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ELECTROMAGNETISMO, CIRCUITOS YSEMICONDUCTORES

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Manuel Arrayas y Jose Luis Trueba

ELECTROMAGNETISMO, CIRCUITOS

Y SEMICONDUCTORES

Universidad Rey Juan Carlos

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CREDITOS A RELLENAR POR LA EDITORIAL

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A los que estan siempre ahı,incluso cuando se les necesita.

Manuel Arrayas

A mis chicas Maite, Ainhoa, Cristina y Lucıa,y a todos los que nos han apoyado.

Jose Luis Trueba

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Contenidos

Contenidos IX

Prefacio XI

1. Cinematica y vectores 1

1.1. Unidades del Sistema Internacional 1

1.2. Magnitudes escalares y vectoriales 2

1.3. Vectores 3

1.4. Vector velocidad 7

1.5. Vector aceleracion 9

1.6. Componentes intrınsecas de la aceleracion 12

1.7. Ejercicios 15

2. Dinamica 17

2.1. Leyes de Newton 17

2.2. Trabajo 19

2.3. Energıa 22

2.4. Sistemas de partıculas: centro de masas 25

2.5. Momento angular 25

2.6. Rotaciones planas de un cuerpo rıgido 28

2.7. Ejercicios 31

3. Carga electrica 33

3.1. Propiedades de las cargas electricas 33

3.2. Fuerza electrostatica 34

3.3. Conductores y dielectricos 36

3.4. Procesos de carga en conductores y dielectricos 37

3.5. Ejercicios 39

4. Campo electrico 41

4.1. Campo electrico creado por cargas puntuales 41

4.2. Distribuciones continuas de carga 43

4.3. Movimiento de una carga de prueba 46

4.4. Energıa potencial electrostatica 47

4.5. Potencial electrostatico 48

4.6. Ejercicios 51

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x Contenidos

5. Ley de Gauss 53

5.1. Flujo electrico 53

5.2. Ley de Gauss 54

5.3. Campo creado por una esfera homogenea 56

5.4. Campo creado por un cilindro homogeneo 58

5.5. Campo creado por un plano homogeneo 60

5.6. Campo creado por un condensador plano 62

5.7. Ejercicios 63

6. Campo electrico en los medios materiales 65

6.1. Conductores en equilibrio electrostatico 65

6.2. Campo y potencial creados por una esfera conductora 68

6.3. Campo electrico en un dielectrico 70

6.4. Capacidad y condensadores 73

6.5. Almacenamiento de energıa electrica 76

6.6. Ejercicios 78

7. Corriente electrica 81

7.1. Corriente electrica en un cable conductor 81

7.2. Ley de Ohm 84

7.3. Fuerza electromotriz 88

7.4. Potencia en los circuitos electricos 90

7.5. Ejercicios 92

8. Magnetismo 95

8.1. Fuerza magnetica 95

8.2. Carga de prueba en un campo magnetico uniforme 97

8.3. Fuerza magnetica sobre una corriente electrica 101

8.4. Momento de torsion magnetico sobre una espira 103

8.5. Ejercicios 107

9. Campo magnetico 109

9.1. Campo magnetico creado por cargas puntuales 109

9.2. Ley de Biot-Savart 110

9.3. Campo magnetico creado por una espira circular 113

9.4. Campo magnetico creado por un solenoide 115

9.5. Ley de Gauss del magnetismo 117

9.6. Ley de Ampere 119

9.7. Ejercicios 122

10.Materiales magneticos 125

10.1. Momento magnetico de un electron 125

10.2. Magnetizacion 126

10.3. Diamagnetismo 128

10.4. Paramagnetismo 130

10.5. Ferromagnetismo 131

10.6. Ejercicios 133

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Contenidos xi

11.Induccion electromagnetica 135

11.1. Fem inducida 13511.2. Fem de movimiento 13511.3. Ley de Faraday 13711.4. Ley de Lenz 13911.5. Induccion mutua y autoinduccion 14011.6. Energıa magnetica almacenada en un inductor 14211.7. El generador electrico 14311.8. Ejercicios 146

12.Ondas electromagneticas 149

12.1. Ecuaciones de Maxwell 14912.2. Movimiento ondulatorio 15212.3. Ondas electromagneticas en el vacıo 15512.4. Espectro electromagnetico 16012.5. Ejercicios 161

13.Circuitos elementales 163

13.1. Elementos localizados 16313.2. Leyes de Kirchhoff 16413.3. Resistencias 16513.4. Resistencias en serie y en paralelo 16613.5. Divisor de voltaje 16713.6. El puente de Wheatstone 16813.7. Multımetros 16913.8. Ejercicios 170

14.Circuitos equivalentes 173

14.1. Equivalente Thevenin 17314.2. Equivalente Norton 17614.3. El efecto de la carga 17714.4. Ejercicios 180

15.Circuitos que dependen del tiempo 183

15.1. Condensadores 18315.2. Condensadores en serie y en paralelo 18415.3. Carga de un condensador mediante una fuente de corriente 18515.4. Descarga de un condensador a traves de una resistencia 18515.5. Circuito RC - Integrador 18715.6. Circuito CR - Diferenciador 18815.7. Inductores 19015.8. El transformador 19115.9. Ejercicios 192

16.Analisis en frecuencia de circuitos reactivos 195

16.1. Se nales armonicas 19516.2. Potencia y decibelios 19716.3. Analisis en frecuencia 19916.4. Fasores 20016.5. Ley de Ohm generalizada 203

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xii Contenidos

16.6. Potencia en circuitos reactivos 20516.7. Ejercicios 205

17.Filtros 207

17.1. Se nales con ruido 20717.2. Circuito CR - filtro pasa alta 20817.3. Circuito RC - filtro pasa baja 20917.4. Graficas de Bode 21017.5. Circuitos resonantes - filtros de ancho de banda 21217.6. Dise no de un filtro 21417.7. Ejercicios 215

18.Semiconductores 217

18.1. Semiconductores, metales y dielectricos 21718.2. Teorıa de bandas para la conduccion 21818.3. Semiconductores intrınsecos 22018.4. Semiconductores extrınsecos 22318.5. Movimiento de electrones y huecos 22618.6. Difusion 23018.7. Ejercicios 233

19.Barreras y Uniones 235

19.1. La barrera del borde 23519.2. Uniones p-n 23919.3. Diodos 24219.4. Polarizacion inversa de un diodo 24219.5. Polarizacion directa 24419.6. Aplicaciones de los diodos 24719.7. Ejercicios 250

20.Transistores bipolares 253

20.1. Un poco de historia 25320.2. Transistores bipolares 25320.3. La ecuacion de Ebers-Moll 25720.4. La velocidad de respuesta del transistor 26020.5. Ejercicios 263

21.Transistores de efecto campo 265

21.1. Principios basicos 26521.2. JFET, transistores de efecto campo de union p-n. 26621.3. MOSFET, transistor de campo de oxido de metal. 26721.4. Curvas universales caracterısticas de los FET 26921.5. Principales parametros de los FET 27121.6. Ejercicios 272

22.Circuitos con diodos 274

22.1. Curva caracterıstica I-V para un diodo 27422.2. Rectificacion 27522.3. Fuente de voltaje no regulada 27522.4. Circuito regulador con diodo Zener 27822.5. Limitadores 279

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Contenidos xiii

22.6. Ejercicios 280

23.Circuitos con transistores 282

23.1. Amplificador de corriente 28223.2. Interruptor 28323.3. Seguidor de emisor 28523.4. Fuente de corriente 28823.5. Amplificador de emisor comun 28923.6. La ecuacion de Ebers-Moll aplicada 29123.7. Ejercicios 293

Referencias 296

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Prefacio

Este libro esta pensado para impartir un curso introductorio de Electromag-netismo, Teorıa de Circuitos y Semiconductores. Al estar dirigido principalmente aalumnos de los primeros cursos de Ingenierıa, Informatica y Ciencias Experimentales,no se presuponen mas conocimientos que los normales de cursos preuniversitarios.

Aunque el material se presenta de manera secuencial y unificada, cubrir todo enun semestre serıa una tarea demasiado ambiciosa. Cada capıtulo se divide en secciones,algunas de las cuales pueden omitirse. Se ha incluido suficiente material para que elinstructor tenga cierta flexibilidad a la hora de dise nar el curso. Los temas 1 y 2 son unbreve resumen de algebra vectorial y mecanica. El resto de los conceptos necesarios seintroducen cuando se hace uso de ellos. Un curso de electromagnetismo basico deberıaincluir los capıtulos del 3 al 12. Para una introduccion a la Teorıa de Circuitos podrıanseguirse los temas 13, 14, 15, 16, 17, 22 y 23 de manera autocontenida. Para un cursode Semiconductores, los capıtulos del 18 al 21.

El libro tambien incluye numerosos ejemplos, figuras y problemas al final de cadacapıtulo. Se ha dado la solucion de cada problema para que el estudiante pueda porsı mismo comprobar su progreso. Al final del libro se han incluido las referenciasbasicas que hemos manejado para escribirlo, ası como un detallado ındice de losconceptos y materias tratados.

Queremos agradecer a las doctoras Inmaculada Leyva e Irene Sendi na sus correc-ciones y sugerencias. En un libro como este es inevitable que algunos errores hayansido pasados por alto, de los cuales somos los unicos responsables. Finalmente, damoslas gracias a nuestros alumnos por lo que hemos aprendido de ellos.

Los autoresFuenlabrada, 2007

xv

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Capıtulo 1

Cinematica y vectores

1.1. Unidades del Sistema Internacional

Cualquier disciplina cientıfica trata de observar una parte de la naturaleza y cuan-tificar sus propiedades. Para ello, hay que convertir lo observado en una magnitudque pueda compararse con otras magnitudes semejantes, lo que se hace utilizandociertos patrones convencionales que conforman un sistema de unidades. Ası se eligeun conjunto de magnitudes fundamentales y sus correspondientes unidades para suutilizacion practica. Aquı se usara el Sistema Internacional (SI), en el cual las mag-nitudes fundamentales y sus correspondientes unidades son las que se pueden ver enla Tabla 1.1.

Ademas de estas unidades fundamentales se definen tambien las llamadas uni-

dades derivadas, que son productos y cocientes de las unidades fundamentales sin lainclusion de factores numericos. Un ejemplo bien conocido es el newton (N), la uni-dad de fuerza, que se puede expresar en terminos de unidades fundamentales como1N = 1kg ·m · s−2. Tambien utilizamos una unidad suplementaria para medir angulosplanos, el radian (rad), unidad definida de tal modo que la medida de un angulo enradianes es la longitud del arco de la circunferencia de radio unidad que abarca eseangulo.

La enorme diversidad de escalas que abarca la fısica (desde el electron y los quarksa las galaxias y cumulos de galaxias) hace necesario adquirir cierta familiaridad con

Magnitud Unidad Sımbolo

Longitud metro mTiempo segundo sMasa kilogramo kgCantidad de sustancia mol molTemperatura kelvin KCarga electrica culombio CIntensidad luminosa candela cd

Tabla 1.1. Magnitudes y unidades fundamentales en el Sistema Internacional.

1

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2 Cinematica y vectores

Prefijo Significado Sımbolo

tera 1012 Tgiga 109 Gmega 106 Mkilo 103 kmili 10−3 mmicro 10−6 µnano 10−9 npico 10−12 p

Tabla 1.2. Algunos multiplos y submultiplos de las unidades del SI.

los prefijos que se utilizan para indicar multiplos y submultiplos de las unidades.Algunos de estos prefijos se pueden ver en la tabla 1.2.

Analisis dimensional

Una tecnica que permite muchas veces valorar un problema de manera cualitativa es elanalisis dimensional. Consiste en asignar una dimension a cada magnitud fısica, queha de relacionarse por productos y potencias con las dimensiones de las magnitudesfundamentales de la tabla 1.3.

La dimension de una magnitud fısica cualquiera permite conocer su relacion conlas magnitudes fundamentales. Por ejemplo, la densidad de masa de un cuerpo tienedimension [Densidad] = ML−3, pues es una masa dividida por una longitud al cubo(volumen), indistintamente del sistema de unidades usado. De aquı, la unidad de ladensidad en el Sistema Internacional es 1 kg ·m−3.

A veces se usan combinaciones de magnitudes fısicas cuyo resultado no tienedimensiones ni unidades. Como ejemplos, recordemos el ındice de refraccion de unmedio, la densidad relativa de un cuerpo respecto a la del agua, etc. Tambien haycantidades a las que se le asigna una unidad pero no tienen dimension. Ejemplos sonlos angulos medidos en radianes o los niveles de ruido medidos en decibelios.

Uno de los aspectos mas utiles del analisis dimensional es que permite un sencillotest para determinar la incorreccion de una ecuacion, pues cada termino de una ecua-cion debe tener la misma dimension que el resto de terminos. Veamos un ejemplo.Al hacer un problema de dinamica hemos obtenido que la aceleracion de un cuerpoes a = F/m + vt, donde F es una fuerza aplicada sobre el cuerpo, m es la masa delcuerpo, v es su velocidad y t es el tiempo. Esta ecuacion no puede ser correcta, pues ladimension del tercer termino es L, mientras que la dimension del primer y del segundotermino es LT−2.

1.2. Magnitudes escalares y vectoriales

La cinematica describe el movimiento de los cuerpos. Comenzaremos estudiando elmovimiento de una partıcula puntual (un punto material sin volumen). Esto permitedescribir aproximadamente el movimiento de los cuerpos cuando ni la forma ni las

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Vectores 3

Dimension Sımbolo

[Longitud] L[Tiempo] T[Masa] M[Cantidad de sustancia] N[Temperatura] Θ[Carga electrica] Q[Intensidad luminosa] Cd

Tabla 1.3. Dimensiones fundamentales.

dimensiones del cuerpo tienen importancia en el movimiento. Este es el caso de uncoche circulando por una autopista. Pero hay que tener cuidado, pues con el movi-miento tipo partıcula puntual no podrıamos analizar adecuadamente un trompo queel coche sufriera durante el viaje. Otro ejemplo: la Tierra se puede considerar unpunto material cuando estudiamos su movimiento alrededor del Sol, pero no cuandoestudiamos su rotacion alrededor de un eje que pasa por su centro, en la cual inter-vienen su forma y sus dimensiones. Dejaremos el estudio de las rotaciones para masadelante, centrandonos ahora en la cinematica de la partıcula.

En general, a medida que transcurre el tiempo, la posicion de la partıcula cambia.Para estudiar la relacion entre posicion y tiempo, primero hemos de elegir un origende espacio y de tiempo. Para el tiempo, clasicamente no hay demasiados problemas,pues podemos elegir el instante t = 0 como aquel en que nos interesa empezar aestudiar el movimiento. Con respecto a el, cualquier instante posterior t viene dadopor un numero y una unidad (en el SI es el segundo). Una cantidad fısica que, comoel tiempo, viene dada por un solo numero y una unidad se llama magnitud escalar.Otras magnitudes escalares son la masa, la carga, la temperatura, etc.

Para determinar la medida del espacio tenemos una complicacion extra. Escoja-mos un origen de espacios, que llamaremos punto O. Imaginemos que queremos darla posicion de otro punto P . Hay infinitos puntos que estan a la misma distancia queP del origen O (todos ellos situados en la superficie de una esfera). Con respectoal origen, P no queda determinado por un unico numero y una unidad. Esto ocurreporque la posicion no es una magnitud escalar, sino una magnitud vectorial y nece-sita en general mas de un numero, ademas de una unidad, para determinarla. Otrasmagnitudes vectoriales en fısica son la velocidad, la fuerza, el campo electrico, etc.Ası como las magnitudes escalares se manipulan siguiendo las reglas de la aritmetica,que suponemos bien conocidas, las magnitudes vectoriales se manipulan con las reglasdel algebra vectorial que resumimos en el siguiente apartado.

1.3. Vectores

Un vector a en el espacio tridimensional de la fısica clasica se puede representargraficamente mediante un segmento de recta orientado con origen en un punto P yextremo en un punto Q (figura 1.1).

El modulo del vector a es el valor numerico de la distancia entre el punto origen

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4 Cinematica y vectores

Q

P

a

P

Q

a

Figura 1.1. El vector a tiene como origen

el punto P y como extremo el punto Q,

como indica la flecha.

a a+b a−b

b

Figura 1.2. Metodo grafico para hallar

la suma y la resta de dos vectores.

P y el punto extremo Q. Lo denotaremos por |a| o simplemente a.La direccion de a es la dada por la recta sobre la cual estan P y Q.El sentido de a viene determinado por la flecha, que indica que el vector va desdeP hasta Q.

Modulo, direccion y sentido son las tres propiedades que determinan un vector. Esconveniente definir lo que se conoce como vector unitario y vector opuesto a uno dado.

Un vector unitario es cualquiera que tenga modulo igual a uno (sin dimensiones).Dado un vector a, su vector opuesto −a es aquel que tiene mismo modulo ydireccion que a pero sentido contrario.

Se definen dos operaciones basicas que conforman lo que se conoce como algebra devectores.

Multiplicacion de un escalar p por un vector a. Esta multiplicacion da como resul-tado otro vector pa con las siguientes caracterısticas: (1) tiene la misma direccionque a, (2) su modulo es igual al producto del valor absoluto de p multiplicadopor el modulo de a, es decir, |pa| = |p||a|, y (3) su sentido es igual al de a, si p espositivo, y contrario al de a si p es negativo. Se dice que, con respecto al vectora, el vector pa es paralelo si p es positivo y antiparalelo si p es negativo.Suma de dos vectores. El vector suma a + b es otro vector que se calcula grafi-camente con la regla del paralelogramo (figura 1.2). Se define tambien la restaa−b de dos vectores como el vector obtenido sumando el primero al opuesto delsegundo.

Sistema de referencia

Para manipular los vectores se elige un sistema de referencia dado por un punto origen

y una base de vectores. Una base, en el caso tridimensional, es un conjunto de tresvectores diferentes, no paralelos y no coplanarios. De esta manera, cualquier vectorse puede escribir como combinacion lineal de los vectores de la base.

Utilizaremos fundamentalmente el sistema de referencia cartesiano de coordena-das rectangulares, que constituye el triedro de la figura 1.3. Esta formado por el puntoorigen O, y tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares, con origen en O,llamados i, j, k. Estos vectores se colocan de tal manera que el triedro que forman esdextrogiro, esto es, el giro de cada uno de ellos hacia el siguiente se hace a derechas(en sentido contrario al de las agujas de un reloj). La direccion que determina el vector

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Vectores 5

y

j

O

z

k

i

x

Figura 1.3. El sistema de referencia de

coordenadas cartesianas esta formado por

el origen O y los vectores unitarios i, j y

k, que son mutuamente perpendiculares.

ay

a

O

az

ax

Figura 1.4. Componentes de un vector a

en el sistema de referencia de coordenadas

cartesianas.

i se conoce con el nombre de eje x, la que determina el vector j se llama eje y, y laque determina el vector k se llama eje z.

Veamos como se expresa un vector a en el sistema de referencia de coordenadascartesianas (figura 1.4):

Lo primero es colocar el origen de a en el punto O.El extremo de a se proyecta mediante planos perpendiculares sobre cada eje.La distancia desde O hasta la proyeccion del extremo del vector a sobre el eje x sellama componente x del vector a y se escribe ax (notese que ax es una magnitudescalar y esta dada por un numero y una unidad, por ejemplo ax = 0, 5m). Delmismo modo, la distancia del origen a la proyeccion del extremo del vector a

sobre el eje y se llama componente y del vector a y se escribe ay. Finalmente,la distancia del origen a la proyeccion del extremo del vector a sobre el eje z sellama componente z del vector a y se escribe az.Una vez se han determinado las componentes de a en el sistema de referencia, sepuede escribir

a = axi+ ayj+ azk. (1.1)

Cuando se utiliza el sistema de referencia O, i, j,k, las operaciones entre vectoresque hemos definido quedan:

La multiplicacion de un numero p por un vector a tiene como resultado otrovector (pa) de componentes

pa = (pax) i+ (pay) j+ (paz)k. (1.2)

La suma de los vectores a y b es un vector que tiene por componentes

a+ b = (ax + bx) i+ (ay + by) j+ (az + bz)k. (1.3)

Por aplicacion directa de la regla dada por la ecuacion (1.2), el vector opuesto alvector a es

−a = −axi− ayj− azk. (1.4)

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6 Cinematica y vectores

Tambien podemos escribir la resta de dos vectores como

a− b = (ax − bx) i+ (ay − by) j+ (az − bz)k. (1.5)

Una aplicacion directa del teorema de Pitagoras permite obtener el modulo delvector a, que es un numero real positivo |a| = a dado por

|a| = a =

√(ax)

2+ (ay)

2+ (az)

2. (1.6)

Aparte del modulo, el resto de la informacion sobre un vector a (su direccion ysentido) viene descrita por un vector unitario ua, que es un vector de modulo uni-dad y que tiene la misma direccion y sentido que a. Este vector, en componentescartesianas, se escribe

ua =a

|a| =(axa

)i+(aya

)j+(aza

)k, (1.7)

y se llama vector unitario asociado a a. Por la ultima expresion, tenemos que

a = aua, (1.8)

es decir, todo vector se puede escribir como el producto de su modulo por unvector unitario paralelo a el. En muchas aplicaciones utilizaremos esta descom-posicion.

Vector de posicion

Se puede asociar a cada punto del espacio un vector para determinar su posicionrespecto al sistema de referencia elegido. Para ello, dado un punto P se define suvector de posicion rP como aquel vector cuyo origen es el origen O del sistema dereferencia y cuyo extremo es el punto P (figura 1.5). Si se escribe rP en el sistema dereferencia en funcion de sus componentes,

rP = xP i+ yP j+ zPk, (1.9)

los tres numeros (xP , yP , zP ) se llaman coordenadas del punto P en el sistema dereferencia O, i, j,k. Por tanto, la expresion (1.9) define un punto P en este sistema.

A menudo, el movimiento del sistema estudiado se realiza sobre un plano. Eneste caso, se suele escoger el sistema de referencia de manera que el movimiento tengalugar en alguno de los planos xy, xz o yz. Por ejemplo, si tomamos el plano xy, lascomponentes de un vector a seran solo dos, pues podemos olvidarnos de la componentez, que es siempre nula. Se puede escribir entonces a = axi+ayj. En otras ocasiones, elmovimiento que nos interesa es rectilıneo, es decir, se realiza sobre una recta. Podemoscolocar entonces el sistema de referencia de manera que el movimiento se realice sobreun eje, por ejemplo el eje x, y olvidarnos de los otros dos. Al hacerlo ası, los vectorestienen una unica componente.

La posicion de una partıcula puntual, en un instante determinado, con respecto aun sistema de referencia cartesiano, vendra dada por el punto P en el que se encuentra,con vector de posicion rP . Las componentes del vector de posicion se miden en metros,de manera que, por ejemplo, podemos tener rP = 1, 2m i+0, 7m j+3, 2mk. Indicarıaque la partıcula se encuentra situada en un punto tal que, desde el origen, hay querecorrer para llegar a ella 1, 2m a lo largo del eje x, luego 0, 7m paralelamente al ejey, y finalmente 3, 2m paralelamente al eje z.

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Vector velocidad 7

yP

P rP

O

zP

xP

Figura 1.5. Vector de posicion de un punto P y sus coordenadas en un sistema de referencia

cartesiano.

yP

∆ r

Q

O

z

x

Figura 1.6. Trayectoria de una partıcula puntual en 3 dimensiones. En general, la trayectoria

no coincide con el vector desplazamiento.

1.4. Vector velocidad

Supongamos que una partıcula se mueve en el espacio siguiendo una curva C quellamamos trayectoria (ver la figura 1.6). En un instante de tiempo dado t1 se encuentraen un punto P con vector de posicion rP . Al transcurrir el tiempo, la posicion de lapartıcula cambia en general. Esto quiere decir que su vector de posicion dependedel tiempo, lo cual escribimos mediante la notacion r(t). Ası, el vector de posiciondel punto P satisface rP = r(t1). En el intervalo de tiempo ∆t, la partıcula varıasu posicion a lo largo de la trayectoria C, de manera que en el instante t1 + ∆t, seencuentra en el punto Q con vector de posicion rQ = r(t1 +∆t).

Se define el vector desplazamiento ∆r entre P y Q a la diferencia dada por

∆r = rQ − rP = r(t1 +∆t)− r(t1), (1.10)

como se ve en la figura 1.6. La velocidad media de la partıcula entre los puntos P yQ es el cociente entre desplazamiento e intervalo de tiempo,

vm =∆r

∆t=

r(t1 +∆t)− r(t1)

∆t. (1.11)

Es claro que, dado que el intervalo de tiempo ∆t es siempre positivo, la velocidadmedia es un vector paralelo al desplazamiento de la partıcula. La unidad de velocidaden el SI es la unidad de longitud dividida por la unidad de tiempo, es decir, 1m · s−1.

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8 Cinematica y vectores

Pero, si miramos la figura 1.6 con atencion, notaremos que existe una diferen-cia clara entre la direccion del vector desplazamiento entre los puntos P y Q y latrayectoria real que ha seguido la partıcula entre esos puntos. Para minimizar estadiferencia y tener mas informacion sobre la trayectoria real, una buena idea es hacermuy pequeno el intervalo de tiempo ∆t, de manera que el vector desplazamiento ∆r

tenga modulo muy pequeno y se asemeje a la trayectoria real C. En terminos de ve-locidad, esto significa definir la velocidad instantanea en el instante t (o simplementevelocidad) como el lımite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiendea cero,

v(t) = lım∆t→0

vm = lım∆t→0

(r(t+∆t)− r(t)

∆t

). (1.12)

La expresion a la derecha de la ecuacion (1.12) se conoce con el nombre de derivada

del vector de posicion r(t) con respecto al tiempo y su notacion es

v(t) =dr

dt. (1.13)

La velocidad es un vector ligado a la partıcula, de manera que se suele dibujar conorigen en el punto en que esta la partıcula en cada instante de tiempo.

El modulo del vector velocidad indica el espacio recorrido por la partıcula en launidad de tiempo.La direccion del vector velocidad es la recta tangente a la trayectoria C en cadapunto (para verlo no hay mas que imaginar como es el vector desplazamientoinfinitesimal, es decir, cuando P y Q estan muy proximos en la figura 1.6).El sentido del vector velocidad indica hacia donde tiende a moverse la partıculaen un instante posterior.

Derivadas

Dado que podemos escribir los vectores por medio de sus componentes en el sistemade referencia de coordenadas cartesianas, tenemos que el vector de posicion r(t) es

r(t) = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k, (1.14)

donde x(t), y(t), z(t) son funciones reales del tiempo t. Es importante notar quelos vectores de la base i, j, k son constantes (no dependen de t), lo cual no ocurre,en general, en otros sistemas de referencia (por ejemplo, en coordenadas polares).Esta caracterıstica del sistema de referencia de coordenadas cartesianas que estamosutilizando hace que muchas operaciones del analisis vectorial se simplifiquen mucho.En concreto, la derivada del vector r con respecto a t resulta

v(t) =dr

dt=

dx

dti+

dy

dtj+

dz

dtk, (1.15)

es decir, basta derivar las componentes del vector, que son funciones reales. En otraspalabras, el vector velocidad es, en coordenadas cartesianas, una composicion de lasvelocidades a lo largo de cada eje,

v(t) = vxi+ vyj+ vzk. (1.16)

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Vector aceleracion 9

f(t) df/dt

ctn cntn−1

sen (ct) c cos (ct)cos (ct) −c sen (ct)ect cect

ln (ct) 1/t

Tabla 1.4. Derivadas de algunas funciones elementales. En estas expresiones, c y n son

constantes, et es la funcion exponencial, y ln (t) es el logaritmo neperiano.

Conviene recordar algunas propiedades de las derivadas de funciones reales.

La derivada de una constante es igual a cero. La derivada de una constante cmultiplicada por una funcion f(t) es

d

dt(cf(t)) = c

df

dt. (1.17)

La derivada de una suma de funciones es

d

dt(f(t) + g(t)) =

df

dt+

dg

dt. (1.18)

La derivada de un producto de funciones es

d

dt(f(t)g(t)) = f

dg

dt+ g

df

dt. (1.19)

Si f(x) es una funcion de x y x(t) es una funcion de t, la derivada de f respectoa t satisface la regla de la cadena,

d

dt[f(x(t))] =

df

dx

dx

dt. (1.20)

Las derivadas de algunas funciones particulares aparecen en la tabla 1.4.

1.5. Vector aceleracion

Otro vector ligado a la partıcula es el vector aceleracion, que describe como cambiala velocidad de la partıcula al transcurrir el tiempo. Se define como la derivada delvector velocidad con respecto al tiempo,

a(t) = lım∆t→0

(v(t+∆t)− v(t)

∆t

)=

dv

dt. (1.21)

Por su definicion, la unidad de aceleracion en el SI es 1m · s−2. Las leyes de Newtonproporcionan la aceleracion de una partıcula a partir del estudio de las fuerzas queactuan sobre ella, como veremos en el siguiente capıtulo.

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10 Cinematica y vectores

Si el vector velocidad no cambia con el tiempo, es decir, si es constante, entoncesla aceleracion es cero y se dice que la partıcula sigue unmovimiento uniforme. Por otrolado, si el vector aceleracion es constante en el tiempo se dice que el movimiento esuniformemente acelerado. Estos dos casos pueden ser sencillos pero no son en absolutolos mas generales. La aceleracion de un cuerpo suele variar de alguna manera. Alestudiar la ley de Coulomb veremos que la aceleracion de una partıcula cargada enun campo electrico depende de la posicion, es decir, es diferente en cada punto de latrayectoria de la partıcula.

El problema fundamental de la cinematica es obtener la velocidad y la posiciondel cuerpo a partir de la aceleracion. Supongamos que la aceleracion de una partıculaa(t) es un vector conocido que depende del tiempo. Ademas conocemos la velocidadv0 = v0xi+ v0yj+ v0zk, y la posicion del cuerpo r0 = x0i+ y0j+ z0k, en el instanteinicial t = 0. Queremos obtener la velocidad v(t) y la posicion r(t) de la partıcula entodos los instantes de tiempo.

El primer paso es calcular la velocidad de la partıcula. Para ello partimos de ladefinicion a = dv/dt, donde la aceleracion es conocida. Despejando dv,

dv = a(t) dt. (1.22)

Esta ecuacion indica que, en un intervalo de tiempo infinitesimal dt (en el cual supone-mos que la aceleracion no ha cambiado), la velocidad ha tenido un cambio infinitesimaldv. Podemos proceder ahora de la siguiente forma. Si queremos conocer el cambio ∆v

de la velocidad ocurrida entre el instante t = 0 y el instante t, dividimos el intervalo detiempo ∆t = t− 0 en un numero muy grande de intervalos infinitesimales dt iguales.En cada uno de ellos, el cambio en la velocidad esta dado por la ecuacion (1.22), demodo que el cambio total en ∆t sera la suma de los cambios en todos los dt. Esto seescribe formalmente como

∆v =∑

dv =∑

a(t) dt, (1.23)

donde estamos sumando las contribuciones de cada intervalo infinitesimal. Pero estano es una suma al uso, pues la longitud de los intervalos dt tiende a cero. En los casosen que hay que hacer una suma de este tipo, en lugar de escribirla como (1.23) seescribe

∆v =

∫v

v0

dv =

∫ t

0

a(t) dt, (1.24)

y la suma se conoce con el nombre de integral.

Integrales

En una integral, la cantidad que se suma es una funcion de la variable que aparecedespues de la letra d. Por ejemplo, la primera integral de la ecuacion (1.24) es unasuma en velocidades, y la segunda integral es una suma en tiempos. Si conocemos losvalores inicial y final entre los que se esta sumando, decimos que la integral es definida.En estos casos, los valores inicial y final se llaman lımites de la integral definida yse escriben abajo y arriba del sımbolo integral, respectivamente. Por ejemplo, en laecuacion (1.24), la primera integral es una suma en velocidades de la cantidad 1 (loque aparece multiplicando a dv) desde el valor inicial v0 hasta el valor final v. La

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Vector aceleracion 11

f(t)∫f(t) dt

c ctctn ctn+1/(n+ 1), (n 6= −1)c/t c ln (t)sen (ct) −(1/c) cos (ct)cos (ct) (1/c) sen (ct)ect (1/c)ect

Tabla 1.5. Integrales indefinidas de algunas funciones elementales. En estas expresiones, c

y n son constantes. En cada caso, se puede sumar al resultado una constante arbitraria.

segunda integral es una suma en tiempos de la cantidad a(t) entre el valor inicial t = 0y el valor final t. Es importante notar que, en una igualdad de integrales definidas,los lımites deben corresponderse: el lımite inferior del tiempo t = 0 corresponde a lavelocidad inicial v0, y el lımite superior del tiempo t corresponde a la velocidad v enese mismo instante.

Como ocurre en el caso de las derivadas, si los vectores vienen expresados porcomponentes en un sistema de referencia de coordenadas cartesianas, podemos escribirla integral de cualquier vector a(t) entre los valores 0 y t como

∫ t

0

a(t) dt =

(∫ t

0

ax(t) dt

)i+

(∫ t

0

ay(t) dt

)j+

(∫ t

0

az(t) dt

)k, (1.25)

de modo que integrar un vector en coordenadas cartesianas es una simple composicionde integrales de funciones escalares.

En general, la integral de una funcion esta relacionada con el problema de calcularel area bajo una curva y es la operacion inversa de derivar. Se dice que g(t) es unaprimitiva de f(t) si dg/dt = f . Ahora, si g(t) es una primitiva de f(t), se puedecalcular la integral indefinida (sin lımites) de f(t) con respecto a t como

∫f(t) dt = g(t) + c, (1.26)

donde c es una constante. En el caso de una integral definida, lo que se tiene es

∫ t2

t1

f(t) dt = g(t2)− g(t1). (1.27)

La tabla 1.5 muestra las integrales de algunas funciones elementales.

Velocidad y posicion en funcion de la aceleracion

Si hacemos la primera integral de la ecuacion (1.24) obtenemos

∆v = v − v0 =

∫ t

0

a(t) dt. (1.28)

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12 Cinematica y vectores

avu

u

n

t

Figura 1.7. Vectores velocidad y aceleracion en un punto P de la trayectoria de una partıcu-

la. Se especifican los vectores unitarios tangente y normal.

Dado que a es una funcion vectorial conocida del tiempo, en principio la integraldefinida que falta se puede hacer en cada caso particular. Como consecuencia, seencuentra una expresion para v(t), dada por

v(t) = v0 +

∫ t

0

a(t) dt, (1.29)

en donde la velocidad inicial v0 es un dato del problema. Una vez obtenida la velo-cidad, el siguiente paso es encontrar la ley de movimiento de la partıcula r(t). Paraello usamos que v = dr/dt. Integrando de nuevo entre el instante inicial t = 0 y uninstante cualquiera t, se obtiene

r(t) = r0 +

∫ t

0

v(t) dt. (1.30)

Como vemos, todo se reduce a calcular dos integrales definidas, las de las ecuaciones(1.29) y (1.30).

Un caso particular de las expresiones (1.29) y (1.30) es el del movimiento uni-formemente acelerado, que es aquel en que la aceleracion a es constante. Al hacer lasintegrales se obtienen las conocidas expresiones

v = v0 + at, (1.31)

r = r0 + v0t+1

2at2. (1.32)

1.6. Componentes intrınsecas de la aceleracion

En la figura 1.7 vemos la trayectoria de una partıcula. En un punto dado P de estatrayectoria se han dibujado los vectores velocidad y aceleracion. Como ya sabemos,el vector velocidad es tangente a la trayectoria, y su sentido apunta en la direcciondel movimiento en cada punto. Es posible definir en cada punto P un vector unitario

tangente a la trayectoria ut, de tal modo que

v = v ut, (1.33)

donde v es el modulo de la velocidad. Es importante notar que ut cambia de un puntoa otro de la trayectoria, pues la direccion y el sentido de la velocidad lo hacen. Elvector aceleracion en cada punto de una trayectoria curva se dirige siempre hacia

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Componentes intrınsecas de la aceleracion 13

el lado concavo de la trayectoria. Esto ocurre porque en una trayectoria curva ladireccion del vector velocidad varıa hacia ese lado, como podemos ver en la figura 1.7.

Aplicando la definicion de la aceleracion en el punto P como la derivada de lavelocidad, de la ecuacion (1.33) se obtiene

a =dv

dt=

dv

dtut + v

dut

dt. (1.34)

Esta expresion indica que el vector aceleracion tiene dos componentes en cada puntode la trayectoria de una partıcula. La primera de ellas es la componente tangente yse suele denominar aceleracion tangencial at, dada por

at =dv

dt, (1.35)

es decir, es la componente de la aceleracion debida al cambio del modulo de la ve-locidad. Cuando solo hay aceleracion tangencial, no cambia la direccion del vectorvelocidad y como consecuencia, los vectores velocidad y aceleracion son paralelos.Esto ocurre solo en un movimiento rectilıneo.

Dado que la aceleracion tangencial tiene en cuenta los cambios en el modulo de lavelocidad, el segundo sumando de la ecuacion (1.34) solo tiene en cuenta los cambiosen la direccion de la velocidad. Este segundo vector esta dirigido a lo largo de la rectaperpendicular al vector tangente en cada punto (ver Ejercicios). La componente de laaceleracion a lo largo de esta direccion se llama aceleracion normal an. Si definimos elvector unitario normal un como un vector perpendicular a la tangente y que apuntaal centro de curvatura1 de la trayectoria en cada punto, entonces podemos escribir

a = atut + anun, (1.36)

en donde at y an reciben el nombre de componentes intrınsecas de la aceleracion; ates la aceleracion tangencial dada por la ecuacion (1.35) y an es la aceleracion normal.Por argumentos geometricos, la aceleracion normal se puede escribir como

an =v2

r, (1.37)

donde r es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto dado. Ası, un movimientoen el cual el modulo de la velocidad es constante esta acelerado si la trayectoria escurva: tendra una aceleracion normal dirigida a lo largo del vector unitario un.

Movimiento circular

Un tipo de movimiento sencillo para ver como actuan las componentes de la ace-leracion, es el movimiento circular, en el que la trayectoria de la partıcula es unacircunferencia de radio R (ver la figura 1.8). En la figura, se han dibujado los ejesx e y de tal modo que, en el instante inicial, la partıcula se encuentra en el eje x einicia un movimiento en sentido antihorario a lo largo de la circunferencia de radio

1 El centro de curvatura de un punto de la trayectoria es el centro de la circunferencia que mas se

aproxima a la trayectoria en ese punto. El radio de esta circunferencia se llama radio de curvatura

de la trayectoria en ese punto.

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14 Cinematica y vectores

ij

t

y

x

n

v

uu

Figura 1.8. Componentes intrınsecas de la aceleracion en el movimiento circular.

R. Podemos escribir el vector de posicion de la partıcula en todo instante de tiempocomo

r = x i+ y j = R cos θ i+R sen θ j, (1.38)

siendo θ el angulo que forma el vector de posicion con el eje x en cada instante detiempo. En la figura 1.8 se ve que los vectores tangente y normal a la trayectoria encada punto, para este tipo de movimiento, son

ut = − sen θ i+ cos θ j, (1.39)

un = − cos θ i− sen θ j. (1.40)

La velocidad se obtiene derivando la expresion (1.38) respecto al tiempo. Teniendo encuenta la expresion (1.39), se obtiene

v = Rdθ

dtut. (1.41)

Esto implica que el modulo de la velocidad en un movimiento circular es

v = Rdθ

dt. (1.42)

La cantidad dθ/dt expresa como cambia el angulo θ con el tiempo. En consecuenciase llama velocidad angular y se escribe

ω =dθ

dt, (1.43)

de tal modo que resultav = Rω. (1.44)

La unidad SI de la velocidad angular es 1 rad · s−1, como facilmente se deduce desu definicion (1.43). En consecuencia, en un movimiento circular, las componentesintrınsecas de la aceleracion a = dv/dtut + v2/Run son

at = Rdω

dt, (1.45)

an = Rω2. (1.46)

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Ejercicios 15

La cantidad dω/dt se llama aceleracion angular y su unidad es 1 rad · s−2.Un caso particular es cuando la velocidad angular es constante (movimiento cir-

cular uniforme). En este caso se cumple que at = 0. La unica aceleracion de lapartıcula es normal, necesaria para que la trayectoria se curve. En el movimiento cir-cular uniforme, dado que ω es constante, la partıcula siempre tarda el mismo tiempoen dar una vuelta completa a la circunferencia. Este tiempo T se llama periodo delmovimiento y esta dado por

T =2π

ω=

2πR

v. (1.47)

La posicion de la partıcula en el movimiento circular uniforme satisface

r(t) = r(t+ T ), (1.48)

es decir, cuando pasa un tiempo igual a T , la partıcula vuelve al mismo punto. Elmovimiento circular uniforme es un caso de movimiento periodico.

1.7. Ejercicios

1. Consideremos la ecuacion v = ax/t + bt2, donde x es una posicion, v es unavelocidad y t es un tiempo. Determinar las dimensiones de a y b para que laecuacion sea consistente.Solucion: [a] = 1, [b] = LT−3.

2. La magnitud de la fuerza electrostatica F entre dos cargas puntuales q1 y q2,separadas por una distancia d, es

F = kq1q2d2

,

donde k es una constante. Determinar la dimension de k y sus unidades en elSistema Internacional.Solucion: [k] = ML3T−2Q−2, y sus unidades son kg ·m3 · s−2 · C−2.

3. Una partıcula se mueve en un plano de manera que su posicion varıa en el tiemposegun

r(t) = x0 cos (ωt)i+ (v0/ω) sen (ωt)j,

donde x0, v0 y ω son constantes. Calcular la velocidad y la aceleracion de estapartıcula.Solucion: La velocidad es v(t) = −x0ω sen (ωt)i+ v0 cos (ωt)j, y la aceleracion esa(t) = −x0ω

2 cos (ωt)i− v0ω sen (ωt)j.4. Una partıcula se mueve en una dimension en el seno de un fluido con una ace-

leracion que depende de la velocidad segun a = −kv, donde k es una constante.Su velocidad inicial era v0 y su posicion inicial era x0. Encontrar la velocidad vy la posicion x de la partıcula en todo instante.Solucion: v(t) = v0 e

−kt, x(t) = x0 + v0/k (1− e−kt).5. La aceleracion de los cuerpos debida a la atraccion terrestre tiene un valor g =

9, 8m · s−2 y se dirige perpendicularmente a la superficie terrestre y hacia abajo.Ası, cuando un cuerpo se mueve bajo la accion de la gravedad, su movimiento serealiza en el plano que forman la velocidad inicial y la vertical. Considerar unapartıcula que se encuentra inicialmente a una altura h sobre la superficie terrestre

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16 Cinematica y vectores

y cuya velocidad inicial es v0 paralela a la superficie de la Tierra. Calcular suvelocidad y su posicion en todo instante.Solucion: Si tomamos el eje x paralelo a la superficie de la Tierra y el eje y comoaltura medida desde el suelo, resulta que las componentes de la velocidad sonvx = v0, vy = −gt, y las componentes de la posicion son x = v0t, y = h−(1/2)gt2.

6. Un proyectil se lanza desde el suelo con velocidad inicial v0 formando un anguloα con la horizontal. Calcular el alcance del proyectil (distancia horizontal a laque llega) y su altura maxima.Solucion: d = (v20/g) sen (2α), h = (v20/2g) sen

2 α.7. Demostrar que la derivada du/dt de un vector unitario u(t) es perpendicular

al propio vector unitario. En general esto ocurre para todo vector de moduloconstante. Se necesita la definicion del producto escalar que se puede mirar en elsiguiente tema.

8. Una partıcula se mueve con una aceleracion a = 5m · s−2 j. En t = 0, la partıculase encontraba en r0 = 8m j, y tenıa una velocidad v0 = 5m · s−1 i. Determinarla ley de movimiento r(t) de la partıcula, la ecuacion de su trayectoria y lascomponentes intrınsecas de la aceleracion.Solucion: r(t) = 5t i + (8 + 2, 5 t2)j, y = 8 + x2/10, at = 5t/

√1 + t2, an =

5/√1 + t2.

9. Una partıcula que parte del reposo sigue una trayectoria circular de 2m de radiocon una aceleracion tangencial constante de 0, 5m · s−2. En un punto dado de sutrayectoria, tiene una velocidad de 3m · s−1. Calcular su velocidad angular y elmodulo de su aceleracion en este punto y determinar la posicion del punto delque hablamos.Solucion: ω = 1, 5 rad · s−1, a = 4, 53m · s−2. Tomando la posicion inicial de lapartıcula en θ = 0, la posicion del punto del problema viene dada por θ = 4, 5 rad.

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Capıtulo 2

Dinamica

2.1. Leyes de Newton

En el capıtulo anterior se ha descrito el movimiento de una partıcula sin atender a loque lo provoca. Segun Aristoteles, el movimiento de un cuerpo era provocado por laaccion continua de una causa. Mediante experimentos con planos inclinados, Galileodemolio esta hipotesis y establecio que no era necesaria ninguna causa para que unobjeto en movimiento rectilıneo continuara moviendose. Galileo llamo inercia a latendencia de los cuerpos a resistir cambios en su movimiento. En 1687, Isaac Newton,basandose en parte en las intuiciones de Galileo (sus Discorsi fueron publicados en1638) y desarrollando nuevos metodos de calculo, establecio con la publicacion de susPrincipia las leyes del movimiento de los cuerpos. En la dinamica de Newton, lasinteracciones entre cuerpos se llaman fuerzas y la consecuencia de la existencia defuerzas sobre un cuerpo es el cambio de su estado de reposo o movimiento.

Las leyes de Newton son validas siempre que el movimiento se estudie con respectoa un sistema de referencia inercial (un sistema de referencia en reposo o en movimientorectilıneo uniforme). Un sistema de referencia fijo en la Tierra es aproximadamenteinercial para los sistemas fısicos que vamos a estudiar.

Primera ley de Newton. Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o demovimiento rectilıneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estadopor fuerzas que actuen sobre el. En ambas circunstancias, se dice que el cuerpoesta en un estado de equilibrio mecanico. A esta tendencia de los cuerpos aresistir cambios en su movimiento se le llama inercia. La magnitud asociada aesta propiedad se llama masa. La masa m de un cuerpo es una cantidad escalary su unidad en el SI es el kg.Segunda ley de Newton. El cambio de movimiento de un cuerpo es proporcio-nal a la fuerza total que actua sobre el y ocurre en la direccion de la lınea rectaen la que la fuerza actua.Para expresar matematicamente esta ley, definimos la cantidad de movimientoque posee un cuerpo o su momento lineal p como

p = mv, (2.1)

cuya unidad es 1 kg ·m · s−1. La fuerza debe de ser una magnitud vectorial, y semide en newtons (N), que es una unidad derivada tal que 1N = 1kg ·m · s−2 Si

17

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18 Dinamica

F es la fuerza total (la suma vectorial de todas las fuerzas) que actua sobre uncuerpo, el cambio de su momento lineal es igual a F, es decir,

dp

dt= F. (2.2)

En los casos en que, durante su evolucion, la masa del cuerpo permanece cons-tante, la ecuacion (2.2) sirve para determinar la aceleracion del cuerpo como

a =1

mF. (2.3)

No ocurre ası en casos como el de un cohete que se propulsa en el vacıo mediantela emision de gases o en el de una partıcula que se desintegra en otras.Tercera ley de Newton. Si un cuerpo ejerce una fuerza F sobre otro, entoncesel segundo ejerce una fuerza en sentido opuesto −F sobre el primero. Esta terceraley es, a veces, mal interpretada diciendo que las dos fuerzas se anulan entre sı porser iguales y de signo opuesto, pero esto es falso porque cada fuerza actua en uncuerpo diferente.

Por tanto, en la dinamica newtoniana los cuerpos interaccionan entre sı a traves defuerzas, de tal manera que la fuerza total sobre un cuerpo determina su aceleracion.La (2.2) se llama ecuacion de movimiento del cuerpo dado, a partir de la cual, comose comento en el capıtulo anterior, se puede obtener la posicion del cuerpo en cadainstante de tiempo por integracion con ayuda de las condiciones iniciales.

El ejemplo mas sencillo de ecuacion de movimiento es el caso de una partıcula

libre. Se llama ası a una partıcula tal que la fuerza total sobre ella es nula. En estecaso, la ecuacion de movimiento se reduce a la expresion F = 0, es decir, a = 0, dedonde se deduce que la partıcula sigue un movimiento uniforme. Si la velocidad iniciales cero, la partıcula permanece en reposo. Si es distinta de cero, la partıcula sigue unatrayectoria recta. Estos son los dos casos recogidos en la primera ley de Newton.

Interacciones fundamentales

En la actualidad, se cree que todas las fuerzas son manifestaciones de cuatro uni-cas interacciones fundamentales entre las partıculas elementales que forman toda lamateria del universo.

La interaccion gravitatoria es, segun la teorıa newtoniana, la atraccion entrepartıculas que tienen masa. Si dos partıculas tienen masas m1 y m2 y estanseparadas una distancia r, la fuerza gravitatoria con que una de ellas atrae a laotra tiene un modulo

Fg = Gm1m2

r2, (2.4)

donde G = 6, 67×10−11 N ·m2 ·kg−2 es la constante de Newton de la gravedad, yesta dirigida a lo largo de la recta que une sus centros. La interaccion gravitatoriaes la principal responsable del movimiento de estrellas, planetas, etc.La interaccion electromagnetica es la que aparece entre partıculas debida a lacarga electrica de estas. Es normalmente muchısimo mas intensa que la interac-cion gravitatoria, de tal manera que es la principal responsable de la estructura

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Trabajo 19

de los atomos. Del mismo modo, es la responsable de la aparicion de fuerzas derozamiento y cohesion molecular.La interaccion fuerte se da entre los componentes de los nucleos atomicos paramantenerlos unidos. Tiene una intensidad aun mayor que las fuerzas electro-magneticas pero su alcance es muy reducido, de modo que no se observa a nivelmacroscopico.La interaccion debil no tiene un papel tan directo como el electromagnetismo yla interaccion fuerte en la estructura de la materia ordinaria, pero es relevanteen la transformacion de un neutron en un proton, por ejemplo.

Este libro se refiere sobre todo a las propiedades y consecuencias de interacciones anivel macroscopico y en especial de la electromagnetica. En este capıtulo haremosun breve repaso de la gravedad terrestre al introducir los conceptos basicos de ladinamica.

La fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae a un cuerpo de masa m situado auna altura h de su superficie se llama peso. Su modulo viene dado segun (2.4) por

Fg = GmMT

(RT + h)2, (2.5)

siendo MT = 5,98× 1024 kg la masa de la Tierra y RT = 6,37× 106 m el radio mediode la Tierra. Si h es mucho menor que RT , se puede aproximar RT + h por RT . Deeste modo, Fg = mg, donde g = GMT /R

2T ≈ 9,8m · s−2, es la llamada aceleracion de

la gravedad que se puede considerar la misma para todos los cuerpos en las cercanıasde la superficie terrestre.

Si un cuerpo de masa m se mueve unicamente bajo la accion de la gravedad, dela segunda ley de Newton se extrae que la aceleracion del cuerpo es

a =Fg

m= −g j, (2.6)

donde hemos tomado el eje y perpendicular al suelo y hacia arriba. En consecuencia,el cuerpo sigue un movimiento uniformemente acelerado.

2.2. Trabajo

Segun las leyes de Newton, la consecuencia de la existencia de fuerzas sobre un cuerpoes el cambio de movimiento del cuerpo. Es posible preguntarse si una fuerza es maso menos eficiente para provocar que el cuerpo sobre el que actua cambie de posicion.La cantidad fısica que mide esta eficiencia se llama trabajo.

El trabajo realizado por una fuerza constante F (es decir, una fuerza cuyo valorno depende de la posicion ni del tiempo) durante el desplazamiento en lınea recta ∆r

de una partıcula sobre la que actua la fuerza, es igual a la componente de la fuerzaen la direccion del desplazamiento multiplicada por el modulo del desplazamiento. Laoperacion matematica que da este resultado recibe el nombre de producto escalar. Portanto, el trabajo en este caso se expresa como

W = F ·∆r. (2.7)

La unidad SI de trabajo es el julio, definido como 1 J = 1N ·m.

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20 Dinamica

a

ba

b

α

Figura 2.1. El producto escalar de dos vectores es un numero real que depende del angulo

que forman.

Producto escalar de dos vectores

El producto escalara · b de dos vectores es un numero real dado por

a · b = a b cosα, (2.8)

donde α es el angulo que forman entre sı los vectores a y b (ver la figura 2.1). Enla ecuacion (2.8), a y b son los modulos de los vectores a y b, respectivamente. Estaecuacion permite tambien demostrar tres propiedades muy interesantes del productoescalar.

El modulo a de un vector a cumple que a2 = a · a.Dos vectores no nulos tienen producto escalar igual a cero si y solo si son per-pendiculares.La proyeccion de un vector a en la direccion de otro vector b es ab = (a · b)/b(ver figura 2.1).

Los vectores unitarios i, j y k satisfacen las expresiones i · i = j · j = k · k = 1,i · j = j · k = i · k = 0, de modo que en coordenadas cartesianas rectangulares, elproducto escalar de dos vectores se puede escribir como

a · b = axbx + ayby + azbz. (2.9)

El trabajo que realiza una fuerza F en el desplazamiento en lınea recta de unapartıcula es maximo (y la fuerza sera mas eficiente para realizar ese desplazamiento),cuando fuerza y desplazamiento son paralelos. El trabajo es cero cuando fuerza ydesplazamiento son perpendiculares.

Un ejemplo sencillo es el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad en la caıdalibre de un bloque de masa m desde un punto A, de altura hA, hasta un punto B, dealtura hB , segun la figura 2.2. Tomando el eje y como altura medida desde el suelo, lafuerza gravitatoria se escribe Fg = −mg j, y el desplazamiento es ∆r = (hB − hA)j.Por tanto, el trabajo de la fuerza gravitatoria en este desplazamiento es

W = −mg j · (hB − hA) j = mghA −mghB , (2.10)

pues j · j = 1.

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Trabajo 21

hB

hA

Figura 2.2. Caıda libre de un bloque entre dos puntos A y B. Se elige el sistema de referencia

de manera que la caıda se produce a lo largo del eje y.

Trabajo realizado por una fuerza variable

En general, la fuerza F sobre la partıcula puede depender de la posicion y del tiempo,en cuyo caso tenemos una fuerza variable. Ademas, la propia trayectoria puede no serrectilınea. La expresion (2.7) no es valida. Para generalizarla, se divide la trayectoriade la partıcula, entre los puntos inicial y final, en un numero indefinido de desplaza-mientos infinitesimales dr, dentro de cada uno de los cuales se puede considerar quela fuerza es constante y la trayectoria recta. El trabajo infinitesimal dW en uno deestos desplazamientos resulta, usando la expresion (2.7),

dW = F · dr. (2.11)

El trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de toda la trayectoria de la partıcula,entre un punto inicial A y un punto final B (ver la figura 2.3), es una suma enel continuo (se suma en desplazamientos infinitesimales), de manera que se escribeformalmente como la integral

W =

∫ B

A

F · dr. (2.12)

Un ejemplo de calculo del trabajo para una fuerza variable aparece en el movimientode una masa atada al extremo de un muelle horizontal de constante elastica k. Consi-deremos un muelle en reposo al que atamos un cuerpo. La posicion x = 0 correspondeal punto de equilibrio del muelle. Estiramos el muelle hasta un punto x = A y losoltamos: el muelle se contrae. La fuerza con que el muelle actua sobre la masa quetiene en su extremo es F = −kx, siendo el signo negativo para expresar que el muelletira de la masa al contraerse hacia el punto de equilibrio. Calculemos el trabajo querealiza esta fuerza en el movimiento de la masa desde x = A hasta x = 0. Tomamosun desplazamiento infinitesimal dx y usamos la expresion (2.12). Obtenemos

W =

∫ 0

A

(−kx) dx =1

2kA2, (2.13)

donde se ha usado que una primitiva de la funcion x es x2/2.

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22 Dinamica

Ar

rdA

F

rB

B

OFigura 2.3. En una trayectoria curva, el trabajo se calcula sumando las contribuciones

infinitesimales de un conjunto de desplazamientos dr dentro de los cuales la fuerza es apro-

ximadamente constante y la trayectoria es aproximadamente recta.

Potencia

Resulta interesante conocer no solo el trabajo que realiza una fuerza, sino tambien lavelocidad con la que lo realiza. Se define la potencia de una fuerza como el trabajoque realiza por unidad de tiempo,

P =dW

dt. (2.14)

Si usamos la expresion (2.11) para el trabajo infinitesimal realizado por la fuerza enun desplazamiento dr de la partıcula, resulta

P =F · drdt

= F · v, (2.15)

es decir, se puede escribir la potencia como el producto escalar de la fuerza por lavelocidad de la partıcula. La unidad de potencia es el vatio, siendo 1W = 1J · s−1.

2.3. Energıa

El concepto de energıa esta ıntimamente relacionado con el de trabajo. Consideremosuna partıcula de masa m que, bajo la accion de las fuerzas F1,F2, . . . que actuan sobreella, se mueve desde un punto inicial A hasta un punto final B. El trabajo total Wrealizado sobre la partıcula en su desplazamiento entre estos puntos se puede calcularsumando los trabajos que realizan cada una de las fuerzas que actuan sobre ella, esdecir

W =

∫ B

A

(F1 + F2 + . . .) · dr = W1 +W2 + . . . , (2.16)

siendo W1 el trabajo que realiza la fuerza F1, W2 el trabajo que realiza la fuerza F2,etc.

Energıa cinetica

La segunda ley de Newton ofrece un camino alternativo para obtener el trabajo totalrealizado sobre una partıcula. Si F = F1+F2+ . . . es la fuerza total sobre la partıcula,

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Energıa 23

ha de cumplirse F = ma, donde a es la aceleracion. Por tanto,

W = m

∫ B

A

a · dr. (2.17)

Por las definiciones cinematicas de velocidad y aceleracion, tenemos que

a · dr =dv

dt· v dt = v · dv =

1

2d(v2), (2.18)

pues por la propiedades del producto escalar, v · v = v2, de manera que derivando seobtiene la ultima igualdad de la expresion (2.18). Substituyendo en la ecuacion (2.17),resulta

W =1

2m

∫ B

A

d(v2) =1

2mv2B − 1

2mv2A, (2.19)

es decir, independientemente de las fuerzas que actuan, el trabajo total es igual alvalor de la cantidad (1/2)mv2 calculada en el punto final B menos el valor de lamisma cantidad evaluada en el punto inicial A. Se llama energıa cinetica Ec de lapartıcula a la cantidad

Ec =1

2mv2, (2.20)

y el resultado (2.19) se expresa normalmente diciendo que el trabajo total es igual ala variacion de energıa cinetica,

W = ∆Ec = Ec(final)− Ec(inicial). (2.21)

Por su definicion, la unidad SI de energıa es el julio, igual que la unidad de trabajo.Este resultado, conocido con el nombre de teorema trabajo-energıa, dice que el trabajode la fuerza total sobre un cuerpo cambia el modulo de la velocidad del cuerpo, es decir,varıa su energıa cinetica. Un aspecto interesante del resultado dado por la ecuacion(2.21) es que la energıa cinetica de una partıcula es el trabajo que esta partıcula puederealizar hasta que se para, por ejemplo al chocar con otra.

Energıa potencial

En general, el trabajo realizado por una fuerza sobre una partıcula depende de latrayectoria que sigue esa partıcula (por ejemplo el trabajo realizado por las fuerzasde rozamiento). Sin embargo, existen determinadas fuerzas con la propiedad de queel trabajo que realizan solo depende de las coordenadas de los puntos inicial y finalde la trayectoria seguida. Estas fuerzas reciben el nombre de fuerzas conservativas.

Consideremos de nuevo el ejemplo en el que obtenıamos el trabajo realizado porla fuerza de la gravedad en la caıda de un cuerpo desde un punto A hasta un puntoB (figura 2.2). Habıamos calculado

W = mghA −mghB . (2.22)

Esto se puede escribir como

W = −[Ug(B)− Ug(A)] = −∆Ug, (2.23)

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24 Dinamica

dondeUg = mgh (2.24)

es una funcion de la posicion del cuerpo (la altura h en este caso) y se llama energıa

potencial gravitatoria. Ası, el trabajo que realiza la gravedad en el movimiento delbloque es igual a menos la variacion de la energıa potencial entre los puntos inicial yfinal.

A cada fuerza conservativa F se puede asociar una funcion de las coordenadasllamada energıa potencial UF . El trabajo realizado por la fuerza conservativa F esigual a menos la variacion de la energıa potencial entre los puntos inicial y final,

W = −∆UF = −[UF (final)− UF (inicial)]. (2.25)

Esto implica que el trabajo que realiza una fuerza conservativa a lo largo de cualquiertrayectoria cerrada es cero.

Conservacion de la energıa

Si todas las fuerzas que actuan sobre un cuerpo son fuerzas conservativas, el trabajototal realizado sobre el cuerpo es, por un lado, igual a menos la suma de las variacionesde las energıas potenciales asociadas a cada fuerza y, por otro lado, igual a la variacionde la energıa cinetica del cuerpo,

W = −∆U1 −∆U2 − . . . = ∆Ec. (2.26)

De aquı, resulta que∆ (Ec + U1 + U2 + . . .) = 0, (2.27)

es decir, se llega al principio de conservacion de la energıa mecanica: cuando actuansobre un sistema solo fuerzas conservativas, la energıa total del sistema ET permanececonstante durante el movimiento, siendo

ET = Ec + U1 + U2 + . . . . (2.28)

En el ejemplo anterior del cuerpo que cae entre A y B, si despreciamos el rozamientodel aire (que es una fuerza no conservativa), actua solo la fuerza gravitatoria. Ası, porla conservacion de la energıa, se tiene

1

2mv2A +mghA =

1

2mv2B +mghB . (2.29)

Por tanto, como hA es mayor que hB , resulta que vA es menor que vB : el bloque seacelera desde el punto A hasta el punto B.

Si actuan fuerzas no conservativas, como el rozamiento, ocurre que estas no tienenasociada una energıa potencial, de manera que el principio de conservacion de laenergıa mecanica no se cumple. En este caso, el trabajo Wnc que realiza esta fuerzano conservativa se puede escribir como

Wnc = ∆(Ec + U) , (2.30)

donde U es la energıa potencial de las fuerzas que son conservativas (si las hay).

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Sistemas de partıculas: centro de masas 25

2.4. Sistemas de partıculas: centro de masas

Hasta aquı hemos considerado la mecanica de una partıcula puntual. Para estudiar elmovimiento de sistemas materiales, es necesario considerar el conjunto de partıculasque lo componen.

Todo cuerpo o sistema de partıculas posee un punto especial llamado centro

de masas. Si el cuerpo esta formado por un conjunto de N partıculas de masasm1,m2, . . . ,mN, situadas en puntos con vectores de posicion r1, r2, . . . , rN, sucentro de masas es un punto situado en

rCM =

∑Ni=1

miri∑Ni=1

mi

=

∑Ni=1

miri

M, (2.31)

donde M =∑

mi es la masa total del sistema. Podemos ahora escribir el momento

lineal total del cuerpo como

p =

N∑

i=1

pi =d

dt

N∑

i=1

miri = MvCM , (2.32)

es decir, el momento lineal total es igual al producto de la masa total por la velocidaddel centro de masas. La segunda ley de Newton aplicada a todo el cuerpo dice que

Fext =dp

dt= MaCM , (2.33)

donde Fext es la fuerza externa total sobre el cuerpo (la suma de todas las fuerzasexternas que actuan sobre cada partıcula del sistema). Las fuerzas internas que ejercenentre sı las partıculas del sistema no contribuyen a la expresion (2.33) porque secancelan dos a dos usando la tercera ley de Newton. El resultado (2.33) implica que elcentro de masas de un cuerpo se mueve como si todas las fuerzas externas estuvieranactuando sobre el, y toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en este punto.

Si, por ejemplo, lanzamos hacia arriba una caja llena de pelotas de tenis, algunaspelotas se saldran de la caja durante el movimiento y se alejaran, pero el centro demasas del sistema se movera como una partıcula puntual, con una masa igual a lamasa total del sistema, sobre la que actua la fuerza de la gravedad segun la segundaley de Newton. Este tipo de movimiento ya lo hemos estudiado, de manera que solonos queda considerar el movimiento de cada pelota con respecto al centro de masas.

2.5. Momento angular

La descripcion del movimiento de un sistema de partıculas respecto a un origen decoordenadas, sea o no este el centro de masas, resulta muy complicada en cuanto elsistema consta de mas de dos partıculas. Sin embargo, un caso particular en que esto sesimplifica es el del cuerpo o solido rıgido. Un cuerpo rıgido es un sistema de partıculasen el que las distancias entre las partıculas permanecen constantes durante todo elmovimiento. Si estudiamos como se mueve un cuerpo rıgido y decidimos ignorar elmovimiento de su centro de masas, solo queda una cosa que el cuerpo pueda hacer:rotar alrededor de el.

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26 Dinamica

b

a×b

α a

Figura 2.4. El producto vectorial de dos vectores es otro vector.

La cantidad mecanica que determina como rota una partıcula respecto a un puntofijo dado se llama momento angular L, y se define como

L = r× p. (2.34)

Su unidad SI es 1 kg · m2 · s−1. En la ecuacion (2.34), r es el vector de posicion dela partıcula respecto al punto fijo y p = mv es el momento lineal de la partıcula.El signo × representa un nuevo tipo de producto entre vectores, llamado productovectorial.

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial a × b de dos vectores es otro vector c tal que su modulo cesta dado por

c = a b senα, (2.35)

donde α es el angulo que forman entre sı los vectores a y b (ver la figura 2.4). Sudireccion es perpendicular al plano que forman los vectores a y b, y su sentido vienedado por una de las siguientes reglas:

La primera dice que, si colocamos la mano derecha con los dedos ındice, corazony pulgar formando un triedro, y tomamos el ındice en la direccion y sentido de a,y el corazon en la direccion y sentido de b, entonces el pulgar nos da el sentidodel producto vectorial a× b. Es la regla de la mano derecha.La segunda regla es muy parecida, pero el triedro se compone con los dedosındice, corazon y pulgar de la mano izquierda. Se toma el corazon en la direcciony sentido de a, el ındice en la direccion y sentido de b, y entonces el pulgar nosda el sentido de a× b. Es la regla de la mano izquierda.La tercera regla se aplica con la mano derecha, colocando los cuatro dedos ma-yores haciendo un barrido desde el vector a al vector b, de manera que el pulgarnos da el sentido de a× b. Es la regla del sacacorchos o regla del tornillo.

Una propiedad interesante del producto vectorial es que es anticonmutativo, es decir,a × b = −b × a, de modo que el producto vectorial de un vector por sı mismo esel vector nulo. Por otro lado, y dada la definicion de este producto, resulta que dosvectores no nulos tienen producto vectorial igual a cero si y solo si son paralelos.

El producto de cualquiera de los vectores de base i, j y k de nuestro sistemade referencia de laboratorio por sı mismo es, por tanto, nulo (i × i = 0, etc). Con

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Momento angular 27

mvr

Z

Figura 2.5. Momento angular de una partıcula en movimiento circular.

respecto al producto vectorial de uno de ellos por otro, el resultado es siempre eltercero con un signo dado por el orden en que se multiplican: si el producto tiene elorden i → j → k → i → . . ., entonces lleva un signo + (por ejemplo, i × j = +k),pero si el producto lleva el orden contrario, entonces lleva un signo − (por ejemplo,k × j = −i). Ası, en coordenadas cartesianas rectangulares, el producto vectorial seexpresa como

a× b = (aybz − azby) i+ (azbx − axbz) j+ (axby − aybx)k. (2.36)

Para recordar esta expresion, se puede escribir simbolicamente como un determinantede la siguiente manera

a× b =

∣∣∣∣∣∣

i j k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣(2.37)

Momento angular en un movimiento circular

Una buena manera de entender por que el momento angular describe las rotacioneses calcular el momento angular de una partıcula puntual que sigue un movimientocircular. Consideremos que la trayectoria de una partıcula de masa m es una circun-ferencia de radio r en el plano xy, con centro en el origen. La partıcula recorre lacircunferencia en sentido antihorario (ver la figura 2.5). Usando la ecuacion (2.34), elmomento angular de esta partıcula con respecto al origen, en un punto cualquiera desu trayectoria, es

L = m r× v = mrv k = mr2ω k, (2.38)

donde se han usado las reglas del producto vectorial aplicadas al caso en que losvectores que se multiplican son perpendiculares, y tambien que la velocidad angularviene dada por v = rω. En esta expresion, se puede ver que aparecen el radio dela trayectoria, la velocidad con que la recorre y el eje con respecto al cual rota lapartıcula, especificado mediante un vector unitario.

Es interesante notar como se relaciona la direccion y el sentido del momentoangular con el eje respecto al cual rota la partıcula. En general, el vector unitario quedetermina la direccion y el sentido del momento angular, que en el caso del ejemploes el vector k, nos determina el eje con respecto del cual rota el cuerpo. En el ejemploconsiderado, es el eje z positivo, ası que la partıcula gira en sentido antihorario: paraverlo, conviene utilizar la regla del tornillo, colocando el pulgar de la mano derecha

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28 Dinamica

O

d1

rr1

2

2d

ω

Figura 2.6. Rotacion de un cuerpo rıgido alrededor de un eje. Todos los puntos del cuerpo

giran con la misma velocidad angular.

apuntando a lo largo del vector k o eje z positivo, de modo que el resto de los dedosnos indican como rota el cuerpo.

2.6. Rotaciones planas de un cuerpo rıgido

Vamos a suponer que, durante la rotacion de un cuerpo rıgido, existe una lınea delcuerpo que se mantiene fija (figura 2.6). Decimos entonces que el cuerpo realiza unarotacion plana con respecto a este eje. En este caso, todos los puntos del cuerpo rıgidorotan alrededor de este eje con la misma velocidad angular ω, y es esta velocidadangular la que queremos conocer.

Un punto del cuerpo, de vector de posicion ri respecto a un punto O del eje,de masa mi, sigue un movimiento circular de radio di (siendo di la distancia entre elpunto i y el eje de rotacion) con velocidad angular ω (ver figura 2.6). El momentoangular de este punto respecto a O esta dado por

Li = miri × vi, (2.39)

donde vi es su velocidad.Supongamos que el eje fijo de rotacion es un eje principal de inercia, lo cual

sucede en dos casos: el eje de rotacion es un eje de simetrıa del cuerpo, o el planoperpendicular al eje de rotacion en el punto O es plano de simetrıa del cuerpo. Eneste caso, el momento angular total del cuerpo se puede escribir como

L =∑

Li =(∑

mid2i

)ω k, (2.40)

es decir, las contribuciones de cada punto que afectan al momento angular total sondel mismo tipo que el momento angular de una partıcula en movimiento circularrespecto al centro del cırculo. En consecuencia, el momento angular total tiene ladireccion y sentido del eje de rotacion. En la ecuacion (2.40) hemos supuesto que eleje de rotacion es el eje z positivo.

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Rotaciones planas de un cuerpo rıgido 29

Momento de inercia y vector velocidad angular

La cantidad entre parentesis en la expresion (2.40) se conoce con el nombre de mo-

mento de inercia I del cuerpo rıgido y es el producto de la masa total del cuerpo porun factor geometrico (con dimensiones de area) que depende de la forma del cuerpoy del eje de rotacion. Es una constante para un cuerpo rıgido dado y un eje fijo dado.

Por otro lado, interesa definir el vector velocidad angular del cuerpo ω, de talmodo que

ω = ω k. (2.41)

Es un vector cuyo modulo es la velocidad angular ω = v/r y cuya direccion y sentidoson los del eje con respecto al cual rota el cuerpo. Con estas definiciones, el momentoangular del cuerpo rıgido respecto a un eje fijo es

L = I ω. (2.42)

Momento de torsion

En general, la variacion con respecto al tiempo del momento angular total de unsistema de partıculas L =

∑Li = ri × pi es la suma de las variaciones del momento

angular de cada partıcula, que se puede escribir como

dLi

dt=

dridt

× pi + ri ×dpi

dt. (2.43)

La derivada de la posicion es la velocidad, y la derivada del momento lineal es lafuerza neta Fi aplicada a la partıcula. Dado que la velocidad y el momento lineal sonparalelos, resulta

dLi

dt= ri × Fi = τ i. (2.44)

La cantidad que aparece en el segundo miembro de esta ecuacion se conoce con elnombre de momento de torsion τ i de la partıcula con respecto a un punto O tomadocomo origen. Su unidad es 1N ·m y expresa la eficiencia de las fuerzas para provocarun giro. Cuando sumamos las contribuciones de todas las partıculas, el cambio delmomento angular total resulta

dL

dt=∑ dLi

dt=∑

ri × Fi =∑

τ i = τ , (2.45)

donde τ es el momento de torsion total τ del sistema. Para calcular el momentode torsion total es necesario conocer en que punto se aplican las fuerzas. Cuando elsistema de partıculas que tenemos es un cuerpo rıgido en rotacion plana, su momentoangular se puede escribir mediante la ecuacion (2.42). Su variacion temporal esta dadapor

dL

dt= I

dt. (2.46)

Igualando ahora las expresiones (2.45) y (2.46), llegamos a lo que se conoce comosegunda ley de Newton para la rotacion plana de un cuerpo rıgido

τ = Idω

dt. (2.47)

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30 Dinamica

F

F

R

Figura 2.7. Una rueda gira al aplicar fuerzas iguales y de sentido opuesto sobre ella porque

el momento de torsion total es no nulo.

El momento de torsion total de las fuerzas exteriores sobre un cuerpo rıgido es igualal momento de inercia del cuerpo multiplicado por su aceleracion angular.

Cuando la fuerza total aplicada sobre una partıcula es nula, la primera ley deNewton nos asegura que esta va a seguir un movimiento uniforme, sin aceleracion. Sinembargo, cuando esto mismo ocurre sobre un cuerpo rıgido, en general, hay no solodinamica de traslacion, dada por el movimiento de su centro de masas, sino tambiendinamica de rotacion. Y puede haber dinamica de rotacion incluso cuando la suma delas fuerzas sobre el cuerpo es nula. El truco esta en que estas fuerzas esten aplicadasen puntos diferentes del cuerpo. Si es ası, aunque la fuerza total sea cero y, por tanto,el centro de masas del cuerpo no tenga ninguna aceleracion, el momento de torsionsobre este cuerpo puede ser no nulo, en cuyo caso adquirira una aceleracion angularde rotacion con respecto a un eje.

Rotacion de una rueda

Un ejemplo es el caso de una rueda de radio R que hacemos girar con las manos(figura 2.7). Si hacemos una fuerza de modulo F hacia abajo con la mano izquierda,y una fuerza del mismo modulo pero hacia arriba con la mano derecha en los puntosindicados en la figura 2.7, la fuerza total sobre la rueda es cero, ası que no hayaceleracion del centro de masas de la rueda y este no se desplaza. El momento detorsion con respecto al centro de la rueda es

τ = r1 × F1 + r2 × F2 = (−R) i× (−F ) j+R i× F j = 2RF k, (2.48)

que es un vector no nulo aunque la fuerza total sobre la rueda sea nula.

El modulo del momento de torsion τ = 2RF es proporcional a la aceleracionangular que adquiere la rueda al rotar respecto a un eje que pasa por su centro. Elvector unitario que determina la direccion y el sentido del vector τ , que en este caso esel vector k, nos determina el eje con respecto del cual rota la rueda. En este ejemplo,es el eje z positivo, ası que la rueda gira en sentido antihorario.

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Ejercicios 31

2.7. Ejercicios

1. Sea un triangulo rectangulo, de manera que su hipotenusa esta colocada verti-calmente. Un teorema debido a Galileo dice que el tiempo que tardarıa en caerun cuerpo a lo largo de la hipotenusa es el mismo que tardarıa en hacerlo a lolargo de uno de los catetos (con la hipotenusa siempre situada verticalmente).Demostrarlo.

2. Un cohete se mueve en el espacio exterior a velocidad constante v0. Su misionrequiere que cambie su trayectoria en 45 sin variar el modulo de la velocidad.Para ello, el cohete expulsa, en un determinado instante, una masa de gas iguala un 1/100 de su masa. Calcular la velocidad con la que es expulsado este gas.Solucion: Tomando el eje x en la direccion de la velocidad inicial del cohete, lavelocidad final del cohete es vcohete = v0 (i+ j) /

√2 y la velocidad con que se

expulsa el gas es vgas = v0[(100

√2− 99)i− 99j

]/√2.

3. Puesto que la Tierra rota alrededor de un eje que pasa por sus polos, la aceleracionefectiva de la gravedad en el ecuador es ligeramente inferior a la que existirıa sila Tierra no rotase. Estimar la magnitud de este efecto.Solucion: Usando que el radio de la Tierra es RT = 6,37×106 m y que su periodoes de 24 horas, la gravedad en el ecuador resulta gef = 9, 77m · s−2.

4. Un bloque de masa m se encuentra en reposo sobre el borde izquierdo de unbloque mas pesado, de masa M . La superficie de separacion entre ambos bloqueses una superficie horizontal que presenta una fuerza de rozamiento fr = µmgopuesta al movimiento de un bloque sobre otro. El bloque de masa M tieneruedas, de manera que su movimiento sobre el suelo no presenta rozamiento.Una fuerza horizontal constante de modulo F se aplica al bloque de masa m,poniendolo en movimiento sobre el otro. Si el bloque de masa M recorre unadistancia D sobre el suelo, ¿que distancia recorre el bloque de masa m sobre elotro en el mismo tiempo?Solucion: d = D(MF/(µgm2)−M/m− 1).

5. Una partıcula puntual de masa m se apoya sobre la parte superior de una esferalisa de radio R. Si la partıcula comienza a moverse desde el reposo, ¿en que puntoabandonara la esfera?Solucion: La partıcula abandonara la esfera cuando el angulo α que forma suvector de posicion desde el centro de la esfera con la vertical satisface cosα = 2/3.

6. Dada la masa m de una esfera y el radio R del cırculo, determinar la altura mıni-ma h, de la cual debe partir la esfera, para completar con exito la curva en lazomostrada en la figura 2.8. Suponer que la bola desliza sin girar y sin rozamientoy que su velocidad inicial es nula. Calcular las reacciones de la superficie (fuerzanormal) sobre la bola en los puntos A y B.Solucion: h = 5R/2, NA = 0, NB = 6mg.

7. Un vagon de ferrocarril de masa M = 1000 kg, sin techo y con un area en elsuelo de 10m2, se mueve sin rozamiento a lo largo de raıles rectilıneos con unavelocidad de 5m · s−1. En un momento dado, comienza a llover verticalmentea razon de 0, 001 litros · cm−2 · s−1. Calcular la velocidad y la aceleracion delvagon. Determinar la fuerza que se necesitarıa para mantenerlo a una velocidadconstante de 5m · s−1.Solucion: v = 50/(10 + t), a = −50/(10 + t)2, F = 500 N.

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32 Dinamica

B

A

h

Figura 2.8.

8. Un cable inextensible y de masa despreciable esta enrollado en un cilindro solidode masa M y radio R que puede girar alrededor de su eje. Se tira del cable conuna fuerza F . Determinar la aceleracion angular del cilindro. Dato: el momentode inercia del cilindro respecto a su eje es MR2/2.Solucion: dω/dt = 2F/(MR).

9. Una varilla de longitud L y masa M puede girar sin rozamiento respecto a unpunto fijo O situado a una distancia L/3 de uno de sus extremos (la varillaesta clavada en la pared en ese punto). Inicialmente, la varilla esta en reposo enposicion horizontal, sujeta con una mano. Al soltarla, comienza a girar. Calcularla aceleracion angular con la que rota si su momento de inercia con respecto alpunto O es I = ML2/9.Solucion: dω/dt = 3g/(2L).

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Capıtulo 3

Carga electrica

3.1. Propiedades de las cargas electricas

Faraday, uno de los padres del electromagnetismo, llego a comentar que algun dıa secobrarıan impuestos por el uso de la energıa electrica. Hoy, todos pagamos estos im-puestos, pero no solo eso. La interaccion electromagnetica es la principal responsablede la estructura atomica, las neuronas transportan las ordenes del cerebro a traves deimpulsos electricos, diferentes formas de energıa se transforman en energıa electricapara su transporte y uso, etc.

Si frotamos una varilla de vidrio con un pano de seda, el espacio que rodea aambos cuerpos adquiere ciertas propiedades que podemos visualizar. Por ejemplo,si se esparcen pequenos trozos de papel en las cercanıas del vidrio, algunos de estostrozos son atraıdos por la varilla. Esta atraccion es parecida a la atraccion gravitatoriaque sienten todos los cuerpos entre sı, pero millones de millones de veces mas intensa.Experimentos sencillos como este muestran que los cuerpos manifiestan una propiedadllamada carga electrica, que es una magnitud escalar que puede ser positiva o negativa.Tambien hay cuerpos que no poseen esta propiedad, debido a que la cantidad de cargapositiva es igual a la cantidad de carga negativa en ellos. Estos cuerpos se denominanelectricamente neutros.

La primera propiedad que se deduce de los experimentos con cuerpos cargadoses que las cargas del mismo signo se repelen y las cargas de signo opuesto se atraen.Si colocamos una varilla de vidrio cargada positivamente al lado de una bola de acerocargada negativamente y colgada por un hilo del techo, observaremos que la bola seacerca a la varilla. Esto significa que se ha producido una interaccion entre la carganegativa de la bola y la carga positiva de la varilla, y que esta interaccion es atractiva.Si hacemos un experimento parecido entre dos cuerpos cargados negativamente, llega-remos a la conclusion de que la interaccion es, en este caso, repulsiva. Podemos notaraquı una diferencia fundamental entre la carga y la masa: la interaccion gravitatoria,debida a la masa de los cuerpos, es siempre atractiva. La unidad SI de carga es elculombio (C).

