ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y …departamento.us.es/dgt/pd/lec1y2.pdf · 2018-04-04 ·...

ELEMENTOS DE

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Y TOPOLOGÍA

Curso 2008/2009

Capítulo 1

Espacios métricos

1.1. Medir la proximidad

Sea X un conjunto. Denotaremos por X ×X al conjunto de los paresde elementos de X.

Definición 1.1.1. Una distancia sobre X es una aplicación d : X ×X → R cumpliendo:

1. d(x, x′) ≥ 0, ∀x, x′ ∈ X,

2. d(x, x′) = d(x′, x), ∀x, x′ ∈ X (Propiedad simétrica),

3. d(x, x′) = 0 si y sólo si x = x′, ∀x, x′ ∈ X,

4. d(x, x′) ≤ d(x, x′′)+d(x′′, x′), ∀x, x′, x′′ ∈ X (Propiedad triangular),

Al par (X, d) se le llama espacio métrico. Si la condición (3) se susti-tuye por

(3′) d(x, x) = 0,

entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudométri-

co.

Ejemplo 1.1.2. (Análisis I) Se toma X = R y se define d(x, x′) = |x−x′|.

Ejemplo 1.1.3. (Geometría) Se toma X = R2 y se define d((x, y), (x′, y′)) =||(x, y) − (x′, y′)|| =

√(x − x′)2 + (y − y′)2.

Definición 1.1.4. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobreV es una aplicación || · || : V → R cumpliendo:

2

CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 3

1. ||v|| ≥ 0, ∀v ∈ V ,

2. ||λv|| = |λ| · ||v||, ∀λ ∈ R, ∀v ∈ V ,

3. ||v|| = 0 si y sólo si v = 0, ∀v ∈ V ,

4. ||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||, ∀v, w ∈ V .

Al par (V, || · ||) se le llama espacio normado.

Proposición 1.1.5. Si (V, || · ||) es un espacio normado, la aplicaciónd : V × V → R dada por d(v, w) = ||v − w|| es una distancia sobre V .

A (V, d) se le llama espacio métrico asociado al espacio nor-

mado (V, || · ||).Demostración. Veremos a continuación que d cumple las condiciones quehacen a una aplicación distancia:

1. d(v, w) = ||v − w|| ≥ 0 por la propiedad 1 de la norma.

2. d(v, w) = ||v −w|| = ||(−1)(w − v)|| = | − 1| · ||w − v|| = ||w − v||,donde se ha usado la propiedad 2 de la norma en la tercera igualdad.

3. Por definición, d(v, w) = 0 si y sólo si ||v−w|| = 0. Por la propiedad3 de la norma, esto ocurre si y sólo si v − w = 0, es decir, v = w.

4. d(v, v′) = ||v − v′|| = ||v − v′′ + v′′ − v′|| ≤ ||v − v′′|| + ||v′′ − v′|| =d(v, v′′) + d(v′′, v′), donde se ha usado la propiedad 4 de la normapara conseguir la desigualdad.

Veremos a continuación algunos ejemplos de espacios normados y susdistancias asociadas.

Ejemplo 1.1.6. Si V = R y || · || =valor absoluto, entonces (V, || · ||) esun espacio normado con distancia asociada d(x, x′) = |x − x′|.Ejemplo 1.1.7. Si V = R2 y || · || es la habitual en Geometría, es decir,la norma euclídea ||(x, y)|| =

√x2 + y2, entonces (V, ||·||) es un espacio

normado. Su distancia asociada, que llamaremos distancia euclídea ydenotaremos de, es de((x, y), (x′, y′)) =

√(x − x′)2 + (y − y′)2.

Ejemplo 1.1.8. Si tomamos ahora V = Rn y la norma euclídea de di-mensión n, ||(x1, . . . , xn)|| =

√∑n

i=1 x2i , entonces (V, || · ||) es un espacio

normado. Su distancia asociada, que también llamaremos distancia eu-

clídea, es de((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√∑n

i=1(xi − yi)2.


Ejemplo 1.1.9. Si V = R2, entonces ||(x, y)||taxi = |x| + |y| es unanorma. La cuarta propiedad de la definición de norma se demostraríaasí: ||(x, y) + (x′, y′)||taxi = |x + x′| + |y + y′| ≤ |x| + |x′| + |y| + |y′| =||(x, y)||taxi + ||(x′, y′)||taxi.

A esta norma se le llama norma taxi y a su distancia asociadadistancia taxi: dtaxi((x, y), (x′, y′)) = |x − x′| + |y − y′|.

En el plano R2, las distancias entre los puntos (0, 0) y (1, 1) sonde((0, 0), (1, 1)) =

√2 y dtaxi((0, 0), (1, 1)) = 2.

Figura 1.1:

Ejemplo 1.1.10. Si V = R2, ||(x, y)||max = max{|x|, |y|} es una norma.Probaremos a continuación su cuarta propiedad:

Se cumple que |x + x′| ≤ |x|+ |x′| ≤ max{|x|, |y|}+ max{|x′|, |y′|} =||(x, y)||max + ||(x′, y′)||max. Podemos hacer lo mismo con |y + y′|, luegotenemos que

||(x, y)+(x′, y′)||max = max{|x+x′|, |y+y′|} ≤ ||(x, y)||max+||(x′, y′)||max.

Su distancia asociada es dmax((x, y), (x′, y′)) = max{|x−x′|, |y−y′|},que llamaremos distancia del máximo.

Las tres distancias de, dmax y dtaxi tienen en común el concepto deproximidad.

Ejemplo 1.1.11. V = {f : R → R; fes acotada} es un espacio vectorialcon:

Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x),

Producto por escalar: (λf)(x) = λf(x).

Se define ||f ||∞ = sup{|f(x)|; x ∈ R}, que se demuestra que es norma:


1. ||f ||∞ ≥ 0 porque es un supremo de valores absolutos.

2. ||λf ||∞ = sup{|λ||f(x)|; x ∈ R} = |λ| sup{|f(x)|; x ∈ R} = |λ|||f ||∞.

3. Si ||f ||∞ = 0 = sup{ |f(x)|, x ∈ R}, entonces |f(x)| = 0, para todox ∈ R, luego f es la función nula θ(x) = 0, para todo x ∈ R.

4. ||f + g||∞ = sup{|f(x)+ g(x)|; x ∈ R}. Ahora bien, |f(x)+ g(x)| ≤|f(x)|+ |g(x)| ≤ sup{|f(x)|, x ∈ R}+sup{|g(x)|, x ∈ R} = ||f ||∞+||g||∞. Por tanto, ||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞.

La norma anterior se llama norma del supremo y su distancia asoci-ada es d∞ = sup{|f(x) − g(x)|, x ∈ R}, que se denotará distancia del

supremo.

Veremos a continuación con un ejemplo concreto cómo funcionan estanorma y distancia.

Ejemplo 1.1.12. Si f(x) = sen(x), entonces ||f ||∞ = 1. Si tomamosg(x) = cos(x), se tiene d∞(f, g) = 1.

Figura 1.2:

Se define la sucesión de funciones {fn} como fn = (1/n) sen(x) yse denota por θ a la función nula. Entonces d∞(fn, θ) = 1/n y la suce-sión {fn} se aproxima arbitrariamente a la constante cero en el espacio(V, d∞).

Definiremos a continuación otra norma:

Ejemplo 1.1.13. Si V = {f : [0, 1] → R; f continua}, entonces ||f ||1 =∫ 1

0|f(x)|dx es una norma cuya distancia asociada es d1(f, g) =

∫ 1

0|f(x)−

g(x)|dx.

1. ||f ||1 ≥ 0 porque mide un área.

2. ||λf ||1 =∫ 1

0|λ| · |f(x)|dx = |λ|

∫ 1

0|f(x)|dx = |λ| · ||f ||1.

3. Si ||f ||1 =∫ 1

0|f(x)|dx, entonces |f(x)| = 0 para todo x ∈ R, luego

f es la función nula θ(x) = 0 para todo x ∈ R.


Figura 1.3:

4. ||f+g||1 =∫ 1

0|f(x)+g(x)|dx ≤

∫ 1

0(|f(x)|+|g(x)|)dx =

∫ 1

0|f(x)|dx+∫ 1

0|g(x)|dx = ||f ||1 + ||g||1.

En general, podemos definir ||f ||n = n

√∫ 1

0|f(x)|ndx.

Comprobaremos a continuación que las distancias d1 y d∞ son distin-tas.

Ejemplo 1.1.14. Para la sucesión {fn} descrita en el siguiente dibujose tiene que d1(fn, θ) = 1/2n+1, luego fn se acerca todo lo que se quiera aθ en (V, d1). Sin embargo, d∞(fn, θ) = 1 para todo n, luego fn permanceseparada de θ en (V, d∞).

Figura 1.4:

Veamos ahora un ejemplo de seudodistancia.

