Tema 4: Electrocintica

4.1 Corriente elctrica y densidad de corriente

4.2 Conductividad, resistividad, resistencia y Ley de Ohm

4.3 Potencia disipada y Ley de Joule

4.4 Fuerza electromotriz y bateras

4.5 Leyes de Kirchhoff

4.6 Circuito RC: carga y descarga de un condensador

4.1 Corriente elctrica y densidad de corriente

Consideramos un segmento de un hilo conductor que transporta una corriente.

Q es la cantidad de carga que atraviesa un rea A en un tiempo t

La intensidad de la corriente es:

t

QI

Unidad de corriente: 1 Ampere = 1 C/s

n: densidad de partculas = nmero de partculas por unidad de volumen (la densidad de carga es =qn)

)( vol tvAnqnVqQ d

donde vd es la velocidad media de desplazamiento de las cargas (

Ejemplo

Un cable de cobre tiene radio 0.815 mm y transporta una corriente de 1 A. a) Calcular la carga de los electrones de 1 m de cable. Asumir que cada tomo

aporta un electrn libre (densidad de masa m: 8.93 g/cm3, masa molecular M=

63.5 g/mol, NA=6.02x1023 atomos/mol) b) Calcular la velocidad media de desplazamiento de los electrones libres. c) Asumiendo el teorema de equi-particin de la energa (la energa cintica media

de un electrn es 3kBT/2, kB=1.38 x10-23 J/K) calcular la velocidad media

instantnea de los electrones libres a T=300K.

ALneQ AN

Mn m

C/m 108.2/ 4LQ

dd vLQvAneI / mm/s105.3/

2LQ

Ivd

m/s 1017.13

2

3

2

52

e e

BB

m

Tkv

Tkvm

Densidad de corriente

dvAI

Densidad de corriente = corriente por unidad de rea (A/m2) dv

A

IJ

dvJ

Corriente (carga por unidad de tiempo) que atraviesa una superficie: es el flujo de la densidad de corriente a travs de la superficie.

J

dAnJI

Densidad de corriente superficial (A/m): cuando las cargas se mueven sobre una superficie.

dvK

Cuando las cargas se mueven sobre una lnea (un cable conductor con densidad de carga ): dvI

Ecuacin de continuidad y conservacin de la carga

Consideremos una superficie cerrada S que encierra a un volumen V

VS

dVJdAnJ

Como la carga se conserva, el flujo que carga que sale a travs de la superficie tiene que ser igual a la disminucin de la carga encerrada.

dt

dQdV

dt

ddVJ

VV

Considerando un volumen fijo.

VV

dVt

dVJ

Como se cumple para todo V: 0

tJ

Ecuacin de continuidad: representa la conservacin de la carga

Forma integral de la conservacin de la carga:

dt

dQdAnJ

S

4.2 Conductividad, resistividad, resistencia y Ley de Ohm

En un conductor la densidad de corriente es proporcional a la fuerza elctrica por unidad de carga (F/q=E)

EJ

donde es la conductividad del material (no confundir con densidad de carga!)

La resistividad del material es (no confundir con densidad de carga!)

/1 JE

Ley de Ohm (forma diferencial): EJ

JE

La conductividad (y la resistividad) de una sustancia dependen de la temperatura.

Para un conductor perfecto: 0

Unidad: 1 ohm = 1 V/ 1 A

Unidad de resistividad : m

Modelos de conduccin en metales

dedd venvqnvJ

ne es la densidad de electrones libres (nmero de electrones por unidad de volumen) y -e es la carga del electrn.

EEJ

deven

E

En presencia del campo elctrico, la ecuacin del movimiento de un electrn es

Eeame

tm

Eevv

e

0

e

dm

Eev

es el tiempo medio entre colisiones

Modelo clsico de Drude

devenE

e

dm

Eev

e

e

ne

m2

v es la distancia media que un electrn recorre entre dos colisiones consecutivas

e

e

ne

vm2

Anion

1

Como y no dependen del campo elctrico, la resistividad tampoco, lo que esta de acuerdo con la Ley de Ohm.

Segn el modelo clsico, se relaciona con:

El tamao de los iones de la red cristalina (A)

El nmero de iones por unidad de volumen (nion)

e

B

m

Tkv

3

Problema: debera variar con la temperatura, porque

Experimentalmente se observa que la resistividad aumenta linealmente con T.

El modelo clsico falla porque los electrones no obedecen la mecnica clsica.

Tv T

La velocidad de desplazamiento media es:

Ejemplo: tiempo de redistribucin de la carga en el interior de un conductor hmico

EJ

0

tJ

EJ

t

t

)( /0)/(

0

tt eet

Tiempo de relajacin: el tiempo que demora en disminuir la densidad de carga a un e-1 (36.7%) del valor inicial.

Para el cobre: 10-19 s, para la mica 15 hs

Ejemplo: conductor hmico homogneo que transporta una corriente estacionaria

EJ

0

tJ

0 E

Corriente estacionaria

0 E

0 J

Conductor homogneo

E

0 En el interior del conductor la densidad de carga libre

es cero (ya lo sabamos para cargas en reposo).

Consecuencias:

1)

2) 0 E

0ldE VE

0 V 02 V

En el interior del conductor podemos calcular el potencial resolviendo la ecuacin de Laplace.