Un cuerpo puede tener una carga positiva de 0,17C y otro una carga negativa de−5,4mC. En principio cualquier valor de la carga electrica parecerıa posible, pero noes ası. Esta segunda propiedad es una consecuencia de la estructura fundamental de lamateria, y se conoce con el nombre de principio de cuantizacion de la carga electrica.Se puede expresar este principio de la siguiente forma: todos los cuerpos materiales

33

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34 Carga electrica

poseen una carga electrica cuyo valor es siempre algun multiplo entero de una cargafundamental e = 1,6 × 10−19 C. Es decir, si medimos la carga de un cuerpo y estacarga vale Q, siempre se cumple que hay algun numero entero n (positivo o negativo)tal que

Q = ne. (3.1)

Por tanto, un cuerpo puede tener una carga igual a 8546 e, o igual a −17568 e, perono hay ningun cuerpo que tenga una carga igual a 157,25 e.

Una tercera propiedad es la aditividad de la carga electrica. Con esto se quiereexpresar que la carga neta de un conjunto de cargas es igual a la suma de las cargasque forman este conjunto (cada una con su signo). Por ejemplo, si tenemos en unaregion del espacio tres cargas de valores Q1 = 4,5µC, Q2 = −3,6µC y Q3 = 0,2µC, lacarga neta de esta region sera Q = Q1+Q2+Q3 = 1,1µC. No hay que olvidar que lacarga electrica es una propiedad de los cuerpos materiales. Sin soporte material no haycarga y el movimiento de la carga esta ligado al movimiento del soporte material. Amenudo, los cuerpos cargados entran en contacto, y la carga se transfiere de un cuerpoa otro. En todos los casos, se cumple que, en un proceso de transferencia de carga, lacarga neta siempre se conserva. Esta propiedad se llama principio de conservacion de

la carga.

3.2. Fuerza electrostatica

El estudio de la interaccion entre cargas en reposo se llama electrostatica, y se fun-damenta en la ley que obtuvo Coulomb, en 1785, para describir cuantitativamente lafuerza entre dos cuerpos cargados que estan en reposo uno respecto del otro en unsistema de referencia cartesiano. La ley de Coulomb se refiere a la situacion mostradaen la figura 3.1. En ella se tienen dos cargas puntuales q1 y q2 separadas por unadistancia r12 y situadas en el vacıo. Ambas cargas estan en posiciones fijas r1 y r2 conrespecto al sistema de referencia. La fuerza electrostatica Fe,12 se refiere a la fuerzaque ejerce la carga q1 sobre la carga q2. Esta fuerza viene dada en terminos del vectorde posicion relativo de q2 respecto de q1,

r12 = r2 − r1. (3.2)

El vector r12 tiene por modulo la distancia r12 entre las dos cargas, esto es |r12| = r12,su direccion es a lo largo de la recta que une las dos cargas y su sentido va desde lacarga q1 a la carga que experimenta la fuerza q2. El vector unitario u12, dado por

u12 =r12

r12=

r2 − r1

|r2 − r1|, (3.3)

determina la direccion y sentido de r12. La ley de Coulomb se escribe

Fe,12 = kq1q2r212

u12, (3.4)

siendo k la constante de Coulomb. Su valor en el vacıo es

k = 9× 109 N ·m2 · C−2, (3.5)

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Fuerza electrostatica 35

x y

z

r2

r1

O

r12

q

1

q2

Figura 3.1. Posiciones de las cargas puntuales q1 y q2 respecto del sistema de referencia de

laboratorio con origen en el punto O.

aunque es mas comun escribir

k =1

4πε0, (3.6)

donde

ε0 = 8, 85× 10−12 C2 ·N−1 ·m−2, (3.7)

es la permitividad del vacıo. En comparacion con ella, la permitividad del aire, encondiciones normales de presion y temperatura, es εaire = 1, 0005 ε0, es decir, la leyde Coulomb en el aire es practicamente igual que la ley de Coulomb en el vacıo.Por eso las conclusiones que obtengamos estudiando la electrostatica en el vacıo sonvalidas, con muy buena aproximacion, para la electrostatica en el aire.

Como se observa en la expresion (3.4), la interaccion electrostatica entre cargaspuntuales disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia entre las cargas.Esto significa que el valor de la interaccion decrece muy rapidamente a medida quelas cargas se separan de modo que, si las cargas estan muy lejos una de otra, apenasse afectan. Otra caracterıstica esencial es que la fuerza esta dirigida a lo largo de larecta que une la carga q1 con la carga q2 que experimenta la interaccion. El sentido dela fuerza electrostatica depende del valor del producto de las cargas q1q2, de maneraque si q1q2 > 0 (las cargas tienen el mismo signo), entonces la fuerza es repulsiva,y si q1q2 < 0 (las cargas tienen signo opuesto), la fuerza es atractiva, como ocurreexperimentalmente. Por ultimo, es facil ver que la fuerza Fe,21 que ejerce q2 sobre q1satisface

Fe,21 = −Fe,12, (3.8)

ası que la fuerza que ejerce q2 sobre q1 tiene el mismo modulo, la misma direccion ysentido opuesto que la fuerza que ejerce q1 sobre q2, cumpliendose la tercera ley deNewton.

La ley de Coulomb se generaliza facilmente en el caso de tener una distribucion

discreta de cargas puntuales (es decir, un numero entero de cargas puntuales indivi-duales separadas una de otra) segun el llamado principio de superposicion: las fuerzasaplicadas sobre la misma partıcula se suman como vectores (figura 3.2). Por tanto,

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36 Carga electrica

q1

q2

F20

F10

q0

F1,20

Figura 3.2. Fuerza que ejercen 2 cargas puntuales q1 y q2 sobre otra carga puntual q0. En

este ejemplo se supone que las tres cargas tienen el mismo signo, como se puede deducir del

sentido de los vectores que representan las fuerzas.

la fuerza que ejerce una distribucion discreta de cargas puntuales q1, q2, . . . , qNcon vectores de posicion r1, r2, . . . , rN, sobre una carga puntual q0 con vector deposicion r0, es

Fe,1,2,...,N0 = Fe,10 + Fe,20 + . . .+ Fe,N0. (3.9)

3.3. Conductores y dielectricos

La materia ordinaria esta formada por atomos, cuyas longitudes tıpicas son del ordende 10−10 m. A pesar de su pequeno tamano, los atomos estan formados por com-ponentes mas elementales. La zona central o nucleo esta formada por dos tipos departıculas que se llaman protones y neutrones. El proton es una partıcula con unamasa mp = 1, 7×10−27 kg y una carga positiva qp = +e = 1, 6×10−19 C. A su vez, elneutron es una partıcula sin carga cuya masa es practicamente igual que la del proton.En torno al nucleo, en cada atomo, existe un cierto numero de electrones formandouna especie de nube, de modo que casi todo el volumen de un atomo es el de su nubeelectronica. Cada electron tiene una carga negativa qe = −e = −1, 6 × 10−19 C yuna masa me = 9, 1× 10−31 kg. Su carga es la misma que la del proton pero de signoopuesto, mientras que su masa es mucho mas pequena que la de protones y neutrones,por eso la masa de un atomo esta concentrada en su nucleo.

Dado que la carga de un electron es de igual magnitud pero de signo opuesto ala de un proton, es obvio que un atomo que posea tantos protones como electrones notiene carga neta, por lo que sera neutro. Pero el numero de electrones de un atomopuede variar, bien porque los pierda, en cuyo caso el atomo se convierte en un ion

positivo o cation, o porque los gane, y el atomo se convierte en un ion negativo oanion. En ambos casos, la carga neta de un atomo sera siempre igual a un numeroentero de veces la carga fundamental e.

Veamos ahora como es posible que la carga electrica pueda moverse en el inte-rior de un material. La mayor o menor facilidad que tiene la carga para moverse enel interior de un material se llama conductividad electrica. Pero la pregunta es porque hay sustancias mejores conductoras (con mayor conductividad) que otras.

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Procesos de carga en conductores y dielectricos 37

Los electrones de un atomo se distribuyen en diferentes capas u orbitales, atraıdospor la carga positiva del nucleo. Debido a que esta atraccion disminuye mucho con ladistancia, los electrones de las ultima capas (las mas alejadas del nucleo) son atraıdoscon menor fuerza que los de las capas mas internas, existiendo ademas un efecto derepulsion entre los electrones de diferentes capas. Ası, las ultimas capas de un atomopueden perder o admitir mas facilmente electrones. Estas ultimas capas reciben elnombre de capas u orbitales de valencia.

Las sustancias en la naturaleza, por lo general, estan formadas por atomos de di-ferentes elementos enlazados entre sı electricamente. En las sustancias que presentanenlaces ionicos (iones positivos y negativos de diferentes elementos se atraen electri-camente) y covalentes (los atomos que forman las moleculas comparten uno o maselectrones de la ultima capa), todos los electrones de valencia son necesarios para elenlace atomico, de manera que no quedan electrones que puedan moverse por el inte-rior del material. Por eso la mayorıa de estas sustancias tienen baja conductividad yse les llama aislantes o dielectricos. La carga electrica se mueve con mucha dificultaden el interior de un material aislante, como la goma, la madera y muchos plasticos.

Los materiales metalicos presentan otro tipo de enlace. En el estado solido, losatomos forman una red espacial o cristal, cuya estructura se repite periodicamente.Los atomos individuales que forman la red interaccionan con sus vecinos de tal maneraque parte de los electrones de valencia intervienen en el enlace y parte se colectivizan,pasando a pertenecer al conjunto cristalino. A estos ultimos se les llama electrones

libres. La causa por la cual los metales son buenos conductores de la electricidad es queposeen muchos electrones de este tipo. Tambien existen algunos materiales, llamadossemiconductores que actuan como aislantes en determinadas condiciones ambientalesy como conductores en otras.

En realidad, no existen materiales totalmente conductores ni totalmente aislantes,sino una gama casi completa de comportamientos intermedios, en los que la facilidadpara conducir carga esta mas o menos acentuada. Pero la conductividad de un metalpuede ser mil millones de veces mayor que la de un aislante como el vidrio. Porejemplo, en un cable comun de un aparato electrico, la carga fluye a traves de variosmetros de alambre conductor desde el enchufe conectado a la red electrica hacia elaparato, y luego regresa por otro alambre en el mismo cordon, en lugar de pasardirectamente de un alambre a otro a traves de una pequena fraccion de centımetro deaislamiento plastico. Por esta razon supondremos casi siempre que un buen aislantetiene conductividad nula.

3.4. Procesos de carga en conductores y dielectricos

Existen diferentes maneras de cargar los cuerpos. Todos hemos experimentado losefectos de cargar nuestro cuerpo por friccion: tras arrastrar los pies por una alfombra,sentimos un chispazo al tocar el pomo de una puerta. En este caso, se arrancanliteralmente electrones que pasan de un cuerpo a otro. La energıa mecanica se empleaen romper los enlaces que mantienen unidos a los electrones en un cuerpo y, al quedarlibres, pueden transferirse a otro. Tambien se puede transferir carga por contacto (noes conveniente tocar las patillas metalicas de los chips de los ordenadores al manejarlos,pues podrıamos danarlos al depositar carga en ellos).

Si el material en que hemos depositado carga es un aislante, la carga normalmente

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38 Carga electrica

+

+____

++

__ _

__

+

++

+__ _

__

++

++

Figura 3.3. Carga por induccion. Una varilla cargada negativamente se acerca a una bola

de hierro inicialmente neutra colgada del techo por un hilo. Se observa que la bola es atraıda

por la varilla, debido a que se ha producido un exceso de carga positiva en la region de la

bola cercana a la varilla, contrarrestada por un exceso de carga negativa en la region de

la bola mas alejada de la varilla. Si se conecta a tierra esta region mas alejada, y se retira

despues la varilla, casi inmediatamente la bola de hierro queda cargada positivamente, con

el exceso de carga positiva colocada en toda la superficie de la bola.

se queda ligada al punto de contacto. Es posible entonces tener una distribucion decarga no uniforme. Por ejemplo, al pasar la mano por la pantalla de un ordenador oun televisor se siente un cosquilleo debido a que la carga acumulada en el cristal setransfiere a la mano. Esa carga esta formada por electrones que provienen del haz queincide sobre la pantalla por detras, algunos de los cuales se acumulan en el cristal. Sinembargo, si el material es un buen conductor, la carga depositada en el puede moversepor el interior del material. Como las cargas del mismo signo se repelen, tenderan asepararse minimizando la repulsion entre ellas. Cuando dejan de moverse, se dice quese ha alcanzado el equilibrio electrostatico, momento en el cual todo el exceso de cargase ha situado en la superficie del conductor.

Otra manera de cargar un conductor es por induccion. Por ejemplo, consideremosuna esfera metalica inicialmente neutra suspendida de un hilo no conductor, a la cualacercamos una varilla cargada negativamente segun se puede ver en la figura 3.3.La carga de la varilla repele a los electrones situados en la parte de la esfera mascercana a la varilla. Ası, mientras mantengamos la varilla cerca de la esfera, la partede esta mas proxima a la varilla presenta un exceso de carga positiva, mientras quela parte de la esfera mas alejada presenta un exceso de carga negativa. Si tocamosmomentaneamente el lado mas lejano, los electrones pueden ser conducidos hasta elsuelo: la esfera se ha puesto a tierra. La tierra es el concepto por el que designamosun deposito enorme de carga, y nuestro planeta es uno de ellos, de ahı el nombre.Por consiguiente, la esfera habra quedado cargada positivamente si a continuaciondejamos de tocarla.

En realidad, la carga por induccion no se restringe a los conductores, sino quepuede presentarse en todos los materiales. En el caso de los dielectricos, en lugar demovimiento de electrones libres, lo que ocurre al acercar la varilla cargada es unareorientacion o polarizacion de la carga electrica en las moleculas del material, demanera que los centros de las distribuciones de carga positiva y negativa en cadamolecula dejan de coincidir, como se muestra en la figura 3.4. Se genera ası un excesode carga (llamada carga ligada en este caso) de signo opuesto a la de la varilla enla superficie cercana a esta. El centro de carga de un cuerpo es un punto que se

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Ejercicios 39

+_

+_

+_

+_+_

+_

__

__

_

Figura 3.4. Polarizacion de un dielectrico por induccion.

define de manera analoga al centro de masas (visto en el capıtulo 2). Si tenemos Ncargas puntuales del mismo signo q1, q2, . . . , qN, situadas en puntos con vectores deposicion r1, r2, . . . , rN, su centro de carga es un punto situado en

rCQ =

∑Ni=1

qiri∑Ni=1

qi=

∑Ni=1

qiriQ

, (3.10)

siendo Q =∑

qi la carga total. En una molecula neutra, podemos considerar el centrode carga positiva y el centro de carga negativa. Si la molecula no esta polarizada, estosdos puntos coinciden. Sin embargo, en una molecula polarizada la posicion de los doscentros de carga sera diferente.

Una ultima aclaracion. Muchas veces se dice que carga positiva es transferidaa algun sitio o que se distribuye de algun modo. No hay nada erroneo en ello, puesdecir que se se anade carga positiva equivale a decir que se quita carga negativa: esel balance de carga total lo que importa.

3.5. Ejercicios

1. La fuerza gravitatoria con la que se atraen 2 electrones satisface la ley de Newton

Fg = Gm2

e

r2,

donde G = 6, 7 × 10−11 m3 · kg−1 · s−2 es la constante universal de la gravedad,me es la masa de un electron y r es la distancia que separa a ambos electrones.Determinar si esta fuerza gravitatoria atractiva puede compensar la repulsionelectrostatica Fe debida a la ley de Coulomb.Solucion: Fg = 2, 4 × 10−43 Fe. Por tanto, la fuerza gravitatoria es despreciablefrente a la electrostatica y no puede compensarla. Esto ocurre en la mayorıa delos casos en las aplicaciones electricas, por lo que casi siempre despreciaremos laatraccion gravitatoria entre partıculas cargadas.

2. Calcular la fuerza que ejerce una carga de 1 nC sobre otra de 2 nC si estan sepa-radas 1 cm. Determinar la masa que deben tener ambas cargas para que la fuerzagravitatoria entre ellas equilibre su repulsion electrostatica.Solucion: Fe = 1, 8× 10−4 N, m = 16, 4 kg.

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40 Carga electrica

3. En el modelo de Bohr del atomo de hidrogeno, un electron circunda a un protonen una orbita de radio r = 5, 3×10−11 m. Determinar la fuerza de atraccion entreel proton y el electron y calcular la velocidad del electron en su orbita.Solucion: Fe = 8, 2× 10−8 N, v = 2, 2× 106 m · s−1.

4. Calcular la fuerza que una carga puntual de 1mC, situada en el punto (1, 0, 0) cm,ejerce sobre otra de 1C situada en el punto (0, 1, 1) cm.Solucion: Fe = 3× 1010 (−i+ j+ k) /

√3N.

5. En los vertices de un cuadrado de 1m de lado hay 4 cargas iguales de 10−10 Ccada una. Calcular la fuerza que ejercen las demas sobre la que esta en el verticesuperior derecho y hacia donde se dirige esta fuerza.Solucion: Fe = 1, 7 × 10−10 N. La fuerza se dirige a lo largo de la diagonal delcuadrado que pasa por la carga y hacia el exterior.

6. En los vertices de un triangulo equilatero de lado L hay tres cargas de valores q,−q y 2q. Calcular la fuerza electrostatica ejercida sobre la ultima.Solucion: Elegimos el sistema de referencia de manera que la carga −q esta sobreel eje x positivo, q esta sobre el eje x negativo, y 2q esta sobre el eje y positivo.En este caso, la fuerza sobre 2q es Fe = 2kq2/L2 i.

7. Cinco cargas iguales de valor q estan igualmente espaciadas en un semicırculode radio a, de tal manera que dos de ellas estan en los extremos del semicırculo.Determinar la fuerza que ejerce esta distribucion de cargas sobre una carga Qsituada en el centro del semicırculo.Solucion: Colocamos el sistema de referencia de manera que el centro del se-micırculo esta en el origen, y todas las cargas estan en el semiplano superior delplano xy. La fuerza resulta Fe = −(kqQ/a2)(1 +

√2) j.

8. Dos bolas identicas, de masa m = 1g y carga q, se encuentran suspendidas delmismo punto del techo por hilos inextensibles de la misma longitud L = 20 cm. Enel equilibrio, las cargas estan separadas por una distancia d = 10 cm. Determinarla carga de cada bola.Solucion: q = 5, 3× 10−8 C.

9. Dos protones se encuentran situados sobre un eje vertical, separados una distancia2d = 2×10−10 m. Se situa a la misma distancia de ambos, separado del eje verticaluna distancia x ≪ d, un electron inicialmente en reposo. Calcular la fuerza sobreel electron y determinar el movimiento que realizarıa y su frecuencia.Solucion: Fe = 4,6x hacia el eje vertical. Es un MAS de frecuencia angularω = 2,1 rad · s−1.

10. Dos cargas puntuales q1 = 1mC, q2 = −2mC, estan situadas en el eje x, en lospuntos x1 = 1 cm, x2 = −2 cm. Determinar en que punto del eje x se podrıacolocar una tercera carga para que la fuerza electrostatica sobre ella fuera nula.Solucion: x = 8, 24 cm.

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Capıtulo 4

Campo electrico

4.1. Campo electrico creado por cargas puntuales

Al analizar con cuidado la expresion de la ley de Coulomb para la interaccion en-tre dos cargas puntuales en reposo, nos encontramos con el problema de la accion adistancia. Segun la ley de Coulomb, la fuerza electrostatica actua instantaneamenteentre cargas que se encuentran separadas una de otra, y sin embargo ninguna interac-cion puede propagarse a velocidad infinita. La nocion de campo electrico resuelve esteproblema. Historicamente la electrostatica se desarrollo como el estudio de fenome-nos electricos macroscopicos. Ası, las idealizaciones que emplearemos para su estudio,como las cargas puntuales o los campos electricos en un punto dado, deben entender-se como herramientas matematicas que permiten comprender los fenomenos a nivelmacroscopico, aunque puedan no tener significado a nivel microscopico.

Definicion de campo electrico

Consideremos una carga puntual q, con vector de posicion r, que experimenta unafuerza electrostatica Fe debida a la accion de otra carga puntual q0 que esta en r0. Lascargas estan arbitrariamente lejos una de otra. Podemos pensar que la carga fuenteq0 ha modificado el espacio que la rodea de tal manera que, en cada punto de esteespacio, ha creado un campo electrico. Ası, la interaccion entre la carga fuente q0 yla carga q ya no es una accion a distancia, sino una interaccion de contacto entreel campo electrico que crea q0 en el punto r y la carga q que se encuentra tambienen ese punto. Para obtener el campo electrico creado por q0 en r, suponemos que qes pequena en comparacion con q0, de tal manera que no afecta considerablementeal proceso de medicion del campo electrico. Se dice entonces que q es una carga de

prueba. Podemos escribir la fuerza electrostatica Fe que ejerce q0 sobre q como

Fe = qE. (4.1)

Lo que hemos hecho en la ecuacion (4.1) es separar la parte de la fuerza que dependede la carga de prueba q de la parte que depende de la carga fuente q0 y del punto delespacio r en el que se mide la fuerza. Se define el campo electrico como

E =Fe

q, (4.2)

41

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42 Campo electrico

es decir, es la fuerza electrostatica ejercida sobre una carga de prueba q dividida porla propia carga de prueba. La unidad SI de campo electrico es 1N · C−1. Se usa amenudo otra unidad, llamada voltio (V), tal que 1V = 1N·m·C−1. Con ella la unidadde campo electrico resulta 1V ·m−1.

Distribuciones discretas de cargas puntuales

En consecuencia, por aplicacion de la ecuacion (4.2), cuando la fuente del campoelectrico es una carga puntual q0 situada en el punto P0, con vector de posicion r0, dela ley de Coulomb se obtiene que el campo electrico E(r) creado por q0 en el puntoP , con vector de posicion r, es

E(r) = kq0uP0P

|r− r0|2= kq0

r− r0

|r− r0|3, (4.3)

donde uP0P es el vector unitario que apunta desde el punto P0 al punto P , de maneraque las dos expresiones para el campo electrico que aparecen en la ecuacion (4.3) sontotalmente equivalentes.

En el caso de tener distribuciones discretas de cargas puntuales, el campo electricosatisface tambien, como lo hacıa la fuerza electrostatica, el principio de superposicion,indicando que los campos electricos que actuan en el mismo punto se suman comovectores. Por tanto, el campo electrico creado por una distribucion discreta de cargaspuntuales q1, q2, . . . , qN, situadas en los puntos r1, r2, . . . , rN, sobre un punto r,es

E1,2,...,N(r) = E1(r) +E2(r) + . . .+EN (r). (4.4)

Lıneas de campo electrico

Una manera muy util de representar graficamente un campo es a traves de las lıneasde campo, que son lıneas tangentes al campo en cada punto del espacio. En el casoelectrico, estas lıneas son tambien tangentes a la fuerza que experimenta una carga deprueba en ese punto por la definicion (4.1). Sin embargo, las lıneas de campo electricono tienen por que coincidir con la trayectoria que seguirıa la carga de prueba, ya quela trayectoria no depende solo de la aceleracion sino tambien de la velocidad. Veremosun ejemplo de esto en el apartado 4.3.

En la figura 4.1 se muestran las lıneas de campo electrico de una carga puntualpositiva. El espaciado de las lıneas se relaciona directamente con la intensidad delcampo electrico, de manera que, a medida que nos alejamos de la carga, el campoelectrico se debilita y las lıneas se separan. Adoptaremos, pues, el convenio de dibujarun numero fijo de lıneas desde una carga puntual, siendo tal numero proporcional alvalor de la carga, y ademas dibujaremos las lıneas simetricamente alrededor de la cargapuntual, de manera que la intensidad del campo venga determinada por la densidadde las lıneas. Para una carga positiva, las lıneas se alejan de la carga, y decimos quela carga positiva es una fuente del campo. Para una carga puntual negativa, las lıneasse dirigen hacia la carga, que se denomina sumidero del campo.

En la figura 4.2 se muestran las lıneas de campo para dos cargas puntuales po-sitivas iguales, separadas por una pequena distancia. Como se ve en la figura, muycerca de cada carga el campo es aproximadamente igual al que producirıa esa carga,pues la otra esta comparativamente muy lejos. Ası, las lıneas de campo cerca de cada

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Distribuciones continuas de carga 43

+Q

Figura 4.1. Lıneas de campo electrico de

una carga puntual positiva

+Q +Q

Figura 4.2. Lıneas de campo electrico de

dos carga puntuales positivas iguales.

carga son radiales y equidistantes. Ademas, como las cargas son iguales, se pintael mismo numero de lıneas partiendo de cada una. A distancia muy grande de lascargas, un observador no podrıa distinguir si se trata de una carga de valor 2q o dedos cargas cercanas de valor q. Esto se refleja en las lıneas que, a gran distancia delas cargas, son radiales y equidistantes. Por ultimo, en el espacio entre ambas cargas,podemos imaginar como se comportarıa una carga positiva de prueba: serıa repelidapor ambas, de manera que las lıneas en la zona intermedia tienden a escapar de lascercanıas de las cargas. Como vemos, las lıneas de campo nos dan mucha informacionsobre el propio campo sin necesidad de calcularlo explıcitamente. El caso de una cargapositiva y otra negativa puede verse en la figura 4.8.

4.2. Distribuciones continuas de carga

En situaciones macroscopicas, la distribucion de carga en un cuerpo no se puede des-cribir adecuadamente como un conjunto discreto de cargas puntuales en su interior.Para mostrar esta imposibilidad consideremos un trozo de material de un volumendado V en el que medimos una carga Q = −1C. Si las cargas puntuales que con-tribuyen a Q son basicamente electrones, habrıa que tener en cuenta la posicion, enel interior del material, de unas 1019 partıculas, calcular el campo electrico que creacada una de ellas, y sumar todos estos campos para hallar el campo electrico totalque crea ese volumen. Esto es, a todas luces, intratable.

En general, no es practico considerar un cuerpo cargado como una distribuciondiscreta de cargas puntuales. En lugar de esto, se considera la carga en un cuerpomacroscopico como una distribucion continua en su interior. Segun esta descripcion,el volumen total del cuerpo, que tiene una carga total Q, se puede dividir en unnumero indeterminado de pequenos elementos de volumen que tienen cada uno unacarga infinitesimal dq. Cada uno de estos elementos contribuye al campo electricototal que crea la distribucion con un elemento de campo dE, que se supone que tienela forma dada por la ley de Coulomb. El campo total se obtiene despues sumando loselementos de campo dE, pero tal suma no es una suma discreta sino una suma en el

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44 Campo electrico

r0 r P

dq

Figura 4.3. El campo electrico total en un punto P creado por una distribucion continua de

carga es la suma continua de los elementos de campo creados por las cargas infinitesimales

dq que forman la distribucion. Estos elementos de campo siguen la ley de Coulomb.

continuo, es decir, una integral.Consideremos un cuerpo (figura 4.3) con una carga total Q. Escogemos un punto

cualquiera P0 del interior del cuerpo, con vector de posicion r0. Alrededor de P0 setoma un trozo infinitesimal de material en el que hay una carga infinitesimal que es-cribiremos como dq. Dado que estamos ante una carga distribuida en un muy pequenoespacio, el campo electrico que crea en un punto P se puede aproximar por el de unacarga puntual de valor dq segun la ley de Coulomb. En efecto, si r es el vector deposicion del punto P en el cual queremos calcular el campo electrico dE creado porla carga dq, entonces

dE = k dqr− r0

|r− r0|3. (4.5)

Para calcular ahora el campo total que crea toda la distribucion continua de cargaen el punto P se han de sumar las contribuciones de todos los elementos de carga dq.Como estamos en una situacion continua, en la que no se pueden contar uno a unoestos elementos de carga, esta suma se escribe como la integral

E(r) = k

Q

dqr− r0

|r− r0|3, (4.6)

que nos da la expresion general del campo electrico creado por una distribucion conti-nua de carga estatica. En cualquier caso, esta expresion puede ser difıcil de manejar.En el siguiente capıtulo veremos un camino que, en ocasiones, simplifica mucho lascosas para calcular un campo electrico en situacion de alta simetrıa.

Campo electrico creado por un filamento en su eje

Un ejemplo de distribucion homogenea de carga es el que aparece en el calculo delcampo electrico creado en un punto P por un filamento rectilıneo de carga homogeneaQ y longitud L como podemos ver en la figura 4.4. Carga homogenea es la que sedistribuye en el cuerpo de tal modo que a volumenes iguales corresponden cargasiguales. En este caso, la carga se distribuye homogeneamente a lo largo de una lıneade longitud L, es decir, todos los trozos de longitud dℓ dentro de la lınea tienen la

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Distribuciones continuas de carga 45

dx0P

x

L

Figura 4.4. Calculo del campo electrico creado por una carga rectilınea finita en un punto

P de su eje. Un segmento infinitesimal de longitud dx0 crea un campo en P que puede

considerarse como el creado por una carga puntual.

misma carga dq. Se define la densidad lineal de carga λ como la carga por unidad delongitud,

λ =dq

dℓ, (4.7)

cuya unidad es 1C ·m−1. Una manera sencilla de expresar que una distribucion linealde carga es homogenea es decir que la densidad lineal de carga es uniforme, siendo lamisma en todos los puntos de la distribucion. En este caso, todos los puntos tienendensidad lineal

λ =Q

L, (4.8)

siendo Q la carga total y L la longitud total. En el siguiente capıtulo veremos tambienlas definiciones de densidad superficial y densidad volumetrica.

Volvamos al ejemplo de la figura 4.4. Por conveniencia, situamos el filamentode carga en el eje x, desde el origen x0 = 0 hasta el punto x0 = L. El punto Pse encuentra tambien en el mismo eje y a la derecha del filamento, en x > L. Enconsecuencia, el campo en P tiene la forma

E = E i, (4.9)

donde E sera positivo o negativo dependiendo de si la carga del filamento es positivao negativa. Para calcular el valor de E en P , escogemos arbitrariamente un segmentoinfinitesimal de filamento cargado, de longitud dx0, cuyo centro se encuentra a distan-cia x0 del origen. Segun la ecuacion (4.7), este segmento tiene una carga dq = λ dx0.El campo electrico, de valor tambien infinitesimal y de modulo dE puede ser calculadoen el punto P mediante la ley de Coulomb,

dE =kλ dx0

(x− x0)2. (4.10)

Para calcular el campo que crea toda la distribucion lineal de carga, se ha de integrar laexpresion (4.10) a todos los puntos del filamento, teniendo en cuenta que λ es constantea lo largo del filamento por tratarse de una distribucion de carga homogenea. Se llegaası a la expresion

E =

∫ L

0

(x− x0)2dx0 =

kQ

x(x− L), (4.11)

donde se ha usado que λ = Q/L.

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46 Campo electrico

v0

E0

l d

h

m

R

x

y

Figura 4.5. Desviacion de una carga positiva por un campo electrico uniforme.

4.3. Movimiento de una carga de prueba

Conocida la manera de calcular el campo electrico E que crea cierta distribucion decarga estatica, consideremos el comportamiento de una carga de prueba q inmersa enun campo electrico. La segunda ley de Newton establece que una partıcula de masam sometida a una fuerza externa F sufre una aceleracion a = F/m. Por la definicionde campo electrico dada en la ecuacion (4.2), la carga de prueba esta sometida a unafuerza electrostatica Fe = qE. Por tanto la aceleracion que adquiere debida al campoelectrico externo es

a =q

mE, (4.12)

siendo m la masa de la partıcula cargada. Si se conoce el campo electrico externo yse mide la aceleracion de una carga de prueba inmersa en el, la ecuacion (4.12) nosinformarıa de la relacion carga-masa de la partıcula.

Carga de prueba en un campo electrico uniforme

Consideremos la situacion de la figura 4.5. En ella, una partıcula de masa m y cargaq entra con velocidad inicial v0 en una region R en la que hay un campo electrico E0

uniforme perpendicular a v0 (dibujado en la figura mediante sus lıneas de campo, queson paralelas y equidistantes entre sı). Fuera de esta region, no hay campo electrico1.

Tomamos como eje x uno paralelo a la velocidad inicial de la carga, y como ejey uno paralelo al campo electrico E0. Mientras esta en la region R, de longitud l, lacarga tiene una aceleracion constante

a =qE0

m, (4.13)

1 El campo electrico al que se refiere este ejemplo se crea por un par de placas metalicas paralelas, con

la misma carga pero de signo opuesto. Este dispositivo se llama condensador plano, y se tratara en

el apartado 5.6. Por ahora, nos basta con saber que el campo que crea un condensador plano es

practicamente nulo fuera de la region entre las placas, y es uniforme entre las placas, siendo su

direccion perpendicular a ambas placas y dirigido desde la placa positiva a la negativa

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Energıa potencial electrostatica 47

dirigida a lo largo del eje y. Por tanto, dentro de R, la carga efectua un movimientoparabolico (semejante al movimiento de proyectiles), desviandose debido al campoelectrico.

Despues de R, la carga entra en una region en la que no hay campo electrico, demodo que no siente ninguna aceleracion y sigue un movimiento rectilıneo uniformehasta que choca con una pantalla situada a distancia d. La altura h a la cual lacarga choca con la pantalla se puede determinar usando las reglas de la cinematica,obteniendose

h =qE0l

mv20

(l

2+ d

). (4.14)

Muchas aplicaciones tecnologicas, como el monitor del ordenador, el tubo deimagen de un televisor o el osciloscopio, se basan en esta idea. Esencialmente estosdispositivos constan de un tubo de rayos catodicos y una pantalla fluorescente. Eltubo de rayos catodicos es un tubo de vacıo en el que se acelera y desvıa un haz deelectrones mediante campos electricos y magneticos. Los campos que desvıan el haz secrean perpendiculares al tubo mediante placas metalicas cargadas. El haz es inyectadoen uno de los extremos del tubo y viaja hacia el otro extremo, donde impacta con lapantalla. Esta al ser bombardeada emite luz.

4.4. Energıa potencial electrostatica

En el capıtulo 2, vimos que el trabajo que realiza una fuerza en el desplazamiento dela partıcula sobre la que actua es una medida de lo eficaz que es esa fuerza para quela partıcula realice ese desplazamiento. Cuando la fuerza es conservativa, el trabajoque realiza se relaciona con la variacion de una energıa potencial.

Consideremos ahora una carga de prueba q que se mueve bajo la influencia delcampo electrico E creado por cierta distribucion de carga. El trabajo que realiza lafuerza electrica Fe = qE en una trayectoria de la carga de prueba q desde el punto Aal punto B es

W =

∫ B

A

Fe · dr. (4.15)

La fuerza electrostatica es conservativa, debido a que el campo electrostatico no de-pende explıcitamente ni de la velocidad de la carga de prueba ni del tiempo. El trabajorealizado por la fuerza electrostatica sobre una carga de prueba se escribe entonces

W = −[Ue(B)− Ue(A)] = −∆Ue, (4.16)

donde Ue es la energıa potencial electrostatica. Ahora bien, dado que el campo electricoes la fuerza por unidad de carga, podemos definir la energıa potencial por unidad decarga como

W = −q[V (B)− V (A)], (4.17)

donde

V =Ue

q, (4.18)

se llama potencial electrostatico, y la variacion

∆V = V (B)− V (A) =−W

q, (4.19)

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48 Campo electrico

se llama diferencia de potencial entre A y B. La unidad de potencial electrostatico(y de diferencia de potencial) es el voltio, pues 1V = 1J · 1C−1. Es importantenotar que ni la energıa potencial electrostatica ni el potencial electrostatico se puedendeterminar en sentido absoluto: solo tienen sentido las diferencias entre sus valoresen puntos diferentes. Por eso es comun establecer valores de referencia para estascantidades, como se especificara mas adelante.

Energıa de una carga en un campo electrostatico

Supongamos que sobre una carga de prueba solo ejerce trabajo la fuerza electrostatica.Dado que es conservativa, segun el principio de conservacion de la energıa la suma dela energıa cinetica y la energıa potencial electrostatica resulta

1

2mv2 + qV = constante. (4.20)

De aquı, si q se mueve desde el punto A al punto B,

1

2mv2B − 1

2mv2A = −q [V (B)− V (A)] . (4.21)

Como consecuencia,

Si q es una carga positiva, se acelera cuando se dirige hacia puntos de menorpotencial y se frena cuando se dirige a puntos de mayor potencial.Si q es una carga negativa, se frena cuando se dirige hacia puntos de menorpotencial y se acelera cuando se dirige hacia puntos de mayor potencial.

Volvamos al caso de la figura 4.5, donde una carga positiva q de masa m, con veloci-dad inicial v0, entra en la region entre las placas de un condensador plano, donde hayun campo electrico E0 uniforme, de tal manera que la velocidad inicial de entrada esperpendicular al campo electrico. Como vimos en el apartado 4.3, esta carga adquiereuna aceleracion a = (q/m)E0 paralela al campo electrico, de modo que efectua unmovimiento parabolico en el plano que forman los vectores v0 y E0, curvandose haciala placa negativa del condensador. Como se desprende de la figura 4.5, durante latrayectoria de la carga, la velocidad tiene una componente positiva en la direcciondel campo electrico, por lo que el trabajo efectuado por la fuerza electrostatica sobrela carga es positivo. Por otro lado, al moverse la carga hacia la placa negativa delcondensador, lo hace hacia puntos de menor potencial, disminuyendo su energıa po-tencial. Ası, su energıa cinetica debe crecer, es decir, la carga se acelera hacia la placanegativa.

4.5. Potencial electrostatico

Veamos la relacion entre el campo electrico y el potencial creados por cierta distri-bucion de carga estatica Q. Para ello consideramos el trabajo dW realizado por lafuerza electrostatica Fe = qE en un desplazamiento infinitesimal dr de una carga deprueba q. Segun la expresion (4.19), se satisface la igualdad

dV = −dW

q= −qE · dr

q= −E · dr. (4.22)

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Potencial electrostatico 49

q

q

0

E B

A

Figura 4.6. Una carga puntual positiva q0 en reposo, crea un campo electrico que actua

sobre una carga de prueba q. La diferencia de potencial electrostatico creado por la carga q0entre los puntos A y B es la que experimenta q.

Si la carga de prueba q se mueve entre dos puntos A y B, la diferencia de potencialentre estos puntos es una suma de diferencias de potencial infinitesimales dadas por laexpresion (4.22). En consecuencia, la diferencia de potencial entre A y B es la integralde la ecuacion (4.22),

∆V = V (B)− V (A) = −∫ B

A

E · dr. (4.23)

La relacion (4.23) entre campo y potencial implica que el potencial electrostatico nodepende de la carga de prueba. Lo que sı depende de la carga de prueba q es lavariacion de su energıa potencial electrostatica cuando se mueve entre A y B, dadapor

∆Ue = Ue(B)− Ue(A) = −q

∫ B

A

E · dr. (4.24)

Se puede dar una expresion para el potencial electrostatico en funcion de las coor-denadas de un punto generico teniendo en cuenta que siempre queda una constantede integracion por determinar. Esta constante de integracion se puede fijar asignandoun origen de potencial, para ası determinar diferencias respecto a el. A partir de laecuacion (4.23), resulta

V (r) = −∫

E · dr. (4.25)

Potencial creado por cargas puntuales

Como ejemplo, calculemos el potencial creado por una carga puntual q0 situada enreposo en el origen. Esta carga ejerce una fuerza electrostatica, en virtud del campoque crea, sobre una carga de prueba q que, inicialmente, se encuentra en reposo en unpunto A a una distancia rA de q0 (segun la figura 4.6). La carga q se mueve entoncesa lo largo de la recta que pasa por el origen y el punto A. Eventualmente, pasa por unpunto B a distancia rB de q0. Utilizando la ley de Coulomb para el campo electricocreado por q0 y el hecho de que el potencial no depende de la trayectoria seguida,podemos tomar un desplazamiento radial, de manera que dr = dr ur, y

∆V = V (B)− V (A) = −∫ B

A

E · dr = −∫ B

A

kq0r2

dr =kq0rB

− kq0rA

. (4.26)

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50 Campo electrico

Dada la expresion obtenida, se puede elegir un origen de potencial a distancia infinitade la carga de prueba, es decir, elegir un potencial nulo en el infinito. Esto puedehacerse siempre que no haya cargas fuente a distancia infinita de q0. Ası, el potencialelectrostatico creado por una carga puntual q0, situada en el origen, es

V (r) =kq0r

, (4.27)

siendo V∞ = 0.De manera completamente analoga, el potencial creado por la carga fuente q0

situada en r0 es

V (r) =kq0

|r− r0|. (4.28)

Como se ve en estas expresiones, el potencial electrostatico creado por una cargapuntual positiva es siempre positivo (si es cero en el infinito) y el potencial creado poruna carga puntual negativa es siempre negativo (si es cero en el infinito). En otraspalabras, el potencial que crea una carga positiva es mayor en todo punto que en elinfinito, y el potencial que crea una carga negativa es menor en todo punto que en elinfinito.

Para distribuciones discretas de cargas puntuales, el potencial electrostatico sa-tisface el principio de superposicion, como el campo electrico, pero esta vez los po-tenciales que actuan en el mismo punto se suman como escalares. Ası, el potencialcreado por una distribucion discreta de cargas puntuales q1, q2, . . . , qN, situadas enlos puntos r1, r2, . . . , rN, sobre un punto r, es

V1,2,...,N(r) = V1(r) + V2(r) + . . .+ VN (r). (4.29)

Superficies equipotenciales

Una manera muy util de representar graficamente el potencial electrostatico es atraves de superficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es el conjunto delos puntos para los cuales el potencial electrostatico es constante. Por ejemplo, en elcaso de una carga puntual q0 situada en el origen, el potencial que crea es V = kq0/r.Por tanto, los puntos con el mismo valor de r tienen el mismo potencial. Esto indicaque las superficies equipotenciales son, en este caso, superficies esfericas centradas enq0. Hay pues infinitas superficies equipotenciales, cada una de ellas dada por un valorde r.

Un par de ejemplos de superficies equipotenciales aparecen en las figuras 4.7 y 4.8.En la segunda de estas figuras se ven las lıneas de campo y superficies equipotencialescreadas por un dipolo electrico, que es un par de cargas puntuales de igual magnitudy signo opuesto, q y −q, separadas por una distancia a muy pequena.

Dado que ∆V = −W/q, resulta que la fuerza electrostatica sobre una carga q noejerce trabajo cuando esta carga se mueve sobre una superficie equipotencial. Estoocurre porque, sobre la superficie equipotencial, se cumple que ∆V = 0, de modo queW = 0 y la carga de prueba no varıa su energıa potencial electrostatica al moversesobre una superficie equipotencial.

Una segunda propiedad es que el campo electrico que crea una distribucion decarga es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales creadas por la misma

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Ejercicios 51

+Q

Figura 4.7. Superficies equipotenciales y

lıneas de campo creadas por una carga

puntual positiva.

+Q −Q

Figura 4.8. Superficies equipotenciales

y lıneas de campo creadas por un dipo-

lo electrico.

distribucion. Esto es una consecuencia de la expresion (4.22) ya que, cuando el des-plazamiento dr es a lo largo de una superficie equipotencial, el potencial no cambia,de modo que dV = −E · dr = 0, con lo cual el campo electrico ha de ser ortogonal aldesplazamiento.

Por ultimo, las lıneas de campo electrico apuntan en el sentido en que disminuyeel potencial. De nuevo, esto puede comprobarse en las figuras 4.7 y 4.8, y tambienmirando la ecuacion (4.22). Si el desplazamiento infinitesimal dr de la carga de pruebaes paralelo al campo electrico, resulta que el valor de la diferencia de potencial dV esnegativo y alcanza su valor mınimo.

4.6. Ejercicios

1. Se tienen dos cargas puntuales q1 = 4nC y q2 = −2 nC en los puntos P1(0, 0, 0) yP2(4m, 3m, 0), respectivamente. Calcular el campo electrico en el punto P2(0, 3m, 0).Solucion: E = 9/8V ·m−1 i+ 4V ·m−1 j.

2. Un dipolo electrico es un sistema formado por cargas puntuales opuestas q y −qseparadas por una pequena distancia a. Obtener el campo electrico creado porun dipolo en un punto de su mediatriz a distancia d del eje del dipolo. Aproximarel resultado anterior si a ≪ d.Solucion: E = kqa/[d2 + (a/2)2]3/2, dirigido paralelamente al vector que une lacarga positiva con la carga negativa del dipolo. Cuando a ≪ d, E = kqa/d3.

3. Un filamento rectilıneo de longitud L tiene una carga positiva Q distribuidahomogeneamente a lo largo de su longitud. Calcular el campo electrico en unpunto P de su mediatriz a distancia d del filamento.Solucion: E = 2kQ/(d

√L2 + 4d2). El campo se dirige a lo largo de la mediatriz,

desde el filamento hacia el punto P .4. Un filamento cerrado en forma de anillo de radio a tiene una carga Q distribuida

homogeneamente en su longitud. El anillo esta situado en el plano xy, con centroen el origen. Determinar el campo electrico en un punto P situado en el eje z.Solucion: E = kQz/(a2 + z2)3/2 k.

5. Obtener la ecuacion (4.14) para la altura a la que llega una carga q tras seracelerada por un campo uniforme.

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52 Campo electrico

6. Tres cargas puntuales iguales de valor q se encuentran inicialmente situadas enel infinito. Se van trayendo una a una y se colocan en los vertices de un trianguloequilatero de lado L. Determinar la variacion de la energıa potencial electrostaticadel sistema.Solucion: ∆Ue = 3kq2/L.

7. Se consideran dos cargas puntuales q1 = 4nC y q2 = −2 nC en los puntosP1(0, 0, 0) y P2(4m, 3m, 0), respectivamente. Calcular la energıa electrostaticade este sistema de cargas y determinar la variacion de energıa potencial de lacarga q2 si se mueve desde el punto P2 al punto P3(3m, 0, 0).Solucion: Ue = −14, 4× 10−9 J. ∆Ue = −9, 6× 10−9 J.

8. Supongamos que la carga q2 del problema anterior se encuentra en el punto P2

en reposo, y luego se mueve hasta el punto P3. Calcular con que velocidad llegaa este punto si tiene una masa m = 2× 10−12 kg.Solucion: v = 310m · s−1.

9. En una region R existe un campo electrico uniforme E = 2× 103 V ·m−1 i+ 4×103 V·m−1 j. Se consideran los tres puntosA(0, 0, 0),B(4 cm, 0, 0) y C(4 cm, 3 cm, 0)en la region. Determinar las diferencias de potencial entre cada pareja de estospuntos.Solucion: VB − VA = −80V, VC − VB = −120V, VC − VA = −200V.

10. Consideremos un condensador plano, que genera un campo electrico uniformeE = 2× 103 V ·m−1 i en cierta region del eje x. El potencial del punto x = 0 esV0 = 120V. Determinar el potencial de los puntos x = 2 cm y x = 8 cm. Calcularla posicion del punto que se encuentra a potencial nulo.Solucion: V2 = 80V, V8 = −40V, x0 = 6 cm.

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Capıtulo 5

Ley de Gauss

5.1. Flujo electrico

Una cantidad importante cuando se estudian las propiedades de un campo vectorial,como es el caso del campo electrico, es el flujo del campo a traves de una superficie.Para entender bien el significado del flujo, consideremos un campo electrico uniformeE. En la figura 5.1 se han dibujado algunas lıneas electricas correspondientes a uncampo uniforme. Se considera tambien una superficie plana de area S. La cuestion escuantas de las lıneas de este campo electrico atraviesan la superficie.

En primer lugar, el numero N de lıneas de campo que atraviesan una superficie esproporcional al campo pues la intensidad del campo viene determinada por la densidadnumerica de las lıneas. En segundo lugar, este numero ha de ser proporcional al areaS de la superficie, pues si el area se hace mayor mas lıneas atravesaran la superficie.Por tanto, tenemos una dependencia del tipo

N ∝ E S. (5.1)

La expresion (5.1) es aun incompleta porque N depende tambien de la orientacionde la superficie, como se ve en la figura 5.1. Para tener esto en cuenta, se consideraun vector unitario normal n perpendicular a la superficie en cada punto. En el casode una superficie plana, como la de la figura 5.1, todos los puntos tienen el mismovector n. En este caso, es facil ver que el numero de lıneas que atraviesan la superficie

S

α E

Figura 5.1. Algunas lıneas de un campo electrico uniforme atraviesan una superficie. El

flujo electrico es proporcional al numero de estas lıneas.

53

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54 Ley de Gauss

depende de la componente del vector E a lo largo del vector n, es decir, del productoescalar de estos vectores,

N ∝ E S cosα = (E · n)S = E · S, (5.2)

donde, en el ultimo termino, se ha definido el vector S de la superficie plana comoS = S n. La cantidad

Φe = E · S, (siE uniforme y S plana) , (5.3)

se llama flujo del campo electrico uniforme E a traves de la superficie plana. La unidadde flujo electrico es 1V ·m.

Cuando el campo electrico no es uniforme en la superficie (no tiene el mismovalor en todos los puntos de ella) o bien la superficie no es plana (el vector normaln no es el mismo en cada uno de sus puntos), la expresion (5.3) no es correcta. Parageneralizarla, se toma un elemento de superficie de area infinitesimal dS con vectordS = dS n, dentro de la cual el producto escalar E ·n es aproximadamente uniforme yel flujo (infinitesimal) a traves del elemento de area se puede expresar mediante (5.3)como

dΦe = E · dS. (5.4)

Para calcular el flujo a traves de toda la superficie se han de sumar en el continuolas contribuciones de cada una de las regiones infinitesimales de area dS. Resultaentonces la expresion general

Φe =

S

E · dS. (5.5)

5.2. Ley de Gauss

La ley de Gauss es uno de los resultados fundamentales del electromagnetismo. Mien-tras que la ley de Coulomb solo es valida en situaciones estaticas, la ley de Gauss esgeneral y valida para cualquier campo electrico. Esta ley es una relacion directa entreel flujo electrico a traves de una superficie cerrada y la carga que se encuentra en elespacio encerrado por esa superficie.

Consideremos el campo creado por una carga puntual q situada en el origen ycalculemos el flujo de este campo a traves de la superficie de una esfera con centro en lacarga y radio a. La situacion se muestra en la figura 5.2. Segun se ve en esta figura, elhecho de tener una superficie esferica en este caso se traduce en que el campo electricocreado por la carga y el vector normal a la superficie S en cada punto son paralelos. Elresultado, sin embargo, no va a depender de como sea la superficie mientras encierrea la carga puntual. Usando la ley de Coulomb para el campo electrico creado por lacarga, se cumple

E · dS =kq

r2dS, (5.6)

donde r es la distancia que hay entre la carga y un punto cualquiera del espacio. Parapuntos de la esfera, tomamos r = a para calcular el flujo a traves de ella. Aplicandoahora la definicion de flujo (5.5), se llega a

Φe =

S

E · dS =

S

kq

a2dS, (5.7)

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Ley de Gauss 55

+Q

Figura 5.2. Calculo del flujo del campo creado por una carga puntual situada en el origen a

traves de la superficie de una esfera con centro en la carga. En las operaciones, es importante

notar que el campo electrico y el vector normal son paralelos en cada punto de la superficie

esferica.

donde el cırculo en la integral significa que la superficie sobre la que se integra es unasuperficie cerrada (es una buena forma de no olvidarlo). Sacando fuera de la integraltodas las constantes,

Φe =kq

a2

S

dS. (5.8)

Lo que queda por hacer es sencillo: la integral en una superficie del elemento de areadS es, simplemente, el area total S de la superficie. Por tanto, dado que el area deuna esfera de radio a es 4πa2, y teniendo en cuenta que k = 1/(4πε0),

Φe =kq

a2S = 4πkq =

q

ε0. (5.9)

Hemos obtenido que el flujo no depende del radio a de la esfera. Si lo pensamos unpoco, esto tiene sentido. Dado que el flujo cuenta el numero de lıneas de campo queatraviesan una superficie, una vez tenemos una superficie que encierra la fuente delas lıneas, que es la carga puntual q, da lo mismo el radio de esa superficie, e inclusoda lo mismo su forma mientras encierre a q. En otras palabras, el flujo a traves deuna superficie cerrada solo depende de las fuentes y sumideros de lıneas que encierrala superficie. Las fuentes y sumideros que se encuentren fuera de la superficie cerradano pueden afectar al flujo a traves de esta porque las lıneas que crean entran y salende la superficie dando lugar a un flujo neto nulo.

La ley de Gauss resume todo esto: el flujo electrico a traves de una superficie

cerrada cualquiera es igual a la carga total encerrada por ella, que llamaremos Qint,dividida por ε0, ∮

S

E · dS =Qint

ε0. (5.10)

En esta expresion, el factor 1/ε0 solo aparece por cuestiones de unidades. Lo impor-tante es la presencia de Qint, que es la suma de las fuentes y sumideros que dan lugara lıneas de campo que atraviesan la superficie un numero impar de veces y dan, portanto, contribucion neta al flujo. Como un ejemplo, en la figura 5.3 se han pintadoalgunas lıneas del campo creado por cierta distribucion de carga Q. El flujo de es-te campo a traves de la superficie S es Q1/ε0, siendo Q1 la carga encerrada por la

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56 Ley de Gauss

Q1

S

_Q 1Q

Figura 5.3. Segun la ley de Gauss, el flujo a traves de la superficie de la figura es Q1/ε0.

superficie. El resto de la carga, que es Q − Q1, es fuente de lıneas de campo que noatraviesan la superficie, o que la atraviesan un numero par de veces, de modo queesta carga no contribuye al flujo.

5.3. Campo creado por una esfera homogenea

La ley de Gauss permite calcular el flujo de cualquier distribucion de carga a traves decualquier superficie cerrada en situaciones en que ni siquiera tenemos una expresionpara el propio campo. Solo se necesita conocer la carga que encierra la superficie queconsideremos. Se llama superficie gaussiana aquella superficie cerrada a traves de lacual calculamos el flujo.

Una de las aplicaciones de la ley de Gauss es el calculo de campos electricoscuando la distribucion de carga presenta alta simetrıa. Para conocer el campo que crea,en estos casos se puede elegir una superficie gaussiana en la que el campo electrico esuniforme. El flujo de este campo se relaciona con la carga encerrada por la superficiegaussiana que hemos elegido y ası se puede obtener el modulo del campo.

Un ejemplo de calculo de un campo mediante la ley de Gauss es el creado por unaesfera de radio R con una carga Q distribuida homogeneamente en todo su volumen.Se define la densidad volumetrica de carga ρ como la carga por unidad de volumenque hay en una porcion infinitesimal de la distribucion,

ρ =dq

dV . (5.11)

La unidad de densidad volumetrica de carga es 1C·m−3. Cuando la carga se distribuyehomogeneamente en un volumen V, todos los puntos de este volumen tienen la mismadensidad de carga, igual a

ρ =Q

V , (5.12)

y se dice que la densidad de carga es uniforme. Para la esfera de nuestro problema,la densidad volumetrica uniforme de carga tiene un valor

ρ =3Q

4πR3. (5.13)

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Campo creado por una esfera homogenea 57

Q

P

n E(r)

Figura 5.4. Esfera de carga homogenea y superficie gaussiana para el calculo del campo

electrico.

Pasemos a calcular el campo electrico. Colocamos el origen del sistema de re-ferencia en el centro de la esfera, segun la figura 5.4. Por razones de simetrıa de ladistribucion de carga, suponemos que el campo electrico en un punto P :

Tiene direccion radial, segun el vector unitario ur. Para comprender esto, ima-ginemos un elemento de volumen cualquiera del interior de la esfera y su simetricocon respecto a la recta que une el centro de la esfera y el punto P . Las contri-buciones de estos dos elementos de volumen se suman en el punto P para dar,efectivamente, un campo en la direccion del vector ur.Su modulo depende de la distancia r al centro de la esfera, pues la distribucion decarga solo depende de esta cantidad (un caso particular es el de una distribucionesferica homogenea).

Cuando se cumplen estas dos suposiciones, decimos que el campo electrico tiene si-

metrıa esferica y escribimosE(r) = E(r)ur. (5.14)

Ahora, hemos de elegir una superficie gaussiana en la que el campo valga lo mismoen todos sus puntos. Dada la expresion (5.14), esta superficie gaussiana particular esla de una esfera concentrica con la esfera de carga y cuyo radio r sea la distanciadesde el origen hasta el punto donde se va a calcular el campo electrico. El vectornormal exterior n a la esfera de radio r en cada punto es paralelo al campo electricoen ese mismo punto (ver la figura 5.4), de manera que el flujo a traves de la superficiegaussiana es

Φe =

Sr

E · dS =

Sr

E(r) dS. (5.15)

Sr significa que se esta calculando el flujo a traves de la esfera de radio r. Pero E(r)es uniforme en esa esfera, de manera que es una constante para la integral y se puedeescribir

Φe = E(r)

Sr

dS = E(r)S(r) = 4πr2E(r), (5.16)

donde S(r) es el area de la esfera de radio r. Por otro lado, segun la ley de Gauss,

Φe =Qint

ε0. (5.17)

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58 Ley de Gauss

r

E(r

)

R

ρR/3ε0

R

ρR/3ε0

Figura 5.5. Modulo del campo electrico E(r) creado por una esfera homogenea con carga Q

y radio R, frente a la distancia r al centro de la esfera. Se observa que E(r) tiene un maximo

en la superficie de la esfera (r = R). Tambien se observa como E(r) crece linealmente con r

en el interior de la esfera y decrece como 1/r2 en el exterior.

Igualando las expresiones (5.16) y (5.17), se llega a

E(r) =Qint

4πε0r2. (5.18)

Tenemos ahora dos regiones diferentes del espacio donde calcular el campo electrico:

En la region exterior a la esfera, definida por la condicion r > R, una esferagaussiana contiene toda la carga, ası que Qint = Q, y resulta

E =Q

4πε0r2ur =

ρR3

3ε0r2ur, si r > R. (5.19)

En la region interior a la esfera, definida por la condicion r < R, una esferagaussiana contiene solo una fraccion de la carga total, dada por

Qint = ρVint =4πr3ρ

3, (5.20)

donde Vint es el volumen encerrado por la esfera gaussiana. Por tanto,

E =Qr

4πε0R3ur =

ρ r

3ε0ur, si r < R. (5.21)

Si se representa el modulo del campo electrico frente a la distancia r al centro de laesfera, se obtiene la figura 5.5.

5.4. Campo creado por un cilindro homogeneo

Calculemos el campo electrico creado por un cilindro de altura infinita y radio R conuna densidad volumetrica de carga ρ uniforme en su interior. Colocamos el origen del

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Campo creado por un cilindro homogeneo 59

O Pn

E(r)

Figura 5.6. Superficies gaussianas para calcular el campo electrico creado por un cilindro

de altura infinita homogeneamente cargado.

sistema de referencia en un punto cualquiera del eje del cilindro, como se ve en lafigura 5.6.

La distribucion de carga posee en este caso simetrıa cilındrica. Esto significa quepodemos suponer que el campo electrico creado por esta distribucion en un punto P :

Tiene direccion radial, segun el vector unitario ur de la figura 5.6. En este caso,este vector unitario es perpendicular al eje del cilindro en cada punto y se dirigedesde el eje al punto P . Para comprobar esto, primero se toman dos elementos devolumen iguales en el interior del cilindro que sean simetricos respecto al planoperpendicular al eje y que pasa por el punto P . Esto nos convencera de queel campo tiene direccion perpendicular al eje del cilindro. Tomemos ahora doselementos de volumen con la misma altura y simetricos respecto a la recta quepasa por el eje y el punto P . Ası veremos que el campo se dirige desde el ejehacia el punto P .Su modulo depende de la distancia r al eje del cilindro, pues la distribucionde carga solo depende de esta cantidad (un caso particular es una distribucioncilındrica homogenea).

Con estas propiedades de simetrıa de la distribucion, podemos escribir el campo como

E(r) = E(r)ur, (5.22)

pero es importante notar que r y ur significan aquı cosas distintas que en el caso de laesfera, como ya hemos comentado y se ve en la figura 5.6. Como superficie gaussianatomaremos la superficie de un cilindro infinito de radio r con el mismo eje que elcilindro de carga. El flujo a traves de esta superficie resulta

Φe = E(r)

Sr

dS = E(r)S(r) = 2πrhE(r), (5.23)

donde h es la altura del cilindro gaussiano (es infinita, pero veremos que no apare-cera en el resultado final). Usando la ley de Gauss, llegamos a

E(r) =Qint

2πε0rh. (5.24)

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60 Ley de Gauss

r

E(r

)

R

ρR/2ε0

Figura 5.7. Modulo del campo electrico E(r) creado por una cilindro de altura infinita

homogeneamente cargada, de radio R, frente a la distancia r al eje del cilindro. El campo

tiene un maximo en la superficie del cilindro r = R. Se observa que E(r) crece linealmente

con r en el interior del cilindro y decrece como 1/r en el exterior.

Aparecen tambien en este caso dos regiones diferentes donde calcular el campo:

En la region exterior al cilindro de carga, definida por la condicion r > R, elcilindro gaussiano contiene toda la carga, ası que

Qint = ρπR2h, (5.25)

y resulta

E =ρR2

2ε0rur, si r > R. (5.26)

En la region interior al cilindro de carga, definida por la condicion r < R, elcilindro gaussiano contiene solo una fraccion de la carga total, dada por

Qint = ρπr2h, (5.27)

de manera que resulta

E =ρ r

2ε0ur, si r < R. (5.28)

En la grafica de la figura 5.7 se representa el modulo del campo electrico frente a ladistancia r al eje del cilindro de carga.

5.5. Campo creado por un plano homogeneo

Consideremos ahora el campo creado por un plano infinito con carga distribuidahomogeneamente en su superficie. Se define la densidad superficial de carga σ comola carga por unidad de superficie que hay en un elemento de superficie dS de ladistribucion,

σ =dq

dS, (5.29)

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Campo creado por un plano homogeneo 61

Sb

i

x=0

Figura 5.8. Lıneas del campo electrico creado por un plano infinito cargado homogenea-

mente y situado en x = 0. En cada punto, el campo electrico es perpendicular al plano.

cantidad cuya unidad es 1C ·m−2. Cuando la distribucion superficial es homogenea,σ es uniforme en todos los puntos de la superficie y tiene un valor

σ =Q

S, (5.30)

donde Q es la carga total y S es la superficie total donde se distribuye la carga. En elcaso del plano infinito, su superficie es infinita, de manera que no tiene sentido definirsu carga total Q. Hablaremos pues de un plano infinito con una densidad superficialde carga σ.

Colocamos el plano infinito en la posicion x = 0, perpendicular al eje x y supo-nemos que σ es positiva. Como vemos en la figura 5.8, la distribucion de carga poseesimetrıa plana, ya que las lıneas de campo en cada punto del espacio son perpen-diculares al plano y su sentido es desde el plano hasta el punto considerado, por loque

E =

E i, x > 0,−E i, x < 0,

(5.31)

donde el cambio de signo aparece porque, en los puntos a la derecha del plano (x > 0),el campo es hacia la derecha y, en los puntos a la izquierda del plano (x < 0), el campoes igual pero hacia la izquierda. Como superficie gaussiana podemos considerar uncilindro con eje ortogonal al plano infinito de carga y area de la base Sb, situado de talmanera que el centro de su eje esta en el plano de carga y una de sus tapas incluye alpunto donde se calcula el campo (ver figura 5.8). El flujo del campo electrico esta dadopor Φe = 2Φb, donde Φb es el flujo a traves de cada tapa del cilindro (notese que elflujo a traves de la superficie lateral del cilindro es cero segun se ve en la figura 5.8).Ahora, segun la ley de Gauss, se cumple

2ESb =σSb

ε0, (5.32)

de dondeE =

σ

2ε0. (5.33)

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62 Ley de Gauss

A

d+Q −Q

Figura 5.9. En el condensador plano de la figura cada una de las dos placas paralelas tiene

un area A y la separacion entre las placas es d. El tamano tıpico de las placas suele ser mucho

mayor que la distancia entre ellas, de manera que se puede aproximar el campo electrico por

el que crean dos planos infinitos paralelos.

Por tanto, el campo electrico que crea un plano infinito de densidad de carga σ situadoen x = 0 es

E =

σ2ε0

i, x > 0,

− σ2ε0

i, x < 0.(5.34)

Aparte de cambios de signo a cada lado del plano, el campo que crea un plano infinitono depende de la distancia al plano.

5.6. Campo creado por un condensador plano

Un condensador de placas paralelas o condensador plano consta idealmente de dosplacas metalicas iguales y muy delgadas, paralelas entre sı y con el mismo area A ensu superficie (ver figura 5.9). En una de las placas del condensador se coloca una cargapositiva Q y en la otra una carga igual y de signo opuesto −Q. Este dispositivo es utilpara almacenar carga electrica, y cuando tratemos circuitos electricos veremos masaplicaciones. El campo electrico que crea un condensador plano es aproximadamenteuniforme en la region comprendida entre las placas y nulo fuera de esta region.

Dado que las placas del condensador estan formadas por material conductor, lacarga depositada en cada placa se distribuye homogeneamente en su superficie. Comola distancia entre las placas d suele ser mucho menor que las longitudes caracterısticasen las superficies de cada placa del condensador, el campo electrico creado por elcondensador se puede aproximar bien por el que crean dos planos infinitos cargadoscon densidades homogeneas de carga superficial

σ1 = σ =Q

A, σ2 = −σ = −Q

A, (5.35)

respectivemente. Usando el resultado del apartado 5.5 para un condensador plano,con buena aproximacion se tiene que:

Fuera de la region entre las placas, el campo es nulo, pues se oponen los camposuniformes producidos por cada placa.Dentro de la region entre las placas del condensador, el campo es perpendiculara las placas y se dirige desde la placa positiva a la placa negativa. Es un campo

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Ejercicios 63

uniforme de modulo

E =σ

ε0=

Q

ε0A. (5.36)

A partir del campo electrico podemos calcular la diferencia de potencial entre lasplacas del condensador. Para ello, suponemos que la placa positiva (con carga Q) seencuentra situada en x = 0 y tiene un potencial V+ y la placa negativa (con carga−Q) se encuentra a distancia d, en x = d, y tiene un potencial V−. Usamos la ecuacion(4.26) para la diferencia de potencial, obteniendo

∆V = V+ − V− = −∫ 0

d

E dx = E d =Qd

ε0A. (5.37)

5.7. Ejercicios

1. Determinar el flujo del campo electrico uniforme E = 2 × 103 V · m−1 j + 4 ×103 V ·m−1 k a traves de la superficie cuadrada cuyos vertices se encuentran enlos puntos A(0, 0, 0), B(10 cm, 0, 0), C(0, 10 cm, 0), D(10 cm, 10 cm, 0).Solucion: Φe = 40V ·m.

2. Calcular el flujo del campo electrico del ejercicio anterior a traves de la superficiede un cırculo en el plano xy, de centro el origen y radio 5 cm.Solucion: Φe = 2πV ·m.

3. Determinar el flujo del campo electrico E(x) = 2 × 103 (x − 1m)k a travesde la superficie cuadrada cuyos vertices se encuentran en los puntos A(0, 0, 0),B(10m, 0, 0), C(0, 10m, 0),D(10m, 10m, 0). En la expresion del campo, x esta da-da en centımetros.Solucion: Φe = 8× 105 V ·m.

4. Se tienen tres cargas puntuales q1 = 4nC, q2 = −2 nC, q3 = −2 nC, en lospuntos P1(0, 0, 0), P2(4m, 3m, 0), P3(4m, 4m, 3m), respectivamente. Calcular elflujo electrico a traves de la superficie de una esfera de centro el origen y 6m deradio.Solucion: Φe = 226V ·m.

5. Dadas las cargas del problema anterior, calcular el flujo electrico a traves de lasuperficie de un cubo centrado en el origen, cuyas aristas son paralelas a los ejesde coordenadas y tienen 6m de longitud.Solucion: Φe = 452V ·m.

6. Un cilindro de radio R y altura 2R tiene una densidad volumetrica de carga ρuniforme. Calcular el flujo del campo electrico creado por este cilindro a travesde la superficie de un cubo, concentrico con el cilindro, que tiene cuatro aristasde longitud 3R paralelas al eje del cilindro.Solucion: Φe = 2πR3ρ/ε0.

7. Una esfera de radio R centrada en el origen tiene una densidad volumetricade carga que varıa con la distancia r al centro de la esfera segun la expresionρ = ρ0(1 − r2/R2), siendo ρ0 una constante. Determinar el campo electrico entodos los puntos del espacio.Solucion: E = ρ0(5R

2r − 3r3)/(15ε0R2), para r < R. E = 2ρ0R

3/(15ε0r2), para

r > R8. Determinar el potencial creado por una esfera de radio R, carga Q distribuida

homogeneamente, y centro en el origen.

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64 Ley de Gauss

Solucion: V = −Qr2/(8πε0R3)+3Q/(8πε0R), para r < R. V = Q/(4πε0r), para

r > R9. Determinar el potencial creado por un cilindro de altura infinita y radio R, cuyo

eje es el eje z y que tiene una densidad volumetrica de carga ρ uniforme.Solucion: V = −ρr2/(4ε0), para r < R. V = −ρR2/(4ε0) − ρ/(2ε0) ln (r/R),para r > R

10. Determinar el potencial creado por un condensador plano de area A, carga Qy distancia entre placas d en un punto de su interior a distancia x de la placapositiva.Solucion: V = V+ −Qx/(ε0A).

11. Dos esferas, cada una de radio R, tienen una densidad de carga uniforme +ρy −ρ respectivamente. Se disponen de manera que solapan parcialment e comopuede verse en la figura 5.10, siendo la distancia entre sus centros d. Demo strarque el campo en la region de solapamiento es constante y encontrar su va lor.Pista: Usa la ley de Gauss para calcular el campo electrico dentro de una esferacargada uniformemente.Solucion: E = ρ d/(3ε0) dirigido desde el centro de la esfera de carga positiva alde la carga negativa.

R R

d

Figura 5.10.

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Capıtulo 6

Campo electrico en los medios materiales

6.1. Conductores en equilibrio electrostatico

En este capıtulo vamos a estudiar el comportamiento de los materiales conductoresy dielectricos cuando se les aplica un campo electrico externo. Cuando se llega alequilibrio y ya no se mueven cargas en el interior del material, el campo en el interiores menor que el campo externo aplicado. En los conductores, las cargas electricas semueven casi libremente, obedeciendo fuerzas electricas externas o internas. El hechode existir cargas libres en su interior tiene un efecto crucial en el campo electrico.

Supongamos que un trozo de cobre tiene un exceso de carga positiva en una re-gion dentro de el. Las cargas positivas se repelen entre sı, de manera que se alejanintentando reducir la fuerza electrica entre ellas. Cuando cesan de moverse se alcanzael equilibrio electrostatico (ver el apartado 3.4), al que se llega casi instantaneamente.A menos que las cargas libres sean extraıdas del conductor por algun agente externo,impidiendo que llegue el equilibrio, todas las cargas positivas se situan en la superficiedel conductor haciendo mınima la repulsion entre ellas. El interior queda completa-mente neutro como se ve en la figura 6.1. En resumen, en condiciones de equilibrioelectrostatico todo el exceso de carga de un conductor se situa en la superficie.

La distribucion de carga en la superficie de un conductor en equilibrio no es, engeneral, homogenea. Como veremos en el apartado 6.2, la carga neta del conductoren equilibrio se situa, preferiblemente, en las zonas de la superficie que tienen mayorcurvatura, es decir, en las puntas. Sin embargo, cuando la superficie del conductortiene una curvatura uniforme, como es el caso de una esfera o un cilindro infinito, ladistribucion de carga superficial en el equilibrio es homogenea.

+++++

++ ++

+

++

++

Figura 6.1. Un exceso de carga positiva en el interior de un conductor se redistribuye casi

inmediatamente en la superficie del material.

65

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66 Campo electrico en los medios materiales

−−−−−

+++++

+

Figura 6.2. Un conductor en el seno de un campo electrico externo anula el campo en su

interior mediante la redistribucion de carga en su superficie.

Campo electrico en un conductor en equilibrio

Consideremos ahora lo que ocurre con el campo electrico. Si aplicamos la ley deGauss a una superficie gaussiana coincidente con la superficie del material conductorse obtiene que, como no hay carga interior en el equilibrio, el flujo electrico es nulo.Por tanto, en condiciones de equilibrio electrostatico, el campo electrico en el interiorde un material conductor es nulo.

Veamos que ocurre si situamos un conductor en el seno de un campo electricoexterno, como en la figura 6.2. Las cargas inducidas por el campo externo se situanen la superficie del conductor, creando un campo que altera las lıneas electricas delcampo exterior. Dado que, en el equilibrio, no hay campo en el interior del conductor,las lıneas del campo externo tienen por sumideros cargas negativas en la superficie delconductor, y las positivas son fuentes de otras lıneas. Por tanto, las lıneas no penetranen el material. Esto ocurre incluso si existe un hueco en el interior del conductor: talhueco no sufrira el campo externo. Como consecuencia, un material conductor actuacomo un blindaje de cualquier carga o dispositivo electronico situado en su interiorfrente a posibles campos exteriores. Este efecto se conoce como efecto de pantalla yel conductor que lo crea se llama jaula de Faraday. Ası, se utilizan mallas metalicaspara proteger los componentes electronicos de los ordenadores y los monitores.

Otro aspecto interesante de los conductores en equilibrio es el valor del campoelectrico en su superficie. Dado que el campo en el interior es cero y no lo es, en general,en el exterior, aparece una discontinuidad del campo en la superficie del conductor, esdecir, tiene dos valores diferentes dependiendo de si llegamos a la superficie desde elinterior o el exterior. Un ejemplo de esta situacion es el condensador plano, que tienecampo nulo fuera de las placas y campo no nulo y uniforme en la region entre ellas.

En realidad, esta discontinuidad es una idealizacion. La carga que se acumula enla superficie lo hace en una capa muy delgada de espesor comparable al tamano de losatomos. Ası, el campo es continuo pero varıa muy rapidamente cerca de la superficie,de tal modo que crece desde cero hasta su valor en el exterior en una longitud muypequena. Si aproximamos la capa de transicion por una superficie de espesor nulo,como haremos en los ejemplos, resulta que el campo electrico en esa superficie esdiscontinuo.

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Conductores en equilibrio electrostatico 67

Es

Figura 6.3. Un elemento de superficie de un conductor se puede aproximar por una superficie

plana. La ley de Gauss da entonces el valor del campo en ese elemento de superficie.

Discontinuidad del campo electrico.

Las propiedades de la distribucion de carga y el campo en el interior de un conductoren condiciones de equilibrio electrostatico tienen su reflejo en el potencial. Dado que,en el interior de un material conductor en equilibrio, el campo electrico es nulo tantosi el conductor es macizo como si tiene cavidades o huecos, la relacion entre campo ypotencial implica que el potencial electrostatico es constante en todos los puntos delinterior. En particular, toda superficie de un conductor en equilibrio es una superficieequipotencial.

Como consecuencia el campo electrico en la superficie de un conductor en equili-brio es ortogonal a la superficie en cada punto, pues sabemos que las lıneas de camposon, en cada punto, ortogonales a las superficies equipotenciales. Por tanto, si defi-nimos el vector unitario n como uno normal a la superficie en cada punto, el campoelectrico en la superficie del conductor es

Es = Es n, (6.1)

siendo nulo en el interior. En esta ecuacion Es es el valor de la discontinuidad delcampo en la superficie del conductor.

El valor de la discontinuidad del campo Es puede calcularse. Para ello, aproxi-mamos un trozo infinitesimal de la superficie del conductor por una superficie planade area dS, como vemos en la figura 6.3. Consideramos ahora una superficie gaussianacerrada, con dos caras planas paralelas a la superficie del conductor de area dS (unaen su interior y otra en el exterior). Dado que el campo es ortogonal a la superficiedel conductor en el exterior y nulo en el interior, el flujo del campo a traves de lasuperficie gaussiana tiene un valor

dΦe = Es dS. (6.2)

Por otro lado, la carga neta encerrada por la superficie gaussiana es σ dS. Aplicandola ley de Gauss, resulta

Es =σ

ε0, (6.3)

donde σ es el valor de la densidad de carga en la superficie infinitesimal dS. Dadoque la distribucion de carga no es, en general, homogenea, el campo en la superficiede un conductor tiene valores diferentes en cada punto, de acuerdo a las expresiones(6.1) y (6.3).

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68 Campo electrico en los medios materiales

r

E(r

)

R

Q/4πε0R2

Figura 6.4. Modulo del campo electrico E(r) creado por una esfera conductora en equilibrio

frente a la distancia r al centro de la esfera. Se observa una discontinuidad de la funcion

E(r) en la superficie de la esfera, es decir, en r = R. Esta discontinuidad tiene un valor

Es = Q/(4πε0R2) = σ/ε0.

6.2. Campo y potencial creados por una esfera conductora

Una aplicacion sencilla de los conceptos presentados en el apartado anterior se muestraen el siguiente ejemplo. Supongamos que una carga positiva Q se deposita en unaesfera metalica de radio R. Casi inmediatamente se alcanza el equilibrio y la cargaQ se distribuye homogeneamente en la superficie de la esfera, pues todos los puntosde la esfera tienen la misma curvatura (su radio de curvatura es igual, en todos loscasos, al radio de la esfera).

El calculo del campo electrico mediante la ley de Gauss es bastante directo. Porla simetrıa esferica del problema, E = E(r)ur. Tenemos dos regiones diferentes en elespacio:

En el interior de la esfera el campo es nulo (como en cualquier conductor enequilibrio),

E(r) = 0, si r < R. (6.4)

En la region exterior a la esfera hay que tener en cuenta toda la carga, de modoque el campo electrico resulta

E(r) =Q

4πε0r2, si r > R. (6.5)

El resultado obtenido se puede representar graficamente frente a la distancia r alcentro de la esfera (figura 6.4). Se observa claramente una discontinuidad del campoelectrico en la superficie del conductor (dada por r = R), como consecuencia de haberasumido que la carga se distribuye en una superficie de espesor nulo, en lugar de enuna capa muy delgada. El valor de la discontinuidad es

Es = E(R+)− E(R−) =Q

4πε0R2− 0 =

σ

ε0, (6.6)

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Campo y potencial creados por una esfera conductora 69

r

V(r

)

R

Q/4πε0R

Figura 6.5. Potencial electrostatico V (r) creado por una esfera conductora cargada de radio

R y carga Q en equilibrio frente a la distancia r al centro de la esfera.

pues la densidad de carga superficial en la esfera es homogenea y vale σ = Q/(4πR2).

El potencial electrostatico se puede calcular a partir de la expresion para el campousando la relacion V = −

∫E · dr. Tomando dr = dr ur, se obtiene

V =

V1, r < R,

V2 +Q

4πε0r, r > R,

(6.7)

donde V1 y V2 son constantes de integracion. Para determinar V2 podemos imponer lacondicion de que el potencial en el infinito sea cero. Esto implica que V2 = 0. Ahora,para determinar V1 usamos que el potencial es una funcion continua, con un unicovalor en cada punto. Esto quiere decir, en particular, que el valor del potencial enr = R es unico, por lo cual

V1 =Q

4πε0R. (6.8)

Ası, finalmente,

V =

Q

4πε0R, r ≤ R,

Q4πε0r

, r ≥ R.(6.9)

El potencial de la esfera conductora (incluida su superficie) es por tanto

Vesf =Q

4πε0R. (6.10)

En la figura 6.5 se representa el potencial obtenido en funcion de la distancia r alcentro de la esfera. Se observa claramente que el potencial electrico es una funcioncontinua en r = R sin variaciones apreciables en sus cercanıas.

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70 Campo electrico en los medios materiales

r

Figura 6.6. Un elemento infinitesimal de la superficie de un material conductor se puede

aproximar por una superficie esferica. Ası se obtiene una explicacion del efecto de puntas.

Distribucion de carga en un conductor

El ejemplo anterior permite comprender cualitativamente como es la distribucion decarga en la superficie de un conductor en equilibrio, incluyendo una explicacion delllamado efecto de puntas.

Aproximemos una pequena zona de la superficie de un conductor por una super-ficie esferica de radio r, como en la figura 6.6. Segun acabamos de ver en el apartadoanterior, el campo electrico y el potencial electrostatico en ese elemento de superficieestan relacionados por la expresion

Es =Vesf

r, (6.11)

donde r es el radio de curvatura del elemento de superficie. Dado que la superficie deun material conductor es equipotencial, Vesf es una constante, con lo cual se llega aque el campo electrico en la superficie de un conductor va como la inversa del radiode curvatura de esa superficie. Por otro lado, como Es = σ/ε0 segun la ecuacion (6.3),se tiene que

σ =ε0Vesf

r. (6.12)

Las expresiones (6.11) y (6.12) tienen una consecuencia clara: tanto la densidad decarga como el campo electrico son mayores en las zonas en que el radio de curvaturar es menor. En particular, si el conductor tiene una punta, la densidad de carga yel campo electrico pueden ser muy grandes en ella, incluso aunque el potencial no losea.

Si el campo electrico en una punta de un conductor supera un valor crıtico,llamado resistencia dielectrica del medio a su alrededor (para el aire, por ejemplo,este valor es del orden de Emax = 3 × 106 V · m−1), se produce la ionizacion delmedio dielectrico, liberandose electrones en una fraccion de los atomos o moleculasdel medio. Este efecto se llama ruptura dielectrica: el campo electrico es capaz entoncesde separar cargas positivas y negativas del aire (o de otro medio), produciendo unacorriente de carga capaz incluso de perturbar la llama de una vela. Un ejemplo es ladescarga de un relampago en una tormenta.

