k bakandu.
2 + k = 5 → k = 5 − 2 = 3
P k kP
k( )( )2 2 2 22 5
2 52= − + = +
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =→x = 2F
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 87
88
Kalkulatu k-ren balioa polinomio bakoitzean, P(1) = 6 dela jakinik.a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 d) P(x)= kx6 − kx3 + kx + kb) P(x) = kx 4 + kx3 + 4 e) P(x) = kc) P(x) = 9x5 + kx2 + kx − k
a) k + 1 + 3 + 1 = 6 → k = 1 d) k − k + k + k = 6 → k = 3b) k + k + 4 = 6 → k = 1 e) k = 6c) 9 + k + k − k = 6 → k = 3
Polinomio hauek izanik:P(x) = 2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6 R(x) = 3x2 − x + 1Q(x) = 3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1 S(x) = 2x + 3
kalkulatu.
a) P(x) + Q(x) c) P(x) − S(x) e) P(x) + R(x) g) Q(x) − R(x)b) Q(x) + P(x) d) Q(x) − P(x) f) R(x) + S(x) h) R(x) − P(x)
a) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) == 2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7
b) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) + (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) == 2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7
c) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (2x + 3) == 2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + x − 9
d) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) == −2x5 + 6x4 − 9x3 + 7x2 − 10x + 5
e) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x2 − x + 1) == 2x5 − 3x4 + 7x3 + x2 + 2x − 5
f) (3x2 − x + 1) + (2x + 3) = 3x2 + x + 4
g) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − (3x2 − x + 1) = 3x4 − 2x3 + 2x2 − 6x − 2
h) (3x2 − x + 1) − (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) == −2x5 + 3x4 − 7x3 + 5x2 − 4x + 7
Egin polinomio hauen batuketa eta kenketak.a) P(x) = −7x + 4; Q(x) = 2x + 5b) P(x) = −3x2 + 1; Q(x) = −x2 + 2xc) P(x) = −3x2 + 1; Q(x) = −x2 + 2x + 6d) P(x) = −5x3 + x2 − 7x − 2; Q(x) = 5x3 + x2 + 4x − 2
e) P(x) = x2 − 2xy − y 2; Q(x) = x2 − xy − y 2
f) P(x) = x2 −2xy − y 2; Q(x) = x2 − 2xy − y 2
g) P(x) = x2 − − 3; Q(x) = − x2 + x − 1
h) P(x) = x2 − 5x − 3; Q(x) = − x2 + 13
12
13
12
x2
23
13
32
12
32
12
052●
051●
050●●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 88
89
3
a) Batuketa: −5x + 9 Kenketa: −9x − 1
b) Batuketa: −4x2 + 2x + 1 Kenketa: −2x2 − 2x + 1
c) Batuketa: −4x2 + 2x + 7 Kenketa: −2x2 − 2x −5
d) Batuketa: 2x2 − 3x − 4 Kenketa: −10x3 − 11x
e) Batuketa: x2 − 3xy − y2 Kenketa: x2 − xy − y2
f) Batuketa: x2 − 4xy − y2 Kenketa: x2 − y2
g) Batuketa: x2 − x − 4 Kenketa: x2 − x − 2
h) Batuketa: x2 − 5x − Kenketa: x2 − 5x −
Polinomio hauek izanik:
P(x) = 2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6 R(x) = 3x2 − x + 1Q(x) = 3x 4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1 S(x) = 2x + 3
kalkulatu.
a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) c) [P(x) + Q(x)] − [R(x) + Q(x)]b) P(x) − R(x) + S(x) − Q(x) d) [P(x) − Q(x)] − [R(x) − Q(x)]
a) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) ++ (3x2 − x + 1) + (2x + 3) = 2x5 + 5x3 + 6x2 − 3x − 3
b) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x2 − x + 1) + (2x + 3) −− (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) = 2x5 − 6x4 + 9x3 − 10x2 + 13x − 3
c) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ++ [(3x2 − x + 1) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] =
= (2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7) − (3x4 − 2x3 + 8x2 − 8x) == −2x5 − 3x4 + 7x3 − 5x2 + 4x − 7
d) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ++ [(3x2 − x + 1) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] =
= [2x5 − 6x4 + 9x3 − 7x2 + 10x − 5] − [−3x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + 2] == 2x5 − 3x4 + 7x3 − 5x2 + 4x − 7
Aurkitu Q(x) polinomioa, P(x) = x2 + 2x − 1 polinomioari batu behar zaionaemaitza R(x) izan dadin.
a) R(x) = x − 1 d) R(x) = −7x2 − 3xb) R(x) = 2x2 − x − 6 e) R(x) = x3 − xc) R(x) = 5x2 − x + 1 f) R(x) = x3 − x2
Q(x) = R(x) − P(x)
a) Q(x) = −x2 − x d) Q(x) = −8x2 − 5x + 1
b) Q(x) = x2 − 3x − 5 e) Q(x) = x3 − x2 − 3x + 1
c) Q(x) = 4x2 − 3x + 2 f) Q(x) = x3 − 2x2 − 2x + 1
054●●
053●
10
3
3
2
8
3
1
2
5
6
3
2
1
6
1
2
5
6
1
6
13
6
5
6
1
2−
1
2
5
2
3
2
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 89
90
Polinomio hauek izanik:P(x) = 2x6 − 7x 4 + 2x3 − 2x2 + x − 1Q(x) = 3x5 − 2x3 + x2 − x − 1R(x) = x2 − x + 1
kalkulatu.
a) P(x) ⋅ Q(x) b) Q(x) ⋅ R(x) c) P(x) ⋅ R(x) d) R(x) ⋅ R(x)
a) (2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1) ⋅ (3x5 − 2x3 + x2 − x − 1) == 6x11 − 25x9 + 8x8 + 6x7 − 10x6 + 10x5 + x4 + 3x3 + 1
b) (3x5 − 2x3 + x2 − x − 1) ⋅ (x2 − x + 1) == 3x7 − 3x6 + x5 + 3x4 − 4x3 + x2 − 1
c) (2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1) ⋅ (x2 − x + 1) == 2x8 − 2x7 − 5x6 + 9x5 − 11x4 + 5x3 − 4x2 + 2x − 1
d) (x2 − x + 1) ⋅ (x2 − x + 1) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Polinomio hauek izanik:P(x) = 2x5 − 3x 4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6 R(x) = 3x2 − x + 1Q(x) = 3x 4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1 S(x) = 2x + 3
kalkulatu.
a) [P(x) − Q(x)] ⋅ S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] ⋅ S(x)b) [R(x) − Q(x)] ⋅ S(x) d) [P(x) + Q(x) − R(x)] ⋅ S(x)
a) [(2x5 − 3x4+ 7x3 − 2x2 + 3x− 6)− (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x− 1)] ⋅ (2x+ 3)== (2x5 − 6x4 + 9x3 − 7x2 + 10x − 5) ⋅ (2x + 3) == 4x6 − 6x5 + 13x3 − x2 + 20x − 15
b) [(3x2 − x + 1) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) == (−3x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + 2) ⋅ (2x + 3) == −6x5 − 5x4 + 2x3 + 6x2 + 22x + 6
c) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) ++ (3x2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5 + 5x3 + 6x2 − 5x − 6) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 27x3 + 8x2 − 27x − 18
d) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) −− (3x2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5 + 5x3 − 3x − 8) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 15x3 − 6x2 − 25x − 24
Egin eragiketa hauek.
a)
b)
c)
d)56
3 113
52
43
5 2 5 2x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )
25
3 112
23
2 3 2 3 2x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )
53
25
752
33 2 2x x x x x− + −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
12
34
54
772
92 2x x x x+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −
443x +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
057●●
056●●
055●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 90
91
3
a)
b)
c)
d)
Zatitu.
a) (4x 4 + 3x3 − 5x2 + x + 7) : (x − 1)
b) (4x 4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 5) : (x + 1)
c) (7x5 + 4x 4 + 3x3 − 5x2 + 2x − 1) : (x2 + x)d) (x 4 − 2x3 + x2 − x + 3) : (x2 + x + 1)
e) (4x 4 − 2x3 + 7x2 − 2x + 3) : (x2 − x − 2)
a)
b) 4x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 15 x + 1
− 4x4 − 4x3 4x3 − 6x2 + 9x − 11
− 6x3 + 3x2 − 2x + 15
− 6x3 + 6x2
+ 9x2 − 2x + 15
− 9x2 − 9x− 11x + 15
− 11x + 11
16
4x4 + 3x3 − 5x2 + 2x + 7 x − 1
− 4x4 + 4x3 4x3 + 7x2 + 2x + 3
7x3 − 5x2 + 2x + 7
− 7x3 + 7x2
+ 2x2 + 2x + 7
− 2x2 + 2x− 3x + 17
− 3x + 13
10
058●
5
6
5
6
5
2
5
6
5
2
4
36 3 2 6 5x x x x x x− + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − − +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − + − − + −1
3
10
3
4
3
5
6
5
2
5
67 6 5 3 2x x x x x x
2
5
6
5
2
5
2
5
1
2
2
35 4 3 2 5 4 3x x x x x x x− + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − − +
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − + − −1
10
1
5
4
15
2
55 4 3 2x x x x
25
66
37
10
41
2215 4 3 2x x x x x− + − +
1
2
7
2
3
4
5
4
9
472+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − − −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + − +x x 33 4
11
442( ) = − −x x
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 91
92
c)
d)
e)
Garatu.
a) (3x + 2)2 d) (7x3 + 4x2)2 g) (x4 + 3x5) ⋅ (x 4 − 3x5)b) (3x − 2)2 e) (2x + 7) ⋅ (2x − 7)
h)c) (3x2 − 2x)2 f) (2x2 + 3x) ⋅ (2x2 − 3x)
a) 9x2 + 12x + 4 e) 4x2 − 49
b) 9x2 − 12x + 4 f) 4x4 − 9x2
c) 9x4 − 12x3 + 4x2 g) x8 − 9x10
d) 49x6 + 56x5 + 16x4 h) 4x2 − 2x +
Garatu berbidura hauek.
a) (x + 5)2 c) (−y − 8)2 e) (−x − y)2
b) (2y − 7)2 d) (xy − 6x)2 f) (x + 2xy)2
a) x2 + 10x + 25 d) x2y2 − 12x2y + 36x2
b) 4y2 − 28y + 49 e) x2 + 2xy + y2
c) y2 + 16y + 64 f) x2 + 2x2y + 4x2y2
060●●
1
4
212
2
x −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
059●
4x4 − 2x3 + 17x2 − 12x + 13 x2 − x − 2
− 4x4 + 4x3 + 38x2 4x2 + 2x + 17
− 2x3 + 15x2 − 12x + 13
− 2x3 + 12x2 + 14x+ 17x2 + 12x + 13
− 17x2 + 17x + 34
19x + 37
x4 − 2x3 + 3x2 − 1x + 3 x2 + x + 1
− x4 − 2x3 − 3x2 x2 − 3x + 3
− 3x3 + 3x2 − 1x + 3
− 3x3 + 3x2 + 3x+ 3x2 + 2x + 3
− 3x2 − 3x − 3
− 3x
7x5 + 4x4 + 3x3 − 15x2 + 12x − 1 x2 + x− 7x5 − 7x4 7x3 − 3x2 + 6x − 11
− 3x4 + 3x3 − 15x2 + 12x − 1
− 3x4 + 3x3
+ 6x3 − 15x2 + 12x − 1
− 6x3 − 16x2
− 11x2 + 12x − 1
11x2 + 11x13x − 1
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 92
93
3
Osatu berdintza hauek.
a) (2x + 3)2 = � + 12x + � c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = � − �b) (5 − 3x)2 = 25 − � + � x2 d) (� + � )2 = x 4 + 2x3 + x2
a) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
b) (5 − 3x)2 = 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3x + (3x)2 = 25 − 30x + 9x2
c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = 92 − (7x)2 = 81 − 49x2
d) x4 + 2x3 + x2 = (x2)2 + 2 ⋅ x2 ⋅ x + x2 = (x2 + x)2
Garatu eta sinplifikatu adierazpen hauek.
a) 5x2 + (2x2 + 1)2 − 2x 4 − (x − 1)2
b) (x − 1)2 − (x2 + x + 1)c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2
d) (2x3 − 3x2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2)e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5)f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2)
a) 5x2 + (2x2 + 1)2 − 2x4 − (x − 1)2 = 5x2 + 4x4 + 4x2 + 1 − 2x4 − x2 ++ 2x − 1 = 2x4 + 8x2 + 2x
b) (x − 1)2 − (x2 + x + 1) = x2 − 2x + 1 − x2 − x − 1 = −3x
c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2 = [(5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52] −− [(5x)2 − 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52] = 25x2 + 50x + 25 − 25x2 + 50x − 25 = 100x
d) (2x3 − 3x2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2) = (2x3)2 − 2 ⋅ 2x3 ⋅ 3x2 + (3x2)2 −− [(2x)2 − 22] = 4x6 − 12x5 + 9x4 − 4x2 + 4
e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5) == x2 + 12x + 36 − x2 + 12x − 36 − x2 + 25 = −x2 + 24x + 25
f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2) == (2x)2 + 2 ⋅ 2x + 1 − ((2x)2 − 2 ⋅ 2x + 1) + 6x2 + 4x + 3x + 2 == 4x2 + 4x + 1 − 4x2 + 4x − 1 + 6x2 + 7x + 2 = 6x2 + 15x + 2
063●●
EGIN HONELA
Egin eragiketa hau.(2x − 3)2 − (2 + x)2
LEHENA. Polinomioa garatuko dugu, laburbidezko formulen emaitzak aplikatuz.
(2x − 3)2 − (2 + x)2 = (4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2)
BIGARRENA. Parentesiak kenduko ditugu, zeinuak kontuan hartuta.
(4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2) = 4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2
HIRUGARRENA. Polinomioa laburtuko dugu.
4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2 = 3x2 − 16x + 5
Hortaz: (2x − 3)2 − (2 + x)2 = 3x2 − 16x + 5.
062
061●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 93
94
Adierazi polinomio hauek batuketaren edo kenketaren berbidura gisa.
a) 9x2 + 18x + 9 c) x2 + 16x + 64b) 16x2 − 16x + 4 d) 4x2 + 4x + 1
a) 32x2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 3x + 32 = (3x + 3)2
b) 42x2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2x + 22 = (4x − 2)2
c) 12x2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 8x + 82 = (x + 8)2
d) 22x2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1x + 12 = (2x + 1)2
Adierazi irudi bakoitzaren azalera polinomio baten bidez. Sinplifikatu adierazpena.
a) c)
b) d)
a) (x + 4)2 + x2 = 2x2 + 8x + 16
b)
c) (x + 5) ⋅ (x + 3) − 2(x − 1) = x2 + 8x + 15 − 2x + 2 = x2 + 6x + 17
d) = x2 + 2x
Idatzi polinomioak bi biderkagairen biderketa gisa.
a) x2 − 16 d) x2 − 4x + 4b) x 4 − 36 e) 16x2 − 24xy + 9y 2
c) 4x2 − 25 f) 16x 4 + 24x2 + 9
a) (x + 4) ⋅ (x − 4) d) (x − 2)2
b) (x2 + 6) ⋅ (x2 − 6) e) (4x − 3y)2
c) (2x + 5) ⋅ (2x − 5) f) (4x2 + 3)2
Erreparatu ebatzitako adibideari eta osatu.
[(x + 2) + 3] ⋅ [(x + 2) − 3] = (x + 2)2 − 9a) [(3x − y) + 4] ⋅ [(3x − y) − 4]b) [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) − c]
a) (3x − y)2 − 16
b) (a + b)2 − c2
067●●
066●●
x xx
+ +⋅
( )4
2
( ) ( )x xx x
− ⋅ += − −
3 2 5
2
1
2
15
22
x + 4
x
x
2x + 5
x − 3
x − 1
x + 32
x + 5
x + 4
x + 4
x
x
065●●
064●●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 94
95
3
Atera biderkagai komuna adierazpen hauetan.
a) 3x2 − 4x c) xy − 6xyz − 5xyztb) (x + 1) + 3(x + 1) d) 3x − 4x2 − 6x3
a) x(3x − 4) c) xy(1 − 6z − 5zt )
b) (x + 1) ⋅ (1 + 3) = 4(x + 1) d) x(3 − 4x − 6x2)
Sinplifikatu adierazpen hauek, laburbidezko formulak eta biderkagai komunakerabiliz.
a) 7x2 − 14x + 7 e) (2x + 4) ⋅ (x − 2)b) 16x2 + 64x + 64 f) (x − 5) ⋅ (x2 + 5x)c) x3 − 2x2 + x g) (−x − 7) ⋅ (x − 7)d) 18x 4 − 12x2 + 2 h) (−x2 + 5) ⋅ (−x2 − 5)
a) 7(x2 − 2x + 1) = 7(x − 1)2
b) 16(x2 + 4x + 4) = 16(x + 2)2
c) x(x2 − 2x + 1) = x(x − 1)2
d) 2(9x4 − 6x2 + 1) = 2(3x2 − 1)2
e) 2(x + 2) ⋅ (x − 2) = 2(x2 − 4)
f) x (x − 5) ⋅ (x + 5) = x(x2 − 25)
g) −(x + 7) ⋅ (x − 7) = −(x2 − 49) = 49 − x2
h) (x2 − 5) ⋅ (x2 + 5) = x4 − 25
070
069●●
068●●
EGIN HONELA
NOLA SINPLIFIKATZEN DIRA ZATIKI ALJEBRAIKOAK?
Sinplifikatu.
LEHENA. Zenbakitzailea eta izendatzailea ahalik eta biderkagai gehienetan deskonposatuko ditugu.
BIGARRENA. Zenbakitzailea eta izendatzailea biek biderkagai komuntzat dituztenezzatitzen dira.
y y x
x y x
y y x
x
3 2
2
1 1
1
1 1⋅ − ⋅ −
⋅ ⋅ −=
− −( ) ( )
( )
( )( )
y y x
xy x
3 2
2
1 1
1
( ) ( )
( )=
− ⋅ −−
( ) ( )
( )
( ) ( )y y x x
xy x
y y x x4 3 2
2
3 22 1
1
1 2 1− ⋅ − +−
=− ⋅ − +
xxy x2 1( )−=
Biderkagai komunaa y3 da
y4 − y3 = y3 ⋅ (y − 1)
Kenketarenberbidura
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
F F
( ) ( )( )
y y x xxy x
4 3 2
2
2 11
− − +−
⋅
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 95
96
Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek.
a) d)
b) e)
c) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
P(x) polinomioa 5. mailakoa bada, eta Q(x), berriz, 2. mailakoa, zehaztu, ahalden kasuetan, polinomio hauen mailak:
a) P(x) + Q(x) c) P(x) ⋅ Q(x)b) P(x) −Q(x) d) P(x) : Q(x) adierazpenaren zatidura eta hondarra.
Egin gauza bera, P(x) eta Q(x) 5. mailakoak izanik.
073●●●
3 4 4
2 4 4
3
2
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
+ ⋅ −+ ⋅ −
=
4 3 4
3 3 4 3 4
4 3 4
3 3 4
2( )
( ) ( )
( )
( )
x
x x
x
x
++ ⋅ −
=+−
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
2x
x x
x
x
++ ⋅ −
=+−
18 1
9 1
18 1 1
9 1
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( ) ( )
( )
x
x x
x x
x x
−−
=− ⋅ +
−==
+2 1 2
2
( )x
x
2 4
4 4
2 4
4
2x x
x x
x x
x
( )
( ) ( )
( )
( )
−− ⋅ +
=−+
x x x
x xx x
2 4 4
44
( ) ( )
( )( )
− ⋅ ++
= −
( )( )3 12 42 322
x xx+ −−
18 36 189 1
4 2
2 2
x xx x− +−( )
( )6 827 48
2
2
xx+−
x x xx
( )( )
2 16 3216
2
2
− +−
( )3 29 4
2
2
xx−−
x xx x
3 2 164
( )( )−+
072●●●
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(x x y y
xy x y
x+ ⋅ − ⋅ + ⋅ −− ⋅ +
=+3 3 4 4
2 3 4
32
)) ( )
( )
⋅ −+y
xy y
4
2 4
y x
x x
y x
x
2 2 22
2
2( )
( )
( )−−
=−
x x x
x xx x
2 2 2
22
( ) ( )
( )( )
+ ⋅ −−
= +
( )
( )
( )x
x x
x
x
++
=+1
1
12
( )( )( )( )x y
xy x y
2 2
2
9 162 6 4− −− +
x xx x
2 2 42
( )( )−−
y x xx x
2 2 4 42
( )( )− +−
x xx x
2 2 11
+ ++( )
071●●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 96
97
3
a) Maila: 5.
b) Maila: 5.
c) Maila: 7 = 5 + 2.
d) Zatidura → Maila: 3 = 5 − 2.Hondarra ⎯⎯→ Maila: 2 baino txikiagoa.
P(x) eta Q(x) 5. mailakoak badira:
a) Ezin da jakin; izan ere, gerta daiteke gairen bat anulatzean batuketaegitean, koefizienteak aurkakoak badira.
b) Ezin da jakin; izan ere, gerta daiteke gairen bat anulatzea kenketa egitean.
c) Maila: 10 = 5 + 5.
d) Zatidura → Maila: 0 = 5 − 5.Hondarra ⎯⎯→ Maila: 5 baino txikiagoak.
Batuketa hauek berbidura perfektuak dira.
Emaitza hauen argitan, jakingo al zenuke zehazten zer berbiduraren berdina den adierazpen hau?
x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2
Aztertu proposatutako berdintza zuzena den.
x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2 = [x (x +1) + 1]2
Formula frogatzeko, bigarren ataletik abiatuko gara:
[x(x + 1) + 1]2 = [x(x + 1)]2 + 2x(x + 1) + 1 = x2(x +1)2 + 2x(x + 1) + 1 == x2(x + 1)2 + 2x2 + 2x + 1 == x2(x + 1)2 + x2 + x2 + 2x + 1 == x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2
Egiaztatu, zenbait adibideren bidez, ondoz ondoko hiru zenbaki osoren arteko biderketari erdiko zenbakia batzen bazaio, emaitza kubo perfektu delabeti.
Frogatu, ondoz ondoko edozein hiru zenbaki osorako: x − 1,x y x + 1.
Adibideak: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 = 27 = 33
4 ⋅ 5 ⋅ 6 + 5 = 125 = 53
9 ⋅ 10 ⋅ 11 + 10 = 1.000 = 103
(x − 1) ⋅ x ⋅ (x + 1) + x = (x3 − x) + x = x3
075●●●
12 + 22 + 12 · 22 = 32
22 + 32 + 22 · 32 = 72
…
92 + 102 + 92 · 102 = 912
074●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 97
98
Laburbidezko formulen garapena aurkitzeko aplikatutako metodoari jarraiki,bilatu adierazpen hauen garapena:
a) (a + b)3 c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2
b) (a − b)3 d) (a − b)4
a) (a + b)3 = (a + b)2 ⋅ (a + b) = (a2 + 2ab + b2) ⋅ (a + b) == a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3a2b + b3
b) (a − b)3 = (a − b)2 ⋅ (a − b) = (a2 − 2ab + b2) ⋅ (a − b) == a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2 = ((a + b) ⋅ (a − b)) ⋅ ((a + b) ⋅ (a − b)) = (a2 − b2)2 == ((a2)2 − 2(a2) ⋅ (b2) + (b2)2) = a4 − 2a2b2 + b4
d) (a − b)4 = (a − b)3 ⋅ (a − b) = (a3 − 3a2b + 3ab2 − b3) ⋅ (a − b) == a4 − 3a3b + 3a2b2 − ab3 − a3b + 3a2b2 − 3ab3 + b4 == a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
EGUNEROKOAN
Fabrika batean eskuz egindako mahaiak ekoizten dituzte. Nagusia konturatu da mahai bakoitzeko fabrikazio-kostua gehiegi aldatzen dela, ekoitzitako mahai kopurua zein den.
Gainera, x mahairen guztizko ekoizpen-kostuak (eurotan) honi jarraitzen diola ondorioztatu du:
C(x) = x3 + 5x + 16.000
Aurreko guztia kontuan hartuta:a) Zenbat da 40 mahairen ekoizpen-kostua? Zer
kostu du mahai bakoitza ekoizteak? Eta 20 mahairena? Zer kostu du mahai bakoitza ekoizteak, kasu horretan?
b) Zenbateko aldea dago ekoizleak izango dituen mozkinen artean? Zein aukerak emango dio mozkinik handiena?
a) 40 mahairen fabrikazio-kostua: C(40) = 403 + 5 ⋅ 40 + 16.000 == 80.200 €
Mahai bakoitzaren kostua: 80.200 : 40 = 2.005 €.
20 mahairen kostua: C(20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 €
Mahai bat ekoiztearen kostua: 24.100 : 20 = 1.205 €.
077●●●
076●●●
Polinomioak
18 mahai ekoizteko enkargua egin didate,eta bi aukera ditut:
• 18 mahai ekoiztea eta katalogoko prezioansaltzea: 1.700 € mahai bakoitzeko.
• Bezeroari 20 mahaiko eskaintza egitea,bakoitza 1.640 €-an.
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 98
99
3
b) 18 mahai fabrikatzea: C(18) = 183 + 5 ⋅ 18 + 16.000 = 21.922 €.Diru-sarrerak: 1.700 ⋅ 18 = 30.600 €.Mozkinak: 30.600 − 21.922 = 8.678 €.
20 mahai fabrikatzea: C(20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 €
Diru-sarrerak: 1.640 ⋅ 20 = 32.800 €.Mozkinak: 32.800 − 24.100 = 7.300 €.
Mozkinen arteko aldea: 8.678 − 7.300 = 1.378 € 18 mahai saltzean; hori da aukerarik onena fabrikatzailearentzat.
Enpresa batean kartoizko kutxak egitendituzte.
Hiru kutxa mota dituzte, eta bezerobakoitzak neurriak eta formatua aukera ditzake, zer behar duen.
Neurri guztiak zentimetrotan adierazitadaude eta, ekoizpen-premiek etakartoiaren erresistentziak hala aginduta,aldagaiaren balioek muga batzuk izatendituzte, zein modelo hautatzen den. Gainera, 10 cm-tik gorakoak eta 50 cm-tik beherakoak izan behar dute.
a) Adierazi polinomio gisa enbalaje bakoitza ekoizteko behar den kartoi kantitatea.
b) Kartoiaren prezioa 0,02 €/m2 bada, zer kostu izango du30 × 60 × 80 cm-ko ohiko enbalajeko 200 kutxaekoizteko behar den kartoiak?
c) Zer kutxa mota beharko dugu esfera hauek paketatzeko?
a) Esferaren diametroak ez du 50 cm baino handiagoa izan behar.
Banaka enbalatu nahi baditugu, hiru kutxa kubiko behar ditugu.
Hiru esferak batera enbalatu nahi baditugu, espazioa sobera geratu gabe, enbalaje luzexka erabiliko dugu.
Hiru esferak batera enbalatu eta espazioa sobera geratzea nahi badugu,ohiko enbalajea erabiliko dugu.
b) Enbalaje kubikoa: x2 azalerako 6 aurpegi → S(x) = 6x2
Enbalaje luzexka: x2 azalerako 2 aurpegi eta azalera hau duten 4 aurpegi: 3x2 → S(x) = 14x2
Ohiko enbalajea: 2x2 azalerako 2 aurpegi, 2x2 + 20 azalerako 2 aurpegi eta 4x2 + 40x azalerako 2 aurpegi → S(x) = 2(8x2 + 60x) = 16x2 + 120x
c) x = 30 → Kutxa bakoitzaren azalera: S(30) = 16 ⋅ 302 + 120 ⋅ 30 = 18.000 cm2 → 18.000 cm2 = 1,8 m2
200 kutxaren azalera 200 ⋅ 1,8 = 360 m2-koa da, eta kostua, 360 ⋅ 2 = 720 euro-zentimokoa = 7,20 €.
078●●●
OHIKO ENBALAJEA
ERANTZUNAK
ENBALAJE
KUBIKOA
ENBALAJE
LUZEXKA
2x + 20
2x
3x
x
x
x
x
x
x
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 99
100
Lehen eta bigarrenmailako ekuazioak4
BERDINTZA ALJEBRAIKOAK
EKUAZIO MOTAK METODO OROKORRA
LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK
EKUAZIOOSOAK
EKUAZIOEZ-OSOAK
FORMULAOROKORRA
EBAZPEN-METODOAK
EBAZPEN KOPURUARENAZTERKETA
BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK
PROBLEMAK EKUAZIOEN BIDEZ EBAZTEA
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 100
Munduaren azkena
1533ko urrian, Wittenberg-eko kartzela elkartze bitxi baten aterpe izan zen: hara joan zen Luther, lagun mina zuen Michael Stifeli bisitaegitera. Stifelek, Bibliari zenbakizko kalkuluak aplikatuz, munduarenazkena urte hartako urriaren 18an izango zela iragarri zuen. Luterok, barreari eutsi ezinik, esan zion:
–Michael, zenbat aldiz esan dizut Fedea eta Arrazoia ez nahasteko?
–Ez zait berriz gertatuko, ez! Hemendik irtetean, nire idazkiak ordenatzeari lotuko natzaio, eta nire lan zientifikoak argitara emango ditut. Inoiz ez ditut berriz nahasiko ura eta olioa diren bi gauza.
Agindu bezala, 1544an Aritmetika osoa argitaratu zuen. Lan horretan, + eta – ikurren erabilera orokortu zuen Stifelek, batuketak eta kenketak egiteko. Orobat, onartu zituen, estreinakoz, koefiziente negatiboak ekuazioetan, baina ez ebazpen negatiboak.
Stifelek zioenez...
Zein izango litzateke ekuazio horien ebazpena?
Ekuazio hau emanda:
x + 1 = 0
Stifelek zioenez, ez zuen ebazpenik, zenbakinegatibo bat baita ebazpena, x = –1.
Ekuazio hau emanda:
x2 – 1 = 0
Stifelek zioenez, ebazpen bakarra du: x = 1.
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 101
102
ARIKETAK
Kalkulatu adierazpen hauen zenbakizko balioa.
a) 2x + x 2 − 3 x = 4 bada. d) x + x 3 − x x = −1 bada.b) 3x + 4y x = y = 2 bada. e) x 4 + 2 x = −1 bada.c) x 3 − 2x + 2 x = −3 bada.
a) 8 + 16 − 3 = 21
b) 6 + 8 = 14
c) −27 + 6 + 2 = −19
d) −1 − 1 + 1 = −1
e) 1 + 2 = 3
Adierazi berdintza hauetatik zein den identitatea, eta zein, ekuazioa.
a) −6(x − 2) + 5 = −2(3x − 3) + 11b) 6(x − 1) = 4(x − 2) − 3(−x − 5)
a) −6x + 12 + 5 = −6x + 6 + 11 → −6x + 17 = −6x + 17 → Berdintza
b) 6x − 6 = 4x − 8 + 3x + 15 → 6x − 6 = 7x + 7
Balio honek soilik betetzen du: x = −13 → 6(−13) − 6 = 7(−13) + 7 →→ −78 − 6 = −91 + 7
Idatzi bi identitate eta bi ekuazio.
Identitateak: 7x + 2x − 8 = 9x + 4 − 12−7x − 2 = 7(−x − 1) + 5
Ekuazioak: 2x + 3 = 856x + 8 = 2x + 6
Zehaztu ekuazio hauen elementuak.
a) 2x − 5 = 4(x + 9)b) x 2 + x − 1 = x 2 − 2xc) x (x 2 − x) + 2 + x 2 = x 3 + x
a) Lehen atala: 2x − 5.Bigarren atala: 4(x + 9).Ezezaguna: x.Maila: 1.
b) Lehen atala: x2 + x − 1.Bigarren atala: x2 − 2x.Ezezaguna: x.Maila: 1.
c) Lehen atala: x (x2 − x) + 2 + x2.Bigarren atala: x3 + x.Ezezaguna: x.Maila: 1.
004
003
002
001
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 102
103
4
Beheko zenbakietatik zein da 5x − 9 = 4(x − 5) ekuazioaren ebazpena?
a) 4 b) −3 c) 14 d) −11
5x − 9 = 4(x − 5)
a) 5 ⋅ 4 − 9 = 20 − 9 = 114(4 − 5) = 4(−1) = −41
→ Ez
b) 5(−3) − 9 = −15 − 9 = −244(−3 − 5) = 4(−8) = −32
→ Ez
c) 5 ⋅ 14 − 9 = 70 − 9 = 614(14 − 5) = 4 ⋅ 9 = 36
→ Ez
d) 5(−11) − 9 = −55 − 9 = −644(−11 − 5) = 4(−16) = −64
→ Ebazpena: x = −11
Idatzi ebazpena x = 1 duten bi ekuazio.
3x = 3 2x + 5 = 7
Idatzi bi ekuazio:
a) Bina ebazpen dituztenak.b) Ebazpenik ez dutenak.c) Infinitu ebazpen dituztenak.
a) x2 + 5x = −3 x2 = 4
b) x2 + 9 = 0 x2 + x + 1 = 0
c) 3x + 6 = 3(x + 2) 5x + 4 = 2x + 3 + 3x + 1
Ebatzi berdintza hauek, batuketaren eta biderketaren arauak aplikatuz.
a) x + 4 = 5 d) 8x = 24b) x − 2 = −1 e) −6x = 72c) 3 − x = 21 f) −4x = −24
a) x + 4 = 5 ⎯→ x + 4 − 4 = 5 − 4 → x = 1
b) x − 2 = −1 → x − 2 + 2 = −1 + 2 → x = 1
c) 3 − x = 21 ⎯→ 3 − x − 3 = 21 − 3 → −x = 18 →⎯→ (−1)(−x) = (−1)18 → x = −18
d) 8x = 24 ⎯⎯→
e) −6x = 72 ⎯→
f) −4x = −24 →−−
=−−
=4
4
24
46
xx→
−−
=−
= −6
6
72
612
xx→
8
8
24
83
xx= =→
008
007
006
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
005
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 103
104
Kalkulatu.
a) 2x + 4 = 16 b) 7x + 8 = 57 c) 5x − 5 = 25 d) −6x − 1 = −13
a) 2x + 4 = 16 → 2x + 4 − 4 = 16 − 4 → 2x = 12 → → x = 6
b) 7x + 8 = 57 → 7x + 8 − 8 = 57 − 8 → 7x = 49 → → x = 7
c) 5x − 5 = 25 → 5x − 5 + 5 = 25 + 5 → 5x = 30 → → x = 6
d) −6x − 1 = −13 → −6x − 1 + 1 = −13 + 1 → −6x = −12 →
→ → x = 2
Ebatzi. a) −11x = −4x + 15 c) 7x − 4 = −5 − 6xb) −1 − 2x = −3x − 11 d) 4x − 8 = 6x + 2
a) −11x = −4x + 15 → −11x + 4x = −4x + 15 + 4x → −7x = 15 →
→
b) −1 − 2x = −3x − 11 → −1 − 2x + 3x + 1 = −3x − 11 + 3x + 1 →→ x = −10
c) 7x − 4 = −5 − 6x → 7x − 4 + 6x + 4 = −5 − 6x + 6x + 4 →
→ 13x = −1 → →
d) 4x − 8 = 6x + 2 → 4x − 8 − 6x + 8 = 6x + 2 − 6x + 8 →
→ −2x = 10 → → x = −5
Aurkitu ekuazio honen ebazpena: 3(x + 2) = 3x + 6.
3(x + 2) = 3x + 6 → 3x + 6 = 3x + 6. Identitatea da: infinitu ebazpen.
Ebatzi ekuazio hauek.
a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5c) 3x + 8 = 5x + 2 f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9
a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 → 2x + 5 = 4x + 5 → 2x − 4x = 5 − 5 → x = 0
b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 → 3x − 5 = 3x − 5 → Identitatea
c) 3x + 8 = 5x + 2 → 3x − 5x = 2 − 8 → −2x = −6 → x = 3
d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5 → 4x − 5 = 4x − 7 → 4x − 4x = −7 + 5 →→ 0x = −2 → Ekuazio bateraezina
e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5 → 9x − 11 = 9x + 11 →→ 9x − 9x = 11 + 11 → 0x = 22 → Ekuazio bateraezina
f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9 → 8x + 4 = −2x − 6 → x = −1
012
011
−−
=−
2
2
10
2
x
x = −1
13
13
13
1
13
x= −
−−
=−
= −7
7
15
7
15
7
xx→
010
−−
=−−
6
6
12
6
x
5
5
30
5
x=
7
7
49
7
x=
2
2
12
2
x=
009
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 104
105
4
Adierazi egindako urratsa zuzena den ala ez.
a) 2x + 5x = 2x + 4 → 5x = 4b) 3x − 5 = x − 9 → 4x = −4
a) 2x + 5x − 2x = 4 → 5x = 4. Zuzena da.
b) 3x − x = −9 + 5 → 2x = −4. Ez da zuzena.
Zer gertatzen da ekuazio baten bi ataletan gai bera azaltzen denean?
Bi ataletan ezaba daiteke, bietako bat lekuz aldatuz gero, gai baten etaaurkakoaren batura izango genukeelako.
Ebatzi.
a) x − 5(x − 2) = 6xb) 120 = 2x − (15 − 7x)
a) x − 5(x − 2) = 6x → x − 5x + 10 = 6x → −4x + 10 = 6x →→ 10 = 6x + 4x → 10 = 10x → x = 1
b) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 = 9x − 15 →→ 120 + 15 = 9x → 135 = 9x → x = 15
Kalkulatu x-ren balioa.
a)
b)
c)
a) →
→ 3(x + 2) = 2(x + 3) → 3x + 6 = 2x + 6 → 3x − 2x = 6 − 6 → x = 0
b) →
→ 5x − 2(2x + 7) = 50 → 5x − 4x − 14 = 50 → x = 50 + 14 → x = 64
c)
→ 60 = 7x − 3x → 60 = 4x → x = =60
415
x x x xx x
45
7
1212
412 5 12
7
123 60 7+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =→ → →
m.k.t. (4, 12) = 12
F
x x x x
2
2 7
55 10
210
2 7
510 5−
+= ⋅ − ⋅
+= ⋅→ ( )
m.k.t. (2, 5) = 10
F
62
26
3
3⋅+
= ⋅+x xm.k.t. (2, 3) = 6⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→x x+
=+2
2
3
3
x x4
5712
+ =
x x2
2 75
5− + =
x x+ = +22
33
016
015
014
013
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 105
106
Ebatzi ekuazio hauek.
a)
b)
a)
→ 8(x − 1) − 2(x − 3) = 30 → 8x − 8 − 2x + 6 = 30 →
→ 6x − 2 = 30 → 6x = 32 →
b)
→ 48x + 4(x + 5) − 9(x + 4) = 24(7 − 3x) →→ 48x + 4x + 20 − 9x − 36 = 168 − 72x →→ 43x − 16 = 168 − 72x → 43x + 72x = 168 + 16 →
Idatzi parentesiak eta izendatzaileak dituen lehen mailako ekuazio bat,ebazpena x = −1 izango duena.
Ebatzi.
a) x 2 − 7x + 12 = 0 d) x2 − 9x + 14 = 0b) x 2 − 9x + 18 = 0 e) x 2 − 6x + 8 = 0c) 2x 2 − 8x + 8 = 0 f) 3x 2 + 12x + 9 = 0
a)
b)
=± −
=±
=±
=9 81 72
2
9 9
2
9 3
2
6
3
x x x22
9 18 09 9 4 18
2− + = =
−− ± − − ⋅=→ ( ) ( )
=± −
=±
=±
=7 49 48
2
7 1
2
7 1
2
4
3
x x x22
7 12 07 7 4 12
2− + = =
−− ± − − ⋅=→ ( ) ( )
019
xx
x++ + =
−3
22 1
4
5( )
018
→ →115 184184
115
8
5x x= = =
→ →24 2 245
624
3 4
824 7 3⋅ + ⋅
+− ⋅
+= −x
x xx
( ) ( )( )
25
6
3 4
87 3x
x xx+
+−
+= −
( ) ( ) →
m.k.t. (6, 8) = 24
F
x = =32
6
16
3
4 1
3
2 3
65 6
4 1
36
2 3
66 5
( ) ( ) ( ) ( )x x x x−−
−= ⋅
−− ⋅
−= ⋅→ →
m.k.t. (3, 6) = 6F
25
63 4
87 3x
x xx+ + − + = −( ) ( )
4 13
2 36
5( ) ( )x x− − − =
017
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 106
c) 2x2 − 8x + 8 = 0 →
d)
e)
f)
Adierazi ax 2 + bx + c = 0 gisa eta ebatzi.a) x2 − x = 20 b) 2x2 = 48 − 10x c) 3x2 − 8 = −2x d) x2 + 9 = 10x
a)
b) 2x2 = 48 − 10x → 2x2 + 10x − 48 = 0 →
c) 3x2 − 8 = −2x → 3x2 + 2x − 8 = 0 →
d) x2 + 9 = 10x → x2 − 10x + 9 = 0 →
=±
=±
=10 64
2
10 8
2
9
1
→ x =− − ± − − ⋅
=± −
=( ) ( )10 10 4 9
2
10 100 36
2
2
=− ±
=− ±
=2 100
6
2 10
6
8/6 = 4/3
−2
→ x =− ± + ⋅ ⋅
⋅=
− ± ±=
2 2 4 3 8
2 3
2 4 96
6
2
=− ±
=− ±
=10 484
4
10 22
4
3
−8
→ x =− ± + ⋅ ⋅
⋅=
− ± +=
10 10 4 2 48
2 2
10 100 384
4
2
=± +
=±
=±
=1 1 80
2
1 81
2
1 9
2
5
−4
x x x22
20 01 1 4 20
2− − = =
− − ± − + ⋅=→ ( ) ( )
020
=− ± −
=− ±
=− ±
=12 144 108
6
12 36
6
12 6
6
−1
−3
3 12 9 012 12 4 3 9
2 32
2
x x x+ + = =− ± − ⋅ ⋅
⋅=→
=± −
=±
=±
=6 36 32
2
6 4
2
6 2
2
4
2
x x x22
6 8 06 6 4 8
2− + = =
− − ± − − ⋅=→ ( ) ( )
=± −
=±
=±
=9 81 56
2
9 25
2
9 5
2
7
2
x x x22
9 14 09 9 4 14
2− + = =
− − ± − − ⋅=→ ( ) ( )
→ x =− − ± − − ⋅ ⋅
=± −
= =( ) ( )8 8 4 2 8
4
8 64 64
4
8
42
2
107
4ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 107
108
Ebatzi ekuazio hauek.
a) 2x 2 − 98 = 0 b) 5x 2 + 20x = 0
a)
b) 5x2 + 20x = 0 → x2 + 4x = 0 → x(x + 4) = 0
Beste modu bat:
5x2 + 20x = 0 → x
Zehaztu bigarren mailako ekuazio hauen ebazpen kopurua.
a) x 2 − 7x − 12 = 0b) x 2 + 9x + 18 = 0c) 3x 2 − x + 12 = 0
a) ∆ = (−7)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−12) = 49 + 48 = 97 > 0 → 2 ebazpen
b) ∆ = 92 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 81 − 72 = 9 > 0 → 2 ebazpen
c) ∆ = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 12 = 1 − 144 = −143 < 0 → Ez du ebazpenik
Kalkulatu zenbat ebazpen dituzten bigarren mailako ekuazio hauek. Ondoren,kalkulatu haien balioa.
a) x 2 − 6x + 4 = 0 d) x 2 − 5x + 9 = 0b) 2x 2 = 4 − 10x e) 7x 2 + 1 = 6xc) 3x 2 = 6x f) 8x 2 = −3
a) x2 − 6x + 4 = 0 → x =
b) 2x2 = 4 − 10x → 2x2 + 10x − 4 = 0 →
→ x
=− ±
=10 132
4
− +10 132
4
− −10 132
4
=− ± + ⋅ ⋅
⋅=
− ± +=
10 10 4 2 4
2 2
10 100 32
4
2
=±
=6 20
2
6 20
2
+
6 20
2
−
6 6 4 4
2
6 36 16
2
2± − ⋅=
± −=
023
022
=− ±
=−
20 20
10
0
4
=− ± − ⋅ ⋅
=− ±
=20 20 4 5 0
10
20 400
10
2
→ x
→ →→
x xx x
= =+ = = −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
0 04 0 4
1
2
2 98 0 2 98 49 497
72 2 2x x x x− = = = = ± =
−→ → →
021
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 108
109
4
c) 3x2 = 6x → 3x2 − 6x = 0 → x =
d) x2 − 5x + 9 = 0 → x =
Ez du ebazpen errealik
e) 7x2 + 1 = 6x → 7x2 − 6x + 1 = 0 →
→ x
f) 8x2 = −3 → x2 = Ez du ebazpen errealik
Kalkulatu, kasu bakoitzean, diskriminatzailearen balioa eta ebazpenak.
a) x 2 − 4x + 3 = 0 c) x 2 − 4x = −5
b) 2x 2 − 20x = −50 d)
a) ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 > 0 → 2 ebazpen ditu
b) 2x2 − 20x + 50 = 0 → x2 − 10x − 25 = 0 →→ ∆ = (−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0 →→ Ebazpen bat du (bikoitza)
c) x2 − 4x + 5 = 0 → ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4 < 0 →→ Ez du ebazpenik
c) 2 ebazpen ditu
Idatzi bigarren mailako ekuazio bat:
a) Bi ebazpen dituena.b) Ebazpen bakarra baina bikoitza duena.c) Ebazpenik ez duena.
a) x2 + 7x + 12 = 0 → x1 = −3, x2 = −4
b) x2 + 6x + 9 = 0 → x = −3 (bikoitza)
c) x2 − 3x + 5 = 0 → Ez du ebazpen errealik
025
2
3
4
50
4
54
2
302
2
x x+ = =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ ⋅→ →∆
23
45
02x x+ =
024
− = ± −3
8
3
8→ →x
=±
=±
=6 2 2
14
3 2
7
3 2
7
+
3 2
7
−
=− − ± − − ⋅
⋅=
± −=
±=
( ) ( )6 6 4 7
2 7
6 36 28
14
6 8
14
2
=± −5 11
2→
− − ± − − ⋅=
± −=
( ) ( )5 5 4 9
2
5 25 36
2
2
=±
=±
=6 36
6
6 6
6
2
0
− − ± − − ⋅ ⋅⋅
=( ) ( )6 6 4 3 0
2 3
2
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 109
110
Ebatzi.
a) x 2 − 9x = 0 f) x 2 + 6x = 0b) x 2 − 7x = 0 g) x 2 + 9x = 0c) 4x 2 − 5x = 0 h) 10x 2 + 11x = 0d) 7x 2 = 6x i) 3x 2 = −4xe) 2x 2 − 32 = 0 j) 3x 2 − 243 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Kalkulatu.
a) 900x 2 = 9 c) −x 2 = 3x − 10b) 5x(2x − 1) = 7x d) (x − 2)(3x + 7) = 0
a)
b) 5x(2x − 1) = 30 → 10x2 − 5x − 30 = 0 →
→ x
=±
=± =
= − = −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
5 1 225
20
5 35
202
30 20 3 21
2
./ /
→ xx
=−− ± − + ⋅ ⋅
⋅=
± +=
( ) ( ) .5 5 4 10 30
2 10
5 25 1 200
20
2
900 91
100
1
1001 10
1 102 2 1
2x x x x
x= = = ± =
= −⎧⎨⎪⎪→ → → /
/⎩⎩⎪⎪
027
3 243 0 81 99
2 2 1
2x x x
x− = = =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
3x + 4 = 0 → x2 = −4/33 4 0 3 4 02x x x x+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯⎯⎯→ x1 = 0
10x + 11 = 0 → x2 = −11/1010 11 0 10 11 02x x x x+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x + 9 = 0 → x2 = −9x x x x2 9 0 9 0+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x + 6 = 0 → x2 = −6x x x x2 6 0 6 0+ = + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x1 = 4
x2 = −42 32 162 2x x= =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
7x − 6 = 0 → x2 = 6/77 6 0 7 6 02x x x x− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
4x − 5 = 0 → x2 = 5/44 5 0 4 5 02x x x x− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 7 = 0 → x2 = 7x x x x2 7 0 7 0− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 9 = 0 → x2 = 9x x x x2 9 0 9 0− = − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
026
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 110
111
4
c) −x2 = 3x − 10 → −x2 − 3x + 10 = 0 →
d)
Idatzi bigarren mailako ekuazio bat, bi ebazpen eta koefizienteetako bat zerodituena.
Bi zenbakiren batura 48 da. Bata bestearen erdia bada, zer zenbaki dira?
Zenbakiei x eta 2x esango diegu.
x + 2x = 48 → 3x = 48 → x = 16 → 2x = 32
Bi zenbakiak 16 eta 32 dira.
Mirenek Joanak baino 4 komiki gutxiago ditu. Mirenek 2 emanez gero, harkdituenen hirukoitza izango du Joanak. Zenbat komiki ditu bakoitzak?
Mirenen komikiak: xJoanaren komikiak: x + 4
x + 4 + 2 = 3(x − 2) → x + 4 + 2 = 3x − 6 → x − 3x = −6 − 4 − 2 →→ −2x = −12 → x = 6
Mirenk 6 komiki ditu, eta Joanak, 10.
Jaialdi batean 43 pertsona izan dira. 3 mutil joango balira, neska kopurua mutilkopuruaren hiru halako izango litzateke. Zenbat neska eta zenbat mutil daude?
Mutil kopurua: xNeska kopurua: 43 − x
43 − x = 3(x − 3) → 43 − x = 3x − 9 → 43 = 4x − 9 → 52 = 4x → x = 13
Ordezkatuz: 43 − 13 = 30.
13 mutil eta 30 neska daude.
Ondoz ondoko bi zenbaki bakoitiren batura 156 da. Zer zenbaki dira?
Zenbakiei x eta x + 2 baderitzegu → x + x + 2 = 156 → 2x = 154 → x = 77
Beraz, zenbakiak 77 eta 79 dira.
Zenbaki baten eta haren bikoitzaren arteko biderkadura 288 da. Zer zenbaki da? Ebazpen bat baino gehiago al daude?
Zenbakia: x
x ⋅ 2x = 288 → 2x2 = 288 → x2 = 144 → x = ±12 Bi ebazpen: 12 eta −12.
033
032
031
030
029
x x x xx
2 2 1
216 0 16 16 4
4− = = = ± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ → →
028
x − 2 = 0 ⎯→ x1 = 2
3x + 7 = 0 → x2 = −7/3( )( )x x− + =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 3 7 0 →
→ →x xx
=−− ± − + ⋅
−=
±−
=±−
= −=
( ) ( )3 3 4 10
2
3 49
2
3 7
252
1
2 22⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 111
112
Alexen adina Anerenaren bi halako da. Bi adinak biderkatzen baditugu, emaitza512 da. Zenbat urte ditu bakoitzak?
Aneren adina: x Alexen adina: 2x
x ⋅ 2x = 512 → 2x2 = 512 → x2 = 256 → x = ±16
Adina zenbaki positiboa denez, ebazpena bakarra da.
Anek 16 urte ditu, eta Albertok, 32 urte.
Zenbaki baten eta haren berbiduraren batura 42 da. Zer zenbakiz ari gara?
x + x2 = 42 → x2 + x − 42 = 0 →
Bi ebazpen daude:
x = 6 bada ⎯→ 62 + 6 = 36 + 6 = 42
x = −7 bada → (−7)2 + (−7) = 49 − 7 = 42
Maitek eta haren nebak 5 urteren aldea dute. Bien adinak biderkatuta lortzenden zenbakia 176 da. Zenbat urte ditu bakoitzak?
Bigarren ebazpenak ez du balio (adinak ezin du negatiboa izan); beraz, Maitek 16 urte ditu, eta bere nebak, 16 − 5 = 11 urte.
Aurkitu ondoz ondoko bi zenbaki, biderketa egitean emaitza 380 batekodutenak.
Zenbakiei x eta x + 1 esango diegu.
x(x + 1) = 380 → x2 + x − 380 = 0 →
Bi ebazpen daude:
x = 19 bada ⎯→ Zenbakiak 19 eta 20 dira.
x = −20 bada → Zenbakiak −20 eta −19 dira.
→ →x xx
=− ± + ⋅
=− ±
=− ± =
= −1 1 4 380
2
1 1 521
2
1 39
219
2
21
2
.00
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
037
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
5 27
216
111
2→ x
x
x =−− ± − + ⋅
=± +
=±
=( ) ( )5 5 4 176
2
5 25 704
2
5 729
2
2
Maiteren adina:Bere nebaren adina:
xx −
⎫⎬⎪
5⎪⎪⎭⎪⎪
− = − − =x x x x( )5 176 5 176 02→
036
→ →x xx
=− ± + ⋅
⋅=− ±
=− ± =
= −⎧⎨
1 1 4 42
2 1
1 169
2
1 13
26
7
21
2
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
035
034
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 112
113
4
750 m2-ko lur-saila duen etxaldea hesiz inguratzeko, 110 m hesi erabili dira.Kalkulatu hesiaren neurriak.
Aldeak x eta 55 − x dira.Azalera: A = x(55 − x) = 750.
Aldeen luzera kalkulatzeko, bigarren mailako ekuazioa ebatziko dugu:
x(55 − x) = 750 → 55x − x2 = 750 → x2 + 55x − 750 = 0
ARIKETAK
Zehaztu berdintza aljebraiko hauek identitateak ala ekuazioak diren.
a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − xc) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2xd) (x + 2)2 − x 2 − 4x = 4
a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 → 2x + 3 = 5x − 5 − 3x + 8 →→ 2x + 3 = 2x + 3 → Identitatea
b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x → −x − 7 = 4x + 1 → Ekuazioa
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x → 6 = 2 + 6x → Ekuazioa
d) (x + 2)2 − x2 − 4x = 4 → x2 + 4x + 4 − x2 − 4x = 4 → 4 = 4 →→ Identitatea
Adierazi ekuazio hauen atalak.
a) 2x + 3 = 5b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5xc) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2xd) (x + 2) − (x 2 − 2) = 4
a) 2x +3 = 5
1. atala 2. atala
b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x1. atala 2. atala
c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x1. atala 2. atala
d) (x + 2) − (x 2 − 2) = 4
1. atala 2. atala
040●
039●
=− ±−
=− ±−
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
55 25
2
55 5
22530
1
2→ x
x
x =− ± − ⋅
−=− ± −
−=
55 55 4 750
2
55 3 025 3 000
2
2 . .
038
ERANTZUNAK
55 − x
x
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭
⎫⎪⎬⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
908272 _ 0100-0137.qxd 28/9/07 13:02 Página 113
114
Adierazi beheko ekuazioen gaiak.
a) 5x + 1 = 25 c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2xb) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x d) 9(x + 7) − 3(x 2 − 2) = 4
a) 5x + 1 = 25 → Gaiak: 5x, 1, 25
b) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x → Gaiak: 2x, −x, −9, x, 3x, −5x
c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x → Gaiak: 4x, 6, 76, 12x, 3, −2x
d) 9(x + 7) − 3(x2 − 2) = 4 → 9x + 63 − 3x2 + 6 = 4 →→ Gaiak: 9x, 63, −3x2, 6, 4
Adierazi ekuazio hauen maila.
a) x4 − 8 + x = 0 b) 2x2 + x = 0 c) 3x2 + 75 = 0 d) −4x2 − 12x5 = x6
a) Maila: 4. b) Maila: 2. c) Maila: 2. d) Maila: 6.
Zenbaki hauen artean zein da x (x − 1) = x 2 + x ekuazioaren emaitza?
Ebazpena: c) x = 0; izan ere, 0(0 − 1) = 0 + 0.
Ekuazio hauetatik baten batek ba al du 4 balioa ebazpentzat?
a) x 2 − 16 = 0 c) x 2 − 4 = 8 e) x 3 − 124 = 0b) x + 4 = 0 d) x 2 − x + 8 = x + 4 f) x 2 − x + 8 = x + 4 − 8
a) Bai, 16 − 16 = 0. d) Ez, 16 − 4 + 8 � 4 + 4.
b) Ez, 4 + 4 � 0. e) Ez, 64 − 128 � 0.
c) Ez, 16 − 4 � 8. f) Ez, 16 − 4 + 8 � 4 + 4 − 8.
Idatzi ekuazio bat:
a) Bi ezezagun eta gai askeak 5 eta −3 dituena.b) Ezezagun bat eta ebazpena 7 dituena.c) Ezezaguna z izan eta ebazpena −9 duena.
a) x − 3y + 5 = 2x + y − 3
b) 2x − 5 = 9 → 2x = 14 → x = 7
c) 1 − z = 10 → −z = 10 − 1 = 9 → z = −9
Aurkitu ekuazio hauetatik zeinek duen x = 6 ebazpena.
a) 4x = 24 c) e) −x = −6
b) 8x = 12 d) 3x = 32 f)
a) Bai, x = 6. c) Ez, . e) Bai, x = 6.
b) Ez, . d) Ez, . f) Ez, .x =2
3x =
32
3x =
3
2
x = −4
3
483
x =
− =x43
046●
045●●
044●
a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0 d) x = 2 e) x = −3 f) x = −2
043●
042●
041●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 114
115
4
Idatzi, kasu bakoitzean, bi ekuazio.
a) Ebazpena x = 3 dutenak. c) Ebazpena x = 5 dutenak.b) Ebazpena x = −2 dutenak. d) Ebazpena x = −1 dutenak.
a) 2x = 6 eta 3x + 6 = 15 c) x − 5 = 0 eta 2x = 10
b) 3x = −6 eta 9 − 2x = 13 d) x + 1 = 0 eta 3x = −3
Ebatzi.
a) 10 − x = 3 e) 4x + 5 = 11b) 9 + x = 2 f) 3x + 7 = 14c) −12 − x = 3 g) −5 + 20x = 95d) 16 + 3x = −12 h) −9 − 11x = 2
a) 10 − x = 3 → 10 − 3 = x → x = 7
b) 9 + x = 2 → 9 + x − 9 = 2 − 9 → x = −7
c) −12 − x = 3 → −12 − x + 12 = 3 + 12 → −x = 15 → x = −15
d) 16 + 3x = −12 → 16 + 3x − 16 = −12 − 16 → 3x = −28 →
e) 4x + 5 = 11 → 4x = 11 − 5 → 4x = 6 →
f) 3x + 7 = 14 → 3x = 14 − 7 → 3x = 7 →
g) −5 + 20x = 95 → 20x = 95 + 5 → = 5
h) −9 − 11x = 2 → −11x = 2 + 9 → = −1
Aurkitu ekuazio hauen ebazpena.
a) 4x + 5 = −3x + 12 d) 6x + 40 = 2x + 50 g) 9x + 8 = −7x + 16b) 3x + 7 = 2x + 16 e) −3x − 42 = −2x − 7 h) −5x − 13 = −2x − 4c) 5 + 20x = 7 + 12x f) 3x − 50 = 10 − 2x i) 9x − 8 = 8x − 9
a) 4x + 5 = −3x + 12 → 4x + 3x = 12 − 5 → 7x = 7 → x = 1
b) 3x + 7 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 7 → x = 9
c) 5 + 20x = 7 + 12x → 20x − 12x = 7 − 5 → 8x = 2 →
d) 6x + 40 = 2x + 50 → 6x − 2x = 50 − 40 → 4x = 10 →
e) −3x − 42 = −2x − 7 → −3x + 2x = −7 + 42 → −x = 35 → x = −35
f) 3x − 50 = 10 − 2x → 3x + 2x = 10 + 50 → 5x = 60 → x = 12
g) 9x + 8 = −7x + 16 → 9x + 7x = 16 − 8 → 16x = 8 →
h) −5x − 13 = −2x − 4 → −5x + 2x = −4 + 13 → −3x = 9
i) 9x − 8 = 8x − 9 → 9x − 8x = −9 + 8 → x = −1
→ x =−= −
9
33
x =1
2
x = =10
4
5
2
x =1
4
049●
x =−11
11
x =200
20
x =7
3
x =3
2
x = −28
3
048●
047●
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 115
116
Zuzendu beheko ekuazioa ebazterakoan egindako akatsak.
Hirugarren urratsean, x bakantzean, 5 zatitzen pasatu behar da x biderkatzean
duen zeinu berarekin; kasu honetan positiboa,
Ebatzi.
a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) d) 120 = 2x − (15 − 7x)
b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) e) 5(x + 4) = 7(x − 2)
c) x − 5(x − 2) = 6 f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8)
a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) → 6x + 66 = 40 + 6x + 12 →→ 6x + 66 = 6x + 52 → 6x − 6x = 52 − 66 →→ 0x = 14 → Ez du ebazpenik
b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) → 2x − 34 = x − 36 + 6x →→ 2x − 34 = 7x − 36 → 2x − 7x = −36 + 34 → −5x = −2 →
c) x − 5(x − 2) = 6 → x − 5x + 10 = 6 → −4x = −4 → x = 1
d) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 + 15 = 9x →
→ = 15
e) 5(x + 4) = 7(x − 2) → 5x + 20 = 7x − 14 → 5x − 7x = −14 − 20 →→ −2x = −34 → x = 17
f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8) → 3x + 21 − 6 = 2x + 16 →→ 3x + 15 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 15 → x = 1
x =135
9
x =2
5
052●
051
x = =10
52.
050●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA PARENTESIAK DITUZTEN EKUAZIOAK?
Ebatzi 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2.
LEHENA. Parentesiak kenduko ditugu, baina kontuan hartuta parentesi aurrean minus zeinua badago, parentesi barruko zeinu guztiak aldatu behar direla.
3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 23 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 212 − 6x − 6x + 2 = 2
BIGARRENA. x duten gai guztiak atal batean bilduko ditugu; zenbakiak, berriz, bestean.
12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x
HIRUGARRENA. Antzeko gaiak laburtuko ditugu.
12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x
LAUGARRENA. x bakunduko dugu.
12 = 12x → x = = 112
12
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 116
117
4
Ebatzi ekuazio hauek.
a) c) e)
b) d) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Idatzi ekuazio bat:
a) Parentesi pare bat eta ebazpena −1 duena.b) Izendatzaile bat eta ebazpena 3 dituena.c) Bi parentesi pare eta ebazpena 4 dituena.
a) b) c) 3(x − 1) − 6(5 − x) = 3
Ebatzi.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
→ →15 13 452
15x x= ⋅ =
3
41 12 3
3
43 12 1
3 12
413
xx
xx x− = − + = +
+=→ → →
3
220 25
3
225 20
1
25 2 5 10
xx
xx x x+ = + − = − = = ⋅ =→ → →
3 15
67 3 15 42 3 57
57
319
xx x x
+= − + = − = − =
−= −→ → →
xx x
−= − = = + =
2
51 2 5 5 2 7→ →
34
1 12 3x
x− = −3 156
7x + = −
32
20 25x
x+ = +x − =25
1
055●●
x −= −
5
21
3 3
26
( )x −= −
054●●
−= − − = − =
3
225 3 50
50
3
xx x→ →
9
35 9 15
15
9
5
3
xx x= − = − =
−= −→ →
7
428 7 28 4
112
716
xx x= = ⋅ = =→ →
−= − = =
−= −
2
34 2 12
12
26
xx x→ →
3
621 3 21 6 3 126
126
342
xx x x= − = − ⋅ = − = − = −→ → →
4
203 4 3 20 4 60 15
xx x x= = ⋅ = =→ → →
− = −32
25x7
428
x =36
21x = −
93
5x = −− =2
34
x420
3x =
053●
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 117
118
Kalkulatu x-ren balioa.
a) d)
b) e)
c) f)
a)
b) 5x − 46 → x + 2 = 15x − 138 → x − 15x = −138 − 2 →→ −14x = −140 → x = 10
c) 10x − 2(x + 4) = 10 + 5x →
→ 10x − 2x − 8 = 10 + 5x → 8x − 8 = 10 + 5x →→ 8x − 5x = 10 + 8 → 3x = 18 → x = 6
d)
→ 3(x + 8) − (x − 4) = 12 → 3x + 24 − x + 4 = 12 →
→ 2x + 28 = 12 → 2x = 12 − 28 → = −8
e)
→ 10 ⋅ 3 →
→ 2(x − 5) + 5(8 − x) + 5(2x − 10) = 30 →→ 2x − 10 + 40 − 5x + 10x − 50 = 30 →
→ 7x − 20 = 30 → 7x = 50 →
f)
→
→ 6(x − 10) − 3(x − 20) − 4(x − 30) = 60 →→ 6x − 60 − 3x + 60 − 4x + 120 = 60 →→ −x + 120 = 60 → −x = 60 − 120 = −60 → x = 60
1210
212
20
412
30
312 5⋅
−− ⋅
−− ⋅
−= ⋅
( ) ( ) ( )x x x →
x x x−−
−−
−=
10
2
20
4
30
35 →
x =50
7
105
510
8
210
2 10
2⋅−
+ ⋅−
+ ⋅−
=( ) ( ) ( )x x x
x x x−+
−+
−=
5
5
8
2
2 10
23 →
x =−16
2
x x x x+−
−= ⋅
+− ⋅
−= ⋅
8
2
4
62 6
8
26
4
66 2→ →( ) ( )
m.k.t. (2, 6) = 6
F
xx x
−+
= +4
51
2→
m.k.t. (5, 2) = 10
F
x +=
2
3
→ →8
302
2 30
8
15
2x x= =
⋅=
3
57
2
69
3
5
2
69 7
3 6 2 5
30
x x x x+ = + − = −
⋅ − ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟→ → ⎟⎟ =x 2 →
x x x− − − − − =102
204
303
5xx x− + = +4
51
2
x x x− + − + − =55
82
2 102
3x
x+ = −23
5 46
x x+ − − =82
46
235
726
9x x+ = +
056●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
m.k.t. (5, 6) = 30
F
F m.k.t. (5, 2) = 10
F m.k.t. (2, 4, 3) = 12
908272 _ 0100-0137.qxd 28/9/07 13:02 Página 118
119
4
Lortu ekuazio hauen ebazpena.
a) d)
b) e)
c)
a)
→ 4(2x − 10) − 9(x − 12) = −12 → 8x − 40 − 9x + 108 = −12 →→ −x + 68 = −12 → −x = −12 − 68 = −80 → x = 80
b) = 15 − 20(x + 2) →
→ −3x − 3 = 15 − 20x − 40 → −3x + 20x = −25 + 3 →
→ 17x = −22 →
c)
→
→ 4(2x − 5) + 5(x + 1) = 20(20 − x) → 8x − 20 + 5x + 5 = 400 − 20x →
→ 13x + 20x = 400 + 15 → 33x = 415 →
d)
→ 2(3 − x) − 14x = 3 + 2(x − 1) →→ 6 − 2x − 14x = 3 + 2x − 2 → 6 − 16x = 1 + 2x →
→ −16x − 2x = 1 − 6 → −18x = −5 →
e)
→
→ 6(4x − 6) + 120x = 1.260 − 15(x + 1) →→ 24x − 36 + 120x = 1.260 − 15x − 15 →
→ 144x + 15x = 1.245 + 36 → 159x = 1.281 → x = =1 281
159
427
53
.
(: 3)
F
604 6
1060 2 60 21 60
3 1
12⋅
−+ ⋅ = ⋅ − ⋅
+xx
x( ) →
4 6
102 21
3 1
12
xx
x−+ = −
+( ) →
m.k.t. (10, 12) = 60
F
x =5
18
3
7
3 2 1
1414
3
714 14
3 2 1
14
−− =
+ −⋅
−− = ⋅
+ −xx
x xx
x( ) ( )→ →→
x =415
33
202 5
520
1
420 20⋅
−+ ⋅
+= −
( ) ( )( )
x xx →
2 5
5
1
420
x xx
−+
+= − →
m.k.t. (5, 4) = 20
F
x = −22
17
− −= − + ⋅
− −3 3
53 4 2 5
3 3
5
xx
x( ) →
2 10
3
3 12
41 12
2 10
312
3 12
4
x x x x−−
−= − ⋅
−− ⋅
−=
( ) ( ) ( )→ −−12 →
m.k.t. (3, 4) = 12
F
2 55
14
20x x
x− + + = −
4 610
2 213 1
12x
xx− + = − +( )− − = − +3 3
53 4 2
xx( )
37
3 2 114
− − = + −xx
x( )2 103
3 124
1x x− − − = −( )
057●
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 119
120
Ondo ebatzita al dago ekuazio hau? Erabaki, ebazpena egiaztatuta. Zuzendu ebazpenean egindako akatsak.
1. m.k.t. kalkulatu. m.k.t. (7, 4) = 282. Bider 28 egin. 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1)3. Parentesiak kendu. 16x − 2 = 2x − 7x − 74. Gaiak lekuz aldatu. 16x − 2x + 7x = −7 + 25. Gaiak laburtu. 15x = −5
6. x bakundu. x = = −3
2. 2x ez da 2z biderkatu:4(4x − 2) = 56x − 7(x − 1)
3. Banatze-propietatea gaizki aplikatu da:16x − 8 = 56x − 7x + 7
4. 14x − 56x + 7x = 7 + 8
5. Batuketa gaizki eginda dago:−35x = 15
6. x gaizki bakandu da:
x =
Ebatzi.
a)
b)
c)
a) 3(x + 5) = (x + 1)(x − 3) → 3x + 15 = x2 − 2x − 3 → x2 − 5x − 18 = 0
b) x − 2x − 12(x − 1) = 15(x − 2) → x − 2x − 12x + 12 = 15x − 30 →
→ −28x = −42 → x =
c) 2(2x − 3(x − 5)) = x − 3 → 4x − 6x + 30 = x − 3 → −3x = −33 →→ x = 11
3
2
xx
x
=± +
=±
=+
=−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪5 25 72
2
5 97
2
5 97
2
5 97
2
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2 3 52
34
x x x− − = −( )
x x x x6 3
4 12
5 22
− − − = −( ) ( )
2 52
1 33
( ) ( )( )x x x+ = + −059●●
− = −15
35
3
7
155−
4 27
21
4x
xx− = − −
058●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 120
121
4
Ebatzi bigarren mailako ekuazio hauek, formula orokorra aplikatuz.
a) x 2 − 5x + 6 = 0 e) x 2 − 2x + 1 = 0b) 2x 2 − 4x + 13 = 0 f) 7x 2 − 3x + 1 = 0c) x 2 + 8x + 16 = 0 g) −x 2 − 4x + 5 = 0d) 3x 2 + 2x − 16 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Ebatzi gabe, aurkitu ekuazio hauen ebazpen kopurua.
a) x 2 + 5x + 6 = 0 e) x 2 + 8x + 16 = 0b) −2x 2 − 6x + 8 = 0 f) 2x 2 − 4x + 13 = 0c) x 2 − 8x + 16 = 0 g) 7x 2 − 3x + 1 = 0d) −x 2 + x + 1 = 0
a) ∆ = 25 − 24 = 1 > 0: 2 ebazpen.
b) ∆ = 36 + 64 = 100 > 0: 2 ebazpen.
c) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 ebazpen.
d) ∆ = 1 + 4 = 5 > 0: 2 ebazpen.
e) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 ebazpen.
f) ∆ = 16 − 104 = −88 < 0: ebazpenik ez.
g) ∆ = 9 − 28 = −19 < 0: ebazpenik ez.
061●
xx
x
=± +−
=− ±
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪4 16 36
2
4 36
2
4 6
21
4 6
25
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x =± −
=± −3 9 28
14
3 19
14→ Ez du ebazpenik
x =± −
=±
=2 4 4
2
2 0
21 bikoitza( )
xx
x
=− ± +
=− ±
=− +
=
=− −
= −
2 4 192
6
2 196
6
2 14
62
2 14
6
8
1
2
→
33
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x =− ± −
=− ±
= −8 64 64
2
8 0
24 bikoitza( )
x =± −
=± −4 16 104
4
4 88
4→ Ez du ebazpenik
xx
x
=± −
=±
=+
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪5 25 24
2
5 1
2
5 1
23
5 1
22
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪
060●
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 121
122
Zehaztu ekuazio hauen ebazpen kopurua.
a) x 2 − 1 = 0 e) x 2 − x − 2 = 0b) x 2 + 2x = 0 f) x 2 = 7x − 12c) x 2 − 4x + 4 = 0 g) 2x 2 − 4 + 3x = x 2 + 2 + 2xd) x 2 + 8x + 16 = 0
a) x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x = ±1
b) x2 + 2x = 0 → x(x + 2) = 0 →
c) x2 − 4x + 4 = 0 →
d) x2 + 8x + 16 = 0 →
e) x2 − x − 2 = 0 → x
f) x 2 = 7x − 12 → x2 − 7x + 12 = 0 →
→
g) 2x2 − 4 + 3x = x2 + 2 + 2x → 2x2 − x2 + 3x − 2x − 4 − 2 = 0 →
→ x2 + x − 6 = 0 →
Ebatzi bigarren mailako ekuazio ez-oso hauek.
a) x 2 − 8 = 0 e) −8x 2 − 24x = 0b) 2x 2 + 50 = 0 f) −x2 − x = 0c) 3x 2 + 75x = 0 g) x 2 − 1 = 0d) x 2 − 16 = 0 h) 4x 2 − 2x = 0
a)
b) x2 = −25 ⎯→ Ez du ebazpenik
c) 3x(x + 25) ⎯→ x1 = 0, x2 = −25
d) x = ±4
e) −8x(x + 3) → x1 = 0, x2 = −3
f) −x(x + 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = −1
g) x = ±1
h) 2x(x − 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = 1
x = ± 8
063●
x xx
=− ± + ⋅
=− ± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 1 4 6
2
1 5
22
31
2→
x xx
=−− ± − − ⋅
=± −
=± =
=⎧( ) ( )7 7 4 12
2
7 49 48
2
7 1
243
21
2→ ⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪
=±
=+
=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
1 3
2
1 3
22
1 3
21
1
2
→x
x
=−− ± − + ⋅
=± +
=( ) ( )1 1 4 2
2
1 1 8
2
2
x =− ± − ⋅
=− ± −
= −8 8 4 16
2
8 64 64
24
2
x =−− ± − − ⋅
=± −
=( ) ( )4 4 4 4
2
4 16 16
22
2
x1 = 0
x + 2 = 0 → x2 = −2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
062●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 122
123
4
Ebatzi ekuazio hauek, metodo egokienari jarraituz.
a) 7x 2 = 63
b) x 2 − 24 = 120
c) x 2 − 25 = 0d) x 2 = 10.000
e) x 2 − 3 = 22
f) 5x 2 − 720 = 0
g) x 2 + 1 =
h) x 2 − 36 = 100
i) 2x 2 − 72 = 0j) 5x 2 − 3 = 42
k) 9x 2 − 36 = 5x 2
l) 2x 2 + 7x − 15 = 0
a) 7x2 = 63 → x2 = 9 → x = ±3
b) x2 − 24 = 120 → x2 = 120 + 24 = 144 →→ x = ±12
c) x2 − 25 = 0 → x2 = 25 → x = ±5
d) x2 = 10.000 → x = ±100
e) x2 − 3 = 22 → x2 = 25 → x = ±5
f) 5x2 − 720 = 0 → 5x2 = 720 →→ x2 = 144 → x = ±12
g) x2 + 1 =
h) x2 − 36 = 100 → x2 = 100 + 36 = 136 →
→ x =
i) 2x2 − 72 = 0 → 2x2 = 72 → x2 = 36 → x = ±6
j) 5x2 − 3 = 42 → 5x2 = 45 → x2 = 9 → x = ±3
k) 9x2 − 36 = 5x2 → 9x2 − 5x2 = 36 → 4x2 = 36 →→ x2 = 9 → x = ±3
l) 2x2 + 7x − 15 = 0 →
=− ±
= =
= − = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
7 13
4
6
4
3
220
45
1
2
→x
x
x =− ± +
=7 49 120
4
± 136
→ x = ±1
2
5
4
5
41
1
42→ →x = − =
54
064●
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 123
124
Ebatzi.
a) x 2 − 7x = 0
b) x2 + 3x = 0
c) x 2 − 25x = 0
d) x 2 − 10x = 0
e) 16x(x − 5) = 0
f) 3x 2 − 12x = 0
g) 3x = 4x 2 − 2x
h) 4x 2 = 5x
i) 25x 2 − 100x = 0
j) 6x 2 − 6x = 12x
a) x2 − 7x = 0 → x(x − 7) = 0 →
b) x2 + 3x = 0 → x(x + 3) = 0 →
c) x2 − 25x = 0 → x(x − 25) = 0 →
d) x2 − 10x = 0 → x(x − 10) = 0 →
e) 16x(x − 5) = 0 →
f) 3x2 − 12x = 0 → 3x(x − 4) = 0 →
g) 3x = 4x2 − 2x → 4x2 − 2x − 3x = 0 → 4x2 − 5x = 0 →
→ x(4x − 5) = 0 →
h) 4x2 = 5x → 4x2 − 5x = 0 → x(4x − 5) = 0 →
→
i) 25x2 − 100x = 0 → 25x(x − 4) = 0 →
j) 6x2 − 6x = 12x → 6x2 − 18x = 0 → 6x(x − 3) = 0 →
→6x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 3 = 0 → x2 = 3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
25x = 0 ⎯→ x1 = 0
x − 4 = 0 → x2 = 4
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x x
x x
= =
− = =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
0 0
4 5 05
4
1
2
⎯⎯⎯→
→
x x
x x
= =
− = =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
0 0
4 5 05
4
1
2
⎯⎯⎯→
→
3x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 4 = 0 → x2 = 4
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
16x = 0 ⎯→ x1 = 0
x − 5 = 0 → x2 = 5
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
x − 10 = 0 → x2 = 10
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0
x − 25 = 0 → x2 = 25
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x + 3 = 0 → x2 = −3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 7 = 0 → x2 = 7
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
065●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 124
125
4
Kalkulatu, formula orokorra erabili gabe.
a) (x + 2)(x1 − 2) = 0
b) (x − 3)(x2 + 3) = 0
c) (x + 3)(2x − 5)
d) (x − 5)2 = 0
e) (x − 2)2 + x = x
f)
a)
b)
c)
d) x − 5 = 0 → x = 5 (bikoitza)
e) (x − 2)2 = 0 → x − 2 = 0 → x = 2 (bikoitza)
f)(bikoitza)
x x
x x
= =
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
0 0
3
4
4
50
3
4
4
50
12
⎯⎯⎯⎯⎯→
→ → xx216
15=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
x x
x x
xx
+ = = −
− = =
− =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪3 0 3
2 5 05
2
52
10
1
2
3
⎯→
→
⎯⎯⎯→
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x xx x
+ = = −− = =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 0 33 0 3
1
2
→→
x xx x
+ = = −− = =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 0 22 0 2
1
2
→→
xx3
445
02
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
52
0−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =x
067●●
066
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA EMAITZA ZERO DUEN BIDERKETA BAT DAUKATEN EKUAZIOAK?
Ebatzi (x − 1)(x + 2) = 0 ekuazioa.
Zenbait biderkagairen biderkadura zero izan dadin, gutxienez biderkagaietako batek zero izan behar du.
LEHENA. Biderkagai bakoitza zerorekin berdinduko dugu.
(x − 1)(x + 2) = 0 →
BIGARRENA. Sortzen diren ekuazioak ebatziko ditugu.
(x − 1)(x + 2) = 0 →
Ekuazioak bi ebazpen ditu: x 1 = 1 eta x 2 = −2.
x xx x
− = =+ = = −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 0 12 0 2
→→
xx
− =+ =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 02 0
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 125
126
Ebatzi ekuazio hauek.
a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 e) (2x + 3)(2x − 3) = 135b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) f)c) x(3x − 2) = 65
d) 4x − (x 2 − 4) = 2x − 4 g)
a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 → x2 + x − 3x − 3 + 3 = 0 → x2 − 2x = 0 →
→ x(x − 2) = 0 →
b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) → x2 − 81 = 3x − 81 → x2 − 3x = 0 →
→ x(x − 3) = 0 →
c) x(3x − 2) = 65 → 3x2 − 2x − 65 = 0 →
d) 4x − (x 2 − 4) = 2x − 4 → 4x − x2 + 4 − 2x + 4 = 0 →
→ −x2 + 2x + 8 = 0 →
e) (2x + 3)(2x − 3) = 135 → 4x2 − 9 = 135 → 4x2 = 144 →→ x2 = 36 → x = ±6
f)
g)
=± −
=+ =
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
7 49 13
2
7 36
2
13
21
2
1
2
→x
x
x x x22
713
40
7 7 4 13 4
2− + = =
−− ± − − ⋅=→ ( ) ( ) /
→x
x
1
2
23 4 41 4
2
64 4
2
64
88
23 4 41 4
2
=+
= = =
=−
( )
( )
/ / /
/ /== − = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
18 4
2
9
4
/
=± +
=±23 4 529 1 152 16
2
23 4 41 4
2
/ / / /( . ) →
→ x =−− ± − + ⋅
=± +( ) ( ) ( )23 4 23 4 4 18
2
23 4 529 16 722/ / / /
22=
x x x x2 223
418
23
418 0− = − − =→ →
=− ±−
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 6
22
41
2→ x
x
x =− ± + ⋅
⋅ −=− ± +
−=
2 2 4 8
2 1
2 4 32
2
2
( )
→ →x xx
=± +
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 4 780
6
2 28
65
131
2
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 3 = 0 → x2 = 3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0
x − 2 = 0 → x2 = 2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x x2 7134
0− + =
x x2 234
18− =
068●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 126
127
4
Idatzi bigarren mailako ekuazio bat, zero koefizienterik gabea eta ebazpenbikoitza duena.
Ekuazioa hau da: x2 + 2x + 1 = 0.
070
x =− ± −
=−
= −2 4 4
2
2
21
069●●
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA EBATZI PARENTESIAK ETA IZENDATZAILEAK DITUZTEN BIGARREN MAILAKO
EKUAZIOAK?
Ebatzi .
LEHENA. Izendatzaileak ezabatzea. Izendatzaileen m.k.t. kalkulatu eta ekuazioarenbi atalak hartaz biderkatzen dira.
m.k.t. (2, 4) = 4
2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x)
BIGARRENA. Parentesiak kentzea.
2(x2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x
2x2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x
HIRUGARRENA. Gai guztiak lehen atalera pasatzea eta eragiketak egitea.
2x2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 0
2x2 − 4x − 6 = 0
LAUGARRENA. Ekuazioa sinplifikatzea, ahal bada, eta ebaztea.
2x2 − 4x − 6 = 0 x2 − 2x − 3 = 0
BOSGARRENA. Ebazpenak egiaztatzea.
( ) ( ) ( )− −−
− −=
+ −− =
1 1
2
3 4 1
4
5 4 1
42
7
4
1
4
2
→x = −1⎯⎯⎯→
( )3 1
2
3 4 3
4
5 4 3
42
9
4
17
4
2−−
− ⋅=
+ ⋅+ =→
x = 3⎯⎯⎯→
x xx
=± +
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 4 12
2
2 4
23
11
2→
2z zatituko duguF
41
2
3 4
44
5 4
4
2( )x x x−−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
( )x x x− − − = +12
3 44
5 44
2
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 127
128
Ebazpenak egiaztatzea.
a)
b)
c) (2x + 1)2 = −1d) (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x (3x − 3) − 2xe) (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4)
f)
a) 2(x − 2)2 + 14x − 5 = 11 → 2x2 − 8x + 8 + 14x − 5 = 11 →→ 2x2 + 6x − 8 = 0 → x2 + 3x − 4 = 0 →
→
b) 12(x − 2)(x + 2) − 10(14x + 35) = 6(52x + 5) →→ 12x2 − 48 − 140x − 350 = 312x + 60 → 12x2 − 452x − 458 = 0 →
→ 6x2 − 226x − 229 = 0
→ 2 ebazpen ditu
c) 4x2 + 4x + 2 = 0 → 2x2 + 2x + 1 = 0 →
→ → Ebazpenik ez
d) x − 2 + 2x2 − 7x + 3 = 3x2 − 3x − 2x → −x2 − x + 1 = 0 →
→
e) x2 + x − 2 = 2 + x2 − x − 12 → 2x = −8 → x = −4
f)
Aurkitu ondoz ondoko bi zenbaki, batura 51 dutenak.
