El Problema de Los Recursos de Uso Comun

7/31/2019 El Problema de Los Recursos de Uso Comun

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tudios Demogrficos y UrbanosColegio de Mxico, [email protected]

SN (Versin impresa): 0186-7210XICO

2002Jorge Fernndez Ruiz

EL PROBLEMA DE LOS RECURSOS DE USO COMN. UN ENFOQUE DE TEORADE JUEGOS

Estudios Demogrficos y Urbanos, mayo-agosto, nmero 050El Colegio de Mxico, A.C.

Distrito Federal, Mxicopp. 381-409

Red de Revistas Cientficas de Amrica Latina y el Caribe, Espaa y Portugal

Universidad Autnoma del Estado de Mxico
mailto:[email protected]://redalyc.uaemex.mx/mailto:[email protected]


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El problema de los recursos de uso comn. Un enfoque de

teora de juegos

Jorge Fernndez Ruiz*

En este artculo presentamos un anlisis del problema de los recursos de uso comn des-

de la perspectiva de la teora de juegos. Despus de definir las caractersticas que ocasio-

nan que ciertos recursos sean de uso comn, construimos un modelo formal que mues-

tra la existencia de incentivos a su sobreexplotacin y a la .subinversin en su cuidado.

Examinamos dos posibles instituciones para resolver este problema de incentivos. Laprimera, la privatizacin, posee propiedades de eficiencia enfatizadas por la microeco-

noma tradicional. La segunda es el manejo de los recursos por parte de un grupo deli-

mitado de usuarios locales por un periodo de tiempo indefinido. Demostramos que, bajo

ciertas condiciones, esta segunda institucin tambin puede proveer incentivos adecua-

dos para el manejo exitoso de los recursos.

Palabras clave: recursos comunes, accin colectiva, juegos.

Fecha de recepcin: 17 de abril de 2001.

Fecha de aceptacin: 17 de julio de 2001.

Introduccin

En un artculo clsico sobre los bienes de uso comn, Scott Gordon

(1954) nos recordaba la sentencia de que "la propiedad de todos es la

propiedad de nadie", y aada que "nadie valora la riqueza que esgratuita para todos, porque quien sea suficientemente arriesgadopara esperar que llegue el tiempo propicio para su uso, slo encon-trar que ese recurso ya ha sido tomado por otro".'

La situacin de mltiples bienes parecera derivarse del proble-ma anterior. Son bienes a los que muchos individuos tienen acceso y

por los cuales el mercado no cobra ningn precio. La capa de ozono,

los bosques, y muchas especies en peligro de extincin son slo algu-

nos ejemplos conocidos de bienes de este tipo.

En este artculo analizamos el problema de los recursos de usocomn desde la perspectiva de la teora de juegos. En la siguiente

* Profesor-investigador del Centro de Estudios Econmicos de El Colegio de Mxi-

co. Correo electrnico: jfernancolmex.mx. Agradezco a Boris Graizbord haberme alen-

tado a estudiar este tema y facilitarme tal estudio mediante numerosas conversaciones.1 Gordon (1954: 124). Gordon se refera en este artculo a un ejemplo concreto:

la pesca.

[381]


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382 ESTUDIOS DEMOGRFICOS Y URBANOS

seccin explicamos las caractersticas que definen a los bienes de usocomn as como la distincin entre el acceso limitado y el abierto a estetipo de bienes. Tambin repasamos las soluciones tradicionales al pro-

blema enunciado por Gordon y sus principales dificultades. En la ter-cera seccin planteamos un tratamiento formal. Construimos un mo-delo en el que un grupo de individuos tiene acceso a un recurso

comn. Mostramos que cuando los individuos actan una sola vez ha-

cen un uso excesivo del recurso comn. Posteriormente analizamosqu ocurre cuando el mismo grupo de individuos interacta repetida-mente por un periodo de tiempo indefinido. Usando las tcnicas de los

juegos repetidos infinitamente (Abreu, 1988; Friedman, 1971), mostra-mos que es posible que un grupo de individuos, preocupado cada unoslo por su propio bienestar, explote responsablemente el recurso co-mn, y analizamos los factores que facilitan que esto ocurra. Termina-mos esta seccin con el anlisis de las situaciones en que el grupo de in-

dividuos que tiene acceso al recurso comn no puede alcanzar unasituacin ptima desde el punto de vista social. En la cuarta seccin re-tomamos los resultados arrojados por el anlisis de teora de juegos

para ponerlos en el contexto de los hallazgos de los estudios empricossobre los factores que determinan el manejo exitoso de los recursos de

uso comn. Enfatizamos el carcter complementario de las aportacio-nes de la teora de juegos y la consideracin de factores sociolgicos y

psicolgicos. En la ltima seccin presentamos las conclusiones.

Los recursos de uso comn: problemas y soluciones

Se consideran recursos de uso comn aquellos que presentan las si-guientes dos caractersticas:

1) Existen problemas importantes para excluir a las personas de

su consumo. Ejemplos de bienes con esta caracterstica son la seguri-

dad pblica, la limpieza del aire y, en una gran variedad de circuns-

tancias, la pesca y la tala de rboles.

2) Cuando un individuo los usa, reduce las posibilidades de con-sumo de los dems. No todos los bienes tienen esta caracterstica:cuando un individuo escucha un programa de radio no impide queotro individuo tambin lo escuche. El uso de un conocimiento porparte de un individuo tampoco reduce las posibilidades de que otros

lo usen. Estos dos ejemplos no constituyen entonces recursos de uso

comn. Existen, por otra parte, abundantes ejemplos de que el con-


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EL PROBLEMA DE LOS RECURSOS DE USO COMN 383

sumo de un bien por un individuo elimina o al menos reduce el dis-

frute que otros pueden hacer de l. Los alimentos, la ropa, o la vivien-

da son ejemplos sencillos. Ms relevante para nuestra exposicin, el

uso de un bosque o la pesca en un lago tambin constituyen ejemplos

que s satisfacen esta caracterstica. Cuando un individuo tala un r-

bol reduce la cantidad disponible para la tala por parte de los dems.

Adicionalmente, la deforestacin afecta en muchas otras formas el

disfrute que los dems individuos pueden hacer de todo el ecosiste-ma del que el bosque forma parte.

Existen muchos ejemplos de recursos que satisfacen las dos carac-

tersticas anteriores: el consumo (destruccin) de la capa de ozono,la caza o pesca de especies en peligro de extincin y, pensando en un

mbito local, elmanejo de bosques o de otros recursos naturales de

una comunidad.

La dificultad de controlar el acceso a un recurso que se reduce o

deteriora al usarse origina que tal recurso sea sobreexplotado. En un

artculo clsico, Hardin (1968) llam la atencin sobre este problema

denominndolo la tragedia de los bienes comunes ( The tragedy of the

commons). As, la lluvia cida, la deforestacin y la sobreexplotacin de

muchos recursos naturales son ejemplos de este fenmeno. Otra mani-

festacin del problema el otro lado de la moneda es la falta de inver-sin en el cuidado o el mantenimiento inadecuado de un recurso de

uso comn, como pueden ser los sistemas de irrigacin o las carreteras.