Resistencia

EJ

JAI

L

VE

L

AIL

JELV

/

IRIA

LV

A

L

A

LR

La resistencia depende de la temperatura

La resistencia del filamento de la bombilla (y de todos los metales) aumenta con T

Ejemplo

Los dos cilindros estn separados por un material dielctrico de permitividad y resistividad y se mantienen a una diferencia de potencial V. El cilindro interior tiene carga por unidad de longitud.

rE

2

1 bra

a

b

r

drEdrV

a

b

a

bln

2

2

ss

dAnE

dAnJI

,

donde S es una superficie cilndrica que encierra el cilindro interior.

LrL

EI 2

Ia

b

LV

ln

2

IL

IRV

a

b

LR ln

2

0

00 /

TT

Ejemplo: Un cable de nicrom tiene un radio de 0.65 mm. Qu longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de 2 ? Resp: 2.65 m

El carbono es normalmente utilizado para las resistencias de equipos electrnicos.

Conductores, semiconductores y aislantes

Asociaciones de resistencias

Serie Paralelo

Ejemplo: ...

1111

321

RRRReq

ieq RR

11 ieq RR

...321 RRRReq

4.3 Potencia disipada y Ley de Joule

Cuando por un conductor de resistividad circula corriente elctrica, parte de la energa cintica de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren los electrones con los tomos del material, lo que produce un aumento de la temperatura (efecto Joule).

Cuando por el conductor circula una corriente estacionaria una parte de la energa se disipa en forma de calor debido a las colisiones de electrones libres con los tomos fijos.

Va

Vb )( ab VVQUW

0 ba VVV VQU

IVVt

Q

t

U

R

VRIIVP

22

Potencia disipada en una resistencia

4.4 Fuerza electromotriz y bateras

Para mantener una corriente estacionaria en un circuito real (que posee una cierta resistencia) se requiere un suministro de energa.

Batera o pila: convierte energa qumica en energa elctrica.

Motor: convierte energa mecnica en energa elctrica.

Fuente de FEM (motor o batera): realiza trabajo sobre toda carga que pasa a travs de la fuente, elevando su energa potencial.

Una fuente de FEM ideal es un dispositivo que suministra energa elctrica (fuente electromotriz) y que mantiene una diferencia de potencial Efem constante entre sus dos terminales.

Para una fuente real:

femE

Fuente de fuerza electromotriz

En el interior de la fuente las cargas se mueven de una regin de bajo potencial a otra de mayor potencial.

Cuando un elemento de carga Q atraviesa la fuente su energa aumenta en

La potencia suministrada por la fuente es

Analoga mecnica:

fem

femIE

t

EQP

femEQ

Energa almacenada en una batera

rR

EI

fem

Las bateras se suelen especificar en Ampere hora, lo que indica la carga total Q que pueden suministrar:

C 3600)s 3600)(C/s 1(Ah 1

La energa total almacenada es:

femIEP dt

dEP almacenada

dt

dQI

femEtQE )(almacenada

La energa almacenada es la carga total multiplicada por la fem y es igual al trabajo total que puede realizar la batera.

r es la resistencia interna de la batera.

femEdt

dQ

dt

dEalmacenada

femE es constante

femE

Potencia suministrada por una batera

rR

EI

fem

RrR

ERIIEP

fem

fem

2

2

rRdR

dP 0

La potencia suministrada por la batera es mxima cuando la resistencia externa es igual a la interna.

4.5 Leyes de Kirchhoff

Permiten calcular las corrientes y la diferencia de potencial en cada componente de un circuito en situacin estacionaria (corrientes y voltajes constantes en el tiempo).

Regla de las mallas

0ldE

La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o malla cerrada del circuito debe ser igual a cero.

Regla de los nudos

0 dtdQ

dAnJS

La carga no se acumula (ni se pierde) en ningn punto del circuito, por lo que en cada nudo donde puede dividirse la corriente, la suma de las corrientes que entran (negativas) debe ser igual a la suma de las corrientes que salen (positivas).

0i

iV

0i

iI

Circuitos de una sola malla

21321

21

rrRRR

EEI

Circuitos de mltiples mallas

Calcular I1, I2 y la energa disipada en 3 s en la resistencia de 4 . Resp: 1.5 A, 0.5 A y 27 J

Ampermetros, Voltmetros y Ohmmetros

Se conectan en serie (ampermetro) y en paralelo (voltmetro) para poder medir la intensidad (que circula por un cable) y la diferencia de potencial (entre dos puntos) respectivamente.

El ampermetro, el voltmetro y el ohmmetro contienen un galvanmetro: la lectura del galvanmetro es proporcional a la corriente que pasa por el galvanmetro. Suele consistir en una bobina de alambre situada en un campo magntico permanente (imn). Cuando una corriente I circula por la bobina el campo magntico del imn ejerce un momento que hace girar la bobina y este giro permite medir la corriente I.

Ampermetros, Voltmetros y Ohmmetros

Ampermetro construido con un Galvanmetro (Rp pequea)

Voltmetro construido con un Galvanmetro (Rs grande)

Ohmmetro: Rs se elije tal que la aguja indica 0 cuando a y b estn en cortocircuito

Resistencia efectiva del ampermetro Rp la corriente que circula por el circuito casi no se modifica.

Resistencia efectiva del voltmetro Rs la corriente que circula por el voltmetro es muy pequea.

4.6 Circuito RC: carga y descarga de un condensador

IRC

Q

dt

dQI

RC

Q

dt

dQ

RC

dt

Q

dQ

RCteQQ 0

RCConstante de tiempo

dt

dQI /0

teQQ /0/0 tt eIe

RC

QI

R

CQ

R

VI

/000

Descarga de un condensador

Carga de un condensador

C

QIRE fem

dt

dQI

0C

Q

dt

dQRE fem

RCtfem eCEQ 1

dt

dQI

/tfem eR

EI