Zenbakiak x eta x + 1 dira → x + x + 1 = 51 → 2x = 50 → x = 25
Beraz, zenbakiak 25 eta 26 dira.
Kalkulatu bere bikoitza eta hirukoitza batuta 10 ematen duen zenbakia.
Zenbakia hau da: x → 2x + 3x = 10 → 5x = 10 → x = 2
073●●
072●●
x xx
x x3
4
5
40
03
4
5
40
5
3
1
2+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
=
+ = =−
⎧⎨⎪
→→
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
xx
x
=± +−
=±−
=+−
=−−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
1 1 4
2
1 5
2
1 5
2
1 5
2
1
2
→⎪⎪⎪⎪⎪
x =− ± −
=− ± −2 4 8
4
2 4
4
x =± +
=±226 51 076 5 496
12
226 56 572
12
. . .
xx
x=− ± +
=− ±
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪3 9 16
2
3 25
2
3 5
21
3 5
24
1
2
→⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
34
45
02x x+ =
( )( )x x x x− + − + = +2 25
14 356
52 510
( )x x− + − =23
14 56
116
2
071●●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 128
129
4
Aurkitu 4 batzean bere bikoitza ken bat ematen duen zenbakia.
Zenbakia: x → x + 4 = 2(x − 1) → −x = −6 → x = 6
Aurkitu ondoz ondoko bi zenbaki, jakinik haien berbiduren arteko kendura 567 dela.
Bi zenbakiak x eta x + 1 dira. (x + 1)2 − x2 = 567 → x2 + 2x + 1 − x2 = 567 → 2x = 566 → x = 283
Zenbakiak 283 eta 284 dira.
Eraztun baten eta haren kutxaren prezioa 10.200 € da, eta eraztunak kutxakbaino 10.000 € gehiago balio du. Zein da gai bakoitzaren prezioa?
Kutxa: x. Eraztuna: x + 10.000 → x + x + 10.000 = 10.200 → 2x = 200 →→ x = 100. Kutxak 100 € balio du, eta eraztunak, 10.100 €.
Upeltegi batean upel guztien erdiak esportatu zituzten urtarrilean; handik bihilabetera, berriz, geratzen zirenen herenak. Zenbat upel zituzten hasieran, orain40.000 badituzte?
Upelak: x. Urtarrilean esportatuak: ; handik bi hilabetera: .
→ x = 120.000 upel
078
xx
xx x x
− − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
2
1
3 240 000
2 640 000. .→ → xx
340 000= . →
1
3 2x
x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
x
2
077●●
076●●
075●●
074●●
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA ADINAZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIOAK ERABILIZ?
Peruk bere txakurrak baino 12 urte gehiago ditu, eta lau urte barru, haren adinaren hirukoitza izango du. Zenbat urte dituzte?
LEHENA. Planteamendua.
Lau urte barru, Peruren adina txakurrarenaren hirukoitza izango da x + 4 = 3(x − 8).
BIGARRENA. Ebaztea.
x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 → 28 = 2x → x = 14
HIRUGARRENA. Egiaztatzea.
Peruk 14 urte ditu, eta txakurrak, 14 −12 = 2 urte.
Lau urte barru, Peruk 18 eta txakurrak 6, 18 = 6 ⋅ 3.
Peruren adina Txakurraren adinaGaur egun x x − 12
Lau urte barru x + 4 x − 12 + 4 = x − 8
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 129
130
Mikelek bere lehengusu Koldok baino 4 urte gehiago ditu eta, hiru urterenburuan (liburuan 4 jartzen du, baina 3 dira), bien artean 20 urte izango dituzte.Zenbat urte ditu bakoitzak?
Koldo: x. Mikel: x + 4 → (x + 3) + (x + 4 + 3) = 20 → 2x = 10 → x = 5Koldo: 5 urte; Mikel: 9 urte.
Zenbat urte ditut orain, hemendik 12 urtera duela 6 urte nituenen hirukoitzaizango badut?
Gaur egungo adina: x → x + 12 = 3(x − 6) → −2x = −30 → x = 15 urte
Maitek hiru seme ditu. Gazteenak erdikoaren adinaren erdia du; erdikoak, berriz,zaharrenak baino 6 urte gutxiago. Kalkulatu hiruren adinak, jakinik gaur egundituzten urteak batuta Ane lehengusinaren adina osatzen dutela, gazteenakbaino 12 urte gehiago dituela Ane lehengusinak.
Zaharrena: x Erdikoa: x − 6 Gazteena: Ane:
Zaharrena: 9 urte. Erdikoa: 3 urte. Gazteena: 1 urte eta erdi.
082
x xx x
x x+ − +−
=−
+ = =62
2
2
212 2 18 9→ →
x −+
6
212
x − 6
2
081●●●
080●●
079●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA NAHASTEEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIOAK ERABILIZ?
Bi te mota ditugu: bat Thailandiakoa, kiloa 5,20 €-an, eta bestea Indiakoa, kiloa6,20 €-an. 100 kg te lortu nahi ditugu, 6 €/kg-ko prezioan. Mota bakoitzetikzenbat kilo nahasi behar ditugu, horretarako?
LEHENA. Planteamendua.
Nahastearen prezioa, kiloko =
BIGARRENA. Ebaztea.
5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = x
HIRUGARRENA. Egiaztatzea.
Thailandiako 20 kg te behar ditugu, eta 100 − x = 80 kg Indiako te.
Nahastearen prezioa kg-ko: 6 €.5 2 20 6 2 80
100
, ,⋅ + ⋅=
5 2 6 2 100
1006
, ,x x+ −=
( ) →
5 2 6 2 100
1006
, ,x x+ −=
( )
Kiloak PrezioaThailandiako tea
Indiako tea
Nahastea
x100 − x
100
5,2x6,2(100 − x)
5,2x + 6,2(100 − x)
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 130
131
4
0,75 €/¬ balio duen esnetik zenbat litro nahasi behar dira 0,85 €/¬-koesnearekin, 0,77 €/¬ balioko duen esnearen 100 litro lortzeko?
0,75 €-ko esnea: x 0,85 €-ko esnea: 100 − x
0,75x + 0,85(100 − x) = 100 ⋅ 0,77 → 85 − 0,1x = 77 → x = 80 0,75 €/¬-ko 80 litro eta 0,85 €/¬-ko 20 litro nahasi behar dira.
Adreilu-fabrika batean tonako 21 € balio duen buztina eta 45 € balio duenanahasten dituzte. Mota bakoitzeko zenbat tona erabili behar dira tonako 39 €balioko duen 500 tona buztin lortzeko?
21 €/t-ko buztina: x. 45 €/t-koa: 500 − x → 21x + 45(500 − x) = 500 ⋅ 39 → → 22.500 − 24x = 19.500 → x = 120 → 120 t 21 €/t-koa eta 380 t 45 €/t-koa
Paper-denda batean A motako 25 kutxa paper eta B motako 14 saldu dituzte,guztira 7.700 €-an. Zein da mota bakoitzeko kutxaren prezioa baldin eta
B motako kutxaren prezioa A motakoaren bada?
A motakoa: x B motakoa:
25x + →
→ 110x = 23.000 → x = 210. A motakoa: 210 €. B motakoa: 175 €.
086
2535
37 700 75 35 23 100x x x x+ = + =. .→
5
6x
56
085●●
084●●
083●●
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA MUGIMENDUAZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIOAK ERABILIZ?
Kamioi bat 80 km/h-ko abiaduran irten da hiri batetik; handik bi ordura auto bat irten da leku beretik, 120 km/h-ko abiaduran. Hiritik zenbateko distantziara harrapatuko du autoak kamioia?
LEHENA. Planteamendua.
x → Autoa irten denetik biek topo egiten duten arteko denbora-tartea
Topo egiten dutenean, bi ibilgailuek distantzia bera egin dute →→ 2 ⋅ 80 + 80x = 120x
BIGARRENA. Ebaztea: 2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4
HIRUGARRENA. Egiaztatzea.Autoa abiatu eta handik 4 ordura egiten dute topo; hau da kamioia abiatu denetik6 ordura.
6 orduan kamioiak egin ditu: 6 ⋅ 80 = 480 km.4 orduan autoak egin ditu: 4 ⋅ 120 = 480 km.
Aldea Topaketaren uneaKamioiak egindako distantzia
Autoak egindako distantzia
2 ⋅ 80 2 ⋅ 80 + 80x
120x
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 131
132
Estitxu Sevillatik Bartzelonara abiatu da, autoa hartuta. Goizeko 8etan abiatu daeta 90 km/h-ko abiadurari eutsi dio. Ordu horretan bertan, baina Bartzelonatik110 km-ra, Jonek 70 km/h-ko abiaduran doan autobusa hartu du, Estitxurennoranzko berean. Zer ordutan egingo du topo Estitxuk autobusarekin? Zerdistantzia egin du bakoitzak?
Topo egiteko behar duten denbora: x. 90x = 110 + 70x → 20x = 110 → x = 5,5 ordu.
Beraz, 13 h 30 min-an egingo dute topo. Estitxuk egindako distantzia: 5,5 ⋅ 90 = 495 km. Jonek egindakoa: 495 − 110 = 385 km.
Goizeko 7etan, Aitor Zamoratik Cádizera abiatu da, 75 km/h-ko abiaduran. 660 km daude bi hirion artean. Ordu berean, Nora Cádizetik irten daZamorarako bidean, Aitorrek hartu duen errepide beretik, 60 km/h-ko abiaduran. Zer ordutan gurutzatuko dute elkar? Eta Cádizetik zenbatekodistantziara?
Topo egiteko behar duten denbora x bada, eta 660 km-ko distantziara daudela kontuan hartuta: 75x + 60x = 660 → 135x = 660 →→ x = 4,888 ordu = 4 h 53 min 20 s. 11 h 53 min 20 s-an egingo dute topo eta Cádizetik 4,888 ⋅ 60 = 293,333 km-ra egongo dira.
Lur-sail laukizuzen batek 1.739 m2-ko azalera du, eta luzetara zabaletara baino10 m gehiago ditu. Kalkulatu lur-sail horren neurriak.
Zabalera: x. Luzera: x + 10 → x(x + 10) = 1.739 → x2 + 10x − 1.739 = 0
Lur-saila 37 m zabal eta 47 m luze da. Beste ebazpenak ez du balio, negatiboa baita.
Futbol-zelai batek 30 m gehiago baditu luzeran zabaleran baino, eta 7.000 m2-ko azalera badu, kalkulatu futbol-zelai horren neurriak.
Zabalera: x. Luzera: x + 30 → x(x + 30) = 7.000 → x2 + 30x − 7.000 = 0
Futbol-zelaia 70 m zabal eta 100 m luze da. Beste ebazpenak ez du balio, negatiboa baita.
→x
x
1
2
30 170
270
30 170
2100
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x =− ± +
=− ±30 900 28 000
2
30 28 900
2
. . →
090●●
xx
x=− ± +
=− ±
=− +
=10 100 6 956
2
10 7 056
2
10 84
2371
2
. . →==− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
10 84
247
089●●
088●●●
087●●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 132
133
4
Aurkitu 7 batekoren aldea duten bi zenbaki, jakinik bien arteko biderkadura 60 dela.
Txikiena: x. Handiena: x + 7 → x(x + 7) = 60 → x2 + 7x − 60 = 0
Ebazpenak: 5 eta 12 edo −12 eta −5.
24 m-ko perimetroa duen triangelu angeluzuzen batean, kateto baten luzera bestearenaren hiru laurden da. Aurkitu triangelu horren neurriak.
1. katetoa: x
2. katetoa:
Hipotenusa:
1. katetoa = 8 m. 2. katetoa = 6 m. Hipotenusa = 10 m.
8 m luze eta 6 m zabal den egongela bat zolatzeko 300 lauza karratu erabilidira. Zenbat da lauza bakoitzaren aldearen neurria?
Lauzaren aldea: x
300x2 = 8 ⋅ 6 → x2 = 0,16 → x = 0,4
Lauzaren aldea 40 cm luze da.
Laukizuzen baten diagonala 10 cm-koa da. Kalkulatu laukizuzenaren neurriak,kateto bat bestea baino 2 cm motzagoa bada.
Handiena: x Txikiena: x − 2 Diagonala:
x 2 + (x − 2)2 = 102 → 2x2 − 4x + 4 = 100 → x2 − 2x − 48 = 0
Neurriak 8 cm eta 6 cm dira.
Beste ebazpenak ez du balioa, negatiboa baita.
xx
x=
± +=
±=
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪2 4 192
2
2 196
2
2 14
28
2 14
26
1
2
→⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x x2 22+ −( )
094●●
093●●
x x x x x+ + = = =3
4
5
424 3 24 8→ →
x x x2 29
16
5
4+ =
3
4x
092●●●
xx
x=− ± +
=− ±
=− +
=
=− −
= −
7 49 240
2
7 289
2
7 17
25
7 17
2
1
2
→112
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
091●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 133
134
Zinema-areto batean, ilara kopurua eta ilara bakoitzeko eserleku kopuruaberdinak dira. Jabeak aretoa birmoldatzea erabaki du, hiru ilara eta ilarabakoitzeko eserleku bat kenduta. Birmoldatu ondoren, eserleku kopurua 323 da.
a) Zenbat eserleku zituen zinema-aretoak, birmoldatu aurretik?
b) Zenbat eserleku daude orain, ilara bakoitzeko?
a) x = ilara kopurua = eserleku kopurua/ilara.
3 ilara ezabatuta: x − 3.
Ilarako 1 eserleku ezabatuta: x − 1.
(x − 3)(x − 1) = 323 → x2 − 3x − x + 3 = 323 →
→ x2 − 4x − 320 = 0 →
Balio negatiboak ez du balio; beraz, 20 eserleku zeuden ilarako eta 20 ilara.
b) Orain 20 − 1 = 19 eserleku daude ilarako.
Azter ditzagun x 2-ren koefizientea 1 duten bigarren mailako ekuazioen nondiknorakoak; hau da, forma hau duten ekuazioenak:
x 2 + bx + c = 0Horretarako, urrats hauei jarraituko diegu.
a) Ebatzi lau ekuazio hauek:
b) Zer erlazio aurkitzen duzu lortutako ebazpenen eta b eta c koefizienteenartean?
c) Aurkitu x 2 + bx + c = 0 ekuazioaren ebazpenak, eta egin haien batuketa etabiderketa.
d) Aurkitutako erlazioak aplikatuta, aurkitu batura 15 eta biderkadura 56 dutenbi zenbaki.
096●●●
=± +
=± =
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
4 16 1 280
2
4 36
220
161
2
. → xx
x =± + ⋅
=4 4 4 320
2
2
095●●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
908272 _ 0100-0137.qxd 28/9/07 13:02 Página 134
135
4
a) x2 − 7x + 12 = 0 →
x2 − 3x − 10 = 0 →
x2 + 5x + 6 = 0 →
x2 + 2x − 24 = 0 →
b) b = −(x1 + x2), c = x1 ⋅ x2
c)
d) x2 − 15x + 56 = 0 →
Garatu eta sinplifikatu adierazpen hau: A = (x − 1)2 + x 2 + (x + 1)2.
Aurkitu ondoz ondoko hiru zenbaki oso, berbiduren batura 30.002 dutenak.
A = (x − 1)2 + x2 + (x − 1)2 → A = x2 − 2x + 1+ x2 + x2 + 2x + 1 →→ A = 3x2 + 2
30.002 = 3x2 + 2 → 30.000 = 3x2 → x2 = 10.000 → x = ±100
Bi ebazpen ditu: 99 eta 100, 101 eta −99, −100 eta −101.
097●●●
→ →xx
x
=± −
=±
=+
=
=−
=
⎧
⎨15 225 224
2
15 1
2
15 1
28
15 1
27
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→x x
b b c b b cb
x xb b c
1 2
2 2
1 2
2
4
2
4
2
4
+ =− + −
+− − −
= −
⋅ =− + −
22
4
2
4
4
2 2 2 2
⋅− − −
=− −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
b b c b b cc
( )
xb b c
xb b c
1
2
2
2
4
2
4
2
=− + −
=− − −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
→ →xx
x=
± −=
±=
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪2 4 96
2
2 100
2
2 10
26
2 10
24
1
2
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→ →xx
x
=− ± −
=− ±
=− +
= −
=− −
= −
⎧
⎨5 25 24
2
5 1
2
5 1
22
5 1
23
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→ →xx
x=
± +=
±=
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪3 9 40
2
3 49
2
3 7
25
3 7
22
1
2⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→ →xx
x
=± −
=±
=+
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
7 49 48
2
7 1
2
7 1
24
7 1
23
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
ERANTZUNAK
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 135
136
Ebatzi, formula orokorra erabili gabe: 4x 2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0 ekuazioa.
Horretarako, deskonposatu lehen atala biderkagaitan.
4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0→ (2x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(x + 3) = 0 →
→ (2x + 1)[(2x − 1) + (x + 3)] = 0 → (2x + 1)(3x + 2) = 0 →
EGUNEROKOAN
Mireni egun gutxi geratzen zaizkio erditzeko. Haren lantokian, jaioberriei oparia egiteko ohitura dute. Xabier eta Josunelankideak arduratu dira oparia erosteko dirua biltzeaz. Miren oso ezaguna da bere lantokian, ia denek estimatzen dute. Hori dela eta,lankide gehienek hartu dute parte oparian.Atzo, Xabier eta Josune merkataritza-gune handi batean egon ziren, etaeskaintzan zegoen haur-kotxe bat erostea proposatu zuten. Horretarako,bakoitzak 8 € jarri beharko lituzke.
Denak ados zeudenez, erostera joan ziren, baina eskaintza amaitua zen eta 4 € falta zitzaizkien.
Azkenean, Xabierrek eta Josunek esan didate 14 lankideetatik batek ez dueladirurik jarri Mireni oparia erosteko.
Zure ustez, egia da esaten dutena?
Parte hartu duten pertsonak: xHasierako prezioa: 8xPrezio berria: 8x + 4 eta 9x − 8
8x + 4 = 9x − 8 → x = 12
Beraz, Xabierrek eta Josunek esan dutena ez da egia, 12 pertsonak jarribaitute dirua eta ez 13k.
099●●●
x
x
1
2
1
22
3
=−
=−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
098●●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
Hara zer egin dezakegun:bakoitzak 9 € jarri etasobera dauden 8 €-ekin
haurrari elastiko bat erosi.
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 136
137
4
Martxel errementaria da, eta bere lan-ibilbidean hainbat arazori aurre egin behar izan die. Askotan, betetzen zailak diren enkarguak egiten dizkiote.Zenbaitetan, zailtasuna ez datza soilik egin beharreko lanean, baizik etabezeroak nahi duen hura ulertzean, batik bat.
Hala, norbaitek goiko horren moduko eskaera bat egiten dionean, Martxelekerrementerian egin beharreko lanetara pasatu behar izaten du.
Nola okertu beharko du Martxelek burdin barra hori?
Triangelu angeluzuzenaren 1. katetoa: x. 2. katetoa: 170 − x.
x2 + (170 − x2) = 1302 → x2 + x2 − 340x + 28.900 = 16.900 →→ 2x2 − 340x + 12.000 = 0
x
Barra okertzean, zati batek 120 cm-ko luzera izan beharko du, eta besteak, 50 cm-koa.
→x
x
1
2
340 140
4120
340 140
450
=+
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
=± −
=±340 115 600 96 000
4
340 19 600
4
. . . →
100●●●
ERANTZUNAK
Zuk behar zenukeena 1,70 m luzekoburdin barra bat da. Barra horiangelu zuzena osatu arte okertu
behar da, bi muturren artekodistantzia 1,30 m-koa izanik.
Terrazan 1,30 m-ko pareta zatia dut.Pareta horren bi bazterretan, burdin
barra bat jarri nahi dut, angelu zuzenaosatuz, 1,70 m luze den eguzki-oihal bat
jartzeko.
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 137
138
Ekuazio-sistemak5
BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALA
SISTEMA MOTAK GRAFIKO BIDEZ EBAZTEA
BI EZEZAGUNEKO BI EKUAZIOREN SISTEMAK
ORDEZKATZEA BERDINTZEA LABURTZEA
EBAZPEN-METODOAK
PROBLEMAK EBAZTEA BI EZEZAGUNEKO
BI EKUAZIOREN SISTEMEN BIDEZ
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 138
Bat-bateko ikasbidea
Udaberriko jaialdia urtean behin ospatzen zen, maharajaren jauregian. Festa hartara gonbidatua izatea itzal handiko pertsonei mugaturiko ohorea zen.
Elefantearen gainera igotzean, Brahmagupta jakintsua eta Serhane, harenlaguntzaile gaztea, bat etorri ziren maharajaren eskuzabaltasunagoraipatzean, segizioa bidali baitzien, jauregira lagun ziezaieten.
Laguntzaile gazteak bidearen erdia eman zuen ikasi behar zituen jakintzagaiez kexatzen:
–Maisu, zergatik ikasi behar dut aljebra? Ez dauka inolakoerabilgarritasunik; bost txanpon baditut bost txanpon ditut, eta ez bost ezezagun... Eta ezezaguna edozer izan ahal izatea naturaren aurkakoa da.
Brahmaguptak hitza hartu zuen, eta geratzen zitzaien bidearen erdian, aljebraren baliagarritasuna azaldu zion ikasleari:
–Mundu honetako gauza guztiek dute bere esanahia: elefantearen bekokiko izarra ez da izarra soilik: elefantea maharajarena dela esan nahi du. Era berean, lau zirkuluz koroatutako gurutzea ez da marrazkia soilik, hiriaren sinboloa ere bada. Matematikan, sinpleena gauzei esanahia kentzea da, zenbakiekin eragiketak egitea eta, ondoren, emaitza interpretatzea.
Hitz horien ostean, maisuak eta ikasleak isilean egin zuten jauregira iristeko geratzen zitzaien kilometroa.
Ekuazio baten laguntzaz, kalkulatu elefantearen gainean egin zuten distantzia.
x = distantzia
→ 2x + x + 4 = 4x → x = 4
4 km-ko distantzia egin zuten.
12
14
1x x x++ ++ ==
908272 _ 0138-0177.qxd 27/9/07 17:50 Página 139
140
ARIKETAK`
Jarri ekuazio hauek ax + by = c eran eta adierazi koefizienteen balioa.a) y = 2x − 3 b) y = x + 3 c) −3x = 1 − y d) x = 2 − y
Eraiki balio-taula bat goiko ekuazio horietarako.
a) y = 2x − 3 → −2x + y = −3 → a = −2; b = 1; c = −3y = 2x − 3
b) y = x + 3 → −x + y = 3 → a = −1; b = 1; c = 3y = x + 3
c) −3x = 1 − y → −3x + y = 1 → a = −3; b = 1; c = 1y = 3x + 1
d) x = 2 − y → x + y = 2 → a = 1; b = 1; c = 2x = 2 − y → y = 2 − x
Adierazi ekuazio hauek planoan.
a) 2x + 3 = y b) y + 1 = x
a) 2x + 3 = y
b) y + 1 = x → y = x − 1
002
001
Ekuazio-sistemak
x −2 −1 0 1 2y −7 −5 −3 −1 1
x −1 0 1 2 −3y 2 3 4 5 0
x −2 −1 0 1 2y −5 −2 1 4 7
x −1 0 1 2 −3y 3 2 1 0 5
y = 2x + 3
1
1
1
1
y = x − 1
Y
Y
X
X
x y−1 −2
0 −1
1 0
x y−1 1
0 3
1 5
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 140
141
5
Idatzi bi ezezaguneko bi ekuazio lineal, ebazpena x = 3, y = −2 izango dutenak.
Adibidez: 3x + y = 7; y = 1 − x.
Aurkitu sistema bakoitzaren ebazpena, sistema osatzen duten ekuazioen balio-tauletatik abiatuta.
a) b)
a) x + y = 5-ren ebazpenak:
x − y = 3-ren ebazpenak:
(4, 1) puntua a) sistemaren ebazpena da.
b) 2x + y = 13-ren ebazpenak:
x − y = 2-ren ebazpenak:
(5, 3) puntua b) sistemaren ebazpena da.
Adierazi grafikoki sistema hauek eta zehaztu haien ebazpenak.
a) b)
a) x + 2y = 6 →
x − 2y = −2 →
Ebazpena: (2, 2).
b) x + y = 0 → y = −x
x − y = −2 → y = 2 + x
Ebazpena: (−1, 1).
yx
=+ 2
2
yx
=−6
2
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 62 2
005
2 132
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
004
003
ERANTZUNAK
x 0 1 2 3 4y 5 4 3 2 1
x 0 1 2 3 4y −3 −2 −1 0 1
x 0 1 2 3 4y 13 11 9 7 5
53
x 0 1 2 3 4y −2 −1 0 1 2
53
x 0 2 4 6y 3 2 1 0
x −2 0 2 4y 0 1 2 3
x −2 −1 0 1y 2 1 0 −1
x −2 −1 0 1y 0 1 2 3
1
1
1
−1
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 141
142
Sistema hauetatik zein da (8, 4) ebazpentzat duena? Eta (10, 2)? Eta (3, 1)?
a)
b)
• Ikus dezagun (8, 4) puntua a) edo b) sistemaren ebazpena den:
a) → → Ebazpena da.
b) → → Ez da.
• Ikus dezagun (10, 2) puntua a) edo b) sistemaren ebazpena den:
a) → → Ez da ebazpena.
b) → → Ez da.
• Ikus dezagun (3, 1) puntua a) edo b) sistemaren ebazpena den:
a) → → Ez da ebazpena.
b) → → Ebazpena da.
Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, ebazpenetako bat x = 2, y = 3 izangoduena. Idatzi balio pare hori ebazpen izango duen sistema bat.
3x − 2y = 0 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 6 − 6 = 0
Ebatzi sistema hauek eta sailkatu, ebazpen kopurua kontuan hartuta.
a) d)
b) e)
c) f) x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 23 2 6
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 32 4 6
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
62 2 12
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
75
2 132
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
008
3 2 2 3 02 3 1
⋅ − ⋅ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪−x = 2, y = 3⎯⎯⎯⎯⎯→3 2 0
1x yx y− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = 2, y = 3⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
007
2 3 4 1 6 4 103 3 1 9 1 81⋅ + ⋅ = + =⋅ − = − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 4 103 84
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 1 4 123 1 2 4+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
��
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
2 10 4 2 20 8 28 103 10 2 30 2 28 81⋅ + ⋅ = + =⋅ − = − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
��
2 4 103 84
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
10 2 1210 2 8 4+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪�
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
2 8 4 4 16 16 32 103 8 4 24 4 20 81 0⋅ + ⋅ = + =⋅ − = − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
��
2 4 103 84
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
8 4 128 4 4+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
2 4 103 8x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
124
006
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 142
143
5
a) x + y = 5 x − y = 3
Ebazpena (4, 1) da: sistema bateragarri mugatua.
b) x + y = 7
x − y = 5
Ebazpena (6, 1) da: sistema bateragarri mugatua.
c) x + 2y = 3 2x + 4y = 6
Bi ekuazioak zuzen berarenak dira: sistema bateragarri mugagabea.
d) 2x + y = 13
x − y = 2
Ebazpena (5, 3) da: sistema bateragarri mugatua.
e) x + y = 6
2x − 2y = 12
Ebazpena (6, 0) da: sistema bateragarri mugatua.
f) x − 3y = 2 3x − 2y = 6
Bi zuzenek (2, 0) puntuan ebakitzen dute elkar: sistema bateragarri mugatua.
ERANTZUNAK
x 0 1 2 3y 5 4 3 2
41
x 0 1 2 3y −3 −2 −1 0
41
x 0 1 2 3y 7 6 5 4
4 5 63 2 1
x 0 1 2 3y −5 −4 −3 −2
4 5 6−1 0 1
x y1 1
3 0
x y1 1
3 0
x 0 1 2 3y 13 11 9 7
4 55 3
x 0 1 2 3y −2 −1 0 1
4 52 3
x 0 1 2 3y 6 5 4 3
4 5 62 1 0
x 0 1 2 3y −6 −5 −4 −3
4 5 6−2 −1 0
x y2 0−1 −1
x y0 −3
2 0
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 143
144
Ebatzi eta sailkatu sistema hauek.
a) b)
a) b) x − y = 1
3x − 2y = 6 2x − 2y = 1
Bateraezina.Bateraezina.
Eman ekuazio-sistema bateragarri mugatuaren, bateragarri mugagabearen etabateraezinaren adibide bana.
Bateragarri mugatua:
Bateragarri mugagabea:
Bateraezina:
Ebatzi, ordezkatze-metodoa erabiliz.
→ y = 5 − x → x − (5 − x) = 3 → x − 5 + x = 3 → 2x = 3 + 5 → x = = 4
y = 5 − x = 5 − 4 = 1
Sistemaren ebazpena hau da: x = 4, y = 1.
Ebatzi ordezkatze-metodoaren bidez eta adierazi bateragarria ala bateraezina den.
y = 8 − x = 8 − 8 = 0
Sistemaren ebazpena hau da: x = 8, y = 0. Bateragarria da.
→ y = 8 − x→ x − (8 − x) = 8 → x − 8 + x = 8 → 2x = 16 → x = 8
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
88
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
88
012
8
2
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
011
x yx y+ =
− − =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 52 10
x yx y+ =
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 52 5
x yx y+ =
− + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 53 5
010
x y
2 32− =
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 2 1
x y
x y2 3
2
3 2 6
− =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
009
Ekuazio-sistemak
x 0 2 4 6y −3 0 3 6
x −2 0 2 4y −3 −1 1 3
x −2 0 2 4
y −5
2−
1
2
3
2
7
2
x 0 2 4 6y −6 −3 0 3
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 144
Zuzendu egindako akatsak.
2x−4y = 22 2x−4(1−5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22 →
→ −18x = 18 → x = = 1
5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4
→ y = 1 − 5x
y-ren zeinua ezabatu da; hau jarri behar luke: 5x − 1.
2x − 4y = 22 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22
Zeinua gaizki jarri da; hau jarri behar luke: +20x.
−18x = 18
4 kentzen pasatu da, batzen pasatu beharrean; hau behar luke: −18x = 26.
x = = 1
18z zatitu da eta −18z behar luke: .
5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4
y-ren zeinua ezabatu da; hau jarri behar luke: y = −1.
Ebazpen zuzena:
2x − 4y = 22 2x − 4(5x − 1) = 22 → 2x − 20x + 4 = 22 →
→ −18x = 18 →
y = 5x − 1 y = −6
Ebatzi ekuazio-sistema hauek, berdintze-metodoari jarraituta.
a) b)
a)→ 5 − y = 3 + y → 5 − 3 = 2y → y = 1
x = 5 − y = 5 − 1 = 4
b) →
y = 13 − 2x = 13 − 2 ⋅ 5 = 3
13 2 215 3 5− = −
= =x x
x x→
→ →→→
y xy x
= −= −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
13 22
2 132
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→→
x yx y
= −= +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
2 132
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
014
x = −1⎯⎯→
x = − = −18
181
y = 5x − 1⎯⎯⎯⎯→
5 12 4 22
5 14 2x yx y
y x− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
x = 1⎯⎯→
x = − = −18
181
18
18
y = 1 − 5x⎯⎯⎯⎯→
5 12 4 22
4 2x yx y
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = 1⎯⎯→
1818
y = 1 − 5x⎯⎯⎯⎯→
5 12 4 22
1 54 2x yx y
y x− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
013
145
5ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 145
146
Ebatzi berdintze-metodoaren bidez eta adierazi bateragarriak ala bateraezinakdiren. Zenbat ebazpen dituzte?
a) b)
a)→
Berdintza bat lortu da. Sistemak infinitu ebazpen ditu, bateragarri mugagabea da.
b) 1. ekuaziotik y bakanduko dugu: y = 8 − 2x, 2. ekuaziotik: y = 12 − 2x; eta berdindu egingo dugu.
8 − 2x = 12 − 2x → 8 � 12. Sistema bateraezina da: ez du ebazpenik.
Zuzendu berdintze-metodoari jarraituz sistemaren ebazpenean egin direnakatsak.
y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → 3y − 21 = 1 + y →
→ 3y − y = 1 + 21 → 2y = 22 → y = = −11
x − y = 7 x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18
y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → Izendatzailea gaizki ezabatuta:→ 3(y − 7) = 3 − y → 3y − 21 = 1 + y →→ 3y − y = 1 + 21→ 2y = 22 →
→ y = → Gaizki bakanduta: .
x − y = 7 x − 11 = 7 → Gaizki ordezkatuta: x + 11 = 7.x = 7 + 11 = 18
Ebazpen zuzena:
→ →
→ 3y + 21 = 1 + y → 3y − y = 1 − 21→ 2y = −20 →
→ y =
x = y + 7 x = −10 + 7 → x = −3y = −10⎯⎯⎯→
−= −
20
210
yy
y y+ =+
+ = +71
33 7 1→ ( )
x y
xy
= +
=+
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
7
1
3
→
→
3 7
3 1
x y
x y
− =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
y = −11⎯⎯⎯→
y = =22
211
22
2−
y
3
→
→
Gaizki bakanduta:
Gaizki bakanduta:
x y= + 7
xy
=+
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
1
3
x y
xy
= −
= +
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
7
13
→
→
3 7
3 1
x y
x y
− =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
y = −11⎯⎯⎯→
222−
y3
x y
xy
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
7
13
→
→
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
x − y = 7
3x − y = 1
016
2 82 12
1x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
55
25
5
25 5− = − =y y →
2 5 10
4 10 20
55
2
5
1x y
x y
x y
x
+ =
+ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −
=
→
→ −−
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
5
2y
2 82 12
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 5 104 10 20
1x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
015
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 146
147
5
Ebatzi laburtze-metodoaren bidez.
a)
b)
a)Bi ekuazioak batuko ditugu.
Eta haietako batean ordezkatuz:
x + y = 5 4 + y = 5 →→ y = 5 − 4 = 1
b)
Ekuazioak batuko ditugu:
Eta 1. ekuazioan ordezkatuz:
x − 5y = 6
Ebatzi ekuazio-sistema hauek laburtze-metodoaren bidez, eta adierazibateragarriak ala bateraezinak diren.
a)
b)
a)
Sistema bateraezina: ez du ebazpenik.
b)
Sistema bateragarri mugagabea: infinitu ebazpen ditu.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 2y = 102x − 2y = 10
0 = 10
1. ekuazioa ⋅ 2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→kenketa eginda
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − y = 502x − 2y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 4y = 02x + 4y = 6
0 � 6
1. ekuazioa ⋅ 2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→kenketa eginda
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = 02x + 4y = 6
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 52 2 10
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 02 4 6
018
→ x = − =−
= −6115
17
102 115
17
13
17
x − −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =5
23
176 →
y = −23
17⎯⎯⎯⎯→
→ y = −23
17
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 20y = 24−4x + 03y = −1
− 17y = 23
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−4x − 20y = 24−4x + 03y = −1
⋅ 4⎯⎯→⋅ (−1)⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 5y = 64x − 3y = 1
x = 4⎯⎯→
→ x = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 5x − y = 3
2x + y = 8
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 64 3 1
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
53
017
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 147
148
Zuzendu sistema ebazterakoan egindako akatsak.
2x + y = 0 2 ⋅ (−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4
Gai askea gaizki biderkatuta dago: 0 ⋅ 2 zero da.
Ez da kenketa egin behar, batu baizik; gainera, gaizki dago.
2x + 7 = 0 2(−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4Gaizki bakanduta; y = 4 behar luke. Ebazpen zuzena hau da:
2x + 7 = 0
Ebatzi, metodorik egokienari jarraituta.
a) c)
b)
a)
1. ekuazioan ordezkatuko dugu: x + 1 = 5 → x = 4.
b)
y = −6
x = −3 − 5 x = 27
c)
→1. ekuazioan ordezkatuko dugu:x + y = 2 → −12 + y = 2 → y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 3y = 1−62x + 3y = −18
x + 3y = −12
1.a ⋅ 3⎯⎯⎯⎯→kenketa
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 22 3 18
→→
x yx y x y
+ =+ + − = − −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
24 2 4 18
y = −6⎯⎯⎯→
2 3 5 3
218
( )− − +=
y y →x = −3 − 5y⎯⎯⎯⎯⎯→2 3
218
x y+=
3 3 22 3
218
5 3y x x yx y
x y x+ = − ++
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ = − = −( ) → → 33 5− y
Kenketa egingo dugu.
→ y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = −5x + 2y = −6
−y = −1
→→
2 3 5 22 3 3 4x y x y
x y y+ = + +
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 3 22 3
218
y x x yx y
+ = − ++
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
x yx y x y
+ =+ + − = − −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
24 2 4 18
2 3 5 22 3 3 4x y x y
x y y+ = + +
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
020
24
70
8
70
8
7
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + =
−+ = =y y y→ →⎯⎯⎯→
x =−4
7
→ x =−4
7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x + 2y = 0+ 3x − 2y = −4
7x − 2y = −4
4 2 23 2 4x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→⎯→
2 03 2 4
2x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = −2⎯⎯→
4x + 2y = 2− 3x − 2y = −4
x − 2y = −2
4 2 23 2 4x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→⎯→
2 03 2 4
2x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x = −2⎯⎯→
4x + 2y = 2− 3x − 2y = −4
x − 2y = −2
4 2 23 2 4x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→2 03 2 4
2x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
019
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 148
149
5
Ebatzi, metodorik egokienari jarraituta.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2x − y = 4
Ekuazioen kenketa eginda: 0 � −1. Ez du ebazpenik, bateraezina da.
Idatzi ordezkatze-metodoaren bidez ebazteko egokia den ekuazio-sistema bat,eta laburtze-metodoaren bidez ebazteko beste bat.
Ordezkatze-metodoaren bidez:
→ 3x − 8 = y→ 2x + 3(3x − 8) = 31 →→ 2x + 9x − 24 = 31 → 11x = 55 → x = 5
Eta ordezkatuz: y = 3 ⋅ 5 − 8 = 7.
Laburtze-metodoaren bidez:
Ekuazioen batuketa egingo dugu.
→ x = 1
Eta ordezkatuz: 2 − 1 − 3y = −4 → −3y = −6 → y = 2.
Fernandok eta haren aitak 40 urte dituzte bien artean. Aitaren adinasemearenaren 7 halako da. Zenbat urte ditu bakoitzak?
Fernando: x. Aita: y. 2. ekuazioan bakandu eta 1. ekuazioan ordezkatuz:
x + 7x = 40 → x = 5. Eta ordezkatuz: y = 35. Fernando: 5 urte. Aita: 35 urte.
Azterketan, 10 galderari erantzun diet. Erantzun zuzenek bi puntu batzen dituzte,eta okerrek, bat kentzen. 8 puntu lortu ditut; zenbat erantzun zuzen eman ditut?
Zuzen: x. Oker: y. 1. ekuazioan x bakanduz:
x = 10 − y, eta 2.ean ordezkatuz: 20 − 2y − y = 8 → y = 4. Eta ordezkatuz: x = 6. Zuzen: 6. Oker: 4.
Hotel batean 120 gela daude, banakoak eta bikoitzak kontuan hartuta. Ohe kopurua guztira 195 bada, zenbat gela bikoitz ditu hotelak?Eta zenbat banako gela?
Bikoitzak: x. Banakoak: y. 1.ean x bakanduz: x = 120 − y
2.ean ordezkatuz: 240 − 2y + y = 195 → y = 45. Eta ordezkatuz: x = 75. Bikoitzak: 75. Banakoak: 45.
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1202 195
025
x yx y+ =
− =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
102 8
024
x yy x
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
407
023
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = −43x + 3y = +9
5x + 3y = +5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 3y = 812x + 3y = 31
022
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→ →4 2
34 2 3
( )x yx y
−= − =2
32 4
2 4
x yx y
x y
−+ − =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
23
2 4
2 4
x yx y
x y
− + − =
− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
021
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 149
150
Pertsona bakoitzak 5 pastel jaten baditu, 3 pastel daude sobera; 6 janez gero,ordea, 1 falta da. Zenbat pertsona eta zenbat pastel daude?
x = pertsona kopurua eta y = pastel kopurua.
2. ekuazioan ebatziz: y = 6 ⋅ 4 − 1 = 23.
4 pertsona eta 23 pastel daude.
ARIKETAK
x = 1 eta y = 2 ekuazio hauen ebazpen al dira?
a) 3x + 2y = 7 c) 2x − y = 0b) x + 3 = y d) x + 1 = 7
a) 3 + 6 � 7. Ez. c) 2 − 2 = 0. Bai.
b) 1 + 3 � 2. Ez. d) 2 + 1 � 7. Ez.
2x + 3y = 15 ekuazioaren balio-taula beheko hau da.
Eman ekuazio horren ebazpen batzuk eta adierazi beste ebazpenen bataurkitzeko prozedura bat.
Beste ebazpen batzuk: (9, −1) eta (12, −3). Prozedura: bi ezezagunetako bat bakandu eta besteari balioak ematea; hala, ebazpen pareak lortzen dira.
Egin ebazpen-taula bat ekuazio hauetarako. Hartu −2, −1, 0, 1 eta 2 balioak x aldagaiaren baliotzat.
a) y = x + 5 c) y = 3 − xb) x + y = 4 d) x = 5 + y
a) y = x + 5
b) x + y = 4 → y = 4 − x
c) y = 3 − x
d) x = 5 + y → y = x − 5
029●
028●
027●
5x + 3 = 6x − 1 →−x = −4 → x = 4
→→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3 = y6x − 1 = y
→→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x = y − 36x = y + 1
026
Ekuazio-sistemak
x 6 3 0 −3 −6y 1 3 5 7 9
x −2 −1 0 1 2y 3 4 5 6 7
x −2 −1 0 1 2y 6 5 4 3 2
x −2 −1 0 1 2y 5 4 3 2 1
x −2 −1 0 1 2y −7 −6 −5 −4 −3
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 150
151
5
Adierazi planoan, aurreko ariketako ekuazio bakoitzerako, lortu dituzun zenbaki pareak eta aztertu haien adierazpenak zuzen bati dagozkion.
a) c)
b) d)
Osatu balio-taula bat ekuazio bakoitzerako eta adierazi ebazpen batzuk.
a) 3x + 2y = 18 d) 2x − 5y = 12b) x − 3y = 20 e) 3x + y = 24c) x − 7 = y f) y = 2x − 1
a)
Ebazpenak: (0, 9), (2, 6)…
b)
Ebazpenak: (−1, −7), (2, −6)...
c)
Ebazpenak: (0, −7), (2, −5)...
d)
Ebazpenak: (−4, −4), (1, −2)...
e)
Ebazpenak: (0, 24), (2, 18)...
f)
Ebazpenak: (0, −1), (2, 3)...
031●
030●
ERANTZUNAK
x 0 2 4 6y 9 6 3 0
x −1 2 5 8y −7 −6 −5 −4
x 0 2 4 6y −7 −5 −3 −1
x −4 1 6 11y −4 −2 0 2
x 0 2 4 6y 24 18 12 6
x 0 2 4 6y −1 3 7 11
Y
X
x + y = 4
y = x + 5
y = 3 − x
x = 5 + y
Y
X
Y
X
Y
X
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 151
152
Osatu balio-taula bat sistemaren ekuazio bakoitzerako.
Zure ustez, ba al dago bi tauletan agertzen den x-ren eta y-ren balio parerik?
x + y = 5
x − 2y = 2
(4, 1) parea bi tauletan agertzen da.
Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, ebazpenetako bat atal bakoitzeko balioparea izango duena:
a) x = 3, y = 0 c) x = 2, y = 3b) x = 0, y = −1 d) x = −1, y = −5
a) x − y = 3 c) 2x − y = 1
b) 5x + y = −1 d) 5x − y = 0
Idatzi bi ezezaguneko bi ekuazio lineal, ebazpena x = 3, y = 2 dutenak.Ondoren, adierazi grafikoki bi ekuazio horiek. Zer ikusten duzu?
→ x − 1 = 2x − 4 → x = 3
1. ekuazioan ordezkatuz: 3 − y = 1 → 3 − 1 = y → y = 2.
x − y = 1 2x − y = 4
Bi zuzenek (3, 2) puntuan ebakitzen dute elkar; hori da sistemaren ebazpena.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 1 = y2x − 4 = y
→→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − y = 12x − y = 4
034●●
033●●
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0 52 2
032●
Ekuazio-sistemak
x 0 2 4 6y 5 3 1 −1
x 0 2 4 6y −1 0 1 2
x y01
−10
x y20
0−4
x − y = 1
2x − y = 4
Y
X
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 152
153
5
Adierazi sistema hauen koefizienteak eta gai askeak.
a) b) c) d)
a) → a' = 1 b' = 1 c' = 5a' = 1 b' = 2 c' = 6
b) → a' = 1 b' = 3 c' = 5a' = 1 b' = −1 c' = 1
c) → a' = 1 b' = −2 c' = 1a' = 2 b' = 1 c' = 7
d) → a' = 5 b' = −3 c' = 1a' = 4 b' = 1 c' = 11
Beheko balio pareetatik zein da sistemaren ebazpena?
a) (1, 5) c) (2, 3)b) (5, 1) d) (0, 0)
Ebazpena b) aukera da: (5, 1).
Sistema hau izanik:
aztertu beheko balio pare hauetatik baten bat ebazpenaduen sistema horrek.
a) x = 2, y = 4 c) x = 1, y = 1
b) x = 4, y = −1 d) x = 0,
a) 6 − 4 = 2 y 4 + 12 � 5. Ez da 2. ekuazioaren ebazpena.
b) 12 + 1 � 2 y 8 − 3 = 5. Ez da 1. ekuazioaren ebazpena.
c) 3 − 1 = 2 y 2 + 3 = 5. Sistemaren ebazpena da.
d) 0,5 � 2 y −1,5 � 5. Ez da sistemaren ebazpena.
Sistema batek x = 2, y = −1 balio parea du ebazpen, eta sistema osatzen dutenekuazioetako bat 2x − y = 5. Zein da bestea?
a) 4x − 2y = 6 c) −x + 2y = 5b) 4x − 2y = 5 d) −x + 2y = −4
Beste ekuazioa d) aukerakoa da: −x + 2y = −4.
Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, ebazpenen artean, x = 1, y = −2izango duena, besteak beste. Erabili ekuazioa balio pare hori ebazpen izangoduen ekuazio-sistema bat zehazteko.
Ekuazioak batuko ditugu.
→ x = 1 1 − y = 3 → y = −2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 1x − y = 3
4x − y = 4
039●●
038●●
y = − 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 22x + 3y = 5
037●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 133x − 4y = 11
036●
5 3 14 11
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 12 7
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 51
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
52 6
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 114x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 12x + 2y = 7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 5x − 3y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = 5x + 2y = 6
035●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 27/9/07 17:50 Página 153
154
Kalkulatu sistema bakoitzaren ebazpena. Horretarako, erabili sistema osatzenduten ekuazioen balio-taulak.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) x − y = 1 ekuazioaren ebazpenak: 2x − y = 4-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 3, y = 2.
b) x + y = 2 ekuazioaren ebazpenak: 2x − 3y = 9-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 3, y = −1.
c) x − 2y = 1 ekuazioaren ebazpenak: 2x + y = 7-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 3, y = 1.
d) 2x + y = 7 ekuazioaren ebazpenak: x − 3y = 0-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 3, y = 1.
e) 2x + y = 13 ekuazioaren ebazpenak: x − y = 2-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 5, y = 3.
f) −x + 2y = 2 ekuazioaren ebazpenak: 3x − 4y = −2-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 2, y = 2.
g) 5x − 3y = 1 ekuazioaren ebazpenak: 4x + y = 11-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 2, y = 3.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−x + 2y = −23x − 4y = −2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 12x + 0y = 7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3y = 163x − 3y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 13x − y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 22x − 3y = 9
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 114x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 7x − 3y = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − y = 12x − y = 4
040●●
Ekuazio-sistemak
xy
0−1
10
21
32
xy
0−4
1−2
20
32
xy
02
11
20
3−1
xy
0−3
1−7/3
2−5/3
3−1
xy
0−1/2
10
21/2
31
xy
07
15
23
31
xy
07
15
23
31
xy
00
11/3
22/3
31
xy
013
111
29
37
45
53
xy
0−2
1−1
20
31
42
53
xy
01
13/2
22
xy
01/2
15/4
22
xy
0−1/3
14/3
23
xy
011
17
23
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 154
155
5
h) 5x + 3y = 16 ekuazioaren ebazpenak: 3x − 3y = 0-ren ebazpenak:
Sistemaren ebazpena: x = 2, y = 2.
Ebatzi grafikoki ekuazio-sistema hauek eta adierazi zer motatakoak diren.
a) c)
b) d)
a) x + y = 2 2x − y = 1
Sistemaren ebazpena: x = 1, y = 1.Sistema bateragarri mugatua.
b) 2x + y = 2 6x + 3y = 6
Bi zuzenak bat datoz. Sistema bateragarri mugagabea: infinitu ebazpen ditu.
c) x + 3y = 5 3x − 4y = 2
Bi zuzenen ebakidura-puntua: (2, 1). Sistema bateragarri mugatua.
d) x + 2y = 4 2x + 4y = 5
Bi zuzenak paraleloak dira, ez dute elkar ebakitzen. Sistema bateraezina.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 2y = 42x + 4y = 5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 26x + 3y = 6
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 53x − 4y = 2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 22x − y = 1
041●
ERANTZUNAK
xy
016/3
111/3
22
xy
00
11
22
x y01
20
x y01
20
x y25
10
x y0
2/3−1/2
0
x y04
20
x y0
5/25/40
x y02
20
x y01
−11
2x − y = 1
x + y = 2
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
2x + y = 2
6x + 3y = 6
x + 3y = 5
3x − 4y = 2
x + 2y = 4
2x + 4y = 5
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 155
156
Zehaztu zer ekuazio-sistema mota den adierazita dagoena.
a) c)
b) d)
a) Sistema bateragarri mugatua: ebazpen bat.
b) Sistema bateraezina: ebazpenik ez.
c) Sistema bateragarri mugugabea: infinitu ebazpen.
d) Sistema bateraezina: ebazpenik ez.
Ebatzi grafikoki sistema hauek.
a) b)
Zer baiezta daiteke?
a) x + y = 2 x − y = 2
Ebazpena: (2, 0).
b) 2x + 3y = 4 x − 2y = 2
Ebazpena: (2, 0).
Esan daiteke ebazpen bera dutela: x = 2, y = 0. Sistema baliokideak dira.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 4x − 2y = 2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 2x − y = 2
043●
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
042●●
Ekuazio-sistemak
x y01
21
x y02
−20
x y20
04/3
x y20
0−1
Y
X
Y
X
x + y = 2
x − y = 2
2x + 3y = 4
x − 2y = 2
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 156
157
5
Ebatzi grafikoki sistema hauek eta sailkatu, ebazpen kopurua kontuan hartuta.
a) c)
b) d)
a) 2x − y = −4
−x + 3y = −3
Ebazpena (−3, −2) da: sistema bateragarri mugatua.
b) x + 3y = 6
2x + 6y = 12
Ebazpena zuzen osoa da; infinitu ebazpen ditu: sistema bateragarrimugagabea.
c) 2x − y = 8
4x − 2y = 10
Ez du ebazpenik: sistema bateraezina.
d) x − 2y = 0
x + 2y = 0
Ebazpena (0, 0) da: sistema bateragarri mugatua.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 0x + 2y = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + 3y = 362x + 6y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 384x − 2y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = −4−x + 3y = −3
044●
ERANTZUNAK
x −6 −3 0 3y −8 −2 4 10
x −6 −3 0 3y −3 −2 −1 0
x −3 0 3 6y 3 2 1 0
x −3 0 3 6y 3 2 1 0
x −2 0 2 4y −12 −8 −4 0
x −2 0 2 4y −1 0 1 2
x −2 0 2 4y −9 −5 −1 3
x −2 0 2 4y 1 0 −1 −2
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 157
158
Zenbat ebazpen dituzte sistema hauek?
a) b)
a) 4x − 3y = 5
8x − 6y = 10
Ebazpena zuzen osoa da; infinitu ebazpen ditu: sistema bateragarrimugagabea.
b) 2x + 3y = 5
2x + 3y = 35
Ez du ebazpenik: sistema bateraezina.
Aztertu sistema hauek bateraezinak ala bateragarriak diren, eta bateragarriakbadira, ebazpen bakarra duten.
a) b)
a) → Bi ekuazioak bat datoz;
sistema bateragarri mugagabea da. Infinitu ebazpen.
b)
→ Berdintza okerra da; beraz, sistema bateraezina da.
Ebazpen berak al dituzte sistema hauek?
a) b)
Ebazpen berak dituzte; izan ere, bigarren sistemako ekuazioak sinplifikatuz,lehenengoko ekuazioak lortzen dira.
3 2 82 3 14
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
: 2⎯⎯→: (−3)⎯⎯→
6 4 166 9 42
x yx y+ =
− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6x + 4y = −16−6x + 9y = −42
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 2y = 282x − 3y = 14
047●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6x − 2y = 106x − 2y = 18
0 = 12
⋅ 2⎯→3 56 2 8
2x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4 6 104 6 10
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅ 2⎯→2 3 54 6 10
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 56x − 2y = 8
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 254x + 6y = 10
046●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 252x + 3y = 35
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 3y = 258x − 6y = 10
045●
Ekuazio-sistemak
x 1/2 2 5y −1 1 5
x 1/2 2 5y −1 1 5
x −5 −2 1y 5 3 1
x 1 4 7y 11 9 7
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 158
159
5
Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, 3x − 2y = 4 ekuazioarekin sistemaosatzean ebazpen kopuru hau izango duena:
a) Ebazpen bakarra. b) Infinitu ebazpen. c) Ebazpenik ez.
a) b) c)
Idatzi ebazpen hauek izango dituen ekuazio-sistema bat:
a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = −3
a) b)
Adierazi sistema hauen ebazpen kopurua, ebatzi gabe eta ekuazioetatik abiatuta.
a) c)
b) d)
a) Bateragarri mugatua. c) Bateraezina.
b) Bateraezina. d) Bateragarri mugatua.
051
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 2y = 1x − 8y = 5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 4y = 86x + 8y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 10y = 4x + 5y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − y = 5x + y = 1
050●●
x yx y
− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 1012
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
31
049●●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 49x − 6y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 49x − 6y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = 42x + 3y = 1
048●●
EGIN HONELA
NOLA LORTZEN DA EZEZAGUN BATEK KOEFIZIENTE BERA IZATEA BI EKUAZIOTAN?
Eraldatu sistema hau, x ezezagunak koefiziente bera izan dezan bi ekuazioetan.
LEHENA. Koefiziente bera izatea nahi dugun aldagaiaren koefizienteen m.k.t. kalkulatuko dugu.
m.k.t. (24, 18) = 72
BIGARRENA. m.k.t. koefiziente bakoitzaz zatitu eta ekuazioa emaitzaz biderkatukodugu.
Lehen ekuazioa:
3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) → 72x + 39y = 240
Bigarren ekuazioa:
4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) → 72x − 28y = 360
Sistema baliokidea hau izango da:⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
72x + 39y = 24072x − 28y = 360
m.k.t.
koefizientea= =
72
18
m.k.t.
koefizientea= =
72
24
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
24x + 13y = 8018x − 7y = 90
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 159
160
Sistema hau izanik:
idatzi sistema baliokideak, baldintza hauek beteta:a) x-k koefiziente bera izatea bi ekuazioetan.b) y-k koefiziente bera izatea bi ekuazioetan.c) Gai aske bera izatea bi ekuazioetan.
a) 2. ekuazioa 7z biderkatuz:
b) 1. ekuazioa 3z eta 2.a −2z biderkatuz:
c) 1. ekuazioa 17z eta 2.a 4z biderkatuz:
Idatzi sistema baliokide bat, izendatzailerik gabeko ekuazioz osatua.
1. ekuazioa bider m.k.t. (2, 5) = 10 eginez eta 2.a bider m.k.t. (2, 3) = 6:
Osatu sistemak, lehenak x = 2, y = −3 ebazpena izan dezan, eta bigarrenak,berriz, x = −3, y = 2.
a) b)
Aldagaien ordez ebazpena idatziz, ekuazioak bete behar dira.
a) b)
Osatu sistemak, lehena bateragarria izan dadin, eta bigarrena, berriz, bateraezina.
a) b)
a) Edozein baliok balioko du, betiere 2. ekuazioan x-ren koefizientea ez bada −3 eta 1. ekuazioko gai askea ez bada −6.
b)edo
2. ekuazioko gai askea
6 ez den edozein zenbaki izan daiteke, lehenengo sisteman, eta 3 ez denedozein zenbaki, bigarrenean.
2 2 32 2 5
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =+ = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 32 4 7
3 2 82 73
x yx y− =+ = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
�x + 2y = 32x + �y = �
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 2y = ��x + 2y = 6
055●●●
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 82 72x y
x y3 5 217 4 2
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2x + �y = 8�x − 2y = −7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x − 5y = ��x + 4y = 2
054●●●
5 2 504 3 6
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x y
x y2 5
5
23 2
1
+ =
− = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
053●●●
119 34 684 12 68
x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
21 6 122 6 34
x yx y− =
− − = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7 2 47 21 119
1 11x yx y− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x − 2y = 04x + 3y = 17
052●●
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 160
161
5
Osatu sistema hauek, lehena bateragarri mugatua izan dadin, eta bigarrena,berriz, bateragarri mugagabea.
a) b)
a) b)
Idatzi ebazpena x = 1, y = 2 izango duten hiru sistema, baldintza hauek beteta:
a) Lehenean, koefizienteak 1 edo −1 izatea.b) Bigarrenean, x-ren koefizienteak y-ren koefizienteen erdia edo bikoitza izatea.c) Hirugarrenean, x-ren eta y-ren koefizienteak zatikiak izatea.
a)
b)
c)
Ebatzi, ordezkatze-metodoari jarraiki.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a)→ y = 1 − x
1. ekuazioan ordezkatuko dugu:3x + 5(1 − x) = 1 → 3x + 5 − 5x = 1 → −2x = −4 → x = 2
y kalkulatuko dugu → y = 1 − x = 1 − 2 = −1.
b)→ 2y = 7 − 3x →
1. ekuazioan ordezkatuko dugu:
7x + 28 − 12x = 23 → −5x = −5 → x = 1
y kalkulatuko dugu → .y x= − = − ⋅ =7
2
3
2
7
2
3
21 2
7 87
2
3
223x x+ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = →
y x= −7
2
3
2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x + 8y = 233x + 2y = 7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 1x + 5y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 12−x − y = −7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 0y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 207x + 4y = 39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 3y = −3x + 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x + 8y = 233x + 2y = 07
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 014x + 0y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 1x + 5y = 1
058●
x y
x y3 3
1
5
2
51
+ =
+ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
222 5
2 4x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
31
057●●●
2 5 102 4 6 12
x yx y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪,
− − =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 5 12 2 6
x yx y
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + �y = 10�x −�y = 12
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
�x − 5y = �2x + �y = 6
056●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 161
162
c)→ y = 4 − 5x
1. ekuazioan ordezkatuko dugu:
2x − 3(4 − 5x) = 5 → 2x − 12 + 15x = 5 → 17x = 17 → x = 1
y kalkulatuko dugu:
y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1
d)→ y = 11 − 4x
1. ekuazioan ordezkatuko dugu:
5x − 3(11 − 4x) = 1 → 5x − 33 + 12x = 1 → 17x = 34 → x = 2
y kalkulatuko dugu:
y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3
e) → −y = −3 − 4x → y = 3 + 4x
2. ekuazioan ordezkatuko dugu:
x + 3(3 + 4x) = −4 → x + 9 + 12x = −4 → 13x = −13 → x = −1
y kalkulatuko dugu:
y = 3 + 4x = 3 + 4 ⋅ (−1) = −1
f)→ −y = −7 + x → y = 7 − x
1. ekuazioan ordezkatuko dugu:
2x + (7 − x) = 12 → 2x + 7 − x = 12 → 2x − x = 12 − 7 → x = 5
y kalkulatuko dugu:
y = 7 − x = 7 − 5 = 2
g) → y = 10 − 3x
2. ekuazioan ordezkatuko dugu:
2x − (10 − 3x) = 10 → 2x − 10 + 3x = 10 → 5x = 20 → x = 4
y kalkulatuko dugu:
y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2
h) → 5y = 20 − 3x →
2. ekuazioan ordezkatuko dugu:
y kalkulatuko dugu → .y = − ⋅ = − =43
55 4 3 1
→ →23
539 16
5 23
235x x= − =
⋅=
7 4 43
539 7 16
12
539x x x x+ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + − =→ →
y x= −43
5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 207x + 4y = 39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + y = 12−x − y = −7
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − y = −3x + 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 14x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 3y = 4
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 162
163
5
Ebatzi ekuazio-sistema hauek, berdintze-metodoari jarraituta.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) → 5y = 1 − 3x → y = 1 − x
Berdinduz:
y kalkulatuko dugu → y = 1 − x = 1 − 2 = −1.
b)
Berdinduz:
→ 69 − 49 = −14y + 24y → 20 = 10y → y = 2
x kalkulatuko dugu → .
c) → −3y = 5 − 2x → y = 4 − 5x
Berdinduz:
y kalkulatuko dugu → y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1.
d) → 4x + 3 = y→ 3y = −x − 4
Berdinduz:
y kalkulatuko dugu → y = 4x + 3 = 4 ⋅ (−1) + 3 = −1.
e) → y = 10 − 3x→ 2x − 10 = y
Berdinduz: 10 − 3x = 2x − 10 → 20 = 5x → x = 4.y kalkulatuko dugu → y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
→ →13
3
13
31
xx= − = −
4 33
4
34
3
4
33x
xx
x+ = − − + = − −→ →
→ yx
= − −3
4
3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 3y = −34x + 3y = −4
→ →17
3
17
31x x= =
− + = − + = +5
3
2
34 5
2
35 4
5
3x x x x→ →
→ y x= − +5
3
2
3⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 3y = 4
x y= − = − ⋅ =−
=7
3
2
3
7
3
2
32
7 4
31
→ →2123
721
7
321
2
321
8
7⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅y y
23
7
8
7
7
3
2
3
23
7
7
3
2
3
8
7− = − − = − +y y y y→ →
→ →3 7 27
3
2
3x y x y= − = −
→ →7 23 823
7
8
7x y x y= − = −⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
7x + 8y = 23
3x + 2y = 7
1
5
3
51
3
51
1
5
2
5
4
52− = − − = − = =x x x x x x→ → → .
→ y x= −1
5
3
5⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 13x + 5y = 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 114x + 3y = 11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 55x + 0y = 4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 207x + 4y = 39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + y = 102x − y = 10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7x + 8y = 233x + 2y = 07
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3y = 163x − 3y = 00
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x − 0y = −30x + 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 5y = 1x + 5y = 1
059●
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 163
164
f) → 5x − 1 = 3y→ y = 11 − 4x
Berdinduz:
17x = 34 → x = 2
y kalkulatuko dugu → y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3.
g) → 3y = 16 − 5x → 3x = 3y → y = x
Berdinduz:
→ 16 = 8x → x = 2
y kalkulatuko dugu → y = x = 2.
h)
Berdinduz:
→ 35x − 12x = 195 − 80 → 23x = 115 → x = 5
y kalkulatuko dugu → .
Ebatzi, egokiena deritzozun metodoari jarraituta.
a) c)
b) d)
a) → →
1. ekuazioa ken 2.a eginez: −4y = −8 → y = 2.
Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 3 ⋅ 2 − 2x = 0 → 6 = 2x → x = 3.
b) → →
Bi ekuazioak batuko ditugu: −8y = −16 → y = 2.
Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: x − 3 ⋅ 2 = −4 → x = −4 + 6 = 2.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−x − 5y = −12x − 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−5y + 10 = x − 2x − 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−5(y − 2) = x − 2x − 3y = −4
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2x − 3y = −8−2x + 3y = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2x + 4 = y − 43y − 2x = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2(x − 2) = y − 43y − 2x = 0
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + 2) − 7(x + y) = 155(x + 1) − y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= x − 2= −4
−5(y − 2)x − 3y
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + y) − x + 2y = 15−2x − (y + 8) = −11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−2(x − 2) = y − 43y − 2x = 0
060●●
y x= − = − ⋅ = − =43
54
3
55 4 3 1
→ →207
420
3
520
39
420 4⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅x x
43
5
39
4
7
4
7
4
3
5
39
44− = − − = −x x x x→ →
→ →4 39 739
4
7
4y x y x= − = −
→ →5 20 3 43
5y x y x= − = −⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
3x + 5y = 20
7x + 4y = 39
16
3
5
3
16
3
5
3
16
3
8
3− = = + =x x x x x→ → →
→ y x= −16
3
5
3⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x + 3y = 163x − 3y = 0
→ →17
3
34
3x =
5
3
1
311 4
5
34 11
1
3x x x x− = − + = +→ →
→ y x= −5
3
1
3⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5x − 3y = 14x + y = 11
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 164
165
5
c) → →
Bi ekuazioen kenketa egingo dugu:
6y = 18 → y = 3
Eta 2. ekuazioan ordezkatuz:
2x − 3 = −3 → 2x = 0 → x = 0
d) →
Eta 2. ekuazioan bakanduz:
061
564
399
320
399
320 351
39
31
39⋅ − = − = =
−= −y y y→ →
→ x =64
39
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−4x − 7y = 6−1−35x + 7y = −63
−39x = −64
2.a ⋅ (−7)⎯⎯⎯⎯→batuz
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−4x − 7y = −1−5x − 7y = 9
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 6 − 7x − 7y = 515x + 5 − y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + 2) − 7(x + y) = 515(x + 1) − y = 14
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 5y = 152x − 5y = −3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 3y − x + 2y = 15−2x − y − 8 = −11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3(x + y) − x + 2y = 15−2x − (y + 8) = −11
EGIN HONELA
NOLA EZABATZEN DIRA PARENTESIAK ETA IZENDATZAILEAK SISTEMA BATEAN?
Ebatzi sistema hau:
LEHENA. Izendatzaileak ezabatzea.
Ekuazio bakoitzean izendatzaileen m.k.t. kalkulatuko dugu, eta hartaz biderkatukoditugu ekuazioaren bi atalak.
Lehen ekuazioa: m.k.t. (2, 4, 2) = 4
4 2x + 3y = 2
Bigarren ekuazioa: m.k.t. (2, 9) = 18
18 = 18 ⋅ (−10) → 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180
BIGARRENA. Parentesiak kentzea.
9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 → 54x − 54 − 6y − 6 = −180
HIRUGARRENA. Ezezagunak atal batera pasatzea, eta ezezagunik gabekoak, bestera.
54x − 54 − 6y − 6 = −180 → 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120
Parentesirik eta izendatzailerik gabe, sistema da:
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 29x − y = −20
SinplifikatutaF
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 3y = 254x − 6y = −120
3 2 2
2
3 1
9
( ) ( )x y−−
+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
x y
2
3
44
1
2+
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ = ⋅ →
x
x
y
y2
3 2 22
34
3 19
12
10
+
− −
=
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( ) ( )
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 165
166
Ebatzi, egokiena deritzozun metodoari jarraituta.
a)
b)
a)
→
→ x = 1
2. ekuazioan ordezkatuz:
5 ⋅ 1 + 3y = −1 → 3y = −6 → y = −2
b)
→ −6x = −90 → x = 15
1. ekuazioan ordezkatuz:
Ezabatu parentesiak eta izendatzaileak sistema hauetan.
a) b)
a) 1. ekuazioa 2z biderkatuko dugu, eta 2.a, 21ez:
b) 1. ekuazioa 10ez biderkatuko dugu, eta 2.a, 6z:
→ − − =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪−
10 2 85 14 14
1 11
x yx y
10 1 2 1 5 155 1 7 2 1 12
( ) ( )( ) ( )− − − − =+ + − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
→→ →10 10 2 2 5 155 5 14 7 12− − + − =
+ + − =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
→ x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 015 14 29
x yx y
x yx
+ =+ − + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =+
015 1 14 2 42
015 15( ) ( )
→−− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪14 28 42y
→
3 13
15
12
32
5 1 7 2 16
2
( ) ( )
( ) ( )
− − − − =
+ + − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪x y
x y⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
x
x
y
y2
5 17
20
2 23
2
+
+ −
=
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( ) ( )
063●●●
15
3 21
21 5 6 12− = − − = − − = − =
y yy→ →
kenduz⎯⎯⎯⎯→
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
2x − 3y = −6
8x − 3y = 84
x y
x y
x y
3 21
2
3 47
63
62
6
1
− = −
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⋅ − ⋅ = −→
222
312
484⋅ − ⋅ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
x y→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12x − 6y = 2410x + 6y = −2
22x = 22
2.a ⋅ 2⎯⎯⎯→batuz
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12x − 6y = 2415x + 3y = −1
3
3
2
42
3 5 1
123
312
2
42
x y
y x
x y− =
+ = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⋅ − ⋅ = ⋅→ 112
5 3 1x y+ = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
→
x y
x y3 2
1
23 4
7
− = −
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
33
24
2
3 5 1
x y
y x
− =
+ = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
062●●
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 166
167
5
Ebatzi sistema hauek, berdintze-metodoari jarraituta.
a) b) c)
a) Izendatzaileak ezabatuta:
1. ekuazioan y bakanduko dugu: , eta 2.ean: ;
berdinduz: . Eta ordezkatuz: y = 8.
b) Izendatzaileak ezabatuta:
1. ekuazioan x bakanduko dugu: x = 10 − 5y, eta 2.ean: ;
berdinduz: . Eta ordezkatuz: .
c) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioan y bakanduko dugu:
y = x + 3 eta 2.ean: y = 4x; eta berdinduz: x + 3 = 4x → x = 1, y = 4.
Ebatzi sistema hauek, laburtze-metodoari jarraituta.
a) c)
b)
a) Izendatzaileak ezabatuta: Batuketa eginda: 4x = 32 →
→ x = 8, eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 8 − 2y = −4 → y = 6.
b) Izendatzaileak ezabatuta:
Kenketa egin: −x = 1 , x = −1, eta 1. ekuazioan ordezkatuz: −1 − y = −1 → y = 0.
c) Izendatzaileak ezabatuta:
1. ekuazioa −2z biderkatuz:
Biak batuz: −13y = −13, y = 1, eta 1. ekuazioan ordezkatuz: x + 5 = 10 → x = 5.
− − = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 10 202 3 71
x yx y
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 102 3 7
x yx y
x yx y
− − =− − − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −− = −
⎫⎬⎪⎪2 1
2 2 2 61
2 2→
⎭⎭⎪⎪
3 2 362 4
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x
x
y
y2
2 13
22
12
26
1
−
− −
+ =
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( )
x
x
y
y5
2
2
3 7
+
−
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
x
x
y
y2 3
6
2 4
+
−
=
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
065●●●
x yx y− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
34 0
x =5
710 5
7 3
2
13
7− =
−=y
yy→
xy
=−7 3
2
x yx y+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 102 3 7
36 3
2
4
28
−=
+=
x xx→
yx
=+ 4
2y
x=
−36 3
2
3 2 362 4
x yx y+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x
x
y
y5
2
2
3 7
+
−
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
x
x
y
y2
2 13
22
12
26
1
−
− −
+ =
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪( )
x
x
y
y2 3
6
2 4
+
−
=
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
064●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 167
168
Ebatzi, metodorik egokienari jarraituta.
a)
b)
c)
a)Batu egingo ditugu: 3x = 0 → x = 0.
1. ekuazioan ordezkatuz: y = 0.
b)1. ekuazioa 5ez eta 2.a −2z biderkatuz:
Batu egingo ditugu: 23y = 0 → y = 0.
1. ekuazioan ordezkatuz: 2x = 2 → x = 1.
c) Izendatzaileak ezabatuta: Batuz: 4x = 7 →
1. ekuazioan ordezkatuz: .
d) Izendatzaileak ezabatuta:
1. ekuazioan x bakanduko dugu: .
2. ekuazioan ordezkatuz:
15y − 10 − 28y = −146 →→ −13y = −136 →
Ordezkatuz: .
e) Izendatzaileak ezabatuta:
1. ekuazioa −2z biderkatuz:
Bien batuketa eginez: .
2. ekuazioan ordezkatuz: .2057
715
12
35x x+ = =→
63 5719
21y y= − =
−→
− + = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
20 72 7220 9 157
x yx y
10 36 3620 9 153
x yx y
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x =191
26
y =136
13
103 2
414 73
yy
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − = − →
xy
=−3 2
4
4 3 210 14 73
1x yx y
− = −− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
y =−3
4
x =7
4
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
13 6
10 15 1010 8 101
x yx y
− =− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3 25 4 5
x yx y
− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02 0
x
x
y
y23
12
0
6
+
−
− =
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x − 3y = 25x + 4y = 5
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 02x − y = 0
066●●●
Ekuazio-sistemak
d)
e) 3 16
15
32
3 110
15
33
( )
( )
x xy
y
xy x
+ − − − + =
− − + = +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
2 15
5 17
3 410
25
12
82
x
x
y
y
+ −
+ −
− =
+ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪( )
⎪⎪
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 168
169
5
Adierazi bi ezezaguneko ekuazioen bitartez.
a) Ogitarteko bat eta freskagarri bat 5 € dira.b) Bi ogitarteko eta hiru freskagarri 15 € dira.c) Ogitartekoa freskagarria baino 1 € garestiago da.d) Ogitarteko bat eta hiru freskagarri 10 €-rekin ordaindu eta 3 € itzuli dizkidate.
Ogitartekoaren prezioa: x.Freskagarriaren prezioa: y.
a) x + y = 5
b) 2x + 3y = 15
c) x = y + 1
d) x + 2y + 3 = 10
068●●
067
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DIRA ENUNTZIATU JAKIN BATZUK, BI EZEZAGUNEKO EKUAZIOEN BITARTEZ?
Adierazi bi ezezaguneko ekuazio gisa.a) Bi zenbakiren batura 50 da.b) Bi neba-arrebak 5 urteren aldea dute adinean.c) Aita batek semearen adinaren bi halako du.d) Zenbaki bat beste bat baino 10 bateko handiagoa da.
LEHENA. Ezezagun bat esleitzea ezagutzen ez dugun datu bakoitzari.
BIGARRENA. Datu ezagunak eta ezezagunak berdintza baten bidez erlazionatzea(ekuazioa).
a) Batura 50 da.x + y = 50
b) Aldea 5 urterena da.x − y = 5
c) Aitak semearen adinaren bikoitza du.x = 2y
d) Bata bestea baino 10 bateko handiagoa.x = y + 10
Ezagutzen ez diren datuak Ezezagunak
Bi zenbaki x, zenbaki baty, beste zenbakia
BI neba-arrebaren adinak x, nagusienaren adinay, gazteenaren adina
Aitaren eta semearen adina x, aitaren adinay, semearen adina
Bi zenbaki x, zenbaki baty, beste zenbakia
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 169
170
Hautatu erantzun egokia.
a) Duela hiru urte, osaba baten adina ilobarenaren hirukoitza zen, baina 5 urtebarru bikoitza baino ez da izango. Hauek dira osabaren eta ilobaren adinak:1. Osaba: 15, iloba: 5. 3. Osaba: 27, iloba: 11.2. Osaba: 35, iloba: 15.
b) Antzoki batean 250 sarrera saldu dira, patioko eta palkoko besaulkiak batuta.Lehenek 15 €-na balio dute, eta bigarrenek, berriz, 30 €-na.Diru-bilketa guztira 4.500 €-koa bada, mota bakoitzetik saldutako sarrerakhauek izan ziren:1. Patioan: 50, palkoan: 250. 3. Patioan: 200, palkoan: 50.2. Patioan: 100, palkoan: 150. 4. Patioan: 125, palkoan: 125.
a) Osaba: x Iloba: y
2. ekuazioan x ordezkatuko dugu: 3y + 5 = 2y + 10 →→ y = 5, x = 15
Ebazpena 1. aukera da. Osaba: 15 urte. Iloba: 5 urte.
b) Patioko besaulkiak: x Palkoko besaulkiak: y
2. ekuazioan x ordezkatuko dugu: 15(250 − y) + 30y = 4.500 →→ 3.750 + 15y = 4.500 → y = 50, x = 200
Ebazpena 3. aukera da. Patioan: 200. Palkoan: 50.
Aurkitu batura 10 eta kendura 6 dituzten bi zenbaki.
Ekuazioak batuz: 2x = 16 → x = 8, y = 2.
Aurkitu laukizuzen baten neurriak, jakinik 60 cm-ko perimetroa duela etaoinarria altueraren bikoitza dela.
2. ekuazioa 1.an ordezkatuz: 4y + 2y = 60 → y = 10, x = 20.
Oinarria: 20 cm. Altuera: 10 cm.
Bi kilo abrikotek eta hiru kilo pikuk 13 € balio dute. Hiru kilo abrikotek eta bi kilo pikuk 12 € balio dute. Zenbat eurotan dago abrikot-kiloa?
Albrikotak: x Pikuak: y
1. ekuazioa 3z eta 2.a −2z biderkatuz:
Ekuazioak batuz: 5y = 15 → y = 3, x = 2. Albrikotak: 2 €/kg. Pikuak: 3 €/kg.
6 9 396 4 24
x yx y
+ =− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3 133 2 12
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
072●●
2 2 602
x yx y
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
071●●
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
106
070●
x yx y
x y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −25015 30 4 500
250.
→
x yx y
=+ = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
35 2 5( )
069●
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 170
171
5
Erosketa bat ordaintzeko, 2 €-ko txanponak eta 5 €-ko billeteak erabili dira. Guztira, txanponak eta billeteak 13 dira, eta 33 € ordaindu dira? Zenbat 2 €-kotxanpon erabili dira? Eta 5 €-ko zenbat billete
Txanponak: x Billeteak: y
1. ekuazioan x bakanduz: x = 13 − y.
Eta 2.ean ordezkatuz: 26 − 2y + 5y = 32 → y = 2, x = 11.
Drogeria batean 3 xaboi-pastilla eta 2 flasko kolonia 12 €-an daude salgai, baieta 4 xaboi-pastilla eta 3 flasko kolonia ere, 17 €-an. Kalkulatu gai bakoitzarenprezioa.
Xaboiaren prezioa: x Flasko koloniaren prezioa: y
1. ekuazioan ordezkatuz: 3 ⋅ 2 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3.
Xaboiak 2 € balio du, eta flasko koloniak, 3 €.
0,26 € eta 0,84 € balio duten zigiluak erosi ditugu. Guztira, 11 zigilu 5,18 €ordaindu ditugu. Zenbat dira 0,26 €-koak? Eta 0,84 €-koak?
0,26 €-ko zigiluak: x 0,84 €-ko zigiluak: y
1. ekuazioan x bakanduz: x = 11 − y.
Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 2,86 − 0,26y + 0,84y = 5,18 → y = 4, x = 7.
0,84 € -ko 7 zigilu eta 0,26 €-ko zigiluak 4 zigilu erosi ditugu.
Urdaiazpiko-ogitartekoak erosi ditugu, 2,80 €-an, eta gazta-ogitartekoak, 2,50 €-an. Guztira, 48 € ordaindu ditugu 18 ogitartekoak. Zenbat urdaiazpiko-ogitarteko erosi dira?
Urdaiazpiko-ogitartekoak: x Gazta-ogitartekoak: y
1. ekuazioan x bakanduz: x =18 − y.
2. ekuazioan ordezkatuz: 50,4 − 2,8y + 2,5y = 48 → y = 8, x = 10.
Urdaiazpikoa: 10 ogitarteko. Gazta: 8 ogitarteko.
Lantegi batean 50 ibilgailu daude, motorrak eta autoak kontatuta. Gurpilkopurua guztira 140 bada, mota bakoitzeko zenbat ibilgailu daude?
Autoak: x Motorrak: y→ x = 50 − y
2. ekuazioan ordezkatuz: 200 − 4y + 2y = 140 → y = 30, x = 20.
Autoak: 20. Motorrak: 30.
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 504 2 140
077●●
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 50 182 80 2 50 48
,, ,
076●●
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0 84 110 26 0 84 5 18
,, , ,
075●●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
9x + 6y = −36−8x − 6y = −34
x =− 32
1.ª ⋅ 3⎯⎯⎯⎯→2.ª ⋅ (−2)
batuz
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3x + 2y = 124x + 3y = 17
074●●
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 132 5 32
073●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 171
172
Lur-sail laukizuzen baten perimetroa 350 m da, eta luzeraren hirukoitzazabaleraren laukoitza da. Zer neurritakoa da lur-sail hori?
Luzera: x Zabalera: y
. 1. ekuazioan y ordezkatuz:
Luzera: 100 m. Zabalera: 75 m.
Josebak Inexari esan dio: «10 disko emango banizkizu, nik hainbeste izangozenituzke». Inexak erantzun dio: «Zuzen zabiltza. 10 disko baino ez zaizkizufalta, nik halako bi izateko». Zenbat disko ditu bakoitzak?
Josebaren diskoak: x Inexaren diskoak: y
→
1. ekuazioan ordezkatuko dugu: x − 10 = 30 + 10 → x = 50.
Josebak 50 disko ditu, eta Inexak, 30.
Autoak alokatzeko enpresa batek bi modelo eskaintzen ditu, bata laueserlekukoa, bestea bostekoa. Egun batean, enpresak 10 auto alokatu ditu; autohorietan 42 pertsonak bidaiatu dute, eta bi eserleku hutsik geratu dira. Motabakoitzeko zenbat auto alokatu zituzten?
Lau eserlekuko autoak: xBost eserlekuko autoak: y
→
2. ekuazioan ordezkatuz:
4x + 5(10 − x) = 44 → 4x + 50 − 5x = 44 → −x = −6 → x = 6
Eta bakanduz: y = 10 − x = 10 − 6 = 4.
Lau eserlekuko 6 auto eta bost eserlekuko 4 auto alokatu zituzten.
Jonek alkandora bat eta praka pare bat erosi ditu. Biak batera, jantzi horiek 60 €-ko prezioa zuten, baina alkandoran % 10eko beherapena eta praketan% 20koa egin diote. Guztira, beraz, 50,15 € ordaindu ditu. Zenbat balio zuenjantzi bakoitzak, beherapena egin aurretik?
Alkandoraren prezioa: a Praka parearen prezioa: p
1. ekuazioan ordezkatuz: p = 60 − a, eta 2. ekuazioan ordezkatuz:
0,9a + 0,8(60 − a) = 50,15 → 0,9a + 48 − 0,8a = 50,15 →→ 0,1a = 2,15 → c = 21,50 €
Eta bakanduz: p = 60 − a = 60 − 21,50 = 38,50 €.
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0,9a + 0,9p = 600,9a + 0,8p = 50,15⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a + p = 60,15a(% 100 − % 10) + p(% 100 − % 20) = 50,15
081●●●
→ y = 10 − x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4x + 5y = 104x + 5y = 44
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x + y = 104x + 5y − 2 = 42
080●●●
Ekuazioen kenketa eginez:−y − (−2y) = 20 − (−10) → y = 30⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 2y = 20x − 2y = −10
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x − 10 = y + 10x + 10 = 2y
079●●
23
2350 7 700 100 75x
xx x y+ = = = =→ → ,
2 2 3503 4
3
4
x yx y y
x+ =
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ =→
078●●
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 172
173
5
12 €/ ¬ eta 15 €/ ¬ balio duten bi likore nahasi dira, eta 50 ¬ likore lortu dira, 13 €/ ¬-an. Zenbat litro nahasi dira likore mota bakoitzetik?
12 €/¬ balio duen likorea: x15 €/¬ balio duen likorea: y
1. ekuazioan x bakanduz:x = 50 − y.