Ha cobrado importancia en la literatura la distincin entre losproblemas de acceso abierto y los de acceso limitado a los recursos de

uso comn. En un problema de acceso abierto a nadie se le puedei mpedir el uso del recurso comn. Entonces, los intentos que desa-

rrolla un grupo de usuarios por manejar responsablemente el recurso

son intiles, pues cualquier individuo ajeno al grupo inicial puede te-

ner acceso a tal recurso e infringir las normas acordadas. Es difcil

i maginar que un grupo de usuarios modere el uso de un recurso co-

mn si individuos ajenos a ese grupo pueden usarlo libremente. An-

logamente, no habr quien invierta en el cuidado de este recurso si

cualquier individuo puede llegar y usarlo sin restriccin. ste es elmarco en el que alcanza elcarcter de tragedia, tal como lo llamHardin, el destino de los bienes de uso comn.

Por otro lado tenemos los bienes de acceso limitado. En este caso

existe la posibilidad de limitar el acceso a los recursos de uso comn a

un solo grupo de individuos. Si bien no cualquiera puede llegar y te-

ner acceso a los recursos, no se puede ejercer control sobre el uso


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que hacen de ellos los individuos que s pertenecen al grupo autoriza-

do. En este trabajo restringiremos nuestra atencin a situaciones de

acceso limitado. No obstante que el problema es ms manejable que

en las situaciones de acceso libre, persisten los incentivos para hacer

un uso inadecuado del recurso comn. Cuando un individuo modera

su uso del recurso comn est beneficiando a todo el grupo, no slo a

s mismo. Por eso, los beneficios de su moderacin le corresponden

slo parcialmente a l.Esto conduce a que, si slo se preocupa por su bienestar indivi-

dual, use elrecurso comn por encima del nivel socialmente ptimo.

Anlogamente, cuando un individuo invierte en el cuidado del recur-

so comn, sabe que los frutos de esta inversin se repartirn entretodo el grupo con acceso al recurso. Estos frutos le correspondern

slo parcialmente a l, y por eso invertir en el cuidado del recursomenos tiempo, dinero y esfuerzo del socialmente ptimo.

La solucin terica tradicional al problema anterior se deriva de

comparar el marco que origina el problema con una situacin hipo-

ttica de mercados competitivos que funcionen de manera semejante

al paradigma del modelo neoclsico (vase Baland y Planean, 1996).

De acuerdo con esta ptica, la causa del problema es que los dere-

chos de propiedad no estn bien definidos: cuando una persona talaun rbol, no torna en cuenta todas las consecuencias de esa accin

porque no es la nica propietaria del bosque. Tampoco es el nicopropietario de los ros que pueden sufrir por la deforestacin. Enton-

ces, la solucin es tener derechos de propiedad bien definidos. Esta

solucin se suele formalizar de la siguiente manera:

i) Se calcula la cantidad de apropiacin de un recurso de uso co-

mn cuando existe acceso comn a este recurso.

ii) Se calcula la apropiacin social ptima.

Se comparan las dos soluciones anteriores, y se concluye que hay

apropiacin excesiva cuando existe libre acceso. Finalmente se reali-

za elsiguiente ejercicio:

iii) Se calcula la apropiacin que realizara un propietario nico.

Al comparar ii)con iii)se encuentra que cuando existe un pro-pietario nico, ste realiza la apropiacin a la tasa socialmente pti-

ma. La existencia de un propietario nico generalmente implica laprivatizacin o la expropiacin gubernamental. Sin embargo, estassoluciones no estn exentas de problemas.

Examinemos primero la privatizacin. Podemos pensar en al me-

nos dos objeciones prcticas:


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i) Consideraciones de equidad. En la prctica, la privatizacinconduce a que unos cuantos sean ricos propietarios de los recur-sos que antes eran de uso comn, y a que haya muchos ex propie-

tarios.

ii) Generalmente no todos los recursos que comprende el ecosis-

tema son privatizados. Entonces, persisten algunas externalidades.

Los antiguos propietarios pueden entonces comportarse de una ma-

nera ms individualista, puesto que han perdido cualquier considera-

cin que antes pudieran haber tenido por los recursos de uso comn,

( Baland y Platteau, 1996; Agrawall, 2000).

Qu problemas derivan de la expropiacin gubernamental?Tanto problemas de informacin como de incentivos. Los gobiernos

centrales carecen de toda la informacin con que cuentan los habi-

tantes de la zona en que se ubica el recurso de uso comn acerca de

las caractersticas y problemas de los recursos locales. La comunica-

cin productiva entre ambos puede estar obstaculizada por la falta de

confianza de los usuarios en el gobierno. Adicionalmente, cualquier

estructura burocrtica enfrenta problemas de incentivos e informa-

cin propios, que no se limitan al manejo de los recursos de uso co-

mn, pero que tampoco estn ausentes en este caso.

Existe, sin embargo, otra opcin para manejar los recursos comu-

nes. Es el manejo por parte de las mismas comunidades que partici-

pan en su uso. Esta posibilidad cuenta en su haber con numerosos

ejemplos de manejo razonablemente exitoso.

Es interesante comparar la lgica de funcionamiento de este

tipo de manejo de los recursos comunes en oposicin a la lgicaque explica por qu la privatizacin puede ser eficiente. En el caso

de la privatizacin, ocurre que cuando los recursos de uso comn se

concentran en un solo individuo, este individuo "internaliza" todas

las externalidades que estaban presentes en la propiedad comn.No le conviene sobreexplotar el recurso porque l ser el principalperjudicado. En el caso del manejo de los recursos de uso comnpor una comunidad, en cambio, la interaccin de un mismo grupo

de individuos a lo largo del tiempo es la clave para el xito. Estapermanencia en el tiempo del mismo grupo puede generar incenti-

vos para que todos sus miembros moderen su uso del recurso co-mn. En efecto, cada uno de ellos se da cuenta de que si sobreex-plota el recurso comn el da de hoy, puede provocar que los dems

individuos del grupo sobreexploten el recurso en el futuro. A conti-

nuacin examinamos si estas ideas resisten el anlisis riguroso im-


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plcito en la construccin de un modelo formal y , en caso afirmati-

vo, qu factores pueden facilitar que este manejo exitoso ocurra.

Un tratamiento de teora de juegos

Consideremos una situacin en que hay n individuos que tienen acce-

so a recursos de uso comn. Estos recursos pueden consistir en una

zona de pastoreo, un lago para pescar, o un bosque. Cada individuo

dispone adems de una dotacin de e recursos individuales que pue-

den consistir en el nmero de ovejas que tiene un pastor, el nmero

de botes que tiene un pescador, o el nmero de horas que puede tra-

bajar un comunero. Los recursos individuales producen una rentaque, por sencillez, suponemos que es nicamente monetaria, cuando

se usan conjuntamente ya sea con los recursos de uso comn o con

recursos externos. Entonces, cada individuo puede obtener dinerousando sus recursos individuales i) en la zona comn, que comparte

con los restantes n-1 individuos que tambin tienen acceso a ella, o ii)

en un lugar externo.

