Elipse
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Elipse
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Índice
La Elipse. La Elipse como lugar geométrico. Elementos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse. Ejemplo. Propiedades de reflexión de la elipse.
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Elipse
La elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.
Vértice
Eje
Plano
ElipseGeneratriz
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La Elipse como lugar Geométrico
Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
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Elementos de la Elipse En toda elipse convine
considerar:
F y F´: Son los puntos fijos llamados focos.
2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos.
P: Cualquier punto de la elipse.
PF y PF´: Son los radio vectores de la elipse.
2a: Es la suma de los radio vectores.
B
B´
AA´
FF´
P
2a
2c
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Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF´.
C: Es el centro de la Elipse.
B y B’ A y A’ : Son los vértices de la elipse.
AA’: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a.
BB’: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b.
Elementos de la Elipse
B
B´
AA´
FF´
P
2a
2c
C
2b
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Ecuación Analítica de la Elipse
• Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0).
• Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y).
• En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.
• Entonces: PF + PF' = 2a.
• Aplicando Pitágoras tenemos que:
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• Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados
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•A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que:
a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2
•Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c
•Reemplazando en la ecuación tenemos que:b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0 b2x2 + a2y2 = a2b2
•Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:
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• Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
• Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
• Si hacemos:A = b2
B = a2 C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
• Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no necesitan ser iguales.
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
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Ejemplo
Esbócese la elipse 9x2 + 25y2 = 225.
Al dividir entre 225 se obtiene:
Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje
x.
Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vértices están en ( ±5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0).
1925
22
=+ xy Haz click y observa la gráfica
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Propiedad de reflexión de la elipse:
Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.