Eta 2. ekuazioan ordezkatuz:
12 €/¬ balio duen likorea: litro. 15 €/¬ balio duen likorea: litro.50
3
100
3
600 12 15 65050
3
100
3− + = = =y y y x→ ,
x yx y
+ =+ = ⋅
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
15 5012 15 50 13
083●●●
082
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA NAHASTEEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIO-SISTEMEN BITARTEZ?
Bi ardo mota nahasi nahi dira (bata 5,20 €/ ¬-koa, eta bestea 6,20 €/ ¬-koa),6 €/ ¬-ko prezioa izango duten 100 ¬ lorzeko. Zenbat litro behar dira mota ba-koitzetik?
LEHENA. Planteamendua.
BIGARRENA. Ebazpena.
Balioa beste ekuazioan ordezkatuko dugu:
5,2(100 − y) + 6,2y = 600 → y = 80
x = 100 − y x = 20
HIRUGARRENA. Egiaztatzea.
Nahasteak A ardotik 20 ¬ eta B ardotik 80 ¬ izango ditu. Nahaste kantitatea 20 + 80 = 100 ¬ izango da.
Eta nahastearen prezioa hau izango da:
6 €5 2 20 6 2 80
100
104 496
100
, ,⋅ + ⋅=
+=
y = 80⎯⎯⎯→
x = 100 − y⎯⎯⎯⎯→
x yx y
x yx
+ =+
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −+
1005 2 6 2
1006
1005 2, , ,
→66 2 600, y =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Litroak Prezioax 5,2xy 6,2y
100 5,2x + 6,2y
x + y = 1005 2 6 2
1006
, ,x y+=
A ardoaB ardoaNahastea
Ekuazioak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 173
174
Zuku-fabrika batean bi kalitate mota nahasi dituzte, litroa 50 zentimokoa bata,eta litroa 80 zentimokoa bestea. Zenbat zuku-litro nahasi behar dira motabakoitzetik, guztira 85,50 € balioko duten 120 litro zuku lortzeko?
0,50 €/¬-ko zukua: x 0,80 €/¬-ko zukua: y
2. ekuazioan ordezkatuz:
0,50x + 0,80(120 − x) = 85,50 → 0,50x + 96 − 0,80x = 85,50 →→ −0,30x = −10,50 → x = 35
Eta bakanduz: y = 120 − x = 120 − 35 = 85.
0,50 €/¬-ko 35 litro zuku eta 0,80 €/¬-ko 85 litro zuku nahasi behar dira.
Nahasi ditugu 40 kg kafe, 10 €/kg balio dutenak, 14 €/kg balio duen bestekantitate batekin. Mota bakoitzetik zenbat kilo erabili ditugu, nahastea 12,80 €/kg-ko prezioan saltzekoa bada?
12 €-ko kafea: xKafe guztia: y
1. ekuazioan y bakanduz: y = 40 + x.
Eta 2. ekuazioan ordezkatuz:
512 + 12,80x − 14x = 400 →
12 €/kg-ko kafea: kg. Kafe guztia: kg.
Ebazpen bakarra duen ekuazio-sistema batean ekuazio bateko gai guztiak bider3 egiten badira:
a) Ebazpen berria hasierakoaren hirukoitza da.b) Ebazpena berdina da.c) Sistema berriak ezin du ebazpenik izan.d) Aurreko hiru aukerak okerrak dira.
b) Ebazpena berdina da, ekuazio bateko gai guztiak kantitate berazbiderkatzen baditugu, lortzen den ekuazioa baliokidea baita; hau da,ebazpen berak ditu.
Bi ekuaziotan ezezagun bera bakantzen badugu, eta behin berdinketaegindakoan, sortu berri den ezezagun bakarreko ekuazioa ebatzi ezin bada,nolakoa da sistema, bateragarria ala bateraezina? Arrazoitu.
Bateraezina da, ezezagun horretarako ez badu ebazpenik, sistemak ezin baitu ebazpenik izan; izan ere, sistemak ebazpena izango balu ebazpenik ez duen ekuazioari ebazpena emango lioke.
087●●●
086●●●
400
3
280
3
x y= =280
3
400
3,
y xy x− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 4012 80 14 400,
085●●●
→ y = 120 − x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
0,50x + 0,50y = 1200,50x + 0,80y = 85,50
084●●●
Ekuazio-sistemak
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 174
175
5
Zenbaki baten bi zifren arteko batura a da,eta haien arteko kendura ere a da. Zer motatakoak dira baldintza hori betetzen duten zenbakiak?
Zifrak x eta y badira:
Ekuazioak batuta: 2x = 2a → x = a.
1. ekuazioan ordezkatuz: y = 0.
Baldintza hori betetzen duten zenbakiak hamarrekoak dira.
Zenbaki baten bi zifren batura 2a da, eta kendura, berriz, a.Zer zenbakik betetzen dute baldintza hori?
Zifrak x eta y badira: Ekuazioak batuta: 2x = 3a →
→ . Eta 1. ekuazioan ordezkatuz: .
a-k bikoitia eta 7 baino txikiagoa izan behar duenez (a = 2, 4, 6), zenbakiak93, 39, 62, 26, 31 eta 13 dira.
ABC triangeluan, BC aldea 8 cm-koa da, eta AH altuera, berriz, 4 cm-koa.Triangelu horren barruan MNPQ laukizuzena marraztu nahi da, P eta Qerpinak BC aldean, M AB aldean eta N, berriz, AC aldean daudela. KalkulatuMN-ren eta MQ-ren luzerak, MNPQ laukizuzenaren perimetroa 12 cm izan dadin
Laukizuzenaren oinarria: x. Laukizuzenaren altuera: y.
ABC eta AMN antzeko triangeluak dira, MN eta AB paraleloak direlako.
AMN triangeluaren oinarria x da, eta altuera, 4 − y.
→
Laukizuzenaren oinarria: MN = 4 cm. Laukizuzenaren altuera: MQ = 2 cm.
→ 8 + 2y = 12 → y = 2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 2y = 128x + 2y = 38
2x + 2y = 14
Kenduz⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2x + 2y = 12x = 8 − 2y
Izendatzaileak ezabatuta⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→2 2 12
8
4
4
x yx y
+ =
=−
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
A
B C
M N
Q H P
090●●●
ya
=2
xa
=3
2
x y ax y a
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2
089●●●
x y ax y a
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
088●●●
AMN
ABC
AMN-ren oinarria
-ren oinarria
-ren al=
ttuera
-ren altueraABC
x→8
4=
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 175
176
EGUNEROKOAN
Xaquin Sevillarantz doa, 17:00 h-etan abiatu den tren batean.
Amak ezer ez ahazteko arreta hartzeko eskatu dion arren, Xaquinek garrantzihandiko zerbait utzi du etxean ahaztuta: nortasun-agiria.
Aurkitu duenean, ama tren-geltokira joan da, geltokiko buruari galdetzera. Honahemen hark esandakoa.
Xaquinen ama Villarrualeko geltokira trena baino lehen iritsiko balitz, semeabilatu eta nortasun-agiria eman liezaioke. Tamalez, dagoeneko 20 minutu pasatudira trena abiatu denetik.
Zure ustez, garaiz irits al daiteke Xaquinen ama tren-geltokira?
Trenak Villarrualera iristeko behar duen denbora: 1 h 11 min 9 s.
Amak behar duena: 41 min 30 s. Baina, irteteko 20 minutuko
atzerapena izan duenez, guztira 1 h 1 min 30 s beharko ditu; beraz, garaizirits daiteke.
Alainek eta Naroak Parisen bi urtez ikasteko beka bat eskuratu dute.
Maletak fakturatzerakoan, Alainek 18 kg eta Naroak 27 kg zeramatzatela ikusi dute.
092●●●
83
120=
83
70=
091●●●
18 kg bagaje daramazu.Ez duzu gainkargarik
ordaindu behar.
Zuk, berriz, 27 kg… 42 € ordaindu beharkodituzu, gainkargagatik.
Ekuazio-sistemak
Trenak geldialdi bakarraegingo du, Villarrualen,hemendik 83 km-ra…
Trenaren batez bestekoabiadura 70 km/h-koa da.Hemendik Villarrualeraautobidea dago, eta zu,
autoz, 120 km/h-koabiaduran joan zaitezke.
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 176
177
5
Bidaiari-hegazkinetan pisu jakina baimentzen da bagaje bakoitzeko; pisu horigaindituz gero, bidaiariak diru kopuru bat ordaindu behar izaten du, gehiegizkokilo bakoitzagatik.
Naroari merkeago irten dakion, maleten fakturazioa egiten ari den hegazkin-laguntzaileak burutazio bat izan du:
Zenbat da bidaiari bakoitzari baimendutako pisua? Zenbat ordaindu behar dagainkargako kilo bakoitzeko?
Baimendutako pisua: x Prezioa kiloko: y
→ y = 6
(27 − x)y = 42 (27 − x)6 = 42 → 27 − x = 7 → x = 20
Baimendutako pisua: 20 kg. Prezioa kiloko: 6 €.
y = 6⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−54y + 2xy = −8445y − 2xy = −30
2−9y + 2xy = −54
⋅ (−2)⎯⎯⎯→27 4245 2 30
2y xyy xy
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
( )[ ( ) ]
27 4227 18 30
27 2− =− − − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =x yx x y
y xy→ 44245 2 30y xy− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
Elkarrekin zoaztenez,eta zure lagunari
gainkargarako hainbatkilo falta zaizkio,bagajeak elkar
ditzakegu; horrela, 30 € soilik ordaindu
beharko dituzu.
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 177
178
Zenbakizkoproportzionaltasuna6
ZUZENA ALDERANTZIZKOA
HIRUKO ERREGELA SINPLEA
ZUZENKIPROPORTZIONALAK
ALDERANTZIZPROPORTZIONALAK
MAGNITUDEAK
ZUZENAK ALDERANTZIZKOAK
BANAKETA PROPORTZIONALAK
INTERES BAKUNA
EHUNEKOAK
PROPORTZIONALTASUNKONPOSATUA
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 178
Historiaren zatitxo bat
Azkenik, Alik lortu zuen Schoene hoteletik ateraraztea, han baitzeramatzan lau egun, begiak liburu hartatik jaso gabe. Tarteka, aldarri egiten zuen Schoenek:
–Miresgarria da! Zoragarria! Hainbat mendez galduta egon da eta neuk aurkitu dut!
Arratsalde hartan, azokan paseatzen zebiltzala, Schoene etengabe ari zen bere azken erosketa goraipatzen. Historiaren puzzlearen txatal bat zela zioen.
–Ali, liburua da froga. –Schoenek zirrara bizian begiratzen zion lagunari–. Heron Alexandriakoaren Matematikako liburu baten itzulpena da, aspaldian galdua, eta jatorrizkoa I. mendean idatzi zuten.
–Nik errealitatea nahiago teoria matematikoak baino –erantzun zuen Alik, lagunaren zirrarari eutsi gabe.
–Oker zabiltza, Ali, liburu hau erabilera praktikoz beteta dago: erro koadro ez-zehatzen hurbilketak egiteko moduak irakasten ditu, poligonoen azalerak eta bolumenak kalkulatzeko metodoak, baita azalerak zati proportzionaletan banatzeko moduak ere... Ezagutza horiek oso baliagarriak ziren I. mendeko Egipton; adibidez, landutako lurren neurriak kalkulatzeko, edo oinordetzak banatzeko.
Nola banatuko zenuke 1.000 m2-ko lur-sail bat bi familiaren artean, bati 7 zati eta besteari 13 badagozkio?
Lur-saila zatituko dugu:
7 + 13 = 20 zatitan → = 50
Zati bakoitza 50 m2-koa da. Beraz:07 zati → 07 ⋅ 50 = 350 m2
13 zati → 13 ⋅ 50 = 650 m2
Familia batek 350 m2 jasoko ditu, eta besteak, 650 m2.
1 00020.
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 179
180
ARIKETAK
Osatu taula hauek, proportzionaltasun zuzenekoak izan daitezen.
9 menuren prezioa 166,50 € bada, zenbat izango da 15 menurena?
92,50 €
Mapa batean, 14 cm-k errealitateko 238 km adierazten dute. Zer luzerakadieraziko ditu 306 km? Mapan 10 cm adierazita badaude, zenbat da errealitatean?
→
⎯→
Egunkari batean iragarkiak jartzeak 10 € balio du 3 testu-lerroko, eta hortikaurrera idatzitako lerro bakoitzeko 3 € gehiago kobratzen dituzte. Egin bimagnitudeen arteko erlazioa islatuko duen taula bat. Proportzionalak al dira.
Taula ez da proportzionala; izan ere, .
Osatu taula hauek, alderantzizko proportzionaltasuna isla dezaten.
Itsasontzi batean, 8 pertsonak 15 egunez bidaiatzeko adina janari daukate. 8 ordez 6 badira, zenbat egunerako janaria izango dute?
Bidaiari kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira, eta beraz:
8 ⋅ 15 = 6 ⋅ x → 20
20 egunerako janaria izango dute.
x =⋅
=8 15
6
006
005
3
10
4
13�
004
x =⋅
=238 10
14170 km
238
14 10=
x
x =⋅
=14 306
23818 cm
238
14
306=
x
003
166 50
5
5 166 50
9
, ,
9= =
⋅=
xx→
002
001
Zenbakizko proportzionaltasuna
2 4 5 8 406 12 15 24 120
1 0,25 3 2,4 85 1,25 15 12 40
1 2 3 4 624 12 8 6 4
10 15 25 12 615 10 6 12,5 25
Lerroak 3 4 5 6Prezioa 10 13 16 19
908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 180
181
6
Sailkatu, proportzionaltasun motari jarraituta.
a) Karratu baten aldea eta perimetroa.b) Langile kopurua eta lan bat egiteko epea.
a) Zuzena; proportzionaltasun-konstatea 4.
b) Alderantzizkoa.
BHI bateko sukaldean 42 € ordaindu dituzte 70 ogi. Zenbat ordainduko zuketen,70 ordez 45 ogi erosi balituzte?
Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu:
27 €
Auto batek 46 euro-zentimo gasolina erretzen ditu 4 km egiten. Zenbat dirurenerregaia beharko du 270 km-ko bidaia egiteko, kontsumo-maila horri eusten badio?
Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu:
31,05 €
Jatetxe batean 15 menuren kostua 120 € izan da. Zenbatean dago menua? 7 pertsona joaten badira bazkaltzera, zenbat ordainduko dute?
Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu:
56 € ordainduko dute
Menuaren prezioa: 8 €.
2,25 m-ko altuera duen zuhaitz batek 2 m-ko itzala egiten du. Zer altuera izangodu ordu berean 188,8 m-ko itzala egiten duen dorre batek?
Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu:
212,4 m-ko altuera
7 langilek kale bat garbitzen igarotzen duten denbora 7 ordu bada, zenbatdenbora beharko dute 5 langilek?
Langile kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira, eta beraz:
7 ⋅ 7 = 5 ⋅ x → 9,8 h = 9 h 48 minx =⋅=
7 7
5
012
x =⋅
=2 25 188 8
2
, ,
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2,25 m-ko altuera ⎯→ 2 m-ko itzalax m-ko altuera ⎯→ 188,8 m-ko itzala
011
120
15
56
7= =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=→ x7 120
15
15 menu ⎯→ 120 €7 menu ⎯⎯→ 1x €
010
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=→ x270 0 46
4
,4 km ⎯⎯→ 0,46 €270 km ⎯→ x €
009
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=→ x45 42
70
70 ogi ⎯→ 42 €45 ogi ⎯→ x €
008
007
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 181
182
Mirentxuk 5 minutu behar izaten ditu etxetik eskolara, gurpil-oholez, 6 km/h-ko batez bestekoabiaduran. Zenbat denbora beharko du oinez joanda, 4 km/h-ko abiaduran badoa?
Abiadura eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. Komeni da minutuak ordu bihurtzea, unitate koherenteak erabiltzeko etaFisikako kontzeptuzko akatsik ez egiteko.
5 min h
→ x = 0,125 ⋅ 60 = 7,5 min
Iturri batek minutuko 6 litro isurtzen ditu, eta 5 ordu behar ditu andel batbetetzen. Minutuko litro bat isuriko balu, zenbat denbora beharko luke?
Emaria, litro/minututan, eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. Unitate koherenteak erabiltzeko, orduak minutu bihurtu behar dira:
5 ordu = 5 ⋅ 60 minutu = 300 minutu
6 ¬/min ⋅ 300 min = 1 ¬/min ⋅ x min → 1.800 min →
Igerileku bat eraikitzen, 10 langilek 16 egunez aritu behar dute lanean. Zenbat aritu ziren lanean, 40 egun behar izan bazituzten?
Langile kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira.
10 langile ⋅ 16 egun = x langile ⋅ 40 egun → 4 langile
Banatu 102 €, hurrenez hurren 3, 2 eta 1 zenbakiekiko zati zuzenki proportzionaletan.
51 €; 34 €; 17 €
Aita batek 99 € banatu ditu seme-alaben artean, zenbaki hauekiko zati zuzenkiproportzionalean: 3, 2/3 eta 11/6. Zenbana dagokie?
€; €; €z =⋅
=11 6 99
33/
5,5y =
⋅=
2 3 9912
/
5,5x
3 9954=
⋅=
5,5
x y z
3 2 3 11 6
99= = =
/ / 5,5
017
z =⋅
=1 102
6y =
⋅=
2 102
6x
3 102
6=
⋅=
x y z
3 2 1
102
6= = =
016
x =⋅
=10 16
40
015
→ x = =1 800
6030
.ordu
x =⋅
=6 300
1
014
65
604
65
604
0 125⋅ = ⋅ =⋅
=x x→ →, h
=5
60
013
Zenbakizko proportzionaltasuna
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 182
183
6
Pantxika andreak bere lurrak banatu ditu biloben artean,adinekiko zati proportzionaletan. Bilobek 8, 12 eta 15urte dituzte. Gazteenari 12 hektarea egokitu bazaizkio,aurkitu banatu den guztizko hektarea kopurua.
Banatu 70, 3 eta 4 zenbakiekiko zati alderantziz proportzionaletan.
3ri dagozkionak: 120 : 3 = 40 zati
4ri dagozkionak: 120 : 4 = 30 zati.
Banatu 1.100, 5 eta 6 zenbakiekiko zati alderantziz proportzionaletan.
5i dagozkionak: 3.000 : 5 = 600
Eta 6ri dagozkionak: 3.000 : 6 = 500
620 € banatu nahi ditut nire iloben artean, haien adinekiko zati alderantzizproportzionaletan. 1, 3 eta 7 urte badituzte, zenbat eman behar diot bakoitzari?
Proportzionaltasun-konstantea hau da:
420 € 140 € 60 €
300 € banatu dira , eta zenbakiekiko zati alderantziz proportzionaletan.
Zein da zenbakiari dagokion zatia?
zenbakiari dagokion zatia: €.k
1
5
20 5 100= ⋅ =1
5
k =+ +
=+ +
= =300
1
1
3
1
1
5
1
1
7
300
3 5 7
300
1520
15
17
15
13
022
z = =420
7y = =
420
3x = =
420
1
k =+ +
=+ +
=⋅
=620
1
1
1
3
1
7
620
21 7 3
21
620 21
31420
021
k =+
= =1 100
1
5
1
6
33 000
113 000
. .. →
020
k =+
= =70
1
3
1
4
840
7120 →
019
12
8 35
12 35
852 5= =
⋅=
GuztizkoaGuztizkoa ha→ ,
12
8 12 15 8 12 15= = =
+ +y z Guztizkoa
( )
018
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 183
184
1.200 banatzen badizkiet 5i eta 6ri proportzioan, eta 6ri 500 eta 5i 700ematen badizkiot, egindako banaketa alderantziz proportzionala izan al da?
Ez, 500 ⋅ 6 = 3.000 baita eta 700 ⋅ 5 = 3.500. Kantitate horiek berdinak izan beharko lukete, eta gainera, proportzionaltasun-konstantearen berdinak.
Zortzi makinak 7 egunean hondeatu dute 1.400 m luze den zanga bat. Zenbat makina beharko dira 300 m-ko zanga 6 egunean hondeatzeko?
Alderant. Zuzena
Hogei langilek 400 m kable luzatu dituzte 6 egunez lan eginda, egunean 8 orduko jardunean. Egunean zenbat ordu egin beharko dituzte 24 langilek, 700 m kable 14 egunean jartzeko?
ordu
24 langileek 5 ordu egingo dituzte egunean, 14 egunez, 700 m kable jartzeko
Ostatu bateko nagusiak 250 €-ko aurrekontua egin duostatu hartuta dauden 18 lagunei 12 egunez jatenemateko. Ostatura beste 6 lagun etorri badira, zenbategunerako iritsiko zaio aurreikusitako diru horrekin?
Alderant.
Aurrekontua aldatuko ez denez, alderantzizko hiruko erregela sinplea da:
18
24 12
18 12
249= =
⋅=
xx→ egun
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
18 lagunentzat ⎯→ 12 egunerako ⎯→ 250 €24 lagunentzat ⎯→ x egunerako ⎯→ 250 €
026
I I D
24
20
14
6
400
700
8 134 400
84 000
8 84 00⋅ ⋅ = = =
x xx→ →.
.
. 00 8
134 4005
⋅=
.
025
6
7
1 400
300
8 8 400
2 100
8 2 100 8
8 400⋅ = = =
⋅. .
.
.
.x xx→ → == 2 makina
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7 egunean ⎯⎯→ 8 makinak ⎯⎯→ 1.400 m-ko zanga6 egunean ⎯⎯→ x makinak ⎯⎯→ 1.300 m-ko zanga
024
023
Zenbakizko proportzionaltasuna
F F F FF
F
F
F FF
F F
Langileak Egunak Metroak Ordu/egun20 6 400 824 14 700 x
Alderant.
Zuzena
Alderant.
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 184
200 hm3-ko edukiera duen urtegi baten % 45 dago beteta. Zenbat ur daukaurtegiak?
Egunkari batean irakur daitekeenez, 1.500 pertsonatik 80k arriskuko kirolakegiten dituzte. Adierazi datu hori ehuneko gisa.
% 5,3�
Tenis-erraketa batek 180 € gehi % 16ko BEZa balio du. Zenbat da salneurriosoa?
208,80 €
Mirenek 15 € ordaindu du liburu bat. Salneurri horretan % 4ko BEZa sartutadago. Zenbat balio du liburuak, BEZik gabe?
Liburuaren prezio garbiari (x) % 4 batu behar zaio: 0,04 ⋅ x €. Beraz:
x + 0,04 ⋅ x = 15 → 1,04 ⋅ x = 15 → 14,42 € BEZik gabe
Disko trinko batek 12 € balio du. Dendariak % 15eko beherapena egin ditbezero ona naizelako, eta ordaintzerakoan, % 16ko BEZa kobratu dit. Zenbatordaindu dut diskoa? Zenbat da, ehunekotan, azken prezioa hasierakoarekiko?
% 15eko beherapena egin badit → 1 − 0,15 = 0,85
Eta % 16ko BEZa kobratu badit → 1 + 0,16 = 1,16
Ehunekoak kateatuta:
0,85 ⋅ 1,16 ⋅ 12 = 0,986 ⋅ 12 = 11,83 €
Azken prezioa hasierakoaren % 98,6 da.
Akzio baten balioa 15 € da. Astelehenean %3 igo da; asteartean %7 murriztuda, eta asteazkenean, berriz, %10 igo da. Zer baliorekin hasi du osteguna? Zer unetan da akzioaren balioa hasierakoa baino handiagoa?
Igoeren eta beherapenen ehunekoak aplikatuko ditugu:
% 3 igo bada ⎯⎯→ 1 + 0,03 = 1,03% 7 jaitsi bada ⎯→ 1 − 0,07 = 0,93% 10 igo bada ⎯→ 1 + 0,10 = 1,10
Ostegunean, akzioaren balioa hau izango da:
1,03 ⋅ 0,93 ⋅ 1,10 ⋅ 15 = 1,05 ⋅ 15 = 15,80 €
Balioa hasierakoa baino % 5,36 handiagoa da.
032
031
x = =15
1 04,
030
18016
100180 180 1 0 16 180 1 16+ ⋅ = ⋅ + = ⋅ =( , ) ,
029
80
1 500 100
80 100
1 500. .= =
⋅=
xx→
028
45
100 200
45 200
10090 3= =
⋅=
xx→ hm
027
185
6ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 185
186
Tomateen prezioan hainbat aldaketa izan dira azkenaldi honetan. Ekainarenhasieran, tomate-kiloaren batez besteko prezioa 2,10 € zen, eta hil horretanzehar % 10 igo zen prezioa. Uztailean ere tomate-kiloaren salneurriak gora egin zuen, % 17, zehazki; abuztuan, berriz, % 8 merkatu zen, uztailekoprezioarekiko. Aurreko guztia kontuan hartuta, zein zen tomate-kiloaren prezioa abuztuaren bukaeran?Zenbatekoa izan da, ehunekotan, tomateen prezioak ekainetik abuztura bitarteanizan duen igoera?
Tomate-kiloak 2,49 € balio zuen abuztuaren amaieran.
Igoeraren ehunekoa, ekaina eta abuztua bitartean:
Kalkulatu 9 hilabetean urteko % 4an jarritako 1.800 €-k emango duten interesa.
54 €
54 €-ko interesa emango dute.
Arratek 2.460 € utzi zizkion Jon Anderri, 4 urtez eta % 3an. Epe horipasatutakoan, zenbat diru itzuli zion Jon Anderrek?
2.755,20 €
2.755,20 € itzuli zion.
Zer interes jasoko dugu urteko % 4an jarritako 4.500 €-ko inbertsioagatik, dirua sartu eta 2 hilabete eta 9 egunera ateratzen badugu?
34,50 €
34,50 € jasoko ditugu.
Kalkulatu banketxe batean sartu dudan kapitala, % 4,5ean eta 2 urtez, guztira 1.463 € itzuli badizkidate.
Adierazpenean ordezkatuz:
→
→ (1.463 − K) ⋅ 100 = 90K → 146.300 − 100K = 90K →
→ 770 €
Kapitala: 770 €.
146 300 190146 300
190.
.= = =K K→
1 46345 2
100. − =
⋅ ⋅K
K →IK r t
=⋅ ⋅
100
037
IK r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=36 000
4 500 4 69
36 000.
.
.
036
2 460 2 4602 460 3 4
1002 460 295 2. .
.. ,+ = +
⋅ ⋅= + =I
035
IK r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=1 200
1 800 4 9
1 200.
.
.
034
0 39
2 1019
,
,%=
2 10110
100
117
100
92
100, ⋅ ⋅ ⋅ =
033
Zenbakizko proportzionaltasuna
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 186
187
6
ARIKETAK
Adierazi magnitude hauetatik zein diren zuzenki proportzionalak.
a) Karratu baten aldearen luzera eta haren perimetroa.b) Karratu baten aldearen luzera eta haren azalera.c) Familia bateko seme-alaba kopurua eta opor-egunen kopurua.
a) ataleko magnitudeak zuzenki proportzionalak dira.
Merkatu batean sagarrak saltzen dituzten bi saltoki daude, eta salneurri-taulahauei jarraitzen diete.
Bi saltoki hauetako zeinetan dira pisua eta prezioa magnitude zuzenkiproportzionalak?
Ikus dezagun ea proportzioak betetzen diren:
=?
=?
→ 0,53 = 0,53 = 0,53
=?
=?
→ 0,60 � 0,50
Beraz, pisua eta prezioa magnitude zuzenki proportzionalak dira A saltokian.
Osatu taula hau, proportzionaltasun zuzenekoa dela jakinik.
Behatu bi magnituderen arteko proportzionaltasuna adierazten duen taula honi.
Egiaztatu M eta M' magnitudeak zuzenki proportzionalak direla, eta kalkulatu y eta y'.
Hau bete beharko da: 0,3)= 0,3
)= 0,3
)
⎯→ 4 ⋅ y = 12 ⋅ 9 ⎯→
→ 4 ⋅ y' = 12 ⋅ 10 → y ' =⋅
=12 10
430
4
12
10=
y'
y =⋅=
12 9
427
4
12
9=
y
4
12
6
18
7
21= = →
041●
040●
1 50
3
,1
2
0 60
1
,
1 59
3
,1 06
2
,0 53
1
,
A saltokia1 kg 2 kg 3 kg
0,53 € 1,06 € 1,59 €
B saltokia1 kg 2 kg 3 kg
0,60 € 1 € 1,50 €
039●
038●
ERANTZUNAK
100 500 1.000 5.000 25.0004 20 40 200 1.000
M magnitudea 4 6 7 9 10M' magnitudea 12 18 21 y y'
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 187
188
Adierazi magnitude pare hauetatik zeinek duten alderantzizkoproportzionaltasuna.
a) Makina kopurua eta lan bat egiteko behar duten denbora. b) Pertsona baten adina eta oinez darabilen abiadura. c) Azalera 20 cm2-koa duen laukizuzen baten oinarria eta altuera.d) Perimetroa 40 cm-koa duen laukizuzen baten oinarria eta altuera.
a) eta c) ataletako magnitude pareak alderantziz proportzionalak dira.
Aztertu magnitude hauen arteko proportzionaltasuna zuzena ala alderantzizkoa den.
a) Zirkunferentzia baten erradioa eta luzera.b) Auto baten abiadura eta ibilbide jakin bat egiteko behar duen denbora.c) Zinemako sarreren kopurua eta prezioa.d) Pareta baten azalera eta hura margotzeko behar den denbora.e) Auto batek erretako gasolina eta egindako distantzia.
a) Proportzionaltasun zuzena. d) Proportzionaltasun zuzena.
b) Alderantzizko proportzionaltasuna. e) Proportzionaltasun zuzena.
c) Proportzionaltasun zuzena.
Osatu taula hauek, alderantzizko proportzionaltasuna adieraz dezaten.
a) b)
Egiaztatu M eta M' magnitudeak alderantziz proportzionalak direla, eta kalkulatuy eta y' ezezagunen balioa.
Hau bete beharko da: 4 ⋅ 12 = 6 ⋅ 8 = 8 ⋅ 6 → 48 = 48 = 48
4 ⋅ 12 = 10 ⋅ y ⎯→
4 ⋅ 12 = 16 ⋅ y ' →
Alderantzizko proportzionaltasuna adierazten duten taula hauetan akats banadago. Zuzendu eta kalkulatu proportzionaltasun-konstantea.
a) b)
k = 54 k = 60
1,2 2,4 4,8 6 7,250 25 12,5 10 8,3
)9 6 5,4 4,5 46 9 10 12 13,5
046●●
y ' =⋅
=4 12
163
y =⋅
=4 12
104 8,
045●
4 12 30 60420 140 56 28
2 3 4 50,90 0,60 0,45 0,36
044●
043●
042●
Zenbakizko proportzionaltasuna
M magnitudea 4 6 8 10 16M' magnitudea 12 8 6 y y'
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 188
189
6
Hamabi metroko hesia jartzea 1.250 € ordaindu dute. Zenbat ordaindu beharko dute 25 metroko hesi bat jartzea?
→ €
Arantzazuk 2 metroko oihal-pieza erosi du, 32 € ordainduta. Zenbat ordaindukozuen 3,2 metroko oihal-pieza?
→ 51,20 €
Auto batek 25 litro erregai erretzen ditu 300 km-ko bidaia egiten, abiadura jakin batean doala. Zenbat erreko ditu 550 km-ko bidaian, abiadura bereanjoanda?
→
Orduko 100 km-an doan trenak 5 ordu behar ditu hiri batera heltzen. Zenbateko abiaduran doa ibilbide bera egiten 6 ordu eta laurden behar dituentrena?
Abiadura eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira.
100 ⋅ 5 = x ⋅ 6,25 →
Pintore batek 125 kilo pintura erabili baditu 75 m2-ko pareta pintatzen:
a) Zenbat pintura behar izango zukeen 300 m2-ko pareta pintatzeko?b) 50 kg pintura baditu eskura, zenbat metro koadro pinta ditzake?
Pintura kiloak eta paretaren azalera (m2) magnitude zuzenki proportzionalak dira.
a)→
b)⎯→ x =
⋅=
50 75
12530 2m
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
125 kg ⎯⎯→ 75 m2
Si50 kg ⎯⎯→ x m2
x =⋅
=125 300
75500 kg
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
125 kg ⎯⎯→ 275 m2
Si x kg ⎯⎯→ 300 m2
051●●
x =⋅=
100 5
6 2580
,km/h
050●●
x =⋅
=25 550
30045 83, litro
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
300 → 25550 → x
049●
x =⋅
=3 2 32
2
,⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 ⎯→ 323,2 → x
048●
x =⋅
=25 1 250
122 604 17
.. ,
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 → 1.25025 → x
047●
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 189
190
Hamabost pertsonak zenbait eguzki-plakaren muntaia hiru astean egin dute.a) Zenbat denboran egingo lukete muntaia hori bera 35 pertsonak? b) Hamabost egunean amaituta izan nahi bagenu, zenbat pertsona beharko genituzke?
Pertsona kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira.
Denbora egunetan adieraziko dugu:
a) 15 pertsona ⋅ 21 egun = 35 pertsona ⋅ x egun →
b) 15 pertsona ⋅ 21 egun = x pertsona ⋅ 15 egun →
Hiru kutxa polboroik 2,7 kg-ko pisua dute. a) Zer pisu izango dute 15 kutxak?b) Gure furgoneta 500 kg garraiatzeko gauza bada, eraman al ditzakegu bertan
230 kutxa?
Kutxa kopurua eta pisua magnitude zuzenki proportzionalak dira.
a)
b)→
207 kg < 500 kg denez (gehieneko pisu teknikoa), eraman ditzakegu 230 kutxa.
Abeletxe batean 18 astez 48 behiri jaten emateko adina belar dute.a) Zenbat asterako izango lukete,
24 behi gehiago balituzte?b) 7 aste pasatutakoan 18 behi erosten badituzte,
noiz arte iraungo die belarrak?
Behi kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira.
a) 48 behi ⋅ 18 aste = (48 + 24) ⋅ x →
b) 7 aste pasatutakoan 11 asterako adina belar geratuko litzateke hasierako 48 behien kasuan. 18 behi erosiz gero:
48 behi ⋅ 11 aste = (48 + 18) ⋅ x →
Sei pertsona bizi diren etxe batean egunean 900 litro ur erabiltzen dituztenorberaren garbitasunean. Zenbat ur gastatuko dute etxe horretan, 5 pertsonagehiago bizi badira?
→ x =⋅
=11 900
61 650. litro
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
16 → 90011 → x
055●●
x =⋅
=48 11
668 aste
x =⋅
=48 18
7212 aste
054●●
x =⋅
=230 2 7
3207
,kg
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
30 kutxa ⎯⎯→ 2,7 kg230 kutxa ⎯⎯→ x kg
3
2 7
15 2 7 15
313 5
kutxa
kg
kutxa
kgk
,
,,= =
⋅=
xx→ gg
053●●
x =⋅
=15 21
1521 pertsona
x =⋅
=15 21
359 egun
052●●
Zenbakizko proportzionaltasuna
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 190
191
6
150 lagunek erabiltzen duten gimnasio batean eguneko ur-kontsumoa 6.000 litro da.
a) Zenbat izango da kontsumoa, beste 30 lagunek izena ematen badute?b) Zazpi mila litroko kontsumoa gainditzeak errekargua badakar, zenbat bezerok
eman dezake izena, errekargu hori ordaindu beharrik izan gabe?
Lagun kopurua eta ur-kontsumoa magnitude zuzenki proportzionalak dira.
a)→
b)→
25 bezerok eman dezake izena.
Hamar zentimetroko minipizza bat egiteko, 100 gramo mozzarella behar ditugu. Diametroa 20 zentimetrokoa duen pizza bat egin nahi badugu, zenbat gazta erabiliko dugu?
Pizzaren azalera (ez diametroa) eta gazta gramoak magnitude zuzenki proportzionalak dira.
→
Eraikitzaile batek 1.000 € banatu nahi ditu bere enpresako hiru langilerenartean, antzinatasunarekiko proportzioan. Anderrek 9 urte egin ditu enpresan;Bernardok eta Karlosek, berriz, 3 urteko antzinatasuna soilik dute. Zer zatidagokio bakoitzari?
→ Ander 600 €
⎯→ Karlos 200 €
Bernardori ere 200 € dagozkio.
=⋅
+ +=
1 000 3
9 3 3
.1 000
9 3 3 3
.
+ +=
Karlos
=⋅
+ +=
1 000 9
9 3 3
.1 000
9 3 3 9
.
+ +=
Ander
058●
x =⋅ ⋅⋅
=ππ10 100
5400
2
2g
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
π ⋅ 52 cm2-rako ⎯⎯⎯→ 100 gπ ⋅ 102 cm2-rako ⎯⎯→ x g
057●●●
x =⋅
=150 7 000
6 000175
.
.lagun
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
150 lagun ⎯⎯⎯→ 6.000 litrox lagun ⎯⎯⎯→ 7.000 litro
x =⋅
=180 6 000
1507 200
.. litro
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
150 lagun ⎯⎯⎯→ 6.000 litro180 lagun ⎯⎯⎯→ x litro
056●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 191
192
Aitona batek bere biloben artean 120 karamelu banatzea erabaki du, haienadinekiko zati zuzenki proportzionaletan. Bilobek 4, 6, 6 eta 8 urte dituzte,hurrenez hurren. Zenbat karamelu dagozkio biloba bakoitzari?
4 urteko bilobari: → a = 20 karamelu
6 urteko bilobei: → b = 30 karamelu
8 urteko bilobari: → c = 40 karamelu
Bi lagunek negozio bat jarri dute abian. Bietako batek atzera egiten du 8 hilabeteren buruan, baina beste bazkideak urte amaiera arte jarraitzen du. Azkenemaitza 1.500 €-ko galera da. Zenbat diru ordaindu behar du lagun bakoitzak?
8 hilabete egon den lagunak: ⎯→ a = 600 €
Urtebete egon den lagunak: → b = 900 €
Bixentek eta Uxuek aurrezki-libreta bat zabaldu dute bankuan. Bixentek 400 €sartu ditu, eta Uxuek, berriz, 800 €. Urte batzuen buruan 1.380 € itzulidizkiete. Nola banatu behar dituzte? Zenbat dagokio bakoitzari?
Proportzio zuzenean banatu beharko dute.
→ 460 € Bixenterentzat
920 € Uxuerentzat
Zubi bat eraikitzea erabaki dute, eta haren kostu osoa, milioi bat eurokoa, hiru herrik ordaindu beharko dute, zubiraino duten distantziarekiko alderantzizko proportzioan. Zumarrena 6 km-ra dago, Ureta 8 km-ra eta Betzaindegi 10 km-ra. Kalkulatu herri bakoitzak ordaindu behar duen diru kopurua.
Zumarrenari dagokiona ⎯⎯→ 2.553.191,49 : 6 = 425.531,91 €
Uretari dagokiona ⎯⎯⎯⎯→ 2.553.191,49 : 8 = 319.148,94 €
Betzaindegiri dagokiona ⎯⎯→ 2.553.191,49 : 10 = 255.319,15 €
k =+ +
= =1 000 000
1
6
1
8
1
10
240 000 000
942 553 19
. . . .. . 11 49,
062●●
y =⋅
=800 1 380
1 200
.
.
x =⋅
=400 1 380
1 200
.
.
x y
400 800
1 380
400 800= =
+.
061●●
1 500
8 12 12
.
+=
b
1 500
8 12 8
.
+=
a
060●●
120
4 6 6 8 8+ + +=
c
120
4 6 6 8 6+ + +=
b
120
4 6 6 8 4+ + +=
a
059●
Zenbakizko proportzionaltasuna
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 192
193
6
Koldok, Mattinek eta Karlosek Gabonetako loteriako dezimo bat erosi zuten.Karlosek 10 € jarri zituen; Mattinek, 6 €, eta Koldok, berriz, 4 €. Dezimoa sarituaizan zen eta, banaketan, Karlosi 5.000 € egokitu zitzaizkion. Eta beste biei?
Mattini: 6 ⋅ 500 = 3.000 €.
Koldori: 4 ⋅ 500 = 2.000 €.
Aitona batek 10.350 € banatu ditu bere hiru biloben artean, haien adinekikoproportzionaltasun zuzenean. Biloba gazteenek 22 eta 23 urte badituzte,kalkulatu:
a) Nagusiaren adina, 3.600 € egokitu zaizkiola jakinik.b) Besteei egokitu zaizkien kopuruak.
a)
b) . 22 urteko bilobari:
150 ⋅ 22 = 3.300 €; eta 23 urtekoari: 150 ⋅ 23 = 3.450 €.
k = =3 600
24150
.
10 350
22 23
3 60010 350 3 600 162 000
. .. . .
x xx x
+ += = +→ →→ x = 24 urte
065●●●
k = =5 000
10500
.
064●●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA BANATUTAKO KOPURUA, ZUZENKI PROPORTZIONALA DEN ZATI BATEZAGUNA IZANIK?
Diru kopuru bat banatu da, hiru neba-arrebaren adinekiko zati zuzenki propor-tzionaletan. Neba-arrebek 8, 4 eta 3 urte dituzte. Nagusiari 800 € egokitu ba-zaizkio, zer kopuru banatu da, guztira?
LEHENA. Proportzionaltasun-konstantea kalkulatzea.
BIGARRENA. Guztizkoa kalkulatzea. (8 + 4 + 3) ⋅100 =1.500.
1.500 € banatu dira.
k = =800
8100
063
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 193
194
10, 7 eta 3 zenbakiekiko alderantziz proportzionala den kopuru bat banatzen baduzu, 3ri dagokion zatia 50 da. Zer kopuru dagokio 10i eta 7ri?
k = 3 ⋅ 50 = 150. 10i dagokiona → 150 : 10 = 15 eta 7ri → 150 : 7 = 21,43.
Oinordetza batean agindutakoari, jarraiki, 359.568 € banatu dira hiru pertsonaren artean, bakoitzaren soldatarekiko zati alderantzizproportzionalean. Kalkulatu bakoitzari dagokion soldatarik
txikiena ertainaren bada
eta ertaina handiarena .
Handiena: x Ertaina: Txikiena:
Handiena: 82.977,23x : x = 82.977,23 €
Ertaina: 82.977,23x : = 110.636,31 €
Txikiena: 82.977,23x : = 165.954,46 €x
2
3
4
x
k
x x x
xx=
+ += =
359 568
1 4
3
2
1 078 704
1382 977 23
. . .. ,
x
2
3
4
x
34
23
068●●
067●●
066
Zenbakizko proportzionaltasuna
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA BANATUTAKO KOPURUA, ALDERANTZIZ PROPORTZIONALA DEN ZATIBAT EZAGUNA IZANIK?
Oinordetza bat banatu da, hiru lehengusuren adinekiko zati alderantziz propor-tzionaletan. Hiru lehengusuok 25, 20 eta 16 urte dituzte. 25 urteko lehengu-suari 800 € egokitu zaizkio. Zenbateko kopurua banatu da?
LEHENA. Proportzionaltasun-konstantea kalkulatzea.
k = 800 ⋅ 25 = 20.000
BIGARREN. Kopuru osoa kalkulatzea.
Oinordetza
3.050 €
3.050 € banatu dira.
20 000
25
20 000
20
20 000
16
. . .+ + =
k k k
25 20 16+ + =
80025
=k →
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 194
195
6
Zortzi laguneko talde batek 940 €ordaindu zuen 3 eguneko egonaldia hotel batean. Zenbat balio zuen lagun bakoitzaren eguneroko egonaldiak?
Zuzena
Zuzena
39,17 €
Bi makinak, 6 orduko jardunean, 1.500 kWh kontsumitzen dituzte eguneko.Zenbat kontsumituko dute egunean 8 orduz diharduten 3 makinak?
Hiru makinak:
10 m-ko luzera eta 2 cm2-ko sekzioa duen metalezko barra batek 8,45 kg-ko pisuadu. Zer pisu du 5 m-ko luzera eta 7 cm2-ko sekzioa duen metal bereko barra batek?
Zuzena
Zuzena
Auzo bateko jaietan, egunean 8 orduz piztuta egoten diren 1.200 faroltxo jarridituzte, guztira 1.440 €-ko gastua egiten dutenak. Zenbat izango litzateke gastua,2 ordu gutxiagoz piztuta egongo liratekeen 600 faroltxo gehiago jarriz gero?
Zuzena
Zuzena
x = 1.620 €1 200
1 800
8
6
1 440 9 600
10 800
1 440.
.
. .
.
.⋅ = =
x x→ →
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1.200 faroltxo ⎯⎯→ 8 ordu/egun ⎯⎯→ 1.440 €1.800 faroltxo ⎯⎯→ 6 ordu/egun ⎯⎯→ x €
072●●
10
5
2
7
8 45 20
35
8 45 35 8 45
2014 79⋅ = = =
⋅=
, , ,,
x xx→ → kgg
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
10 m-ko luzera ⎯⎯→ 2 cm2-ko sekzioa ⎯⎯→ 8,45 kg15 m-ko luzera ⎯⎯→ 7 cm2-ko sekzioa ⎯⎯→ x kg
071●●●
1 500
2 6 3 8
1 500 3 8
2 63 000
. ..
⋅=
⋅=
⋅ ⋅⋅
=x
x→ kWh
070●●
8
1
3
1
940 24
1
940 940
24⋅ = = = =
x xx→ →
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
8 lagun ⎯⎯→ 3 egun ⎯⎯→ 940 €1 lagun ⎯⎯→ 1 egun ⎯⎯→ 9x €
069●●
ERANTZUNAK
F FF
F
F FF
F
F FF
F
Makinak Orduak Kontsumoa2 6 1.5003 8 x
908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 195
196
Zenbaiten ustetan, Keopsen piramidea eraikitzeko 20.000 pertsonak egunean10 orduz egin zuten lan, eta 20 urte behar izan zituzten amaitzeko.
a) Zenbat denbora behar izango zuten, 10.000 pertsona gehiago izan balira?
b) Eta egunean 8 orduz jardun izan balute?
a)
b)
Ehun langilek 300 egun behar dituzte itsasontzi bat eraikitzen, 8 ordukojardunean.
a) 20 lagun gehiago hasten badira lanean, zenbat egun aurreratuko liratekeeraikitze-lanak?
b) 20 lagun gutxiago ari badira lanean, zenbat egun atzeratuko litzateke lana?
c) Eta 20 lagun gutxiago ari badira lanean, baina egunean 9 ordu jardungobalira?
Alderant.
50 egun aurreratuko lirateke.
Alderant.
75 egun atzeratuko litzateke.
Alderant.
Alderant.
Ia 34 egun atzeratuko litzateke.
Bost ikasletik hiruk gripea izan dute urtarrilean. Adierazi datu hori ehuneko gisa.
3
5 100
3 100
560= =
⋅=
xx→ %
075●
80
100
9
8
300 720
800
300333 33⋅ = = =
x xx→ → , egun
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
100 lagun ⎯⎯→ 8 ordu/egun ⎯⎯→ 300 egun80 lagun ⎯⎯→ 9 ordu/egun ⎯⎯→ 1x1 egun
c)
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ →100
80 300375
xx egun100 lagun ⎯⎯→ 300 egun
80 lagun ⎯⎯→ x egunb)
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ →100
120 300250
xx egun100 lagun ⎯⎯→ 300 egun
120 lagun ⎯⎯→ x eguna)
074●●
10 208
10 20
825→
→→ urte
xx
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
=
20 000 2030 000
20 000 20
30 000..
.
.→→
→x
x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅
= 113 33 13, = urte eta 4 hilabete
073●●
Zenbakizko proportzionaltasuna
F F
F FF FF
F
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 196
197
6
21€ balio duen CD batean % 15eko beherapena egin didate. Zenbat diru aurreztu dut?
3,15 €
Institutu bateko 63 ikaslek, hau da, kopuru osoaren % 15ek, atzerrira bidaiatudute. Zenbat ikasle dira institutuan?
Auto-saltzaile batek egindako salmenten % 0,8 jasotzen du komisio gisa.
a) Hilabete batean 300 €-ko komisioa jaso badu, zenbat saldu du?b) Hurrengo hilabetean 45.000 €-ko salmentak egin baditu, zer komisio jaso du?
a) € b) €
Merkatari batek salgai baten prezioa, 72 €-koa, % 3 garestitzea erabaki du;hurrengo astean, berriz, beste % 3 igo du, prezio garestituarekiko. Zenbat da azken salneurria?
% 3ko 1. igoera → 1,03
% 3ko 2. igoera ⎯→ 1,03
Igoerak kateatuta:
1,03 ⋅ 1,03 ⋅ 72 = 1,0609 ⋅ 72 = 76,38 €
Bi astez jarraian, gai baten salneurria % 2 eta % 5 igo dute. Zenbat ehunekotan igo da gai horren salneurria, hasierako salneurria kontuan hartuta?
€
% 7,1 igo da.
Denda batean salgai baten prezioa, 200 €-koa %10 igo dute. Hurrengo astean, berriz, azken prezio horrekiko % 10 merkatzea erabaki dute. Zer gertatu da prezioarekin?
Azken prezioa hau da: €; hau da, 2 € merkatu da,% 1.
200110
100
90
100198⋅ ⋅ =
081●●
100102
100
105
100107 10⋅ ⋅ = ,
080●●
079●●
45 000 0 8
100360
. ,⋅=
300 100
0 837 500
⋅=
,.
078●●
15
100
63 63 100
15420= =
⋅=
xx→ ikasle
077●●
15
100 21
21 15
100= =
⋅=
xx→
076●
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 197
198
Arkume-haragiaren salneurria 8,85 €/kg-tik11,55 €/kg-ra igo da Gabonetan. Beste produktu bat ere garestitu da, mahatsa, 2,10 €/kg-tik 3,95 €/kg-ra igo baita. Proportzioan, zein garestitu da gehien?
Haragia: .
Mahatsa: .
Mahatsa garestitu da gehien.
Metro bat luze den metalezko barra 200 °C-ra berotzean, 1,04 m-ko luzera artedilatatu da. Beste metal batez egindako barra bat, 60 cm-koa, tenperaturaberean berotzean 61,9 cm-ra arte dilatatu da. Zein metal dilatatzen da gutxien?
1 m-eko barra: .
60 cm-ko barra: 0,0316� = % 3,16� .
60 cm-ko barrako metala dilatatu da gutxien.
Galleta-ontzi batean ageri den iragarkian prezio berean % 25 galleta gehiagodagoela jartzen du. Lehengo ontziek 1 kg-eko pisua zuten eta oraingoek,eskaintzarekin, 1,20 kg. Egia al da iragarkian jarrita dagoena?
1 kg-ren % 25:
Beraz, ontziaren pisuak 1,25 kg-koa izan behar luke.
1,20 < 1,25 denez, iragarkiak dioena ez da egia.
25
100 10 25= =
xx
kg
kgkg→ ,
085●●●
61 9 60
60
, −=
1 04 1
10 04 4
,, %
−= =
084●●
3 95 2 10
2 100 881 88 1
, ,
,, % ,
−= =
11 55 8 85
8 850 305 30 5
, ,
,, % ,
−= =
083●●
082
Zenbakizko proportzionaltasuna
EGIN HONELA
NOLA ALDERATU, EHUNEKOAK ERABILIZ?
Kafetegi batean freskagarrien salneurriak igo dituzte: laranja-freskagarria 1 €-etik1,05 €-ra igo da, eta kola-freskagarria, berriz, 1,10etik 1,15 €-ra. Proportzioanegin al dira bi igoerak?
LEHENA. Igoera lineala kalkulatzea.
1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05
Bi freskagarriak kopuru bera garestitu da.
BIGARRENA. Izandako igoera adierazten duen ehunekoa kalkulatzea.
Igoera ez da proportzionala.
0 05
110
,
,0,0454 4,54= → %
0 05
15
,0,05= → %
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 198
199
6
Zer interes ematen dute 3.000 €-k, 5 urteko epean % 4,3an jarrita? Eta 15 hilabeteko epean? Eta 150 eguneko epean
645 €
161,25 €
53,75 €
Zenbateko kapitalak ematen ditu 3.760 € urtebeteren buruan, % 7,5ean jarrita?
50.133,33 €
Joxe Marik erabaki du bere aurrezkiak, 9.600 €-koak, 4 urtez % 3,85kointeresa eskaintzen duen gordailubatean inbertitzea.
a) Zenbat jasoko du interesetan, lehen 6 hilabeteetan?
b) Eta 3 hilabete eta 20 egunean?c) Lau urteko inbertsio-epea amaitu baino lehen dirua ateratzea erabakiko balu,
inbertitu duen kapitalaren % 5eko zigorra jarriko liokete. Urte bat eta bihilabete eta erdi pasatutakoan, dirua galdu ala irabazi egingo luke ateraz gero?
d) Zenbat denbora pasatu behar luke, gordailuan sartutakoa ateratzean dirurikgal ez dezan?
a) Urtebeteko interesak: 369,60 €,
eta 6 hilabetekoak: €.
b) 3 hilabeteko interesak: €,
eta 20 egunekoak: €; guztira, 112,65 €.
c) Urtebeteko interesa 369,60 da eta 2,5 hilabetekoa: €; guztira, 446,60 €.
Zigorra: €.
Guztira galduko duena: 480 − 446,6 = 33,40 €.
d) =
= 1 urte, 3 hilabete eta 18 egun
4809 600
100
480 100
9 600=
⋅ ⋅=
⋅⋅
=.
.
3,85
3,851,3
tt→ años
9 600 5
100480
. ⋅=
369,6 2,5⋅=
1277
369,620,25
⋅=
20
365
369,692,40
⋅=
3
12
369,6184,80
⋅=
6
12
I =⋅ ⋅
=9 600 1
100
. 3,85
088●●
3 7601 3 760 100
..
=⋅ ⋅
=⋅
=K
K7,5
100 7,5→
087●●
IK r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=36 000
3 000 150
36 000.
.
.
4,3
IK r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=1 200
3 000 15
1 200.
.
.
4,3
IK r t
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=100
3 000 5
100
. 4,3
086●●
ERANTZUNAK
1,3 urte
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 199
200
Urtzik 40.000 €-ko oinordetza jaso du. Diru hori gordailu batean inbertitu du, 5 urte eta erdian urteko % 5eko interesa emango dion gordailuan. Epe hori amaitutakoan, jasoko dituen interesak bere lau seme-alaben arteanbanatuko ditu, haien adinekiko –15, 14, 12 eta 10 urte dituzte– zati alderantzizproportzionaletan.
a) Inbertsioa amaitzen denean; hau da, bost urte eta erdi barru, zenbat jasokodu interesetan?
b) Zenbat diru jasoko du seme-alaba bakoitzak?
a) €
b)
15 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 15 = 2.281,48 €
14 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 14 = 2.444,44 €
12 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 12 = 2.851,85 €
10 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 10 = 3.422,22 €
090
k =+ + +
=+ + +
11 000
1
15
1
14
1
12
1
10
4 620 000
28 30 35 4
. . .
22= 34.222,22
I =⋅ ⋅
=40 000 5
10011 000
..
5,5
089●●
Zenbakizko proportzionaltasuna
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA NAHASTEEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK?
Bi irin mota, A eta B, 0,75 €/kg eta 0,50 €/kg balio dutenak proportzio honetan nahasi dira: A motatik 5 kg eta B motatik 3 kg. Zer prezio izango dunahaste-kiloak?
LEHENA. Prezioa eta kantitate osoa kalkulatzea.
Irina, guztira = 5 kg + 3 kg = 8 kg
Prezioa, guztira = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 €
BIGARRENA. Batekora laburtzea.
Nahastearen prezioa = 0,66 €/kg5,25
8=
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 200
201
6
2,25 €/kg balio duen kafetik 8 kg eta 1,66 €/kg balio duenetik 5 kg nahasiditugu. Zenbatean saldu beharko dugu kafe-kiloa, kilo bakoitzeko prezioaren% 10 irabazi nahi badugu?
Kafea, guztira = 8 + 5 = 13 kg
Prezioa, guztira = 8 ⋅ 2,25 + 5 ⋅ 1,66 = 26,30 €
% 10 batuz gero: 26,30 ⋅ 1,1 = 28,93 €.
Prezioa kiloko: €/kg.
% 10 irabazteko, nahaste-kiloa 2,23 €/kg-an saldu beharko dugu.
200 g-ko zilar-lingotea, legea % 90 duena (% 90eko purutasuna), legea % 80duen 300 g-ko batekin galdatu da. Zein da lingote berriaren legea?
Metala, guztira:
200 + 300 = 500 g
Zilar purua, guztira:
420 g
Nahastearen legea hau da:
Lingote berriaren legea % 84 da.
% 96ko alkohola dugu. 1 litro alkohol litro-erdi urekin nahasten badugu, zenbat gradu izango ditu sortzen den alkoholak?
Likido guztia 1,5 litro da, eta alkohol guztia, 0,96 litro.
Nahastearen graduak: .
Zer proportziotan nahastu behar ditugu A eta B kafe motak, 5 €/kg eta 8 €/kgbalio dutenak, hurrenez hurren, emaitza 7,25 €/kg balio duen kafea izan dadin?
Demagun A motako kafearen 1 kg eta B motakoaren x kg nahastu ditugula.
Prezioa hau izango da:
7,25 €/kg
5 + 8x = 7,25 + 7,25x → 0,75x = 2,25 → x = 3 kg
Beraz, proportzioa hau da: A motako 1 kg kafe eta B motako 3 kg (% 25 A motakoa eta % 75 B motakoa).
1 5 8
1
⋅ + ⋅+
=x
x
094●●●
0,96
1,50,64= = % 64
093●●
420
50084= %
200 90
100
300 80
100
⋅+
⋅=
092●●
28,932,23
13=
091●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 201
202
Legea % 90 duen urrezko eta kobrezko lingote baten pisua 100 g da.Zenbat kobrerekin batera galdatu beharko dugu, legea % 75era jaits dadin?
Kobre kantitatea x bada, aleazio kantitatea (100 + x) g izango da.
Urre puruaren kantitatea: 100 ⋅ % 90 = 90 g.
Aleazioaren legea:
kobre
096
→ x = =15
200,75
g
90
10090 75
+= = +
xx0,75 0,75→ →
095●●●
Zenbakizko proportzionaltasuna
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA HIGIKARIEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK?
Bidaiari-tren bat 90 km/h-ko abiaduran doa. Merkantzia-tren bat, berriz, trenbide paralelo batetik doa, 50 km/h-ko abiaduran.
a) 350 km-ra dauden bi puntutatik abiatzen badira ordu berean, eta bata bestera hurbiltzen ari badira, zenbat denbora beharko dute topo egiteko?
b) Puntu beretik abiatzen badira, eta merkantzia-trenak 140 km-ko abantaila badu,lehenago abiatu delako, zenbat denboran harrapatuko du bidaiari-trenak bestea?
LEHENA. Abiadurak batzea edo kentzea, zer noranzkotan doazen, berean ala aurkakoan.
BIGARRENA. Bien arteko distantziaren eta hurbiltze-abiaduraren arteko zatiduradenbora da.
a) HURBILTZE-ABIADURA = 90 + 50 = 140 km/h
40 km/h-ko abiaduran hurbiltzen dira.
Denbora =
2,5 ordu beharko dituzte topo egiteko.
b) HURBILTZE-ABIADURA = 90 − 50 = 40 km/h
Bidaiari-trena 40 km/h-ko abiaduran hurbiltzen zaio besteari.
Denbora =
3,5 ordu beharko ditu beste trena harrapatzeko.
distantzia
abiadura3,5= =
140
40
distantzia
abiadura2,5= =
350
140
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 202
203
6
9:45ean AVE tren bat Sevillatik Madrilera abiatu da, 220 km/h-ko batez bestekoabiaduran. Ordu berean Madriletik merkantzia-tren bat irten da, AVE trenarenibilbide paraleloa egiten duena, 40 km/h-ko abiaduran. Zer ordutan egingo dute topo? Kontuan izan Sevillatik Madrilera bitartean 520 km-ko distantziadagoela?
Hurbiltze-abiadura:
220 + 40 = 260 km/h
Beraz, topo egiteko behar duten denbora:
2 ordu
11:45ean egingo dute topo.
15 km/h-ko abiaduran doan txirrindulari batek ordu beteko aurrerapena du 60 km/h-ko abiaduran doan auto batekiko. Zenbat denbora beharko du autoaktxirrindularia harrapatzeko?
Txirrindulariak ordubeteko abantaila duenez, autoa baino 15 km aurrerago doa.
Hurbiltze-abiadura:
60 − 15 = 45 km/h
Denbora = 0,3� ordu = 20 minutu
A magnitudea B magnitudearekiko zuzenki proportzionala bada, eta B magnitudea,berriz, C magnitudearekiko alderantziz proportzionala bada, nolakoak dira A eta C?
A eta B zuzenki proportzionalak dira →
B eta C alderantziz proportzionalak dira → B ⋅ C = k2
Berdintzako bi gaiak bider k1 egiten baditugu:
Beraz, A eta C alderantziz proportzionalak dira.
B C k B C k k k B CA
Bk k A C k k⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅2 1 2 1 2 1 2 1→ → →
A
Bk= 1
099●●●
15
45=
098●●●
520
260=
097●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 203
204
Banatu k zenbaki bat m eta n bi edozein zenbakirekiko zati zuzenkiproportzionaletan, eta ondoren, egin bi balio horiekiko (m eta n) alderantzizproportzionala den banaketa.
a) Zer-nolako lotura dago banaketa bakoitzean lortutako zatien artean?b) Beti gertatzen al da gauza bera?
m-ri dagokion banaketa proportzionala:
eta n-ri dagokiona:
Banaketa alderantziz proportzionala da. Hau da konstantea:
Beraz, banaketa hau da:
k = 100, m = 12 eta n = 8
12ri dagokion banaketa proportzionala:
eta 8ri dagokiona:
Banaketa alderantziz proportzionala da. Hau da konstantea:
Beraz, banaketa hau da:
a) Banaketa aurkakoa da, kasu bakoitzean; m-ri banaketa zuzenki proportzionalean dagokiona n-ri dagokio banaketa alderantzizproportzionalean, eta alderantziz.
b) Bai, frogapena lehen egindakoa da.
12 → 60 → 2.400 : 60 = 4018 → 60 → 2.400 : 40 = 60
c =+
= =100
1
60
1
40
12 000
52 400
..
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x800
204020 → 100
18 → 1x
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x1 200
2060
.20 → 10012 → 1x
nn k
m n
n m k
m n
n k
m n
m k
m n→ →⋅
+⋅ ⋅+
⋅+
=⋅+
2
2( ):
mm k
m n
n m k
m n
m k
m n
n k
m n→ →⋅
+⋅ ⋅+
⋅+
=⋅+
2
2( ):
ck
m k
m n
n k
m n
k
m n
m k
m n
n k
m n k
m=
⋅+
+⋅+
=+⋅+
+⋅
=⋅ ⋅+1 1
2
( nn)2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅+
→ xn k
m nm + n → kn ⎯⎯⎯→ x
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=⋅+
→ xm k
m nm + n → km ⎯⎯→ x
100●●●
Zenbakizko proportzionaltasuna
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 204
205
6
Kopuru bat % 10 murrizten badugu, zer ehunekotan handitu behar dugu,hasierako kopurua lortzeko?
txikitutako kopuruaren % 11,1�
Beirazko lamina batek iristen zaion argi gorriaren% 20 xurgatzen du; hau da, % 80 uzten du pasatzen. Zenbat lamina jarri behar dira, gutxienez, bata bestearen gainean, jotzen duen argi gorriaren erdia igaro dadin, gehienez ere?
0,80x < 0,5 0,80 ⋅ 0,80 = 0,640,64 ⋅ 0,80 = 0,5120,512 ⋅ 0.80 = 0,4096
Gutxienez 4 lamina jarri behar dira.
EGUNEROKOAN
Kepak Aste Santuko oporraldia osaba-izeben etxean igaro du. Eskolako apunteak eraman zituen, agindutako zenbait etxeko lan egin beharra zuelako. Etxera itzultzean ahaztuta utzi zituenez, Helene lehengusinak mezulari bidez bidaliko dizkio.
Behinola aitak kontratatutako mezulari-enpresa bateko ordainagiri bat aurkitu du etxean Kepak.
Helenek Keparen apunteekin egindako paketea pisatu du: 3,2 kg, eta mapa batean haren hiriraino dagoen distantzia neurtu du: 126 km.
Zenbat ordainduko du Helenek paketea enpresa honen bidez bidaltzen badu? Eta presazko zerbitzua erabilita bidaltzen badu?
Garraio-gastua:
→
→ x = €
Kostua BEZik gabe: 2 + 1.209,6 = 1.211,60 €.
Kostua BEZa barne: 1.211,6 ⋅ 1,07 = 1.296,41 €.
Presazko zerbitzua erabilita bidaltzen badu: 1.296,41 ⋅ 1,3 = 1.685,34 €.
18,75 7.560.000
6.2501.209,
⋅ ⋅⋅
= =3 200 126
250 25
.660
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
18,75 → 250 ⋅ 25x → 3.200 ⋅ 126
103●●●
102●●●
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= = =→ x1 000
90
100
9
.10 → 90x → 100
101●●●
ERANTZUNAK
Guztira22,20 €
PackExpress
IFK 455545EE07
Tel: 902 566 300
www.packexpress.com
BEZEROA: Don Santos Copalón
NAN: 38135286
Helbidea: Lanperna kalea, 13
Zerbitzua2,00 €
Garraioa:
250 g 25 km-ra 18,75 €
% 7 BEZa1,45 €
Presakoa bada, %30 gehitu-
ko zaio guztizkoari.
Enpresa horiek zenbateko finko batkobratzen dute zerbitzu bakoitza, eta horrigehitzen diote paketearen pisuarekiko etabidaltzen den lekurainoko distantziarekikoproportzionala den beste zenbateko bat.
908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 205
206
Laukiz eta Maldaukiz bata bestearen auzoan dauden herriak dira. Bi herri horien inguruan autobide bat egin dutenez, alkateek erabaki dute lehengoerrepidea aldatu eta autobiderako sarrera bat egitea. Haatik, ez dira ados jartzen gastuak nola banatu.
Eztabaida luzeen ondoren, hau erabaki dute.
Lanek sorrarazitako gastu guztien zer ehuneko ordaindu beharko du herri bakoitzak?
UDAL-BANDOALaukiztik Maldaukizera bitartean saihesbidebat egingo da, autobide berrirako sarbideaizango dena.
Lan horien gastuak herri bakoi tzaren erroldanagertzen den biztanle kopuruarekiko moduzuzenki propor tzionalean zatituko dira, etaherri bakoitzak auzo-bideen mantenuan di-tuen gastuekiko modu alderantziz proportzio-nalean.
Biztanleak Gastuak
Laukiz 6.748 16.860 €
Maldaukiz 1.230 12.400 €
104●●●
Zenbakizko proportzionaltasuna
Ados nago, baina kontuan hartubehar da Laukizek biztanle
gehiago dituenez, diru kopuruhandiagoa jarri beharko lukeela.Haatik, inguru honetako besteerrepideen mantenuan ere diru
gehiena Laukiz herriak jarri beharizaten du...
Nire ustez, herribakoitzaren biztanle
kopuruarekiko zati zuzenkiproportzionaletan banatubehar genituzke gastuak.
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 206
207
6
16.860 6.748
12.400 100 − x 1.230
16.195.200 ⋅ x = (100 − x) ⋅ 20.737.800
36.933.000x = 2.073.780.000 → x = % 56,15
Laukizek % 56,15 jarriko du, eta Maldaukizek, % 43,85.
x
x100
6 748
1 230
2 400
16 860−= ⋅ =
.
.
.
.
16.195.200
20.7737.800
Zuzena⎯⎯⎯⎯→Alderantzizkoa←⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
Zuzena⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→xAlderantzizkoa←⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ERANTZUNAK
908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 207
208
Progresioak7
GAIOROKORRA
SEGIDAERREPIKARIAK
SEGIDAK
GAI OROKORRA
n GAIREN BATURA
PROGRESIO ARITMETIKOA
GAI OROKORRA
n GAIREN BATURA ETA
BIDERKADURA
INFINITU GAIREN BATURA
PROGRESIO GEOMETRIKOA
INTERES KONPOSATUA
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 208
Printzesaren abere kuttuna
Siziliako errege Frederiko II.ak Gorteko filosofo Joan Palermokoari agindua zionLeonardo Pisakoari azterketa egiteko, ebazpen zaileko problema matematikoak jarrita.
Leonardok, Fibonacci izenez ezagunagoak, ebazpenak aurkeztu zizkien, eta balorazioaren zain geratu zen. Leonardoren lana aztertu ahala, harridura nagusitu zenhaien begiratuan.
Bitartean, Fibonacci pixka bat urrundu eta, eskaileretan eserita, altzoan zeukan untxia laztantzen ari zen neskato batekin solasean hasi zen.
–Nik izan nuen untxi-bikote bat –esan zuen Fibonaccik.
–Zer koloretakoak? –galdetu zion neskatoak.
–Zuriak ziren eta etxean eduki nituen, bikote hura eta haien umeak, 12 hilabetez. Gero aitarekin joan nintzen, eta ezin izan nituen nirekin eraman. Urtebetean 144 bikote nituen!
–Hori ezinezkoa da –esan zion neskatoak, eta den-dena untxiz beteta imajinatu zuen.
–Lehen bikotea bigarren hilabetean hasi zen umatzen, eta umealdi bakoitzeko bikote bat hartzen nuen niretzat. Bikote berri bakoitza, berriz, jaio eta bi hilera hasten zen umeak izaten –gogoratu zuen jakintsuak.
Neskak dena idatzi zuen eta, bat-batean, ulertu zuen.
–Untxi-bikoteen kopurua, hilero, aurreko bi hilabeteko kopuruen batura da.
Zenbat bikote izango lituzke hamalau hilabeteren buruan? Eta bi urteren buruan?
14 hilabete barru zenbat bikote izango lituzkeenjakiteko, a14 kalkulatu behar da:
Bi urte 24 hilabete direnez, a24 kalkulatu behar da:
… a13 a14 a15 a16 a17 a18
… 233 377 610 987 1.597 2.584
a19 a20 a21 a22 a23 a24 …
4.181 6.765 10.946 17.711 28.657 46.368 …
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 …
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 …
Hila U O M A M E U A I U A A
Pareak 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 209
210
ARIKETAK
Adierazi segida hauetan zein diren a1, a3 eta a6 gaiak.
a) 6, 7, 8, 9, 10, …
b) 0, −2, −4, −6, −8, …
c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …
d) −1, −1, −1, −1, −1, …
e) −2, −4, −8, −16, −32, …
f) 1, 2, 3, 5, 8, …
Zehaztu segida horien eraketa-arauak.
a) a1 = 6, a3 = 8, a6 = 11. Zenbaki bakoitza aurrekoa gehi 1 da.
b) a1 = 0, a3 = −4, a6 = −10. Zenbaki bakoitza aurrekoa ken 2 da.
c) a1 = 1; a3 = 0,01; a6 = 0,00001. Zenbaki bakoitza aurrekoa zati 10 da.
d) a1 = −1, a3 = −1, a6 = −1. Zenbaki guztiak −1 dira.
e) a1 = −2, a3 = −8, a6 = −64. Zenbaki bakoitza aurrekoaren bikoitza da.
f) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13. Zenbaki bakoitza aurreko bien batura da.
Idatzi baldintza hauek betetzen dituzten segidak:
a) Lehen gaia 5 da eta ondorengo bakoitza aurrekoa gehi 3 da.
b) Lehen gaia 12 da eta ondorengo bakoitza aurrekoa bider 3 da.
a) 5, 8, 11, 14, 17, ...
b) 12, 36, 108, 324, 972, ...
Egin a1 = 2, a2 = 3 eta a3 = 4 gaiak dituen segida, ondorengo gaiak aurrekohiruren batura izanik.
2, 3, 4, 9, 16, 29, ...
Idatzi segidako lehen lau gaiak eta gai orokorra:
a) an= n2−3n+2 b) an =
a) a1 = 12 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0 a3 = 32 − 3 ⋅ 3 + 2 = 2
a2 = 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 a4 = 42 − 3 ⋅ 4 + 2 = 6
b) a1 = a3 =
a2 = a4 =4 4
2 4 1
8
9
+⋅ +
=2 4
2 2 1
6
5
+⋅ +
=
3 4
2 3 1
7
71
+⋅ +
= =1 4
2 1 1
5
3
+⋅ +
=
nn++
42 1
004
003
002
001
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 210
211
7
Aurkitu segida hauetako bakoitzaren lehen lau gaiak.
a) a1 = −1, an = n + an−1 b) a1 = 2, an = 2a2n−1 − 3n
a) an = n + an−1 → a1 = −1, a2 = 2 + (−1) = 1, a3 = 3 + 1 = 4a4 = 4 + 4 = 8
b) an = 2 ⋅ a2n−1 − 3n
a1 = 2, a2 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 = 8 − 6 = 2
a3 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 3 = 8 − 9 = −1
a4 = 2 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 4 = 2 − 12 = −10
Asmatu segida baten gai orokorra, eta kalkulatu 13, 25 eta 64 gaien balioa.
an = 2n2 + 1 a13 = 339 a25 = 1.251 a64 = 8.193
Idatzi segida hauen gai orokorra.
a) 2, 3, 4, 5, 6, … c) 5, 10, 15, 20, 25, …
b) 3, 6, 9, 12, 15, … d) 8, 11, 14, 17, 20, …
a) an = n + 1 b) an = 3n c) an = 5n d) an = 5 + 3n
Adierazi segida hauek progresio aritmetikoak diren.
a) 1, 0, −1, −2, … c) 2, 4, 7, 11, 16, … e) 11, 10, −1, −2, …
b) 4, 5, 6, 7, 8, 9, … d) 1, 4, 9, 16, 25, …
a) a2 − a1 = 0 − 1 = −1 a3 − a2 = −1 − 0 = −1
a4 − a3 = −2 − (−1) = −1 → d = −1 → Bai.
b) a2 − a1 = 5 − 4 = 1 a3 − a2 = 6 − 5 = 1 a4 − a3 = 7 − 6 = 1
a5 − a4 = 8 − 7 = 1 → d = 1 → Bai.
c) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 a3 − a2 = 7 − 4 = 3 → Ez.
d) a2 − a1 = 4 − 1 = 3 a3 − a2 = 9 − 4 = 5 → Ez.
e) a2 − a1 = 10 − 11 = −1 a3 − a2 = −1 − 10 = −11 → Ez.
Progresio aritmetiko batean, a1 = 4,8 eta a2 = 5,6 dira. Kalkulatu.
a) Diferentzia, d. b) a8 gaia.
a) d = 5,6 − 4,8 = 0,8 b) a8 = 4,8 + 7 ⋅ 0,8 = 10,4
Progresio aritmetiko batean, a4 = 12 da eta diferentzia d = −3. Kalkulatu a1 eta a8.
12 = a1 + 3 ⋅ (−3) → a1 = 12 + 9 = 21 → an = 21 + (n − 1) ⋅ (−3)
a8 = 21 + (8 − 1) ⋅ (−3) = 21 − 21 = 0
010
009
008
007
006
005
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 211
212
Aurkitu progresio aritmetiko hauen gai orokorra.
a) , 1, , 2, , … b) 25, 22, 19, 16, …
a) d = 1 − = ⎯→ an = + (n − 1) ⋅ = n
b) d = 22 − 25 = −3 → an = 25 − (n − 1) ⋅ 3 = 28 − 3n
Progresio aritmetiko batean, lehen gaia 5 da, eta diferentzia, −2. Zehaztu an.
a1 = 5, d = −2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d = 5 − (n − 1) ⋅ 2 = 7 − 2n
Progresio aritmetiko batean, hirugarren gaia 9 da, eta diferentzia, berriz, 7.Aurkitu lehen gaia eta gai orokorra.
a3 = a1 + (3 − 1) ⋅ d → 9 = a1 + 2 ⋅ 7 → a1 = −5
an = a1 + (n − 1) ⋅ d = −5 + (n − 1) ⋅ 7 = 7n − 12
Progresio aritmetiko batean, a6 = 17 eta a9 = 23 dira. Kalkulatu a1 eta gai orokorra.
23 = 17 + (9 − 6) ⋅ d → d = 6 : 3 = 2 → 17 = a1 + 5 ⋅ 2 →→ a1 = 17 − 10 = 7, an = 7 + (n − 1) ⋅ 2
Kalkulatu progresio honen lehen 10 gaien batura: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31,35, 39, …
d = 7 − 3 = 4 → a10 = 3 + 9 ⋅ 4 = 39
S10 = ⋅ 10 = 210
an = 10 − 5n duen progresio aritmetikoa izanik, kalkulatu lehen 25 gaienbatura.
a25 = 10 − 5 ⋅ 25 = 10 − 125 = −115
a1 = 10 − 5 ⋅ 1 = 5
S25 = ⋅ 25 = −1.375
Zazpi loreontzi ilara jarri nahi ditut, halako moldez non lehen ilaran 3 loreontzijarriko baititut, eta ondorengo ilaretako bakoitzak aurrekoak baino 3 loreontzigehiago izango baititu. Zenbat loreontzi jarriko ditut, guztira?
an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n
a1 = 3, a7 = 3 + 6 ⋅ 3 = 21
S7 = ⋅ 7 = 84 loreontzi3 21
2
+
017
5 115
2
−
016
3 39
2
+
015
014
013
012
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
52
32
12
011
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 212
213
7
Zehaztu progresio geometrikoak diren.
a) 1, 5, 25, 125, 625, … d) 3, 9, 24, 33, …b) 7, 14, 28, 56, 112, … e) 4, 4, 4, 4, 4, …c) −1, −2, −4, −8, −16, …
a) → Bai.
b) → Bai.
c) → Bai.
d) → Ez.
e) → Bai.
Aurkitu gai orokorra eta a6 gaia.
a) b)
a)
Ez da progresioa; izan ere,
b)
Progresio geometriko batean, a2 = 2 eta . Kalkulatu an eta a5.
r = ordezkatuko dugu 1. ekuazioan:
eta 2. ekuazioa betetzen dela egiaztatuko dugu: .
r = − bada, 1. ekuazioan: 21
241 1= ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −a a→1
2
41
24
1
8
1
2
3
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =
21
241 1= ⋅ =a a→
1
2
r r2
1
2
2
1
4
1
2= = = ±→2.a : 1.a
⎯⎯⎯→a a r
a a r
2 1
4 13
21
2
= ⋅ =
= ⋅ =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
a412
=020
→ →a ann= ⋅ = ⋅ = =−3 3 3 3 27 3 46 7651
65( ) ( ) ,
a r a r rnn= ⋅ = ⋅ = =−3 3 3 3 31
2→ → →
2
5
2
3�
a
a3
2
2
3=
a
a2
1
2
5=
3 3 3 9 9 3, , , , …23
415
845
, , , …
019
4
4
4
4
4
4
4
41= = = = = r
9
3
24
9�
−−=−−=−−=−−
= =2
1
4
2
8
4
16
82 r
14
7
28
14
56
28
112
562= = = = = r
5
1
25
5
125
25
625
1255= = = = = r
018
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 213
214
eta 2. ekuazioa betetzen dela egiaztatuko dugu:
Beraz, bi ebazpen daude: eta eta
Segida hau izanik: 2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; …
a) Aztertu progresio geometrikoa den. Aurkitu haren arrazoia.b) Kalkulatu gai orokorra.c) Kalkulatu progresio horren lehen 10 gaiak.
a) → Bai.
b) an = 2 ⋅ 1,5n−1
c)
Kalkulatu progresio honen lehen 7 gaien batura:
a2 = a1 ⋅ r → = 3 ⋅ r → r = → an = 3 ⋅ ( )n−1
a7 = 3 ⋅ ( )6 = 3 ⋅ 33 = 81
Amebak 5 min-tik behin ugaltzen dira, erdibiketaz. Zenbat egongo dira 10 orduren buruan?
10 orduan = 10 ⋅ 60 = 600 minutuan: 600/5 = 120 erdibiketa izango dira. Progresio geometrikoa da; a1 = 1 da, eta, r = 2. Beraz: a120 = 1 ⋅ 2120−1 = 6,646 ⋅ 1035.
Kalkulatu progresio geometriko hauen gai orokorra, batetik, eta infinitu gaienbatura, bestetik.
a) a1 = 5 eta r = b) a1 = 2 eta r =
a)
b) a Sn
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−
= =−
21
10
2
11
10
2
9
10
20
9
1
→
a Sn
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−
= =−
51
2
5
11
2
5
1
2
101
→
110
12
024
023
S7
7 33 3 1
3 1
3 3 3 1
3 1187 55=
⋅ −
−=
⋅ ⋅ −
−=
( ) ( ),
3
333 3
3, 3 3 , , 9 , …9 3022
S10
102 1 5 1
1 5 1
113 33
0 5226 66=
⋅ −−
= =( , )
,
,
,,
3
2
4 5
3
6 75
4 5
10 125
6 751 5= = = =
, ,
,
,
,,
021
a a5
5 1
541
24
1
16
1
44
1= ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ = = − ⋅ −−
y ( )22
41
16
1
4
5 1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ = −−
( )
an
n
= − ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
( )41
2
1
an
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
41
2
1
( ) ( )− ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =4
1
24
1
8
1
2
3
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 214
Kalkulatu, ahal bada, progresio hauen infinitu gaien batura.
a) b)
a)
Ezin dugu batura kalkulatu, ez delako progresio geometrikoa.
b) a2 = a1 ⋅ r → 3 = 3 ⋅ r → r =Arrazoia bata baino handiagoa da; ezin da batura kalkulatu (infinitua da).
Progresio geometriko batean, S = 20 eta a1 = 5. dira. Zein da arrazoiaren balioa?
Kalkulatu a1 = 3 eta r = 5 dituen progresio geometriko baten lehen 4 gaienbiderketa
a4 = a1 ⋅ r 3 → a4 = 3 ⋅ 53 = 375 → P4 = = (1.125)2 = 1.265.625
Progresio geometriko batean, a4 = 12 eta r = 3. Kalkulatu lehen 10 gaienarteko biderketa.
a4 = a1 ⋅ r 3 → 12 = a1 ⋅ 33 → a1 =
a10 = a1 ⋅ r 9 → a10 = ⋅ 39 = 4 ⋅ 37 = 8.748
P10 = = (3.888)5 = 8,884 ⋅ 1017
Gai orokorra an = 4 ⋅ 2n−1 duen progresio geometrikoa izanik, kalkulatu P6.
Aurkitu a1 = 1 eta P5 = 1.024 dituen progresio geometriko baten arrazoia.
Kalkulatu 200 € urteko % 2an 10 urtez edukita lortzen den kapitala.
K10 = 200 ⋅ = 200 ⋅ 1,22 = 243,80 €12
100
10
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
031
1 024 1 024 220 10. .= = =r r r→ →a5 = r 4
⎯⎯→P a5 551 024 1= = ⋅. ( )
030
a P65
664 2 128 4 128= ⋅ = = ⋅ =→ ( ) 134.217.728
029
4
98 748
10
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟.
4
9
12
27
4
9=
028
( )3 375 4⋅
027
Sa
r rr r r r=
−=−
− = − = − = =1
120
5
11
5
201
1
41
1
4
3
4→ → → → →
026
33
a
a
a
a2
1
3
2
2
5
2
3= =�
3, 3 3 , , 9 , …9 323
415
845
, , , …
025
215
7ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 215
216
Kalkulatu euroaren 50 zentimo urteko % 5ean mende batez edukita lortukolitzatekeen kapitala. Zenbat izango litzateke kapitala, korritua % 1 balitz?
K100 = 0,50 ⋅ = 65,75 €
Kalkulatu, hileko % 1eko interes konposatuan, 3 urteren buruan 3.000 €ematen dituen kapitala.
3.000 = K ⋅ → 3.000 = K ⋅ 1,43 → K = 2.097,90 €
Kalkulatu, urteko % 10eko interes konposatuan jarrita, hiru urteren buruan133,10 € ematen dituen kapitala.