Cada unidad dedicada a la zona de uso externo produce r unidades

monetarias, sin importar cuntos recursos individuales lleve el indivi-

duo. En cambio, la produccin por unidad empleada en la zona de uso

comn disminuye a medida que aumenta el total de unidades que se

usan en la zona comn. Si se llevan en total Y unidades a la zona de uso

comn, cada una de estas unidades produce f (Y) unidades monetarias,

donde f decrece en Y. Ms precisamente, suponemos, por sencillez, que

{ 1 Y si O 5 Y 5 1 r

r s i 1 r 5 Y

[1]

Esta funcin nos dice que los recursos individuales son ms pro-

ductivos en la zona comn que en la zona externa cuando la zona co-

mn no est congestionada, pero esto deja de ser as cuando se satu-ra. A medida que se llevan ms ovejas a la zona de pastoreo comn, o

ms botes a pescar al lago de uso comn, las ovejas disponen de me-

nos espacio y los botes pueden pescar menos, hasta llegar a un punto

en que se obtiene lo mismo que en la zona externa.2

2Podramos suponer que f(Y) 1 Y para todo Y z O, de manera que la congestin

en la zona comn pueda ocasionar que los recursos individuales sean incluso menos

f (Y) =


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Si el individuo i lleva y, unidades a la zona de acceso comn y

por lo tanto (e )9 unidades a la zona externa obtendr:

1

y,(1 Y) + (e y,) r si O s Ys 1 r

que podemos escribir como

'=

{ e r si 1 r s Yu

Cuando la zona comn est saturada, el individuo obtiene unacantidad r por cada unidad de dotacin de que disponga. Cuando no

hay saturacin en la zona comn, su ingreso puede aumentar.

El uso ptimo del recurso comn desde el punto de vista social

Si los usuarios del recurso comn lo usan con prudencia, pueden ob-tener un bienestar mayor al que les proporcionaran los recursos ex-

ternos. Encontremos el significado preciso de esto obteniendo el ni-

vel de uso de la zona comn que maximiza el bienestar colectivo. Este

nivel, Y s , soluciona el problema

{[yi + + Yn] [1 Yr] +ner si OsYslr

Maximizando la funcin en el tramo OsYslr tenernos

Max Y (1 Yr ) + ner

una funcin cncava cuya condicin de primer orden podemos escri-bir corno:

productivos en la zona comn que en la externa. Sin embargo, en equilibrio nunca seoperar a un nivel tal que f(Y) < r, porque ningn individuo llevar recursos adiciona-les a la zona comn si le producen menos que en la zona externa. Por eso, este supues-

to alternativo no altera los resultados obtenidos con la funcin que hemos definido enel texto. En cambio, s hace ms compleja la presentacin de los resultados.

=ui y, r + (e y,) r si 1 r sY

y,(1 r Y) + e r si OsYslr[2]

Max [u 1 +....+ u] =ner si 1r sY


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NY

1 - r

n + 1[6]


Y= (1 - r) / 2 que produce una utilidad social mayor a la que seobtiene en el tramo Y^1 + r, por lo que efectivamente el ptimo so-cial es

Ys = (1 - r) / 2 [3]

El nmero de unidades de recurso individual que debera llevar

cada agente -es decir, el nmero de ovejas que debera llevar cadapastor a la zona de pastoreo comn, o el nmero de horas que debe-ra dedicar a la tala de rboles cada comunero- si todos llevaran lamisma cantidad es:

YisO

= (1 - r) / 2n para todo i en N [4]

La utilidad que obtiene cada individuo en el ptimo social es en-tonces

so (1 - r)2u, -

4n

El uso de los recursos en equilibrio

Ahora encontremos cunto se usan los recursos comunes cuando cadaindividuo trata de maximizar su propio ingreso: Encontremos el equi-librio de Nash. Nos limitaremos a considerar equilibrios simtricos.

Cada individuo i en N elige yi que solucione

Max y; f(yi+...+y) + (e - y i ) r,

Supongamos primero que + yi+1+...+y < 1-r. Entoncesde la condicin de primer orden obtenemos

= 1 - Y- r

En un equilibrio simtrico, en que y i = yi para todo par i, j, tene-mos que Y= nde donde:

+ er [5 ]


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[9 ]

[10]

. NN= e

yNN ne

u

NN,=er

de donde

por lo que


por lo que el total de recursos individuales que se llevan en equilibrio

a la zona comn cuando el grupo consta de n personas es:

YN_

n(1 - r)

n + 1

Comparando [3] y [7] encontramos que YN=

soYcuando hay un

propietario nico, pero Y N>Y cuando n ^ 2: un grupo de dos oms personas inducir la sobreexplotacin del recurso comn. La uti-

lidad que obtiene cada individuo es

(1 - r)2u, - +er

(n+1)2

Comparando [4] y [8], obtenemos que tiiN < u, s , es decir, como

consecuencia de la sobreutilizacin del recurso comn, cada indivi-

duo obtiene en el equilibrio de Nash una utilidad menor que la queobtendra bajo un uso ptimo de los recursos.

Hemos obtenido el equilibrio de Nash bajo el supuesto de que y,

+ ...y,_ 1 +s 1- r. Si esto no se cumple, entonces el problemade maximizacin del individuo i en N es elegir y, que solucione

Max er

Dado que las decisiones de los dems han saturado ya la zona co-

mn, la moderacin de un individuo en el uso de esta zona no puede

aumentar la productividad. Desde el punto de vista del individuo i en

N, todas las cantidades le proporcionan entonces la misma utilidad.

Una solucin en particular es llevar todos sus recursos a la zona comn:

[ 7 ]

[8]

Tenemos entonces un segundo equilibrio de Nash en que los nindividuos utilizan al mximo la zona comn. Cada individuo se da


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cuenta de que, puesto que los dems llevarn todos sus recursos indi-viduales a la zona comn, a l le conviene hacer lo mismo. En este se-gundo equilibrio se desaprovecha totalmente la ventaja potencial deposeer los recursos de usocomn, y se obtiene el mismo bienestarque se obtendra si no existieran. El uso de la zona comn es enton-ces an mayor que en el primer equilibrio de Nash, y el bienestar in-dividual es entonces an menor.

Resumimos los principales hallazgos hasta el momento en la si-guiente proposicin.

Proposicin 1. Para todo n a 2, en todo equilibrio de Nash el usode los recursos comunes es excesivo,

(1r) n(1r) yNY8- = + uiN4n (n+1)2

Entonces, si tenemos un propietario nico alcanzaremos el pti-mo social, pero bastar con agregar un individuo ms para provocarun uso excesivo de los recursos comunes.

