El triángulo: vértices, ángulos y lados

Matemáticas. 1º E.S.O.

C

El triángulo: vértices, ángulos y lados

Propiedad: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo

llano(ángulo de 180º)

Los vértices y ángulos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C

Los lados se nombran con letras minúsculas: a, b, c (en posición opuesta a los

vértices)

A + B + C = 180º

A

B

a

b

c

AB

C


Tipos de triángulos según sus ángulos

Acutángulo: los tres ángulos son

agudos

Rectángulo: uno de los ángulos es recto

(90º)

Obtusángulo: uno de los ángulos es

obtuso

AgudosObtuso

90º


En un triángulo rectángulo, al lado mayor se le llama

hipotenusa y a los otros dos catetos

Catetos

Hipotenusa


Tipos de triángulos según sus lados

Equilátero: los tres lados son iguales

Isósceles: dos lados iguales y uno

desigual

Escaleno: los tres lados desiguales

a a

a

a a

b

a b

c


A

B

C

a

b

c

El triángulo: alturas y ortocentro

Ortocentro: punto donde se cortan las

alturas

Altura: perpendicular a un

lado que pasa por el vértice opuesto



CA

B

a

b

c

El triángulo: mediatrices y circuncentro

Circuncentro: punto donde se cortan las

mediatrices

Mediatriz: recta perpendicular a cada lado

que pasa por su punto medio

El circuncentro es el centro de la

circunferencia circunscrita, que pasa

por cada uno de los vértices del triángulo

Circunferencia circunscrita


CA

B

a

b

c

El triángulo: medianas y baricentro

Baricentro: punto donde se cortan las medianas

Mediana: recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto


El triángulo: bisectrices e incentro

Incentro: punto donde se cortan las bisectrices

Bisectriz: recta que pasa por un vértice y divide al

ángulo en dos partes iguales

El incentro es el centro de la circunferencia

inscrita

CA

B

a

b

c

Circunferencia inscrita


Teorema de Pitágoras


En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos

ab

c

a2 = b2 + c2

a2

b2

c2


b2

64 cuadraditos

Teorema de Pitágoras (continuación)Matemáticas. 1º

E.S.O.

a2

100 cuadraditos

b2

64 cuadraditos

c2

36 cuadraditos= +

c2

16

cu

ad

rad

itos

=a2

100 cuadraditos

20 cuadraditos

+

Matemáticas. 1º E.S.O.Los cuadriláteros: clasificación

Cuadriláteros son los polígonos que

tienen cuatro lados

Cuadrilátero convexo

Cuadrilátero cóncavo

Clasificación de los cuadriláteros convexos

Trapezoides: no tienen lados paralelos

Trapecios: sólo tienen dos lados paralelos

Paralelogramos: tienen los cuatro lados

paralelos dos a dos


DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS TENEMOS:

PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS

Matemáticas. 1º E.S.O.Los paralelogramos: clasificación

Romboide: paralelogramo más general, con dos pares de lados

paralelos

Rombo: paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales

Rectángulo: paralelogramo que tiene los cuatro ángulos

rectos

Cuadrado: paralelogramo que tiene los cuatro lados

iguales y los cuatro ángulos rectos


Piensa un poco

1. Tiene los cuatro lados iguales:

a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo

2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:

a) El cuadrado c) El rombob) El rectángulo y el romboide

3. Sus cuatro ángulos son iguales :

a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo

c) El cuadrado y el rectángulo

4. Sus diagonales son perpendiculares: a) El cuadrado c) El cuadrado y el romboide c) El cuadrado y el rombo


Área de los paralelogramos

Rectángulo y romboide

h

bÁrea = base altura

A = b h

l

Cuadrado

Área = lado lado

A = l l = l2

Rombo

D

d

2

d×D=A

2

menordiagonal×mayordiagonal=Área

b

h


Área del triángulo

DA

B Cb

h

El área del paralelogramo ABCD es, como sabemos

Área = base altura

A = b h

Por tanto, como el triángulo ABC es la mitad

2

hbA

2

alturabasetriángulodelÁrea


Área del trapeciob

B

h

b

B

h

b

h

B

B + b

Área del paralelogramo = = base altura = (B + b)

h

2

h×)b+B(=A

2

altura×)menorbase+mayorbase(=trapeciodelÁrea

Por tanto, como el trapecio es la mitad


Área de un polígono regular

Todo polígono regular puede descomponerse en triángulos iguales

Como 6 L (6 veces el lado) es el perímetro del hexágono, resulta

El área del hexágono será el área de uno de los triángulos multiplicada por 6

A la altura de cada triángulo se le llama apotema del

polígono

2

aL6

2

aL6regularhexágonodelÁrea

Observa el hexágono, trazamos los radios y

obtenemos seis triángulos equiláteros.

2abtriángulodelÁrea El área de cada

triángulo será

b

a


Sustituyendo 6 x L por el perímetro, nos dará la fórmula del área del

hexágono

L

a

apotema

2

aL6

2

aL6regularhexágonodelÁrea

2

apotemaperímetroregularhexágonodelÁrea

Por tanto, el área del hexágono y de cualquier polígono regular, será

2aP

2apotemaPerímetroA


La circunferencia y el círculo

Circunferencia: lugar geométrico de los puntos que están a la misma

distancia (radio) de uno fijo (centro)

Círculo: superficie encerrada en el interior de una

circunferencia

centro

radio


Longitud de la circunferencia y de un arco de circunferencia

La longitud de la circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el

número , o lo que es lo mismo, al

doble del radio por el número .r

longitud = l = 2 · · r

Aplicando una sencilla regla de tres la longitud de un arco que abarque x

grados es:

360

x·r·π·2=larco

larco

xº


Área del círculo

Observa que cuanto mayor es el número de lados del polígono inscrito

en un círculo, más se aproxima el área del polígono al área del círculo

r r

Imagina el círculo como un polígono de muchos, muchos lados. Su perímetro sería la longitud de la circunferencia (2 · · r) y su apotema el

radio (r). Por tanto:

2

radiolongitud

2

apotemaperímetrocírculodelÁrea

2r2

rr2círuclodelÁrea

De este modo se tiene

2rA

El triángulo: vértices, ángulos y lados

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