6.3. Campo electrico en un dielectrico

Lo que caracteriza a un material dielectrico es la ausencia de cargas libres en suinterior. Debido a ello, al colocar el material dielectrico en un campo electrico externo,

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Campo electrico en un dielectrico 71

−+−+

−+−+−+

−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+

−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+

−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+

Figura 6.7. Seccion transversal de un condensador plano, en la que se observan las lıneas

del campo electrico del condensador cuando se introduce un material dielectrico entre sus

placas. Por polarizacion de las moleculas del material, el campo electrico en el interior del

dielectrico disminuye.

no existe la posibilidad de anular el campo en el interior del material colocandocargas libres en la superficie, tal como hacen los conductores. En lugar de ello, lasmoleculas de un material dielectrico se polarizan, como anticipabamos en el apartado3.4, actuando como dipolos y disminuyendo el campo en el interior del material sinanularlo completamente. Veamos como ocurre esto.

Polarizacion

Las moleculas de los materiales suelen tener simetrıa de carga, de manera que loscentros de carga positiva y negativa de la molecula coinciden. Decimos que estosmateriales no estan polarizados. En algunos casos, como el agua, la geometrıa de lasmoleculas es tal que estos centros de carga no coinciden, diciendose entonces que elmaterial tiene una polarizacion permanente.

Por sencillez, supongamos que tenemos un material sin polarizacion permanente.Cuando se aplica a este material un campo externo, el centro de carga negativa decada molecula se desplaza con respecto al centro de carga positiva, de modo que lamolecula se polariza. Podemos ver esta polarizacion como un dipolo electrico, estoes, un par de cargas puntuales q y −q separadas por una pequena distancia a (verfigura 4.8). En un dipolo, se define el momento dipolar electrico como la cantidad

p = q a, (6.13)

en donde el vector a tiene por modulo la distancia a entre las cargas positiva y negativadel dipolo y por direccion y sentido los del vector que va desde la carga positiva a lacarga negativa. La unidad de momento dipolar es 1C ·m.

En la figura 6.7, un material dielectrico se coloca entre las placas de un conden-sador plano que crea un campo electrico uniforme dirigido desde su placa positiva a lanegativa. Como consecuencia de la aplicacion de este campo externo, las moleculas deldielectrico se han polarizado de tal modo que, como vemos en la figura, los momentosdipolares moleculares se han alineado en sentido opuesto al campo.

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72 Campo electrico en los medios materiales

Aparece entonces en la superficie del material cercana a la placa positiva delcondensador (a la izquierda en la figura) una carga neta negativa. La densidad decarga de esta superficie alcanza entonces cierto valor negativo −σP . Analogamente,en la superficie cercana a la placa negativa del condensador (a la derecha en la figura)aparece una carga neta positiva. La densidad de carga en esta superficie tiene un valorpositivo +σP

Sin embargo, existe una diferencia muy importante entre las cargas que se situanen la superficie de un conductor en equilibrio y las que se situan en la superficie deun material dielectrico polarizado como el de la figura 6.7. Las primeras son cargas

libres que se pueden mover a traves del conductor. Por su parte, las ultimas son cargasligadas o cargas de polarizacion, incapaces de moverse a traves del material porqueestan ligadas a moleculas determinadas.

Permitividad de un dielectrico

Una vez tenemos un dielectrico polarizado, como el de la figura 6.7, las cargas depolarizacion equilibran parcialmente el campo externo. Como vemos en la figura, notodas las lıneas de campo electrico que parten de la placa positiva del condensadorllegan a la placa negativa, pues algunas de ellas son absorbidas por la carga de pola-rizacion negativa en la superficie izquierda del dielectrico. De igual manera, la cargade polarizacion positiva de la superficie derecha del dielectrico es fuente de nuevaslıneas electricas que llegan a la placa negativa. En consecuencia, el campo electricoen el interior del material dielectrico es menor que el campo electrico en el vacıo parala misma carga libre en las placas del condensador.

Podemos cuantificar esto del siguiente modo. En la superficie izquierda del ma-terial (figura 6.7), la densidad superficial de carga efectiva, que da lugar al campoelectrico en el interior, es

σ = σ0 − σP , (6.14)

donde σ0 es la densidad de carga libre en la placa positiva del condensador y σP esla densidad de carga ligada en la superficie izquierda del material dielectrico. Por suparte, en la superficie derecha del material la densidad superficial de carga efectiva es

−σ = −σ0 + σP . (6.15)

El campo electrico en el interior del material se puede escribir entonces como el creadopor un condensador plano cuya densidad de carga superficial en la placa positiva es σy cuya densidad en la placa negativa es −σ. La intensidad del campo electrico tieneentonces un valor

E =σ

ε0=

σ0 − σP

ε0. (6.16)

Si no existiese material dielectrico entre las placas del condensador, el campo electricoserıa E0 = σ0/ε0, de tal modo que podemos escribir la expresion (6.16) como

E = E0 −σP

ε0. (6.17)

Con esta ecuacion podemos comprender lo que esta pasando. El campo electrico E enel interior el dielectrico tiene en cuenta todas las cargas no balanceadas, tanto librescomo ligadas. Por su parte, el campo externo E0 solo tiene en cuenta cargas libres.

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Capacidad y condensadores 73

La relacion entre la densidad de carga de polarizacion σP y el campo electrico Een un material depende del tipo de dielectrico. En los llamados materiales homogeneos,isotropicos y lineales, los unicos que trataremos en este libro, la densidad de carga depolarizacion es proporcional al campo segun la expresion

σP = χeε0E, (6.18)

donde χe es un numero sin dimensiones, casi siempre positivo y caracterıstico decada material, llamado susceptibilidad electrica. En estos casos, sustituyendo (6.18)en (6.17), resulta

E =E0

1 + χe=

E0

εr, (6.19)

siendoεr = 1 + χe, (6.20)

un numero sin unidades llamado constante dielectrica o permitividad relativa del ma-terial. Se define la cantidad ε = εrε0 como la permitividad (absoluta) del medio. Segun(6.19), las expresiones calculadas hasta ahora para campos electricos y potenciales enel vacıo, son validas en un medio dielectrico sustituyendo ε0 por ε.

Para el vacıo, obviamente, εr = 1. Para el resto de los materiales es mayor que1. A temperatura ambiente, por ejemplo para el aire, εr = 1,0005, muy cercana a ladel vacıo. Para el papel, εr = 3,7. Para la porcelana, εr = 7, etc. Como el campo enun medio es menor que el campo en el vacıo, εr > 1. Para un conductor perfecto, εrtiende a infinito, de manera que el campo en su interior es cero.

6.4. Capacidad y condensadores

Si depositamos una carga Q en un conductor, esta se distribuye en su superficie, detal manera que todos los puntos del conductor adquieren un potencial Vc respectoal nivel cero (aquel en que no hay carga en la superficie del conductor). Se define lacapacidad electrica del conductor como el cociente entre la carga de su superficie y elpotencial respecto al nivel cero, esto es

C =Q

Vc. (6.21)

La unidad SI de capacidad es el faradio (F) que se define como 1F = 1C · V−1. Elfaradio es una unidad relativamente grande, de tal modo que las capacidades tıpicasvienen dadas en submultiplos de esta unidad segun la tabla 1.2, como el microfaradio(1µF = 10−6 F), el nanofaradio (1 nF = 10−9 F) o el picofaradio (1 pF = 10−12 F).

La capacidad de un conductor da una medida de cuanta carga puede almacenar.Depende de la geometrıa del conductor y de las propiedades electricas del espacioque lo rodea. Por ejemplo, la capacidad de un conductor esferico en el vacıo se puedecalcular a partir del potencial de su superficie Vc = Q/(4πε0R). Resulta

C =Q

Vc= 4πε0R, (6.22)

que como vemos no depende de la carga depositada Q.

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74 Campo electrico en los medios materiales

+Q −Q+Q −Q

(a) (b) (c)

−Q +Q

Figura 6.8. (a) Un condensador plano esta formado por dos placas planas de pequeno grosor,

de la misma forma y tamano, situadas paralelamente una respecto de otra. La distancia

entre las placas suele ser muy pequena en comparacion con el tamano de cada placa. Las

placas estan cargadas con cargas de la misma magnitud pero de signo opuesto. (b) En un

condensador cilındrico, las placas tienen forma de corteza cilındrica de pequeno grosor. (c)

Un condensador esferico esta formado por dos conductores de forma esferica.

Condensadores

La capacidad es una magnitud fısica especialmente importante para describir las pro-piedades de ciertos dispositivos electricos llamados condensadores. En general, uncondensador es un dispositivo formado por dos conductores con la misma geometrıa(por ejemplo, dos placas planas de la misma forma y tamano, dos conductores cilındri-cos con el mismo eje o dos conductores esfericos concentricos) situados muy cerca unode otro pero sin tocarse. Uno de los conductores se carga con una carga Q y el otrocon una carga −Q. En la figura 6.8 se ve un esquema de un condensador plano, uncondensador cilındrico y un condensador esferico. El espacio entre los dos conductoresque forman el condensador suele rellenarse con algun material dielectrico o bien sedeja vacıo.

Las placas de un condensador se suelen denominar tambien armaduras. Cuandose situan sobre las armaduras de un condensador cargas de la misma magnitud perode signo opuesto y se llega al equilibrio electrostatico, la armadura de carga positivaadquiere un potencial V+, que excede al potencial V− de la armadura de carga negativaen una cantidad ∆V , es decir,

∆V = V+ − V−. (6.23)

Se define la capacidad de un condensador como el cociente entre la carga Q situadaen la armadura positiva y la diferencia de potencial ∆V entre la armadura positiva yla negativa,

C =Q

∆V. (6.24)

La cantidad C depende de los detalles de fabricacion del condensador, y mide laposibilidad de almacenamiento de carga pues con un valor grande de C el condensadoralamcena mas carga con la misma diferencia de potencial aplicada en sus armaduras.

Calculo de la capacidad de un condensador

Para calcular la capacidad de un condensador, el procedimiento es el siguiente. Pri-mero, se supone una carga Q en una de sus armaduras, y una carga −Q en la otra.

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Capacidad y condensadores 75

Se calcula el campo electrico que crea esta distribucion de carga en el equilibrio parapuntos situados en la region entre las armaduras. A partir del campo, se determinala diferencia de potencial ∆V entre la armadura positiva y la negativa. Finalmente,se calcula la capacidad C del condensador mediante el cociente C = Q/∆V .

Para un condensador plano, el campo electrico que crea y la diferencia de poten-cial entre sus armaduras se calcularon en el apartado 5.6. El resultado es que el campoen cualquier punto de la region entre las armaduras del condensador es uniforme ytiene un modulo E = Q/(ε0A), donde A es el area de cada armadura. La direcciondel campo es ortogonal a las armaduras y se dirige desde la armadura positiva haciala negativa. La diferencia de potencial entre las placas es

∆V = V+ − V− = Ed =Qd

ε0A. (6.25)

La capacidad resulta, por tanto,

C =Q

∆V=

ε0A

d, (6.26)

una expresion que muestra que, como se habıa adelantado, la capacidad depende solode factores geometricos (el area de las placas y la distancia entre ellas) y del materialque se coloca entre las placas. En el caso estudiado, al ser este material el vacıo,aparece en la capacidad la permitividad del vacıo ε0, pero se pueden insertar otrosmateriales, modificando ası la capacidad del condensador.

El procedimiento usado para calcular la capacidad de un condensador plano sepuede repetir para un condensador esferico y uno cilındrico. La capacidad de uncondensador esferico resulta

C =4πε0ab

b− a, (6.27)

donde a es el radio de la esfera de carga positiva y b es el radio de la superficie esfericade carga negativa que la rodea. La de un condensador cilındrico es

C =2πε0L

log (b/a), (6.28)

donde L es la longitud del condensador, a el radio del cilindro interior de carga positivay b el radio de la superficie cilındrica de carga negativa que la rodea.

Condensadores con dielectricos entre sus placas

Si un material dielectrico se introduce entre las placas de un condensador, la capacidadde este puede aumentar considerablemente. Esto se debe a que, como hemos visto, eldielectrico altera el campo electrico entre las placas, de tal modo que, si E0 es el campoelectrico en el vacıo, el campo en el interior del material dielectrico es E = E0/εr,siendo εr la constante dielectrica o permitividad relativa del material.

La reduccion del valor del campo electrico entre las placas de un condensadorcuando se introduce entre ellas un dielectrico tiene consecuencias importantes en lacapacidad del condensador. Efectivamente, el campo electrico E se reduce respectoal del vacıo E0 segun la expresion E = E0/εr. Por tanto, la diferencia de potencialentre las placas ∆V se reduce con el mismo factor. Esto implica que la capacidad

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76 Campo electrico en los medios materiales

del condensador C cuando se introduce un dielectrico aumenta con respecto a lacapacidad del mismo condensador cuando entre las placas hay vacıo C0 de tal modoque

C = εrC0. (6.29)

Por ejemplo, la capacidad de un condensador plano con un dielectrico entre sus placases

C =εrε0A

d=

εA

d, (6.30)

donde ε es la permitividad del medio. El hecho de que la capacidad aumente al insertarun dielectrico es la razon por la cual se suelen fabricar los condensadores con diferentesmateriales entre sus placas.

Una aplicacion sencilla en la que aparecen los condensadores es la fabricacion dealgunos teclados para ordenadores. Cada una de las teclas de estos teclados esta mon-tada sobre una placa metalica separada de otra placa inferior por un dielectrico. Alpresionar esta tecla, la placa superior baja presionando el dielectrico. Esto aumentala capacidad del condensador formado por ambas placas, pues la distancia entre ellasdisminuye. Los circuitos del ordenador detectan este aumento de capacidad, recono-ciendo ası que tecla ha sido pulsada.

6.5. Almacenamiento de energıa electrica

Un condensador almacena carga electrica cuando se establece una diferencia de poten-cial entre sus placas. La diferencia de potencial entre estas placas la establece algundispositivo que actue como fuente de trabajo. Ejemplos de tales dispositivos son lasbaterıas o pilas. Cuando una pila de V0 = 1, 5V se conecta a un condensador, la dife-rencia de potencial entre sus placas acaba siendo ∆V = V0 = 1, 5V. Para hacer esto,la pila hace un trabajo para depositar carga negativa en una armadura del condensa-dor, extrayendola de la otra armadura, que queda ası cargada positivamente. La cargaque se almacena finalmente en la armadura positiva del condensador esta determinadapor su capacidad segun la expresion Q = C∆V .

En general, para cargar cualquier conductor hay que realizar un trabajo, puespara incrementar su carga se necesita vencer la repulsion electrostatica debida a lascargas ya presentes en el. Este trabajo contra la fuerza electrostatica, realizado porun agente externo, se almacena en el conductor en forma de energıa potencial elec-trostatica de las cargas que hemos almacenado en el conductor.

Como vimos en el apartado 4.4, al mover una carga q entre dos puntos cuyadiferencia de potencial es ∆V , el trabajo que realiza la fuerza electrostatica es W =−q∆V . Si q es una carga positiva, inicialmente en reposo, que queremos mover a unpunto de mayor potencial que el inicial, el trabajo electrostatico W es negativo, demodo que segun el teorema trabajo-energıa, la energıa cinetica de la carga disminuye,lo cual es imposible ya que era cero inicialmente. Por lo tanto, la fuerza electrostaticano puede mover la carga en este caso. Un agente externo debe ser capaz de realizaral menos un trabajo Wext = −W = q∆V para que la carga positiva pueda vencer larepulsion electrostatica y moverse al punto de mayor potencial.

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Almacenamiento de energıa electrica 77

Energıa almacenada en un condensador

Cuando una baterıa esta cargando un condensador, ha de ser capaz de ir llevandocarga positiva desde la placa negativa hasta la placa positiva venciendo la repulsionelectrostatica. El trabajo que realiza la baterıa Wbat es como hemos visto igual yde signo opuesto al trabajo (negativo) realizado por la fuerza electrostatica en eseproceso. Este trabajo se almacena como energıa potencial electrostatica Ue de lascargas sobre las armaduras del condensador. Ası, tenemos que la energıa potencialalmacenada por un condensador es

Ue = Wbat, (6.31)

siendo Wbat el trabajo que ha realizado la baterıa para cargar el condensador com-pletamente.

Para calcular este trabajo, consideremos un condensador durante el proceso decarga. Inicialmente, el condensador tiene carga nula y diferencia de potencial nulaentre sus placas. Empieza el proceso de carga al conectar este condensador a unabaterıa de potencial V0, de tal manera que sabemos que la diferencia de potencialfinal entre las placas del condensador sera V0 y que la carga final en la placa positivasera Q = CV0.

En un instante dado del proceso de carga, la diferencia de potencial entre lasarmaduras del condensador tiene un valor V (menor que V0) y la carga situada enla armadura positiva es q = CV , siendo C la capacidad del condensador. Podemoscalcular ahora el trabajo infinitesimal dWbat realizado por la baterıa para colocar unacarga adicional dq en la placa positiva del condensador, dejando una carga −dq en laplaca negativa. Este trabajo es

dWbat = V dq =q

Cdq, (6.32)

donde se ha usado la definicion de capacidad y se ha tenido en cuenta que q es lacarga ya depositada en la placa positiva.

Si integramos la ecuacion (6.32) entre el valor inicial de la carga en la placapositiva del condensador (que es cero) y el valor final (que es Q), obtendremos eltrabajo total realizado por la baterıa durante todo el proceso de carga, es decir, laenergıa potencial electrostatica total Ue que hemos almacenado en el condensador.Resulta

Ue =

∫ Q

0

q

Cdq =

Q2

2C=

CV 20

2=

QV0

2, (6.33)

donde V0 = ∆V es la diferencia de potencial final entre las armaduras del condensador.

Energıa de un campo electrico

Hay otra manera mas interesante de interpretar el resultado (6.33). En el proceso decarga se crea un campo electrico entre las placas del condensador, de manera que eltrabajo realizado para cargar el condensador se puede tomar como el trabajo necesariopara crear este campo electrico. La energıa almacenada en el condensador se puedeconsiderar energıa del campo electrico creado.

Consideremos un condensador plano. En este caso, la relacion entre el modulodel campo electrico E y la diferencia de potencial entre armaduras V0 esta dada por

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78 Campo electrico en los medios materiales

V0 = Ed, siendo d la distancia entre las placas del condensador. La capacidad delcondensador es C = εA/d, donde ε es la permitividad dielectrica del material entrelas placas (igual a ε0 en el caso del vacıo) y A es el area de cada placa. Usando laecuacion (6.33), la energıa del campo electrico creado por el condensador plano es

Ue =CV 2

0

2=

1

2εE2 (Ad) . (6.34)

Dado que la cantidad Ad es igual al volumen V del espacio comprendido entre lasplacas del condensador, es tambien, aproximadamente, igual al volumen de la regiondel espacio donde el campo electrico creado por el condensador es relevante.

Se puede definir la densidad de energıa electrica ue como la energıa de un campoelectrico por unidad de volumen,

ue =ε

2E2. (6.35)

Este resultado es general aunque se haya deducido para un condensador plano. Ladensidad de energıa ue en cada punto es una funcion que depende del cuadrado delcampo electrico en ese punto (del mismo modo que la intensidad de una onda mecanicadepende del cuadrado de su amplitud, una analogıa que resultara mas clara cuandotratemos las ondas electromagneticas).

Cuando un campo electrico E esta definido en una determinada region del espaciode volumen V, la intensidad de este campo electrico puede depender del punto delespacio, de manera que la relacion entre densidad de energıa electrica y energıa delcampo electrico no es simplemente Ue = ueV. En su lugar, se tiene la forma final

Ue =

VuedV =

V

ε

2E2dV, (6.36)

que es una ecuacion general que nos da la energıa requerida para crear cualquiercampo.

6.6. Ejercicios

1. Una carga puntual q = 7,5mC se situa en el centro de una corteza esfericaconductora, inicialmente cargada con una carga Q = −2,5mC. Esta cortezatiene un radio interior a = 1mm y un radio exterior b = 2mm. Describir ladistribucion de carga resultante en la esfera una vez se alcanza el equilibrio ycalcular el campo electrico que crea esta distribucion.Solucion: En la superficie interior de la esfera hay una carga Qa = −q = −7,5mCy, en la superficie exterior, una carga Qb = q + Q = 5mC. El campo electricoes radial y tiene un valor E = q/(4πε0r

2) si r < a, E = 0 si a < r < b, yE = (q +Q)/(4πε0r

2) si r > b.2. Determinar el potencial electrostatico creado por la distribucion de carga del

ejercicio anterior.Solucion: V = q/(4πε0r) + (q + Q)/(4πε0b) − q/(4πε0a) si r ≤ a, V = (q +Q)/(4πε0b) si a ≤ r ≤ b, y V = (q +Q)/(4πε0r) si r ≥ b.

3. Se tienen dos esferas conductoras muy alejadas entre sı, de radios a y b. La primeraesfera tiene una carga inicial Q y la segunda esta descargada. Determinar el

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Ejercicios 79

potencial de ambas esferas en el equilibrio. Supongamos que unimos la superficiede ambas esferas mediante un cable conductor neutro de grosor despreciable. Alvolver al equilibrio, calcular la carga de cada una de las esferas y su potencial.Solucion: Antes de unir las esferas, Va = Q/(4πε0a) y Vb = 0. Tras unirlas,Qa = aQ/(a+ b), Qb = bQ/(a+ b), Va = Vb = Q/(4πε0(a+ b)).

4. Un dielectrico de permitividad relativa εr = 2, 6 se situa entre las placas deun condensador plano de area A = 10 cm2 y carga Q0 = 10−12 C. Determinarel campo electrico E en el interior del dielectrico y la densidad de carga depolarizacion σP que se situa en su superficie.Solucion: E = 43, 5V ·m−1, σP = 6, 1× 10−10 C ·m−2.

5. Un condensador esferico esta formado por una esfera conductora de radio a yuna corteza esferica concentrica de radio interior b. Calcular su capacidad.Solucion: C = 4πε0ab/(b− a).

6. Un condensador cilındrico esta formado por un cilindro conductor de radio a ylongitud L, y una corteza cilındrica concentrica de radio interior b. Calcular sucapacidad.Solucion: C = 2πε0L/ log (b/a).

7. La capacidad de un condensador cuando entre sus placas hay vacıo es de 1,2µF.Este condensador se carga conectandolo a una baterıa que mantiene entre susplacas una diferencia de potencial de 12V. Sin desconectar el condensador dela baterıa se inserta entre sus placas un dielectrico. Como resultado, fluye desdeuna placa hacia la otra, pasando por la baterıa, una carga adicional de 2,6 ×10−5 C. Determinar la permitividad relativa del material. Decidir cuales de estascantidades crecen, decrecen o no varıan al introducir el dielectrico: capacidad,carga, diferencia de potencial, campo electrico y energıa electrica.Solucion: εr = 2,8. Aumentan la carga, la capacidad y la energıa, se mantienenel campo y el potencial.

8. El condensador del ejercicio anterior se carga, cuando entre sus placas hay vacıo,con la misma baterıa. Ahora se desconecta de ella y despues se introduce entre susplacas un dielectrico de permitividad relativa εr = 2,8. Decidir cuales de estascantidades crecen, decrecen o no varıan al introducir el dielectrico: capacidad,carga, diferencia de potencial, campo electrico y energıa electrica.Solucion: Aumenta la capacidad, se mantiene la carga, y disminuyen el potencial,el campo y la energıa.

9. Las armaduras de un condensador plano, de area A, estan separadas una distanciad, y entre ellas se introduce un dielectrico de espesor d/2 y permitividad relativaεr. Determinar la energıa del campo electrico creado por este condensador unavez cargado mediante una baterıa de diferencia de potencial V0.Solucion: Ue = (ε0εr)/(1 + εr)V

20 A/d.

10. Determinar la energıa del campo electrico creado por una esfera conductora decarga Q y radio R.Solucion: Ue = Q2/(8πε0R).

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Capıtulo 7

Corriente electrica

7.1. Corriente electrica en un cable conductor

Una corriente electrica es un conjunto de partıculas cargadas en movimiento ordenado.Esto es aplicable a los iones que se mueven en una disolucion electrolıtica, a las cargasen un plasma (un gas ionizado) o a los electrones en un material conductor.

Un conjunto de cargas libres se pueden mover colectivamente por la accion deun campo electrico. Existen tambien otras situaciones en que las cargas electricasse mueven colectivamente. Por ejemplo, una masa de fluido en la que hay partıcu-las cargadas (una nube en la atmosfera es un caso tıpico) puede moverse debido adiferencias de presion en el medio, dando lugar a una corriente de conveccion. Otraposibilidad se da en un material magnetizado, en donde aparece una corriente de mag-netizacion superficial debido a la orientacion de los momentos magneticos atomicosal colocar el material en un campo magnetico externo. Incluso existe una corriente dedesplazamiento en los materiales cuando su polarizacion cambia.

Corriente continua y corriente alterna

En este capıtulo vamos a centrarnos en la corriente de conduccion, en la que unconjunto de cargas libres del interior de un conductor neutro se mueven en una deter-minada direccion debido a un campo electrico aplicado. Estas corrientes son las queaparecen principalmente en los circuitos electricos.

Dentro de las corrientes de conduccion en un material conductor en forma de fi-lamento rectilıneo (un cable), es comun distinguir entre corriente continua y corrientealterna. Un flujo de carga en el interior de un cable constituye una corriente continua

(dc son sus siglas en ingles) cuando el sentido del movimiento colectivo de la carga essiempre el mismo. Cuando el sentido del movimiento colectivo de la carga varıa en eltiempo, de tal modo que durante un intervalo la carga se mueve en un sentido dado,luego en el sentido opuesto durante otro intervalo de tiempo, luego vuelve a cambiary ası sucesivamente, entonces se dice que tenemos una corriente alterna (abreviadoac en ingles) a lo largo del cable.

Velocidad de arrastre

Veamos en que situacion aparece una corriente electrica en un conductor. En losmetales existe carga libre compuesta por electrones. Estos electrones tienen libertad

81

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82 Corriente electrica

EA

Figura 7.1. Movimiento neto de los electrones libres en un filamento conductor, de seccion

A, al que se aplica un campo electrico.

para moverse a lo largo de toda la red de atomos que componen el metal. Debido aque el metal se encuentra a una cierta temperatura, en equilibrio con su entorno,sus electrones libres poseen cierta energıa cinetica. Por tanto, se estan moviendoconstantemente en una especie de danza desordenada o caotica con velocidades tıpicasdel orden de 106 m · s−1, sufriendo colisiones con los atomos de la red.

Consideremos un trozo de material conductor en forma de cable rectilıneo delongitud L y seccion uniforme A, como se ve en la figura 7.1. Al aplicar un campoelectrico E a lo largo del filamento, los electrones libres se veran afectados por elcampo y tenderan a moverse hacia la region de mayor potencial, en sentido opuestoal campo electrico. Por tanto, al movimiento original basicamente desordenado sesuperpone ahora otro movimiento en sentido opuesto al campo creado: cada electronse ve acelerado por una fuerza Fe = −eE.

Finalmente, se llega a un equilibrio en el cual el movimiento de cada electron sepuede considerar uniforme a lo largo del filamento conductor, determinado por unavelocidad constante va, en sentido opuesto al campo externo, llamada velocidad de

arrastre, que es del orden de 10−3 m · s−1.Una manera de estimar la velocidad de arrastre de los electrones libres en un

cable conductor es la siguiente. Usando la segunda ley de Newton, un electron demasa me y carga −e tiene una aceleracion a dada por las fuerzas que actuan sobre el.

En primer lugar esta la fuerza debida al campo electrico E, dada por la expre-sion Fe = −eE. Para representar fenomenologicamente el efecto de las colisiones delelectron con los atomos de la red, que frenan su movimiento, podemos utilizar unafuerza de amortiguamiento viscoso o rozamiento. Se puede establecer una analogıacon el amortiguamiento que sufre un cuerpo en el aire al caer desde una altura deter-minada, que provoca que una pluma y una piedra caigan con velocidades distintas apesar de que la aceleracion gravitatoria es la misma para ambas. La fuerza de amorti-guamiento viscoso se puede escribir como Fa = −bv, pues se opone a la velocidad dela partıcula como toda fuerza de rozamiento. El coeficiente b se llama coeficiente de

amortiguamiento y depende de la forma de la partıcula y del medio en que se mueve.En consecuencia, la ecuacion de movimiento promedio de un electron a lo largo

de un cable conductor se puede escribir, de manera aproximada, como

mea = −eE− bv. (7.1)

Cuando se aplica inicialmente el campo electrico, la velocidad promedio de los electro-nes es cero (las trayectorias desordenadas de su movimiento termico tienen direccionesaleatorias, de tal modo que el promedio de la velocidad es nula a lo largo de cualquierdireccion). Si la velocidad es cero, la ecuacion (7.1) nos dice que aparece una acele-

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Corriente electrica en un cable conductor 83

racion promedio en los electrones en sentido opuesto al campo, de tal modo que suvelocidad en ese sentido crece rapidamente. Al crecer la velocidad, aparece la fuerzade amortiguamiento en sentido opuesto a la velocidad, de tal modo que la aceleracionva decreciendo. Llega un momento en que la fuerza de amortiguamiento se hace tangrande como la fuerza electrica. Entonces, la aceleracion promedio de los electronesse hace cero. A partir de ese instante, los electrones se mueven con una velocidadconstante, que es la velocidad de arrastre. Su valor se obtiene de la ecuacion (7.1)tomando nula la aceleracion,

va = −e

bE. (7.2)

Situacion de equilibrio electrostatico

Si los electrones se mueven en promedio con velocidad va, al llegar al extremo delfilamento o cable conductor, se empiezan a acumular allı. Esta acumulacion de cargacrea un campo electrico de sentido contrario al campo exterior que aplicabamos alcable. Finalmente, se acumula tanta carga que el campo que esta crea es capaz decompensar el campo aplicado, con lo cual se alcanza el equilibrio electrostatico y dejade haber movimiento. El campo en el interior del conductor se anula y la velocidad dearrastre acaba haciendose cero. Esta es la explicacion microscopica de las propiedadesde los conductores en equilibrio electrostatico que hemos visto en capıtulos anteriores.

El tiempo en que se llega al equilibrio se puede estimar a partir de la ecuacion(7.1). Cuando el campo se hace cero, se tiene

mea = −bv. (7.3)

El tiempo de relajacion te necesario para que los electrones se paren, y se llegue al equi-librio electrostatico, se puede obtener aproximadamente de esta expresion haciendov = va, y tambien a = −va/te. El resultado es

te =me

b, (7.4)

que suele ser del orden de 10−14 s, es decir, el equilibrio se alcanza casi instantanea-mente.

Circuito electrico

Una corriente electrica implica una situacion de no equilibrio. Por tanto, si quisieramosmantener una corriente electrica a lo largo de un cable conductor, tendrıamos queidear alguna manera de extraer electrones del extremo del conductor en donde seestan acumulando e inyectarlos por el extremo opuesto. Para mantener una corrienteelectrica, necesitamos un camino cerrado formado por conductores y dispositivos quelos unen. Tal camino se llama circuito electrico.

Cuando un aparato electrico se conecta a la red mediante un cable conductor,se consigue un camino cerrado entre el enchufe y el aparato, a traves del cual fluyecorriente electrica. Esto nos plantea un curioso enigma. La velocidad de arrastre delos electrones a traves del cable es, como antes hemos comentado, muy peque na: unelectron recorre una distancia de 10−3 metros en cada segundo. ¿Como es entoncesposible que encendamos el interruptor y una lampara se encienda de manera casi

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84 Corriente electrica

Figura 7.2. Un circuito de canicas es un ejemplo mecanico que permite comprender la gran

velocidad con que se propaga la energıa electrica.

instantanea aunque del interruptor a la lampara haya una distancia de varios metros?Una estimacion simple darıa un tiempo de varios miles de segundos.

La respuesta podemos verla con ayuda de la figura 7.2. Un tubo esta lleno decanicas, por lo que si se introduce una por un extremo, inmediatamente otra es ex-pulsada por el otro lado. Incluso si cada canica solo viaja una peque na distancia, elefecto es virtualmente instantaneo. Con la electricidad, este efecto ocurre a la veloci-dad de la luz, es decir a unos 3 × 108 m · s−1, que es la velocidad con que el campoelectrico se propaga a lo largo del cable, aunque los electrones viajan a una velocidadmucho menor.

7.2. Ley de Ohm

Consideremos de nuevo el filamento conductor de la figura 7.1 recorrido por unacorriente electrica. Supongamos que el numero de electrones libres por unidad devolumen en el conductor es ne y que estos se mueven con una velocidad de arrastreva. Para caracterizar la corriente a lo largo del conductor se define el vector densidadde corriente electrica j como la carga libre que atraviesa, por unidad de tiempo, unaunidad de superficie transversal al movimiento, o la carga por unidad de volumenmultiplicada por la velocidad,

j =q

V v = −eneva, (7.5)

La unidad de densidad de corriente es 1C · s−1 ·m−2.

Es importante notar que, segun la definicion (7.5), se elige el sentido de la co-rriente como opuesto al movimiento real de los electrones, es decir, se toma para ladensidad de corriente el sentido del flujo de carga positiva. El motivo de esto es que,antes de descubrirse los electrones, Benjamin Franklin asumio que la carga electricaque se movıa a lo largo de un conductor era carga positiva. Mas tarde, cuando sedescubrio que en un metal se mueven los electrones, se decidio mantener el criteriode Franklin. Este criterio se conoce como sentido convencional del flujo, que es el queseguiremos aquı.

Si utilizamos para la velocidad de arrastre el valor que hemos estimado en laecuacion (7.2) y lo introducimos en la definicion (7.5), encontraremos una relacionentre la densidad de corriente a lo largo de un filamento conductor y el campo electriconecesario en el conductor para producir esta corriente,

j =nee

2

bE = σeE, (7.6)

donde σe es el coeficiente de proporcionalidad entre la densidad de corriente y elcampo electrico en un conductor y se llama conductividad electrica del material.

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Ley de Ohm 85

Conductividad y resistividad

La conductividad de un material depende del tipo de material, de la temperatura ydel campo aplicado, pero no de su forma o su tamano. Aunque el sımbolo que hemosutilizado para la conductividad es el mismo que el que usamos anteriormente para ladensidad superficial de carga, es importante no confundir ambos conceptos. De hecho,tienen unidades diferentes. La unidad de conductividad electrica es 1C·V−1 ·m−1 ·s−1.Esta unidad tambien se escribe como 1 siemen/m.

La inversa de la conductividad se llama resistividad del material y se simbolizacomo

ρe =1

σe, (7.7)

que tampoco se debe confundir con una densidad volumetrica de carga. La unidadde resistividad es inversa de la unidad de conductividad. Resulta util definir el ohmio(Ω) como 1Ω = 1V · s · C−1. De este modo, la unidad de resistividad es 1Ω ·m.

En la tabla 7.1 podemos ver algunos valores tıpicos de resistividad para diver-sos materiales. Vemos que los conductores de la tabla (metales) tienen muy bajaresistividad, mientras que los aislantes tienen alta resistividad. Tambien observamosque algunos materiales, tales como el Germanio y el Silicio, tienen una resistividadintermedia.

En general, la resistividad de un material depende de la temperatura, algo com-prensible si recordamos que la temperatura es una medida de la energıa cinetica delmovimiento desordenado de los portadores de carga. En los metales, la resistividadaumenta con la temperatura, pero en los semiconductores esto no es cierto. Paramuchos materiales, y en un limitado rango de temperaturas, podemos expresar ladependencia de la resistividad con la temperatura mediante la ecuacion

ρ = ρ0[1 + α(T − T0)]. (7.8)

En esta expresion, ρ y ρ0 son las resistividades a temperaturas T y T0 respectiva-mente (medidas en Kelvin), y α es el coeficiente de temperatura de la resistividad delmaterial, con unidades de K−1.

Material Resistividad (Ω·m) Material Resistividad (Ω·m)

Conductores Semiconductores

Aluminio (Al) 2.82×10−8 Carbono (C) 3.5×10−5

Cobre (Cu) 1.72×10−8 Germanio (Ge) 0.5a

Oro (Au) 2.44×10−8 Silicio (Si) 20-2300a

Hierro (Fe) 9.7×10−8 Aislantes

Mercurio (Hg) 95.8×10−8 Mica 1011 − 1015

Plomo (Pb) 22×10−8 Vidrio 1010 − 1014

Nicromo (aleacion) 100×10−8 Goma 1013 − 1016

Plata (Ag) 1.59×10−8 Teflon 1016

Tungsteno (W) 5.6×10−8 Madera 3×1010

Tabla 7.1. Resistividades de diversos materiales a 20 C. En los casos en que aparece un

superındice a, el valor depende de la pureza del material.

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86 Corriente electrica

L

SI

BA

Figura 7.3. Corriente electrica a lo largo de un cable conductor rectilıneo y homogeneo

de seccion uniforme S y longitud L. El valor de la intensidad de corriente depende de la

diferencia de potencial entre los extremos A y B del cable y de la resistencia del cable,

segun la ley de Ohm. La corriente se dirige desde el extremo de mayor potencial al de menor

potencial si se considera el sentido convencional del flujo.

Intensidad de corriente electrica

El flujo del vector densidad de corriente j a traves de una seccion transversal S delcable conductor se llama intensidad de corriente electrica I,

I =

S

j · dS. (7.9)

En esta expresion, el vector dS esta definido, como en el caso del flujo electrico, comoel producto dS n, siendo n el vector unitario normal a la seccion transversal del cable,y dS el area de un trozo infinitesimal de esta seccion. La unidad de intensidad decorriente es el amperio (A), definido de tal manera que 1A = 1C · s−1.

Cuando la carga fluye a traves de un hilo conductor de seccion uniforme S, comoel de la figura 7.3, podemos suponer que la densidad de corriente j es paralela al vectornormal n y uniforme en la superficie S. Resulta entonces

I = jS = enevaS =dQ

dt, (7.10)

y la intensidad de corriente I es la cantidad total de carga positiva que atraviesa unaseccion S del cable por unidad de tiempo.

Podemos usar ahora la ecuacion (7.6) para encontrar una relacion entre la in-tensidad de corriente I en un filamento conductor rectilıneo de seccion uniforme y elcampo electrico en el material. Se encuentra entonces que

I =ES

ρe. (7.11)

siendo S el area de la seccion transversal del filamento.

Resistencia y ley de Ohm

Supongamos que estamos interesados en calcular la intensidad de corriente I quecircula a lo largo de una porcion de cable de longitud L. Si la diferencia de potencialentre los extremos A y B del cable es V = VA − VB (ver la figura 7.3), y el cable eshomogeneo, el campo electrico a lo largo de este cable se puede considerar uniforme, de

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Ley de Ohm 87

ABA B

Figura 7.4. Representacion esquematica de un cable de resistencia nula y de una resistencia.

valor E = V/L, y dirigido desde el punto de mayor potencial A al de menor potencialB. Por tanto, la ecuacion (7.11) queda

I =V

R, (7.12)

y la corriente va desde A hacia B. La cantidad R, definida como

R = ρeL

S, (7.13)

se llama resistencia del trozo de cable conductor de longitud L y seccion S. La unidadde resistencia es 1Ω. La ecuacion (7.12) relaciona la intensidad de corriente a lo largode un cable conductor con la diferencia de potencial entre los extremos del cable.La resistencia de un conductor es la oposicion al paso de la corriente a traves de suinterior, ya que para una misma diferencia de potencial, si R aumenta, la corrientedisminuye. Es logico que la resistencia aumente con la longitud del cable y disminuyacon su grosor, como sucede con el paso del agua a traves de una tuberıa.

Cuando la carga electrica fluye a traves de un cable metalico, sufre colisionescon la red cristalina del metal comos hemos visto. Cada colision tiene por efecto unatransferencia de energıa cinetica a la estructura del metal, y esto provoca que el con-ductor se caliente cuando la carga fluye a traves de el. El conjunto de estas colisionesda lugar macroscopicamente a la resistencia R. Por ello, cuanto mas largo y estrechosea el cable, mayor numero de colisiones habra y mayor resistencia, como muestra laexpresion (7.13). Si no existiesen estas colisiones, ocurrirıa que una vez producida unacorriente en un anillo metalico, esta durarıa por siempre sin necesidad de manteneruna diferencia de potencial. Esto no es posible en la mayorıa de materiales, aunqueocurra en el caso de los llamados superconductores.

Cuando R no depende de la diferencia de potencial aplicada, o de la corriente quecircula por el material, se dice que este es un material ohmico y que cumple la ley de

Ohm (7.12). En los circuitos, los cables conductores siguen la ley de Ohm, y tambienlo hacen otros dispositivos a los que llamamos resistencias. Hay otros dispositivos quecumplen relaciones I-V diferentes, como los condensadores, las bobinas, los diodos ylos transistores.

El valor de las resistencias en los circuitos son muy diferentes. Por ejemplo,los cables conductores tıpicos suelen tener resistencias muy pequenas (del orden de10−2 Ω por cada metro de cable), de tal modo que se suelen despreciar. De manerasimbolica, un cable conductor con resistencia despreciable se dibuja como una lınearecta. Las resistencias que se usan para limitar la corriente a traves del circuito oproducir luz o calor (filamentos de bombilla, tostadoras, etc), suelen tener valores deR no despreciables y se simbolizan mediante una lınea en zig-zag. Estos sımbolos sehan dibujado en la figura 7.4.

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88 Corriente electrica

7.3. Fuerza electromotriz

Consideremos ahora como es posible fısicamente mantener una corriente electrica. Yahemos comentado que necesitamos, en primer lugar, establecer un camino cerradoformado por cables conductores y dispositivos que permiten el paso de la corrientea traves de su interior. Este camino cerrado se llama circuito. En segundo lugar,necesitamos un campo electrico a lo largo del circuito que mueva las cargas libres paraque exista flujo. Vamos a analizar ahora cual es la naturaleza del campo electrico querealiza esta funcion y de donde proviene.

Volvamos al caso del cable conductor de la figura 7.3. Entre los extremos delcable existe una diferencia de potencial V = VA − VB , de modo que hay un campoelectrostatico E0 = V/L a lo largo del interior del cable, dirigido desde el punto Ahacia el punto B. Una carga positiva q, inicialmente situada en el extremo A delconductor, sentira entonces una fuerza electrostatica qE0 hacia el extremo B, demanera que se movera hacia este extremo, produciendose la corriente electrica.

El trabajo por unidad de carga realizado por el campo electrostatico E0 paramover cargas positivas desde A hacia B es igual a la diferencia de potencial VB − VA

cambiada de signo (recordar la definicion de diferencia de potencial electrostatico enel capıtulo 4), es decir,

WAB

q=

∫ B

A

E0 · dr = V = IR, (7.14)

donde se ha usado la ley de Ohm (7.12). En consecuencia, el trabajo del campoelectrostatico E0 permite una corriente electrica en el cable.

Pero un circuito es un camino cerrado. Esto implica que, para mantener unacorriente en un circuito completo, hace falta que exista un campo electrico E en elcircuito tal que su trabajo por unidad de carga a lo largo de la trayectoria cerrada Cdel circuito no sea cero, esto es

WC

q6= 0. (7.15)

En esta expresion, el subındice simplemente indica que la trayectoria es un circuitocerrado. Es facil ver que esta condicion no la puede cumplir un campo electrostaticocomo E0 que aparece cuando hay una diferencia de potencial entre los extremos de uncable. La razon de esto es que todo campo electrostatico es conservativo, de maneraque su trabajo solo depende de los puntos inicial y final. Si ambos puntos son el mismo,como ocurre en un circuito cerrado, entonces el trabajo es nulo. Como consecuencia,un campo electrostatico no puede mantener una corriente en un circuito.

Por tanto, a menos que se suministre a un circuito una energıa que no provenga deun campo electrico conservativo, no podra haber corriente en ese circuito. Los dispo-sitivos que proporcionan energıa al circuito se llaman fuentes de fuerza electromotriz,fuentes de voltaje o generadores electricos).

Se define la fuerza electromotriz (fem) E como el trabajo por unidad de cargaque realiza un campo electrico E a lo largo de una trayectoria cerrada. La ecuacion(7.15) que indica la condicion para que haya corriente en un circuito se puede escribiren funcion de la fuerza electromotriz como

E =WC

q6= 0. (7.16)

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Fuerza electromotriz 89

B

A+

E’0E E

E

E

E

B

A+

E’

0

0

0

0I

Figura 7.5. Esquema de una fuente de fem conectada a un circuito. El campo no conser-

vativo E′ proporcionado por la fuente permite el establecimiento de corriente a lo largo del

circuito al ser capaz de llevar cargas positivas desde el terminal negativo al terminal positivo

de la fuente en contra del campo conservativo E0.

La unidad de fuerza electromotriz es la misma que la de potencial, es decir 1V,pero no es estrictamente una diferencia de potencial electrostatica pues, como yahemos demostrado, el campo electrico que la proporciona no puede ser un campoconservativo. Este campo electrico no conservativo esta creado por la fuente de femque conectemos al circuito.

Fuentes de fuerza electromotriz

Un esquema del funcionamiento de una fuente de fem se ve en la figura 7.5. Si la fuenteno esta conectada a un circuito externo, tiene cierta carga positiva en su terminalpositivo A y cierta carga negativa en el terminal opuesto B. Como consecuencia, existeuna diferencia de potencial V (A) − V (B), que supondremos constante, entre ambosterminales. Obviamente, esto implica que aparece un campo electrico conservativo E0

dirigido desde el terminal positivo al terminal negativo de la fuente.

Este campo electrico conservativo podrıa mover carga negativa del interior dela fuente hacia el terminal positivo y carga positiva hacia el terminal negativo, enun proceso que descargarıa los terminales. Para evitarlo, la fuente ha de realizar untrabajo por unidad de carga contra el campo conservativo E0, que podemos describiren terminos de un campo no conservativo E′, de sentido opuesto a E0, y que aparecesolo en el interior de la fuente de fem. Dado que la fuente no esta conectada a uncircuito, en su interior ha de ser precisamente E′ = −E0.

Cuando conectamos la fuente de fem a un circuito a traves de cables conductores,la diferencia de potencial V (A)− V (B) entre los terminales de la fuente provoca quese genere una corriente electrica I en el circuito externo, desde el terminal positivoA hacia el terminal negativo B. El campo electrostatico E0 determinado por estadiferencia de potencial se puede considerar uniforme en todo el circuito.

Una carga positiva q que llega al terminal B de la fuente desde el terminal Aa traves del circuito externo reduce su potencial en una cantidad V (A) − V (B), demanera que la fuente tendra que hacer un trabajo extra por unidad de carga iguala esta cantidad para que esta carga vuelva al terminal positivo por su interior ymantener ası la corriente a lo largo del circuito externo. En el interior de la fuente la

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90 Corriente electrica

corriente va desde el terminal negativo al terminal positivo.En consecuencia, cuando la fuente esta conectada a un circuito y fluye corriente,

el campo no conservativo E′ en su interior ha de ser mayor (o igual, en el caso ideal)que el campo conservativo E0. Teniendo en cuenta que el campo conservativo hacetrabajo nulo a lo largo del circuito completo, la fuerza electromotriz proporcionadaal circuito es

E =

C

(E0 +E′) · dr =

∫ A

B

E′ · dr, (7.17)

que es claramente no nula. De este modo, hemos resuelto el problema de generarcorriente en un circuito cerrado mediante la introduccion de un campo no conservativoE′ en el interior de la fuente de fem. Mientras, en el resto del circuito se tiene un campoelectrostatico E0 determinado por la diferencia de potencial entre los terminales dela fuente.

En una fuente de fem ideal, E′ = −E0 en el interior de la fuente independien-temente de la corriente que circule por el exterior. Por tanto, la fuerza electromotrizE resulta igual a la diferencia de potencial V (A) − V (B) entre los terminales de lafuente, pues

E =

∫ A

B

E′ · dr = −∫ A

B

E0 · dr = V (A)− V (B). (7.18)

Sin embargo una fuente real ha de realizar un trabajo mayor para mover las cargaspositivas hacia el terminal positivo por el interior, de tal modo que E > V (A)−V (B).En teorıa de circuitos, se modela el comportamiento real de la fuente mediante unaresistencia interna.

Existen muchos dispositivos capaces de funcionar como fuentes de fem en lapractica, como las baterıas y pilas, que funcionan en base a ciertas reacciones quımicas,las celulas solares, que usan radiacion, o los generadores electricos de corriente alterna,que aprovechan el fenomeno de induccion magnetica.

La baterıa es un conjunto de celulas quımicas. Cada una de ellas consta de doselectrodos metalicos, llamados terminales, sumergidos en una solucion conductora lla-mada electrolito. Las reacciones quımicas entre los conductores y el electrolito carganpositivamente uno de los terminales de la baterıa y negativamente el otro. Si se co-nectan los terminales mediante un cable conductor externo, existira una diferencia depotencial que permitira la corriente electrica a lo largo del cable. Como consecuencia,se dice que una baterıa transforma un trabajo quımico (el realizado por las reaccio-nes entre el electrolito y los terminales) en energıa electrica (la acumulada por losterminales cargados, que estan a diferente potencial). Representaremos todo disposi-tivo que, como una baterıa, es capaz de generar una diferencia de potencial constantemediante los sımbolos que pueden verse en la figura 7.6.

7.4. Potencia en los circuitos electricos

Una fuente de fem realiza un trabajo (quımico, mecanico, etc) para mantener susterminales a una diferencia de potencial dada. Cuando se conecta la fuente a uncircuito, se origina una corriente electrica, de tal manera que la energıa potencial deuna carga positiva situada en el terminal positivo, debida a la diferencia de potencialentre los terminales de la fuente, se convierte en energıa cinetica cuando la carga semueve a lo largo del circuito.

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Potencia en los circuitos electricos 91

+−

+

-

Figura 7.6. Representacion esquematica de una fuente de voltaje. El signo negativo indica

la fuente de electrones, y el positivo el destino.

Potencia suministrada por una fuente de fem

Calculemos ahora cuanta energıa por unidad de tiempo proporciona una fuente aun circuito. Para ello, consideremos una carga positiva de valor infinitesimal dq. Eltrabajo infinitesimal que realiza la fuente para que esta carga de una vuelta completaal circuito es igual a la fuerza electromotriz de la fuente multiplicada por la carga,

dW = dq E . (7.19)

Este trabajo es energıa electrica suministrada al circuito. Dado que la carga dq formaparte de la corriente I que circula por el circuito, tenemos que dq = Idt, segun laecuacion (7.10). De esta manera,

dW = IEdt. (7.20)

El trabajo por unidad de tiempo es la potencia PE suministrada por la fuente alcircuito, que podemos escribir

PE =dW

dt= IE . (7.21)

La unidad de potencia es el vatio (W), que cumple 1W = 1A ·V.

Potencia disipada en un conductor

El establecimiento de una corriente en un conductor trae consigo un proceso de perdidade energıa cinetica de las cargas debido a las colisiones con atomos de la red del metal.La energıa perdida por estas cargas es ganada por los atomos de la red, acumulandoseen forma de energıa interna del conductor. Esto hace que el metal se caliente cuandola corriente circula por el. El incremento de energıa interna del cable se llama calor

Joule y es igual a la disipacion de energıa cinetica de las cargas que circulan a travesdel cable.

Consideremos de nuevo el cable conductor rectilıneo de la figura 7.3, en cuyosextremos se ha aplicado una diferencia de potencial V = V (A) − V (B), de maneraque hay un campo electrostatico E0 = V/L dirigido desde A hacia B. El trabajo querealiza este campo electrostatico para mover una carga positiva infinitesimal dq desdeA hasta B es

dW = dq

∫ B

A

E0 · dr = dq[V (A)− V (B)] = dq V. (7.22)

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92 Corriente electrica

Este trabajo se transforma en energıa cinetica de la carga dq que a su vez pasa aformar parte de la energıa interna del cable. Dado que podemos escribir dq = Idt, lapotencia disipada por las cargas en movimiento resulta

Pdis =dW

dt= IV. (7.23)

Si el cable tiene una resistencia R, podemos escribir la ecuacion (7.23) de otra manerausando la ley de Ohm V = IR. Ası, se obtiene que la potencia disipada por unaresistencia en un circuito es

PR = RI2 =V 2

R. (7.24)

Esta potencia es la que da lugar al calor que desprenden una tostadora, una plancha,un radiador o el filamento de una bombilla cuando pasa corriente. Obviamente, sise considera despreciable la resistencia del cable, tambien se esta despreciando lapotencia que disipa.

Lo dicho para el cable vale tambien para cualquier dispositivo del circuito, demanera que la ecuacion (7.23) expresa la disipacion de energıa por unidad de tiempode un dispositivo de un circuito (excepto la fuente de fem, claro esta, que no disipa sinosuministra energıa), con una diferencia de potencial V entre sus terminales, cuando loatraviesa una corriente I. Toda la potencia PE que suministra la fuente a un circuitose disipa en sus componentes. Por ejemplo, si el circuito consta de dos resistencias R1

y R2, se ha de cumplir que

PE = Pdis = PR1+ PR2

. (7.25)

7.5. Ejercicios

1. Consideremos un cable de cobre tıpico de un circuito, con una seccion de 0,8mmde radio, una densidad de 8,9 g · cm−3 y una masa molar de 63,5 g · mol−1. Sise supone que hay un electron libre por cada atomo de Cobre y la velocidadde arrastre de los electrones es de 4,1 × 10−5 m · s−1, determinar la intensidadde corriente que atraviesa el cable. Dato: el numero de atomos por cada mol deCobre es 6,02× 1023.Solucion: I = 1,1A.

2. Si el cable del ejercicio anterior tiene una longitud de 10 cm y la resistividad delCobre es de 1,72 × 10−8 Ω ·m, calcular su resistencia, la diferencia de potencialentre sus extremos para conducir esa corriente y el campo electrico en el interiordel cable.Solucion: R = 8,6× 10−4 Ω, V = 9,5× 10−4 V, E = 9,5× 10−3 V ·m−1.

3. Una resistencia en un circuito tiene una resistividad de 6,8×10−5 Ω ·m a 270K, y8,2×10−5 Ω ·m a 370K. Calcular el coeficiente de temperatura de la resistividaddel material.Solucion: α = 2× 10−3 K−1.

4. Un trozo de material conductor en forma de cilindro tiene radio r y longitud L. Seestira hasta doblar su longitud manteniendo constante su volumen. Determinarcomo cambia su resistencia.Solucion: Se multiplica por 4.

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Ejercicios 93

5. Consideremos el campo electrico E = 2×103 V·m−1 i−4×103 V·m−1 j y la curvacerrada C formada por el perımetro de un cuadrado de 10 cm de lado, con centroen el origen y lados paralelos a los ejes x e y, respectivamente con orientacionantihoraria. Calcular el trabajo de esta campo para mover una carga q = 10−3 Ca lo largo de cada lado de C, y la fem total.Solucion: A lo largo de los lados paralelos al eje x, el trabajo es de 0, 2 J y −0, 2 J,respectivamente. A lo largo de los lados paralelos al eje y, el trabajo es de −0, 4 Jy 0, 4 J, respectivamente. La fem es cero porque el campo es estatico.

6. En una calculadora, una pila de 1,5V produce una corriente de 0,17mA quealimenta la calculadora. Determinar la potencia suministrada por la pila y laenergıa suministrada a la calculadora en 1 hora.Solucion: P = 0,26mW, U = 0,92 J.

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Capıtulo 8

Magnetismo

8.1. Fuerza magnetica

Se observa en la naturaleza que hay ciertos materiales que actuan como imanes. Inicial-mente, se pensaba que el magnetismo era totalmente independiente de la electricidad.En este contexto se estudiaron ciertas aplicaciones de los materiales magneticos, comolas brujulas. Pero esta idea cambio cuando Oersted observo en 1819 que una corrienteelectrica ejerce una fuerza sobre una brujula y, sobre todo, cuando Ampere descu-brio que una corriente electrica ejerce una fuerza sobre otra y obtuvo una expresionpara describir esa fuerza.

La aguja de una brujula, colocada sobre una superficie horizontal, gira hasta queuna de sus puntas indica el Norte geografico. El extremo de la aguja que apunta alNorte se llama polo norte magnetico y el otro extremo se llama polo sur magnetico.La brujula es un ejemplo de iman permanente y nos servira para introducir algunosde los conceptos basicos sobre magnetismo.

Experimentalmente se observa que los imanes interaccionan entre ellos de talmanera que los polos del mismo signo se repelen y los polos de signo opuesto se atraen,al igual que las cargas electricas. Existe, sin embargo, una diferencia fundamental entreimanes y cargas electricas: no se han observado nunca monopolos magneticos, que sonlos equivalentes magneticos a las cargas electricas aisladas.

La interaccion entre imanes sugiere que, alrededor de ellos, existen campos magne-

ticos que afectan al espacio que los rodea, del mismo modo que alrededor de lascargas hay campos electricos creados por ellas. Estos campos magneticos son camposvectoriales que interaccionan con otros imanes haciendo que roten o se muevan. Porejemplo, el campo magnetico de la Tierra afecta a las agujas de los imanes, haciendoque roten hasta que su polo norte indica el Norte geografico, que es, a su vez, polosur magnetico de la Tierra.

Lıneas de campo magnetico

Para conocer como es el campo magnetico que crea un iman permanente, una tecnicasencilla consiste en pintar sus lıneas de campo magnetico. Estas lıneas son, por analogıacon las lıneas de campo electrico, tangentes en cada punto al vector campo magnetico.

En la figura 8.1 se han dibujado algunas lıneas del campo magnetico creado poruna barra de iman, y tambien las correspondientes a un iman en forma de U. En ambos

95

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96 Magnetismo

N S

N S

Figura 8.1. Diagrama de las lıneas de campo magnetico de una barra de iman y de un

iman en forma de U. Son lıneas que se cierran por el interior del material. Por el exterior,

sus fuentes son los polos norte y sus sumideros son los polos sur de cada iman.

casos pueden observarse ciertas caracterısticas esenciales de las lıneas magneticas. Laprimera de estas caracterısticas es que, en el espacio que rodea a los imanes, los polosnorte del iman actuan como fuentes de campo, mientras que los polos sur actuancomo sumideros de campo. Es decir, los polos norte son al campo magnetico lo quelas cargas positivas al campo electrico, y los polos sur juegan en magnetismo el mismopapel que las cargas negativas en electricidad.

Una segunda propiedad de las lıneas magneticas se deriva del hecho de la im-posibilidad de aislar un monopolo magnetico: por el interior de un iman, las lıneasmagneticas se cierran desde el polo sur al polo norte. En consecuencia, las lıneasmageticas son cerradas y no tienen por fuente o sumidero el infinito.

Fuerza magnetica sobre una carga electrica

Escribiremos el campo magnetico creado por determinada fuente, como un iman,mediante la notacion B. Supongamos que en determinada region del espacio se hacreado un campo magnetico. Estamos interesados en conocer que efecto tiene estecampo magnetico en el movimiento de una carga de prueba q que se encuentra en esaregion. Este efecto viene descrito como una fuerza sobre la carga de prueba.

Los experimentos indican que, cuando una carga de prueba q, con velocidad v,se situa en el seno de un campo magnetico B, sufre una fuerza magnetica Fm dadapor la expresion

Fm = q v ×B. (8.1)

De esta ecuacion se puede extraer que la unidad SI de campo magnetico es el tesla(T), definido de tal modo que 1T = 1kg · s−1 · C−1. Esta fuerza magnetica tieneciertas similitudes con la fuerza que ejerce un campo electrico E sobre una carga deprueba q, dada por Fe = qE. Las similitudes son que, en ambos casos, la fuerza esproporcional a la carga de prueba y al modulo del campo que la afecta.

Sin embargo, existen dos diferencias basicas entre la fuerza electrica y la fuerzamagnetica. La primera de ellas es que la fuerza electrica es paralela al campo electrico,mientras que la fuerza magnetica es perpendicular al campo magnetico, debido a laaparicion del producto vectorial × en su definicion. En la figura 8.2 se han dibujadolos vectores velocidad, campo magnetico y fuerza magnetica en una carga q. La fuerzamagnetica es un vector perpendicular al plano formado por los vectores v y B, y su

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Carga de prueba en un campo magnetico uniforme 97

Fm

v

B

Figura 8.2. Fuerza magnetica sobre una carga en movimiento. En este ejemplo, la carga es

positiva.

sentido es el dado por las reglas del producto vectorial. Por ejemplo, usando la regladel triedro en la mano derecha, si se coloca el dedo ındice a lo largo del vector v y eldedo corazon a lo largo del vector B, el pulgar estara colocado a lo largo del vectorFm si la carga es positiva, y en sentido opuesto si la carga es negativa.

La segunda diferencia entre la fuerza electrica y la fuerza magnetica sobre unacarga de prueba es que, en el ultimo caso, la fuerza depende de la velocidad de lacarga. El modulo de la fuerza magnetica sobre la carga viene dado por la expresion

Fm = |q|vB senα, (8.2)

donde |q| es el valor absoluto de la carga, v es el modulo de la velocidad de la carga, Bes el modulo del campo magnetico y α es el angulo que forman los vectores velocidadv y campo magnetico B. De aquı es facil ver que, a diferencia de la fuerza electrica,para que exista fuerza magnetica sobre una carga, es necesario que la carga este enmovimiento y ademas que la direccion de la velocidad no sea paralela a la direcciondel campo magnetico.

8.2. Carga de prueba en un campo magnetico uniforme

Como vimos en el apartado 4.3, cuando una carga de prueba q positiva, de masa m,entra en la region entre las placas de un condensador, donde hay un campo electri-co E uniforme, la carga adquiere una aceleracion a = (q/m)E paralela al campoelectrico, de modo que efectua un movimiento parabolico en el plano que forman losvectores velocidad inicial v0 y campo electrico E, curvandose hacia la placa negativadel condensador. La situacion se ha dibujado en la figura 8.3(a).

El caso magnetico analogo es el de una carga positiva q, de masa m, que entra convelocidad inicial v0 en la region entre los polos norte y sur de un iman en U. El campomagnetico B del iman se considera uniforme y se dirige desde el polo norte hacia elpolo sur, segun la figura 8.3(b). La velocidad inicial de la carga es perpendicular alcampo magnetico. Su aceleracion en cada punto del espacio entre los polos del imansatisface la ecuacion

a =q

mv ×B. (8.3)

En consecuencia, la carga se desvıa inicialmente a lo largo de la direccion perpendi-cular a la velocidad inicial y al campo magnetico.

Es util en estas situaciones dibujar el campo magnetico perpendicular al papel.Un campo magnetico dirigido hacia fuera del papel se expresa con puntos, y un campo

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98 Magnetismo

E B

(a) (b)

Figura 8.3. (a) Una carga positiva entra entre las placas de un condensador y se acelera

hacia la placa negativa. (b) Una carga positiva entra entre los polos norte y sur de un

iman en U, de tal manera que la velocidad inicial es perpendicular al campo magnetico. Su

velocidad no cambia en modulo, pero la trayectoria de la carga se curva ortogonalmente al

plano formado por la velocidad inicial y el campo magnetico.

dirigido hacia el papel se expresa con cruces. Ası se ha hecho en la figura 8.4, quesignifica exactamente lo mismo que la figura 8.3(b) pero desde un punto de vistadiferente. Se observa como la carga se desvıa en la direccion del plano ortogonal alcampo magnetico. Dado que la aceleracion es, en cada punto, ortogonal al campo, sila carga no abandona la region donde hay campo esta desviacion se mantendra encada punto. Si el campo magnetico es uniforme, la carga queda entonces confinada enesta region realizando un movimiento circular.

Para comprobar esa afirmacion es util calcular el trabajo realizado por la fuerzamagnetica sobre la carga. Dado que la fuerza magnetica es Fm = q v ×B, el trabajoesta dado por

Wm =

∫q (v ×B) · dr = 0. (8.4)

Para notar que este trabajo es nulo, basta recordar que los vectores desplazamientoinfinitesimal dr y velocidad v son paralelos, de manera que el producto escalar de

Figura 8.4. La misma situacion de la figura 8.3(b). En este caso, estamos mirando desde

el polo norte del iman hacia el polo sur. Las cruces indican que el campo magnetico apunta

hacia dentro del papel. La trayectoria de la carga positiva se observa ahora con mas claridad.

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Carga de prueba en un campo magnetico uniforme 99

la ecuacion (8.4) es cero. Dado que el trabajo es igual a la variacion de la energıacinetica de la carga, resulta que

Wm =1

2m(v2 − v20

)= 0, (8.5)

de manera que el modulo de la velocidad de la carga no cambia.

Como vimos al analizar las componentes intrınsecas de la aceleracion en el capıtu-lo 1, el hecho de que el modulo de la velocidad no cambie indica que la aceleraciontangencial de la partıcula es nula. Sin embargo, puede haber aceleracion normal, quese encarga de los cambios en la direccion y el sentido del vector velocidad. La acele-racion normal es siempre perpendicular a la trayectoria y esta dada por la expresion

aN =v20r, (8.6)

donde v0 es el modulo de la velocidad (que no cambia si no hay aceleracion tangencial)y r es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto dado.

En el caso que estamos analizando de una carga de prueba que entra con velocidadinicial v0 en una region con un campo magnetico uniforme ortogonal a la velocidad, elmodulo de la aceleracion de la carga ha de ser igual a la aceleracion normal. Calculandoel modulo en la ecuacion (8.3),

aN =qv0B

m. (8.7)

Dado que aN es una constante cuando B es uniforme, el radio de curvatura r de latrayectoria de la carga permanece constante, de manera que la trayectoria es circular.El radio r de la trayectoria circular se puede obtener igualando las expresiones (8.6)y (8.7), de donde

r =mv0qB

. (8.8)

El periodo T del movimiento, que es el tiempo que tarda la carga en realizar unavuelta completa, tambien puede calcularse a partir de su expresion T = 2πr/v paraun movimiento circular uniforme. Usando la ecuacion (8.8),

T =2πr

v0=

2πm

qB. (8.9)

Este periodo se conoce con el nombre de periodo de ciclotron. Es interesante notarque no depende de la velocidad de la carga, lo cual permite caracterizar algunas pro-piedades de las partıculas subatomicas en las camaras de niebla. En particular, unexperimento de este tipo condujo a Carl Anderson, en 1932, al descubrimiento delpositron como una de las partıculas que bombardean la Tierra en forma de rayos

cosmicos provenientes del espacio exterior. El positron es una partıcula identica alelectron pero de carga positiva. Su existencia habıa sido anteriormente predicha porPaul Dirac en su ecuacion para el comportamiento cuantico relativista de los electro-nes. El descubrimiento de Anderson supuso el espaldarazo definitivo a la ecuacion deDirac y, en general, al desarrollo de las llamadas teorıas cuanticas de campos.

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100 Magnetismo

B

V

Figura 8.5. Una carga positiva sigue una trayectoria helicoidal en un campo magnetico

uniforme si la velocidad inicial de la carga no es ortogonal al campo magnetico.

Carga en un campo magnetico no transversal

El caso que hemos estudiado, en que la carga realiza un movimiento circular, ocurrecuando (i) la velocidad inicial de la carga es ortogonal al campo magnetico, y (ii)el campo magnetico es uniforme. Si alguna de estas condiciones no se cumple, elmovimiento de la carga no es, en general, circular.

Por ejemplo, si la velocidad inicial no es ortogonal al campo magnetico pero estees uniforme, podemos descomponer su velocidad en dos componentes, una de ellasparalela al campo magnetico y la otra perpendicular. En la direccion perpendicular alcampo magnetico, el movimiento es circular, con un radio dado por la ecuacion (8.8).Sin embargo, en la direccion paralela al campo magnetico la aceleracion es nula, comose desprende de la ecuacion (8.3), y tenemos un movimiento rectilıneo uniforme. Lacomposicion de un movimiento circular uniforme en el plano perpendicular al campomagnetico mas un movimiento rectilıneo uniforme en la direccion paralela al campomagnetico es un movimiento helicoidal, como vemos en la figura 8.5.

Cuando el campo magnetico no es uniforme, la ecuacion (8.8) indica que el movi-miento de una carga perpendicular al campo no es circular, pues el radio de curvaturade la trayectoria decrece al aumentar el valor del campo. Por ejemplo, en la figura

B

v

B

Figura 8.6. Una carga positiva entra en una region donde hay un campo magnetico con

una velocidad inicial que no es ortogonal al campo. La intensidad del campo aumenta hacia

la derecha, de tal modo que la trayectoria helicoidal de la carga va disminuyendo su radio.

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Fuerza magnetica sobre una corriente electrica 101

8.6, vemos una carga positiva que entra en una region en la que el campo magneticova aumentando a medida que la carga avanza en movimiento helicoidal. Por tanto, elradio de la trayectoria de la carga va disminuyendo progresivamente.

8.3. Fuerza magnetica sobre una corriente electrica

Consideremos ahora el caso del efecto de un campo magnetico sobre una corrienteelectrica. Cuando una corriente I circula por un alambre conductor en el seno de uncampo magnetico B, la fuerza magnetica sobre la corriente es la suma de las fuerzassobre cada una de las cargas que producen la corriente al moverse.

Consideremos un segmento infinitesimal de cable conductor de longitud dℓ, quepodemos aproximar por un segmento recto de seccion S uniforme, como en la figura8.7. Supongamos que este cable transporta una corriente I y que se encuentra situadoen una region en la que hay un campo magnetico externo B.

Desde un punto de vista macroscopico, y recordando las caracterısticas promediodel movimiento de cargas en el interior de un cable conductor, que vimos en el capıtulo7, se puede asumir que las cargas libres que dan lugar a la corriente electrica sonelectrones de carga −e que se mueve por el interior del cable con una velocidad va

igual a la velocidad de arrastre de los electrones en el cable. Por la ecuacion (7.5),esta velocidad se relaciona con la densidad de corriente electrica j mediante

va = − 1

enej, (8.10)

donde ne es el numero de electrones libres por unidad de volumen en el cable. La cargatotal dQ que se mueve a la velocidad de arrastre en el interior del cable conductor sepuede escribir como la carga −e de un electron multiplicada por el numero neSdℓ deelectrones libres en el interior del cable,

dQ = −eneSdℓ. (8.11)

Por tanto, la fuerza magetica sobre esta carga dQ que se mueve a velocidad va enpresencia de un campo magnetico B resulta

dFm = −eneSdℓ va ×B = Sdℓ j×B, (8.12)

donde se ha usado la relacion (8.10). Esta expresion nos da el resultado que buscaba-mos para la fuerza magnetica sobre un elemento de corriente de longitud infinitesimaldℓ.

Si consideramos ahora un cable conductor de longitud finita L y seccion uniformeS que transporta una corriente de densidad j en presencia de un campo magnetico B,la fuerza magnetica total Fm es igual a la suma de las fuerzas sobre cada elementoinfinitesimal de cable, dadas cada una de ellas por una expresion como (8.12). Al seruna suma en el continuo, la fuerza total resulta igual a la integral

Fm =

L

Sdℓ j×B, (8.13)

donde la integral se realiza a lo largo de la longitud L del cable.

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102 Magnetismo

FdB

I

dl

Figura 8.7. Un segmento infinitesimal de cable conductor, de longitud dℓ y seccion S,

conduce una corriente I. La fuerza magnetica sobre este segmento es la suma de las fuerzas

sobre cada una de las cargas en movimiento que forman la corriente.

Para escribir la expresion (8.13) en terminos de la intensidad de corriente I a lolargo del cable, es util definir el vector unitario uI como aquel que da la direccion ysentido de la corriente por el interior del cable (con sentido contrario al movimientoreal de los electrones segun el criterio convencional). Recordando tambien la relacionI = jS entre densidad de corriente j e intensidad de corriente I en un cable rectilıneode seccion uniforme, podemos escribir

j =I

SuI , (8.14)

de donde se obtiene que la fuerza magnetica sobre el cable es

Fm =

L

IdℓuI ×B. (8.15)

Fuerza magnetica sobre un cable rectilıneo

Un caso particularmente sencillo de la expresion (8.15) ocurre cuando tenemos unfilamento rectilıneo, de longitud L y seccion uniforme, que transporta una corriente Ien el seno de un campo magnetico B uniforme. En este caso, el calculo de la integral(8.15) es directo porque los factores que aparecen en el integrando se pueden tomarcomo constantes.

Se tiene el mismo uI para todos los puntos del cable por ser este recto, de maneraque es una constante. Como el campo magnetico B tambien tiene el mismo valor entodos los puntos del cable (es uniforme), se puede escribir

Fm = IuI ×B

L

dℓ. (8.16)

La integral del elemento de longitud a lo largo del cable es, obviamente, la longitudL total del cable. Se llega entonces a la expresion

Fm = ILuI ×B. (8.17)

La fuerza magnetica sobre una corriente rectilınea debida a un campo uniforme esortogonal al plano formado por la corriente y el campo magnetico.

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Momento de torsion magnetico sobre una espira 103

++++

_

__

_ I

E

B

Figura 8.8. La fuerza magnetica sobre una corriente en una placa metalica produce una

diferencia de potencial entre bordes opuestos de la placa segun el efecto Hall.

Efecto Hall

Una aplicacion sencilla e interesante de la fuerza magnetica sobre una corriente es elllamado efecto Hall, segun el cual cuando una placa metalica por la que circula unacorriente I se coloca en un campo magnetico transversal, aparece una diferencia depotencial entre bordes opuestos de la placa.

La situacion es la de la figura 8.8. En ella tenemos un campo magnetico uniformeB perpendicular a una placa metalica que esta situada en el plano del papel. En laplaca metalica hay una corriente electrica uniforme I dirigida hacia arriba, de talmodo que los electrones libres se mueven con velocidad va en sentido opuesto.

El campo magnetico produce, sobre cada electron, una fuerza magnetica dirigidahacia el borde izquierdo de la placa. Esto implica que existira una deriva de electroneslibres hacia ese borde, que queda cargado negativamente, mientras el borde derechoqueda cargado positivamente. El campo electrico E creado por esta distribucion decarga en los bordes de la placa va creciendo a medida que mas electrones se dirigenhacia el borde izquierdo, llegando un momento en que la fuerza electrica Fe = eEsobre un electron libre equilibra a la fuerza magnetica Fm = evaB, y se alcanza elequilibrio. En el equilibrio, tenemos una diferencia de potencial entre bordes opuestosde la placa, de tal modo que el borde derecho esta a mayor potencial que el bordeizquierdo. Este es el llamado efecto Hall normal o negativo, que se observa en lamayorıa de los metales, como el oro, la plata, el cobre, etc.

Existen, sin embargo, ciertos metales, como cinc y cobalto, y materiales como lossemiconductores, en los que se produce un efecto Hall opuesto o positivo, debido aque, en ellos, los portadores de corriente son cargas positivas (realmente, son huecos

dejados por electrones que faltan en la estructura atomica). En este caso, la velocidadde los portadores positivos tiene el mismo sentido que la corriente electrica, de talmodo que la fuerza magnetica sobre cada uno de ellos los mueve hacia el bordeizquierdo de la placa, dejando el borde derecho cargado negativamente. Se producela misma diferencia de potencial que en el caso anterior, pero esta vez el borde demayor potencial es el borde izquierdo. En consecuencia, el efecto Hall permite conocerque tipos de portadores de corriente existen en un material conductor.

8.4. Momento de torsion magnetico sobre una espira

Una espira de corriente es un cable conductor cerrado sobre sı mismo. En la figura 8.9podemos observar una espira cuadrada de lado L formada por un cable arrollado enN vueltas. Coloquemos esta espira en el seno de un campo magnetico uniforme B.

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104 Magnetismo

1F

F2

12

3

4I

B

z

x

y

Figura 8.9. Una espira cuadrada de corriente en presencia de un campo magnetico uniforme

no sufre fuerza magnetica neta.

La fuerza magnetica Fm sobre la espira de N vueltas es

Fm = NF, (8.18)

donde F es la fuerza magnetica sobre 1 vuelta de la espira. Dado que es una espiracuadrada, formada por cuatro cables rectos, y el campo magnetico es uniforme, po-demos utilizar la expresion (8.17) para calcular la fuerza sobre 1 vuelta de la espirasumando las fuerzas sobre cada lado. Como se ve en la figura 8.9, el campo es paraleloa dos de los lados de la espira, de modo que la fuerza sobre ellos es cero. Resultaentonces

Fm = NIL (u1 + u2)×B, (8.19)

donde u1 y u2 son los vectores unitarios que nos dan la direccion y sentido de lacorriente en los lados de la espira no paralelos al campo magnetico. Estos vectoresunitarios son opuestos entre sı, de manera que su suma es cero. En conclusion, Fm = 0

y el campo no ejerce fuerza magnetica sobre la espira.En general, un campo magnetico uniforme no ejerce fuerza magnetica sobre una

espira. Pero esto no significa que el campo magnetico no afecte a la espira de algunmodo. Como vimos en el capıtulo 2, cuando la fuerza total sobre un cuerpo es nula, elcentro de masas del cuerpo no tiene aceleracion. Sin embargo, si las fuerzas, aunquecompensadas, se aplican en puntos diferentes del cuerpo, entonces el cuerpo puederotar al adquirir una aceleracion angular.

La rotacion plana de un cuerpo rıgido viene descrita por la ecuacion

τ ∝ dω

dt, (8.20)

donde τ es el momento de torsion del cuerpo con respecto al eje de rotacion (quesuponemos eje principal de inercia) y ω es el vector velocidad angular. Lo que indicala ecuacion (8.20) es que, si el momento de torsion total de las fuerzas exterioressobre un cuerpo es no nulo, entonces el cuerpo adquirira una aceleracion angular, yrotara con esta aceleracion alrededor de un eje.

El momento de torsion de un cuerpo respecto a un eje es el vector

τ =∑

ri × Fi, (8.21)

donde ri es el vector de posicion del punto de aplicacion de la fuerza Fi con respectoal eje y la suma se realiza sobre todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo. Con-sideremos de nuevo la espira cuadrada de N vueltas y lado L por la que circula una

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Momento de torsion magnetico sobre una espira 105

I

m

Figura 8.10. Una espira cuadrada por la que circula una corriente tiene un momento

magnetico dado por el vector m de la figura.

corriente I, segun la figura 8.9. Aplicando la ecuacion (8.21), el momento de torsiontotal de la fuerza magnetica sobre la espira con respecto a un eje perpendicular a ellay que pasa por su centro es

τm = NIL (r1 × u1 + r2 × u2)×B. (8.22)

Pero r1 es opuesto a r2, y u1 es opuesto a u2, de manera que esto se simplifica eneste caso, llegando a

τm = 2NIL (r1 × u1)×B = NIL2 k×B. (8.23)

En conclusion, la espira comienza a girar con una aceleracion angular inicial propor-cional a la cantidad τm = NIL2B. El eje de rotacion es el eje x negativo, dado porla direccion y sentido de τm.

Momento magnetico de una espira

La expresion (8.23) se puede escribir tambien como

τm = m×B, (8.24)

donde, en el caso de la figura 8.9, el vector m tiene el valor m = NIS k, siendoS = L2 el area de la superficie encerrada por la espira. Este vector solo dependede las caracterısticas de la espira (su corriente y su forma). Se le llama momento

magnetico de la espira. La unidad de momento magnetico es 1A ·m2.En general, para una espira plana de N vueltas que encierra una superficie de

area S, por la que circula una corriente I, su momento magnetico esta dado por

m = NIS n, (8.25)

siendo n un vector unitario de direccion ortogonal al plano de la espira y cuyo sen-tido depende del sentido de la corriente en la espira. Se calcula mediante la regladel tornillo o sacacorchos (se colocan los cuatro dedos mayores de la mano derechasiguiendo el sentido de la corriente, y el pulgar sigue entonces el sentido de n), comoen la figura 8.10. Cuando el momento magnetico de la espira no es paralelo al campomagnetico externo, la ecuacion (8.24) nos dice que la espira tiene un momento detorsion magnetico no nulo. En este caso, en ella aparece una aceleracion angular conla que rota respecto a un eje dado por la direccion y sentido del momento de torsion.

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106 Magnetismo

αB

S

N

m

Figura 8.11. Una barra de iman en presencia de un campo magnetico externo rota hasta

que su polo norte apunta en la direccion del campo.

Momento magnetico de un iman

Los imanes permanentes tambien tienen un momento magnetico m muy similar alde una espira de corriente (desde el punto de vista magnetico, una pequena barra deiman es equivalente a una espira de corriente, como veremos en el capıtulo siguiente).En el caso de una barra de iman como la de la figura 8.11, este es un vector cuyadireccion es paralela al eje de la barra y que apunta desde el polo sur al polo norte deliman. Ası, cuando se coloca la aguja de una brujula sobre una superficie horizontal,el campo magnetico terrestre provoca un momento de la fuerza magnetica sobre laaguja que la hace girar hasta que su polo norte apunta al norte geografico.

En un caso general de una barra de iman con momento magnetico m situado enuna region en la que hay un campo magnetico uniforme B, el modulo del momentode torsion magnetico es, aplicando las propiedades del producto vectorial,

τm = mB senα, (8.26)

siendo α el angulo formado por los vectores m y B. Cuando α no es cero, la barracomienza a rotar con una aceleracion angular proporcional a senα tratando de colocarsu momento magnetico paralelo al campo magnetico externo. A medida que rota, suaceleracion angular se hace menor, hasta que se anula cuando α = 0. A partir de eseinstante, la barra seguirıa rotando a velocidad angular constante si no fuera porqueempieza a actuar el momento de torsion en sentido opuesto. Aparece una aceleracionangular negativa que frena la barra y acaba haciendola girar en sentido opuesto (fi-gura 8.11). Este movimiento cıclico se repite hasta que, finalmente, el rozamiento ylos efectos de induccion (que estudiaremos mas adelante) hacen que el polo norte dela barra se quede en reposo apuntando en el sentido del campo magnetico externo B.

Motor electrico

Otra aplicacion del efecto de rotacion producido en una espira por un campo magneti-co es el motor electrico. Se llama motor electrico a un dispositivo capaz de transformarenergıa electrica en energıa mecanica. Por ejemplo, en un reproductor de discos, lacorriente continua generada por las pilas se transforma en energıa mecanica capaz dehacer girar el disco a velocidad angular constante.

