ELECTROMAGNETÍSMO

1.FUERZA ELECTROSTÁTICA

1.1 Descripción de los fenómenos electrostáticos. Conductores y aislantes

Alrededor del 600 a. C. el filósofo griego Thales de Miletodescribió por primera vez fenómenos electrostáticos producidos al frotar fragmentos de ámbar (resina fosilizada) y comprobar su capacidad de atracción sobre pequeños objetos. Algo más tarde, otro griego, Teofrasto (310 a. C.), realizó un estudio de los diferentes materiales que eran capaces de producir fenómenos eléctricos, escribiendo el primer tratado sobre la electricidad.

Sin embargo los fenómenos eléctricos fueron poco comprendidos y no existen apenas referencias a ellos hasta la segunda mitad del siglo XVI.

Fue el físico real británico William Gilbert quién utilizópor primera vez las palabras electricidad, del griego elektron (ámbar), y magnetismo, proviene de Magnesia, región de la antigua Grecia.

En 1733 el francés Francois de Cisternay du Fay propuso la existencia de dos tipos de carga eléctrica, vítrea y resinosa, constatando:los objetos frotados contra el ámbar se repelen.también se repelen los objetos frotados contra una barra de vidrio. sin embargo, los objetos frotados con el ámbar atraen los objetos frotados con el vidrio.

Du Fay y Stephen Gray fueron dos de los primeros "físicos eléctricos" en frecuentar plazas y salones para popularizar y entretener con la electricidad. Como ejemplo, se electriza a las personas y se producen descargas eléctricas,

En 1747 Benjamín Franklin (científico y político norteamericano) propuso la teoría de que los cuerpos contienen una determinada cantidad de un fluido eléctrico; al frotar un cuerpo contra otro se produce un desequilibrio, de forma que pasaba fluido de uno a otro, quedando uno de los cuerpos con exceso de fluido y otro con defecto. Al primero lo representócon el signo mas y al segundo con el signo menos.

Franklin llamó electricidad positiva a la que Du Fay llamó resinosa y negativa a la que llamó vítrea.

Esta teoría lleva implícito el principio de conservación de la carga eléctrica.

La carga eléctrica permanece siempre constante.

La teoría de fluido de la electricidad fue sustituyéndose a lo largo del siglo XIX por la de partícula cargada.

En la física moderna, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia.

1.2 Carga eléctricaLas características mas relevantes son:• La carga eléctrica se presenta en la naturaleza como

dos tipos distintos: positiva (+) y negativa (-).• La carga de un cuerpo no elemental es la suma de las

cargas de sus partículas constituyentes. Si tiene igual cantidad de carga positiva y negativa el cuerpo es neutro.

• La carga total se conserva ante cualquier fenómeno físico o químico.

• La carga eléctrica es una magnitud cuantizada.No varía de forma continua, sino por múltiplos enteros de la carga elemental (carga del electrón).

• La carga eléctrica puede moverse a través de algunos cuerpos, son los conductores. Los cuerpos que no permiten la circulación de carga eléctrica reciben el nombre de aislantes.

• La carga eléctrica se representa por el símbolo q. En el S.I. su unidad es el culombio, C, unidad que se define a partir de la intensidad de corriente eléctrica, magnitud considerada fundamental en el S.I., que tiene por unidad el amperio, A, estas magnitudes se relacionan por la ecuación:

I = q/t q = I . tSegún esta relación definimos el culombio como la cantidad

de carga eléctrica que atraviesa cada segundo la sección de un conductor por el que circula una corriente eléctrica de un amperio:

1 C = 1 A . s

1.3 Fuerza entre cargas en reposo; Ley de Coulomb. Superposición

Entre dos cuerpos con el mismo tipo de carga eléctrica se establecen fuerzas de repulsión y entre dos cuerpos con distinto tipo de carga eléctrica se establecen fuerzas de atracción.

La cuantificación de estas fuerzas se debe a Charles Coulomb, estableció la ley que lleva su nombre y que se enuncia como:

La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es directamente proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

F = K . Q . qr2

Q y q son las cargas, r la distancia que las separa y K

una constante que depende del medio en que se encuentren ambas cargas.

En el vacío la constante vale K = 9,0 . 109 N . M2 . C-2

Expresión vectorial de la fuerza eléctrica

La interacción electrostática exige la presencia simultanea de dos fuerzas de igual módulo y dirección pero de sentidos contrarios y aplicadas a cuerpos diferentes. Observa que la fuerza que ejerce q sobre Q es paralela y del mismo sentido que ur si las cargas

ur

ur

tienen el mismo signo; y de sentido opuesto si tienen distinto signo.

La expresión de la ley de Coulomb, en forma vectorial será:

F = K . Q . q . urr2

En la ecuación, las cargas deben substituirse con su signo aritmético. Así si los signos son iguales F y urtienen el mismo sentido, pero si las cargas son de signo contrario F y ur tienen sentidos opuestos.

A veces por facilidad de calculo se suele expresar la ecuación anterior en función de la constante dieléctrica o permitividad del medio, ε:

F = 1 . Q . q . ur4πε r2

Esta constante mide la oposición que presenta el medioque exista entre cargas a la transmisión de la interacción. El valor mínimo corresponde al vacío

la permitividad del vacío se representa por ε0 y su valor es: ε0 = 8,85 . 10-12 C2 . N-1 . m-2. En el aire el valor de ε es 1,00059 veces el de ε0 por lo que pueden considerarse iguales.

Principio de superposición. Esta comprobado experimentalmente que la fuerza entre dos cargas no se altera por la presencia de otras cargas. Es decir que se cumple el mimo principio que en el campo gravitatorio.

F = F1 + F2 + F3En un sistema formado

por varías cargas puntuales, la fuerza total que actúa sobre cada una de ellas es la suma vectorial de las

fuerzas que las otras cargas ejercen por separado sobre ellas.