El juego repetido infinitamente

Condiciones para sostener el ptimo social

Consideremos ahora una situacin en que los n individuos que tie-

nen acceso a los recursos de uso comn saben que estos recursos se-guirn estando reservados para ellos por un periodo de tiempo inde-finido. Debemos modelar entonces una interaccin repetida en lugarde una que ocurre una sola vez. Las decisiones que se tomen hoy po-drn influir sobre las decisiones que se tomarn maana, y esto lo sa-ben los n individuos que intervienen.

El juego que consideraremos ahora consiste en que cada indivi-duo i en N elige yiten el periodo t sin conocer las decisiones de los


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EL PROBLEMA DE LOS RECURSOS DE USO COMN 3 9 1

dems. El conjunto de estas decisiones determina el uso de los recur-

sos comunes Yt as como la utilidad u ir que el individuo i obtiene en el

periodo t. El periodo t + 1 comienza cuando los jugadores han obser-

vado las decisiones de los dems y tienen que volver a decidir cuntos

recursos individuales y;+1 llevarn a la zona comn. El juego se repite

indefinidamente, es decir, por un nmero infinito de periodos. Lautilidad que obtiene el individuo i en N en este juego repetido es

GO

i=r

t=i

siendo ua la utilidad que obtiene el individuo i en el periodo t, defini-

da igual que u; en [2], agregando los subndices pertinentes referidos

al periodo de tiempo de que se hable. Notemos que una estrategiapara un jugador en este juego es ms compleja que en el juego estti-

co. En efecto, una estrategia debe especificar qu hacer al principio

del juego, yu, y qu hacer en un periodo arbitrario t, yit,como fun-

cin de todas las decisiones observadas hasta entonces. Resulta ser

que bajo ciertas condiciones, se puede sostener el ptimo social como

equilibrio perfecto en subjuegos:

Proposicin 2. Supongamos que se cumple la siguiente condicin:

(1-b)(n+ 1+ 2)5 4 [ C.1]

entonces yit=ySO,para todo periodo t, y para todo jugador i en N, sepuede sostener como un equilibrio perfecto en subjuegos.

Antes de probar esta proposicin, reiteremos su enseanza cen-

tral: Aun cuando el bosque o la zona de pastoreo no sean propiedad

de un solo individuo, sino que haya un grupo con acceso a ellos, se al-

canza el ptimo social cuando el grupo interacta por un periodo de

tiempo indefinido -el juego se repite infinitamente- y se cumple lacondicin [C.1].

Prueba de la proposicin 2. Consideremos la siguiente estrategiapara el jugador i en N:

i)jugar yil =ySO,y seguir jugando ya = ySOsi todos los jugadoreshan elegidoySOen todos los periodos previos.


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ii)Jugar = e siempre en caso contrario, es decir, si algn juga-

dor no ha elegido ys en algn periodo previo.

Notemos que si todos los jugadores siguen esta estrategia, el re-

sultado del juego ser que todos los jugadores elegirn ys en todos

los periodos. En efecto, la estrategia anterior nos indica que todos los

jugadores eligen ys en el primer periodo. Como todos eligieron ysen el primer periodo, la primera parte de la estrategia prescrita nos

indica que deben jugar ys nuevamente en el segundo periodo. Engeneral, nadie juega nunca nada distinto de ys porque nadie lo hahecho previamente: al seguir la estrategia recomendada se jugar ys

en todos los periodos.

Comprobemos ahora que la combinacin de estrategias consis-

tente en que todos jueguen la estrategia arriba descrita constituye un

equilibrio perfecto en subjuegos.

Tenemos dos tipos de subjuegos:

i) Subjuegos en que todos han jugado ys en todos los periodosprevios. Analicemos la situacin del jugador i en N.

Si se apega a la estrategia prescrita y elige ys , los dems jugado-

res continuarn eligiendo ys , y el jugador i en N obtendr en cadaperiodo una utilidad

s o (1r)'u; =

4n

es decir, obtendr en el resto del juego

(1r)2 1+ er ]

4n (1-6 )

Si, por el contrario, se desva de la estrategia prescrita, los dems

jugadores llevarn toda su dotacin a partir del siguiente periodo y el ju-

gador i obtendr una utilidad de er en cada uno de esos periodos.Busquemos qu utilidad puede alcanzar el jugador i en el periodo en

que se desva y rompe la historia de acceso ptimo a la zona comn

observada hasta entonces. Puesto que es la primera vez que se obser-

var desviacin alguna de ys , los dems jugadores jugarn (por lti-

ma vez) yr = (1 r) / 2n. Sustituyendo este valor en la funcin de

utilidad del jugador i, tenemos que lo ms que puede obtener el juga-

dor i en el periodo en que se desva viene dado por la solucin al si-

guiente problema:

+ er


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Maxy [(n-1)(1 - r)yZr] + er

2n

que tiene como solucin

d( n +1)(1-r)Y/ - 4nCuando el jugador i toma esa decisin, provoca que el total de re-

cursos privados llevados a la zona comn sea

d (3n- 1)(1 - r)Y =

4n

Sustituyendo estos valores en la funcin de utilidad del jugador i,

encontramos que obtiene

(n +1) 2 (1 - r)2+ er

16n2

en el periodo en que se desva.

Por lo tanto, al jugador i le convendr ms apegarse a la estrate-

gia prescrita que desviarse si y slo si

(1-r)2 1 (n+1)2(1-r)2 er+ er]

4n (1-6 ) Z 16 n 2+1-6

lo cual es equivalente, despus de un poco de lgebra, a

(1-6) (n +1+ 2) s 4 ,

tal como se enuncia en la proposicin 2.

ii)Subjuegos en que algn jugador ha jugado algo distinto ay'

en algn periodo previo. En este tipo de subjuegos, los dems jugado-

res llevarn toda su dotacin de recursos privados siempre. Por lo tan-

to, la zona de acceso comn estar siempre saturada y el jugador i ob-

[12]

[13]

d[14]

[15]


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3 94 ESTUDIOS DEMOGRFICOS Y URBANOS

tendr er en cada uno de los periodos, no importa qu haga. En par-

ticular, obtendr er si lleva todos sus recursos. Por lo tanto, ninguna

desviacin de la estrategia prescrita llevar siempre todos sus recur-

sos puede aumentar su utilidad. Por lo tanto, es ptimo apegarse a la

estrategia prescrita q.e.d.

Discutamos un poco ms las enseanzas de la proposicin 2. Esta

proposicin no slo dice que es posible sostener un nivel ptimo deuso de la zona comn, aun cuando cada individuo se preocupe slo

por su bienestar individual. Tambin menciona dos factores que in-

fluyen en la posibilidad de sostener el nivel ptimo de acceso a lazona comn.