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Ejercicios 107

Un motor electrico elemental de corriente continua esta formado por una espirade N vueltas y area S recorrida por una corriente continua I que se suministrade una fuente de fem externa. La espira gira porque se encuentra sumergida en uncampo magnetico uniforme B creado por un iman. Para evitar que la espira realiceun movimiento pendular como el de una barra de iman situada en una superficie sinrozamiento en presencia de un campo magnetico, se ha de invertir el sentido de lacorriente electrica en la espira cada vez que esta da media vuelta. Esto se consiguemediante un dispositivo llamado colector, que esta conectado a los terminales de laespira. El efecto de velocidad de rotacion constante en el motor se logra teniendovarios pares de polos de iman situados simetricamente alrededor de la espira.

8.5. Ejercicios

1. Una carga puntual positiva q entra con una velocidad de 3 × 103 m · s−1 enuna region donde existe un campo electrico de 1, 5 × 103 V ·m−1 ortogonal a lavelocidad inicial de la carga. En esa region existe tambien un campo magneticouniforme B0, ortogonal tanto al campo electrico como a la velocidad inicial de lacarga. Determinar el valor de B0 para que la carga no se desvıe de su trayectoriay salga de esta region con la misma velocidad con la que entro.Solucion: B0 = 0, 5T.

2. Una carga puntual q = −1 nC de masa m = 0, 5mg se situa, inicialmente enreposo, en una region en la que hay un campo electrico E = 2, 5 × 103 V · m−1

dirigido a lo largo del eje y. Determinar su aceleracion a0. En un instante dadot = 5ms se aplica un campo magnetico uniforme B = 0, 1T a lo largo del eje z.Determinar la aceleracion de la carga a en ese instante.Solucion: a0 = −5× 10−3 jm · s−2, a =

(10−9 i− 5× 10−3 j

)m · s−2.

3. Un proton (de carga e = 1, 6 × 10−19 C y masa m = 1, 7 × 10−27 kg) se aceleradesde el reposo mediante una diferencia de potencial V = 1000V. Despues entraen una region donde hay un campo magnetico B = 0, 9T perpendicular a su ve-locidad. Calcular la velocidad del proton en esta region, el radio de su trayectoriacircular y su periodo.Solucion: v = 4, 3× 105 m · s−1, r = 5, 1mm, T = 7, 4× 10−8 s.

4. Se considera un alambre conductor que pasa por los puntos PMQ, donde P (0, 0, 0),M(1 cm, 0, 0) y Q(1 cm, 2 cm, 0). Este alambre conduce una corriente electrica de12mA en el sentido PMQ, y esta inmerso en un campo magnetico uniformede 0, 5T dirigido a lo largo del eje z. Determinar la fuerza magnetica sobre elalambre PMQ, y tambien sobre el alambre PQ que conduce la misma corriente.Solucion: Fm = 6× 10−5 (−2i+ j) N.

5. Demostrar que la fuerza que ejerce un campo magnetico uniforme sobre unaespira circular de corriente es cero.

6. Calcular la fuerza que ejerce un campo magnetico uniforme B dirigido a lo largodel eje z sobre un cable de corriente en forma de semicircunferencia de radio ay centro en el origen, situado en el plano xy y que conduce una corriente I ensentido antihorario.Solucion: Fm = 2IaB j.

7. Una espira cuadrada de 10 vueltas y 5 cm de lado, situada en el plano xy concentro en el origen, conduce una corriente de 2mA en sentido horario. Determinar

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108 Magnetismo

su momento magnetico.Solucion: m = −5× 10−5 A ·m2 k.

8. La espira del ejercicio anterior esta sumergida en un campo magnetico uniformeB = 0, 2T dirigido a lo largo del eje y negativo. Calcular el momento de torsionsobre la espira y describir como rotara esta.Solucion: τ = −10−5 N ·m i.

9. El momento magnetico de una espira circular de 2 vueltas y 1 cm de radio esm = 6, 3× 10−7 (i+ j) A ·m2. Esta espira esta inmersa en un campo magneticode 0, 5T dirigido a lo largo del eje z. Calcular la corriente electrica sobre la espiray determinar el momento de torsion magnetico sobre esta.Solucion: I = 1,4mA, τ = 3, 2× 10−7 (i− j) N ·m.

10. Un cable circular de radio R y masa m, transporta una corriente I. Se encuen-tra levitando en posicion horizontal sobre un solenoide como se mues tra en lafigura 8.12. ¿Cual sera el valor del modulo del campo magnetico B que crea elsolenoide en el cable?Solucion: B = mg/(2πRIcosθ).

BI

θ

I

R

B

Figura 8.12.

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Capıtulo 9

Campo magnetico

9.1. Campo magnetico creado por cargas puntuales

Hemos visto en el capıtulo anterior como afecta un campo magnetico al movimientode una carga de prueba y como afecta a una corriente electrica. Hemos supuesto queel campo magnetico estaba creado por algun tipo de fuente, como puede ser un imanpermanente. Vamos a estudiar ahora cual es el campo magnetico que crean las cargaselectricas en movimiento y las corrientes electricas.

Una carga electrica puntual en reposo crea un campo electrico dado por la leyde Coulomb. Si la carga esta en movimiento, tambien crea un campo magetico en elespacio a su alrededor.

Consideremos la situacion de la figura 9.1, en la cual una carga puntual q en elvacıo tiene una velocidad v en el instante en que esta situada en un punto P0 convector de posicion r0. Siempre que la velocidad de la carga sea pequena comparadacon la velocidad de la luz c = 3×108 m ·s−1 (para cargas con velocidades comparablesa c, el campo tiene una expresion algo mas complicada), el campo magnetico B(r)creado por esta carga en un punto P de vector de posicion r esta dado por

B(r) =µ0q

4πv × r− r0

|r− r0|3, (9.1)

donde µ0 es una constante llamada permeabilidad del vacıo, que tiene un valor

µ0 = 4π × 10−7 N ·A−2, (9.2)

y que se relaciona con la permitividad del vacıo ε0 mediante la expresion

µ0ε0 =1

c2. (9.3)

El campo magnetico creado por una carga puntual (9.1) presenta ciertas simili-tudes y diferencias con el campo electrico creado por la misma carga, dado por

E(r) =q

4πε0

r− r0

|r− r0|3. (9.4)

Para empezar, no existe campo magnetico si la carga no esta en movimiento, a dife-rencia del campo electrico, que no depende de la velocidad de la carga. El modulo del

109

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110 Campo magnetico

q B

v r − r 0

Figura 9.1. Una carga puntual en movimiento crea un campo magnetico. Su direccion es

perpendicular al plano formado por la velocidad de la carga y el vector de posicion del punto

en que se calcula en campo con respecto al punto donde esta la carga. El sentido del campo

se calcula mediante las reglas del producto vectorial.

campo electrico es

E(r) =1

4πε0

q

|r− r0|2, (9.5)

mientras que el modulo del campo magnetico creado por la misma carga es

B(r) =µ0

qv senα

|r− r0|2, (9.6)

donde α es el angulo que forman el vector velocidad y el vector de posicion relativar− r0. Tanto E como B dependen del inverso del cuadrado de la distancia a la carga,pero B depende tambien de la velocidad de la carga y del angulo que forma con elvector de posicion relativa, de tal manera que el campo magnetico es nulo si ambosvectores son paralelos.

Pero la diferencia mas clara entre el campo electrico (9.4) y el campo magnetico(9.1) esta en su direccion. El campo electrico tiene la direccion de la recta que une lacarga q y el punto P donde se calcula el campo. Por el contrario, el campo magneticotiene una direccion perpendicular al plano que forman la velocidad de la carga y larecta que une la carga con el punto P . En consecuencia, el campo electrico y el campomagnetico son ortogonales.

La comparacion entre el campo electrico y el magnetico creados por una cargapuntual q se puede poner de manifiesto escribiendo el campo magnetico como

B(r) =µ0q

4πv × 4πε0

qE(r), (9.7)

que, teniendo en cuenta la relacion (9.3), da lugar al resultado

B(r) =v

c2×E(r). (9.8)

En conclusion, aunque una carga en reposo produce unicamente un campo electricoa su alrededor, la misma carga en movimiento produce un campo electrico y unomagnetico, perpendiculares entre sı y relacionados por la expresion (9.8). Los camposelectrico y magnetico son consecuencias de una unica propiedad de la materia.

9.2. Ley de Biot-Savart

Dado que una carga en movimiento produce un campo magnetico, una corrienteelectrica a lo largo de un cable conductor produce tambien un campo magnetico,

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Ley de Biot-Savart 111

r − r 0

Bd

I dl

Figura 9.2. Una corriente en un cable infinitesimal produce un campo magnetico dado por

la ley de Biot-Savart.

pues corriente no es sino carga en movimiento. La expresion del campo magnetico ge-nerado por una corriente electrica a lo largo de un cable se llama ley de Biot-Savart.

Para obtenerla, vamos a partir de la expresion del campo magnetico creado poruna carga en movimiento (9.1), aunque la ley que obtengamos es un resultado que secomprueba experimentalmente. Consideremos un segmento infinitesimal de cable delongitud dℓ y seccion S, cuyo centro esta situado en la posicion dada por el vectorr0, y que conduce una corriente I, segun la figura 9.2. Podemos suponer que losportadores de carga son electrones libres que se mueven a la velocidad de arrastreva en sentido opuesto a la corriente. Por tanto, el campo magnetico creado por estaporcion infinitesimal de cable se puede aproximar bien por el creado por una cargadQ = −eneS dℓ que se mueve a velocidad va = −j/(ene), siendo j la densidad decorriente electrica en el cable. Usando la expresion (9.1) para el campo magnetico,llegamos a

dB(r) =µ0Sdℓ

4πj× r− r0

|r− r0|3. (9.9)

Podemos escribir la relacion entre el vector densidad de corriente j y la intensidadde corriente I en el cable como j = (I/S)uI , donde el vector unitario uI indica elsentido de la corriente. De este modo, la ecuacion (9.9) se escribira

dB(r) =µ0Idℓ

4πuI ×

r− r0

|r− r0|3. (9.10)

Cuando se considera un cable de longitud no infinitesimal, hay que sumar las con-tribuciones de todos los elementos de longitud infinitesimal del cable, cada una deellas dada por la ecuacion (9.10). Esto implica integrar esa expresion a lo largo de lalongitud ℓ del cable. Se llega ası al resultado

B(r) =

µ0Idℓ

4πuI ×

r− r0

|r− r0|3. (9.11)

Esta expresion es la ley de Biot-Savart.

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112 Campo magnetico

I

Figura 9.3. Lıneas del campo magnetico creado por un alambre de corriente recto e infinito.

Son circunferencias centradas en el alambre y ortogonales a el. Su sentido lo da la regla del

sacacorchos.

Campo magnetico creado por una corriente rectilınea infinita

Consideremos un alambre recto muy largo por el que circula una corriente I, comovemos en la figura 9.3. En los puntos del espacio situados lejos de los extremos delcable, el campo magnetico creado por el se puede aproximar sin problemas por elcampo de un alambre recto infinito. Las lıneas de este campo magnetico, como vemosen la figura 9.3, son circunferencias centradas en el alambre y perpendiculares a el.El sentido del campo magnetico a lo largo de estas circunferencias se puede calcularmediante la regla del sacacorchos (se coloca el pulgar de la mano derecha en el sentidode la corriente y los cuatro dedos mayores nos dan el sentido del campo magnetico enlas circunferencias).

Calculemos una expresion para el campo magnetico que crea un alambre recto einfinito de corriente usando la ley de Biot-Savart. Para ello, situamos el sistema dereferencia de manera que el alambre se situe en el eje z, con la corriente I apuntandoen sentido positivo. De este modo, el elemento de longitud es dℓ = dz, los puntos delalambre estan en r0 = z k, donde z va desde menos infinito hasta infinito, y el vectorque da la direccion y sentido de la corriente es uI = k.

Usando la expresion (9.11), el campo en un punto P de vector de posicion r =r ur, donde r es la distancia entre el punto P y el alambre y ur es un vector unitarioque apunta desde el alambre hasta el punto P (ver la figura 9.4), resulta

B(r) =

∫ ∞

−∞dz

µ0I

4πk× ur

r

(r2 + z2)3/2. (9.12)

rr − 0

u rPO

u I

I

Figura 9.4. Calculo del campo magnetico creado por un alambre infinito segun la ley de

Biot-Savart. Posiciones y vectores.

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Campo magnetico creado por una espira circular 113

Figura 9.5. Lıneas del campo magnetico creado por una espira de corriente.

Sacando de la integral todo lo que no depende de z, queda

B(r) =µ0Ir

4πk× ur

∫ ∞

−∞dz

1

(r2 + z2)3/2. (9.13)

Haciendo el cambio de variables x = z/r, y despues el cambio de variables x = tanαla integral anterior es

∫ ∞

−∞dz

1

(r2 + z2)3/2=

1

r2

∫ ∞

−∞dx

1

(1 + x2)3/2=

1

r2

∫ π/2

−π/2

cosαdα =2

r2. (9.14)

De este modo, el campo magnetico creado por un alambre recto e infinito por el quecircula una corriente I se puede escribir como

B(r) =µ0I

2πruI × ur. (9.15)

La direccion y sentido del campo magnetico vienen dados por el producto vectorialuI × ur. El campo es ortogonal al plano creado por estos dos vectores, y su sentidoesta determinado en cada punto por la regla del sacacorchos, con el pulgar de la manoderecha a lo largo de la corriente, como se ve en la figura 9.3. El modulo del campomagnetico solo depende de la distancia r al alambre, y es

B =µ0I

2πr. (9.16)

9.3. Campo magnetico creado por una espira circular

Las lıneas del campo magnetico de una espira de corriente tienen el aspecto generalque se ve en la figura 9.5. Son lıneas cerradas que rodean a la espira. El sentido delas lıneas se puede conocer a partir del sentido de circulacion de la corriente. Paraello se utiliza la regla del sacacorchos: si se colocan los cuatro dedos mayores de lamano derecha segun la circulacion de la corriente, el pulgar nos indicara el sentido delcampo magnetico en el eje de la espira, y de ahı se deduce en el resto de los puntos.

Es interesante notar la semejanza entre las lıneas del campo magnetico creadopor una espira de corriente y las del campo magnetico de una pequena aguja de imanpermanente, colocado de tal modo que los momentos magneticos de la espira y el imansean paralelos. Esto no es casual, pues la espira es el modelo fısico que representa un

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114 Campo magnetico

dB

x

z

y

θ

dla

Figura 9.6. Diagrama para el calculo del campo magnetico creado por una espira circular

de corriente en su eje. Es comodo tomar el sistema de referencia con origen en el centro de

la espira y el eje z como eje de la espira.

iman elemental: un electron que gira en una orbita de radio igual al de la espiraen sentido contrario a la corriente en ella. El campo magnetico refleja este hecho: elcampo de una espira de corriente es, a suficiente distancia de ella, un campo dipolarmagnetico.

Calculemos el campo magnetico que crea una espira circular de N vueltas y radioa, que conduce una corriente I, en un punto del eje de la espira. Segun la figura 9.6,el elemento de longitud en la espira es el elemento de arco. Dado que un angulo dθ enuna circunferencia es igual a la longitud dℓ del arco que abarca dividida por el radioa de la circunferencia, tenemos la relacion dℓ = a dθ. Ademas, un punto cualquierade la espira tiene un vector de posicion dado por r0 = a cos θ i + a sen θ j, siendo θel angulo formado por r0 con el eje x. Este angulo determina todos los puntos de laespira al variar entre los valores 0 y 2π.

Queremos calcular el campo magnetico en un punto arbitrario P del eje de laespira, de modo que su vector de posicion sera

r = z k, (9.17)

siendo z la distancia que hay entre el punto P y el centro de la espira. Solo falta escribirlas componentes del vector unitario uI que determina el sentido de circulacion de lacorriente en la espira. Segun la figura 9.6,

uI = − sen θ i+ cos θ j. (9.18)

Teniendo ahora en cuenta que el campo que crean N vueltas de espira es igual a Nveces el campo que crea 1 vuelta, se llega a la expresion de la ley de Biot-Savart,

B(z) =µ0NIa

∫ 2π

0

dθz cos θ i+ z sen θ j+ ak

(a2 + z2)3/2

. (9.19)

Las integrales que resultan, componente a componente, son muy sencillas. Las com-ponentes x e y se anulan, de modo que el campo tiene solo componente z, estandodirigido a lo largo del eje de la espira hacia el punto P . El resultado es

B(z) =µ0NI

2

a2

(a2 + z2)3/2

k. (9.20)

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Campo magnetico creado por un solenoide 115

I

Figura 9.7. Lıneas del campo magnetico creado por un solenoide. El sentido de las lıneas

en el interior se calcula mediante la regla del sacacorchos.

El valor maximo del campo se obtiene en el centro de la espira. En este punto, z = 0,de manera que la ecuacion (9.20) se reduce a

B(0) =µ0NI

2ak. (9.21)

Por otro lado, a grandes distancias de la espira, z domina en el denominador, de talmodo que se puede aproximar el resultado (9.20) por

B(z ≫ a) =µ0NIa2

2 |z|3k, (9.22)

que tiene la forma tıpica 1/(distancia)3 de un campo dipolar a grandes distancias. Dehecho, si tenemos en cuenta que el momento dipolar de la espira es

m = NIπa2 k, (9.23)

podemos escribir el campo en un punto del eje a grandes distancias de la espira como

B(z ≫ a) =µ0m

2π |z|3, (9.24)

es decir, resulta un campo paralelo al momento magnetico. De la misma forma, elcampo magnetico creado por una aguja de iman permanente en un punto de su eje, agrandes distancias, tiene la forma dada por la ecuacion (9.24), donde m es el momentomagnetico del iman. De nuevo, aparece la relacion de equivalencia entre espiras yagujas de iman.

9.4. Campo magnetico creado por un solenoide

Supongamos que tenemos un cilindro de longitud ℓ y seccion circular de radio R. Sise enrolla un alambre a su alrededor muchas veces, en forma de helice de muchasvueltas, el dispositivo resultante se llama solenoide y se puede ver en la figura 9.7.El solenoide desempena en magnetismo un papel analogo al de un condensador enelectrostatica, pues proporciona un campo intenso y aproximadamente uniforme enla region acotada por el alambre enrollado.

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116 Campo magnetico

dz−a b

Z

Figura 9.8. Diagrama para el calculo del campo magnetico creado por un solenoide en su

eje. Tomamos el sistema de referencia con el eje z como eje del solenoide.

Como vemos en la figura 9.7, cuando una corriente electrica recorre un solenoidelargo (tal que su longitud es mucho mayor que su radio) y de muchas vueltas porunidad de longitud, las lıneas del campo magnetico producido son aproximadamenteparalelas al eje del solenoide y estan muy juntas unas de otras, lo que indica que, enel interior del solenoide, el campo magnetico es intenso y aproximadamente uniforme.Fuera del solenoide, las lıneas estan mucho mas espaciadas, indicando que el campoes mucho menos intenso. Existe una estrecha semejanza entre las lıneas del campomagnetico creado por un solenoide y las del campo magnetico creado por un imanpermanente de la misma forma y tamano.

Para calcular el campo magnetico que crea un solenoide en un punto de su eje,que es aproximadamente igual al campo en todos los puntos del interior del solenoide,vamos a usar el resultado del apartado anterior para el campo creado por una espirade corriente en su eje. Suponemos que el alambre se enrolla en el solenoide muyapretadamente en cada vuelta, de manera que se puede despreciar el paso de rosca.Ası, el solenoide se puede ver como un conjunto de N espiras circulares de radio Rque conducen una corriente I todas en el mismo sentido. El campo magnetico delsolenoide en su eje es entonces la suma de los creados por las espiras.

Colocamos el sistema de referencia como en la figura 9.8, con el eje del solenoidecomo eje z. Los extremos del solenoide estan en los puntos z0 = −a y z0 = b. Elcampo que crea una espira de dN vueltas en el punto del eje de coordenada z es eldado en la expresion (9.20) tomando el radio de la espira como R, es decir,

dB =µ0I dN

2

R2

[R2 + (z − z0)2]3/2

k. (9.25)

Pero en el solenoide hay espiras desde z0 = −a hasta z0 = b, de manera que hemosde sumar (integrar) todos estos campos. Un elemento de longitud dz0 del solenoidecontiene dN = (N/ℓ) dz0 espiras, donde ℓ = a + b. De este modo, obtenemos que elcampo que crea un solenoide en su eje esta dado por

B =

∫ b

−a

N dz0ℓ

µ0I

2

R2

[R2 + (z − z0)2]3/2

k. (9.26)

Integrando en la variable z0, llegamos a la expresion

B =µ0nI

2

(a+ z√

R2 + (z + a)2+

b− z√R2 + (b− z)2

)k, (9.27)

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Ley de Gauss del magnetismo 117

µ 0nI

µ 0nI/2

b−a z

B

Figura 9.9. Modulo del campo magnetico creado por un solenoide en su eje. El campo es

constante excepto cerca de los extremos.

donde n = N/ℓ es el numero de vueltas por unidad de longitud del solenoide.Pasemos ahora a los valores lımite. En primer lugar, si el solenoide es muy largo,

el campo magnetico en su interior se puede aproximar por la expresion (9.27) con lascantidades a y b tendiendo a infinito. Al tomar estos lımites obtenemos

B = µ0nI k, (9.28)

es decir, un campo intenso y uniforme en el interior del solenoide. Este campo sepuede hacer aun mucho mayor si colocamos en el interior del solenoide un nucleo

ferromagnetico que, como veremos despues, puede aumentar el campo en un factor de10000 o mas. Este dispositivo (un solenoide largo con un nucleo ferromagnetico) poseeun campo magnetico grande y aproximadamente uniforme en sus cercanıas y se llamaelectroiman. Sus aplicaciones son muchas, especialmente en el diseno de motores ygeneradores electricos y en dispositivos de investigacion en fısica de altas energıas.

Otro caso lımite interesante es el campo cerca de uno de los extremos del sole-noide. Para calcularlo, en la expresion (9.27) podemos tomar z = −a y hacer b tendera infinito. Al hacerlo, obtenemos

B =µ0nI

2k, (9.29)

es decir, el campo cerca de los extremos del solenoide es aproximadamente igual a lamitad del campo en el interior. Segun nos alejamos de los extremos del solenoide haciael exterior, el campo decae practicamente hasta cero. Esto puede verse en la expresion(9.27) haciendo z tender a infinito. Este comportamiento aproximado, que se puedever en la figura 9.9, es muy parecido al del campo electrico de un condensador plano.

9.5. Ley de Gauss del magnetismo

De modo analogo al caso del flujo del campo electrico que vimos en el capıtulo 5,dado un campo magnetico B y una superficie S, el flujo magnetico a traves de S esproporcional al numero de lıneas magneticas que atraviesan la superficie S, cada unacon su signo (ver la figura 9.10).

En forma matematica, el flujo magnetico del campo B a traves de la superficieS se escribe

Φm(S) =

S

B · dS, (9.30)

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118 Campo magnetico

S

α B

Figura 9.10. El flujo magnetico a traves de una superficie se refiere al numero de lıneas

magneticas que atraviesan esa superficie.

donde se ha tomado el vector infinitesimal de superficie como dS = dS n, siendo n

un vector unitario normal a la superficie en cada punto y dS el area de un elementode superficie infinitesimal. La integral se realiza sobre la superficie total S, sumandolas contribuciones de cada elemento de superficie. La unidad de flujo magnetico es elWeber, definido como 1Wb = 1T ·m2.

Cuando el campo magnetico B es uniforme en la superficie S a traves de la cualcalculamos el flujo, y ademas S es una superficie plana, de manera que el vectornormal n es uniforme en todos sus puntos, la integral de la ecuacion (9.30) es muyfacil de resolver, siendo el resultado

Φm = B · S = BS cosα, (9.31)

donde S = S n, siendo S el area total de la superficie. En la ultima igualdad, B es elvalor del modulo del campo magnetico en los puntos de S y α es el angulo que formanel campo magnetico y el vector normal n, segun se ve en la figura 9.10. En este caso,el flujo calculado mediante la formula (9.31) es el flujo en la direccion determinadapor el campo magnetico. Obviamente, si la superficie S es la encerrada por una espira,hay que tener en cuenta el numero de vueltas N de esta espira para calcular el areade la superficie.

Si la superficie S a traves de la cual estamos calculando el flujo es una superficiecerrada, podemos esperar que exista una relacion analoga a la ley de Gauss del campoelectrico Φe = Qint/ε0. Recordemos que esta relacion era una consecuencia del hechode que las cargas positivas y negativas son, respectivamente, fuentes y sumideros delıneas electricas, de manera que las cargas que hay dentro de la superficie cerrada Sgeneran lıneas electricas que salen de la superficie o entran en ella, contribuyendo alflujo. Por su parte, las cargas que no estan encerradas por S generan lıneas que, sientran en la superficie, luego salen de ella, y a la inversa, no contribuyendo por tantoal flujo electrico.

En el caso del campo magnetico, las lıneas de campo son siempre cerradas porqueno existen cargas magneticas aisladas o monopolos magneticos. Esto implica que todalınea magnetica que entra en una superficie cerrada tiene que salir necesariamentede ella. Como consecuencia, el flujo magnetico a traves de una superficie cerradasera siempre cero. La expresion matematica de esta ley es

S

B · dS = 0, (9.32)

otra de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. En esta expresion, elcırculo en la integral indica que S es una superficie cerrada.

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Ley de Ampere 119

tBu t

Figura 9.11. Componente Bt de un campo magnetico uniforme B tangente a un filamento

rectilıneo.

9.6. Ley de Ampere

La ley de Gauss del campo electrico permite obtener la expresion de los campos quecrean distribuciones de carga con un alto grado de simetrıa. Sin embargo, dado quela ley (9.32) no relaciona el campo con sus fuentes, no es posible obtener con ellala expresion de los campos magneticos creados por distribuciones de corriente. En elcaso de distribuciones de corriente en equilibrio (magnetostaticas), a veces es posibleusar la simetrıa de la distribucion para calcular el campo mediante la ley de Ampere.

Circulacion de un campo magnetico

Consideremos primero un segmento recto orientado de longitud ℓ que esta sumergidoen un campo magnetico uniforme B. El hecho de que este orientado implica que sepuede definir en cada punto del segmento un vector unitario ut tangente, cuyo sentidoviene determinado por la orientacion del segmento. En cada punto del segmento con-sideraremos el valor de la componente del campo magnetico tangente. Segun vemosen la figura 9.11, esta componente tiene un valor

Bt = B · ut = B cosα, (9.33)

donde α es el angulo que forma el vector tangente con el campo magnetico. El productode la componente del campo tangente al segmento y la longitud del segmento es

Btℓ = B · (ℓut) , (9.34)

cantidad cuya unidad es 1T ·m.Si, en lugar de un segmento, tenemos una curva C cualquiera, y ademas el campo

magnetico no es uniforme, podemos dividir la curva C en trozos infinitesimales delongitud dℓ. En cada uno de ellos, el campo magnetico es aproximadamente uniformey el vector tangente tambien. Por tanto, en cada trozo de la curva C, el producto de lacomponente tangente del campo por la longitud del trozo de curva esBtdℓ = B·(dℓut).Definimos el vector desplazamiento infinitesimal a lo largo del trozo de curva comodr = dℓut, de tal modo que Btdℓ = B · dr. Para encontrar ahora el valor total bastasumar las contribuciones de cada uno de los trozos infinitesimales de longitud dℓ.Llegamos entonces a la expresion

Υ =

C

Btdℓ =

C

B · dr, (9.35)

que se llama circulacion del campo magnetico B a lo largo de la curva C.

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120 Campo magnetico

Ley de Ampere

La ley de Ampere es una relacion directa entre la circulacion de un campo magneticoa lo largo de una curva cerrada y la corriente neta que atraviesa la superficie encerradapor esa curva, siempre que la corriente no presente discontinuidades (veremos lo quesignifica esta excepcion, y como se salva, en el capıtulo 12).

Consideremos un cable rectilıneo e infinito (en el eje z) que conduce una corrienteI en el sentido del eje z positivo. Calculemos la circulacion del campo magnetico quecrea este cable a lo largo de una circunferencia C de radio a, con centro en el origen, ysituada en el plano xy, orientada en sentido antihorario. Como vimos en el apartado9.2, las lıneas del campo magnetico que crea el cable son circunferencias con centroen el cable, situadas en planos perpendiculares a el, y cuyo sentido viene dado porla regla del sacacorchos. En particular, la circunferencia C es una lınea magnetica.Por tanto, en cada punto de C el campo magnetico es paralelo al vector tangente, ypodemos escribir

B · dr = B dℓ. (9.36)

La circulacion de B a lo largo de la circunferencia C resulta

Υ(C) =

C

B · dr =

C

B dℓ, (9.37)

donde el cırculo en la integral indica que C es una curva cerrada (el unico caso en quese aplica la ley de Ampere). El campo magnetico creado por el cable tiene por modulola expresion B = µ0I/(2πr), donde r es la distancia al cable. En todos los puntosde la circunferencia C, esta distancia es el radio de la circunferencia, de manera quer = a para los puntos de C. Entonces,

Υ(C) =

C

µ0I

2πadℓ =

µ0I

2πa

C

dℓ, (9.38)

habiendo sacado de la integral todas las constantes. Lo que queda es la integral en lacircunferencia C del elemento de longitud dℓ. Esta integral es, obviamente, la longitudℓ = 2πa de la circunferencia. Por tanto,

Υ(C) = µ0I, (9.39)

resultado que no depende del radio de la curva C.La generalizacion de este resultado (9.39) es la ley de Ampere: la circulacion de

un campo magnetico a lo largo de una curva cerrada C es igual a µ0 veces la corrienteIC que atraviesa la superficie encerrada por la curva. Expresada matematicamente,

C

B · dr = µ0IC . (9.40)

Es necesario tener presente que para que la ecuacion (9.40) sea valida, la corriente hade ser continua, es decir, que no se interrumpa en ningun punto.

Como un ejemplo, en la figura 9.12 se ha dibujado una curva cerrada orientadaC, de tal modo que la superficie encerrada por C esta atravesada por dos corrientes I1e I2 en sentidos opuestos. Segun la ley de Ampere, la circulacion del campo magneticoa lo largo de C sera, simplemente, Υ(C) = µ0IC = µ0 (I1 − I2).

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Ley de Ampere 121

1I

dl

2I

C

Figura 9.12. La superficie que encierra una curva cerrada orientada C es atravesada por dos

corrientes I1 e I2. La regla del sacacorchos, segun la orientacion escogida para C, implica que

la corriente I1 atraviesa la superficie encerrada por C en sentido positivo, mientras que I2en sentido negativo. Por tanto, segun la ley de Ampere, la circulacion del campo magnetico

a lo largo de C vale µ0 (I1 − I2).

Campo magnetico creado por un toroide

Para que la ley de Ampere pueda ser utilizada en un problema de calculo de uncampo magnetico creado por alguna corriente, es necesario que podamos escribir lacirculacion de este campo magnetico como el producto de la intensidad del campo poralguna longitud. Esto requiere, en primer lugar, elegir la curva cerrada C tangentea las lıneas de campo magnetico, lo cual implica conocer a priori esta direccion. Uncaso en que podemos hacer esto, debido a la simetrıa de la distribucion de corriente,es el del campo que crea una bobina toroidal en su interior.

Una bobina toroidal o toroide (ver la figura 9.13) esta formada por un cableconductor enrollado N veces alrededor de un nucleo en forma de anillo. El radiointerior del toroide es a y el radio exterior es b. El campo que crea el toroide enel exterior es aproximadamente nulo, como el de un solenoide largo. En el interior,las lıneas magneticas son circunferencias concentricas con el toroide, cuyo sentidodepende del sentido de la corriente I en la bobina, y que se calcula mediante la regladel sacacorchos.

Para calcular el campo magnetico interior del toroide con la ley de Ampere po-demos usar una curva cerrada C que sea una circunferencia de radio r interior altoroide orientada como las lıneas magneticas, segun la figura 9.13. De esta manera,al ser C una lınea magnetica, el campo es paralelo al vector tangente en cada punto,de manera que B · dr = B dℓ. La circulacion resulta

Υ(C) =

C

B dℓ = B

C

dℓ, (9.41)

pues suponemos que el campo depende solo de la distancia r al centro de la circunfe-rencia por simetrıa. La integral de dℓ a lo largo de C es la longitud de C, dada porℓ = 2πr. Por tanto, la circulacion es

Υ(C) = 2πrB. (9.42)

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122 Campo magnetico

II

b

a

Figura 9.13. Una bobina toroidal de N vueltas, radio interior a y radio exterior b, por la

que circula una corriente I crea un campo magnetico en su interior cuyas lıneas son circun-

ferencias concentricas con el toroide y cuyo sentido se calcula con la regla del sacacorchos.

Para calcular el campo con la ley de Ampere se calcula la circulacion a lo largo de una

circunferencia C de radio r interior al toroide.

Segun la ley de Ampere, esta circulacion ha de ser igual a µ0 veces la corriente netaIC que atraviesa la superficie encerrada por C. Dado que el toroide tiene N vueltasde cable conductor, la corriente neta es IC = NI, de donde

2πrB = µ0NI. (9.43)

Despejando el campo magnetico, llegamos al resultado

B =µ0NI

2πr, a < r < b. (9.44)

Este tipo de campos se usan para confinar partıculas cargadas en enormes toroidesllamados tokamaks.

9.7. Ejercicios

1. Una carga q = −1 nC se mueve con velocidad v = 103 m · s−1 a lo largo deleje x de tal modo que, en el instante t = 0, se encuentra situada en el origen.Determinar el campo magnetico en el punto P (0, 1mm, 0) en los instantes t = 0y t = 1ms.Solucion: B(0) = −10−7 Tk, B(1ms) = −10−16 Tk.

2. Hallar la fuerza magnetica que una carga q0, con velocidad constante v0 y enmovimiento rectilıneo, ejerce sobre otra carga q, con velocidad v, que se mueveparalelamente a la anterior y a una distancia d de ella. Hacer el calculo en elmomento en que ambas cargas estan a la misma altura.Solucion: Las cargas se atraen con una fuerza (µ0qq0vv0)/(4πd

2).3. Dos cables conductores muy largos, rectos y paralelos, estan separados por una

distancia de 6, 5 cm y conducen corrientes de 15mA y 7mA en el mismo sentido.Calcular la fuerza magnetica entre los cables por unidad de longitud. Hacer el

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Ejercicios 123

mismo calculo en el caso de que las corrientes en los cables tengan sentidosopuestos.Solucion: En el caso en que los cables conducen corrientes paralelas, la fuerzaentre ellos es atractiva y, si son corrientes antiparalelas, la fuerza es repulsiva. Elvalor de la fuerza por unidad de longitud en ambos casos es de 3, 2×10−10 N·m−1.

4. Determinar el campo magnetico en el centro de una espira cuadrada de 5 cm delado por la que circula una corriente de 15mA.Solucion: B = 3, 4 × 10−7 T. El campo es ortogonal al plano de la espira y susentido es el dado por la corriente segun la regla del sacacorchos.

5. Una espira circular de radio a y N vueltas conduce una corriente I. La espiraesta situada en el plano xz con centro en el origen y la corriente tiene en ellasentido antihorario. Una segunda espira circular del mismo radio a y N vueltasesta situada en el plano xy, con centro en el punto P (0, 2a, 0), y conduce unacorriente antihoraria del mismo valor I. Determinar el campo magnetico en elpunto P .

Solucion: B = µ0NI2a

(k+ 1

5√5j).

6. Un solenoide de 1300 vueltas por metro transporta una corriente de 1mA. El ejedel solenoide es el eje z y la corriente recorre el solenoide en sentido antihorarioen el plano xy. Se tiene tambien un cable de corriente rectilıneo en el eje delsolenoide que conduce una corriente de 5mA en el sentido del eje z negativo.Determinar el campo magnetico en un punto P del interior del solenoide situadoen el eje x, en x = 1 cm.Solucion: B =

(−10−7 j+ 1, 6× 10−6 k

)T.

7. Un cable recto e infinito tiene un radio R y conduce una corriente I distribuidauniformemente en su seccion. Determinar el campo magnetico creado por estecable en todos los puntos del espacio. Hallar los puntos para los cuales el campomagnetico es maximo.Solucion: Las lıneas de fuerza magnetica son circunferencias perpendiculares alcable cuyo centro esta en el eje del cable y cuyo radio r es la distancia al eje.El sentido del campo se establece con el de la corriente, mediante la regla delsacacorchos. La intensidad del campo es

|B| =

µ0Ir/2πR2, r < R

µ0I/2πr, r < R(9.45)

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Capıtulo 10

Materiales magneticos

10.1. Momento magnetico de un electron

Una espira de corriente posee un momento magnetico de tal manera que es capaz derotar en presencia de un campo magnetico externo. Consideremos ahora una imagenmuy simplificada de un electron en una orbita circular alrededor del nucleo de un ato-mo, segun la figura 10.1. Puede verse esto como una corriente (carga en movimiento)cerrada. Por tanto, un electron en orbita alrededor de un nucleo posee un momentomagnetico.

Es sencillo calcular el momento magnetico del electron debido a la trayectoriacircular de la figura 10.1. Su momento magnetico m es el de una espira circular de 1vuelta y radio r recorrida por una corriente I = q/t = −e/T = −ev/(2πr), donde −ees la carga del electron y T = 2πr/v es el periodo de su orbita a velocidad v. Resultaentonces

m = ISn =−evr

2n, (10.1)

siendo n el vector normal dado por el movimiento del electron, tal como se muestraen la figura. Por otro lado, el momento angular del electron respecto al centro de laorbita circular es

L = mer× v = merv n, (10.2)

segun la expresion (2.38), donde me es la masa del electron, y n es el vector unitarionormal a la superficie encerrada por la circunferencia, que determina el sentido derecorrido de la orbita. El vector n se calcula con la regla del sacacorchos a partir del

v

nr−e

m

Figura 10.1. Un electron en orbita circular de radio r alrededor del nucleo de un atomo

125

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126 Materiales magneticos

sentido de la velocidad. Por tanto, podemos escribir

m =−e

2meLe, (10.3)

relacionando momento magnetico con momento angular orbital. En mecanica cuanticase define el magneton de Bohr del electron como

µB =eh

2me= 9,3× 10−24 A ·m2, (10.4)

que es una unidad de momento magnetico atomico. En esta definicion, h = 1, 05 ×10−34 kg · m2 · s−1 es la constante de Planck normalizada, una unidad de momentoangular. Ası, llegamos a la expresion

m = −µBLe

h. (10.5)

Esta ecuacion es valida en la mecanica clasica, pero no en la mecanica cuantica que esla teorıa correcta para explicar las propiedades de las partıculas a escala atomica. Paraobtener una expresion correcta, a la ecuacion (10.5) hay que sumarle la contribuciondebida al llamado momento angular intrınseco o espın del electron Se. Teniendo encuenta esta contribucion, se obtiene la expresion final para el momento magnetico deun electron en orbita alrededor del nucleo, que es

m = −µB

(Le

h− γ

Se

h

), (10.6)

donde γ es el factor giromagnetico del electron, que es un numero sin unidades muycercano a −2.

10.2. Magnetizacion

Cada atomo en un material puede tener un momento magnetico, cuya contribucionprincipal es la suma vectorial de los momentos magneticos de sus electrones. Depen-diendo de esta suma, un atomo puede tener un momento magnetico permanente ono.

La existencia de momentos magneticos atomicos permanentes determina el com-portamiento del material en presencia de un campo magnetico externo. Esto ocurreporque los momentos magneticos atomicos pueden rotar y alinearse, del mismo modoque el de una espira, en presencia de un campo magnetico externo B0, de tal maneraque pueden hacer variar el valor del campo magnetico en el interior del material. Porejemplo, si existe en un material cierta alineacion parcial de los momentos atomicosen direccion y sentido paralelos a un campo magnetico externo, entonces la intensidaddel campo magnetico total es mayor que la debida unicamente al campo externo. Demanera analoga, una alineacion parcial de los momentos atomicos en sentido opuestoa un campo externo disminuye el campo total.

El proceso de alineamiento de los momentos magneticos atomicos dentro de unmaterial se llama magnetizacion del mismo. Consideremos, por ejemplo, un materialen forma de cilindro que esta magnetizado de manera homogenea en direccion paralela

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Magnetizacion 127

MIm

Figura 10.2. Corriente superficial de magnetizacion Im en un cilindro magnetizado en

direccion paralela a su eje. Se muestra una seccion del cilindro, en la que se observan las

corrientes electronicas elementales que dan lugar a la corriente superficial.

a su eje, como vemos en la figura 10.2. En este caso, una porcion de los momentosmagneticos atomicos del material esta parcialmente orientada paralelamente al eje delcilindro. Las corrientes electronicas elementales que crean estos momentos orientados,por la regla del sacacorchos, han de estar dirigidas segun se ve en la figura, de talmanera que su efecto se cancela con corrientes adyacentes en el interior del materialy no se observa corriente neta allı. Sin embargo, no se cancelan en la superficie delmaterial, dando lugar a una corriente superficial macroscopica neta Im, dirigida comose ve en la figura, que provoca que el material magnetizado se comporte como unsolenoide por el que circula una corriente Im. Por tanto, este material crea un campomagnetico Bm que se puede medir y que es paralelo a la alineacion de los momentosmagneticos atomicos.

Se define el vector magnetizacion M de un material como el momento magneticoneto por unidad de volumen de material. Su direccion y sentido estan determinadospor la suma de los momentos magneticos atomicos que hay en la porcion de materialque estamos considerando (ver la figura 10.2). La corriente superficial Im en un ma-terial magnetizado esta relacionada con el vector magnetizacion M y su direccion ysentido vienen dados por la regla del sacacorchos aplicada al vector M.

Si la magnetizacion no fuese uniforme, esta corriente circulara tambien por elinterior del material. En todo caso, Im se debe al movimiento de electrones alrededorde los nucleos atomicos y no es, por tanto, un movimiento de electrones libres comoen un cable conductor al aplicar una diferencia de potencial. Para distinguir a Im dela corriente de conduccion debida al movimiento de electrones libres, se le suele llamarcorriente de magnetizacion. Ambas pueden estar presentes en un material conductor.

Consideremos el cilindro uniformemente magnetizado de la figura 10.2, recorridopor una corriente de magnetizacion superficial Im, al que se le enrollan n vueltaspor unidad de longitud de un cable conductor por el que circula una corriente deconduccion I. Dado que I e Im son paralelas en este caso, podemos escribir el campomagnetico total B en el interior del material como el de un solenoide de corriente Imas el campo debido a la corriente de magnetizacion Im, es decir,

B = B0 +Bm. (10.7)

Es comun definir la susceptibilidad magnetica del material χm de tal modo que

Bm = χmB0, (10.8)

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128 Materiales magneticos

donde χm es una cantidad sin unidades. El campo magnetico total en el materialresulta

B = B0 + χmB0 = (1 + χm)B0 = µrB0. (10.9)

En la ultima igualdad se ha definido la permeabilidad relativa del material µr como

µr = 1 + χm. (10.10)

Volviendo a nuestro ejemplo del cilindro magnetizado, dado que el campo aplicado esB0 = µ0nI, el modulo del campo total resulta

B = µnI, (10.11)

en funcion de la corriente de conduccion I unicamente, sustituyendo la permeabilidaddel vacıo µ0 por la permeabilidad absoluta del material

µ = µrµ0. (10.12)

Para el vacıo, µr = 1. Para los distintos materiales, la permeabilidad relativa tienediferentes comportamientos, lo cual permite clasificarlos en tres categorıas principales:diamagneticos, paramagneticos y ferromagneticos.

10.3. Diamagnetismo

Llamamos diamagnetismo al efecto por el cual un campo magnetico aplicado a unmaterial induce en este una magnetizacion que tiene sentido opuesto al campo apli-cado.

El diamagnetismo aparece en todos los materiales pero, dado que los momen-tos magneticos inducidos por este efecto suelen ser muy pequenos, queda a menudoenmascarado por efectos paramagneticos o ferromagneticos (de los que hablaremosluego). En la practica, solo se observa el diamagnetismo si el momento magneticointrınseco de los atomos o moleculas del material es nulo en ausencia del campo ex-terno aplicado, pues entonces no existen los otros efectos. En este caso, decimos queel material es diamagnetico.

En las sustancias diamagneticas, el campo externo aplicado induce momentosmagneticos orbitales opuestos a el, con lo cual el campo magnetico total es menor queel aplicado. Como consecuencia, en los materiales diamagneticos χm es un numeronegativo tıpicamente muy pequeno, y µr es un numero muy cercano a la unidad,pero levemente menor que 1. En la tabla 10.1 podemos observar algunos valores de lasusceptibilidad magnetica (a temperatura ambiente) para sustancias diamagneticas.

Para comprender como un campo magnetico aplicado induce momentos orbitalesatomicos opuestos a el, consideremos el ejemplo de la figura 10.3. Dos electrones, cadauno de carga −e, se mueven inicialmente en orbitas circulares del mismo radio r conla misma velocidad v pero en sentidos opuestos. Esto quiere decir que, inicialmente, elmomento magnetico neto de ambos electrones es cero (asumimos que tienen espinesantiparalelos entre ellos).

Se considera ahora un campo magnetico externo B0 uniforme y perpendiculara la trayectoria de ambos electrones. De esta manera, aparece una fuerza magneticaFm = −ev ×B0 sobre cada electron, dirigida a lo largo de la direccion normal a su

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Diamagnetismo 129

v v

v v

− e− e

− e − e

Figura 10.3. Dos electrones se mueven en orbitas circulares iguales con la misma velocidad

pero en sentido opuesto. Un campo magnetico externo aplicado perpendicularmente a ambas

orbitas modifica la velocidad de los electrones creando un momento magnetico neto en sentido

opuesto al campo aplicado.

trayectoria. Sin embargo, en uno de los electrones la fuerza magnetica se dirige haciael exterior de la trayectoria circular, mientras que, en el otro, la fuerza magnetica sedirige hacia el centro de la trayectoria.

Como consecuencia de la fuerza magnetica sobre los electrones, la aceleracionnormal de cada uno de ellos cambia: cuando la fuerza magnetica es hacia el exteriorde la trayectoria, la aceleracion normal del electron decrece, pero si la fuerza magneticaes hacia el centro de la trayectoria, la aceleracion normal crece. Dado que la aceleracionnormal en la trayectoria circular es an = v2/r, y los electrones estan confinados enorbitas de radio fijo, resulta que la velocidad del primer electron disminuye, mientrasque la del segundo electron aumenta.

Antes de aplicar el campo magnetico externo, los momentos angulares orbitalesde ambos electrones eran iguales y de sentido opuesto, de manera que la suma de

Material χm

Hidrogeno −9,9× 10−9

Nitrogeno −5,0× 10−9

Sodio −0,2× 10−5

Cobre −1,0× 10−5

Bismuto −1,7× 10−5

Diamante −2,2× 10−5

Plata −2,6× 10−5

Mercurio −3,2× 10−5

Oro −3,6× 10−5

Tabla 10.1. Susceptibilidad magnetica de diversas sustancias diamagneticas a 20 C. En los

casos de gases, se ha supuesto que la presion es de 1 atm.

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130 Materiales magneticos

ambos era cero. Como hemos supuesto que sus espines eran antiparalelos, teniendoen cuenta la ecuacion (10.6) resulta que el momento magnetico neto era cero. Unavez aplicado el campo externo, la velocidad de los electrones ha cambiado, haciendolotambien su momento angular orbital. En particular, y teniendo en cuenta la regla delsacacorchos en la figura 10.3, el momento angular orbital final tiene la direccion ysentido del campo aplicado B0. De esta manera, ha aparecido un momento magneticoneto diferente de cero que, segun la ecuacion (10.6), se opone al campo aplicado.

El efecto diamagnetico que hemos estudiado es practicamente independiente dela temperatura. Como hemos comentado esta a menudo enmascarado por efectos pa-ramagneticos o ferromagneticos, que aparecen cuando los atomos o moleculas del ma-terial tienen un momento magnetico intrınseco no nulo. Por otro lado, como veremos acontinuacion, el paramagnetismo disminuye al aumentar la temperatura, de tal modoque, al menos idealmente, todos los materiales son diamagneticos a temperaturas losuficientemente altas. Comentemos por ultimo que los materiales superconductoresson perfectamente diamagneticos, en el sentido que su susceptibilidad magnetica esχm = −1. Esto quiere decir que un superconductor anula en su interior cualquier cam-po magnetico aplicado. Este hecho experimental se conoce con el nombre de efecto

Meissner.

10.4. Paramagnetismo

En los materiales paramagneticos, los momentos magneticos intrınsecos atomicos omoleculares tienden a alinearse parcialmente con un campo magnetico externo, demanera que el campo magnetico se hace mayor que el aplicado. En los materialesparamagneticos, la susceptibilidad magnetica χm es un numero pequeno y positivo quecomo veremos decrece cuando aumenta la temperatura, y la permeabilidad relativaµr es un numero cercano a la unidad pero levemente mayor que 1. Tenemos en latabla 10.2 algunos valores de la susceptibilidad magnetica para ciertas sustanciasparamagneticas.

El paramagnetismo aparece cuando los atomos o moleculas de una sustanciatienen un momento magnetico permanente asociado al momento angular orbital o deespın de sus electrones. En ausencia de un campo magnetico externo estos momentosmagneticos permanentes estan orientados al azar debido al movimiento termico.

Material χm

Oxıgeno 2,1× 10−6

Magnesio 1,2× 10−5

Aluminio 2,3× 10−5

Tungsteno 6,8× 10−5

Titanio 7,1× 10−5

Platino 3,0× 10−4

Tabla 10.2. Susceptibilidad magnetica de diversas sustancias paramagneticas a 20 C. En

los casos de gases, se ha supuesto que la presion es de 1 atm.

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Ferromagnetismo 131

Sin embargo, cuando se aplica un campo magnetico B0 sobre el material, apareceun momento torsion τm sobre cada momento magnetico atomico o molecular m, dadopor la expresion τm = m ×B0. Entonces, como vimos en el capıtulo 8, el momentomagnetico tiende a alinearse paralelo al campo magnetico aplicado.

Este efecto viene contrarrestado por el efecto termico sobre los atomos y molecu-las del material, que tiende a dirigir aleatoriamente los momentos magneticos delmismo. Como consecuencia, solo una pequena fraccion de los momentos magneticosatomicos de la sustancia quedan dirigidos paralelamente al campo magnetico. Debidoa esto, el paramagnetismo es un efecto debil y la susceptibilidad magnetica de los ma-teriales paramagneticos es muy pequena. Aun ası, el efecto es mucho mas importanteque el diamagnetismo para sustancias paramagneticas (con momentos magneticosatomicos permanentes), por lo cual estas ocultan los efectos diamagneticos.

Otro aspecto importante del paramagnetismo, a medida que aumenta la tempe-ratura del material, es la tendencia de los momentos magneticos a orientarse alea-toriamente, haciendo que la fraccion de momentos atomicos alineados con el campoexterno decrezca. Consecuentemente, la magnetizacion de los materiales paramagneti-cos decrece con la temperatura T del material. Esto implica que una sustancia pa-ramagnetica a temperatura ambiente se convertira en diamagnetica si aumentamossuficientemente su temperatura.

10.5. Ferromagnetismo

Una tercera clase de sustancias tiene un comportamiento magnetico mas acusado quelo visto anteriormente: son los materiales ferromagneticos. Estas sustancias presentanuna magnetizacion permanente, debida a la tendencia de los momentos magneticosde sus atomos o moleculas a alinearse por su interaccion mutua. El ferromagnetismose presenta en sustancias que son imanes naturales, como la magnetita, y tambien enel hierro, el cobalto, el nıquel y en aleaciones de estos metales entre sı.

En los materiales ferromagneticos, existe una interaccion cuantica entre los espi-nes S1 y S2 de dos electrones, de tal manera que la energıa debida a esta interacciontiene la forma −J S1 · S2, donde J es una cantidad, llamada integral de intercambio,que depende de la distancia entre los electrones. Obviamente, si J es una cantidadpositiva, la energıa de un par de espines electronicos paralelos es menor que la de unpar de espines antiparalelos, de tal manera que se favorece que los espines cercanosesten paralelos en el equilibrio incluso en ausencia de un campo magnetico externo.Este es el caso de los materiales ferromagneticos. Tambien podrıa ocurrir que J fuesenegativa, en cuyo caso se favorecerıa la presencia de espines antiparalelos, es decir,una magnetizacion neta nula. Esto ocurre en los materiales antiferromagneticos.

En una sustancia ferromagnetica, en ausencia de un campo magnetico aplicado, lainteraccion entre espines electronicos cercanos provoca una orientacion de estos espi-nes en regiones de tamano normalmente microscopico, llamadas dominios magneticos,cuyas dimensiones van desde 10−12 m3 hasta 10−8 m3, y que contienen desde 1017 has-ta 1021 atomos. Dentro de estos dominios, los momentos magneticos atomicos estanmuy alineados, de tal manera que cada uno de los dominios tiene una magnetizacionneta cuya direccion depende de la estructura cristalina de la sustancia (ver la figu-ra 10.4a). La magnetizacion total de un trozo de sustancia sera en general nula, pueslos dominios tienen magnetizaciones orientadas a lo largo de direcciones diferentes de

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132 Materiales magneticos

(a) (b) (c)

Figura 10.4. (a) Dominios magneticos en un material ferromagnetico en ausencia de campo

externo. (b) Magnetizacion por crecimiento de dominios favorables a un campo externo

aplicado. (c) Magnetizacion por orientacion de dominios paralelamente al campo aplicado.

tal manera que la suma de todas ellas sea practicamente nula.Cuando se aplica un campo magnetico externo al material ferromagnetico, ocu-

rren dos efectos, debidos a la aparicion de momentos de la fuerza magnetica sobre losmomentos magneticos de los dominios:

Los dominios cuya magnetizacion esta orientada favorablemente al campo apli-cado crecen (mas electrones alinean su momento magnetico en esa direccion),mientras que los dominios con magnetizacion opuesta al campo aplicado decre-cen (figura 10.4b).La magnetizacion neta de cada uno de los dominios tiende a alinearse paralela-mente al campo aplicado (figura 10.4c).

La consecuencia de estos dos efectos es una magnetizacion total muy elevada en elmaterial y paralela al campo aplicado, de manera que el campo magnetico total enel interior del material es mucho mayor que el campo externo, y el material se haconvertido en un iman. Los materiales ferromagneticos, por tanto, suelen tener valorespositivos muy elevados de la susceptibilidad magnetica χm.

El ferromagnetismo depende de la temperatura, de tal modo que cada sustan-cia ferromagnetica tiene una temperatura crıtica, llamada temperatura de Curie, porencima de la cual la sustancia se convierte en paramagnetica. Esto ocurre porque elmovimiento termico aleatorio de los atomos crece cuando aumenta la temperatura, yeste efecto tiende a destruir los dominios magneticos al vencer las fuerzas de interac-cion entre espines. La temperatura de Curie del hierro es de 770 C, la del cobalto esde 1080 C, y la del nıquel es de 370 C.

Veamos un aspecto crucial del comportamiento de los materiales ferromagneti-cos. Un trozo de material ferromagnetico se coloca en el seno de un campo magneticouniforme B0 cuya intensidad podemos variar (si B0 es el campo creado por un solenoi-de que colocamos rodeando al material ferromagnetico, podemos variar la corrienteque pasa por el solenoide). Comenzamos con un valor B0 = 0 y vamos aumentandoeste valor. En cada caso, medimos el campo total B en el interior del material yrepresentamos este valor frente al campo externo B0 segun la grafica de la figura 10.5.

Al ir aumentando el valor de B0 desde cero, el valor del campo interno B crecerapidamente, ya que la alineacion de los momentos magneticos se va haciendo cada vezmayor. Si continuamos aumentando el campo aplicado, se alcanza un punto en el queno se pueden alinear mas momentos magneticos. Se dice entonces que se ha alcanzado

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Ejercicios 133

B

B

ap

r

PB

Figura 10.5. Histeresis en un material ferromagnetico en presencia de un campo externo.

En la figura Bap = B0.

la saturacion, a partir de la cual el campo interno solo crece en la misma medida quelo haga el campo externo aplicado. Llegamos ası al punto P de la figura 10.5.

Si ahora desde P se reduce el valor de B0, esperando que B decrezca a lo largode la misma lınea por la que crecio, esto no ocurre. Parte de la alineacion de losdominios magneticos permanece al reducir el campo externo y existe un valor Br decampo magnetico interno incluso al apagar completamente el campo externo. Estevalor se llama campo remanente y el efecto que hemos descrito se llama ciclo de

histeresis del material. En el punto en el que B0 se ha hecho cero y B = Br, se diceque el material se ha convertido en un iman permanente.

Cuando B0 no es cero, podemos definir en promedio la susceptibilidad magneticaχm o la permeabilidad relativa µr del material ferromagnetico. Se observa que el valorde µr es ahora muy grande. Por ejemplo, en el hierro es del orden de 5000, en unaaleacion de hierro y nıquel puede ser del orden de 25000, etc. El campo interno totales mucho mayor que el campo aplicado.

Si la histeresis del material no es muy grande (es decir, Br es pequeno), se diceque el material es magneticamente blando, como el llamado hierro dulce. Estos ma-teriales se usan en la construccion de los nucleos de transformadores y electroimanes,pues interesa a veces revertir el sentido del campo o apagarlo. Sin embargo, cuandola histeresis es grande, como en el acero al carbono, por ejemplo, el campo internopermanece mucho tiempo despues de apagar el externo, de manera que estos mate-riales se usan en la fabricacion de imanes permanentes o en las cintas de grabacionmagnetica.

10.6. Ejercicios

1. Un electron de masa m = 9, 1 × 10−31 kg sigue una orbita circular de radior = 5×10−11 m a velocidad v = 2×106 m · s−1 en el plano xy en sentido horario.Determinar su momento angular orbital y el momento magnetico debido a estacontribucion.Solucion: Le = −9, 1× 10−35 kg ·m · s−2 k, me = 8, 1× 10−24 A ·m2 k.

2. Un cilindro tiene una magnetizacion homogenea M = 20000A · m−1 paralela asu eje. Determinar el campo magnetico en el interior de este cilindro.Solucion: B = 0, 025T.

3. Un solenoide de 5 vueltas por centımetro posee un nucleo de hierro. Cuando

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134 Materiales magneticos

la corriente que circula por el devanado es de 2, 5A, el campo magnetico enel interior del solenoide es de 1, 4T. Determinar la permeabilidad relativa delmaterial.Solucion: µr = 890.

4. Un solenoide de 20 vueltas por metro transporta una corriente de 1, 5A. Calcularel campo magnetico en su interior. Repetir el calculo si el solenoide se llena conun material de susceptibilidad magnetica χm = 20.Solucion: B0 = 3, 8× 10−5 T. B = 7, 9× 10−4 T.

5. En el solenoide del problema anterior, determinar el campo magnetico producidopor las corrientes de magnetizacion y la propia magnetizacion.Solucion: Bm = 7, 5× 10−4 T. M = 597A ·m−1.

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Capıtulo 11

Induccion electromagnetica

11.1. Fem inducida

Hemos visto que una corriente electrica produce un campo magnetico. En 1831, Fara-day descubrio el efecto inverso: se puede inducir una corriente electrica en un circuitopor medio de un campo magnetico.

La experiencia muestra que existen varias formas de utilizar un campo magneticopara generar una corriente electrica. Por ejemplo, coloquemos un iman permanentecerca de una espira. Si no hay movimiento relativo entre el iman y la espira, la corrienteque circula por esta es nula, pues no esta conectada a ninguna fuente de fem. Cuandoaproximamos el iman a la espira se comprueba que ha aparecido una corriente en ella.Si alejamos el iman, la corriente tiene sentido contrario. Tambien se generarıa unacorriente en la espira si movieramos esta pero no el iman.

La corriente en la espira se llama corriente inducida pues ha sido producida porun campo magnetico variable en el tiempo (el creado por el iman en la espira al habermovimiento relativo entre ellos). Dado que siempre se necesita una fuente de fem paraproducir una corriente, la misma espira se ha comportado en este ejemplo como unafuente de fem. Esta fem se conoce como fem inducida.

Hay otras maneras de inducir una fem en una espira sin variar un campo magneti-co. Una de ellas consiste en cambiar el area interior de la espira (estirandola, porejemplo) y otra consiste en cambiar la orientacion de la espira respecto al campomagnetico rotandola.

El fenomeno de produccion de una fem con ayuda de un campo magnetico sellama induccion electromagnetica. Los ejemplos que hemos visto de produccion deuna fem en un circuito con ayuda de un campo magnetico son manifestaciones de laley de Faraday, quien descubrio que, cuando el flujo magnetico a traves de la superficieencerrada por un circuito cambia en el tiempo, entonces se induce una fem en el propiocircuito.

11.2. Fem de movimiento

Consideremos en detalle una de las maneras de inducir una fem con ayuda de uncampo magnetico uniforme y constante. Supongamos que una varilla conductora delongitud ℓ se mueve, por accion de algun agente externo (podemos moverla con la

135

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136 Induccion electromagnetica

v

Figura 11.1. Una varilla conductora de longitud ℓ se mueve a velocidad constante v en

presencia de un campo magnetico B perpendicular a la varilla y a la velocidad.

mano) con velocidad v constante de manera perpendicular a un campo magneticouniforme y constante B, segun se observa en la figura 11.1.

Cada una de las cargas positivas que hay en la varilla conductora se muevenentonces con esa velocidad v, de manera que sienten una fuerza magnetica de moduloFm = qvB y dirigida hacia la parte de arriba de la varilla (usar para verlo la reglade la mano derecha). Del mismo modo, cada carga negativa en la varilla siente lamisma fuerza pero dirigida hacia abajo. En consecuencia, se va acumulando cargapositiva en el extremo superior de la varilla y carga negativa en el extremo inferior.Esto ocurre hasta que la fuerza electrica de atraccion entre las cargas positivas ynegativas equilibra a la fuerza magnetica que trata de separar las cargas. Al llegar aeste equilibrio, ya no se acumula mas carga en los extremos de la varilla.

Las cargas que hay en los extremos al llegar al equilibrio han dado lugar a unadiferencia de potencial, llamada fem de movimiento. Este fem existe mientras se muevala varilla y actua de manera analoga a la fem de una baterıa, pero hay una diferencia:en una baterıa, la fem se produce por reacciones quımicas en su interior, pero en lavarilla la fem de movimiento la crea el trabajo mecanico del agente externo que muevela varilla en el seno de un campo magnetico.

En el equilibrio, la magnitud de la fem de movimiento se puede calcular igualando,sobre cada carga, la fuerza magnetica, que trata de llevarla hacia un extremo de lavarilla, y la fuerza electrica que tiene sentido contrario

qvB = qE, (11.1)

donde E es el campo electrico creado por las cargas de signos opuestos que hay en losextremos de la varilla. Este campo electrico crea una diferencia de potencial entre losextremos que esta dada por ℓE, y que es la fem inducida en la varilla. En consecuencia,de la ecuacion (11.1) se obtiene

vB =Eindℓ

, (11.2)

de donde la fem de movimiento inducida en la varilla resulta

Eind = vBℓ, (11.3)

ecuacion que se cumple en el caso particular en que la varilla, el campo magnetico y lavelocidad son perpendiculares dos a dos, B es uniforme y constante y v es constante.

Supongamos que ahora conectamos a los extremos de la varilla un circuito con unaresistencia R a traves de dos raıles conductores estacionarios, como en la figura 11.2.

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Ley de Faraday 137

vFm

Figura 11.2. Una varilla conductora se mueve sobre dos raıles conductores estacionarios

conectados a una resistencia.

Debido a que la varilla esta actuando como una fuente de fem, se produce una corrienteinducida en el circuito formado por la varilla, los raıles y la resistencia. La corrientea traves de la resistencia esta dada por

I =EindR

=vBℓ

R. (11.4)

La resistencia disipa energıa en forma de calor. La potencia disipada por la resistenciaviene dada por el producto de la corriente que la atraviesa y la diferencia de potencialVR entre sus terminales, esto es,

P = IVR = IEind =(vBℓ)2

R, (11.5)

de manera que, en un tiempo t, la energıa que ha disipado la resistencia es

U = P t =(vBℓ)2

Rt. (11.6)

La cuestion es de donde saca esta energıa la resistencia, es decir, quien realiza eltrabajo de alimentar el circuito. La fem de movimiento aparece porque hay una fuerzamagnetica que actua sobre las cargas de un conductor que se mueve en el seno de uncampo magnetico. Al conectar una resistencia al circuito, circula por el una corrienteinducida. El campo externo B produce entonces una segunda fuerza magnetica F ′

m

sobre la corriente inducida, dada por la expresion F ′m = IℓB, que esta dirigida en

sentido contrario al movimiento de la varilla (para verlo, usar la regla de la manoderecha en la figura 11.2). Ası, la fuerza F ′

m se opone a la velocidad v y frenarıa elmovimiento de la varilla si no hubiera un agente externo (nuestra mano), que debeestar ejerciendo una fuerza igual a F ′

m y de sentido opuesto para mantener la varillaa velocidad constante v. Esto significa que es el agente externo el que esta realizandoun trabajo igual a la energıa (11.6) para alimentar el circuito. En otras palabras,la varilla conductora y el campo magnetico externo convierten trabajo mecanico enenergıa electrica de la misma forma que una baterıa convierte energıa quımica enenergıa electrica. Este es el fundamento de un generador electrico.

11.3. Ley de Faraday

La ley de Faraday de la induccion electromagnetica relaciona la fem inducida en uncircuito con el cambio de flujo magnetico a traves de la superficie encerrada por el.

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138 Induccion electromagnetica

Consideremos, por ejemplo, la fem de movimiento que aparece al mover la varillaconductora de la figura 11.1. El valor de la fem inducida en la varilla era Eind = vBℓ.Si consideramos el eje x como aquel a lo largo del cual se esta moviendo la varilla convelocidad constante v, resulta v = dx/dt, de manera que podemos escribir

Eind = Bℓdx

dt. (11.7)

Dado que el area de la superficie encerrada por la varilla, los raıles y la resistencia enla figura 11.2 es S = ℓx, entonces Eind = BdS/dt, o bien, como el campo magneticoes constante,

Eind =d(BS)

dt. (11.8)

Al usar la regla del sacacorchos en la figura 11.2 para obtener el vector normal a lasuperficie encerrada por el circuito segun el sentido de la corriente inducida, notamosque este vector normal tiene sentido opuesto al campo magnetico. De este modo, elflujo magnetico a traves de la superficie encerrada por el circuito es

Φm = B · S = SB · n = −BS. (11.9)

Si se comparan las ecuaciones (11.8) y (11.9), se llega a que la fem inducida en lavarilla (y, por tanto, en el circuito) se puede escribir como

Eind = −dΦm

dt. (11.10)

Esta es la expresion matematica de la ley de Faraday de la induccion. Esta ley implicaque existe una fem inducida en un circuito cuando el flujo magnetico a traves de lasuperficie encerrada por el circuito varıa en el tiempo. El signo menos en la ecuacion(11.10) se interpreta diciendo que la fem inducida se opone a la causa que la produce,que es la variacion del flujo magnetico. Esta idea es lo que expresa la ley de Lenz, queveremos a continuacion.

Podemos escribir la fem inducida en un circuito cerrado C en funcion del campoelectrico E creado en el circuito segun la expresion (7.17), es decir,

Eind =

C

E · dr, (11.11)

siendo dr un desplazamiento infinitesimal a lo largo del circuito con el sentido de lacorriente inducida. Por otro lado, podemos escribir el flujo magnetico a traves de lasuperficie S encerrada por el circuito C como

Φm =

S

B · dS, (11.12)

donde dS = dS n es un vector infinitesimal de superficie. Con estas dos expresiones,la ley de Faraday (11.10) tambien puede escribirse

C

E · dr = − d

dt

S

B · dS. (11.13)

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Ley de Lenz 139

B(t)

Figura 11.3. Una espira situada en un campo magnetico uniforme perpendicular a ella. El

campo magnetico varıa uniformemente en el tiempo, creando una fem inducida en la espira

segun la ley de Faraday.

Veamos un caso sencillo de aplicacion de la ley de Faraday. Consideremos unaespira de N vueltas que encierra un area S. La espira esta inmersa en un campomagnetico uniforme perpendicular a ella, como en la figura 11.3. El campo magneticovarıa uniformemente en el tiempo, de manera que, en t = t0, su valor es B0 y en uninstante posterior t = t1, su valor es B1. Vamos a calcular la fem inducida en la espiradurante este intervalo de tiempo.

El primer paso es calcular el flujo magnetico a traves de la espira en la direcciondel campo magnetico. Dado que este es uniforme y la espira encierra una superficieplana y el campo es paralelo al eje de la espira, el flujo es Φ = NSB, ya que han detenerse en cuenta todas las vueltas de la espira. Utilizando ahora la ley de Faraday(11.10) se obtiene

Eind = −dΦ

dt= −NS

dB

dt, (11.14)

pues lo unico que varıa es el campo magnetico. Para calcular la derivada del campomagnetico usamos que su variacion es uniforme. Por tanto

Eind = −NSB1 −B0

t1 − t0. (11.15)

El signo de la fem inducida depende del valor de la diferencia B1 − B0. Si el campocrece en el tiempo, B1 − B0 > 0, la fem inducida es negativa y la corriente inducidatendrıa un sentido. Si el campo decrece en el tiempo, B1 − B0 < 0, la fem inducidaes positiva y la corriente inducida tendrıa el sentido contrario.

11.4. Ley de Lenz

Una fem inducida conduce una corriente en un circuito igual que lo hace la fem deuna baterıa. En la baterıa, la corriente se dirige desde el terminal positivo hacia elterminal negativo a traves del circuito. Lo mismo ocurre con la corriente inducida,pero es necesario conocer como se asignan los terminales positivo y negativo en estecaso. Esto viene dado por la ley de Lenz.

Una observacion basica es que el campo magnetico neto que penetra un circuitoesta formado por dos contribuciones. La primera es el campo magnetico externo queproduce un cambio en el flujo y da lugar a la fem inducida. Ademas, hay una segundacontribucion dada por el campo magnetico creado por la propia corriente inducida,que se llama campo magnetico inducido.

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140 Induccion electromagnetica

v

+

NS

Figura 11.4. Un iman se acerca a una espira. La ley de Lenz asigna la polaridad de la fem

inducida en la espira y el sentido de la corriente inducida.

La ley de Lenz dice que la fem inducida resultante de un campo magnetico variabletiene tal polaridad que la corriente inducida genera un campo magnetico inducido quese opone a la variacion del flujo magnetico original. Para aplicar correctamente estaley en conjuncion con la ley de Faraday es util seguir el siguiente esquema:

1. Se determina si el flujo magnetico que atraviesa el circuito es creciente o decre-ciente en el tiempo.

2. El sentido del campo magnetico inducido se toma como opuesto al cambio delflujo original.

3. La regla del sacacorchos, aplicada al campo magnetico inducido, nos dice el sen-tido de la corriente inducida y la polaridad de la fem inducida.

4. Por ultimo, podemos aplicar la ley de Faraday en la forma

|Eind| =∣∣∣∣−

dt

∣∣∣∣ , (11.16)

para conocer el valor numerico de la fem inducida, una vez asignada su polaridad.

Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos un iman permanente que se acerca a unaespira, segun la figura 11.4. El circuito asociado a la espira consta de una resistenciaR. Aplicamos la ley de Lenz. El flujo magnetico a traves de la espira crece (haciala derecha) porque el campo magnetico del iman sobre la espira crece al acercarse.Ası, el campo magnetico inducido debe tener un sentido contrario al crecimiento delflujo, por la ley de Lenz, y debe entonces dirigirse hacia la izquierda. Para crear uncampo magnetico inducido hacia la izquierda, el sentido de la corriente inducida debeser antihorario, como se ve en la figura 11.4 aplicando la regla del sacacorchos. Estesentido de la corriente nos da la polaridad de la fem inducida (indicada por los signos+ y − en la figura, ya que en los circuitos se sigue el convenio de que en una fuentela corriente va por su interior, del terminal negativo al positivo).

11.5. Induccion mutua y autoinduccion

Hemos visto como se puede inducir una fem en una espira si la mantenemos fija ymovemos un iman cercano, o bien si dejamos fijo el iman y movemos o rotamos laespira. Veamos ahora otro metodo de inducir fem en una bobina, formada por unalambre conductor enrollado N veces alrededor de algun tipo de nucleo.

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Induccion mutua y autoinduccion 141

Figura 11.5. Una bobina conductora, conectada a una fuente de fem variable, se coloca

cerca de otra bobina sin conectar. En la segunda aparece una fem inducida.

Induccion mutua

Se situan cerca una de otra dos bobinas, una de ellas llamada bobina primaria yla otra bobina secundaria, segun la figura 11.5. La bobina primaria se conecta a ungenerador de corriente variable, que envıa una corriente I1 a traves de ella. La bobinasecundaria no se conecta a nada. La corriente que conduce la bobina primaria crea uncampo magnetico en sus cercanıas. Una fraccion significativa de este campo penetraen la bobina secundaria y produce a traves de ella un flujo magnetico variable, puesI1 es una corriente variable. Ası se induce una fem en la bobina secundaria.

El efecto por el cual una corriente variable en un circuito produce una fem in-ducida en otro circuito cercano se llama induccion mutua. De acuerdo con la ley deFaraday de la induccion, la fem E2 inducida en el circuito secundario es

E2 = −dΦ2

dt, (11.17)

donde Φ2 es el flujo, a traves del circuito secundario, del campo magnetico producidopor la corriente variable I1 del circuito primario. Por tanto, Φ2 es proporcional a I1y podemos escribir

E2 = −MdI1dt

, (11.18)

donde la constante M , dada por la expresion

M =Φ2

I1, (11.19)

se llama inductancia mutua. La unidad de inductancia mutua es el Henry (H), definidocomo 1H = 1Wb · A−1. Escrita en la forma (11.18) es claro que la fem inducida enel circuito secundario se debe a la corriente variable en el circuito primario.

La inductancia mutua M depende, entre otros factores menos importantes, dela geometrıa de los circuitos. Para guiar las lıneas magneticas y aumentar el flujo,se emplean nucleos ferromagneticos en las bobinas. Aunque M se puede calcularanalıticamente en algunos casos sencillos, lo normal es medirla experimentalmente.

Autoinduccion

En todos los ejemplos de fem inducida que hemos visto hasta ahora, el campo magneti-co ha sido producido por alguna fuente externa, como un iman u otro circuito. Sinembargo, esto no es absolutamente necesario. Se puede inducir una fem en una bobinasi se cambia el campo magnetico que ella misma produce. Para verlo, consideremos

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142 Induccion electromagnetica

Figura 11.6. Sımbolo de un inductor en un circuito.

una bobina conectada a una fuente de fem variable, de manera que la corriente Ique circula por la bobina es tambien variable. Esta corriente crea un flujo magneticovariable a traves de la propia bobina, de modo que, siguiendo la ley de Faraday, seinduce una fem extra en la bobina. El efecto por el cual una corriente variable en uncircuito induce una fem en el mismo circuito se conoce como autoinduccion.

Como en el caso de la induccion mutua, conviene reescribir la ley de Faradayen funcion de la variacion de la corriente. Para ello se introduce una constante L,llamada autoinductancia, dada por la expresion

L =Φ

I, (11.20)

donde Φ es el flujo magnetico a traves del circuito e I es la corriente variable quecircula por el. La fem inducida en el propio circuito es, entonces,

E = −LdI

dt. (11.21)

Una bobina o solenoide con muchas vueltas y nucleo ferromagnetico se llamainductor y, frecuentemente, su autoinductancia es mucho mayor que la del resto delcircuito, de manera que solo se tiene en cuenta la fem inducida en el inductor, des-preciandose la del resto del circuito.

El sımbolo de un inductor en un circuito es el de la figura 11.6. Dado que la femautoinducida en un inductor se opone a la causa que la produce, que es la fem delvariable del generador conectado al circuito, podemos tomar un inductor como unelemento del circuito en el que cae potencial electrico. Esto implica que se comportaen un circuito como una resistencia pero, en lugar de caer en el un potencial dadopor VR = IR, cae un potencial dado por la ecuacion (11.21) cambiada de signo. Enun inductor de un circuito cae un potencial VL dado por

VL = LdI

dt, (11.22)

y ası lo estudiaremos en los capıtulos dedicados a circuitos.

11.6. Energıa magnetica almacenada en un inductor

Al igual que un condensador almacena energıa electrica, un inductor almacena energıamagnetica. Esta energıa proviene del trabajo necesario para establecer una corrientea traves del inductor.

Consideremos un inductor conectado a un generador cuyo potencial se varıa uni-formemente desde 0 hasta V , su valor final. La corriente a traves del inductor cre-cera desde 0 hasta su valor final, apareciendo una fem inducida dada por

E = −LdI

dt, (11.23)

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El generador electrico 143

cuya polaridad se opone a la del generador, de manera que el generador tiene que rea-lizar un trabajo para vencer esta fem inducida. El trabajo realizado por el generadorpara mover una carga dq a traves del inductor es

dW = −Edq = LdI

dtdq = L

dq

dtdI = LIdI, (11.24)

de manera que el trabajo total realizado por el generador para establecer una corrienteque crece desde 0 hasta su valor final I, igual a la energıa magnetica Um almacenadapor el inductor, es

Um = W =

∫ I

0

LIdI =LI2

2. (11.25)

Hay otra manera mas general de interpretar este resultado. Al establecer una corrientea traves del inductor, este crea un campo magnetico, de manera que el trabajo reali-zado para establecer la corriente es tambien el trabajo necesario para crear ese campomagnetico. La energıa almacenada en el inductor es la energıa del campo magnetico.

Consideremos que el inductor es un solenoide sin nucleo ferromagnetico de longi-tud ℓ, seccion de area S y n vueltas por unidad de longitud, que conduce una corrienteI. La autoinductancia de este solenoide resulta

L = µ0n2Sℓ, (11.26)

(ver ejercicios), y el campo magnetico que se crea en su interior vale B = µ0nI. Portanto, la energıa magnetica que almacena es

Um =LI2

2=

B2

2µ0

V, (11.27)

pues V = S ℓ es el volumen interior del solenoide, y es tambien, aproximadamente,igual al volumen de la region del espacio donde el campo magnetico creado por elsolenoide es relevante. Se define entonces la densidad de energıa magnetica um comola energıa de un campo magnetico por unidad de volumen. En el caso del solenoide,

um =Um

V =B2

2µ0

. (11.28)

En el caso general en que un campo magnetico esta definido en una determinadaregion del espacio de volumen V, su intensidad dependera del punto del espacio, ytambien lo hara la densidad de energıa magnetica um. La energıa magnetica en estecaso general esta dada por la expresion

Um =

VumdV =

V

B2

2µ0

dV. (11.29)

11.7. El generador electrico

Practicamente toda la enegıa electrica que se utiliza en el mundo se produce en formade corriente electrica a traves de generadores electricos. El funcionamiento de estosgeneradores se basa en la induccion electromagnetica para producir una fem sinusoidal

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144 Induccion electromagnetica

α

ε

ω

B

n

Figura 11.7. Un generador electrico simple

cuando enormes bobinas rotan en presencia de campos magneticos producidos porelectroimanes.

Un generador electrico simple esta formado por una espira de N vueltas y areaS que rota con velocidad angular constante ω entre los polos de un electroiman queproduce un campo magnetico uniforme B, segun vemos en la figura 11.7. El electro-iman se llama inductor del generador, y la espira se llama inducido. Los terminalesdel inducido estan conectados solidariamente a unos anillos metalicos deslizantes quegiran al rotar la espira. Cada uno de estos anillos roza a una escobilla de grafito (seusa este material para evitar chispazos), de manera que la diferencia de potencialentre los terminales de la espira, que es la misma que hay entre los anillos deslizantes,es igual a la diferencia de potencial entre las escobillas de grafito. Las escobillas sonlos terminales del circuito externo al que el generador alimenta.

Consideremos una situacion inicial en la que el vector normal a la espira formaun angulo α0 con el campo magnetico uniforme del electroiman. Empezamos ahora ahacer un trabajo mecanico rotando la espira con velocidad angular ω constante. Estosignifica que el angulo α que forman la normal a la espira y el campo magnetico delelectroiman va variando en el tiempo segun la expresion

α = α0 + ωt. (11.30)

Segun la ley de Faraday, se induce entonces una fem E en la espira dada por

E = −dΦ

dt, (11.31)

donde Φ es el flujo magnetico a traves de la espira,

Φ = NSB cosα = NSB cos (α0 + ωt). (11.32)

Entonces la diferencia de potencial creada por el generador, y aplicada al circuitoexterno mediante las escobillas, es

E = NSBω sen (α0 + ωt) = A sen (α0 + ωt), (11.33)

dondeA = NSBω, (11.34)

es una constante caracterıstica del generador, llamada amplitud o valor de pico dela fem sinusoidal. La unidad de fem de pico es 1V. En consecuencia, un generador

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El generador electrico 145

1/2f 1/f 3/2f

−A

0

A

t

ε

Figura 11.8. Representacion grafica de una fem sinusoidal.

electrico transforma energıa mecanica, la necesaria para rotar la espira, en energıaelectrica.