Ejemplo 1.1.15. Dado el espacio vectorial V = {f : [0, 1] → R; f continua},entonces dmeta = |f(1) − g(1)| es una suedodistancia. No es distanciaporque si tomamos dos funciones f, h que sean distintas pero que coin-cidan en el punto 1, entonces dmeta(f, h) = 0. Podemos darle un senti-do a esta seudodistancia si observamos una función creciente en V con


f(0) = 0 puede ser considerada como la expresión del tiempo que tardaun corredor en pasar por cada punto de su carrera entre la salida en x = 0y la meta en x = 1. De esta forma dmeta mide la diferencia del tiempo dellegada.

Figura 1.5:

Definiremos ahora una distancia válida para cualquier conjunto.

Ejemplo 1.1.16. Dado un conjunto X, la aplicación d : X × X → R

definida por d(x, x′) =

{1, x 6= x′

0, x = x′ es una distancia, que denotaremos

distancia discreta.

1. Trivial por definición.

2. d(x, x′) = d(x′, x) por definición.

3. d(x, x′) = 0 si y sólo si x = x′.

4. La aplicación d sólo puede tomar los valores 0 y 1, luego la únicaposibilidad de que la desigualdad d(x, x′) ≤ d(x, x′′) + d(x′′, x′)falle sería si d(x, x′) = 1 pero entonces d(x, x′′) = 0 = d(x′′, x′). Sinembargo, este caso no puede ocurrir porque d(x, x′′) = 0 = d(x′′, x′)implica x = x′ = x′′, luego d(x, x′) = 0.

Proposición 1.1.17. No existe ninguna norma en R2 cuya distanciaasociada sea la discreta.

Demostración. (R.A.) Supongamos que existiese tal norma asociada || · ||y tomemos x 6= 0 (donde 0 es el origen de R2) y λ ∈ R, λ 6= 0. Entoncesλx 6= 0 y 1 = d(λx, 0) = ||λx−0|| = ||λx|| = |λ| · ||x|| = |λ|. Luego hemosprobado que |λ| = 1 para cualquier λ ∈ R, λ 6= 0. Contradicción.


Figura 1.6:

En el plano euclídeo (R2, deuclıdea)(plano), los círculos de centro unpunto x permiten medir la proximidad a ese punto.

Esta observación lleva a la siguiente definición general

Definición 1.1.18. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Dados x ∈ Xy ε > 0, se llama bola abierta de centro x y radio ε a

Bd(x, ε) = {y ∈ X; d(x, y) < ε}.

Una bola cerrada de centro x y radio ε es

Bd[x, ε] = {y ∈ X; d(x, y) ≤ ε}.

Una esfera de centro x y radio ε es

Sd[x, ε] = {y ∈ X; d(x, y) = ε}.

Ejemplo 1.1.19. En la recta euclídea (R, de), tenemos Bde(x, ε) = {y ∈

R, |x − y| < ε} = (x − ε, x + ε).

Ejemplo 1.1.20. En el plano euclídeo (R2, de), la bola Bde(0, ε) =

{(x1, x2) ∈ R2, de((x1, x2), 0) < ε} = {(x1, x2) ∈ R2,√

x21 + x2

2 < ε} ={(x1, x2) ∈ R2, x2

1 +x22 < ε2}, sería un círculo sin circunferencia de centro

(0, 0) y radio ε.

Ejemplo 1.1.21. En (R2, dtaxi), la bola abierta de centro 0 y radio εes Bdtaxi

(0, ε) = {(x1, x2) ∈ R2, dtaxi((x1, x2), 0) < ε} = {(x1, x2) ∈R2, |x1| + |x2| < ε}.

Si x1, x2 ≥ 0, entonces |x1| + |x2| < ε implica x1 + x2 < ε.Si x1, x2 ≤ 0, entonces |x1| + |x2| < ε implica −x1 − x2 < ε.


Figura 1.7:

Si x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, entonces |x1| + |x2| < ε implica x1 − x2 < ε.Si x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, entonces |x1| + |x2| < ε implica x2 − x1 < ε.Por tanto, Bdtaxi

(0, ε) sería un cuadrado sin su borde de centro 0 ycon esquinas en (ε, 0), (0, ε), (−ε, 0) y (0,−ε).

Ejemplo 1.1.22. En (R2, dmax), la bola abierta de centro 0 y radio εes Bdmax

(0, ε) = {(x1, x2) ∈ R2, dmax((x1, x2), 0) < ε} = {(x1, x2) ∈R2, max{|x1|, |x2|} < ε} = {(x1, x2) ∈ R2, |x1| < εy |x2| < ε}.

Por tanto, Bdmax(0, ε) sería un cuadrado sin su borde centrado en 0,

con sus lados (de longitud 2ε) paralelos a los ejes de coordenadas.

Figura 1.8:

Ejemplo 1.1.23. Sean X = {f : R → R, f es acotada} y la distanciad∞ = sup{|f(x)−g(x)|}. Si denotamos por θ la función constate nula, en-tonces Bd∞(θ, ε) = {f ∈ X, d∞(f, θ) < ε} = {f ∈ X, sup{|f(x)|} < ε} ={f ∈ X,−ε < |f(x)| < ε} = {f : R → R| gráfico de f está entre y =−ε e y = ε}.


Figura 1.9:

Ejemplo 1.1.24. Si tomamos X = R2, la distancia discreta ddiscreta y el

punto θ = (0, 0), entonces Bddiscreta(θ, ε) =

{{θ}, ε ≤ 1R2, ε > 1

Proposición 1.1.25. (Propiedades de las bolas abiertas)Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se cumplen:

1. Dados ε > 0 y x ∈ X, x ∈ Bd(x, ε).

1’. Si 0 < ε′ < ε, entonces Bd(x, ε′) ⊆ Bd(x, ε).

2. Si y ∈ Bd(x, ε), donde x, ε son arbitrarios, entonces existe δ > 0con Bd(y, δ) ⊆ Bd(x, ε).

3. Si z ∈ Bd(x, ε)∩Bd(x′, ε′), entonces existe µ > 0 tal que Bd(z, µ) ⊆

Bd(x, ε) ∩ Bd(x′, ε′).

Demostración. 1. Como d(x, x) = 0 < ε, entonces x ∈ Bd(x, ε).

1’. Si y ∈ Bd(x, ε′), entonces d(x, y) < ε′ < ε. Por tanto, d(x, y) < ε yconcluimos que y ∈ Bd(x, ε).

2. Como y ∈ Bd(x, ε), entonces d(x, y) < ε y podemos definir δ :=ε − d(x, y) > 0. Veremos ahora que Bd(y, δ) ⊆ Bd(x, ε). En efecto,si p ∈ Bd(y, δ), entonces d(y, p) < δ y d(x, p) ≤ d(x, y) + d(y, p) <d(x, y)+δ = d(x, y)+ε−d(x, y) = ε. Hemos probado que d(x, p) <ε, es decir, que p ∈ Bd(x, ε).

3. Si z ∈ Bd(x, ε) ∩ Bd(x′, ε′), entonces:

• z ∈ Bd(x, ε), luego existe δ con Bd(z, δ) ⊆ Bd(x, ε) por elapartado 2.

• z ∈ Bd(x′, ε′), luego existe δ′ con Bd(z, δ

′) ⊆ Bd(x′, ε′) por el

apartado 2.


Figura 1.10:

Figura 1.11:

Si tomamos µ = mın{δ, δ′} > 0, entonces Bd(z, µ) ⊆ Bd(z, δ) ⊆Bd(x, ε) y Bd(z, µ) ⊆ Bd(z, δ

′) ⊆ Bd(x′, ε′). Podemos concluir que

Bd(z, µ) ⊆ Bd(x, ε) ∩ Bd(x′, ε′).

Proposición 1.1.26. (Propiedad de separación de Hausdorff) Si (X, d)es un espacio métrico y x 6= x′ ∈ X, entonces existe ε > 0 tal queBd(x, ε) ∩ Bd(x

′, ε) = ∅.

Demostración. Como (X, d) es un espacio métrico, entonces d(x, x′) =λ > 0. Sea ε = λ/2. Afirmamos que Bd(x, ε) ∩ Bd(x

′, ε) = ∅.(R.A.) Si existiese y ∈ Bd(x, ε) ∩ Bd(x

′, ε), entonces d(x, y) < ε yd(x′, y) < ε. Luego d(x, x′) ≤ d(x, y) + d(y, x′) < ε + ε = 2ε = λ yconcluimos que d(x, x′) < λ, lo cual es absurdo.

Ejemplo 1.1.27. En R2, d((x, x′), (y, y′)) = |x − y| es seudodistan-cia pero no distancia porque d((0, 0), (0, 1)) = 0 < ε, luego (0, 1) ∈Bd((0, 0), ε), para todo ε > 0. Por tanto, Bd((0, 1), ε) ∩ Bd((0, 0), ε) 6= ∅para todo ε > 0.

El punto (0, 1) no se puede separar nunca del (0, 0).


1.2. Conjuntos que “envuelven” a sus puntos

Un círculo abierto del plano contiene todos los puntos del plano querodean su centro hasta una cierta distancia (el radio del círculo), igual-mente una bola abierta de un espacio (seudo)métrico. Más aún, de acuer-do con la propiedad 1.1.25(2), una bola abierta cualquiera contiene todoslos puntos vecinos de cada uno de sus puntos hasta una cierta distancia(que varía según el punto elegido). Pero tambíén figuras de aspecto ge-ométrico irregular pueden “envolver´´ a algunos de sus puntos (incluso atodos): bastará que contenga alguna bola abierta, por pequeña que sea,centrada en cada uno de esos puntos.