El nmero de jugadores. En efecto, conforme aumentamos elnmero de jugadores, n, el lado izquierdo de C.1, aumenta, por lo

que es ms difcil que se cumpla la desigualdad.

El lapso de tiempo que toma detectar desviaciones. Cuandopasa mucho tiempo desde que un jugador lleva ms de ys() recursos

privados a la zona comn hasta que lo detectan, la duracin de un pe-

riodo aumenta, es decir, se valora la utilidad de ese periodo futuro

que est ms lejano en el tiempo aplicando un factor b menor, el

lado izquierdo de C.1 aumenta, y es ms difcil que se cumpla estacondicin.

Una situacin con pocos individuos y en la que se detecten rpi-

damente desviaciones del ptimo social facilita sostener este ptimo.

En ambos casos los jugadores pierden mucho si usan ms de lo debi-

do los recursos comunes. Respecto al primer factor, cuando hay po-

cos jugadores hay menos individuos entre los cuales distribuir los be-

neficios derivados de respetar el ptimo social. Por eso hay ms que

perder si se destruye la cooperacin. Respecto al segundo factor, los

beneficios de sobreexplotar el recurso comn son pequeos porque

la pronta deteccin de que alguien se ha aprovechado de la modera-

cin de los dems conduce a que el tiempo en que el jugador que se

desva se pueda aprovechar de esta manera sea muy reducido. Muy

pronto se destruye la cooperacin y se satura la zona comn en per-juicio de todos, en particular en perjuicio del jugador que sobreex-plot el recurso comn.

Situaciones en que no se puede alcanzar el ptimo social

Sabemos que cuando se cumple la condicin C.1 es posible moderar

el acceso a la zona comn a tal grado que se puede alcanzar el ptimo


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social. Analicemos ahora qu tanto se puede moderar el acceso a la

zona comn cuando no se cumple C.1.

A continuacin veremos que es posible alcanzar situaciones mejo-

res desde el punto de vista social que el equilibrio de Nash del mo-

delo de un solo periodo.

Proposicin 3. Cuando C.1 no se cumple, es posible sostener un valor

de yisb

que satisfaceso sh N

Y i


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res llevarn toda su dotacin, e, a la zona comn, en todo el resto deljuego. Por eso, lo mejor que puede hacer l es llevar tambin toda sudotacin a la zona comn. Entonces, en este tipo de subjuegos efecti-vamente tenemos un equilibrio de Nash.

ii) Subjuegos en que todos han jugado ym en todos los periodosprevios. Analicemos la situacin del jugador i en N.

Si se apega a la estrategia prescrita y elige ym, los dems jugadores

continuarn eligiendo ym, y el jugador i en N obtendr en cada perio-do una utilidad

uim= y i

m (1-r-nyim) + er

es decir, obtendr en el resto del juego

[y in'(1--r-nyi

m) + er]

1-b

Si, por el contrario, se desva unilateralmente de la estrategiaprescrita, los dems jugadores llevarn toda su dotacin a partir delsiguiente periodo y el jugador i obtendr una utilidad de er en cadauno de esos periodos. En el periodo en que se desva lo mximo que

puede obtener viene dado por la solucin al siguiente problema:

Maxyi [ 1-r -( n-1 )yim

-yi] + er

que tiene como solucin

1- r- (n-1) yimdmYi

2

cuando el jugador i toma esa decisin, provoca que el total de recur-sos privados llevados a la zona comn sea

d (n-1)y,m

+ 1-rYm-

2

Sustituyendo estos valores en la funcin de utilidad del jugador i,encontramos que obtiene:

dm [1 - r- (n- 1) yim]2ui- + er [18]

4

en el periodo en que se desva.

[16]

[17]


18/30

[191

[ C.2]


Por lo tanto, al jugador i le convendr ms apegarse a la estrate-

gia prescrita que desviarse (tendremos un equilibrio de Nash) si y

slo si

[yim (1rnyim) + er] [1r(n-1)yim1 2 er

1-6 4 1-6

es decir

yim(1rnyi

m) [1r(n-1)yimP

^O1 4

En el apndice se muestra que la condicin C.2 implica la exis-

tencia de yisbcon las caractersticas enunciadas: yisb

serel menor va-

lor de yr que satisfaga C.2; q.e.d.

Las enseanzas de la teora de juegos en un contexto ms general

El anterior ejercicio de teora de juegos nos dice que cuando un mis-

mo grupo de individuos tiene acceso por un tiempo indefinido a cier-

tos recursos de uso comn, puede manejar exitosamente estos recur-

sos aun cuando cada individuo se preocupe slo por su propiobienestar. En efecto, consideremos un grupo de individuos que est

usando responsablemente de hecho, ptimamente un recurso co-

mn. Cada individuo se da cuenta de que si sobreexplota el recurso

o si no le da un mantenimiento adecuado puede obtener un bene-

ficio personal en el presente. Pero tambin se da cuenta de que cuan-

do los dems individuos noten esta falta de cooperacin, perdern in-

ters en continuar con su comportamiento cooperativo y esoocasionar que los beneficios personales de cada uno de ellos se re-

duzcan en el futuro. El manejo exitoso por parte del grupo se basaentonces en que cada individuo valore ms los beneficios futuros de-

rivados de un manejo comn responsable, que los beneficios inme-

diatos de la sobreexplotacin. La teora de juegos enfatiza entonceslos incentivos individuales derivados de comparar ganancias presen-

tes y prdidas futuras. Al formalizar estas ideas encontramos que dos

variables que facilitan el xito en el manejo de los recursos comunes


19/30


por parte de los propios usuarios son la existencia de un reducido n-mero de individuos con acceso al recurso y la rapidez en la deteccinde infracciones.

Diversos estudios han mostrado, sin embargo, que existen mu-chas otras variables que tambin son importantes para ver cundo

puede ser exitoso el manejo local de los recursos comunes.

Arun Agrawal (2000) repasa tres colecciones de estudios de ca-sos: los trabajos de de Wade (1988), Ostrom (1990), y Baland y Platteau

(1996). Estos estudios encuentran una amplia gama de factores que

pueden facilitar que los arreglos locales funcionen bien. En estos tres

trabajos, las condiciones enumeradas por los distintos autores se trasla-

pan significativamente, pues, por ejemplo, lo que un autor considera

una condicin aparece como dos condiciones en otro, o lo que unautor considera una condicin est parcialmente incluido en una

condicin de otro autor que en otros sentidos es ms amplia. En con-

secuencia, la lista no es la misma en los tres autores, pero hay mucho

en comn. Agrawall sistematiza estas condiciones y hace una taxonoma

de ellas. Menciona que Wade, Ostrom, y Baland y Platteau identifican

conjuntamente 36 condiciones importantes. Al eliminar las redun-

dancias, uno se queda con 24 condiciones diferentes, que clasifica encuatro conjuntos de variables:3

a) Caractersticas de los recursos. Ejemplo de stos son los lmitesbien definidos del recurso, el tamao reducido.

b)Naturaleza de los grupos que dependen de los recursos. Esto se

refiere al tamao, los diferentes tipos de heterogeneidad, las expe-riencias pasadas, el liderazgo apropiado.

c) Caractersticas de los regmenes institucionales. Ejemplo deesto son las reglas de acceso y de manejo diseadas localmente, el

monitoreo y las sanciones, la adjudicacin y la rendicin de cuentas.

d) Naturaleza de la relacin entre el grupo, las fuerzas externas y

las autoridades, como mercados, estados y tecnologa, por ejemplo:

los gobiernos centrales no deben erosionar a la autoridad local.