En la figura 11.8 se ha representado el valor de la diferencia de potencial E entrelos terminales de un generador electrico frente al tiempo t, suponiendo que la faseinicial α0 es cero por simplicidad (siempre se puede elegir α0 a conveniencia eligiendoel origen de tiempos apropiadamente). Como vemos en esta figura, la fem E es unafuncion periodica sinusoidal, de amplitud A y frecuencia angular ω. La unidad defrecuencia angular es 1 rad · s−1. La interpretacion fısica de esta cantidad se aclaradefiniendo la frecuencia f de la fem E como

f =ω

2π, (11.35)

que es el numero de veces que la fem alcanza su valor maximo A (o mınimo −A) enun segundo, contando a partir del momento en que tiene ese mismo valor. La unidadde frecuencia es el Herzio (Hz), definido como 1Hz = 1 s−1. El inverso de la frecuencia

T =2π

ω=

1

f, (11.36)

se llama periodo de la fem y su unidad es 1 s. El periodo es el tiempo que pasadesde que la fem tiene su valor maximo (o mınimo) hasta que vuelve a tenerlo. Enla practica es comun dar las caracterısticas de la fem de un generador de corrientealterna mediante su valor de pico A y su frecuencia f . Conocidos estos datos, esdirecto escribir la fem como E = A sin (2πft) (asumiendo que α0 es cero).

Como hemos visto, la fem proporcionada por un generador electrico cambia supolaridad a medida que rota la espira, lo cual es propio de la corriente alterna. Ası,si se conecta un circuito externo al generador, que se suele denominar circuito de

carga, a traves de el habra una corriente alterna que cambia su sentido con la mismafrecuencia f con la que la fem cambia su polaridad. En los circuitos, el sımbolo de ungenerador que proporciona una fem de este tipo es el que vemos en la figura 11.5.

Algunas centrales electricas queman combustible fosil (carbon, gas o petroleo)para calentar agua y producir gas presurizado que hace girar enormes turbinas cuyosejes estan unidos al generador, mientras que otras usan cascadas de agua o energıanuclear como fuente de trabajo mecanico. Si el circuito de carga, o conjunto de dis-positivos a los que el generador proporciona energıa electrica, esta desconectado del

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146 Induccion electromagnetica

Turbina Generador

Figura 11.9. Un generador electrico que proporciona energıa a un edificio.

generador, se dice que este funciona bajo una condicion sin carga porque no hay co-rriente en el circuito externo y el generador no proporciona energıa electrica. En estecaso, el unico trabajo que hay que realizar sobre la turbina es el necesario para vencerla friccion y otras perdidas mecanicas en el interior del generador y el necesario paramantener el campo magnetico, ası que el consumo de energıa es mınimo.

Supongamos ahora que se conecta un circuito de carga al generador (como losedificios mostrados en la figura 11.9). Existe una corriente alterna I a traves delcircuito, de modo que esta misma corriente recorre la espira del generador. La espiratiene un momento magnetico m que no tenıa en la condicion sin carga y, dado queesta inmersa en un campo magnetico, siente un momento de torsion magnetico quetrata de hacerla rotar para colocar su eje paralelo al campo magnetico. Obviamente,no se crea energıa mecanica de rotacion de la nada, ası que este momento de torsion(que se suele denominar contramomento del generador) ha de oponerse a la rotacioninducida por la turbina. En consecuencia, a mayor corriente cedida por el generador,mayor es el contramomento y mas trabajo mecanico habra que realizar para mantenerla espira rotando a velocidad angular constante. Es decir, la turbina debe hacer untrabajo mayor cuando la corriente es mayor, quemando mas combustible por ejemplo.

11.8. Ejercicios

1. Una espira de 20 vueltas encierra un area de 10−3 m2. La espira esta inmersa enun campo magnetico uniforme perpendicular a ella de tal manera que, en t = 0,B = 0, 03T, y en t = 0, 1 s, B = 0, 01T. Calcular la fem inducida en la espiradurante ese intervalo de tiempo y su polaridad.Solucion: Eind = 4mV.

2. Una espira cuadrada de lado a, N vueltas y resistencia R esta situada en el planoxy, con su centro en el origen. Esta espira esta inmersa en un campo magneticodado por las ecuaciones

B = B0k, y > 0,

B = 0, y < 0,

donde B0 es una constante. Calcular la magnitud y sentido de la corriente in-ducida en la espira cuando esta se desplaza con velocidad constante v0 en lossiguientes casos: (a)v = v0i, (b) v = v0j, (c) v = −v0j.Solucion: (a) Iind = 0. (b) Iind = (Nav0B0)/R, en sentido horario. (c) Iind =(Nav0B0)/R, en sentido entihorario.

3. Una espira de 50 vueltas encierra un area de 0, 02m2. La espira esta inmersa en

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Ejercicios 147

un campo magnetico uniforme y constante B = 0, 18T. Inicialmente, el eje dela espira es paralelo al campo. Comienza a rotar uniformemente y, al cabo det = 0, 1 s, el eje de la espira forma un angulo de 30 con el campo. Calcular lafem inducida en la espira durante ese intervalo de tiempo y su polaridad.Solucion: Eind = 2, 4V.

4. Un campo magnetico uniforme y constante de 0, 15T es perpendicular a unaespira circular de 1 vuelta y 0, 3m de radio. La espira se deforma uniformementeen un cuadrado al cabo de 0, 5 s. Encontrar la magnitud de la fem media inducidaen la espira durante ese tiempo y su polaridad.Solucion: Eind = 0, 018V.

5. Sobre una espira cuadrada, de lado a = 1 cm, 1 vuelta y resistencia R = 100Ω,descansa un cable conductor rectilıneo muy largo, paralelo a un lado de la espiray a una distancia d = 0, 25 cm del centro de esta. El cable conduce una corrienteI = 1mA. Si esta corriente se va a cero uniformemente en 0, 1 s, determinar lacorriente inducida durante ese tiempo en la espira.Solucion: Iind = 2, 2× 10−13 A.

6. Dos varillas conductoras paralelas, ambas de longitud ℓ y resistencia R, se mue-ven con la misma velocidad v perpendicular a su longitud en el mismo sentido.Perpendicular a ambas varillas y a su velocidad hay un campo magnetico B.Determinar la fem inducida en cada varilla.Eind = vBℓ, Iind = 0.

7. Una varilla conductora de masa m y longitud ℓ cae debido a su propio pesomoviendose sin rozamiento entre dos raıles verticales. Los raıles estan conectadosentre sı por arriba por una resistencia R. Hay un campo magnetico uniforme yconstante B perpendicular al plano formado por varilla y raıles. En el equilibrio,determinar la fem inducida en la varilla y su polaridad, la corriente a traves dela resistencia, y la velocidad de caıda de la varilla.Solucion: Eind = vBℓ, Iind = vBℓ/R, v = mgR/(B2ℓ2).

8. Un solenoide de longitud ℓ = 8 cm y seccion de area S = 0, 5 cm2 contienen = 6500 vueltas por metro y carece de nucleo ferromagnetico. Calcular la auto-inductancia del solenoide.Solucion: L = 2 · 10−4 H.

9. Un solenoide de longitud ℓ y numero de vueltas N1 esta conectado a un generadorde corriente alterna, de tal manera que la corriente a traves del solenoide esI = I0 sen (2πft). En el interior del solenoide se coloca una bobina de numerode vueltas N2 y seccion de area S2. Suponiendo que todas las lıneas del campoen el interior del solenoide pasan por la bobina, determinar la fem inducida enesta y el coeficiente de inductancia mutua.Solucion: Eind = −(µ0N1N2S2/ℓ)2πf cos (2πft). M = µ0N1N2S2/ℓ.

10. Un generador de corriente alterna esta formado por una bobina circular de 25vueltas y radio a = 140mm que gira con una velocidad angular ω = 300 rad · s−1

en un campo magnetico B = 0, 2T. Determinar la fem de pico, la frecuencia y elperiodo de la fem generada.Solucion: E0 = 92V, f = 48Hz, T = 0, 021 s.

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Capıtulo 12

Ondas electromagneticas

12.1. Ecuaciones de Maxwell

Hasta ahora hemos estudiado las leyes que rigen el comportamiento de cargas y co-rrientes y su relacion con los campos electricos y magneticos. Estas leyes conformanlas llamadas ecuaciones de Maxwell, que constituyen una descripcion completa de losfenomenos electromagneticos a nivel clasico (bajo hipotesis de comportamiento nocuantico de partıculas y campos).

Ley de Gauss del campo electrico

La primera ecuacion de Maxwell corresponde a la ley de Gauss del campo electrico,que vimos en el capıtulo 5 y que es la expresion matematica del hecho de que lasfuentes y sumideros de lıneas de campo electrico son las cargas electricas. Esta leydice que el flujo electrico a traves de una superficie cerrada S es igual a la carga totalQint encerrada por ella dividida por ε0,

Φe =

S

E · dS =Qint

ε0, (12.1)

donde dS = dS n es el elemento vectorial de area de la superficie, siendo n un vectorunitario normal exterior a la superficie S en cada punto y dS el area de un trozoinfinitesimal de la superficie en torno a ese punto. El cırculo en el sımbolo de laintegral es una manera de indicar que S ha de ser una superficie cerrada. En lafigura 12.1 se observa una superficie gaussiana S, su vector normal en un punto n yel campo electrico E en ese mismo punto.

En

S

Figura 12.1. Una superficie gaussiana (cerrada), el valor del vector normal exterior y el

campo electrico en uno de sus puntos. En general, ambos vectores no son paralelos, como se

puede ver.

149

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150 Ondas electromagneticas

E

Bn

ut

C

S

Figura 12.2. Una trayectoria cerrada C y una superficie S encerrada por C. Se indican

el vector tangente ut (paralelo al desplazamiento dr a lo largo de C), el campo electrico E

en un punto de C, el vector normal n (paralelo al elemento vectorial de superficie dS), y el

campo magnetico B en un punto de S. Notese que los sentidos del vector tangente a C y el

vector normal a S estan relacionados entre sı por la regla del sacacorchos.

Ley de Gauss del campo magnetico

Como vimos en el capıtulo 9, las lıneas de campo magnetico son siempre lıneas cerra-das, o dicho de otro modo, no existen o no se han encontrado monopolos magneticos(cargas magneticas aisladas). Esto implica que toda lınea magnetica que entra enuna superficie cerrada tiene que salir necesariamente de ella. Como consecuencia, elflujo magnetico a traves de una superficie cerrada sera siempre cero. La expresionmatematica de esta ley es

Φm =

S

B · dS = 0. (12.2)

Ley de Faraday

La tercera ecuacion fundamental es la ley de Faraday de la induccion: existe una feminducida en un circuito cuando el flujo magnetico a traves de la superficie encerradapor el circuito varıa en el tiempo.

La fem inducida en un circuito cerrado C se puede escribir en funcion del campoelectrico E,

Eind =

C

E · dr, (12.3)

siendo dr un desplazamiento infinitesimal a lo largo del circuito con el sentido dela corriente inducida. Se puede escribir tambien el flujo magnetico a traves de unasuperficie S encerrada por C como

Φm =

S

B · dS, (12.4)

donde dS = dS n es un vector infinitesimal de superficie. La ley de Faraday se expresaentonces matematicamente como

C

E · dr = − d

dt

S

B · dS, (12.5)

en donde la regla del tornillo determina la relacion entre el sentido del vector normala la superficie S y el del vector tangente a la curva C. En la figura 12.2 tenemos unejemplo de trayectoria cerrada C y una superficie S encerrada por ella.

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Ecuaciones de Maxwell 151

Ley de Ampere-Maxwell

La ultima ecuacion de Maxwell es una generalizacion de la ley de Ampere que vimosen el capıtulo 9: la circulacion de un campo magnetico a lo largo de una curva cerradaC es igual a µ0 veces la corriente IC que atraviesa la superficie encerrada por la curva.Dada una curva cerrada orientada C (con un sentido de giro determinado a lo largode ella), su circulacion se escribe

Υ =

C

B · dr, (12.6)

siendo el desplazamiento infinitesimal dr paralelo en cada punto de C al vector tan-gente ut. De este modo, la ley de Ampere se puede escribir

C

B · dr = µ0IC . (12.7)

Para que esta ley sea valida es necesario que la corriente IC sea continua, es decir,que no se interrumpa en ningun punto.

Interesa escribir la corriente IC que atraviesa una superficie S encerrada por Cen funcion del vector densidad de corriente j, definido en el capıtulo 7. La relacionentre la corriente que atraviesa una superficie y el vector densidad de corriente en ellaera

IC =

S

j · dS. (12.8)

La ley de Ampere (12.7) queda escrita entonces como∮

C

B · dr = µ0

S

j · dS. (12.9)

En esta ecuacion, j esta relacionada con todas las corrientes que atraviesan la superficieS, tanto si son corrientes en un conductor como si son corrientes de magnetizacionen un material. Tambien aquı la regla del sacacorchos relaciona el sentido del vectornormal a la superficie S en dS con el del vector tangente a C en dr. Un ejemplo deaplicacion de esta ley es la propia figura 12.2, sustituyendo el campo electrico de lafigura por el campo magnetico, y el campo magnetico de la figura por la densidad decorriente j.

Sin embargo, la ley de Ampere, tal como esta escrita en la ecuacion (12.9), esincompleta, basicamente porque necesita que la corriente sea continua. Para verlo,basta considerar una superficie S cerrada. En este caso, la circulacion del campomagnetico ha de ser nula, pues no hay una curva C que delimite una superficie yacerrada. Obviamente, esto significa que

S

j · dS = 0. (12.10)

Esta ecuacion no puede ser cierta en todos los casos. Si una corriente esta cargandouna placa conductora a traves de un hilo y S es una superficie cerrada que encierrala placa, existe un flujo de corriente a traves de S que es la carga que la atraviesa porunidad de tiempo, es decir, hemos de sustituir la ecuacion (12.10) por la igualdad

S

j · dS = −dq

dt, (12.11)

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152 Ondas electromagneticas

donde q es la carga que entra en S. Por la ley de Gauss (12.1), esto se puede escribircomo ∮

S

j · dS+d

dtε0

S

E · dS = 0. (12.12)

Este ejemplo permitio a James Clerk Maxwell generalizar la expresion (12.9) paraincluir el caso de una corriente discontinua. La solucion es sustituir el segundo terminode la ley de Ampere (12.9) por el que aparece en la ecuacion (12.12). Resulta entoncesla ecuacion ∮

C

B · dr = µ0

S

j · dS+ ε0µ0

d

dt

S

E · dS, (12.13)

que es la cuarta ecuacion general del electromagnetismo, y que se conoce con el nombrede ley de Ampere-Maxwell. En ella, el ultimo sumando de la ecuacion (12.13) se llamacorriente de desplazamiento.

Las ecuaciones fundamentales (12.1), (12.2), (12.5) y (12.13) se llaman ecuacionesde Maxwell, y constituyen seguramente uno de los mayores logros en la historia de lafısica teorica.

Ecuaciones del electromagnetismo estatico

Cuando los campos electrico y magnetico no varıan en el tiempo, se tiene el casoestatico. Las derivadas de ambos campos respecto al tiempo son nulas y las ecuacionesde Maxwell (12.1), (12.2), (12.5) y (12.13) quedan reducidas a

S

E · dS =Qint

ε0, (12.14)

S

B · dS = 0, (12.15)

C

E · dr = 0, (12.16)

C

B · dr = µ0

S

j · dS. (12.17)

Las dos primeras ecuaciones resultan inalteradas. Esto es logico, porque reflejan elhecho de que las fuentes y sumideros de lıneas de campo electrico son las cargaselectricas, y que el campo magnetico no tiene fuentes ni sumideros.

Por su parte, la ecuacion (12.16) establece que la circulacion de un campo electri-co estatico a lo largo de una curva cerrada es cero. Esto indica que el campo electri-co estatico es conservativo, es decir, se puede escribir en terminos de un potencialelectrostatico. Por ultimo, la ecuacion (12.17) es la ley de Ampere para el campomagnetico estatico. Las ecuaciones estaticas separan completamente electricidad ymagnetismo, tratandolo como si fueran fenomenos diferentes.

12.2. Movimiento ondulatorio

Las ecuaciones de Maxwell, ademas de resumir todas las leyes del electromagnetismo,son capaces de predecir tambien la existencia de ondas electromagneticas. Antes de

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Movimiento ondulatorio 153

estudiar estas soluciones de las ecuaciones de Maxwell, veamos algunas propiedadesgenerales de las ondas.

Cuando se produce una perturbacion de las propiedades de un medio material enun punto de este medio que llamaremos foco, esta perturbacion se propaga a resto delos puntos del medio con un retraso que depende de la distancia al foco. Al movimientode la perturbacion en el medio se le llama movimiento ondulatorio u onda.

En una onda no se propaga materia, sino energıa. Los puntos del medio a loscuales la perturbacion llega en el mismo instante de tiempo tienen el mismo estadode perturbacion y constituyen lo que se denomina frente de onda. Segun la formageometrica de los frentes de onda, se dice que las ondas son planas, cilındricas, esferi-cas, etc.

La perturbacion que se propaga puede ser una magnitud escalar, o una magnitudvectorial. Si la direccion en la cual varıa esta magnitud coincide con la direccion depropagacion de la misma, se dice que tenemos ondas longitudinales, como las ondassonoras. Si, por otro lado, la direccion en la cual varıa la magnitud es perpendiculara la direccion de propagacion de la misma, se dice que es una onda transversal, comolas ondas en la superficie de un lıquido.

Ondas escalares en una dimension

Para describir el movimiento ondulatorio en una dimension espacial, que tomaremoscomo eje x, necesitamos conocer la funcion y(x, t) que da el estado y de la perturbacionpara cada punto x del eje de propagacion en cada instante de tiempo t. Se elige elorigen de coordenadas de modo que el foco de la perturbacion se encuentra en elpunto x = 0.

Supongamos que, en el instante inicial t = 0, el estado de la perturbacion esta da-do por y(x, 0) = f(x). Si la perturbacion se propaga a velocidad constante v, llamadavelocidad de propagacion, y ademas la perturbacion no se ve atenuada al propagarse,entonces en el instante t habra recorrido una distancia vt a lo largo del eje x positivo,y tendra un estado dado por y(x, t) = f(x − vt). Por su parte, para los puntos deleje x negativo, podemos cambiar el signo a la velocidad y decir que el estado de laperturbacion es y(x, t) = f(x+ v t).

Por el teorema de Fourier, existe una manera de descomponer las ondas unidimen-sionales que hemos visto en suma de ondas armonicas, en las cuales la perturbacioninicial f(x) es una funcion sinusoidal. Las ondas armonicas unidimensionales que sepropagan sin atenuarse a lo largo del eje x positivo se pueden escribir como

y(x, t) = A sen k(x− v t), (12.18)

siendo A la amplitud de la onda (el valor maximo que puede tomar la perturbacionen cada punto), y k el numero de onda, con unidades de inversa de longitud. En lafigura 12.3 podemos ver el aspecto de la perturbacion y en el instante inicial t = 0 yen un instante posterior t. Se observa que, en cada punto del eje, la perturbacion yrealiza un movimiento periodico entre los valores y = −A e y = A. La distancia en eleje x de propagacion entre dos puntos consecutivos que, en todo momento, tienen elmismo estado de perturbacion se llama longitud de onda λ. Estos dos puntos debensatisfacer la condicion y(x, t) = y(x+ λ, t). Usando la expresion (12.18) para la onda

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154 Ondas electromagneticas

−A

0

A

x

yt0

t1

t0

t1

λ

Figura 12.3. Perturbacion armonica unidimensional para el instante inicial t = 0 y para un

instante posterior t. La longitud de onda λ es la distancia entre dos puntos consecutivos con

el mismo estado de perturbacion.

armonica, esta condicion se concreta en

A sen k(x− v t) = A sen k(x+ λ− v t), (12.19)

de donde kλ = 2π, o bien

λ =2π

k. (12.20)

El numero de onda k es el numero de longitudes de onda en la distancia 2π.Por otro lado, dada la periodicidad del movimiento en cada punto del eje de

propagacion, podemos definir el periodo T como el tiempo que tarda cada punto envolver a un estado de perturbacion dado. Por la expresion (12.18), se ha de cumplir

A sen k(x− v t) = A sen k(x− v t− v T ), (12.21)

por lo que

T =2π

kv=

λ

v. (12.22)

La frecuencia temporal f de la perturbacion armonica, que es el numero de veces quela perturbacion en un punto repite su estado durante 1 s, es la inversa del periodo,

f =1

T=

k v

2π=

v

λ, (12.23)

y su unidad SI es el Herzio (Hz). La frecuencia angular ω se define como

ω = 2π f =2π

T= k v, (12.24)

y su unidad SI es 1 rad · s−1.Dada la definicion (12.24) de la frecuencia angular, se puede escribir la pertur-

bacion armonica unidimensional que se propaga a lo largo del eje x positivo de laforma

y(x, t) = A sen (k x− ω t), (12.25)

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Ondas electromagneticas en el vacıo 155

donde la velocidad de propagacion de la perturbacion es

v =ω

k=

λ

T. (12.26)

Ondas escalares en varias dimensiones

En dos dimensiones, una perturbacion escalar en un medio queda descrita medianteuna funcion h(x, y, t). Ondas en dos dimensiones aparecen, por ejemplo, cuando ti-ramos una piedra al centro de un estanque. Se suelen denominar, segun la forma desu frente de ondas, planas, circulares, etc. En tres dimensiones una onda esta des-crita mediante una funcion h(x, y, z, t) = h(r, t). Existen ondas esfericas, cilındricas,planas, elipsoidales, etc. Por ejemplo, la onda unidimensional dada por la ecuacion(12.25) es una onda plana, pues sus frentes son los planos ortogonales al eje x en cadapunto.

En general, una onda plana en tres dimensiones, con foco en el origen, que sepropaga con velocidad v a lo largo del eje dado por un vector unitario u, se puedeescribir como

h(r, t) = f(u · r− v t). (12.27)

Vemos que, si u = i, tenemos la onda en el eje x. En el caso de una onda plana

armonica en tres dimensiones, la funcion f es de tipo sinusoidal, de modo que podemosexpresar el estado de la perturbacion como

h(r, t) = A sen k(u · r− v t), (12.28)

o bien, en terminos de la frecuencia angular ω = k v, y del vector de onda k = k u,

h(r, t) = A sen (k · r− ω t). (12.29)

12.3. Ondas electromagneticas en el vacıo

Las ecuaciones de Maxwell, ademas de resumir todas las leyes del electromagnetismoque hemos visto hasta ahora, son capaces de predecir tambien la existencia de lasondas electromagneticas y de explicar como se propaga la luz.

Ecuaciones de Maxwell en el vacıo

Cuando consideramos el comportamiento de los campos electrico y magnetico en unaregion del espacio vacıo lejos de las cargas y corrientes que los han creado, decimosque estamos estudiando los campos en el vacıo. El conocimiento de estos campos esimportante para establecer conclusiones sobre la radiacion electromagnetica, es decir,la propagacion de energıa electrica y magnetica a traves del espacio. Si tomamos las

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156 Ondas electromagneticas

ecuaciones de Maxwell en una region donde q = 0 y j = 0, llegamos a las ecuaciones

S

E · dS = 0, (12.30)

S

B · dS = 0, (12.31)

C

E · dr = − d

dt

S

B · dS, (12.32)

C

B · dr = ε0µ0

d

dt

S

E · dS. (12.33)

Las soluciones de estas ecuaciones para el campo electrico y el campo magnetico encada punto del espacio r y en cada instante de tiempo t constituyen las llamadas ondaselectromagneticas. Debido a que en las ecuaciones (12.32) y (12.33), las variacionestemporales del campo electrico dan lugar a variaciones espaciales del campo magneticoy a la inversa, la radiacion electromagnetica es capaz de mantenerse por sı misma,viajando grandes distancias a traves del espacio.

Como hemos visto en el apartado 12.2, las ondas se pueden escribir en el espaciocomo una composicion de ondas planas armonicas en tres dimensiones. Sera suficien-te para nosotros comprobar que condiciones imponen las ecuaciones de Maxwell enel vacıo (12.30)–(12.33) a los campos electrico y magnetico dados por este tipo deondas. En este caso, en lugar de ondas escalares como las de la ecuacion (12.29), laperturbacion que se propaga esta formada por dos vectores (los campos electrico ymagnetico). Escribiremos las ondas electromagneticas planas armonicas como

E = E0 sen (k · r− ω t), (12.34)

B = B0 sen (k · r− ω t). (12.35)

En estas expresiones, como en la ecuacion (12.29), el vector r indica el punto delespacio y t es el instante de tiempo considerados. El vector k es el vector de onda ysu direccion y sentido nos dice hacia donde se propaga la radiacion electromagnetica,y ω es la frecuencia angular. E0 y B0 son vectores que supondremos constantes y querepresentan las amplitudes vectoriales de los campos electrico y magnetico respecti-vamente. Estas ondas se llaman monocromaticas.

Para simplificar los calculos, podemos elegir nuestro sistema de referencia de talmanera que la onda se propaga a lo largo del eje z en sentido positivo. En este caso,las ecuaciones (12.34) y (12.35) resultan

E = E0 sen (kz − ωt), (12.36)

B = B0 sen (kz − ωt). (12.37)

Condiciones impuestas por la ley de Gauss

Veamos las condiciones que la ley de Gauss para los campos electrico y magnetico enel vacıo imponen sobre las ondas monocromaticas dadas por las ecuaciones (12.36) y(12.37). La ley de Gauss para el campo electrico en el vacıo esta dada por la ecuacion(12.30), y el campo electrico es el de la ecuacion (12.36).

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Ondas electromagneticas en el vacıo 157

z

y

x

L

Figura 12.4. Un cubo de lado L con centro en el origen para aplicar la ley de Gauss.

Consideremos, como superficie gaussiana, un cubo de lado L con centro en el ori-gen y con aristas paralelas a los ejes de coordenadas, tal como vemos en la figura 12.4.El vector constante E0 en funcion de sus coordenadas es

E0 = E0x i+ E0y j+ E0z k. (12.38)

El flujo a traves del cubo de la figura 12.4 es igual a la suma de los flujos a travesde cada una de sus caras. Para que este flujo sea igual a cero, cumpliendo la ley deGauss, se ha de imponer (ver Ejercicios) que

E0z = 0, (12.39)

es decir, el campo electrico ha de ser perpendicular a la direccion de propagacion (queera el eje z). En general, esta condicion se puede escribir

E0 · k = 0. (12.40)

De la misma manera, para que la ley de Gauss se mantenga para el campo magneticoB de una onda plana armonica, se ha de cumplir que sea perpendicular a la direccionde propagacion de la onda,

B0 · k = 0. (12.41)

Condiciones impuestas por la ley de Faraday

Pasemos ahora a examinar la ley de Faraday (12.32) para los campos en el vacıo dadospor las expresiones (12.36) y (12.37), en donde, por la ley de Gauss, ya sabemos quetanto E0 como B0 no tienen componente z, esto es,

E0 = E0x i+ E0y j, (12.42)

B0 = B0x i+B0y j. (12.43)

Para aplicar la ley de Faraday, consideremos, por ejemplo, la curva de la figura 12.5,que es un cuadrado de lado L en el plano yz y centrado en el origen, con orientacionantihoraria.

La circulacion del campo electrico (12.36) a lo largo del cuadrado C de la figu-ra 12.5 resulta (ver Ejercicios),

C

E · dl = −2E0yL sen

(k L

2

)cos (ω t). (12.44)

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158 Ondas electromagneticas

z

y

x

L

n

Figura 12.5. Un cuadrado de lado L en el plano yz y con centro en el origen para aplicar

la ley de Faraday.

Por otro lado, el flujo del campo magnetico (12.37) a traves de la superficie queencierra el cuadrado de la figura 12.5 es (ver Ejercicios)

S

B · dS = −2B0xL

ksen

(k L

2

)sen (ω t). (12.45)

Ahora, segun la ley de Faraday (12.32), la derivada temporal de este flujo, cambiadade signo, ha de ser igual a la circulacion (12.44). Haciendo la derivada con respectoal tiempo del flujo magnetico (12.45), y cambiando el signo, resulta

− d

dt

S

B · dS = 2B0xLω

Ksen

(k L

2

)cos (ω t). (12.46)

Igualando esto a la circulacion del campo electrico (12.44), llegamos a la conclusion

B0x = − k

ωE0y, (12.47)

lo cual relaciona una componente del campo electrico con otra del campo magnetico.Podrıamos haber realizado estas operaciones para otra trayectoria C. Si lo hacemospara un cuadrado de lado L en el plano xz y con centro en el origen, llegaremos a unaconclusion muy parecida a la de la ecuacion (12.47). En concreto, obtendremos que

B0y =k

ωE0x. (12.48)

Una manera sencilla de cumplir las condiciones (12.47) y (12.48) es tomar el sistemade referencia de tal modo que el campo electrico vaya en la direccion del eje x y elcampo magnetico vaya en la direccion del eje y. En este caso, la ecuacion (12.48) esuna relacion entre las componentes no nulas de ambos campos. Resulta entonces

E0 = E0 i, (12.49)

B0 = B0 j =k

ωE0 j. (12.50)

En consecuencia, la ley de Faraday determina los vectores E0 y B0, que solo dependende la amplitud E0 (dada por las condiciones iniciales de un problema concreto).

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Ondas electromagneticas en el vacıo 159

B

x

z

y

E

Figura 12.6. Evolucion temporal y espacial de una onda plana armonica. La direccion de

propagacion es el eje z, la direccion del campo electrico es el eje x, y la del campo magnetico

es el eje y. El periodo temporal de los campos es T = 2π/ω, y la longitud de onda es

λ = 2π/k.

Las leyes de Gauss y de Faraday nos han permitido establecer la siguiente conclu-sion importante: en una onda plana armonica en el vacıo, los vectores k (que determinala direccion de propagacion de la onda electromagnetica), E y B son mutuamente or-togonales. Ademas, los modulos del campo electrico E y el campo magnetico B estanrelacionados mediante la ecuacion

|B||E| =

k

ω. (12.51)

Una imagen de la evolucion temporal y espacial de los campos electrico y magneticode una onda plana armonica se ve en la figura 12.6. Para cada punto del espacio,las intensidades de los campos varıan en el tiempo de manera periodica y sinusoidal,con un periodo que esta relacionado con la frecuencia angular ω segun la formulaT = 2π/ω. De la misma forma, en cada instante de tiempo, la variacion de los camposcon el punto z del espacio es segun una funcion periodica sinusoidal, cuyo periodoespacial o longitud de onda es λ = 2π/k. En la figura se observa como es posibleque los campos sean ortogonales a la direccion de propagacion de la onda. Las ondaselectromagneticas son un ejemplo importante de este tipo de comportamiento en lanaturaleza, que en general se denomina onda transversal.

Condiciones impuestas por la ley de Ampere-Maxwell

Las leyes de Gauss y Faraday permiten obtener, para una onda electromagnetica planaarmonica en el vacıo que se propaga a lo largo del eje z positivo, las expresiones

E = E0 sen (k z − ω t) i, (12.52)

B =k

ωE0 sen (k z − ω t) j, (12.53)

y aun nos falta satisfacer la ley de Ampere-Maxwell,∮

C

B · dr = ε0µ0

d

dt

S

E · dS. (12.54)

Si C es la trayectoria de la figura 12.5 y S es la superficie plana encerrada por C, sellega a la condicion (ver Ejercicios)

k

ωE0 = ε0µ0

ω

kE0, (12.55)

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160 Ondas electromagneticas

Region Longitud de onda (m) Frecuencia (Hz)

Radio > 0,01 < 3× 109

Microondas 0,01− 10−4 3×109 − 3× 1012

Infrarrojo 10−4 − 7× 10−7 3× 1012 − 4,3× 1014

Visible 7×10−7 − 4× 10−7 4,3× 1014 − 7,5× 1014

Ultravioleta 4×10−7 − 10−9 7,5× 1014 − 3× 1017

Rayos X 10−9 − 10−11 3× 1017 − 3× 1019

Rayos gamma < 10−11 > 3× 1019

Tabla 12.1. Espectro electromagnetico.

es decir, (ωk

)2=

1

ε0µ0

. (12.56)

El valor numerico del producto de la permitividad y la permeabilidad del vacıo esigual al inverso de la velocidad de la luz en el vacıo c al cuadrado. Por tanto,

ω

k=

√1

ε0µ0

= c, (12.57)

donde c = 3× 108 m · s−1. Dado que, en una onda plana armonica, la cantidad ω/k esla velocidad de propagacion de la onda, como vimos en la ecuacion (12.26), las ondaselectromagneticas se propagan a una velocidad igual a c .

Hemos obtenido, finalmente, una solucion de las ecuaciones de Maxwell en elvacıo en forma de onda plana armonica propagandose a la velocidad de la luz c a lolargo del eje z. Esta solucion es

E = E0 sen k(z − c t) i, (12.58)

B =E0

csen k(z − ct) j, (12.59)

en donde el valor de k viene determinado por la frecuencia f de la onda segun

k =2π f

c. (12.60)

Como las ondas electromagneticas se propagan a la velocidad de la luz, Maxwellinfirio que la luz es una forma de radiacion electromagnetica.

12.4. Espectro electromagnetico

El espectro electromagnetico esta formado por las diferentes formas en que aparecenlas ondas electromagneticas. En el espectro, estas ondas estan caracterizadas por sufrecuencia f o bien por su longitud de onda λ = c/f . En la tabla 12.1 se muestranlas frecuencias tıpicas de las diferentes formas en que aparece la radiacion electro-magnetica.

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Ejercicios 161

λ (10 m)764 8 102

ultravioleta infrarrojo

luz visibleE

Figura 12.7. Energıa emitida por el Sol en funcion de la frecuencia.

Las radiacion de menor frecuencia y mayor longitud de onda esta constituida porlas ondas de radio: para longitudes de onda del orden de centımetros tenemos ondasde radar, para longitudes del orden de metros tenemos ondas de television (TV) y defrecuencia modulada (FM) y longitudes de onda del orden de kilometros correspondena onda media.

La radiacion de microondas tiene mayor frecuencia que la de radio y se producetıpicamente en circuitos electricos. Este tipo de radiacion tiene una frecuencia cercanaa la de resonancia de las moleculas de agua.

Lo que se conoce normalmente como luz aparece en tres regiones del espectroelectromagnetico. La de menor frecuencia de las tres es la radiacion infrarroja, que seproduce por las vibraciones de los atomos o moleculas de los cuerpos a una tempera-tura dada. Mas frecuencia tiene la luz visible y ultravioleta, generadas en transicionesentre estados energeticos de los electrones en los atomos.

A mayor frecuencia resultan los rayos X, que se emiten cuando se bombardeanmetales con electrones muy energeticos. Tienen aplicaciones medicas y se usan parainvestigar la estructura atomica. La radiacion de mayor frecuencia son los rayos gam-ma. Se producen en transiciones nucleares y tienen un enorme poder de penetracionen la materia.

En la figura 12.7 se muestra muy esquematicamente la energıa emitida por elSol en funcion de la frecuencia de emision. Como vemos, el maximo de esta energıaaparece a frecuencias correspondientes a la luz visible, es decir, aquellas frecuenciaspara las cuales el ojo humano es sensible. Ademas es una coincidencia muy importantepara la vida que la atmosfera de la Tierra sea practicamente transparente a estasmismas frecuencias (deja pasar la radiacion correspondiente a la luz visible), algoque no ocurre, afortunadamente para la vida en la Tierra, con casi toda la radiacionultravioleta e infrarroja.

12.5. Ejercicios

1. Demostrar que, para que el campo electrico dado por la ecuacion (12.38), satisfagala ley de Gauss en el vacıo, dada por la ecuacion (12.30), a traves del cubo de lafigura 12.4, ha de cumplirse la ecuacion (12.39).

2. Dado el campo electrico (12.36), con E0 = E0x i+E0y j, y dada la curva orientadade la figura 12.5, demostrar que la circulacion del campo a lo largo de la curvaesta dada por la ecuacion (12.44).

3. Dado el campo magnetico (12.37), con B0 = B0x i + B0y j, y dada la superficieencerrada por el cuadrado de la figura 12.5, demostrar que el flujo magnetico a

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162 Ondas electromagneticas

traves de la superficie esta dado por la ecuacion (12.45).4. Dadas las expresiones (12.52) y (12.53) para los campos electrico y magnetico de

una onda plana armonica, aplicar la ley de Ampere-Maxwell dada por la ecuacion(12.54) al circuito de la figura 12.5 y demostrar que se ha de cumplir la condicion(12.55).

5. Se llama vector de Poynting de una onda electromagnetica al vector P = 1/µ0 E×B. Este vector describe adecuadamente el flujo de energıa propagada por la onda.Calcular el vector de Poynting para la onda monocromatica dada por las ecua-ciones (12.58) y (12.59) y hacer un diagrama de su intensidad frente al punto delespacio z para t = 0.Solucion: P = E2

0/(µ0c) sen2 k(z − ct)k.

6. Cierta luz amarilla tiene una longitud de onda λ = 6 × 10−7 m. Determinar sufrecuencia, su periodo y el modulo de su vector de onda.Solucion: f = 5× 1014 Hz, T = 2× 10−15 s, k = 1, 05× 107 rad ·m−1.

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Capıtulo 13

Circuitos elementales

13.1. Elementos localizados

En este capıtulo comenzamos el estudio de la teorıa de circuitos. Un circuito no esmas que una interconexion de componentes electricos y electronicos que realizan unadeterminada funcion. Los campos electromagneticos asociados o producidos en uncircuito tienen una variacion temporal y espacial que estan relacionadas entre sı porla velocidad de la luz. Si el periodo T de variacion de estos campos es suficientementegrande, entonces la longitud espacial λ = cT asociada a la variacion del campo (dondec es la velocidad de la luz) sera mucho mayor que la longitud asociada a los elementosdel circuito, con lo cual podremos emplear la teorıa de elementos localizados.

En condiciones de parametros localizados, las leyes del electromagnetismo se con-sideran validas en su aproximacion cuasiestacionaria, salvo para determinados elemen-tos, como pudieran ser condensadores o inductores, en donde la variacion temporal hade tenerse en cuenta. Sin embargo, incluso empleando esta aproximacion en circuitosmuy simples, debido a que las condiciones de contorno son complicadas, serıa muydifıcil calcular los campos. La teorıa de circuitos da un conocimiento mucho menosdetallado pero permite obtener las magnitudes que interesan, esto es la potencia yel intercambio energetico entre los componentes del circuito, en funcion de voltajes eintensidades.

Figura 13.1. Circuito simple en el que se transporta energıa desde un generador a una carga

a traves de un circuito que pasa por una pared conductora.

163

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164 Circuitos elementales

A B

Figura 13.2. Dos elementos conectados en paralelo formando un circuito. Los puntos A y

B son nodos.

En la figura 13.1 podemos ver un circuito simple en el que se ha dibujado el flujode energıa a frecuencia moderada. La baterıa proporciona voltaje y por la resistenciacircula corriente. Esta descripcion es equivalente a la descripcion en funcion de cam-pos, en la que el circuito actua como una especie de guıa de la energıa transportadapor los campos de la fuente a la resistencia. Vemos que, a frecuencias moderadas, unaparte de la energıa se extiende al espacio alrededor del circuito. Pero, a frecuenciassuficientemente altas, la energıa se puede irradiar a casi todo el espacio y el circuitose convierte en una antena. En este ultimo caso el modelo de elementos localizadosdeja de servir.

13.2. Leyes de Kirchhoff

Un circuito es un camino cerrado formado por dispositivos electricos y electronicosconectados entre sı mediante cables conductores. Cada uno de los dispositivos de uncircuito esta asociado a una representacion simbolica en un diagrama. Ası, los cablesconductores se representan en los circuitos mediante lıneas.

Para proporcionar energıa al circuito se requiere una fuente de voltaje o fuentede fem, como por ejemplo una baterıa, un alternador, una dinamo, una celula solar,etc. Este dispositivo funciona transformando energıa (quımica, mecanica, solar, etc)en la energıa electrica necesaria para proporcionar una diferencia de potencial entresus terminales, conectados al resto del circuito. De esta manera, en el circuito apareceuna corriente electrica, es decir, un flujo de electrones, que se mantiene mientras lafuente de voltaje mantenga la diferencia de potencial.

El sentido de la corriente electrica se toma por razones historicas como el opuestoal del movimiento de los electrones, de manera que la corriente va desde el terminalpositivo de la fuente de voltaje hacia el terminal negativo a traves del circuito (ydesde el terminal negativo hasta el positivo por el interior de la fuente de voltaje).

Un par de reglas codifican las relaciones entre intensidades y entre voltajes en uncircuito:

La suma de las corrientes que entran en un punto de union de varios elementosen un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen. Los ingenieros suelenreferirse a este punto como un nodo (el punto A en la figura 13.2 es uno de talespuntos). Esta regla no es mas que la ley de conservacion de la carga expresadapara circuitos. Se conoce como ley de Kirchhoff para las corrientes.Elementos conectados en paralelo tienen la misma diferencia de potencial entresus extremos. En la figura 13.2 podemos ver a la izquierda que el salto de potencialde A a B a traves del camino de arriba sera igual al salto a traves del camino deabajo. Esta regla o ley de Kirchhoff para los voltajes, se enuncia tambien como:

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Resistencias 165

I1I2

I4I3

+−

+−+−

+−

+ −V1

V2

V3V4

V5

Figura 13.3. Leyes de Kirchhoff. La suma de las corrientes que entran en un nodo tiene que

ser igual a la suma de las que salen. En el caso de la izquierda I2 = I1 + I3 + I4. A traves

de un camino cerrado, la suma de los voltajes vale cero. En el caso de la derecha tendrıamos

V1 + V2 + V3 + V4 + V5 = 0.

la suma de las diferencias de voltaje a traves de un circuito cerrado vale cero, yaque si vamos de A a B por arriba y volvemos de B a A por abajo, el cambio depotencial experimentado es nulo.

Detras de estas dos reglas subyace la hipotesis de parametros localizados de la quehablabamos al principio. Ası la primera y la segunda ley pueden derivarse de formarigurosa a partir de las ecuaciones de la conservacion de la carga y de la relacion entrecampo y potencial. En la figura 13.3 podemos ver graficamente representadas estasleyes.

13.3. Resistencias

En electronica, lo importante es la relacion entre el voltaje y la corriente en un circuito.El juego consiste en fabricar y hacer uso de dispositivos con distintas caracterısticasde corriente I frente a voltaje V .

Como vimos en el capıtulo 7, la ley de Ohm dice que, para determinados dis-positivos, cuando por ellos pasa una corriente electrica I debida a una diferencia depotencial V que se le ha aplicado, existe una relacion dada por

V = RI, (13.1)

siendo R la resistencia electrica del dispositivo. A los dispositivos electronicos quecumplen esta relacion lineal entre la corriente I que circula por ellos y la diferenciade voltaje V aplicado a sus terminales, se les suele llamar resistencias (en ingles, sedistingue con nombres distintos el dispositivo, resistor, y la propiedad fısica, resistan-ce, pero no en espa nol - esperemos que, por el contexto, en lo que sigue quede claro).La ley de Ohm no se aplica a todos los dispositivos. Hay dispositivos, tales comocondensadores, inductores, etc, que cumplen otras relaciones como veremos despues.Normalmente los fabricantes hacen resistencias de determinados valores y garantizanla exactitud de estos valores dentro de cierto rango llamado de tolerancia. Si un fabri-cante asegura que una resistencia tiene de valor nominal R y una tolerancia del 5%,significa que el valor de la resistencia, en las condiciones de trabajo habituales, es elque dice salvo un error de ±0,05×R en la unidades en las que R este dada.

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166 Circuitos elementales

V

R

I

Figura 13.4. Ley de Ohm

Resulta a veces util recurrir a la analogıa de la corriente electrica como una co-rriente de agua (se trata, despues de todo, de un fluido de electrones). En la figura 13.4,podemos ver de manera grafica la ley de Ohm. La fuente de voltaje proporciona el des-nivel necesario (potencial) para que el agua (la corriente) fluya a traves de la tuberıa(resistencia).

Al atravesar la corriente electrica una resistencia, se disipa energıa en forma decalor. La potencia disipada viene dada por la expresion

P = IV. (13.2)

Para el caso de una resistencia, usando la ley de Ohm, las siguientes formas sonequivalentes:

P = I2R =V 2

R. (13.3)

Obviamente, el dispositivo que proporciona la energıa que disipa una resistencia enun circuito es la fuente de voltaje. La potencia que suministra una fuente de voltajea un circuito viene dada tambien por la ecuacion (13.2), siendo I la corriente queatraviesa la fuente y V la diferencia de potencial entre sus terminales.

13.4. Resistencias en serie y en paralelo

Vamos a ver un par de aplicaciones de las leyes de Kirchhoff y la de Ohm para cal-cular asociaciones de resistencias de manera que varias de ellas se puedan sustituirpor otra equivalente o viceversa. La industria fabrica resistencias con unos determina-dos valores y, normalmente, en las aplicaciones se necesitan otros. Para resolver esteproblema, una buena opcion es obtener el valor deseado mediante combinaciones deotras resistencias, bien en serie o bien en paralelo.

Veamos primero la asociacion en serie de dos resistencias, que se conectan comose ve en la figura 13.5. En este caso, el conjunto de las dos resistencias se comportaen un circuito como si hubiera una sola resistencia equivalente cuyo valor es igual ala suma de las resistencias individuales,

RT = R1 +R2. (13.4)

La expresion (13.4) se puede entender de manera intuitiva: si vamos por un caminoque ofrece cierta resistencia en una parte y otra resistencia en el resto, la dificultad

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Divisor de voltaje 167

R1 R2

Figura 13.5. Asociacion en serie

R1

R2

Figura 13.6. Asociacion en paralelo

de recorrer el camino total sera la suma de la dificultad de cada parte. Para probar larelacion (13.4), podemos hacer uso de las leyes de Kirchhoff. Si cerramos el circuito dela figura 13.5 conectando sus terminales a los de una fuente de voltaje VT , podemosaplicar al punto de union de las dos resistencias la primera ley. Encontramos entoncesque I1 = I2 = IT , siendo I1 e I2 las corrientes que circulan por cada resistencia eIT la intensidad que circula por la fuente. Por otro lado, VT = V1 + V2 aplicando lasegunda ley, donde V1 y V2 son las caıdas de voltaje en cada resistencia. Hecho esto,y utilizando la ley de Ohm, encontramos el resultado (13.4).

En el caso de una asociacion en paralelo de dos resistencias, estas se conectan dela manera que se ve en la figura 13.6. Una forma intuitiva de obtener el valor de laresistencia equivalente se basa en el concepto de conductancia, que es la inversa de laresistencia, es decir, la facilidad de ir de un punto a otro. Si tenemos dos puntos unidospor varios caminos, la conductancia total dependera de la suma de las conductanciasde cada camino. Si escribimos esto en funcion de la resistencia, resulta

1

RT=

1

R1

+1

R2

. (13.5)

Para demostrarlo, podemos recurrir de nuevo a las reglas de Kirchhoff. Si conectamoslos terminales del circuito de la figura 13.6 a los de una fuente de voltaje VT , escogemosuno de los puntos de union de las dos resistencias, resulta IT = I1 + I2. La segundaley de Kirchhoff implica VT = V1 = V2. Usando ahora estas dos relaciones junto conla ley de Ohm obtenemos el resultado (13.5).

Es muy comun, al empezar a estudiar teorıa de circuitos, que se tienda a calculartodo mediante las formulas aprendidas. Pero aparte de que las formulas son a vecesdifıciles de recordar, los valores de las resistencias que uno tiene en el laboratoriono son exactos y tienen un porcentaje de tolerancia o error. Es por ello convenien-te desarrollar en las aplicaciones practicas algo de intuicion. Por ejemplo, si en unmontaje en serie una de las resistencias es mucho mayor que la otra, la mayor es laque va a dominar principalmente el comportamiento de la asociacion, y es importantecomprender esto sin necesidad de hacer ninguna cuenta. Por el contrario, en el casode una asociacion en paralelo es la menor la que domina.

13.5. Divisor de voltaje

Consideremos el circuito divisor de voltaje. Podemos ver el montaje de este circuitoen la figura 13.7, en donde Vin es un voltaje de entrada conocido que puede habersido proporcionado por una baterıa u otra fuente de voltaje. En la figura, Vin se tomacon respecto al llamado valor de tierra Vtierra, de manera que se puede considerar que

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168 Circuitos elementales

R1

R2 Vout

V in

Figura 13.7. Divisor de voltaje

el terminal negativo de la fuente tiene potencial Vtierra y el terminal positivo tienepotencial Vin + Vtierra.

Encontremos cual sera el voltaje de salida Vout en funcion del voltaje de entradaVin y las resistencias R1 y R2. De nuevo, Vout se toma con respecto al valor de tierraVtierra.

Una primera forma de calcular el voltaje de salida pasa por calcular primero laintensidad I a traves de las resistencias en serie. Una vez hecho esto, Vout = IR2

(para entender esta ultima expresion conviene observar en la figura 13.7 que Vout esigual a la diferencia de potencial V2 entre los terminales de la resistencia R2).

Una segunda manera, mas intuitiva, de calcular Vout se basa en utilizar implıcita-mente el hecho de que la corriente electrica es la misma a traves de las dos resistencias,por lo cual se cumple que

V2

V1 + V2

=IR2

IR1 + IR2

⇒ Vout = Vin

(R2

R1 +R2

)(13.6)

donde se ha usado que Vin = V1 + V2 y que Vout = V2.

Una tercera manera de obtener la expresion (13.6) es notar que, como las co-rrientes por las resistencias son iguales, las caıdas de voltaje son proporcionales a laspropias resistencias. Por ejemplo, si R2 es la mitad de la resistencia total, el voltajede salida sera la mitad del voltaje total. Si R2 es 10 veces mayor que R1, la salidasera aproximadamente el 90% del voltaje de entrada.

Este circuito tiene muchas aplicaciones. Si por ejemplo se dispone de una fuentede 12 V, y se desea alimentar un dispositivo que funciona a 5 V, normalmente seemplea un divisor para reducir el voltaje.

13.6. El puente de Wheatstone

El puente de Wheatstone es un circuito electrico que permite comparar resistenciasde una manera muy exacta. En la figura 13.8 podemos ver que el circuito es realmentesimple. Consiste de cuatro resistencias, conectadas en dos ramas paralelas, cada unade las cuales contiene dos resistencias en serie. Resolvamos primero el problema deencontrar la diferencia de potencial entre los puntos A y B. Existen varias formas, perouna rapida y elegante es la siguiente: cada rama se considera un divisor de voltaje,

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Multımetros 169

V0

R2R1

R4 R3

VA VB

Figura 13.8. Puente de Wheatstone

por lo cual podemos escribir

VA = V0

(R4

R1 +R4

), VB = V0

(R3

R2 +R3

), (13.7)

de manera que

VA − VB = V0

[R4R2 −R1R3

(R1 +R4)(R2 +R3)

]. (13.8)

El puente se dice que esta balanceado o equilibrado cuando esta diferencia de potencialse anula, es decir, cuando se cumple

R4R2 = R1R3. (13.9)

Una aplicacion tıpica de este circuito consiste en la determinacion de resistencias. Sise tiene una resistencia desconocida, y tres conocidas, lo unico que hay que que medires la diferencia de potencial entre los puntos A y B (ver Ejercicios).

13.7. Multımetros

Hay numerosos instrumentos que permiten medir voltajes y corrientes en un circuito.El osciloscopio permite ver voltajes en funcion del tiempo en varios puntos de uncircuito. Las sondas logicas y los analizadores permiten trazar se nales en circuitosdigitales. Los multımetros permiten medir voltajes, corrientes y resistencias con buenaprecision, sin embargo debido a que su respuesta es lenta no pueden reemplazar alosciloscopio cuando se trata de se nales que varıan en el tiempo de manera rapida.

Existen dos tipos: el analogico y el digital. El funcionamiento de un multımetrodepende del tipo, pues el analogico capta corriente, mientras que el digital capta vol-taje. En la figura 13.9 se puede ver un dibujo esquematico de un voltımetro analogico,tambien llamado VOM (voltımetro, ohmnımetro y miliamperımetro). Un multımetroanalogico consta de una aguja fijada a un eje giratorio. Cuando circula corriente porlos terminales de una bobina enrollada al eje, se induce en ella un campo magneti-co que tiende a alinearse con el del iman externo. El giro que provoca en el eje elmomento de torsion ası generado es proporcional, como vimos en el capıtulo 8, a lacorriente que circula por la bobina.

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170 Circuitos elementales

N S

Figura 13.9. Esquema de un multımetro analogico.

Por otro lado, los voltımetros digitales se basan en dispositivos semiconductorestales como amplificadores operacionales. Un voltımetro digital esta compuesto por uncircuito sensible a la diferencia de potencial y otro circuito de lectura. Se caracterizapor presentar una impedancia de entrada muy grande.

Un VOM puede medir corrientes maximas de 50µA cuando la aguja ha alcanzadoel tope en la escala, requiriendose para ello una diferencia de voltaje tıpica de 0,25V.Para medir corrientes mayores se usa una resistencia en paralelo (llamada “shunt” eningles), de manera que la caıda de voltaje sea la anterior. Idealmente deberıa tener unaresistencia interna nula, ya que el amperımetro ha de colocarse en serie en el circuitocuya corriente se quiere medir. Los multımetros suelen tener ademas una baterıa quesuministra una peque na corriente para medir resistencias.

13.8. Ejercicios

1. Con una fuente de voltaje, de valor V0, se ha de alimentar un circuito formadopor 10 resistencias iguales, de valor R. Determinar si se han de conectar lasresistencias en serie o en paralelo para que la potencia consumida por el circuitosea lo mayor posible.Solucion: La potencia es en cada caso Pserie = V 2

0 /(10R) y Pparalelo = (10V 20 )/R.

Se conectarıan en paralelo, como ocurre con los electrodomesticos en los hogares.2. Supongamos que en un circuito divisor de voltaje con dos resistencias de valores

R1 = 5kΩ y R2 = 15 kΩ, el voltaje de entrada es Vin = 20V. Calcular la corrienteen el circuito y el voltaje de salida Vout tomado en R2.Solucion: I = 1mA, Vout = 15V.

3. En un puente de Wheatstone como el de la figura 13.8, calcular el valor de una desus resistencias, por ejemplo, R1, en funcion de las otras tres y de las diferenciasde potencial V0 y VAB = VA − VB .Solucion: R1 = R4[V0R2 − VAB(R2 +R3)]/[V0R3 + VAB(R2 +R3)].

4. Un amperımetro analogico de 50µA posee una resistencia interna de 5 kΩ. ¿Que re-sistencia en paralelo con el amperımetro serıa necesaria para poder medir corrien-tes de 0–1 A? Se tienen resistencias con tolerancias del 5%.Solucion: Rshunt = 250mΩ.

5. ¿Que resistencia en serie es necesaria para convertir el amperımetro del ejercicioanterior en un multımetro capaz de medir voltajes de 0–10 V? Las resistenciasahora tienen tolerancias del 1%.Solucion: R = 195 kΩ.

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Ejercicios 171

6. Se quiere calcular el valor de una resistencia midiendo de manera simultanea lacorriente que circula por ella y el voltaje. Para ello se dispone de una fuentede voltaje de 20 V, un amperımetro de 50µA con 5 kΩ de resistencia interna, yun voltımetro digital con 20MΩ de impedancia de entrada. Dibujar los circuitoscapaces de hacer esas medidas simultaneas.Solucion: Se colocan en serie la fuente, el amperımetro y la resistencia. Las posi-ciones de estos elementos no importan mucho. El voltımetro se puede colocar enparalelo con la fuente o con la resistencia.

7. Empleando los circuitos del ejercicio anterior, se quieren medir resistencias de20 kΩ, 200Ω y 2MΩ.¿Que error se comete en cada caso al calcular R midiendoel voltaje y la intensidad?Solucion: Cuando se conecta el voltımetro en paralelo con la fuente, el errorcomun para las tres resistencias viene de la lectura del voltaje y resulta ser1,25%. En el caso de conectar el voltımetro en paralelo con la resistencia, elerror aparece en la intensidad: 1% para 20 kΩ, 0,001% para 200Ω y 10% para2MΩ.

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Capıtulo 14

Circuitos equivalentes

14.1. Equivalente Thevenin

En el capıtulo anterior vimos que un conjunto de resistencias podıan sustituirse poruna resistencia total asociandolas en serie o en paralelo. Esto puede generalizarse apartes del circuito en donde, ademas, intervienen fuentes de voltaje y de corriente. Ası,se puede sustituir una parte del circuito por otra equivalente a la hora de analizarlo.En este capıtulo veremos dos posibles maneras de hacer esto y lo aplicaremos alproblema de medir la diferencia de potencial con un multımetro y a la clarificacionde los conceptos de impedancia de entrada y de salida.

Imaginemos que tenemos un circuito divisor de voltaje y lo conectamos a unaresistencia que llamaremos resistencia de carga Rload. La situacion se muestra enla figura 14.1. Supongamos que el voltaje de entrada es Vin = 30V y que las tresresistencias R1, R2 y Rload tienen 10 kΩ. Si queremos hallar cual es el voltaje de salidaVout tenemos varias opciones. La primera de ellas consiste en sustituir las resistenciasR2 y Rload por una resistencia equivalente y ası obtener un nuevo divisor de voltaje.Graficamente esto esta representado en la figura 14.2.

Este metodo tiene el inconveniente de que, cada vez que se cambia la resistenciade carga del divisor de voltaje Rload, tenemos que rehacer los calculos. Hay una maneramucho mas util de tratar estos circuitos, gracias al llamado teorema de Thevenin, quedice:

V in

R1

R2Rload

Vout

Figura 14.1. Divisor de voltaje cargado

173

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174 Circuitos equivalentes

Rload

+30V+30V

10k

10k 10k

10k

10k 10k

VoutVout

Figura 14.2. Equivalencia del divisor de voltaje con una resistencia de carga.

Cualquier par de terminales de una red de resistencias y fuentes de voltajees equivalente a una fuente de voltaje conectada en serie a una resistencia.

En la figura 14.3 esta enunciado este teorema de forma grafica. Entre los terminalesA y B, toda la red de resistencias y fuentes de voltaje puede sustituirse por unafuente de voltaje de valor VTh y una resistencia de valor RTh. Este teorema resultasorprendente, pues cualquiera que sea el conjunto de resistencias y fuentes que tenga-mos en un circuito, este conjunto puede sustituirse por una sola resistencia y una solafuente. Las ecuaciones que describen circuitos con resistencias y fuentes son lineales.Existe un metodo para resolver sistemas lineales llamado eliminacion gaussiana quepermite reducir el numero de incognitas. El teorema de Thevenin puede demostrarseempleando este metodo.

El voltaje de Thevenin VTh es el que resulta cuando el circuito original se deja enabierto, es decir, cuando no se conecta ninguna carga entre los terminales de salidaA y B del circuito,

VTh = Vabierto. (14.1)

En la figura 14.3 se puede ver que, si medimos la diferencia de potencial entre losterminales A y B cuando el circuito esta abierto, el voltaje que medimos coinci-dira necesariamente con VTh.

En cuanto a la resistencia de Thevenin RTh, esta se obtiene como el cocienteentre el voltaje de Thevenin VTh y la corriente que circula entre los terminales desalida A y B cuando los conectamos mediante un cable cortocircuitandolos,

RTh = VTh/Icortocircuito. (14.2)

+−

B

A A

BRTh

VTh

Figura 14.3. Equivalente de Thevenin.

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Equivalente Thevenin 175

+−

+30V

10k

10k 10k Rload

+15V

RTh

VTh

5k

10k Rload

Figura 14.4. Equivalente Thevenin de un divisor y resistencia de carga.

Una manera alternativa de calcular RTh es igualarla con la resistencia equivalenteentre los terminales A y B cuando todas las fuentes de voltajes se sustituyen por susresistencias internas, o cortocircuitos si las fuentes se pueden considerar ideales.

Como ejemplo, calculemos el equivalente Thevenin del circuito divisor de la fi-gura 14.1. En este caso, los terminales A y B seran el de salida Vout y la tierrarespectivamente. Sin la resistencia de carga Rload, el voltaje de salida, entre A y Bresulta

VTh = VinR2

R1 +R2

. (14.3)

Por otro lado, la intensidad que circularıa desde A a B al unirlos vendrıa dada porIcortocircuito = Vin/R1, con lo cual,

RTh =R1R2

R1 +R2

. (14.4)

Este resultado no es mas que la resistencia equivalente entre A y B que correspondea la asociacion de R1 y R2 en paralelo cuando Vin se hace igual a 0. Podrıamos habercalculado RTh ası, suprimiendo la fuente Vin y calculando la resistencia total.

Existe un metodo muy general para obtener la resistencia en un punto de uncircuito que es aplicar en ese punto un incremento de voltaje ∆V , encontrar entoncesel incremento de corriente que circula por ese mismo punto ∆I, y el cociente ∆V/∆Ies la resistencia. Para obtener RTh, en el caso del divisor, se suma a Vout un peque novoltaje ∆V , se calcula entonces el incremento de la corriente en este punto y el cocienteresulta la asociacion en paralelo de ambas resistencias (ver Ejercicios).

Una vez tenemos el equivalente Thevenin podemos resolver el problema del cir-cuito divisor cargado (con la resistencia de carga conectada). Mirando la figura 14.4,el voltaje de salida viene dado por Vout = IRload, siendo I = VTh/(RTh +Rload. Portanto, si aplicamos el teorema de Thevenin, cada vez que cambiemos la carga lo unicoque hay que recalcular es la asociacion en serie de la resistencia de Thevenin RTh conla de carga Rload.

Cualquier fuente de tension no ideal gotea cuando se carga, es decir, al alimentarun circuito con una fuente, no todo el voltaje que suministra la fuente le llega alcircuito, sino que existe una perdida, fuga o goteo. Lo que gotea una fuente dependede su impedancia de salida, y es precisamente la cantidad RTh la que describe estapropiedad elegantemente.

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176 Circuitos equivalentes

B

B

A A

INRN

Figura 14.5. Equivalente Norton.

14.2. Equivalente Norton

Ademas del equivalente Thevenin existe otro modelo para tratar una red dada defuentes y resistencias. Se trata de sustituir todo por una fuente ideal de corriente conuna resistencia en paralelo como puede verse en la figura 14.5. Una fuente de corriente

ideal es un dispositivo que mantiene una corriente constante independientemente delo que se conecte a ella. Hay dispositivos que se comportan como fuentes de corriente,como los transistores. En realidad no existe el comportamiento completamente ideal,de modo que se suele describir el comportamiento real asociando una resistencia in-terna a la fuente, ya sea de corriente o de voltaje. El sımbolo que emplearemos parala fuente de corriente es el que podemos ver en la parte derecha de la figura 14.5.

Veamos la relacion entre el equivalente Thevenin y el de Norton sobre la figu-ra 14.5. Habıamos dicho que VTh era el voltaje de salida sin carga, es decir, cuandoel circuito estaba abierto. Se tiene entonces que cumplir la relacion

IN = VTh/RN . (14.5)

Por otro lado, si cortocircuitamos la salida, el modelo de Thevenin daba

Icortocircuito = VTh/RTh. (14.6)

Como Icortocircuito es igual a IN , de estas dos ultimas expresiones resulta

RN = RTh, (14.7)

con lo cual tenemos el siguiente teorema (de Norton):

En cuanto a lo que concierne a cualquier carga conectada a su salida, uncircuito lineal compuesto de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes deintensidad, es equivalente a una fuente ideal de intensidad IN conectadaen paralelo con una resistencia RN . El valor de la corriente es igual a lacorriente del circuito lineal cortocircuitado. El valor de la resistencia es iguala la resistencia que se medirıa a la salida si la carga se quitase y las fuentesse reemplazasen por sus resistencias internas (si son fuentes ideales, porcortocircuitos).

Veamos la utilidad del equivalente Norton en un ejemplo concreto. En la figura 14.6podemos ver un circuito del que conocemos su equivalente Norton al que hemos conec-tado una resistencia de carga. Con el equivalente Norton es facil calcular la corriente

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El efecto de la carga 177

IN RN Rload

Figura 14.6. Equivalente Norton con resistencia de carga.

que circula por la carga. Lo que se obtiene es un divisor de corriente, en el cual,

Iload = INRN

RN +Rload. (14.8)

A diferencia del divisor de voltaje, la resistencia de carga solo aparece en el denomi-nador.

14.3. El efecto de la carga

Imaginemos que tenemos una fuente de voltaje de 20V y necesitamos alimentar uncircuito con 10V. Como ya sabemos, mediante un divisor de voltaje formado por dosresistencias iguales, se puede reducir el voltaje inicial a la mitad, como se ve en lafigura 14.7. Diferentes valores de R dan lugar a divisores de tension con el mismovalor de VTh pero distinto valor de RTh.

Vamos a suponer que tenemos varias resistencias R con una tolerancia del 1%,esto es, el fabricante asegura que la resistencia, en las condiciones de trabajo ha-bituales, tiene un error de ± 0,01 en las unidades en que este dado su valor. Paradiferentes valores de R, un multımetro ideal (un aparato que da valores de voltajecon precision infinita) darıa en todos los casos 10V para el valor de salida del circuitode la figura 14.7. Sin embargo, no existen multımetros ideales y los reales poseen unaresistencia interna Rin como la dibujada en la figura 14.7.

Midamos con un multımetro analogico los valores del voltaje de salida del circuitode la figura 14.7. Para valores de R iguales a 1 kΩ, 10 kΩ y 100 kΩ, obtenemos losresultados recogidos en la tabla 14.1. Cuando R = 1kΩ, la lectura del multımetroes de de 9,95V, que al ser comparados con los 10V ideales, estan dentro del errordebido a la tolerancia de las resistencias. Si R = 10 kΩ, se miden 9,76V, con lo cualse empieza a observar el efecto de la resistencia interna del aparato de medida. En la

20V

R

R Rin

Figura 14.7. Un divisor que reduce el voltaje a la mitad. Para diferentes valores de R

tenemos circuitos con el mismo VTh pero distinta RTh.

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178 Circuitos equivalentes

VTh+−

+20V

100k

100k

+10V

RTh

50k

Rin

Figura 14.8. La lectura del multımetro es de 8V (difiere de la ideal que son 10V). Rin

puede ser estimada a partir del equivalente de Thevenin del divisor.

ultima medicion, con R = 100 kΩ, este efecto es muy importante y el multımetro da8,05V.

Veamos si podemos, con estos datos, calcular la resistencia interna del multıme-tro. Para simplificar los calculos podemos suponer que la lectura que hemos obtenidoen el caso R = 100 kΩ es de 8V. Tenemos un divisor de voltaje con resistencias igua-les. Su resistencia de Thevenin RTh es la asociacion de dos resistencias de 100 kΩen paralelo, es decir, RTh = 50 kΩ, como podemos ver en la figura 14.8. Como lalectura del multımetro es de 8V en lugar de los 10V ideales, resulta que la caıdade tension en RTh ha de ser de 2V. Las caıdas de tension han de ser proporcionalesa los valores de las resistencias, de modo que la resistencia interna del multımetrosera Rin = 50 kΩ× 8/2 = 200 kΩ.

En alguna parte del multımetro se encuentra una anotacion que dice 20000Ω/V.Esta especificacion significa que, si se usa el multımetro en su escala de 1V (estosignifica que la aguja llegarıa a su tope cuando lo conectamos a una diferencia de 1V),entonces la resistencia de entrada del aparato serıa de 20 kΩ. ¿Tiene sentido entoncesla estimacion que hacıamos antes? La tiene porque es facil imaginar que hay dentro

R Vout (V) Comentario

1 kΩ 9,95V Valor dentro de la tolerancia de R10 kΩ 9,76V Aparece un peque no efecto de la carga100 kΩ 8,05V Hay un efecto importante de la carga

Tabla 14.1. Medidas con un multımetro analogico.

R Vout (V) Comentario

100 kΩ 9,92V Valor dentro de la tolerancia de R1MΩ 9,55V Aparece un peque no efecto de la carga10MΩ 6,69V Hay un efecto importante de la carga

Tabla 14.2. Medidas con un multımetro digital.

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El efecto de la carga 179

in inout out

out A

Zout, A

Zin, B

in BA B

Figura 14.9. El circuito A alimenta o excita al circuito B.

de un multımetro para permitir cambiar de escala: un conjunto de resistencias que seconectan en serie. Por tanto, en la escala de 10V, que es la que hemos usado paranuestras medidas, la resistencia interna ha de ser de 200 kΩ que es la que habıamoscalculado.

En la tabla 14.2 esta resumido el experimento para un multımetro digital. Enel ultimo caso, RTh = 5MΩ. La caıda de voltaje en la resistencia del multımetro esaproximadamente de 2/3 del total, por lo que una estimacion simple da una resistenciainterna Rin = 10MΩ. Efectivamente, al mirar las especificaciones tecnicas del aparatoque hemos utilizado, encontramos que Rin ≥ 10MΩ para todas las escalas. Por lovisto, un multımetro digital suele ser mucho mejor que uno analogico, al menos en loque respecta a su resistencia interna.

Impedancias de entrada y de salida

En la mayorıa de las aplicaciones, la salida de un circuito se usa para alimentar oexcitar otro circuito. Por ejemplo, hemos visto que la salida de un divisor de tensionexcitaba al multımetro que medıa el voltaje. Esto nos lleva a un problema que sepresenta una y otra vez. Cuando se acopla un circuito de carga a un circuito fuente,la carga puede cambiar el comportamiento de este ultimo (en el caso consideradoantes, hemos visto que la resistencia del multımetro afectaba al divisor de tension).

Para predecir y controlar este problema necesitamos conocer primero la resisten-cia interna o de entrada en el multımetro Rin y, por otro lado, tambien la resistencia desalida del circuito fuente Rout (que, como veıamos, puede calcularse a traves del equi-valente Thevenin). Para circuitos que dependen del tiempo, cuando estan presentescomponentes tales como condensadores, bobinas, etc, estos conceptos se generalizan alos de impedancia de entrada Zin e impedancia de salida Zout. Por tanto, un circuitopresenta una impedancia de entrada si actua para otro circuito como carga, y unaimpedancia de salida si, a su vez, excita a otro que hace de carga. Conocer estasimpedancias resulta de gran utilidad a la hora de disenar circuitos.

En la figura 14.9 puede verse que el circuito A excita al circuito B. No queremosque el circuito B cambie las caracterısticas o afecte al funcionamiento del circuitoA. Entonces, lo que buscamos a la hora de disenar el circuito B es que B cargue alcircuito A lo suficientemente poco para causar la mınima atenuacion de la senal. Esteproblema se reduce al diseno de un divisor de voltaje. Si tratamos las impedancias

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180 Circuitos equivalentes

como resistencias, se puede ver que, si la relacion entre las impedancias de salida yde entrada es de 1:10, el divisor entrega a la salida 10/11 de la se nal de entrada (laatenuacion que sufre es menor que el 10% y, para la mayorıa de las aplicaciones, essuficiente). Ası, una buena regla para tener presente a la hora de disenar es

Zout de A ≤ Zin de B

10. (14.9)

Esta regla permite disenar fragmentos de circuitos de manera independiente, ya queno se tiene que considerar A y B como un todo, sino por separado, y solo tener lareceta (14.9) en la cabeza a la hora de acoplarlos.

+20 V

-10 V

10 k

10 k

Vout

Figura 14.10.

+20 V

10 k

10 kVout

1 k

1 k

Figura 14.11.

+ V

20 k

0,2 mAVout

Figura 14.12.

14.4. Ejercicios

1. Consideremos el circuito de la figura 14.2, en donde Vin = 30V y las tres resis-tencias R1, R2 y Rload valen 10 kΩ. Usando, por un lado, las reglas de asociacionde resistencias y, por otro, el concepto de equivalente Thevenin, demostrar queel voltaje de salida del circuito es Vout = 10V.Solucion: Si se asocian R2 y Rload en paralelo, resulta un divisor de voltaje de10 kΩ y 5 kΩ. Por otro lado, el equivalente de Thevenin resulta VTh = 15V yRTh = 5kΩ, con lo que Vout = VThRload/(Rload +RTh).

2. Tenemos un divisor de voltaje de 20V con R1 y R2 iguales y de valor 10 kΩ.Aplicamos un aumento de 1V a la salida (conectando la salida por ejemplo auna fuente que proporcione 11V). Calcular el aumento de corriente ∆I que seproduce en la salida y obtener la resistencia equivalente de Thevenin.Solucion: Se tiene que I1 = (Vin − Vout)/R1 y que I2 = Vout/R2. Por lo tanto,al incrementar Vout, resulta ∆I = I2 − I1 = ∆V (1/R1 + 1/R2) = 0,2mA yRTh = 5kΩ.

3. Para el circuito de la figura 14.6, obtener la ecuacion (14.8) del divisor de co-rriente.

4. Para el multımetro digital de la tabla 14.2, demostrar que su resistencia internaes Rin = 10MΩ.

5. El teorema de maxima transferencia de potencia establece que, en un circuitoelectrico de corriente continua, la maxima transferencia de potencia a la carga

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Ejercicios 181

ocurre cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia equivalente deThevenin. Demostrarlo.

6. Calcular el equivalente de Thevenin para el circuito mostrado en la figura 14.10.Solucion: RTh = 5kΩ, VTh = 5V.

7. Obtener el equivalente de Thevenin para el circuito mostrado en la figura 14.11.Dar la respuesta con un 10% y un 1% de precision.Solucion: VTh = 1,5; 1,53V y RTh = 0,8; 0,84 kΩ.

8. Calcular el equivalente de Thevenin para el circuito mostrado en la figura 14.12.Solucion: VTh = 4V, y RTh = 20 kΩ.

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Capıtulo 15

Circuitos que dependen del tiempo

15.1. Condensadores

En los circuitos que hemos considerado hasta ahora, los voltajes e intensidades perma-necıan constantes en el tiempo. Sin embargo, es posible que los voltajes e intensidadessean variables en el tiempo. Aparecen en este caso dos nuevos elementos que a teneren cuenta: condensadores e inductores o bobinas. En el caso de circuitos con voltajesy corrientes constantes estos dos elementos no juegan papel alguno, ya que el conden-sador se comporta como un interruptor abierto y el inductor como uno cerrado. Sinembargo, en circuitos variables en el tiempo ambos elementos presentan propiedadesque dependen del modo en que los voltajes y las corrientes varıan. Estos componentes,combinados con resistencias, completan el trıo de elementos lineales pasivos que for-man la base de practicamente todos los circuitos. En este capıtulo trataremos algunoscircuitos en donde intervienen condensadores e inductores o bobinas. Comencemosanalizando los primeros.

Los condensadores permiten construir circuitos que recuerdan su historia reciente,esto es, circuitos con memoria. Esta habilidad permite hacer circuitos temporizadores(circuitos que permiten que algo suceda despues de que otra cosa haya ocurrido),de entre los cuales los mas importantes son los osciladores. Esta propiedad tambienpermite construir circuitos que responden principalmente a cambios (diferenciador) oa promedios (integradores) y, los mas importantes, circuitos que favorecen un rangode se nales de frecuencias determinadas sobre otras (filtros).

Los condensadores se representan, en los diagramas de circuitos, mediante elsımbolo que podemos ver en la figura 15.1. Este sımbolo recuerda al de un condensadorplano, aunque en realidad hay gran variedad de formas y tama nos. Para conocer comose comporta un condensador, basta aplicar la regla

Q = CV, (15.1)

donde Q es la carga acumulada en la placa positiva del condensador, C es la capacidaddel condensador, y V es la diferencia de potencial entre sus placas. Veıamos que lacapacidad era una medida de lo grande que es un condensador, esto es, cuanta cargaera capaz de almacenar cuando se conecta a una diferencia de potencial V . Parael estudio de los condensadores en circuitos, se requiere, sin embargo, una relacionentre voltaje y corriente. Esto lo conseguimos tomando la derivada con respecto del

183

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184 Circuitos que dependen del tiempo

Figura 15.1. Sımbolo para condensador.

Q

C

V

Figura 15.2. Analogıa con un recipiente que

contiene agua.

tiempo de la expresion (15.1) teniendo en cuenta que la capacidad es una constante.Se obtiene entonces

I = CdV

dt. (15.2)

Esta relacion expresa que mientras mayor sea la corriente, mas rapido cambia el vol-taje. La analogıa con un fluido resulta util para entender esto mejor. En la figura 15.2,un recipiente (un condensador de capacidad C) tiene agua (carga Q) hasta una ciertaaltura (voltaje V ). Si se llena o vacıa el recipiente mediante una manguera, el nivel delagua cambiara (subira o bajara) mas rapida o lentamente dependiendo de lo grandeque sea el caudal de la manguera (intensidad I). Es importante notar que, en la ecua-cion (15.2), la corriente es la que se dirige desde la placa negativa del condensador ala placa positiva. Este es el sentido positivo estandar. Si la corriente fuera en sentidoinverso, llevarıa un signo menos en la expresion (15.2).

15.2. Condensadores en serie y en paralelo

La capacidad total de varios condensadores asociados en paralelo es igual a la sumade las capacidades individuales de cada condensador. En la figura 15.3 podemos verdos condensadores asociados en paralelo. Es facil ver cual es la capacidad total de laasociacion. Si conectamos el circuito a una diferencia de potencial V , entonces ten-dremos que QT = Q1+Q2, donde QT es la carga total almacenada por la asociacion.Empleando ahora la definicion de capacidad, se llega a

CT = C1 + C2. (15.3)

Para condensadores asociados en serie, como muestra la figura 15.4, la formula es

1

CT=

1

C1

+1

C2

. (15.4)

En este caso la carga en cada condensador es la misma. Se deja para los ejerciciosdemostrar estas expresiones. Como vemos, la asociacion en paralelo de las capacidadeses como la asociacion en serie de resistencias, y la asociacion en serie de las capacidadeses como la asociacion en paralelo de las resistencias.

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Carga de un condensador mediante una fuente de corriente 185

C2

C1

Figura 15.3. Asociacion en paralelo.

C1 C2

Figura 15.4. Asociacion en serie.

15.3. Carga de un condensador mediante una fuente de co-

rriente

Empezaremos viendo como se comportan los condensadores en el caso sencillo mos-trado en la figura 15.5. Tenemos un condensador conectado a una fuente de corrienteconstante I (para crear una de estas fuentes de corriente ideal se necesita el empleode transistores). El comportamiento del voltaje en el condensador Vcap en funcion deltiempo t es facil de comprender, ya que al ser I constante, la derivada del voltajetambien lo es, por lo que el voltaje frente al tiempo es una recta, como podemos veren la figura 15.6. Esta se nal recibe el nombre de se nal de rampa. Una aplicacionpractica de este comportamiento es la generacion de se nales de voltaje triangulares,como muestra la figura 15.7.

Otros casos que veremos a continuacion son el de la descarga de un condensadora traves de una resistencia, y el de la carga de un condensador a traves de una fuentede voltaje y una resistencia.

15.4. Descarga de un condensador a traves de una resistencia

Supongamos que tenemos un condensador cargado de capacidad C, de tal modo quela diferencia de potencial inicial entre sus placas es V0. Para descargarlo, unimos las

I

Vcap

C

Figura 15.5. Condensador cargado por

una fuente de corriente.

t

Vca

p

I2

I1

Figura 15.6. Voltaje frente al tiempo en

el condensador. I1 > I2

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186 Circuitos que dependen del tiempo

Vcap

Ccarga

cargadescarga

descarga

Figura 15.7. Generacion de una se nal triangular.

placas mediante una resistencia de valor R. El esquema de este circuito se puede veren la figura 15.8. Para conocer el comportamiento del voltaje del condensador V frenteal tiempo, se aplica la ecuacion (15.2) al circuito y resulta

−CdV

dt= I. (15.5)

donde el signo menos es debido a que la corriente va desde la placa positiva delcondensador a la placa negativa (el condensador se esta descargando). Esta mismacorriente es la que atraviesa la resistencia. Usando la ley de Ohm (I = VR/R, dondeVR es el voltaje en la resistencia), y teniendo en cuenta que el voltaje en el condensadores igual al de la resistencia en este circuito, obtenemos

−CdV

dt=

V

R. (15.6)

Esto es una ecuacion diferencial para el voltaje del condensador: una ecuacion en laque al mismo tiempo aparecen V y su derivada. La solucion de esta ecuacion, dadoque en el instante inicial el voltaje vale V0, es

V = V0e−t/RC , (15.7)

R C

Figura 15.8. Descarga de un conden-

sador mediante una resistencia (circuito

RC).

t

Vca

p

RC

37%

V0

Figura 15.9. Voltaje frente al tiempo en

el condensador.

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Circuito RC - Integrador 187

que se puede verificar sencillamente sustituyendola en la ecuacion (15.6). Esta solucionse ha dibujado en la figura 15.9. El producto RC se llama constante de tiempo delcircuito y es una medida del tiempo que tarda el condensador en descargarse. Dehecho, cuando ha pasado un tiempo t = RC, el voltaje ha decaıdo en el condensadorun 37%. Conviene recordar este numero.

Analicemos fısicamente lo que ha ocurrido. El voltaje del condensador, que ini-cialmente era V0, se aproxima a cero a medida que transcurre el tiempo, pero auna velocidad que va disminuyendo conforme se acerca a ese valor. Si, por ejemplo,V0 = 10V, R = 1kΩ y C = 1µF, entonces la intensidad inicial en el condensador esI = V0/R = 10mA y, por tanto, la velocidad inicial con la que varıa el voltaje en elcondensador V es de −104 V · s−1. Pero, tan pronto como V comienza a disminuir,esta velocidad comienza a decrecer, por lo que, idealmente, tendrıamos que esperarun tiempo infinito para descargar completamente un condensador.

15.5. Circuito RC - Integrador

Consideremos ahora al circuito mostrado en la figura 15.10. Se trata de una fuentede voltaje, que mantiene una tension constante V0, en serie con una resistencia y uncondensador, inicialmente descargado. La ecuacion que describe el comportamientodel voltaje en el condensador Vout es

CdVout

dt= I. (15.8)

Por otro lado, en el circuito se tiene que la diferencia de potencial en la resistencia esVR = V0 − Vout, de modo que la corriente que la atraviesa es

I =V0 − Vout

R. (15.9)

Igualando estas expresiones, se obtiene

CdVout

dt=

V0 − Vout

R, (15.10)

C

+− Vout

RV0

Figura 15.10. Condensador cargado me-

diante una fuente de voltaje a traves de

una resistencia en serie.

t

Vou

t

RC

63%

V0

5RC

99%

RC

63%

V0

5RC

99%

Figura 15.11. Voltaje frente al tiempo a

la salida. Coincide con el voltaje del con-

densador.