Figura 1.12:

Para fijar ideas establecemos las siguientes definiciones

Definición 1.2.1. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y A ⊆ X. Dec-imos que x ∈ X es un punto interior de A si existe ε > 0 tal queBd(x, ε) ⊆ A. En tal caso se dice que A es entorno de x en (X, d).

Se llama interior de A en (X, d), denotado por intA, a:

intA = {x ∈ X, x es interior a A}.

Un conjunto A ⊆ X se dice abierto en (X, d) si A = intA.

Proposición 1.2.2. 1. Se cumple que intA ⊆ A en todo espacio (seu-do)métrico (X, d).

2. Toda bola abierta en un espacio (seudo)métrico es un conjuntoabierto en (X, d).


Demostración. 1. Si x ∈ intA, entonces existe ε > 0 con Bd(x, ε) ⊆ A.Por el apartado 1 de la Proposición 1.1.25, x ∈ Bd(x, ε) ⊆ A, luegox ∈ A. Por tanto, intA ⊆ A.

2. Demostraremos que intBd(x, ε) = Bd(x, ε) por doble inclusión.

intBd(x, ε) ⊆ Bd(x, ε) por el apartado 1.

intBd(x, ε) ⊇ Bd(x, ε): Sea y ∈ Bd(x, ε). Por el apartado 2 de laProposición 1.1.25, existe δ > 0 tal que Bd(y, δ) ⊆ Bd(x, ε), luegoy ∈ intBd(x, ε).

El siguiente resultado muestra que todo çontrol de proximidad"tienea los abiertos y no la (seudo) distancia que los genera como elementofundamental.

Figura 1.13:

Proposición 1.2.3. En los espacios métricos (R2, de(euclídea)), (R2, dtaxi)y (R2, dmax), cualquier conjunto A ⊆ R2 tiene el mismo interior. Por tan-to, las familias de los conjuntos abiertos de los tres espacios coinciden.

Demostración. Si x = (x1, x2) ∈ intA en (R2, de(euclídea)), entonces ex-iste ε > 0 tal que Bde

(x, ε) ⊆ A. Ahora bien, Bde(x, ε) = {y = (y1, y2) ∈

R2, de(x, y) < ε} = {y ∈ R2,√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 < ε}, luego puedeverse fácilmente que:

Bdmax(x,

√2ε/2) ⊆ Bde

(x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA en (R2, dmax).

Bdtaxi(x, ε) ⊆ Bde

(x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA en (R2, dtaxi).


Figura 1.14:

Figura 1.15:

Sea x = (x1, x2) ∈ intA en (R2, dtaxi). Entonces existe ε > 0 tal queBdtaxi

(x, ε) ⊆ A. Como Bdtaxi(x, ε) = {y = (y1, y2) ∈ R2, dtaxi(x, y) <

ε} = {y ∈ R2, |x1 − y1| + |x2 − y2| < ε}, tenemos que:

Bde(x,

√2ε/2) ⊆ Bdtaxi

(x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA en (R2, de).

Figura 1.16:

Bdmax(x, ε/2) ⊆ Bde

(x,√

2ε/2) ⊆ Bdtaxi(x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA

en (R2, dmax).

El resto se deja como ejercicio (bastaría probar que si x ∈ intA en(R2, dmax), entonces x ∈ intA en (R2, de) y (R2, dtaxi)).

Corolario 1.2.4. Las bolas abiertas de (R2, de), son abiertos en (R2, dtaxi)y (R2, dmax). Análogamente para el resto de los casos.

Proposición 1.2.5. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces:


1. A ⊆ X es abierto en (X, d) si y sólo si A es entorno de todos suspuntos.

2. N ⊆ X es entorno de x en (X, d) si y sólo si existe un abierto Gen (X, d) con x ∈ G ⊆ N .

3. x es un punto interior de A en (X, d) si y sólo si existe un abiertoG con x ∈ G ⊆ A.

Demostración. 1. Si A ⊆ X es abierto, entonces A = intA. Por tanto,dado x ∈ A se tiene que x ∈ intA. Es decir, que A es entorno detodos x ∈ A.

Recíprocamente, si A es entorno de todo x ∈ A, entonces x ∈ intA,para todo x ∈ A por definición de entorno. Luego A ⊆ intA y,como la inclusión contraria siempre es cierta, concluimos que A esabierto.

2. Si N ⊆ X es entorno de x, entonces existe un ε > 0 tal queBd(x, ε) ⊆ N . Como las bolas abiertas son abiertos, entonces pode-mos definir G := Bd(x, ε), que es un abierto en (X, d). Como x ∈ G(por ser el centro de la bola), entonces x ∈ G ⊆ N .

Recíprocamente, supongamos que x ∈ G ⊆ N con G abierto. Porser G abierto, entonces G = intG y x ∈ intG. Por la definición deinterior, existe ε > 0 tal que Bd(x, ε) ⊆ G ⊆ N , luego x ∈ intN yobtenemos que N es entorno de x.

3. Por definición, x ∈ intA si y sólo si A es entorno de x.

Proposición 1.2.6. (Propiedades del interior) Sea (X, d) un espacio(seudo)métrico. Entonces:

1. intA ⊆ A.

2. Si A ⊆ B, entonces intA ⊆ intB.

3. int(A1 ∩ . . . ∩ An) = intA1 ∩ . . . ∩ intAn.

4. int(intA) = intA. En particular, intA siempre es abierto.

Demostración. 1. Ya hecha en el apartado 2 de 1.2.2.

2. Si x ∈ intA, entonces existe ε > 0 con Bd(x, ε) ⊆ A ⊆ B. Portanto, Bd(x, ε) ⊆ B y concluimos que x ∈ intB.


3. Demostraremos int(A1 ∩ . . .∩An) = intA1 ∩ . . .∩ intAn por dobleinclusión.

Siempre es cierto que A1 ∩ . . . ∩ An ⊆ Ai, (1 ≤ i ≤ n). Por tanto,int(A1 ∩ . . .∩An) ⊆ intAi, para todo i, y obtenemos int(A1 ∩ . . .∩An) ⊆ intA1 ∩ . . . ∩ intAn.

Si x ∈ intA1 ∩ . . . ∩ intAn, entonces x ∈ intAi para todo 1 ≤i ≤ n. Para cada i existe δi > 0 de forma que Bd(x, δi) ⊆ Ai. Sitomamos δ0 = mın{δi}1≤i≤n, Bd(x, δ0) ⊆ Bd(x, δi) ⊆ Ai, ∀i. Portanto, Bd(x, δ0) ⊆ ∩n

i=1Ai y concluimos que x ∈ ∩ni=1Ai.

4. Por el primer apartado, intA ⊆ A. Por el segundo, int(intA) ⊆intA. Veamos a continuación la otra inclusión.

Si x ∈ intA, entonces existe ε > 0 tal que Bd(x, ε) ⊆ A. Queremosprobar que x ∈ int(intA), es decir, que existe δ > 0 con Bd(x, δ) ⊆intA.

Ahora bien, nos sirve como δ el propio ε porque Bd(x, ε) ⊆ intA. Enefecto, dado y ∈ Bd(x, ε), por el apartado 2 de la proposición 1.1.25,existe µ > 0 on Bd(y, µ) ⊆ Bd(x, ε) ⊆ A. Por tanto, y ∈ intA yhemos probado que Bd(x, ε) ⊆ intA.

Proposición 1.2.7. (Propiedades básicas de los conjuntos abiertos enun espacio (seudo)métrico). Dado un espacio (seudo)métrico (X, d), secumplen:

1. Los conjuntos ∅ y X son abiertos en (X, d).

2. Si A1, . . . , An son abiertos en (X, d), entonces A1∩. . .∩An tambiénes abierto.


3. Si {Aα}α∈Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), en-tonces ∪α∈ΛAα también lo es.

Demostración. 1. El conjunto X es abierto en (X, d) porque dadosx ∈ X y ε > 0 cualesquiera, Bd(x, ε) ⊆ X por ser X el espaciototal, luego x ∈ intX, ∀x ∈ X.

Por otra parte, ∅ está contenido en cualquier conjunto, luego ∅ ⊆int∅. La otra inclusión siempre es cierta, luego ∅ = int∅ y con-cluimos que ∅ es abierto.

2. Si A1, . . . , An son abiertos en (X, d), entonces intAi = Ai paratodo 1 ≤ i ≤ n. Por la proposición anterior, obtendríamos que∩n

i=1Ai = ∩ni=1intAi = int(∩n

i=1Ai), luego ∩ni=1Ai es abierto.

3. Si {Aα}α∈Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), quere-mos probar que int(∪α∈ΛAα) = ∪α∈ΛAα.

La inclusión int(∪αinΛAα) ⊆ ∪α∈ΛAα es siempre cierta.