2.CAMPO ELECTROSTÁTICO

Como las fuerzas eléctricas actúan a distancia es conveniente introducir el concepto de campo eléctrico de forma idéntica a como hemos introducido el concepto de campo gravitatorio. Un cuerpo o una partícula cargada eléctricamente crea a su alrededor una propiedad llamada campo electrostático, esta carga actúa sobre cualquier otra colocada dentro de la zona de influencia del campo.

2.1 Campo de una carga puntual. Superposición

Se define la intensidad de campo eléctrico en un punto como la fuerza a la que estará sometida la unidad de carga eléctrica positiva colocada en dicho punto.

E = Fe / q

Y si la carga que crea el campo eléctrico es Q y r la distancia que la separa de q, entonces la intensidad de campo eléctrico será:

E = K . Q . urr2

La unidad del campo eléctrico en el S.I. es: N / CCuando en una misma región del espacio existen varias

cargas cargadas eléctricamente, el campo en un punto es la suma vectorial de los campos que producirían cada uno de ellos si se encontraran solos. Principio de Superposición

rur

Los campos eléctricos se representan, al igual que los gravitatorios, mediante líneas de campo o líneas de fuerza.

Estas líneas tienen las siguientes propiedades:• El campo eléctrico es tangente a la línea de campo en

cada punto, la dirección y la orientación de la líneas de campo coinciden con las del campo eléctrico.

• Por cada punto del campo solo puede pasar una línea de fuerza; es decir, dos líneas de fuerza nunca pueden cortarse.

• Las líneas de fuerza del campo eléctrico son líneas abiertas, que salen de las cargas positivas, fuentes, o del infinito y acaban en las cargas negativas, sumideros.

• El número de líneas que atraviesan una superficie unidad, es proporcional a la intensidad de campo. Cuanto mas próximas estén las líneas mas intenso seráel campo eléctrico.

• Solo cuando una línea de campo es recta, coincide con la trayectoria de una carga positiva unidad abandonada en dicho campo.

La figura representa las líneas de campo en diferentes casos

y negativa xxx s xxxxxxxxx

2.2 Campo eléctrico, fuerza y trayectoria

De la definición de intensidad de campo eléctrico deducimos que, cuando colocamos una carga, q, en un punto del campo, la fuerza que aparece sobre ella es:

Fe = q . ELa dirección de la fuerza y del campo es la misma y si la

carga q es positiva , además, tienen el mismo sentido. Si la carga es negativa F y E son de sentidos contrarios.

Pero, ¿cómo será la trayectoria seguida por la carga, q,al dejarse libre dentro del campo?.

Para saberlo recurrimos a la segunda ley de la dinámica, F = m . a si despejamos a tendremos:

a = F / m = q . E / mEl vector a tiene la misma dirección y sentido que el F y

si F es uniforme la aceleración es constante

2.3 Campo de una distribución continua de carga: esfera, plano e hilo infinito.

Hasta ahora, los campos estudiados, corresponden a cargas puntuales, pero, ¿cómo se determinan campos creados por cuerpos cargados no puntuales?. Estudiaremos en este apartado los campo creados por cuerpos con cierta simetría, para ello necesitamos conocer el llamado teorema de Gauss

Concepto de flujo del campo eléctricoEl flujo eléctrico es una magnitud que está relacionada

con el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie.

Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del vector campo por el vector superficie

Φe=E·S = E . S . cosθ

El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero.

Esta definición solo es válida para campos uniformes, E = cte.

Para campos no uniformes y/o superficies no planas, debemos dividir la superficie en pequeñas superficies elementales, dS, de forma que estas sean planas y el campo se considere uniforme en cada una. El flujo total es la suma de los flujos de todas las superficies elementales, es decir:

Φe = ∫ E . dSs

El flujo a través de una superficie cerrada será:Φe = ∫ E . dS

Teniendo en cuenta que el modulo de E es el número de líneas por unidad de superficie perpendicular al campo, el flujo a través de una superficie cerradadentro de un campo de fuerzas representa el número neto, diferencia entre las que salen y las que entran, de líneas de fuerza que salen de la superficie cerrada. Por ello:

Φ > 0 Salen más líneas que entran. Φ = 0 Salen tantas como entran. Φ < 0 Entran más que salen

La unidad de flujo en el S.I. es: N.m2/ C

Teorema de GaussEl teorema de Gauss afirma que el flujo del campo

eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.

Aplicaciones del teorema de Gauss1. Campo eléctrico creado por una esfera uniformemente

cargada:

Si la esfera está uniformemente cargada es porque se trata de una esfera maciza de material dieléctrico

a) Punto exteriorEn un punto A a una distancia r’del centro de la esferapodemos calcular el campo delsiguiente modo: Tomamos comosuperficie gaussiana, unasuperficie esférica de radio r’con el mismo centro que laesfera cargada, sabemos quepor razones de simetría en

todos los puntos de la esfera el campo vale lo mismo, Ey además el campo será paralelo a la superficie, por lo que al hacer la integral de E. dS nos queda simplemente E S donde S es la superficie de la esfera de radio r, aplicando el teorema de Gauss tenemos:

Φe = E S = E 4πr’2 = Q / ε0 → E = Q /4 πε0r’2

A

B

Observamos que el campo creado por una carga Q distribuida uniformemente por una esfera es el mismo que el de una carga puntual, Q, colocada en el centro de la esfera

b) Punto interiorSuponemos que la superficie gaussiana elegida tiene de

radio r y que la densidad volumétrica de carga en su interior es uniforme, ρ = Q’/V’ = Q’ / 4/3 π r3 y también ρ = Q/V = Q / 4/3 π R3

Dividiendo miembro a miembro y despejando Q’:Q’ /4/3 π r3 = Q /4/3 π R3 → Q’ = Q r3 / R3

Aplicando el teorema de Gauss:E . 4πr2 =Q’/ε0 = Q r3 / R3 → E= Q r/4 π ε0 R3

c) Punto en la superficieEn este caso r = R y por tanto:

E = Q/4 π ε0 R2

Coincide con el caso a.