133,10 = K ⋅ → 133,10 = K ⋅ 1,331 → K = 100 €
ARIKETAK
Idatzi segida hauen hurrengo gaiak.
a) 5, 6, 7, 8, 9, … c) 7, 14, 21, 28, 35, …
b) 30, 20, 10, 0, −10, … d) 1, 5, 25, 125, …
Zein eraketa-irizpideri jarraitzen dio bakoitzak?
a) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... → Banaka handitzen da.
b) 30, 20, 10, 0, −10, −20, −30, −40, ... → 10naka txikitzen da.
c) 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... → 7naka handitzen da.
d) 1, 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.625, ... → 5ez biderkatuz handitzen da.
1, 8, 27, 64, … segida izanik
a) Zein da seigarren gaia? b) Eta eraketa-irizpidea?
a) 63 = 216 b) an = n3
1, 4, 9, 16, 25, … segidak an = n 2 du gai orokortzat. Aurkitu segida hauen gai orokorrak.
a) 2, 8, 18, 32, 50, … c) 4, 9, 16, 25, …
b) 3, 6, 11, 18, 27, … d) 16, 25, 36, 49, …
a) an = 2n2 c) an = (n + 1)2
b) an = n2 + 2 d) an = (n + 3)2
037●●
036●●
035●
110
100
3
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
034
11
100
36
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
033
15
100
100
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
032
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 216
217
7
2, 4, 6, 8, 10, … segidak an = 2n du gai orokortzat. Zehaztu segida hauen gai orokorrak.
a) −1, 1, 3, 5, 7, … c) −2, −4, −6, −8, …
b) 6, 8, 10, 12, … d) 6, 12, 18, 24, 30, …
a) an = 2n − 3 c) an = −2n
b) an = 2n + 4 d) an = 6n
Kalkulatu gai orokor bakoitzak adierazten duen segidaren lehen bost gaiak:
a) an = 2n d) an = 2 + 4(n + 1) f) an = n2 + 3n − 2
b) an = (−3)n+2 e) an = 2 ⋅ g) an =
c) an = 5 − 3n
a) an = 2n → 2, 4, 8, 16, 32, …
b) an = (−3)n+2 → (−3)3, (−3)4, (−3)5, (−3)6, (−3)7, … == −27, 81, −243, 729, −2.187, …
c) an = 5 − 3n → 2, −1, −4, −7, −10, …
d) an = 2 + 4 ⋅ (n + 1) → 10, 14, 18, 22, 26, …
e) an = 2 ⋅ →
f) an = n2 + 3n − 2 → 2, 8, 16, 26, 38, …
g) an = →
Idatzi segida hauetako bakoitzaren lehen bost gaiak.
a) Lehen gaia 5 da eta gai bakoitza aurrekoari 2 gehituta lortzen da.
b) Lehen gaia 2 da, eta ondorengoak lortzeko, aurreko gaia biderkatu
egin behar da zenbakiaz.
c) Lehen gaia 3 da; bigarrena, 4; eta ondorengoak, bi aurrekoen batura.
d) Lehen gaia 8 da eta ondorengoetako bakoitza aurrekoaren erdia da.
a) 5, 7, 9, 11, 13
b)
c) 3, 4, 7, 11, 18
d) 8 4 2 11
2, , , ,
2 11
2
1
4
1
8, , , ,
12
040●
45
4
6
9
7
16
8
25, , , , , …
n
n
+ 32
22
3
2
9
2
27
2
81, , , , , …
1
3
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−n
nn+ 3
2
13
1⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−n
039●
038●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 217
EGIN HONELA
NOLA ZEHAZTEN DA ZATIKIAK DITUZTEN SEGIDA BATZUEN GAI OROKORRA?
Aurkitu segida honen gai orokorra.
LEHENA. Zenbakitzaileen eraketa-irizpidea bilatuko dugu, eta haien gai orokorrazehaztuko.
4, 9, 16, 25, … ⎯⎯→ Lehen gaia 2ren berbidura da.
Bigarrena 3ren berbidura da.
Hirugarrena, 4ren berbidura…
Gai orokorra ⎯⎯⎯⎯→ (n + 1)2
BIGARRENA. Izendatzaileen eraketa-irizpidea bilatuko dugu, eta haien gai orokorrazehaztuko.
1, 3, 5, 7, … ⎯⎯→ Zenbaki bakoitien segida.
Gai orokorra ⎯⎯⎯⎯→ 2n − 1
HIRUGARRENA. Segidaren gai orokorra bi gai orokorren arteko segida izango da.
Gai orokorra ⎯⎯⎯⎯→( )n
n
+−1
2 1
2
41
93
165
257
, , , , …
218
Progresioak
1, 2, 3, 4, 5, … segidak an = n du gai orokortzat.2, 4, 8, 16, … segidak an = 2n du gai orokortzat.Kalkulatu segida hauen gai orokorrak.
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
Aurkitu segida errepikari hauetako bakoitzaren lehen 5 gaiak.
a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1
b) b1 = 2, b2 = 4, bn =
c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3
d) d1 = 2, dn = dn−1 + n
a) 1, 3, −2, 5, −7 c) −1, 0, 1, 0, 1
b) d) 2, 4, 7, 11, 162 4 21
2
1
4, , , ,
bb
n
n
−
−
1
2
043●
an
n
n=
−2 1
2an n=
1
2a
n
nn =
+ 3a
nn =
1
12
34
78
1516
, , , , …452
63
74
, , , , …
12
14
18
116
, , , , …112
13
14
, , , , …
042●●
041
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 218
219
7
Aurkitu segida errepikari hauen eraketa-araua.
a) 3, 4, 7, 11, 18, 29, … c) 1, 2, 3, 6, 11, 20, …
b) d) −5, 1, 6, 5, −1, −6, …
a) a1 = 3, a2 = 4, an = an−1 + an−2
b) a1 = 1, a2 = 3, an =
c) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, an = an−1 + an−2 + an−3
d) a1 = −5, a2 = 1, an = an−1 − an−2
Kalkulatu progresio aritmetiko hauen diferentziak eta gai orokorrak.
a) 10, 7, 4, 1, … c) 7, 2, −3, −8, …
b) d) 16, 8, 0, −8, …
a) d = 7 − 10 = −3 → an = 10 − 3 ⋅ (n − 1) = 13 − 3n
b) d =
c) d = 2 − 7 = −5 → an = 7 − 5 ⋅ (n − 1) = 12 − 5n
d) d = 8 − 16 = −8 → an = 16 − 8 ⋅ (n − 1) = 24 − 8n
Progresio aritmetiko hauen datuekin:
a) a1 = 13 eta a2 = 5, kalkulatu d, a8 eta an.b) b1 = 4,5 eta b2 = 6, kalkulatu d, b10 eta bn.c) c2 = 13 eta d = −5, kalkulatu c1, c8 eta cn.d) h1 = 8 eta h3 = 3, kalkulatu d, h10 eta hn.
a) 5 = 13 + (2 − 1) ⋅ d → d = −8 → a8 = 13 + (8 − 1) ⋅ (−8) = −43 an = 13 + (n − 1) ⋅ (−8)
b) 6 = 4,5 + (2 − 1) ⋅ d → d = 1,5 → b10 = 4,5 + (10 − 1) ⋅ 1,5 = 18 bn = 4,5 + (n − 1) ⋅ 1,5
c) 13 = c1 + (2 − 1) ⋅ (−5) → c1 = 18 → c8 = 18 + (8 − 1) ⋅ (−5) = −17cn = 18 + (n − 1) ⋅ (−5)
d) 3 = 8 + (3 − 1) ⋅ d → d = −2,5 → h10 = 8 + (10 − 1) ⋅ (−2,5) = −14,5 hn = 8 + (n − 1) ⋅ (−2,5)
Egizu kontu 2, 4, 6, 8, 10, ... segida dugula
a) Progresio aritmetikoa al da? c) Kalkulatu 30. gaia.b) Aurkitu gai orokorra.
a) Bai, progresio aritmetikoa da; d = 4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 10 − 8 = 2.
b) an = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n
c) a30 = 2 ⋅ 30 = 60
047●
046●
2 2 2 2 2 2 1 2− = = + ⋅ − =→ a n nn ( )
2 2 2 3 2 4 2, , , , …
045●
a
an
n
−
−
1
2
1 3 3 113
13
1, , , , , , , …
044●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 219
220
segida izanik:
a) Egiaztatu progresio aritmetikoa den.b) Aurkitu gai orokorra.
a)
b)
Progresio aritmetiko baten gaiak kalkulagailuaz lor daitezkeela jakinik,batugai konstante honen bidez:
d a1 …
aurkitu progresio aritmetiko hauetako bakoitzaren lehen 10 gaiak.
a) a1 = 8; d = 5 c) c1 = −10; d = 3
b) b1 = 3; d = −5 d) h1 = −12; d = −8
a) 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53
b) 3, −2, −7, −12, −17, −22, −27, −32, −37, −42
c) −10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17
d) −12, −20, −28, −36, −44, −52, −60, −68, −76, −84
Progresio aritmetiko batean, a10 = 32 eta d = 5 dira. Aurkitu a25 gaiaren balioa.
a25 = a10 + (25 − 10) ⋅ d → a25 = 32 + 15 ⋅ 5 = 32 + 75 = 107
Beste batean, dira.
a) Aurkitu a1 eta d.
b) Zehaztu gai orokorra.
a)
b)
Progresio aritmetiko batean, a8 = 12 eta a12 = 32 dira. Kalkulatu diferentzia etagai orokorra.
a n nn = − + ⋅ − = − +23 5 1 28 5( )
a a d1 8 7 12 35 23= − ⋅ = − = −
a a d da a
12 812 84
4
32 12
45= + =
−=
−=→
052●●
a nn = − + − ⋅1
61
1
3( )
d a a a a= − = − = = − ⋅ = − ⋅ = −4 3 1 35
6
1
2
1
32
1
3
1
22
1
3
1
6→
a a3 412
56
= =eta051●●
050●
=====++
049●
a nn n
n = + − ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− −=
−5
31
1
3
5 1
3
6
3( )
( )
4
3
5
31
4
3
2
31
1
3
2
3
1
3− = − = − = − = − = d
53
43
123
0, , , , , …048●
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 220
221
7
Progresio aritmetiko batean, a1 = 7 eta d = 6 dira. Aurkitu 79 balioa duen gaiazer posiziotan dagoen.
a1 = 7, d = 6 → an = 7 + (n − 1) ⋅ 6 → 79 = 7 + 6 ⋅ (n − 1) → → 72 = 6 ⋅ (n − 1) → 12 = n − 1 → n = 13
Aurkitu progresio aritmetiko hauen gai orokorra.
a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85, … c)
b) 5, 2, −1, −4, −7, … d)
a) a1 = 1,73; d = 0,04 → an = 1,73 + (n − 1) ⋅ 0,04 = 1,69 + 0,04n
b) a1 = 5, d = −3 → an = 5 − 3 ⋅ (n − 1) = 8 − 3n
c) a1 = , d = → an = + ⋅ (n − 1) = n
d) a1 = , d = → an = + ⋅ (n − 1) =
Aurkitu a4 = 13 eta a2 + a11 = 41 betetzen duen progresio aritmetikoaren gai orokorra.
a4 = a2 + 2d = 13 → a2 = 13 − 2d
Ordezkatu egingo dugu, d kalkulatzeko:
a2 + a11 = 41 → a2 + a2 + (11 − 2) ⋅ d = 41 → 2a2 + 9d = 41 →→ 2 ⋅ (13 − 2d) + 9d = 41 → 26 − 4d + 9d = 41 →→ 5d = 41 − 26 = 15 → d = 3
Eta ordezkatuz:
a2 = 13 − 2d → a2 = 13 − 2 ⋅ 3 = 13 − 6 = 7
a2 = a1 + d denez → 7 = a1 + 3 → a1 = 4.
Gai orokorra hau da: an = 4 + (n − 1) ⋅ 3 = 1 + 3n.
Zortzi gai dituen progresio aritmetiko batean, lehena eta azkena batuta emaitza21 da. Hirugarren gaia 6 da. Idatzi progresioa.
� → a1 = 6 − 2d
a1 + a8 = 21 → a1 + a1 + (8 − 1) ⋅ d = 21 → → 2a1 + 7d = 21 → 2 ⋅ (6 − 2d) + 7d = 21 → → 12 − 4d + 7d = 21 → 3d = 21 − 12 → 3d = 9 → d = 3
Eta bakanduz: a1 = 6 − 2d = 6 − 2 ⋅ 3 = 0.
Beraz, an = (n − 1) ⋅ 3 = 3n − 3 → 0, 3, 6, 9, ...
a1 + a8 = 21a3 = a1 + 2d = 6
056●●●
055●●●
− +1 2
a
n
a
2
a
1
a
2
a
1
a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 3 5 7a a a a
, , , , …
12
132
2, , , , …
054●●
053●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 221
Interpolatu 1 eta 3 arteko 6 gai, progresio aritmetikoa osa dezaten.
a1 = 1, a8 = 3, d = (3 − 1) : (8 − 1) =
Hona hemen 6 gaiak: .
Interpolatu 5 gai, beheko muga eta goikoa izanik, progresio aritmetikoaosa dezaten.
a1 = , a7 = ,
Hona hemen 5 gaiak: .
Segida hauek progresio aritmetikoak direla jakinik, osatu progresioan falta direngaiak.
a) �, , �, , �, � c) �, , �, �, , �
b) �; 1,5; �; 2,5; � d) �, �, �, , �,
a) d =−
−=
5
6
1
2
4 2
1
6
1
3
1
2
2
3
5
61
7
6→ , , , , ,
83
53
12
14
56
12
060●●●
29
84
41
42
135
84
47
21
241
84, , , ,
d =+
−=
7
2
2
7
7 1
53
84
7
2−
7
2
72
−72
059●●
9
7
11
7
13
7
15
7
17
7
19
7, , , , ,
2
7
058●●
057 EGIN HONELA
NOLA INTERPOLATZEN DIRA PROGRESIO ARITMETIKO BAT OSATUKO DUTEN GAIAK?
Interpolatu 1 eta 9 arteko hiru gai, progresio aritmetikoa osa dezaten.
LEHENA. a1 eta d kalkulatuko ditugu.
Sortu nahi den progresioa honelakoa izango da: 1, a2, a3, a4, 9.
Hortaz: a1 = 1 eta a5 = 9.
Progresioak aritmetikoa izan behar duenez:
an = a1 + (n − 1)d 9 = 1 + (5 − 1)d
9 = 1 + 4d → d = = 2
BIGARRENA. Tarteko gaiak kalkulatuko ditugu.a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7
Interpolatu beharreko hiru gaiak 3, 5 eta 7 izango dira.
8
4
n = 5⎯⎯→
222
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 222
223
7
b) d = (2,5 − 1,5) : (4 − 2) = 0,5 → 1; 1,5; 2; 2,5; 3
c)
d)
Izan dadila an = 4n + 1 progresio aritmetiko baten gai orokorra. Kalkulatu a25 eta lehen 20 gaien batura.
a25 = 4 ⋅ 25 + 1 = 101 → a1 = 4 ⋅ 1 + 1 = 5
S20 = ⋅ 20 = ⋅ 20 = 860
Progresio aritmetiko batean, a8 = 40 eta d = 7 dira. Aurkitu lehen gaia eta lehen10 gaien batura.
a8 = a1 + 7 ⋅ d → 40 = a1 + 7 ⋅ 7 → a1 = −9a10 = a1 + 9d → a10 = −9 + 9 ⋅ 7 = 54
S10 = ⋅ 10 → S10 = ⋅ 10 = 225
Kalkulatu progresio aritmetiko baten lehen 10 gaien batura, baldin etahirugarren gaia 24 bada, eta hamargarrena, berriz, 66.
a3 = 24, a10 = a3 + 7d → 66 = 24 + 7d → 42 = 7d → d = 6
a3 = a1 + 2d → 24 = a1 + 2 ⋅ 6 → a1 = 12
S10 = ⋅ n = ⋅ 10 = 390
Kalkulatu lehen 100 zenbaki bikoitien arteko batura.
a1 = 2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 2 + 2 ⋅ (n − 1) = 2n → → a100 = 2 + 2 ⋅ 99 = 200
S100 = ⋅ n = ⋅ 100 = 10.100
Kalkulatu 200 eta 301 artean dauden 3ren multiploen arteko batura.
a1 = 201, an = 300 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → 300 = 201 + (n − 1) ⋅ 3 →
→ = n − 1 → n − 1 = 33 → n = 34
S34 = ⋅ n = ⋅ 34 = 8.517201 300
2
+a a1 34
2
+
300 201
3
−
065●●
2 200
2
+a a1 100
2
+
064●
12 66
2
+a a1 10
2
+
063●
− +9 54
2
a a1 10
2
+
062●
5 81
2
+a a1 20
2
+
061●
d =−
−=
8
3
5
3
6 4
1
2
1
6
2
3
7
6
5
3
13
6
8
3→ , , , , ,
d =−
−=
1
2
1
4
5 2
1
12
1
6
1
4
1
3
5
12
1
2
7
12→ , , , , ,
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 223
224
Kalkulatu a1 = 7 eta a4 = 40 dituen progresio aritmetikoaren lehen 15 gaienarteko batura.
a4 = a1 + 3d → 40 = 7 + 3d → d = 11
a15 = a1 + 14d → a15 = 7 + 14 ⋅ 11 = 161
S15 = ⋅ n → S15 = ⋅ 15 = 1.260
Kalkulatu lehen n zenbaki arrunten arteko batura.
an = n → Sn = ⋅ n = ⋅ n =
1etik hasita, bata bestearen segidako zenbat zenbaki bakoitiren batura da 2.916?
Zenbaki bakoitiek osatutako segidaren gai orokorra hau da: an = 2n − 1.
Sn = ⋅ n → 2.916 = ⋅ n → 2.916 = n2 → n = 54
Beraz, lehen 54 zenbaki bakoitiak dira.
Kalkulatu diferentzia 4 duen progresio aritmetiko baten batura eta azken gaia,jakinik 12 gai dituela eta lehenengoaren balioa 7 dela.
a12 = 7 + (12 − 1) ⋅ 4 = 51, S127 51 12
2348=
+ ⋅=
( )
069●●
1 2 1
2
+ −na an1
2
+
1 + 3 + 5 + 7 +9+
11 +13+
15+
17+19+21+23+
25+
27+
29+
31 +33 + 35 +
37 +39+
41+43+45+
47+
49
+ 51 + 53…=
2.916068
●●●
n n2
2
+1
2
+ na an1
2
+
067●●●
7 161
2
+a a1 15
2
+
066●
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 27/9/07 17:58 Página 224
225
7
Kalkulatu progresio aritmetiko mugatu baten gaien batura, jakinik lehen gaia 4 dela; azkena, 40; eta diferentzia, berriz, 3.
40 = 4 + (n − 1) ⋅ 3 → n = 13,
Progresio aritmetiko batean, lehen 5 gaien batura 2,5 da. Lehen 8 gaien batura,berriz, 5,2 da. Idatzi progresioa.
S5 = ⋅ n = 2,5 → (a1 + a5) ⋅ 5 = 5
S8 = ⋅ n = 5,2 → (a1 + a8) ⋅ 8 = 10,4
� → a8 − a5 = 3d = 0,3 → d = 0,1
1. ekuazioan ordezkatuz:
a1 + a5 = 1 → 2a1 + 4d = 1 → 2a1 + 0,4 = 1 → 2a1 = 0,6 → a1 = 0,3
Progresioa hau da: 0,3; 0,4; 0,5; 0,6, …
Kalkulatu progresio hauen diferentziak edo arrazoiak, eta aurkitu bakoitzaren gaiorokorra.
a) 3, 6, 12, 24, … c) 1, 1, 1, 1, … e) 16, 8, 0, −8, …
b) 10, 7, 4, 1, … d) 16, 8, 4, 2, 1, … f) 3, 9, 15, 21, …
a) r = 6 : 3 = 2; an = 3 ⋅ 2n−1
b) d = 7 − 10 = −3; an = 10 + (n − 1) ⋅ (−3)
c) r = 1; an = 1
d) r = ; an = 16 ⋅
e) d = 8 − 16 = −8; an = 16 + (n − 1) ⋅ (−8) = (n − 3) ⋅ (−8)
f) d = 9 − 3 = 6; an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n
Progresio geometriko batean, a1 = 4 eta a2 = 3 dira. Aurkitu gai orokorra eta a20.
3 = 4r → r = → an = 4 ⋅ a20 = 4 ⋅
Progresio geometriko batean, a1 = 6 eta a3 = 30 dira. Aurkitu a4 eta gai orokorra.
a3 = a1 ⋅ r 2 → 30 = 6r2 → r = ±
Bi ebazpen daude: an = 6 ⋅ (± )n−1 → a4 = 6 ⋅ (± )3 = ±30 555
5
074●
3
4
19⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
4
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−n3
4
073●
1
2
1
2
1 5⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
− −n n8
16
1
20 5= = ,
072●
a1 + a5 = 1a1 + a8 = 1,3
a a1 8
2
+
a a1 5
2
+
071●●●
S134 40 13
2286=
+ ⋅=
( )
070●●●
ERANTZUNAK
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 225
226
Kalkulatu.
a) a1 = 3 eta r = 5 dituen progresio geometrikoaren gai orokorra
b) 7. gaia.
a) an = 3 ⋅ 5n−1
b) a7 = 3 ⋅ 56 = 46.875
Segida hau izanik
a) Egiaztatu progresio geometrikoa dela.
b) Kalkulatu 10. gaia.
a)
b)
Kalkulatu progresio geometriko hauetako hutsuneetan falta diren gaiak.
a) 1; 0,1; �; 0,001; �
b) �, , , �, , �
c) �, , �, , �
d) �, , �, �,
a) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001
b)
c)
d)
3, 6, 12, 24, ... progresioaren gai orokorra hau da:
a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 3b) an = 3 ⋅ 3n−1
c) an = 3 ⋅ 2n−1
d) Ezin da kalkulatu.
c) an = 3 ⋅ 2n−1
078●
1
4
3
2
9
2 2
27
2 4
81
43 3 3, , , ,
⋅ ⋅
2
3
1
3
1
6
1
12
1
24, , , ,
3
2
1
2
1
6
1
18
1
54
1
162, , , , ,
814
32
112
13
154
16
12
077●●
a10
9
10
2
3
1
3
2
3
2
59 049= ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
.
2
9
2
3
2
27
2
9
2
81
2
27
1
3: : := = = = r
23
29
227
281
, , , , …076●
075●
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 226
227
7
Gai guztiak positiboak dituen progresio geometriko batean, a2 = 60 eta a4 = 2.400. Kalkulatu:
a) Lehen 5 gaiak.b) Gai orokorra.c) Lehen 10 gaiak.
a)
b)
c)
Progresio geometriko batean, a2 = 10 eta a5 = 10.000 dira. Kalkulatu reta progresioaren lehen 10 gaiak. Zein da gai orokorra?
10.000 = 10 ⋅ r 3 → r = 10, an = 10n−1
Lehen 10 gaiak: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000,10.000.000, 100.000.000, 1.000.000.000.
Progresio geometriko batean, gai jakin baten balioa 3.720.087 da. Lehen gaia 7 bada, eta arrazoia 3, zenbatgarren gaiaz ari gara?
3.720.087 = 7 ⋅ 3n−1 → 3n−1 = 531.441 → n − 1 = 12 → n = 13
Progresio geometriko batean, bata bestearen segidako bi gairen balioak 3 eta 4 dira.
Aurkitu gai horien posizioa, a1 = .
an = ⋅ r n−1 = 3
an+1 = ⋅ r n = 4
Eta 1. ekuazioan ordezkatuz:
→
(: 3)
→ n − 1 = 2 → n = 3
3. eta 4. gaiak dira.
Progresio geometriko batean, lehen gaia 5 da eta arrazoia, berriz, 3. Kalkulatu lehen 8 gaien batura.
a1 = 5, r = 3
Sa r
rSn
n
=⋅ −−
=⋅ −−
=18
81
1
5 3 1
3 116 400
( ) ( ).→
083●
327
16
4
3
48
27
16
9
4
3
1
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟
−n
→ ⎟⎟⎟⎟
−n 1
27
16
2716
082●●●
081●●
080●
3 10 60 120 10 2 400 2 800 10 96 000
192 000 10
, , , . , . , . ,
. ,, . . , . . , . .3 840 000 7 680 000 10 153 600 000
ann= ⋅ −3 10 2 10 1( )
3 10 60 120 10 2 400 2 800 10, , , . , .
2 400 60 40 2 102. ·= → = =r r
079●
Zatiketa eginda: = r.4
3
ERANTZUNAK
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
F
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 227
Progresio geometriko batean, bigarren gaia 2 da, eta laugarrena, berriz, . Kalkulatu lehen 6 gaien arteko batura.
a2 = 2, a4 = → a4 = a2 ⋅ r 2 → = 2 ⋅ r 2 → r = ±
a2 = a1 ⋅ r → 2 = a1 ⋅ → a1 = ±4
085
S6
6
41
21
1
21
=
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= =
− ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
63
8
41
21
6
6
o S
( )⎥⎥
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= −1
21
21
8
±⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
2
1
4
1
2= ±
1
2
1
2
12
084●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA PROGRESIO GEOMETRIKO BATEN INFINITU GAIEN BATURA?
Kalkulatu progresio geometriko hauen infinitu gaien batura.
a) a1 = 3 eta r = 2 c) c1 = −2 eta r =
b) b1 = −1 eta r = 2 d) d1 = eta r = −2
LEHENA. Progresioaren arrazoia kalkulatuko dugu.
BIGARRENA. Aukerak aztertuko ditugu.
• r > 1 bada, batura beti da +� edo −�.
a) r = 2 > 1. Honelakoa da segida:3, 6, 12, 24, 48, …
Gai guztien batura +� da.
b) r = 2 > 1. Honelakoa da segida:−1, −2, −4, −8, −16, −32, −64, …
Gai guztien batura −� da.
• −1 < r < 1 bada, S = formula aplikatzen da.
c) −1 < r = < 1. Formula aplikatuta:
S =
• r < −1 bada, ezin da kalkulatu.
d) r = −2 < −1. Honelakoa da segida:
, −1, 2, −4, 8, −16, 32, …
Ezin da infinitu gaien batura kalkulatu.
1
2
c
r1
1
2
11
3
2
2
3
3−
=−
−=
−= −
1
3
a
r1
1 −
12
13
228
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 228
229
7
a1 = 2 eta r = 0,1 dituen progresio geometrikoa izanik, kalkulatu.
a) Lehen 6 gaien arteko batura.b) Infinitu gaien arteko batura.
a)
b) 2,2�
Progresio geometriko batean, a1 = −1 eta r = 7. Kalkulatu.
a) Lehen 10 gaien arteko batura.b) Infinitu gaien arteko batura.
a)
b) Arrazoia 1 baino handiagoa duen progresio geometrikoaren infinitu gaienbatura infinitua da.
Aurkitu progresio honen infinitu gaien arteko batura: 16, 12, 9, , …
a2 = a1 ⋅ r → 12 = 16 ⋅ r → r =
S = → S = = 64
Beheko segidak izanik, kalkulatu, ahal den kasuetan, bakoitzaren infinitu gaienarteko batura.
a) r S= =
−
=1
2
10
11
2
20→
089●●
16
1 3 4− /
a
r1
1−
12
16
3
4=
274
088●
S10
101 7 1
7 1
282 475 248
647 079 208=
− ⋅ −−
= =( ) . .
. .
087●
S =−
= =2
1 0 1
2
0 9, ,
S6
62 0 1 1
0 1 1
1 999998
0 92 22222=
⋅ −−
=−−
=( , )
,
,
,,
086●
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 229
230
b) Ezin da, 3 > 1 delako.
c)
d) Ezin da.
e) Ezin da, segida aritmetikoa da, ez geometrikoa.
f) Ezin da, segida aritmetikoa da, ez geometrikoa.
g) r = 1; beraz, ezin da.
h)
Progresio geometriko baten infinitu gaien arteko batura da,
eta arrazoia, berriz, . Kalkulatu segidaren lehen 4 gaiak.
S = → 15 = 5a1 → a1 = 3
a2 = a1 ⋅ r = 3 ⋅
Progresio geometriko baten 6. gaiaren balioa 18 da, eta laugarrenarena, berriz, 6.
a) Kalkulatu gai orokorra.b) Kalkulatu lehen 10 gaien arteko biderkadura.
a) a6 = a4 ⋅ r 2 → 18 = 6 ⋅ r 2 → r = ±
r = + bada→ a4 = a1 ⋅ r 3 → 6 = a1 ⋅ ( )3 → a1 =
an =
r = − bada → 6 = a1 ⋅ (− )3 → a1 =
an =
b) a10 = = 2 ⋅ 34 = 162
P10 = = (±187,06)5 = ±2,29 ⋅ 1011( )a a1 1010
5
2 3
3162⋅ = ± ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
2
33
2
3310 5⋅ ± = ⋅( )
− ⋅ − −2 3
33 1( )n
6
3 3
2 3
3−=−
33
2 3
33
2
331⋅ = ⋅−( ) ( )n n
6
3 3
2 3
3=33
3
091●●
1
5
3
5
3
25
3
1253 4= = =, ,a a
a
r
a a1 1 1
1
15
4 11
5
15
4
5
4−=
−=→ →
15
154
090●●●
r S= =−
=1
10
10
11
10
100
9→
r =−< −
3
21 →
r S= − =−
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= −1
3
1
11
3
3
4→
r = =
3
21
2
3 →
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 230
231
7
Progresio geometriko baten zortzigarren gaia 1.458 da, eta arrazoia 3.
a) Kalkulatu gai orokorra.b) Kalkulatu progresioaren lehen 8 gaien arteko biderkadura.
a) a8 = a1 ⋅ r 7 → 1.458 = a1 ⋅ 37 → a1 =
(: 729)
b) P8 = = 9724 = 8,926 ⋅ 1011
Progresio geometriko baten bosgarren gaia 160 da, eta bigarrena, berriz, 20.
a) Kalkulatu zazpigarren gaia.b) Kalkulatu progresio horren lehen 7 gaien arteko biderkadura.
a) a5 = a2 ⋅ r 3 → 160 = 20 ⋅ r 3 → r = = 2a2 = a1 ⋅ r ⎯→ 20 = a1 ⋅ 2 → a1 = 10a7 = a1 ⋅ r 6 → a7 = 10 ⋅ 26 = 640
b) P7 = = 807 = 2,097 ⋅ 1013
Kiroldegi batean, asteburuko erabiltzaile kopurua 150 zen hasieran; eta orduz geroztik, aste bukaera oro 30 erabiltzaile gehiago dago.
a) Zenbat erabiltzaile izan zituzten 12. astean?b) Eta lehen 10 asteetan?
Progresio aritmetikoa da; d = 30 da.
a) a12 = 150 + 11 ⋅ 30 = 480 erabiltzaile
b) erabiltzaile
Teresak zaldi bat erosi du eta ferratu egin nahi du. Horretarako, 20 iltze jarri behar dizkiote. Lehen iltzeak euroaren 1 zentimo balio du, eta ondorengo bakoitzak aurrekoak baino zentimo bat gehiago. Guztira, zenbat ordaindu du zaldia ferratzea?
Progresio aritmetikoa da. a1 = 1 da eta d = 1.
a20 = 1 + 19 ⋅ 1 = 20 zentimo
S20 = ⋅ 20 =
= 210 zentimo = 2,10 €
a a1 20
220
1 20
2
+⋅ =
+
095●●
S10150 420 10
22 850=
+ ⋅=
( ).
094●●
( ) ( )a a1 77 710 640⋅ = ⋅
83
093●●
( ) .a a P1 88
8
82
31 458⋅ = ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→
1 458
2 187
2
3
2
33 1.
.= = ⋅ −→ an
n
092●●
ERANTZUNAK
F
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 231
232
Zenbait ordainduko luke Teresak, lehen iltzearen prezioa berdina izanik, ondorengoetako bakoitzaren prezioa aurrekoaren bikoitza balitz?
Progresio geometrikoa da; arrazoia r = 2 da eta a1 = 1.
S20 = → S20 = = 1.048.575 zentimo = 10.485,75 €
Aparkaleku batean 0,25 € kobratzen dute lehenengo ordua. Ondorengo ordubakoitzak, berriz, aurreko ordua kobratu dutenaren bikoitza balio du. Zenbat ordainduko dugu 8 orduz aparkatzea?
Progresio geometriko baten lehen 8 gaien progresio geometrikoa da;
r = 2 da eta a1 = 0,25 → €
Hazkunde bizkorreko zuhaitz baten altuera 1,2 aldiz handiagoa da urtero. Urte hasieran altuera 0,75 cm bazen, zenbateko altuera izango du 10 urtean?Zenbat luzatuko da 10 urte horietan?
Progresio geometrikoa da; r = 1,2 da eta a1 = 0,75.
a10 = 0,75 ⋅ 1,29 = 3,87 m-ko altuera izango du 10 urtean; beraz luzatukodena: 3,87 − 0,75 = 3,12 m.
Pilota bat metro bateko altueratik erortzen utzi dugu, eta egiten duen errebotebakoitzean aurreko errebotearen altuera erdira iristen da. Zer altuerara iritsiko dabosgarren errebotean?
Progresio geometrikoa da; r = 0,5 da eta a1 = 1. Bosgarren errebotea progresioaren 6. gaia da: a6 = 1 ⋅ 0,55 = 0,03125 m.
Baloi bat korridore batean bota dugu, erreboteak eginez, irudian ageri den moduan.
Zazpigarren errebotean pareta jo eta gelditzen bada, zer distantzia izango du egina?
Progresio geometrikoa da; r = da eta a1 = 1.
Lehen 7 gaien batura: m.S7
8
12
31
2
31
2=
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−
= ,8883
2
3
100●●
099●●
098●●
S8
80 25 2 1
2 163 75=
⋅ −−
=, ( )
,
097●●
1 2 1
2 1
20⋅ −−
( )a r
r1
20 1
1
⋅ −−
( )
096●●
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 232
233
7
Kalkulatu putzu baten sakonera, lehen metroa hondeatzea 20 € ordaindu bada,eta gainerakoetan metro bakoitza aurrekoa baino 5 € gehiago bada. Kostu osoa1.350 €-koa izan da.
Progresio aritmetikoa da; d = 5 da eta a1 = 20.
n-ren ebazpen negatiboa ez dugu aintzat hartuko, luzera-neurri negatiboak ez baitu zentzurik.
Igel bat 7 m-ko erradioa duen urmael zirkular baten ertzean dago eta erdirainoiritsi nahi du, jauzika. Lehen jauzia 3 metrokoa egin du; ondoren, jauzibakoitzean aurrekoaren erdia aurreratu du. Lortuko al du erdiraino iristea?
Progresio geometrikoa da; r = 0,5 da eta a1 = 3. Egingo duen gehieneko distantzia gaien batura infinitua da.
; beraz, ez da urmaelaren erdiraino iritsiko.
Bere bizitzako lehen lau hilabeteetan, haurtxo batek % 20 irabazi du hilean.Jaiotzean 2.900 g-ko pisua bazuen, zenbateko pisua izango du laugarrenhilabetearen amaieran?
Progresio geometrikoa da; r = 1,2 da eta a1 = 2.900.
a4 = a1 ⋅ r 3 → a4 = 2.900 ⋅ (1,2)3 = 5.011,2 gramo
Eskailera baten maila guztiak berdinak dira, lehen maila izan ezik: 20 cm da.Ehun eskailera-maila igotzean, 1.505 cm-ko altuera igotzen da. Zenbat da mailabakoitzaren altuera?
h = 99 eskailera-mailetako bakoitzaren altuera
1.505 − 20 = 99 ⋅ h → h = = 15 cm
Kontuan har daiteke 99 eskailera-mailek progresio aritmetikoa osatzen dutela,d = 0 izanik.
1 485
99
.
104●●
103●●
S =−
=3
1 0 56
,m
102●●
1 3501
2
20 20 1 51 1.( ( ) ) ( ( ) )
= =+ + − ⋅ ⋅
=+ + − ⋅
Sa a n d n n
n⋅⋅=
=+
+ − = =
n
n nn n n
25 35
25 35 2 700 0 20
22→ →. m
101●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 233
234
Biologo batek euli-populazio baten bilakaera ikertzen dihardu.
a) Hasierako euli kopurua 50 bada, eta 10 egunetik behin euli-populazioalaukoiztu egiten bada, kalkulatu hamar egunez behingo euli kopuruak osatzenduen progresioaren gai orokorra.
b) Zenbat euli izango ditugu 50 egunen buruan?c) Euli-janaren prezioa, lehen egunean, 1 €-koa bada, eta eguneko 2 zentimo
igotzen bada, aurkitu zein den progresioaren gai orokorra.d) Zehaztu euli-janak 20. egunean izango duen prezioa.e) Kalkulatu euli-janaren kostua lehen 40 egunetan.
a) Progresio geometrikoa da; r = 4 da eta a1 = 50. Beraz, an = 50 ⋅ 4n−1 da.
b) a5 = 50 ⋅ 44 = 12.800 euli
c) Progresio aritmetikoa da; d = 0,02 da eta a1 =1; an = 1 + (n − 1) ⋅ 0,02.
d) a20 =1 + (20 − 1) ⋅ 0,02 = 1,38 €
e) €
Abenduaren 31n, 5.000 € sartu ditugu banku baten gordailuan, urteko % 4an. Dirua 6 urte pasa arte ateratzen ez badugu, zer kapital izango dugu urte bakoitzaren amaieran?
Lehen urtea: €
Bigarrena: €
Hirugarrena: €
Laugarrena: €
Bosgarrena: €
Seigarrena: €C6
6
5 000 14
1006 326 60= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C5
5
5 000 14
1006 083 26= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C4
4
5 000 14
1005 849 29= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C3
3
5 000 14
1005 624 32= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. . ,
C2
2
5 000 14
1005 408= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. .
C1 5 000 14
1005 200= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =. .
106●●
S401 1 78 40
255 60=
+ ⋅=
( , ),
105●●●
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 234
Kalkulatu % 5eko interes konposatuan inbertituta 4 urteren buruan 1.500 €-koazken kapitala ematen duen kapitala.
€
Interes konposatu pean egonik, bi urteren buruan 5.000 €-ko kapitala 6.000 €-koa bihurtu bada, zenbateko interesean egon da inbertituta hasierakokapitala?
Interesa % 9,5koa da.
109
→ →r
1000 095= ,
6 000 5 000 1100
6
51
100 1
2
. .= ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
r r r→ →000
6
51= − →
108●●
1 500 15
100
1 500
15
100
4
..
= ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+⎛
⎝⎜
K K→
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=4
1 234 05. ,
107●●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA KAPITALA HANDITU ETA INTERES KONPOSATUA DUTEN PROBLEMAK?
Familia batek aurrezki-plan bat egin du 4 urtez, urte bakoitzaren hasieran3.000 € inbertituta, urteko %5eko interes konposatuan. Zenbat diru izango duplana amaitzean?
LEHENA. Ekarpen bakoitzaren interesa kalkulatzea.
– Lehen urtean 3.000 € sartu dituzte, eta 4 urtez bankuan egonda, diru kopuruhau lortu dute:
3.000 ⋅ 1,054€
– Bigarren urtean 3.000 € sartu dituzte, eta 3 urtez bankuan egonda, diru ko-puru hau lortu dute:
3.000 ⋅ 1,053€
– Hirugarren urtean 3.000 € sartu dituzte, eta 2 urtez bankuan egonda, diru ko-puru hau lortu dute:
3.000 ⋅ 1,052€
– Laugarren urtean 3.000 € sartu dituzte, eta urte batez bankuan egonda, hau lor-tu dute:
3.000 ⋅ 1,05 €
BIGARRENA. Lortutako kopuruen batura egitea.
3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054
Hala, progresio geometriko baten gaien batura lortzen da, non:
a1 = 3.000 ⋅ 1,05 a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05
S = 13.576,90 €a r a
r4 1
5
1
3 000 3 000
1
⋅ −−
=⋅ − ⋅
−=
. .1,05 1,05
1,05
235
7ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 235
236
Arroxalik 1.000 €-ko haborokina jasotzen du hiruhileko bakoitzaren hasieran. Dirua banketxe bateko gordailuan sartzen badu, urteko %4ko intereskonposatuan, zenbat diru izango du urtebeteren buruan?
Haborokina hiruhilekoaren hasieran jasotzen badu, lehen hiruhilekoari dagokiona 1.000 ⋅ 1,04 da, bigarrenari dagokiona
, hirugarrena eta laugarrena .
Progresio geometriko baten gaien batura kalkulatu behar da
a1 = eta r = izanik.
€
Azterketa batean, galderak zailtasun-maila kontuan hartuta zeuden ordenatuta. Lehenak 2 puntu balio zituen, eta gainerakoek, aurrekoak baino 3 puntu gehiago. Guztira 40 puntu badira, zenbat galdera zituenazterketak?
Progresio aritmetikoa da; d = 3 da eta a1 = 2.
n-ren ebazpen negatiboa ez dugu aintzat hartuko, luzera-neurri negatiboak ez baitu zentzurik.
Izan al daiteke 0 progresio geometriko baten lehen zenbakia? Eta progresio aritmetiko batena?
Progresio geometriko baten lehen gaia 0 bada, gai guztiak 0 izango dira; izan ere, gainerako gaiak kalkulatzeko, lehena arrazoia ber berretzaile jakin batez biderkatu behar da. Bestalde, ez dago inolako eragozpenikprogresio aritmetiko baten lehen gaia 0 izateko.
112●●
401 1
2
2 2 1 3
21 1= =
+ + − ⋅ ⋅=
+ + − ⋅ ⋅=
=
Sa a n n n n
n( ( ) ) ( ( ) )
33
23 80 0 5
22n n
n n n+
+ − = =→ → galdera
111●●●
S4
5
4
1
4
1
4
1 000 1 000
1
=⋅ − ⋅
−
=. .1,04 1,04
1,04
1.050,225 1.009,85
0,00994.080,21
−=
1,041
41.000 · 1,041
4
1.000 · 1,041
41.000 · 1,042
41.000 · 1,043
4
110●●●
Progresioak
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 236
237
7
Har ditzagun a1 � 0 eta r � 0 dituen progresio geometrikoa, eta a1 = 0 duenprogresio aritmetikoa. Bi progresio horiek gaika batuta 1, 1, 2, … segida lortzendugu. Zenbat da lehen 10 gaien batura?
Segida geometrikoa an da eta aritmetikoa, bn (b1 = 0 dela).
Batura hau da: an + bn.
a1 + b1 = 1, eta b1 = 0 denez, a1 = 1.
Beraz: an = rn−1 eta bn = (n − 1) ⋅ d.
→ r 2 − 2r = 0 → r = 0 eta r = 2
r-k ezin duenez 0 izan, r = 2 da eta d = −1.
Lehen 10 gaien batura segida bakoitzeko 10 gaien batura da.
Progresio aritmetiko baten lehen n gaien batura (n > 1) 53 da, eta progresioarendiferentzia 2 da. a1 zenbaki osoa bada, zer balio har ditzake n-k?
Diferentzia: d = 2.
n-k zenbaki osoa izan behar du; beraz, 153ren zatitzailea izango da.
zt (153) = {1, 3, 9, 17, 51, 153}
Ebazpentzat har daitezkeen balioak aztertuko ditugu.
• n = 3 → a1 + 3 − 1 = 51 → a1 = 49, a2 = 51, a3 = 53 eta a3 arteko batura 153 da.
• n = 9 → a1 + 9 − 1 = 17 → a1 = 9, a2 = 11, a3 = 13… eta a9 arteko batura 153 da.
• n = 17 → a1 + 17 − 1 = 9 → a1 = −7, a2 = −5, a3 = −3… eta a17 arteko batura 153 da.
• n = 51 → a1 + 51 − 1 = 3 → a1 = −47, a2 = −45, a3 = −43… eta a51 arteko batura 153 da.
• n = 153 → a1 + 153 − 1 = 1 → a1 = −151, a2 = −149, a3 = −147… eta a153 arteko batura 153 da.
Batura: Sa a n a a n d n
nn=
+ ⋅=
+ + − ⋅ ⋅=
=
( ) ( ( ) )
(
1 1 1
2
1
222 2 1
21 1531
1a n n
a n n+ ⋅ − ⋅
= + − ⋅ =( )
( ))
114●●●
′ =⋅ −
−=
′′ =+ − ⋅
=
⎫
⎬
⎪S
S
10
9
10
1 2 1
2 1511
0 1 10
25
( )
( )( )
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= ′ + ′′ =→ S S S10 10 10 516
a b r d
a b r d
d r1 1
2 22
1
2 2
1+ = + =+ = + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − ⎫⎬⎪⎪⎭⎪
→
⎪⎪ + ⋅ − =r r2 2 1 2( ) →
113●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 237
238
Adierazi 0,5�; zenbakia zatiki gisa; horretarako, idatzi zenbaki hori moduhonetara: 0,5 + 0,05 + 0,005 + … eta kalkulatu progresioaren batura
Progresio geometrikoa da. Gai orokorra:
→ 0,5� = S =
Kalkulatu 2,8� zenbakiaren zatiki sortzailea, progresio baten batuketa erabiliz.
2,8� = 2,8888… denez = 2 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008…
Progresio geometriko baten batura; lehen gaia a1 = 0,8 da eta r = 0,1
2,8� .
ABC triangelu angeluzuzen baten AC aldea 8 zati berdinetan zatitzen dugu,zatiketa-puntuetatik BC aldearekiko lerro paraleloak marraztuz. Baldin eta BCaldearen luzera 10 cm bada, kalkulatu beste 7 zuzenkien luzeren batura.
A-tik AC-ren n zatiketa bakoitzera arteko distantzia da eta antzeko
triangeluak direnez, zatiketatik pasatzen den BC-ren alde paraleloa:
,
Beraz, progresio aritmetikoa osatzen dute eta diferentzia hau da:
d = eta a1 = .
Batura: .S10
5
410 10
2
5
410 5=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ==
225
4
5
4
5
4
nAC AC
x
xn n
810
10
8
5
4
→
→→
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= =
nAC
8
117●●●
= +−
= + =20 8
1 0 12
8
9
26
9
,
,
116●●●
0 5
11
10
5
9
,
−
=an
n
= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
0 51
10
1
,
115●●●
Progresioak
A
B
10 c
m
C
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 238
239
7
EGUNEROKOAN
Julen Gasolek, Herriberriko gasolindegiaren jabeak, erregaia bere gasolindegian hartu ohi duten kamioi-gidarien leialtasuna saritu nahi du.
Puntu horiek menu batez trukatu daitezkekafetegi batean, edo itsas bidaia zoragarri batez.
Mikelek tamaina ertaineko kamioia du, 350 litroko andela duena, eta astero bete ohi du.Gasolio-litroak 1 € baino pixka bat gutxiago balioduenez asteko andel-betetzea 350 € ingurukostatzen zaio.
Gastu berdina egiten jarraitzen badu, lortuko aldu doaneko menua? Eta itsas bidaia?
Laguna duen Anttonek hark baino kamioi handiagoa du, eta esan dio bere ustez ez duela arazorik izango itsas bidaia lortzeko. Andela astean behin betez gero, zenbat litro Gasolio bota beharko ditu astean?
Puntu osoak soilik ematen direla kontuan hartuta, lortutako puntuek progresio aritmetikoa osatzen dute; an = 3n da.
n andel-betetzeren puntuen batura: .Sn n n n
n =+ ⋅
=+( )3 3
2
3 3
2
2
118●●●
ERANTZUNAK
Hilabete honetan, 100 €-ren gasolina hartzendutenei puntuak emango dizkiegu…
Norbait andela betetzera etortzen den lehen aldian puntu bat emango diogu
100 €-ko; bigarrenean, 2 puntu 100 €-ko;hirugarrenean, 3 puntu 100 €-ko;laugarrenean, 4 puntu... eta abar.
100 PUNTUMenua doan
1.000 PUNTUItsas bidaiabilagunentzat.
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 239
240
Hilean lautan betez gero, puntu; beraz, ez du
ez menurik ez itsas bidaiarik lortuko.
Itsas bidaiaren 1.000 puntuak lortzeko:
Beraz, Mikelek 18 aldiz hartu behar du gasoila.
Anttonen kasua progresio geometrikoa da; an = xn da. Hartutako litroak (ehunka) x badira:
Anttonek 10.000 litro erregai hartu behar ditu aldi bakoitzean.
Ekonomiari buruzko aldizkari bateko txosten batek dioenez, merkatuan dagoen pentsio-planik onena Bankuonarena da.
Pentsio-plan batean aldian behingo diru-sarrerak egiten dira: hilean behin, hiruhilekoan behin, urtean behin… Hasieran sartzen den diruak eta urtero gehitzen denak urteko % 4,45eko errentagarritasuna du. Eragozpen bakarra da urtean behin, orobat, % 0,99ko kudeaketa-gastuak kobratzen dituztela.
Berrogei urte baditut, eta urtean 2.000 € sartzea erabakitzen badut, zenbat diru jasoko dut 65 urteak betetzean?
119●●●
→ →1 0004 4
210 1004
2
. = =⋅ + ⋅
= =Sx x
x x
Sx xn n xn xn
n =+ ⋅
=+( )
2 2
2
→
→ →nn
n
=− ± +
=− ±
= =3 9 12 000
6
3 109 58
6
106 58
617 76
. ,,
,
== − = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
112 58
6118 76
,,
1 0003 3
23 3 1 000 0
22. .= =
++ − =S
n nn nn → →
S4
23 4 3 4
230=
⋅ + ⋅=
Progresioak
BANKUONA PENTSIO-PLANA
■ Merkatuko komisiorik txikienakkentzen ditugu
0 Izen-ematekomisioa
0 Diru-itzultzekomisioa
0 Gordailukomisioa
0 ,99 Kudeaketakomisioa
■ Errentagarria
% 4,45urtean.Bermatua!
Ea... 2.000 € sartzen baditut, urte amaieran diru hori gehi % 4,45 izango dut, eta horri guztiari % 0,99
kendu behar diot.Bigarren urtean beste 2.000 €
sartuko ditut, lehen urteko diruarigehitzekoak, eta % 4,45 emango didate baina, berriz ere, guztiari
% 0,99 kendu beharko diot...
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 240
241
7
Urtebetegatik hau dagokio:
Bi urterengatik:
Eta progresio geometriko horri jarraituz, t urterengatik:
Beraz, erretiroa hartzeko falta zaizkion 24 urteetako ekarpenen batura hau da:
S24 =
€= =2.478,47455989
0,0341594572.556,04
2 000 14 45
1001
0 99
100.
, ,⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜1
4 45
1001
0 99
100
24, , ⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟
24
1
14 45
100
, ⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
=
10 99
1001
,
2 000 14 45
1001
0 99
100.
, ,⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞t
⎠⎠⎟⎟⎟⎟
t
2 000 14 45
1001
0 99
100
2
., ,
⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠⎟⎟⎟⎟
2
= ⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞2 000 1
4 45
1001
0 99
100.
, ,⎠⎠⎟⎟⎟⎟
2 000 2 0004 45
1002 000 2 000
4 45
100. .
,. .
,+ ⋅ − + ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =
0 99
100
,
ERANTZUNAK
908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 241
242
Leku geometrikoak.Irudi lauak8
PARALELOGRAMOAKETA TRIANGELUAK
EDOZEINPOLIGONO
ZIRKUNFERENTZIARENLUZERA
IRUDI ZIRKULARRENAZALERA
POLIGONOENANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIARENANGELUAK
IRUDI LAUENANGELUAK
POLIGONOENPERIMETROAKETA AZALERAK
POLIGONOERREGULARRAK
ARKU BATENLUZERA
ZIRKULUARENAZALERA
IRUDI ZIRKULARRENPERIMETROAK ETA AZALERAK
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 242
Jakintsuen aberastasuna
Hura gehiegizkoa zen: hain jakintsua izanda aberatsa ez izateak barkamenik ez zuelaleporatzen zion amak berak. Lehenago ere entzun izan zuen arren, inoiz baino min handiagoa egin zion Tales Miletokoari. Etxean sartu eta plan bat prestatzeari ekin zion.
Astroak aztertu zituen eta urtea laborantzarako oso ona izango zela aurresan zuen. Beraz, zuen diru guztia eta maileguz lortu ahal izan zuena bildu eta Miletoko nahiz alboko Kios herriko olio-prentsa guztiak bereganatu zituen.
Klimari buruz aurresandakoa erabat bete zen. Auzokoak pozik zeuden oliba-uztak etekin onak emango zizkielakoan. Baina olibak ehotzera joan zirenean irribarrea okertu zitzaien, Talesek eskatutakoa ordaintzea beste irtenbiderik ez zutelako.
Mendekua burutu eta aberastu ondoren, prentsak eta lurrak saldu, eta filosofia eta matematika ikasteari ekin zion. Baina aurrez hau esan zien auzokoei: «Zeuek hartu kontuan gainerakoei ematen dizkiezuen aholkuak».
Talesen postulatuetako batek dioenez, zirkunferentzierdi batean inskribatutako angeluak angelu zuzenak dira beti.
Nola egingo zenuke 4 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzena?
Konpasa erabiliz, 2 cm-ko erradioko zirkunferentzia marraztu eta diametro bat markatu behar da. 4 cm-ko luzera izango du eta hipotenusa da. Gero, zirkunferentziarenedozein puntu hartu (diametrokoa ez dena),A, eta puntua diametroaren bi muturrekin elkartuz, triangelu angeluzuzena lortzen da.
A
2 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 243
244
ARIKETAK
Marraztu koadernoan baldintza hauek betetzen dituzten puntuen lekugeometrikoa.
a) 6 cm-ko luzera duen zuzenki baten muturrekiko distantziakideak dira.b) 90°-ko angeluaren aldeekiko distantziakideak.c) P puntutik 2 cm-ra daude.
a) Leku geometrikoa 6 cm-ko luzerako zuzenki baten erdibitzailea da.
b) Leku geometrikoa 90°-ko angeluaren erdikaria da.
c) Leku geometrikoa 2 cm-ko erradioko eta P zentroko zirkunferentzia da.
Zehaztu zuzen batekiko distantziakideak diren puntuen leku geometrikoa.
Zuzen batekiko distantziakideak diren puntuak bi zuzen paralelo dira etajatorrizko zuzenetik distantzia berera daude.
Definitu zuzen gorriak, leku geometriko gisa.
a)
b)
a) Leku geometriko bat da, r zuzenetik distantziaradagoena.
b) r-tik d distantziara eta P puntuarekin lerrokatuta dauden puntuekosatutako leku geometrikoa da, harekin zuzena osatzen dutela.
Marraztu irudiko triangeluen zirkunferentzia zirkunskribatuak.
a) b)
a) b)
004
d
2
003
002
001
Leku geometrikoak. Irudi lauak
dr
r
dP
d
2
d
2
A
C
A B
C
B
A
C
B
C
B
A
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 244
245
8
Marraztu triangelu aldeberdin bat, eta adierazi barizentroa eta zirkunzentroa. Ba aldago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan?
Edozein triangelu aldeberdinetan, barizentroa eta zirkunzentroa bat datoz, erdibitzaileak eta erdibidekoak bat datozelako.
Definitu barizentroa leku geometriko gisa.
Barizentroa aurkako aldeetarako distantzia erpinetarako distantziaren halako bi duten puntuen leku geometrikoa da.
Marraztu triangelu hauetako bakoitzean inskribatutako zirkunferentzia.
a) b)
a) b)
Marraztu triangelu aldeberdin bat eta adierazi ortozentroa zein intzentroa. Ba aldago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan?
Edozein triangelu aldeberdinetan, ortozentroa eta intzentroa bat datoz, erdikariak eta altuerak bat datozelako.
Definitu zirkunferentzia inskribatua leku geometriko gisa.
Zirkunferentzia hau betetzen duen leku geometrikoa da: puntu guztietatikintzentrorako distantzia eta intzentrotik triangeluaren aldeetarako distantziaberdinak dira.
32 cm eta 24 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenean, kalkulatuhipotenusa.
a = + = =32 24 1 600 402 2 . cm
010
009
008
007
006
005
ERANTZUNAK
C
A B
C
A
B
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 245
246
Aztertu ea neurri hauek triangelu angeluzuzen baten aldeen luzerak diren.
a) 8 cm, 5 cm eta 4 cm b) 10 cm, 8 cm eta 6 cm
a) Ez da angeluzuzena, 82 ≠ 52 + 42 delako.
b) Angeluzuzena da, 102 = 82 + 62 delako.
Triangelu angeluzuzen baten bi alde 28 eta 21 cm-koak dira. Zer luzera duhirugarren aldeak?
Alde ezagunak katetoak badira:
Alde ezagunak hipotenusa eta kateto bat badira:
Azaldu zergatik ezin den izan angeluzuzena 35, 77 eta 85eko aldeak dituentriangelua.
35 eta 77 7ren multiploak direnez, haien berbiduren batura ere 7ren multiploa da, eta 85 ez denez 7ren multiploa, haren berbidura ere ez da izango. Beraz, Pitagorasen teorema ez da betetzen.
Kalkulatu zenbatekoa den a, triangelu aldeberdinean eta karratuan.
a) b)
a)
b)
Kalkulatu karratu baten aldearen luzera, jakinik diagonala 8 cm-koa dela.
Kalkulatu 28 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera.016
d 2 2 2 2 22 64 2 32 5 66= + = = = =l l l l l→ → , cm
015
a = + = =6 6 72 8 492 2 , cm
a = − = =4 2 12 3 462 2 , cm
014
013
a = − = =28 21 343 18 522 2 , cm
a = + = =28 21 1 225 352 2 . cm
012
011
ll
ll
l
2 2
2
22
2
282
7844
4 3 136
= +⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
=
→ →
→ . ++ = =
=
l l l
l
2 2 23 3 1363 136
332 33
→ → →
→
..
, cm
Leku geometrikoak. Irudi lauak
4 cma 6 cma
h=
28 c
m
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 246
247
8
Kalkulatu poligono hauen azalera.
a) Trapezioa. Oinarriak, 12 eta 8 cm; altuera, 5 cm.
b) 12 cm eta 9 cm-ko diagonalak dituen erronboa.
a) b)
Kalkulatu irudiaren azalera.
Azalera osoa = Laukizuzenaren azalera + 1. triangeluarena + 2. triangeluarena
Laukizuzenaren azalera = 26 ⋅ 2 = 52 cm2
1. triangeluaren azalera =
2. triangeluaren azalera =
Azalera osoa = 52 + 16 + 30 = 98 cm2
Kalkulatu 3 cm-ko altuera eta 5 cm-ko diagonala dituen laukizuzenaren azalera.
Azalera = 4 ⋅ 3 = 12 cm2
Kalkulatu triangelu bakoitzaren azalera.
Alboko triangeluak berdinak dira:
Erdiko triangeluaren azalera: A =
Kalkulatu heptagono erregular baten apotema. Aldea: 6 cm; azalera: 130,8 cm2.
Kalkulatu 7 cm-ko aldea duen karratuaren azalera, poligono erregularrenazaleraren formula aplikatuz.
A = → A = → A = = 49 cm2
287
2⋅
2
42
ll⋅
2
P a⋅2
022
AP a
aA
P=
⋅=
⋅=
⋅⋅
=2
2 2 130 8
6 76 23→ ,, cm
021
12 10
260
⋅= cm2.
A =⋅=
12 5
230 cm2
020
Oinarria cm= − = =5 3 16 42 2
019
10 6
230
⋅= cm2
16 2
216
⋅= cm2
018
A =⋅=
12 9
254 cm2A =
+ ⋅=
( )12 8 5
250 cm2
017
ERANTZUNAK
10 cm
2 cm
6 cm
26 cm4 cm
10 cm
12 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 247
248
Kalkulatu 6 cm-ko aldea duen hexagono erregularraren azalera.
Apotema 6 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da; triangeluhori bi triangelu angeluzuzenetan bana daiteke.
Kalkulatu alboko irudiaren azalera. Kontuan hartu barrukoa hexagono erregularra dela.
Azalera 2 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera halako.
bi da. Apotema 2 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da.
Irudiaren azalera: 2 ⋅ 10,38 = 20,76 cm2.
Kalkulatu 2 dm2-ko azalera duen triangelu aldeberdinaren altuera eta perimetroa.
Altuera aldearen mende:
h = 0,87 ⋅ 2,14 = 1,86 dm
P = 3 ⋅ 2,14 = 6,42 dm
Kalkulatu 6 cm-ko diametroa duen zirkuluaren azalera.
r = ⎯→ r = = 3 cm
L = 2�r → L = 2� ⋅ 3 = 18,84 cm
A = �r 2 → A = � ⋅ 32 = 28,26 cm2
Bi zirkunferentzia zentrokideren erradioak 5 eta 3 cm-koak dira, hurrenezhurren. Kalkulatu bien arteko koroa zirkularraren azalera. Kalkulatu sortzendituzten zirkuluen azalerak ere.
Koroaren azalera = � ⋅ (R2 − r 2) = � ⋅ (52 − 32) = � ⋅ 16 = 50,24 cm2
Zirkulu handienaren azalera = �r 2 = � ⋅ 52 = � ⋅ 25 = 78,5 cm2
Zirkulu txikienaren azalera = �r 2 = � ⋅ 32 = � ⋅ 9 = 26,26 cm2
027
6
2
d
2
026
A = =⋅
= =20 87
2
4
0 872 14
l ll
,
,,→ dm
h = −⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =l
ll l.2
2
2
2
3
40 87,
025
A =⋅
=12 1 73
210 38
,, cm2
a = − = =2 1 3 1 732 2 , cm
024
A =⋅
=36 5 2
293 6
,, cm2
a = − = =6 3 27 5 22 2 , cm
023
Leku geometrikoak. Irudi lauak
2 cm 2 cm
2 cm 2 cm
2 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 248
Kalkulatu 120°-ko eta 20 cm-ko erradioko sektorearen segmentu zirkularrarenazalera.
AZuzenkia = ASektorea − ATriangelua
ASektorea =
r 2 = h2 + → h = = 17,3 cm
ATriangelua =
AZuzenkia = 418,67 − 173 = 245,67 cm2
Zer erlazio dago bi zirkunferentziaren erradioen artean, bien arteko koroazirkularraren azalera zirkulu handienaren azaleraren erdia bada?
Zirkunferentzia handienaren azalera txikienaren azaleraren bikoitza da; beraz,
zirkunferentzia handienaren erradioa txikienarena bider da.
ARIKETAK
Erlazionatu elementu hauek.
a) Barizentroa 1) Altuerak
b) Intzentroa 2) Erdibitzaileak
c) Zirkunzentroa 3) Erdibidekoak
d) Ortozentroa 4) Erdikariak
a) → 3) c) → 2)
b) → 4) d) → 1)
Marraztu zenbait triangelu angeluzuzen eta adierazi ortozentroa. Non dago?
Angelu zuzenaren erpinean dago.
031●
030●
2
029
b h⋅=
⋅=
2
20 17 3
2173
,cm2
20 10 3002 2− =r
2
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
π ⋅ ⋅=
20 120
360418 67
2 °
°, cm2
028
249
8ERANTZUNAK
C CC
BA
B
ABAH
HH
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 249
250
Marraztu lerrokatuta ez dauden hiru puntu eta haietatik igarotzen denzirkunferentzia.
Puntuak elkartzen dituzten zuzenkiak eta erdibitzaileak marraztuko ditugu. Ebakidura-puntuazirkunferentziaren zentroa da.
Marraztu triangelu angeluzuzen bat eta haren erdibitzaileak. Ondoren, adierazizirkunzentroa. Zer hauteman duzu?
Zirkunzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dago.
Triangelu angeluzuzen isoszele batean, hipotenusa 10 cm luze da. Zirkunferentzia zirkunskribatua bada, zenbatekoa da erradioa?
Intzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dagoenez, hipotenusa da diametroa; beraz, erradioa 5 cm-koa da.
36 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinean, zirkunferentziazirkunskribatua egin dugu. Erdibidekoa 10,39 cm-koa dela jakinik, zenbatekoada zirkunferentziaren erradioa?
Triangelu aldeberdinetan zuzen eta puntu nabarmenak bat datozenez, erradioa barizentrotik zentrorako distantzia da: r = 10,39 ⋅ 2 : 3 = 6,93 cm.
Triangelu angeluzuzenetan, barizentroa, ortozentroa, zirkunzentroa eta intzentroahemen egoten dira:
a) Triangelutik kanpo. c) Alde batean.b) Triangeluaren barruan.
Intzentroa eta barizentroa barruko puntuak dira; ortozentroa etazirkunzentroa, berriz, alde batean daude.
Triangelu angeluzuzen isoszele batean, adierazi zirkunzentroa eta ortozentroa. Triangeluaren bi puntu lotzen dituen zuzenkia hau da:
a) Erdibidekoa b) Erdibitzailea c) Altuera d) Erdikaria
Triangelu angeluzuzen eskalenoetan ere betetzen al da hori?
Zuzenkia bat dator erdibideko, erdibitzaile, altuera eta erdikari batekin. Triangelua eskalenoabada, hori ez da betetzen.
037●●
036●●
035●●
034●●
033●●
032●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
A B
C
O
A
C
O
H
BA
B
C
O
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 250
251
8
Triangelu angeluzuzen isoszeleetan:
a) Hipotenusaren altuera kateto bat baino handiagoa al da?b) Hipotenusaren erdibidekoa kateto bat baino handiagoa ala
txikiagoa da?
a) Ez. Izan ere, altuerak bi triangelu angeluzuzen osatzen ditu eta haienhipotenusa hasierako triangeluaren katetoa da. Hipotenusa alde handiena da.
b) Erdibidekoa altuerarekin bat dator eta txikiagoa da, a) ataleanadierazitakoagatik.
Triangelu angeluzuzen baten hipotenusa 12 cm-koa da, eta kateto bat, 6 cm-koa.Kalkulatu beste katetoaren luzera.
Kalkulatu triangelu angeluzuzen bakoitzean falta den aldearen luzera (a hipotenusa da).
a) a = 34 cm, b = 30 cm b) b = 28 cm, c = 21 cm
a)
b)
Kalkulatu triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren luzera, jakinik katetoenarteko kendura 2 cm-koa dela eta txikienak 6 cm dituela.
Katetoen luzera: 6 cm eta 6 + 2 = 8 cm. Hipotenusaren luzera:
Adierazi ea angeluzuzenak diren triangelu hauek. Hala diren kasuetan, adierazihipotenusaren eta katetoen neurriak.
a) 5, 12 eta 13 cm-ko aldeak dituen triangelua.
b) 6, 8 eta 12 cm-ko aldeak dituen triangelua.
c) 5, 6 eta cm-ko aldeak dituen triangelua.
d) 7, 24 eta 25 cm-ko aldeak dituen triangelua.
a) → Angeluzuzena. Hipotenusa 13 cm luze da,eta katetoak, 12 cm eta 5 cm luze.
b) → Ez da angeluzuzena.
c) → Angeluzuzena. Hipotenusa cm luze da, etakatetoak, 6 cm eta 5 cm luze.
d) → Angeluzuzena. Hipotenusa 25 cm luze da,eta katetoak, 24 cm eta 7 cm luze.25 24 7 6252 2= + =
6161 5 62 2= +
12 8 6 100 102 2≠ + = =
13 12 5 1692 2= + =
61
042●
a = + = =36 64 100 10 cm
041●●
a = + = =784 441 1 225 35. cm
c = − = =1 156 900 256 16. cm
040●
b = − = =144 36 108 10 39, cm
039●
038●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 251
252
Kalkulatu adierazitako zuzenkien luzera.
a) b)
a)
b)
Triangelu isoszele baten alde berdinak 7 cm-koak dira, eta beste aldea, 4 cm-koa. Kalkulatu altuera.
72 = h2 + 22
h2 = 72 − 22
h2 = 49 − 4
h = 6,71 cm
Kalkulatu 30 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren altuera.
Aldea: 30 : 3 = 10 cm. Altuera: Azalera: 10 ⋅ 8,66 : 2 = 43,3 cm2.
Kalkulatu triangelu isoszele baten oinarriaren luzera, jakinik alde berdinak 17 cm-koak direla, eta altuera, 8 cm-koa.
Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuz gero, hau lortuko dugu:
bb
217 8 225 15 302 2= − = = =cm cm→
046●●
100 25 75 8 66− = = , cm
045●●
h = 45
044●
FE = + =18 16 34→FB FC FD= + = = + = = + =4 4 8 1 8 3 9 9 18→ → →
EB EC ED= + = = + = = + =1 4 5 1 5 6 1 6 7→ →
043●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
2 cm
4 cm
2 cm
1 cm
3 cm
2 cmA
A F
E
E?
?
DD
B B
CC
1 cm
1 cm
1 cm
7 cm 7 cm
h
4 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 252
Kalkulatu triangelu isoszele baten alde berdinen luzera, jakinik alde desberdinak42 cm dituela eta altuera 20 cm-koa dela.
Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
Kalkulatu 6 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera.
Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
049
h2 2
2
2 2
2
3
436
3
448 6 93= −
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = = = =l
ll l l→ → , cm
048●●
l = + = =21 20 841 292 2 cm
047●●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA EDOZEIN TRIANGELUREN ALTUERA, ALDEEN LUZERA
JAKINIK?
Kalkulatu 5 cm, 8 cm eta 10 cm-ko aldeak dituen triangeluaren altuera.
LEHENA. Triangelua marraztu eta elementu guztiak izendatu behar dira.
Altuerak oinarria bi zatitan banatzen du:
• AH; haren luzerari x esango diogu.
• HB; haren luzera 10 − x izango da.
BIGARRENA. Lortutako bi triangelu angeluzuzenei Pitagorasen teorema aplikatubehar zaie.
AHC triangeluan: 52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2
HBC triangeluan: 82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2
HIRUGARRENA. Bi adierazpenak berdindu eta ekuazioa ebatzi behar da.
25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x)
25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x20x = 61 → x = 3,05 cm
LAUGARRENA. h kalkulatu behar da.
h x h2 2 2 2 25 5 3 05 3 96= − = − =→ , , cm
h xh x
x x2 2 2
2 2 22 2 25
8 105 8 10= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − −( )
(→ ))2
253
8ERANTZUNAK
5 cm 8 cm
C
A H B
x 10 − x
h
10 cmG F
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 253
254
Kalkulatu triangelu baten altuera, jakinik aldeen luzerak hauek direla:
a) AB = 4 cm BC = 7 cm CA = 9 cmb) AB = 6 cm BC = 10 cm CA = 14 cmc) AB = 5 cm BC = 11 cm CA = 15 cm
a)
16 − x2 = 49 − 81 + 18x − x2
18x = 48 → x = 2,67 cm
b)
36 − x2 = 100 − 196 + 28x − x2
28x = 132 → x = 4,71 cm
c)
25 − x2 = 121 − 225 + 30x − x2
30x = 129 → x = 4,3 cm
Kalkulatu P puntuaren eta A puntuaren arteko distantzia, CP zuzenkiaren eta DP zuzenkiaren luzerak berdinak izan daitezen grafikoetan.
a) b)
a) Baldin CP = PD = d
4 + x2 = 9 + 49 − 14x + x2
14x = 54 → x = 3,86 cm
b) Baldin CP = PD = d
4 + x2 = 9 + 36 − 12x + x2
12x = 41 → x = 3,42 cm
d x d2 2 22 4 18 49 3 96= + = + =→ , , cm
d xd x
x x2 2 2
2 2 22 2 2 22
3 62 3 6= +
= + −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = + −( )
( )→
d x d2 2 24 16 18 49 5 56= + = + =→ , , cm
d xd x
x x2 2 2
2 2 22 2 2 24
3 74 3 7= +
= + −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = + −( )
( )→
051●●●
h x h2 2 25 25 18 49 2 55= − = − =→ , , cm
h xh x
x2 2 2
2 2 22 2 25
11 155 11 15= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −( )
(→ −− x)2
h x h2 2 26 36 22 22 3 71= − = − =→ , , cm
h xh x
x2 2 2
2 2 22 2 26
10 146 10 14= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −( )
(→ −− x)2
h x h2 2 24 16 7 11 2 98= − = − =→ , , cm
h xh x
x x2 2 2
2 2 22 2 2 24
7 94 7 9= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − −( )
( )→
050●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
7 cm
4 cm
C
A
P
D
B 6 cm
2 cm3 cm 3 cm
C
A
P
D
B
908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 254
255
8
Kalkulatu zer luzera duen x-k irudietan.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Behatu irudiari eta kalkulatu.
a) Erronboaren aldea.b) AB, katetoaren luzera, AC katetoarena eta BC hipotenusarena.
a)
b)
Kalkulatu irudi hauen perimetroa.
a) b)
a)
P = 28 + 25 + 18 + 26,93 = 97,93 cm
b)
P = 17,46 + 14 + 28 + 12 + 18,44 + 8,6 + 5 + 28 + 16 = 147,5 cm
c = + = =14 12 340 18 442 2 , cm
b = + = =5 7 74 8 62 2 , cm
a = + = =16 7 305 17 462 2 , cm
x = + = =25 10 725 26 932 2 , cm
054●●
BC AC AB AC= + = + =2 2 2 224 18 30→ cm
ABd
d= + = + =2
12
212 18 cm
ACD
D= + = + =2
16
216 24 cm
l = + = + = =8 6 64 36 100 102 2 cm
053●●
x = − = − = =117 9 117 81 36 62
2 cm
x = + = =8 5 89 9 432 2 , cm
10100
250 7 072 2 2 2= + = = =x x x x→ → , cm
x = + = =4 4 32 5 662 2 , cm
052●
ERANTZUNAK
117 cm
4 cmx
x
5 cm
10 cm x
9 cm
8 cm
x
G F
12 cm
GF
16
cm
C
l
A B
25 cm
28 cm 18 cm
12 cm
5 cm16 cm
14 cm
7 cm
28 cma
c
b
x
908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 255
256
Behatu irudiari.
Laukizuzenaren aldeak 15 eta 20 cm luze badira,zer luzera du zirkunferentziaren erradioak?
Erradioa diagonalaren erdia da:
Demagun tangram txinatarraren zazpi pieza hauek ditugula.
Kalkulatu tangram honen pieza bakoitzaren azalera.
Karratuaren diagonala kalkulatuko dugu:
ATriangelu handiena =
ATriangelu ertaina = = 12,5 cm2
ATriangelu txikiena =
AKarratua =
AErronboidea = b ⋅ h = → AErronboidea = 5 ⋅ 2,5 = 12,5 cm2
Pieza guztien azaleren batura karratuaren azalera osoaren berdina dela egiaztatuko dugu, 102 cm2:
2 ⋅ 25 + 12,5 + 2 ⋅ 6,25 + 12,5 + 12,5 == 50 + 12,5 + 12,5 + 12,5 + 12,5 = 100 cm2
Aukeratu erantzun zuzena, kasu bakoitzean.
a) 2 cm eta 4 cm-ko diagonalak dituen erronboaren azalera hau da:I) 4 cm2 III) 6 cm2
II) 2 cm2 IV) 12 cm2
b) 10 cm eta 8 cm-ko oinarriak eta 6 cm-ko altuera dituen trapezioaren azalera:I) 240 cm2 III) 108 cm2
II) 54 cm2 IV) 60 cm2
c) 10 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren azalera hau da:I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2
II) 50 cm2 IV) 100 cm2
a) → I) 4 cm2 b) → II) 54 cm2 c) → I) 86,6 cm2
057●
l l
2 4⋅
d
4
10 2
4
100 2
16
2 2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=
⋅= 112 5, cm2
d d
4 4
2
10 2
4
10 2
4
2
100 2
16 26 25
⋅=
⋅=
⋅⋅
= , cm2
5 5
2
⋅
5 2 5 2
2
25 2
225
⋅=
⋅= cm2
d d= + = =l l l2 2 2 10 2→ cm
056●●●
r =+
= =400 225
2
625
212 5, cm
055●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
20 cm
15 cmG
5 cm
5 cm
2,5 cm2,
5 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 256
257
8
Triangelu isoszele baten azalera 24 m2-koa da, eta alde desberdinaren luzera, 6 m-koa. Kalkulatu beste aldeen luzera.
Triangelu angeluzuzen baten azalera 12 cm2-koa da, eta kateto baten luzera, 6 cm-koa. Kalkulatu hipotenusaren luzera.
Beste katetoaren luzera: 12 ⋅ 2 : 6 = 4 cm
eta hipotenusarena:
Kalkulatu 90 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren azalera.
Aldea: 90 : 3 = 30 cm
Altuera:
Azalera =
Triangelu aldeberdin baten azalera 30 cm2-koa bada, kalkulatu aldearen luzera.
Aldea x bada, altuera: h =
Azalera = 30 = → x = 8,32 cm
Kalkulatu 13 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzenaren azalera, kateto bat 5 cm-koa bada.
Beste katetoa: eta azalera: (5 ⋅ 12) : 2 = 30 cm2.
Kalkulatu karratu baten azalera, jakinik diagonala 7,07 cm-koa dela.
Karratua erronbo gisa hartzen badugu, azalera: (7,07 ⋅ 7,07) : 2 = 25 cm2.
Kalkulatu laukizuzen honen azalera.
Oinarriaren erdia: , eta beraz, azalera: 10 ⋅ 8 = 80 cm2.
Kalkulatu laukizuzen baten azalera. Oinarria: 10 cm; diagonala: cm.
Altuera: eta azalera: 10 ⋅ 4 = 40 cm2.116 100 4− = cm
116065●●
41 16 5− = cm
064●●
063●●
169 25 144 12− = = cm
062●●
xx
x⋅
=
3
2
2
3
4
2
xx x
− =2
3
2.
061●●
25 98 30
2789 7
,,
⋅= cm2
30 15 675 25 982 2− = = , cm.
060●●
36 16 52 7 21+ = = , cm.
059●●
Ab h h
h=⋅
=⋅
=⋅=
= + = +2
246
2
24 2
68
3 8 9 642 2 2 2
→ →
→ →
m
l l ll = =73 8,54 m
058●●
ERANTZUNAK
4 cm41 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 257
258
Kalkulatu laukizuzen baten azalera; oinarria: 7 cm; perimetroa: 24 cm.
7 + 7 + 2h = 24 → 2h = 10 → h = 5 cm
Azalera = 5 ⋅ 7 = 35 cm2
Kalkulatu margotutako gunearen azalera.
A = 6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 + 11 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2
068
067●●
066●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
4 cm
6 cm
9 cm
4 cm 11 cm
8 cmF
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ISOSZELE BATEN AZALERA, ALTUERA JAKIN GABE?
Kalkulatu trapezio isoszele honen azalera.
LEHENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenaren oinarria kalkulatu behar
da. Trapezio isoszelea denez, altuerek bi triangelu angeluzuzen berdin mugatzen dituzte; haien oinarriak trapezioaren oinarrien arteko kenduraren erdia dira.
BIGARRENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenari Pitagorasen teoremaaplikatu behar zaio.
1,52 + h2 = 2,52
h2 = 2,52 − 1,52 = 4
HIRUGARRENA. Azalera kalkulatu behar da.
AB b h
=+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( )
2
8 5 2
213 2cm
h = =4 2 cm
AE FBAB CD
= =−
=−
=2
8 5
21,5 cm
5 cmD C
A 8 cm
2,5 cm
B
5 cmD
hh
C
A 8 cm
2,5 cm2,5 cm
1,5 1,5
BE F
D
h
A
2,5 cm
1,5
E
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 258
259
8
Kalkulatu trapezio isoszele hauen azalera.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Kalkulatu irudi hauen azalerak:
a) 2 cm-ko aldeko hexagono erregularrarena.b) 48 cm-ko perimetroko oktogono erregularrarena.
a) Apotema hau da:
b) Aldea 6 cm luze da.
6 18 4 24
4 246
27 24
2 2 2= + = =
= + =
=⋅
x x x
a
AP a
→ ,
, ,
cm
cm
22
48 7 24
2173 76=
⋅=
,, cm2
a
AP a
= − = =
=⋅=
⋅=
2 1 3 1 73
2
12 1 73
210 38
2 2 ,,
,
cm
cm2
070●●
b
AB b h
= − ⋅ =
=+ ⋅
=+ ⋅
=
14 2 4 6
2
14 6 3
230
m
m2( ) ( )
AEB AB= − = == = + ⋅ =
4 13 3 5 4 81 2 197 2 2 19 11 3
2 2, , , ,, ,
m88
2
11 38 7 4 13
237 95
m
m2AB b h
=+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( , ) ,
,
h DE
A
= = ( ) − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =164
24 16
2148 12 17
2 2
, m
==+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( ) ,
,B b h
2
24 16 12 17
2243 4 m2
h DE
AB b
= = −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
=+ ⋅
310 6
25 2 242
2
,
( )
cm
hh
2
10 6 2 24
217 92=
+ ⋅=
( ) ,, cm2
069●●
ERANTZUNAK
6 cm 7 m
16 m
24 m 14 m
4 m3 m
3 cm 3,5 m4,13 m
10 cm
164 m
6 cm x
x
x
D C
EA F B
a
a
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 259
260
Kalkulatu irudiko zuzenki gorriaren luzera.
Zuzenkiaren erdibitzailea marratuz gero,erpinerako distantzia erradioaren erdia da, 3 cm,eta triangelu aldeberdina osatzen du hexagonoarenalde batekin eta zuzenkiaren erdiarekin. Beraz,
zuzenkiaren erdia: eta zuzenkia 10,4 cm-koa da.
Adierazi zer azalera duten margotutako guneek.
a) Karratu handiena − Karratu txikiena − 2 triangelu
A =
b) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero,margotutako gunea triangelu bakoitzaren erdia da, eta beraz, hexagonoarenazaleraren erdia izango da. Hexagonoaren apotema 3,46 cm-koa denez,azalera 41,57 cm2-koa da, eta margotutako gunearena, 20,78 cm2-koa.
c) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero,margotutako gunea triangelu oso bat eta beste biren erdiak dira; hau da, bi triangeluren baliokidea da edo hexagonoaren herena. Hexagonoarenapotema 2,6 cm-koa denez, azalera 23,4 cm2-koa da, eta margotutakogunearen azalera, 7,8 cm2-koa.
d)Azalera osoa triangeluen azalera da:
x =A = Triangelu handiena + Triangelu txikiena == 5,54 ⋅ 5,54 : 2 + 5,54 ⋅ 1,15 : 2 = 18,53 cm2
Kalkulatu 6 cm eta 8 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzeneanzirkunskribatutako zirkuluaren azalera.
Hipotenusa 10 cm-koa da eta diametroarekin bat dator; erradioa 5 cm-koa da, eta azalera, 25π = 78,5 cm2-koa.
Kalkulatu 8 cm-ko aldeko karratuan zirkunskribatutako eta inskribatutakozirkunferentziek mugatutako koroa zirkularraren azalera.
Barruko zirkunferentziaren erradioa aldearen erdia da: 4 cm; eta kanpokoa
diagonalaren erdia ( ): 5,66 cm. Azalera = π ⋅ (32 − 16) = 50,24 cm2
64 64 128 11 31+ = = , cm
074●●
073●●
9 7 67 1 33 1 15− = =, , , cm.
5 2 5 25 2 5
26 252 2− − ⋅
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =,
,, cm2
072●●
36 9 27 5 2− = = , cm,
071●●●
6 cm
Leku geometrikoak. Irudi lauak
4 cm 3 cm5 cm
3 cm
a) b) c) d)
G
5,54 cm
x
3 cm 5,54 cm
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 260
261
8
Kalkulatu 60°-ko anplitudea eta 12π cm-ko luzerako zirkunferentziaren erradioadituen sektore zirkularraren azalera.
Zirkunferentzia 12π cm-koa bada, erradioa 6 cm-koa da. Sektorea
zirkuluaren seiren bat denez, azalera:
Kalkulatu zirkulu baten azalera, jakinik haren diametroa eta 7 cm-ko aldea duenkarratuaren perimetroa berdinak direla.
Diametroa 28 cm-koa da, erradioa 14 cm-koa eta azalera: 196π = 615,44 cm2.