Veremos ahora que la otra inclusión también se cumple. Como Aα

es abierto, ∪α∈ΛAα = ∪α∈ΛintAα. El conjunto Aα está contenidoen ∪α∈ΛAα, luego intAα ⊆ int(∪α∈ΛAα), ∀α ∈ Λ por la proposi-ción 1.2.6. Por tanto, ∪α∈ΛintAα ⊆ int(∪α∈ΛAα) y concluimos que∪α∈ΛAα ⊆ int(∪α∈ΛAα).

Capítulo 2

Espacios topológicos

En el capítulo anterior vimos que distacias distintas podían dar lugara un mismo çontrol de proximidad". Por tanto debe existir una nociónsubyacente a la de distancia que nos lleve a la fundamentación general dela idea de proximidad. Esta estructura es la de topología como colecciónde subconjuntos sujetos a las condiciones que se reflejan en la propiedadesbásicas de los conjuntos abiertos de los espacios (seudo)métricos en laproposición 1.2.7. El relevo de una (seudo)distancia por la familia deabiertos permite establecer sobre un conjunto una estructura de proxim-idad sin valores numéricos.

2.1. La proximidad sin distancia

Definición 2.1.1. Dado un conjunto X cualquiera, se llama topología

sobre X a cualquier familia T de subconjuntos de X cumpliendo:

1. Los conjuntos ∅ y X están en T .

2. Si A1, . . . , An están en T , entonces ∩ni=1Ai también está en T .

3. Si {Aα}α∈Λ está formada por conjuntos en T , entonces ∪α∈ΛAα

también está en T .

Al par (X, d) se le llama espacio topológico. Los conjuntos de T sellaman abiertos del espacio topológico (X, T ).

Ejemplo 2.1.2. Si (X, d) es un espacio (seudo)métrico, entonces la fa-milia Td = {A ⊆ X; A es abierto en (X, d)} es una topología sobre X, lla-mada la topología asociada a la distancia d (bastaría usar las propiedadesbásicas de los conjuntos abiertos en espacios (seudo)métricos).

18

CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 19

Nota 2.1.3. Se cumple que Tdeuclıdea= Tdtaxi

= Tdmax, es decir, que el

espacio topológico asociado a las tres distancias es el mismo.

Definición 2.1.4. Sea (X, d) un espacio topológico. Si A ⊆ X y x ∈ X,decimos que x es interior a A en (X, T ) si existe un G en T conx ∈ G ⊆ A. En particular, ∈ A.

Se llama interior del conjunto A en (X, T ) al conjunto intA = {x ∈X; x es interior a A}.Nota 2.1.5. Observamos que intA ⊆ A siempre se cumple.

Proposición 2.1.6. El conjunto A está en T si y sólo si A = intA.

Demostración. Si A está en T , todo a ∈ A cumple que a ∈ A ⊆ A,luego a ∈ intA. Como A ⊆ intA y la otra inclusión se cumple siempre,entonces A = intA.

Recíprocamente, si intA = A, entonces todo a ∈ A cumple que a ∈intA, es decir, que existe Ga en T con a ∈ Ga ⊆ A. Como A = ∪a∈A{a} ⊆∪a∈AGa ⊆ A, luego A = ∪a∈AGa, que está en T por la tercera propiedadde la definición de topología.

Definición 2.1.7. Dado N ⊆ X, decimos que N es entorno de x ∈ Xen el espacio topológico (X, T ) si x ∈ intN .

Proposición 2.1.8. A está en T si y sólo si es entorno de todos suspuntos.

Demostración. Se deja como ejercicio.

Definición 2.1.9. Dado (X, d) un espacio topológico, se dice que x ∈ Aes un punto aislado en A ⊆ X si existe G en T con x ∈ G tal queG ∩ A = {x}.

En particular, x se dice aislado en X si existe G en T con G = {x}.Si un punto x ∈ A no es aislado en A, entonces para todos G en T y

x ∈ G se cumple que G ∩ A 6= {x}, es decir, que (G − {x}) ∩ A 6= ∅.Un punto no aislado se dice punto de acumulación; esto es

Definición 2.1.10. Dado un espacio topológico (X, T ) y A ⊆ X, deci-mos que x ∈ X es punto de acumulación de A si para todo abiertoG en (X, T ) con x ∈ G, se cumple que (G − {x}) ∩ A 6= ∅.Proposición 2.1.11. (Caracterización de puntos de acumulación en es-pacios métricos) Dados (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X, el puntox ∈ X es de acumulación de A si y sólo si todo abierto G en (X, d)contiene infinitos puntos de A.


Demostración. Si todo G contiene infinitos puntos de A, entonces el con-junto (G − {x}) ∩ A contiene también infinitos puntos. En particular,(G − {x}) ∩ A 6= ∅, luego x es de acumulación de A.

Recíprocamente, sea G un abierto en (X, d) con x ∈ G. Como Ges entorno de todos sus puntos, existe ε > 0 tal que Bd(x, ε) ⊆ G.Por hipótesis, (Bd(x, ε) − {x}) ∩ A 6= ∅, luego existe x1 ∈ A con x1 ∈Bd(x, ε) − {x}. Como x 6= x1 y d es distancia, ε > d(x, x1) = λ > 0.

Figura 2.1:

Sea ε1 = λ/2. Por hipótesis, (Bd(x, ε1) − {x}) ∩ A 6= ∅, luego existex2 ∈ A con x2 6= x. Además, d(x, x2) < ε1 = λ/2 < d(x, x1), luegox2 6= x1. Como x 6= x2, 0 < d(x, x2) = λ1 < ε1.

Sea ε2 = λ1/2 = λ/4. Por hipótesis, (Bd(x, ε2) − {x}) ∩ A 6= ∅, luegoexiste x3 ∈ A con x3 6= x. Además, d(x, x3) < ε2 < λ1/2 < d(x, x2) <d(x, x1), luego x3 6= x2 y x3 6= x1. Como x 6= x3, 0 < d(x, x3) = λ2 < ε2

y definimos ε3 = λ2/2.Reiterando el proceso obtenemos una sucesión de puntos distintos

{xn}n≥1 ⊆ Bd(x, ε) ⊆ G y podemos concluir que G contiene infinitospuntos de A.

Corolario 2.1.12. Si (X, d) es un espacio métrico y A = {a1, . . . , an}es un conjunto finito, todos sus puntos son aislados.

Definición 2.1.13. Dados (X, T ) un espacio topológico y un conjuntoA ⊆ X, decimos que x ∈ X es punto adherente a A si todo abierto Gde T con x ∈ G cumple G ∩ A 6= ∅.

Nota 2.1.14. Si x es de acumulación de A, entonces x es punto deadherencia de A.

Cualquier punto x ∈ A (aislado o no) siempre es punto adherente.


Definición 2.1.15. Se llama clausura de A al conjunto A = {x ∈X; x es adherente a A}.

Por la nota anterior, siempre se cumple A ⊆ A. Un conjunto A sellama cerrado en (X, T ) si A = A.

Ejemplo 2.1.16. Sea X un conjunto cualquiera y T la familia formadapor ∅ y todos los A ⊆ X con X − A finitos (Topología de Zariski).Comprobaremos a continuación que T es topología sobre X:

1. ∅ ∈ T por definición.

X ∈ T porque X − X = ∅, que tiene 0 elementos.

2. Dados A1, . . . , An ∈ T , tenemos dos casos posibles:

Si algún Ai = ∅, entonces A1 ∩ . . . ∩ An = ∅ ∈ T .

Si Ai 6= ∅, para todo 1 ≤ i ≤ n, entonces X − Ai es unconjunto finito para todo 1 ≤ i ≤ n. Como X − (∩n

i=1Ai) =∪n

i=1(X − Ai) es unión finita de conjuntos finitos, entonces esfinito y concluimos que ∩n

i=1Ai ∈ T .

3. Si {Aα}α∈Λ con Aα ∈ T para todo α ∈ Λ, queremos probar que∪α∈ΛAα ∈ T . Distinguiremos dos casos:

Si Aα = ∅ para todo α ∈ Λ, entonces ∪α∈ΛAα = ∅ ∈ T .

Si Aα06= ∅ para algún α0, entonces X − Aα0

es finito. Ahorabien, X − (∪α∈ΛAα) = ∩α∈Λ(X − Aα) ⊆ X − Aα0

(que esfinito), luego X − (∪α∈ΛAα) es finito y ∪α∈ΛAα ∈ T .

Proposición 2.1.17. Si X es infinito, no existe ninguna distancia dsobre X cuyos abiertos sean los conjuntos que aparecen en la topologíade Zariski.

Demostración. (R.A.) Supongamos que existiese tal distancia d con Td =T . Consideremos x, x′ ∈ X, con x 6= x′. Por la propiedad de separaciónde Hausdorff, existe ε > 0 con Bd(x, ε)∩Bd(x

′, ε) = ∅. Tomando comple-mentarios, obtendríamos que X = X − ∅ = X − (Bd(x, ε) ∩ Bd(x

′, ε)) =(X − Bd(x, ε)) ∪ (X − Bd(x

′, ε)) sería un conjunto infinito (porque porhipótesis X lo es).

