El problema de autovalores

El problema de autovaloresIntroduccin. Los modos de oscilacin fsicamente darn al igual que los modos naturales de oscilacin de una cuerda, las frecuencias posibles de oscilacin del sistema cuando ste se perturba por un agente externo. Dependiendo del tipo de perturbacin y el lugar en que esta se produzca, se excitarn diferentes modos de oscilacin del sistema, al igual que en el caso de una cuerda, por ejemplo una cuerda que est fija por sus dos extremos, si se perturba por un punto cercano a un vientre de un modo natural de oscilacin este modo sera el que ms se refuerza en las oscilaciones del sistema. De manera que la respuesta del sistema fsico sea cual fuere siempre sera una combinacin de los diferentes modos naturales de oscilacin del sistema. Si se hace un estudio del SEP de todos los modos normales de oscilacin del mismo alrededor de un rgimen determinado y se asegura que todos los modos normales de oscilacin tengan suficiente amortiguamiento, entonces la respuesta final del sistema para cualquier perturbacin deber ser estable.

Conceptos bsicos. Un escalar es un autovalor de una matriz A (cuadrada), nxn si existe un vector columna v, nx1 tal que

(1)

donde v (vector columna) es el correspondiente autovector derecho. Si existe un vector no cero tal que (2)

entonces (vector fila) es el autovector izquierdo.Al conjunto de todos los autovalores se le denomina espectro de A. Normalmente el trmino autovector se le denomina al autovector derecho a menos que se aclare lo contrario.

La ecuacin (1) se puede escribir de la forma

(3)

y por tanto es un sistema de ecuaciones homogneas de v. Este sistema tiene una solucin no trivial solamente si el determinante

(4)

A la ecuacin que se obtiene del determinante se le denomina ecuacin caracterstica de A y es un polinomio de grado n en Por tanto hay n races (reales o complejas) de la ecuacin caracterstica. Cada una de estas races es un autovalor de A. A cada autovalor se le denomina tambin modo.Factor de participacin. En el anlisis de sistemas de potencia algunas veces es deseable o necesario conocer el impacto que un estado (variable) tiene sobre un modo (autovalor) determinado. El mtodo de determinar cual estado participa significativamente en un modo es calculando el factor de participacin. Una expresin comn del factor de participacin es:

(5)

: es el k simo elemento del autovector izquierdo asociado al autovalor

: es el k simo elemento del autovector derecho asociado al autovalor

Frecuentemente los factores de participacin son normalizados de modo que

El Matlab tiene el comando eig que permite calcular los autovalores y autovectores derechos de una matriz cuadrada.Con el conjunto de autovectores derechos que se obtiene del conjunto de autovalores de una matriz A, se puede formar lo que se denomina matriz modal de los autovectores derechos, invirtiendo esa matriz se obtiene la matriz modal de los autovectores izquierdos. Ejemplos. a) Encontrar los autovalores y autovectores

De acuerdo con la ecuacin (1)

Si

Para

2x+y=x

x+y=0

x+2y=y x+y=0Es decir x=-y. Si suponemos x=1 entonces y=-1, y es una solucin

Para

2x+y=3x -x+y=0

x+2y=3y x-y=0

Es decir x=y. Si suponemos x=1, entonces y=1; y

La matriz de los autovectores derechos es entonces , puede ser cualquier otro valor de acuerdo con la condicin x =-y x =yAplicando el comando eig del Matlab

[v Lambda]=eig(A)

v = [-0.7071 0.7071

0.7071 0.7071]

Lambda = [1 0

0 3]

El autovector izquierdo es

w=inv(v)

w = [-0.7071 0.7071

0.7071 0.7071]b) Encontrar los autovalores y autovectores de la matriz

=0Resolviendo el determinante se obtiene el polinomio caracterstico

Las races de ese polinomio se pueden obtener aplicando el comando roots del Matlab

c= [-1 6 19 -124]

= roots ( c) [-4.4671

5.2336 + 0.6066i

5.2336 - 0.6066i]

Como el polinomio es de tercer orden se obtienen tres autovalores. Si se aplica el comando eig a la matriz A se obtiene[v Lambda]=eig(A)

v=[0.4877 -0.6649 - 0.0154i -0.6649 + 0.0154i

-0.8613 -0.7379 -0.7379

-0.1425 0.0182 - 0.1133i 0.0182 + 0.1133i]

Lambda= [-4.4671 0 0

0 5.2336 + 0.6066i 0

0 0 5.2336 - 0.6066i]

Como se observa un autovalor es un nmero real y los otros dos son complejos (par conjugado). A cada autovalor corresponde un autovector. Al tener 3 autovalores se obtienen tres autovectores formando una matriz v de tres filas y tres columnas. La matriz de autovectores izquierdos se obtiene invirtiendo la matriz v. w=[ 0.7776 -0.7033 + 0.0000i -0.1057 - 0.0000i

-0.4538 + 0.5621i -0.2672 - 0.3993i 0.0617 + 4.3375i

-0.4538 - 0.5621i -0.2672 + 0.3993i 0.0617 - 4.3375i]

Estos autovectores derecho e izquierdo no estn normalizados, para lo cual cada elemento de cada columna de la matriz de los autovectores derechos se divide por el mayor elemento (valor absoluto) de cada columna. Al invertir la matriz de autovectores derechos normalizados la matriz de los autovectores izquierdos queda normalizado.

vnormalizado = [ 0.5662 -0.9011 - 0.0209i -0.9011 + 0.0209i

-1.0000 -1.0000 -1.0000

-0.1654 0.0247 - 0.1535i 0.0247 + 0.1535i]

wnormalizado=[ 0.6697 + 0.0000i -0.6057 - 0.0000i -0.0910 + 0.0000i

-0.3349 + 0.4146i -0.1971 - 0.2947i 0.0455 + 3.2000i

-0.3349 - 0.4146i -0.1971 + 0.2947i 0.0455 - 3.2000i]