5 cm-ko erradioa duen zirkunferentzian triangelu angeluzuzen isoszele batinskribatu da. Kalkulatu zirkuluaren eta triangeluaren arteko azalera.
Triangeluaren oinarria eta diametroa bat datoz, bai eta altuera eta erradioa ere; beraz, azalera: 10 ⋅ 5 : 2 = 25 cm2. Zirkuluaren eta triangeluaren arteko azalera: 25π − 25 = 53,5 cm2.
Kalkulatu margotutako gunearen azalera, jakinik zirkunferentziaren diametroa 10 cm-koa dela.
a) 25π − 2 ⋅ 6,25π = 39,25 cm2
b) 5 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera: , eta
gunearen azalera: 25π − 64,95 = 13,55 cm2.
c) Zirkuluaren erdia da: 25π : 2 = 39,25 cm2.
Kalkulatu irudi hauen azalera.
a) Zirkuluerdi bat da, azalera jakin bat batuta eta kenduta; beraz, azalera zirkuluerdiarena da: A = 36π = 113,04 cm2.
b) Zirkuluerdi bat gehi zirkulu-laurden bat da; hau da, zirkuluaren hirulaurden gehi triangelu aldeberdin bat.
A = 0,75 ⋅ 4π + 2 ⋅ 1,73 : 2 = 11,15 cm2
079●●●
30 4 33
264 95
⋅=
,, cm2
078●●
077●●
076●●
36
618 84
π= , .cm2
075●●
ERANTZUNAK
10 cm
b)a) c)
10 cm10 cm
4 cm
a)
12 cm
b)
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 261
Kalkulatu irudi hauen azalera.
a) Laukizuzen bat ken karratu bat da: A = 7 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 = 26 cm2.
b) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko irudiaren azalera da: A = 10 ⋅ 4 = 40 cm2.
c) Karratu bat gehi triangelu aldeberdin bat ken zirkulu bat da:
h = = 4,33 → A = 5 ⋅ 5 + (5 ⋅ 4,33) : 2 − 4π = 23,27 cm2.
d) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko irudiaren azalera da: A = 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25 cm2.
081
5 2 52 2− ,
080●●●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ZIRKULAR BATEN AZALERA?
Kalkulatu bi erradiok mugatutako koroa zirkularraren zatia (trapezio zirkularra).
LEHENA. Bi sektore zirkularren azalera kalkulatu behar da.
Kasu honetan, 30°-ko anplitudea dute, eta erradioak 20 eta 8 cm-koak dira, hurrenez hurren.
BIGARRENA. Bi sektoreen azaleren kenketa egin.
Trapezio zirkularraren azalera 87,92 cm2-koa da, gutxi gorabehera.
A A1 22104 67 16 75 87 92− = − =, , , cm
A2
228 30
36016 75=
⋅ ⋅=
π, cm
A1
2220 30
360104 67=
⋅ ⋅=
π, cm
262
Leku geometrikoak. Irudi lauak
a) c)
5 cm
7 cm
5 cm
5 cm
2 cm
b) d)
10 cm 2,5 cm
2,5 cm4 cm
3 cm
8 cm
20 cm
30°F
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 262
10 m
6 m
263
8
Kalkulatu aurreko ariketako koroa zirkularrak sortutako trapezio zirkularrarenazalera, anplitudea 120°-koa bada.
Hiruko erregela aplikatuz, hau lortuko dugu:
Kalkulatu trapezio zirkular baten azalera. Erradioak: 12 eta 6 cm. Anplitudea: 270°.
ASektore handiena =
ASektore txikiena =
ATrapezioa = 339,12 − 84,78 = 254,34 cm2
Behatu bitxiloreari eta kalkulatu lore-hosto bakoitzaren zati zuriaren azalera, zatihoriarena eta guztizko azalera.
Zati zuriko sektore bakoitzaren azalera:
A = = 6,28 cm2
Zati horiko sektore bakoitzaren azalera:
A' = = 18,84 cm2
Azalera osoa:
AOsoa = 6 ⋅ (A + A') = 6 ⋅ (6,28 + 18,84) = 6 ⋅ 25,12 = 150,72 cm2
Behatu dorreari eta haren itzalari.
Zer distantzia dago dorrearen punturik altuenaren eta itzalaren muturraren artean?
d2 = 1502 + 2002 → d2 = 62.500 →→ d = 250 m
10 m-ko eskailera bat horma baten kontra dago jarrita. Eskaileraren oinaren eta hormaren artean 6 m daude.Zer altuera hartzen du eskailerak horman?
102 = h2 + 62 → h2 = 100 − 36 = 64 → → h = 8 m
086●●
085●●
π ⋅ − ⋅=
⋅ − ⋅( ) , ( )8 4 45
360
3 14 64 16 45
360
2 2
π ⋅ ⋅4 45
360
2
084●●
π ⋅ ⋅=
6 270
36084 78
2
, cm2
π ⋅ ⋅=
12 270
360339 12
2
, cm2
083●●
30 87 92
12087 92 4 351 68
°
°
→→
→,
, ,A
A⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= ⋅ = cm2
082●●
ERANTZUNAK
4 cm45°
GG
10 m
6 m
h
200 m
150
m
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 263
264
Lau angeluko lur-sail baten aldeetan 32 zuhaitz landatu dituzte, 5 m-ko tarteakutzita. Zer azalera du lur-sailak? Zer luzera du aldeak?
32 zuhaitz daudenez eta karratuaren perimetroa osatzen denez, 5 m-ko 32 tarte egongo dira; hau da:
P = 32 ⋅ 5 = 160 m → 4l = 160 → l = 40 m
Azalera hau da: A = l2 → A = 402 = 1.600 m2.
Bide-seinale honek nahitaez gelditu beharra adierazten du. Kalkulatu azalera, 90 cm-ko altuera eta 37 cm-ko aldea baditu.
Apotema altueraren erdia da: 45 cm; perimetroa: 37 ⋅ 8 = 296 cm.
Eraikin bateko 50 etxebizitzen oinplanoa irudian ikus daitekeena da. Hexagonoaren aldea 30 m-koa da. Lurreko moketaren prezioa 20 €/m2-koabada, kalkulatu zenbat ordaindu duten eraikin osoko moketa.
Apotema hau da: a =
AHexagonoa =
AKarratua = 302 = 900 m2
ATriangelua =
Solairu baten azalera: 2.340 + 900 + 390 = 3.630 m2.
Solairu bateko moketaren prezioa: 3.630 ⋅ 20 = 72.600 €.
Eraikin osoko moketaren prezioa: 50 ⋅ 72.600 = 3.630.000 €.
Mikelek erronboide formako lorategia du. Bide bat ere badago, eta bidearen neurriak badakizkigu. Kalkulatu lorategiaren azalera eta perimetroa.
Perimetroa: P = 2 ⋅ (x + y) + 2 ⋅ 45 == 2 ⋅ (15,4 + 46,4) + 2 ⋅ 45 = 213,6 m
Azalera: A = b ⋅ a = (x + y) ⋅ 38 == (15,4 + 46,4) ⋅ 38 = 2.348,4 m2
y = − =60 38 46 42 2 , m
x = − =41 38 15 42 2 , m
090●●●
1
230 30
3
2390⋅ ⋅ ⋅ = m2
P aA
⋅=
⋅ ⋅=
2
6 30 26
22 340→ . m2
30 15 675 262 2− = = m.
089●●●
A =⋅
=296 45
26 660. cm2
088●●
087●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
30 m
6 dam
4,1 dam
38 m
4,5
dam
60 m
45 m
38 m
y
x
41 cm
G
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 264
265
8
Beirate triangeluar bat jarri dugu. Kalkulatu beira gorrizko gunearen azalera, jakinik leihoa 1 m-eko aldea duen triangelu aldeberdina dela.
Triangelu gorri bakoitza aldearen 1/8 m da eta aldeberdina;beraz, altuera hau da:
At =
27 triangelu gorri daudenez, azalera osoa hau da:
A = 27 ⋅ 0,007 = 0,189 m2
Pista zirkular batean 15 kg hondar bota dituzte metro koadroko. Guztira 4.710 kg hondar bota badituzte, zer erradio du pistak?
Lehendabizi, pistak zenbat metro koadro dituen kalkulatu behar da:
4.710 : 15 = 314 m2
A = �r 2 → 314 = �r 2 → r 2 = 100 → r = 10 m
30 m-ko diametroa duen pista zirkular batean, 30 kg hondar bota nahi dituztemetro koadroko.
a) Zenbat tona hondar behar dira?b) Eskorga mekaniko batean 5na kg-ko 157 zaku jarri dituzte. Zenbat bidaia
egin beharko dituzte?
D = 30 m → r = 15 m → A = � ⋅ 152 = 706,5 m2
a) 30 kg/m2 ⋅ 706,5 m2 = 21.195 kg � 21,2 t hondar behar dira.
b) Bidaia bakoitzean: 5 ⋅ 157 = 785 kg.
Beraz, = 27 bidaia egin beharko dituzte.
Lorategi karratu batean, zirkulu bat egin nahi dute, lauzak erabiliz, irudian ageri den moduan.
a) Zer azalera du lauzatutako gainazalak?b) Zer azalera du soropila duen gainazalak?
a) AZirkulua = �r 2 → A = � ⋅ 52 = 78,5 m2
b) AKarratua = 102 = 100 m2
ASoropila = AKarratua − AZirkulua = 100 − 78,5 = 21,5 m2
094●●
21 195
785
.
093●●
092●●
b h⋅=
⋅=
2
1 8 0 11
20 007
/m2,
,
h =⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
1
8
1
16
1
64
1
256
32 2
1160 11= , m
091●●●
ERANTZUNAK
1 m
10 m
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 265
266
Gozogile batek azukrea bota du irudikoaren moduko 200 erroskillaren goialdean. 5 kg azukre erabili baditu,zenbat gramo azukre beharko dira erroskilla baten1 cm2 estaltzeko?
Erroskila bakoitzaren goiko aldearen (laua) azalera kalkulatuko dugu:
A = � ⋅ (R2 − r 2) → A = � ⋅ (8,52 − 2,52) = 66� = 207,24 cm2
200 erroskila direnez, estali beharreko azalera:200 ⋅ 207,24 = 41.448 cm2
5 kg azukre erabili badira, cm2-ko kantitate hau behar da:5.000 g : 41.448 cm2 = 0,12 g
Monokulo baten armazoia egin dugu, 10 cm burdin hari erabiliz. Zer azalera izango du armazoian ahokatzen den leiarrak?
L = 2�r → 10 = 2�r → r = 1,6 cm
A = �r 2 → A = � ⋅ 1,62 = 8 cm2
Kalkulatu disko trinko baten gainazal grabagarriaren azalera (argazkian urdinezageri da). Diskoaren azalera osoaren zer ehuneko erabiltzen da grabatzeko?
A = � ⋅ (62 − 22) = � ⋅ 32 = 100,5 cm2
Erabilitako azalera= ⋅100=% 88,9
Lorezain batek soropila landatu du koroa zirkular bat osatuz. Koroa zirkularrean marraz daitekeen zuzenkirik handiena 15 m-koa da?Zer azalera du lorezainak landatutako soropilak
Eskatutako azalera koroa zirkularrarena da:
A = � ⋅ (R2 − r 2)
Zuzenkia 15 cm luze denez, Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
R2 = r 2 + → R2 − r 2 = 7,52
Ordezkatuz, hau lortuko dugu:A = � ⋅ (R2 − r 2) = � ⋅ 7,52 = 176,63 m2
15
2
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
098●●●
100 5
113
,
097●●
096●●
095●●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
R
7,5r
6 cm
5 cmG
F
GF
6 cm
2 cm
GF
GF
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 266
267
8ERANTZUNAK
A B C1.500 m 3.200 m
Hona hemen Brasilgo bandera. Neurtu eta kalkulatu azalera osoaren zer ehuneko dagokion kolore bakoitzari.
AZirkulua = � ⋅ 62 = 113 mm2
AErronboa = D ⋅ d = 27 ⋅ 18 = 486 mm2
ALaukizuzena = 37 ⋅ 24 = 888 mm2
Urdina = ⋅ 100 = % 12,7 Horia =
Berdea =
A hiriko teleferikoa mendi baten oinetik atera eta gailurreraino iristen da. Handik B edo C hirirajoaten da.
a) Zer distantzia egiten du teleferikoak A eta Chirien artean?
b) Eta A eta B hirien artean?
a) Distantzia (A-Gail.) =
Distantzia (Gailurra-C) == 3.298,48 m
Distantzia (A-C) = 1.700 + 3.298,48 = 4.998,48 m
Pintore batek irudi hauek erabili ditu hesi bat apaintzeko. Margotutako hesiarenmetro koadroko 32 € kobratzen badu, zenbat kobratuko du irudi bakoitza?
1. irudia: hesiko irudia lau aldiz errepikatzen da. Irudiaren azalera 2 m-koerradioa duen zirkuluerdiaren azalera da; hau da: A = π ⋅ 4 : 2 = 6,28 m2.
4 irudi direnez, azalera 25,12 m2-koa da, eta prezioa:
⋅ 32 = 0,08 € = 8 zentimo
2. irudia: 5 m-ko aldea duen karratu batean inskriba daitezkeen 8 lore-hostodira, karratuaren diagonalarekiko simetrikoak. Erdi bakoitzaren azalera hau da: 90°-ko angelua eta 5 m-ko erradioa dituen sektore zirkularrarena ken
5 m-ko oinarria eta altuera dituen triangeluarena: .
Lore-hostoaren azalera 14,25 m2-koa da, eta 8 lore-hostoena, 114 m2-koa;
prezioa: ⋅ 32 = 0,36 € = 36 zentimo.114
10 000.
25
4
5 5
27 125
π−
⋅= , m2
25 12
10 000
,
.
101●●●
10 240 000 640 000 10 880 000. . . . .+ = =
2 250 000 640 000 2 890 000 1 700. . . . . .+ = = m
100●●
888 486
888100 45 3
−⋅ = % ,
486 113
888100 42
−⋅ = %
113
888
099●●
4 m10 m
800 m
908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 267
268
Triangelu batean, edozeinetan, erdibidekoak marraztu ditugu, eta 6 triangelueratu dira, barizentroa erpin komuna dutela. Azaldu zergatik duten guztiekazalera bera. Hori aintzat hartuta, frogatu barizentrotik erpin bakoitzerakodistantzia barizentrotik aurkako aldearen erdiko punturakoaren bikoitza dela.
A eta B triangeluen oinarriak berdinak dira (erdibidekoaren definizioa dela-eta), eta altuerak ere berdinak direnez, azalerak bat datoz. Hau da, SA = SB, SC = SD, SE = SF.
Triangelu osoa kontuan hartuta eta arrazoiketa berari jarraituz: SA + SB + SC = SD + SE + SF.
SC = SD denez → SA + SB = SE + SF 2SA = 2SE → SA = SE.
Beraz, SA = SB = SE = SF, eta arrazoiketa edozein erdibidekorekin errepikatuz,SC eta SD-ren berdinak direla lortuko dugu: SA = SB = SC = SD = SE = SF.
denez eta , eta gainera, SB = SC = SD:
→ →
Zer da handiena, ABC triangelu angeluzuzenaren azalera ala L1 eta L2-ren azaleren batura?
(Irudiko zirkunferentzien diametroak triangeluaren aldeak dira.)
A1 eta A2 L1 eta L2-ri dagozkien zirkuluerdi osoen azalerak balira, hiru zirkuluerdien azalera hauek lirateke:
A1 = A2 = A3 =
Pitagorasen teorema aplikatuz:
A1 + A2 = = = = = A3
Triangeluari zirkuluerdi handienaren azalera izateko falta zaion azalera L1 eta L2-ri falta zaiena da. L1 eta L2-ren azalera triangeluaren bera da.
πr 32
2
π(r 12 + r 2
2)
2
πr 22
2
πr 12
2
πr 32
2
πr 22
2
πr 12
2
103●●●
bb h
h
b1
2 2
2 2=
⋅⋅
=22 2
1 2b h b h⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅2
2 21 2b h b h⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
S Sb h
C D+ =⋅2
2S
b hB =
⋅1
2
SA = SB; SE = SF⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
102●●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
C
A B
L1L2
F
A B
E D
C
D
ChB
b2
b1
908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 268
269
8
Alderatu marratutako gunearen eta gune zuriaren azalera.
Zirkulu handienaren laurdenaren erradioa r bada, r/2 bi zirkuluerdi txikiena izango da; eta haien azalerak:
Zirkulu-laurdenaren azalera zirkuluerdien azaleren batura denez, haienebakidura, marratutako gunea, gune zuriaren berdina da (zirkuluerdienkanpokoa).
Karratu hauetan marraztutako zuzenkiak diagonalak dira edo karratuen erpinakaurkako aldeen erdiko puntuekin lotzen dituzten zuzenkiak. Karratuarenazaleraren zer zatiki daude margotuta?
ABC triangelua hartuta, margotutako azalera erdibidekoek elkar ebakitzean eratutako 6 triangeluetako bat da. 102.ariketan ikusi zenez, berdinak dira; hain zuzen, karratuaren
erdiaren seirena, eta dagokion zatikia: .
4 triangelu berdin, 4 trapezio berdin eta karratu bat eratu dira. Triangeluak antzekoak direnez, triangeluen kateto handiena karratuaren aldearen berdina da, eta triangeluenkateto txikiena trapezioen oinarri handienaren berdina. Beraz, trapezio bat eta triangelu bat elkartuz gero, margotutakokarratuaren berdina lortuko dugu, eta horren ondorioz, karratu osoa margotutako 5 karraturen berdina da, eta
dagokion zatikia: .
Aurreko atalean azaldutakoagatik, triangelua trapezioaren herena da eta karratuaren laurdena; beraz, dagokion
zatikia: .
Bigarren ebazpenean bezala, erdiko bi karraturen baliokidea
daukagu, eta dagokion zatikia hau da: .
Lehenengo ebazpenean bezala, c eta a azalerak erdibidekoen bilketaz eratutako triangeluak dira, eta
azalera azalera osoaren da; azalera urdina, berriz,
a azaleraren bikoitza da, eta dagokion zatikia: .1
6
1
12
2
5
1
20
1
5
1
12
105●●●
Ar
A A
rr
A A1
2
2 3
2
2
2 34
22 8
=⋅
= =⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=
⋅+
ππ
π → ==⋅=
π rA
2
14
104●●●
ERANTZUNAK
D C
A B
D C
A
ba c
B
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 269
270
Leku geometrikoak. Irudi lauak
EGUNEROKOAN
Plano honetan bulego-eraikin bat egiteko lur-saila ageri da.Lur-sailak 1.300 m-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren forma du eta hiruerrepide ditu inguruan.
Obrako kontratista eta arkitektoa bat etorri dira eraikinaren kokapenari buruz.
Demagun egin beharreko eraikina karratu formakoa izango dela 484 m2-koazalera izango duela, eta irteerako bideen metro linealak 1.150 € baliokoduela. Zenbat balioko dute egin beharreko hiru bideek?
106●●●
G F
1.300 m
Nik uste dut eraikinareneta hiru errepideen arteko distantziak
berdina izan behar duela...Hala, soinua eta
kutsadura txikiagoak izango dira.
Ados nago… Baina orduan,hiru errepideetarako egin
beharko ditugun hiru sarrerenkostuaren aurrekontua egin
beharko duzu.
908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 270
271
8
Zirkuluan inskribatutako karratua marraztuko dugu, zentroa intzentroanduela, eta zuzenek zirkulua ebakitzean lortutako hexagonoa marraztuko dugu.
Zirkuluaren erradioa karratuaren diagonalaren erdia da.
Hexagonoaren apotema hau da:
Triangeluak antzekoak direnez:
Karratuaren eta alboaren arteko distantzia barizentrotik alborako distantzia ken OD da.
Barizentrotik alborako distantzia altueraren herena da.
Karratutik oinarrirako distantzia altueraren herena ken karratuaren aldearen erdia da:
Distantzien batura hau da:
2 ⋅ 362,57 + 364,28 = 1.089,42 m.
Beraz, prezioa hau da:
1.089,42 ⋅ 1.150 = 1.252.833 €.
1 125 83
3
22
2364 28
. ,,− = m.
Alborako distantzia = − =1 125 83
312 71 362 57
. ,, , mm
h = − =1 300 650 1 125 832 2. . , m
OD
OC
OB
OAOD= =
⋅=→ 11 15 56
13 4712 71
,
,, m
OA = − =242 60 5 13 47, , m
r =+
=484 484
215 56, m
l = =484 22 m
ERANTZUNAK
CD
A B
O
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 271
272
Mendi baten gailurrean errepikagailua jarri nahi dute, inguruan dauden lauherrietako komunikazioak bermatzeko.
Lau herriak laukizuzen baten erpinetan daude kokatuta, eta hauek dira haienarteko distantziak:
Mapan ikus daitekeenez, mendi-gailurraren eta Hargaitz nahiz Herrigoitirenarteko distantziak erraz neur daitezke. Hona hemen distantzia horiek:
Dena den, Sasimendiren eta beste bi herrien arteko distantziak ezin dira hainerraz neurtu, tartean aintzira bat dagoelako.
Antzeko beste errepikagailu batzuetan egin diren neurketei esker, jakina daseinalea onargarria dela 90 km arteko distantzian, baina hortik aurrera ez delahain ona.
107●●●
Leku geometrikoak. Irudi lauak
Hargaitz - Herrigoiti 100 km
Herrigoiti - Herribeheiti 60 km
Hargaitz - Sasimendi 50 km
Herrigoiti - Sasimendi 80 km
Hargaitz Herrigoiti
Haizpe Herribeheiti
Pico de Buey
60 km
100 km
Sasimendi
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 272
273
8
Onargarria izango al da seinalea Herribeheiti eta Haizpe herrietan?
2.500 − x2 = 6.400 − 10.000 + 200x − x2
200x = 6.100 → x = 30,5 km
Distantziak 90 km baino txikiagoak direnez, seinalea onargarria da.
SBH = − + =( , ) , ,60 39 62 30 5 36 682 2 km
SHB = − + − =( , ) ( , ) ,60 39 62 100 30 5 72 422 2 km
h x h2 2 250 2 500 930 25 39 62= − = − =→ . , , km
h xh x
x2 2 2
2 2 22 2 250
80 10050 80= −
= − −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = −( )
→ (( )100 2− x
ERANTZUNAK
908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 273
MOTAKELEMENTUAK AZALERAK
274
Gorputzgeometrikoak9
PRISMAK ETA PIRAMIDEAK
ELEMENTUAK EULERREN FORMULA
POLIEDROAK
PRISMEN ETAPIRAMIDEENBOLUMENAK
CAVALIERIRENPRINTZIPIOA
ZILINDROEN, KONOENETA ESFERENBOLUMENAK
BOLUMENAK
IRUDI ESFERIKOAK AZALERAK
BIRAKETA-GORPUTZAK
KOORDENATUGEOGRAFIKOAK
LUR-ESFERA
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 274
Arkimedesen ondarea
Sizilian, Zizeron arduratuta zegoen haren seme Markoren eredua Julio Zesarrengerlari-izaera eta garaipenak zirelako. Zizeronek honela hitz egin zion semeari:
–Hemendik oso hurbil, Sirakusan, garai guztietako gerra-ingeniari handiena bizi izan zen. Erromatar armadari hiru urtez baino gehiagoz eusteko gai izan zen, bera bakarrik.
Markori interes handia sortu zion gai hark eta aitak Arkimedesen historia kontatu zion. Gainera, biharamunean haren hilobia ikustera joango zirela agindu zion.
Biharamunean, hilobiaren aurrean, Markok Arkimedesen balentriak ikusteko itxaropena zuen, baina zilindro batean inskribatutako esfera bat baino ez zuen aurkitu.
Orduan, Zizeronek esan zion:
–Ingeniaritza militarrean aurrerapen asko egin arren, ez zuen haiei buruz ezer idatzi, baina bai matematikako eta mekanikako liburu asko. Haren ustez, altxorrik handiena hau zen: esferaren bolumena hura barne hartzen duen zilindroaren bolumenaren bi heren dela aurkitzea.
Irudi batzuk irudi lauak biraraziz lortzen dira. Zer irudi dira? Ezagutzen al duzu horrela sortzen den beste irudirik?
Laukizuzen bat haren alde bateninguruan biraraziz zilindroa sortzen da.
Esfera, berriz, zirkuluerdi bat harendiametroa barne hartzen duen ardatzareninguruan biratzean sortzen da.
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 275
276
ARIKETAK
Adierazi zer izen duten poliedro hauek eta zenbat aurpegi nahiz ertz dituzten.
a) b)
a) Hexaedroa: 6 aurpegi eta 10 ertz.
b) Hexaedroa: 6 aurpegi eta 12 ertz.
Egin aurreko ariketako poliedroen garapen lauak eta adierazi zer urratsi jarraitu diezun.
a) b)
Marraztu ertz eta erpin kopuru desberdina duten bi heptaedro.(Erreparatu aurreko adibideei.)
Poliedro hau kubo moztu bat da (kuboaren erpin guztiak moztuta daudetriangelu aldeberdin bana osatzen dutela).
Poliedro ahurra ala ganbila da? Egiaztatu Eulerren formula betetzen duela.
Ganbila da. Aurpegiak = 14, ertzak = 36, erpinak = 24. Eulerren formula betetzen du → 14 + 24 = 36 + 2.
004
003
002
001
Gorputz geometrikoak
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 276
277
9
Adierazi zer poligono erregular egin daitekeen:
a) Triangelu aldeberdinez. b) Karratuz.
Zenbat aurpegi elkartzen dira erpin bakoitzean?
a) Tetraedroa (3), oktaedroa (4) eta ikosaedroa (5). b) Kuboa (3).
Egin al daiteke poliedro erregular bat hexagono erregularrak soilik erabiliz? Eta sei alde baino gehiagoko poligono erregularrak erabiliz?
Ezin da poliedro erregularrik egin 6 alde baino gehiagoko poligonoak erabiliz, angelu poliedroen neurria 360° baino handiagoa izango litzatekeelako.
Sailkatu prisma hauek eta izendatu elementu nagusiak.
a) b)
Ortoedroa Prisma hexagonal zeiharra
Kalkulatu 9 cm-ko ertza duen kuboaren azalera.
Azalera 6 aurpegien azaleren batura da; beraz, A = 6 ⋅ 92 = 486 cm2.
Kalkulatu prisma triangeluar baten azalera. Oinarria triangelu aldeberdinerregularra da; oinarriko ertza, 5 cm-koa; eta altuera, 16,5 cm-koa.
Lehendabizi, oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
A = 3 ⋅ AAurpegia → AAldea = 3 ⋅ 5 ⋅ 16,5 = 247,5 cm2
A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 247,5 + 2 ⋅ 10,8 = 269,1 cm2
Kalkulatu prisma hexagonal erregular baten azalera. Oinarriko ertzak 8 cm ditu;altuerak, 10 cm.
Lehendabizi, oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
AAldea = 6 ⋅ AAurpegia = 6 ⋅ 8 ⋅ 10 = 480 cm2
A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 480 + 2 ⋅ 165,6 = 811,2 cm2
AP a
AOinarria Oinarria26,9
165,6 cm=⋅
=⋅ ⋅
=2
6 8
2→
a = − = − =8 64 162 24 6,9 cm
010
A b h AOinarria B= ⋅ = ⋅ ⋅ =1
2
1
25→ 4,3 10,8 cm2
h = − =52 22,5 4,3 cm
009
008
007
006
005
ERANTZUNAK
Oinarria
Alboko ertzaG
GOinarriaA
ltuer
a
Altu
raAlboko ertzaG
Alboko aurpegiaG
Oinarriko ertzaG
Alboko aurpegiaG
Oinarriko ertzaG
5 cm
h
8 cm
a
4 cm
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 277
278
Sailkatu piramide hauek eta esan elementu nagusien izenak.
a) b)
Piramide triangeluar zuzena Piramide hexagonal zeiharra
Kalkulatu piramide hexagonal erregular baten guztizko azalera, jakinik oinarrikoertza 6 cm-koa dela, eta alboko aurpegien apotema, 12 cm-koa.
Oinarri hexagonalaren azalera kalkulatuko dugu:
62 = a2 + 32 → a = = 5,2 cm
AAldea = 6 ⋅ AAurpegia → AAldea = 6 ⋅ 36 = 216 cm2
A = AAldea + AOinarria → A = 216 + 93,6 = 309,6 cm2
Oinarritzat edozein triangelu hartuta piramide zuzen bat egin daiteke. Egin al daiteke edozein lauki hartuta?
Triangelua hartuta egin daiteke; izan ere, erdibitzaileen ebakiduratik(zirkunzentroa) igarotzen den triangeluaren zuzen zutean egongo da erpina. Laukizuzena hartuta ezin da; izan ere, erdibitzaileen ebakidurak ez du zertan puntu bat izan.
Marraztu biraketa-gorputz hauen garapen laua eta kalkulatu azalera.
a) 3 cm-ko erradioko oinarria eta 5 cm-ko altuera dituen zilindroa. b) 4 cm-ko erradioa eta 6 cm-ko sortzailea dituen konoa.
a)
AA = 2πrh → AL = 2π ⋅ 3 ⋅ 5 = 94,2 cm2
AO = πr 2 → AB = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
A = AA + 2 ⋅ AO →→ A = 94,2 + 2 ⋅ 28,26 = 150,72 cm2
b)
AA = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2
AO = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2
A = AA + AO → AT = 75,36 + 50,24 == 125,6 cm2
014
013
A b h AAurpegia Aurpegia21 1
cm= ⋅ = ⋅ ⋅ =2 2
6 12 36→
AP a
AOinarria Oinarria=⋅
=⋅ ⋅
=2
6 6
2→ 5,2
93,6 cm2
36 9 27− =
012
011
Gorputz geometrikoak
Oinarria
Alboko ertzaGApotemaA
ltura
F Alboko aurpegia
F
Oinarria FOinarriko ertza
F
ErpinaG ErpinaG
Alboko aurpegiaG
GOinarriko ertza
Alboko ertzaG
AltueraG
G
3 cm
6 cma
5
4 cm6 cm
G
G
3 cm
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 278
279
9
Alboko azalera: 75,36 cm2. Oinarriko erradioa: 4 cm. Zer altuera du zilindroak?
AA = 2πrh → 75,36 = 2π ⋅ 4 ⋅ h →
Kono batek zilindro baten oinarri bera eta haren azaleraren erdia ditu. Zein da altuera?
Erradio bera eta azalera erdia dituenez:
πr (h + r) = πr (g + r) → h = gZilindroaren altuerak konoaren sortzailearen berdina izan behar du, eta konoaren altuera sortzailea baino txikiagoa denez beti, zilindroaren altuera konoarena baino handiagoa da.
20 cm-ko erradioko esferan, kalkulatu 40°-ko ziri-gainazalaren azalera eta 10 cm-ko altuerako txapel esferikoarena.
AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = = 558,2 cm2
ATxapel esferikoa = 2πrh ⎯→ ATxapel esferikoa = 2π ⋅ 20 ⋅ 10 = 1.256 cm2
15 zentimetroko diametroa duen laranja batean, azalaren zer azalera dagokio 12 laranja-ataletako bakoitzari?
Laranja-atal bakoitza neurri honetako ziri-gainazala da: .
AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = 58,9 cm2
Kalkulatu gune esferiko baten altuera, azalera 10°-ko ziri-gainazalesferiko baten azaleraren berdina izan dadin, jakinik dagokionesferaren erradioa 15 cm-koa dela. Eta erradioa 30 cm-koabalitz? Esferaren erradioaren araberakoa al da emaitza?
AZiri-g. = → AZiri-g. = → AZiri-g. = 78,5 cm2
AGunea = 2πr 2h → AGunea = 2π ⋅ 152 ⋅ h = 1.413 ⋅ hBeraz: 78,5 = 1.413 ⋅ h → h = 0,06 cm.
Erradioa r = 30 cm bada, hau daukagu:
AZiri-gainazala = = 314 cm2
314 = 2π ⋅ 302 ⋅ h → h = = 0,06 cm
eta hori gunearen altuera bera da; berdintza planteatuz eta sinplifikatuzondoriozta genezakeen hori:
= 2πr 2h → h =
adierazpenean ez da ageri erradioa, r.
2
360
⋅ n4
360
2πr n⋅
314
5 652.
4 30 10
360
2π ⋅ ⋅
4 15 10
360
2π ⋅ ⋅4
360
2πr n⋅
h
15 cm
019
4 30
360
2π ⋅ ⋅7,54
360
2πr n⋅
360
1230= °
018
4 20 40
360
2π ⋅ ⋅4
360
2πr n⋅
017
016
h = =75,36
25,12cm3
015
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 279
280
Kalkulatu prisma hexagonal erregular baten bolumena. Oinarriko ertza 3 cm-koada, eta altuera, 4 cm-koa.
Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
32 = a2 + 1,52 → a = = 2,6 cm
V = AO ⋅ h → V = 23,4 ⋅ 4 = 93,6 cm3
Kalkulatu aurreko ariketako prisman zirkunskribatutako zilindroaren bolumena.
Zilindroaren erradioa eta hexagonoaren aldea berdinak dira (3 cm).
V = πr 2h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3
Kalkulatu kubo baten ertzaren luzera, jakinik 3, 4 eta 5 cm-ko ertzak dituenortoedroaren bolumen bera duela.
VOrtoedroa = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 cm3 VKuboa = l3 → 60 = l3 → l = 3,91 cm
Bi zilindrok bolumen bera badute eta baten erradioa bestearen erradioarenbikoitza bada, zer lotura dago altueren artean?
πr 2h = πr'2h' πr 2h = π ⋅ 4 ⋅ r 2h' → h = 4h'
Erradio txikieneko zilindroaren altuera bestearen halako lau da.
Kalkulatu irudi hauen bolumena.
a) b)
a)
b)
Kalkulatu irudiko kuboaren eta konoaren artekoespazioaren bolumena.
VKuboa = 103 = 1.000 cm3
VKonoa = πr 2h → VKonoa = π ⋅ 52 ⋅ 10 = 261,7 cm3
VKuboa − VKonoa = 1.000 − 261,7 = 738,3 cm3
1
3
1
3
10 cm
025
V r h V= = ⋅ ⋅ =1
3
1
34 3 50 242 2 3π π→ , cm
V A h V= ⋅ = ⋅ ⋅ =1
3
1
33 7 212 3
Oinarria cm→
4 cm
5 cm
3 cm
7 cm
024
r' = 2r⎯⎯⎯⎯⎯→
023
022
021
AP a
AO O=⋅
=⋅ ⋅
=2
6 3
2→ 2,6
23,4 cm2
9 − 2,25
020
Gorputz geometrikoak
1,5 cm
3 cm
a
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 280
r erradioko eta h altuerako konoa badugu, nola handituko da gehien bolumena:erradioa 1 cm handituz ala altuera 1 cm handituz?
Erradioa 1 cm handituz:
Bolumena honela handitzen da: .
Altuera 1 cm handituz:
Bolumena honela handitzen da: .
Erradioaren kasuan gehiago handitzen da, baldin bada.
Kalkulatu 10 cm-ko diametroa duen esferaren bolumena.
Esfera baten bolumena 22 dm3-koa bada, zer erradioa du?
Kalkulatu 1 m-eko altuerako eta diametroko zilindroan zirkunskribatutako eta inskribatutako esferen bolumena.Zer alde dago esferen erradioen artean?
Esfera inskribatuaren erradioa zilindroaren diametroaren erdia da: 0,5 m.
Esfera zirkunskribatuaren erradioa zilindroaren diagonalaren erdia da; Pitagorasen teorema erabiliz kalkulatuko dugu.
Diagonalaren luzera: m.
Erradioen arteko aldea: 2
2
1
2
2 1
2
1
2− =
−=
−=
1,410,205 m.
r V r= = = ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
2
2
4
3
4
3 23
3
m1,41
1,47 m→ π π 33
1 1 22 2+ =
V r= = ⋅ =4
3
4
33 3 3π π 0,5 0,52 m
1 m
GF
1 m 029
V r r r= = = =4
322
4
3
22
4
3
3 3
3π π
π→ → 1,74 dm
028
V r= = ⋅ =4
3
4
35 523 333 3 3π π , cm
10 cm
027
hr
r>
+
2
2 1
1
32 1
1
32 1
2 12 2
2
( )( ) ( ) ( )π πr h r r h r hr
r+ ⋅ > + ⋅ > >
+→ →
1
32( )πr
V r h r h r= ⋅ + = ⋅ +1
31
1
3
1
32 2 2( )( ) ( ) ( ).π π π
1
32 1( )( )π r h+ ⋅
V r h r r h r h= + ⋅ = + + ⋅ = ⋅ +1
31
1
32 1
1
32 2 2( ) ( )( ) ( ) ( )π π π
11
32 1( )( )π r h+ ⋅
026
281
9ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 281
282
Bilatu atlas batean Ipar latitudea eta Mendebalde longitudea dituen hiri bat, etaHego latitudea eta Ekialde longitudea dituen beste bat.
Ipar latitudea eta Mendebalde longitudea: New York.
Hego latitudea eta Ekialde longitudea: Sidney.
A hiriaren koordenatuak 20° E 30° I dira, eta B hiriarenak, 50° M 25° H. Zenbat gradu longitude eta latitude daude A eta B hirienartean?
Latitudeen arteko aldea: 25° + 30° = 55°.
Longitudeen arteko aldea: 20° + 50° = 70°.
A eta B puntuak paralelo berean badaude, zer lotura dago bien latitudeen artean?
Izango al lukete loturarik meridiano berean baleude ?
Paralelo berean badaude, latitude bera dute.
Meridiano berean badaude, longitude bera dute, baina latitudeari buruz ezin da ezer esan.
ARIKETAK
Marraztu poliedro hauen garapenak.
a) c)
b) d)
a)
b) d)
c)
033●●
AB
032
031
030
Gorputz geometrikoak
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 282
283
9
Erregularrak al dira hiru poliedro hauek? Arrazoitu erantzuna.
Ez dira erregularrak, aurpegien forma eta neurria ez baitira berdinak.
Aztertu ea betetzen duten Eulerren formula poliedro hauek.
a) c) e) g)
b) d) h) f)
Sailkatu ahurretan eta ganbiletan.
a) Aurpegiak = 10 Erpinak = 7 Ertzak = 15 → 10 + 7 = 15 + 2 Ganbila.
b) Aurpegiak = 9 Erpinak = 9 Ertzak = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Ahurra.
c) Aurpegiak = 12 Erpinak = 10 Ertzak = 20 → 12 + 10 = 20 + 2 Ganbila.
d) Aurpegiak = 9 Erpinak = 9 Ertzak = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Ahurra.
e) Aurpegiak = 8 Erpinak = 8 Ertzak = 14 → 8 + 8 = 14 + 2 Ganbila.
f) Aurpegiak = 4 Erpinak = 4 Ertzak = 6 → 4 + 4 = 6 + 2 Ganbila.
g) Aurpegiak = 9 Erpinak = 9 Ertzak = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Ganbila.
h) Aurpegiak = 11 Erpinak = 16 Ertzak = 24 → 11 + 16 � 24 + 2 Ahurra.
Beheko taulan poliedro erregularrak daude adierazita. Osatu taula eta egiaztatudenek betetzen dutela Eulerren formula.
036●●
035●●
034●●
a) b) c)
ERANTZUNAK
Aurpegiak Erpinak Ertzak A+ Ep−ErTetraedroa 4 4 6 2Kuboa 6 8 12 2Oktaedroa 8 6 12 2Dodekaedroa 12 20 30 2Ikosaedroa 20 12 30 2
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 283
284
Marraztu piramide pentagonal bat. Zenbatu ertzak, erpinak eta aurpegiak, etaegiaztatu Eulerren formula betetzen duela.
Aurpegiak = 6, erpinak = 6, ertzak = 10.
Betetzen du Eulerren formula → 6 + 6 = 10 + 2.
Adierazi zer poligono den prismaren oinarria, kasu bakoitzean.
a) 10 erpin baditu.b) 9 ertz baditu.c) 9 aurpegi baditu.
a) Pentagonoa. b) Triangelua. c) Heptagonoa.
Adierazi zer poligono den piramidearen oinarria, kasu bakoitzean.
a) 10 erpin baditu.b) 12 ertz baditu.c) 9 aurpegi baditu.
a) Eneagonoa. b) Hexagonoa. c) Oktogonoa.
Luzera bereko ertzak dituzten tetraedro eta oktaedro bana ditugu; aurpegi batetik itsatsi ditugu, beste poliedro bat osatzeko. Betetzen al du Eulerren formula poliedro horrek?
Aurpegiak = 10, erpinak = 7, ertzak = 15.
Betetzen du: 10 + 7 = 15 + 2.
Ortoedro baten hiru ertzak 5, 6 eta 4 cm-koak dira, hurrenez hurren. Kalkulatu diagonala.
d = oinarriaren diagonala = →
→ d = = 7,8 cm
D = ortoedroaren diagonala = →
→ D = = 8,8 cm
Kalkulatu 3 cm-ko ertza duen kuboaren diagonala.
d = oinarriaren diagonala = cm
D = kuboaren diagonala = = 5,2 cm3 18 9 18 272 2+ = + =( )
3 32 2+
042●●
16 61 77+ =
42 2+ d
36 25 61+ =
6 52 2+
041●
040●●
039●
038●
037●
Gorputz geometrikoak
d
D
F
DE
A B
C
6 cm
4 cm
5 cm
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 284
285
9
Kubo baten diagonala m-koa da. Zenbatekoa da ertza? Eta aurpegi baten diagonala?
d2 = l2 + l2 = 2l2
D2 = d2 + l2 = 3l2 → ( )2 = 3l2 → l2 = 9 → l = 3 m
d2 = 2l2 → d = l → d = 3 = 4,2 m
Lau angeluko piramide erregular baten apotema 12 cm-koa da, eta oinarriko ertza, 10 cm-koa. Zenbatekoa da altuera?
a2 122 = h2 + 52 →
→ h2 = 144 − 25 = 119 → h = 10,9 cm
Piramide hexagonal erregular baten apotema 10 cm-koa da, eta oinarriko ertza,10 cm-koa. Zenbatekoa da altuera?
Oinarriaren apotema, a', kalkulatuko dugu:
102 = a'2 + 52 → a' = cm
Piramidean kolorea duen triangeluariPitagorasen teorema aplikatuko diogu:
a2 = h2 + a'2 → 102 = h2 + ( )2 →
→ h2 = 100 − 75 → h = = 5 cm
Kalkulatu gorputz geometriko hauetan adierazitako zuzenkien luzera.
a) b)
a) Oinarriaren diagonala kalkulatuko dugu, l = 6 cm aldea duen karratua.
d 2 = 62 + 62 = 2 ⋅ 62 → d = 6 cm
Margotutako triangeluari Pitagorasen teorema aplikatuz:
→ h2 = 36 − 18 → h = = 3 cm
Beraz, zuzenkiaren luzera: 2h = 2 = 6 = 8,5 cm.
b) Markatutako zuzenkia l = 8 cm aldea duen karratuaren diagonala da.
d = + = ⋅ = =8 8 2 8 8 22 2 2 11,3 cm
218
218
l2 2
2
2 2
2
26
6 2
2= +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟h
dh→ →→
2
8 cm
8 cm
6 cm
046●●
25
75
75
045●
= +⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟h2
2
2
l →
044●
22
27
27043●●●
ERANTZUNAK
Dd
l
l = 10 cm
h12 cm
5 cm
a=10 cm
h
10 cm
a'
a'
G
G
G
l
h
l
2
Gd
2
908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 285
Kono bat oinarriaren paraleloa den plano batez ebakitzean,beste kono bat eta kono-enbor bat lortzen dira. Kalkulatu kono-enborraren altuera.
Altuera:
Marraztu oinarri karratuko piramide-enbor bat. Oinarrien aldeak 8 cm eta 11 cm-koak dira, eta altuera, 4 cm-koa. Kalkulatu alboko aurpegiaren altuera.
Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
a
Kalkulatu piramide-enborraren alboko ertza, x, eta piramidearen altuera, h.
Antzeko triangeluak direnez, H = h + 4,8 hartuta:
→ h = 14,4 cm →→ H = 14,4 + 4,8 = 19,2 cm
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
h ⎯⎯⎯→ 6h + 4,8 → 8
x =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =
8 6
2
8 6
2
2 2
24,8 25,,04 cm= 5
050●●●
= =18,25 4,27 cm
= + =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =b h2 2
2
211 8
24
049●●●
h = − − = =8 5 3 602 2( ) 7,75 cm
048●●
047 EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBOR BATEN ALBOKO AURPEGIAREN ALTUERA?
Kalkulatu piramide-enbor honen alboko aurpegiarenaltuera.
Piramide-enborra: oinarri izeneko bi aurpegi paralelok eta trapezio isoszeleak direnzenbait alboko aurpegik osatutako poliedroa. Piramidea oinarriaren paraleloa denplano batez ebakitzean eratzen da.
LEHENA. ABC triangelu angeluzuzena definitu behar da
AB = 7 − 4 = 3 cm
AC = h = 4 cm
BIGARRENA. Pitagorasen teorema aplikatu behar da.
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2 BC = + =3 4 52 2 cm
286
Gorputz geometrikoak
4 cm
4 cm7 cm
G
G
G
4 cm
4 cm
G
G
BA
C
3 cm
8 cm
5 cm
h
x
8 cm
6 cm
F
4,8 cm
8 cm
11 cm
h a
F
b
908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 286
287
9
Kalkulatu prisma triangeluar zuzen baten guztizko azalera. Altuera 3 cm-koa da,eta oinarria, 2 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina.
Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
22 = a2 + 12 →
Eta alboko aurpegi baten (laukizuzena) azalera kalkulatuko dugu:
AAurpegia = 2 ⋅ 3 = 6 cm2 → AAldea = 3 ⋅ AAurpegia = 3 ⋅ 6 = 18 cm2
A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 18 + 2 = 21,5 cm2
Kalkulatu ortoedro baten azalera. Altuera 5 cm-koa da, eta oinarria, 3 × 4 cm-ko laukizuzena.
Alboko aurpegi mota bakoitzaren azalera kalkulatuko dugu:
A➀ = 3 ⋅ 5 = 15 cm2 A➁ = 4 ⋅ 5 = 20 cm2
AOinarria = 4 ⋅ 3 = 12 cm2
A = 2 ⋅ A➀ + 2 ⋅ A➁ + 2 ⋅ AOinarria
A = 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 20 + 2 ⋅ 12 = 30 + 40 + 24 = 94 cm2
Ortoedro baten luzera zabaleraren bikoitza da, eta zabalera, altueraren
bikoitza. Kalkulatu guztizko azalera, jakinik diagonala cm-koa dela.
Altuera = xZabalera = 2xLuzera = 2 ⋅ 2x = 4xOinarriaren diagonala, d', hau da:
d' =
Eta ortoedroaren diagonala, d, hau da:
d 2 = d' 2 + x2 21 = 20x2 + x2 → → 21 = 21x2 → x = 1 cm
Beraz, neurriak 4 cm, 2 cm eta 1 cm dira:A = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 16 + 8 + 4 = 28 cm2
→ →( ) ( )21 202 2 2 2= +x x
( ) ( )4 2 202 2 2x x x+ = cm
21
053●●
052●
3
A b a AOinarria Oinarria= ⋅ = ⋅ ⋅ =1
2
1
22 3 3→ cm2
a = − =4 1 3 cm
051●
ERANTZUNAK
a2 cm
1 cm
x21
cm
2x4x
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 287
288
Kalkulatu piramide triangeluar zuzen baten guztizko azalera, jakinik alboko ertza6 cm-koa dela, eta oinarria, 4 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdina.
Alboko aurpegi baten apotema kalkulatuko dugu:
a 5,66 cm
AAur. = b ⋅ a → AC = ⋅ 4 ⋅ 5,66 = 11,32 cm2
AAldea = 3 ⋅ AAurpegia → AAldea = 3 ⋅ 11,32 = 34 cm2
Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
h 3,5 cm
AOinarria = b ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ 3,5 = 7 cm2
A = AAldea + AOinarria → A = 34 + 7 = 41 cm2
Tetraedro erregular baten ertza 2 cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera etaguztizkoa.
Aurpegi baten azalera kalkulatuko dugu:
AAurpegia = b ⋅ h → AC
A = 4 ⋅ AAurpegia = = 6,93 cm2
Oktaedro erregular baten ertza 4 cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera etaguztizkoa.
Aurpegi baten azalera kalkulatuko dugu:
AAurpegia
A = 8 ⋅ AAurpegia → AT = 8 ⋅ 55,4 cm2
Ikosaedro erregular baten ertza 6 cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera etaguztizkoa.
Ikosaedroaren azalera: A = 20 ⋅ AAurpegia.
AAurpegia = b ⋅ h → AAur. = ⋅ 6 ⋅ 5,2 = 15,6 cm2
A = 20 ⋅ 15,6 = 312 cm2
1
2
1
2
h h= − = − = =6 3 36 9 272 2 → 5,2 cm
057●●
4 3 32 3= =
= ⋅ ⋅ =1
24 12 4 3 cm2
h = − =4 2 122 2 cm
056●●
4 3
= ⋅ ⋅ =1
22 3 3 cm21
2
h = − =2 1 32 2 cm
055●●
1
2
1
2
= − = =4 2 122 2
1
2
1
2
= − = =6 2 322 2
054●
Gorputz geometrikoak
2 cm
2 cm
6 cm
4 cm
a
h
h
1 cm
2 cm
h4 cm
2 cm
h6 cm
3 cm
G
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 288
289
9
Kalkulatu hauen ertza:
a) cm2-ko guztizko azalera duen tetraedroa.
b) cm2-ko aurpegiak dituen ikosaedroa.
c) cm2-ko guztizko azalera duen oktaedroa.
a) A = 4 ⋅ AAurpegia → = 4 ⋅ AA → AA = cm2
l2 = 16 → l = 4 cm
b)
l2 = 4 → l = 2 cm
c) A = 8 ⋅ AAurpegia → 18 = 8 ⋅ AC
→ l2 = 9 → l = 3 cm
Kalkulatu gorputz hauen eta irudi esferiko hauen azalera.
a) c) e) g)
b) d) f) h)
059●
AAurpegia = ⋅ ⋅ =1
2
3
2
9 3
4
3
4
2
ll l→ →
h = − =ll l22
4
3
2
→ AC =9 3
42cm3
→ →2 33
22= ⋅l
A b hAurpegia = ⋅ = ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
23
1
2 22 32
2
→ →l ll
lll
⋅3
4
2
→
→ →4 33
4
2
=l
A h ACAurpegia = ⋅ = ⋅ =1
2
1
2
3
2
3
4
2
l ll l→ →
h = −⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =l
l l l2
2 2
2
3
4
3
2
4 316 3
18 3
3
16 3
058●●
ERANTZUNAK
hl
hl
6 cm
9 cm
G
4 cm
40°
4 cm
6 cm
G
6 cm
3 cm
5 cm
G 3 cm
3 cm
G
5 cm
3 cmG
5 cm
4 cm
3 cm
l
2
l
2
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 289
290
a) A = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) + 2 ⋅ (4 ⋅ 5) + 2 ⋅ (3 ⋅ 5) = 24 + 40 + 30 = 94 cm2
b) A = 2πr 2 + 2πrh → A = 2π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 5 → → A = 56,52 + 94,2 = 150,72 cm2
c) AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2
d) ATxapel esferikoa = 2πrh → ATxapel esferikoa = 2π ⋅ 5 ⋅ 3 = 94,2 cm2
e) Alboko aurpegi baten apotema kalkulatuko dugu:
AAurpegia = b ⋅ a → AAurpegia = ⋅ 3 ⋅ 5,8 = 8,7 cm2
AAldea = 6 ⋅ AAurpegia → AAldea = 6 ⋅ 8,7 = 52,2 cm2
Gero, oinarriaren azalera kalkulatu behar da:
a' =
A = AA + AO → A = 52,2 + 23,4 = 75,6 cm2
f) Alboko azalera kalkulatuko dugu:AA = πrg → AA = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2
AO = πr 2 → AO = π ⋅ 42 = 50,24 cm2
A = AA + AO → AT = 75,36 + 50,24 = 125,6 cm2
g) AZiri-gainazala 22,33 cm2
h) AGunea = 2πrh → AGunea= 2π ⋅ 9 ⋅ 6 = 339,12 cm2
Kalkulatu hauen azalera:
a) Aurpegi baten diagonala 10 cm-koa duen kuboa.b) Oinarriaren diametroa 20 cm-koa eta altuera 12 cm-koa dituen zilindroa.c) 4 cm-ko erradioko eta 6 cm-ko altuerako konoa.d) 12 cm-ko diametroko esfera.e) 80°-ko anplitudeko eta 20 cm-ko erradioko ziri-gainazal esferikoa.f) 10 cm-ko erradioko eta 9 cm-ko altuerako txapel esferikoa.g) 8 cm-ko altuerako eta 12 cm-ko erradioko gune esferikoa.h) 3 cm-ko altuera eta oinarriko aldea dituen piramide hexagonal erregularra.
a) d2 = l2 + l2 → 102 = 2l2 → l = cmAAurpegia = l2 → AA = 50 cm2
AKuboa = 6 ⋅ AA → AKuboa = 6 ⋅ 50 = 300 cm2
b) AAldea = 2πrh → AAldea = 2π ⋅ 10 ⋅ 12 = 753,6 cm2
AOinarria = πr 2 → AOinarria = π ⋅ 102 = 314 cm2
A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 753,6 + 2 ⋅ 314 = 1.381,6 cm2
50
060●
=⋅
=⋅ ⋅
=4
360
4 4 40
360
2 2π πr nA
°
°
°Ziri-gainazala→
AP a
AO O=⋅
=⋅ ⋅
='
2
6 3
22→ 2,6
23,4 cm
32 2− = =1,5 6,75 2,6 cm
1
2
1
2
a = − = =62 21,5 33,75 5,8 cm
Gorputz geometrikoak
6 cm
3 cm
1,5 cm
1,5 cm
a
a'
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 290
291
9
c) AAldea = πrg → AAldea = π ⋅ 4 ⋅ = 90,56 cm2
AOinarria = πr 2 → AOinarria = π ⋅ 42 = 50,24 cm2
A = AAldea + AOinarria → A = 90,56 + 50,24 = 104,8 cm2
d) AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4π ⋅ 62 = 452,2 cm2
e) AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = = 1.116,4 cm2
f) ATxapel esferikoa = 2πrh → ATxapel esferikoa = 2π ⋅ 10 ⋅ 9 = 565,2 cm2
g) AGunea = 2πrh → AGunea = 2π ⋅ 12 ⋅ 8 = 602,9 cm2
h) Alboko ertza eta alboko aurpegiaren apotema kalkulatuko ditugu:
Oinarriaren apotema hau da:
A = 35,76 + 23,4 = 59,16 cm2
Oinarri karratuko piramide zuzen baten (eta beraz erregularraren) alboko azalera80 cm2-koa da, eta oinarriko perimetroa, 32 cm-koa. Kalkulatu piramidearenapotema.
Bi zilindroren alboko azalera bera da, eta erradioak, 6 eta 8 m-koak, hurrenezhurren. Kalkulatu altuera, jakinik bien arteko aldea 3 m-koa dela. Kalkulatu,halaber, zilindroaren alboko azalera eta guztizko azalera.
2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ (x + 3) = 2π ⋅ 8 ⋅ x → 12,56x = 113,04 → x = 9 m
6 m-ko erradioa duen zilindroak 12 m-ko altuera du, eta 8 m-ko erradioa duen zilindroak, 9 m-ko altuera.
6 m-ko erradioa duen zilindroa: Alboko azalera = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 = 452,16 m2
Oinarriaren azalera = π ⋅ 62 = 113,04 m2
Azalera osoa = 452,16 + 2 ⋅ 113,04 = 678,24 m2
8 m-ko erradioa duen zilindroa: Alboko azalera = 2π ⋅ 8 ⋅ 9 = 452,16 m2
Oinarriaren azalera = π ⋅ 82 = 200,96 m2
Azalera osoa = 452,16 + 2 ⋅ 200,96 = 854,08 m2
062●●
AP a a
aAldea =⋅
=⋅
=2
8032
25→ → cm
061●●
AP a
Oinarria2,6
23,4 cm=⋅=
⋅=
2
18
22
a = + =32 21,5 2,6 cm
AAldea = ⋅ =6 25,96 35,76 cm
AAurpegia3,97
5,96 cm=⋅
=3
22
Apotema 1,5 cm= − =18 3 972 ,
Ertza 4,24 cm= + =3 32 2
4 20 80
360
2π ⋅ ⋅ °
°
4
360
2πr n⋅°
4 62 2+
ERANTZUNAK
3cm
3 cm
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 291
292
Zilindro baten altuera eta oinarriaren diametroa berdinak dira. Zilindroak470 cm2-ko azalera du. Kalkulatu oinarriko erradioa.
Altuera: 2x, erradioa: x.
Alboko azalera = 2x ⋅ π ⋅ x = 6,28x2
Oinarriaren azalera = π ⋅ x2 = 3,14x2
Azalera osoa = 6,28x2+ 2 ⋅ 3,14x2= 12,56x2 = 470 → x = 6,12 cm
Kalkulatu zilindro baten altuera, oinarri baten azalera alboko azaleraren berdinabada, eta horietako bakoitza 154 cm2-koa bada. Kalkulatu guztizko azalera.
Erradioa: x, altuera: y.
Oinarriaren azalera = π ⋅ x2 = 154 → x = 7 cm
Alboko azalera = 14 ⋅ π ⋅ y = 154 → y = 3,5 cm
Erradioa: 7 cm, altuera: 3,5 cm.
Kalkulatu kono baten alboko azalera, kontuan hartuta altuera eta oinarriarendiametroa berdinak direla, eta oinarriko zirkunferentzia 18,85 cm-koa bada.
2πr = 18,85 cm → r = 3 cm, h = 3 ⋅ 2 = 6 cm
066
g A rgAldea= + = = = ⋅ ⋅ =6 3 6 71 3 14 3 6 71 63 22 2 , , , ,cm → π 11 2cm
065●●
064●●
063●●
Gorputz geometrikoak
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBORREN ETA KONO-ENBORREN ALBOKO AZALERA?
Kalkulatu irudi hauen alboko azalera.
a) b)
a) Piramide-enbor baten alboko azalera hau da:
AAlboa
912 cm2
b) Kono-enbor baten alboko azalera hau da:
AAlboa = π(r + r' )g = π(12 + 10) ⋅ 15 == 1.036,2 cm2
=⋅ +
⋅ =4 24 14
212
( )
=⋅ +
⋅ =n
a( )l l'
2
24 cm
14 cm 12 cm
12 cm
10 cm
15 cm
G
G
al'
l
2πr'
2πr
g
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 292
293
9
Kalkulatu irudi hauen guztizko azalera.
a) c)
b) d)
a) Alboko azalera = π ⋅ (6 + 3) ⋅ 8 = 226,08 cm2
1. oinarriaren azalera = π ⋅ 62 = 113,04 cm2
2. oinarriaren azalera = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
Guztizko azalera = 226,08 + 113,04 + 28,26 = 367,38 cm2
b) Alboko azalera 950 cm2
c) Sortzailea: .
Alboko azalera = π ⋅ (10 + 12) ⋅ 14,14 = 976,79 cm2
1. oinarriaren azalera = π ⋅ 122 = 452,16 cm2
2. oinarriaren azalera = π ⋅ 102 = 314 cm2
Guztizko azalera = 976,79 + 452,16 + 314 = 1.742,95 cm2
d) Alboko azalera 240 cm2
1. oinarriaren azalera = 81 cm2
2. oinarriaren azalera = 36 cm2
Guztizko azalera = 240 + 81 + 36 = 357 cm2
Esfera baten erradioa 3 cm-koa da. Kalkulatu guztizko azalera.
A = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2
Esfera baten zirkulu maximoa 78,54 cm2-koa da. Kalkulatu erradioa eta guztizko azalera.
Zirkulua = π ⋅ x2 = 78,54 cm2 → x = 5 cm
A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2
069●●
068●
= ⋅+
⋅ =46 9
28
g = + = =14 2 2002 2 14,14 cm
= ⋅+
⋅ =516 22
210
8 cm
9 cm
6 cm
10 cm
22 cm
16 cm
G
14 cm
10 cmG
G
G12 cm
8 cm
6 cm
3 cmG
067●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 293
294
Kalkulatu gorputz geometriko hauen guztizko azalera.
a) c) e)
b) d)
a) l = 3 cm aldeko karratuaren azalera kalkulatuko dugu → A = l2 = 9 cm2.
6 gurutze dira eta bakoitzak 5 karratu ditu → A = 6 ⋅ 5 ⋅ 9 = 270 cm2.
8 hutsune dira eta bakoitzak 3 karratu ditu → → A = 8 ⋅ 3 ⋅ 9 = 216 cm2
Beraz, guztizko azalera hau da:A = 270 + 216 = 486 cm2
3 ⋅ 3 = 9 cm-ko ertza duen kuboaren azaleraren berdina → → AAurpegia = 92 = 81 cm2 → A = 6 ⋅ AA → A = 6 ⋅ 81 = 486 cm2
b) Guztizko azalera kuboaren 5 aurpegien azaleren eta piramidearen 4 alboko aurpegien azaleren batura da.
AKuboa = 5 ⋅ 62 = 5 ⋅ 36 = 180 cm2
APiramidearen aldea = 4 ⋅ AAurpegia
Aurpegi baten azalera kalkulatzeko, apotema, a, kalkulatuko dugu:
AAurpegia = b ⋅ a → AA = ⋅ 6 ⋅ 3,6 = 10,8 cm2
APiramidearen aldea = 4 ⋅ 10,8 = 43,2 cm2
Beraz, A = 180 + 43,2 = 223,2 cm2.
c) Zilindroaren azalera hau da:
A = 2πrh + πr 2 = 2π ⋅ 6 ⋅ 7 + π ⋅ 62 = 376,8 cm2
eta esferaerdiarena:
A = → A = 2π ⋅ 62 = 226,1 cm2
A = 376,8 + 226,1 = 602,9 cm2
4
2
2πr
1
2
1
2
a h a a2 2
2
2 2
22 3 13= +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + = =
l → → 3,6 cm
070●●
Gorputz geometrikoak
7 cm
6 cm
G 4 cm 8 cm
6 cm
2 cm 3 cm
5 cm
3 cm
ah
l
2
G
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 294
295
9
d) Zilindroerdiaren azalera kalkulatuko dugu:
AAldea = + 2rh − rh = π ⋅ 1,5 ⋅ 5 + 1,5 ⋅ 5 = 31,05 cm2
AOinarriak = 2 ⋅ → AB = π ⋅ 1,52 = 7,07 cm2
A = 31,05 + 7,07 = 38,12 cm2
Konoerdiaren azalera kalkulatzeko, sortzailea kalkulatuko dugu:
AA = → AA = = 12,29 cm2
AOinarria = → AO = = 3,53 cm2
A = 12,29 + 3,53 = 15,82 cm2
e) Izkinako triangeluaren aldea kalkulatuko dugu:
l2 = 42 + 42 = 32 → l = = 5,66 cm
AAurpegi osoa = 82 = 64 cm2
AEbakidura = b ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2
AEbakitako aurpegia = 64 − 8 = 56 cm2
Kuboaren alboko azalera hau da:
AA = 3 ⋅ AAur.+ 3 ⋅ AEbakitako aur. → AL = 3 ⋅ 64 + 3 ⋅ 56 = 192 + 168 = 360 cm2
Azkenik, kuboaren izkinako triangeluaren azalera kalkulatuko dugu:
h = → h = 4,9 cm
AIzkina = l ⋅ h → AIzkina = ⋅ 5,66 ⋅ 4,9 = 13,9 cm2
A = 360 + 13,9 = 373,9 cm2
Kalkulatu 10 cm-ko ertza eta 5 cm-ko altuera dituen lau angeluko piramidezuzenaren bolumena.
AO = l2 → AO = 102 = 100 cm2
V = AO ⋅ h → V = ⋅ 100 ⋅ 5 = 166,7 cm31
3
1
3
071●
1
2
1
2
5 66 2 83 242 2, ,− =
1
2
1
2
32
3,14 1,52⋅2
πr 2
2
3,14 1,5 5,22⋅ ⋅2
πrg2
g = + = + =5 252 21,5 2,25 5,22 cm
πr 2
2
2
2
πrh
ERANTZUNAK
1,5 cm
5 cmg
4 cm
4 cm
5,66 cm
2,83 cm
l
h
h
l
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 295
296
Kalkulatu prisma triangeluar zuzen baten bolumena, jakinik 8 cm-ko altueraduela eta oinarria 4 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina dela.
Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
h = cm
AO = b ⋅ h → AO = = 6,9 cm2
V = AO ⋅ h → V = 6,9 ⋅ 8 = 55,2 cm3
Kalkulatu piramide triangeluar zuzen baten bolumena, jakinik alboko ertzak 8 cm-koak direla, eta oinarria, 7 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina.
Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu:
h' = 6,1 cm
AO = b ⋅ h' → AO = ⋅ 7 ⋅ 6,1 = 21,4 cm2
Piramidearen altuera kalkulatzeko, Pitagorasen teorema aplikatuko diogu koloreko triangeluari; aldeberdina denez, erradioa hau da:
r = h' → r = ⋅ 6,1 = 4,1 cm
82 = h2 + r 2 → h = = 6,9 cm
V = AO ⋅ h → V = ⋅ 21,4 ⋅ 6,9 = 49,2 cm3
Kalkulatu zilindro baten bolumena, diametroa 12 cm-koa bada, eta altuera,diametroa halako hiru.
V = πr 2h → V = π ⋅ 62 ⋅ 36 = 4.069,4 cm3
074●●
1
3
1
3
64 −16,81
2
3
2
3
1
2
1
2
72 2− = =3,5 36,75
073●●
1
24 12⋅ ⋅
1
2
4 2 122 2− =
072●●
Gorputz geometrikoak
4 cm
2 cm4 cm
8 cm
h
3,5 cm7 cm
h
r
h'7 cm
8 cm
h = 3 ⋅ 12 = 36 cm
6 cm
G
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 296
297
9
Kalkulatu gorputz geometriko hauen bolumena.
a) b)
a) Ertza: .
V = 2,893 = 25,66 cm3
b) Ertza: .
Altuera: .
V = 9,23 ⋅ 8 ⋅ 7,54 = 556,75 cm3
076
h = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =8
8
32
2
56,88 7,54 cm
82
3
22
2
= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =a
a aa→ 9,23 cm
5 32 2 2= + + = =a a a a a→ 2,89 cm
G 8 cm5 cm
075●●●
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBOR BATEN ETA KONO-ENBOR BATEN BOLUMENA?
Kalkulatu irudi hauen bolumena.
a) b)
Piramide-enbor baten bolumena edo kono-enbor baten bolumena formula honen bidez kalkula daiteke:
a) S1 = 62 = 36 cm2
S2 = 42 = 16 cm2
b) S1 = πr 2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2
S2 = πr' 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2
V = ⋅ + + ⋅ =9
3461 58( ) ,78,5 28,26 78,5 28,26 cm3
V = ⋅ + + ⋅ =9
336 16 36 16 228 3( ) cm
Vh
S S S S= + + ⋅3
1 2 1 2( )h
r
r'S2
S1
GS2
S1
h
9 cm
3 cm
5 cm
G
4 cm
6 cm9 cm
G
6 cm9 cm
G
G
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 297
298
Kalkulatu irudi hauen bolumena.
a) b)
a) Pitagorasen teorema aplikatuz, alboko aurpegiaren altuera kalkulatuko
dugu:
Eta berriro ere Pitagorasen teorema aplikatuz, piramide-enborraren altuera
lortuko dugu: , eta bolumena:
b) Pitagorasen teorema aplikatuz, altuera kalkulatuko dugu:
, eta bolumena hau da:
12 cm-ko ertzeko kuboaren barruko piramidearen oinarria aurpegi bat da, eta piramidearen erpina, oinarriaren aurkakoaurpegiaren zentroa. Kalkulatu piramidearen azalera etabolumena.
Apotema: .
Alboko azalera
Oinarriaren azalera = 122 = 144 cm2. Azalera = 144 + 322,08 = 366,08 cm2
Bolumena
Kalkulatu kono baten bolumena:
a) 5 cm-ko erradioa eta 8 cm-ko altuera baditu.b) 5 cm-ko erradioa eta 8 cm-ko sortzailea baditu.
a) V = πr 2h → V = π ⋅ 52 ⋅ 8 = 209,3 cm3
b) Konoaren altuera kalkulatuko dugu:
V = πr 2h → V = π ⋅ 52 ⋅ 6,24 = 163,28 cm31
3
1
3
h = − = − =8 5 64 252 2 6,24 cm
1
3
1
3
079●
=⋅
=12 12
3576
23cm
= ⋅⋅
=412
2213,42
322,08 cm
a = + = =12 6 1802 2 13,42 cm
12 cm
078●●
V = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =4,9
189,76 cm3
33 4 3 42 2 2 2( )π π π π
h = − − = =5 4 3 242 2( ) 4,9 cm
V = ⋅ + + ⋅ =8,27
763,6 cm3
12 7 12 72 2 2 2 3( )
h = − = =8,64 2,5 68,4 8,27 cm2 2
hAurpegia 74,75 8,64 c= −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =9
12 7
22
2
mm.
7 cm
12 cm
9 cm
077●●
5 cm
3 cm
4 cm
G
Gorputz geometrikoak
8 cm
5 cm
h
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 298
299
9
Kalkulatu 20 cm-ko diametroa duen esferaren bolumena.
V = πr 3 → V = π ⋅ 103 = 4.186,7 cm3
Kubo eta esfera banak azalera bera dute: 216 cm2. Zeinek du bolumen handiena?
AKuboa = 6 ⋅ AAurpegia = 6l2 → 216 = 6l2 → l = = 6 cm
AEsfera = 4πr 2 → 216 = 4πr 2 → r = = 4,15 cm
VKuboa = l3 → VKuboa = 63 = 216 cm3
VEsfera = πr 3 → VEsfera = π ⋅ 4,153 = 299,2 cm3
Esferak du bolumen handiena.
Kalkulatu gorputz geometriko hauen bolumena.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
a) VPiramidea = AB ⋅ h → VPiramidea = ⋅ 22 ⋅ 2 = = 2,7 cm3
VOrtoedroa = a ⋅ b ⋅ c → VOrtoedroa = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 cm3
V = VPiramidea + VOrtoedroa = 2,7 + 16 = 18,7 cm3
8
3
1
3
1
3
7 cm
6 cm
G3 cm
8 cm4 cm4 cm
4 cm
6 cm
4 cm
5 cm
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
4 cm
082●●●
4
3
4
3
17 2,
36
081●●●
4
3
4
3
080●●
3 cm
4 cm
4 cm
G
G
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 299
300
b) VKonoa = πr 2h → VKonoa = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3
VZilindroa = πr 2h → VZilindroa = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3
V = 37,68 + 113,04 = 150,72 cm3
c) VKonoa = π ⋅ 42 ⋅ 4 = 67 cm3
VZilindroa = πr 2h → VZilindroa = π ⋅ 42 ⋅ 8 = 401,92 cm3
V = VZilindroa − VKonoa = 401,92 − 67 = 334,92 cm3
d) VKuboa = l3 → VKuboa = 93 = 729 cm3
VHutsunea = 33 = 27 cm3
V = VKuboa − 8 ⋅ VHutsunea = 729 − 8 ⋅ 27 = 513 cm3
e) VZilindroerdia = πr 2h → VZilindroerdia = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 17,66 cm3
VKonoerdia = πr 2h → VKonoerdia = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 5,89 cm3
V = 17,66 + 5,89 = 23,55 cm3
f) VPiramidea = AB ⋅ h = ⋅ 62 ⋅ 2 = 24 cm3
VKuboa = l3 = 63 = 216 cm3
V = VKuboa − VPiramidea = 216 − 24 = 192 cm3
g) Triangelu aldeberdinaren aldea kalkulatuko dugu:
l2 = 42 + 42 = 32 →
VKuboa = l3 = 83 = 512 cm3
Kubotik alakatutako muturraren bolumena kalkulatuko dugu (piramide triangeluarra da):
AOinarria = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2
VMuturra = AOinarria ⋅ h → VMuturra = ⋅ 8 ⋅ 4 = 10,7 cm3
h) VEsferaerdia = πr 3 = ⋅ π ⋅ 63 = 452,16 cm3
VZilindroa = πr 2h = π ⋅ 62 ⋅ 7 = 791,28 cm3
V = 452,16 + 791,28 = 1.243,44 cm3
1
2
4
3⋅
1
2
4
3⋅
1
3
1
3
1
2
l = =32 4 2 cm
1
3
1
3
1
6
1
6
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
Gorputz geometrikoak
4 cm
4 cm
l
4 cm
4 cm
4 cm
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 300
301
9
Erreparatu A eta B hirien kokalekuei eta erantzun.
a) B hiria eta A hiria paralelo berean daude. Zer latitude du B hiriak? Zer lotura dago A eta B hirienlatitudeen artean?
b) A eta E hiriak meridiano berean daude. Zer lotura dago bi hirien longitudeen artean?
a) Latitude bera dute.
b) Longitude bera dute.
Igogailu batek neurri hauek ditu: 100 × 100 × 250 cm. Sartuko al da igogailuan 288 cm-ko luzera duen makila bat?
Igogailuan sar daitekeen makilarik luzeena igogailuaren diagonalaren luzera berekoa da.
Beraz, makila ezin da igogailuan sartu.
4 × 6 m-ko laukizuzen formako gela bat margotu nahi dugu (sabaia barne). Gela 3 m-ko altuerakoa da, eta 30 m2 margotzeko, poto bat pintura behar da.
a) Zenbat poto erosi beharko ditugu, fabrikatzaileak dioenari kasu egitenbadiogu?
b) Azkenik, 4 poto behar izan baditugu, zenbat metro koadro margotu ditugupoto bat erabiliz?
Alboko azalera: (4 + 4 + 6 + 6) ⋅ 3 = 60 m2; eta sabaiaren azalera hau da: 6 ⋅ 4 = 24 m2. Azalera osoa: 60 + 24 = 84 m2.
a) Poto kopurua: 84 : 30 = 2,8; beraz, 3 poto beharko ditugu.
b) 4 poto oso erabili baditugu, bakoitzarekin 84 : 4 = 21 m2 margo daiteke.
Kefren piramideak irudian ageri diren neurriak ditu.
Kalkulatu piramidearen altuera.
Apotemak, altuerak eta aldearen erdiak osatutako triangelu angeluzuzena kontuan hartuta, altuera hau da:
h = − = =179,37 107,625 20.590,46 143,49 m2 2
086●●
085●●
d = + + = = <100 100 250 82 500 2882 2 2 . 287,22 cm cm
084●●
A B
E
083●●
179,37 m
215,25 m
G
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 301
302
Kalkulatu 10 m-ko ertza duen kubo formako dorrearen guztizko azalera, kontuanhartuta piramide formako 12 m-ko altuerako teilatua duela.
Kuboaren alboko azalera hau da:
AKuboa = 4 ⋅ 102 = 400 m2
Piramidearen alboko azalera kalkulatzeko, lehendabizi, aurpegi baten altuera neurtu behar dugu.
AAurpegia = b ⋅ a → AAurpegia = ⋅ 10 ⋅ 13 = 65 m2
APiramidearen aldea = 4 ⋅ 65 = 260 m2; APira. aldea = AL + AB = 400 + 260 = 660 m2
A = 400 + 660 = 1.060 m2
Kubo batek eta esfera batek bolumen bera dute: 125 cm3. Zeinek du azalera txikiena? Kubo edo esfera formako andela egin beharko bazenu, zer modutan beharkozenuke material gutxien?
VKuboa = l3 → 125 = l3 → l = 5 cm
AKuboa = 6 ⋅ AC = 6l2 → AKuboa = 6 ⋅ 52 = 150 cm2
VEsfera = πr 3 → 125 = πr 3 →
AEsfera = 4πr 2 → AEsfera = 4 ⋅ π ⋅ 3,12 = 120,7 cm2
Esferak azalera txikiagoa du kuboan baino. Beraz, esfera formakoa.
Géode esfera formako zinema izugarri handia da. Kalkulatu azalera, jakinik24.416.640 dm3-ko bolumena duela.
V = πr 3 → 24.416.640 = πr 3 →
A = 4πr 2 → A = 4π ⋅ 1802 = 406.944 dm2
r =⋅
=3 24 416 640
41803
. .
πdm
4
3
4
3
089●●
r =⋅
=3 125
43
π3,1 cm
4
3
4
3
088●●
1
2
1
2
a h a2 2
2
2 2
212 5 13= +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + =
l → m
087●●
Gorputz geometrikoak
12 m
10 m
G
ah
l
2
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 302
303
9
Kalkulatu igerileku honen bolumena.
Igerilekua oinarri trapezoidaleko prisma dela kontuan hartuta, oinarriaren
azalera: AOinarria = ; eta bolumena: V = 60 ⋅ 4 = 240 m3.
Urez betetako 3 m-ko ertzeko andel kubikoan, behean ageri diren gorputzaksartu ditugu.
a) Kuboan 1,5 m-ko erradioko esfera bat sartu ondoren, hasierako ur kantitatearen zer ehuneko geratuko da?
b) Hasierako ur kantitatearen zer ehuneko geratuko da 3 m-ko diametroa eta altuera dituen zilindroa sartu ondoren?
c) Eta 3 m-ko diametroa eta altuera dituen kono bat sartuz gero?
a) VKuboa = l3 → VKuboa = 33 = 27 m3
VEsfera = πr 3 → VEsfera = ⋅ π ⋅ 1,53 = 14,13 m3
VKuboa − VEsfera = 27 − 14,13 = 12,87 m3
Ehunekoa kalkulatzeko, hiruko erregela aplikatuko dugu:
Hasierako bolumenaren % 47,7 geratuko da.
b) VZIlindroa = πr 2h → VZilindroa 21,2 m3
VKuboa − VZilindroa = 27 − 21,2 = 5,8 m3
c) VKonoa = πr 2h → VKonoa 7,1 m3
VKuboa − VKonoa = 27 − 7,1 = 19,9 m3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x1 990
27
.% 73,72 27 m3-tik ⎯⎯→ 19,9 m3
Si 100 m3-tik ⎯⎯→ x m3
= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =
1
3
3
23
2
π1
3
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x580
27% 21,52 27 m3-tik ⎯⎯→ 5,8 m3
Si 100 m3-tik ⎯⎯→ x m3
= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =π
3
23
2
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ x1 287
27
.% 47,72 27 m3-tik ⎯⎯→ 12,87 m3
Si 100 m3-tik ⎯⎯→ x m3
4
3
4
3
091●●●
4 2
220 60 2+⋅ = m
090●●
3 m
3 m
3 m
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 303
304
11 × 6 × 15 cm cm-ko ortoedro formako ontzietan zukua saltzen duen enpresa batek ontzien ezaugarriak aldatzea erabaki du:
– Oinarriaren azalera % 10 txikitu du.– Altuera % 10 handitu du.
a) Ontzi berriaren bolumena zaharrarena baino handiagoa ala txikiagoa da?b) Prezioa ez bada aldatu, errentagarriagoa al da bezeroentzat
ontzi berria?c) Tetrabrik batek 1,40 € balio du. Zenbat irabaziko du enpresak hilean
99.000 litro zuku ontziratzen baditu? Eta zenbat irabazten zuen lehen?
a) V = 11 ⋅ 6 ⋅ 15 = 990 cm3
AO = 11 ⋅ 6 = 66 cm2 → AO' = 0,9 ⋅ 66 = 59,4 cm2
h' = 1,1 ⋅ h → h' = % 110 ⋅ 15 = 16,5 cmV ' = AO' ⋅ h' → V ' = 59,4 ⋅ 16,5 = 980,1 cm3
Beraz, ontzi berriaren bolumena zaharrarena baino txikiagoa da.
b) Ez, prezio berean zuku gutxiago baitu.
c) V ' = 980,1 cm3 = 0,98 dm3 = 0,98 ¬99.000 ¬ : 0,98 ¬ = 101.020,4 ontzi
Gaur egun irabazten duena: 101.020 ⋅ 1,40 €/ontzi = 141.428 €.
V = 990 cm3 = 0,99 dm3 = 0,99 ¬99.000 ¬ : 0,99 ¬ = 100.000 ontzi
Lehen irabazten zuena: 100.000 ⋅ 1,40 €/ontzi = 140.000 €.
Inurri bat oktaedro baten erpinbatean dago eta ertz guztietatikigarotzea erabaki du, ertz beretik bi aldiz igaro gabe. Adieraziinurriak egin dezakeen ibilbide bat.
Bitxia bada ere, inurriak ezingo luke gauza bera egin kubo batean. Egiaztatu.
Oktaedroaren alboko lau aurpegiak kontuan hartzen baditugu, amaierako puntu bakoitza ondorengo aurpegiaren hasierako puntua izango da.
Kuboarekin ezin da egin, erpin bakoitza hiru ertzen ebakidura delako (ez laurena) eta ibilbidea egiten saiatzean inurria erpin batera bigarren aldiz iristen denean, ezingo du handik atera.
093●●●
092●●
Gorputz geometrikoak
3.o
4.o
5.o
1.o
Hasiera
Amaiera
2.o
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 304
305
9
Demagun Lurraren ekuatorea inguratu dugula, soka bat erabiliz.
a) Lurraren erradioa 6.378 km-koa bada, zer luzera izango du sokak?
b) Metro bat luzeagoa den soka bat erabiliz zirkunferentzia bat egingo dugu. Zer alde dago bien erradioen artean?
c) Gauza bera egingo dugu 18 mm-ko erradioko bola batekin. Zer alde dago bizirkunferentzien erradioen artean?
a) Luzera = 2πr = 2π ⋅ 6.378 = 40.074,15588 km → 40.074.155,88 m
b) 40.074.156,88 = 2πrr = 6.378.000,16
6.378.000,16 − 6.378.000 = 0,16 m = 16 cm → Aldea 16 cm-koa da.
c) Distantzia bera da, erradioaren luzera edozein dela.
1638. urtean, Galileo matematikari handiak problema hau proposatu zuen:«Paperezko orri bat alde luzeenetik eta motzenetik biribilduz gero, bi zilindrodesberdin lortzen dira».Bolumen bera al dute bi zilindroek?
Demagun aldeen luzerak a eta b direla.a altuera duen zilindroaren bolumena:
b altuera duen zilindroaren bolumena:
Beraz, orria karratua bada soilik dute bolumen bera.
ra
V r ba
ba b
= = = =2 4 4
22
2
2
ππ π
π π→
rb
V r ab
ab a
= = = =2 4 4
22
2
2
ππ π
π π→
095●●●
2 1 21
20 16 16π π
πr r d d+ = + = = =( ) ,→ m cm
r = 6.378 km
G
094●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 305
306
Zilindro batean inskribatutako esfera bat badugu, kalkulatu zer alde dagoen esferaren eta zilindroaren bolumenen artean,esferaren erradioaren menpe.
Zilindroaren bolumena = πr 2 ⋅ (2r) = 2πr 3
Esferaren bolumena =
Beraz, esferaren bolumena zilindroaren bolumenaren da.
Aldea hau da:
Matematikako liburu batean, problema hau aurkitu dugu:
«Oktaedro baten aldea l bada, bolumen hau du: V = l3 ⋅ 0,4714».
Ikertu nola lortzen den formula hori.
Oktaedroaren bolumena oinarritzat aldearen berbidura eta l ertza duten bi piramideren bolumena da.
Alboko apotema hau da:
Piramidearen altuera hau da:
EGUNEROKOAN
Christo Javacheff eta harenemazte Jeanne gaur egungo biartista ospetsu dira.
Objektuak eta monumentuakoihalez estaltzea dira haien obraesanguratsuenak.