Ahora bien, cada bola es un abierto en Td = T y x ∈ Bd(x, ε) 6=∅, luego X − Bd(x, ε) y X − Bd(x

′, ε) son conjuntos finitos. Por tanto,(X−Bd(x, ε))∪(X−Bd(x

′, ε)) sería un conjunto finito. Contradicción.


Nota 2.1.18. Se deja como ejercicio el demostrar que tampoco existe unaseudodistancia d sobre un conjunto infinito X para la cual la topologíade Zariski sea la familia de abiertos de (X, d).

Definición 2.1.19. Sea (X, d) un espacio topológico. Una sucesión {xn}n≥1

de X se dice que converge a x0 ∈ X (o equivalentemente, que x0 es unpunto límite de {xn}n≥1) en (X, T ) si para todo abierto G de (X, T ) conx0 ∈ G existe n0 tal que si n ≥ n0, entonces xn ∈ G.

Figura 2.2:

Proposición 2.1.20. Sea (X, d) un espacio métrico. Toda sucesión con-vergente en (X, d) tiene un único punto límite.

Demostración. (R.A.) Supongamos que {xn}n≥1 ⊆ X converge en (X, d)a x0 y a x1, con x0 6= x1. Aplicando la propiedad de separación de Haus-dorff de los espacios métricos, existe ε > 0 con Bd(x0, ε) ∩Bd(x1, ε) = ∅.Como {xn}n≥1 converge a x0, entonces existe n0 tal que xn ∈ Bd(x0, ε)si n ≥ n0.

Figura 2.3: Los puntos de la sucesión deben separarse para alcanzar losdos puntos límite

Por otro lado, como {xn}n≥1 converge a x1, existe n1 tal que xn ∈Bd(x1, ε) para todo n ≥ n1.


Si n > max{n0, n1}, entonces xn ∈ Bd(x0, ε) ∩ Bd(x1, ε) = ∅. Con-tradicción.

Definición 2.1.21. Un espacio topológico (X, T ) se dice que tiene lapropiedad de separación de Hausdorff (o que es un espacio de Haus-

dorff) si dados x, x′ ∈ X con x 6= x′, existen abiertos G, G′ en (X, T )tales que x ∈ G, x′ ∈ G′ y G ∩ G′ = ∅.Nota 2.1.22. Si (X, T ) es un espacio topológico de Hausdorff, entoncestoda sucesión convergente tiene un único punto límite.

Ejemplo 2.1.23. Sea (R2, d) con d((x, y), (x′, y′)) = |x − x′|.La sucesión (xn, yn) = (1/n, 0) converge a todo punto de la forma

(0, y). En efecto, sea G un abierto de (X, d) con (0, y) ∈ G(= intG).Entonces existe ε > 0 tal que Bd((0, y), ε) ⊆ G.

Figura 2.4:

Si escogemos n0 tal que 1/n0 < ε, entonces para todo n ≥ n0 secumple que d((0, y), (1/n, 0)) = 1/n ≤ 1/n0 < ε, luego (xn, yn) =(1/n, 0) ∈ Bd((0, y), ε) ⊆ G, ∀n ≥ n0.

Podemos concluir que el espacio no es de Hausdorff.

Proposición 2.1.24. (Caracterización de la clausura en espacios (seu-do)métricos). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes:

1. x ∈ A con x ∈ X y A ⊆ X.

2. Dado ε > 0, existe a ∈ A con d(x, a) < ε.

3. Existe {an}n≥1 ⊆ A con {an}n≥1 convergiendo a x.


Demostración. 1) ⇒ 2): Para cada ε > 0, Bd(x, ε) es abierto en (X, d)y x ∈ Bd(x, ε), luego Bd(x, ε) ∩ A 6= ∅ porque x ∈ A. Existe por tantoa ∈ A tal que a ∈ Bd(x, ε), es decir, d(x, a) < ε.

2) ⇒ 3) : Dado ε = 1, existe a1 ∈ A tal que a1 ∈ Bd(x, 1). Dadoε = 1/2, existe a2 ∈ A tal que a2 ∈ Bd(x, 1/2).

Figura 2.5:

Reiterando el proceso obtenemos una sucesión a1, . . . , an en A conan ∈ B(x, 1/n), es decir, d(x, an) < 1/n. Afirmamos que {an}n≥1 con-verge a x. En efecto, si G es abierto de (X, d) con x ∈ G, entonces existeδ > 0 con Bd(x, δ) ⊆ G.

Si n0 con 1/n0 < δ, se cumple que d(an, x) < 1/n < 1/n0 < δpara todo n ≥ n0. Luego an ∈ Bd(x, δ) ⊆ G y concluimos que {an}n≥1

converge a x.3) ⇒ 1) (Válido para todo espacio topológico):Sea G un abierto de (X, d) con x ∈ G. Como {an}n≥1 converge a x por

hipótesis, existe n0 con an ∈ G si n ≥ n0 (por definición de convergencia).Como an ∈ A, entonces an ∈ A ∩ G 6= ∅ y concluimos que x ∈ A por ladefinición de clausura.

Corolario 2.1.25. En un espacio (seudo)métrico, A es cerrado si y sólosi “para todo x ∈ X para el cual exista {an}n≥1 ⊆ A convergiendo a x setiene que x ∈ A”.

Demostración. Sabemos que A es cerrado si y sólo si A = A. La condición“para todo x ∈ X para el cual exista {an}n≥1 ⊆ A convergiendo a x setiene que x ∈ A” significa, gracias a la proposición anterior, que si x ∈ A,entonces x ∈ A. Por tanto A ⊆ A y, como la otra inclusión siempre escierta, A = A.


2.2. Propiedades de la clausura y el interior

Proposición 2.2.1. (Propiedades de la clausura y el interior. Análisisde la posición)

Sea (X, τ) un espacio topológico. Se cumple:1. Si A ⊆ X entonces A ⊆ A.2. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.3. A1 ∪ ... ∪ An = A1 ∪ ... ∪ An.

4. A = A. En particular, A siempre es cerrado.

Demostración. 1. Ya lo hemos observado antes.2. Sea x ∈ A, entonces, para todo abierto G de (X, τ) con x ∈ G se

tiene que G ∩ A 6= ∅. Como A ⊆ B, entonces G ∩ A ⊆ G ∩ B. Por lotanto, G ∩ B 6= ∅, y de ahí deducimos que x ∈ B. Luego A ⊆ B.

3. Por el apartado anterior, sabemos que si Ai ⊆ A1 ∪ ...∪An, ∀i, en-tonces, Ai ⊆ A1 ∪ ... ∪ An, para todo i. Por tanto,

⋃n

i=1 Ai ⊆ A1 ∪ ... ∪ An.Para la otra contención, sea x ∈ A1 ∪ ... ∪ An, por definición se tiene

que si G es cualquier abierto de (X, τ) con x ∈ G, se tiene que G∩ (A1 ∪... ∪ An) 6= ∅. Ahora, por reducción al absurdo:

Si x 6∈ A1 ∪ ... ∪ An, entonces x 6∈ Ai, ∀i. De este modo, existirá Gi

abierto, con x ∈ Gi y Gi ∩ Ai = ∅, ∀i. Ahora, sea Go =⋂n

i=1 Gi, éstees un abierto con x ∈ Go. Llegamos así a contradicción con G0 ∩ Ai ⊆Gi ∩Ai = ∅, ∀i, implicando G0 ∩ (A1 ∪ ...∪An) = ∅, que no se puede dar.

4. Aplicando el primer apartado, se tendrá que A ⊇ A. Para la otra

contención, tomamos x ∈ A. Entonces, para todo G abierto de (X, τ),con x ∈ G, G ∩ A 6= ∅. De este modo, existirá y ∈ A, con y ∈ G. Así,por la definición de la clausura, G ∩ A 6= ∅. Luego, x ∈ A, y, por tanto,

A ⊆ A.

Figura 2.6:


Proposición 2.2.2. (Dualidad abierto-cerrado)Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado A ⊆ X se tiene:1. A = X − int(X − A).2. int(A) = X − (X − A).En particular, A es abierto si y sólo si X − A es cerrado.

Demostración. 1. x ∈ A ⇐⇒ para todo G abierto de τ , con x ∈ G, G ∩A 6= ∅ ⇐⇒ para todo G abierto de τ , con x ∈ G, G * X − A ⇐⇒ x 6∈int(X − A) ⇐⇒ x ∈ X − int(X − A).

2. A partir del anterior apartado, cambiando A por X − A.De manera que, A abierto ⇐⇒ A = int(A) ⇐⇒(2) A = X−(X − A) ⇐⇒

X − A = (X − A) ⇐⇒ X − A es cerrado.

Proposición 2.2.3. (Propiedades de los cerrados)1. ∅ y X son cerrados.2. Si A1...An son cerrados, entonces

⋃n

i=1 Ai es cerrado.3. Si {Aα}α∈Λ es una familia de cerrados, entonces

⋂α∈Λ Aα es cer-

rado.

Demostración. 1. ∅ es abierto, luego X − ∅ = X es cerrado.X es abierto,luego X − X = ∅ es cerrado.2. Si Ai es cerrado, entonces X −Ai es abierto. Por tanto,

⋂n

i=1(X −Ai) = X − ⋃n

i=1 Ai es abierto, luego⋃n

i=1 Ai es cerrado.3. Si Aα es cerrado, entonces X−Aα es abierto. Luego, por propiedad

de los abiertos,⋃

α∈Λ(X − Aα) = X − ⋂α∈Λ Aα es abierto. Por tanto,⋂

α∈Λ Aα es cerrado.