2. Campo eléctrico creado por una lámina plana infinita cargada uniformemente.

La lámina debe ser de material aislante para que la carga esté uniformemente distribuida por toda ella.

Tomamos ahora como superficiegaussiana un cilindro con eje perpendicular a la lámina. Solo habrá flujo a través de las superficies de las bases y por razones de simetría en las dos

superficie tendrá el mismo valor y será perpendicular a dichas superficies. Φ = E S1 + E S2 = 2 E S = Q / ε0 => E = Q / 2 S ε0

También: E = ρ / 2 ε0Donde ρ es la densidad superficial de carga ρ = Q/SLa condición de ser infinita se cumple siempre que

calculemos el campo en puntos que estén próximos a ella

S2

S1

De la expresión obtenida podemos deducir que el campo no depende de la distancia a la lámina; es uniforme y sus líneas de campo son líneas perpendiculares a la lámina.

La aplicación mas importante de este campo se da en los condensadores planos. Un condensador plano está

formado por dos láminas paralelas cargadas con la misma carga pero de distintosigno que se sitúan en la carainterna de cada placa.Si Q es la carga de cadaplaca y S es su superficie, elcampo entre placas será la

suma del producido por cada unaE = 2. Q / 2 S ε0 = Q / S ε0 = ρ / ε0

3. Hilo indefinido cargado uniformemente

Un hilo uniformemente cargado produce un campo eléctrico, cuyas líneas de campo salen de él en planos perpendiculares al hilo. Debido a su simetría, el módulo del campo será el mismo para todos los puntos que se encuentren a la misma distancia del hilo.

Tomamos una superficie gaussiana cilíndrica, cuyo eje es el hilo y con un radio igual a la distancia al punto en el que se quiere calcular el campo.

Solo existirá flujo a través de la superficie lateral, en ella E y dS son paralelos y además E es constante

Observar que el flujo a través de las bases del cilindro es nulo, E y dS son perpendiculares y su producto escalar es cero.

El flujo será entonces:Φ = E S = E 2 π R L = Q / ε0 => E = Q /2 π R L ε0

E = λ /2 π R ε0R es el radio del cilindro que coincide con la distancia al

punto en el que hallamos el campoL es la longitud del cilindro gaussianoQ es la carga del hilo de longitud Lλ es la densidad lineal de carga, definida como λ = Q/LEn este caso el campo si depende de la distancia a la que

esté el punto del hilo, es inversamente proporcional a ella.

3.ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA

3.1 Trabajo de desplazamiento de una carga puntual en el campo central creado por otra carga.

La fuerza eléctrica, al igual que la gravitatoria, es una fuerza central, está siempre en la dirección de la carga que crea el campo, además también es una fuerza conservativa.

Teniendo esto en cuenta, si la carga q se traslada de un punto A a otro B bajo la influencia del campo eléctrico producido por una carga Q en reposo. El trabajo eléctrico correspondiente a dicho desplazamiento será:

BWe (A → B) = ∫ Fe . dr = - K . Q . q - K . Q . q

A rB rAObservar que el trabajo para trasladar q desde A a B esindependiente del camino, como corresponde a una fuerza

conservativa

Si el trabajo eléctrico es positivo, entonces, la carga Q favorece el desplazamiento de q. Pero si el trabajo es negativo, entonces la fuerza eléctrica creada por Q se opone al desplazamiento de q. en este último caso, para desplazar la carga desde A a B será necesaria la actuación de una fuerza exterior que venza la fuerza eléctrica.

3.2 Energía potencial. Potencial electrostático. Generalización a n cargas.

Como el campo eléctrico es un campo conservativo podemos asociarle una energía potencial eléctrica, Ep,

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica entre dos puntos es igual a la variación de energía potencial eléctrica cambiado de signo.

BWe (A B) = ∫ F . dr = - (EpB – EpA) = -∆Ep

A

Comparando esta expresión con la del trabajo eléctrico calculado antes, resulta:

EpB = K. Q . q EpA = K. Q . qrB rA

El convenio establecido en el campo eléctrico es el mismo que en el gravitatorio, es decir, la energía potencial es nula cuando la carga q está en el infinito.

Al aplicar este convenio se cumple: • Al aproximar cargas del mismo signo, la energía

potencial aumenta porque es siempre positiva.• Al aproximar cargas de signo opuesto, la energía

potencial disminuye porque es siempre negativa.• La energía potencial en una determinada posición

coincide con el trabajo eléctrico realizado para llevar la carga desde dicha posición al infinito.

Energía potencial de un sistema de cargas puntuales.Cuando un sistema contiene mas de dos cargas puntuales,

la energía potencial del conjunto es la suma algebraica de las energías asociadas a cada pareja distinta de cargas.

Para un sistema de n cargas, la energía potencial será,

∑=

parejaslastodas ij

ji

rqq

KEp

r34

q2

.. .

q1

q3

q4

qn

r23

r12

r13

r14 r1nr24

r4n

EP = k . q1 . q2 + k . q1 . q3 + … + k . q1 . qn + … + k . q2 .q3 + …r1,2 r1,3 r1,n r2,3

Potencial eléctricoEl potencial eléctrico en un punto de un campo

eléctrico es la energía potencial electrostática que adquiere la unidad de carga positiva colocada en ese punto:

V = Ep / qLa expresión anterior toma también la forma:

V = k . Q = 1 Qr 4πε r

La unidad de V en el SI es el J/C = voltio (V)

Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico.

Se llama diferencia de potencial, (d.d.p.) entre dos puntos, A y B, a la energía potencial que adquiere o que pierde una carga cuando se traslada desde A hasta B, dividida por el valor de dicha carga.