Hasieran, botilak, latak eta kutxak oihal nahiz plastikozpaketatzen zituzten. Baina, pixkana-pixkana, erronka handituz joan ziren. 1982an, Floridako badiako 11 uharte inguratu zituzten 603.000 m2 oihal arrosa erabiliz. 1985ean, Sena ibaiko Pont Neuf paketatuzuten Parisen. 1995ean, Berlingo Reichstag eraikin izugarria oihalez estali zuten.
098●●●
V VOktaedroa Piramidea 0,4714= ⋅ = =22
33 3l l
V A hPiramidea Oinarria= ⋅ = ⋅ =1
3
1
3
2
2
2
62 3l l l
h =⎛
⎝⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
3
2 2
2
2
2 2
ll
l.
a = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =l
ll.2
2
2
3
2
097●●●
2
33πr .
2
3
4
33πr
096●●●
Gorputz geometrikoak
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 306
307
9
Etorkizunean, Madrilgo Alcalako atea eta Bartzelonako Kolonen estatua estalinahi dituzte.
Hona hemen Madrilgo Alcalako atearen krokisa, neurri eta guzti.
Zenbat metro koadro oihal beharko dituzte, gutxi gorabehera, monumentuaerabat biltzeko, arkuak estali gabe?
Irudiak osagai hauek ditu: 42 × 10,5 × (23 − 6,75) m-ko lau angeluko prisma nagusia; gehi gaineko lau angeluko prisma, 12 × 10,5 × 4 m-koa; gehi lau angeluko prisma, teilatu gisa, 12 m-ko oinarria eta 6,75 m − 4 m-ko altuera dituen triangelua duena, prismaren altuera 10,5 m izanik; ken ateetako lau angeluko bi prisma 3,5 × 10,5 × 6,75 m-koak; ken erdiko hiru ateen espazioa, 5,4 × 10,5 × (10,8 − 2,7) m-ko lau angeluko prismak eta 2,7 m-ko erradioko eta 10,5 m-ko altuerako zilindro-erdiak osatua.
VNagusia = 42 ⋅ 10,5 ⋅ 16,25 = 7.166,25 m3
VGoikoa = 12 ⋅ 10,5 ⋅ 4 = 504 m3
VAlboko atea = 3,5 ⋅ 10,5 ⋅ 6,75 = 248,06 m3
VAte nagusia = 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 8,1 + π ⋅ 2,72 = 459,27 + 22,89 = 482,16 m3
VOsoa = 7.166,25 + 504 + 173,25 − 2 ⋅ 248,06 − 3 ⋅ 482,16 = 5.900,9 m3
VTeilatua2,75
10,5 173,25 m=⋅
⋅ =12
23
ERANTZUNAK
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 307
308
GOZOZALE gozokien lantegiko produktuen artetik,gehien saltzen direnak 6 cm-ko diametroa eta 5 mm-ko lodiera duten galleta zirkularrak dira.
Galletak 40ko paketeetan saltzen dira, zelofan-paperean bilduta. Kutxak ortoedroformakoak dira, eta kutxa bakoitzean lau pakete egoten dira.
Kutxak biltzeko paketeetako zelofan-paper beraerabiltzen da.
Egunean 10.000 galleta inguru ekoizten direla kalkulatu da iritzira, eta kutxa ortoedro formakoa izatea komeni den ala ez ari da aztertzen finantza-departamentua.
Zure ustez, kutxak beste forma bat izango balu hobeto aprobetxatuko al litzatekeespazioa? Zer kantitate kartoi mehe aurreztuko lukete egunean?
GOZOZALE
099●●●
Zenbat metro koadrokartoi mehe behar
ditugu egun baterako? Eta zenbat zelofan-paper?
Nire ustez, kontua da kutxaren bolumenaren
zer ehuneko hartzen duten galletek.
Gorputz geometrikoak
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 308
309
9
Paketeak zilindro forma du; erradioa 3 cm-koa da, eta altuera, 0,5 ⋅ 40 = 20 cm-koa.
Pakete batek behar duen zelofan-papera azaleraren berdina da.
APaketea = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h) = 2π ⋅ 3(3 + 20) = 433,32 cm2
Kutxaren azalera: AKutxa = 2 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 4 ⋅ 20 = 1.248 cm2.
Kutxa bat egiteko behar den materiala:
AZelofana = 4 ⋅ 433,32 + 1.248 = 2.981,28 cm2
AKartoi mehea = 1.248 cm2
Eguneko kutxa kopurua 10.000 : 40 = 250 da; beraz, erabilitako material guztia:
GuztizkoaZelofana = 250 ⋅ 2.981,28 cm2 = 745.320 cm2 = 74,32 m2
GuztizkoaKartoi mehea = 250 ⋅ 1.248 cm2 = 312.000 cm2 = 31,2 m2
Eta irudian ageri den moduan jarrita, hau lortuko dugu:
Alboko azalera bera da, baina oinarriaren azalera txikiagoa denez, kartoi mehea aurrezten da.
Erronboidearen oinarria galletaren diametroaren bikoitza da, 12 cm, eta altuera:
Altuera = 3 + 3 + h; h galletaren diametroaren, 12 cm, luzera bereko aldeaduen triangelu aldeberdinaren altuera da.
h = 6 + 10,39 = 16,39 cm
AOinarria = 24 ⋅ 16,39 = 393,36 cm2
Aurrez.Kart. m. = 2 ⋅ (AKarratua − AErronboidea) = 2 ⋅ (242 − 393,36) = 365,28 cm2
Guztizko aurrezkia = 250 ⋅ 365,28 = 91.320 cm2 = 9,132 m2
Egunero 9,132 m2 kartoi mehe aurreztuko da.
h = − =12 62 2 10,39 cm
ERANTZUNAK
h
3 cm
3 cm
908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 309
310
Higidurak etaantzekotasunak10
BIRAKETA
TRANSLAZIOA
SIMETRIAZENTRALA
ARDATZ-SIMETRIA
TRANSFORMAZIOGEOMETRIKOAK
HIGIDURAK
ELEMENTUAKOSAGAIAK
ETA MODULUA
BEKTOREAK
ANTZEKOTASUNAK
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 310
Eguzkiaren gurdia
Kondairak dioenez, Alexandrian, itsasargi ospetsua egiten ari ziren garaian, gizon talde batek Eguzkia garaitu zuen.
Apolok (batzuek Ra esaten zioten) garai guztietako zortzi gizonikjakintsuenak beregana eramateko agindu zien morroiei, berarentzat nahi baitzuen jakituria guztia.
Morroiak lanean hasi ziren eta berehala aurkitu zituzten lehen zazpiak. Erraza izan zen, guztiak Hadesen baitzeuden eta Zazpi Jakintsuak esaten zieten.
Zortzigarrena hilen eta bizien artean bilatu zuten, Lurrean zein zeruan, baina ez zen ageri. Bilatzen nekatu zirenean, Orakuluari galdetu zioten:
–Euklides du izena eta Alexandriako liburutegian dago.
Apoloren gurdian sartu eta liburutegira joan ziren hegan. Han gizon batzuk aurkitu zituzten. Zaharrena tamaina desberdineko bi karratu aztertzen ari zen, antzekotasunak eta desberdintasunak idazten, eta hura harrapatu zuten Apoloren morroiek.
–Harrapatu dugu Euklides!
Une hartan, gainerako gizon guztiek inguratu zituzten, eta hau zioten:
–Ni naiz Euklides! Ni naiz Euklides!
Morroiek alde egin zuten, ezin baitzuten jakin nor zen benetan Euklides, eta Apolori esan zioten zortzigarren jakintsurik ez zegoela, bat zela eta guztiak zirela. Horren ondoren, Apolok aske utzi zituen Zazpi Jakintsuak. Zergatik askatu zituen galdetu ziotenean, erantzun zuen ez dagoela jakituriari eta ezaguerari eusteko moduko harresirik.
Zertan dira berdinak eta zertan desberdinak neurri desberdineko bi karratu?
Bi karratu berdinak dira forma bera dutelako eta desberdinak dira tamainadesberdina dutelako.
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 311
312
ARIKETAK
Puntu pare hauek emanda, kalkulatu AB� bektorearen koordenatuak etamodulua, kasu bakoitzean.
a) A(1, 3) B(−4, 5)b) A(4, 0) B(−1, −5)c) A(−1, −3) B(5, −7)
a) AB�= (−4 − 1, 5 − 3) = (−5, 2) → |AB� | =
b) AB�= (−1 − 4, −5 − 0) = (−5, −5) → |AB� | =
c) AB�= (5 + 1, −7 + 3) = (6, −4) → |AB� | =
A(2, 4) eta AB�(−3, 5) emanda, kalkulatu B puntua, AB�bektorearen muturra.
→ B(−1, 9)
Idatzi 4 modulua duten 3 bektore. Idatz al daiteke −2 modulua duen bektore bat?
AB� (4, 0); CD� (0, 4) eta EF� ( , )
Ez dago −2 modulua duen bektorerik, moduluak ezin duelako negatiboa izan, luzera-neurri bat adierazten duelako.
Zer irudi lortzen dira ezkerreko irudiari higidurak aplikatzean?
a) eta b) ataletako irudiak.
Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldi hauek:
a) Transformazioa higidura bat da.b) Higidurak ez du forma aldatzen.c) Transformazioak ez du irudien tamaina aldatzen.
b) ataleko esaldia zuzena da.
Marraztu E letra eta aplikatu zenbait transformazio geometriko.
E E E FFF
006
005
a) c)b) d)
004
88
003
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
A(2, 4); B(x, y) → −3 = x − 2 → x = −15 = y − 4 → y = 9
002
6 4 522 2+ − =( )
( ) ( )− + − =5 5 502 2
( )− + =5 2 292 2
001
E
Higidurak eta antzekotasunak
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 312
313
10
Adierazi F irudiari v�bektorekotranslazioa aplikatuz lortutako irudi eraldatua.
v�= AB� = (11 − 7, 3 − 6) = (4, −3) bektoreko translazioa aplikatzean F irudiko erpinei, hau lortuko dugu:
A(1, 6) A' (5, 3)
B(4, 5) ⎯⎯⎯⎯→ B' (8, 2)
C(3, 3) ⎯⎯⎯⎯→ C' (7, 0)
D(2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D' (6, 1)
Karratu baten erpinak puntu hauek dira A(−1, 1), B(1, 1), C (1, −1)eta D(−1, −1).
a) Zehaztu v�(4, −2) bektoreko translazioaren bidezko A'B'C'D' eraldatua.b) Egiaztatu, grafikoki A', B', C ' eta D' puntuek ere karratua osatzen
dutela.
a) A(−1, 1) A' (3, −1)B(1, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B' (5, −1)C(1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ C' (5, −3)D(−1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ D' (3, −3)
b)
Adierazi zer translazio aplikatu behar den A(−1, 4)-ren eraldatua A'(5, 2) izateko.
v�= (5 − (−1), 2 − 4) = (6, −2)
Lortu O zentroko eta 90°-ko angeluko biraketaren bidezko F irudiaren eraldatua.
O
90°
FF'
010
009
v� (4, −2)⎯⎯⎯⎯⎯→
008
v� (4, −3)⎯⎯⎯⎯⎯→
007
F
6
4
2
Y
X
v�
ERANTZUNAK
F
A
CD
B
F'
A'
C'
D'
B'
v�
A' B'
D' C'
2 4 6 8 10
6
4
2
Y
X2 4 6 8 10
−1
−3
Y
X
1 3 5
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 313
314
Triangelu baten erpinak A(3, 0), B(−1, 4) eta C(2, 5) puntuak dira. Lortu (2, −1) zentroko eta 180°-ko angeluko biraketaren bidezko eraldatua.
ABCD karratuari B(A; 90°) biraketa aplikatzen badiogu zer irudi lortuko dugu?Eta B(A; −90°) biraketa aplikatuz gero?
Bi kasuetan, karratua lortuko dugu.
Aplikatu O zentroko simetria zentrala F irudiari eta lortu irudi eraldatua.
Marraztu erpin hauek osatzen duten karratua:A(1, 1) B(−1, 1) C(−1, −1) D(1, −1)
eta kalkulatu simetrikoa koordenatu-ardatzarekiko eta A(1, 1) puntuarekiko.
Koordenatu-ardatzarekiko A' = (1, 1), B' = (3, 1), karratua bera da. C' = (3, 3) eta D' = (1, 3)
014
OF
F'
013
012
011
A
BC
B'C'
A'
Higidurak eta antzekotasunak
A B
C
D'
C'
A'
D
+90°
B'
D'C'
A'B'A
B
C
D' C'
A'
D
B'
A B
B'
D
C'
A' D'−90°
C
−1
−3
−5
1
Y
X
−3
−3 3
3
Y
X
−3
−3 3
3
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 314
315
10
Irudi honen erdia desagertu egin da. Osatu, kontuan hartuta O puntuarekikosimetrikoa dela.
Lortu F irudiaren eraldatua, e ardatzarekiko simetriaaplikatuz.
Adierazi irudi hauen simetria-ardatz guztiak.
Triangelu baten erpinak A(2, −1),B(4, 5) eta C(−3, 6) dira. Lortu horren eraldatua, abzisa-ardatzarekikosimetria aplikatuz.
Aplikatu zentrotzat A erpina eta arrazoitzat 3 duen homotezia irudiko hexagonoari.
019
018
017
e FF'016
015
CB
A
D
CF
BA
E
O
ERANTZUNAK
F
C'
A'
B'
−3
−5
−1−3−5 3 5
5
3
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 315
316
Antzekoak al dira 3, 4 eta 5 cm-ko aldeak dituen triangelua eta 1,5; 2 eta 2,5 cm-koak dituena.
Antzekoak dira eta arrazoia 2 da.
Lortu homotezia baten puntu eta zuzen bikoitzak.
Homotezia baten puntu bikoitz bakarra homoteziaren zentroa da: O.
Zuzen bikoitzak zuzen berak bihurtzen diren zuzenak dira; hau da, homoteziaren zentrotik igarotzen diren zuzenak.
Kalkulatu luzera ezezagunak.
Kontuan hartuta arrazoi hau: ;kalkulatu AB eta OB.
cm
cm
Banatu 5 cm-ko AB zuzenkia 7 zati berdinetan.024
1,69,7
15,52= =OB
OB→
1,6 = =AB
AB5
8→
1,6 = = =OA
OA
AB
A B
OB
OB' ' ' 'B'A'
r
sO
B
A
4,7 cm 5 cm
OAOA'
= 1,6023
3
52
x
yx y= = = =
2,25
1,5cm 7,5 cm→ ;
x
y
1,5 cm 5 cm
3 cm
2,25 cm
022
021
3 4
2
52
1,5 2,5= = = = k
020
BA
Zenbakizko proportzionaltasuna
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 316
Banatu grafikoki 20 cm-ko luzerako AB zuzenkia honela:
a) 3 zati berdinetan.b) 7 zati berdinetan.c) 2 zatitan, bigarrenaren luzera lehenengoaren erdia dela.d) 4 zatitan, zati bakoitzaren luzera aurrekoaren bikoitza dela.
a) d)
b)
c)
Banatu grafikoki 16 cm-ko luzerako AB zuzenkia 2 cm-ko eta 3 cm-ko luzerakobi zuzenkirekiko zati proportzionaletan.
Jonek 30 cm-ko listoi bat 7 zati berdinetan ebaki behar du. 21 cm-ko luzerakozati bat baino ez du. Nola egin dezake banaketa?
21 cm-ko zatia 7 zati berdinetan banatuko dugu, 3 cm-ko zatitan, eta Talesen teorema aplikatuko dugu. Bi listoiak mutur batetik elkartu eta beste bi muturrak zuzenki baten bidez lotuko ditugu. Ondoren, zuzen paraleloak marraztuko ditugu zuzenkitik 21 cm-ko listoiaren banaketetatik. 30 cm-ko listoiaren ebakidura-puntuak dira ebaki beharreko puntuak.
027
026
025
317
10ERANTZUNAK
BA
BA
BA
B
B
A
A 16 cm
2 cm
3 cm
d
d2d
4d
8d
d2
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 317
318
Kalkulatu futbol-zelai honen neurri errealak.
Luzera: 4 cm ⋅ 3.000 = 12.000 cm = 120 m
Zabalera: 2,5 cm ⋅ 3.000 = 7.500 cm = 75 m
Zer eskalatan dago eginda mapa bat, jakinik bi hiriren arteko distantzia 4,5 cm-koa dela mapan eta 54 km-koa errealitatean?
Eskala 1 : 1.200.000
A eta B hirien artean 50 km-ko distantzia dago. Zer distantzia egongo da haienartean, 1 : 800.000 eskalako mapa batean?
5.000.000 cm : 800.000 = 6,25 cm
ARIKETAK
Bi puntu pare emanda, kalkulatu AB� bektorearen koordenatuak eta modulua.
a) A(−1, 3), B(4, 5) c) A(4, −1), B(2, −6)b) A(−2, 0), B(1, −3) d) A(−3, −3), B(−1, −2)
a) AB� = (4 − (−1), 5 − 3) = (5, 2) → ⏐AB�⏐ =
b) AB� = (1 − (−2), −3 − 0) = (3, −3) → ⏐AB�⏐ =
c) AB� = (2 − 4, −6 − (−1)) = (−2, −5) → ⏐AB�⏐ =
d) AB� = (−1 − (−3), −2 − (−3)) = (2, 1) → ⏐AB�⏐ =
Kalkulatu A puntuaren koordenatuak AB� bektorean eta adierazi grafikoki.
a) AB� (2, 3) eta B(−3, 4)b) AB� (−1, 0) eta B(2, 5)
a) A = (−5, 1) b) A = (3, 5)
032●
5
29
18
29
031●
030
54 5 400 000km
4,5 cm
cm
4,5 cm1.200.000= =
. .
029
028
1 : 3.000
Higidurak eta antzekotasunak
?
A
BB A
31 5
5
3
1
Y
X−1−3−5
5
3
1
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 318
319
10
Kalkulatu B puntuaren koordenatuak AB� bektorean eta adierazi grafikoki.
a) AB� (2, −2) eta A(−3, 3)b) AB� (−2, −3) eta A(2, −1)
c) AB� (3, 0) eta
a) B = (−1, 1) b) B = (0, −4) c)
034
B = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟5
5
2,
A 252
, −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
033●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DIRA BEKTORE BATEN KOORDENATUAK KOORDENATU-SISTEMA BATEAN?
Kalkulatu bektore hauen koordenatuak.
Bektorea laukizuzen baten diagonaltzat hartu eta laukizuzenaren aldeen neurriakkalkulatu behar dira.
LEHENA. Bektorearen lehen koordenatua laukizuzenaren luzeraren neurria da.
Desplazamendua eskuinerakoa bada positibotzat hartzen da, eta ezkerrerakoa bada, negatibotzat.
a) AA' ⎯→ 3 bateko eskuinera ⎯→ 3
b) CC' → 3 bateko ezkerrera → −3
BIGARRENA. Bigarren koordenatua laukizuzenaren altuera da. Desplazamendua goranzkoa bada positibotzat hartzen da, eta beheranzkoa bada, negatibotzat.
a) A'B ⎯→ 2 bateko gora → 2
b) C'D → 1 bateko behera ⎯⎯→ −1
Beraz, bektoreen koordenatuak hauek dira: AB�(3, 2) eta CD�(−3, −1).
5
3
1
1 3 5
Y
X
A
BD
CC'
A'
ERANTZUNAK
A
B
A
B
A B
−1−3−5
5
3
1
Y
X
1 3
−1
−3
Y
X
1 3 5
−1
−3
−5
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 319
320
Kalkulatu, hor behean dituzun kasuetan AB� bektorearen muturren koordenatuak,eta bektorearen koordenatuak eta modulua.
a) b)
a) AB� = (5, 1) − (1, 6) = (4, −5)
|AB�| =
b) AB� = (6, 5) − (1, 2) = (5, 3)
|AB�| =
Marraztu A(−2, 2) eta B(3, 0) muturrak dituen bektorea. Kalkulatukoordenatuak eta modulua.
AB� = (3 − (−2), 0 − 2) = (5, −2)
|AB�| =
BA� bektorea AB� bektorearen aurkakoa da.
Idatzi 9 moduluko hiru bektore. Idatz al daitezke gehiago? Zenbat?
Esate baterako, (0, 9), (−9, 0) eta (9, 0). Infinitu bektore idatz daitezke. Jatorriko puntu bakoitzerako, 9 erradioko zirkunferentzian amaitzen diren bektore guztiak izango lirateke, zentroa puntu horretan dutela.
Erreparatu alboko irudiari eta adierazi beheko irudiak.higiduraren baten bidez lortu diren ala ez. Arrazoitu erantzuna.
1. eta 2. irudiak formari eta neurriari eusten dioten, eta beraz, higidura batenbidez lortu dira. 3. eta 4. irudia ez; 3. irudiak ez dio ez formari ez neurriarieusten, eta 4. irudiak formari eusten dio, baina ez neurriari.
038●
037●●●
5 2 292 2+ − =( )
036●●
5 3 25 9 342 2+ = + =
4 5 16 25 412 2+ − = + =( )
035●
A
B5
3
1
1 3 5
Y
X
5
3
1
1 3 5
Y
X
A
B
A
B
Higidurak eta antzekotasunak
1. irudia
2. irudia
3. irudia
4. irudia
−1−3 1 3
3
1
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 320
321
10
Beheko irudietatik abiatuta, marraztu hauei eusten dieten beste irudi batzuk.
a) tamainari.
b) formari.
c) tamainari eta formari.
d) ez tamainari ez formari.
a)
b)
c)
d)
Lortu v�bektorearen bidezko F irudiareneraldatua.
a) c)
b) d)
040●
039●
F
v�
F'
F
v�
F'
F
v�
F'
F
F'
v�
ERANTZUNAK
2 8 10
2
Y
X
2 4 6 8 10
4
2
Y
X
2 4 6 8 10
4
2
Y
X
2 4 6 8 10
6
4
2
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 321
Osatu taula hau.
Zer translazio-bektorek eramaten du A(2, −3)puntua A'(−1, 7) puntura?
v� = (−3, 10)
Kalkulatu v� . bektorearen translazioz lortutako B(4, −2) puntuaren
eraldatuaren koordenatuak.
Adierazi grafikoki F irudia F' eta F" bihurtzen dituzten translazioen bektoreak.Kalkulatu, halaber, irudi eraldatuen koordenatuak.
Hiru irudien goiko ezkerreko erpina hartuko dugu:
Egiaztatzeko, F irudiaren eskuineko erpina eraldatuko dugu:
C(−1, 2) C' (5, 4)
C(−1, 2) C" (7, 1)
F ' eta F" irudien muturren koordenatuak dira.
w� (8, −1)⎯⎯⎯⎯⎯→
v� (6, 2)⎯⎯⎯⎯⎯→
→ v� = (2 − (−4), 6 − 4) = (6, 2)
→ w� = (4 − (−4), 3 − 4) = (8, −1)
F-n ⎯→ A(−4, 4)
F '-n ⎯→ A'(2, 6)
F"-n → A"(4, 3)
���
���
044●●
B' =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
21
5
8
3,
15
23
, −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟043
●
042●
041●●
F
C
F'C'
C"
F"
Y
X
5
3
1
−4 −2 1 3 5 7
322
Higidurak eta antzekotasunak
C(10, 7) w�(−3, −5) C'(7, 2)D(1, 5) s�(4, −4) D'(5, 1)E(0, 3) t�(3, −2) E '(3, 1)
Puntua Translazio-bektorea Puntu transladatuaA(1, 3) v�(1, −2) A'(2, 1)
B(−2, −4) u�(2, 7) B'(0, 3)
v�
w�
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 322
323
10
Kalkulatu F, kontuan hartuta, v�(−2, −3)bektoreko translazioa aplikatzean, F' lortu dela. Hori egin aurretik, adierazi zer koordenatu izango dituzten F irudiaren erpinek.
A(x1, y1) A'(−6, 4)
B(x2, y2) B'(−4, 3)
C(x3, y3) C'(−4, 1)
D(x4, y4) D'(−8, 1)
E(x5, y5) E '(−7, 2)
G(x6, y6) G'(−8, 3)
Kalkulatu F irudiari v�bektorekotranslazioa aplikatzean lortutako irudi eraldatua. Izendatu F'. Ondoren,kalkulatu F'-ri w� bektorekotranslazioa aplikatzean lortutako irudi eraldatua. Izendatu F".
a) F-tik abiatuta lor al daitekezuzenean F", translazio baten bidez? Baiezkoan bazaude, marraztu bektorea eta idatzi kooordenatuak.
b) Idatzi v�-ren eta w�-ren koordenatuak, eta batu abzisak eta ordenatuak. Zer lotura dago emaitzaren eta a) ataleko emaitzaren artean?
v� = (8, 2) − (5, 5) = (3, −3)
F irudiko puntuak hauek bihurtuko dira:
A(1, 5) A'(4, 2)B(4, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B'(7, 2)C(2, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C'(5, 1)D(1, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D'(4, 1)
w� = (10, 1) − (12, 3) = (−2, −2)
F ' irudiko puntuan hauek bihurtuko dira:
A'(4, 2) A"(2, 0)B'(7, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B"(5, 0)C'(5, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1)D'(4, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1)
w�(−2, −2)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
v�(3, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
046●●●
x6 − 2 = −8 → x6 = −6y6 − 3 = 3 ⎯→ y6 = 6⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x5 − 2 = −7 → x5 = −5y5 − 3 = 2 ⎯→ y5 = 5⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x4 − 2 = −8 → x4 = −6y4 − 3 = 1 ⎯→ y4 = 4⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x3 − 2 = −4 → x3 = −2y3 − 3 = 1 ⎯→ y3 = 4⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x2 − 2 = −4 → x2 = −2y2 − 3 = 3 ⎯→ y2 = 6⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
x1 − 2 = −6 → x1 = −4y1 − 3 = 4 ⎯→ y1 = 7⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
v�(−2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
045●●
ERANTZUNAK
F'
F
B'
C'D'E'
G'
A'
Fv�
w�
Y
X
5
3
1
1 3 5 7 9 11
FA B
D Cv�
F'
F"
w�
−2−4−6−8 1 3
5
3
1
Y
X
1 7 9 11
5
3
1
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 323
324
a) Bai, formari eta neurriari eusten diotelako. Egiaztatzeko F irudiko puntu bat eraldatu eta F"-ko puntu bat lortuko dugu; F-ko beste hiru puntuei aplikatuko diegu.
A(1, 5) A"(2, 0)
→ t�(1, −5)
t� bektorea aplikatzen badiegu F-ko beste hiru puntuei:
B(4, 5) B"(5, 0)C(2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1)D(1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1)
bi higiduren bidez lortutako puntuekin bat datozela ikusiko dugu.
b) v� + w� = (3, −3) + (−2, −2) = (1, −5)
a) atalean lortutako t� bektorea da.
P(0, 5) puntua dugu. v�(3, 4) bektoreko translazioa aplikatu badugu, etaondoren, w�(−2, −1) bektoreko translazioa:
a) Zer puntu lortu dugu?b) Bi translazioak egin ondoren, Q(2, -2) puntua lortuko balitz, zer puntu izango
litzateke hasierako puntua?
a) P' = (0 + 3 − 2, 5 + 4 − 1) = (1, 8)
b) R = (2 − 3 + 2, −2 − 4 + 1) = (1, −5)
Lortu O zentroko eta adierazitako angeluko biraketaren bidezko F-ren eraldatua.
a) 90°-ko angelua. c) −120°-ko angelua (120° erlojuaren orratzen noranzkoan).b) 45°-ko angelua. d) 180°-ko angelua.
a) c)
b) d)
048●
047●●
t�(1, −5)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1 + x = 2 → x = 15 + y = 0 → y = −5
t�(x, y)⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Higidurak eta antzekotasunak
F F
F
O
O
O
F'
F'
F'
180°
−120°
90°
OF
F'45°
w�
v�
F"
F'
F
1 5 7 9 11
5
3
1
Y
X
t�
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 324
325
10
Kalkulatu F' irudia, F irudiari koordenatu-jatorria zentroko eta 90°-ko angelukobiraketa aplikatzean lortzen bada. Zer koordenatu dituzte F-ren erpinek? Etaeraldatuaren erpinek? Zer lotura hauteman duzu emaitzen artean?
A(1, 1) ⎯→ A'(−1, 1)B(2, 4) ⎯→ B'(−4, 2)C(3, 3) ⎯→ C'(−3, 3)D(4, 3) ⎯→ D'(−3, 4)E(4, 2) ⎯→ E'(−2, 4)G(5, 1) ⎯→ G'(−1, 5)
P(x, y) puntuaren eraldatua, koordenatu-jatorria zentroko eta 90°-ko angeluko biraketa aplikatzean, P'(−y, x) da.
Kalkulatu F irudia F' bihurtzen duen biraketaren zentroa eta angelua .
O zentroa irudiarena da.
Biraketa-angelua −120° da, gutxi gorabehera.
Kalkulatu F irudia, jakinik jatorria zentroko eta 90°-ko angeluko biraketaaplikatzean F' irudia lortzen dela.
F-ren erpinei 90°-ko biraketa aplikatzean, hau beteko da:
A(x1, y1) ⎯→ A'(−6, 3) → x1 = 3, y1 = 6B(x2, y2) → B'(−5, 5) → x2 = 5, y2 = 5C(x3, y3) ⎯→ C'(−4, 4) → x3 = 4, y3 = 4D(x4, y4) → D'(−3, 5) → x4 = 5, y4 = 3E(x5, y5) ⎯→ E '(−3, 1) → x5 = 1, y5 = 3G(x6, y6) → G'(−5, 1) → x6 = 1, y6 = 5
Osatu zentroa koordenatu-jatorrian duten biraketei buruzko taula hau.
052●●
051●●
F
O
F'050●●
049●●
F
AA'
F'B'
C'D' E'
G'
BC D
E
G
FG
G'
A
B
C
B'C'
D
D'
E
E'
F'A'
90°
ERANTZUNAK
C(1, 2) 180° C'(−1, −2)D(−3, −4) 180° D'(3, 4)
E(0, 3) 90° E '(−3, 0)
Puntua Angelua Puntueraldatua
A(1, 0) 90° A'(0, 1)B(3, 0) 90° B'(0, 3)
−4 −2 1 3 5 7
5
3
Y
X
Y
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 325
326
Lortu F' irudia, F irudiaren eraldatua O zentroko eta 90°-ko angelukobiraketaren bidez. Ondoren, lortu F" irudia, F'-ren eraldatua O zentrokoeta 60°-ko biraketaren bidez.a) Kalkulatu O zentroko eta 150° (90° + 60°) angeluko biraketaren bidezko
F-ren irudi eraldatua. Zer hauteman duzu? b) Aurreko emaitzaren arabera, zer higiduraren baliokidea da zentro bereko
ondoz ondoko bi biraketa egitea?c) Eta 270°-ko ondoz ondoko bi biraketa egitea?
a) 150°-ko angeluko biraketaren bidezko eraldatua 90°-ko biraketa eta 60°-koaondoz ondo aplikatzean lortzen dena da.
b) Zentro bereko eta angeluen baturako biraketaren baliokidea da.
c) 540°-ko biraketaren baliokidea.
Lortu O zentroko simetria zentralaren bidezko F irudiaren eraldatua.
a) F' irudiaren erpinen koordenatuak:
A(−2, 2) ⎯→ A'(2, −2)B(−4, 0) ⎯→ B'(4, 0)C(−5, 1) ⎯→ C'(5, −1)D(−5, 2) ⎯→ D'(5, −2)
b) F' irudiaren erpinen koordenatuak:A(−3, 3) ⎯→ A'(3, −3)B(−3, −1) ⎯→ B'(3, 1)C(−4, −1) ⎯→ C'(4, 1)D(−4, 0) ⎯→ D'(4, 0)E(−6, 1) ⎯→ E'(6, −1)G(−5, 1) ⎯→ G'(5, −1)
c) F' irudiaren erpinen koordenatuak:A(0, 2) ⎯⎯→ A'(0, −2)B(1, 1) ⎯⎯→ B'(−1, −1)C(3, 2) ⎯⎯→ C'(−3, −2)D(2, 0) ⎯⎯→ D'(−2, 0)E(3, −1) ⎯→ E'(−3, 1)G(1, −1) ⎯→ G'(−1, 1)
d) F' irudiaren erpinen koordenatuak:A(−2, 3) ⎯→ A'(2, −3)B(−1, 3) ⎯→ B'(1, −3)C(0, 2) ⎯⎯→ C'(0, −2)D(−1, 1) ⎯→ D'(1, −1)E(−2, 0) ⎯→ E'(2, 0)G(−3, 1) ⎯→ G'(3, −1)
054●
FO
F'90°60°
F"
053●●●
Higidurak eta antzekotasunak
A
OB
C B'
C'
D
D'
F
F'A'
AB
C
B'C'
DD'E
G
E'G'
FF'
A'
G'
A
BC
B' C'
DD'
E
E'
FG
F'
A'
G'
G
A B
C
B'
C'
D
D'E
E'F
F'
A'
O
O
O
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 326
327
10
Lortu F irudiaren eraldatua, honen bidezkoa:a) Zentroa jatorrian duen simetria.b) Ordenatu-ardatzarekiko ardatz-simetria.Zer lotura dago F-ren erpinen koordenatuen eta eraldatuaren erpinenkoordenatuen artean?
a)
A(−4, 4) ⎯→ A'(4, −4)B(−2, 3) ⎯→ B'(2, −3)C(−2, 1) ⎯→ C'(2, −1)D(−6, 1) ⎯→ D'(6, −1)E(−5, 2) ⎯→ E'(5, −2)G(−6, 3) ⎯→ G'(6, −3)
P(x, y) puntuaren eraldatua P'(−x, y) da, Y ardatzeko simetria aplikatzean.
b)A(−4, 4) ⎯→ A'(4, 4)B(−2, 3) ⎯→ B'(3, 2)C(−2, 1) ⎯→ C'(1, 2)D(−6, 1) ⎯→ D'(1, 6)E(−5, 2) ⎯→ E'(5, 2)G(−6, 3) ⎯→ G'(3, 6)
P(x, y) puntuaren eraldatua P'(y, x) da, zentroa jatorrian duen simetria aplikatzean.
Kalkulatu F irudia F' bihurtzen duen eta F' F" bihurtzen duen simetria-zentroa,eta eraldatze horiek egiteko simetria-ardatza.
e ardatzarekiko simetriak F irudia F' bihurtzen du.
Eta P puntuarekiko simetriak F irudia F" bihurtzen du.
F
P
e
F'
F"
056●●
Y
F
A
D
B
C
G
EF'
A'
C'
G'
D'
B'
E'
F
A
D
B
C
G
E
F'
A'
D'
B'
C'
G'
E'
Y
X
055●
ERANTZUNAK
31 5−4−6 −2
5
3
1
−2
−4
31 5−4−6 −2
5
3
1
X
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 327
328
Osatu zentroa koordenatu-jatorrian duen simetria bati buruzko taula hau.
Osatu zenbait simetriari buruzko beheko taula hau.
Aplikatu beheko irudiari higiduren konposizio hauek.
a) v� bektoreko translazioa eta 180°-ko biraketa.b) O zentroko simetria eta 90°-ko biraketa.c) r zuzenarekiko simetria eta v� bektoreko translazioa.
060●●
059
058●●
057●●
Higidurak eta antzekotasunak
B(1, −2) B'(−1, 2)C(−3, 0) C'(3, 0)D(0, 2) D'(0, −2)
Puntua Puntu eraldatuaA(1, 0) A'(−1, 0)
C(2, −1) Abzisa-ardatza C'(2, 1)D(5, 0) Abzisa-ardatza D'(5, 0)
Puntua Simetria-ardatza Puntu transladatua
A(1, 3) Ordenatu-ardatza A'(−1, 3)B(0, 3) Ordenatu-ardatza B'(0, 3)
EGIN HONELA
NOLA EGITEN DA HIGIDUREN KONPOSIZIO BAT?
Aplikatu ABC triangeluari O zentroko eta 90º-ko angeluko biraketa, eta triangelu eraldatuari aplikatuv�bektoreko translazioa
LEHENA. Lehen higidura aplikatu behar da. Kasu hone-tan, 90º-ko biraketa.
BIGARRENA. Lortutako irudiari, A'B'C'-ri, bigarren higidu-ra aplikatu behar zaio. Kasu honetan, translazioa.
Higiduren konposiziotik (biraketa eta translazioa) lortudugun irudia A"B"C" triangelua da.
A
B
C
A'
B'
C'
A"
B"C"
O
v�
O
C
D
B
A
r
v�
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 328
329
10
a)
b)
c)
Marraztu irudi bat eta aplikatu zentro bereko ondoz ondoko bi simetria zentral.Zer lotura dago jatorrizko irudiaren eta azkenean lortutako irudiaren artean?
Jatorrizko irudia eta azkenean lortutakoairudi bera dira.
T eta T' irudiak homotetikoak dira. Kalkulatu homoteziaren zentroa eta arrazoia.
r = =1,8
1,21,5
062●
061●●●
rv�
O
C
DB
A
E
O
C
DB
A
E
v�
F
F'
T
1,8 cm
1,2 cm
T'
F"
ERANTZUNAK
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 329
330
Kalkulatu 7, 11 eta 13 cm-ko aldeak dituen triangeluaren antzekoaren aldeenluzera, jakinik antzekotasun-arrazoia k = 3 dela.
Aldeak: ; eta .
Hexagono baten sei aldeen neurriak hauek dira: 13, 14, 15, 17, 19 eta 20 cm. Horren antzeko hexagono baten alde bat 80 cm-koa da. Antzekotasun-arrazoiazenbaki osoa bada, zer neurri dute gainerako aldeek?
Antzekotasun-arrazoia zenbaki osoa izan dadin, 80 cm-ko aldeari 20 cm-koa dagokio, hori baita 80ren zatitzaile bakarra. Arrazoia 4 da eta aldeak 52, 56, 60, 68, 76 eta 80 cm-koak dira, hurrenez hurren.
Marraztu 8 × 6 cm-ko laukizuzen bat eta erantsi 3 cm alde bakoitzean. Antzeko laukizuzen bat lortu al duzu? Zergatik?
Ez dira antzeko laukizuzenak, aldeak ez direlako proportzionalak.
Kalkulatu poligono hauen antzekotasun-arrazoia. Zer lotura dago perimetroenartean?
Arrazoia: 5,1 : 3 = 1,7.
Bigarren triangeluaren altuera: 1,4 ⋅ 1,7 = 2,38 cm.
Perimetroen arrazoia: 14,96 : 8,8 = 1,7.
Kalkulatu luzera ezezagunak.
a) b)
a) b)2 4 8
3xx= =
, → 1,254
3
2= =
xx→ 1,5
3 cmx
2 cm
4,8 cm
3 cm x
4 cm
2 cm
067●
3 cm
5,1 cm
1,4 cm F
066●●
065●●
064●●
13
3= 4,33 cm
11
3= 3,66 cm
7
3= 2,33 cm
063●
8 3
Higidurak eta antzekotasunak
3
6
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 330
331
10
Alboko irudian, da.
Kalkulatu OA', AB eta BC.
⎯→ = 2,875 cm
→ AB = 2,24 cm
→ BC = 3,6 cm
Banatu AB zuzenkia grafikoki 10 zati berdinetan, jakinik AB = 14 cm dela.
Banatu AB zuzenkia grafikoki 2 cm-ko eta 6 cm-ko bi zuzenkirekiko zatiproportzionaletan, jakinik AB = 10 cm dela. Kalkulatu lortutako zuzenkien luzerak zenbakien bidez eta alderatu grafikokilortutako emaitzarekin.
Auto baten luzera erreala 4,2 m-koa da. Zer luzera izango du 1 : 200 eskalakomaketa batean? Eta 1 : 400 eskalako maketa batean?
1 : 200 eskalan: 420 : 200 = 2,1 cm. Eta 1 : 400 eskalan: 420 : 400 = 1,05 cm.
071●
10
8 2 6= = = =
x yx y→ 2,5 cm 7,5 cm;
070●●
069●
0,84,5
= =BC
B C
BC
' '
0,82,8
= =AB
A B
AB
' '
OA'0,82,3
= =OA
OA OA' '
OBOB'
= 0,8068●
ERANTZUNAK
2,3 cmA B
A'
B'2,8 cm4,5 cm
A B14 cm
2,5A B7,5
2
6
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 331
332
Aurreko ariketako autoaren maketa bat 7,5 cm-koa bada, zer eskala du maketak?
420 : 7,5 = 56. Eskala 1 : 56 da.
Mapa batean beheko eskala grafikoa ageri da.
a) Zenbatekoa da zenbakizko eskala?b) Zer distantzia dago benetan bi punturen artean, mapakoa 8 cm-koa bada?
a) 1 : 8.000
b) 8 ⋅ 8.000 = 64.000 cm = 640 m
Egin 1 : 350 eta 1 : 6.000 zenbakizko eskalei dagozkien eskala grafikoak.
1 : 350 1 : 6.000
Eskualde baten bi mapa ditugu. Lehen maparen eskala 1 : 400.000 da, etabigarrenarena, 1 : 1.000.000.
a) Zer mapa da handiena?
b) Bi herriren artean 20 km-ko distantzia badago errealitatean, zer distantzia egongo da bien artean bi mapetan?
c) Lehen mapan, bi hiriren, A-ren eta B-ren, artean 2,3 cm-ko distantzia dago.Zer distantzia dago errealitatean?
d) Zer distantzia egongo da bi hirien artean bigarren mapan?
a) Lehen mapa da handiena, eskala txikiagoa duelako.
b) Lehen mapan: 2.000.000 cm : 400.000 = 5 cm.
Bigarren mapan: 2.000.000 cm : 1.000.000 = 2 cm.
c) 2,3 cm ⋅ 400.000 = 920.000 cm = 9,2 km
d) 920.000 cm : 1.000.000 = 0,92 cm = 9,2 mm
075●●
0 60 120 180 240 m0 3,5 7 10,5 14 m
074●●
0 80 160 240 320 m
073●●
072●●
Higidurak eta antzekotasunak
A
BC
P
Q
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 332
333
10
1 : 150.000 eskalako mapa bat dugu.
a) % 80an fotokopiatu badugu, zer eskala lortuko dugu?b) Eta % 120an fotokopiatuz gero?c) Errealitateko 15 km-ko distantziak zer luzera izango du hiru mapetako
bakoitzean?
a) . Eskala 1 : 187.500.
b) . Eskala 1 : 125.000.
c) 15 km = 1.500.000 cm
.
.
.
Miniaturazko armairu bat egin nahi dugu, 180 × 110 × 45 cm-ko neurriak dituen beste baten antzekoa, baina 13,5 cm-ko altuerakoa. Kalkulatu zabalera eta sakonera.
Antzekotasun-arrazoia: 180 : 13,5 = 13,33. Zabalera: 110 : 13,33 = 8,25 cm. Sakonera: 45 : 13,33 = 3,375 cm.
Kalkulatu zer neurri izango dituen lau angeluko etxe batek 1 : 50 eskalako planobatean, errealitatean etxearen oinarria altueraren erdia bada eta 144 m2-koazalera badu.
Oinarria: x. Altuera: 2x → 2x ⋅ x = 144 → x = 8,49 Oinarria: 8,49 m. Altuera: 16,97 m.
1 : 50 eskalako planoan, neurriak hauek dira:Oinarria: 8,49 m : 50 = 17 cm Altuera: 17 cm ⋅ 2 = 34 cm
Giza zelula batek 3,5 metro-milioireneko diametroa du, gutxi gorabehera.Mikroskopio elektronikoaz begiratuz gero, 1,75 cm-ko diametroa duela ikusikodugu. Kalkulatu zenbat handitze dituen mikroskopioak.
0,0 m 0,0 cm1,75
0,00035ha000035 0035 5 000= =→ . nnditze
079●●
078●●
077●●
1 500 000
125 00012 125 000
. .
..= cm 1 : eskalan
1 500 000
187 5008 187 500
. .
..= cm 1 : eskalan
1 500 000
150 00010
. .
.= cm 1 : 150.000 eskalan
150 000
120
100
.= 125.000
150 000
80
100
.= 187.500
076●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 333
334
Errepide batean saihesbide bat egin behar dute, errepidearen ibilbidea A eta B herriekiko lerro zuzena izateko moduan. Kalkulatu errepideko zerpuntutan egin behar den saihesbidea, bi herrietarako ibilbideak ahalik txikienak izateko.
Antzeko bi triangelu osatzen diren puntuan egin behar da saihesbidea.
Kalkulatu mendi baten altuera, x. Badakigu mendiaren itzalaren muturraren etagailurraren arteko distantzia 2.325 m-koa dela, eta une horretan 1 m-eko makilabatek 1,1 m-ko itzala ematen duela.
Antzeko triangeluak direnez, makilak osatutako triangeluaren hipotenusa
hau da: . Hiruko erregela egingo dugu:
-ko altuera du mendiak.
Txori bat zuhaitz baten adarbatean dago (A puntua), ibaibaten ertzean. Ibaiaren besteertzean dagoen zuhaitz batera(B puntua) joan nahi du etahegan ari dela ura edatekoaprobetxatu, geratu gabe.Ibaiaren zer puntutara joanbehar du, ibilbidea ahalikmotzena izateko?
Ibaiko eta zuhaitzetako puntuek antzeko triangeluak osatzen dituzten puntura joan beharko du. Txoriak B puntua uretan islatuta ikusten duen puntua da.
082●●●
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪= =→ x
2 3251 560
..
1,49m1,49 → 2.325
1 ⎯⎯→ x
1+ =1,21 1,49 m
081●●●
3 12
612 18 02
x
xx x x=
−− + = =→ → 10,24
080●●●
3 kmx
6 km
12 km
2.325 km
1,1 m
1 m
x = ?
Higidurak eta antzekotasunak
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 334
335
10
v� eta w� bektoreak grafikoki batzeko, w�-ren jatorriav�-ren muturrean jartzen da; batura bektorearen jatorria v�-ren jatorria izango da, eta muturra, w�-ren muturra.
Bektore bat zenbaki positibo batez biderkatzeko, jatorrizko bektorearen norabide eta noranzko bereko bektore bat marraztu behar da; modulua jatorrizkobektorearen modulua bider zenbakia izango da.
Zenbakia negatiboa bada, prozesu bera egin behar da, baina noranzkoa aurkakoa izango da.
Horretan oinarrituta eta irudiari behatuz, idatzi bektore hauek , , , , , ,
eta hauen mende: p�= eta q�= .
= q�
= −p�
= q�
= p�+ q�
= + = p�+ q�+ p�= 2 ⋅ p�+ q�
= 2 ⋅ = 2 ⋅ p�+ 2 ⋅ q�
= + = −p�+ q�
= −p�
Idatzi triangelu txikien perimetroa, p, altuera h, eta azalera, a, triangelu handiarenP perimetroaren, H altueraren eta Aazaleraren mende.
Triangelu txiki bakoitzaren aldeak eta altuerak triangelu handiaren aldeen eta altueren herenak dira:
ah
HA
=⋅=
⋅=
oinarriaOINARRIA
23 3
2 9
pP
=3
hH
=3
084●●●
�OD
�ED�FE�AC
�EO�EB
�OA�EO�EA
�EO
�FO
�BC
�AB
�ED�EF�OD�AC
�EB�EA�EO�FO�BC�AB
v�
w�
v�
w�v�+
w�
083●●●
3v�
−3v�
ERANTZUNAK
O
E D
F C
BA
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 335
336
EGUNEROKOAN
Aireportuetan hegazkinenhigidurak kontrolatzen dira,lurreratzeak eta aireratzeakkoordinatzeko.
Lan hori aire-zirkulaziokokontrolatzaileek egiten dute; radarraren bidez hegazkinenkokalekua zehaztu, eta haienibilbidea eta posizioa finkatzeaz gain, lurreratzeko pistetara zer abiaduratan hurbiltzen diren adierazten dute.
Radar baten pantailan, une jakin batean, ibilbide zuzena daramaten lau hegazkien posizioa hautematen da.
Minutu batzuk geroago, hegazkinen posizioa aldatu egin da, eta horren ondorioz,
kontrol-dorreak hegazkin bakoitzarenposizioaren, ibilbidearen eta abiaduraren
berri eman behar du.
Deskribatu lau hegazkinen ibilbidea eta alderatuhaien abiadurak.
A(2, −1) ⎯→ A'(1, 3). Ibilbidea (−1, 4); modulua .
B(0, 3) ⎯⎯→ B'(3, 4). Ibilbidea (3, 1); modulua .
C(−2, 0) ⎯→ C'(−6, 0). Ibilbidea (−4, 0); modulua 4.
D(−2, −4) → D'(−4, −2). Ibilbidea (−2, 2); modulua .
Abiadura handiena hegazkin gorriarena da, eta gero, hegazkin urdinargiarena, urdin ilunarena eta zuriarena.
8
10
17
085●●●
Higidurak eta antzekotasunak
A'B'
C'
D'
D
C
B
AX
Y
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 336
337
10
MOKADUA jatetxean, bertako chefospetsuak produktu tradizionalak eta goi-mailako sukaldaritza nahasten ditu, eta emaitza publikoaren eta kritikoen gustukoa da.
Julen Gerrikaetxeberriak, jatetxearen jabeak, lokalean egin behar dituzten berrikuntza-lanak direla-eta, jatetxean chefaren irudiari bultzada batemateko modu bat asmatu du.
Lehen diseinuan, oktogonoa gela angeluzuzenarenerdian ezarri dute, eta ondoren, lauza horiz inguratu dute, erabat estali arte.
Egin al daiteke? Nola jarri behar dira koroak horilortzeko?
Bai, egin daiteke. Hona hemen hori egiteko modu bat:
086●●●
ERANTZUNAK
Lurrean, oktogono formako lauza handi bat jartzea pentsatu
dut, barruan zure argazkia daramala. Gainerakoa lauzaz estaliko dugu zure inguruan koroa moduko bat
osatzen duela.
908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 337
338
Funtzioak11
FUNTZIO KONTZEPTUA
ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA
FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK
JARRAITUTASUNA
EREMUA ETA IBILTARTEA
EBAKIDURA-PUNTUAK
GORAKORTASUNA ETABEHERAKORTASUNA
MAXIMOAK ETA MINIMOAK
SIMETRIAK
PERIODIKOTASUNA
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 338
Espainiar gripea
Salamanca, 1918. Bi erizainek txanda-aldaketa egin behar zuten; haietako bat nekeakjota zegoen. Txanda amaitu zuen erizaina, Carmen, jarraibideak ematen ari zensartzera zihoan erizainari.
–Ez ezazu lotura pertsonalik izan gaixoarekin, ez saiatu izena jakiten ere, seguruenik hilik egongo baita egun gutxi barru. –Gripea hondamena eragiten ari zen biztanleen artean–. Behatu sintomei eta gaixoak oinak urdinak dituela ikusten baduzu… ez galdu denborarik eta errezatu haren arimaren alde.
Hiru urte geroago, Anaren boluntario-lana amaituta zegoela, azken urteetan gripeak eragindako hildakoen zifra ofizialak irakurtzen ari zen egunkarian.
Begiak busti zitzaizkion bere lagun Carmenez oroitzean. Izan ere, hura izan zen 1918. urtean hil zenetako bat.
Pandemia horren eraginez mundu osoan 20 eta 40 milioi artean hil omen ziren.
Hiriko beste egunkarian, datuak aurkezteko grafiko bat erabili zuten, taula baten ordez.
Grafiko hori berregiteko eta interpretatzeko gai al zara? Zer motatako grafikoa erabiliko duzu?
Puntuz osatutako grafikoa erabili dugu eta puntuak elkartu egin ditugu,urte horietan gripeak eragindakoheriotzen bilakaera hautemateko.
1915191619171918191919201921
6.4817.0217.479
147.114
21.235
17.8255.837
Espainian urtero
gripeak hildakoak
EgunkariaEgunkaria
160.000140.000120.000100.00080.00060.00040.00020.000
1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 339
340
ARIKETAK
Adierazi funtzioak diren ala ez magnitude pare hauen arteko erlazioak etaarrazoitu erantzuna.
a) Pertsona baten adina eta altuera.b) Upel baten prezioa eta har dezakeen likido kantitatea.c) Poligono erregular baten aldearen luzera eta poligonoaren perimetroa.d) Azterketa batean lortutako nota eta ikasten pasatutako ordu kopurua.e) Langile kopurua eta lan bat amaitzeko behar duten denbora.
a) Ez, altueraren balio batek pisuaren zenbait balio izan baititzake, etaalderantziz.
b) Bai, upelaren prezioa likido kantitatearen araberakoa baita.
c) Bai, aldearen balio bakoitzari perimetroaren balio bat dagokio.
d) Ez du zertan funtzioa izan, gerta baitaiteke azterketa gaizki egitea.
e) Bai, langile kopurua handitzean lana amaitzeko behar duten denboratxikitu egingo baita.
3, 5, 7 eta 9 zenbakiak emanda, kalkulatu zer zenbaki dagokion edo dagozkionbakoitzari beheko lau erlazioen bidez eta adierazi zer funtzio diren.
a) Zenbakiaren bikoitza gehi 2. c) Zenbakia ber lau.b) Zenbakiari bat batu eta d) Zenbakiaren erro koadroa.
emaitza zati 2 egitean.
a) 3 → 2 ⋅ 3 + 2 = 8 7 → 2 ⋅ 7 + 2 = 16
5 → 2 ⋅ 5 + 2 = 12 9 → 2 ⋅ 9 + 2 = 20
b) 3 → = 2 7 → = 4
5 → = 3 9 → = 5
c) 3 → 34 = 81 7 → 74 = 2.401
5 → 54 = 625 9 → 94 = 6.561
d) 3 → ± 7 → ±
5 → ± 9 → ±a), b) eta c) ataletako erlazioak funtzioak dira.
Idatzi funtzioak diren bi erlazio eta funtzioak ez diren beste bi.
Funtzioak diren erlazioen adibideak:• Telefono-dei baten kostua eta iraupena.• Internetetik artxibo bat behera kargatzeko denbora eta artxiboaren tamaina.
Funtzioak ez diren erlazioen adibideak:• Ikasgela bateko ikasle kopurua eta azterketa bat gainditu dutenen kopurua.• Pertsona baten adina eta pisua.
003
9 3= ±5
73
9 1
2
+5 1
2
+
7 1
2
+3 1
2
+
002
001
Funtzioak
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 340
341
11
Adierazi funtzio hauek, enuntziatu banaren bidez.
a) y = 2x − 1b) y = −x + 3
a) Zenbaki bakoitzari bikoitza ken 1 egokitzen dion funtzioa.
b) Zenbaki bakoitzari aurkakoa gehi 3 egokitzen dion funtzioa.
Lortu zenbaki bakoitzari hau egokitzen dion funtzioaren adierazpen aljebraikoa:
a) hirukoitza.b) berbidura.c) bikoitza gehi 5.d) erdia.
a) y = 3x b) y = x2 c) y = 2x + 5 d) y =
Zenbaki bakoitzari laurdena gehi 3 egokitzen dion funtzioa dugu:
a) Idatzi adierazpen aljebraikoa.b) Kalkulatu f (8), f (−4) eta f (10).
a) y = f (x) = + 3
b) f (8) = + 3 = 5 f(−4) = + 3 = 2
f(10) =
Pentsatu adierazpen aljebraiko baten bidez adierazi ezin den funtzio bat.
Pertsona baten NAN eta altuera zentimetrotan lotzen dituen funtzioa.
Egin funtzio bakoitzaren balio-taula bat, adierazi funtzio bakoitza enuntziatubaten bidez eta egin adierazpen grafikoa.
a) y = x + 2 e) y = −3x − 1b) y = 2x + 3 f) y = x 2 + 1c) y = x 2 g) y = 4x − 4d) y = x 2 + x h) y = −x
a) Zenbaki bakoitzari zenbakia bera gehi 2 egokitzen dion funtzioa.
008
007
10
43
10 12
4
22
4
11
2+ =
+= =
−4
4
8
0
x
4
006
x
2
005
004
ERANTZUNAK
xy
−2
0
−1
1
0
2
1
3
2
4
y = x + 22
1
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 341
342
b) Zenbaki bakoitzari bikoitza gehi 3 egokitzen diona.
c) Zenbaki bakoitzari berbidura egokitzen diona.
d) Zenbaki bakoitzari berbidura gehi zenbakia bera egokitzen dion funtzioa.
e) Zenbaki bakoitzari aurkakoaren hirukoitza ken 1 egokitzen dion funtzioa.
f) Zenbaki bakoitzari berbidura gehi 1 egokitzen dion funtzioa.
g) Zenbaki bakoitzari laukoitza ken 4 egokitzen dion funtzioa.
h) Zenbaki bakoitzari aurkakoa egokitzen dion funtzioa.
Funtzioak
xy
−2
−1
−1
1
0
3
1
5
2
7
xy
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4
xy
−2
2
−1
0
0
0
1
2
2
6
xy
−2
5
−1
2
0
−1
1
−4
2
−7
xy
−2
5
−1
2
0
1
1
2
2
5
xy
−2
−12
−1
−8
0
−4
1
0
2
4
xy
−2
2
−1
1
0
0
1
−1
2
−2
y = x2
Y
X
y = 2x + 3Y
X
Y
X
y = x2 + x
Y
X
y = −3x − 1
Y
X
y = x2 + 1
Y
X
y = 4x − 4
y = −x
Y
X
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
21
1
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 342
343
11
Puntu bat funtzio baten grafikokoa da haren koordenatuek ekuazioa betetzenbadute. y = −2x funtziokoak al dira (−1, 2) eta (0, −1)?
(−1, 2) → 2 = −2 ⋅ (−1) → Funtziokoa da.
(0, −1) → −1 � −2 ⋅ 0 ⎯→ Ez da funtziokoa.
Sarrera batek 15,75 € balio ditu. Adierazi funtzio hori ekuazio baten, taulabaten eta grafiko baten bidez.
y = 15,75x
Arrazoitu nolakoak izango liratekeen grafiko hauetako aldagaiak.
Lehen grafikoa mailakatua da, x aldagaia jarraitua delako, eta y aldagaia, diskretua.
Bigarren grafikoa diskretua da, puntu isolatuz osatua dagoelako.
Altzari-saltzaile batek 480 €-ko soldata finkoa jasotzen du, eta 10 €-kokomisioa, saldutako altzariko. Marraztu saldutako altzari kopuruaren mendekoirabaziak adierazten dituen grafikoa.
Funtzio etena da, altzari kopuruaren aldagaia diskretua delako eta ez jarraitua; izan ere, balio osoak soilik har ditzake.
Idatzi grafiko diskretua duen funtzio bat eta grafiko mailakatua duen beste bat.
• Grafiko diskretua: liga-jardunaldi bateko gol kopurua jardunaldiaren zenbakiarekiko.
• Grafiko mailakatua: telefono-dei baten kostua iraupenarekiko (minutuka kobratuta).
013
012
011
010
009
ERANTZUNAK
xy
0
0
1
15,75
2
31,50
3
47,25
y = 15,75x
3
31,5015,75
21
Y
X
Y
X
Y
X
540
520
500
480
531
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 343
344
Aztertu grafikoko funtzioaren jarraitutasuna. Adierazi etenuneak, baldin baditu.
Funtzioak bi etenune ditu: x = −3 eta x = 3; bi puntu horietan jauzi bana dago.
y = −x + 3 eta y = x 2 funtzioak emanda:
a) Osatu balio-taulak.b) Adierazi funtzioak grafikoki.c) Aztertu jarraitutasuna.
y = −x + 3
f(x) = −x + 3 funtzioa jarraitua da.
y = x2
f (x) = x2 funtzioa jarraitua da.
Marraztu funtzio hauen grafikoak.
a) Zenbaki arrunt bakoitzari bikoitza ken 2 egokitzen dion funtzioa.b) Zenbaki oso bakoitzari bikoitza ken 2 egokitzen dion funtzioa.c) Zenbaki erreal bakoitzari bikoitza ken 2 egokitzen dion funtzioa.
a) b) c)
Aztertu zenbaki erreal bakoitzari 4 zenbakia egokitzen dion funtzioaren jarraitutasuna.
Funtzio jarraitua da, arkatza altxatu gabe marraz daitekeelako.
017
016
015
014
Funtzioak
xy
−2
5
−1
4
0
3
1
2
2
1
xy
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4 y = x2
Y
Y
X
X
Y
X
y = −x + 3
4
2
−2−2
−4
3
97531
531
Y
X
97531
−3−5−7
531−2
Y
X
5
3
1
5 731−2−4−6
Y
X
97531
−3−5−7
531−2
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 344
Kalkulatu funtzioaren eremua eta ibiltartea.
Er f = [−5, 5]
Ib f = [−5, 5]
Erreal bakoitzari hirukoitza ken 6 egokitzen dion funtzioa emanda, kalkulatu:
a) Adierazpen aljebraikoa.b) Eremua, ibiltartea eta grafikoa.
a) y = 3x − 6
b) Er f = �; Ib f = �
Zenbaki erreal bakoitzari alderantzizkoa gehi 3 egokitzen dion funtzioa emanda:a) Idatzi adierazpen aljebraikoa.b) Kalkulatu eremua eta ibiltartea.c) Zer irudi du 2 zenbakiak?
(Gogoratu ezin dela zati 0 egin.)
a)
b) Er f = � − {0}; Ib f = � − {3}
c) f (2) =
Adierazi grafikoki zenbaki erreal bakoitzari negatiboa bada −1 eta positiboa bada +1 egokitzen dion funtzioa.
a) Zer irudi du 2 zenbakiak? Eta −2k?b) Marraztu grafikoa.c) Kalkulatu eremua eta ibiltartea.
a) f (2) = 1; f (−2) = −1
b)
c) Er f = � − {0}, 0 ez delako ez zenbaki positiboa ez negatiboa; Ib f = {−1, 1}, bi balio baino ez dituelako hartzen: 1 eta –1.
021
1
23 3 5+ = ,
yx
= +1
3
020
019
018
345
11ERANTZUNAK
Y
X
y = 3x − 6
Y
X
5
3
1
−3
−5
531−2−4
3
1
−231−2
1
3 51−2−4−6
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 345
346
Adierazi grafikoki funtzio hauek eta kalkulatu ardatzekiko ebakidura-puntuak.
a) y = 3x − 6 b) y = x + 1 c) y = −2x d) y = x 2 − 2
a) X ardatzarekiko ebakidura-puntua:
y = 0 → 3x − 6 = 0 → x = 2 → (2, 0)
Y ardatzarekiko ebakidura-puntua:
x = 0 → y = 3 ⋅ 0 − 6 = −6 → (0, −6)
b) X ardatzarekiko ebakidura-puntua:
y = 0 → x + 1 = 0 → x = −1 → (−1, 0)
Y ardatzarekiko ebakidura-puntua:
x = 0 → y = 0 + 1 = 1 → (0, 1)
c) X ardatzarekiko ebakidura-puntua:
y = 0 → −2x = 0 → x = 0 → (0, 0)
Y ardatzarekiko ebakidura-puntua:
x = 0 → y = −2 ⋅ 0 = 0 → y = 0 → (0, 0)
d) X ardatzarekiko ebakidura-puntuak:
y = 0 → x2 − 2 = 0 → x = ±
Y ardatzarekiko ebakidura-puntua:
x = 0 → y = 02 − 2 = −2 → (0, −2)
Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak y = x 2 − 5x + 6 funtzioak?
X ardatzarekiko ebakidura-puntuak:
y = 0 → x2 − 5x + 6 = 0 → x =
Ebakidura-puntuak (3, 0) eta (2, 0) dira.
Y ardatzarekiko ebakidura-puntua:
x = 0 → y = 0 − 5 ⋅ 0 + 6 = 6 → (0, 6)
Adierazi grafikoki y = 3. Zer hautematen da? Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak?
X ardatzarekiko zuzen paraleloa da, eta Y ardatza (0, 3) puntuan ebakitzen du.
024
32
=± −
=±5 25 24
2
5 1
2
023
( , )( , )+−
2 02 0
2
022
Funtzioak
y = x + 1
y = −2x
y = x2 − 2
Y
Y
Y
X
X
X
y = 3x − 6
Y
y = 3
Y
X
X
3
1
−231−2
3
1
−231−2
3
1
−231−2
3
1
3−2
1
−231−2
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 346
347
11
Funtzio hau dugu: . Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak.
X ardatzarekiko ebakidura-puntuak:
y = 0 → = 0 → Ez du ebazpenik, ez du ebakitzen.
Y ardatzarekiko ebakidura-puntuak:
x = 0 → y = → Ez dago definituta, ez du ebakitzen.
y = 5x funtzioak zer puntutan ebakitzen du Y?Eta y = 5x + 1 funtzioak?Eta y = 5x − 2 funtzioak?
Emaitza horiek jakinik, zure ustez, zer puntutan ebakiko du Y ardatzay = 5x − 7 funtzioak?
Y ardatzarekiko ebakidura-puntuak:
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 = 0 ⎯⎯⎯→ (0, 0)
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 + 1 = 1 ⎯→ (0, 1)
x = 0 → y = 5 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2)
y = 5x − 7 funtzioak (0, −7) puntuan ebakitzen du Y ardatza.
Zenbat ebakidura-puntu izan ditzake funtzio batek Y ardatzarekiko? Eta X-rekiko?
Y ardatza behin bakarrik ebaki dezake funtzio batek, bestela 0 zenbakiak irudi bat baino gehiago izango lituzke.
X ardatza infinitu aldiz ebaki dezake.
Behatu 2003-2007 aldiko patata kilogramoaren prezioari (eurotan). Adierazi datuakgrafiko batean, eta aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna.
Gorakorra da (2003, 2004) eta (2006, 2007) tarteetan.
Beherakorra da (2004, 2006) tartean.
Marraztu funtzio baten grafikoa, jakinik gorakorra dela (0, 3) eta (6, 8)tarteetan, eta beherakorra, (3, 6) eta (8, 10) tarteetan.
029
028
027
026
8
0
8
0
yx
= 2025
ERANTZUNAK
Y
X
3
5
3
1
6 8
y = f (x)
Y
X
Urtea
Prezioa2003
0,51
2004
0,65
2005
0,57
2006
0,49
2007
0,64
03 04
0,70
0,40
0,10
05 06 07
Y
X
yx
=23
1
−231−2
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 347
348
Taulan, urtearen lehen bost hiletako auto-salmentak ageri dira. Datuak grafikokiadierazi gabe, aztertu funtzioaren gorakortasuna eta beherakortasuna.
Beherakorra da taulan adierazitako eremu osoan (urtarriletik maiatzera arte).
Adierazi grafikoki funtzioa, eta aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna.
Konstantea al da tarteren batean?
Beherakorra da bi adarretan; hiperbola bat da.
Ez du tarte konstanterik.
Zehaztu funtzioaren maximoak eta minimoak.
Funtzioak minimoak ditu abzisa-puntu hauetan: x = −3, −1 eta 2. x = −1 puntuan minimo absolutua du, eta beste bietan, erlatiboak.
Funtzioak maximoak ditu abzisa-puntu hauetan: x = −4, −2, 1 eta 4. x = −2 puntuan maximo absolutua du, eta beste hiruretan, erlatiboak.
Marraztu x = −2 eta x = 3-nmaximoak, eta x = 1 eta x = 2-nminimoak dituen funtzioa.
Marraztu 2 periodoko funtzio bat eta 4 periodoko beste funtzio bat.
2 periodokoa: 4 periodokoa:
034
033
032
yx
= 1031
030
Funtzioak
Hila
Salm.E
2.000
F
1.875
M
1.690
A
1.600
M
1.540
−4
−4
4
22
4 X
Y
−2
−4 −2 4
2
2 −2 4
2
2 86 10
3
1
−231−2
Y
X
yx
=1
Y
X
Y
X
Y
X
5
3
1
−23 5 71−2−4−6−8
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 348
349
11
Marraztu erlojuaren orratzek 00:00 eta 02:00 orduen artean osatutako angeluaneurtzen duen funtzioaren grafikoa. Zer maximo eta minimo ditu?
Demagun angelu zorrotza hartu dugula. Maximoak hauek dira, gutxi gorabehera: 0:30 h (0 h 32 min 44 s) eta 1:35 h (1 h 38 min 11 s); minimoa, berriz: 1:05 h.
Adierazi grafikoki balio-taularen bidez emandako funtzioa. Funtzio simetrikoa al da?
Funtzio simetrikoa da Y ardatzarekiko.
Aztertu funtzio hauen simetriak.a) y = 4 b) y = x 4 c) y = x 3
a) � f (−x) = f (x) → Funtzio bikoitia
b) � f (−x) = f (x) → Funtzio bikoitia
c) �Izan al daiteke funtzio bat X ardatzarekiko simetrikoa? Arrazoitu erantzuna.
Ezin da, X-ren balio bakoitzak bi irudi izango lituzkeelako, eta beraz, ez litzateke funtzioa izango.
ARIKETAKZehaztu zer erlaziok adierazten duten funtzio bat. Arrazoitu erantzuna.a) Zenbaki positibo bat eta haren erro koadroa.b) Zenbaki positibo bat eta haren erro kuboa.c) Zenbaki negatibo bat eta haren balio absolutua.d) Piramide baten oinarriaren alde kopurua eta ertz kopuru osoa.
a) Korrespondentzia da. Zenbaki positiboak erro positibo eta negatibo bana ditu.
b) Funtzioa da. Zenbaki batek erro kubo bakar bat du.
c) Funtzioa da. Zenbaki negatibo bakoitzak balio absolutu bat du, zenbakia bera zeinua aldatuta.
d) Funtzioa da. Ertz kopurua alde kopuruaren bikoitza da eta alde kopuru bakoitzari ertz kopuru bakar bat dagokio.
039●
038
f (−x) � f (x) ⎯→ Funtzio ez-bikoitiaf (−x) = −f (x) → Funtzio bakoitia
f (x) = x3
f (−x) = (−x)3 = −x3
f (x) = x4
f (−x) = (−x)4 = x4
f (x) = 4f (−x) = 4
037
036
035
ERANTZUNAK
180
90
xy
…
…
−2
7
−1
4
0
3
1
4
2
7
…
…
6
4
2
2
X
Y
X
Y
32 m
44 s
65 m
in 27
s98
min
11 s
130 m
in 54
s
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 349
Idatzi funtzioen hiru adibide eta adierazi zein diren funtzio bakoitzeko aldagaiak.
Auto baten abiadura eta 100 km egiteko behar duen denbora.
Zenbaki oso baten zatitzaileak; x aldagaia: zenbaki osoa, y : zatitzaileak.
Laino baten altuera eta tanta bat eurik erortzen zenbat denbora behar duen.
Adierazi zein diren funtzioak eta zein ez.
a) c)
b) d)
a) Ez da funtzioa.
b) Funtzioa da.
c) Ez da funtzioa.
d) Funtzioa da.
042●
041
040●
EGIN HONELA
NOLA IDENTIFIKATZEN DA FUNTZIO BAT ADIERAZPEN GRAFIKOAREN BIDEZ?
Adierazi funtzioak diren ala ez grafiko hauek.
a) b)
LEHENA. x-ren balioren bati y-ren balio bat baino gehiago dagokion zehaztu behar da.
a) b)
BIGARRENA. Hala bada, grafikoa ez da funtzio batena. Balio bakarra badagokio, berriz, grafikoa funtzio batena izango da.
Beraz, b) funtzioa da eta a) ez.
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
350
Funtzioak
Y Y
X X
Y
X
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 350
351
11
Idatzi magnitude hauen arteko erlazioaren adierazpen aljebraikoa.a) Zirkunferentzia baten erradioa eta luzera.b) Esfera baten erradioa eta bolumena.c) Zirkulu baten azalera eta erradioa.
a) y = 2πx b) y = c) y = πx2
Zenbaki bakoitzari zenbakiaren eta 5en baturaren alderantzizkoa egokitzen dionfuntzioa emanda:a) Idatzi adierazpen aljebraikoa.b) Funtzioak ba al du baliorik x = −2 bada?
a)
b) Bai,
Piramide baten erpin kopuruaren eta ertz kopuruaren arteko erlazioa.a) Funtzioa al da? Egin balio-taula eta adierazi grafikoki.b) Idatz al daiteke funtzioaren adierazpen aljebraikoa?
a) Bai, funtzioa da.
b) y = 2(x −1), x ≥ 4 bada.
Adierazi funtzio hauek, ahalik modu gehienetan.
a) y = x + 5 b) y = −3x + 1 c) y = x 2 + x + 1 d)
Ariketa honetako adibideak erabiliz, funtzio bat zenbait modutan nola adierazten denpraktikatzea gomendatzen da, funtzio motaarruntenak ageri baitira.
yx=5
046●●
045●●
y =1
3
yx
=+1
5
044●
4
33πx
043●
ERANTZUNAK
Erpinak
Ertzak4
6
5
8
6
10
7
12
8
14
9
16
…
…
d)a)
b)
c)
Y
X
Y
XErpinak
Ert
zak
15131197531
1 3 5 7 9
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 351
352
Zorro bat patata frijituk 1,50 € balio du. Adierazi aljebraikoki Zorro kopurua – Prezioa funtzioa, eta egin balio-taula eta grafikoa
y = 1,50x
Egin 36 m2-ko azalera duten laukizuzenen luzeren eta zabaleren balio-taula.Adierazi aljebraikoki Luzera – Zabalera funtzioa eta egin grafikoa.
Aztertu funtzio hauen jarraitutasuna. Ba al dute etenunerik?
a) b)
a) Ez da jarraitua. Bi etenune ditu x = −1 eta x = 4 puntuetan.
b) Ez da jarraitua, jauzi bat du x = 0 puntuan.
Eneko gaixo dago eta egunean4 aldiz hartu diote tenperatura,3 egunez. Grafikoan ageri direnpuntuak lortu dituzte? Elkar al daitezke puntuak?Funtzio jarraitua ala etenaizango da?
Bai, elkar daitezke puntuak.Aldagaiak jarraituak dira eta grafikoa ere bai.
050●
049●
yx
=36
048●●
047●●
Funtzioak
xy
0
0
1
1,50
2
3
3
4,50
4,503
1,50
1 2 3
Y
X
18
642
Y
X
Luzera
Zabal.18
2
12
3
9
4
6
6
4
9
3
12
2
18
Y
X−5 −3 −1
−2
2
1 3 5
2
2 4−4 −2
−2
Y
X
40
39
38
37
36
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
Tenp
erat
ura
(°C
)
Denbora (h)
Y
X
2 4 6 18
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 352
Idatzi bi funtzio hauen eremua eta ibiltartea.
a) b)
a) Eremua = [−1, 8] − (1, 2) – (5, 6) = [−1, 1] + [2, 5] + [6, 8]
Ibiltartea = [0, 3] + {5}
b) Eremua = [−1, 7] − (2, 3) = [−1, 2] + [3, 7]
Ibiltartea = [0, 5]
Kalkulatu funtzio hauen eremua.
a) y = x 2 + 1 c)
b) d)
a) R c) [−1, +�)
b) R − {5} d) [2, +�)
x − 2yx
=−5
5
x + 1
053●●
052
051●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA FUNTZIO BATEN EREMUA, ADIERAZPEN ALJEBRAIKOTIK ABIATUTA?
Kalkulatu funtzioen eremua.
a) y = 2x − 3 b) c)
LEHENA. Adierazpen mota aztertu behar da.
a) y = 2x − 3 ⎯→ Adierazpen polinomikoa da.
b) → Izendatzailean x aldagaia duen adierazpena da.
c) ⎯→ x aldagaia erro koadro baten errokizunean duen adierazpena.
BIGARRENA. Eremua kalkulatu behar da, adierazpen mota aintzat hartuta.
a) Adierazpenak zenbaki erreal guztietarako daude definituta: Er f = R.
b) Zatiketa bat ez dago definituta izendatzailea 0 bada; beraz, funtzioa ez dago definituta x = 1 puntuan: Er f = R − {1}.
c) Erroketak zenbaki positiboetarako bakarrik daude definituta; beraz, funtzioa definituta dago 1 edo handiagoa bada x: Er f = [1, +�).
y x= − 1
yx
x=
++
3 2
1
y x= −1yx
x= +
+3 2
1
353
11ERANTZUNAK
4
2 4 6 8
Y
X
4
2
2 4 6 8
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 353
354
Aztertu y = x 3 funtzioaren jarraitutasuna, eta lortu eremua eta ibiltartea.
Funtzio jarraitua da; eremua: R; ibiltartea: R.
Aztertu funtzio honen jarraitutasuna: .Lortu eremua eta ibiltartea.
→ �Funtzioa jarraitua da tarte honetan: � − {0}.
Funtzio hau dugu: :a) Egin balio-taula bat. c) Marraztu grafikoa.b) Aztertu jarraitutasuna. d) Zehaztu eremua eta ibiltartea.
a) c)
b) Jarraitua da eremu osoan.
d) Er f = [−4, +�)Ib f = [0, +�)
Kalkulatu funtzioen ebakidura-puntuak ardatzekiko.a) y = 4x − 1 c) y = x 2 − 3 e) y = x 3 − 8b) y = 5 d) y = (x − 3)2 f) y = −3
a) y = 4x − 1 → Y ardatza → x = 0 → y = 4 ⋅ 0 − 1 = −1 → P(0, −1)
X ardatza → y = 0 → 0 = 4x − 1 →
b) y = 5 → Y ardatza → x = 0 → y = 5 → P(0, 5)X ardatza → y � 0, ez du ardatz horrekiko ebakidura-punturik.
c) y = x2 − 3 → Y ardatza → x = 0 → y = 0 − 3 = −3 → P(0, −3)
X ardatza → y = 0 → x2 − 3 = 0 → x = ± → Q( , 0) eta Q ' (− , 0)
d) y = (x − 3)2 → Y ardatza → x = 0 → y = (0 − 3)2 = 9 → P(0, 9)X ardatza → y = 0 → 0 = (x − 3)2 → x = 3 → Q(3, 0)
e) y = x3 − 8 → Y ardatza → x = 0 → y = −8 → P(0, −8)X ardatza → y = 0 → x3 − 8 = 0 → x = 2 → Q(2, 0)
f) y = −3 → Y ardatza → x = 0 → y = −3 → P(0, −3)X ardatza → y � 0, ez du ardatz horrekiko ebakidura-punturik.
333
x Q=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
4
1
40→ ,
057●
f x x( ) = + 4056●●●
Er f = � − {1}Ib f = � − {0}y
x=
−2
1
yx
=−2
1055
●●●
054●●
Funtzioak
Y
X
yx
=−2
1
x 1
5
0
2
2
6
−4
0y
Y
X
y x= + 4
y = x3
Y
X
1
1
1
1
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 354
355
11
Aztertu funtzio honen gorakortasuna.
Funtzioa gorakorra da [−1, 2] eta [5, 8] tarteetan; beherakorra [3, 4] tartean eta konstantea (4, 5)-n.
Behatu behean ageri den funtzioaren grafikoari.
a) Zehaztu eremua eta ibiltartea.b) Funtzio jarraitua al da?c) Aztertu gorakortasuna eta
beherakortasuna.d) Adierazi maximoak eta
minimoak, baldin baditu.
a) Er f = [0, 10]; Ib f = [0, 7]
b) Jarraitua da eremu osoan.
c) Gorakorra: [0, 1] ∪ [2, 4] ∪ [5, 6] ∪ [8, 10].Beherakorra: [1, 2] ∪ [4, 5] ∪ [6, 8].
d) Maximoak ditu x = 1, x = 4 eta x = 6 puntuetan.Minimoak ditu x = 2, x = 5 eta x = 8 puntuetan.
Osatu bi grafikoak, Y ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat lortzeko, kasubakoitzean.
a) b)
a) b)
060●●
059●
058●●
ERANTZUNAK
5
4
3
2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Y
7654321
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
X X
Y Y
X X
Y Y
3
1
−2
31−2
3
1
−2
31−2
3
1
−231−2
3
1
−231−2
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 355
356
Gerta al daiteke funtzio bat Y ardatzarekiko eta jatorriarekiko simetrikoa izatea?Baietz uste baduzu, idatzi adibide bat.
y = 0 funtzioarekin soilik gertatzen da; izan ere: f (−x) = −f (−x).
Adierazi hauetako zein diren funtzio periodikoen grafikoak.
a) c)
b) d)
Periodikoak dira a) eta c) ataletako funtzioak, eta ez dira periodikoak b) eta d) ataletakoak.
Aztertu magnitude pare hauek lotzen dituzten funtzioen ezaugarriak:
a) Hexagono erregular baten aldea eta azalera.
b) Karratu baten aldearen luzera eta diagonala.
c) Zenbaki erreal bat eta haren kuboa.
d) Zenbaki erreal bat eta haren erro koadroaren hirukoitza.
a)
Funtzio jarraitua eta gorakorra da eremu osoan →→ Er f = �
b) funtzioa jarraitua eta gorakorra da → Er f = �
c) y = x3 → Er f = �; Ib f = �
Jarraitua eta gorakorra da, ez du maximo eta minimorik, eta simetrikoa da jatorriarekiko.
d) y = → Er f = �+ = [0, +�)
Ib f = �+ = [0, +�)
Jarraitua eta gorakorra da, eta ez du maximorik eta minimorik.
3 x
d = =2 22l l
AP a
=⋅=
⋅ ⋅=
2
63
2 3 3
2
2l l
l
2
063●●
062●●
061●●●
Funtzioak
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 356
357
11
Aztertu funtzio hauen ezaugarriak.
a) y = −3x c) y = x 2 + 2x + 1 e) y = (x − 1)2
b) y = 2x − 5 d) f) y = x 3 − 3
a) y = −3x → Er f = �; Ib f = �
Jarraitua eta beherakorra da, eta ez du maximorik eta minimorik, ez etasimetriarik ere.
b) y = 2x − 5 → Er f = �; Ib f = �
Jarraitua eta gorakorra da, ez du maximorik, ez minimorik, ez simetriarik.
c) y = x2 + 2x + 1 → Er f = �; Ib f = �
Jarraitua da, beherakorra −�-tik −1era arte, gorakorra −1etik +�-ra arte, eta minimo bat du x = −1 puntuan. Ez da simetrikoa Y ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere.
d) → Er f = � − {0}; Ib f = � − {−2}
Jarraitua eta beherakorra da, ez du simetriarik Y ardatzarekiko, eta simetrikoa da koordenatu-jatorriarekiko.
e) y = (x − 1)2 → Er f = �; Ib f = �
Jarraitua da, beherakorra −�-tik 1era arte, gorakorra 1etik +�-ra arte, eta minimo bat du x = 1 puntuan. Ez da simetrikoa Y ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere.
f) y = x3 − 3 → Er f = �; Ib f = �
Jarraitua eta gorakorra da, ez du simetriarik Y ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere.
Aztertu funtzio hauek.
a) y = ⏐x⏐ (x-ren balio absolutua) b) y =
a) y = ⏐x⏐ = �Er f = �; Ib f = [0, +�)
Jarraitua da.
Beherakorra (−�, 0)-n eta gorakorra (0, +�)-n.
Minimo absolutu bat du x = 0 puntuan.
Simetrikoa da Y ardatzarekiko.
b) y = �Er f = �; Ib f = [0, +�)
Jarraitua da.
Beherakorra (−�, 0)-n eta gorakorra (0, +�)-n.
Minimo absolutu bat du x = 0 puntuan. Ez du simetriarik.
−x x ≤ 0 badax2 x > 0 bada
−x x < 0 badax x > 0 bada
−x x ≤ 0 badax 2 x > 0 bada
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
065●●●
yx
= −2
2
yx
= −22
064●●
ERANTZUNAK
Y
Y
X
X
y = ⏐x⏐
y = x2y = −x
3
1
−231−2
3
1
−231−2
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 357
Adierazi grafikoki funtzio hau:– Er f = R– (5, 0) eta (7, 0) puntuetatik igarotzen da.– Minimoak ditu (0, 1) eta
(6, −3) puntuetan,
– Maximo bat du (3, 5) puntuan.