Los estudios de caso nos muestran, entonces, que el problema esmuy complejo y depende de muchos factores. Qu tanto nos puede

Agrawal suplementa adems elconjunto de variables anteriores con algunos facto-res a los que no se ha dado suficiente importancia, tales como los niveles de movilidad delrecurso de uso comn, y algunos aspectos de la membresa en el grupo. Propone tambinque en lugar de concentrarse en listas de variables, nos concentremos en configuracio-nes de condiciones que favorecen elmanejo exitoso de los recursos de uso comn.


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ayudar la teora de juegos a explicar por qu son importantes estos

factores?

Algunos de ellos pueden ser explicados, al menos parcialmente,

por las variables encontradas en el juego repetido. Por ejemplo, unrecurso con un tamao reducido y lmites bien definidos facilita la

deteccin rpida de infracciones a un uso moderado. Lo mismo ocu-

rre con un recurso que muestre poca movilidad. En contraste, la de-

teccin de sobreexplotacin de, por ejemplo, un tipo de pez con unagran movilidad ser ms lenta.

Otras condiciones, aunque no se relacionen directamente con las

variables encontradas, pueden ser explicadas, al menos en parte, por

la lgica implcita en los modelos de la teora de juegos: comparacin

de ganancias presentes y prdidas futuras. De hecho, se podran cons-

truir extensiones del modelo arriba presentado que mostraran formal-

mente que esto es as. Por ejemplo, se puede argumentar que una alta

dependencia de los miembros del grupo de los recursos comunes, as

como una alta interdependencia entre los miembros del grupo favore-

cen el manejo exitoso de los recursos de uso comn por parte del gru-

po, porque las dos condiciones aumentan las prdidas que pueden su-

frir los miembros del grupo cuando se abandona la cooperacin. Si los

individuos dependen mucho del recurso arriesgarn ms al sobreex-

plotarlo, y si dependen mucho entre ellos, existirn ms medios para

castigar a quien infrinja el manejo ptimo del recurso comn.

Existen, en cambio, otras condiciones que son importantes para

esclarecer por qu algunos grupos pueden manejar exitosamente re-

cursos de uso comn, y que difcilmente pueden ser explicadas con

herramientas de teora de juegos. Aqu entran condiciones como la

capacidad de liderazgo y la homogeneidad cultural. Estas condicio-nes dependen de factores sociolgicos y psicolgicos y son importan-

tes porque influyen en la dinmica de grupo que se genere y en lafuncin de utilidad misma de los individuos a travs de un cambio de

valores en la comunidad.

Un ejemplo puede ilustrar la relevancia de estos factores. Consis-

te en los experimentos que analizan qu tanto influye la comunica-cin entre los individuos pertenecientes a un grupo comprometido

en el manejo de recursos de uso comn sobre la eficiencia con que se

manejan esos recursos. En estos experimentos se trata de reproducir

situaciones que se asemejen a las que enfrentan los individuos inmer-

sos en un problema de manejo de recursos de uso comn. Se estudia

el comportamiento de los individuos cuando se les impide comuni-


21/30


carne entre ellos y despus, conservando todo lo dems igual, se les

permite comunicarse. Las tecnologas de produccin, las remunera-

ciones monetarias derivadas de usar el recurso de uso comn y el re-

curso externo, y todas las dems condiciones permanecen iguales.

Slo vara la posibilidad o no de comunicarse. Adicionalmente, losexperimentos estn diseados para que esta posibilidad de comunica-

cin no implique la posibilidad de establecer sanciones de ningn

tipo, porque se garantiza que las decisiones de los individuos siemprepermanezcan en elanonimato. Por ejemplo, en estos experimentosun individuo puede expresar verbalmente sus opiniones de cmo de-

beran comportarse todos los miembros del grupo para alcanzar elbien comn, y despus hacer algo totalmente distinto a lo que propu-

so con la seguridad de que no ser detectado.

Describiremos a continuacin dos conjuntos de experimentosque arrojan resultados similares.

En el primero de estos conjuntos de experimentos (Ostrom,Gardner y Walker, 1994), los participantes eran estudiantes universi-

tarios. A cada estudiante se le dotaba con un cierto nmero de fichas,

y se le indicaba que tomara una serie de decisiones sobre cmo usar

esas fichas. Cada estudiante saba que sus decisiones individuales per-

maneceran en el anonimato y que se le pagara al final del experi-

mento de acuerdo con su desempeo. Cada individuo poda usar sus

fichas en i)un proyecto que representaba a la zona externa, y dabaun rendimiento fijo, o ii)un proyecto que representaba el acceso a lazona comn. El rendimiento de las fichas usadas en esta zona depen-

da negativamente de cuntas fichas usara el grupo en su conjuntoen ella.

Los rendimientos de las inversiones fueron calculados de manera

tal que el ptimo social se alcanzara cuando cada individuo usara 4.5

fichas en la zona comn. El equilibrio de Nash, por su parte, se alcan-

zaba cuando cada individuo usaba 8 fichas en la zona comn.' En este

equilibrio hay una sobreexplotacin del recurso comn que se tradu-

ce en un rendimiento menor al ptimo social. Si normalizamos para

que el rendimiento en el ptimo social sea de 100%, entonces en elequilibrio de Nash tenemos un rendimiento de 39 por ciento.

Los experimentos consistan en una serie de rondas de decisio-

" Los individuos saban que el experimento durara menos de dos horas, por loque no se aplican los teoremas referentes a juegos repetidos infinitamente. Todo el ex-perimento completo sigue teniendo un solo equilibrio de Nash.


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nes. En cada ronda, los individuos decidan de manera secreta cmo

distribuir sus fichas entre las dos opciones: la zona externa y la zona

comn. Despus de cada ronda se les comunicaba cuntas fichas ha-

ban sido usadas y qu rendimiento se haba alcanzado en la zona co-

mn. As jugaban un cierto nmero de rondas hasta que se acababa

el experimento y reciban sus pagos en efectivo.