En la figura se representa el campo creado por +Q sobre la carga +q.

La diferencia de potencial entre los puntos A y B será:VB – VA = ∆E / q

Sustituyendo ∆E, queda: VB – VA = k . Q - k . QrB rA

Esta diferencia de potencial es también la relación que existe entre el trabajo, cambiado de signo, realizado por el campo para trasladar la unidad de carga positiva de A a B.

VB – VA = -W(A→B) / q

Potencial creado en un punto por varias cargas puntuales

El potencial en un punto cualquiera debido a un grupo de cargas puntuales se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

V = k . q1 + k . q2 + … +k . qn r1 r2 rn

siendo qn el valor de la enésima carga y rn la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial.

3.3 Relación entre campo y potencial eléctrico

En la figura se visualizan las líneas equipotenciales correspondientes, en forma de circunferencias concéntricas, a la carga positiva. El valor del potencial, para el caso de una carga positiva, disminuye con la distancia a la carga.

La expresión de la d.d.p. entre dos puntos

VB – VA = k . Q - k . QrB rA

y, es el resultado, cambiado de signo de la integral.

B∫ E . dr = - ∆V = VA – VBA

Si el campo es uniforme y por tanto tiene una dirección a lo largo de un eje (X) podemos poner la expresión anterior como:

B B∫ E . dx = ∫ E . dx cos0º = E (xB – xA) = -(VB – VA)A A

E .∆x = -∆V → E = - ∆V / ∆xEl campo eléctrico mide la diferencia de potencial por

unidad de longitud, por eso, a veces, se utiliza como unidad de intensidad de campo eléctrico el voltio/metro (V/m)

Si en una zona el campo es nulo, entonces el potencial es constante, es decir VB = VA = cte

3.4 Potencial de esferas conductoras

Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están

situadas en la superficie de laesfera siendo neutro su interior y si en el interior no hay cargas entonces E = 0.En el exterior será igual que en el caso de la esfera cargada uniformemente.

a) Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al

creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera

V = k . Q / rdonde r es la distancia entre el centro de la corteza y el

punto en el que medimos el potencial eléctrico.

b) Potencial en la superficie de la esfera:Será como en el caso anterior, es decir:

V = k . Q / R

Q

R es el radio de la esfera.c) Potencial en el interior de la esfera:Al ser el campo en el interior nulo, E = 0 y como vimos

que: E = - ∆V / ∆x si E = 0 →∆V = cte

el potencial será constante e igual al de su superficie. V = k . Q / R

4. CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO

4.1 IntroducciónLos fenómenos magnéticos son conocidos desde el siglo

VI a.C. Thales de Mileto fue el primero en descubrir las propiedades magnéticas de la magnetíta ( Fe3O4), capaz de atraer objetos de hierro, estos cuerpos se conocen con el nombre de imanes.

Características de los imanes:• Todo imán presenta dos polos, que son las zonas donde la

fuerza magnética es mas intensa, con una línea neutra entre ambos polos.

• Los polos del mismo tipo se repelen y los de distinto tipo se atraen.

• Si se parte un imán en trozos mas pequeños, siempre existen en cada trozo los dos polos, es decir, no existen polos magnéticos aislados.

Los polos se denominan polo nortey polo sur, pues si dejamos que unimán ligero pueda girarlibremente, se va a orientar demanera que uno de sus polosapunta al norte geográfico y elotro al sur geográfico. Este es como sabemos el fundamento de labrújula.

Este hecho llevó a Willian Gilbert a suponer que la Tierra se comporta como un imán gigante, debiendo estar el polo norte magnético cerca del polo sur geográfico y el sur magnético cerca del norte geográfico. El eje magnético forma en la actualidad un ángulo de 11,5º con el eje geográfico, este eje ha variado a lo largo del tiempo.

Gilbert descubrió diversas formas de producir imanes artificiales, por ejemplo al tocar con un imán un objeto de hierro, este, se transforma en un imán.

Descubrió también que al recubrir los polos del imán con hierro la

fuerza de imán se refuerza, y que el calor destruye el magnetismo.

John Michell a mediados del siglo VXIII, utilizando una balanza de torsión, comprobó que la fuerza de atracción o repulsión entre los polos de dos imanes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Esta relación sugiere cierta analogía con los campos vistos anteriormente.

Sin embargo, al no existir unipolos magnéticos, no puede existir una expresión de la fuerza magnética del mismo tipo que las existentes en los otros dos campos.

4.2 Campo magnético

La fuerza magnética es una interacción a distancia por lo que puede describirse utilizando el concepto de campo.

Campo magnético es la región del espacio donde un imán es capaz de perturbar a otro imán colocado en dicha región.

El campo magnético es un campo vectorial y se representa mediante líneas de campo. Estas líneas pueden visualizarse si sobre un papel colocamos limaduras de hierro y sobre ellas un imán, las limaduras se imantan y se orientan en la dirección del campo magnético.

Salen de un polo y regresan por el otro; por convenio, se considera que salen del polo norte y entran por el polo sur. Como por el interior del imán las líneas van del polo sur al polo norte, diremos que; las líneas de campo magnético son líneas cerradas. Una aguja magnética se orienta de forma que la línea de campo entra por el polo sur y sale por el polo norte.

La explicación del magnetismo dada por Ampere fue la de suponer la existencia de corrientes eléctricas internas dentro de la materia. Esta teoría es anterior al descubrimiento de la estructura atómica.

Actualmente se explica el funcionamiento de un imán como consecuencia de pequeñas corrientes, debidas al movimiento de los electrones que contienen los átomos, cada una de ellas origina un microscópico imán o dipolo.

Cuando estos pequeños imanesestán orientados en todasdirecciones, sus efectos se anulanmutuamente y el material nopresenta propiedades magnéticas;en cambio si todos los imanes sealinean actúan como un único imán yen ese caso decimos que lasustancia se ha magnetizado.

