Elipse
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![Page 1: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/1.jpg)
Q1 Q2
P1
P2Elipse
![Page 2: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/2.jpg)
Se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante.
Siendo F1 y F2 focos de la elipse
P a la elipse PF PF a1 2 2
P(x;y)
B1
B2
F2 F1
RA2 A1
-x x
y
-y
O
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Elementos:
Eje mayor : A A a1 2 2
Semieje mayor : A O OA a1 2
Eje menor : B B b1 2 2
Semieje menor : B O OB b1 2
Vértices : A a A a B b B b1 2 1 20 0 0 0( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )
P(x;y)
B1
B2
F2 F1
RA2 A1
-x x
y
-y
O
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Eje focal : F F c1 2 2Semieje focal : F O OF c1 2
Focos : F c F c1 20 0( ; ); ( ; ) a la elipse y satisface al condición :
F B B F a1 1 1 2 2 F B B F a b c a b a c1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 B1
ab
cF1 F2
por relación pitagórica.
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x
a
y
b
2
2
2
21 La ecuación
Se puede escribir b x a y a b2 2 2 2 2 2 0
caso particular de la ecuación general de 2º grado en x e y.
x
a
y
b
2
2
2
21 Ecuación
Canónica
![Page 6: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/6.jpg)
Ecuación explícitax
a
y
b
2
2
2
21
despejamos y yb
aa x2 2
yb
xax -a
y -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
![Page 7: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/7.jpg)
despejamos x : xa
bb y2 2
x
a
y
b
2
2
2
21
x -a
-x
yb
xa
y -b
x
-y
y
L1
L2
F1F2
![Page 8: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/8.jpg)
Deducimos:
Propiedad 1: La elipse es simétrica respecto al origen y a los ejes coordenados.
Propiedad 2: La elipse es interior al rectángulo limitado por las rectas :
x a y b yb
xax -a
y -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
![Page 9: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/9.jpg)
Lado recto.: (Lr)Es el segmento perpendicular al eje coordenado, que pasando por el foco, une dos puntos de la elipse.
Lrb
a2 2
yb
xax -a
y -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
Excentricidad.
a
ce
c a e 1
; como
Si c = 0 e = 0 :
los focos coinciden y la curva es una circunferencia
![Page 10: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/10.jpg)
PosicionesDada una elipse mediante su ecuación canónica, el eje mayor (eje focal) corresponde al eje coordenado de la variable que tiene mayor denominador.
eje mayor sobre el eje x : x
a
y
b
2
2
2
21
-4 -2.64 2.64 4
-3
3B1
B2
A1A2
F2 F1
y
x
![Page 11: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/11.jpg)
Posiciones
eje mayor sobre el eje y : x
b
y
a
2
2
2
21
y
x
F1
F2
B2
B1
A2 A1
![Page 12: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/12.jpg)
Ecuación de la elipse referida a un sistema de ejes paralelos
y´
x´
P
o´
x´
y´
x
y
x
o
O ;x
a
y
b
2
2
2
21
referido al sistema O´.
x x
y y
x
a
y
b
2
2
2
21
eje focal paralelo al eje x.
y
a
x
b
2
2
2
21
eje focal es paralelo al eje y
![Page 14: Elipse](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062313/55be339dbb61eb74658b4653/html5/thumbnails/14.jpg)