Adierazi grafikoki ezaugarri hauek dituen funtzioa.– Er f = R– (−3, 0) eta (0, 2) puntuetatik igarotzen da.– Gorakorra da x = −2ra arte,
(−2, 4) tartean; eta beherakorra, x = 4tik aurrera.
068●●
067●●
066 EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DA GRAFIKOKI FUNTZIO BAT, HAREN ZENBAIT EZAUGARRI JAKINDA?
Adierazi funtzio bat grafikoki, datu hauekin.– Er f = R– (−2, 0), (2, 0) eta (4, 0) puntuetatik igarotzen da.– Minimo bat du (3, −2) puntuan.– Maximo bat du (0, 2) puntuan.
LEHENA. Funtzioaren puntuak grafikoki adierazi behar dira.
BIGARRENA. Funtzioaren maximoak eta minimoakmarraztu behar dira.
Minimoak adierazteko, arku bat erabiltzen da, zatiahurra behera begira duela. Maximoak adierazteko,zati ahurra gora begira dutela erabiltzen dira.
HIRUGARRENA. Funtzioa grafikoki adieraz-teko, grafikoaren norabidea eta zer pun-tutatik igarotzen den erakusten duten ge-ziei jarraitu behar zaie.
2
−2−2
2 4
Y
X
2
−2
−2
2 4
Y
X
358
Funtzioak
Y
X
5
3
1
−23 5 71−2−4
Y
X
3
1
−2
−4
3 5 7 91−2−4
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 358
359
11
Marraztu funtzio periodiko bat, (−5, 5) eremua eta (−2, 2) ibiltartea dituena. Bat baino gehiago al dago?
Infinitu ebazpen daude.
Adierazi grafikoki Y ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat, beti gorakorradena. Egin al daiteke?
Ezin da, balio positiboetarako gorakorra bada, negatiboetarako beherakorraizango da, eta alderantziz, Y ardatzarekiko simetrikoa delako.
a > b > 0 bada, f (a) > f (b) izango da, gorakorra eta Y ardatzarekiko simetrikoa delako. Dena den, f (−a) > f (−b) baldintza ezinezkoa da, funtzioagorakorra delako; izan ere, −b > −a.
Ikastetxe batean, eraikin nagusiaren itzalaren luzera neurtu dute, ordu oro,neguko egun batean (18:00etatik aurrera gaua da). Lortutako datuak taulanageri dira.
a) Adierazi grafikoki.b) Funtzio jarraitua ala etena da?c) Aztertu funtzioaren ezaugarriak.
a)
b) Jarraitua da.
c) Beherakorra da eguzkia atertzen denetik 13:00 arte, eta ordu horretatik eguzkia sartu arte gorakorra da. Minimo bat du 13:00etan. Eremua adierazitako eguzki-ordu guztiek osatzen dute.
071●●
070●●●
069●●
ERANTZUNAK
X
Y
Ordua
Luzera8
23
9
18
10
14
11
10
12
4
13
2
14
6
15
10
16
16
17
21
Y
X
2321191715131197531
5 9 13 171
3
1
−23 51−2−4
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 359
360
Tren batek bi hiriren (A eta B) arteko ibilbidea egiten du. A-tik 07:00etan atera etaabiadura konstantean abiatzen da B-rantz;40 minutuan iristen da. Gero, 20 minutu geldirik egon eta B-tik A-rantz abiatzen da;50 minutuan iristen da. 10 minutu geroago,B-rantz ateratzen da, berriro ere.
a) Adierazi grafikoki Denbora – A hiriarekiko distantzia funtzioa.b) Egin funtzioaren azterketa osoa.
a)
b) Funtzioa jarraitua da eremu osoan.
Gorakorra da tarte hauetan: (0, 40), (120, 160)…
Konstantea da tarte hauetan: (40, 60), (110, 120), (160, 180)…
Beherakorra da tarte hauetan: (60, 110), (180, 230)...
c) Bai, funtzio periodikoa da; periodoa: T = 120 minutu.
Grafikoan, urtearen hil bakoitzean udalek etxebizitzak egiteko emandako gainazala ageri da(milioika m2-tan).
a) Aztertu jarraitutasuna.b) Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak?c) Aztertu gorakortasuna.d) Seinalatu maximoak eta minimoak,
eta adierazi absolutuak ala erlatiboak diren.e) Zer hiletan eman ziren 12 milioi metro koadro baino gehiago?
Zer hilen artean erregistratu zen gorakadarik handiena?
a) Funtzio jarraitua da.
b) Ez du X ardatza ebakitzen; Y ardatza (E; 8,5) puntuan ebakitzen du.
c) Gorakorra da urtarriletik otsailera, martxotik apirilera, ekainetik uztailera eta abuztutik urrira. Beherakorra da otsailetik martxora, apiriletik ekainera,uztailetik abuztura eta urritik abendura.
d) Maximo erlatiboak: otsaila, apirila, uztaila eta urria. Maximo absolutua: urria.Minimo erlatiboak: martxoa, ekaina eta abuztua. Minimo absolutua: urtarrila.
e) 12 milioi metro koadro baino gehiago: urrian, azaroan eta abenduan. Gorakadarik handiena abuztuan eta irailan erregistratu zen.
073●●
072●●
Funtzioak
20 60 100 140 180 220
Dis
tant
zia
Denbora (min)
13
12
11
10
9
U O M A M E U A I U A A
X
Y
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 360
5.000 m-ko lasterketarako entrenamenduan, taulan ageri diren denborak eginditu atleta batek.
a) Adierazi datuak grafiko batean.b) Abiadurari eusten badio,
zenbat denbora beharko du 5.000 m egiteko?
c) Idatzi egindako espazioa eta erabilitako denbora lotzen dituen adierazpenaljebraikoa.
a) b) t = 3.000 : 6,5 = 461,54 s = 7 min 41,54 s
c) y = 6,5x
Zer grafiko dagokio flasko bakoitza betetzeari?
a) Kono bat da. Bolumena handitu ahala, altuera gero eta azkarrago handitzen da. Grafikoa hau da:
b) Beheko zatia zilindroa da; bolumena proportzionala da altuerarekiko. Gero, kono bat da; beraz, bolumena handitu ahala, altuera gero eta azkarrago handitzen da. Grafikoa hau da:
075●●●
074●●
361
ERANTZUNAK
Denbora (s)
Espazioa (m)0
0
10
65
20
130
30
195
40
260
50
325
…
…
Alt
uera
Bolumena
Alt
uera
Bolumena
Alt
uera
Bolumena
Alt
uera
Bolumena
1 2
2
3
3
4
Alt
uera
Bolumena
Alt
uera
Bolumena
11
Y
X
13
11
9
7
5
3
1
3 5 7 9 111
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 361
362
c) Esfera bat da. Esfera betetzean, altuera azkarrago handitzen da hasieran eta bukaeran, poloetatik hurbil. Grafikoa hau da:
d) Alderantzizko kono bat da. Bolumena handitu ahala, altuera gero eta mantsoago handitzen da. Grafikoa hau da:
Funtzio bat jarraitua bada: a) Funtzioak X ardatza 4 aldiz ebakitzen badu, zenbat maximo izan beharko ditu
gutxienez?b) Funtzioak ez badu konstantea den tarterik, zenbat aldiz ebaki dezake
gehienez X ardatza, 3 minimo baditu?
a) X ardatzeko lau ebakidura-puntuek hiru tarte mugatzen dituzte; funtzioa jarraitua denez, tarte horietan maximo eta minimo bat izan behar ditu, gutxienez. Bi minimo eta haien artean maximo bat baditu lortzen da maximo kopururik txikiena.
b) 3 minimo dituenez, gehienez 4 maximo ditu, eta funtzio jarraitua denez, minimo bakoitza 2 maximoren artean egongo da. Maximo bakoitzak X ardatzean 2 ebakidura-puntu egotea eragin dezake, eta beraz, gehienez 8 ebakidura-puntu izango ditu X ardatzean.
Funtzio bikoiti baten balioa −7 izan al daiteke, x = 0 bada? Eta bakoiti batena?
Ez, funtzio bakoitia bada jatorriarekiko simetrikoa izango da, eta (0, 7) puntutik ere pasatu beharko du, eta hori ezinezkoa da 0 zenbakiak irudi bat baino gehiago izango lukeelako.
Y ardatza ebakitzen duten funtzio bakoiti guztiek (0, 0) puntuan ebakitzen dute.
077●●●
076●●●
Funtzioak
Alt
uera
Bolumena
Alt
uera
Bolumena
X
Y
X
Y
1
4
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 362
363
11
Funtzio jakin bati buruz badakigu Irudi multzoko elementu guztiak positiboakdirela. Gainera:
f (x + y) = f (x) ⋅ f (y)
bada, zer balio du f (5)-k? Eta f (0)-k?
EGUNEROKOAN
Amaiak aurrezkiak inbertitzea erabaki zuen 2002. urtean. Bi finantza-produktuzituen aukeran: epe finkorako gordailua eta inbertsio-funtsa.
Epe finkorako gordailuaren iraupena 5 urtekoa zen. Denbora-tarte hori pasatu ondoren, bankuak gordailatutako kapitala gehi % 15eko interesak itzuliko lituzke. Dirua lehenago ateraz gero, bankuak % 3ko interesa eskaintzen du urteko.
Bestalde, inbertsio-funtsak ez zuen errentagarritasun finkorik eta interesaburtsa-adierazleen arabera alda liteke.
Azkenik, Amaiak inbertsio-funtsa aukeratu zuen eta 1.519 partaidetza erosi zituen.
079●●●
f f f( )5 151
3
1
3= ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= =
15
152 32.768
42
3
1
3
1
3
1
3=⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜f f f⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
f f1
3
1
3
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
21
34 2→ f
42
3
2
30
2
3=⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
f f f⎠⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = ⋅ =f f f( ) ( ) ( )0 4 0 0 1→
f23
4⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
078●●●
ERANTZUNAK
Inbertsio-funtsa
PARTAIDETZA:15,80 €
ERRENTAGARRI-TASUN HANDIA
EPE FINKORAKO
GORDAILUA
IRAUPENA: 5
URTE
ERRENTAGARRIT.:
%15
URTEKO %3
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 363
364
Atzo, inbertsio-funtsari buruzko azken 5 urteotako informazioa jaso zuen.Informazioan, grafiko hau ageri zen.
Grafikoa ikusita, hobea al zen epe finkorako gordailuan inbertitzea?
2002. urteaz geroztik, zer unetan ematen zuen errentagarritasun hobea epefinkorako gordailuak?
Aukera dirua atertzeko unearen araberakoa da.
Esate baterako, 2002 osoan zehar, eta 2003 eta 2004ko ia hil guztietan errentagarriena epe finkorako gordailua izango zen.
Komunikabideen Institutu Nagusiak (KIN) inkesta bat egin du entzuleen arteaneta inkestaren emaitzen berri eman du.
Grafikoan, herrialdean audientzia handiena duten bi irratien entzule kopurua(milioitan) ageri da.
080●●●
Funtzioak
22
21
20
19
18
17
16
15
99 00 01 02 03 04 05 06 Urtea
Pre
zioa
par
taid
etza
ko
(€)
3
2
1
4 8 12 16 20 24
Irrati berdea
Irrati gorria
Orduak
Ent
zule
kop
urua
(m
ilioi
ak)
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 364
365
11
Hona hemen bi irrati-kateen eguneroko programazioa.
Zer ondorio atera dituzu grafikoa eta programazioak aztertu ondoren?
Nola aldatuko zenituzke kateen programazioak, audientzia handitzeko?
Kirol-programen eta albisteen bidez lortzen da audientzia handiena, eta txikiena, berriz, kultura- eta umore-programen bidez. Irratiek horrelako edukiak dituzten programa gehiago jartzea da gomendagarriena, audientzia handiagoa izateko.
ERANTZUNAK
IRRATI BERDEA
0 – 4 h Kultura
4 – 7 h Musika
7 – 10 h Albisteak
10 – 14 h Elkarrizketak
14 – 15 h Albisteak
15 – 16 h Kirolak
16 – 20 h Umorea
20 – 22 h Albisteak
22 – 24 h Kirolak
IRRATI GORRIA0 – 4 h Elkarrizketak4 – 7 h Umorea
7 – 10 h Musika10 – 12 h Albisteak12 – 14 h Kirolak14 – 16 h Kultura16 – 19 h Kirola19 – 20 h Albisteak20 – 22 h Musika22 – 24 h Zinema
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 365
366
Funtzio linealak eta afinak12
ZUZEN BATEN MALDA
ADIERAZPENGRAFIKOA
FUNTZIO LINEALAK
X ARDATZAREKIKOPARALELOAK
Y ARDATZAREKIKOPARALELOAK
ZUZEN PARALELOAK ETA EBAKITZAILEAK
MALDA ETA JATORRIKOORDENATUA
ADIERAZPENGRAFIKOA
FUNTZIO AFINAK
APLIKAZIOAK
BI PUNTUTATIK IGAROTZEN DEN ZUZENAREN EKUAZIOA
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 366
Kalkuluak bi aita ditu
Atea zabaltzen entzutean, Leibnizek begiak paperetik kendu zituen eta iritsi berria agurtu baino lehen kexuka hasi zen, bere onetik aterata:
–Denek dakite bizitza osoan zehar nire jarduera hutsik gabea izan dela. Nola liteke nitaz zalantza egitea? Nire zintzotasuna eta adimena behar bezala frogatu ditut, horretarako eta gehiagorako.
Leibnizi arnasa estutu zitzaion eta haren solaskideak, Bernoullik, esan zion mundu osoan inork ez zuela zalantzarik bere lanari buruz, Ingalaterran izan ezik.
–Nik ez nuen Newton maisuaren lanaren berririk. Gainera, idatziz eman nion nire aurrerapenen berri. Baina ez dut inoren lana plagiatu –adierazi zuen Leibnizek.
–Berri on bat ematera etorri naiz: batzordeak ikerketak amaitutzat eman ditu eta bi teoriak bereizita garatu direla ondorioztatu du. Are gehiago, nire ustez zure sistema hobea da, batik bat erabiltzen duzun idazkerarengatik.
Leibnizek eta Newtonek garatutako teoria oso garrantzitsua da funtzioei buruzko hainbat propietate aztertzeko. Leibnizek erabili zuen lehenengo aldiz «funtzio» hitza, bi magnituderen arteko erlazioa izendatzeko.
Jakingo al zenuke zenbaki bakoitza eta haren bikoitza ken hiru lotzen dituen funtzioa idazten?
Zenbaki bakoitza eta harenbikoitza ken hiru lotzendituen funtzioa hau da:
f(x) = 2x – 3
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 367
368
ARIKETAK
Adierazi ea linealak diren funtzioak. Linealak badira, kalkulatu malda etagorakortasuna edo beherakortasuna.
a) y = 3x − 4 c) e)
b) y = 5x d) f) y = x 2
a) Ez da lineala. c) Lineala eta gorakorra. e) Ez da lineala.b) Lineala eta gorakorra. d) Ez da lineala. f) Ez da lineala.
Idatzi funtzio lineal gorakorren bi adibide eta beherakorren beste bi.
Funtzio lineal gorakorra: y = 3x; y = 4x.Funtzio lineal beherakorra: y = −5x; y = −x.
Egin balio-taula bana eta adierazi grafikoki funtzio lineal hauek.
a) y = 0,5x b) y = −2x c) y = 4x d) y = x e) y = −0,5x f) y = 10x
a) d)
b) e)
c) f)
Proportzionaltasun zuzeneko funtzio bat P(−5, 10) puntutik igarotzen da.a) Kalkulatu malda. c) Funtzio gorakorra ala b) Idatzi adierazpen aljebraikoa beherakorra da?
a) m = 10 : (−5) = −2 b) y = −2x c) Beherakorra da.
004
003
002
y x= +13
2
yx
= 4y x= 3
4
001
Funtzio linealak eta afinak
xy
0
0
1
0,5
2
1
3
1,5
xy
0
0
1
1
2
2
3
3
xy
0
0
1
−2
2
−4
3
−6
xy
0
0
1
−0,5
2
−1
3
−1,5
xy
0
0
1
4
2
8
3
12
xy
0
0
1
10
2
20
3
30
y = 0,5x0,5
y = −2x
y = 4x y = 10x
1 2
2010
y = −0,5x
1 2 3
Y
Y
Y Y
Y
X
X
X X
X
X
Y
y = x
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 368
369
12
Adierazi ea afinak diren funtzio hauek, eta kalkulatu malda eta jatorriko ordenatua.
a) y = 3x − 4 b) y = c) y = x 2 − 5 d) y =
a) Afina da: m = 3, n = −4. c) Ez da afina.
b) Afina da: m = − , n = 3. d) Ez da afina.
Adierazi grafikoki y = 2x + n funtzio afina,n = 1, n = 2, n = −1 eta n = 0 kasuetarako.Nolakoak dira marraztutako zuzenak?
Zuzen paraleloak dira.
Egin balio-taula bana eta adierazi grafikoki funtzio afin hauek.a) y = 2x + 3 c) y = −3x + 1 e) y = 5x − 5b) y = −x + 4 d) y = x + 3 f) y = 0,5x + 3
a) d)
b) e)
c) f)
007
006
2
5
21
x+− +2
53x
005
ERANTZUNAK
xy
0
3
1
5
2
7
3
9
xy
0
3
1
4
2
5
3
6
xy
0
4
1
3
2
2
3
1
xy
0
−5
1
0
2
5
3
10
y = 2x + 3
y = −x + 4y = 5x − 5
y = x + 3
y = 2x + 1y = 2x
Y
Y Y
Y
X
X X
X
xy
0
1
1
−2
2
−5
3
−8
xy
0
3
1
3,5
2
4
3
4,5
y = −3x + 1
y = 0,5x + 3
Y Y
XX
Y
X
y =
2x −
1
y =
2x +
2
−2−21 3 5
3
5
7
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 369
370
Hiru koadrantetatik igarotzen den zuzen bat funtzio lineala ala afina da? Arrazoitu erantzuna.
Afina da, hiru koadrantetatik igarotzeko beharrezkoa baita jatorritik ez igarotzea.
Zehaztu funtzio bakoitzeko bi puntu eta adierazi funtzioak grafikoki.a) y = −3x c) y = −2x + 4 e) y = 4x − 2 g) y = −0,4xb) y = −6x + 7 d) y = −4x f) y = −x + 3 h) y = x − 2
a) x = 0 → y = 0 e) x = 0 → y = −2x = 1 → y = −3 x = 1 → y = 2
b) x = 0 → y = 7 f) x = 0 → y = 3x = 1 → y = 1 x = 3 → y = 0
c) x = 0 → y = 4 g) x = 0 → y = 0x = 2 → y = 0 x = 1 → y = −0,4
d) x = 0 ⎯→ y = 0 h) x = 0 → y = −2x = −1 → y = 4 x = 2 → y = 0
Aztertu (0, 2) eta (1, 2)-tik igarotzen den zuzena.
X ardatzaren zuzen paraleloa da.Adierazpen aljebraikoa y = 2 da.
010
009
008
Funtzio linealak eta afinak
y = −3x
y = −6x + 7
y = −2x + 4
y = −0,4x
y = −x + 3
y = 4x − 2
Y
Y
Y Y
Y
Y
X
X
X X
X
X
y = −4x
y = x − 2Y Y
X X
y = 2
−1−3−5 531
(0, 2) (1, 2)
Y
X
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 370
371
12
Adierazi hiru funtzio hauek ardatz beretan eta azaldu zertan diren desberdinak.
a) y = 2xb) y = 2x − 3c) y = 2x + 1
Zuzen paraleloak dira; jatorriko ordenatuaren balioa dute desberdina.
Idatzi puntu hauetatik igarotzen diren zuzenen ekuazioak.
a) A(1, 6) eta B(3, 9) d) A(2, 4) eta B(3, 1)b) A(−1, 0) eta B(0, 4) e) A(−1, −2) eta B(2, 5)c) A(−3, 6) eta B(2, −4)
a) m = → 6 = ⋅ 1 + n → 6 − = n → n =
y =
b) m = = 4 → 0 = 4 ⋅ (−1) + n → n = 4
y = 4x + 4
c) m = = −2 → 6 = −2 ⋅ (−3) + n → n = 0
y = −2x
d) m = = −3 → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10
y = −3x + 10
e) m = → −2 = ⋅ (−1) + n → n = −2 +
y =
Aztertu ea (1, 1) koordenatuak dituen puntutik igarotzen diren aurreko ariketakofuntzioak. Ba al dago funtzio afinik?
a) 1 � . Ez. d) 1 � −3 + 10 = 7. Ez.
b) 1 � 4 + 4 = 8. Ez. e) 1 � . Ez.
c) 1 � −2. Ez.
c) atalekoa funtzioa lineala da, eta gainerakoak, afinak.
7
3
1
3
8
3+ =
3
2
9
26+ =
013
7
3
1
3x +
7
3
1
3=
7
3
5 2
2 1
7
3
− −− −
=( )
( )
1 4
3 2
−−
− −− −
=−4 6
2 3
10
5( )
4 0
0 1
−− −( )
3
2
9
2x +
9
2
3
2
3
2
9 6
3 1
3
2
−−
=
012
011
ERANTZUNAK
Y
X
y =
2x −
3
y =
2xy =
2x +
1
−2−2
−4
−6
5
3
1
1 3
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 371
372
Kalkulatu grafikoko zuzenaren ekuazioa.
(4, 1) eta (0, −2)-tik igarotzen denez → m = 0,75.
Eta (0, −2)-tik igarotzen denez →→ −2 = 0,75 ⋅ 0 + n → n = −2
Zuzenaren ekuazioa hau da: y = 0,75x − 2.
Kalkulatu A(3, 5) eta B(−1, 4) puntuetatik igarotzen den zuzenaren malda beraduen zuzenaren ekuazioa, jakinik C(5, 0) puntutik igarotzen dela.
m = . (5, 0)-tik igarotzen denez → 0 = 0,25 ⋅ 5 + n →
→ n = −1,25. Zuzenaren ekuazioa hau da: y = 0,25x − 1,25 → .
Adierazi zuzen pare hauen kokapen erlatiboa.a) y = x + 2 b) y = 6x c) y = 2x + 3 d) y = x − 9
y = −x + 2 y = 6x − 5 y = 2x − 11 y = −x + 9
a)→ Ebakitzaileak dira.
Bi ekuazioak batuta:
2y = 4 → y = 2 → 2 = x + 2 → x = 0 → P(0, 2)
b)⎯→ Paraleloak dira.
c)⎯→ Paraleloak dira.
d)→ Ebakitzaileak dira.
Bi ekuazioak batuta:
2y = 0 → y = 0 → 0 = x − 9 → x = 9 → P(9, 0)
Kalkulatu zuzenen ebakidura-puntua. a) y = x + 8 b) y = 3x + 1
y = 2x y = 6x + 2
a)
P(8, 16) puntuan ebakitzen dute elkar.
b)
P puntuan ebakitzen dute elkar.−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
30,
y x
y xx x x x y
= += +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = + = − =−3 1
6 23 1 6 2 3 1
1
3→ → → → == 0
y x
y xx x x y
= +=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = = =+
2
8
8
28 2 8 16→ → →
017
y x
y x
m
m
= −= − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− 9
9
1
1
'
'
y x
y x
m
m
= += −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3
2 11
2
2
'
'
y x
y x
m
m
== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−6
6 5
6
6
5 '
'
y x
y x
m
m
= += − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− 2
2
1
1
'
'
016
yx
=− 5
4
4 5
1 3
1
40 25
−− −
=−−
= ,
015
014
Funtzio linealak eta afinak
Y
X
A1
1 3 4
−2B
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 372
Kalkulatu triangelu baten erpinen koordenatuak jakinik aldeak zuzen hauetandaudela:
r : y = −x + 5 s: y = x + 7 t : y = 2x − 9
Erpinak dira hiru ekuazio-sistemen ebazpenak:
. Ebazpena: (−1, 6).
. Ebazpena: .
. Ebazpena: (16, 23).
Idatzi zuzen hauetako bakoitzaren hiru zuzen ebakitzaile eta hiru zuzen paralelo.
a) y = −x + 4 c) y = −6x − 1b) y = 3x − 7 d) y = 4
a) y = −x + 4
Zuzen ebakitzaileak: y = 3x − 1 y = x − 4 y = 2x + 3
Zuzen parareloak: y = −x + 1 y = −x − 1 y = −x + 2
b) y = 3x − 7Zuzen ebakitzaileak: y = x − 7 y = −x + 1 y = 2x − 1Zuzen parareloak: y = 3x − 1 y = 3x + 1 y = 3x + 2
c) y = −6x − 1Zuzen ebakitzaileak: y = x + 1 y = 6x − 5 y = −x + 3Zuzen parareloak: y = −6x + 1 y = −6x − 2 y = −6x
d) y = 4
Zuzen ebakitzaileak: y = x − 1 y = x y = x + 1
Zuzen parareloak: y = 0 y = −1 y = 2
Adierazi grafikoki zuzen hauek.
a) y = −7 d) y = 2b) y = 0 e) y = −2c) y = 1 f) y = 3
020
019
y x
y xx x x y
= −= +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = + = =−2 9
72 9 7 16 23→ → →
14
3
1
3,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
− + = − = =x x x y5 2 914
3
1
3→ →y x
y x
= − += −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5
2 9→
y x
y xx x x y
= − += +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + = + = − =−
5
75 7 1 6→ → →
018
373
12ERANTZUNAK
y = 3y = 2y = 1
y = 0
y = −2
y = −7
Y
X−2−4
−6
−4
1
1 3 5
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 373
374
Adierazi grafikoki zuzen hauek.
a) x = −3 b) x = 0 c) x = 4 d) x = −2
Adierazi y = 3 eta x = −2 zuzenen kokapen erlatiboa. Ebakitzaileak badira,kalkulatu ebakidura-puntua.
Zuzen ebakitzaileak dira, elkarzutak; P(−2, 3) puntuan elkar ebakitzen dute.
Kalkulatu zuzenaren ekuazioa:
a) X-rekiko paraleloa eta P(1, 3)-tik igarotzen dena.b) Y-rekiko paraleloa, P(−1, 4)-tik igarotzen dena.
a) X ardatzaren paraleloa da → m = 0 → y = n.P(1, 3)-tik igarotzen da → 3 = 0 ⋅ 1 + n → n = 3.Beraz, y = 3 zuzena da.
b) Y ardatzaren paraleloa da → x = k.P(−1, 4)-tik igarotzen da → x = −1.Beraz, x = −1 zuzena da.
Asteroko azokako postu batean, eskaintza hau ikusi dugu: «10 kilogramotomatek 16 € balio ditu».
a) Funtzio gisa hartzen badugu, zer aldagai ari gara erlazionatzen? b) Adierazi funtzioa ahalik modu gehienetan. c) Zer funtzio mota da?d) Zenbat balio dute 7 kg tomatek?
a) Tomate kilogramoen kopurua (aldagai askea) eta prezioa (mendeko aldagaia).
b) � → y = = 1,6 → y = 1,6x
c) Funtzio lineala da.
d) y = 1,6 ⋅ 7 = 11,20 €
Antartikako leku batean, tenperatura 5 °C-koa da 12etan eta 4 °C jaisten da ordu oro. Adierazi funtzioa ahalik modu gehienetan.
y = 5 − 4x; x 12 h-etatik igarotako ordu kopurua da, eta y, tenperatura (°C-tan).
025
16 1
10
⋅10 kg ⎯ 16 €
01 kg ⎯ y €
024
023
022
021
Funtzio linealak eta afinak
x =
4
x =
0
x =
−2
x =
−3
Y
X
X
Y
y = 5 − 4x
−4
−2−1−5 1 3 5
−2 1 3 5
1
3
5
−2
−4
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 374
375
12
Banku-gordailu batek ematen duen interesa ekuazio honek adierazten du: y = 3 ⋅ t. Inbertitutako kapitala 150 €-koabada, idatzi kapitala eta denbora lotzen dituen ekuazioa, eta adierazi grafikoki.
Kapitala = Inbertitutakoa + Interesa → K = 150 + 3t
Kalkulatu grafikoki bi zuzen hauen ebakidura-puntua.y = 2x − 3 y = −2x + 1Aztertu funtzioen propietateak.
Zuzen afinak dira; (−1, 1) puntuan ebakitzen dute elkar.
y = 2x – 3 zuzena gorakorra da; malda 2 da.
y = −2x + 1 zuzena beherakorra da; malda −2 da.
Ikasturte-amaierako festa egiteko, lagun talde batek lokal bat alokatu nahi du. Bi lokalen eskaintzak dituzte aukeran:
CAMELOT: 1.000 € eta 5 € laguneko.MORGANA: 200 € eta 10 € laguneko.
Bi lokalen gehieneko edukiera 300 lagunekoa da. Zein aukeratuko zenuke?
Kostuaren ekuazioa partaide kopuruaren mende:
Camelot: y = 1.000 + 5xMorgana: y = 200 +10x
Partaideak 160 baino gutxiago badira hobeto da Morgana aukeratzea, eta 160 baino gehiago badira, hobeto Camelot aukeratzea.
Tren bat Atumenditik atera da 90 km/h-ko abiaduran, Ituarterantz. Une horretanbertan, beste tren bat Ituartetik atera da Atumendirantz 100 km/h-ko abiaduran.
Bi herrien arteko distantzia 344 km-koa bada, bi herrietatikzer distantziatara gurutzatuko dira trenak?
Trenen ibilbideen ekuazioa denboraren mende:
Irteera Atumenditik: y = 90xIrteera Ituartetik: y = 344 – 100x
Bi zuzen ebakidura-puntua (1 h 48 min, 163 km) da.
Atumenditik 163 km-ra gurutzatuko dira.
029
028
027
026
ERANTZUNAK
Y
X
X
X
Y
Y
Kap
ital
a (€
)
Denbora
Partaideak (lagunak)
Denbora (orduak)
Dir
ua (
€)
Dis
tant
zia
(km
)
150
(−1, 1)
50 100 150
500
1.000
1.500 (160, 1.800)
y = 1.000 + 5x (Camelot)
y = 200 + 10x (Morgana)
y = 90
x (Atum
endi)
y = 344 − 100x
(Ituarte)100
200
300
1 2 3
(1 h 48 min, 163 km)
y = −2x + 1 y = 2x − 3
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 375
376
ARIKETAK
Funtzio lineal bat (2, 8) koordenatuak dituen puntutik igarotzen da. Kalkulatu malda eta ekuazioa. Gorakorra ala beherakorra da?
y = mx → 8 = m ⋅ 2 → m = 4 → y = 4x → Gorakorra da.
Hona hemen proportzionaltasun zuzeneko funtzio baten grafikoa. Marraztu ardatzak, jakinik A puntuarenabzisa x = 3 dela.
a) Zer ordenatu du A puntuak?b) Zein da funtzioaren adierazpen aljebraikoa?
a) Ordenatua A puntuan 6 da.
b) y = 2x
Sailkatu funtzio hauek linealetan eta afinetan. Nola egin duzu?
s eta t funtzioak linealak dira. r eta ufuntzioak afinak dira. Funtzio linealak koordenatu-jatorritik igarotzen diren zuzenak dira.
Sailkatu funtzio hauek.
a) b) y = −0,25x c) d) y = 1,7x
a), b) eta d) ataletako funtzioak linealak dira. c) atalekoa afina da.
Funtzio hauetan, kalkulatu zenbatekoak diren malda eta jatorriko ordenatua.
a) y = −3x + 6 b) y = 10x c) y = −2x − 5 d) y = −9x
a) Malda: −3. Jatorriko ordenatua: 6.
b) Malda: 10. Jatorriko ordenatua: 0.
c) Malda: −2. Jatorriko ordenatua: −5.
d) Malda: −9. Jatorriko ordenatua: 0.
Sailkatu funtzioak gorakorretan eta beherakorretan, grafikoki adierazi gabe. Nola egin duzu?
a) y = 12x − 3 c) y = 0,25x − 3 e)
b) d) y = −7x − 4 f) y = 0,7x + 0,65
a), b), c) eta f) ataletako funtzioak gorakorrak dira, malda positiboa dutelako. d) eta e) ataletako funtzioak beherakorrak dira, malda negatiboa dutelako.
y x= +16
23
y x= −125
035●
034●
y x= +12
5y x= − 13
033●
032●
031●
030●●
Funtzio linealak eta afinak
r
us
Y
Y
X
X
t
y = 2x
A(3, 6)
−2−21 3 5
1
3
5
7
−4
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 376
377
12
Zehaztu funtzio hauen malden zeinua eta jatorriko ordenatuarena.
r zuzena: m > 0 eta n > 0 t zuzena: m < 0 eta n > 0s zuzena: m > 0 eta n < 0 u zuzena: m < 0 eta n < 0
Maldaren zeinua zuzenaren inklinaziotik ondorioztatuko dugu, eta jatorriko ordenatuarena, Y ardatzarekiko ebakidura-puntutik.
Adierazi grafikoki funtzio hauek.
a) y = x + 2b) y = 2,5xc) y = −2x − 3
Marraztu koordenatu-ardatzetan.a) Malda negatiboko funtzio lineal bat.b) Malda positiboko eta jatorriko ordenatu negatiboko funtzio afin bat.c) Malda negatiboko eta jatorriko ordenatu positiboko funtzio afin bat.
a) r zuzena.
b) s zuzena.
c) t zuzena.
Kalkulatu zuzen hauen bidez adierazitako ekuazioen adierazpen aljebraikoak.
a) (0, −3) eta (6, 0)-tik igarotzen da → m = . (0, −3)-tik igarotzen denez →
→ −3 = 0 + n → n = −3. Zuzenaren ekuazioa: .
b) (0, 0) eta (1, 4)-tik → m = 4. (0, 0)-tik igarotzen denez → 0 = 0 + n →→ n = 0. Zuzenaren ekuazioa: y = 4x.
c) (0, 2) eta (2, 0)-tik → m = −1. (0, 2)-tik igarotzen denez → 2 = 0 + n →→ n = 2. Zuzenaren ekuazioa: y = −x + 2.
d) (0, 8) eta (−4, 0)-tik → m = 2. (0, 8)-tik igarotzen denez → 8 = 0 + n →→ n = 8. Zuzenaren ekuazioa: y = 2x + 8.
yx
= −2
3
1
2
039●
038●●
037●
036●●
ERANTZUNAK
ru
s
Y
X
t
X
Y
a)
b)c)2
1
Y
X
tr
s
X
Y
d) c)
b)
a)1
1
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 377
378
Zein da funtzioaren adierazpena?
a) c)
b) d)
Funtzioa beherakorra da, malda negatiboa baitu, eta gainera, (0, −1) puntutikigarotzen denez, ebazpena b) atalekoa da.
Esan zer puntu diren y = 3x − 6 funtziokoak.
A(1, 3) B(−1, −9) C(1, −9) D(11, 27) E(−4, −6) F(5, 9)
A(1, 3) ⎯⎯→ y = 3 ⋅ 1 − 6 = −3 � 3
B(−1, −9) → y = 3 ⋅ (−1) − 6 = −9
C(1, −9) ⎯⎯→ y = 3 − 6 = −3 � −9
D(11, 27) ⎯→ y = 3 ⋅ 11 − 6 = 33 − 6 = 27
E(−4, −6) ⎯→ y = 3 ⋅ (−4) − 6 = −18 � −6
F(5, 9) ⎯⎯⎯→ y = 3 ⋅ 5 − 6 = 15 − 6 = 9
B, D eta F puntuak dira funtziokoak.
Idatzi zuzen hauetako bakoitzekoak diren lau puntu.
a) y = 2x − 5 c)
b) y = −3x − 2 d) y = 0,25x − 3
a) x = 0 bada ⎯→y = 2 ⋅ 0 − 5 = −5 → (0, −5)
x = 1 bada ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 5 = −3 → (1, −3)
x = −1 bada →y = 2 ⋅ (−1) − 5 = −7 → (−1, −7)
x = 2 bada ⎯→ y = 2 ⋅ 2 − 5 = −1 → (2, −1)
b) x = 0 bada ⎯→ y = −3 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2)
x = 1 bada ⎯→ y = −3 ⋅ 1 − 2 = −5 → (1, −5)
x = −1 bada →y = −3 ⋅ (−1) − 2 = 1 → (−1, 1)
x = 2 bada ⎯→ y = −3 ⋅ 2 − 2 = −8 → (2, −8)
y x= − −12
32
042●●
041●●
y x= − −12
1040●
Funtzio linealak eta afinak
X
Y
11
1
1
1
1
1
1
X
Y
X
Y
X
Y
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 378
379
12
c) x = 0 bada ⎯→ y = →
x = 1 bada ⎯→ y = = −2 → (1, −2)
x = −1 bada →y = = −1 → (−1, −1)
x = 2 bada ⎯→ y = →
d) x = 0 bada ⎯→ y = −3 → (0, −3)
x = 1 bada ⎯→ y = 0,25 ⋅ 1 − 3 = −2,75 → (1; −2,75)
x = −1 bada →y = 0,25 ⋅ (−1) − 3 = −3,25 → (−1; −3,25)
x = 2 bada ⎯→ y = 0,25 ⋅ 2 − 3 = −2,5 → (2; −2,5)
Esan linealak ala afinak diren funtzio hauek, bai eta gorakorrak ala beherakorrak diren ere.
a) y + 6x = 4 d) x = 3yb) 5x + y = 0 e) y − 3x = 0c) x − 5y = 0 f) 2x − y = 5
a) y = −6x + 4 → Funtzio afina: m = −6, eta beherakorra.
b) y = −5x ⎯⎯→ Funtzio lineala: m = −5, eta beherakorra.
c) y = ⎯⎯⎯→ Funtzio lineala: m = , eta gorakorra.
d) y = ⎯⎯⎯→ Funtzio lineala: m = , eta gorakorra.
e) y = 3x ⎯⎯⎯→ Funtzio lineala: m = 3, eta gorakorra.
f) y = 2x − 5 ⎯→ Funtzio afina: m = 2, eta gorakorra.
Zehaztu ekuazioa eta funtzio mota, deskribapenetik abiatuta.
a) Grafikoa jatorritik eta (3, −4) koordenatuak dituen puntutik igarotzen da.b) m = −4 da eta (1, 5)-tik igarotzen da.c) Ordenatua n = 2 da eta (2, 6)-tik igarotzen da.
a) −4 = m ⋅ 3 → m = −
Funtzioa y = − x. Lineala da.
b) y = mx + n → 5 = −4 ⋅ 1 + n → n = 9Funtzioa y = −4x + 9. Afina da.
c) 6 = m ⋅ 2 + 2 → 4 = 2m → m = 2Funtzioa y = 2x + 2. Afina da.
4
3
4
3
044●●
1
3
x
3
1
5
x
5
043●●
25
2,−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− ⋅ − = −
1
22
3
2
5
2
− ⋅ − −1
21
3
2( )
− ⋅ −1
21
3
2
03
2,−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
3
2
ERANTZUNAK
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 379
380
A(0, −3) eta B(3, 5) puntuak emanda:a) Kalkulatu bietatik igarotzen den zuzenaren malda eta jatorriko ordenatua.b) Zer ekuazio du zuzenak?c) Adierazi funtzioa grafikoki.
a) c)
(0, −3)-tik igarotzen denez, jatorriko ordenatua −3 da.
b)
Kalkulatu puntu pare bakoitzetik igarotzen den zuzenaren ekuazioa, eta adierazi zer funtzio mota den.
a) (1, 5) eta (−3, −15) d) (2, 4) eta (4, 6) b) (0, 2) eta (1, 4) e) (−1, 4) eta (3, −12)c) (1, −1) eta (−2, −6) f) (−1, 2) eta (5, −2)
a) = 5 → y = 5x + n
A(1, 5) puntua ordezkatuko dugu:
5 = 5 ⋅ 1 + n → n = 0 → y = 5x → Funtzio lineala
b) = 2 → y = 2x + n
A(0, 2) puntua ordezkatuko dugu:
2 = 2 ⋅ 0 + n → n = 2 → y = 2x + 2 → Funtzio afina
c) → y = x + n
A(1, −1) puntua ordezkatuko dugu:
−1 = ⋅ 1 + n → n = − → y = x − → Funtzio afina
d) = 1 → y = x + n
A(2, 4) puntua ordezkatuko dugu:
4 = 2 + n → n = 2 → y = x + 2 → Funtzio afina
e) = −4 → y = −4x + n
A(−1, 4) puntua ordezkatuko dugu:
4 = −4 ⋅ (−1) + n → 4 = 4 + n → n = 0 → y = −4x → Funtzio lineala
m =− −− −
=−12 4
3 1
16
4( )
m =−−
6 4
4 2
8
3
5
3
8
3
5
3
5
3m =
− − −− −
=−−=
6 1
2 1
5
3
5
3
( )
m =−−
4 2
1 0
m =− −− −
=−−
15 5
3 1
20
4
046●
y x= −8
33
m =+−
=5 3
3 0
8
3
045●
Funtzio linealak eta afinak
Y
X
B(3, 5)
A(0, −3)
y x= −8
33
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 380
381
12
f) → y = − x + n
A(−1, 2) puntua ordezkatuko dugu:
2 = − ⋅ (−1) + n → n = → y = − x + → Funtzio afina
Kalkulatu jatorritik igarotzen den eta m = 1 malda duen zuzenaren ekuazioa.
Ekuazioa y = x da.
Kalkulatu zuzen hauen ekuazioa:a) m = −3 malda eta jatorriko ordenatua −1,5 duena.b) A(2, 4)-tik igaro eta y = −3x − 5 funtzioaren malda bera duena.c) 3x + 2y = 6 zuzenaren malda bera izan eta B(−2, 3)-tik igarotzen dena.
a) y = −3x − 1,5
b) y = −3x + n → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10 → y = −3x + 10
c) 2y = 6 − 3x → y = 3 − x → m = −
y = − x + n → 3 = − ⋅ (−2) + n → 3 = 3 + n → n = 0 → y = − x
2(x − 5) = 5(y − 3) ekuazioa duen zuzena dugu.a) Kalkulatu malda.b) Kalkulatu A(2, 7)-tik igarotzen den ala ez.
a)
b) 2 ⋅ (2 − 5) = −6 � 5 ⋅ (7 − 3) = 20. Ez da A-tik igarotzen.
Kalkulatu A(−1, 5) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa, jakinik jatorriko ordenatua −4 dela.
(−1, 5) eta (0, −4) puntuetatik igarotzen da →
→ . Zuzenaren ekuazioa hau da: y = −9x − 4.
Kalkulatu jatorritik eta B(1, 5) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa.
(1, 5) eta (0, 0)-tik igarotzen da → .
Idatzi koordenatu-ardatzen ekuazioak.
Abzisa-ardatzaren ekuazioa y = 0 da, eta ordenatu-ardatzarena, x = 0.
052●●
m =−−
=5 0
1 05
051●
m =− −
+= −
4 5
0 19
050●
m = =2
50 4,
049●●
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
048●●
047●
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3m =
− −− −
=−
= −2 2
5 1
4
6
2
3( )
ERANTZUNAK
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 381
382
Lerrokatuta al daude , eta puntuak?
A eta B-tik igarotzen den zuzena: ; A-tik igarotzen denez:
.
Zuzenaren ekuazioa: . C zuzenekoa den ala ez aztertuko dugu:
. Beraz, hiru puntuak lerrokatuta daude.
Puntu hauek ditugu: A(2, −1), eta C(6, k). Kalkulatu k, puntuaklerrokatuta egoteko.
A eta B-tik igarotzen den zuzena: ; A-tik igarotzen denez:
. Zuzenaren ekuazioa hau da: ,
eta C-tik igaro dadin → .
Kalkulatu A(2, 3) eta B(1, −3)-tik igarotzen den zuzena. Kalkulatu p, C(p, -5)puntua zuzenekoa izan dadin.
m = = 6 → y = 6x + n
A(2, 3) ordezkatuko dugu: 3 = 6 ⋅ 2 + n → n = 3 − 12 = −9 → y = 6x − 9.
Eta C(p, −5) ordezkatuko dugu: −5 = 6p − 9 → 4 = 6p → p = .2
3
− −−
3 3
1 2
056●●
k = ⋅ − =1
36
5
3
1
3
y x= −1
3
5
3− = ⋅ + = −1
1
32
5
3n n→
m =+
− −=
2
31
3 2
1
3
B − −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟3
23
,055●●
23
12
2
34
3
4= ⋅ −
y x= −2
3
3
4
− = + = −1
12
2
3
3
4n n→
m =− +
− −
=
5
4
1
12
3
41
2
3
C 4,2312
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟B − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
34
54
,A 1, −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
112
054●●
053
Funtzio linealak eta afinak
EGIN HONELA
NOLA AZTER DAITEKE HIRU PUNTU LERROKATUTA DAUDEN?
Aztertu ea lerrokatuta dauden A(−1, 2), B(1, 4) eta C(3, 6).
Hiru puntu lerrokatuta daude hirurak zuzen berean badaude.
LEHENA. Bi puntutatik igarotzen den zuzena kalkulatu behar da.
A(−1, 2) eta B(1, 4) aukeratuko ditugu.
y = 1 ⋅ x + n 2 = −1 + n → n = 3
A-tik eta B-tik igarotzen den zuzena y = x + 3 da.
BIGARRENA. Hirugarren puntua zuzenekoa den ala ez aztertu behar da.
y = x + 3 6 = 3 + 3
C puntua A-tik eta B-tik igarotzen den zuzenekoa da.
Beraz, hiru puntuak lerrokatuta daude.
C(3, 6)⎯⎯⎯→
A(−1, 2)⎯⎯⎯⎯→
mb a
b a=
−−
=−− −
=2 2
1 1
4 2
1 11
( )
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 382
A(2, 3), B(3, 4) eta C(5, 7) puntuak zuzen berekoak al dira? Zehaztu, grafikokiadierazi gabe. Azaldu nola egin duzun.
Bi puntu hartu, A eta B, eta haien zuzenaren ekuazioa kalkulatuko dugu:
m = = 1 → y = x + n → 3 = 2 + n → n = 1 → y = x + 1
Ondoren, C(5, 7) puntua zuzenekoa den ala ez aztertuko dugu:
y = 5 + 1 = 6 � 7 → Hiru puntuak ez dira zuzen berekoak.
Zehaztu zuzen pare hauek ebakitzaileak edo paraleloak diren, grafikoki adierazi gabe.a) y = −4x + 2 y = 4x + 1 c) y = 2x + 3 y = −2x − 11b) y = −3x y = −3x + 6 d) y = 1,5x y = −1,5x
Bi zuzenek malda bera duten ala ez aztertuko dugu:
a) m = −4, m' = 4 → Ebakitzaileak dira.
b) m = −3, m' = −3 → Paraleloak dira.
c) m = 2, m' = −2 → Ebakitzaileak dira.
d) m = 1,5; m' = −1,5 → Ebakitzaileak dira.
Kalkulatu, aljebraikoki eta grafikoki, zuzen pare bakoitzaren ebakidura-puntua.a) y = x + 2; y = −x + 1 c) y = 2x; y = −2x + 4b) y = −3x; y = 3x + 6 d) y = 3x; y = 2x − 5
a) x + 2 = −x + 1 → 2x = −1 → → x = − → y = − + 2 =
b) −3x = 3x + 6 → → −6x = 6 → x = −1
y = −3 ⋅ (−1) = 3
P(−1, 3)
c) 2x = −2x + 4 → → 4x = 4 → x = 1
y = 2 ⋅ 1 = 2
P(1, 2)
d) 3x = 2x − 5 → x = −5
y = 3 ⋅ (−5) = −15
P(−5, −15)
P −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
2
3
2,
3
2
1
2
1
2
059●
058●
4 3
3 2
−−
057●●
383
12ERANTZUNAK
X
X
X
X
y = −x + 1
y = x + 2
y = 3x + 6 y = −3x
y = −2x + 4
y = 3x−10
105
y = 2x − 5
y = 2x
Y
Y
Y
Y
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 383
384
Idatzi zuzen hauen hiruna zuzen paraleloren eta hiruna zuzen ebakitzaileren ekuazioak.a) y = 9x − 6 b) y = −7x c) y = −11x + 13 d) y = x
Zuzen paraleloek malda (m) bera eta jatorriko ordenatu (n) desberdina dute. Zuzen ebakitzaileek malda desberdina dute.
a) Zuzen paraleloak: y = 9x y = 9x − 1 y = 9x + 3Zuzen ebakitzaileak: y = x y = x + 5 y = −x + 1
b) Zuzen paraleloak: y = −7x + 1 y = −7x − 1 y = −7x + 3Zuzen ebakitzaileak: y = x y = 2x − 3 y = 7x
c) Zuzen paraleloak: y = −11x y = −11x + 1 y = −11x − 1 Zuzen ebakitzaileak: y = x y = x − 1 y = 3x + 5
d) Zuzen paraleloak: y = x + 3 y = x − 4 y = x + 1 Zuzen ebakitzaileak: y = 3x + 2 y = −2x + 5 y = 8x − 3
Adierazi irudiko zuzenaren paraleloa izateaz gain, A puntutik igarotzen den zuzena.
Malda: ; eta A(3, 1)-tik igarotzen denez:
Zuzenaren ekuazioa hau da: .
r : 2x − 3y = 12 zuzena emanda, kalkulatu.
a) s zuzena, B(−3, 2)-tik igaro eta r-ren paraleloa.b) t zuzena, r-ren jatorriko ordenatu bera duena eta
A(2, -7)-tik igarotzen dena.c) z zuzena, t-ren paraleloa eta koordenatu-jatorritik igarotzen dena.
a) r-ren paraleloa denez, 2x − 3y = c formakoa da; (−3, 2)-tik igarotzen da →→ −6 − 6 = c → c = −12. Zuzena: 2x − 3y = −12.
b) Jatorriko ordenatua −4 da, eta (0, −4) eta (2, 7)-tik igarotzen denez:
. Zuzenaren ekuazioa: y = 6,5x − 4.
c) t-ren paraleloa izan eta jatorritik igarotzen denez, y = 6,5x.
m =+−
=7 4
2 06 5,
062●●
y x= −1
2
1
2
11
23
1
20 5= ⋅ + = − = −n n→ ,
m =−+
= =2 0
0 4
1
20 5,
061●●
060●●
Funtzio linealak eta afinak
Y
A
3
1
−1−3
−2
X31
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 384
385
12
Kalkulatu zuzenaren ekuazioa.
a) A(−1, −3)-tik igaro eta y = −3x − 5 zuzenaren paraleloa dena.b) A(−2, −1)-tik igaro, eta B(1, 0)-tik eta C(0, 4)-tik igarotzen den zuzenaren
paraleloa dena.
a) Paraleloa denez, m = −3 → y = −3x + n.
A(−1, −3) ordezkatuz → −3 = −3 ⋅ (−1) + n → n = −6 → y = −3x − 6.
b) m = = −4 → y = −4x + n
A(−2, −1) ordezkatuz → −1 = −4 ⋅ (−2) + n → n = −9 → y = −4x − 9.
Adierazi grafikoki zuzen hauek:
a) y = 2 b) y = −5 c) x = 2
Zer zuzen dira funtzioen grafikoei dagozkienak? Zer funtzio mota dira?
a) eta b) ataletako zuzenak funtzio afinak dira eta m = 0 da.
c) ataleko zuzena ez da funtzio batena, x-ren balio bati y-ren zenbait balio egokitzen baitizkio.
Kalkulatu zuzenaren ekuazioa:
a) A(−1, 0)-tik igaro eta Y-ren paraleloa dena.b) B(0, 4)-tik igaro eta X-ren paraleloa dena.c) C(3, 0)-tik igaro eta X-ren paraleloa dena.d) D(0, −2)-tik igaro eta Y-ren paraleloa dena.
a) Y ardatzaren paraleloa → x = k.
(−1, 0)-tik igarotzen da → x = −1.
b) X ardatzaren paraleloa → m = 0 → y = n.
(0, 4)-tik igarotzen da → y = 4.
c) X ardatzaren paraleloa → m = 0 → y = n.
(3, 0)-tik igarotzen da → y = 0.
d) Y ardatzaren paraleloa → x = k.
(0, −2)-tik igarotzen da → x = 0.
065●●
064●
4 0
0 1
−−
063●●
ERANTZUNAK
X
x =
2
y = 2
y = −5
Y
−6 −2−2
−4
1 3 5
1
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 385
386
Nereak patata frijituak erosi nahi ditu urtebetetzea ospatzeko. 200 gramoko zorro batek 2 € balio ditu.
a) Aztertu gramo kopurua eta prezioa lotzen dituen funtzioa, eta adierazigrafikoki.
b) Zenbat balioko du kilo-erdi patata frijituk?
a) y = ⋅ x =
izanik: x = pisua (g)y = prezioa (€)
b) y = = 5 €
Motozikleta bat 35 km/h-ko abiadura konstantean dabil.
a) Idatzi denbora eta egindako espazioa lotzen dituen funtzioaren ekuazioa.
b) Zer motatakoa da? Egin grafikoa.c) Zenbat denbora behar du 245 km egiteko?
a) e = 35t; izanik: t = denbora (h)e = espazioa (km)
b) Funtzio lineala da.
c) e = 245 bada → 245 = 35t → t = 7 h
Urmael batean uraren maila 120 cm-koa zen. Uhateak zabaltzean, uraren maila6 cm txikitzen da minutuko.
a) Egin uraren maila (cm) denboraren (minutuak) mende adierazten duen taula.
b) Zer funtzio mota da? Adierazi grafikoki.c) Zer ur-maila egongo da 15 minutu igarotzean?d) Zenbat denboran hustuko da urmaela?
a)
b) y = 120 − 6x → Funtzio afina
c) x = 15 → y = 120 − 6 ⋅ 15 = 30 cm
d) y = 0 → 120 − 6x = 0 → x = 20 minutu
068●●
067●●
500
100
x
100
2
200
066●
Funtzio linealak eta afinak
100
321
300 500
Y (€)
X (g)
1 2 3 4 5
e = 35t
175
105
35
t (h)
e (km)
6 cm/min
Denbora (minutuak)
Maila (cm)
0
120
1
114
2
108
3
102
10 20
y = 120 − 6x120
20
Y
X
yx
=100
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 386
387
12
Itsasoko urak eragindako presioaren eta sakoneraren arteko lotura erakusten ditubeheko taulak.
Aztertu bi magnitudeak lotzen dituen funtzioa eta adierazi grafikoki. Zer presio eragingo du urak Marianetako fosan, kontuan hartuta 11.033 m-kosakoneran dagoela?
y = 0,096x; izanik: x = sakonera (m)y = presioa (atm)
x = 11.033 m bada → y = 0,096 ⋅ 11.033 = 1.059,17 atm
Itsas mailan, urak 100 °C-an irakiten du, baina altueran 100 m gora eginezgero, gradu-hamarren bat gutxiago behar du irakiteko.
a) Kalkulatu irakite-puntua Aneto (3.404 m) eta Everest (8.844 m) mendiengailurretan.
b) Idatzi Irakite-tenperatura – Altuera funtzioarenadierazpen aljebraikoa.
a) Aneton: 100 − (3.404 : 100) ⋅ 0,1 = 95,596 °C.
Everesten: 100 − (8.850 : 100) ⋅ 0,1 = 91,596 °C.
b) y = 100 −x
1 000.
070●●
069●●
ERANTZUNAK
Sakonera (m)
Presioa (atm)
1
0,096
2
0,192
3
0,288
10
0,96
1
0,096
Sakonera (m)
Pre
sioa
(at
m)
y = 0,096x
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 387
388
Lasterkari bat 9 km/h-ko abiaduran igaro da maratoi bateko 2. kilometrotik.
a) Osatu taula.
b) Idatzi Distantzia – Denbora funtzioaren adierazpen aljebraikoa eta adierazigrafikoki.
a)
b) y = 9x + 2
Beheko grafikoan tenperatura ageri da altueraren (km-tan) mende.
a) Idatzi Altuera – Tenperatura funtzioaren adierazpen aljebraikoa.
b) Zenbatekoa da jatorriko ordenatua? Zer esan nahi du?
c) Zer tenperatura egongo da 9 km-ko altueran?
a) (0, 12) eta (2, −2)-tik igarotzen denez → m = −7. Eta (0, 12)-tik igarotzen denez → 12 = 0 + n →
→ n = 12. Zuzenaren ekuazioa: y = −7x + 12.
b) Jatorriko ordenatua 12 da. Horrek esan nahi du itsas mailan airearentenperatura 12 °C-koa dela.
c) −51 °C.
072●
071●●
Funtzio linealak eta afinak
Y
X
Tenp
erat
ura
(°C
)
Altuera (km)
10
6
2
1 3 5−2
−6
Denbora (orduak)
Distantzia (0. km-ra)
0
2
1
11
2
20
3
29
4
38
…
…
Denbora (h)
Dis
tant
zia
(km
)
Y
X
y = 9x + 2
1 2 3 4 5 6
(2, 20)
(1, 11)
30252015105
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 388
389
12
Uraren hileko fakturako kostu finkoa 10 €-koa da. Horri egindako kontsumoagehitu behar zaio (metro kubotan adierazten da).
– 80 m3 baino kontsumo txikiagoa: 0,90 €.
– 80 m3 eta 120 m3 arteko kontsumoa: 1,50 €.
– 120 m3 baino kontsumo handiagoa 2 €.
Adierazi grafikoki Kontsumoa – Prezioa funtzioa hiru kontsumo-tarteetakobakoitzerako, ardatz beretan.
x < 80 m3 kontsumoetarako: y = 10 + 0,90x.
x = 80 bada → y = 10 + 72 = 82 €.
80 m3 < x < 120 m3 kontsumoetarako: y = 82 + (x − 80) ⋅ 1,50.
x = 120 m3 bada → y = 82 + 40 ⋅ 1,50 = 142 €.
x > 120 m3 kontsumoetarako: y = 142 + (x − 120) ⋅ 2.
Iratik salgai baten azken prezioaren grafikoa egin du hasierako prezioarenmende, % 25eko beherapena egin ondoren.
a) Beheko bi grafikoetatik, zein grafiko da egokiena funtzio hori adierazteko?Zergatik?
b) Kalkulatu zuzenen ekuazioak.
a) Grafiko egokiena da, amaierako prezioa hasierakoa baino txikiagoa baita. 4 balio zuenak 3 balioko du. (4, 3) puntua ez dago grafikoan.
b) : y = 0,75x.
: y = 1,25x.2
1
2
1
074●●●
073●●●
ERANTZUNAK
20 80 120
160
8040
Kontsumoa (m3)
Pre
zioa
(€
)
Y
X6 842
2
4
6
1
Y
X6 842
2
4
6
2
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 389
390
Esaldi hau aurkitu dugu. Ikertu ea zuzena den, eta erabili (3, 0) eta (0, 5) puntuetatik igarotzen den zuzena kalkulatzeko.
(a, 0) eta (0, b)-tik igarotzen denez, malda da; beraz, ekuazioa
hau da: , eta (0, b)-tik igarotzen denez, n = b da, eta
ekuazioa hau da:
Beraz, ekuazioa zuzena da.
Zuzenaren ekuazioa (3, 0) eta (0, 5)-tik igarotzen da: .
Osatu arrazoinamendu hau.
r eta s bi zuzen elkarzut dira.
r zuzenaren malda hau da: .
Eta s-ren malda: . Izan ere,
s beherakorra denez, malda hau du: …
ABC triangelua ...da. Izan ere, A$… da.
AD ABC triangeluaren... bat denez, ABD eta ADC triangeluak… dira,eta haien aldeak... dira.
Beraz, eta m1 ⋅ m2 = …
Zer lotura dago bi zuzen elkarzuten malden artean?
r eta s bi zuzen elkarzut dira. r-ren malda . da
Eta s-ren malda da, s beherakorra denez, malda
negatiboa delako. ABC triangelua angeluzuzena da
A$ angelu zuzena delako. AD ABC triangeluaren altuera bat denez,
ABC eta ABC triangeluak antzekoak dira, eta aldeak, proportzionalak.
Hala, eta ; beraz, .mm
12
1=−
m mAD
BD
AD
DC1 2 1⋅ = ⋅
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
AD
BD
DC
AD=
− =AD
DCm2
AD
BDm= 1
ADBD
DCAD
=
− =ADDC
m 2
ADBD
m= 1
076●●●
x y
3 51+ =
yb
ax b
y
b ax
x
a
y
b=−
+ =−
+ + =→ →11 1
yb
ax n=
−+
mb
a=−
075●●●
Funtzio linealak eta afinak
Y
X
A
s
B CD
r
(a, 0) eta (b, 0) zuzen batenebakidura-puntuak badira ardatzekiko, eta a =/ 0 eta b =/ 0badira, zuzen horren ekuazioahau da:
+ = 1yb
xa
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 390
EGUNEROKOAN
Ikasleekin kimikako esperimentu bat egiteko, Potasio irakasleak merkurioa erosibehar du. Hori dela-eta, produktu kimikoen bi laborategitara joan da, prezioakjakitera. Hona hemen zer informazio jaso duen laborategietan:
Potasio irakasleak ikasleei eman die informazio hori, ikasgelara heltzean. Ondoren, ikasleei galdetu die nola jakin daitekeen zer eskaintza den merkeena.
Azkenean, ardatz beretan bi laborategiak adierazten dituztengrafikoak marraztea erabaki dute eta kostuen azterketa egitea, 1 kg merkurio artekoa, gehienez ere.
Zure ustez, zer emaitza lortu dituzte? Zer kantitatetatik aurrera komeni zaie laborategi bat ala bestea?
Sulfuroso laborategian erostea komeni zaie, 600 g arteko ehuneko bikoitietarako, eta Litio laborategian, gainerako kantitateetarako.
077●●●
391
12ERANTZUNAK
Gramo bat merkuriok 4 zentimo balio ditu. Merkurioa gehienez
200 g-ko edukiera duten saio-hodietan saltzen da. Saio-hodi
bakoitzaren prezioa 5 €-koa da.
Gramo bat merkuriok 5 zentimo balio ditu. Merkurioa gehienez 100 g-ko
edukiera duten saio-hodietan saltzen da. Saio-hodi bakoitzaren
prezioa 2 €-koa da .
SulfurosoLitio
Edukiera (g)
70
60
50
40
30
20
10
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000
Pre
zioa
(€
)
SULFUROSO
LABORATEGIA
LITIO
LABORATEGIA
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 391
392
Oporretan, Ane mendiko herri batera joan zen, familiarekin. Joanerako bidaian, mendiko errepide estuak eta aldapatsuak gurutzatu zituzten.Haietako batean, Aneren nebak seinale hau ikusi zuen eta zer adierazten duengaldetu zuen.
Anek esan zion zuzen baten maldak zuzenaren inklinazio-maila adierazten duela, Matematikan ikasi zuenez. Orduan ondorioztatu zuen % 12k hauadierazten duela: horizontalean egindako 100 metroko, 12 metro egiten direla bertikalean.
Nebari esan zionaz oso ziur ez zegoenez, etxera iristean zirkulazioko kodeakontsultatu zuen Anek. Kodean ikusi zuenez, trafikoan maldak beste esanahi bat du.
Errepidean, % 12ko maldak esan nahi du errepidean egindako 100 metroko, 12 metro egiten direla bertikalean.
Zer maldak du inklinazio handiena, errepidekoak ala Matematikakoak?
Zer inklinazio izan behako luke idatzita % 12ko malda matematikoa adieraztenduen trafiko-seinaleak?
078●●●
Funtzio linealak eta afinak
ERREPIDEA%12ko malda
G
F
100 m
GF
12 m
MATEMATIKA%12ko malda
G F100 m
GOGORATU
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 392
393
12
Errepideko maldak malda handiagoa adierazten du; izan ere, 100 m egitean, triangeluaren hipotenusa, oinarria edo katetoa 100 m baino txikiagoa da. Beraz, malda berarako altuera desberdina adierazten da eta horizontalean egindako metro kopurua txikiagoa izango da.
Errepideko % 12ko malda 100 m-ko hipotenusa eta 12 m-ko altuerakokatetoa dituen triangeluaren baliokidea da.
x =
Matematikako malda hau da:
.m = =12
99 280 121 12 1
,, % ,→
9.856 m= 99 28,100 122 2− =
ERANTZUNAK
100 m
x
12 m
908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 393
394
Estatistika13
ADIERAZPEN GRAFIKOAK
POPULAZIOA ETA LAGINA
KUALITATIBOAK
ABSOLUTUAK ETA ERLATIBOAK METATUAK
JARRAITUAK
MAIZTASUNAK
KUANTITATIBOAK
DISKRETUAK
ALDAGAI ESTATISTIKOAK
BATEZ BESTEKOA MEDIANA MODA
ZENTRALIZAZIO-NEURRIAK
IBILTARTEA ETA BATEZBESTEKO DESBIDERATZEA
BARIANTZA ETADESBIDERATZE TIPIKOA
ALDAKUNTZA-KOEFIZIENTEA
SAKABANATZE-NEURRIAK
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 394
Jainkoak salba beza erregina!
Sidney Herbert Gerrarako Estatuko Idazkariak karrera politikoko erabakirik arriskutsuena hartu zuen. Izan ere, haren lagun Florence Nightingale-ren esku utzi zuen aire zabaleko erizainen gorputza antolatzea, Krimeako Gerrako ospitaleak hobetzeko. 1854. urtea zen eta bere etorkizun politikoa dama haren esku zegoen.
Gatazka-gunera joateko prestatzen ari zela, herrialde osoa astindu zuen Brigada Arinaren deuseztapenak, errusiarren baterien aurkako eraso suizidaren ondoren. Ekintza hori ez zuten hondamen gisa zabaldu, ingelesen kemenaren eta ohorearen froga gisa baizik.
Nightingale neurri higienikoak aplikatzen hasi zen, eta datuak bilduz eta grafikoen bidez antolatuz joan zen, errazago irakurtzeko.
Txostena Gerrako Idazkariari bidali zioten, eta bertan laguntza eskatzen zen armadako buruzagiek jarritako oztopoak ezabatzeko. Amaieran, eskuizkribu bat ageri zen. Honela zioen eskuizkribuak:
Adierazi oharreko datuak grafiko egoki baten bidez.
“Urtarrilean, 3.168 bajetatik, 2.761 gaixotasun
kutsakorrek eragin zituzten, 83 gerrako zauriek
eta 324 beste arrazoi batzuek…
Gure ospitaleek etsaiaren kanoiek baino baja
gehiago
eragiten dituzte.
Jauna, ez utzi Ingalaterraren ohorea ospital
e bateko
gela batean lurperatzen.”
Jainkoak salba beza erregina!
Datuak adierazteko, barra- edo sektore-diagramaerabil dezakegu; dena den, egokiena sektore-diagrama erabiltzea da.
Kutsatuta
Kutsatuta
Gudan
Gudan
Bestelakoak
Bestelakoak
2.400
1.800
1.200
600
BARRA-DIAGRAMA SEKTORE-DIAGRAMA
Arrazoiak
Baj
ak (
pert
sona
k)
F
F
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 395
396
ARIKETAK
Ikastetxe bateko DBHko 3. mailako ikasleen oinetakoen neurriari buruzkoazterketa estatistikoa egin nahi dugu.
a) Zein da populazioa?b) Aukeratu lagin bat. Zer neurri du?
a) Populazioa: ikastetxeko DBHko 3. mailako ikasle guztiak.
b) Lagin bat: ikasgeletako bateko ikasleak. Neurria ikasgelako ikasle kopurua da.
Adierazi zer kasutan komeni den populazioa ala lagina aztertzea.
a) Makina batek egiten dituen torlojuen luzera.b) Urte bateko turista guztien garaiera.c) Bost laguneko talde baten pisua.
a) Lagina, ezin ditugu torloju guztiak neurtu.
b) Lagina, turista asko daude-eta.
c) Populazioa, talde txikia delako.
Hona hemen egunkari bateko izenburu bat.
«ESPAINIARREN BATEZ BESTEKO PISUA 69 KG DA.»
a) Zure ustez, nola lortzen da ondorio hori? Populazio osoa aztertu ote da?
b) Zer ezaugarri izan behar ditu lagin osoak? Izan al litezke adin berekoaklagineko banako guztiak? Guztiak emakumeak badira, zuzena al litzatekelagina?
a) Lagin esanguratsu bat hartu da, kontuan izanda zer taldetan bana daitekeen populazio osoa; inkesta egin eta batez bestekoa kalkulatu da. Ia ezinezkoa da espainiar guztiei galdetzea.
b) Laginak esanguratsua izan behar du adin eta sexu guztietarako; populazioko proportzio berean ageri behar dute.
Pentsatu eta idatzi azterketa estatistikoa egiteko populazioaren adibide bat.Zer lagin har dezakegu? Adierazi zein diren banakoak eta zer neurri duenlaginak.
Populazioa: futbol-taldeetan inskribatutako hiri jakin bateko gazte guztiak.
Lagina: futbol-talderen batean aritzen diren ikastetxeko gazte guztiak.
Banakoak: aurreko lagineko gazte bakoitza.
Laginaren neurria: aurreko lagineko gazte kopurua.
004
003
002
001
Estatistika
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 396
397
13
Adierazi kualitatiboak ala kuantitatiboak diren aldagai estatistiko hauek.
a) Jaiotza-urtea.b) Ile-kolorea.c) Pertsona baten ogibidea.d) Perimetro torazikoae) Egoera zibila.f) Gerriaren perimetroa.g) Zenbat aldiz bidaiatu den hegazkinez.
Kualitatiboak: b), c) eta e).
Kuantitatiboak: a), d), f) eta g).
Sailkatu aldagai hauek kualitatibotan eta kuantitatibotan; bigarren kasuan,bereizi diskretuak eta jarraituak.
a) Norbera bizi den probintzia.b) Eraikin bateko auzotar kopurua.c) Aitaren ogibidea.d) Gasolina-kontsumoa 100 km-ko.
Kuantitatiboak: b) eta d).
Kualitatiboak: a) eta c).
Diskretua: b) eta jarraitua: d).
Aldagai estatistiko kuantitatibo batek infinitu balio har baditzake, diskretua ala jarraitua da?
Printzipioz, ez du zertan diskretua ala jarraitua izan. Esan dezakeguna hau da: aldagai bat jarraitua bada infinitu balio har ditzake.
Aldagaia diskretua bada, tarte bakoitzean har dezakeen balio kopurua finitua da, baina aldagaiak infinitu balio har ditzake. Esate baterako, zenbaki arrunt gustukoena zein den galdetuz gero, printzipioz infinitu erantzun daude, zenbaki arrunt guztiak, hain zuzen ere. Hala ere, aldagaia diskretua da.
Hona hemen 28 gazteren altuera (cm-tan):
155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 157
Egin tarteka antolatutako taula bat, zenbatu datuak eta lortu tarte bakoitzekoklase-markak.
008
007
006
005
ERANTZUNAK
Tartea[150, 160)[160, 170)[170, 180)
Klase-marka155165175
Zenbaketa7
1110
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 397
398
30 lagunen ile-koloreak (B = beltzarana, I = ilehoria, G = ilegorria) hauek dira:
B I G B B B B I I G G B B B BB B G I I I G B B B B I B B B
Egin maiztasun-taula.
Zergatik dira tauletako tarteak alde batetik itxiak eta bestetik irekiak?
Bi aldeetatik irekiak balira, puntu jakin bat ez zen tarte bakar batean ere egongo, eta bi tarteak itxiak balira, puntu jakin bat bi tartetan egongolitzateke. Eta bi egoera horiek ez dira zuzenak.
30 lagunek ordenagailuaren bidez lanean egunean ematen dituzten orduak:
a) Zer motatako aldagai estatistikoa da?b) Egin maiztasun-taula.
a) Aldagai kuantitatibo diskretua da.
b)
Hona hemen 20 laguni egindako adimen-test baten emaitzak:
100 80 92 101 65 72 121 68 75 93101 100 102 97 89 73 121 114 113 94
Egin maiztasun-taula, 10 zabalerako tarteak hartuta.
012
3 4 0 5 53 4 5 0 22 5 3 2 01 2 2 1 20 3 1 2 11 2 1 4 3
011
010
009
Estatistika
Ile-kolorea fi hi Fi Hi
Beltzarana 18 0,6 18 0,6Ilehoria 7 0,23 25 0,83Ilegorria 5 0,17Guztira 30 1
30 1
Orduak fi hi
0 4 0,131 6 0,22 8 0,273 5 0,174 3 0,15 4 0,13
Guztira 30 1
Adina fi hi
[65, 75) 4 0,2[75, 85) 2 0,1[85, 95) 4 0,2[95, 105) 6 0,3[105, 115) 2 0,1[115, 125) 2 0,1
Guztira 20 1
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 398
399
13
Zer gertatzen da maiztasun absolutuen batura eta guztizko datu kopurua ezbadira berdinak?
Daturen bat ez dugu zenbatu edo bestela okertu egin gara kalkuluren bat egitean.
Hona hemen 24 lagunen pisuak (kg-tan):
68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,246,5 58,3 62,5 58,7 80 63,458,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,759,4 39,3 48,6 56,8 72 60
a) Bildu 10 zabalerako tartetan eta egin maiztasun-taula.b) Zenbatek dute 50 kg-tik beherako pisua?c) Kalkulatu zer ehuneko adierazten duen guztizkoarekiko maiztasun absolutu
handieneko tarteak.
a)
b) Maiztasun absolutu metatuen zutabeari, Fi, erreparatuz, 9 lagunek 50 kg baino pisu txikiagoa dutela ikusten da.
c) Maiztasun handieneko tartea [50, 60) da: fi = 6 eta hi = 0,25 → % 25.
Hona hemen 30 ikasleren egun bateko batez besteko ikasketa-orduak:
3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 20 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3
Egin maiztasun-taula. Zer esanahi dute maiztasun metatuek?
Maiztasun metatuek egunean gehienez ordu kopuru jakin bat ikasten ematen duten ikasle kopurua edo ehunekoa adierazten dute.
015
014
013
ERANTZUNAK
Tartea fi
[30, 40)[40, 50)[50, 60)[60, 70)[70, 80)[80, 90)
456531
24
Fi
49
15202324
hi
4/24 = 0,175/24 = 0,216/24 = 0,255/24 = 0,213/24 = 0,121/24 = 0,04
Hi
0,170,380,630,840,96
1
Orduak fi hi
0 3 0,11 8 0,272 7 0,233 6 0,24 3 0,15 3 0,1
Guztira 30 1
Fi
31118242730
Hi
0,10,370,60,80,9
1
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 399
400
Azaldu nola osatuko zenukeen maiztasun-taula bat, maiztasun absolutumetatuak soilik jakinda.
Lehen maiztasun absolutu metatua eta lehen maiztasun absolutua berdinak dira. Gainerako maiztasun absolutuak kalkulatzeko, ondoz ondoko maiztasun absolutu metatuen kenketak egin behar dira.
f1 = F1 fi = Fi − Fi −1
Laginaren neurria azken maiztasun absolutu metatua da, eta hortik abiatuta, maiztasun erlatiboak kalkulatzen dira.
Eraikin batean, 16 etxebizitza daude. Etxebizitzetako telebista kopurua:0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2
a) Egin maiztasun-taula. Zer aldagai mota da? Arrazoitu erantzuna.
b) Egin datuen barra-diagrama eta maiztasun-poligonoa.c) Egin gauza bera maiztasun metatuekin.
a) Aldagai kuantitatibo diskretua da.
b) c)
Aparkaleku publiko batean, 25 auto gorri, 19 hori, zilar-koloreko 39, 50 zuri, 27 berde, 30 urdin eta 10 beltz zeuden.
a) Egin maiztasun-taula. c) Egin b) Kalkula al ditzakezu maiztasun metatuak? barra-diagrama.
a)
018
017
016
Estatistika
Telebistak fi hi
0 2 0,1251 6 0,3752 5 0,31253 3 0,1875
Guztira 16 1
Fi
28
1316
Hi
0,1250,50,8125
1
fi
25193950273010
KoloreaGorriaHoriaZilar-koloreaZuriaBerdeaUrdinaBeltza
hi
25/200 = 0,12519/200 = 0,09539/200 = 0,19550/200 = 0,2527/200 = 0,13530/200 = 0,1510/200 = 0,05
0 1 2 3
6
5
4
3
2
1
MAIZTASUN ABSOLUTUAK
Telebistak
Auz
otar
rak
0 1 2 3
161412108642
MAIZTASUN METATUAK
Telebistak
Auz
otar
rak
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 400
b) Ezin dira maiztasun metatuak kalkulatu, aldagaia kualitatiboa delako.
c)
Egin aurreko ariketako grafikoak maiztasun erlatibo eta guzti. Zer hauteman duzu?
Grafiko bera da, baina maiztasunen eskala aldatuta.
Hona hemen 18 kilkerren luzera (cm-tan):
1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,81,7 1,9 2,3 1,6 2,1 32,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6
a) Egin tarteak eta idatzi maiztasun-taula. b) Adierazi datuak histograma eta maiztasun-poligono
banaren bidez.c) Egin sektore-diagrama. Zure ustez, zer grafiko
da egokiena?
a) c)
b)
020
019
401
13ERANTZUNAK
G H Zil. Z Ber. U Belt.
50
4030
2010
fi
G H Zil. Z Ber. U Belt.
0,25
0,200,15
0,100,5
hi
Tartea fi
[1,5; 2)[2; 2,5)[2,5; 3)
756
1,5 2 2,5 3
7654321
fi
[2,5; 3) [1,5; 2)
[2; 2,5)
Histograma da egokiena, datuak aldagai kuantitatibo batenak direlako.
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 401
402
Adierazi grafikoki datu hauek: 50 ikasleko gela batean; 12 ikaslek ez duteirakasgaia gainditu; 30ek Nahiko atera dute; %12k, Oso ongi; eta gainerakoek,Bikain.
Egin grafikoari dagokion maiztasun-taula.
DBHko 3. mailako 24 ikasleren altuerak (cm-tan) hauek dira:
158 160 168 156 166 158 160 168168 158 156 164 162 166 164 168162 158 156 166 160 168 160 160
a) Bildu tartetan.b) Kalkulatu batez bestekoa, mediana eta moda.
a) b) x� = = 162,7
Me = 162,5
Mo = 1652,5
Interpretatu 15 ikasleren Gutxiegi kopuruen zentralizazio-neurriak.
4 1 0 4 1 4 1 2 3 0 2 4 0 3 1
024
3 905
24
.
023
022
021
Estatistika
Notak fi
GutxiegiNahikoOso ongiBikain
123062
50
Gutxiegi
Bikain
Oso ongi
Nahikoa
5040302010
10 20 30 40 50 60
Y
X
Aldagaia fi hi
[0, 10) 15 0,075[10, 20) 30 0,15[20, 30) 45 0,225[30, 40) 50 0,25[40, 50) 35 0,175[50, 60) 25 0,125
Total 200 1
Tartea fi
[155, 160)[160, 165)[165, 170)
27292824
xi
157,5162,5167,5
fi ⋅ xi
1.102,51.462,51.340,53.905,5
Gutxiegi kopurua fi hi
0 3 0,21 4 0,272 2 0,133 2 0,134 4 0,27
15 1
Fi
379
1115
Hi
0,20,470,600,73
1
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 402
403
13
x� =
Ikasle bakoitzak 2 gutxiegi ditu, batez beste.
Bi moda daude: Mo = 1 eta Mo = 4.
Me = 2 denez, ikasleen erdiek 2 irakasgaitan gutxiegi atera dute, gehienez.
Erantsi mediana aldatuko ez duen balio bat.
18 8 7 9 12 15 21 12
Mediana 12 da eta edozein balio sartuta ere 12 izango da. Izan ere, balio kopurua bikoitia da eta beste balio bat batzean, bakoitia izango da. Beraz, bi 12etako batek balio zentrala izaten jarraituko du.
Beheko datuek 10 langilek zenbat baja-egun izan dituzten erakusten dute.Kalkulatu datu multzoaren kuartilak
0 2 3 4 2 1 1 0 0 3
10 ⋅ 0,25 = 2,5 → Q1 = 0
10 ⋅ 0,5 = 5 → Q2 = Me = = 1,5
10 ⋅ 0,75 = 7,5 → Q3 = 3
Interpretatu aurreko ariketan kalkulatutako kuartilak.
Bajan egon ez diren langileak % 25 dira, gutxienez; langileen erdiak gehienez egun bat egon dira bajan, eta langileen % 75, gehienez 3 egun.
Oposizio-deialdia egin dute 50 lanpostu betetzeko eta 200 pertsona aurkeztudira. Hona hemen emaitzak.
Zer nota behar da lanpostua lortzeko?
50 lanpostuak bat datoz hirugarren kuartilarekin, 150 pertsonak ez dituztelako lortu: % 75ek. Behar den nota 7 da.
028
027
1 2
2
+
026
025
0 3 1 4 2 2 3 2 4 4
15
30
152
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =
ERANTZUNAK
Bajak fi Fi
0 3 31 2 52 2 73 2 94 1 10
Guztira 10
NotakOposiziogileak fi
36
425
534
642
750
824
913
103
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 403
404
Hona hemen torlojuen lagin bateko luzerak (mm-tan).
Kalkulatu sakabanatze-neurriak, klase-markak erabiliz.
x� = = 14,5
BBD = = 0,8 σ2 = = 1,1 σ = 1,05
Ikasle batek nota hauek lortu ditu bost azterketatan: 3, 8, 5, 7 eta 4. Eta beste batek, berriz, hauek: 2, 9, 4, 5 eta 7.
Zer ikaslek du sakabanatze handiena?
Lehen ikaslea:
H = 8 − 3 = 5
x� = = 5,4 BBD = = 1,68
σ = = 1,85 AK = = 0,34
Bigarren ikaslea:
H = 9 − 2 = 7
x� = = 5,4 BBD = = 2,08
σ = = 2,42 AK = = 0,45
Beraz, bigarren ikasleak du sakabanatze handiena.
2 42
5 4
,
,
29 2
5
,
10 4
5
,27
5
1 85
5 4
,
,
17 2
5
,
8 4
5
,27
5
030
22
20
16
20
290
20
029
Estatistika
Tartea fi
[13, 14)[14, 15)[15, 16)[16, 17)
8723
Tartea[13, 14)[14, 15)[15, 16)[16, 17)
xi
13,514,515,516,5
fi
8723
20
fi ⋅ xi
108,5101,531,549,5
290,5
1012
8026
16
802
1222
⏐xi − x�⏐ fi ⋅ ⏐xi − x�⏐ fi ⋅ (xi − x�)2
xi
34578
fi
111115
fi ⋅ xi
34578
27
2,41,40,41,62,6
2,41,40,41,62,68,4
5,761,960,162,566,76
17,266
⏐xi − x�⏐ fi ⋅ ⏐xi − x�⏐ fi ⋅ (xi − x�)2
xi
24579
fi
111115
fi ⋅ xi
24579
27
3,41,40,41,63,6
3,41,40,41,63,6
10,4
11,561,960,162,56
12,9629,20
⏐xi − x�⏐ fi ⋅ ⏐xi − x�⏐ fi ⋅ (xi − x�)2
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 404
405
13
Galdetu adina eta altuera 5 ikaskideri. Alderatu bi aldagaien sakabanatzea.
Emaitzak laginaren araberakoak izango dira.
ARIKETAK
Ikasleek irakurtzen ematen duten denborari buruzko azterketa egin nahi dugu.
a) Aukeratu lagina, azterketa egiteko.b) Zer neurri du aukeratutako laginak?c) Zein da populazioa?
a) Esate baterako, ikasgelako ikasleak.
b) Ikasgelako ikasleen kopurua.
c) Ikastetxeko ikasle guztiak.