4.3 Experiencia de Oersted

En 1820, Oersted, impartiendo una clase de Física en la Universidad de Copenhague, y tratando de explicar que era la corriente eléctrica, acercó por casualidad una brújula a un conductor por el que circulaba corriente y observó que la aguja imantada sufría una desviación.

A raíz de esto Oersted siguió investigando y llegó a las siguientes conclusiones:

• Cuando colocamos una brújula cerca de un conductor por el que pasa una corriente eléctrica, la brújula se orienta perpendicularmente al conductor y deja de señalar hacia el polo norte.

• Si aumentamos la intensidad de la corriente eléctrica que circula por el conductor, la brújula gira más rápidamente hasta colocarse perpendicular a si mismo.

• Si invertimos el sentido de la corriente eléctrica . la brújula sigue orientada perpendicularmente al conductor , pero en sentido opuesto al caso anterior.

La conclusión fue : “Una corriente eléctrica, cargas en movimiento, produce un campo magnético“

4.4 Fuerza magnética sobre una carga en movimiento en el seno de un campo magnético: Ley de Lorentz

El campo magnético producido por cargas en movimiento solo actúa sobre cargas eléctricas en movimiento, la fuerza que actúa se conoce como fuerza de Lorentz

Si la partícula incide con el campo a una cierta velocidad, aparece una fuerza.

Experimentalmente se llegó a las siguientes conclusiones:• La fuerza es proporcional a la carga y a la velocidad

con la que la partícula entra en el campo magnético. • Si la carga incide en la dirección del campo, no actúa

ninguna fuerza sobre ella. • Si la carga incide en la dirección perpendicular al

campo, la fuerza adquiere su máximo valor y es perpendicular a la velocidad y al campo.

• Si la carga incide en dirección oblicua al campo, aparece una fuerza perpendicular a esta y a la velocidad cuyo valor es proporcional al seno del ángulo de incidencia.

• Cargas de distinto signo experimentan fuerzas de sentidos opuestos.

Las observaciones experimentales anteriores se resumen en la siguiente expresión:

F = q .( v λ B)Ley de Lorentz

• El módulo será: F = q .v B. sen φ• La dirección será perpendicular al plano que forman v y B• El sentido coincidirá con el de v λ B (regla del

sacacorchos) si q es positiva, y será contrario si q es negativa.

Si en la expresión del módulo de la fuerza, despejamos B podemos deducir sus unidades en el S.I.

B = F / q v sen φ → [B] = N / C . m.s-1 = kg . m.s-2 .C-1.m-1 s-1 == kg . C-1 . s-1 = T (Tesla)

Un Tesla se define como la intensidad de un campo magnético que produce una fuerza de 1 N sobre una carga de 1 C que se mueve con una velocidad, perpendicular al campo magnético, de 1 m/s.

Para determinar el sentido de la fuerza se aplica la regla de la mano izquierda como se ve en la figura. El mayor señala el sentido de la corriente eléctrica, el índice el sentido del campo magnético y el pulgar señala el sentido de la fuerza.

Como la velocidad es siempre un vector tangente a la trayectoria del cuerpo que se mueve y aquí la fuerza es perpendicular a ella, la fuerza será de dirección normal a la trayectoria y, por tanto, si es la única fuerza que actúa sobre la partícula cargada:

• La partícula solo tiene aceleración normal, la fuerza creada por el campo solo va a modificar la dirección de la partícula, nunca su módulo

• Al ser la fuerza perpendicular al desplazamiento, el producto escalar de ambos vectores es nulo. Es decir, que el trabajo de la fuerza magnética es nulo. Diremos también que, no existe energía potencial, por tanto, la energía cinética de la partícula es constante.

4.4.1 Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme.

Consideramos el movimiento de una partícula cargada, q, en un campo magnético uniforme, B de tal manera que la partícula se mueve con una velocidad, v, perpendicular al campo.

La fuerza que actúa sobre la carga es ,F = q v λ B por lo tanto, en todo momento F y v son perpendiculares, existiendo exclusivamente una fuerza normal, por lo cual la carga describe una circunferencia.

Entonces: F = m.an = m v2/r y por otra parte F = q v BIgualando ambas: m.v2/r = q v B → r = m.v / q B

Si la velocidad de la partícula no es perpendicular al campo magnético la partícula realiza un movimiento helicoidal

4.4.2 Campo magnético, B, creado por una carga, q.La ley de Biot y Savart nos dice que el campo magnético

creado por una carga eléctrica en movimiento, en un punto P, es:

donde km es una constante que vale en el vacío:Esta constante, la podemos poner como:

siendo µ0 la permeabilidad magnética en el vacío.• El módulo será: B = µ0 . q . v sen φ

4π r2

• La dirección y el sentido de B son las vistas en la ley de Lorentz.

La analogía de este campo con el eléctrico creado por una carga puntual es evidente: Los dos campos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia y dependen del medio, pero en el campo magnético la constante es mucho menor.

Las diferencias son también evidentes: Una carga eléctrica siempre produce un campo eléctrico y si estáen movimiento produce también un campo magnético.

El campo eléctrico es central y sus líneas de campo son radiales; el campo magnético no es central y sus líneas de campo son cerradas, son circunferencias concéntricas con la carga y perpendiculares a su velocidad.

4.5 Campo magnético creado por corrientes eléctricas.

Si en lugar de tener una carga eléctrica puntual enmovimiento tenemos una corriente eléctrica, de intensidad I, entonces, el campo magnético producido en el vacío, por toda la longitud, l, del conductor, enun punto P, se calcularádeterminando el campo, dB,

producido por un elemento infinitesimal, dl, e integrando

para toda la longitud del conductor.