Proposición 2.2.4. Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces, paratodo A ⊆ X, se tiene:

A = (A − A′) ∪ A′

donde A′ = {x ∈ X, x es punto de acumulación}.Demostración. Veamos la contención hacia la derecha. Si x ∈ A, distin-guimos:

-x ∈ A′, luego hemos terminado.-x 6∈ A′, luego existe G abierto, con x ∈ G y (G − {x}) ∩ A = ∅.

Entonces, x es el único punto en G ∩ A. Luego, x ∈ A − A′. Por tanto,x ∈ (A − A′) ∪ A′.

Para la otra contención, si x ∈ (A − A′) ∪ A′, distinguimos:-x ∈ A − A′, luego x ∈ A ⊆ A, quedando demostrado.-x ∈ A′. Entonces, para todo G abierto, con x ∈ G, se verifica que

(G − {x}) ∩ A = ∅, por lo que G ∩ A 6= ∅. Por tanto, x ∈ A.


Definición 2.2.5. Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado A ⊆ X, dec-imos que x ∈ X es un punto frontera de A si para todo conjunto Gabierto de (X, τ) con x ∈ G, se verifica que G∩A 6= ∅ y (X−A)∩G 6= ∅.

Se llama conjunto frontera de A aFrA = {x ∈ X, x punto frontera de A}

Proposición 2.2.6. FrA = A ∩ X − A

Proposición 2.2.7. Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces, paratodo A ⊆ X, se cumple:

A = int(A) ∪ X − AAdemás, int(A) ∩ FrA = ∅.

Demostración. Para la contención hacia la derecha, sea x ∈ A, distin-guimos:

-x ∈ int(A), luego x ∈ int(A) ∪ FrA, y hemos terminado.-x 6∈ int(A), entonces, para todo G abierto, con x ∈ G, se tiene que

G * A. De este modo, para todo G abierto con x ∈ G, se verifica queG∩ (X −A) 6= ∅. Entonces, x ∈ FrA, y de este modo, x ∈ int(A)∩FrA.

Para la contención hacia la izquierda, sea x ∈ int(A) ∪ FrA. Distin-guimos:

-x ∈ int(A) ⊆ A ⊆ A, luego x ∈ A.-x ∈ FrA = A ∩ X − A, luego x ∈ A.Finalmente, veamos que int(A) y FrA son disjuntos. Por reducción al

absurdo, supongamos que x ∈ int(A) ∩ FrA. En particular, x ∈ int(A),luego, existe un abierto G, con x ∈ G ⊆ A. Entonces, G ∩ (X − A) = ∅,por lo que x 6∈ FrA, que contradice la hipótesis.

Definición 2.2.8. Sea (X, τ) un espacio topológico, y A ⊆ X. Un el-emento x ∈ X se dice exterior a A si x ∈ int(X − A). Se define elexterior de A como:

ext(A) = int(X − A)

Proposición 2.2.9. Sea (X, τ) un espacio topológico, entonces:1. FrA = Fr(X − A)2. X = int(A) ∪ FrA ∪ ext(A)3. Los anteriores conjuntos son disjuntos entre sí.

Demostración. 1. FrA = A ∪ X − A = Fr(X − A).2. Tenemos que X = A ∪ (X − A). Como A = X − int(X − A), se

tendrá que X = int(A) ∪ FrA ∪ int(X − A) = int(A) ∪ FrA ∪ ext(A).


3. Sabemos que FrA ∩ int(A) = ∅. Por otro lado, FrA ∩ ext(A) =Fr(X −A)∩ int(X −A) = ∅. Y por último, int(A) ∩ ext(A) = int(A)∩int(X − A) ⊆ A ∩ (X − A) = ∅. Luego los conjuntos son disjuntos.

Ejemplo 2.2.10. (a) Si Z ⊆ R es el conjunto de los números enteros, setiene que int(Z) = ∅ y Z = Z en (R, euclídea), en particular FrZ = Z.Tenemos así que Z es cerrado (pero no abierto) en la recta euclídea.

(b) Si a < b, entonces los intervalos A = [a, b], B = (a, b), C = [a, b)y D = (a, b] como conjuntos de la recta euclídea cumplen:

1. int(A) = int(B) = int(C) = int(D) = (a, b)2. A = B = C = D = [a, b]3. FrA = FrB = FrC = FrD = {a, b}Así pues, A es un conjunto cerrado pero no abierto, B es un conjunto

abierto no cerrado y C y D no son ni abiertos ni cerrados.

(c) El Conjunto de Cantor es el conjunto cerrado de la recta eu-clídea C = ∩∞

n=1An obtenido como la intersección de los conjuntos cerra-dos (y esto prueba que C es un conjunto cerrado) obtenidos inductiva-mente al definir An+1 como el resultado de eliminar los intervalos abiertosque constituyen los tercios centrales de los intervalos que componen An.Se comienza con A1 = [0, 1].

Figura 2.7:


(d) Sea X = {f : [−1, 1] −→ R continua}, definimos el conjuntoA ⊆ X como A = {f ∈ X : f derivable}. Nos preguntamos si el conjuntoA es cerrado para la distancia del supremo d∞. Esta pregunta, puramentetopológica, equivale a probar que el límite respecto a d∞ de funcionesderivables es derivable que es un importantísimo resultado de Análisis.Para responder negativamente a la pregunta, tomamos f(x) = |x|, fun-ción no derivable, para que podemos encontrar una sucesión de funcionesderivables que tienden a f .

Figura 2.8:

Esto implica que A 6= A, por lo que A no es cerrado. De hecho sepuede demostrar que A = X, por lo que toda función continua es límitede funciones derivables respecto a la distancia del supremo d∞.

Definición 2.2.11. Sea (X, τ) un espacio topológico, A ⊆ X se dicedenso en (X, τ) si A = X.

Ejemplo 2.2.12. Sea (X, τ) un espacio topológico, y A ⊆ X. Sea lafamilia de subconjuntos de A,

τA = {A ∩ G, G ∈ τ}.Entonces, la familia τA es una topología sobre A, llamada topología

relativa a A (o restricción). A (A, τA) se le llama subespacio topológico

de (X, τ), y se tiene que C ⊆ A es un cerrado de (A, τA) si y sólo siC = {F ∩ A, F cerrado de (X, τ)}

En efecto: C ⊆ A cerrado de (A, τA) si y sólo si C = A − H , con Habierto en (A, τA) si y sólo si C = A−H y H = G∩A con G ∈ τ . LuegoC = A ∩ (X − H) = A ∩ (X − G), siendo X − G cerrado de (X, τ).

Además, si A abierto de (X, τ), entonces todos los abiertos de (A, τA)son abiertos de (X, τ). Del mismo modo se tendrá para los cerrados. Engeneral, los abiertos de (A, τA) no son abiertos de (X, τ).

Por ejemplo: sea (R2, euclídea), y A = R2+ = {(x, y) : y ≥ 0} el

semiplano superior.


Figura 2.9:

Entonces, A no es un abierto en (R2, euclídea). Ahora, tomando G =Bd(0, ε), que es abierto de (R2, euclídea), ocurre que G∩A no es abiertode (R2, euclídea), pero sí lo es de (A, euclídea|A)

Nota 2.2.13. Si B ⊆ A ⊆ X y (X, τ) espacio topológico, denotamos por

BX

a la clausura de B en (X, τ), y BA, a la clausura de B en (A, τA).

Probar que BA

= BX ∩ A.

Nota 2.2.14. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, y sea τd la topologíade los abiertos de (X, d). Dado A ⊆ X, denotamos por d|A a la distan-cia restricción cuyos abiertos forman la topología τd|A, entonces se tieneτd|A = (τd)A. Se deja como ejercicio comprobar la igualdad (Ayuda: setiene que para toda a ∈ A, Bd|A(a, ε) = Bd(a, ε) ∩ A).

2.3. Continuidad

Desde el punto de vista del análisis de la posición, una aplicacióncontinua debe preservar la estructura de proximidad; es decir, si un puntoestá adherido a un conjunto , entonces la imagen de aquel debe seguirpegado a la imagen del conjunto.

Figura 2.10:


Definición 2.3.1. Sean (X, τ) e (Y, τ ′) espacios topológicos. Una apli-cación f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) se dice continua si para todo A ⊆ X,se verifica que f(A) ⊆ f(A). Es decir, si para todo a ∈ A, entonces,f(a) ∈ f(A).

Proposición 2.3.2. (Caracterización de la continuidad por abiertos ycerrados)

Sean (X, τ) e (Y, τ ′) espacios topológicos, y sea una aplicación f :(X, τ) 7−→ (Y, τ ′). Son equivalentes:

(1) f es continua.(2) Si F es un cerrado en (Y, τ ′), entonces f−1(F ) es cerrado en

(X, τ).(3) Si G es un abierto en (Y, τ ′), entonces f−1(G) es abierto en (X, τ).