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188 Circuitos que dependen del tiempo

que es de nuevo una ecuacion diferencial para Vout. Para resolverla, se necesita unacondicion inicial, como es que en el instante inicial t = 0 el condensador este descar-gado, de modo que su voltaje inicial sea Vout = 0. La solucion resulta entonces

Vout = V0

(1− e−t/RC

), (15.11)

dibujada en la figura 15.11.

Analicemos fısicamente lo que ocurre. El voltaje del condensador se aproxima alvalor del voltaje aplicado V0 a medida que transcurre el tiempo, pero a una velocidadque, como en el caso de la descarga, va disminuyendo conforme se acerca a ese valor.Tan pronto como Vout comienza a aumentar, esta velocidad comienza a decrecer, porlo que realmente nunca podrıamos alcanzar el voltaje final V0 (tendrıamos que esperarun tiempo infinito). A efectos practicos, despues de transcurrido un tiempo igual acinco veces la constante de tiempo del circuito, esto es, 5RC, el voltaje ha alcanzadoel 99% de su valor final y por consiguiente Vout ≈ V0 (en el instante t = RC, elcondensador esta cargado al 63%).

El circuito que acabamos de ver puede usarse como una aproximacion a un circui-to integrador. Si de alguna manera somos capaces de mantener Vout ≪ V0, entoncespodrıamos escribir la ecuacion (15.10) como

dVout

dt=

V0 − Vout

RC≈ V0

RC. (15.12)

El tiempo durante el cual es valida esta aproximacion depende de lo grande que seala constante de tiempo RC. Ahora bien, mientras la expresion (15.12) sea valida, loque tenemos es un circuito que, a la salida, da la integral de la se nal de entrada, puesla solucion de la ecuacion (15.12) es simplemente,

Vout(t) =1

RC

∫V0(t) dt+ cte, (15.13)

suponiendo como caso mas general que V0 depende del tiempo.

Una fuente que proporciona un voltaje elevado, en serie con una resistencia gran-de, satisface usualmente la condicion expresada anteriormente para muchas aplica-ciones. De hecho, es una buena aproximacion en muchos casos para una fuente deintensidad ideal. Si recordamos el circuito de la figura 15.5, en el que se cargabael condensador con una fuente de corriente, podemos ver que efectivamente, lo quetenıamos a la salida era la integral del voltaje de entrada, que era en ese caso unafuncion escalon.

15.6. Circuito CR - Diferenciador

Veamos ahora el circuito mostrado en la figura 15.12. El circuito es como el anterior,salvo que el condensador esta intercambiado con la resistencia. El voltaje entre losterminales del condensador es V0 − Vout, de modo que podemos escribir

Cd

dt(V0 − Vout) =

Vout

R. (15.14)

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Circuito CR - Diferenciador 189

C+−

Vout

R

V0

Figura 15.12. Circuito CR.

t

Vou

t

RC

37%

V0

Figura 15.13. Voltaje de salida.

Al conectar la fuente de voltaje V0 al condensador y la resistencia, la diferencia devoltaje inicial en el condensador es cero, de manera que en el instante inicial t = 0,Vout = V0. Si resolvemos entonces la (15.14) con esta condicion inicial, resulta

Vout = V0e−t/RC , (15.15)

que es el mismo tipo de curva que veıamos en el proceso de descarga de un con-densador. De nuevo el voltaje decae el 37% del valor inicial transcurrido un tiempoigual a RC. Sin embargo, cuando V0 varıa en el tiempo, este circuito es util comodiferenciador.

Supongamos que elegimos los valores de R y C de tal manera que son suficien-temente peque nos para que se cumpla la condicion dVout/dt ≪ dV0/dt. Entonces,usando la expresion (15.14), podemos escribir

CdV0

dt≈ Vout

R, (15.16)

o bien,

Vout(t) = RCdV0

dt. (15.17)

Lo que obtenemos es una salida proporcional a la velocidad de cambio de la se nal deentrada. Como veıamos antes para el caso del circuito integrador, el producto RC es elque nos da la condicion para que la salida pueda considerarse la derivada de la se nalde entrada. Recordando la discusion que surgio al hablar del equivalente Thevenin, alelegir este producto se debe de tener en cuenta no cargar mucho la se nal de entradaV0 tomando R demasiado peque na (R es la impedancia de salida que ve la fuente V0).Cuando veamos la respuesta de estos circuitos en el dominio de la frecuencia, llegare-mos a obtener un criterio mas adecuado para el valor caracterıstico RC en funcion dela potencia transmitida. Estos circuitos son muy utiles para detectar cuando empiezao acaba un pulso cuadrado, de manera que se usan mucho en electronica digital. Enla figura 15.14 tenemos un pulso cuadrado como se nal de entrada y la salida despuesde pasar por un diferenciador.

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190 Circuitos que dependen del tiempo

Vin

t

Vou

t

Figura 15.14. Aplicacion del circuito diferenciador para detectar los cambios en una se nal

cuadrada.

15.7. Inductores

Un inductor es esencialmente una bobina de hilo conductor enrollado alrededor deuna barra o nucleo ferromagnetico. El nucleo, dada su gran permeabilidad, hace queel flujo magnetico sea mucho mayor en el que en el aire. Una corriente que varıa atraves de la bobina induce una fuerza electromotriz en la propia bobina mediante elfenomeno de autoinduccion, segun veıamos en el capıtulo 11. La ley de Faraday dauna expresion para el voltaje en la bobina

V = NdΦ

dI

dI

dt= L

dI

dt, (15.18)

donde N es el numero de vueltas de la bobina, Φ el flujo magnetico y L es la autoin-ductancia de la bobina.

Como pasaba con los condensadores, la relacion entre la corriente y el voltaje esalgo mas complicada que la simple proporcionalidad dada por la ley de Ohm. Ademas,la potencia asociada con la corriente que circula por un inductor no se disipa en formade calor como sucede con el caso ohmico, sino que se almacena en forma de energıa delcampo magnetico que crea la propia bobina. Tan pronto se interrumpe esta corrienteinductiva, toda esta energıa es devuelta al circuito.

Al mirar con detalle la expresion (15.18), es facil ver que, si se conectan los ter-minales de una bobina a una fuente de voltaje V0, se obtiene para la corriente a travesde la bobina un comportamiento igual al del voltaje de la figura 15.5. Los inductoressirven como limitadores y selectores en circuitos de sintonizacion, formando parte defiltros. Un inductor es, de alguna manera, lo opuesto a un condensador, de modoque la combinacion de ambos permite seleccionar componentes de una determinadafrecuencia en una se nal. Una aplicacion sencilla y bastante util de los inductores esel transformador.

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El transformador 191

Figura 15.15. Sımbolo de un transformador

15.8. El transformador

Un transformador es un dispositivo formado por dos inductores, llamados primarioy secundario respectivamente, enrollados en torno al mismo nucleo ferromagnetico.En la figura 15.15 se ve el sımbolo que se utiliza para un transformador con nucleolaminado. La mision del nucleo es incrementar la autoinduccion de la bobina primariay guiar el flujo del campo magnetico a traves de la secundaria. Para evitar perdidasde flujo debidas a corrientes inducidas, el nucleo suele estar laminado.

La fuerza electromotriz inducida en cada bobina es proporcional al numero devueltas que tienen: la fem en la bobina primaria Ep es proporcional a su numero devueltas Np y la fem Es en la bobina secundaria es proporcional a Ns. Dado que sesupone que no hay perdidas de flujo magnetico, se ha de satisfacer entonces que

EpEs

=Np

Ns. (15.19)

Segun esta expresion, si Np < Ns, existe a la salida (bobina secundaria) una gananciade voltaje. Se dice entonces que el transformador es ascendente. Si, por otro lado,Np < Ns, el transformador es descendente. Otro aspecto basico de un transformadorviene de que, segun veıamos, una bobina no disipa energıa. Al conservarse la energıaen un transformador (no tenemos en cuenta perdidas de flujo en el nucleo ni resistenciaen los cables), la potencia de entrada es la misma que la de salida, de tal modo que

EpIp = EsIs. (15.20)

Como consecuencia, un transformador ascendente disminuye la corriente, y uno des-cendente la aumenta.

Consideremos la situacion mostrada en la figura 15.16. En este caso, la bobinasecundaria no esta conectada a ningun circuito y podemos ignorarla. La primaria secomporta como un inductor, en el que el voltaje de entrada es Vin = Ep, la corriente

εp εs

Iin

VinNp

L

Ns

Figura 15.16. Transformador abierto.

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192 Circuitos que dependen del tiempo

εp εs

I

VinNp

L

Ns RL

Figura 15.17. Transformador cargado.

en el circuito de la bobina primaria es Iin, y se cumple la ecuacion de induccionVin = L(dIin/dt).

Supongamos ahora que conectamos una carga a la bobina secundaria, comomuestra la figura 15.17. Como consecuencia, aparece en la secundaria una corrien-te Is = Es/RL. Aunque no hay ninguna conexion entre las dos bobinas, la aparicionde corriente en la bobina secundaria afecta a la corriente total I en la primaria. Paraver esto, empleamos la conservacion de la energıa en las bobinas (15.20), junto con laecuacion (15.19), para escribir

Ip = IsNs

Np, (15.21)

y, por tanto, la corriente total inducida en la primaria resulta

I = Iin + Ip ≈ Ip, (15.22)

al ser Iin despreciable normalmente.Se puede calcular la resistencia de entradaRin que experimenta la fuente. Esta da-

da por

Rin =Vin

I=

EsNp

Ns× Np

IsNs=

(Np

Ns

)2 EsIs

. (15.23)

Pero Is = Es/RL, de modo que

Rin = (Np/Ns)2RL. (15.24)

Un transformador reduce o incrementa la impedancia de entrada, con respecto a lade salida, en un factor que depende del cuadrado de la razon del numero de vueltas.

15.9. Ejercicios

1. Demostrar las expresiones (15.3) y (15.4) para la capacidad de una asociacion decondensadores en paralelo y en serie.

2. Demostrar que la expresion (15.11) es una solucion de la ecuacion (15.10) con lacondicion inicial de que Vout = 0 cuando t = 0.

3. En un circuito RC de carga de un condensador, la fuente proporciona un voltajeV0 = 10V, la resistencia es R = 1kΩ y la capacidad del condensador es C = 1µF.Determinar la velocidad inicial con la que varıa el voltaje en el condensador y lamisma velocidad en el instante en que el voltaje del condensador es Vout = 1V.Solucion: (dVout/dt)0 = 104 V · s−1, (dVout/dt)1 = 9× 103 V · s−1.

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Ejercicios 193

4. En el circuito de la figura figura 15.18, determinar el voltaje en el condensadoren funcion del tiempo.Solucion: VC = V01− exp[−(R1 +R2)t/(CR1R2)][R2/(R1 +R2)].

5. Una bobina de coeficiente de autoinduccion L se conecta a una fuente de voltajeV0 constante. Calcular la corriente que recorre el circuito en funcion del tiempo.En la practica, ¿podrıa esta corriente hacerse infinita manteniendo V0 constante?Solucion: I = V0t/L. En la practica habrıa que tener en cuenta la resistenciainterna de la fuente y de la bobina.

6. En el circuito de la figura 15.19, calcular la corriente en funcion del tiempo.Solucion: I = V0[1− exp(−Rt/L)]/R.

7. En el circuito del ejercicio anterior, calcular el voltaje en la bobina en funciondel tiempo.Solucion: VL = V0 exp(−Rt/L).

+−

R1

R2 CV0

Figura 15.18.

+−

R

LV0

Figura 15.19.

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Capıtulo 16

Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

16.1. Se nales armonicas

En este capıtulo estudiaremos circuitos cuyos voltajes e intensidades dependen deltiempo de forma periodica. Comenzaremos describiendo matematicamente cierto ti-po de se nales conocidas como sinusoidales, cosenoidales o armonicas (por se nalesdesignaremos indistintamente voltajes y corrientes presentes en un circuito).

Una se nal armonica es el tipo de se nal que se obtiene del enchufe de la paredy suelen ser bastante comunes. Existe ademas una razon fundamental para motivarque nos detengamos en ellas. Segun el teorema de Fourier, cualquier se nal periodica,de la forma que sea, puede descomponerse en la suma de una se nal constante en eltiempo (o continua) y se nales armonicas. En vez de armonica, se suele emplear lapalabra alterna, y ası se habla de corriente alterna, tension o voltaje alternos, etc.

Una se nal armonica de 10µV a 1MHz es una se nal matematicamente descritapor

V = A sen (2πft+ φ), (16.1)

en donde A es la amplitud de la se nal, igual a 10 µV en el ejemplo que tenemos,y f es la frecuencia, o numero de ciclos por segundo, 1MHz en este caso. La fase φdepende del instante donde tomemos el origen de tiempo t = 0. A veces se define lafrecuencia angular ω = 2πf dada en radianes por segundo (rad/s). Todas las se nalesarmonicas se pueden escribir en la forma dada por la ecuacion (16.1).

En la figura 16.1 hemos dibujado se nales de distinta amplitud y frecuencia. Laamplitud esta asociada con el valor maximo que puede tomar la se nal, mientras quela frecuencia esta asociada al numero de veces que oscila en un intervalo de tiempo.A mayor frecuencia mas oscilaciones y mas arrugada pintaremos la se nal usando lamisma escala de tiempo. El inverso de la frecuencia es el periodo T = 1/f , y da eltiempo que tarda la se nal en repetirse.

El concepto de fase es un poco mas complicado de entender. Las dos se nalesde la figura 16.1 tienen un valor igual a 0 cuando t = 0 y ademas incrementan suvalor inicialmente cuando se incrementa el tiempo, por lo que ambas vienen descritasmediante la funcion (16.1) con distintas amplitudes y frecuencias, pero con la mismafase φ = 0.

Se puede hablar de la fase de una se nal determinada por el valor que tiene lase nal en un determinado instante de tiempo, normalmente considerado el inicial. La

195

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196 Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

1/2f 1/f 3/2f 2/f

−A

0

A

V

1/2f* 1/f*

−A*

0

A*

t

V

Figura 16.1. Ondas con diferentes amplitudes A∗ > A y frecuencias (f , f∗) pero igual fase.

En este caso, φ = 0 y f∗ = f/2.

figura 16.2 muestra como se puede determinar la fase de una se nal. Se han dibujadoesta vez dos se nales con la misma amplitud y frecuencia pero distinta fase. La primerase nal parece retrasada, esto es movida hacia la derecha, respecto a la pintada con lıneadiscontinua por la cantidad φ = π/6. Esta se nal no alcanza el valor 0 hasta que no hatranscurrido un tiempo igual a 1/(12f). Este retraso se representa matematicamentepor un signo negativo, por lo que la se nal vendrıa dada por A sen (ωt− π/6). Lasegunda se nal parece adelantada (movida hacia la izquierda) por una cantidad iguala φ = π/2, por lo que en este caso la expresion matematica serıa A sen(ωt + π/2).Notese que la curva podrıa escribirse como A cos (ωt), o en otras palabras, el cosenoes una se nal adelantada en π/2 al seno, o el seno es una se nal retrasada en π/2 alcoseno segun el convenio que estamos siguiendo.

No tiene mucho sentido hablar de diferencia de fases entre ondas de distintafrecuencia, ya que esta diferencia dependerıa del tiempo. En el ejemplo de dos se nalesde distinta frecuencia dibujadas en la figura 16.1, si cogemos de referencia el instantet = 0, tendrıan la misma fase, pero si cogieramos cualquier otro instante, entoncestendrıan fases diferentes. Por tanto, cuando se habla de diferencia de fases, uno serefiere a se nales de la misma frecuencia. Entonces, sı que tiene sentido ya que estadiferencia es independiente del tiempo. La diferencia de fases entre las se nales de lafigura 16.2 vale ∆φ = 2π/3.

Las se nales armonicas ademas son soluciones de ciertas ecuaciones diferencialesque describen muchos fenomenos que ocurren en la naturaleza incluido el compor-tamiento de circuitos lineales. Los circuitos vistos hasta ahora son circuitos lineales.Un circuito lineal es aquel que tiene la propiedad de que cuando se excita por va-rias se nales, su respuesta es la suma de las respuestas que producirıan las mismasse nales aplicadas individualmente. Expresado mas formalmente, si O(A) es la res-puesta de un circuito cuando actua sobre el la se nal A, entonces el circuito es lineal siO(A+B) = O(A) +O(B). La respuesta de un circuito lineal, excitado por una ondaarmonica, es otra onda armonica, de la misma frecuencia, pero cuya amplitud y fase

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Potencia y decibelios 197

1/2f 1/f 3/2f

−A

0

A

t

V

φ=π/2

φ=−π/6

Figura 16.2. Dos ondas, una retrasada o con fase negativa y otra adelantada o con fase

positiva. La mostrada con lınea discontinua corresponde a φ = 0.

pueden haber cambiado. Por ello se puede describir el comportamiento del circuitomediante su respuesta en frecuencia o espectro: el modo en que cambia la amplitudy la fase de una se nal armonica aplicada en funcion de su frecuencia.

En electronica, las se nales con las que uno se encuentra estan en un rango defrecuencias de unos pocos Hz a varios MHz. Se pueden generar frecuencias menorescon circuitos bastante complejos. Tambien es posible generar frecuencias mayores, porencima de los 2000 MHz, pero se requieren lıneas de transmision especiales o guıasde ondas. A estas frecuencias tan altas (microondas), la descripcion de los circuitosmediante elementos localizados deja de ser valida y hace falta considerar los camposelectromagneticos involucrados.

16.2. Potencia y decibelios

Una fuente de corriente continua de magnitud V , que mantiene una corriente I en uncircuito de resistencia R, necesita entregar al circuito una potencia constante dadapor P = V I = I2R = V 2/R. Estas expresiones tambien son validas en circuitos enlos que la fuente mantiene un voltaje que varıa en el tiempo, y ası podemos hablarde la potencia instantanea que la fuente emplea en mantener una corriente I en elcircuito.

Sin embargo, resulta util definir para se nales periodicas una potencia promedio.Se define la potencia media o promedio como la potencia total en un intervalo detiempo igual al periodo de la se nal, dividida entre el periodo, esto es

Pm =1

T

∫ T

0

V (t)I(t)dt, (16.2)

donde T es el periodo de la se nal.Si tenemos una fuente que suministra un voltaje dado por V0 sen(2πft) a una

resistencia de valor R, entonces podemos calcular la potencia suministrada en un

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198 Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

Descripcion dB

Umbral de percepcion 0Crujir del viento en las hojas de los arboles 10Silbido 20Conversacion normal ∼ 1m de distancia 65Ruido dentro de un coche 80Concierto de rock 120Nivel de dolor 130

Tabla 16.1. Diversos sonidos percibidos por el oıdo humano tomando de referencia el umbral

de percepcion igual a 1,0× 10−12 W/m2.

periodo

Pm =1

T

∫ T

0

V (t)2

Rdt =

V 20

R

1

T

∫ T

0

sen2(2π

Tt

)dt =

V 20

2R. (16.3)

Se define el valor eficaz de una se nal (en ingles root mean square o r.m.s) como laraız cuadrada del valor medio del cuadrado de la se nal.

Vef =

√√√√(

1

T

∫ T

0

V (t)2 dt

). (16.4)

En el ejemplo anterior, el valor del voltaje efectivo de la fuente serıa Vef = V0/√2.

Para las se nales sinusoidales es bastante frecuente dar la amplitud en funcion de suvalor efectivo, ya que conocido este es inmediato calcular la potencia media. El factorde conversion es entonces

√2. A veces la amplitud real se nombra por amplitud de

pico y tambien se suele de dar la amplitud de pico a pico (pp), es decir el doble de suvalor. En Espa na la tension de los hogares es de 310 V y la frecuencia de 50 Hz, portanto, la tension eficaz vale ∼ 220V.

Para comparar la potencia relativa de dos se nales se podrıa decir que una resultatres veces mayor que la otra. Sin embargo, ya que a veces estas razones son de variosmillones, se usan logaritmos en base 10. Ası, se define el decibelio (dB) como diezveces el logaritmo en base 10 de la razon entre dos potencias que queremos comparar,

1 dB = 10 log10

(P1

P0

). (16.5)

Esta definicion es una consecuencia de la manera en la que el oıdo humano respondea los cambios en la potencia del sonido. Lo mınimo que una persona normal puedepercibir es una potencia por unidad de superficie de 1,0 × 10−12 W/m2. Si usamoseste umbral de referencia como P0, y lo comparamos con la potencia de diversosfenomenos que producen sonido, resulta muy natural emplear la escala de decibelios.En la tabla 16.1 podemos ver algunos valores.

Podemos usar esta unidad para expresar ganancias de voltaje entre la salida y laentrada de un circuito cuando tenemos se nales armonicas. Si tenemos un circuito conuna resistencia de entrada igual a R, y lo excitamos con un voltaje igual a Vin sen (wt),

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Analisis en frecuencia 199

20Hz 200Hz 2kHz 20kHzf

V

frecuencias audibles

filtro compensador

Figura 16.3. Respuesta en frecuencias de un altavoz.

la potencia promedio empleada resulta V 2in/(2R). Si a la salida del circuito tenemos un

voltaje igual a Vout sen (wt+ φ), que usamos para excitar una carga del mismo valorR, entonces la potencia entregada valdra V 2

out/(2R). Podemos escribir la ganancia devoltaje en decibelios mediante la expresion

Ganancia de voltaje = 20 log10

(Vout

Vin

). (16.6)

En terminos de razones de voltajes, +3 dB son aproximadamente equivalentes a unarazon de amplitudes igual a

√2 ≃ 1,4 veces; +6 dB son aproximadamente equivalentes

a una razon de amplitudes igual a 2; +20 dB corresponden exactamente a una razonigual a 10; −3 dB son equivalentes a 1/

√2 ≃ 0,7, y −6 dB a 1/2.

16.3. Analisis en frecuencia

Los circuitos con componentes reactivos, como se conocen colectivamente a los con-densadores e inductores, se comportan de manera mas complicada que los circuitosresistivos, en los que solo intervienen resistencias. Los circuitos reactivos tienen uncomportamiento que depende de la frecuencia de la se nal (por ejemplo un divisor devoltaje tendra una razon de division que varıa con la frecuencia). Ademas, los circuitoscon componentes reactivos “corrompen” o modifican las se nales, como hemos vistocon el diferenciador e integrador en el capıtulo 15.

Al igual que las resistencias, los elementos reactivos son lineales. Esto quieredecir que la amplitud de la se nal de salida es proporcional a la de entrada. Por lotanto es particularmente util analizar estos circuitos preguntandose como el voltajede salida (amplitud y fase), depende del voltaje de entrada, siendo este ultimo unafuncion armonica de frecuencia determinada. La respuesta en frecuencias es la razonentre el voltaje de salida y de entrada en funcion de la frecuencia de entrada. Ungrafico de la respuesta en frecuencias da la misma informacion que el conocimientodel comportamiento temporal del circuito, y a veces incluso es mas apropiado.

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200 Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

Figura 16.4. Condensador conectado a

una fuente alterna.

t

I(t)

V(t)

Figura 16.5. La corriente a traves de un

condensador tiene un desfase positivo de

π/2 respecto al voltaje.

Imaginemos que tenemos un altavoz y conocemos su respuesta en frecuenciasdada por la lınea continua en la figura 16.3. En el altavoz, el voltaje se traduce enondas de presion en funcion de la frecuencia. Serıa deseable que el altavoz tuviera unarespuesta plana, es decir, de amplitud constante para todo el rango de frecuenciasaudibles, ya que no queremos que suene mas fuerte para un tono y menos para otro.Esto se puede conseguir introduciendo un filtro pasivo, representado por la curva dis-continua, con una respuesta inversa en el circuito amplificador de la radio o televisiona la que pertenece el altavoz.

Otra ventaja de trabajar en el dominio de las frecuencias es que se puede gene-ralizar la ley de Ohm, cosa que en el dominio temporal no era posible, reemplazandola palabra resistencia por impedancia. La impedancia se convierte ası en la resistenciageneralizada de bobinas, condensadores y resistencias. Los circuitos con inductores ycondensadores se dice que tienen reactancia. Por tanto, en general,

Impedancia = Resistencia + Reactancia. (16.7)

A menudo se dice que un condensador a una frecuencia dada tiene cierta impedan-cia, en lugar de cierta reactancia. Esto es porque el concepto de impedancia se usaindistintamente para todo.

16.4. Fasores

En el circuito mostrado en la figura 16.4, que consta de un condensador conectado auna fuente V (t) = V0 senωt, la corriente valdra

I(t) = CdV (t)

dt= CωV0 cosωt. (16.8)

La amplitud de la corriente resulta proporcional a la frecuencia y a la capacidaddel condensador, y la fase cambia en π/2 (va adelantada 90 respecto al voltaje),segun podemos ver en la figura 16.5. Esto pone de manifiesto lo que enunciabamosen la seccion anterior respecto a cambios en la fase y en la amplitud. Si en vez de un

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Fasores 201

condensador tuvieramos una resistencia, aplicando la ley de Ohm la amplitud de lacorriente serıa V0/R, pero la fase serıa la misma que la del voltaje.

Para generalizar la ley de Ohm, obviamente un solo numero (la amplitud) nonos vale, ya que necesitamos tener tambien informacion sobre la fase. Si ademas que-remos asociar elementos (en serie o en paralelo), en vez de trabajar con funcionestrigonometricas resulta mucho mas facil representar voltajes y corrientes mediantenumeros complejos, y usar su algebra. Sin embargo, no debemos olvidar que las co-rrientes y los voltajes son cantidades reales (observables y medibles) y por tantodebemos tener reglas para volver a la descripcion real. Considerando que estamoshablando de una onda con una sola frecuencia angular ω, usaremos las siguientesreglas:

1. Asociamos a cada voltaje o intensidad un numero complejo definido por la am-plitud y la fase de la se nal,

V (t) = V0 cos (ωt+ φ) ⇒ V = V0eiφ. (16.9)

Los numeros complejos V e I que representan voltajes o intensidades se llamanfasores.

2. Podemos volver a la descripcion real multiplicando el fasor por eiωt y tomandoseguidamente la parte real,

V (t) = ℜ(V eiωt). (16.10)

Es frecuente escribir el fasor como A = A06 φ. En muchos libros tambien se usa j en

lugar de i para representar la unidad imaginaria.Como ejemplo, una intensidad cuya representacion compleja viene dada por el

fasor I = 56 π/2 corresponderıa a la funcion real I(t) = −5 senωt.

Los numeros complejos

Presentamos aquı un breve resumen de la teorıa de los numeros complejos. Un numero

complejo se expresa en la forma

z = a+ ib. (16.11)

Las letras a y b representan numeros reales y sobre la i hablaremos en breve. Decimosque a es la parte real de z y b la parte imaginaria, y escribiremos

a = ℜ(z), b = ℑ(z). (16.12)

Podemos sumar y restar dos numeros complejos z = a+bi y w = c+di de la siguientemanera,

z + w = (a+ c) + (b+ d)i,

z − w = (a+ c)− (b+ d)i. (16.13)

El producto esta definido por

zw = (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i. (16.14)

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202 Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

φr

P

x

y

Figura 16.6. El plano de Argand. Cada punto P representa un numero complejo.

Estos resultados se pueden obtener a partir de las reglas usuales del algebra y consi-derar la siguiente regla de oro

i · i = i2 = −1. (16.15)

Debido a esta propiedad, los numero complejos proporcionan soluciones de problemasque no pueden resolverse con numeros reales. Por ejemplo, podemos escribir raıcescuadradas de numeros negativos.

Decimos que dos numeros complejos son conjugados uno de otro si sus partesreales son iguales, y sus partes imaginarias son iguales pero de signo opuesto. Siz = a+bi, denotaremos por z∗ = a−bi a su complejo conjugado. Se puede comprobarque

z + z∗ = 2ℜ(z),z − z∗ = 2iℑ(z). (16.16)

El producto de un numero complejo por su conjugado resulta un numero real,

zz∗ = a2 + b2. (16.17)

Este resultado permite determinar el cociente de dos numeros complejos: sean u, z, yw tres numeros complejos tales que

uw = z, w 6= 0. (16.18)

Diremos entonces que u es el cociente de z entre w y escribiremos u = z/w.Paradeterminar el valor de u, multiplicamos ambos lados de la (16.18) por w∗. Como ww∗

es un numero real, podemos eliminarlo del lado izquierdo de la ecuacion multiplicandoambos lados a su vez por 1/ww∗. El resultado es

u =z

w=

zw∗

ww∗ . (16.19)

Se define el modulo de un numero complejo como la raız cuadrada positiva de la sumade los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria. Si el numero es z = x + yi,podemos expresar su modulo como

|z| =√

x2 + y2 =√zz∗. (16.20)

La expresion de un numero complejo como pareja (x, y), siendo x la parte real e y laimaginaria, sugiere la notacion de las coordenadas de un punto en el plano xy o plano

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Ley de Ohm generalizada 203

cartesiano. En la figura 16.6 podemos ver que la distancia al origen r representarıa elmodulo del numero complejo z. A cada numero complejo se le puede asociar un vectorde posicion, y este vector puede representarse mediante sus coordenadas polares (r, φ),con lo cual podemos escribir el numero complejo como

z = x+ yi = r cosφ+ i r senφ = r(cosφ+ i senφ). (16.21)

Esta es la forma polar de un numero complejo. El angulo φ se llama argumento de z(arg z) y se puede calcular como

φ = arctany

x= φ0 + 2πk, k = 0,±1,±2, ... (16.22)

siendo φ0 un valor particular. Nosotros llamaremos valor principal del arg z al valorde φ que satisface

−π < φ ≤ π. (16.23)

Para tratar con fasores, necesitamos definir la funcion exponencial compleja. La fun-cion exponencial compleja ez ha de reducirse a la funcion real ex si z toma valoresreales. Se define entonces

ez = ex+iy = ex(cos y + i sen y). (16.24)

Podemos comprobar que si ℑ(z) = 0, tenemos la funcion exponencial real. Por otrolado, para un numero imaginario puro z = iy, resulta la identidad de Euler

eiy = cos y + i sen y. (16.25)

A partir de esta ultima expresion, y empleando la ecuacion (16.21), podemos repre-sentar cualquier numero complejo z como

z = |z| eiφ, (16.26)

siendo |z| su modulo y φ su argumento.

16.5. Ley de Ohm generalizada

El uso de fasores permite generalizar la ley de Ohm a circuitos que contienen conden-sadores e inductores. Para ello primero definiremos la reactancia de un condensador.Supongamos una fuente de voltaje alterna conectada en serie a una resistencia comomostraba la figura 16.4. Imaginemos que elegimos el instante inicial de manera que elvoltaje de la fuente venga dado por V (t) = V0 cosωt. Podemos representar la fuente

alterna mediante el fasor V = V0 y escribir

V (t) = ℜ(V0eiωt). (16.27)

La corriente que circula por el circuito viene dada entonces por

I(t) = CdV (t)

dt= −V0Cω senωt, (16.28)

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204 Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

y esta ultima expresion puede escribirse como

I(t) = ℜ(V0e

iωt

1/iωC

)= ℜ

(V0e

iωt

XC

), (16.29)

definiendose para un condensador la reactancia a frecuencia ω como

XC = 1/iωC. (16.30)

Por ejemplo, un condensador de 1µF a la frecuencia de 60Hz tendrıa una reactanciade −2653iΩ, y a 1MHz de −0,16iΩ. Si la fuente de voltaje es continua, esto es ω = 0,la reactancia es infinita. Esto expresa el hecho de que un condensador no deja pasarcorriente continua en el estado estacionario.

Si hacemos un analisis similar para un inductor, sustituyendo el condensador poruna bobina, encontramos que podemos definir la reactancia como

XL = iωL. (16.31)

Podemos ver que en circuitos con condensadores e inductores, las corrientes y losvoltajes se desfasan 90 al atravesar esos elementos.

Cuando describimos, en terminos de fasores, circuitos que contienen condensado-res y bobinas, podemos asociar a esos elementos numeros imaginarios puros llamadosreactancias. Si existen ademas resistencias, asociamos a estas numeros reales. Paradescribir la relacion corriente–voltaje, expresada de manera fasorial, entre dos puntosde un circuito, podemos escribir un numero complejo cuya parte imaginaria resultede la contribucion de las reactancias y la real de la contribucion de las resistenciasentre esos puntos. Ese numero complejo recibe el nombre de impedancia y lo repre-sentaremos por Z.

La relacion entre los fasores de corriente y de voltaje en un circuito puede expre-sarse mediante una ley de Ohm generalizada,

I = V /Z, (16.32)

donde V representa el voltaje de un circuito de impedancia Z que da lugar a unacorriente representada por I. La impedancia Z de varios elementos conectados enserie o en paralelo obedece las mismas reglas que las asociaciones de resistencias,teniendo en cuenta que se opera ahora con numeros complejos,

Z = Z1 + Z2 + Z3 + · · · (asociacion en serie), (16.33)

1

Z=

1

Z1

+1

Z2

+1

Z3

+ · · · (asociacion en paralelo). (16.34)

A continuacion resumimos las formulas para las impedancias de resistencias, conden-sadores e inductores,

ZR = R, (16.35)

ZC = 1/iωC = −i/ωC, (16.36)

ZL = iωL. (16.37)

Con estas reglas, podemos analizar los circuitos de corriente alterna con los mismosmetodos empleados para circuitos de corriente continua. Las leyes de Kirchhoff resul-tan las mismas pero aplicadas a fasores, la expresion para un divisor de voltaje quedaigual cambiando R por Z, etc.

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Potencia en circuitos reactivos 205

16.6. Potencia en circuitos reactivos

En el circuito de la figura 16.4 que consta de una fuente alterna de voltaje y uncondensador, existe un desfase de 90 entre el voltaje y la intensidad, como se ve enla figura 16.5. Para calcular la potencia promedio en un periodo, empleamos entoncesla definicion dada por la ecuacion (16.2) y resulta Pm = 0. Si se hace lo mismosustituyendo el condensador por un inductor, tambien se encuentra Pm = 0.

Existe otra forma de calcular la potencia promedio usando fasores. Se puededemostrar (ver Ejercicios) que

Pm = ℜ(Vef I∗ef ) = ℜ(V ∗

ef Ief ), (16.38)

en donde el subındice ef indica el valor efectivo. En el caso armonico el fasor efectivoes el fasor dividido por

√2 como ya veıamos.

Para ver que esto funciona, vamos a calcular el caso del condensador. Imaginemosque el voltaje tiene una amplitud efectiva de 1 V. Tenemos entonces

Vef = 1, Ief = Vef/ZC = iωC,

Pm = ℜ(Vef I∗ef ) = ℜ(−iωC) = 0, (16.39)

lo cual es la potencia promedio que obtenıamos antes.Se suele definir el factor de potencia como

factor de potencia =Pm

|V | |I|. (16.40)

Podemos ver que el factor de potencia va de 0 para circuitos puramente reactivosa 1 para circuitos puramente resistivos. Matematicamente representa el coseno delangulo de desfase entre el voltaje y la intensidad. Las compa nıas electricas cobran alos clientes normales en funcion de la potencia media que gastan, pero a las industriasen funcion del factor de potencia. Esto es porque los componentes reactivos hacen queno se transmita la potencia a la carga, ya que almacenan la energıa. Sin embargo, ala compa nıa electrica le cuesta producir esta energıa.

16.7. Ejercicios

1. Si en un caso como el dibujado en la figura 16.2 nos dieran el valor ∆t comola diferencia o retraso de una se nal respecto a la otra, ¿como se calcularıa ladiferencia de fases conociendo la frecuencia f?Solucion: ∆φ = 2πf∆t.

2. Calcular la corriente eficaz para una onda diente de sierra, de periodo T , tal queI = I0t/T .Solucion: Ief = I0/

√3.

3. Aplicando la definicion de dB, verificar que +3 dB equivalen aproximadamentea una razon de amplitudes igual a

√2 ≃ 1,4, +6 dB aproximadamente equivalen

a 2, +20 dB a 10 exactamente, −3 dB son equivalentes a 1/√2 ≃ 0,7 y −6 dB a

1/2.4. Comprobar las siguientes propiedades:

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206 Analisis en frecuencia de circuitos reactivos

La suma de un numero complejo y su conjugado es igual al doble de la partereal del numero original.La diferencia de un numero complejo y su conjugado es igual al doble de laparte imaginaria del numero original.El producto de un numero complejo por su conjugado resulta igual a la sumade los cuadrados de su parte real e imaginaria.El complejo conjugado del producto de dos numeros complejos es igual alproducto del complejo conjugado de cada numero.El numero complejo que resulta de aplicar la funcion exponencial a un numeroimaginario puro, tal que ℜ(z) = 0, posee modulo unidad.

5. Obtener la expresion (16.31) para la reactancia de una bobina.6. Demostrar que en un periodo, la potencia media disipada en un circuito compues-

to por una fuente de corriente alterna en serie con un condensador y un inductores nula. Hacerlo primero sin usar fasores y repetir la demostracion empleandolos.

7. Demostrar que la potencia promedio para dos se nales dadas por I(t) = I0 cos(ωt+φ1) y V (t) = V0 cos(ωt + φ2) se puede calcular como la parte real del productodel fasor del valor efectivo de una de ellas por el complejo conjugado del fasorefectivo asociado a la otra (16.38). Pista: emplear la expresion para la parte realdada por (16.16).

8. Demostrar que el factor de potencia es igual a cos θ, siendo θ el desfase entre laintensidad y el voltaje. Se puede usar la demostracion del ejercicio anterior.

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Capıtulo 17

Filtros

17.1. Se nales con ruido

Vamos a ver la utilidad de la descripcion en frecuencias de circuitos con componenteslineales y analizaremos una de sus principales aplicaciones: los filtros.

Imaginemos que tenemos una se nal proveniente de un satelite o de una sondaespacial que nos llega a la Tierra distorsionada. En la figura 17.1 podemos ver unase nal con un periodo de 1 ms contaminada con ruido. El ruido esta causado porcomponentes de mayor frecuencia que a naden ese aspecto arrugado a lo que deotra manera parecerıa una se nal armonica. Lo que nos llega de un satelite no esexactamente ası, ya que la se nal que hemos dibujado tiene un periodo relativamentegrande para las ondas que realmente emite un satelite cuyas frecuencias van del ordende 3 a 30 GHz. De todas maneras el ejemplo nos vale para enunciar el problema:queremos quedarnos con la mayor parte de la se nal buena, quitando en lo posibletoda la distorsion.

t

1ms

Figura 17.1. Se nal contaminada con ruido.

207

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208 Filtros

Vin

Vout

Z1

Z2

Figura 17.2. Divisor de voltaje generalizado.

17.2. Circuito CR - filtro pasa alta

Vamos a ver primero un circuito diferenciador CR como el del capıtulo 15, peroesta vez en el dominio de la frecuencia. Tenemos pues el caso que nos mostraba lafigura 15.12, pero esta vez la se nal de entrada sera una onda armonica de frecuenciaω. Nos interesa calcular el voltaje de salida en funcion del voltaje de entrada. Esto eslo que se llama funcion de transferencia.

Podemos tratar el circuito como un divisor de voltaje generalizado segun podemosver en la figura 17.2, asociando a la entrada y salida los fasores Vin y Vout. Por lotanto no tenemos mas que sustituir en la formula generalizada del divisor de voltaje,

Vout = VinZ2

Z1 + Z2

, (17.1)

los valores Z1 = 1/iωC y Z2 = R para obtener

Vout

Vin

=R

R+ 1/iωC. (17.2)

Si tomamos modulo en la expresion (17.2) resulta

|Vout| = |Vin|R

[R2 + 1/ω2C2]1/2. (17.3)

Ya que |Vout| = Vout es la amplitud de la se nal armonica, podemos escribir

Vout

Vin=

2πfRC

[1 + (2πfRC)2]1/2. (17.4)

En la figura 17.3 hemos representado en funcion de la frecuencia esta expresion,tambien llamada funcion de respuesta en frecuencias.

La amplitud de la se nal de salida se aproxima a la amplitud de la se nal deentrada a partir de una frecuencia llamada de corte, o tambien punto de −3 dB delfiltro. Esta frecuencia es f3dB = 1/(2πRC). A esta frecuencia la razon de voltajes esde 1/

√2 = 0,7 y la de potencias es justamente 1/2. A frecuencias bajas el circuito no

deja pasar mucha se nal, mientras que a frecuencias altas pasa casi toda la que entra.Recibe por tanto el nombre de filtro pasa alta.

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Circuito RC - filtro pasa baja 209

f

Vou

t/ Vin

f3dB

=1/2πRC

0.7

1

Figura 17.3. Respuesta en frecuencia de un filtro pasa alta.

Cuando tratabamos este circuito en el dominio temporal veıamos que la razonentre el voltaje de salida y el de entrada se hacıa igual a 1/e = 0,37 cuando el tiempotranscurrido era t0 = RC, de manera que a tiempos mayores la se nal se atenuabacada vez mas. En el dominio de las frecuencias, la se nal pasa a partir de la frecuenciaf3dB = 1/(2πt0), determinada por el mismo t0 = RC, mientras que a frecuenciasmenores la se nal no pasa.

Lo que ocurre en el dominio de la frecuencia es de alguna manera lo inverso de loque pasa en el dominio temporal. De hecho, el comportamiento en frecuencias de undiferenciador se parece al de un integrador en el dominio temporal (ver la figura 15.11).

17.3. Circuito RC - filtro pasa baja

Consideraremos ahora el caso en el que cambiamos el orden del condensador y laresistencia, como hacıamos en el circuito integrador representado en la figura 15.10.La se nal de entrada sera una onda armonica de frecuencia ω. Como antes, nos interesacalcular el voltaje de salida en funcion del voltaje de entrada y asociaremos a amboslos fasores Vin y Vout. Tratando el circuito como un divisor de voltaje generalizadoresulta, intercambiando Z1 con Z2 en (17.1), la funcion de transferencia

Vout

Vin

=1/iωC

R+ 1/iωC. (17.5)

Tomando el modulo en ambas partes y reordenando los terminos resulta para lasamplitudes la relacion

Vout

Vin=

1

[1 + (2πfRC)2]1/2. (17.6)

En la figura 17.4 hemos representado la funcion respuesta de este circuito. De nuevo,el comportamiento justifica el nombre de filtro pasa baja. La amplitud de la se nal desalida es aproximadamente igual a la amplitud de la se nal de entrada a frecuenciasmenores que f3dB = 1/2π(RC), llamada de frecuencia de corte o punto de −3 dB delfiltro. A partir de esa frecuencia existe una atenuacion cada vez mayor.

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210 Filtros

f

Vou

t/ Vin

f3dB

=1/2πRC

0.7

1

Figura 17.4. Respuesta en frecuencia de filtro pasa baja.

17.4. Graficas de Bode

En la seccion anterior, a partir de la funcion de transferencia obtenıamos la razon deamplitudes y la representabamos frente a la frecuencia usando una escala lineal. Sinembargo, la funcion de transferencia tambien nos da informacion sobre la respuestaen fase del filtro, es decir, sobre la diferencia de fase entre la se nal de salida y la deentrada.

Las funciones respuestas en amplitud y fase frente al logaritmo de las frecuencias,con la fase expresada en grados y las amplitudes en decibelios, se conocen comograficas de Bode. Resulta util aproximar estas graficas por lıneas rectas.

Funcion respuesta para la fase

Hemos calculado la respuesta en amplitud en las ecuaciones (17.4) y (17.6). Vamosahora a calcular la funcion respuesta para la fase. Empezaremos calculando la res-puesta en fase de un filtro pasa baja. Podemos racionalizar la expresion (17.5) paraseparar la parte real de la imaginaria multiplicando numerador y denominador por elcomplejo conjugado del denominador. Hecho esto resulta

Vout

Vin

=(1/iωC)(R− 1/iωC)

R2 + 1/(ωC)2=

1− iωRC

1 + (ωRC)2. (17.7)

Al dividir la parte imaginaria entre la parte real de (17.7), resulta un desfase igual a

φ = arctan (−ωRC) = − arctan(2πfRC). (17.8)

De forma similar, partiendo de la funcion de transferencia (17.2), la respuesta en fasepara un filtro pasa alta resulta

φ = arctan

(1

2πfRC

). (17.9)

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Graficas de Bode 211

0.1 f3dB f3dB 10 f3dB

−20

−10

0

gana

ncia

(dB

)

0.1 f3dB f3dB 10 f3dB0

45

90

f

fase

en

grad

os

Figura 17.5. Representacion de Bode para un filtro pasa alta.

Representacion de Bode para un filtro pasa alta

Estamos ya en disposicion de representar la respuesta en amplitud y fase de un filtropasa alta. La relacion de amplitudes recibe tambien el nombre de ganancia G. En larepresentacion de Bode la ganancia se expresa en decibelios segun la expresion (16.6).Para un filtro pasa alta, a partir de la expresion (17.4), la ganancia resulta

G(dB) = −10 log10

[1 +

(1

2πfRC

)2]. (17.10)

La representacion de Bode para la fase esta dada por la ecuacion (17.9). En la figurafigura 17.5 hemos pintado en trazo grueso ambas funciones frente a la frecuencia enescala logarıtmica.

Resulta mas sencillo aproximar estas curvas por lıneas rectas sin necesidad decalcularlas numericamente. Para el caso de la amplitud, cuando f ≈ 5f3dB , entoncesel argumento del logaritmo es practicamente igual a 1 con lo que G = 0. Cuandof es suficientemente peque no, hasta f ≈ 0,2f3dB , el argumento esta dominado por1/(2πfCR)2 y por tanto el crecimiento es lineal, de unos 20 dB/decada. Una decadaes un factor 10 en la frecuencia. De modo equivalente se puede decir que el crecimientoes de 6 dB/octava, donde una octava es hacer la frecuencia 2 veces mayor. Las dosrectas coinciden en el punto donde f = f3dB .

Para la curva de desfase tambien es posible una aproximacion lineal. Todo elcambio de fase se supone que ocurre entre 1/10 de la frecuencia de corte y 10 veces lafrecuencia de corte, es decir un intervalo de dos decadas centrado en la frecuencia decorte. En los extremos de este intervalo, el error de aproximar la curva por una rectahorizontal es de unos 6. La diferencia de fases es de 45 a la frecuencia de corte.

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212 Filtros

0.1 f3dB f3dB 10 f3dB

−20

−10

0

gana

ncia

(dB

)

0.1 f3dB f3dB 10 f3dB−90

−45

0

f

fase

en

grad

os

Figura 17.6. Representacion de Bode para un filtro pasa baja.

Representacion de Bode para un filtro pasa baja

De manera analoga, para un filtro pasa baja las funciones de respuesta resultan, segun(17.6) y (17.8),

G(dB) = −10 log10

[1 + (2πfRC)

2], φ = − arctan (2πfRC) . (17.11)

En la figura 17.6 hemos representado estas funciones junto a su aproximacıon lineal. Ladiscusion anterior es aplicable salvo que ahora para frecuencias peque nas el argumentodel logaritmo se hace igual a 1.

17.5. Circuitos resonantes - filtros de ancho de banda

Cuando se combinan condensadores con inductores es posible hacer circuitos que po-seen picos en sus funciones de respuesta, llamados picos de resonancia. Estos circuitosencuentran aplicaciones en transmision y recepcion de se nales.

Filtro de paso de banda

Consideremos el circuito mostrado en la figura 17.7. Este circuito se conoce con elnombre de sintonizador y se emplea para seleccionar una frecuencia particular de unase nal. Como L y C pueden ser variables, se puede elegir la frecuencia que queremosseleccionar. Podemos analizar el circuito encontrando la impedancia equivalente de laasociacion en paralelo del condensador y la bobina,

1

ZLC=

1

ZL+

1

ZC=

1

iωL+ iωC, (17.12)

de modo que

ZLC =i

(1/ωL)− ωC. (17.13)

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Circuitos resonantes - filtros de ancho de banda 213

R

L C

Vout

Vin

Figura 17.7. Filtro de paso de banda.

f

Vou

t/ Vin

f0

∆3dB

0.7

1

Figura 17.8. Respuesta del circuito re-

sonante.

Esta impedancia se hace infinita a una denominada frecuencia de resonancia igual af0 = 1/(2π

√LC) (esto es, ω0 = 1/

√LC). Por tanto, la funcion respuesta presenta un

pico a esta frecuencia.En combinacion con la resistencia R tenemos un divisor de voltaje cuya respuesta

en amplitud se muestra en la figura 17.8. En ella se ha pintado la ganancia frente ala frecuencia, dada por

Vout

Vin=

1[1 +Q2

(ff0

− f0f

)2]1/2 . (17.14)

Hemos escrito la respuesta en lo que se conoce como forma estandar para un circuitoRLC. Para ello, se introduce el factor de calidad Q = ω0RC. A partir de este factor sepuede obtener la anchura del pico ∆3dB en los puntos a −3 dB (en donde la amplitudse reduce 1/

√2) del valor en el pico) segun

Q =f0

∆3dB. (17.15)

En este caso se puede comprobar que efectivamente Q = R√C/L. El factorQ tambien

se puede definir como

Q = 2πEnergıa almacenada promedio

Energıa perdida promedio, (17.16)

en donde el promedio se evalua durante un ciclo. Una manera de obtener el denomi-nador de este cociente es calcular la energıa perdida como la potencia media disipadaen un ciclo multiplicada por el periodo, es decir Pm T . La potencia disipada es lapotencia que se pierde en la resistencia, cuyo valor es RI2R. En cuanto a la energıaalmacenada promedio, se almacena en el condensador y en la bobina, y por tanto,denotando el promedio en un periodo por <>, queda

Q = 2π< 1

2LI2L + 1

2CV 2

C >

T < RI2R >. (17.17)

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214 Filtros

RL

C

Vin Vout

Figura 17.9. Filtro de muesca o trampa.

RLC en serie.

f

Vou

t/ Vin

f0

1

Figura 17.10. Respuesta del filtro de

muesca.

Podemos calcular este cociente a la frecuencia particular de resonancia. A la frecuenciade resonancia, la energıa que se almacena en el condensador y en la bobina es la misma,de modo que

Q = ω0

< LI2L >

< RI2R >= ω0

< CV 2C >

< RI2R >= R

√C

L. (17.18)

Hemos visto tres maneras de hallar Q: escribiendo la funcion respuesta en amplituden forma estandar (17.14), empleando la anchura del pico a −3 dB (17.15), y porultimo en funcion de la energıa almacenada y disipada en un ciclo (17.16) cuando setrabaja a la frecuencia de resonancia. El fenomeno de la resonancia aparece en otrossistemas lineales disipativos, como puede ser un muelle con rozamiento, cavidadeselectromagneticas, etc.

Filtro de muesca o trampa

En el filtro anterior el condensador y el inductor estaban conectados en paralelo. Otravariedad de filtros RLC se usan con el condensador y el inductor conectados en serie.En la figura 17.9 podemos ver uno de ellos, llamado de trampa. La razon es queeste filtro permite el paso de todas la se nales excepto aquellas cuyas frecuencias seencuentran en la banda de resonancia.

La condicion de resonancia significa que en la funcion de transferencia tenemosun extremo. Se puede demostrar que la impedancia de la asociacion LC se anula ala frecuencia de resonancia f0 = 1/(2π

√LC), que resulta la misma que en el filtro

de paso de banda. En la figura 17.10 hemos pintado la respuesta en amplitud. Estecircuito es una trampa para se nales con frecuencia cercanas a f0, ya que son guiadasa tierra. El factor de calidad del circuito es ahora Q = ω0L/R.

17.6. Dise no de un filtro

Volvamos al comienzo del capıtulo. Dada la se nal representada en la figura 17.1,queremos quitarle el ruido y para ello usaremos un filtro RC.

Lo primero que se debe decidir es si se quiere que el filtro deje pasar las frecuenciasaltas o las bajas. La frecuencia de la se nal que nos interesa tiene un periodo de 1

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Ejercicios 215

ms, es decir una frecuencia de 1 kHz. En la figura se ve que hay unos 16 maximosdebido al ruido en la se nal, con lo cual la frecuencia del ruido estara en torno a los16 kHz. Ya que lo que se quiere es dejar pasar la primera se nal, lo que necesitamoses un filtro pasa baja, es decir un filtro como el que dibujabamos en la figura 15.10.

Ahora necesitamos elegir los valores de R y C. En primer lugar, R dependera de lacarga. Supongamos que la carga a la que vamos a conectar el filtro es Rload = 100 kΩ.Como hemos visto en el capıtulo 14, la impedancia de salida del filtro ha de ser menoren un 10% a la de carga, para asegurarnos que no afectamos el funcionamiento delfiltro por el efecto divisor de tension. La impedancia de salida del filtro depende dela frecuencia, pero en el caso mas desfavorable, cuando la impedancia es la maximaposible, valdra R (mirando el equivalente de Thevenin del filtro, el caso mas desfa-vorable ocurre cuando ω = 0, y entonces ZTh = R). Por lo tanto, de la condicionR ≤ Rload/10, se concluye que una buena eleccion es R = 10 kΩ.

El valor de C viene condicionado por la frecuencia de corte f3dB . Se podrıa elegirf3dB = fsenal, pero el problema es que en realidad la se nal no esta compuesta de unasola frecuencia, sino que incluye un rango que no queremos atenuar. Como queremosque la se nal de alta frecuencia sea atenuada lo maximo posible y la de baja frecuencialo mınimo, elegiremos f3dB = 2fsenal = 2kHz. Con ello se puede comprobar que lase nal original resulta atenuada en un 11%, es decir, obtenemos el 89% de la se nal ala salida del filtro empleando la expresion (17.6). En cuanto al ruido, podemos ver quesu frecuencia se halla a 8f3dB , es decir, a 3 octavas o 23 veces la frecuencia de corte.En la parte lineal de la representacion de Bode, cada octava implicaba una caıda de6 dB, por lo que la amplitud se vera reducida 23 veces. Esto es una estimacion yaque no estamos en la parte lineal de la curva, pero la respuesta correcta, usando denuevo la ecuacion (17.6), es que la amplitud se reduce en un factor 8,06. Con todaesta discusion, C = 1/(2πf3dBR) ≈ 0,008 × 10−6 F, con lo cual podemos elegir uncondensador de 0,01µF.

17.7. Ejercicios

1. Demostrar que el angulo entre dos numeros complejos en el plano de Argandviene dado por el arco cuya tangente es el cociente entre la parte imaginaria y laparte real del cociente de ambos. Pista: escribir las partes real e imaginaria delcociente como suma y resta del numero y su conjugado y usar la forma polar delos numeros complejos.

2. Demostrar la expresion (17.9) para la respuesta en fase para un filtro pasa alta.3. Justificar la aproximacion lineal de la figura 17.6 para un filtro pasa baja.4. Sustituir el condensador por un inductor en un filtro pasa alta y pasa baja y

calcular sus funciones de respuesta en frecuencia. Dibujar esquematicamente susgraficas de Bode y comprobar que son las mismas que las representadas en lasfiguras 17.5 y 17.6.Solucion: Vout/Vin = 1/

√1 + [R/(ωL)]2, φ = arctan (R/(ωL)).

Vout/Vin = 1/√

1 + (ωL/R)2, φ = − arctan (ωL/R).5. Obtener la ecuacion (17.14) para la funcion respuesta en amplitud del filtro mos-

trado en la figura 17.7. Comprobar que el intervalo entre las frecuencias de lospuntos de −3 dB vale ∆3dB = f0/Q.

6. Demostrar que a la frecuencia de resonancia, la energıa almacenada en la bobina

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216 Filtros

del circuito de la figura 17.7 es la misma que la que se almacena en el condensador.7. A partir de las igualdades dadas en la expresion (17.18) para el factor de calidad

a frecuencia resonante, obtener el valor Q = ω0CR.8. Para el circuito representado en la figura 17.9, calcular la frecuencia de resonancia

y el factor de calidad.Solucion: f0 = 1/2π

√LC, Q = 2πf0L/R.

9. La frecuencia de resonancia no es la misma para circuitos RLC. Depende decomo estan conectados los elementos. Para comprobarlo, calcular la frecuenciade resonancia en un circuito con un condensador en serie con la asociacion enparalelo de los otros dos. Compararlo con la frecuencia de resonancia de un filtrode ancho de banda.Solucion: ω0 = 1/

√LC − (L/R)2.

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Capıtulo 18

Semiconductores

18.1. Semiconductores, metales y dielectricos

Si aplicamos un campo electrico a un volumen lleno de partıculas neutras no aparececorriente electrica. De esta manera, un volumen lleno con un gas de atomos neutrosde cualquier sustancia, por ejemplo plata, es un aislante o dielectrico que se puedeconsiderar ideal. Sin embargo, en estado solido, la plata presenta una conductividad1022 veces mayor que la del vidrio. Una sustancia, dependiendo del cristal que forma(de su ordenamiento formando distintos tipos de redes), puede ser aislante o conduc-tora. Ası, el carbono puede ordenarse de una forma conocida como grafito, que es unbuen conductor, y de otra forma conocida como diamante que es un aislante casi per-fecto. En un gas, los atomos o moleculas se pueden considerar como entes individualesya que estan muy separados entre sı, mientras que en un solido las propiedades nodependen tanto de los atomos individuales como de los enlaces entre ellos.

Supongamos que tenemos un cristal como el mostrado en la figura 18.1. Paraformar el enlace imaginemos que cada atomo pierde un electron de valencia. Esoselectrones quedan entonces libres para saltar de la proximidad de un nucleo a otro. Sepuede decir que se colectivizan. Habra unos 1022 electrones por centımetro cubico enel metal (dibujados como puntos negros) que pueden responder libremente a la accionde un campo externo, generandose corriente electrica. Esta situacion es la del enlacemetalico.

Veamos el caso opuesto, en donde todos los electrones de valencia intervienenen el enlace entre atomos y ninguno se colectiviza. En la figura 18.2 podemos ver uncristal de silicio (Si). El atomo de silicio posee 4 electrones de valencia. Al formar lared, comparte esos electrones con sus vecinos, de manera que a su alrededor orbitan 8electrones segun podemos ver representados mediante las lıneas que unen los atomosen la figura: los cuatro que tenıa y otros 4 provenientes de sus vecinos. La carganegativa que posee cada atomo de la red en promedio es de 4 electrones, la misma quetenıa individualmente. En este caso no existe carga disponible que libremente puedaresponder a un campo externo y por consiguiente su comportamiento sera el de unbuen dielectrico.

Sin embargo, cualquier defecto en la red, cualquier impureza debida a la presenciade un atomo extrano, incluso calor, son capaces de destruir algunas de las ligaduraselectronicas. Entonces, en menos cantidad que en el caso de un conductor, existiran

217

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218 Semiconductores

Figura 18.1. Diagrama esquematico de

la red cristalina de un metal. La red de

iones cargados positivamente esta inmer-

sa en un gas de electrones libres.

Si

Figura 18.2. Diagrama esquematico de

la red cristalina del silicio. Las lıneas

que unen los atomos representan ligadu-

ras electronicas.

electrones libres que pueden conducir corriente. Este comportamiento es el de unsemiconductor.

La conductividad de estos materiales no es ni muy grande ni muy pequena. Esmenor que la de algunos materiales conductores, como el cobre, el hierro, el aluminio,el oro o la plata, pero mucho mayor que la de dielectricos como el vidrio, la madera oel papel. Otra importante propiedad que poseen es la dependencia de la conductividadcon la temperatura de forma muy marcada. Dicho de otro modo, su resistencia al pasode la corriente electrica depende mucho de la temperatura.

Estas dos propiedades, a primera vista nada espectaculares, hacen de estos ma-teriales los protagonistas de la tecnologıa electronica actual. Capas delgadas de ma-teriales semiconductores, unas sobre otras, se usan para controlar el flujo de corrienteelectrica en los circuitos, para detectar y amplificar se nales de radio, para produciroscilaciones en los transmisores, para fabricar interruptores digitales, etc.

18.2. Teorıa de bandas para la conduccion

Un tratamiento riguroso para explicar el comportamiento de los semiconductores re-querirıa mecanica cuantica. Sin embargo, es posible un tratamiento clasico para in-troducir los conceptos de la teorıa de bandas y huecos.

Calculemos primero el campo que mantiene unidos los electrones en un cristalideal de Si a 0 K, por lo que todos los electrones de valencia participan en el enlace.Usaremos propiedades del Si y algunas hipotesis:

El Si tiene numero atomico Z = 14. En las capas mas externas posee 4 electronesde valencia. Por consiguiente, la carga total positiva que sienten estos electrones esigual al numero de protones menos el numero de electrones de las capas internas,es decir 4e.Supondremos que el campo que mantiene unido a estos electrones de valenciacon el nucleo se puede calcular como un campo creado por cargas puntualesempleando la ley de Coulomb.El Si cristaliza en forma de diamante, con cada atomo de la red dentro de untetraedro, con 4 vecinos en cada vertice. La distancia a cada vecino, tambienllamada constante reticular, vale a0 = 0,54 nm. Supondremos que la distancia

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Teorıa de bandas para la conduccion 219

entre los electrones de valencia y el conjunto del nucleo mas los electrones internoses a0.

Con estas hipotesis, el modulo del campo electrico que siente un electron es |E| =2×1010 V/m, 10000 mayor que el necesario para desencadenar rayos en una tormenta.Esta claro que el Si se comporta en estas condiciones como un dielectrico perfecto, yaque un campo externo, sumado al que mantiene unido al electron con el nucleo, solodeformara un poco las orbitas electronicas, pero no habra corriente.

Veamos ahora cuanta energıa harıa falta para liberar un electron. La fuerza quemantiene ligado al electron viene dada por |Fe| = e|E|. Para liberarlo, deberıamosaplicar al menos una fuerza de igual magnitud, y alejarlo una distancia a0. Ası parahacerlo libre necesitarıamos suministrarle una energıa Eg = a0e|E|. El subındice gviene de la palabra inglesa gap que significa espacio, intervalo, salto. Si suponemos queel campo electrico es del mismo orden que el calculado anteriormente, |E| ∼ 1010 V/mpara el Si en las condiciones ideales anteriores, entonces Eg ≈ 5 eV. Un electron-voltio

eV es la energıa que adquiere un electron acelerado por una diferencia de potencialde 1 V. Por tanto, 1 eV = 1,6× 10−19 J.

En general, podemos decir que si Eg ≥ 3 eV, el cristal se comportara como undielectrico, con una resistencia infinita. Si, por el contrario, Eg ≤ 3 eV, sera masfacil que se rompan algunos enlaces y se creen electrones libres. El comportamientosera el de un semiconductor, con conductividad distinta de cero y resistencia finita.Por ejemplo, para el antimoniuro de indio (InSb), Eg ≃ 0,17 eV. La energıa que poseela radiacion infrarroja es del mismo orden, y cuando se ilumina con luz infrarrojaun semiconductor de este tipo se vuelve conductor. Otro semiconductor tıpico es elarseniuro de galio (GaAs), con Eg ≃ 1,4 eV.

A temperatura finita, los atomos de la red se ponen a vibrar y sera mas facilromper enlaces, con lo cual la resistencia electrica disminuye cuando la temperaturaaumenta en los semiconductores. En los metales, la resistencia aumentaba con latemperatura.

Se dice que los electrones que participan en el enlace ocupan la banda de valencia

del solido, estando todos ellos en un rango energetico menor que aquellos que seencuentran en la llamada banda de conduccion. La banda de conduccion es el rangoenergetico en el que se hallan los electrones colectivos del cristal. Ambas bandas orangos energeticos estan separadas por un intervalo que es igual a Eg llamado banda

prohibida. Esto se puede ver de un modo grafico empleando los diagramas de bandas.En la figura 18.3 podemos ver el diagrama de bandas para un semiconductor

como el Si a temperatura ambiente, y en la figura 18.4 para un aislante. En general,un material puede conducir electricidad si la banda de valencia, la de conduccion, oambas, no estan completamente llenas de electrones o completamente vacıas. Si estanvacıas, esta claro que no hay portadores y no habra corriente, pero tambien hace faltaque haya espacio en una banda para que los portadores que se encuentran en ellapuedan moverse. Si en un material la banda de conduccion y la de valencia estancompletas no habrıa corriente. Si la banda de valencia se halla medio vacıa y la deconduccion totalmente vacıa entonces sı puede haber corriente, como suele ser el casode un metal monovalente, formado por atomos con un solo electron en la capa devalencia.

En un aislante, normalmente la banda de conduccion se encuentra vacıa mien-tras que la de valencia esta llena. En un semiconductor como el representado en la

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220 Semiconductores

E = 1 eVg

Banda de valencia

Energia

Bandade conduccion

Figura 18.3. Diagrama de bandas pa-

ra un semiconductor. La banda de con-

duccion contiene algunos electrones exci-

tados termicamente que han abandonado

la banda de valencia.

Energia

E = 5 eVg

Banda de valencia

Bandade conduccion

Figura 18.4. Diagrama de bandas para

un aislante. La banda de conduccion se

encuentra vacıa mientras que la de valen-

cia completamente llena.

figura 18.3, debido a que Eg no es demasiado grande, existen electrones con suficienteenergıa termica como para saltar esta barrera y pasar a la banda superior. La bandade conduccion contiene electrones que han abandonado la banda de valencia dejandoespacios vacıos en ella o huecos.

Los huecos no son partıculas, sino espacios vacıos dejados por electrones. Sinembargo, el concepto de hueco fue introducido en 1933 por Frenkel para nombrar a lapartıcula capaz de crear una corriente electrica en un semiconductor y que transpor-ta la misma carga electrica que el electron pero con signo positivo. De esta manerase asignaban propiedades de masa y carga a estos espacios vacıos. En las proximassecciones, cuando discutamos como se mueven los electrones de las capas parcial-mente ocupadas cuando se aplica un campo electrico, veremos lo util que resulta ladescripcion de Frenkel.

18.3. Semiconductores intrınsecos

Los semiconductores intrınsecos son aquellos en los cuales la concentracion de huecosy electrones libres esta determinada unicamente por Eg y por la temperatura a la quese encuentran.

Imaginemos un cristal de Si como el que dibujamos en la figura 18.5, en el queno existen defectos ni impurezas, y que se halla a temperatura T . La pregunta quenos haremos es cuantos enlaces estaran rotos o cuantos electrones habra en la bandade conduccion.

El movimiento caotico de la red debido a la energıa termica tiende a romperlos enlaces. Por consiguiente, el efecto de la temperatura sera la creacion de paresde electrones y huecos. Se sabe que el valor medio de la energıa de este movimientocaotico viene dado por kBT , siendo

kB = 1,38× 10−23 J/K = 8,6× 10−5 eV/K, (18.1)

la constante de Boltzmann. A temperatura ambiente (300 K), la energıa termica eskBT ≈ 0,026 eV, mientras que a una temperatura de 200C, es kBT ≈ 0,043 eV (laconversion entre grados centıgrados y Kelvin viene dada por K = C+ 273,15).

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Semiconductores intrınsecos 221

Si

Figura 18.5. Cristal de Si a T 6= 0, en donde se puede ver un par electron-hueco

En general para semiconductores kBT ≪ Eg, lo que sugiere que la energıa termicaes incapaz de romper enlace alguno, pero lo que ocurre es que kBT da el valor mediode la energıa termica, pero no el valor para cada atomo del cristal en un determinadoinstante. Habra atomos que posean una energıa mucho mayor y otros mucho menorque kBT , siendo los primeros capaces de perder electrones de enlace. La mecanicaestadıstica nos dice que la probabilidad de que existan atomos con una energıa iguala Eg en un determinado instante, cuando se halla el cuerpo con una energıa promediokBT , viene dada por la exponencial del cociente con signo negativo. Por consiguiente,el numero de pares electron-hueco creados cada segundo por unidad de volumen delsemiconductor vendra dado por

P1 = α exp

(− Eg

kBT

), (18.2)

siendo α un coeficiente de proporcionalidad diferente para cada tipo de semiconductor.Por otro lado, cuando un electron libre se encuentra con un hueco, se aniqui-

lan mutuamente. El electron rellena el hueco y se libera una energıa igual a Eg.Este proceso se llama recombinacion. La frecuencia con la que ocurre este procesosera proporcional al numero de huecos existentes, ya que mientras mas huecos haya,mas probabilidad tendra un electron de encontrarse con un hueco. Ademas, tambiensera proporcional por la misma razon al numero de electrones. Podemos entoncesescribir el numero de electrones y huecos que desaparecen por recombinacion cadasegundo, por unidad de volumen, como

P2 = β nipi , (18.3)

siendo β un coeficiente de proporcionalidad que depende del semiconductor considera-do, y ni, pi respectivamente el numero de electrones y huecos por unidad de volumenen el semiconductor intrınseco.

En un semiconductor intrınseco cada vez que se crea un hueco aparece un electronlibre (se genera un par), por lo que podemos igualar las concentraciones ni = pi, yescribir esta la expresion (18.3) como

P2 = β ni2 = β pi

2. (18.4)

El equilibrio a una determinada temperatura se alcanza cuando las concentraciones ni

y pi no cambian en el tiempo, por lo que el proceso de recombinacion ha de igualarse

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222 Semiconductores

Eg

Ev

Ec

Figura 18.6. Diagrama de bandas ilustrando el proceso de generacion y recombinacion en

un semiconductor intrınseco. La flecha hacia arriba indica el proceso de creacion, hacia abajo

el de aniquilacion.

al proceso de generacion. Igualando (18.2) y (18.3), obtenemos

ni = pi = N exp

(− Eg

2kBT

), (18.5)

con N = (α/β)1/2.Los procesos de generacion y recombinacion pueden describirse mediante el dia-

grama de bandas de la figura 18.6 en donde se representa la creacion–aniquilacionde un par. El hueco se ha pintado como una carga positiva (ausencia de electron enla banda de valencia). El electron aparece como un punto negro mas pequeno (conmenos masa) en la banda de conduccion. En la seccion 18.5 veremos por que se suponemenos masivo el electron que el hueco.

La expresion (18.5) permite explicar las propiedades que mencionabamos al co-mienzo del capıtulo. En la tabla 18.1 podemos ver algunos valores de Eg y de la con-centracion ni para diferentes semiconductores a diferentes temperaturas. Recordemosque cada centımetro cubico de un metal contiene unos 1022 electrones de conduccion,mientras que incluso en un semiconductor como el InSb, con un valor pequeno de Eg,el numero de electrones intrınsecos es, a temperatura ambiente, un millon de vecesmas pequeno. Es de esperar que no sea tan buen conductor. Por otro lado, un cam-bio en la temperatura aumenta la concentracion de electrones y, por consiguiente, laconductividad. Se puede comprobar que si se aumenta la temperatura 1,7 veces, laconcentracion en en caso del GaP aumenta 5,5× 107 veces.

Semiconductor Eg (eV) T (K) ni (cm−3)

InSb 0,17 300 1,3× 1016

500 4,8× 1016

Ge 0,72 300 2,4× 1013

500 6,4× 1015

GaAs 1,4 300 1,4× 107

500 7,2× 1011

GaP 2,3 300 0,8500 4,4× 107

Tabla 18.1. Valores caracterısticos de la concentracion de electrones a diferentes tempera-

turas para algunos semiconductores.

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Semiconductores extrınsecos 223

Si

As

Figura 18.7. Un atomo donador As en una red de Si.

18.4. Semiconductores extrınsecos

En la naturaleza no existen sustancias puras que contengan un solo tipo de atomos.Cualquier cristal real contiene alguna impureza. Una sustancia se considera pura sicontiene un atomo extrano por cada 1000 atomos intrınsecos, es decir, un 0,1% deimpurezas. Desde el punto de vista quımico, la sustancia sera absolutamente purasi contiene 0,001% de impurezas. Sin embargo, supongamos que la impureza en elsemiconductor es capaz de liberar un electron o formar un hueco con mucha facili-dad. Esto implica que tendremos por cada centımetro cubico unos 1017 electroneso huecos aproximadamente. Si miramos de nuevo la tabla 18.1, esta concentracionsera mucho mayor que cualquiera de las concentraciones intrınsecas. Es por esto quelas impurezas juegan un papel tan importante en las propiedades del semiconductor.El control de las mismas es de suma importancia, y por ello, su fabricacion se haceen salas esterilizadas, incluso mas que los quirofanos. La gran mayorıa de materialessemiconductores contiene cierta cantidad controlada de impurezas para fijar el valornecesario de la conductividad.

Impurezas donadoras

Veamos primero el caso de las impurezas donadoras. Supongamos que un atomo ex-trano se ha alojado en un cristal y ocupado uno de los lugares de la red. Por ejemplo,un atomo de arsenico (As) ha ocupado el lugar de un atomo de Si como puede verseen la figura 18.7. El Si tenıa 4 electrones de valencia pero el As tiene 5.

Cuatro de esos electrones del As formaran enlaces con los atomos de Si vecinos, ysobra uno. Ese quinto electron se quedara en las cercanıas del As, pero al tratarse deun electron de las capas exteriores y no formar enlace, estara ligado al As debilmente.La energıa necesaria ∆E para que este electron se transforme en un electron libresera mucho menor que la energıa Eg necesaria para liberar uno de los electrones devalencia del cristal. Esta energıa de ionizacion se llama energıa de activacion de laimpureza. Las impurezas que pierden electrones facilmente, como en este caso, recibenel nombre de impurezas donadoras.

Sea Nd la densidad de impurezas y consideremos que el cristal se halla a 0K.El cristal se comportara como un dielectrico ideal, ya que aunque liberar el quintoelectron implica poca energıa, a esa temperatura no hay ninguna disponible (recor-demos que no hay vibraciones de la red). A temperatura mayor que cero, la densidadde electrones libres debido a las impurezas vendra dada por

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224 Semiconductores

Si

B

Figura 18.8. Un atomo aceptor B en una red de Si.

nd = Nd exp

(− ∆E

kBT

), (18.6)

en donde el subındice d indica donadora. La expresion es analoga a la ecuacion (18.5),pero en lugar de un valor grande Eg tenemos un valor mucho menor ∆E. En el casodel As en el Si, ∆E es igual a 0,05 eV.

Un semiconductor en el que se han introducido impurezas donadoras se llamasemiconductor de tipo n. La letra n viene de la palabra negativo, mostrando que elsemiconductor tiene muchos electrones libres.

Impurezas aceptoras

Veamos ahora el caso en el que la impureza tiene menos electrones para compartir queel atomo intrınseco. En este caso recibe el nombre de impureza aceptora. Imaginemosque en vez de As la impureza fuera boro (B). El B es trivalente, y por tanto lefaltara un electron para poder formar un enlace completo con los cuatro vecinos dela red.

En la figura 18.8 se pueden ver los enlaces electronicos de un semiconductor deSi dopado con B. Esta situacion es parecida a la mostrada en la figura 18.5, ya que encada caso falta un enlace. Sin embargo, existe a la vez una gran diferencia: todos losatomos de Si son identicos por lo que, en cualquier instante, el hueco entre ellos puederellenarse por uno de los electrones de enlace y pasar a estar mas cerca de otro vecino.No hace falta energıa para que el hueco viaje por el cristal. Pero el B es un atomoextra no en la red. Para que un electron del Si vecino rellene el hueco del B y se creeun hueco, es necesaria una energıa ∆E. En el caso del B en Si esta energıa es de solo0,045 eV, pero aunque peque na, es distinta de cero. Ningun hueco se formara en elcristal hasta que esta barrera energetica no sea superada. Supongamos que, o bien lavibracion de la red, o la radiacion exterior, ha suministrado esta energıa de activacion.Ahora la situacion sera identica a la de la figura 18.5. Habra un hueco o enlace vacıoque equivale a una carga positiva en la red. La expresion que nos dara la concentracionde estos huecos en el equilibrio sera entonces

pa = Na exp

(− ∆E

kBT

), (18.7)

analoga a la del caso de impurezas donadoras. Es importante tener en cuenta que lacreacion de un hueco no esta acompa nada de la creacion de un electron libre (de

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Semiconductores extrınsecos 225

1/T

ln n

(ln

p)

∼ Eg/2k

B

∼ ∆E/kB

Figura 18.9. Dependencia tıpica de la concentracion de portadores con la temperatura. Po-

demos observar tres regiones: a bajas temperaturas la conductividad se debe principalmente

a la presencia de impurezas, conforme aumentamos la temperatura las impurezas se saturan,

y por ultimo, los portadores intrınsecos son los que contribuyen a la conductividad.

forma analoga a lo que sucedıa en el caso de impurezas donadoras con la creacion deelectrones libres). Un semiconductor que ha sido dopado con impurezas aceptoras sellama semiconductor de tipo p (la letra p viene de positivo).

Por ultimo, queremos hacer constar que las expresiones (18.6) y (18.7) son soloaproximadas y validas si el valor calculado con ellas es mucho menor que las concen-traciones de impurezas Nd y Na respectivamente, esto es, si kBT ≪ ∆E. Si este no esel caso, entonces todo los atomos de impurezas estaran activos y las concentracionesnd y pa seran iguales a las concentraciones Nd y Na.

Portadores mayoritarios

La curva de la figura 18.9 resume lo que hemos aprendido sobre las propiedades delos semiconductores intrınsecos y extrınsecos. Representa la dependencia tıpica de laconcentracion de portadores libres (electrones o huecos) con la temperatura. Se hadibujado el logaritmo de las densidades frente a la inversa de la temperatura.

Para temperaturas bajas, la contribucion principal o mayoritaria viene de la crea-cion de portadores debida a la presencia de impurezas. Se puede ver que la dependenciaes lineal como predicen las expresiones (18.6) y (18.7). Conforme la temperatura au-menta y nos acercamos hacia el origen de la grafica, vemos que llegamos a una zonaen las que la concentracion de portadores mayoritarios no depende de la temperatu-ra. Esta zona corresponde a un rango en el que todas las impurezas, y no solo unafraccion de ellas, tienen suficiente energıa termica para contribuir a la aparicion deun electron libre (o hueco). Por ultimo, si continuamos aumentando la temperatura,la energıa termica es suficiente para que los atomos del cristal puedan romper susenlaces y crear pares electron-hueco. Esto esta representado por una lınea recta dependiente Eg/2kB que se corresponde con la expresion (18.5).

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226 Semiconductores

Portadores minoritarios

Anteriormente hemos visto cual es la concentracion de electrones debida a la presenciade impurezas donadoras y la de huecos debida a impurezas aceptoras. Estos portadoresson los que a bajas temperaturas contribuyen mayoritariamente a la densidad de cargalibre como se aprecia en la figura 18.9. Sin embargo, las impurezas donadoras no solodonan electrones, sino que tambien afectan a la distribucion de huecos. Analogamente,las aceptoras no solo crean huecos sino que tambien afectan a la concentracion deelectrones.

Discutiremos ahora cual sera la concentracion de huecos en un semiconductor detipo n, y cual la de electrones en uno tipo p, minoritarias en ambos casos. En primerlugar, recordemos que cuando se ionizan las impurezas, en el caso de ser de tipo n, estascrean un electron pero no un hueco (para las impurezas tipo p se crean huecos perono electrones). Dicho de otro modo, las impurezas no crean pares. A la vista de esto,podrıa pensarse que el numero de portadores minoritarios debe de ser el intrınseco yaque las impurezas no contribuyen a crear huecos extras en el caso de ser donadoras(semiconductor tipo n), o electrones extras si son aceptoras (semiconductores tipop). Esto es verdad a medias. Es cierto que la creacion de pares electron-hueco queaparecen por cada segundo a una temperatura T en un semiconductor de tipo n o pes el mismo que en el caso de un semiconductor intrınseco, pero el numero de paresque desaparecen no.

La expresion (18.2) nos daba el numero de pares que aparecıan a una deter-minada temperatura, que era igual al que desaparecıa, y por tanto proporcional an2i (T ). Sin embargo, el numero de huecos en el caso de un semiconductor tipo n en el

equilibrio sera menor, ya que al haber mas electrones habra mas posibilidades de queestos se encuentren con aquellos, y por tanto que se aniquilen. De nuevo, como en laexpresion (18.3), el numero de huecos que desaparecen es proporcional al producto delas poblaciones de huecos p0 y electrones n0. Por consiguiente, la ecuacion de balanceen el equilibrio puede escribirse como

p0 n0 = n2i (T ), (18.8)

en donde el subındice 0 equivale a d o a dependiendo de que clase de semiconductorse trate, si donador o aceptor. Si combinamos esta expresion con las ecuaciones (18.6)o (18.7), podremos saber cuanto vale la concentracion de portadores minoritarios,huecos pd en el primer caso, o electrones na en el segundo caso.

18.5. Movimiento de electrones y huecos

En este apartado veremos como se mueven los portadores libres y contribuyen a lacorriente cuando se aplica un campo electrico al semiconductor. Veremos que podre-mos asignar a los huecos propiedades de partıculas positivas que se desplazan a favordel campo aplicado. La corriente electrica sera la suma del movimiento ordenado delos electrones libres mas el de los huecos.

Movimiento termico

Los atomos de cualquier sustancia estan en constante movimiento termico debido a laenergıa cinetica que poseen. Las colisiones de los portadores libres con los atomos de

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Movimiento de electrones y huecos 227

la red cristalina dan lugar a un movimiento caotico. El promedio energetico de estemovimiento termico es igual a 3kBT/2. Igualando este valor a la energıa cinetica dela partıcula mv2/2, podemos encontrar el modulo de la velocidad media vT de estemovimiento caotico,

vT =

(3 kBT

m

)1/2

. (18.9)

Cuando T = 300K, si asumimos que la masa del portador es igual a la del electronen el vacıo, resulta vT ≈ 105 m/s. Sin embargo, no habra desplazamiento neto porquela direccion de este movimiento es aleatoria.