Es decir:

Nota: Las expresiones anteriores pueden ponerse en función del vector unitario, ur, o también, como están escritas, ya que, ur = r/r

La expresión se conoce como Ley de Biot-Savart

4.5.1 Aplicaciones

30

4 rrldIBd ×

⋅⋅=π

µ∫

×⋅= 3

0

4 rrldIB

πµ

a) Campo creado por un hilo infinitoPara calcular el campo magnético producido

por la corriente rectilínea de la figura sobre un punto P, usamos la ley de Biot-Savart B = µ0 . ∫ I . dl λ ur = µ0 . ∫ I .dl . senα

4π l r2 4π l r2

Al resolver esta integral se obtiene una expresión que dice lo siguiente:

• El modulo del campo magnético total en un punto cualquiera es directamente proporcional a la intensidad de corriente que circula por el hilo e inversamente proporcional a la distancia a que se encuentra del conductor.

• La dirección del campo es perpendicular al conductor. • Su sentido se determina según la regla de la mano

derecha, y coincide con el del giro de un tornillo con rosca a derechas, que avanzara en el sentido de la corriente.

La expresión es: B = µ0 . I / 2 π r

b) Campo magnético creado por una espira

Una espira es un hilo conductor en forma de línea cerrada, pudiendo ser circular, rectangular, cuadrada, etc.

Si por la espira hacemos circular una corriente eléctrica, el campo magnético creado se hace más intenso en el interior de ella.

El sentido de las líneas de fuerza es el del avance de un sacacorchos que girase en el sentido de la corriente.

B = µ0 . ∫ I . dl λ ur = µ0 . ∫ I .dl . sen90º4π l r2 4π l r2

B = µ0 . I . ∫dl = µ0 . I . 2πR B = µ0 . I4πR2 4πR2 2 . R

Es el valor del campo magnético en el centro de la espira

Las líneas de campo salen por una cara de la espira, que a semejanza de un imán se llama cara norte, y entran por la otra, que será su cara sur.

c) Campo magnético creado por una bobinaUna bobina es un dispositivo

formado por N espiras paralelas y muy próximas generalmente enrolladas alrededor de un cilindro.

El campo magnético creado ensu centro es: B = N . µ . I / 2.R

d) Campo magnético creado por un solenoideUn solenoide es una bobina de

un número elevado de espiras enrolladas alrededor de un cilindro de radio muy pequeño comparado con la longitud de la bobina.

El estudio experimental de la intensidad del campo magnético B debido a un solenoide en un punto cualquiera de su interior pone de manifiesto que una mayor proximidad entre la espiras produce un campo magnético más intenso lo cual se refleja en la expresión de B a través del cociente N/L, siendo N el número de espiras y L la longitud del solenoide. Dicha expresión viene dada por la ecuación: Si el solenoide lleva en su

interior una barra de hierro es un electroimán

4.6 Fuerza magnética sobre una corriente rectilínea

Al colocar una corriente eléctrica en un campo magnético, experimentará una fuerza, resultante de las que actúan sobre sus cargas móviles

Sabemos que la fuerza sobre cada carga es:

F = q .( v λ B)

La fuerza que actúa sobre un segmento, dl, de una corriente eléctrica de intensidad I, situada en el campo magnético, B, es:

dF = I . dl λ BIntegrando la expresión anterior:

F = ∫ I . dl λ B Ley de Laplace

Si aplicamos esta ley a un conductor recto de longitud L, por el que circula una corriente de intensidad I, situado en un campo magnético uniforme, B. Como las direcciones de dl y de B no varían y además los valore de B y de I son constantes, la fuerza sobre un conductor rectilíneo es:

F = ∫ I . dl λ B = I . ∫ dl λ B → F = I . L λ BLa fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo es

siempre perpendicular al plano que forman el conductor y el campo. El sentido viene determinado por la regla del sacacorchos.

Si el conductor es paralelo al campo magnético, el campo es nulo, y si el conductor y el campo son perpendiculares entonces la fuerza es máxima

4.7 Fuerza magnética entre dos corrientes indefinidas. Definición internacional de amperio.

Veamos el caso de dos conductores rectilíneos, paralelos al eje Y y por los que circulan corrientes I1 e I2 en el sentido positivo del eje, separados una distancia d.

La corriente I1 produce en los puntos donde está I2, un campo magnético de valor:

B1 = µ0 I1 / 2πdDirigido en el sentido negativo del eje Z. La fuerza que

ejerce I1 sobre una longitud L del segundo conductor será: F1,2 = I2 . L λ B = I2 . L j λ (- µ0 . I1 k) / 2 π d

F1,2 = µ0 I1 I2 L i

2 π d

A su vez, el campo magnético producido por la corriente I2 sobre los puntos donde está la corriente I1 , estádirigido en el sentido positivo del eje Z y vale:

B2 = µ0 I2 / 2πd, entonces la fuerza que hace I2 sobre una longitud L de I1 es:

F2,1 = I1 . L λ B2 = I1 . L . j λ (µ0 I2 / 2πd) . k

F2,1 = µ0 . I1 . I2 . L / 2πd . i

Las fuerzas son iguales y de sentidos contrarios, F1,2 = - F2,1 atrayéndose si las corrientes tienen el mismo sentido y repeliéndose cuando son las corrientes opuestas.

Definición de AmperioA partir de la expresión vista anteriormente se define la

unidad de intensidad de corriente eléctrica n S.I., el amperio, A.

Un amperio es la intensidad de corriente eléctrica que circula en sentido distinto por dos conductores rectilíneos paralelos, separados un metro, cuando se repelen con una fuerza de 2 . 10-7 N por metro de conductor.