Demostración. (1) ⇒ (2) Sea F un cerrado en (Y, τ ′), veamos que f−1(F )es cerrado en (X, τ). Esto será cierto si f−1(F ) = f−1(F ), de modo quela contención hacia la izquierda se tiene siempre.

Para la otra contención, tomamos A = f−1(F ) ⊆ X. Entonces, por lacontinuidad de f , se tiene que f(f−1(F )) ⊆ f(f−1(F )). Ahora, tenemosque f(f−1(F )) ⊆ F , y por la monotonía de la clausura, f(f−1(F )) ⊆F = F . Aplicando lo anterior, se tiene que f(f−1(F )) ⊆ F . Luego, paratodo z ∈ f−1(F ), se verifica que f(z) ∈ F , luego z ∈ f−1(F ). Por tanto,se tiene la otra inclusión.

(2) ⇒ (3) Sea G abierto, entonces Y − G es cerrado. Como estamossuponiendo (2), f−1(Y −G) = X−f−1(G) es cerrado. Por tanto, f−1(G)es abierto.

(3) ⇒ (1) Sea y ∈ f(A), veamos que y ∈ f(A). Es decir, debemosprobar que para todo G abierto de (Y, τ ′) con y ∈ G, se tiene que G ∩f(A) 6= ∅. En efecto, si G abierto, entonces, por (3), f−1(G) es abiertode (X, τ). Como y ∈ f(A), existirá algún x ∈ A con f(x) = y. De modoque, como y ∈ G, x ∈ f−1(G). Ahora, como x ∈ A, cualquier abiertoque contenga a x corta a A. Así, por la definición de punto adherente,se tiene que f−1(G) ∩ A 6= ∅. Luego, existe a ∈ A con a ∈ f−1(G).Entonces, f(a) ∈ G∩f(A), es decir, G∩f(A) 6= ∅, que es lo que queríamosprobar.

Proposición 2.3.3. (Caracterización es espacios (seudo)métricos)Sea f : (X, d) 7−→ (Y, d′) una aplicación entre espacios (seudo)métricos.

Son equivalentes:(1) f es continua (con la caracterización por abiertos).


(2) Para todo x ∈ X y para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que sid(x, x′) < δ, entonces, d′(f(x), f(x′)) < ε. O equivalentemente, f(Bd(x, δ)) ⊆Bd′(f(x), ε).

Demostración. (1) ⇒ (2) Como Bd′(f(x), ε) es abierto de (Y, τ ′), por (1)sabemos que f−1(Bd′(f(x), ε)) es abierto con de (X, τ). De este modo, sif(x) ∈ Bd′(f(x), ε), entonces x ∈ f−1(Bd′(f(x), ε)). Así, por definiciónde abierto, f−1(Bd′(f(x), ε)) es entorno de x, luego existirá δ > 0 tal queBd(x, δ) ⊆ f−1(Bd′(f(x), ε)). Y por tanto, f(Bd(x, δ)) ⊆ Bd′(f(x), ε).

(2) ⇒ (1) Si G es abierto de (Y, d′), debemos probar que f−1(G) esabierto de (X, d). Es decir, hay que probar que f−1(G) es entorno de todossus puntos. En efecto, sea x ∈ f−1(G), entonces, como G abierto, existeε > 0 con Bd′(f(x), ε) ⊆ G. Por (2), existirá δ > 0 tal que f(Bd(x, δ)) ⊆Bd′(f(x), ε) ⊆ G. Luego, Bd(x, δ) ⊆ f−1(G), es decir, f−1(G) es entornode todos sus puntos.

Proposición 2.3.4. (Caracterización por convergencia)Sea f : (X, d) 7−→ (Y, d′) una aplicación entre espacios (seudo)métricos.

Son equivalentes:(1) f es continua.(2) Si {xn}n≥1 ⊆ X y {xn}n≥1 converge a x0 en (X, d), entonces

{f(xn)}n≥1 converge a f(x0) en (Y, d′).

Demostración. (1) ⇒ (2) Debemos probar que para cualquier G abiertode (Y, d′) con f(x0) ∈ G, existe un n0 tal que f(xn) ∈ G ∀n ≥ n0.En efecto, por 1. sabemos que f−1(G) es abierto de (X, d). Además, sif(x0) ∈ G, entonces x0 ∈ f−1(G). Por hipótesis, si {xn}n≥1 converge ax0, entonces existe n0 con xn ∈ f−1(G); es decir, f(xn) ∈ G para todon ≥ n0.

(2) ⇒ (1) Para ver que f es continua, debemos probar que f(A) ⊆f(A), para todo A ⊆ X. En efecto, sea y ∈ f(A), entonces existe x ∈A tal que y = f(x). Por la caracterización de la clausura en espacios(seudo)métricos, va a existir {an}n≥1 ⊆ A convergiendo a x. Entonces,por (2), {f(an)}n≥1 ⊆ f(A) converge a f(x). Luego, por propiedad de la

clausura, y = f(x) ∈ f(A). Por lo que hemos probado lo que queríamos.

Proposición 2.3.5. (Propiedades generales de las aplicaciones contin-uas)

a) Cualquier aplicación constante es continua.


b) La identidad id : (X, τ) 7−→ (X, τ) es continua.c) La composición de aplicaciones continuas es continua.d) La restricción de una aplicación continua es continua respecto de

la topología restricción (o relativa).Notar que b) + d) implica que toda inclusión i : (A, τA) 7−→ (X, τ) :

i(a) = a ∀a ∈ A, con A ⊆ X, es continua.

Demostración. Usaremos la caracterización por abiertos.a) Sea f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) constante. Es decir, f(x) = y0 ∈ Y ∀x ∈

X. Entonces, sea U ⊆ Y abierto en (Y, τ ′), tendremos que f−1(U) = ∅si y0 6∈ U , que es un abierto; y f−1(U) = X si y0 ∈ U , que también esabierto. Luego f es continua.

b) Sea U abierto de (X, τ), entonces id−1(U) = U . Luego la identidades continua.

c) Sean f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) y g : (Y, τ ′) 7−→ (Z, τ ′′) aplicacionescontinuas, y sea U abierto de (Z, τ ′′). Entonces, x ∈ (g ◦ f)−1(U) ⇔g(f(x)) = g ◦ f(x) ∈ U ⇔ f(x) ∈ g−1(U) ⇔ x ∈ f−1(g−1(U)) Es decir,(g ◦ f)−1(U) = f−1(g−1(U)), que es abierto por ser f continua, y serg−1(U) abierto por la continuidad de g. Por tanto, la composición deaplicaciones continuas es continua.

d) Sea f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) continua, y A ⊆ X. Entonces, sea f |A :(A, τA) 7−→ (Y, τ ′) la restricción dada por f |A(a) = f(a) ∀a ∈ A. Ahora,sea U ⊆ Y abierto de (Y, τ ′), sabemos que f−1(U) es abierto, y, por tanto,(f |A)−1(U) = A ∩ f−1(U), abierto para la topología restricción. Luego,la restricción es continua.

Proposición 2.3.6. Sea f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) continua, y f : (X, τ) 7−→(f(X), τ ′|f(X)) la restricción sobre la imagen, dada por f(x) = f(x) ∀x ∈X. Entonces f es continua.

Demostración. Sea U abierto de (f(X), τ ′|f(X)). Por definición se tieneque U = W ∩ f(X), con W un abierto de (Y, τ ′). De este modo, setiene que f−1(U) = f−1(W ) es abierto de (X, τ), pues f es continua yf−1(f(X)) = X.

Ejemplo 2.3.7. 1. Sea id : (X, τ) 7−→ (X, τ). No siempre la aplicaciónidentidad id : (X, τ) 7−→ (X, τ ′) va a ser continua si τ 6= τ ′. Por ejemplo,vamos a tomar las topologías τ asociada a la distancia euclídea, τ ′ a ladistancia discreta, y tomamos X = R. Entonces, sabemos que la sucesión{xn}n≥1 = { 1

n}n≥1 converge a 0 en la topología euclídea. Sin embargo, se


tiene que id(xn) = xn no converge a id(0) = 0, pues Bdiscreta(0, ε) = {0}para ε ≤ 1, y xn 6∈ {0} ∀n ≥ 1

2. Ahora, sea id : (R2,euclídea) 7−→ (R2,taxi). En este caso, id va a sercontinua, a pesar de tener distintas distancias definiendo las topologías delos espacios de salida y llegada. Análogo se tendrá que id : (R2,taxi) 7−→(R2,euclídea) es continua.

Definición 2.3.8. Una aplicación f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) se dice equiv-

alencia topológica (homeomorfismo) si f es biyectiva, y f y f−1 soncontinuas.

Ejemplo 2.3.9. Se tiene que id : (R,discreta) 7−→ (R,euclídea) es contin-ua (se prueba que las únicas sucesiones convergentes son las constantes),pero vimos que id−1 : (R,euclídea) 7−→ (R,discreta) no lo es. Por tanto,en este caso, la identidad no es una equivalencia topológica.