Movimiento en un campo electrico

En presencia de un campo electrico, los portadores adquieren ademas un movimientoen la direccion del campo aplicado. Los electrones cargados negativamente tenderana moverse hacia el electrodo positivo.

Veamos que le ocurre a los huecos. Recordemos que un hueco no es una partıculareal, sino la ausencia de un electron de enlace. Este hueco puede ser ocupado por unelectron libre, con lo cual desaparecerıa el par, o por uno de los electrones vecinos queparticipan en el enlace, con lo cual el hueco permanecerıa en la cercanıa del mismoatomo, ya que este electron de enlace deja a su vez otro hueco. Debido sin embargoa la presencia de un campo externo, los electrones de enlace deforman un poco susorbitas, y en general sera mas probable que los electrones que tiendan a ocupar elhueco sean aquellos tales que su orbita pase mas cerca, y estos pueden ser de atomosvecinos. El movimiento de esta sucesion de huecos sera en promedio paralelo al campo.Podemos describir esta situacion como un solo hueco que se comporta electricamentecomo el electron pero con carga positiva. El resultado de todo esto es un movimientodirigido de electrones negativos en un sentido y huecos positivos en el otro, dando lasuma una corriente electrica.

En presencia de un campo electrico E la fuerza electrica que actua sobre un por-tador es Fe = qE (q = ±e, dependiendo si es un electron o un hueco). Ademas laspartıculas sufren colisiones con los atomos que componen el cristal debido a la energıatermica que poseen. Despues de cada colision, el portador se puede mover en cualquierdireccion. Esto significa que en valor medio la velocidad de este movimiento sera cerojusto despues de la colision. En segundo lugar, como las colisiones son tambien alea-torias, el tiempo de vuelo libre del portador tambien sera bastante diferente. Podemospues tomar un promedio de este tiempo entre colision y colision, que denotaremospor τ0. El valor medio de la velocidad del portador o velocidad de arrastre se puedeobtener empleando los argumentos de la seccion 7.1 como

va =eτ0m

|E| = ζ|E|. (18.10)

El coeficiente de proporcionalidad ζ en la ecuacion (18.10) se llama movilidad,

ζ = eτ0/m. (18.11)

En la tabla 18.2 podemos ver algunos valores experimentales de este coeficiente paraelectrones y huecos a temperatura ambiente en distintos tipos de semiconductores.

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228 Semiconductores

La proporcionalidad entre la velocidad de arrastre y el campo electrico comovimos en el capıtulo 7 se puede escribir como

va =σe

en0

|E|, (18.12)

siendo σe la conductividad electrica del portador considerado y n0 su numero porunidad de volumen. Las ecuaciones (18.11) y (18.12) implican una relacion entremovilidad y conductividad dada por

σe = en0ζ. (18.13)

Mecanismos de colision

Analizaremos ahora con mas detalle el significado τ0 que aparece en la expresion(18.11). Supongamos que un portador va chocando con los atomos vecinos de la red, demanera que τ0 fuera el tiempo medio que tarda el portador en viajar entre dos vecinos.Para campos externos moderados, la velocidad promedio del portador sera va ≈ vT ,ya que la velocidad termica es del orden de 105 m/s. La distancia a0 entre dos vecinosen el caso de una red de Si vale aproximadamente 5× 10−10 m. Usando estos datos,podemos ver que obtendrıamos un valor ζ ∼ 10−3 m2/Vs para la movilidad.

Ya que los valores de a0 y vT son aproximadamente iguales para todo solido,este valor de la movilidad, suponiendo colisiones entre vecinos, tambien serıa un valoruniversal para todos los semiconductores. Si miramos la tabla 18.2 y comparamos losvalores experimentales con nuestra prediccion teorica, vemos que los valores experi-mentales resultan al menos un orden de magnitud mayores.

Se puede pensar en el proceso inverso. Se toman los valores experimentales delas movilidades, y con ellos se calcula τ0. Entonces se puede estimar la distancia queel portador debe viajar entre colision y colision. Tomemos por ejemplo el valor dela movilidad de los electrones para el InSb. La distancia recorrida entre colision ycolision resulta del orden de 5 × 10−6 m. Como la distancia entre atomos de la redes a0, esta distancia corresponde a 10000 distancias interatomicas. Esto es realmenteincreıble, ya que antes de chocar el electron pasa 10000 atomos sin colisionar con ellos.

No podrıamos encontrar explicacion alguna si los portadores fueran partıculascomo bolas de billar. Sin embargo, una de la principales ideas de la mecanica cuanticaes que se puede asociar a cada partıcula un comportamiento ondulatorio. Bajo ciertascondiciones, cualquier tipo de onda se puede propagar sin ser refractada en un medioque contiene centros de refraccion. La condicion principal es que esos centros estencolocados en una red periodica. Cualquier ligera desviacion de este espaciamiento ideal

Semiconductor InSb Ge GaAs GaP

ζn (m2/Vs) 8 0,39 1 0,05

ζp (m2/Vs) 0,07 0,19 0,04 0,01

Tabla 18.2. Movilidades experimentales de electrones y huecos para distintos semiconduc-

tores a temperatura ambiente T = 300K.

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Movimiento de electrones y huecos 229

(el cambio de distancia entre los centros, la presencia de otro centro con diferentespropiedades o incluso la ausencia de alguno) provocan la colision de la onda. Portanto τ0 denota el tiempo entre colisiones del portador con cualquier distorsion dela red ideal del cristal. Se puede aprender mucho sobre las causas de esta distorsionestudiando la dependencia de la movilidad con la temperatura.

Masa efectiva

Hemos supuesto que la masa del portador entre colisiones es igual a la masa delelectron libre en el vacıo. Ahora sabemos que las cosas no son tan simples. En el tiem-po que transcurre entre dos colisiones, los portadores sienten el campo creado por losiones y los electrones de valencia, ademas del externo, ya que viajan a traves de mu-chas distancias interatomicas. Por consiguiente, se puede preguntar si las ecuacionesderivadas anteriormente tienen sentido.

La respuesta a esta cuestion necesita un tratamiento cuantico. Sin embargo todoel razonamiento es valido salvo que en las expresiones donde aparece la masa delelectron en el vacıo m, esta se debe sustituir por una masa efectiva m∗ para el electrono el hueco. Este cambio refleja la influencia del campo creado por la red sobre elportador que se mueve por ella. En la tabla 18.3 vemos que los valores son bastantediferentes de los de la masa del electron libre, y por ello las movilidades tambien loson.

Portadores calientes

Nos queda un ultimo aspecto a discutir. Hemos asumido que el campo externo era losuficientemente debil para no alterar el movimiento termico del portador de manerasignificativa. Pero ¿que ocurre si el campo externo no es debil?

El campo necesario para hacer que la velocidad de arrastre de los electrones va seaigual a la velocidad termica vT a temperatura ambiente es del orden de 5× 105 V/m.Si el campo aplicado al semiconductor es tan grande que la velocidad de arrastre seaproxima a la termica, se dice que los portadores estan calientes. En este regimen, suinteraccion con la red es diferente de lo discutido hasta ahora, y el tiempo de colisionτ0, la masa efectiva m∗, y consecuentemente la movilidad empiezan a depender delcampo externo aplicado. Esencialmente, lo que ocurre es que un portador que haadquirido tal cantidad de energıa entre colision y colision la transfiere practicamentetotalmente a la red en la colision siguiente. Bajo tales condiciones, tenemos que

ζ ∼ 1/|E|, va = cte. (18.14)

Semiconductor InSb Ge GaAs GaP

m∗

e/m 0,013 0,12 0,07 0,35

m∗

h/m 0,18 0,28 0,45 0,86

Tabla 18.3. Razon entre la masa efectiva de portadores en diversos semiconductores y la

masa del electron en el vacıo m = 9,1× 10−31 kg.

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230 Semiconductores

18.6. Difusion

El fenomeno de la difusion aparece en gases, lıquidos y solidos. El olor de un perfumeque se derrama en una habitacion llena la casa incluso si las ventanas estan cerradasy el radiador apagado para que el aire este en reposo. Al final, acabamos oliendo elperfume por toda la casa debido al proceso de difusion. Si uno deja caer una gota detinta en un vaso de agua, al final todo el liquido quedara coloreado.

Si se recubre la superficie de un semiconductor que no contiene impurezas con unasustancia que contiene muchas, al cabo de un tiempo se pueden encontrar impurezasen el semiconductor en regiones bastante alejadas de la superficie de contacto. Atemperatura ambiente, el tiempo para que esto ocurra serıa del orden de 10 a nos,pero si se eleva la temperatura lo suficiente, el proceso se reduce a horas e inclusominutos (este fenomeno se usa para la introduccion de impurezas en semiconductoresdesde la superficie del mismo).

Lo comun de los procesos descritos anteriormente es la penetracion espontaneade una sustancia, sin ser afectada por otros agentes externos, desde una region demayor concentracion a una region de menor concentracion.

Corriente de difusion

El proceso de difusion es una consecuencia directa del movimiento caotico de losatomos o moleculas. Supongamos que el perfume derramado esta encerrado en unasemiesfera imaginaria con la base en el suelo. Las moleculas del perfume puedenatravesar esa superficie imaginaria hacia afuera y hacia adentro. Debido a sus choquescon las moleculas del aire, las moleculas del perfume se aproximan a la semiesfera yla cruzan. Como en el interior hay menos que en el exterior, las moleculas que cruzanhacia afuera inicialmente son mas que las que cruzan hacia adentro. El promedio espor tanto una corriente hacia afuera de la semiesfera. Cuando la densidad se igualaen ambos lados, la corriente se hace cero ya que sale mismo numero de moleculas queentra.

Resulta claro que cuento mas grande sea la diferencia de concentracion a amboslados, mayor sera la corriente. Por consiguiente, esta diferencia por unidad de lon-gitud sera proporcional al flujo. Y matematicamente, cuando nuestra semiesfera sehace peque na, esto se expresa como la derivada espacial de la densidad. Podemosası escribir para el flujo de corriente

JD = −Ddn

dx, (18.15)

donde el signo menos se debe a que la corriente va de la region de mayor concentraciona la de menor. El coeficiente de proporcionalidad D se llama coeficiente de difusion.

Volvamos a los semiconductores. Asumamos que una region de un semiconductorposee una mayor densidad de portadores que otra. Esto puede pasar si por ejemplocierta parte del mismo es calentada o iluminada. Entonces, como ya hemos discutido,los portadores se moveran por difusion de esta region a la de menor concentracion.Pero este movimiento de portadores da lugar a una corriente electrica que vale

jD = qJD = −qDdn

dx. (18.16)

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Difusion 231

Cuando se calcula la corriente de difusion jD, se debe tener en cuenta la carga de losportadores que se estan estudiando. En el caso de electrones q = −e y el sentido dela corriente de difusion es hacia la region de mayor densidad. En el caso de huecosq = e y la corriente sera hacia las regiones de menor concentracion.

La corriente de difusion es una corriente real, igual que la debida a la presencia deun campo electrico externo que ya estudiabamos anteriormente: es un movimiento netoordenado y produce disipacion de energıa debido al efecto Joule, causa la deflexionde una aguja imantada, etc. Para calcular esta corriente, es necesario conocer loscoeficientes de difusion de electrones Dn y de huecos Dp.

Coeficiente de difusion

Veamos de que cantidades microscopicas dependera el coeficiente de difusion emplean-do analisis dimensional. En primer lugar, es natural suponer que dependa del camino

libre l entre colision y colision. Sabemos que si no sufriese colisiones, una molecula convelocidad inicial vT llegarıa a la pared de la habitacion en un tiempo menor al quelo hace. ¿De que otro parametro podemos pensar que depende? Pues del tiempo quetarda entre colision y colision, o si queremos, de la velocidad termica, ya que podemosexpresar el tiempo entre colisiones en funcion de vT y l.

La dimension del camino entre colisiones viene dada por [l] = L, y la de lavelocidad es [vT ] = LT−1. Es facil ver que para obtener la dimension correcta delcoeficiente de difusion se deben multiplicar las dos cantidades. Si se calcula de formarigurosa el coeficiente de difusion empleando mecanica estadıstica, se obtiene

D =1

3l vT . (18.17)

Existe una relacion bastante simple entre el coeficiente de difusion de cualquier tipode partıcula y su movilidad. Se puede escribir la ecuacion (18.17) como

D =1

3τ0 vT

2. (18.18)

Sustituyendo el valor de la velocidad termica dado por la expresion (18.9) y usandola ecuacion (18.11), se obtiene

D =kBT

qζ. (18.19)

Se puede generalizar esta relacion entre la difusion y la movilidad a partıculas nocargadas moviendose en un campo gravitatorio. Esto es una consecuencia de quecualquier movimiento ordenado de partıculas (debido al campo externo o a la difusion)esta afectado por las colisiones aleatorias entre ellas, como predijo Einstein.

Longitud de difusion

Vamos a discutir a continuacion cual sera la velocidad de difusion, o lo que es lomismo, el tiempo requerido para recorrer una distancia ℓ por difusion. Usaremosprimero el metodo dimensional como antes. Teniendo en cuenta que la respuesta debede depender de la distancia ℓ y del parametro que representaba el movimiento caotico

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232 Semiconductores

D, la combinacion de estos parametros para obtener un valor con dimension de tiemponos da la siguiente relacion,

t ∼ ℓ2/D o ℓ ∼√Dt. (18.20)

La distancia resulta proporcional a la raız cuadrada del tiempo. Por tanto, a primeravista parece que la difusion es un proceso lento. Sin embargo, hagamos una estimacionnumerica para el GaAs. El tama no de los dispositivos semiconductores es a menudodel orden de micras (10−6 m) o incluso menos. El tiempo que tardara un electrona temperatura ambiente en cubrir esa distancia es del orden de 4 × 10−11 s (verEjercicios). Es por ello que los procesos de difusion juegan un papel muy importante.

Existe otra manera de reobtener el resultado (18.20) que se conoce como el caminodel borracho. Una persona con alguna copa de mas sale de una bar y empieza a andar.El camino que describe es bastante aleatorio, en zigzag, y la direccion de cada pasobastante impredecible. El problema que se plantea es el de saber lo lejos que seencontrara del bar despues de haber dado N pasos, siendo de longitud l cada paso.Este problema de camino aleatorio sirve para el caso d una molecula que colisionacon otras moleculas, y entre colision y colision recorre una distancia l.

Resolvamos este problema en dos dimensiones (su generalizacion a mas dimensio-nes se sigue facilmente). Supongamos que elegimos un sistema de referencia cartesiano,con dos ejes perpendiculares x e y. Cada paso 1, 2, 3, ...i, ..., N lo descompondremos ensus proyecciones sobre esos ejes denotandolas por ∆xi y ∆yi respectivamente. Estasproyecciones, debido a la aleatoriedad del camino, pueden tener cualquier valor entre−l y l, cumpliendose necesariamente ∆x2

i + ∆y2i = l2. El valor del cuadrado de ladistancia ℓ2N despues de N pasos aleatorios sera

ℓ2N = (∆x1 +∆x2 +∆x3 + ...∆xi + ...∆xN )2

+(∆y1 +∆y2 +∆y3 + ...∆yi + ...∆yN )2. (18.21)

Desarrollando esta expresion, se obtiene

ℓ2N = ∆x21 +∆x2

2 + ...+∆y21 +∆y22 + ...+

+2∆x1∆x2 + 2∆x1∆xN + ...+

+2∆y2∆y3 + 2∆y1∆yN . (18.22)

Debido a la aleatoriedad, cada paso puede resultar en un ∆xi positivo o negativo,y lo mismo para ∆yi. De esta manera, cuando se ha dado un numero grande depasos, la suma de los productos dobles se hace cero. Por otro lado, cada par de lasuma de cuadrados ∆x2

i + ∆y2i es igual a l2 como apuntabamos anteriormente. Porconsiguiente, despues de un numero N grande de pasos, tenemos

ℓ2N = Nl2 o ℓN = l√N. (18.23)

El numero de “pasos” de la molecula se puede estimar como el tiempo total dividi-do entre el tiempo medio entre colisiones N ∼ t/τ0. La longitud del camino entrecolisiones es l = vT τ0, y si se emplea la expresion (18.18), se reobtiene la relacion(18.20).

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Ejercicios 233

18.7. Ejercicios

1. Suponiendo que el valor del modulo del campo electrico que mantiene unido alos electrones en el Si se puede estimar usando la ley de Coulomb, con una cargapositiva q = 4e a una distancia a0 = 0,54 nm, demostrar que este campo es|E| ≈ 2 × 1010 V/m. Con este valor, calcular la anchura de la banda prohibidadel Si dada por Eg = a0e|E|.Solucion: Eg ≈ 5 eV.

2. Deducir la expresion (18.5) a partir de las ecuaciones (18.2) y (18.3).3. Calcular cuanto vale la constante caracterıstica N que aparece en la expresion

(18.5) para los semiconductores de la tabla 18.1 y obtener el valor de ni paraesos semiconductores a 100 C.Solucion: N = 3,5056× 1017, 2,7551× 1019, 8,4979× 1018, 1,8246× 1019 (cm−3),ni = 2,4799× 1016, 3,6997× 1014, 2,8578× 109, 4,9880× 103 (cm−3).

4. Suponer que la densidad de un cristal es de 1022 atomos por cm3 y que se tratade una sustancia absolutamente pura, es decir, con un 0.001% de impurezas.¿Cuantos atomos intrınsecos habra por cada atomo de impureza? Calcular laconcentracion de impurezas por cm3.Solucion: 105 atomos intrınsecos/atomos de impurezas, 1017 impurezas/cm3.

5. Suponer que a 25 C la concentracion de portadores intrınsecos para un semicon-ductor de Si es de 1,5×1016 electrones y huecos por m−3. Se dopa el semiconductorcon impurezas donadoras siendo su densidad Nd = 1023 m−3. A esta tempera-tura se puede suponer que todas las impurezas se hallan ionizadas. Calcular ladensidad de huecos en el equilibrio.Solucion: pd = 2,25× 109 m−3.

6. Suponer que en un cristal los electrones se mueven como partıculas clasicas avelocidades del orden de 105 m/s. Si la constante de red del cristal es a0 =5× 10−10 m, estimar el valor de la movilidad del electron.Solucion: ζ ≈ 10−3m2/Vs.

7. A partir del valor experimental dado en la tabla 18.2 para el InSb, calcularla distancia recorrida por el electron entre colision y colision. Comparar esteresultado con la constante de red del problema anterior.Solucion: l ≈ 5× 10−6 m, l/a0 ≈ 104.

8. Estimar los campos electricos necesarios para hacer que los portadores negativosen InSb y en Ge se muevan a la velocidad vT ≈ 105m/s. Los valores de lasmovilidades se pueden ver en la tabla 18.2.Solucion: Para el InSb, |E| ≈ 1,2× 104 V/m; para el Ge, |E| ≈ 2,5× 105 V/m.

9. Demostrar las expresiones (18.18) y (18.19).10. Usar el valor dado en la tabla 18.2 para obtener el coeficiente de difusion electroni-

ca del GaAs. Estimar el tiempo que tarda el electron en cubrir una distancia de10−6 m, del orden del tama no del dispositivo.Solucion: 4× 10−11 s.

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Capıtulo 19

Barreras y Uniones

19.1. La barrera del borde

El conocimiento de las propiedades de volumen en los semiconductores no es suficientepara comprender el funcionamiento de diodos y transistores. En el funcionamiento deestos dispositivos, los efectos que se producen en los bordes o superficies juegan unpapel fundamental. Empezaremos estudiando las propiedades que aparecen en lassuperficies en contacto con el medio que rodea al semiconductor.

Supongamos que tenemos una pieza de semiconductor o de metal. Existe uncierto numero de electrones libres en su interior (en el caso de un metal, tendrıamosalrededor de 1022 electrones por centımetro cubico) y por otro lado, practicamenteno hay electrones libres en el aire. Debido a la diferencia de concentraciones, deberıahaber un flujo de electrones del material al aire y, al igual que un frasco de perfumese evapora al dejarlo abierto, nuestro semiconductor deberıa tambien evaporarse pordifusion.

Se puede estimar el tiempo en que tardarıa un electron en dejar el cristal como eltiempo de difusion del electron t ≈ L2/D segun la expresion (18.20). Para el oro (Au),con un coeficiente de difusion de 0,80 cm2/s a una temperatura ambiente de unos 300K, los electrones de conduccion en una pieza de 1 cm de ancho tardarıan 1,2 s endesaparecer. Es un hecho que esta evaporacion no tiene lugar tan rapidamente. Debeexistir por tanto una fuerza F cercana al borde que se oponga a que los electronesabandonen el cristal, y que no existe en el interior del mismo ni afuera.

Funcion trabajo

Supongamos que un electron en el interior del cristal se aproxima al borde con unaenergıa cinetica que llamaremos Ep. Tan pronto como se acerca a la region en dondela fuerza en el borde F empieza a actuar, el electron empieza a perder energıa cineticaal moverse contra esta fuerza y entrar en una region de mayor potencial.

A mayor energıa cinetica, el electron recorrera una mayor distancia ∆x. Si tenıasuficiente energıa cinetica, sera capaz de cruzar toda la region en la que la fuerza actuay escapar del cristal. La energıa cinetica mınima que debe tener el electron para queesto ocurra se llama funcion trabajo y se designa por ϕ. La funcion trabajo es iguala la diferencia entre la energıa que tiene el electron en el exterior en reposo, y la quetiene en reposo en el cristal, como se puede ver en la figura 19.1.

235

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236 Barreras y Uniones

∆x

E < ϕp

E > ϕpϕ

x

Ecristalexterior

Figura 19.1. La barrera en la frontera del cristal. Si un electron posee suficiente energıa

Ep > ϕ, entonces es capaz de abandonar el cristal superando la barrera energetica represen-

tada por la funcion trabajo ϕ.

∆x

∆x

Q Qcristalexterior

x

Figura 19.2. Capa dipolar en la frontera vacıo-material. Si se ignora la distribucion de la

carga dentro de la capa dipolar, se puede aproximar la accion de esta capa como la de un

condensador.

Los primeros intentos para explicar el origen de esta barrera de potencial se debena Shottky y Langimur. La idea era bastante simple: tan pronto como un electrondeja el cristal, este queda cargado positivamente, y por tanto tiende a ejercer unafuerza de atraccion sobre los proximos electrones que intentan escapar. Sin embargo,el mecanismo que evita que los electrones escapen no es tan simple.

La mayorıa de los electrones no posee suficiente energıa cinetica para superarla barrera de potencial en el borde y dejar el cristal. Pero debido al choque de loselectrones con la barrera, en cada momento existe una nube de carga negativa masalla del contorno del cristal, mientras que dentro existe una carga positiva no com-pensada. Se forma ası una capa doble cargada segun muestra la figura 19.2, llamadacapa dipolar, que tiende a evitar que el electron se escape.

En conjunto, la capa dipolar es neutra, es decir, la carga negativa en ella es igual ala positiva. Un electron fuera de ella no se vera ni atraıdo ni repelido. Por el contrario,un electron dentro de la capa se vera repelido por la carga negativa y atraıdo por lapositiva. Como aproximacion, ignorando la distribucion de la carga dentro de la capa,se puede considerar la accion de la capa dipolar como la de un condensador.

Efecto fotoelectrico

El estudio de los fenomenos asociados a la superficie de los cristales es muy complejo.No se conocen todos los mecanismos que intervienen en ellos y en muchos materialesno es posible calcular la funcion trabajo. Sin embargo, el que no podamos calcular

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La barrera del borde 237

algo no significa que no podamos medirlo. Veamos un metodo para medir la funciontrabajo.

Si se dirige luz de longitud de onda (o color) apropiada hacia la superficie de unmetal o semiconductor, se produce una corriente debida a que los electrones empiezana escapar de la superficie. A mayor energıa Eph de los fotones (que son las partıculaso cuantos que componen la luz), mayor velocidad de los electrones que salen de lasuperficie. Este efecto fue descubierto en 1887 por Hertz y explicado en 1905 porEinstein.

La energıa del foton es absorbida por los electrones. Esa energıa la emplean loselectrones en superar la barrera dada por la funcion trabajo y el resto se transformaen energıa cinetica, de modo que

Eph = ϕ+mv2

2. (19.1)

Si la longitud de onda aumenta, la energıa Eph disminuye, y finalmente, para unacierta energıa crıtica, los electrones no son capaces de dejar el cristal (v = 0). Elefecto fotoelectrico extrınseco desaparece. Esa energıa crıtica es evidentemente iguala la funcion trabajo ϕ.

Parametros principales

Hemos visto que aparece una barrera de potencial debida a los efectos de separacionde carga que tienen lugar en la frontera del material. Los parametros que caracterizana esta barrera son su altura, caracterizada por la funcion trabajo ϕ, su anchura, quellamaremos X, y el campo electrico E dentro de la barrera, responsable de la fuerzaque actua sobre los electrones. Estos parametros son los mismos que se usan paradescribir cualquier barrera energetica.

De la funcion trabajo ya hemos hablado anteriormente. Para semiconductoresy solidos en general, la altura ϕ oscila en un rango de fracciones decimales de eV avarios eV.

Para determinar la anchura de la barrera y los valores caracterısticos del campodentro de ella notemos primero que estos parametros estan relacionados. Si la anchurade la barrera es X, sabemos que la caıda de potencial sera V ≈ |E|X, y que ϕ = e V .Ası, para un valor de ϕ dado, el campo sera proporcional a 1/X.

Veamos como penetra el campo electrico en el interior de un semiconductor. Siponemos un semiconductor entre las placas de un condensador, al igual que en undielectrico aparecera en la superficie una carga debida a la polarizacion. Por lo tanto,la intensidad del campo en la frontera con el vacıo o aire sera εr veces mas peque naque en el vacıo, siendo εr la permitividad relativa del semiconductor. Por otro lado, enun semiconductor, al igual que en un conductor, existe carga libre capaz de distribuirselibremente y apantallar el campo electrico que ha penetrado en el semiconductor.

En un semiconductor tipo n, hemos visto que cuando la temperatura es sufi-cientemente grande, hay una concentracion de electrones en equilibrio n0 igual a laconcentracion de las impurezas donantes Nd que quedan cargadas positivamente alperderlos. Mientras no existe campo externo, en cualquier elemento de volumen elnumero de iones positivos (donantes) es igual al numero de electrones. Por tanto elsemiconductor es electricamente neutro. Ahora bien, si lo introducimos en un campo

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238 Barreras y Uniones

E

exterior cristal

x

mE

0 X

Figura 19.3. Formacion de la barrera de potencial. Se puede observar la region de agota-

miento y la region de electroneutralidad.

externo, estos electrones, al igual que ocurre en el caso de un metal, se moveran haciala parte positiva del campo, dejando detras una capa de donantes positivamente carga-dos. La diferencia con un metal es que la concentracion de portadores libres es muchomenor, ası que los electrones deben moverse una distancia mayor para apantallar elcampo.

En la figura 19.3 podemos ver una region de un semiconductor tipo n en la quelos electrones han migrado y que ha quedado cargada positivamente. Esa region deanchura X sin portadores libres se llama region de agotamiento. Tomemos dentro dela region de agotamiento una seccion de anchura ∆x y supongamos una densidadvolumetrica de carga uniforme igual a ρ. Aplicando el teorema de Gauss, esta seccionproduce un campo electrico E′ igual a

|E′| = ρ∆x

2εrε0, (19.2)

A la derecha de esta seccion, el campo que crea apunta en sentido creciente de lasx. A la izquierda hacia las x negativas, y por consiguiente el cambio en el valor delcampo eletrico al atravesar esta region es

|∆E| = 2|E′| = ρ∆x

εrε0. (19.3)

En el lımite ∆x → 0, en una dimension, podemos escribir la expresion (19.3) como

dE

dx=

ρ

εrε0. (19.4)

Esta expresion se llama ecuacion de Poisson.Para el semiconductor tipo n, la densidad de carga sera ρ = eNd. Si ademas

suponemos que el dopaje de nuestro semiconductor es homogeneo, es decir, el valorde Nd es el mismo en todas partes, entonces podemos ver que la pendiente de la

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Uniones p-n 239

As

As

As

As

B

B

B

B

Si

Figura 19.4. Union p-n sobre un sustrato de Si. A la derecha del cristal, se introducen

impurezas aceptoras (B). A la izquierda, impurezas donadoras (As).

figura 19.3 es constante. Si el campo tiene un valor maximo Em en la superficie ydecrece linealmente en el interior del semiconductor, como vemos en la figura 19.3,podemos escribir la pendiente como

dE

dx=

Em

X. (19.5)

Intregrando esta ecuacion, se puede calcular la caıda de potencial en esta region yresulta V = 1

2EmX, que es el area encerrada por la recta de la figura 19.3. Empleando

la expresion (19.4) se obtiene

X =

(2εrε0V

eNd

)1/2

=

(2εrε0 ϕ

e2Nd

)1/2

, (19.6)

ası como el valor maximo del campo electrico,

Em =

(2eNdV

εrε0

)1/2

=

(2Nd ϕ

εrε0

)1/2

. (19.7)

En resumen, la anchura de la barrera de potencial en un semiconductor esta deter-minada por el nivel de dopaje. Dada la altura de la barrera ϕ = e V , su anchura esinversamente proporcional a la raız cuadrada de la concentracion de impurezas. Parasemiconductores debilmente dopados esta anchura puede tener el tama no de miles decapas atomicas (decenas de micras), mientras que para semiconductores fuertementedopados puede ser de solo unas pocas capas atomicas (milesimas de micras).

19.2. Uniones p-n

Si un cristal semiconductor se dopa de manera que una parte sea tipo p y la otra tipon, se forma una union p-n como puede verse en la figura 19.4. La frontera entre esasdos regiones posee propiedades especıficas que estudiaremos.

Para obtener una union p-n no se puede coger un semiconductor tipo p, otrosemiconductor tipo n, y pegarlos. Una condicion esencial es que la red cristalina delsemiconductor se distorsione lo menos posible, ya que si no se alterarıan las propieda-des de conduccion en la union. Durante mucho tiempo los especialistas han intentadoobtener uniones lo mas perfectas posibles. La idea para crear el tipo de union que

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240 Barreras y Uniones

queremos es la siguiente: se toma un cristal tipo n o p y se introducen impurezasdel tipo contrario. En la parte del cristal en donde se han introducido las nuevasimpurezas el tipo de conductividad (por electrones o huecos) cambia. Esto se llamasobrecompensacion de la impureza inicial. La union p-n aparece en la frontera entre laregion en donde el tipo de conductividad ha cambiado y la region en la que permaneceigual.

Una manera de introducir impurezas es creando aleaciones. Un disco de In sepone sobre la superficie de un cristal de Ge, que es de tipo n. El conjunto se calien-ta lentamente hasta alcanzar la temperatura a la que el In se funde (unos 156C).Cuando la temperatura de la gota de In lıquido sigue aumentando, la forma de lagota cambia y se extiende sobre la superficie a una temperatura de unos 500C. El Gecristalino se disuelve en In lıquido a una temperatura menor de 500C. La disolucioncontinua hasta que se satura y ya no se disuelve mas Ge en In. Entonces, al bajarla temperatura, parte del Ge precipita de la disolucion recristalizando sobre el sus-trato de Ge que no ha sido disuelto, enriquecido con atomos de In que actuan comoimpurezas aceptoras.

Otro metodo hace uso del proceso de difusion. Un cristal semiconductor se poneen contacto con un gas con alta concentracion de atomos que actuaran como donanteso aceptores en el cristal. Como ya sabemos, en la superficie del cristal la red tiene lamitad de los enlaces rotos, con lo cual las impurezas gaseosas son facilmente captura-das por la superficie. Los atomos capturados empiezan un proceso de difusion haciael interior del semiconductor. En un cristal ideal, a cero absoluto de temperatura, noserıa posible este movimiento atomico de difusion. Sin embargo, no existen cristalesperfectos, ya que siempre existen defectos en el cristal y las oscilaciones termicas dela red hacen que los iones salten y ocupen lugares vacıos de la misma. La distancia ala que llega la impureza hacia el interior depende del coeficiente de difusion, que a suvez se puede controlar variando la temperatura. De esta manera se forma una unionp-n entre la region a la que no ha llegado la impureza y la region a la cual sı lo hahecho.

La barrera de la union

Como consecuencia de la diferencia entre el tipo de impurezas en las dos regiones de launion p-n, aparece una barrera de energıa. En condiciones normales, el semiconductortipo p contiene huecos cargados positivamente, y el tipo n contiene electrones. Alunirlos, una corriente de difusion de huecos tendra lugar desde la region de tipo phacia la region de tipo n, y una corriente de difusion electronica en sentido contrario(es por esto la importancia de que la red cristalina se deforme lo menos posible alcrear la union). En una capa del semiconductor p cercana a la frontera aparecera unacarga neta negativa, mientras que a consecuencia de la migracion de electrones, en elsemiconductor tipo n aparecera una zona con carga neta positiva. Es claro entoncesque cerca de la union p-n aparecera una capa doble de carga, negativa en la region py positiva en la region n. Esto frena que mas huecos emigren a la region n y electronesa la region p, llegandose a un equilibrio y creandose una barrera de potencial para losportadores libres.

En la figura 19.5 se muestra el diagrama de bandas de una union p-n. Podemosver que para que los electrones de la banda de conduccion en la region tipo n puedan

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Uniones p-n 241

ϕpn

ϕpn

EV

EV

EC

EC

p n

X

Figura 19.5. Formacion de la barrera de potencial en una union p-n. La presencia de una

capa dipolar es equivalente a la existencia de una barrera energetica como las que aparecen

en el contorno del cristal. Los electrones de la capa de conduccion en la region n (cırculos

negros) tienen que superar esa barrera para pasar a la otra parte, mientras que los huecos

en la capa de valencia (cırculos blancos) tienen que bajarla.

pasar a la region tipo p, deben de superar una barrera de altura ϕpn. Los huecos de laregion p, situados en la capa de valencia, deben superar la misma barrera para pasarde la region p a la n. En este caso, graficamente serıa bajar la barrera, ya que loshuecos tienen carga positiva. El valor de la altura de la barrera viene dado por

ϕpn ≈ ϕp − ϕn ≈ Eg. (19.8)

Puede entenderse esta aproximacion de la siguiente manera. Un electron en un semi-conductor tipo p debe de superar una barrera de altura ϕp para escapar del cristal.En un semiconductor tipo n deberıa de saltar una altura ϕn menor. Por tanto, parapasar de una region tipo n a una tipo p, la barrera de potencial ϕpn que debe superarsera cercana a la diferencia de energıas para escapar del cristal en cada region.

La anchura de la barrera

Para uniones p-n en Ge, la altura tıpica de la barrera es del orden de 0,7 eV, en Si de1,2 eV, y en GaAs de 1,4 eV. Normalmente los electrones en la banda de conducciontienen una energıa del orden de kBT y a temperatura ambienten esto equivale a 0,026eV. Esta claro que la barrera que ven estos electrones es muy grande. Por consiguientela region de la barrera es una region practicamente vacıa de portadores (electrones yhuecos) y es por ello que tiene sentido el nombre de region de agotamiento.

La region de agotamiento se extiende de manera desigual por la parte tipo ny por la parte tipo p. Para la parte p de la region de agotamiento la densidad decarga es ρ = −eNa, mientras que para la parte n es ρ = eNd. Empleando los mismosargumentos que llevan a la expresion (19.6), la anchura total de la barrera se puedeaproximar por

X = Xp +Xn =

(2εrε0ϕpn

e2Na

)1/2

+

(2εrε0ϕpn

e2Nd

)1/2

. (19.9)

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242 Barreras y Uniones

19.3. Diodos

Un diodo no es mas que un dispositivo semiconductor con una union p-n asimetrica,en donde la concentracion de impurezas Na en la region p es normalmente muchomayor que la concentracion de impurezas Nd en la region n. Consta pues de tresregiones: la region p, la region n y la region de la barrera entre ellas.

Si intentamos medir alguna corriente electrica conectando las regiones p y n a losterminales de un amperımetro el resultado sera nulo. En equilibrio, no puede existirningun transporte neto de carga a traves del diodo, ya que no se puede obtener energıagratuitamente (en los cables que se conectan al amperımetro, si hubiera corriente,estarıamos disipando energıa en forma de calor). Debido a la barrera aparece uncampo electrico que cancela la corriente de difusion de portadores.

En el caso de la union existe ademas otro equilibrio. Se trata de la corriente de

saturacion js debida a los pocos portadores minoritarios. Los electrones en la bandade conduccion en la region p y los huecos en la banda de valencia en la region n, tanpronto como alcanzan la region de la barrera se ven favorecidos por el campo electricoa cruzarla. Esta corriente se ve compensada con la debida a los portadores calientesque poseen suficiente energıa termica para cruzar la barrera en la otra direccion.

19.4. Polarizacion inversa de un diodo

Veamos que ocurre cuando se conecta el diodo a una fuente capaz de mantener unadiferencia de potencial U0. En relacion con esta fuente, las tres regiones del diodoestan conectadas en serie y se quiere conocer como se distribuye el voltaje aplicadoentre esas regiones.

Si conectamos la region p del diodo al polo negativo de la fuente, y la regionn al polo positivo como podemos ver en la figura 19.6, tenemos lo que se llama eldiodo conectado en polarizacion inversa. La region de la barrera esta practicamentevacıa de portadores, con lo cual sera la region de maxima resistencia y por lo tantoel potencial aplicado U0 cae principalmente en esta region. Debido a que la direcciondel campo externo E0 aplicado coincide con la del campo dentro de la union E, elvoltaje de la fuente se a nade al voltaje de la union Upn = ϕpn/e. Como resultado, laaltura energetica de la barrera se hace igual a ϕpn + eU0.

Podemos ademas calcular la anchura de la barrera y el campo maximo en ella. Sisuponemos que la barrera es muy asimetrica, podemos escribir usando las expresiones(19.6) y (19.7),

X ≈ Xn ≈[2εrε0(Upn + U0)

eNd

]1/2, (19.10)

Em =

[2eNd(Upn + U0)

εrε0

]1/2. (19.11)

Curva caracterıstica

En la figura 19.7 podemos ver la curva caracterıstica de un diodo polarizado inversa-mente. En ella se representa la intensidad frente al voltaje de polarizacion. La primeracosa que llama la atencion es la corriente de saturacion. Si tuvieramos una resistencia,

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Polarizacion inversa de un diodo 243

ϕpn

ϕpn

EC

EV

EC

EV

np

U0

eU 0

eU 0

X

p n

I

Figura 19.6. Diagrama de bandas para un diodo polarizado inversamente. Las lıneas discon-

tinuas representan el caso sin voltaje aplicado, las continuas el caso de polarizacion inversa

mediante un voltaje U0. La altura de la barrera aumenta la cantidad eU0.

U0Ui

IAµ

I s

1

2

5 10 150

V

Figura 19.7. Curva caracterıstica de corriente-voltaje de un diodo inversamente polarizado.

la curva caracterıstica intensidad-voltaje serıa una lınea recta. Sin embargo, en pola-rizacion inversa, con un voltaje tan peque no como unos pocos decimales de voltio, lacorriente deja de ser dependiente del voltaje aplicado e igual a la corriente de satura-cion. En ausencia de potencial externo, la corriente de saturacion se compensa por lacorriente de portadores calientes, que al tener suficiente energıa termica son capacesde saltar la barrera de potencial hacia el otro lado. Al a nadir una altura extra a labarrera, estos portadores son incapaces de saltarla, con lo cual resulta una corrienteen un sentido no compensada por otra en sentido contrario. Esta corriente depende delos portadores minoritarios y recordando la expresion (18.8) resulta Is proporcionala n2

i .

Existe un valor maximo del campo electrico que puede soportar una union quedenotaremos por |Ei|. Si se sobrepasa, los electrones y huecos son capaces de adquirirtanta energıa que al colisionar con los atomos de la red generan nuevos electrones yhuecos produciendose una avalancha de portadores. Este proceso recibe el nombre deionizacion por impacto. Para diodos de Si o GaAs, el valor maximo del campo quepueden soportar es del orden de 3× 105 V/cm. Aunque este valor es constante para

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244 Barreras y Uniones

un tipo dado de semiconductor, el valor de lo que se denomina voltaje de ruptura Ui

depende del nivel de dopaje. Si hacemos Em = |Ei| en la ecuacion (19.11), se obtiene

Ui ≈εrε0|Ei|22eNd

. (19.12)

Existe otro proceso que da lugar a la llamada ruptura Zener. Si el campo electricoen la barrera llega a ser suficientemente grande, puede liberar electrones de valencia,produciendose entonces un flujo masivo de portadores minoritarios. Estos procesosexplican el aumento de la corriente al final de la curva de la figura 19.7.

Los diodos Zener estan dise nados para funcionar a voltajes mayores Ui. Es-tos diodos son muy utiles como reguladores de potencia, ya que el voltaje se haceindependiente de la corriente que circula por ellos.

Reactancia capacitiva

Cuando al voltaje de polarizacion inversa U0 le a nadimos un voltaje alterno V (t) =V1 cos(ωt), tal que V1 ≪ U0, la union p-n se comporta como un condensador. Lareactancia capacitiva de la union p-n se define como la de cualquier condensador, esdecir Zc = 1/iωC, siendo C la capacidad de la union. Podemos emplear la formulapara la capacidad de un condensador plano y estimar el valor de C como

C =εrε0A

X, (19.13)

donde A es el area de la union y X la anchura de la barrera.Si consideramos una union que ha sido polarizada inversamente, la altura de

la barrera aumenta durante medio semiperiodo del voltaje alterno, la anchura de lamisma se hace mayor, y por tanto portadores libres que antes ocupaban esa region sonexpulsados de ella. Por el contrario, en el siguiente semiperiodo la altura de la barreradisminuye, la anchura se hace menor, y los portadores libres del resto del circuitoocupan parte de la region que se encontraba vacıa de ellos cuando el potencial eraU0. Ası la union p-n es capaz de almacenar carga y de devolverla, permitiendo lacirculacion de corriente alterna por el circuito al que se conecte.

Es importante notar que la capacidad de la union depende de la anchura de labarrera, y por tanto del voltaje aplicado. Los condensadores cuya capacidad dependedel voltaje aplicado reciben el nombre de condensadores no lineales. Ası la unionp-n se comporta como un condensador no lineal. Esta propiedad es util en algunasaplicaciones pero limita la operacion de los diodos a altas frecuencias. Un ejemploson los circuitos de microondas en donde este comportamiento no es deseable. Unamanera de hacer la capacidad de la barrera lo menor posible es reducir su area, y eseste uno de los motivos de reducir el tama no de los diodos.

19.5. Polarizacion directa

En la figura 19.8 se muestra un diodo polarizado directamente. El terminal positivode la fuente se conecta a la region p del diodo, mientras que el terminal negativoa la region n. En este caso, el campo E0 debido al voltaje externo U0 tiene sentidocontrario al del campo en la barrera.

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Polarizacion directa 245

EV

EC

np

U0

eU 0ϕpn

EV

EC

ϕpn

eU 0

p n

I

X

Figura 19.8. Diagrama de bandas para un diodo polarizado directamente. Las lıneas discon-

tinuas representan el caso sin voltaje aplicado, las continuas el caso de polarizacion directa

mediante un voltaje U0. La altura de la barrera disminuye la cantidad eU0.

La altura energetica de la barrera disminuye en este caso a ϕpn−eU0 como pode-mos ver en la figura 19.8. Al introducir los diodos se ha visto que existe un equilibriode corriente hacia un lado y otro de la barrera que hace que el transporte neto decarga sea nulo. Al disminuir la altura de la barrera rompemos este equilibrio. Ahoraexisten mas electrones en la region n capaces ser inyectados en la region p debido aque tienen suficiente energıa termica para ello. La concentracion de tales electronesviene dada por n1 ≈ N0 exp[−(ϕpn − eU0)/kBT ]. En el equilibrio, el numero de elec-trones que eran capaces de saltar la barrera venıa dado por ns ≈ N0 exp(−ϕpn/kBT ).Ahora existe ahora un flujo de electrones no compensado proporcional a la diferencian1 − ns. El mismo razonamiento vale para los huecos.

Sigamos con un poco mas de detalle el destino de los portadores minoritariosresponsables de la corriente al polarizar directamente un diodo. A consecuencia deque la barrera se hace menor, electrones de la region n se inyectan en la region p, yhuecos de la region p pasan a la region n. En los diodos, las regiones n y p suelen serasimetricas (ver Ejercicios). Por consiguiente la cantidad de portadores que pueden serinyectados por la region altamente dopada es mucho mayor que la cantidad inyectadadesde la region debilmente dopada. Esto es por lo que una region altamente dopadade un diodo recibe el nombre de emisor y una region debilmente dopada el de base.

En polarizacion inversa es la region menos dopada la que determina la anchura dela barrera segun la expresion (19.10). Supongamos que se trata de la region n. Si ahoraaplicamos polarizacion directa, habra una inyeccion masiva de huecos desde el emisora la region n o base. Esos huecos se aniquilan cuando se difunden por la region de labase con los electrones que provienen de la fuente externa U0. En cada instante detiempo, la fuente externa introduce a traves de la base el mismo numero de electronesque huecos llegan a ella. Al mismo tiempo, para mantener el estado estacionario delemisor, el mismo numero de electrones sale del emisor hacia el polo positivo de lafuente externa a traves del otro contacto metalico, dejando en el emisor el mismonumero de huecos que habıa inicialmente. Esta es la manera en que la corriente fluye

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246 Barreras y Uniones

U00

0.1 0.2 V

0.25

0.5

A I

Figura 19.9. Curva caracterıstica de corriente-voltaje de un diodo directamente polarizado.

a traves de un diodo polarizado directamente.

Curva caracterıstica

Con todo lo discutido vemos que, para un diodo polarizado directamente existe unadensidad de corriente electronica proporcional a la diferencia n1 − ns dada por

jn ≈ n1 − ns = N0 exp[−(ϕpn − eU0)/kBT ]−N0 exp(−ϕpn/kBT ), (19.14)

siendo N0 una constante que depende de la concentracion de impurezas. Los huecosdan lugar a una contribucion de la misma forma, con lo que la densidad de corrientetotal que circula por el circuito sera la suma de ambas

j = jp + jn = js [exp(eU0/kBT )− 1], (19.15)

donde js es una constante que depende de Np, Ne y ϕpn. En la figura 19.9 podemosver la curva caracterıstica de un diodo polarizado directamente. En ella se representala intensidad frente al voltaje de polarizacion y se puede observar efectivamente uncrecimiento exponencial de la corriente con el voltaje aplicado.

La expresion (19.15) vale tambien para el caso de polarizacion inversa conside-rando que en este caso el voltaje aplicado es negativo. En polarizacion directa, elvoltaje U0 se debe tomar con signo positivo, pero cuando la polarizacion es inversa,el voltaje cambia de signo y la corriente se satura a j = −js para valores de U0 iguala varias veces kBT/e.

El valor mınimo de la barrera

Al polarizar un diodo directamente la barrera de potencial disminuya. Para el Sipor ejemplo, con U0 ≈ 1,1V , la altura de la barrera se hace cero. ¿Que pasara si seaumenta este valor de U0? ¿Se producira una barrera de altura negativa? Veamos quela respuesta es no.

Al empezar a hablar de la polarizacion de los diodos distinguıamos tres regionesconectadas en serie: la region tipo n, la union y la region tipo p. Cada region presentauna resistencia diferente. Se ha supuesto en toda la discusion anterior que la diferenciade voltaje externo U0 cae en la region de la union, que se encuentra vacıa de portadoreslibres. Es decir, la resistencia de esa region es mucho mayor que la resistencia dela region n, de la region p y la de los contactos metalicos del diodo. Al polarizar

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Aplicaciones de los diodos 247

directamente el diodo, con el aumento del valor de U0 la resistencia de la union llegaa ser tan peque na que una parte importante del voltaje decae en las otras regiones(recordemos que no solo la altura, sino tambien el tama no de la barrera disminuye).El voltaje aplicado se reparte entre todas las regiones, siendo imposible que en labarrera se aplique un voltaje mayor que la altura inicial Upn ≈ Eg/e. Lo maximoque se puede hacer al aumentar el valor del potencial es disminuir la altura en laregion de la union hasta que la caıda de potencial sea muy peque na. En ese caso, laconcentracion de portadores donde “solıa haber una barrera” se hace muy grande, aligual que la densidad de corriente que pasa a traves del diodo.

19.6. Aplicaciones de los diodos

Las propiedades de las uniones p-n son la base del funcionamiento de multitud dedispositivos. Dependiendo de su dise no, del material del cual estan hechos, del nivelde dopaje de cada region, y del voltaje externo aplicado, los diodos tienen diversasfunciones. Se usan para rectificar corriente alterna, para transformar luz solar encorriente electrica, para generar y modificar y analizar se nales electricas y luminosas,etc. En este apartados discutiremos algunos ejemplos.

Fotodiodos

Los fotodiodos son dispositivos capaces de analizar la luz. Se usan en sistemas deseguridad basados que disparan una alarma cuando un haz de luz se interrumpe, o quedetectan la presencia de fuego, o descubren la fuga de un gas toxico, etc. Tambien paracontrolar procesos quımicos, mantener un nivel dado de lıquido, detectar partıculasnucleares o medir la temperatura. Funcionan de forma mas precisa que el ojo humanoy se basan en alguna propiedad electrica, tal como la resistencia, corriente o voltaje,que cambia bajo iluminacion.

Un fotodiodo es una union p-n inversamente polarizada. Si la energıa del fotonincidente Ef es mayor que Eg (la energıa de la banda prohibida), entonces cada fotonabsorbido es capaz de generar un par electron-hueco como vimos cuando tratabamosel efecto fotoelectrico. Si este par aparece en la region de la barrera, entonces severa atraıdo por el campo existente en ella. En la oscuridad, por efectos termicospueden generarse electrones y huecos. Cuando se ilumina la union con fotones deenergıa Ef > Eg, la corriente que aparece es mucho mayor que antes, ya que elnumero de portadores creados es ahora mucho mayor. Esta fotocorriente, amplificaday transformada por el resto de la electronica, actua como alarma, se nal, etc, en lasaplicaciones.

En la figura 19.10 podemos ver el dise no fotodiodo. El contacto superior tiene laforma de anillo. La region de la union dentro del anillo recibe el nombre de ventana.Normalmente el plano de la union p-n esta localizado a una distancia de alguna micrasde la superficie. El valor del voltaje U0 suele estar en el rango de 10 V a 30 V y elvalor de la region de vacıo (o barrera) X es de unas pocas micras. Los semiconductorescon una banda de energıa prohibida peque na Eg se usan para detectar luz con unalongitud de onda grande, mientras que para crear detectores de ultravioleta Eg debede ser mayor.

Una de las ventajas de los fotodiodos es su rapida respuesta. Si la luz que incide

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248 Barreras y Uniones

contactosn

p

ventana

luz

Figura 19.10. Diodo con union p-n polarizada inversamente.

en el diodo se apaga de repente, la fotocorriente cesa tan pronto como los electronesy huecos creados son transportados por la accion del campo fuera de la region de labarrera. Los valores tıpicos del campo electrico en la union polarizada inversamenteson grandes, del orden 104 − 105 V/m. Cuando hemos hablado de los portadorescalientes, veıamos que en tales campos electricos la velocidad de arrastre se hacıa delorden de la velocidad termica, es decir de unos 107 cm/s (ver capıtulo 18) y se hacıaindependiente del campo aplicado. Por consiguiente, el tiempo que tarda en responderel fotodiodo al cambio de iluminacion se puede estimar como X/vs que esta en elrango de 10−10−10−11 s (el fotodiodo es capaz de reaccionar en 10−4 millonesimas desegundo). Esto hace posible usarlos en sistemas de comunicacion por fibra optica, yaque sirven como receptores de las se nales moduladas que viajan por ellas y permitentransmitir directamente transmitir los datos recibidos a un procesador haciendo porejemplo que un robot “vea”.

Celula solar

En cierta manera, una celula solar no es mas que un fotodiodo sin potencial externoaplicado. Incluso sin polarizacion, debido al potencial de barrera existe un campo, conlo cual cualquier par creado en la celula por la accion de la luz incidente generara unacorriente dirigida por el campo. Si unimos mediante una resistencia la region p conla n, circulara una corriente y habremos transformado la energıa luminosa en energıaelectrica.

El problema de estos dispositivos es el de la eficiencia. Si cada foton que incide enla celula solar fuera capaz de crear un par electron-hueco, entonces la eficiencia serıadel 100%. Sin embargo, la eficiencia de las celulas esta bastante lejos de este lımite.La principal dificultad para aumentar la eficiencia de la celula reside en el hecho deque la luz solar consiste en una mezcla de fotones de varias energıas, algunos en elultravioleta Ef ≥ 3 eV , y otros en la region visible e infrarroja Ef ≤ 1,5 eV. La celulasolar no es capaz por separado fotones con distintas energıas de manera eficiente.

Condensadores variables

Cuando cambiamos el potencial externo, la capacidad de la union p-n polarizada in-versamente varıa: a mayor potencial menor capacidad. Cambiar la capacidad de un

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Aplicaciones de los diodos 249

condensador resulta extremadamente util (para sintonizar un receptor de radio porejemplo). Ademas el hecho de que la capacidad pueda cambiarse muy rapidamentepor medio de un potencial externo hace posible la construccion de transformadores su-persensibles de corriente continua en alterna, la generacion de se nales con frecuenciasde cientos de millones de Hertz y la amplificacion de se nales muy debiles .

Uno de los parametros mas importantes de un condensador variable es su coefi-

ciente de cambio, definido como la razonKc = Cmax/Cmin entre la capacidad maximay mınima que puede alcanzar. La maxima capacidad se consigue cuando el potencialexterno U0 se hace cero. Entonces, la caıda de potencial en la union es mınima e iguala Upn. De acuerdo con las expresiones (19.13) y (19.10) resulta

Cmax = A

(qεrε0Nd

2Upn

)1/2

. (19.16)

Por el contrario, la capacidad mınima se consigue cuando el potencial externo esmaximo, y segun veıamos esta limitado por el voltaje de rotura Ui del dispositivo,con lo que

Cmin = A

(qεrε0Nd

2Ui

)1/2

= AqNd

Ei. (19.17)

Por tanto el coeficiente de cambio vale

Kc =

(εrε0E

2i

2qUpnNd

)1/2

. (19.18)

Vemos que mientras menor es el valor de la concentracion de impurezas en la regionmenos dopada, mayor es el coeficiente de cambio. En dispositivos reales el valor deKc varıa en el rango de 2 a 15.

Diodos emisores de luz

Los anteriores ejemplos eran aplicaciones de diodos en polarizacion inversa. Un ejem-plo muy importante de polarizacion directa es el de los diodos emisores de luz (LEDson sus iniciales en ingles). Se puede decir que, en principio, cualquier diodo pola-rizado directamente es un emisor de luz. Cuando los portadores pasan de la regionemisora a la base, se recombinan y en ese proceso se emite un foton. Una parte deestos fotones se absorbe dentro del diodo, pero el resto consigue escapar. Esta es laluz que emite el diodo.

Para dise nar de forma optima un diodo emisor de luz, necesitamos que la granmayorıa de portadores se recombinen en la base y que tengan una gran probabilidadde emitir un foton en este proceso. Ge y Si por ejemplo no son buenos materiales paraesto, ya que la mayorıa de electrones y huecos se recombinan sin emitir fotones. GaAsy otros compuestos ternarios sı, con probabilidad cercana a la unidad.

La longitud de onda de la luz radiada (el color) viene definida por la energıa delfoton emitido. Un foton posee una energıa

Ef = hν = hc/λ, (19.19)

donde h = 6,63×10−34 J · s es la constante de Planck ν es la frecuencia, c la velocidadde la luz, y λ la longitud de onda. En la mayorıa de los casos, la energıa del foton es

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250 Barreras y Uniones

cercana a la diferencia de energıas del electron que pasa de la banda de conduccion enel emisor a la de valencia en la base, y por tanto cercana a Eg. En el caso del GaAs,en la tabla 18.1 podemos ver que Eg = 1,4 eV, y por consiguiente, la longitud de ondaasociada con esta energıa es invisible para el ojo humano. Para cambiar el color dela luz, se introducen en la red de GaAs atomos de fosforo (P) o aluminio (Al), quellevan a un incremento de Eg, y ası se obtienen diodos que emiten luz roja.

Estos dispositivos se usan normalmente como indicadores. El exceso de informa-cion de nuestros dıas hace que sean imprescindibles para resolver muchos problemas.Ası nos informan si la television esta encendida o apagada, si las puertas del cocheestan cerradas, si el recibidor de ondas esta sintonizado, etc.

Diodos rectificadores

Practicamente toda la energıa electrica consumida en el mundo se genera en turbinasde centrales en forma de corriente alterna, a las llamadas frecuencias industriales de50 o 60 Hz. Pero en muchos casos es imposible usar esa energıa en forma alterna ymucho instrumentos necesitan de corriente continua. Es necesario rectificar corrientesy voltajes.

En el capıtulo dedicado a circuitos con diodos explicaremos como se rectifica lacorriente de manera detallada, pero la idea es facil de entender: el voltaje aplicado aldiodo es alterno, cambiando su polaridad en el tiempo. Cuando el voltaje es tal quepolariza al diodo directamente, podra circular corriente por el circuito en un sentido.Pero al cambiar el voltaje de signo, polariza al diodo inversamente. La resistenciaaumenta mucho y practicamente no deja circular ninguna corriente por el circuito. Lacorriente solo circula entonces en un sentido: se ha rectificado.

Como anecdota, durante la II Guerra Mundial, los aliados desarrollaron la tec-nologıa del RADAR. Funcionaba con un diodo rectificador: el trabajo del rectificadorconsistıa en traducir la se nal alterna en la se nal continua necesaria para su visualiza-cion en una pantalla. Los cristales semiconductores a menudo ardıan al no ser capacesde seguir el cambio de la se nal a altas frecuencias. Seymour Benzer descubrio que elGermanio (Ge) podıa soportar mayores frecuencias y voltajes que ningun otro ma-terial. Fue el Ge y toda la tecnologıa desarrollada para construir mejores cristales laque llevo a la invencion del transistor.

19.7. Ejercicios

1. Demuestrar las expresiones (19.2) y (19.3). Ayuda: pensar en el campo que pro-duce un condensador.

2. Obtener las expresiones (19.6) y (19.7). Para ello, tener presente que si llamamos ala pendiente tanα = dE/dx, entonces X = Em/ tanα (considerar la figura 19.3).

3. Para rectificar alto voltaje se emplea una union p-n en Si, cuya concentracionde impurezas en la parte p es Na = 1018 cm−3, mientras que en la parte n esde Nd = 1013 cm−3. El valor de la permitividad relativa del semiconductor esεr = 12,5 y el potencial de barrera Vpn = 1,1 V. ¿Cual sera la anchura de labarrera? Comprobar que se trata de una union bastante asimetrica.Solucion: X ≈ Xn ≈ 12µm.

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Ejercicios 251

4. Considerar de nuevo el problema anterior. Suponer que se aplica ahora un vol-taje de polarizacion inversa de 1000 V. Calcula el valor maximo del campo queatraviesa la union y la anchura de la barrera.Solucion: Em = 54 kV/cm, X = 370 µm.

5. En un semiconductor de permitividad relativa εr = 11 determinar el voltaje deruptura en los casos en que Nd = 1017 cm−3 y Nd = 1014 cm−3. Dato: el campomaximo que puede soportar un diodo es del orden de 3× 105 V/cm.Solucion: Ui = 2,7 V y Ui = 2700 V respectivamente.

6. ¿Cual es la longitud de onda que el ojo no puede ver en el caso del GaAs? El ojohumano normalmente ve entre 8× 10−7 m (rojo) y 4× 10−7 m (violeta). Para elGaAs, sabemos que Eg = 1,4 eV.Solucion: λ = 8× 10−7 m (infrarrojo).

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Capıtulo 20

Transistores bipolares

20.1. Un poco de historia

Los laboratorios Bell, uno de los laboratorios industriales mas grandes del mundo,pertenecıan a la compa nıa American Telephone and Telegraph (AT&T). En 1907,AT&T se enfrentaba con la expiracion de la patente del telefono que habıa inventadosu fundador Alexander Graham Bell. Para luchar contra la competencia que preveıa,contrato de nuevo al anterior presidente, Theodore Vail, ya retirado. La solucion deVail para asegurar el negocio de la compa nıa fue desarrollar servicios de telefonotranscontinentales. AT&T compro la patente del invento que en 1906 habıa desarro-llado Lee De Forest: el triodo de tubo de vacıo. Este dispositivo mejorado permitıaamplificar la se nal regularmente a lo largo de la lınea telefonica, con lo cual la con-versacion podıa realizarse a cualquier distancia. Pero estos tubos fallaban demasiadoy consumıan demasiada potencia, perdiendose mucha en forma de calor.

En 1930, el director de investigacion de los Laboratorios Bell, Mervin Kelly, re-conociendo la necesidad de crear un dispositivo mejor para que el negocio del telefonosiguiera creciendo, puso a un equipo a trabajar en el desarrollo de semiconductores.Despues de la segunda guerra mundial el fısico Bill Shockley fue asignado por Kellycomo director del proyecto. Shockley contrato Walter Brattain y a John Bardeen.Los tres ganarıan el premio en 1965 por la invencion del transistor bipolar (Bardeenganarıa mas tarde otro Nobel por explicar el mecanismo de la superconductividad).Todos eran cientıficos de primera clase trabajando en el mismo laboratorio y su crea-cion en 1948 fue de las mas importantes que ha dado la humanidad desde la invencionde la rueda. En 1952 Shockley invento el transistor de efecto campo basado en otroprincipio muy diferente. Ademas fundo una compa nia en un lugar que luego serıaconocido como Silicon Valley.

20.2. Transistores bipolares

La disposicion de un transistor bipolar es bastante simple y puede verse en la figu-ra 20.1. Entre dos regiones p, se construye una region n mas estrecha. Los nombres dela primera region p y de la region n ya los conocemos del capıtulo de diodos: emisor

y base. La tercera region p recibe el nombre de colector.

253

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254 Transistores bipolares

emisor base colector

p n p

b

ce

Figura 20.1. Diagrama esquematico de un transitor bipolar p-n-p.

De manera similar, uno puede obtener un transistor de tipo n-p-n. Los principiosfısicos de un transistor de este tipo son identicos. Saber como funciona un transistorde un tipo permite facilmente analizar el funcionamiento del otro.

La estructura de la figura 20.1 puede describirse como una union p-n a la que sele ha a nadido una region p extra, o de manera alternativa como dos uniones p-n conuna base comun. Veremos como esta estructura tan simple es capaz de cumplir conla mision de amplificar se nales electricas.

Principios de operacion del transistor bipolar

Para que un transistor amplifique, la union emisor-base debe de polarizarse directa-mente, mientras que la union colector-base debe de estarlo de forma inversa. Debido ala polarizacion directa de la union emisor-base, el dispositivo presenta una resistenciade entrada muy baja, mientras que la resistencia de salida sera muy alta debido ala polarizacion inversa de la union base-colector (la palabra transistor resulta de lacontraccion TRANSfer resISTOR, y tiene en cuenta este hecho). Esto se consigueconectando el emisor a un voltaje mayor que la base y el colector a uno menor que labase para un transistor tipo p-n-p.

Imaginemos que la region de la base fuera muy ancha. Esto significa que lalongitud de la base, que denotaremos por Wb, ha de ser mayor que la longitud Lh

de difusion de los huecos en esa region. En realidad los transistores se construyencon Wb/Lh mucho menor que la unidad, pero primero queremos entender este casoopuesto que se muestra en la figura 20.2.

En el caso de la figura 20.2 tenemos dos diodos, y el hecho de que tengan unabase comun no afecta a su funcionamiento. Supongamos que arreglamos los contactosde manera que el primer diodo emisor-base esta polarizado directamente y el segundodiodo colector-base inversamente. Una peque na corriente Ic fluye a traves de launion base-colector hacia este ultimo. Esta corriente es la de saturacion. La formanelectrones y huecos generados en la zona de la barrera (corriente de generacion) yportadores minoritarios de la region p (electrones) y n (huecos). Cualquier hueco quenace en la region n a una distancia menor que la longitud de difusion Lh tiene muchaprobabilidad de alcanzar la region de agotamiento, y si eso sucede el campo electrico lomandara de la base al colector inmediatamente. Lo mismo ocurre para los electronesen la region p, con una longitud caracterıstica de difusion Le.

Ahora prestemos atencion a lo que le pasa a la union emisor-base polarizada

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Transistores bipolares 255

I b

Wb

I e I c

e cp pn

b

Figura 20.2. Estructura p-n-p con una base ancha

directamente. El emisor siempre esta dopado mucho mas que la base, por lo que setrata de una union bastante asimetrica. El mecanismo de la corriente fluyendo delemisor a la base es el mismo que hemos estudiado en el capıtulo 19 y se debe a ladisminucion de la altura de la barrera. El resultado es una corriente Ie fluyendo delemisor a la base tal que Ie ≫ Ic. El numero neto de portadores que entran en labase por unidad de tiempo viene dado por (Ie − Ic)/e ≈ Ie/e. Cuando se alcanza elequilibrio, este numero se ve compensado por una corriente Ib que fluye de la baseal circuito. Los electrones que entran en la base procedentes del circuito externo atraves del electrodo de la misma se aniquilan con los huecos que entran de la regiondel emisor mayoritariamente. Cada vez que un hueco entra en la base, debido a sumovimiento caotico de difusion, acaba encontrandose con un electron, aniquilandosemutuamente. En la estructura con una base ancha, practicamente todos los huecosse han recombinado despues de haber viajado una distancia de varias longitudes dedifusion Lh sin poder alcanzar la barrera del colector, y por lo tanto Ib ≈ Ie.

Pero si consideramos el mismo proceso en un transistor real con Wb/Lh ≪ 1(fabricado con la base estrecha), los huecos estaran a una distancia de la barreramenor que la distancia de difusion, y por tanto parte de ellos pasaran a la region delcolector. Esto significa que Ic va a estar afectada, ademas de por las contribucionesdetalladas mas arriba, por esta corriente de huecos que fluye a traves de la baseproveniente del emisor. La corriente de huecos que captura el colector depende dela corriente de huecos que salen del emisor Ie, que a su vez depende de la corrienteque sale por la base Ib. Ası la corriente que fluye por los tres contactos metalicos(electrodos) de cada region son dependientes unas de otras.

Amplificacion de la corriente

Hemos visto que en una estructura con la base poco ancha, no todos los huecos tienentiempo para recombinarse con los electrones en la base, ya que son capturados porel campo de la barrera del colector. Mientras mas peque na sea la region de la base,mayor sera el numero de huecos que llegan al colector.

Sea α el factor que nos da la fraccion de portadores que partiendo del emisorllegan al colector. Nosotros lo llamaremos factor de transporte de la base. Este factorno es mas que la probabilidad que tiene un hueco de atravesar la region de la base. Esdecir, la probabilidad de supervivencia Psup cuando viaja por la base. La probabilidad

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256 Transistores bipolares

se define como un numero que pertenece al intervalo [0, 1]. Si vale 1 significa que concerteza absoluta el hueco pasara la region de la base. Si vale 0, el hueco sera ani-quilado. La probabilidad de sobrevivir se puede expresar tambien como la certeza decruzar menos la probabilidad de desaparecer Pdesap, siendo esta ultima la fraccion deportadores que se han quedado en el camino. Esto es

α = Psup = 1− Pdesap. (20.1)

La probabilidad de desaparecer podemos calcularla de la siguiente forma. Mientrasmas tiempo pasemos en la region de la base, mas posibilidades de que un hueco seaaniquilado y no llegue nunca a la barrera del colector. Por tanto, sera proporcional altiempo Tb de viaje a traves de la base. Por otro lado, el tiempo medio entre colisionesdado por τ0 nos da en promedio cuanto tiempo puede viajar sin colisionar con otroportador. La probabilidad de desaparecer sera inversamente proporcional a este tiem-po. Se escribe entonces Pdesap = Tb/τ0. El tiempo que tarda un portador en recorrerla base debido al movimiento de difusion, segun la ecuacion (18.20), viene dado porTb ∼ W 2

b /D. Si hacemos el cociente, resulta Tb/τ0 ∼ W 2b /Dτ0. Dado que D = L2

h/τ0,

α = 1− W 2b

2L2h

. (20.2)

Un par de comentarios: en la expresion hemos sustituido ∼ por =, e introducido en elcociente un factor 1/2. Este factor se debe a la dimension geometrica del problema.Por otro lado, hemos dicho mas arriba que la probabilidad esta definida entre ceroy uno. La razon por la que el cociente de tiempos nos vale como candidato parala probabilidad de desaparecer es que la base es estrecha, esto es Wb/Lh ≪ 1. Larelacion Wb/Lh normalmente esta en el rango de 0,5 a 0,05. De esta manera, el valorde α suele estar en el rango de 0,9 a 0,009. Por tanto, solo una peque na parte delos portadores, de 0,001 a 0,1, se recombinan con los que entran de la base con signocontrario (en nuestro caso electrones). Esta conclusion podemos expresarla diciendoque la corriente de la base del transistor causa la aparicion de corriente en el emisory en el colector que es diez, cien, e incluso mil veces mayor.

Ası, si la corriente que debe ser amplificada se aplica a la base, y la se nal desalida se registra en el emisor o colector, esta se nal estara amplificada. El factorde amplificacion, tambien llamado ganancia de corriente, se denota por β y se definecomo la razon entre la corriente del colector y la de la base. Podemos escribir entonces

Ic = βIb. (20.3)

Ahora ya estamos en posicion de ver las relaciones entre las corrientes que fluyen porlos tres electrodos del transistor. La corriente del colector, como bien sabemos, es unacombinacion de dos componentes: la debida a la polarizacion inversa, que es peque na,y la debida a los portadores del emisor. En la mayorıa de los casos, esta ultima esmuy grande, por lo que podemos suponer que es la unica que contribuye a Ic,

Ic ≈ αIe. (20.4)

Por otro lado, las leyes de Kirchhoff implican

Ie = Ib + Ic, (20.5)

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La ecuacion de Ebers-Moll 257

1/pendiente = 60mV/decada

I

V

Veb

I

Ω50

ΩΩ25

(mA)

12,5

0,5 21eb c

c

Figura 20.3. La corriente que circula por el colector esta controlada por la diferencia de

voltaje entre el emisor y la base. Recuerda a la curva caracterıstica de un diodo pero con

una pendiente mayor.

ya que los huecos que dejan el emisor, o se recombinan en la base (Ib), o se marchanhacia el colector (Ic). De esta manera se tiene

β =α

1− α. (20.6)

20.3. La ecuacion de Ebers-Moll

Consideremos la relacion de la corriente en el transistor con el voltaje aplicado. Segunhemos visto, la corriente que sale por el colector es aproximadamente igual a la queentra por el emisor Ic ≈ Ie. Ademas, bajo condiciones normales, la densidad decorriente que circula por una union p-n polarizada directamente viene dada por laexpresion (19.15). Por tanto, Ie esta relacionada exponencialmente con la diferenciade potencial Veb entre el emisor y la base. Si usamos entonces la expresion (20.4), seobtiene la ecuacion de Ebers-Moll,

Ic = Is[exp(eVeb/kBT )− 1]. (20.7)

La corriente de saturacion Is depende en general de la temperatura y del tipo detransistor (densidad de portadores, tama no de las regiones, etc). Al igual que veıamospara el caso del diodo, el voltaje maximo aplicado a la union base-emisor no puedehacerse arbitrariamente grande, sino aproximadamente hasta el valor de la altura dela barrera de la union p-n.

Podemos ver que la diferencia de voltaje entre el emisor y la base determina lacorriente que fluye por el colector (ver la figura 20.3). A una temperatura ambiente de20 C, se cumple que kBT/e = 25 mV. La ecuacion de Ebers-Moll puede simplificarseentonces a

Ic ≈ Is exp(Veb/25mV). (20.8)

Se puede comprobar que a temperatura ambiente, Ic varıa en un factor de 10 cadavez que el voltaje Veb se incrementa en 60 mV, como se puede ver en la figura 20.3.

Al igual que sucedıa en el caso de los diodos, la relacion entre el voltaje aplicadoy la corriente no es lineal. En el analisis de circuitos resulta util conocer la pendiente

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258 Transistores bipolares

I

Veb

c

I

I

V V1 2

1

2

calientefrio

Figura 20.4. Dependencia con la temperatura de Ic frente a Veb.

de la curva V-I, esto es la relacion ∆V/∆I entre un peque no incremento de la co-rriente y el incremento del voltaje asociado. Esta cantidad se conoce con el nombre deresistencia de se nal peque na, o resistencia dinamica del dispositivo. Si un dispositivosatisface la ley de Ohm, su resistencia dinamica coincide con su resistencia ohmica. Enun transistor, a temperatura ambiente, la resistencia dinamica de entrada al emisorcuando mantenemos la base a un potencial constante resulta

re =25mV

Ic, (20.9)

es decir, si Ic se expresa en mA, re = (25/Ic) Ω. Esta resistencia actua como siestuviera en serie con el emisor en todos los circuitos con transistores. En la figura 20.3podemos ver el valor de la resistencia dinamica para varios valores de la corriente quecircula por el catodo.

El efecto de la temperatura

La ecuacion de Ebers-Moll (20.7) sugiere a simple vista que la dependencia de Veb conla temperatura es una funcion creciente cuando se mantiene constante la corriente Ic,ya que el denominador de la exponencial aumenta y por tanto lo mismo tendra quehacer el numerador. Este razonamiento es totalmente falso, ya que nos estamos olvi-dando de la dependencia de Is con la temperatura. En realidad, lo que ocurre es queVeb decrece con la temperatura 2,1 mV por grado centıgrado cuando Ic se mantieneconstante. En la figura 20.4 podemos ver este efecto cuando mantenemos la corrientedel catodo igual a I1. Al calentar el transistor, el voltaje disminuye de V2 a V1.

Se puede entender este efecto por el hecho de que la corriente del colector, man-teniendo Veb constante, debe de aumentar al aumentar la temperatura (ya que ladifusion aumenta y el tiempo que pasa en la base un portador se hace menor segunla expresion (20.2)). Cuantitativamente Ic crece aproximadamente un 9% por gradocentıgrado si se mantiene Veb constante. En la figura 20.4 podemos ver que, a V1

constante, al calentar el transistor, Ic aumenta de I2 a I1.Expresar el efecto de la temperatura como una variacion de Veb a Ic constante, o

como una variacion de Ic a Veb constante, es equivalente (ver Ejercicios). La primerase usa mas en los calculos. La segunda es mas facil de comprender de manera intuitiva:no se apaga un circuito encendiendo un fuego debajo, mas bien al contrario.

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La ecuacion de Ebers-Moll 259

Vce

V

Veb1

eb2I c

Figura 20.5. Efecto Early. La curva se separa de la horizontal.

n ppe cX

eb bcV Vb

e cecV

Rec

Wb

Figura 20.6. La region de la base que debe cruzar un portador se reduce al aumentar el

potencial entre la base y el colector. Una resistencia grande en paralelo entre el emisor y el

colector modela el efecto Early.

El efecto Early

Hemos visto que Ic esta determinada por la corriente que entra o sale a traves de labase Ib segun la expresion (20.3), o por la diferencia de potencial Veb segun la ecuacion(20.7). Si se mantiene la diferencia de potencial entre la base y el emisor, la corrientedel catodo Ic deberıa permanecer constante. Sin embargo Ic varıa, aumentando conla diferencia de potencial Vec entre emisor y el catodo (figura 20.5).

La explicacion a este comportamiento reside en el hecho de que la longitud efecti-va W de la base disminuye al aumentar la region vacıa de portadores cuando el voltajeVec se incrementa. En la figura 20.6 podemos ver este efecto de manera grafica. Lalongitud efectiva de la base viene dada por W = Wb − X, siendo Wb la anchura dela base y X la de la barrera, que es proporcional a

√Vbc segun hemos demostrado

anteriormente (ver la expresion (19.10)). Segun la ecuacion (20.4), la corriente quecircula por el colector es proporcional a la corriente que circula por el emisor. El factorα de proporcionalidad entre ellas depende de W como muestra la expresion (20.2).Por tanto al variar Vec = Veb + Vbc, la corriente aumenta.

Podemos estimar la pendiente de la curva dibujada en la figura 20.5 como cons-tante cuando se fija el valor de Veb, es decir,

dIcdVec

=1

Rec. (20.10)

Para valores tıpicos, Rec esta el rango de 104 a 105 Ω. Este efecto se suele modelar

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260 Transistores bipolares

I in

Iout

t

t

T

0

I

I

in

out

t

T

t

Figura 20.7. Si la se nal de entrada tiene un periodo T mayor o igual que dos veces el tiempo

de subida 2t0, entonces la se nal de salida tiene tiempo de alcanzar su estado estacionario.

Si es al contrario, no.

en los circuitos como una resistencia en paralelo entre el emisor y el colector comomuestra la figura 20.6.

De manera equivalente a como hacıamos cuando considerabamos el efecto de latemperatura, podemos decir que a corriente Ic constante, el efecto Early se manifiestaen un incremento de Veb, dado por ∆Veb = −γVec, siendo γ ≈ 10−4 (ver Ejercicios).

20.4. La velocidad de respuesta del transistor

La velocidad de respuesta del transistor puede caracterizarse por su frecuencia lımite

fc o por el llamado tiempo de subida t0. Si aplicamos instantaneamente un aumentode corriente de entrada ∆Iin a un terminal del transistor y medimos la corriente quecircula por otro terminal, habra un incremento ∆Iout, pero esto no ocurre instantanea-mente. Pasa un tiempo t0 desde que se aumenta la se nal hasta que se alcanza el valorestacionario a la salida. Este es el tiempo de subida y la frecuencia de respuesta esfc ≈ 1/t0.

En la figura 20.7 podemos ver que si mantenemos la se nal de entrada un tiempot > t0, entonces la se nal de salida puede alcanzar su maximo valor. Es claro portanto que si la se nal de entrada tiene un periodo T ≥ 2t0, es decir una frecuenciaf ≤ 1/(2t0), entonces el transistor tendra suficiente tiempo para amplificar la se nal.Si por el contrario f > 1/(2t0), entonces la se nal de salida no tiene tiempo de alcanzarsu valor estacionario.

El tiempo de subida t0 depende de los parametros fısicos del transistor y de laconfiguracion del circuito, es decir, sobre que terminal o electrodo estamos aplicandola se nal de entrada y de cual estamos tomando la se nal de salida.

Base comun

Consideremos el tiempo de subida en el caso en que la se nal se aplica al emisor yse toma del colector. Este caso lo podemos ver dibujado en la figura 20.8 y se llamade base comun. Se puede pensar que esta configuracion es poco util, ya que sabemosque la corriente en el colector es α veces mas peque na que en el emisor, y aunque

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La velocidad de respuesta del transistor 261

p n p

b

ce

t

I e

cI

t 1 t + t1 0t 0

Figura 20.8. Se nal de entrada aplicada al emisor y tomada del colector. Fuente de corriente.

α tiene un valor cercano a la unidad (0,9 ≤ α ≤ 0,999), es no obstante menor que1. En esta configuracion no hay ganancia de corriente alguna, ya que ∆Ic = α∆Ie.Sin embargo, que no haya ganancia de corriente no implica que no haya ganancia devoltaje, y por tanto ganancia de potencia (esta configuracion se usa para fuentes decorriente). Ademas, la gran ventaja es que esta es la configuracion que permite altransistor trabajar a la frecuencia mas alta. Esto se debe a que el tiempo de subidat0 es el menor posible.

Si cerramos el interruptor del emisor en t = 0, una corriente Ie empieza a entraren la base como consecuencia de la inyeccion de portadores. El estado estacionario,cuando la corriente en el colector toma el valor Ic = αIe, se alcanza despues de que alos portadores les haya dado tiempo de llegar al colector, por lo que t0 ≈ tD ≈ W 2

b /Dh.En esta expresion Wb es la anchura de la base y Dh el coeficiente de difusion de loshuecos. Si en el instante t = t1 se interrumpe la corriente en el emisor, la corrienteen el colector cae a cero cuando los ultimos huecos cruzan la base. Controlando laanchura de la base Wb es posible fabricar semiconductores cuya frecuencia crıtica esde hasta 10 GHz.

Emisor comun

En la configuracion de emisor comun, la se nal de entrada, segun podemos apreciaren la figura 20.9, se aplica en la base, mientras que la se nal de salida se toma en elcolector. En este caso el transistor puede amplificar a la vez corriente y voltaje, y espor ello por lo que esta configuracion es de las mas usadas. Sin embargo, la velocidadde respuesta sera β veces menor.

Supongamos que en el instante t = 0, el interruptor se cierra y se establecela corriente Ib en la base del transistor. Esto significa que un numero igual a Ib/eelectrones por segundo empiezan a entrar en la base. Como consecuencia de que labase empieza a cargarse negativamente, huecos del emisor empiezan a entrar en labase para recombinarse con este exceso de carga negativa. Mientras estos huecos nohan tenido tiempo de alcanzar el colector, el numero de huecos que dejan el emisor esigual al numero de electrones, con lo cual inicialmente Ie = Ib. Despues de un tiempotD ≈ W 2

b /Dh, los primeros huecos inyectados desde el emisor alcanzan el colector.Esto es analogo a lo que ocurrıa en el caso de base comun, pero ahora, la corrientedel emisor va a crecer β + 1 veces y la del colector β veces. Veamos como ocurre estoy cuanto tiempo se requiere.

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262 Transistores bipolares

1 0t + t

p n pce

t0tb

I

t 1

cIbIβ

b

Figura 20.9. Se nal de entrada aplicada en la base y tomada del colector.