Azaldu zer aldagai estatistiko mota ari garen aztertzen eta adierazi zer den onenakasu bakoitzean: lagina ala populazioa aztertzea.
a) Zure familiako kideen programa gustukoena.b) Ikastetxe bateko ikasleen oinetakoen neurria.c) Zure probintziako eguneroko batez besteko tenperatura.d) Herrialde bateko biztanleen adina.e) Herri bateko biztanleen sexua.f) Zure lagunek astebetean gastatutako dirua.g) Sendagai berri baten eraginak gizakiarengan.h) Zure gelako ikaskideen ile-kolorea.
a) Kualitatiboa. Populazioa.
b) Kuantitatibo diskretua. Lagina.
c) Kuantitatibo jarraitua. Populazioa.
d) Kuantitatibo diskretua. Lagina.
e) Kualitatiboa. Lagina.
f) Kuantitatibo diskretua. Populazioa.
g) Kualitatiboa. Lagina.
h) Kualitatiboa. Populazioa.
033●
032●
031
ERANTZUNAK
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 405
406
Behean ageri diren aldagaietatik zein dira diskretuak?
a) Maskota kopurua.b) Oinetakoen neurria.c) Burezurraren perimetroa.d) Fruta-denda bateko eguneroko diru-sarrerak.e) Astebetean ikastetxe bateko jangelan kontsumitutako okela-kilogramoak.
Diskretuak: a) eta b).
Jarraituak: c), d) eta e).
Atzerrira zenbat aldiz joan diren galdetu zaie 20 pertsonari. Hona hemen emaitzak:
3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3
a) Egin zenbaketa eta antolatu datuak.b) Egin maiztasun-taula.
a) Datuak ordenatuta: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6.
b)
Hona hemen Gorputz Hezkuntzako 20 ikasleren oinetakoen neurria:
37 40 39 37 3838 38 41 42 3743 40 38 38 3840 37 37 38 38
Egin barra-diagrama eta maiztasun-poligonoa, eta adierazi maiztasun absolutuak eta maiztasun absolutu metatuak.
036●
035●
034●
Estatistika
xi
123456
fi
137432
20
Fi
14
11151820
hi
1/20 = 0,053/20 = 0,157/20 = 0,354/20 = 0,203/20 = 0,152/20 = 0,10
1
%5
1535201510
100
0,050,200,550,750,90
1
Hi
37 38 39 40 41 42 43
10
8
6
4
2
MAIZTASUN ABSOLUTUAK
Neurriak
Ikas
leak
37 38 39 40 41 42 43
2018161412108642
MAIZTASUN METATUAK
Neurriak
Ikas
leak
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 406
407
13
Hona hemen 27 gazteren altuerak (cm-tan):
155 178 170 165 173 168 160 166 176169 158 170 179 161 164 156 170 171167 151 163 158 164 174 176 164 154
a) Erabili 5 zabalerako tarteak, maiztasun-taula egiteko.
b) Adierazi datuak histograma batean, maiztasun absolutuak eta maiztasunabsolutu metatuak erabiliz.
a)
b)
Afari batera joan diren 30 lagunetatik, % 20k txahala jan zuen; % 40k, arkumea;eta gainerakoek, arraina. Adierazi aldagai estatistikoa eta antolatu emaitzakmaiztasun-taula batean. Ondoren, adierazi datuak sektore-grafiko batean.
038●●
037●
ERANTZUNAK
Tartea[150, 155)[155, 160)[160, 165)[165, 170)[170, 175)[175, 180)
xi
152,5157,5162,5167,5172,5177,5
fi
246564
27
Fi
26
12172327
hi
2/27 = 0,0744/27 = 0,1486/27 = 0,2225/27 = 0,1856/27 = 0,2224/27 = 0,148
1
0,0740,2220,4440,6290,851
1
Hi
Jatekoa fi hi
Txahala 6 0,2Arkumea 12 0,4Arraina 12 0,4
30 1
150 155 160 165 170 175 180
6
5
4
3
2
1
MAIZTASUN ABSOLUTUAK
Altuera (cm)
Gaz
teak
150 155 160 165 170 175 180
26
22
18
14
10
6
2
MAIZTASUN METATUAK
Altuera (cm)
Gaz
teak
Arkumea(12)
Txahala(6)
Arraina(12)
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 407
408
Grafikoan, kiroldegi bateko teniseko pista hil bakoitzean zenbat aldiz alokatu den ageri da.
a) Kalkulatu maiztasun erlatiboak eta metatuak.b) Hilen zer ehunekotan alokatu zen pista 80 alditan baino gehiagotan?c) Adierazi maiztasun absolutu metatuen poligonoa.
a)
b) Urtarrilean, maiatzean, ekainean, uztailean, urrian eta abenduan 80 aldiz alokatu zen pista, hilen % 50 baino gehiagoan.
c)
Kalkulatu datu segida honen zentralizazio-neurriak.
3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 51 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 58 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6
Batez best.: x� = = 3,91
Mediana: Me = 4
Moda: Mo = 5
176
45
040●
039●●●
Estatistika
U O M A M E U A I U A A
100
70
120 126
60 62 66 69
97 10078
90
140120100
80604020
fi
Hila fi
UrtOtsMarApiMaiEkaUztAbuIraUrrAzaAbe
10060706297
1201007866
1266990
Fi
100160230292389509609687753879948
1.038
hi
0,0960,0580,0670,0600,0930,1160,0960,0750,0630,1210,0660,087
Hi
0,0960,1540,2210,2810,3740,4900,5860,6610,7240,8450,911
1
U O M A M E U A I U A A
1.000
500
100
Fi
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9fi 4 6 6 4 6 7 4 3 3 2Fi 4 10 16 20 26 33 37 40 43 45
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 408
409
13
Egin aurreko ariketa 2 zabalerako tarteak hartuta. Emaitza berak lortu al dituzu? Zure ustez, zergatik gertatzen da hori?
Batez bestekoa: x� = = 4,42
Mediana: Me = [4, 6)
Moda: Mo = [4, 6)
Emaitzak desberdinak dira. Hori gertatzen da datuak biltzean klase-markandaudel suposatzen dugulako, eta beraz, eragiketak aldatu egiten dira.
Kalkulatu datu hauen mediana.
a) b)
a) N = 5 + 3 + 4 + 2 + 4 + 6 = 24 denez, mediana 12. eta 13. lekuan dauden xi balioei dagokie. Kasu honetan:
x12 = 3 eta x13 = 4 → Me = = 3,5
b) N = 1 + 3 + 5 + 2 = 11denez eta F3 = 9 > →
→ Me = [20, 30) tarteko klase-marka = 25
Kalkulatu taula honetako datuen batez bestekoa, mediana, moda eta kuartilak.
a) Taulako balio guztiak 3z biderkatuz gero, zenbatekoa litzateke batezbestekoa? Eta mediana? Eta moda?
b) Aldagai baten balio guztiei zenbaki bera kendu edo haiek zenbaki berazzatitzen baditugu, zenbatekoa izango da batez besteko berria?
x� =
N = 20 denez, 10. eta 11. lekuetan dauden xi balioak dira mediana. Kasu honetan, Me = 28, Q1 = 26 eta Q3 = 30.
Gehien ageri den balioa hau da: Mo = 28.
a) x� = =
= = 3 ⋅ x�aurrekoa
Kasu honetan, x�berria = 3 ⋅ 28,4 = 85,2.
Beraz, Me = 3 ⋅ 28 = 84, Q1 = 78, Q3 = 90 eta Mo = 84.
b) Balio guztiei zenbaki bera kenduz gero, x�berria = x� − zenbakia.Eta balio guztiak zenbaki beraz zatituz gero, x�berria = x� : zenbakia.
3 26 6 28 7 30 4 32 3
20
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( )
( ) ( ) ( ) ( )3 26 6 3 28 7 3 30 4 3 32 3
20
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
26 6 28 7 30 4 32 3
20
568
2028 4
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ,
043●●
11
2
3 4
2
+
042●
199
45
041●●
ERANTZUNAK
Aldagaia xi fi
[0, 2) 1 10[2, 4) 3 10[4, 6) 5 13[6, 8) 7 7[8, 10) 9 5
Fi
1020334045
xi
fi
15
23
34
42
54
66
[0, 10)1
[10, 20)3
[20, 30)5
[30, 40)2fi
Bar.
xi
fi
266
287
304
323
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 409
410
10, 17, a, 19, 21, b, 25 datuen batez bestekoa, mediana eta moda 19 dira.Zenbatekoak dira a eta b?
x� = = 19
92 + a + b = 7 ⋅ 19 = 133 → a + b = 41
10 - 17 - a - - 21 - b - 25
a-k 19 (moda) izan behar duenez → 19 + b = 41 → b = 22.
Demagun datuen multzo hau: 23 17 19 x y 16Jakinik batez bestekoa 20 eta moda 23 direla, zenbatekoak dira x eta y?
20 = → 120 = 75 + x + y → x + y = 45
Moda Mo = 23 bada, x-k edo y-k (edo biek) 23 izan behar dute.
x = y = 23 balira → x + y = 23 + 23 = 46 � 45.
Beraz, x = 23 → y = 45 − 23 = 22.
Hona hemen etxeetako irrati kopuruari buruzko inkesta bateko datuak.
a) Zenbat irrati dituzte etxeen laurdenek?b) Eta etxeen % 75ek?c) Zer esanahi du medianak?
a)
Etxeen % 25ek irrati bat du edo bat ere ez.
b)
Etxeen % 75ek 2 irrati edo gutxiago dituzte.
c) Mediana bera baino datu handiagoen eta txikiagoen kopuru bera duen balioa da.
Ebatzi ariketa hau, kalkulagailua erabiliz.
Hilabetean, zortzi saltzailek aire girotuzko gailuen kopuru hauek saldu zituzten.
8 11 5 14 8 11 16 11
Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea.
047●
16 581
43 23
.⋅ = =12.435,75 → Q
16 581
411
.= =4.145,25 → Q
046●●●
23 + 17 + 19 + x + y + 16
6
045●●●
19
10 + 17 + a + 19 + 21 + b + 25
7
044●●●
Estatistika
Etxe kopuruaIrrati kopurua 0
4321
8.3432
6.2423
1.0024
562
Xi
0
1
2
3
4
fi
432
8.343
6.242
1.002
562
16.581
Fi
432
8.775
15.017
16.019
16.581
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 410
Datuak ordenatuko ditugu: 5 - 8 - 8 - 11 - 11 - 11 - 14 - 16.
x� = = = 10,5
σ2 = =
= =
= = 10,75 → σ =
Planetarioa bisitatu duten lehen 30 lagunen adinak (urtetan) hauek dira:
Kalkulatu neurri estatistikoak.
Datuak ordenatuko ditugu:
3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 11 - 12 - 13 - 13 - 14 - 16 - 16 - 17 - 18 - 18 - 20 - 20
x� = = = 10,7
Me = 10 Mo = 10 H = 17
σ2 = =
σ2 = 23,29 → σ = = 4,83 → AK = = 0,451
049
4 83
10 7
,
,23 29,
(3 − 10,7)2 ⋅ 1 + ... + (20 − 10,7)2 ⋅ 2
30
320
303 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + ... + 20 ⋅ 2
30
20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 123 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20
048●●
10,75 3,283,28
10,50,312= = =→ AK86
8
30,25 + 12,5 + 0,75 + 12,25 + 30,25
8
(5 − 10,5)2 ⋅ 1 + ... + (16 − 10,5)2 ⋅ 1
8
84
85 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 11 ⋅ 3 + 14 ⋅ 1 + 16 ⋅ 1
8
EGIN HONELA
NOLA ALDERATZEN DA BI ALDAGAI ESTATISTIKOREN SAKABANATZEA?
Jaioberrien lagin bateko batez besteko pisua x = 2,85-koa da, eta desbideratzetipikoa, σ= 1 kg. Amen batez besteko pisua x = 62 kg da, eta desbideratze ti-pikoa, σ= 15 kg. Zer banaketatan da handiena sakabanatzea?
LEHENA. Aldakuntza-koefizienteak kalkulatu.
BIGARRENA. Koefizienteak alderatu behar dira.
0,35 > 0,24 → Sakabanatzea handiagoa da jaioberrien pisuan amen pisuan baino, desbideratze tipikoei erreparatuz gero aurkakoa dirudienarren: 1 < 15.
411
13ERANTZUNAK
AK jaioberriak2,85
0,35= = =1
35% AK amak = = =15
620 24 24, %
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 411
412
Albertok nota hauek atera ditu 5 azterketatan: 4, 6, 6, 7 eta 5. Anek, berriz: 43, 62, 60, 50 eta 55. Bietatik zein da erregularrena errendimenduakademikoan?
Albertoren kasuan, neurri estatistikoak hauek dira:
x� =
σ2 =
AK =
Aneren kasuan, neurri estatistikoak hauek dira:
x� =
σ2 =
AK =
Beraz, Ane da erregularrena errendimendu akademikoan.
Kalkulatu datu hauen batez bestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa.
x� =
Me = [47, 53)
Mo = [47, 53)
σ2 =1 240
1868 89 8 3
., ,= =→ σ
960
1853 33= ,
051●●
6 9
540 13
,,=
238
547 6 6 9= =, ,→ σ
270
554=
1 02
5 60 18
,
,,=
5 2
51 04 1 02
,, ,= =→ σ
28
55 6= ,
050●●
Estatistika
56144
Pisua Ikasle kopurua[41, 47)[47, 53)[53, 59)[59, 65)[65, 71)
Pisua[41, 47)[47, 53)[53, 59)[59, 65)[65, 71)
xi
4450566268
fi
56142
18
Fi
511121618
fi ⋅ xi
22030056
248136960
87,1111,117,11
75,11215,11
435,5666,677,11
300,44430,22
1.240,22
(xi − x�)2 fi ⋅ (xi − x�)2
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 412
Hona hemen 40 ikaslek Musikan lortu dituzten notak:
6 4 1 7 3 6 6 2 5 2 4 9 5 10 8 2 6 10 5 75 3 7 8 4 6 0 5 8 7 6 9 7 2 5 6 8 7 3 6
Kalkulatu datuen batez bestekoa eta desbideratze tipikoa, aldagaia diskretu gisahartuta, lehendabizi, eta ondoren, datuak tarte hauetan bilduz:[0, 5), [5, 7), [7, 9) eta [9, 10]. Zer alde hautematen da?
Lehendabizi, datuak ordenatuko ditugu:
0 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 -6 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10
x� = = 5,5
σ2 = = 5,8
σ = = 2,4 → AK = = 0,06
Datuak tartetan bilduko ditugu:
x� = = = 5,8
σ2 = = 5,86
σ = = 2,42 → AK = = 0,06
Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa aldatu egin dira.
2 42
40
,5 86,
(2,5 − 5,8)2 ⋅ 12 + ... + (9,5 − 5,8)2 ⋅ 4
40
232
402,5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 14 + 8 ⋅ 10 + 9,5 ⋅ 4
40
2 4
40
,5 8,
(0 − 5,5)2 ⋅ 1 + ... + (10 − 5,5)2 ⋅ 2
40
1+ 2 ⋅ 4+ 3 ⋅ 3+ 4 ⋅ 3+ 5 ⋅ 6+ 6 ⋅ 8+ 7 ⋅ 6+ 8 ⋅ 4+ 9 ⋅ 2+ 10 ⋅ 2
40
052●●
413
13ERANTZUNAK
Tartea[0, 5)[5, 7)[7, 9)[9, 10]
Klase-marka2,56,58,59,5
fi
1214104
Musika-gela
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 413
414
Taulan, etxebizitzen hileko alokairuen prezioak ageri dira.
a) Zenbatekoa da batez besteko alokairua? b) Adierazi zer prezio ageri den gehien.c) Kalkulatu mediana. Zer esan nahi du?d) Kalkulatu bariantza eta desbideratze tipikoa. Zertarako dira zenbaki horiek?
a) x� = = 326,31 €
b) Gehien ageri den prezioa moda da: Mo = 300 €.
c) Mediana Me = 330 € da eta prezio horren azpitik daude alokairuen erdiak.
d) σ2 = €
Zenbaki horiek datuen sakabanatzea ikusteko balio dute; kasu honetan, alokairu batzuen eta beste batzuen artean alde handia dagoen ikusteko, hau da, ea alokairuen prezioa homogeneoa den ala ez.
Grafiko hauetatik abiatuta, egin maiztasun-taula, eta kalkulatu datuen batezbestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa.
a)
054●●
302 673 71
187
. ,= =1.618,58 40,23→ σ
61 020
187
.
053●●
Estatistika
13334035301620
Prezioa (€) Etxebizitza kopurua240270300330360390420
Prezioa (€)240270300330360390420
fi
13334035301620
187
Fi
134686
121151167187
fi ⋅ xi
3.1208.910
12.00011.55010.8006.2408.400
61.020
57.600,0072.900,00
692,2213,61
1.135,014.056,408.777,79
748.800,002.405.700,00
27.688,98476,52
34.050,1664.902,33
175.555,72302.673,71
(xi − x�)2 fi ⋅ (xi − x�)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7654321
Y
X
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 414
b)
a)
x� = = 5,26
N = 27 denez, mediana 14. tokian dagoen balioa da → Me = 5. Moda hau da: Mo = 5.
σ2 = = 6,41
σ = = 2,53
b)x� = = 12,25
Me = 12,5
Mo = 12,5
σ2 = = 1,27
σ = = 1,13
055
1 27,
(10,5 − 12,25)2 ⋅ 5 + ... + (14,5 − 12,25)2 ⋅ 1
24
10,5 ⋅ 5 + ... + 14,5 ⋅ 1
24
6 41,
(1 − 5,26)2 ⋅ 2 + ... + (10 − 5,26)2 ⋅ 1
27
1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + ... + 10 ⋅ 1
27
EGIN HONELA
NOLA INTERPRETATZEN DIRA BATEZ BESTEKOA ETA DESBIDERATZE TIPIKOA BATERA?
Saskibaloi-talde batek hegaleko bat behar du. Azken bost partidetan taulan adierazitakopuntu kopurua lortu duten bi jokalariak aukeratu dira. Nor hautatuko zenuke?
LEHENA. Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa kalkulatu behar dira.
BIGARRENA. Aurreko emaitzak aztertu behar dira.
Batez bestekoak berdinak direnez, entrenatzaileak jokalari erregular bat nahi balu,A jokalaria aukeratuko luke (desbideratze tipiko txikiak antzeko datuak adierazten ditu).Baina pizgarri bat nahi izanez gero, B aukeratuko luke; izan ere, oso partida onaketa txarrak egiten ditu (desbideratze tipiko handiak datu desberdinak adierazten ditu).
x BB
B
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14σ 7,56
jokalariax AA
A
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14σ 1,09
jokalaria
415
13ERANTZUNAK
X
10 11 12 13 14 15
10
8
6
4
2
Y
xi
fi
12
23
32
43
56
62
73
82
93
101
Tartea fi
[10, 11)[11, 12)[12, 13)[13, 14)[14, 15)
53
1051
xi
10,511,512,513,514,5
A jokalariaB jokalaria
1625
1410
138
136
1421
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 415
416
5 proba egin ondoren taulan ageri diren emaitzak lortu dituzte bi ikaslek.≥Alderatu bien errendimendua.
Jon: batez bestekoa = 5, desbideratze tipikoa = 1,87.
Ane: batez bestekoa = 5, desbideratze tipikoa = 4,18.
Batez besteko bera izanda, Jon da konstanteena emaitzetan, desbideratzetipiko txikiena duelako.
Lehen ebaluazioan, gela bateko 30 ikasleetatik, % 10ek dena gainditu zuen,% 20k irakasgai bat suspenditu zuen; % 50ek bi irakasgai suspenditu zituen, eta gainerakoek, bi baino gehiago.
Egin maiztasun-taula, datu horiek erabiliz. Bi irakasgai baino gutxiago zenbatikaslek suspenditu zituzten galderari erantzuteko maiztasunik ba al dago?Arrazoitu erantzuna.
Bi irakasgai baino gutxiago suspenditutako ikasleak adierazteko 1en maiztasun absolutu metatua erabiltzen da; hau da, 9 ikasle.
Lasterkari batek astelehenetik ostiralera egiten ditu entrenamenduak. 2, 5, 5, 7 eta3 km egiten ditu, hurrenez hurren. Larunbatean ere entrenamendua egiten badu:
a) Zenbat kilometro egin behar ditu batez bestekoa ez aldatzeko?b) Eta mediana ez aldatzeko?c) Eta moda ez aldatzeko?
x� = . Mediana: 5. Moda: 5.
a) Larunbatean 4,4 km egin behar ditu.
b) 5 km edo handiagoa den edozein distantzia.
c) 2, 3 edo 7 km ez den edozein distantzia.
2 5 5 7 3
5
+ + + += 4,4
058●●
057●
056●●●
Estatistika
JonAne
20
61
59
78
57
Gutxiegi kopurua fi hi
0 3 0,11 6 0,22 15 0,5
2 baino gehiago 6 0,2Guztira 30 1
Fi
39
2430
Hi
0,10,30,81
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 416
417
13
Buruzko kalkuluko (BK) proba eta psikomotrizitate-proba (P) bana egin zaie ikasgela ≥bateko 28 ikasleei. Emaitza hauek lortu dira:
a) Zer probatan lortu dituzte emaitza onenak (batez besteko handiena)?
b) Zer probatan izan da sakabanatze handiena? (Erabili aldakuntza-koefizientea.)
a) Batez bestekoak kalkulatuko ditugu:
x�BK = =
x�CM = = 34,64
x�P = =
x�P = = 38,57
Psikomotrizitate-proban lortu dituzte emaitza onenak.
b) σ2BK = =
σCM2 = = 132,02 → σBK = 11,49
AK = → AK = = 0,332
σ2P = =
σP2 = = 165,82 → σP = 12,87 → AK = = 0,334
Sakabanatzea ia bera izan da bi probetan.
12 galderako proba bati erantzun zioten 50 ikasleetatik, % 10ek zuzen erantzun zien 3 galderari; % 50ek, 7ri; % 30ek, 10i; eta gainerakoek, proba osoari. Kalkulatu datuen batez bestekoa, mediana eta moda. Kalkulatudesbideratze tipikoa.
Lehendabizi, maiztasun-taula egingo dugu:
x� = = 8
Mediana 25. eta 26º posizioetako balioen batez bestekoa da, N = 50 baita; kasu honetan, Me = 7. f i handiena duen balioa Mo = 7 da.
σ2 = = 5,8 → σ = 2,4(3 − 8)2 ⋅ 5 + ... + (12 − 8)2 ⋅ 5
50
3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 25 + 10 ⋅ 15 + 12 ⋅ 5
50
060●●
12 87
38 57
,
,
4 642 86
28
. ,
(15 − 38,57)2 ⋅ 1 + ... + (65 − 38,57)2 ⋅ 1
28
11 49
34 64
,
,
σx
3 696 44
28
. ,
(15 − 34,64)2 ⋅ 2 + ... + (65 − 34,64)2 ⋅ 1
24
1 080
28
.
15 ⋅ 1 + 25 ⋅ 7 + 35 ⋅ 9 + 45 ⋅ 5 + 55 ⋅ 4 + 65 ⋅ 2
28
970
28
15 ⋅ 2 + 25 ⋅ 8 + 35 ⋅ 11 + 45 ⋅ 4 + 55 ⋅ 2 + 65 ⋅ 1
28
059●●
ERANTZUNAK
Puntu kopurua BK[10, 20)[20, 30)[30, 40)[40, 50)[50, 60)[60, 70)
28
11421
P179542
xi
371012
fi
%10 ⋅ 50 = 5%50 ⋅ 50 = 25%30 ⋅ 50 = 15%10 ⋅ 50 = 5
908272 _ 0394-0421.qxd 28/9/07 13:12 Página 417
418
Gestio-informatikan diplomadunek, lehen lanpostuan, 1.280 €-ko batez bestekosoldata dute. Desbideratze tipikoa 380 €-koa da.
Bestalde, sistemen informatikako diplomadunek 1.160 €-ko batez bestekosoldata dute eta 350 €-ko desbideratze tipikoa.
Gestio-informatikako diplomadun bati 1.400 €-ko soldata eskaini diote, eta sistemen informatikako diplomadun bati, 1.340 €-kosoldata:a) Nori egin diote
eskaintza onena? b) Arrazoitu zergatik den hobea
eskaintza bat.
Erantzunak bistakoa dirudi, 1.400 > 1.340 baita. Beraz, itxuraz eskaintza onena gestio-informatikako diplomadunari egin diotena da.
Hala ere, banako bakoitza zer populaziotakoa den aintzat hartuta alderatzeko,talde bakoitzeko batez besteko soldata eta sakabanatzea kontuan hartubeharko ditugu.
Gestio-informatika: 1.400 € irabazten dituzte eta sakabanatzea 120 €-koa dataldeko batez bestekoaren gainetik (1.280 €).
Desbideratzea (120 €) eta talde horretan ageri den sakabanatzea alderatuko
ditugu: σ = 380, , eta zenbat eta handiagoa izan zenbaki hori
orduan eta urrunago egongo da batez besteko soldatatik.
Sistemen informatika: 1.340 € irabazten dituzte eta sakabanatzea 180 €-koada taldeko batez bestekoaren gainetik (1.160 €).
Desbideratzea (120 €) eta taldeko sakabanatzea alderatuko ditugu:
σ = 340, .
Beraz, eskaintza onena sistemen informatikako diplomadunari egin diotena da, 0,52 > 0,31 delako, eta horren ondorioz, egin dioten eskaintza gehiago urruntzen da taldeko batez besteko soldatatik.
Zenbaki oso positibo desberdinek osatutako datu multzo baten batez bestekoa47 da. Kontuan hartuta datu bat 97 dela eta datu guztien batura 329, zein dadatu multzoan egon daitekeen zenbakirik handiena?
da datu kopurua.
Datu bat 97 denez, gainerakoek ahalik txikienak izan beharko dute: 1, 2, 3, 4 eta 5.
Zazpigarren zenbakia hau da: 329 − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 97) = 217. Beraz, 217 da egon daitekeen zenbakirik handiena.
xN
N= = = =47329 329
477→
062●●●
180
3400 52= ,
120
3800 31= ,
061●●●
Estatistika
1.280 € 1.160 €
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 418
Datu multzo hau dugu: 14 12 26 16 x
Kalkulatu x, datuen mediana eta batez bestekoa berdinak izan daitezen.
x 16 baino handiagoa bada, mediana 16 izango da, eta batez bestekoa 16 izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 80 izan behar du. Beraz, x = 80 − (12 + 14 + 16 + 26) = 12. 12 ez denez 16 baino handiagoa, ezinezkoa da.
x 15 bada, mediana 15 izango da, eta batez bestekoa 15 izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 75 izan behar du. Beraz, x = 75 − (12 + 14 + 16 + 26) = 7; eta hori ezinezkoa da.
x 14 baino txikiagoa bada, mediana 14 izango da, eta batez bestekoa 14 izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 70 izan behar du. Beraz, x = 70 − (12 + 14 + 16 + 26) = 2. Eta 2 14 baino txikiagoa denez, ebazpena x = 2 da.
Bost datuko multzo batean, batez bestekoa 10 da, eta mediana, 12. Zein da ibiltarteak har dezakeen baliorik txikiena?
Mediana 12 denez, 12 edo handiagoak diren bi balio egon behar dute eta 12 edo txikiagoak diren beste bi balio. Eta ibiltartea minimoa izan dadin, bi balio handienek ahalik txikienak izan behar dute (mediana batez bestekoa baino handiagoa denez), eta beraz, 12 balioa izango dute.
Bost gaien baturak 50 izan behar du eta hiru gairen batura 36 da. Beraz, beste bi gaien baturak 14 izan behar du. Ibiltartea minimoa izan dadin, balio txikienak ahalik handiena izan behar du, eta hori gertatzenda bi balio txikienak berdinak badira; beraz, 7 balioa izango dute.
Balioak 7, 7, 12, 12, 12, 12 izango dira, eta ibiltartea, 5.
10, 2, 5, 2, 4, 2, x datu multzoaren batez bestekoa, mediana eta modagoranzko ordenan idazten baditugu, progresio aritmetiko bat lortuko dugu.Kalkulatu x aldagaiak har ditzakeen balio guztiak.
Moda 2 da, edozein kasutan.
x 2 baino txikiagoa bada, mediana 2 izango da; beraz, progresio aritmetikoa izateko, batez bestekoak ere 2 izan behar du, eta hori ezinezkoa da.
x 3 bada, mediana 3 izango da; beraz, progresioa aritmetikoa izateko, batez bestekoak 2, 5 edo 4 izan behar du, eta hori ezinezkoa da.
x 4 edo handiagoa bada, mediana 4 da; eta batez bestekoak 4 baino balio handiagoak hartzen dituenez, progresio aritmetikoa izateko, batez bestekoak 6 izan behar du. Beraz, gaien batura 36 da: x = 36 − (2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 10) = 11.
065●●●
064●●●
063●●●
419
13ERANTZUNAK
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 419
420
Zazpi datuko multzo bat ordenatu ondoren, lehenengo lau datuak hartuz gero,batez bestekoa 5 izango da; baina azken lau datuak hartuz gero, batez bestekoa8 izango da.
Zenbaki guztien batez bestekoa bada, zenbatekoa da mediana?
= x1 + x2 + x3 + x4 + x4 + x5 + x6 + x7 == 46 + x4 → x4 = 12
Mediana 12 da.
EGUNEROKOAN
Ikasleen Matematikako errendimendua balioesten ari da Hezkuntza Saila. Hori dela-eta, iazko ikasturtean Bigarren Hezkuntzako ikasleek Matematikanizandako emaitzak erakusten dituen txostena egin du.
Grafikoetan, txosten horren laburpena ikus daiteke.
Sektore-diagramaegiteko, notarik handienak, OSO ONGI eta BIKAIN,bildu eta nota bakoitza lortu duten ikasleen ehunekoak sartu dira.
Txostenaren arabera, NAHIKO nota atera dutenikasleak 28.413 izan dira.Grafikoei eta ehunekoeierreparatu,kalkulatu zenbat ikasleebaluatu dituzten guztira eta zenbat ikaslek atera duten BIKAIN.
Ikasle guztien % 35 28.413 badira → Guztira = ikasle
Ongi eta nahiko lortu dutenen kopurua → ikasle
Oso ongi lortu dutenen kopurua → ikasle
Bikain lortu dutenen kopurua → ikasle81 180
1005 4 059
..⋅ =
81 180
10010 8 118
..⋅ =
81 180
10025 20 295
..⋅ =
2 841 300
3581 180
. ..=
067●●●
x x x xx x x x
1 2 3 4
4 5 6 7
2038
58+ + + =+ + + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→
x x x x x x x x= + + + + + + =46
7461 2 3 4 5 6 7→
467
066●●●
Estatistika
GUT
35
30
25
20
15
105
%
NAH ONG OSO BIK
GUT
NAH
ONG
OSO + BIK
% 15% 25
% 35
% 25
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 420
421
13
Telebista-kate bateko ikusle kopuruaren araberakoa da kate horretan ematen den publizitatearen kostua. Horregatik, aldizka audientzia-indizeak jakinarazten dira.
Audientzia-indizehandieneko bi telebista-kateekurteko lehen lau hiletako emaitzakaurkeztudituzte.Hona hemen zenbaitkomunikabidetanagertu diren grafikoak.
Bi kateek gorakada handia izan dute, baina MIRO TELEBISTAko arduradunekdiote haien telebistaren gorakada handiagoa izan dela.
Zenbat ikusle irabazi ditu kate bakoitzak? Zer adierazpenek islatzen du ondoen egoera?
Bi grafikoen eskalak desberdinak dira, eta horregatik dirudi MIRO
TELEBISTAren gorakada handiagoa dela; dena den, FREE KATEA
telebistako audientziaren gorakada 40.000koa da, gutxi gorabehera. Beste kateko audientziaren gorakada, berriz, txikiagoa da: 30.000 ikusentzule gehiago, gutxi gorabehera.
Gorakada hobeto ikus daiteke MIRO TELEBISTAren grafikoan, eta adierazteko bi moduak baliozkoak diren arren, informazioa alderatzeko, eskala bera erabili behar genuke.
068●●●
ERANTZUNAK
290
250
210Urt. Ots. Mar. Api.
MIRO TELEBISTAMilakoak
400350300250200150100
500 Urt. Ots. Mar. Api.
FREE KATEA
Milakoak
Komunikabideetan argitaratutako grafikoetan ikus daitekeen moduan,
Free Kateak baino gorakada handiagoa izan dugu.
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 421
422
Probabilitatea14
OINARRIZKOGERTAKARIAK
GERTAKARIBATERAGARRIAK
GERTAKARIBATERAEZINAK
GERTAKARIAK
ZENBAKI HANDIENLEGEA
LAPLACERENERREGELA
ERAGIKETAKGERTAKARIEKIN
PROBABILITATEA
ZUHAITZ-DIAGRAMAK
AUSAZKOESPERIMENTUAK
BILDURARENPROBABILITATEA
OSAGARRIARENPROBABILITATEA
LAGIN-ESPAZIOA
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 422
Xake-mate!
Europa kontinentaleko zorrozkeria politikotik eta erlijiosotik ihesi Kanala gurutzatu zuenetik, kafetegi hartan egon ohi zen: Slaughter’s Coffee Houseizenekoan. Bigarren etxea zuen Abraham de Moivre-k.
Intelektualak biltzen ziren han eta ideiak defendatzen zituzten, armatzat arrazoia soilik erabiliz.
Lokalean sartu berri ziren Newton eta Halley, Abraham de Moivreren lagunak, eta begiradaz hura bilatzen ari ziren. Atzealdeko mahai batean aurkitu zuten xakean jokatzen. Aurkaria urduri zegoen, eskua pieza batetik bestera zerabilen eta ezin zuen erabaki zer pieza mugitu. Pieza mugitu orduko Abrahamek oihu egin zuen: xake-mate! Jaiki eta lagunengana hurbildu zen.
–Ez du inoiz ikasiko, xakean irabazteko zoriak zerikusia duela uste du oraindik eta egunen batean tokatuko zaiola.
–Monsieur De Moivre –erantzun zuen Halleyk–, Probabilitate-ezagutzak dituzu zure alde, bai eta joko zoragarri horren ezagutza ere. Zure aurkariak zazpi mugimendu zituen aukeran, baina haietako biren ondoren soilik egin zenezakeen xake-mate.
–Hala ere egin du eta nik irabazi dut –esan zuen De Moivrek, partidan jokatutako txanponak poltsikoan gordetzen ari zela.
Zenbatekoa zen xake-mate egiteko probabilitatea? Eta ez egitekoa?
2 aukera zeuden 7tik, irabazteko; beraz, xake-mate egiteko probabilitatea
zen.
5 aukera zeuden 7tik, mugimendua egin ondoren xake-mate ez egiteko; beraz, xake-mate ez egiteko
probabilitatea zen.57
27
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 423
424
ARIKETAK
Sailkatu esperimentu hauek ausazkoetan eta deterministetan.
a) Karta sorta batetik karta bat ateratzea.b) Litro bat merkurio pisatzea.c) Ikaskideei zenbaki bat esateko eskatzea.d) Hiru txanpon jaurti eta ateratako aurpegi kopurua idaztea.e) Bi zenbaki jakinen kenketa egitea.
a), c) eta d) esperimentuak ausazkoak dira, eta b) eta e), deterministak.
Poltsa batean, 3 koloretako 10 bola daude. Idatzi ausazko esperimentu bat etaesperimentu determinista bat.
Ausazkoa: poltsatik bola bat ateratzea.
Determinista: hiru bolaren pisua kalkulatzea.
Proposatu ausazko bi esperimentu. Adierazi oinarrizko gertakariak eta bigertakari konposatu.
• 1. esperimentua: 1etik 10era arteko zenbaki bat esateko eskatzea.
Oinarrizko gertakariak: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}.
Gertakari konposatua: zenbaki bikoitia ateratzea.
• 2. esperimentua: kiniela asmatzea.
Oinarrizko gertakariak: {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11},{12}, {13}, {14}.
Gertakari konposatua: saria lortzeko behar den apustu kopura asmatzea.
Airera bi txanpon jaurtitzeko ausazko esperimentuan, idatzi lor daitezkeenemaitza guztiak.
a = aurpegia eta x = gurutzea badira, hona hemen zenbait emaitza: (a, a), (a, x), (x, a) eta (x, x).
Txanpon bat eta sei aurpegiko dado bat jaurti ditugu. Zein da lagin-espazioa?Egin zuhaitz-diagrama bat, laguntzeko.
E = {aurp. 1, aurp. 2, aurp. 3,aurp. 4, aurp. 5, aurp. 6,guru. 1, guru. 2, guru. 3,guru. 4, guru. 5, guru. 6}
005
004
003
002
001
Probabilitatea
1
aurp.
guru.
23456
123456
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 424
425
14
Zehaztu aurreko ariketako bi gertakari bateragarri eta bi gertakari bateraezin.
Bateragarriak: gurutzea eta 3ren multiploa, gurutzea eta bikoitia.
Bateraezinak: aurpegia eta bikoitia, gurutzea eta 3 baino txikiagoa.
Ba al dago gainerako guztiekin bateraezina den gertakaririk? Eta bateragarria denik?
Gainerako guztiekin bateraezina den gertakaria ezinezko gertakaria da, eta bateragarria, gertakari ziurra.
Gertakari hauek ditugu: A = {1, 2, 3} eta B = {1, 3, 5}, Egin bilketa eta ebaketa.
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
A ∩ B = {1, 3}
Karta sorta batetik karta bat ateratzeko esperimentuan, adierazi bildura etaebakidura gisa gertakari hauek.
a) «5 baino txikiagoa eta 2 baino handiagoa den zenbaki bat ateratzea».b) «Beltza eta bastoia ateratzea».c) «Batekoa ez ateratzea».
a) {5 baino txikiagoa ateratzea} ∩ {2 baino handiagoa ateratzea}
b) {Beltza ateratzea} ∩ {Bastoia ateratzea}
c) {2 edo handiagoa ateratzea} ∪ {Beltza ateratzea}Beste aukera bat gertakari osagarria erabiltzea da:A = {Batekoa ateratzea} bada → A = {Batekoa ez ateratzea}.
Karta bat atera dugu. Egin gertakari pareen bilketak eta ebaketak.
a) A = «Urrea atera» eta B = «Kopa atera»b) C = «Batekoa atera» eta D = «Batekoa ez atera»c) F = «Bastoia atera» eta G = «Batekoa atera»
a) A ∪ B = {Urrea edo kopa atera} → A ∩ B = ∅b) C ∪ D = E → A ∩ B = ∅c) F ∪ G = {Bastoia edo batekoa atera} → A ∩ B = {Bateko bastoia atera}
Gerta al daiteke bi gertakariren bildura bi gertakarietako baten berdina izatea?Hala bada, zer gertatuko da ebakidurarekin?
Bi gertakariren bildura bietako baten berdina da bata bestearen zati bada; kasu horretan, bi gertakarien bildura gertakari handiena da, eta ebakidura,txikiena.
011
010
009
008
007
006
ERANTZUNAK
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 425
426
8 aurpegiko dado bat jaurtitzean, gertakari hauek izango ditugu kontuan.
A = {2, 4, 5, 8} eta B = {1, 2, 3, 7}
Kalkulatu:
a) A ∪ B d) A ∪ Bb) A ∩ B e)c) f) A ∩ B
Zer hautematen da c) eta d) atalen emaitzetan? Eta e) eta f) atalen emaitzetan?
a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}
b) A ∩ B = {2}
c) A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
d) A = {1, 3, 6, 7} B = {4, 5, 6, 8} → A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e) A,∪,B = {6}
f) A ∩ B = {6}
Hau betetzen da: A,∩,B = A ∪ B eta A,∪,B = A ∩ B.
Demagun txanpon bat jaurtitzeko ausazko esperimentua.
Kalkulatu lagin-espazioa eta ahalik gertakari gehienak, eta adierazi zein direnoinarrizkoak eta zein konposatuak. Kalkulatu gertakari horietako bakoitzarenosagarria.
E = {aurp., guru.}
A gertakaria B gertakariaren barne badago, zer gertatzen da gertakari horienosagarriekin?
Aren osagarriaren barruan Bren osagarria egongo da.
2 dado jaurti eta ateratako bi zenbakien batuketa egingo dugu. Adierazi:
a) Gertakari ziur bat. b) Ezinezko gertakari bat.Zer probabilitate izango dute bi gertakari horiek?
a) Gertakari ziurra: «puntu bat baino gehiago ateratzea». Probabilitatea 1.
b) Ezinezko gertakaria: «12 puntu baino gehiago ateratzea». Probabilitatea 0.
Kutxa batean, 5 bola zuri eta 4 bola gorri daude. Idatzi:
a) Ezinezko gertakari bat. b) Gertakari ziur bat.
a) Ezinezko gertakaria: «Bola berdea ateratzea».
b) Gertakari ziurra: «Bola urdina ez ateratzea».
016
015
014
013
A ∩ BA ∪ B
012
Probabilitatea
OsagarriaE
{gurutzea}{aurpegia}
∅
Gertak.∅
{aurp.}{guru.}
E
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 426
427
14
Txanpon bat jaurtitzeko ausazko esperimentuan:
a) Kalkulatu lagin-espazioa.b) Idatzi gertakari ziur bat eta ezinezko bat.c) Zer probabilitate emango zenioke «Aurpegia atera» gertakariari? Arrazoitu.
a) E = {aurpegia, gurutzea}
b) Ziurra: «Aurpegia edo gurutzea atera». Ezinezkoa: «bateko urrea atera».
c) Txanpona ez badago trukatuta, aurpegia edo gurutzea ateratzeko
probabilitatea bera da; beraz, P(Aurpegia atera) .
Zeren berdina da gertakari ziur baten eta ezinezko baten bildura? Eta ebakidura? Kalkulatu probabilitateak.
Bildura gertakari ziurra da, eta ebakidura, ezinezko gertakaria.
P(gertakari ziurra) = 1 P(ezinezko gertakaria) = 0
Dado bat jaurtitzean, kalkulatu hau ateratzeko probabilitatea:
a) 5en multiploa. f) Bikoitia eta 4ren zatitzailea.
b) 2ren zatitzailea. g) 7ren multiploa.
c) Zenbaki lehena. h) 10 baino txikiagoa.
d) 3 zenbakia. i) Zenbaki bakoitia.
e) 6ren zatitzailea.
a) P(5en multiploa) =
b) P(2ren zatitzailea) =
c) P(zenbaki lehena) =
d) P(3 zenbakia) =
e) P(6ren zatitzailea) =
f) P(bikoitia eta 4ren zatitzailea) =
g) P(7ren multiploa) =
h) P(10 baino txikiagoa) =
i) P(zenbaki bakoitia) =3
6
1
2=
6
61=
0
60=
2
6
1
3=
4
6
2
3=
1
6
3
6
1
2=
2
6
1
3=
1
6
019
018
=1
2
017
ERANTZUNAK
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 427
428
Karta sorta batetik karta bat atera dugu. Zenbatekoa da zalduna ateratzekoprobabilitatea? Eta beltza ateratzekoa? Eta urrea? Eta kopakoa ez den txanka?
P(zalduna)
P(beltza)
P(urrea)
P(kopakoa ez den txanka)
Kutxa batean, 5 bola hori eta 7 bola gorri daude. Zenbatekoa da bola hori batateratzeko probabilitatea? Eta bola gorria ateratzekoa?
P(bola horia) P(bola gorria)
Pentsatu oinarrizko gertakari guztiak ekiprobableak izan arren Laplacerenerregela aplikatzea ezinezkoa den esperimentu bat.
Esate baterako, zuzen errealeko tarte bateko puntu bat aukeratzean, ezin daLaplaceren erregela aplikatu, kasu posibleen kopurua infinitua delako.
Txanpon bat 85 aldiz jaurti eta 43 aurpegi atera dira. Zenbatekoa da «Gurutzeaateratzea» gertakariaren maiztasun erlatiboa?
a) b) 42 c) d) 0,42
Aurpegiak 43 badira, gurutzeak 42 dira. Maiztasuna hau da: c) .
4 aurpegiko dado bat jaurti eta 1 aurpegia atera ez den aldi kopurua idatzi dugu.
a) Egin maiztasun erlatiboen taula.b) Zer baliotarako joera du?c) Zer probabilitate emango zenioke?
a)
b) 0,25erako joera du.
c) P(1 aurpegia ez ateratzea) =1
4
024
42
85
4285
4385
023
022
=7
12=
5
12
021
=3
40
= =10
40
1
4
= =12
40
3
10
= =4
40
1
10
020
Probabilitatea
Jaurtiketakfi
hi
207
0,35
4011
0,28
6015
0,25
8018
0,23
10027
0,27
Jaurtiketakfi
207
4011
6015
8018
10027
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 428
Poltsa batean, 1etik 5era arteko zenbakia duten bolak daude. Bola bat atera,emaitza idatzi eta bola poltsara itzuli 5.000 aldiz egin dugu. Hona hemen emaitzak:
Kalkulatu 2ren multiploa lortzeko probabilitatea.
Poltsan 100 bola badaude, zenbat dira mota bakoitzekoak? Arrazoitu erantzuna.
P(bikoitia atera)
Probabilitatea maiztasun erlatibora hurbiltzen denez, kasu posibleen kopurua 100 denean Laplaceren erregela aplikatuz gero, hau lortuko dugu: 1-24, 2-16, 3-14, 4-26, 5-20.
Makina batek torlojuak egiten ditu. Zer egingo zenuke torloju bat ausaz aukeratueta akastuna izateko probabilitatea kalkulatzeko?
Torlojuen lagin bat ausaz hartu, akastunak zenbatu eta torloju akastunen kopurua laginaren neurriaz zatituko nuke.
2 dado jaurti eta puntuak batu ditugu. Kalkulatu batura hau izateko probabilitatea:
a) 3 b) 10 baino handiagoa. c) 7 d) 4 edo 5
2 dado jaurtitzean, 36 konbinazio daude:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
a) 2 konbinaziotan batura 3 da: (1, 2) eta (2, 1).
b) 3 konbinaziotan batura 10 baino handiagoa da: (5, 6), (6, 5) eta (6, 6).
c) 6 konbinaziotan batura 7 da: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4) eta (4, 3).
d) 7 konbinaziotan batura 4 edo 5 da: (2, 2), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3) eta (3, 2).
P( )batura 4 edo 5 =7
36
P( )batura 7 = =6
36
1
6
P( )batura 10 baino handiagoa = =3
36
1
12
P( )batura 3 = =2
36
1
18
027
026
=+
=800 1 300
5 0000 42
.
.,
025
429
14ERANTZUNAK
Bolafi
11.200
2800
3700
41.300
51.000
Bola fi hi
1 1.200 0,242 800 0,163 700 0,144 1.300 0,265 1.000 0,20
Guztira 5.000 1
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 429
430
Karta sorta batetik karta bat atera dugu. Kalkulatu hau izateko probabilitatea:
a) Ezpata. c) Txanka edo urrea.b) Ezpata eta erregea. d) Beltza ez izatea.
a) P(ezpata) c) P(txanka edo urrea)
b) P(ezpata eta erregea) d) P(beltza ez)
Kutxa batean, 4 bola zuri, 2 gorri eta 5 beltz daude. Kalkulatu honelako bola batateratzeko probabilitatea:
a) Zuria. b) Gorria. c) Zuria edo beltza.
a) P(zuria) c) P(zuria edo beltza)
b) P(gorria)
Ausazko esperimentu batean, P(B) = 0,2 da eta P(A ∪ B) = P(A). Bateraezinakal dira A eta B? Osagarriak al dira?
P(A ∪ B) = P(A) denez, hau daukagu: P(A ∩ B) = P(B) = 0,2; beraz, A eta B ez dira ez bateraezinak ez osagarriak.
ARIKETAK
Sailkatu esperimentu hauek deterministetan eta ausazkoetan.
a) Karta sorta batetik karta bat ateratzea.b) 3 eta 4 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenaren hipotenusa neurtzea.c) 3 txanpon jaurti eta aurpegi kopurua idaztea.d) Txintxeta bat jaurti eta nola geratzen den behatzea.e) Zirkuitu elektriko batean, bonbilla bat pizteko pultsadoreari sakatzea.f) Dominoko fitxa bat ausaz aukeratzea.g) Ikasgela baten altuera neurtzea.h) Harri bat amildegira jaurti eta azelerazioa neurtzea.i) Partida baten emaitza asmatzea, jokatu aurretik.
Ausazkoak: a), c), d), f) eta i).Deterministak: b), e), g) eta h).
Idatzi ausazko bi esperimentu eta ausazkoak ez diren beste bi. Arrazoituerantzuna.
Ausazkoak: ikasle baten pisua eta loterian aterako den zenbakia.
Ausazkoak ez direnak: Haur Hezkuntzako 1. mailako ikasle baten adina eta Espainian adin-nagusitasunera zenbat urterekin iristen den.
032●
031●
030
=2
11
=9
11=
4
11
029
=−
= =40 12
40
28
40
7
10=
1
40
=+
=3 10
40
13
40= =
10
40
1
4
028
Probabilitatea
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 430
431
14
Idatzi ausazko esperimentu hauen lagin-espazioa.
a) Karta sorta batetik karta bat ateratzea.b) Txintxeta bat jaurti eta nola erortzen den idaztea. c) 5 bola gorri, 3 urdin eta 2 berde dituen kutxa batetik bola bat ateratzea.d) 2 dado jaurti eta goiko aurpegien kenketa egitea.e) 2 dado jaurti eta goiko aurpegien biderketa egitea.f) Karta sorta bateko ezpatak hartu eta multzo horretako karta bat ateratzea.g) EBko herrialde bat ausaz aukeratzea.
a) E = {bateko, biko, ..., errege urrea; bateko, biko, ..., errege kopa; bateko,biko, ..., errege ezpata; bateko, biko, ..., errege bastoia}
b) E = {gora begira, behera begira}
c) E = {gorria, urdina, berdea}
d) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
e) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}
f) E = {batekoa, bikoa, ..., zazpikoa, txanka, zalduna, erregea}
g) E = {Alemania, Austria, Belgika, Bulgaria, Zipre, Danimarka, Eslovakia,Eslovenia, Espainia, Estonia, Finlandia, Frantzia, Grezia, Hungaria, Irlanda,Italia, Letonia, Lituania, Luxenburgo, Malta, Herbehereak, Polonia,Portugal, Erresuma Batua, Txekiar Errepublika, Errumania, Suedia}
2 dado jaurti dira, bata gorria eta bestea urdina. Zein da esperimentu horren lagin-espazioa?
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
2 dado jaurti eta bietan lortutako puntuak biderkatu ditugu. Zenbat emaitza lordaitezke? Deskribatu lagin-espazioa eta adierazi oinarrizkoak ez diren bigertakari.
18 emaitza lor daitezke.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}
Oinarrizko gertakariak: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {8}, {9}, {10}, {12}, {15}, {16},{18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36}
Oinarrizkoak ez direnak: «Bikoitia», «20 baino txikiagoa».
Dominoko fitxa bat ausaz aukeratu dugu. Adierazi zer elementuz osatuta dauden:
a) Lagin-espazioa.b) A = «Batura 6 duen fitxa bat aukeratzea» c) B = «Zenbakien biderkadura 12 den fitxa bat aukeratzea»A eta B gertakariak bateragarriak ala bateraezinak dira?
a) Dominoan ez dira bereizten (a, b) eta (b, a). E = {(0, 0), ..., (6, 6)}
b) A = {(6, 0), (1, 5), (2, 4), (3, 3)}
c) B = {(2, 6), (3, 4)}
A ∩ B = ∅→ Bateraezinak dira.
036●
035●
034●
033●
ERANTZUNAK
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 431
432
3 txanpon jaurti ditugu. Idatzi gertakari hauek: A = «Gutxienez aurpegi batateratzea» eta B = «Aurpegi bakar bat ateratzea». Kalkulatu.
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A d) B
A = {AAA, AA+, A+A, +AA, A++, +A+, ++A} B = {A++, +A+, ++A}
a) A ∪ B = {AAA, AA+, A+A, +AA, A++, +A+, ++A} = A
b) A ∩ B = {A++, +A+, ++A} = B
c) = {+++}
d) = {AAA, AA+, A+A, +AA, +++}
Dominoko 28 fitxetako bat ausaz atera eta puntuen batuketa egin dugu. Idatzi gertakariak.
a) A = «5en multiploa ateratzea»b) B = «Zenbaki bikoitia ateratzea»
Kalkulatu: A ∪ B, A ∩ B, A eta B, A ∪ A, B ∩ B.
a) A = {5, 10}
b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12}
A ∩ B = {10}
= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12}
= {0, 1, 3, 5, 7, 9, 11}
A ∪ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
∩ B = ∅
Loteria-ontzi batean, 1etik 15era arteko zenbakiak dituzten 15 bola daude etabat atera dugu. Idatzi gertakari hauen elementuak.
a) 3ren multiploa. d) 3 baino handiagoa eta 8 baino txikiagoa.b) 2ren multiploa. e) Zenbaki bakoitia.c) 4 baino handiagoa.
Idatzi bakoitzaren gertakari bateragarri eta bateraezin bat, bai eta gertakaribakoitzaren aurkako gertakaria ere.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15}
Gertakari bateragarria ⎯→ «12 baino handiagoa ateratzea»
Gertakari bateraezina ⎯→ «3 baino txikiagoa ateratzea»
= «Ez da 3ren multiploa» = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14}
b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Gertakari bateragarria ⎯→ «3ren multiploa ateratzea»
Gertakari bateraezina ⎯→ «2 baino txikiagoa ateratzea»
= «Bikoitia ez izatea» = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}B
A
039●●
BA
BA
038●●
B
A
037●●
Probabilitatea
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 432
433
14
c) C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Gertakari bateragarria ⎯→ «7ren multiploa ateratzea»
Gertakari bateraezina ⎯→ «3 baino txikiagoa ateratzea»
= «4 edo txikiagoa» = {1, 2, 3, 4}
d) D = {4, 5, 6, 7}
Gertakari bateragarria ⎯→ «5en multiploa ateratzea»
Gertakari bateraezina ⎯→ «12 baino handiagoa ateratzea»
= {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
e) E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
Gertakari bateragarria ⎯→ «7ren multiploa ateratzea»
Gertakari bateraezina ⎯⎯→ «Bikoitia eta 10 baino handiagoa ateratzea»
= «Bakoitia ez izatea» = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
6 aurpegiko dado bat jaurtitzean, A = {2, 4} eta B = {1, 2, 3}. Kalkulatu.
a) A ∩ B c) Bateragarriak al dira A eta B?b) A ∪ B d) Gertakari hauen aurkakoak A, B, A ∩ B eta A ∪ B.
Gertakari horien artean, aurkitu bi gertakari bateragarri, bi gertakari bateraezin eta aurkako bi gertakari.
a) A ∩ B = {2}
b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
c) A ∩ B �∅→ Bateragarriak dira.
d) = {1, 3, 5, 6} = {4, 5, 6} A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6}A,∪,B = {5, 6}
A eta B bateragarriak dira → A ∩ B �∅A ∩ B eta bateraezinak dira → (A ∩ B) ∩ = ∅A eta aurkakoak dira.
6 aurpegiko dado bat jaurti eta A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} eta C = {3, 4}gertakariak hartu ditugun kontuan. Kalkulatu.
a) A d) A ∪ B g)
b) B e) A ∩ B h) A ∩ B
c) C f) B ∪ C i) A ∪ B
a) = {2, 4} f) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}
b) = {3, 6} g) A,∪,B = ∅c) = {1, 2, 5, 6} h) ∩ = ∅d) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E i) ∪ = {2, 3, 4, 6}
e) A ∩ B = {1, 5}
BA
BAC
B
A
A ∪ B
041●●
A
BB
BA
040●
E
D
C
ERANTZUNAK
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 433
434
Karta sorta batetik bi karta atera ditugu.Hona hemen ezinezko gertakari bat:
a) «Bi urre ateratzea»b) «Kopako bi zaldun ateratzea»c) «Palo desberdineko bi karta ateratzea»d) «Palo bereko bi beltz berdin ateratzea»
Bi ezinezko gertakari daude: b) «Kopako bi zaldun ateratzea» eta d) «Palobereko bi beltz berdin ateratzea». Beraz, bi kartek ezin dute berdinak izan.
Dado bat jaurtitzean, beheko gertakariak hartu ditugu kontuan. Ordenatugertakariak probabilitate txikienetik handienera
a) «Zenbaki bakoitia»b) «5 edo handiagoa»c) «7 baino txikiagoa»d) «7 baino handiagoa»
P(d) = 0 < P(b) < P(a) < P(c) = 1
40 kartako sortatik karta bat atera da. Kalkulatu gertakari hauen probabilitateak:
a) A = «Urrea ateratzea»b) B = «Errege urrea ateratzea»c) C = «Ezpata edo kopa ateratzea»
a) P(A) =
b) P(B) =
c) P(C) =
Dado bat jaurti eta aurpegi guztietako puntuak batu ditugu, goikoak izan ezik.Kalkulatu lagin-espazioa eta 3ren multiploa ateratzeko probabilitatea.
E = {15, 16, 17, 18, 19, 20} P(3ren multiploa) = = 0,3)
Partxisean, dadoa trukatu da, 5 ateratzeko probabilitatea beste edozein ateratzeko probabilitatearen boskoitza izan dadin. Zein esaldi da zuzena?
046●●
2
6
1
3=
045●●
20
400 5= ,
1
400 025= ,
10
400 25= ,
044●
043●
042●
Probabilitatea
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 434
435
14
a) P(5 aurpegia) c) P(5 aurpegia)
b) P(5 aurpegia) d) P(1 aurpegia)
Probabilitateen batura 1 denez, 5 ez den aurpegi bat ateratzeko probabilitatea x bada eta 5 ateratzekoa 5x bada: x + x + x + x + x + 5x = 1 → x = 0,1 eta 5x = 0,5.
Beraz, erantzuna b) da P(aurpegia 5) = .
Aurreko dadoaren kasuan, aurpegi bakoitia ateratzeko probabilitatea hau da:
a) b) c) d)
P(bakoitia) = P({1, 3, 5}) = P(1) + P(3) + P(5) = 0,7. Erantzuna d) da.
Txintxeta bat jaurtitzean, punta gora ala behera begira duela eror daiteke.
a) Ausazko esperimentua ala determinista da?b) Zein dira oinarrizko gertakariak?c) Gertakari ekiprobableak al dira?
a) Ausazkoa da.
b) Oinarrizko gertakariak «Punta gora begira» eta «Punta behera begira» dira.
c) Ez dira ekiprobableak, punta behera begira gertakariaren probabilitatea handiagoa baita.
Aurreko ariketako oinarrizko gertakariak ekiprobableak diren ala ez jakiteko, egin esperimentua 100 aldiz (hartu 10 txintxeta eta jaurti 10 aldiz). Handiagoa al da «Punta gora begira» gertakariaren maiztasun erlatiboa?
Alderatu zure emaitza eta zure ikaskideek lortutakoak, eta idatzi taula bateanemaitza guztiak.
«Punta behera begira» gertakariaren maiztasun erlatiboa handiagoa da.
049●
048●
7
10
710
76
310
12
047●●
1
2
= 16
= 12
= 56
= 23
ERANTZUNAK
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 435
436
Loteria-ontzi batean, 0tik 9ra arteko zenbakiak dituzten 10 bola daude. Bola bat atera eta berriro gorde dugu, 100 aldiz. Emaitzak hauek dira:
A = «3ren multiploa», B = «Zenbaki bakoitia» eta C = «6ren zatitzailea» ditugu. Kalkulatu:
a) A, B eta C-ren maiztasun erlatiboa.b) A ∪ B, A ∩ B eta A ∪ C-ren maiztasun erlatiboa.
Zer probabilitate emango zenioke gertakariei?
A = {3, 6, 9} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 2, 3, 6}
a) A-ren maiztasuna = 12 + 12 + 11 = 35
B-ren maiztasuna = 13 + 12 + 10 + 6 + 11 = 52
C-ren maiztasuna = 13 + 11 + 12 + 12 = 48
b) A ∪ B-ren maiztasuna = 13 + 11 + 12 + 10 + 12 + 6 + 11 = 75
A ∩ B-ren maiztasuna = 12 + 11 = 23
A ∪ C-ren maiztasuna = 13 + 11 + 12 +12 + 11 = 59
Tetraedro formako dado bat 100 aldiz jaurti eta ezkutuangeratu den aurpegia idatzi dugu. Hau lortu dugu:
Kalkulatu gertakari hauen maiztasun erlatiboak:
a) 3ren multiploa. c) 1 baino handiagoa.b) 2ren multiploa. d) 1 baino txikiagoa.
Zer probabilitate emango zenioke gertakari horietako bakoitzari?
a) Maiztasuna 30 → P = 0,3)
b) Maiztasuna 22 + 20 = 42 → P =
c) Maiztasuna 22 + 30 + 20 = 72 → P =
d) Maiztasuna 0 → P = 0
72
100= 0,72
42
1000 42= ,
30
100=
051●●
P A C( ) ,∪ = =59
1000 59P A B( ) ,∩ = =
23
1000 23P A B( ) ,∪ = =
75
1000 75
P C( ) ,= =48
1000 48P B( ) ,= =
52
1000 52P A( ) ,= =
35
1000 35
050●●
Probabilitatea
Aurp.fi
128
222
330
420
Bolafi
07
113
211
312
48
510
612
76
810
911
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 436
4 txanpon berdin jaurti ditugu.
a) Zer probabilitate du 4 aurpegi ateratzeak?b) Eta bakar bat ere ez ateratzeak?c) Zerk du probabilitate handiena, 2 aurpegi ala gutxienez 3 gurutze lortzeak?
Oinarrizko 16 gertakari ekiprobable daude.
a) P(4 aurpegi) =
b) P(0 aurpegi) = P(4 gurutze) =
c) «2 aurpegi ateratzea» = {AA++, A+A+, A++A,+AA+, +A+A, ++AA}
P(2 aurpegi) =
«Gutxienez 3 gurutze lortzea» = {+++A, ++A+, +A++, A+++, ++++}
P(gutxienez 3 gurutze) = . 2 aurpegi lortzeko probabilitatea
gutxienez 3 gurutze lortzekoa baino handiagoa da.
5
160 3125= ,
6
160 375= ,
1
160 0625= ,
1
160 0625= ,
053●●
052 EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DIRA PROBABILITATEAK ZUHAITZ-DIAGRAMA BATEN LAGUNTZAZ?
Hiru txanpon jaurti ditugu. Kalkulatu gertakari hauen probabilitateak.A = «3 aurpegi ateratzea» D = «Gurutze bat ateratzea»B = «2 aurpegi ateratzea» E = «Gehienez aurpegi bat ateratzea»C = «Aurpegi bat ere ez ateratzea» F = «Aurpegi bat baino gehiago»
LEHENA. Zuhaitz-diagramaren teknika aplikatu behar da, oinarrizko gertakariaklortzeko.
A AAAA
X AAXA
A AXAX
X AXX
A XAAA
X XAXX
A XXAX
X XXX
E = {AAA, AAX, AXA, AXX, XAA, XAX, XXA, XXX}
BIGARRENA. Probabilitateak kalkulatu behar dira, Laplaceren erregela erabiliz.
P(A) P(C) P(E)
P(B) P(D) P(F) = =4
8
1
2=
3
8=
3
8
= =4
8
1
2=
1
8=
1
8
Emaitza3. txanpona2. txanpona1. txanpona
437
14ERANTZUNAK
⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 437
438
Test motako azterketa batek 5 galdera ditu, eta galdera horietako bakoitzak, 3 erantzun posible.
a) Kalkulatu 3 galdera asmatzeko probabilitatea, ausaz erantzunez gero.b) Azterketa gainditzeko gutxienez 3 galderari ongi erantzun behar bazaie,
kalkulatu azterketa gainditzeko eta suspenditzeko probabilitateak.
P(galdera bat asmatzea) = P(galdera bat ez asmatzea) =
a) «3 galdera asmatzea» = {AAAEE, AAEAE, AAEEA, AEAAE, AEAEA, AEEAA,EAAAE, EAAEA, EAEAA, EEAAA}
P(oinarrizko gertakaria)
P(3 galdera asmatzea)
b) «4 galdera asmatzea» = {AAAAE, AAAEA, AAEAA, AEAAA, EAAAA}
P(oinarrizko gertakaria)
P(4 galdera asmatzea)
«5 galdera asmatzea» = {AAAAA}
P(5 galdera asmatzea)
P(gainditzea) =
P(suspenditzea) = 1 − P(gainditzea) =
Gertakari baten probabilitatea 0,2 da. Zer probabilitate du aurkako gertakariak?
P(A) = 1 − 0,2 = 0,8
Dado batean, P(1) = P(2) = P(3) = 0,14 eta P(4) = P(5) = P(6) = x.Zer balio du x-k?
Dado trukatu batean, hauek dira aurpegi bakoitza ateratzeko probabilitateak:
P(4) = 2P(5) bada, zenbatekoak dira a eta b?
a = 2b → 0,1 + 0,1 + 0,1 + 2b + b + 0,4 = 1 → b = 0,1 eta a = 0,2
057●●
3
73 1
4
21+ = =x x→
056●●
055●
151
243
192
243− =
1 10 40
243
51
243
+ +=
=1
243
= ⋅ =52
243
10
243
=2
243
= ⋅ =104
243
40
243
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
4
243
2
3
1
3
054●●●
Probabilitatea
Aurp.fi
10,1
20,1
30,1
4a
5b
60,4
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 438
Karta sorta batetik karta bat atera dugu. Kalkulatu probabilitateak:
a) Zalduna izatea.b) Beltza ez izatea.c) Urrea edo bastoia ez izatea.d) Errege urrea edo errege ezpata izatea.
a) P(zalduna) =
b) P(beltza) =
c) P(ez urrea ez bastoia) =
d) P(errege urrea edo errege ezpata) =
1etik 30era arteko zenbaki bat aukeratu dugu ausaz. Gertakari hauek ditugu: A = «14 edo txikiagoa den zenbaki bikoitia», B = «10 edo txikiagoa den 3ren multiploa» eta C = «10en multiploa». Kalkulatu probabilitateak:
a) A ∪ B c) A ∪ B e) B ∩ Cb) A ∪ C d) C ∪ B f) A ∩ B
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} B = {3, 6, 9} C = {10, 20, 30}
a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14}
P(A ∪ B) = 0,3
b) A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 30}
P(A ∪ C) = 0,3
c) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
P(A ∪ B) =
d) C ∪ B = B ∪ C = {3, 6, 9, 10, 20, 30}
P(C ∪ B) =
e) B ∩ C = ∅→ P(B ∩ C) = 0
f) A ∩ B = {3, 9} → P(A ∩ B) =2
300 06= ,
6
300 2= ,
28
300 93= ,
059●●
2
40
1
200 05= = ,
20
40
1
20 5= = ,
12
40
3
100 3 1 0 3 0 7= = = − =, ( , ,→ P beltza ez)
4
40
1
100 1= = ,
058●●
439
14ERANTZUNAK
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 439
440
Kutxa batean, 1etik 100era arteko zenbakiak dituzten 100 bola daude. n zenbakia duen bola atera eta gertakari hauek definitu ditugu.
A = «n 5en multiploa da» D = «n 10ez zatigarria da»B = «n 3ren multiploa da» E = «n 1ez zatigarria da»C = «n 2z zatigarria da»
a) Oinarrizko zenbat gertakari ditu gertakari bakoitzak? Zer probabilitate du bakoitzak?
b) Ba al daude bi gertakari bateraezin?
c) Eta bi gertakari bateragarri? Eta bi aurkako?
d) Kalkulatu A ∩ B, B ∪ C eta D-ren probabilitatea.
a) A = 20 ⎯→ P(A) = 0,2
B = 33 ⎯→ P(B) = 0,33
C = 50 ⎯→ P(C) = 0,5
D = 10 ⎯→ P(D) = 0,1
E = 100 → P(E) = 1
b) Ez daude.
c) Bateragarriak diren pare guztiak. Ez dago aurkako gertakaririk.
d) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0,2 ⋅ 0,33 = 0,6
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = 0,33 + 0,5 − 0,165 = 0,665
P(D) = 0,1
Joko batean, bi dado jaurti eta 11 edo 7 atera behar da, irabazteko.
a) Deskribatu esperimentu horren lagin-espazioa.b) Kalkulatu irabazteko probabilitatea.
a) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
b) P(7 edo 11) =
Bazkari batean, 28 gizon eta 32 emakume daude. 16 gizonek eta 20 emakumekokela eskatu dute, eta gainerakoek, arraina. Lagun bat ausaz hartuta, kalkulatugertakari hauen probabilitatea:
062●●
8
36
4
9=
061●●●
060●●
Probabilitatea
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 440
441
14
a) Gizona izatea.b) Arraina jatea.c) Gizona izan eta arraina jatea.
a) P(gizona) =
b) P(arraina) =
c) P(gizona eta arraina) =
Haurtzaindegi batean, 20 mutil eta 16 neska daude. Mutilen erdia eta neskenhiru laurdena beltzaranak dira, eta gainerakoak, ilehoriak. Bat ausaz aukeratuta,zenbatekoa da mutila edo beltzarana izateko probabilitatea?
Mutilak → beltzaranak = 10, ilehoriak = 10
Neskak → beltzaranak = ⋅ 16 = 12, ilehoriak = 4
P(mutila edo beltzarana) = P(mutila) + P(beltzarana) − P(mutila eta beltzarana)
P(mutila edo beltzarana) =
Hiri batean, biztanleen % 30ek A egunkariairakurtzen du; % 20k, B egunkaria; eta % 7k, bi egunkariak.
a) Lagun bat ausaz aukeratuta, zenbatekoa da bi egunkarietako bat irakurtzeko probabilitatea?
b) Eta bakar bat ere ez irakurtzeko probabilitatea? Eta bat irakurtzekoa?
a) P(A edo B) = P(A) + P (B) − P(A eta B)
P(A edo B) = 0,3 + 0,2 − 0,07 = 0,43
b) P(ez A eta ez B) = 1 − P(A edo B)
P(ez A eta ez B) = 1 − 0,43 = 0,57
P(bat bakarrik) = 1 − [P(A eta B) + P(bat ere ez)]
P(bat bakarrik) = 1 − [0,07 + 0,57] = 1 − 0,64 = 0,36
064●●●
20
36
22
36
10
36
32
360 89+ − = = ,
3
4
063●●
12
60
1
50 2= = ,
24
60
2
50 4= = ,
28
60
7
150 46= = ,
ERANTZUNAK
OkelaGizonak
EmakumeakGuztira
Arraina Guztira16 12 2820 12 3236 24 60
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 441
442
Koldok eta Jonek gela txukundu behar dute. Koldok 3 bola gorri, 2 berde eta 1 urdin sartu ditu poltsa batean, eta bat ateratzeko esan dio Joni. Ateratako bolagorria bada, Jonek txukunduko du gela, eta urdina bada, Koldok.
a) Zer probabilitate du bola bakoitzak?b) Bidezkoa al da Koldok proposatutakoa?c) Jonek ez du onartu eta hau proposatu du: gorria bada, Jonek txukunduko du,
eta urdina edo berdea bada, Koldok. Bidezkoa al da? Zergatik?
a) P(gorria) = P(urdina) =
b) Ez, Joni tokatzeko probabilitatea hirukoitza baita.
c) Bai; izan ere, P(urdina edo berdea) = 0,5 = P(gorria).
Ate baten 3 sarrailak zabaltzen dituzten 3 giltzak ditut, baina ez dakit zein densarraila bakoitzeko giltza. Zenbatekoa da lehen saiakeran konbinazio egokiaasmatzeko probabilitatea? Eta 3 giltza eta soilik 2 sarraila balira? (Giltza batek ez du sarrailarik irekitzen.)
Hiru giltza baditut, E = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
Seietako bat bakarrik da konbinazio egokia: P(lehenengoan asmatzea) = .
Bi giltza baditut: E = {12, 13, 21, 23, 31, 32}.
Seietako bat bakarrik da konbinazio egokia: P(lehenengoan asmatzea) = .
Paula denda batera joaten da astean bitan eta Jonek denda horretan egiten dulan astean 4 egunetan. Ostirala bada bietako inor joaten ez den egun bakarra,zenbatekoa da bi egunetan dendan elkar ikusteko probabilitatea?(Denda igandeetan itxi egiten da.)
Jonek bost egunetatik lautan bakarrik lan egiten duenez (astelehena,asteartea, asteazkena, osteguna eta larunbata), egun batean bakarrik ez dulanik egiten; beraz, gutxienez egun batean ikusten dute elkar. «Egun bateanelkar ikusi» gertakaria Jonek jai izan eta Paulak lan egitea da, eta probabilitate
hau du: (aldeko kasuak = 2 egun, kasu posibleak = 5 egun).
«Bi egunetan elkar ikusi» gertakaria «Egun batean elkar ikusi» gertakariaren aurkakoa da; probabilitate hau du: 1 − 0,4 = 0,6.
2
50 4= ,
067●●●
1
6
1
6
066●●●
1
60 16= ,
3
6
1
20 5= = ,
065●●
Probabilitatea
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 442
443
14
Hiru lagunek garbiketa nork egin erabaki behar dute. Luzera desberdineko hirumakila hartu, altuera bera erakusten dutela estali eta bakoitzak bat aukeratubehar du. Motzena hartzen duenak galduko du. Zergatik ez dute eztabaidatzennork aukeratuko duen lehendabizi?
A = «Lehen lagunak makilarik motzena hartzea»
B = «Bigarren lagunak makilarik motzena hartzea»
C = «Hirugarren lagunak makilarik motzena hartzea»
Bateraezinak dira. Beraz, gertakari bakoitza beste bien gertakari osagarriaren barruan dago.
P(A) =
P(A ∩ B) = P(B) =
P(A ∩ B ∩ C) = P(C) =
Beraz, hirurek probabilitate bera daukate makilarik motzena hartzeko.
Nadal Federer baino hobea da lur gainean eta Federerri set bat irabazteko probabilitatea 3/5 da. Nekeak berdin eragiten badie biei, azaldu zergatik nahiago duen Nadalek 5 seteko partida jokatu 3koa baino.
Kasu bakoitzeko irabazteko maiztasuna kontuan hartuta, zuhaitz-diagrama egingo dugu.
069●●●
1
3
1
3
1
3
068●●●
ERANTZUNAK
Nadal garaile 27/125
Nadal garaile 18/125
Nadal garaile 18/25
Federer garaile 12/125
Nadal garaile 18/25
Federer garaile 12/125
Federer garaile 12/125
Federer garaile 8/125
N9/25en 3/5N
3/5en 3/5
N3/5
F2/5
F3/5en 2/5
N2/5en 3/5
F2/5en 2/5
F9/25en 2/5
N6/25en 3/5
F6/25en 2/5
N6/25en 3/5
F6/25en 2/5
N4/25en 3/5
F4/25en 2/5
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 443
444
Nadal garaile izateko probabilitatea hau da:
Beraz, 5 setetan garaile izateko Nadalen probabilitatea da handiena.
P( )Nadal =
+ + + + + + + +243 162 162 162 108 162 108 108 1622108 108 108 162 108 108 108 108
3 1252
++ + + + + + + +
=
=
...
.,
295
3 1250 73=
P( )Nadal 0,65= + + + = =27
125
18
125
18
125
18
125
81
125
Probabilitatea
N → Nadal garaile 243/3.125N27/125en 3/5N
9/25en3/5
F9/25en 2/5
N6/25en 3/5
F6/25en 2/5
N6/25en 3/5
F6/25en 2/5
F2/5
N4/25en 3/5
F4/25en 2/5
N3/5en 3/5
N3/5
F3/5en 2/5
N2/5en 3/5
F2/5en 2/5
F ⎯→ Nadal garaile 162/3.125
N → Nadal garaile 162/3.125
F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125
N → Nadal garaile 162/3.125
F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Federer garaile
N → Nadal garaile 162/3.125
F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Federer garaile
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Federer garaile
N → Federer garaile
F ⎯→ Federer garaile
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Federer garaile
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Federer garaile
N → Federer garaile
F ⎯→ Federer garaile
N → Nadal garaile 108/3.125
F ⎯→ Federer garaile
N → Federer garaile
F ⎯→ Federer garaile
N → Federer garaile
F ⎯→ Federer garaile
N → Federer garaile
F ⎯→ Federer garaile
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 444
445
14
Poltsikoan, 20 zentimoko bi txanpon, 10 zentimoko bi eta 5 zentimoko beste bi ditut. Bi txanpon ausaz ateraz gero, zenbatekoa da 20 zentimo baino gehiagohartzeko probabilitatea?
Bi txanpon ateratzearen zuhaitz-diagrama egingo dugu:
Bi txanponekin gutxienez 20 zentimo hartzeko probabilitatea hau da:
23 ikasleko gela batean, tutorea ikasleen fitxak begiratzen ari da eta bi ikasleren urtebetetzea hil bereko egun berean dela ohartu da. Matematikakoirakasleari jakinarazi dio eta hori aurkakoa baino arruntagoa dela esan dio; hauda, kointzidentziarik ez egotea baino arruntagoa dela. Egiaztatu Matematikakoirakasleak arrazoi duela.
Bi ikasle badira, jaiotze-data bera ez izateko probabilitatea
hau da: . Hiru ikaslek jaiotze-data bera ez izateko
probabilitatea: .
Lau ikasleren probabilitatea: .
Beraz, 23 ikaslek jaiotze-data desberdina izateko probabilitatea
hau da: .
Kointzidentziaren bat izateko probabilitatea 0,54 da; beraz, probabilitatea handiagoa da.
342 343 363 364
3650 46
22
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
...,
363 364
365
362
365
362 363 364
3652 3
⋅=
⋅ ⋅en
364
365
363
365
363 364
3652en =
⋅
364
365
071●●●
P( )> =+ + + + +
= =202 4 4 4 2 4
30
20
30
2
3zent.
070●●●
ERANTZUNAK
20 zent.2/6en 1/5
10 zent.2/6en 2/5
5 zent.2/6en 2/5
20 zent.2/6en 2/5
10 zent.2/6en 1/5
5 zent.2/6en 2/5
20 zent.2/6en 2/5
10 zent.2/6en 2/5
20 zent.2/6
10 zent.2/6
5 zent.2/6
5 zent.2/6en 1/5
40 zent. → 2/30
GuztiraBigarren txanponaLehen txanpona
30 zent. → 4/30
25 zent. → 4/30
30 zent. → 4/30
20 zent. → 2/30
15 zent. → 4/30
25 zent. → 4/30
15 zent. → 4/30
10 zent. → 2/30
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 445
446
EGUNEROKOAN
Ikastetxeko kultura-astea dela-eta, dardo-txapelketa antolatu da. Zenbait kanporaketa egin ondoren, Ane, Xabier, Nekane etani iritsi gara finalera.
Jokatutako partiden informazioa idatziz jaso dut:nork jokatu dugun etanor izan den irabazlea.
Finala liga bat da eta denok denon aurka jokatu behar dugu. Garaipen bakoitzak 1 puntu emango dio irabazleari, eta 0 puntu, galtzaileari.
Liga amaitzean, puntu gehien lortu dituen jokalariak irabaziko du.
Idatzita ditudan datuen arabera, zenbatekoa da txapelketa nikirabazteko probabilitatea? Eta galtzekoa?
Irabazteko bakarka puntu gehien lortu behar badira, berdinketarik gabe, hiru garaipen lortu behar dira nahitaez; izan ere, bi soilik irabaziz gero, ligako beste lau partidetan beti egongo da gutxienez bi partida irabazi dituen jokalari bat, eta beraz, berdindu egingo lukete.
Hiru partidak irabazteko probabilitatea, zuhaitz-diagramaren bidez adierazita:
Txapelketa irabazteko probabilitatea: .
Bestalde, galtzeko puntu gutxien lortu behar direla aintzat hartuta, aukera bakarra partida guztiak galtzea da; izan ere, gainerako bost partidetako bat irabaziz gero, ezinezkoa da jokalari guztiek bi partida irabaztea.
Hiru partidak galtzeko probabilitatea, zuhaitz-diagramaren bidez adierazita:
Txapelketa galtzeko probabilitatea: .63
2 7280 02
.,=
35
1860 18= ,
072●●●
Probabilitatea
Jokatutako partidak
Jokatutako partidak Anek irabazitakoak
Jokatutako partidak Xabierrek irabazitakoak
Ane 36 22Xabier 44 35Nekane 31 12
Xabier 27 16
Nekane 29 13
Nekane 32 9
Ni hauen kontra:
Ane hauen kontra:
Xabier honen kontra:
Aneri irabazi Xabierri irabazi Nekaneri irabazi22/36 = 11/18 11/18en 35/44 = 35/72 35/72en 12/31 = 35/186
Aneren aurka galdu Xabierren aurka galdu Nekaneren aurka galdu14/36 = 7/18 7/18en 9/44 = 7/88 7/88en 9/31 = 63/2.728
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 446
Trafikoko Zuzendaritza Nagusiak (DGT) errepideetako ezbehar kopurua txikitzeko kanpaina bat egin behar du.
Hildakoak eragiten dituzten istripu asko bi faktorek eragiten dituzte:
• Segurtasun-uhala ez erabiltzeak.• Segurtasun-distantzia ez zaintzeak.
Arau-hauste horien eragina zehazteko, trafikoko hainbat kontrol egin dira. Datu hauek bildu dira:
Gerrikoa ez zeraman gidari bakoitzari 2 puntu kendu zizkioten, eta segurtasun-distantzia zaintzen ez zuten gidariei, 3 puntu. Datu horiek kontuan hartuta,DGTk kontrolak egitea erabaki du, gidariek beharrezko neurriak har ditzaten.Zenbat ibilgailu ikuskatu behar dira, gutxi gorabehera, kontrol bakoitzean,gehienezko zigorra (5 puntu kentzea, alegia) 10 gidariri baino gehiagori ezezartzeko?
Gerrikoa eramaten ez duten eta segurtasun-distantzia errespetatzen ez
duten gidarien maiztasuna: ; beraz, 5 puntu kentzeko zigorra
10 gidariri baino gehiagori ez ezartzeko, 125 ibilgailu baino gutxiago ikuskatubehar dira.
x x⋅ < <2
2510 125→
40
500
2
25=
073●●●
447
14ERANTZUNAK
Kontrol bakoitzean, agenteek 500 ibilgailuikuskatu dituzte:• Batez beste 60 gidarik ez zeramaten
gerrikoa.• 60 horietatik, 40k ez zuten segurtasun-
distantzia zaintzen.• Eta 410ek behar bezala zirkulatzen zuten.
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 447
Debekaturik dago, legeak ezarritako salbuespenak salbu, lan hau inola bikoiztea, banatzea, jendaurrean jakinaraztea zein eraldatzea,beraren jabetza intelektuala dutenen baimenik gabe. Aipatutako esku-bideen urratzea jabetza intelektualaren aurkako delitua izan daiteke(Kode Penaleko 270. artikulua eta hurrengoak).
© 2007 by Zubia Editoriala, S. L. / Santillana Educación, S. L.Legizamon poligonoaGipuzkoa kalea, 3148450 Etxebarri (Bizkaia)Inprimatzailea:
ISBN: 978-84-8147-969-0EK: 908272Lege-gordailua:
Arte-zuzendaritza: José Crespo
Proiektu grafikoa:Azala: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTABarrualdea: Manuel García, Rosa Barriga
Irudiak: Grafitti s.c., José María Valera
Proiektu-burua: Rosa MarínIrudien koordinazioa: Carlos AguileraProiektu-garapenerako burua: Javier TejedaGarapen grafikoa: José Luis García, Raúl de Andrés
Zuzendaritza teknikoa: Ángel García Encinar
Koordinazio teknikoa: Maitane Barrena, Félix RotellaKonposaketa eta muntaketa: Miren Pellejero, Almudena de la Torre, Luis González,Fernando Calonge, Marisa Valbuena
Hizkuntza-egokitzapena: Josu GarateArgazkien aukeraketa eta dokumentazioa: Nieves Marinas
Argazkiak: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; Prats i Camps; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA PHOTO/Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC;STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U. S. Navy; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; SANTILLANAREN ARTXIBOA
908272 _ 0422-0448.qxd 28/9/07 13:23 Página 448