Proposición 2.3.10. Las proyecciones pi : (Rn,euclídea) 7−→ (R,euclídea),definidas como pi(x1, ..., xn) = xi, para 1 ≤ i ≤ n son siempre continuas.

Demostración. Aplicaremos el criterio ε−δ. Dado (x1, ..., xn) ∈ Rn y ε >0, debemos probar que si de((x1, ..., xn), (x′

1, ..., x′n)) =

√∑n

i=1(xi − x′i) <

δ, entonces |xi − x′i| < ε.

En efecto, basta tomar δ = ε, de manera que√∑n

i=1(xi − x′i) < ε,

deduciendo que |xi − x′i|2 < ε2, luego |xi − x′

i| < ε.

Proposición 2.3.11. Una aplicación f : (X, τ) 7−→ (Rn,euclídea) escontinua si y sólo si pi ◦ f : f : (X, τ) 7−→ (R,euclídea) es continua paratodo 1 ≤ i ≤ n.

Demostración. Para probar la implicación hacia la derecha basta ob-servar que como f y pi son continuas, la composición de aplicacionescontinuas es continua. Luego, pi ◦ f es continua para todo 1 ≤ i ≤ n.

Para la otra implicación, suponemos que cada pi ◦ f es continua.Entonces, sea U ⊆ Rn abierto de (Rn,euclídea), para ver que f es con-tinua, debemos probar que f−1(U) es abierto de (X, τ). Es decir, hayque probar que f−1(U) es entorno de todos sus puntos. En efecto, seax ∈ f−1(U), entonces f(x) ∈ U . Así, al ser U abierto euclídeo, vaa existir ε tal que, tomando, por ejemplo, la distancia del máximo,Bd(f(x), ε) ⊆ U . Entonces, si f(x1, ..., xn) = (y1, ..., yn), se tendrá queBd(f(x), ε) = {(z1, ..., zn) ∈ Rn : max{|yi − zi|} < ε} ⇔ |yi − zi| < ε∀i ⇔ zi ∈ (yi − ε, yi + ε) que es un abierto euclídeo en R.


Por tanto, como pi ◦f es continua, entonces (pi ◦f)−1(yi−ε, yi +ε) esabierto de (X, τ). Y además, (pi◦f)−1(yi−ε, yi+ε) = f−1(p−1

i (yi−ε, yi+ε)) = f−1(R×R× ...×(yi −ε, yi +ε)(i)× ...×R). De este modo, se tendráque x ∈ ⋂n

i=1 Ai = f−1(∏n

i=1(yi−ε, yi+ε)) = f−1(Bd(f(x), ε)) ⊆ f−1(U),luego f−1(U) es entorno de todos sus puntos.

Proposición 2.3.12. Si f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) es un homeomorfismo yG ⊆ X es un abierto de (X, τ), entonces f(G) es abierto de (Y, τ ′). Setendrá un resultado análogo para los cerrados.

Demostración. Al ser f un homeomorfismo, entonces f−1 : (Y, τ ′) 7−→(X, τ) es continua. Luego (f−1)−1(G) = f(G) es abierto de (Y, τ ′).

Definición 2.3.13. Una aplicación f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′) se dice abierta

si para todo abierto G de (X, τ), entonces f(G) es abierto de (Y, τ ′).Análogamente, se dice que f es cerrada si para todo cerrado F de (X, τ),entonces f(F ) es cerrado de (Y, τ ′).

Proposición 2.3.14. f es homeomorfismo si y sólo si es biyectiva, con-tinua y abierta, si y sólo si es biyectiva, continua y cerrada.

Demostración. Veamos la primera equivalencia. La implicación hacia laderecha se tiene por ser todo homeomorfismo una aplicación abierta.Recíprocamente, basta probar que f−1 es continua. En efecto, si G esabierto de (X, τ), entonces (f−1)−1(G) = f(G) va a ser abierto porhipótesis. Luego f−1 es continua, y, por tanto, f es un homeomorfismo.

La segunda equivalencia se hace de modo análogo.

Ejemplo 2.3.15. 1. Las proyecciones pi : (Rn,euclídea) 7−→ (R,euclídea)son aplicaciones abiertas y no cerradas.

En efecto, sea G abierto de (Rn,euclídea), debemos probar que pi(G)es entorno de todos sus puntos para ver que pi(G) es abierto de (R,euclídea).Entonces, sea x ∈ pi(G), se tendrá que existe y = (y1, ..., yn) ∈ G conyi = x. Por propiedad de los espacios euclídeos, va a existir ε > 0 talque Bd(y, ε) ⊆ G. De este modo, pi(Bd(y, ε)) = (x− ε, x + ε) ⊆ pi(G), esdecir, pi(G) es entorno de x.

Sin embargo no es cerrada. Basta ver un contraejemplo: sea F ={(x, y) : y = 1

x, x > 0} cerrado de (R2,euclídea) (ya que R2 − F es abier-

to). Sin embargo, p1(F ) = (0,∞), que no es cerrado.


Figura 2.11:

Figura 2.12:

2. Veamos un ejemplo de aplicación biyectiva y continua que no eshomeomorfismo. Sea f : ([0, 2π),euclídea) 7−→ (R2,euclídea), definidacomo f(t) = (cos t, sin t). Entonces, f es continua pues p1 ◦ f y p2 ◦ fson las aplicaciones cos t y sin t, respectivamente, que son continuas. Asíque, como f([0, 2π)) es la circunferencia unidad S1, vamos a definir f :([0, 2π),euclídea) 7−→ (S1,euclídea) la restricción de f .

Entonces, f es continua pues f lo es. Además, f es biyectiva. Sinembargo, f−1 no es continua, ya que tomando la sucesión (xn, yn) =

(cos(2π− 1n), sin(2π− 1

n)), ésta va a converger a (1, 0) ∈ S1, pero f−1(xn, yn) =

2π − 1n

no converge en [0, 2π) por hacerlo a 2π 6∈ [0, 2π).

3. Sean (a, b) y (a′, b′) intervalos de R. Definimos la aplicación f :((a, b),euclídea) 7−→ ((a′, b′),euclídea) como f(x) = y = b′−a′

b−a(x− a) + a′.

Entonces, esta aplicación es continua, biyectiva y su inversa, f−1(y) =b−ab′−a′

(y − a′) + a, también es continua. Luego, f es un homeomorfismo.Por tanto, todos los intervalos acotados de (R,euclídea) son homeomor-fos. De modo análogo, los intervalos de la forma (a,∞) y (a′,∞) van aser homeomorfos. Así como los de la forma [a, b] y [a′, b′], y (−∞, b) y(−∞, b′). Igualmente lo son (a,∞) y (−∞, b).

5. Se tiene que ((−π2, π

2),euclídea) y (R,euclídea) son homeomorfos.


Figura 2.13:

Basta tomar f(x) = tan x, por tratarse de una aplicación continua ybiyectiva, y ser f−1(y) = arctan y continua.

Figura 2.14:

6. También se tiene que ((0,∞),euclídea) y (R,euclídea) son homeo-morfos. En este caso, basta tomar f : (R,euclídea) 7−→ ((0,∞),euclídea) :f(x) = ex que es continua y biyectiva, y cuya inversa f−1(y) = log y escontinua.

Figura 2.15:

Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado:

Proposición 2.3.16. Todos los intervalos abiertos de R son homeomor-fos entre sí (incluyendo R).


Definición 2.3.17. Dada f : (R,euclídea) 7−→ (R,euclídea), se llamagráfica de f a Γf = {(x, y) : y = f(x)} ⊆ R2

Ahora, consideramos ϕf : (R,euclídea) 7−→ (R2,euclídea) definidacomo ϕf(x) = (x, f(x)). Entonces, ϕf es inyectiva, pues ϕf(x) = ϕf(x

′)implica que x = x′. Así, la restricción ϕf : (R,euclídea) 7−→ (Γf ,euclídea)va a ser una aplicación biyectiva. Y ϕf

−1((x, y)) = x, es decir, ϕf−1 es la

restricción de la proyección pi a Γf . Luego, ϕf−1 es continua.

De este modo, ϕf es continua, si y sólo si p1 ◦ ϕf = idR y p2 ◦ ϕf = fson continuas, si y sólo sif es continua. Por tanto, f es continua, si y sólosi ϕf es homeomorfismo entre (R,euclídea) y (Γf ,euclídea).

Definición 2.3.18. Una inmersión es una aplicación continua e in-yectiva f : (X, τ) 7−→ (Y, τ ′), cuya restricción a la imagen f : (X, τ) 7−→(f(X), τf(X)) es homeomorfismo.

Proposición 2.3.19. Si f es continua, ϕf es una inmersión de (R,euclídea)en (R2,euclídea).

Demostración. Si Γf = {(x, y) ∈ R × R2 : y = f(x)} ⊆ R3, se pruebaigual que antes que f es continua, si y sólo si ϕf es una inmersión (esdecir, ϕf es homeomorfismo).

Ejemplo 2.3.20. Dada la función f(x) = (cos x, sin x) ∈ R2, entoncesΓf = {(x, cos x, sin y) : x ∈ R} ⊆ R3 se trata de una hélice en R3. Portanto, toda hélice es una inmersión de la recta R en R3.


Figura 2.16:

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