Un primer aspecto a estudiar en estos experimentos es qu tanto

el comportamiento de los individuos se aproxima al equilibrio deNash cuando se prohbe la comunicacin verbal, cara a cara, entre los

participantes. Se realizaron algunos experimentos en que la dotacin

de fichas fue baja (10 fichas por individuo), y otros en que fue alta(25). Los resultados obtenidos fueron los siguientes. En los experi-

mentos con una dotacin baja de fichas se empez haciendo un uso

moderado de la zona comn, que permiti alcanzar un rendimiento

de 52%, que fue reducindose hasta alcanzar entre 37 y 30%, cercano

al equilibrio de Nash del 39%. En los experimentos con dotacin alta,

sin embargo, la sobreexplotacin fue mucho mayor y por tanto losrendimientos en la zona comn mucho menores, sin mostrar conver-

gencia al equilibrio de Nash.

El segundo punto a considerar fue qu pasaba cuando los indivi-

duos podan establecer comunicacin verbal, cara a cara. Esto se estu-

di con dos variantes. Veamos la primera variante. Los individuos re-

cibieron dotaciones altas 25 fichas cada uno y jugaron diez rondas

sin poder comunicarse pero, al finalizar estas diez rondas, se les dio la

oportunidad, por una nica ocasin, de hablar durante diez minutos

sobre el problema que enfrentaban. Despus de este periodo jugaron

otras 22 rondas sin poder comunicarse. Se realizaron tres experimen-

tos de este tipo. El resultado fue el siguiente. En las rondas previas a

la comunicacin se observ un comportamiento similar al de los ex-

perimentos sin comunicacin ya descritos. Durante la comunicacin,

dedicaron el tiempo a tratar de calcular cul sera el uso del recurso

comn que convendra al grupo en su conjunto y a disear arreglos

verbales para alcanzar ese objetivo. En las rondas posteriores a la co-municacin se alcanz una eficiencia mayor a las rondas previas a la

comunicacin, aunque con diferencias importantes entre los distintos

experimentos: en un experimento se alcanz un rendimiento de ms

de 82% casi en todas las rondas, mucho mayor al equilibrio de Nash de

37%. En otro experimento, la comunicacin tuvo un impacto muy re-

ducido, y en un tercero ocasion un incremento a rendimientos de74%, pero que no se pudo sostener.


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La segunda variante para ver cmo afectaba la posibilidad de co-

municacin al comportamiento de los individuos consisti en lo si-guiente. Durante las primeras diez rondas se prohibi la comunica-

cin, y despus de la dcima ronda se permiti comunicacinconstante despus de cada ronda adicional. Es decir, la diferenciacon la primera variante es que ahora la comunicacin permitida no

se limit a un periodo nico despus de la dcima ronda, sino a una

comunicacin permanente despus de cada ronda. Se realizaron va-rios experimentos tanto con dotaciones altas como bajas, obteniendo

los resultados promedio siguientes: despus de la primera comunica-

cin, al terminar la dcima ronda, los rendimientos se elevaron a

97% e incluso ms en rondas posteriores, conservando un nivel deprcticamente 100%. Con dotaciones altas, los resultados promedio

no fueron tan exitosos; sin embargo los rendimientos tambin se in-

crementaron drsticamente a 71% despus de la primera oportuni-

dad para comunicarse, y despus de algunas variaciones, terminando

en 62% para las ltimas rondas.

Entonces, la comunicacin s influye en el comportamiento ob-

servado, y su efecto es ms poderoso cuando se puede realizar conti-

nuamente. Es importante enfatizar que este efecto de la comunica-

cin ocurre pese a que no altera los rendimientos monetarios y nohay posibilidad alguna de comprobar el cumplimiento menos an

de sancionar de los compromisos verbales adquiridos en los perio-

dos de comunicacin.

Describiremos ahora un segundo grupo de experimentos (Crde-

nas, Stranlulnd y Willis (2000). Corno tiene muchos rasgos en comn

con los descritos previamente, nos concentraremos en las novedades.

Los participantes no fueron estudiantes, sino usuarios verdaderos de

recursos de uso comn, habitantes de una zona rural de Colombia

que dependen para su subsistencia de los recursos forestales. Adicio-

nalmente, estaban familiarizados unos con otros antes de la realiza-

cin del experimento.

En estos experimentos los individuos tenan que decidir cunto

tiempo dedicar a extraer recursos de la zona comn el bosque ycunto a trabajar en una actividad externa. Los puntos de referencia

eran los siguientes: el equilibrio ineficiente desde un punto de vista

social de Nash era dedicar seis meses a la zona comn, y a la solu-

cin socialmente ptima un mes.

En una primera fase de los experimentos no se permiti la comu-

nicacin entre los individuos. El tiempo que dedicaron a la zona co-


24/30


mn fue consistentemente alrededor de cuatro meses, un valor inter-

medio entre el equilibrio de Nash seis meses y el valor socialmente

ptimo un mes. Vale la pena enfatizar que el hecho de que los indivi-

duos usaran el recurso comn menos que lo predicho por el equilibrio

de Nash nos indica que estas personas, que se conocan antes de los ex-

perimentos, no mostraron un comportamiento puramente egosta.

En una segunda fase de los experimentos, se permiti a los indivi-

duos establecer comunicacin cara a cara despus de cada rondapero, nuevamente, sin posibilidad de establecer ningn tipo de san-

ciones y se observ una mejora de la eficiencia en el uso del recurso

comn. Esta mejora se deriv de que el nmero de meses dedicados

a la zona comn se redujo de 4.39 a 3.53 meses.

Puesto que los experimentos se hicieron con diferentes grupos

de personas, es posible decir algo sobre cmo las caractersticas del

grupo afectan la importancia de la comunicacin. Se encontr que la

comunicacin tena un efecto ms poderoso en los grupos ms ho-mogneos, en trminos de riqueza: los grupos formados por indivi-

duos con menores diferencias de nivel econmico alcanzaron mayor

eficiencia en las rondas posteriores a la comunicacin que los grupos

integrados por individuos con niveles econmicos ms dispares

Este segundo grupo de experimentos refuerza las conclusiones del

anterior. La posibilidad de establecer comunicacin cara a cara entre

los individuos s tiene una influencia sobre su comportamiento. Au-

menta la eficiencia en el uso de los recursos comunes. Adems, esta co-

municacin es ms poderosa cuando se da entre grupos homogneos.

Para el tema que nos ocupa, el mensaje central de estos dos gru-

pos de experimentos es que hay factores psicolgicos y sociolgicos

que definitivamente influyen en las posibilidades de xito del manejo

de recursos comunes por parte de un grupo local de usuarios. La con-

sideracin de estos factores complementa de manera importante las

aportaciones que puede hacer el anlisis de teora de juegos, elcual

enfatiza que un comportamiento social ptimo puede derivarse decomparaciones individuales de ganancias presentes de infringir un

acuerdo implcito, y prdidas futuras de la fractura de tal acuerdo.Los factores psicolgicos y sociolgicos son importantes porque influ-

yen, entre otras cosas, en la reorientacin de los valores del grupo, la

dinmica de su comportamiento y la aceptacin de objetivos comu-nes. La importancia de estos factores ha sido demostrada por nume-

rosos experimentos, de los cuales hemos mencionado algunos, queestudian el papel de la comunicacin. Estos experimentos muestran


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que la simple posibilidad de establecer comunicacin verbal, cara acara, entre los miembros de la comunidad, afecta su comportamien-

to, aunque no exista la posibilidad de comprobar el cumplimientomenos an de sancionar de los compromisos verbales adquiridos.