Clculo del factor de participacin

p=wnormalizado x vnormalizado

p = 0.9999 -0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0002i 0.9999 + 0.0002i 0.0001 + 0.0001i

-0.0000 - 0.0002i 0.0001 - 0.0001i 0.9999 - 0.0002ip=vnormalizado x wnormalizado

1.0001 -0.0001 0.0002 Variable 10.0001 0.9999 0 variable 2-0.0000 -0.0000 0.9997 Variable 3Estos valores de los factores de participacin indican que la variable 1 (p=1.000) es la de mayor incidencia en el autovalor 1, la variable 2 (p=0.9999) sobre el autovalor 2 y la variable 3 (p=0.9997) sobre el autovalor 3.Los autovalores y la estabilidad del voltaje. Para el criterio de la estabilidad de voltaje se determinan los autovalores de la matriz Jacobiana Reducida y se establecen los siguientes criterios.

Autovalor positivo. El sistema es estable. A medida que el autovalor es ms pequeo, ms prxima est de volverse inestable el voltaje modal isimo. El valor del autovalor puede representar una medida relativa de la proximidad a la inestabilidad.

Autovalor negativo. El sistema es inestable de voltaje.

Autovalor cero. El voltaje modal isimo colapsa ya que cualquier cambio de la potencia reactiva modal origina un cambio infinito en el voltaje modal.

Los autovalores y la estabilidad ante pequeas seales. Para el criterio de la estabilidad ante pequeas seales se determinan los autovalores de la matriz de estado.

Un autovalor real positivo indica un comportamiento exponencialmente creciente. Inestable Un autovalor real negativo indica un comportamiento exponencialmente decreciente. Estable Un autovalor complejo de parte real positiva indica un comportamiento oscilatoriamente creciente.

Un autovalor complejo de parte real negativa indica un comportamiento oscilatoriamente decreciente.

El factor de participacin mide la participacin de la variable j-sima (variable de estado) en el modo i-simo: Autovector derecho. Muestra la distribucin de los modos (autovalores) a travs de las variables de estado. Como los modos muestran el comportamiento de la variable de estado en el tiempo. Tambin da la forma del modo.Autovector izquierdo. Conjuntamente con las condiciones iniciales de las variables de estado del vector de estado del sistema determina la magnitud de los modos.

Factor de participacin (FP). Es til para identificar cual de las variables de estado tiene ms influencia sobre el modo (autovalor).

Es la forma prctica de observar la influencia modo-variable y viceversa. Ayuda a identificar los problemas locales.

Oscilaciones del ngulo del rotor de una planta respecto al resto del sistema Oscilaciones entre los rotores de plantas cercanas, tambin llamada oscilaciones interplantas.

Ayuda a identificar los problemas globales

Oscilaciones entre grupo de generadores de un rea contra grupos de generadores de otra rea.

Ayuda a identificar

El valor absoluto del FP muestra las mquinas que estn involucradas con modo en particular.

Revela las mquinas que estn fuera de paso para cualquier modo o modos

Algunas veces permiten identificar aquellas reas donde cualquier modo tiene mayor influencia.

El FP es un concepto muy importante porque ayuda a idenrificar los problemas de pequeas seales en grandes sistemas

Ejemplo

Dada la ecuacin de estado

La matriz de los coeficientes de las variables de estado es

Aplicando el comando eig del Matlab se pueden obtener los autovalores (modos) y el autovector derecho de la matriz A

AutovaloresLambda = 0.00 +13.41i 0 0 0

0 0.00 -13.41i 0 0

0 0 0.00 + 8.80i 0

0 0 0 0.00 - 8.8069iAutovector derecho

V =

0.0000 - 0.0459i 0.0000 + 0.0459i 0.0000 + 0.1030i 0.0000 - 0.1030i

-0.0000 - 0.0585i -0.0000 + 0.0585i 0.0000 - 0.0459i 0.0000 + 0.0459i

0.6154 + 0.0000i 0.6154 - 0.0000i -0.9075 -0.9075

0.7847 0.7847 0.4046 - 0.0000i 0.4046 + 0.0000iAutovector derecho normalizado

Vnor = 0.0585 0.0585 0.1135 0.1135

0.0745 0.0745 0.0506 0.0506

0.7842 0.7842 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 0.4459 0.4459Autovector izquierdo

L=inv(V)

L =

0.0000 + 2.8240i 0.0000 + 6.3339i 0.2105 - 0.0000i 0.4721 - 0.0000i

0.0000 - 2.8240i 0.0000 - 6.3339i 0.2105 + 0.0000i 0.4721 + 0.0000i

-0.0000 - 3.5952i -0.0000 + 2.8194i -0.4082 + 0.0000i 0.3201 + 0.0000i

-0.0000 + 3.5952i -0.0000 - 2.8194i -0.4082 - 0.0000i 0.3201 - 0.0000iAutovector izquierdo normalizado

Lnor =

0.7855 1.0000 0.5157 1.0000

0.7855 1.0000 0.5157 1.0000

1.0000 0.4451 1.0001 0.6781

1.0000 0.4451 1.0001 0.6781

Factor de participacinFP=Vnor*Lnor

FP =

0.3189 0.2180 0.2874 0.2709

0.2184 0.1941 0.1781 0.2177

3.2320 2.4587 2.8089 2.9247

2.4628 2.3970 1.9231 2.6047PAGE 6

_1324030687.unknown

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