4.8 Fuerza electromotriz inducida. Ley de Lenz-Faraday.

Experiencias de FaradayFaraday (1791-1867) pensaba que si la corriente eléctrica

era capaz de producir un campo magnético, también debería producirse el fenómeno inverso, es decir,

que un campo magnético debía originar una corriente eléctrica. Así en 1832 comprobó experimentalmente que los campos magnéticos variables producían

corriente eléctrica inducida.Faraday situó un imán en las proximidades

de un circuito cerrado formado por una bobina (un conjunto de espiras) y un galvanómetro.

Con el imán y la bobina en reposo, la aguja del galvanómetro no se mueve, no se detecta paso de corriente (1).

Después acercó el imán a la bobina para introducirlo dentro. La aguja del galvanómetro se desvió, indicando el paso de corriente (2)

Aparece corriente al ir introduciendo el imán en la bobina.

Observó que si el movimiento es más rápido, la desviación de la aguja es aún mayor; y si cesa el movimiento del imán, el galvanómetro vuelve a marcar cero (3).

Cuando se aleja el imán, la aguja del galvanómetro vuelve a detectar el paso de corriente, pero ahora en sentido contrario, se produce en el circuito una corriente de sentido contrario (4).

Si el imán se acerca por el polo sur, el efecto es el mismo que el observado en la experiencia anterior (5). Esto nos indica que cuando el imán se acerca con la polaridad cambiada, se invierte el sentido de la corriente.

A partir de sus experiencias, Faraday formuló las siguientes leyes:

1. Aparece corriente eléctrica en un circuito siempre que se produzca una variación en el campo magnético que atraviesa la superficie «definida» por el circuito.

2. La intensidad de la corriente generada depende de la rapidez con que varía el campo magnético.

Definición de flujo magnético

Para un campo magnético constante y una superficie plana se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie: Φ = E . S

Φ = E. S. cos θ

Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento dS de superficie, B·dS

El flujo a través de la superficie S, es:

Φ = ∫ B . dsS

La unidad de flujo magnético es: T. m2 = Wb (Weber)

Como las líneas de campo magnético son líneas cerradas, el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada siempre es nulo:

Φ= ∫ B . ds = 0Pero si la superficie es abierta, será positivo, negativo o

nulo, dependiendo de la posición relativa de los vectores B y S

Las experiencias de Faraday demuestran que la corriente inducida se debe a la variación de flujo magnético que atraviesan las espiras de la bobina.

Pero para que exista flujo es necesario la existencia de un campo, B, a lo largo del conductor y esto implica la existencia de una diferencia de potencial, ∆V, entre sus extremos.

Para mantener la diferencia de potencial es necesario la existencia de un agente exterior capaz de hacer llegar la energía necesaria mantenedora de la ∆V.

Se define, entonces, en estos agentes externos una nueva magnitud llamada fuerza electromotriz (f.e.m.), ε, como el trabajo realizado por el agente exterior del circuito por cada unidad de carga eléctrica que lo atraviesa, es decir: ε = West / q

Este trabajo es característico de cada generador y es independiente del circuito al que está conectado.

La unidad de f.e.m. en el S.I. es J/C = V (Voltio)De todo esto deducimos que la variación de flujo

magnético produce una f.e.m. inducida en el circuito.La Ley de Faraday relaciona ambas magnitudes:El valor de la f.e.m. inducida en cada instante en un

circuito es igual a la variación con el tiempo del flujo magnético que lo atraviesa:

ε = dΦ / dt

Ley de Lenz Esta ley complementa la de Faraday indicándonos como

es el sentido de la corriente inducida.El sentido de la corriente inducida es tal que se

opone al efecto que lo produce. El campo magnético producido por la corriente inducida intenta contrarrestar la variación del flujo magnético del inductor.

Así si el flujo aumenta, el número de líneas de campo magnético que atraviesa el circuito también; entonces la corriente inducida circula en el sentido en el que las líneas de campo magnético, producido por ella, al atravesarlo, tengan sentido contrario al del agente inductor, para que así disminuya el flujo. Si el flujo disminuye sucede justamente lo contrario.

Esta oposición se refleja matemáticamente con el signo menos, combinando las dos leyes se obtiene la Ley de Faraday-Lenz: ε = - dΦ / dt

4.9 Definición de coeficiente de autoinducción de una bobina (relación Flujo/Intensidad). Unidades

Consideramos un circuito por el que circula una corriente de intensidad I

Esta corriente produce un campo magnético B , que sabemos que en cada punto es proporcional a la intensidad I;

Si la intensidad I varía con el tiempo, también variará el campo magnético, B, y por tanto, el flujo propio, ΦI, variará con el tiempo, induciéndose una f.e.m. en el circuito. Este fenómeno se conoce con el nombre de autoinducción.

La f.e.m. autoinducida en el circuito vendrá dada por la le de Faraday-Lenz

Si el circuito es un solenoide de N espiras y longitud l, el campo magnético es:

B = µ . N . I/l. Como el campo es paralelo al eje del solenoide, el flujo a través del solenoide

producido por su propio campo vale:ΦI = N . B . S = N . (µ . N . I/l) . S = (µ . N2 .S / l) . I

ΦI = L . I

L es una magnitud característica del solenoide, se llama coeficiente de autoinducción

Todos los circuitos presentan autoinducción y por tanto la expresión del flujo autoinducido, ΦI = L . I, es valida para todos. El valor del coeficiente L depende de la geometría del circuito.

La unidad de autoinducción en el S.I. es el Henrio, H.Si despejamos L de la expresión del flujo tenemos:

L = ΦI/I → 1 H = 1 Wb/ 1 ALa f.e.m. autoinducida será:

εL = - dΦI /dt = - d(L . I)/dt → εL = -L . dI/dt

Si la intensidad de la corriente aumenta, su derivada es positiva y su f.e.m. autoinducida es negativa; se genera una corriente eléctrica en sentido contrario al inicial del circuito. Si la intensidad disminuye se genera una corriente que circula en el mismo sentido que la inicial.

5. ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO, ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO

Conviene establecer lo que tienen en común y en qué se diferencian, los tres campos estudiados, para ampliar el punto de vista sobre los campos en general.

• Existen campos conservativos, como el gravitatorio y el eléctrico, y no conservativos, como el magnético.

• Las líneas de fuerza de los campos gravitatorio y eléctrico son abiertas, es decir, empiezan en algún punto (fuentes del campo o el infinito) y terminan en algún otro (sumideros del campo o el infinito). Sin embargo, las líneas del campo magnético son cerradas, por tanto, no existen en ellas ni fuentes ni sumideros del campo.

• En los campos conservativos, gravitatorio y eléctrico, se puede definir una función potencial (escalar) y, a partir de ella, construir superficies equipotenciales. Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Para el campo magnético no existe ninguna función escalar cuya variación permita obtener el valor de la intensidad del campo.

• Las fuerzas debidas a los campos gravitatorio y eléctrico son centrales, las debidas al campo magnético no lo son.

• Las fuerzas gravitatorias y eléctricas tienen la dirección del campo, mientras que las magnéticas son perpendiculares al mismo.

Entre el campo gravitatorio y el eléctrico, aunque se dan analogías, existen también diferencias:

• El campo gravitatorio no tiene fuentes, sus líneas de campo siempre empiezan en el infinito. El campo eléctrico, por el contrario, puede tener fuentes y sumideros.

• Las fuerzas del campo gravitatorio son siempre de atracción, mientras que las del campo eléctrico pueden ser tanto de atracción como de repulsión.

• Un punto material sólo crea campos gravitatorios, tanto si está en reposo como si está en movimiento. Una carga eléctrica, por el contrario, crea un campo eléctrico si está en reposo y uno eléctrico y otro magnético si estáen movimiento.

• Cualquier cuerpo material crea un campo gravitatorio. Para crear un campo eléctrico hace falta, además, que el cuerpo esté cargado.

• Un campo eléctrico se puede apantallar, mientras que un campo gravitatorio no.

• Una partícula material, en reposo, abandonada a la acción del campo gravitatorio, inicia su movimiento en la dirección y sentido de éste. Sin embargo, una carga, en reposo y abandonada a la acción de un campo eléctrico, lo hace en la dirección del mismo, pero su sentido de

movimiento es el del campo si la carga es positiva y el contrario si la carga es negativa.

Entre el campo eléctrico y el magnético, aunque se den diferencias, existen también analogías:

• Ambos campos ejercen fuerzas sobre cargas eléctricas.• Un campo eléctrico variable crea un campo magnético, y

viceversa• Existen dipolos eléctricos y dipolos magnéticos.• Los dipolos, ya sean eléctricos o magnéticos, si tienen

libertad para moverse, se orientan en el sentido del campo. Además, si el campo no es homogéneo, son arrastrados hacia las zonas donde el campo es más intenso.

6. PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS. DESCRIPCIÓN DE UN GENERADOR ELEMENTAL.

La corriente alterna es aquella en que la que la intensidad cambia de dirección periódicamente en un conductor, como consecuencia del cambio periódico de polaridad de la f.e.m. aplicada en los extremos de dicho conductor.

Industrialmente se produce en su casi totalidad por generadores rotativos electromecánicos movidos por motores térmicos, hidráulicos, eólicos etc..

Los generadores electromecánicos se basan en la producción de f.e.m. por inducción, cuando un conductor se mueve en un campo magnético.

Los generadores reales están construidos por bobinas que experimentan un movimiento relativo de giro respecto a un campo magnético y en el interior de él. ( O bien se mueve el campo, o bien las bobinas)

Un generador eléctrico consta de dos partes: una fija, estator, y otra móvil, rotor.

En la figura se representa un generador, alternador, elemental con una sola espira que gira con velocidad angular constante en el seno de un campo magnético uniforme.

Vamos a estudiar como circula la corriente en las diferentes posiciones de la espira.

Posición I:

B ll S → Φ = B . S cos 0º = B . S → flujo máximo positivo

ε = - dΦ/dt = - d( B . S . cos θ)/dt = - d(B . S . cos ωt)/dt

ε = B . S . ω sen 0º = 0 → f.e.m. nula no hay corriente

Entre las posiciones I y II el flujo es positivo y va disminuyendo mientras que la f.e.m. inducida va aumentando por tanto la intensidad también, apreciándose en el movimiento de la aguja del galvanómetro.

Posición IIB S → Φ = B . S cos 90º = 0 → el flujo es nuloε = B . S . ω sen 90º = B . S . ω → f.e.m. inducida máximaEntre las posiciones II y III el flujo es negativo y va

aumentando en valor absoluto, la f.e.m. ahora va disminuyendo al igual que la intensidad hasta anularse.

Posición IIIB ll S → Φ = B . S cos 180º = - B . S → El flujo es negativoε = B . S . ω sen 180º = 0 → f.e.m. inducida nulaEntre las posiciones III y IV el flujo es negativo y va

disminuyendo en valor absoluto y la f.e.m. inducida y la intensidad, ambas negativas, aumentan en valor absoluto

Ahora la corriente eléctrica ha cambiado de sentido.Posición IVB S → Φ = B . S cos 270º = 0 → El flujo vuelve a ser nuloε = B . S . ω sen 270º = - B . S . ω → f.e.m. inducida negativaDesde IV hasta completar la vuelta, el flujo aumenta, la

corriente seguirá circulando en el mismo sentido que antes; la f.e.m. y la intensidad siguen siendo negativas y van disminuyendo en valor absoluto.

Al estar cada terminal siempre en contacto con el mismo anillo colector, durante media vuelta la corriente circula en un sentido y durante la otra media vuelta en sentido contrario.

De esta forma se obtiene una corriente alterna, c.a.http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/electri

cidad/objetivos.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14s/generator_s.htmVideos de electromagnetísmo en www.youtube.comwww.youtube.com