Conclusiones

En este artculo hemos presentado un anlisis del problema de los re-

cursos de uso comn desde la perspectiva de la teora de juegos.

Despus de definir las caractersticas que ocasionan que ciertos

recursos sean de uso comn, hemos analizado los incentivos a su so-

breexplotacin y a la subinversin en su cuidado. Hemos argumen-

tado que las soluciones tradicionales de privatizacin o expropiacin

gubernamental no estn exentas de problemas, y que vale la penaconsiderar la alternativa del manejo de los recursos por un grupo de-

li mitado de usuarios locales.

Los distintos arreglos posibles para manejar un recurso deben

proporcionar los incentivos adecuados para evitar su sobreexplota-cin y su eventual destruccin. La privatizacin confa en el hecho de

que un propietario nico tiene incentivos al moderar la explotacin

del recurso porque l sera el principal perjudicado por la sobreex-

plotacin. El manejo de los recursos por parte de un grupo delimita-

do de usuarios locales tambin puede proveer incentivos adecuados

bajo ciertas condiciones. Cuando un mismo grupo de personas es el

nico que puede tener acceso a ciertos recursos durante un tiempo

indefinido, cada individuo se da cuenta de que el beneficio personal

que obtiene de la sobreexplotacin del recurso o de la falta de cui-dado en su uso tiene consecuencias negativas sobre el comporta-

miento del resto del grupo en el futuro. El grupo podr administrar

exitosamente el recurso si cada individuo valora ms los beneficios fu-

turos derivados de un manejo comn responsable que los beneficios

inmediatos de la sobreexplotacin. La teora de juegos enfatiza en-tonces los incentivos individuales derivados de comparar gananciaspresentes y prdidas futuras. Al formalizar estas ideas hemos mostra-

do que bajo ciertas condiciones es posible que un grupo de indivi-duos, preocupado cada uno de ellos slo por su propio bienestar, se

comporte de manera conducente a la obtencin de una situacin p-

ti ma desde un punto de vista social. Hemos encontrado que dos varia-

bles que facilitan este manejo exitoso de los recursos comunes por


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parte de los propios usuarios son la existencia de un reducido nme-

ro de individuos con acceso al recurso y la rapidez en la deteccin de

infracciones. Esta comparacin de ganancias presentes y prdidas fu-

turas tambin contribuye a explicar por qu otras variables, como la

falta de movilidad del recurso comn, o una alta interdependencia

entre los miembros del grupo, son importantes en el xito de la pro-

piedad comn. Hemos insistido, sin embargo, en que existen otras

condiciones que tambin son importantes y difcilmente pueden serexplicadas con la teora de juegos. Estas condiciones dependen defactores sociolgicos y psicolgicos y son importantes porque influ-

yen en la dinmica de grupo que se genere y en los objetivos mismos

que persigan los miembros del grupo a travs de un cambio de valo-

res de la comunidad.

Apndice

La condicin C.2 es equivalente, despus de un poco de lgebra, a

1;(ym,

n, O [20]

donde

F(y,m, n,b)= -[4n + (1 - )(n- 1) 2 ] (y7m ) 2 + [4((1 - r) + 2(1 -

(1-r)(n-1)1ym -(1- .5)(1- r)2 O

Tenemos que:

i)F es una funcin cncava en y im:

a2

F (y ,m

,

n,b)

a (.), in I)2-8n-2(1-b)(n- 1)2< 0

F (y iN

,n, ) > 0, es decir, yi

Nse puede sostener como un equi-

librio perfecto en subjuegos. Para ver que esta desigualdad se cumple,

es ms fcil recurrir a la condicin (equivalente) C.2 que se convier-

te, al sustituir

m N1ry

- -

n + 1


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n(1 - r) (n-1)(1 -r)) (1 r )2

(n - 1) (n + 1)

(n+ 1)(1- 6) 4

que es equivalente, como se ve despus de un poco de lgebra, a 6< Liii) Cuando C.1 no se cumple, F(y

n,

o) 0,

ay .rn

pues esta ltima derivada es igual a

en

(1 - r)(1r-

aF (y n,6)

6zm

- -2y,'[4n+ (1-6)(n-1)2J+ 4(1 -r) +2(1-(5)(1 -r) (n-1)

que, al substituir

so 1- ry

i=2n

y efectuar un poco de lgebra, se comprueba que tiene el mismo sig-no que (3n-1) y es, por tanto, positiva.

De los hechos i)a iii) se sigue inmediatamente que cuando C.1no se cumple, la y; ms pequea que se puede sostener como equili-

brio perfecto en subjuegos, yisb,esla menor de las races de C.3 y sa-tisface

yiso < yisb 0ay

im

Puesto queyisbest definido como la menor de las races deF(y isb

,

n,6 ) =O, para ver cmo vara yisb

con n y6, aplicamos el teorema de


28/30


la funcin implcita. Tenemos que yisb

queda implcitamente defini-

do como una funcin de n yS,y que, puesto que cuando

y 1 ,sb

Mn'o),

(3Y 1m

>0

podemos ver cmo vara yisbcon n ySaveriguando el signo de la deri-

vada de F respecto a n y S.

Tenemos que

-[4+2(n-1)(1-6 )1(y :7 ' ) 2+2(1-6 )(1-r)ym

tiene el mismo signo que

-[4+2(n-1)(1-6 )] yim+2(1-6 )(1-r)

expresin que, despus de un poco de lgebra, se puede mostrar quees negativa si y slo si

2(1-6 ) (1-r)

4+2(1-6 ) (n-1)Cyi

lo cual afirmamos que se cumple cuando yini= yi

sb.

Para ver por qu,notemos que

2(1-6)(1-r) < 1-r

4-i-2(1-6)(n-1) 2n

La segunda desigualdad se ha probado ms arriba. Respecto a la

primera, es equivalente a

4n(1-6 ) < 4+2(1-6 ) (n-1)

que a su vez se puede escribir como

(1-6) >2

aF(y in, n, (5 )

an

sb,

i

n + 1


29/30


que se cumple porque

(1-6) >4 21

n++2n

n+ 1

donde la primera desigualdad es la negacin de C.1, y la segunda esequivalente a n 2 > 1, que se cumple para n a 2 .

Finalmente, tenemos que para valores de yim , n yStales que

F(yr, n, S) =O se cumple que

Para ver por qu, notemos que F(yr, n, 8) = O si y slo si C. 2 se

cumple con igualdad. Pero, puesto que el lado izquierdo de C.2 escreciente en S, F lo es tambin necesariamente.

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El Problema de Los Recursos de Uso Comun

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