Supongamos que β = 99 y que el numero de electrones que entran en la basea consecuencia de Ib es de 100. Una vez que ha pasado un tiempo tD, de cada 100huecos que se inyectan del emisor a la base, 99 son capturados por el colector y porlo tanto solo uno permanece en la base. Este hueco es insuficiente para neutralizar los100 electrones que entran en la base, de modo que es necesario inyectar mas huecosdesde el emisor. Si el emisor enviara 200 huecos, 198 serıan capturados por el colectory 2 permanecerıan en la base para aniquilar los electrones. La corriente del emisorseguira incrementandose hasta que el numero de huecos que se inyecten en la base porunidad de tiempo sea igual al de electrones en la base mas la proporcion capturadaβIb por el colector, esto es Ie = Ib + βIb.

Si queremos estimar el tiempo para que se alcance el estado estacionario, podemosfijarnos en el destino de los electrones en la base. Sabemos que los electrones queentran en la base no pueden ir hacia el emisor ni hacia el colector. Por lo tanto estancondenados a recombinarse en la base con un hueco. La vida media del exceso deelectrones en la base esta entonces relacionada con la vida media de los huecos τp.Cuando t = 0, los electrones empiezan a entrar en la base, al igual que los huecos delemisor, pero mientras t ≪ τp, no tienen tiempo de recombinarse y se almacenan en labase. Cuando t se hace del orden de varios τp, practicamente todos los electrones quehan entrado en la base han tenido tiempo de recombinarse. Luego en esta configuraciont0 ≈ τp = L2

h/Dh, siendo Lh la longitud de difusion de los huecos y Dh su coeficientede difusion.

Establecido el estado estacionario, supongamos que en el instante t1 el interruptorde la base se abre. La corriente de la base se reducira inmediatamente a cero. Lacorriente en el colector en principio no responde de manera apreciable, ya que laconcentracion de huecos no cambia. La corriente del emisor disminuye su valor enuna cantidad igual a Ib. A partir de entonces, mediante el proceso de recombinacion,en un tiempo τp los huecos que quedan en la base desaparecen y por tanto la corrientedel colector tambien, como se puede apreciar en la figura 20.9.

El efecto Miller

Cuando la se nal varıa en el tiempo, el efecto de la capacidad de las uniones empiezaa jugar un papel importante. A altas frecuencias hay que tener esto en consideracion.En el capıtulo de diodos, hemos visto el valor de esta capacidad variable y como sepuede controlar reduciendo el area de la union segun la expresion (19.13).

En el caso de un amplificador de emisor comun, la capacidad efectiva de la union

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Ejercicios 263

p n p

V

V

I

V

cc

b

bb

I b

I c

R

R

C

c

cbb

cVp n p

V

V

I

V

cc

b

bb

I b

I c

R

R

C

c

b

cV

Mil

e e

Figura 20.10. El efecto Miller.

base-colector aumenta debida a la propia amplificacion del transistor. Este incrementoefectivo de la capacidad colector-base Ccb se conoce con el nombre de efecto Miller.En la figura 20.10 podemos ver simbolizada la capacidad colector-base mediante uncondensador. Su efecto en los circuitos se modela como un condensador conectado atierra desde la base con un valor efectivo igual a CMil.

Podemos ver esto analizando que le pasa al voltaje en un amplificador de emi-sor comun. Si la corriente del emisor permanece constante, cualquier variacion de lacorriente en la base equivale a una variacion en sentido opuesto de la corriente delcolector, ya que por la expresion(20.5) resulta ∆Ib = −∆Ic. Segun la figura 20.10,Ic = (Vc −Vcc)/Rc e Ib = (Vb −Vbb)/Rb, siendo Vcc y Vbb voltajes constantes. Resultaentonces

∆Vc = −Rc∆Vb/Rb = −G∆Vb, (20.11)

siendo G = Rc/Rb la ganancia de voltaje. Ahora bien, si queremos calcular la ca-

pacidad dinamica de la union (analoga al concepto de resistencia dinamica discutidoanteriormente) resulta

Ccb =∆Q

∆(Vc − Vb)=

∆Q

∆Vc −∆Vb. (20.12)

Por otro lado la capacidad de un condensador conectado de la base a la tierra vienedada por ∆Q/∆Vb. Empleando las relaciones (20.11) y (20.12) se puede ver que resultaequivalente sustituir Ccb por un condensado cuya capacidad vale

CMil = Cbc(1 +G). (20.13)

De esta manera la se nal de entrada de la base se ve afectada o filtrada por unacapacidad amplificada.

20.5. Ejercicios

1. Demostrar la expresion (20.6). Obtener una expresion que relacione Ie con Ib enfuncion de α.Solucion: Ie = Ib/(1− α).

2. Si se define VT = kBT/e como un voltaje, comprobar que VT = 25 mV a unatemperatura de 20 C. ¿Tiene sentido sustituir la expresion (20.7) por la igualdadIc = Is exp(eVeb/kBT ) como una buena aproximacion cuando el emisor y la base

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264 Transistores bipolares

estan polarizados directamente? Se necesitan al menos del orden de 0,6 V dediferencia entre el emisor y la base para que la union este polarizada directamente.

3. Empleando la aproximacion (20.8) a temperatura ambiente, calcular cual ha deser el incremento de Veb para duplicar la corriente del colector Ic. Calcular lomismo para hacerla 10 veces mayor.Solucion: ∆Veb = 18 mV, 60 mV.

4. Considerando que ∆Ic ≈ ∆Ie, a partir de la expresion (20.8) obtener la relacion(20.9).

5. Demostrar que afirmar que Veb cae 2,1 mV/C a Ic constante es equivalente

a decir que Ic crece aproximadamente un 9%/C si se mantiene Veb constantecuando se varıa la temperatura de un transistor, segun muestra la figura 20.2.Solucion: Sean T1 > T2 las temperaturas de cada curva de la figura 20.4. Em-pleando la expresion Ic = Is(T ) exp(eVeb/kBT ), a Ic constante para cada cur-va se encuentra que Is(T1) = Is(T2) exp(eV2/kBT2 − eV1/kBT1), en donde po-demos sustituir V2 = V1 + α∆T . Si consideramos a continuacion el cocienteI1/I2 = Is(T1) exp(eU1/kBT1)/Is(T2) exp(eU1/kBT2), despues de simplificar re-sulta I1/I2 = exp(eα∆T/kBT2). A temperatura ambiente, kBT2/e = 25 mV, ycon α = 2,1 mV/C, cuando ∆T = 1C, resulta I1/I2 ≈ 9%

6. Una posible estimacion de la resistencia del efecto Early viene dada por

1

Rec≈ WX

2L2hVbc

Ie.

Obtener esta expresion y demostrar que Rec es del orden de 104 a 105 Ω.Solucion: Si mantenemos constate Veb, podemos escribir dIc/dVec = dIc/dVbc =−(W/L2

h)IedW/dVbc (en donde hemos tenido en cuenta la expresion (20.4)). Con-siderando ahora que W = Wb − X y la expresion (19.10) para X se obtiene elresultado. Teniendo en cuenta que W/Lh esta en el rango de 0,5−0,05, que X/Wes a lo maximo del mismo orden y que Ie se mide en mA y Vbc en voltios, resulta1/Rec ∼ 10−4.

7. Demostrar que si se mantiene constante la corriente Ic, resulta ∆Veb = −γVec,siendo γ ≈ 10−4.Solucion: La corriente que circula por el colector se puede escribir como Ic =αIe+Uec/Rec (ver la figura 20.6). Derivando en ambos lados y considerando qued(αIe) ≈ Ic/25mV dUeb, resulta ∆Veb = −(25mV/IcRec)∆Vec. Ya que Ic es delorden de mA, γ ≈ 1/Rec.

8. Dibujar la grafica de Ib frente al tiempo que corresponde a la situacion mostradaen la figura 20.8. Tener presente que en cada instante Ie = Ib + Ic.

9. La configuracion de emisor comun presenta la desventaja de que es del ordende β veces mas lenta que la configuracion de base comun. Comprobar que estoes cierto. Para ello, obtener el cociente entre los tiempos de subida en las dosconfiguraciones y usar las expresiones (20.6) y (20.2) en el cociente, siendo β ≈100.Solucion: El cociente resulta (Wb/Lh)

2 = 2/(1 + β) ≈ 2/β.10. Obtener la expresion (20.13) para el efecto Miller.

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Capıtulo 21

Transistores de efecto campo

21.1. Principios basicos

En 1920, antes de que el primer transistor bipolar fuera inventado, Lilienfeld propusoun dispositivo capaz de amplificar se nales. La idea se ilustra en la figura 21.1. Eldispositivo se parece a un condensador ordinario. Una de las placas es de metal y laotra es de semiconductor.

Si se aplica un voltaje V1 entre las placas, se origina un campo electrico E1 enel espacio entre las mismas. En la superficie interior de la otra placa, se inducira uncampo electrico E2 = E1/εr, siendo εr la permitividad relativa del semiconductor.Sabemos que este campo penetra una cierta distancia en el material dependiendo dela concentracion de portadores libres. Controlando el sentido del campo aplicado, estoes la polaridad del voltaje V1 entre las placas, crearemos una zona libre de portadores(region de vacıo) o por el contrario se enriquecera de portadores. Si, como en lafigura 21.1, el semiconductor es de tipo n, entonces conectando el polo positivo denuestra baterıa al semiconductor y el negativo a la placa metalica (serıa una especiede polarizacion inversa en la cual la placa metalica juega el papel de semiconductortipo p) se produce entonces una region vacıa de carga. Si cambiamos esta polaridad(equivalente a una polarizacion directa), entonces en la region del semiconductorcercana a la placa positiva se produce un aumento de portadores libres.

La idea consiste ahora en aplicar un voltaje V0 a lo largo del semiconductor einducir una corriente I paralela a la placa. Si la polarizacion es inversa, parte del

dWV1

V0

n

metal

Figura 21.1. La idea de transistor de efecto campo propuesta por Lilienfeld.

265

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266 Transistores de efecto campo

semiconductor estara ocupado por la region vacıa de carga por lo que la resistenciaal paso de corriente electrica sera grande y la corriente que fluye a lo largo del mismosera peque na. De forma inversa, si la polarizacion es directa, parte del semiconductorestara enriquecido con portadores libres, por lo que su resistencia disminuira y lacorriente I aumentara. Este truco permitirıa controlar la corriente que fluye a lo largodel semiconductor mediante un campo electrico perpendicular a la corriente. Por estose llama transistor de efecto campo.

En la practica esta idea tiene un problema. Supongamos que la polaridad de V1

es negativa, produciendose por tanto una region de vacıo cerca de la superficie delsemiconductor. Conociendo el campo electrico E2 y la concentracion de impurezasNd en el semiconductor, usando las expresiones (19.6) y (19.7) podemos calcular laanchura de esta region,

W =εrε0E2

eNd. (21.1)

El campo electrico maximo que se puede alcanzar dentro del semiconductor es el deruptura. Para el Ge y Si es del orden de 2 a 3× 105 V/cm, que corresponde al voltajedado por la ecuacion (19.12). El valor mınimo de dopaje Nd que se podıa conseguiren 1920 era Nd ≈ 1018 cm−3, lo cual corresponde a un nivel de impurezas menor al0,01%. La premitividad relativa de estos semiconductores vale εr ≈ 10. Con todo ello,el tama no de la region de vaciado como maximo se hace del orden de 0,02µm. Por otraparte en aquellos tiempos era imposible hacer una placa de semiconductor de menosde 50µm de espesor. El incremente maximo que se podrıa esperar en la resistenciaserıa de un 0,04%. Sin embargo, a pesar de que la resistencia se podıa medir consuficiente precision, tal incremento no se observo. Si se hubiera observado, aunque nohubiera sido posible detectar amplificacion o atenuacion de la se nal aplicada, la ideahabrıa sido valida. Cristales mas puros y delgados llevarıan al efecto deseado.

La razon de no haber observado cambios en la resistencia esta en que los atomoscerca de la superficie no se comportan igual que en el interior del material. Se havisto en capıtulos anteriores que cada atomo en la superficie crea un estado capaz decapturar electrones libres (capıtulo 19). La densidad de estos estados superficiales esdel orden de 1015 cm−2. Imaginemos ahora que cambiamos la polaridad y el campoE2 en el semiconductor lleva los electrones hacia la superficie. Para estimar cuantosportadores libres habra cerca de la superficie empleamos la formula del condensadorplano que da la relacion entre la densidad de carga superficial y el campo aplicado,σ = εrε0E2. Sustituyendo los valores discutidos anteriormente y dividiendo entrela carga del electron se obtiene la densidad de portadores libres que deberıa haberen la superficie. Si se hace este ejercicio, la densidad de electrones en la superficieresulta del orden de 1012 cm−2. Este numero es 1000 veces menor que la densidadde estados superficiales capaces de capturar un electron. Por lo tanto, no existiranportadores libres y no es extra no que nadie hubiera sido capaz de obtener algunresultado positivo.

21.2. JFET, transistores de efecto campo de union p-n.

Para deshacerse de los estados superficiales se intento sin exito combinar diferentesgeometrıas, tipos de semiconductores, etc. En 1952 Shockley razono que lo que habıa

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MOSFET, transistor de campo de oxido de metal. 267

S G D

n

p

dW

V

V0

1

Figura 21.2. Transistor de efecto campo de canal n. Vemos la fuente S, la puerta G y el

drenaje D.

que hacer era crear un electrodo que modulase la resistencia de la placa semiconduc-tora no en la superficie, sino en su interior, en donde no existen estados superficiales.

La figura 21.2 ilustra la idea de Shockley. Sobre un sustrato de tipo n se crea unaregion de tipo p. En el interior de la placa, a una profundidad que se puede controlar,se crea una union p-n. La region p se dopa mucho mas que la region n por lo que laregion de vacıo se localiza principalmente en la region n. Si se polariza inversamentela union, entonces la region de vacıo que tiene una resistencia bastante grande penetramas y crece con el campo en el interior de la region. El canal por el que puede fluir lacorriente electrica ID se estrecha y la corriente ID disminuye. Hemos conseguido deesta forma regular la corriente mediante un campo perpendicular a la misma.

Estos transistores se fabrican con tecnologıa plana. Los tres electrodos de contactoestan sobre la misma cara. Los dos que sirven para transmitir la corriente a lo largodel semiconductor reciben el nombre de fuente (source en ingles) y drenaje (drain).El electrodo al cual se le aplica el voltaje que modula la resistencia recibe el nombrede puerta (gate).

El transistor que representamos en la figura 21.2 se llama de canal n, ya que lacorriente se controla en la region de agotamiento o vaciado de anchura W que apareceen el semiconductor dopado negativamente. De forma analoga se puede construir untransistor de efecto campo de canal p.

21.3. MOSFET, transistor de campo de oxido de metal.

Varios a nos despues de la creacion del transistor tipo JFET, la tecnologıa fue capazde ganar una batalla que habıa durado mas de 30 a nos. Se encontro el semiconductor,el material dielectrico y el metodo de aplicarlo sobre el semiconductor de tal maneraque la densidad de estados superficiales no fuera mayor que 1010 cm−2, es decir 100000veces menos que en un semiconductor tıpico. Por fin la idea de Lilienfeld podıa llevarsea la practica. El semiconductor resulto Si y el dielectrico oxido de silicio SiO2.

En la figura 21.3 podemos ver esquematicamente como se hacen estos transistores.Sobre un sustrato poco dopado, con impurezas contrarias al canal que transmitira lacorriente, se deposita una capa delgada de Si con la concentracion de impurezasnecesarias. Esta capa constituye el canal. Entonces la superficie es oxidada y medianteun proceso litografico parte de este oxido se remueve creandose ventanas en la capade oxido. En esas ventanas se depositan los electrodos que formaran la fuente y el

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268 Transistores de efecto campo

p

canal nS DG

SiO2

p

S DG

SiO2

n n

(a) (b)

Figura 21.3. Diferentes tipos de MOSFETs de canal n. (a) NMOS de canal permanente,

(b) NMOS de canal inducido.

drenaje. Por ultimo sobre la parte de oxido que permanece se deposita el electrodoque hara de puerta.

Dos de los tipos mas importantes de transistores MOSFET se muestran en lafigura 21.3. Ambos son transistores de canal tipo n (NMOS) con sustrato tipo p. Sinembargo en el segundo no existe inicialmente un canal. El primero recibe el nombrede canal permanente, depletion mode, o normally-on. El segundo se llama de canal

inducido, enhancement mode o normally-off.

Las uniones p-n se hace mas profunda en las cercanıas de la fuente y el drenaje. Enel NMOS de canal permanente, podemos considerarlas como dos regiones separadas,conectadas en serie por el canal. Cuando no se aplica ningun voltaje en la puerta,existe una conductancia distinta de cero definida por la longitud del canal, su anchuray su conductividad. Es claro por lo que recibe el nombre de transistor de tipo on, yaque deja pasar cierta corriente en este estado. Si se aplica un volaje positivo a lapuerta, la conductancia del canal aumentara. Si por el contrario se polariza al revesla puerta, entonces disminuira hasta que todo el ancho del canal se vacıa de portadoreslibres, y por tanto su conductancia se hace cero. El voltaje aplicado que hace que laconductancia se anule recibe el nombre de pinch off VP .

En el NMOS de canal inducido no hay ningun canal entre la fuente S y el drenajeD cuando no se conecta la puerta G a un voltaje. El nombre de transistor de canalapagado en modo normal (normally-off channel) esta por tanto justificado. Cuandose conecta un voltaje positivo relativamente peque no a la puerta, una region vacıade huecos empezara a aparecer entre la fuente y el drenaje, justo debajo de la capade oxido. Los huecos tienden a abandonar esa region mientras que por el contrario loselectrones se veran atraıdos por ella. Inicialmente esto no afecta apenas la corrienteque va de la fuente al drenaje y permanece practicamente igual a cero. Sin embargo, sicontinuamos aumentando el voltaje en la puerta, finalmente se producira una inversiondel tipo de conductividad, no siendo por huecos sino por electrones. El voltaje en elque esta inversion tiene lugar recibe el nombre de voltaje de disparo o threshold VT . Laprincipal ventaja de estos dispositivos es que si no hay voltaje en la puerta, al no existirpracticamente corriente, no se consume potencia incluso habiendo una diferencia devoltaje entre la puerta y el drenaje.

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Curvas universales caracterısticas de los FET 269

µΑ

1mA

1

0

VGS

log I

+3 +5−5

I DSS

VV PP

V V TT

II

D

D (on)

D (on)

JFET de canal p

NMOS enhancement

PMOSenhancement

de canal nJFET

−3

Figura 21.4. Curvas caracterıticas de los transistores de efecto campo. El eje de abscisas

representa voltios.

21.4. Curvas universales caracterısticas de los FET

Hemos visto que existen dos grandes familias de FET: aquellos en los que la puertaforma una union p-n (JFET) y aquellos en los que esta aislada mediante una sepa-racion de oxido (MOSFET). Dentro de cada familia, el canal que conduce puede sertipo n o tipo p. Por ultimo, dependiendo del dopado del canal, el modo puede serdepletion, en el que el FET conduce hasta que se aplica un voltaje para hacer queno conduzca, o enhancement, en el que el FET no conduce hasta que no se aplica unvoltaje a la puerta. De todas las posibilidades, los JFET solo se construyen en mododepletion, mientras que los MOSFET vienen en todos los tipos salvo el de canal p enmodo depletion que no se fabrica.

Afortunadamente no hay recordar las propiedades de los cinco tipos de FET queexisten, ya que estas son basicamente las mismas y se resumen en la figura 21.4. Untipo de FET conduce hasta que se hace algo para disminuir su conductancia vaciandoel canal de conduccion (depletion). El comportamiento de estos transistores se resumeen las curvas para los JFET mostradas en la figura 21.4, validas tambien para algunosMOSFET. Si la diferencia de voltaje entre la puerta y la fuente se hace cero VGS = 0,la corriente que circula por el drenaje ID = IDSS es casi maxima (IDSS significa lacorriente que circula por el drenaje cuando cortocircuitamos -shortcircuit- la fuentecon la puerta). Para disminuir esta corriente hace falta aplicar entre la puerta y lafuente una diferencia de voltaje como si fueramos a polarizar un diodo de manerainversa. Como explicabamos antes, al alcanzar el voltaje de apagado o pinch-off VP

el transistor se apaga.

El otro tipo de FET esta dise nado de manera que no conduce a menos que seaplique un campo que sea capaz de crear un canal de conduccion. Estos transistoresson los NMOS y PMOS, modo enhancement, cuyas curvas caracterısticas se muestrantambien en la figura 21.4. El voltaje mınimo capaz de crear el canal es VT (voltaje dedisparo o threshold). En este caso la polarizacion es directa. Es por ello por lo queun JFET no puede funcionar de esta forma, ya que la union p-n entre la puerta y lafuente, polarizada directamente, se harıa conductora.

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270 Transistores de efecto campo

DSV21

1

3

2

I D

0mA

−0,3

−0,6

Figura 21.5. Curvas caracterısticas de corriente-voltaje de un FET para diversos valores de

VGS . Lıneas discontinuas representan el caso cuando el canal es considerado una resistencia

controlada por el voltaje de la puerta. Abscisa en voltios.

Detalles del funcionamiento de los FET

Se puede pensar que los FET actuan como una resistencia que se puede cambiar avoluntad por medio del voltaje aplicado a la puerta. Para analizar su funcionamientomas detenidamente tomaremos un JFET de canal n como ejemplo. Cuando no seaplica voltaje alguno a la puerta, la anchura del canal es maxima. La resistencia delcanal se puede calcular como R0 = ρL/A = ρL/(dd0), siendo A la seccion transversaldel canal, producto de la anchura d y el espesor d0, y ρ = 1/σ su resistividad segun laexpresion (18.11). Si se aplica un voltaje VDS entre la fuente y el drenaje, se obtieneuna corriente ID = VDS/R0.

Si aplicamos ahora un voltaje inverso a la puerta VG = V1, como en la figura 21.2,la anchura del canal se reducira una cantidad W dada por la ecuacion (21.1), yla resistencia del canal sera ahora R1 = ρL/[d0(d − W )]. La corriente por tantodisminuira a ID = VDS/R1. Si continuamos aumentando el voltaje VG, la resistenciase hara enorme y la corriente sera nula. Esto se puede ver en la figura 21.5, en donde amedida que crece la resistencia la pendiente de las lıneas discontinuas se hace menor.

En la figura 21.5 se observa la dependencia real de la corriente con el voltaje,dada por las lıneas continuas. Se puede ver que cuando VDS es peque no la curvacoincide con el modelo de resistencia constante descrito, pero cuando aumenta lacurva caracterıstica se satura. La intensidad ID se hace independiente del valor deVDS . A mayor voltaje en la puerta, menor resulta la corriente de saturacion Is ymenor el voltaje VDS = Vs al cual se alcanza la saturacion. Normalmente los FEToperan en el regimen de saturacion.

Tratemos de explicar este comportamiento. En nuestro razonamiento anteriorsuponıamos que al aplicar un voltaje sobre la puerta, la anchura del canal se reducıade la misma manera a lo largo de todo el canal. Sin embargo, esto no es del todocierto. Cerca de la fuente, la anchura del canal es maxima, mientras que en el drenajela anchura se hace mınima (la region de vaciado crece). En la figura 21.6 vemos denuevo un JEFT de canal n. Un peque no voltaje VGS polariza inversamente la puerta.Entre la fuente y el drenaje se aplican distintos voltajes como muestra la figura. Lapuerta es metalica y por tanto se halla a un potencial constante VG, pero no ocurre lomismo con el canal. El canal no puede ser equipotencial ya que al aplicar una diferenciade potencial entre la fuente y el drenaje VDS hay una corriente. En el punto 1 de lafigura, el potencial del canal es practicamente igual al potencial de la fuente, es decir

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Principales parametros de los FET 271

S G D

n

p

V

S G D

n

p

V

S G D

n

p

V

VGS VGS

1 2 3

VGS

321

Figura 21.6. Efecto de saturacion de corriente en los FETs (V1 < V2 < V3). La region libre

de portadores aumenta y el canal se va haciendo mas estrecho.

Vc1 = VS . En el punto 3, cercano al drenaje, el potencial sera Vc3 ≈ VDS y en el punto2 tendra un valor intermedio. En el punto 1, la diferencia de potencial entre el canaly la placa sera igual a la diferencia de la placa y la fuente, esto es VGS , y por tantola anchura de la region libre de portadores coincide con la calculada anteriormente,

W1 =

(2εε0VGS

eNd

)1/2

. (21.2)

Sin embargo, en el punto 3 la diferencia de potencial entre el canal y la placa resultaser VGS + VDS . En este punto la anchura de la region sin portadores sera maxima,

W3 =

[2εε0(VGS + VDS)

eNd

]1/2. (21.3)

Por consiguiente cuando se aplica un voltaje VDS entre la fuente y el drenaje, el canalse distorsiona, siendo maximo en la fuente y mınimo en el drenaje. Cuanto mayor esel voltaje aplicado, mayor la distorsion. El canal empieza a hacerse mas peque no entodos los puntos excepto muy cerca de la fuente. Recordando que cuanto mas estrechoes el canal, mayor es su resistencia al paso de corriente, podemos ver que la curvacaracterıstica empieza a tender hacia la saturacion. Cuando se llega a la saturacion,practicamente la region vacıa corta el canal. Tambien se explica de esta manera ladependencia con VGS .

21.5. Principales parametros de los FET

La propiedad de amplificar de los transistores de efecto campo es comun a los transis-tores bipolares (BT). Sin embargo los principios en los que se basa son diferentes. Enlos BT la corriente de entrada circula a traves de una de la uniones p-n directamentepolarizada. Por lo tanto, la resistencia de entrada de estos transistores no es demasia-do alta, oscilando entre varios ohmios y kilo ohmios. En los FET el voltaje de entradaVG se aplica a la puerta, polarizando de manera inversa una union p-n (JFET), o in-cluso a una region aislante de SiO2 (MOSFET). Por lo tanto la resistencia de entradade los FET es del orden de los giga ohmios en muchos casos.

Uno de los parametros mas importantes de un transistor es el coeficiente deganancia. En los bipolares este parametro venıa dado por la ganancia de corriente β

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272 Transistores de efecto campo

definida por la expresion (20.3). En un transistor FET, el coeficiente de ganancia sedefine por medio de la transconductancia S, definida como la razon entre el cambiode la corriente en el drenaje ∆ID y el cambio de voltaje ∆VG aplicado en la puerta,

S =∆ID∆VG

. (21.4)

La transconductancia depende del dise no del transistor y de su regimen de operacion.En el caso general, la ecuacion que da su valor en funcion de estos parametros es bas-tante complicada. Si miramos de nuevo la figura 21.5, se puede ver que si cambiamosel voltaje de la puerta, pasamos de una curva a otra. La diferencia entre las dos curvases maxima si el transistor funciona en el regimen de saturacion. La transconductan-cia en este regimen tambien lo sera (normalmente se usan estos transistores en esteregimen).

Cuando analizabamos la velocidad de respuesta de un transistor bipolar, vimosque estaba convenientemente caracterizada por el tiempo de subida t0. Despues decambiar la se nal de entrada, el nuevo valor de la salida se establecıa despues detranscurrido ese tiempo. El tiempo mınimo posible para los transistores bipolares seobtenıa en la configuracion llamada de base comun, y era el tiempo que necesitabanlos portadores para pasar del emisor al colector cruzando la base. De forma analoga,la velocidad de respuesta en los FET viene determinada por el tiempo que tardanlos portadores para pasar de la fuente al drenaje. En este caso t0 = L/v, siendo L lalongitud de la puerta y v la velocidad media de los portadores libres a lo largo delcanal. Recordemos que esta velocidad depende del campo en el canal (ver la ecuacion(18.10)). Se han fabricado FET en los que el campo electrico a lo largo del canal estan alto que v = vs ≈ 107 cm/s (vs es la velocidad de saturacion o la que llevan losportadores calientes, ver seccion 18.5). Existen transistores de efecto campo hechosde GaAs capaces de responder a frecuencias de unos 100 GHz.

Discutida la enorme resistencia que presentan los FET a la corriente de entradaveamos ahora su capacidad. Recordemos que la puerta es obviamente un condensadorplano, cuya capacidad viene dada por la expresion (19.13). En un MOSFET, un valorcaracterıstico para el espesor de la capa de oxido es 0,1µm y para la permitividadrelativa εr = 4. El area de la puerta A se calcula facilmente a partir de sus dimensiones.La longitud con la presente tecnologıa va de 0,25 a 0,1 µm, mientras que la anchurava de 10 a 200 µm. La impedancia capacitiva de entrada entonces se hace del ordende 0,05 a 1 pF.

21.6. Ejercicios

1. Obtener la expresion (21.1) empleando (19.6) y (19.7). Tomar Em = 3×107 V/m,Nd = 1018 cm−3 y ε = 10, y calcular la anchura de la region de vaciado.Solucion: W ≈ 0,02µm.

2. Dibujar la estructura basica de un JEFT de canal p.3. Dibujar la estructura basica de un PMOS de canal inducido.4. Explicar las curvas caracterısticas mostradas en la figura 21.4.5. La resistencia es inversamente proporcional al area de la superficie transversal a

la direccion de la corriente. Si la anchura d del canal disminuye una cantidadW =

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Ejercicios 273

0,02µm, siendo inicialmente igual a 50µm, calcular el porcentaje de incrementoen la resistencia.Solucion: R ∼ 1/d implica que ∆R/R = −∆d/d = W/d = 0,04%.

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Capıtulo 22

Circuitos con diodos

22.1. Curva caracterıstica I-V para un diodo

Hemos visto circuitos con elementos pasivos y lineales. Pasivos en el sentido de quela potencia de una se nal que pasa por ellos no aumenta, y lineales en lo que respectaa su respuesta en amplitud. Existen otros dispositivos con comportamiento no linealpasivo, por ejemplo los diodos, y no lineal activo, como los transistores. Debido alcaracter no lineal, no obedecen la ley de Ohm, y tampoco tienen un equivalente deThevenin, aunque bajo ciertas circunstancias su comportamiento se pueda aproximaral de los elementos lineales. En este capıtulo nos ocuparemos de circuitos no linealespasivos.

Los diodos se representan mediante el sımbolo dibujado en la figura 22.1, en dondela flecha indica el sentido de la corriente en polarizacion directa. La relacion entre elvoltaje aplicado a sus terminales y la corriente que circula por el puede resumirse enla figura 22.2, segun vimos en el capıtulo 19. Podemos ver que si una corriente de10 mA circula del anodo al catodo en un diodo, la diferencia de potencial entre ellossera de 0,6 V, que es la caıda de voltaje en polarizacion directa. La corriente inversa,con valores tıpicos de nanoamperios, no suele tener consecuencia alguna hasta quese llega a la region de ruptura, tıpicamente situada en torno a los 75 V. Salvo losdiodos Zener, dise nados para operar en la zona de ruptura (se alcanza a voltajesmucho menores siendo 5,6 V un valor tıpico), en la mayorıa de las aplicaciones sepuede considerar el diodo como una valvula de una sola direccion, la marcada por la

A C

Figura 22.1. Sımbolo de diodo empleado

en un circuito. La letra A es el anodo y la

C el catodo.

1 2

−50−100 V

µµ

10 m20 m

A

−1

−2

Figura 22.2. Curva caracterıstica I-V

para un diodo. Notese el cambio en las

escalas.

274

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Rectificacion 275

Vout

Rload

Vin

Figura 22.3. Circuito rectificador de me-

dia onda.

t

V

∼ 0.6

Figura 22.4. Se nales de entrada (lınea dis-

continua) y salida (continua) del rectificador.

flecha, que deja pasar corriente en un solo sentido, manteniendo en sus extremos unacaıda de unos 0,6 V.

22.2. Rectificacion

Un rectificador convierte corriente alterna en corriente continua. Esta es una de lasfunciones mas simples y mas importantes de los diodos, tanto es ası que se les conocecon el nombre de rectificadores. El circuito de la figura 22.3 es un rectificador de media

onda. La se nal alterna de entrada normalmente es la salida de un transformador.Considerando el diodo como un conductor de una sola direccion, es facil comprenderla figura 22.4, en donde se muestra el voltaje a la salida y a la entrada del diodo.

Para una se nal armonica de amplitud mucho mayor que el voltaje de saturacionen polarizacion directa (unos 0,6 V tıpicamente para diodos de silicio), podemos verque solo la mitad de la se nal de entrada es aprovechada, de ahı el nombre de recti-ficador de media onda. Vemos ademas que el diodo atenua la se nal ya que mantieneuna caıda de voltaje entre sus terminales. La salida no es propiamente una se nal con-tinua, sino una alterna sin la parte negativa. Para mejorarla necesitaremos filtrarlacomo veremos, pero antes nos gustarıa aprovechar el resto de la se nal de entrada.

Puente de rectificacion de onda completa

Este circuito esta pensado para aprovechar la parte negativa de la se nal de entrada ypodemos verlo en la figura 22.5. La figura 22.7 explica su comportamiento. Tanto parala parte positiva como para la parte negativa de la se nal de entrada, en cada instantedos diodos estan conectados en serie con esta. En la figura 22.6 se puede ver el voltajede salida. Como antes, la se nal de salida se anula antes que la de entrada debido alvoltaje de caıda directa de 0,6 V. En este caso, es el doble al estar conectados dosdiodos en serie.

22.3. Fuente de voltaje no regulada

Los circuitos anteriores nos dan una salida que es continua solo en lo que respecta a lapolaridad, pero presentan mucho rizado. Se denomina rizado a la variacion periodica

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276 Circuitos con diodos

Rload

A

BC

D

Figura 22.5. Puente rectificador de onda

completa.

t

V

Figura 22.6. Voltaje a la salida de un

puente rectificador.

Rload

A

C RloadB

D

Figura 22.7. Circuito efectivo para cada mitad del ciclo.

del voltaje respecto a su valor estacionario. Para suavizar la variacion mostrada en lafigura 22.6 se pasa la se nal de salida con un filtro pasa-baja, como en el circuito dela figura 22.8. En realidad, debido a que los diodos solo permiten el paso de corrienteen una direccion del condensador, el filtro hace de dispositivo de almacenamiento deenergıa.

En la figura 22.9 hemos dibujado la salida al a nadir el condensador. Podemosver que el rizado se ha reducido de manera considerable, aunque aun existe algunavariacion mostrada como amplitud pico-pico Vpp. Es por ello que tenemos una fuente

no regulada.

Para elegir el condensador vamos a analizar el comportamiento en el dominiotemporal usando aproximacionees. Resolver el problema de manera exacta no damejor criterio porque la tolerancia es normalmente de un 20% y muchas cargas no sonresistivas. Sea Il la corriente que sale del puente. Si la carga es resistiva, esta corrienteno permanecera constante, sino que decae de manera exponencial cada mitad de ciclo.Esto podemos verlo en la figura 22.10, en donde el voltaje decae exponencialmenteen el intervalo de tiempo en que la se nal que sale del puente se hace practicamentecero. La primera suposicion que haremos sera que la corriente Il permanece constantee igual a Vmax/R. Supondremos que el tiempo en el que decae el rizado es igual alsemiperiodo de la se nal que sale del puente, que coincide con el semiperiodo de lase nal alterna a rectificar, ∆t = 1/(2f). Notemos que si el rectificador fuera de mediaonda serıa ∆t = 1/f . Con todo ello, lo que estamos haciendo es sustituir la curvacontinua por la recta mostrada en la figura 22.10. Escribiendo la relacion entre el

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Fuente de voltaje no regulada 277

Rload

R

C

Figura 22.8. Filtrado de la fuente de voltaje

continua.

t

V

Vp−p

Figura 22.9. Voltaje de salida despues

de pasar por el filtro. Vpp es una medida

del rizado que queda.

voltaje y la intensidad en un condensador, resulta

Il = C∆V

∆t, (22.1)

con lo cual identificando la amplitud pico-pico de rizado Vpp con ∆V , este calculoaproximado nos da

Vpp =Vmax

2fRC. (22.2)

Podemos de este modo elegir el valor apropiado del condensador conocido el valor deVpp que la aplicacion tolera.

t

V

Figura 22.10. Estimacion del rizado. En el intervalo en el que el voltaje que sale del

puente (lınea discontinua), se hace cero, la se nal decae exponencialmente (lınea continua).

Suponiendo que Il permanece constante, el voltaje estarıa descrito en ese intervalo por la

lınea recta.

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278 Circuitos con diodos

Vin Vout

Figura 22.11. Circuito regulador median-

te Zener. Vin puede ser el voltaje con riza-

do de una fuente no regulada. A la salida,

Vout = Vzener.

V

∼0.6

I

V

Vzenerzona a evitar

Figura 22.12. Curva caracterıstica V-I

para un Zener. La pendiente da la impe-

dancia dinamica.

22.4. Circuito regulador con diodo Zener

En el capıtulo de uniones p-n, mencionabamos brevemente los diodos Zener cuandodiscutıamos los mecanismos de ruptura en polarizacion inversa. Estos diodos soncapaces de disipar suficiente potencia en forma de calor de manera que no se destruyenpor calentamiento y por tanto pueden trabajar en regimen de ruptura cuando sepolarizan inversamente. Esta propiedad los hace utiles como reguladores de voltaje.Tienen algunas limitaciones, tales como que la supresion del rizado no es completa yque el voltaje de salida no es facilmente ajustable.

En la figura 22.11 podemos ver el esquema del circuito regulador (el diodo Zenerse representa con el mismo sımbolo que el resto de diodos salvo que la raya perpen-dicular a la flecha no es horizontal, recordando la caracterıstica I-V que presentan).La se nal de salida, por ejemplo de una fuente no regulada, pasa a traves del divisorcompuesto por una resistencia y un Zener. En la figura 22.12 podemos ver la curvacaracterıstica del diodo Zener, pero con los ejes cambiados, es decir V-I de maneraque la pendiente en cada punto nos da la resistencia dinamica, es decir Rdin = dV/dI.

Veamos como este circuito es capaz de reducir el rizado. La intensidad que circulavendra dada por I = (Vin−Vout)/R, y por tanto para cualquier variacion de la mismapodemos escribir

∆I =∆Vin −∆Vout

R. (22.3)

Por otro lado, de la curva V-I del Zener podemos aproximar, para un incrementosuficientemente peque no,

∆Vout = Rdin∆I =Rdin

R(∆Vin −∆Vout), (22.4)

por lo que finalmente se obtiene

∆Vout =Rdin

R+Rdin∆Vin. (22.5)

Ası el circuito se comporta como un divisor de voltaje con el diodo reemplazado poruna resistencia igual a la resistencia dinamica del Zener a la corriente en que opera.Queremos que ∆Vout sea cero, con lo que tomaremos el valor de R de manera que

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Limitadores 279

Vout

Figura 22.13. Circuito limitador.

t

V

−0.6

Figura 22.14. Salida del circuito limita-

dor.

el Zener opere en una zona donde la curva se hace lo mas horizontal posible, ya queentonces Rdin ≈ 0. Como el Zener esta polarizado inversamente, esto sucede cuandoVout = Vzener, segun puede verse en la figura 22.12, y normalmente I = 10 mA.

22.5. Limitadores

Los diodos se usan como elementos de proteccion para muchos circuitos, ya que allimitar el voltaje evitan que se da nen. Casi todos los circuitos integrados llevan diodoscomo proteccion para evitar el efecto de descargas producidas por carga estaticagenerada al manipularlos.

El primer circuito limitador que mostramos se parece mucho al rectificador, aun-que en este caso la impedancia de salida esta dominada por la resistencia (es porello por lo que no se usa para rectificar), como se puede ver empleando la expresiondel divisor de voltaje. El circuito puede verse en la figura 22.13 junto con la salidaque ofrecerıa para una se nal de entrada armonica. El diodo se encuentra polarizadonegativamente y por tanto es como si no estuviera hasta que la se nal alcanza unvalor de −0,6 V, para el cual la polarizacion cambia y el diodo se hace conductor,manteniendo una diferencia de potencial constante entre sus terminales.

Vout

+5V

Figura 22.15. Circuito limitador de vol-

taje superior e inferior.

t

V

−0.6

5.6

Figura 22.16. Salida del circuito limita-

dor de voltaje superior e inferior.

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280 Circuitos con diodos

Mostramos en la figura 22.15 otro limitador. La se nal de salida en este casopuede verse en la figura 22.16.

22.6. Ejercicios

1. Explicar como actua un diodo para rectificar la corriente.2. Explicar la accion de un filtro con condensador en un circuito rectificador.3. Considerar el circuito mostrado en la figura 22.8. La fuente de corriente alterna

da una amplitud de 12 V a 50 Hz. Se trata de elegir los valores de R y C demanera que la carga reciba 10 V con menos de 0,1 V de rizado y una intensidadmaxima de 0,1 mA. Tener tambien en cuenta la caıda de 0,6 V de los diodos.Solucion: Vpp = Iload/(2fC), con Iload = 0,1 mA. Por tanto C = 0,1µF. Vm =Vdc + Vpp/2, con Vdc = 10 V, Vm = (V0 − 0,6)Rload/(Rload +R), siendo Rload =Vdc/Iload, y V0 = 12 V. Luego R ≈ 14 kΩ.

4. Demostrar que el diodo Zener del circuito de la figura 22.11 tiene que ser capazde disipar una potencia igual a

Pzener =

(Vin − Vout

R− Iout

)Vzener,

siendo Iout la intensidad de salida al conectar una carga.5. Explicar la salida mostrada en la figura 22.16 para el circuito de la figura 22.15.

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Capıtulo 23

Circuitos con transistores

23.1. Amplificador de corriente

En este capıtulo veremos circuitos en los que intervienen dispositivos no lineales ac-tivos, en particular transistores bipolares. Muchos de estos circuitos pueden hacersecon transistores de efecto campo, en algunos casos mejorando los resultados, en otrosno.

En las aplicaciones, el funcionamiento de un transistor se puede entender comouna especie de valvula que permite controlar el flujo de corriente cuando pasa a travesde ella como podemos ver en la figura 23.1.

Lo transistores de union bipolar son de dos tipos: n-p-n y p-n-p. Resumiremosel funcionamiento de los transistores n-p-n mediante cuatro reglas (para los p-n-psimplemente hay que cambiar las polaridades):

1. El colector debe ser mas positivo que el emisor, esto es VC > VE .2. Si se consideran la union base-emisor y la union base-colector como dos diodos,

segun podemos ver en la figura 23.2, entonces el diodo base-emisor debe estarpolarizado directamente y el diodo base-colector debe estarlo inversamente. Estoes, VB = VE + 0,6 y VC > VB .

3. Un transistor se estropea si se superan sus valores maximos de IC , IB , VCE yVBE .

4. Cuando las reglas anteriores se cumplen, entonces

IC = βIB . (23.1)

IB

IC

IA

control

Figura 23.1. Modelo simple de transistor n-p-n como una valvula.

282

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Interruptor 283

C

A

BIC

Figura 23.2. Como un ohmnımetro verıa a un transistor n-p-n.

Conviene hacer algunos comentarios antes de proseguir. La corriente del colector cuan-do se cumplen estas reglas no es debida a la conduccion del diodo, ya que se tratarıade un diodo polarizado inversamente, sino que es una propiedad del funcionamientodel transistor. La expresion (23.1) determina la utilidad del transistor como amplifi-cador de corriente. Ademas, aplicando las leyes de Kirchhoff, IE = (1 + β)IB . Dadoβ ≫ 1, normalmente del orden de 100, una buena aproximacion es IC ≈ IE .

23.2. Interruptor

Ademas de poder usarse como amplificador de corriente, un transistor puede usarsecomo interruptor. Este uso es muy importante en electronica digital, siendo la basede todos los circuitos digitales, ya sean memorias, puertas logicas, etc.

Un interruptor presenta dos estados: encendido y apagado. Por ejemplo, el inte-rruptor mecanico de la pared enciende las luces o las apaga en virtud de su posicion.Cuando esta apagado, un interruptor no permite el paso de la corriente, mientrasque cuando se enciende, la diferencia de potencial entre sus terminales se anula. Aun-que los transistores no son capaces de alcanzar estos estados ideales, ya que en suestado encendido existe una peque na diferencia de voltaje, y en su estado apagadose permite el paso de una peque na corriente, sı que pueden usarse como interruptorcon ciertas ventajas: pueden controlarse electronicamente en lugar de mecanicamente,pueden hacerse extremadamente peque nos (caben mas de cien mil en un centımetrocuadrado de silicio usando tecnicas de litografıa), son muy baratos de producir y fun-cionan a mucha mas velocidad (pueden encenderse y apagarse millones de veces porsegundo). Todo esto ha permitido el gran desarrollo de la electronica digital.

Empezaremos discutiendo el comportamiento del circuito de la figura 23.3. Setrata de un transistor en estado saturado. Cuando el interruptor mecanico esta abierto,no hay corriente en la base, y por tanto en virtud de la regla 4 no existe corriente enel colector y la bombilla esta apagada, lo cual equivale a que VC = +10V. Si cerramosel interruptor, el voltaje de la base valdra VB = 0,6V ya que la union base-emisor sepolariza directamente. La caıda de potencial en la resistencia de 1 kΩ conectada a labase sera de 9,4V, por lo que IB = 9,4mA. Queremos calcular la corriente IC quecircula por el colector. Si β = 100 para el transistor, la regla 4 nos darıa IC = 940mA.Este razonamiento esta mal porque no podemos aplicar la regla 4 si no se cumplen lasotras reglas, y en este caso no lo hacen: la regla 1 no se cumple. Si realmente circularaIC = 940mA por el colector, aparte de fundir la bombilla, VC serıa negativo y portanto VC < VE . Un transistor no puede hacer esto, y el resultado es lo que se llamasaturacion.

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284 Circuitos con transistores

+10V

10V

0.1A1k

Figura 23.3. Transistor en estado saturado.

Lo maximo que puede hacer el transistor es llevar VC tan cerca de VE comopermita la union base-colector que debe de mantenerse polarizada inversamente segunla regla 2. Cuando entre la base y el colector hay una diferencia de unos 0,4 V el diodoentra en polarizacion directa (el diodo base-colector se trata de un diodo mas grandeque el diodo base-emisor, por lo que el voltaje de que podemos llamar de encendidoes menor que los 0,6 V tıpicos). Por lo tanto, cuando VCE = VC − VE ≈ 0,2 V,parte de la corriente del colector se ve disminuida por la conduccion base-colector. Labombilla tendrıa entre sus terminales aproximadamente los 10 V y por ella circularıauna corriente de 0,1 A.

El siguiente sımil nos ayudara a comprender que es lo que pasa y cuales son loslımites del transistor. Imaginemos un hombrecito como en la figura 23.4 cuya tarea esmantener IC = βIB . En los amperımetros de la base y el colector puede ver el valorde la corriente que circula por cada terminal y solo puede ajustar una resistenciavariable. Puede dejar el circuito abierto (transistor apagado) o ir disminuyendo laresistencia (transistor en la region activa). El hombrecito realiza su tarea hasta elmomento en el que el diodo de la base al emisor empieza a funcionar, porque parte dela corriente escapa a su control. En ese instante el transistor ha pasado de la regionactiva a saturarse y en esa region IC < βIB .

En la figura 23.5 podemos ver las curvas caracterısticas del transistor. La inten-sidad que entra en la base se mantiene constante en cada caso, y se representa IC

B C

E

Figura 23.4. El funcionamiento de un

transistor en un circuito.

IB2

IB1

CEV

IC

Figura 23.5. Curvas caracterısticas para

un transistor.

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Seguidor de emisor 285

+V

R1 R2

A

B

ABT1A

T1BT2

Figura 23.6. Puerta NAND usando transistores bipolares (TTL).

frente a la diferencia de voltaje VCE entre el colector y el emisor. El resultado describelo que hemos expresado. Observamos que cuando VCE disminuye, dejamos la regionactiva en donde IC = βIB es aproximadamente constante (se dice que el transistoresta en estado OFF o apagado como interruptor), para entrar en una region en dondeIC comienza a decrecer, es decir, la region de saturacion (transistor ON o encendido).

Puerta logica NAND

Veamos una aplicacion de todo esto. Se trata de implementar la puerta logica NAND.Esta puerta funciona del siguiente modo: si A y B son las entradas, cuyos valorespueden ser 0 y 1, la salida vale Z = AB, es decir lo que de el producto de A y Binverso (por ejemplo Z = 10 = 0 = 1). La importancia de esta puerta es que cualquierotra funcion logica puede construirse a partir de ella.

La puerta se puede ver en la figura 23.6. Se conoce como logica de transistor-

transistor (TTL), ya que se usan transistores para implementarla. El funcionamientoes facil de entender. Si el voltaje en A y B es alto, entonces toda la corriente que fluyea traves de R1 pasa al transistor T2 a traves del diodo base-colector (la union baseemisor de T1A y T1B se encuentra polarizada inversamente por lo que no podemosaplicar las reglas). Ya que a T2 llega una corriente suficientemente alta, entra ensaturacion (pasa a estado encendido), y por tanto el voltaje a la salida Vout tiene unnivel bajo. Sin embargo, si una de las se nales de entrada es baja, el correspondientetransistor entra en funcionamiento robando parte de la corriente que llega a la base deltransistor T2. En esta situacion, el transistor T2 funciona en el regimen de apagado,y por tanto Vout ≈ +V (salida alta). Realmente el circuito mostrado tiene algunospuntos debiles en cuanto a dise no pero ilustra la idea de como funcionan los circuitosdigitales.

23.3. Seguidor de emisor

En la figura 23.7 tenemos otro circuito basico: un seguidor de emisor. Recibe estenombre porque el terminal de salida es el emisor, que transmite el voltaje de entradaaplicado a la base. Si con los voltajes aplicados, el transistor cumple las reglas men-

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286 Circuitos con transistores

Vin

Vout

V+

V

R

Figura 23.7. Seguidor de emisor.

cionadas anteriormente, en virtud de la segunda tendremos que Vout ≈ Vin − 0,6V.Es decir, la salida es una replica de la se nal de entrada (salvo 0.6 V), siempre queVin > V−+0,6V, para que la union base-emisor permanezca polarizada directamente.

A primera vista este circuito puede parecer poco util hasta que uno se da cuentaque la impedancia de entrada es mucho mayor que la de salida: un seguidor de emisortiene ganancia de corriente, aunque no de voltaje, y por tanto ganancia de potencia.Esto implica que si acoplamos dos circuitos con un seguidor de emisor, el segundocircuito requiere menos potencia de la se nal de entrada del primero que si lo excitasedirectamente esta se nal. O dicho de otro modo: una se nal con impedancia internadada (en el sentido de Thevenin) puede excitar una circuito de impedancia comparableo incluso menor sin perdida de amplitud por el efecto del divisor de voltaje asociado.

Lo que hemos discutido es muy importante. Significa que podemos conseguir quela impedancia de la carga Zin siempre parezca mucho mayor que la de la se nal que lava a alimentar Zout, esto es Zout ≪ Zin. Por tanto podemos dise nar nuestros circuitosde manera independiente y luego unirlos sin afectar el funcionamiento de cada partecomo veıamos en el capıtulo 14. Esta es toda la mision que tiene un seguidor: cambiarlas impedancias. Calculemos cuales son estas impedancias y como cambian.

Si hacemos un cambio en el voltaje de la base ∆VB , el cambio correspondienteen el emisor sera ∆VE = ∆VB . Entonces el cambio en la corriente del emisor valdra

∆IE = ∆VB/R, (23.2)

y por lo tanto tendremos

∆IB =∆IEβ + 1

=∆VB

R(β + 1). (23.3)

Podemos entonces identificar la resistencia que ve la se nal en la base Rin como∆VB/∆IB , y segun la ecuacion (23.3) escribir

Rin = (β + 1)R, (23.4)

con lo que la impedancia de la carga R es vista por la se nal que la va a excitaraumentada por un factor (β + 1) del orden de 100.

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Seguidor de emisor 287

t

Figura 23.8. El seguidor de emisor, ali-

mentado con una fuente unica VCC , no es

capaz de generar voltajes negativos a la

salida.

VCC

R1

R2

Q1

C1

RL

CL

RE

RTh

Figura 23.9. Un seguidor de emisor de

corriente alterna. Un divisor de voltaje es

aplicado a la base para mover el voltaje

de posicion.

Por otro lado, la impedancia de salida Rout de un seguidor de emisor cuando sealimenta con una fuente de voltaje V en la base de impedancia interna Rsource, vale

Rout =Rsource

β + 1. (23.5)

Se puede ver esto de la siguiente forma. Sea I1 = IE = (1+β)IB la corriente que saledel emisor, e I2 = VE/R la que circula por la resistencia de carga. Si aplicamos unincremento de voltaje ∆V al emisor, la corriente en la base Ib = [V −(Ve+0,6)]/Rsource

se incrementa la cantidad −∆V/Rsource e I2 se incrementa ∆V/R. Resulta entonces∆Iout = I2 − I1 = ∆V [1/R + (1 + β)/Rsource]. En la practica, el segundo sumandodomina, con lo que obtenemos la ecuacion (23.5). Es por ello que la salida ve unaimpedancia de entrada mucho menor que la que se tiene.

Seguidor de emisor balanceado

Cuando se emplea un seguidor de emisor para acoplar dos circuitos, normalmentepodemos conectar el primer circuito directamente a la base del seguidor. Sin embargo,hay casos en los que la se nal de entrada no esta bien acondicionada para que eltransistor opere en la region activa (la region en la que se cumplen las 4 reglas, conel diodo base-emisor en conduccion y el potencial del colector varias decenas de vecesmayor que el potencial del emisor para un transistor n-p-n). Un ejemplo tıpico deesto ocurre al acoplar a traves de un condensador una se nal externa de audio a unamplificador de alta fidelidad. En este caso, el promedio de la se nal es cero y unseguidor alimentado con una fuente de voltaje unica, con la resistencia del emisorconectada a tierra, darıa una salida como la mostrada en la figura 23.8.

Es necesario mover el voltaje de la base para que durante todo el tiempo puedafluir corriente por el colector incluso cuando la se nal de entrada se hace negativa. Enla figura 23.9 podemos ver un ejemplo. En este caso, se elige un divisor dado por lasresistencias R1 y R2 para poner la base a un voltaje igual a VCC/2 cuando no existese nal de entrada. De esta manera, la se nal que proviene del condensador C1 puedehacerse tan negativa como la mitad del voltaje del colector menos 0,6V.

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288 Circuitos con transistores

El proceso de seleccionar los voltajes de operacion de un circuito cuando no seaplica ninguna se nal se conoce como establecer el punto de quiescencia. En este caso,el punto de quiescencia se elige de manera que permita el maximo barrido simetricode la se nal sin cortar la parte de arriba o de abajo de la misma (clipping). Los valorespara R1 y R2 deberıan ser tales que aplicando nuestro criterio general, hagamos laimpedancia que mira al divisor (R1 en paralelo con R2) menor que la que mira a labase, esto es

R1||R2 ≪ βRE . (23.6)

Es una buena eleccion tomar R1||R2 ≤ βRE/10.Imaginemos que queremos emplear un seguidor para se nales de audio (frecuencias

comprendidas entre 20Hz y 20 kHz), como el que podemos ver en la figura 23.9.Tenemos una fuente que proporciona un voltaje VCC = +15V, y la corriente dequiescencia ha de ser 1 mA. Primero tenemos que elegir VE para permitir el barridosimetrico maximo de la se nal (es equivalente a elegir VB salvo la diferencia de 0,6 V).Haremos por tanto VE = VCC/2 = 7,5V, y para que la corriente de quiescencia valga1 mA, elegimos RE = 7,5 kΩ. Dado que VB = VE+0,6 = 8,1V, la razon de R1 a R2 es1/1,17. El criterio dado por la ecuacion (23.6) requiere que la resistencia en paraleloformada por R1 y R2 valga 75 kΩ o menos, con lo cual podemos tomar R1 = 130 ky R2 = 150 k. Tenemos que elegir ahora el valor de C1. El condensador C1 formaun filtro pasa alta con la impedancia compuesta por la asociacion en paralelo delseguidor Rin y del divisor R1||R2 (una eleccion de caminos significa una asociacionen paralelo). Si suponemos que la impedancia de carga RL es mayor que RE , laimpedancia del seguidor vendra dada por βRE , con lo cual valdra Rin = 750 kΩ. Eldivisor equivale a 70 kΩ aproximadamente, con lo que el conjunto da una resistenciatotal de unos 63 kΩ. Como queremos que el punto de 3 dB este por debajo de lafrecuencia mas baja de interes, que es 20 Hz, obtenemos C1 = 1/(2πfR) = 0,13µFo mayor. Por ultimo, CL forma tambien un filtro pasa alta con la resistencia RL yRE . Como es seguro suponer que RL no sera menor que RE , el valor del punto de3 dB vendra dado por CL = 1,1µF. Debido a que se trata de dos filtros en cascada,para evitar gran atenuacion de la amplitud de la se nal (6 dB en este caso) a lamenor frecuencia de interes, los valores de los condensadores deberıan aumentarse:C1 = 0,5µF y CL = 3,5µF podrıan ser dos buenas elecciones.

23.4. Fuente de corriente

Cuando en el capıtulo 15 veıamos maneras de cargar un condensador, hablamos deuna fuente de corriente como un dispositivo capaz de mantener una corriente cons-tante. A menudo tambien se usa una fuente de corriente para excitar o controlar elcomportamiento de los transistores. Veremos ahora como podemos fabricar tal dispo-sitivo.

La forma mas simple de obtener una fuente de corriente es empleando una resis-tencia R y una fuente de voltaje V como podemos ver en la figura 23.10. Si elegimosR ≫ Rload (con lo cual Vload ≪ V ), entonces la corriente de salida sera aproximada-mente I ≈ V/R. Sin embargo, esta fuente es bastante mala porque hay que disiparmucha potencia en R y ademas no es facil obtener un valor de I determinado.

Afortunadamente, el transistor nos permite fabricar una fuente mucho mejor. Enla figura 23.11 podemos ver como. Si aplicamos a la base un voltaje VB > 0,6V, de

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Amplificador de emisor comun 289

+−

VR

Rload

Vload

Figura 23.10. Una posible fuente de co-

rriente.

VB

RE

+VCC

carga

Figura 23.11. Fuente de corriente usan-

do un transistor.

manera que la base-emisor conduce, entonces tenemos

IE = VE/RE = (VB − 0,6)/RE , (23.7)

y ya que IC ≈ IE cuando β es lo suficientemente grande, resulta

IC ≈ (VB − 0,6)/RE , (23.8)

en tanto se cumplan las cuatro reglas que hemos establecido para el funcionamientodel transistor. Mientras sea VC > VE tendremos que la corriente IC es independientede la carga conectada al colector. Ademas, variando VB podemos obtener el valor quequeramos de la corriente dentro de un cierto rango. Una fuente de corriente puedealimentar la carga de manera constante solo en un cierto rango de voltajes, hasta queel transistor se satura. Este rango de voltajes se llama de compliance o adecuacion.

23.5. Amplificador de emisor comun

El circuito que vamos a ver muestra ganancia de voltaje a su salida. Funciona portanto como un amplificador de voltaje. Podemos ver el diagrama del mismo en lafigura 23.12. Es facil comprender su funcionamiento conociendo como lo hacen elseguidor y la fuente de corriente. Segun hemos visto, cualquier variacion de voltaje∆VB en la base produce una variacion en la corriente del emisor

∆IE = ∆VE/RE = ∆VB/RE , (23.9)

y si β es grande, se produce practicamente la misma variacion en la corriente delcolector ∆IC ≈ ∆IE , con lo cual resulta

∆VC = −∆ICRC = −RC

RE∆VB . (23.10)

Ası, la variacion de voltaje en la base causa una variacion de voltaje en el colector,con una ganancia igual a la razon de las resistencias. Si RC > RE obtenemos unaamplificacion de la se nal. El signo negativo, debido al sentido de la corriente (VC =

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290 Circuitos con transistores

R2 RE

RCR1

Cin out

VCC

Figura 23.12. Amplificador de emisor comun degenerado.

VCC−ICRC), implica que una variacion positiva en la entrada resulta en una variacionnegativa a la salida, es decir, un desfase de 180 para una se nal alterna.

Este circuito recibe el nombre de amplificador de emisor comun degenerado. Deemisor comun porque la entrada y salida son los otros terminales del transistor, ydegenerado porque, segun las reglas dadas del funcionamiento del transistor, si RE

fuese igual a cero la ganancia serıa infinita. Para ver que sucede realmente en estecaso, tendremos que modificar la regla 4, dada por la expresion (23.1), y sustituirlapor la ecuacion de Ebers-Moll (23.11).

La impedancia de entrada del amplificador puede determinarse facilmente. Lase nal de entrada ve en paralelo las resistencias del divisor (R1, R2) y la impedanciaque mira a la base βRE , siendo esta ultima normalmente mucho mayor que las otras.El condensador C forma entonces un filtro pasa alta con el divisor. La impedanciade salida, por otro lado, es la asociacion de RC en paralelo con la impedancia quemira hacia el colector. Si nos olvidamos de RC , tenemos una fuente de corriente muyestable, con lo que la impedancia que mira hacia el colector sera muy grande. Portanto la asociacion en paralelo estara dominada basicamente por RC .

Transconductancia

Podemos ver el amplificador de otra forma. Imaginemos que lo separamos en dospartes como muestra la figura 23.13. Una parte es una fuente de corriente controladapor el voltaje aplicado a la base. Esta fuente puede verse como un transconductor, endonde se convierte voltaje a corriente, con una ganancia dada por 1/RE .

La segunda parte del circuito es la resistencia de carga del colector RC . Estaresistencia puede verse como algo que convierte corriente en voltaje. Esto lo hace conuna ganancia dada por RC . Cuando se conectan las dos partes juntas, la gananciatotal resulta de multiplicar las ganancias de las dos partes RC/RE . Esta manerade pensar permite analizar el funcionamiento de secciones de manera independienteincluso para diferentes dispositivos como los FET.

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La ecuacion de Ebers-Moll aplicada 291

R2 RE

RCR1

Cin out

VCC

Figura 23.13. Amplificador de emisor comun degenerado visto como un transconductor.

23.6. La ecuacion de Ebers-Moll aplicada

Cuando resumıamos el funcionamiento del transistor mediante cuatro reglas, lo trataba-mos como un amplificador de corriente, con su circuito de entrada comportandosecomo un diodo. Esto nos ha sido bastante util para poder analizar los circuitos quehemos visto hasta ahora. Sin embargo, para comprender otras aplicaciones, es ne-cesario considerar el transistor como un transconductor cuya corriente del colectoresta determinada por la diferencia de voltaje entre la base y el emisor, empleandopara ello la ecuacion de Ebers-Moll que veıamos en el capıtulo 20.

El comportamiento del transistor en un circuito lo describiremos entonces porlas tres primeras reglas que ya conocemos, modificando la cuarta. Para transistoresn-p-n (para los p-n-p simplemente hay que cambiar las polaridades) se tiene que:

1. El colector debe de ser mas positivo que el emisor, esto es VC > VE .2. Si se consideran la union base-emisor y la union base-colector como dos diodos,

segun podemos ver en la figura 23.2, entonces las cosas estan dispuestas de maneraque la base-emisor esta pol arizada directamente y la base-colector inversamente.Esto es, VB = VE + 0,6 V y VC > VB .

3. Un transistor tiene valores maximos para IC , IB , VCE y VBE que no puedensobrepasarse sin el coste de un nuevo transistor.

4. Cuando las reglas anteriores se cumplen, entonces

IC = IS exp(eVBE/kBT ). (23.11)

IS es la corriente de saturacion. La corriente que circula por la base tambiendepende de VBE , y vale IB = IC/β.

De la ecuacion de Ebers-Moll se pueden obtener algunos parametros que hay quetener presente a la hora de dise nar circuitos (ver capıtulo 20):

Primero, a temperatura ambiente de unos 20C, para incrementar IC en un factorde 10 tendremos que incrementar el voltaje VBE en unos 60 mV, o equivalente-mente, IC = IC0 exp(VBE/25mV).

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292 Circuitos con transistores

50

7.5 k

1 mA

RE

Vin

+15 V

Figura 23.14. Seguidor de emisor.

Vin

+10 V

RC 5,1 k

Figura 23.15. Amplificador.

Segundo, la impedancia intrınseca que mira al emisor habra de tenerse en cuenta.Esta impedancia actua como una resistencia en serie con el emisor en todos loscircuitos y vale rE = 25mV/IC .Tercero, la dependencia de VBE con la temperatura, que resulta en un decrementode 2,1mV/C. Tambien el efecto Early, dado como el cambio ∆VBE = −γ∆VCE ,con γ = 0,0001 a IC constante.

Seguidor de emisor revisado

Consideremos de nuevo el seguidor mostrado en la figura 23.14. Cuando discutimos sufuncionamiento, vimos que la impedancia de salida Rout venıa dada por la asociacionen paralelo de RE con la de la fuente, en este caso 50Ω dividida por β segun laexpresion (23.5).

Sin embargo, incluso con la impedancia de la fuente igual a cero, la impedancia desalida del seguidor seguirıa siendo distinta de cero, ya que hay que tener en cuenta laresistencia intrınseca dada por rE . Ası, resulta Rout = RE ||(50Ω/β+ rE) ≈ 25Ω, conrE dominando la asociacion. Por lo tanto, una primera consecuencia de la modificacionde la cuarta regla es que la impedancia de salida tiene un mınimo distinto de cero.

Por otro lado, la ganancia del seguidor sera ligeramente menor que la unidad,debido al efecto del divisor entre RE (que podemos considerar como la carga) y rE .En este caso, resultarıa Vout/Vin = 0,993, pero en otros casos la variacion puede semucho mayor del 1%.

Amplificador de emisor comun revisado

Revisemos ahora el amplificador. En la figura 23.15 podemos ver un amplificadorde emisor comun en el que RE se ha hecho cero. Este caso recibe el nombre deamplificador con emisor conectado a tierra, o simplemente de emisor comun (serıa elcaso no degenerado). Aparentemente la ganancia de este amplificador serıa infinita,ya que a esto es a lo que tiende el lımite −RC/RE de la expresion (23.10) cuando RE

disminuye. Sin embargo, la resistencia intrınseca del emisor impone una cota superiora la ganancia G, resultando Gmax = −RC/rE . Para evaluar rE necesitamos el valorde IC . En el caso mostrado en la figura 23.15, si especificamos IC en el punto de

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Ejercicios 293

tT T

t

inV Vout

Figura 23.16. Durante el periodo de la se nal triangular, la variacion de IC no es lineal,

con lo que la se nal de salida se distorsiona.

quiescencia, con Vout centrado, resulta G = −200. Se trata de una ganancia bastantegrande, pero esto se tiene a expensas de otros efectos no deseados.

El primer efecto no deseado para el amplificador de emisor conectado a tierraes el de la no linealidad. Si se alimenta con una se nal diente de sierra el circuitode la figura 23.15, empleando la expresion (23.11) para la intensidad, el voltaje a lasalida quedarıa distorsionado como se puede apreciar en la figura 23.16. Otro efectoes que la impedancia de entrada en este caso valdra Zin = β (25mV/IC), con lo cualsu variacion sera no lineal y la se nal acabara conteniendo esta no linealidad debidoal efecto divisor de voltaje.

Por ultimo, para este amplificador es difıcil programar su punto de quiescenciapara acomodar la se nal de entrada. El voltaje adecuado, de acuerdo con la regla(23.11), para una IC dada de quiescencia, cambia con la temperatura haciendosebastante inestable. Un peque no cambio en la temperatura a VBE constante harıa quela corriente del colector se incrementase, entrando en la region de saturacion.

23.7. Ejercicios

1. En el circuito mostrado en la figura 23.3, ¿cuanto valdrıa VC si realmente circularapor el colector una corriente IC = 940mA?Solucion: VC = −84V.

2. Demostrar que el voltaje de salida que entrega un seguidor de emisor de resis-tencia R como el de la figura 23.7, a un circuito de resistencia RL cuando sealimenta con una fuente de voltaje Vs de impedancia interna Rs vale

Vout =RinRL

(Rs +Rin)(Rout +RL)Vs,

siendo Rin y Rout las resistencias de entrada y salida del seguidor de emisor dadaspor las expresiones (23.4) y (23.5).Solucion: La fuente entrega un voltaje debido al efecto divisor igual a Vin =Rin/(Rs + Rin), y este voltaje pasa por el divisor de la salida. El voltaje desalida resulta Vin RL/(Rout +RL).

3. Se tiene una fuente regulada de +15 V. Se trata de usar un seguidor, con elvoltaje de la base fijado por un divisor, de manera que se alimente un circuitocon +5 V. El circuito puede consumir una corriente maxima de 25 mA. Elegirlos valores de las resistencias del divisor de manera que el voltaje de salida nocaiga mas del 5%.Solucion: Si conectamos directamente el emisor al circuito, entonces R vendra da-do por el cociente VE/IE . El valor mınimo que se obtiene es R = 0,2 kΩ. La razon

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294 Circuitos con transistores

de las resistencias para el divisor ha de ser 1/0,6 (VB = 5,6 V). Para que la caıdano sea mayor que el 5%, la razon entre la resistencia equivalente de Thevenin deldivisor y la impedancia de entrada del transistor, aproximadamente igual a βR,valdra 19. Por tanto, la asociacion en paralelo de las resistencias del divisor debede ser menor que 19× 0,2× 105 Ω. Con estos datos podemos elegir R1 = 100 kΩy R2 = 60 kΩ.

4. Dise nar un seguidor de emisor como el de la figura 23.9, con una sola fuentede voltaje VCC = +15 V, que permita a la fuente de voltaje alterno de unos100 Hz, con una resistencia RTh = 10 kΩ, alimentar una carga de RL = 4,7kΩ y CL = 1µF, sin atenuar la se nal mas del 10% y con la intensidad dequiescencia igual a 0,5 mA. Antes de empezar, merece la pena pensar la utilidadde este circuito. Este circuito no amplifica el voltaje de la fuente y produce algode atenuacion en la se nal, sin embargo, ¿cuanta atenuacion se producirıa si unafuente de 10 kΩ alimentara directamente una carga de 4,7 kΩ?Solucion: Sin este circuito, la atenuacion de la se nal de entrada serıa del orden del70%. Elegimos RE = 7,5/0,5 = 15 kΩ para centrar VE . El divisor lo elegimos demanera que en la base, en condiciones de quiescencia VB ≈ VE = 7,5 V (ignorarla caıda de voltaje del diodo equivale a un error del 4%, que esta dentro del 10%de lımite), es decir R1 = R2. Como la asociacion en paralelo del divisor ha de ser≤ Rin(base a DC)/10, con Rin ≈ 1,5 MΩ, podemos hacer R1 = 270Ω lo cual nosda una asociacion en paralelo de 135 kΩ. C1 = 1/(2πfR′) tal que f3dB ≈ 100 Hz,y R′ = RTh(bias)||Rin(base a AC) = 135||375 kΩ. Nota: a diferencia de antes, lacorriente AC pasa a traves de la carga RL por lo que Rin = β(RE ||RL) = 375kΩ. R′ ≈ 100 kΩ ya que 3 × 135 es menor que 375 y podemos suponer que135 equivale a la asociacion de 3 resistencias en paralelo de 375, con lo cual R′

es aproximadamente equivalente a la asociacion en paralelo de 4 resitencias de375 kΩ, es decir 375/4 kΩ . Resulta C1 ≈ 0,016µF. C1 = 0,02µF serıa mas quesuficiente.

5. Se desea tener una fuente de corriente constante dentro de un 1%, para un voltajede carga comprendido en el rango de 0 a 10 V. ¿Cual ha de ser el valor de unafuente de voltaje Vs en serie con una resitencia para lograr esto? Suponer que sedesea una corriente de 1 mA. ¿Cuanta potencia se disiparıa en la resistencia enserie y cuanta en el circuito de carga?Solucion: Vs = 10/0,01 ≈ 1000 V ya que Vs − 10V = 0,99× Vs. En la resistenciaen serie P = 0,99 W, mientras que en la carga P = 0,01 W.

6. Se disponen de dos fuentes reguladas de voltaje de +5 y +15 V respectivamente.Dise nar una fuente de 5 mA de corriente usando un transistor n-p-n conectandolos +5 V a su base. ¿Cual sera su compliance?Solucion: RE = 1 kΩ, compliance de +15 a +4,6 V.

7. En la figura 23.12, sean los valores VCC = +20 V, RE = 1,0 kΩ y RC = 10 kΩ. Sequiere que la corriente de quiescencia del colector valga 1,0 mA. Elegir los valoresde R1 y R2, ası como el del condensador C para que forme un filtro pasa altacon el punto de 3 dB a 200 Hz. ¿Cuanto vale la ganancia de este amplificador?Solucion: El voltaje en la base debe valer 1,6 V y como la asociacion en paralelodel divisor debe ser βRE/10, se puede tomar R1 = 110 kΩ y R2 = 10 kΩ.Por ultimo, C ≥ 1/(2πfR1||R2), con lo que C = 0,1µF. La ganancia es G =−RC/RE = −10.

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Referencias

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296

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298 Indice alfabetico

Indice alfabetico

Atomo, 36nucleo, 36

Accion a distancia, 41Aceleracion, 9angular, 15componentes intrınsecas, 12gravitatoria, 15, 19normal, 13tangencial, 13

Aislante, 37Amortiguamientocoeficiente, 82

Ampereley, 119, 151

Ampere-Maxwellley, 151

Amperio, 86Analisis dimensional, 2Anion, 36Antiferromagnetismo, 131Autoinduccion, 141Autoinductancia, 142, 190

Bohrmagneton, 126

Banda, 218de conduccion, 219de valencia, 219diagrama, 219prohibida, 219

Baterıa, 90Biot-Savertley, 111

Bobina, 140Bolzmannconstante, 220

Celula solar, 248Calor Joule, 91Camino libre, 231Campo electrico, 41

densidad de energıa, 78discontinuidad, 66en un conductor, 66en un dielectrico, 70energıa, 77

Campo magnetico, 95, 109inducido, 139remanente, 133

Cantidad de movimiento, 17Capa dipolar, 236Capacidad, 73, 74, 183Carga

por contacto, 37por friccion, 37por induccion, 38

Carga electrica, 33de polarizacion, 72de prueba, 41, 46densidad lineal, 45densidad superficial, 60densidad volumetrica, 56distribucion continua, 43distribucion discreta, 35, 42libre, 72propiedades, 33

Cation, 36Centro de carga, 38Centro de masas, 25Ciclo de histeresis, 133Circuito, 83

amplificador, 288, 291carga de un condensador, 185de carga, 145, 179

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Indice alfabetico 299

descarga de un condensador, 186diferenciador, 188divisor de corriente, 177, 180divisor de voltaje, 167, 173equivalente de Norton, 176equivalente de Thevenin, 173filtro de paso de banda, 212filtro de trampa, 214filtro pasa alta, 208filtro pasa baja, 209fuente, 179fuente de corriente, 287fuente no regulada, 274integrador, 187interruptor, 282limitador, 278puente de Wheatstone, 168puerta logica NAND, 284punto de quiescencia, 287reactivo, 199rectificador de media onda, 274rectificador de onda completa, 274regulador, 277resonante, 212seguidor balanceado, 286seguidor de emisor, 284, 291

Circulacion, 119Condensador, 46, 62, 74asociacion en paralelo, 184asociacion en serie, 184variable, 248

Conductancia, 167Conductividad electrica, 36, 84Conductor, 36, 65Corriente, 81alterna, 81, 195continua, 81de conduccion, 81de desplazamiento, 152de magnetizacion, 127de saturacion, 242densidad, 84inducida, 135intensidad, 86

Coulombconstante, 34ley, 34

Cristalconstante reticular, 218red, 217

Culombio, 33

Decibelio, 198Derivada, 8Desplazamiento, 7Diamagnetismo, 128Dielectrico, 36

constante, 73Diferencia de potencial, 48, 49Difusion, 230

coeficiente, 231corriente, 230longitud, 231

Dimensiones, 2Diodo, 242

base, 245emisor, 245emisor de luz, 249polarizacion inversa, 242rectificador, 250Zener, 244

Dipolo electrico, 50, 51, 71Dominio magnetico, 131

Ebers-Mollecuacion, 257, 290

Efectode pantalla, 66de puntas, 70Early, 259, 264fotoelectrico, 236Hall, 103Meissner, 130

Eje principal, 28Electron, 36

libre, 37Electron-voltio, 219Electroiman, 117Electrostatica, 34Energıa, 22

cinetica, 22electrica, 76magnetica, 142potencial, 23potencial electrostatica, 47

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300 Indice alfabetico

principio de conservacion, 24Equilibriomecanico, 17

Equilibrio electrostatico, 38, 65, 83tiempo de relajacion, 83

Espectro, 160Espira de corriente, 103, 113

Factor giromagnetico, 126Faradayjaula, 66ley, 137, 150

Faradio, 73Fase, 195diferencia, 196

Fasor, 200Ferromagnetismo, 131Flujoelectrico, 53magnetico, 117

Foton, 237energıa, 249

Fotodiodo, 247Fourierteorema, 195

Frecuencia, 145, 154, 195angular, 145, 154de resonancia, 213

Fuente, 164de corriente, 176de fem, 88de voltaje, 88

Fuente de corriente, 287Fuerza, 17conservativa, 23electrostatica, 34magnetica, 96

Fuerza electromotriz, 88de movimiento, 135inducida, 135

Funcionde respuesta, 208de transferencia, 208

Funcion trabajo, 235

Gaussley, 54, 117, 149

Generador, 88, 137, 143

Graficas de Bode, 210

Henry, 141Herzio, 145Hueco, 103, 220

Iman, 95elemental, 114

Impedancia, 200, 204de entrada, 179de salida, 175, 179

Induccion, 135mutua, 141

Inductancia, 141Inductor, 142, 190Inercia, 17Integral, 10Integral

de intercambio, 131Interacciones fundamentales, 18

debil, 19electromagnetica, 18fuerte, 19gravitatoria, 18

Ion, 36Ionizacion, 70

por impacto, 243

Julio, 19

Kelvinunidad, 220

Kirchhoffleyes, 164

Lıneas de campo, 42, 95Lenz

ley, 139

Modulo, 202Magnetizacion, 126Magnitud, 1

escalar, 3vectorial, 3

Masa, 17de la Tierra, 19

Maxwellecuaciones, 149

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Indice alfabetico 301

ecuaciones en el vacıo, 156Momentoangular, 25, 125de inercia, 29de torsion, 29de torsion magnetico, 103dipolar, 71espın, 126lineal, 17magnetico, 105, 125

Monopolo, 118Motor electrico, 106Movilidad, 227Movimientocircular, 13circular uniforme, 15ecuacion, 18helicoidad, 100ondulatorio, 152periodico, 15termico, 226uniforme, 10uniformemente acelerado, 10, 12

Multımetro, 169, 177VOM, 169

Nucleo ferromagnetico, 117Numero complejo, 201Neutron, 36Newtonconstante, 18leyes, 17unidad, 17

Ohmley, 87, 165, 203

Ohmio, 85Onda, 153amplitud, 153armonica, 153electromagnetica, 155escalar, 153frente, 153longitud, 153longitudinal, 153monocromatica, 156numero, 153plana, 155

transversal, 153vector, 155velocidad de propagacion, 153

Paramagnetismo, 130Partıcula

libre, 18puntual, 2

Periodo, 15, 145, 154, 195de ciclotron, 99

Permeabilidad, 109, 128relativa, 128

Permitividad, 35, 73relativa, 73

Peso, 19Planck

constante, 249constante normalizada, 126

Poissonecuacion, 238

Polarizacion, 38, 71Polo

norte, 95sur, 95

Potencia, 22de una fuente, 91disipada, 92, 166factor, 205media, 197, 205

Potencial electrostatico, 47, 50origen, 49

Principio de superposicion, 35Principio de superposicion, 50Producto

escalar, 20vectorial, 26

Proton, 36

Radiacion, 155Radio

de curvatura, 13, 70de la Tierra, 19

Reactancia, 200de un condensador, 204de un inductor, 204

Region de agotamiento, 238Resistencia, 87, 165

asociacion en paralelo, 167

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302 Indice alfabetico

asociacion en serie, 166de carga, 173dinamica, 258equivalente, 166interna, 90shunt, 170

Resistencia dielectrica, 70Resistividad, 85Resonacia, 212Resonanciafactor de calidad, 213

Rotacion plana, 28Ruptura dielectrica, 70Ruptura Zener, 244

Solido rıgido, 25Semiconductor, 37, 218extrınseco, 223impureza aceptora, 224impureza donadora, 223intrınseco, 220masa efectiva, 229portador caliente, 229portador mayoritario, 225portador minoritario, 226tipo n, 224tipo p, 225

Se nalamplitud, 195armonica, 195ruido, 207valor eficaz, 198

Siemen, 85Simetrıacilındrica, 59esferica, 57plana, 61

Sistema internacional, 1Sistema de referencia, 4inercial, 17

Solenoide, 115Superconductor, 87Superficieequipotencial, 50gaussiana, 56

Susceptibilidadelectrica, 73

magnetica, 127

Temperaturade Curie, 132

Teorema trabajo-energıa, 23Tesla

unidad, 96Tiempo de colision, 228Tierra

conexion, 38potencial, 167

Tokamak, 122Toroide, 121Trabajo, 19Transformador, 191Transistor

ampificacion, 255amplificador, 281base, 253base comun, 260bipolar, 253colector, 253de efecto campo, 266efecto Miller, 262emisor, 253emisor comun, 261ganancia de corriente, 256JFET, 267, 269MOSFET, 267NMOS, 268, 269PMOS, 269saturacion, 282transconductancia, 271, 289TTL, 284velocidad de respuesta, 260

Trayectoria, 7

Union p-n, 239barrera, 240region de agotamiento, 241

Unidades, 1

Valor de pico, 144Vatio, 22, 91Vector, 3

de posicion, 6de Poynting, 162direccion, 4

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Indice alfabetico 303

modulo, 3normal, 13opuesto, 4sentido, 4tangente, 12unitario, 4

Velocidad, 7angular, 14, 29de arrastre, 82de la luz, 109, 160

Voltajeganancia, 198

Voltio, 42

Weber, 118