Instituto Tecnológico - Universidad de Atacama Tecnólogo en Electricidad -Teoría de Circuitos - Circuitos de primer orden 1.- El siguiente ejemplo muestra el comportamiento de voltaje y corriente en un circuito RC serie

Voltaje en la fuente V(t) = V µ(t) (V) Inicialmente, el condensador esta descargado LKV: V(t) = VR(t) + VC(t)

V µ(t) = i(t)R + (1/C) ∫ i(t)dt / aplicando L

V (1/s) = I(s)R + (1/C) (1/s)I(s)

(V/s) = I(s)[R + (1/C) (1/s)] / multiplicando por s

V= I(s) [Rs + (1/C) ] / multiplicando por (1/R)

(V/R) = I(s) [s + (1/RC) ]

Sea K1 =(V/R) y K2=(1/RC), entonces

K1= I(s) [s + K2 ] I(s)= K1/ [s + K2 ] / aplicando L-1

i(t) = K1 e-K2t

i(t) = (V/R) e-t/RC (A)

V(t)C

R

i(t)V(t)

C

R

i(t)V(t)

C

R

i(t)V(t)

C

R

i(t)

Gráfica de corriente en un circuito RC serieV= 15V ; R=2200Ω; C=100uF

0

1

2

3

4

5

6

7

8

t (seg)

i(t) m

A

1

Ahora podemos calcular el voltaje en el condensador Vc(t) Vc(t)= (1/C) ∫ i(t)dt Vc(t)= (1/C) ∫ (V/R) e-t/RC dt Vc(t)= (V/RC) ∫ e-t/RC dt / Sea K=(1/RC) Vc(t)= (K V) ∫ e-Kt dt / L Vc(s) = (KV) (1/s(s+K)) / L-1

Vc(t) = (KV) [(1/K)(1-e-Kt)] Vc(t) = (V) (1-e-t/RC)(V) Note que al aplicar el teorema de transformación de fuentes, obtiene un circuito paralelo al condensador, con una fuente de corriente como elemento activo, pero los resultados de i(t) y Vc(t) se mantienen. Modelo del circuito en SW Electronics Workbench

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2.- El siguiente ejemplo muestra el comportamiento de voltaje y corriente en un circuito RL serie

Voltaje en la fuente V(t) = V µ(t) (V) Inicialmente, el inductor esta descargado LKV: V(t) = VR(t) + VL(t)

V µ(t) = i(t)R + L di(t)/dt / aplicando L

V (1/s) = I(s)R + LsI(s)

(V/s) = I(s)[R + Ls] / multiplicando por 1/L

(V/Ls)= I(s) [(R/L) +s ]

I(s) = (V/Ls) /[s + (R/L) ]

I(s) = (V/L) /[s(s + (R/L)) ]

Sea K1 =(V/L) y K2=(R/L), entonces

I(s)= K1 / [s(s + K2)] / aplicando L-1 i(t) = K1 [(1/K2)(1- e-K2t)] i(t) = (K1/K2) (1- e-K2t) i(t) = (V/R)(1- e-(R/L) t) (A)

Gráfica de corriente en un circuito RL serieV= 15V ; R=2200Ω; L=0,25 H

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

t (seg)

i(t) m

A

3

Ahora podemos calcular el voltaje en el inductor VL(t)= L [di(t)/dt] / aplicando L

VL(s)= Ls I(s), donde I(s) = K1 / [s(s + K2)] con K1 =(V/L) y K2=(R/L) VL(s)= V/(s+K2) / aplicando L-1 VL(t)= V e-(R/L) t (V)

Note que cuando t →∞, VL(t) →0, o sea, el inductor se comporta como un cortocircuito

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Simulación de Circuitos de Primer Orden en MATLAB Para el siguiente circuito RC, determine la FDT, la respuesta al escalón y el lugar geométrico de las raíces. Suponga que los parámetros son R=100Ω , C=100mF y la amplitud del escalón 12V.

La respuesta de un circuito RC, a una entrada escalón de amplitud A, es: Vc(t)= A‐ Ae‐t/RC = A(1‐e‐t/RC) Luego, la transformada de Laplace de la función del tiempo Vc(t) es:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−=

+−=

)1(1

)1(

1

)1(11

)1()(

RCssRCA

RCssRCA

RCssA

RCsA

sAsVc

El voltaje de salida Vo(s), corresponde a Vc(s) Por otro lado, la señal de entrada, expresada en la variable compleja s, es: Vi(s)=A/s Por lo tanto, la función de transferencia esta dada por:

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⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=×

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+==

)1(11

)1(1

RCsRCAs

RCssRCA

Vi(s)Vo(s)

FDT

Reemplazamos los parámetros:

1,01,0

1,011,0

)101(

1101

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=

sssFDT

Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego vemos la respuesta al escalón con la instrucción step(f) >>n=[0 0.1] >>d=[1 0.1] >>f=tf(n,d) >>step(f)

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Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego vemos el lugar geométrico de las raíces con la instrucción rlocus(f) >>n=[0 0.1] >>d=[1 0.1] >>f=tf(n,d) >>rlocus(f) Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego obtenemos el diagrama de bode, con la instrucción bode(f) >>n=[0 0.1]

>>d=[1 0.1] >>f=tf(n,d) >>bode(f)

7

Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego obtenemos el diagrama de nyquist, con la instrucción nyquist(f) >>n=[0 0.1] >>d=[1 0.1] >>f=tf(n,d) >>nyquist(f)

Supongamos que en el circuito RL de la figura R=50Ω y L=2,5H. Buscamos la FDT , donde el voltaje de salida es el voltaje en la bobina y la entrada corresponde a un escalón de amplitud A. Entonces tenemos las siguientes ecuaciones:

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La respuesta de un circuito RL, a una entrada escalón de amplitud A, es: VL(t)= Ae

‐(R/L)t

Luego, la transformada de Laplace de la función del tiempo VL(t) es:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=

)()(

LRs

AsVL

El voltaje de salida Vo(s), corresponde a V L(s) Por otro lado, la señal de entrada, expresada en la variable compleja s, es: Vi(s)=A/s Por lo tanto, la función de transferencia esta dada por:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=×

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+==

)()( LRss

As

LRsA

Vi(s)Vo(s)

FDT

Reemplazamos los parámetros:

20+=

ss

FDT

9

Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego vemos la respuesta al escalón con la instrucción step(f) >>n=[1 0] >>d=[1 20] >>f=tf(n,d) >>step(f) Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego vemos el lugar geométrico de las raíces con la instrucción rlocus(f) >>n=[1 0] >>d=[1 20] >>f=tf(n,d) >>rlocus(f)

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Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego obtenemos el diagrama de bode, con la instrucción bode(f) >>n=[1 0] >>d=[1 20] >>f=tf(n,d) >>bode(f)

Ingresamos la función de transferencia a MATLAB y luego obtenemos el diagrama de nyquist, con la instrucción nyquist(f) >>n=[1 0] >>d=[1 20] >>f=tf(n,d)

>>nyquist(f)

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