El prisma dispersor como elemento de análisis

espectralMéxico, D.F. a 23 de Septiembre del 2013

Francisco Hernandez Alejandre, Guillermo Xchell Calva García, Miguel Angel Ramos Castro, Manuel

Eduardo de la Cruz Hernandez.

Facultad de ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Coyoacán,

04510, México D.F.

ResumenEsta práctica consistió en estudiar las propiedades del prisma dispersor, se dividió en dos partes, la primera de ellas consistió en el estudio del prisma como elemento de dispersión espectral; para esto con ayuda de un espectrómetro se determinó el ángulo del vértice principal del prisma (ángulo refrigerante) y el ángulo de desviación mínima para las líneas del espectro del cadmio, con estos datos se obtuvo el índice de refracción del prisma utilizado de 4 líneas espectrales. En la segunda parte con ayuda de los resultados obtenidos anteriormente se obtuvieron los coeficientes A y B de la fórmula de Cauchy y además de cálculo la longitud de onda de una fuente monocromática (laser) y el índice de refracción del prisma asociado a esta.

AbstractThis experiment consisted in the study of dispersion of light caused by a prism. It is divided into two parts: Firstable, a study of a prism as an element of spectral light dispersion, using an spectrometer, the principal vertice angle was determined and minimum desviation angle was measured for spectrum lines in Cd, with this measurements we got an index refraction for the prism by using four spectral line. In the second part, we applied Cauchy’s formula and wavelength was determinated as well as prism refraction index.

IntroducciónUn vasto campo de áreas de la física, química, biología molecular y astrofísica por mencionar algunas, basan mucho de sus investigaciones científicas en el análisis espectral. Newton fue el primero en desplegar un espectro solar utilizando un prisma de vidrio. Después del descubrimiento de descargas eléctricas a través de gases, investigadores observaron que la luz emitida formaba bandas oscuras y brillantes, dicho fenómeno ha sido estudiado en el ámbito de la física moderna. En 1890 investigadores alemanes midieron la energía de la luz contra la longitud de onda (i.e. el espectro). En 1905 habiendo estudiado los trabajos de Planck, Einstein propuso que la luz no consiste en ondas continuas sino de quantum de energía, los cuales están dados como E=hν. Existen tres procesos

básicos por medio del cual una molécula puede absorber radiación, llevándola a niveles excitados de energía donde el incremento en la energía es igual a la radiación absorbida, los cuales son: transición rotacional, transición vibracional y transición electrónica, este último se refiere al caso en el que un átomo o molécula absorbe energía y entonces, los electrones de un estado base pasan a un nivel de energía excitada para posteriormente liberar la energía en forma de radiación electromagnética (luz), esta diferencia de energía ΔE está relacionada a la longitud de onda por [1]:

ΔE=hcλ

1

Ecuación 1.

Diferencia de energía.

De donde h es la constante de Planck, c la velocidad de la luz en el vacío y λ es la longitud de onda.

Hoy en día se utilizan diversos instrumentos para realizar estudios espectrales de absorción, emisión y/o transmisión de la luz por un material, en nuestro caso se utilizara el espectrómetro (figura 1).[1]

El espectrómetro, es un aparato capaz de analizar el espectro de frecuencias característico de un movimiento ondulatorio. Se aplica a variados instrumentos que operan sobre un amplio campo de longitudes de onda.

Es un instrumento que sirve para medir las propiedades de la luz en una determinada porción del espectro electromagnético. La variable que se mide generalmente es la intensidad luminosa pero se puede medir también el estado de polarización electromagnética, por ejemplo. La variable independiente suele ser la longitud de onda de luz, generalmente expresada en submúltiplos del metro, aunque alguna vez pueda ser expresada en cualquier unidad directamente proporcional a la energía del fotón, como la frecuencia o los electrón-

voltios, que mantienen un relación inversa con la longitud de onda. Se utilizan espectrómetros en espectroscopia para producir líneas espectrales y medir sus longitudes de onda e intensidades.

En este caso se utilizó un espectrómetro como el mostrado por la figura 1, en el centro de la mesa giratoria se colocó un prisma como elemento

dispersor para realizar el análisis del espectro del cadmio.

Se puede observar en la figura 2; se define un prisma como dos superficies planas de separación entre dos medios que forman un ángulo α .

Se quiere obtener el ángulo de desviación δ entre la dirección del rayo de entrada y el rayo de salida; aplicando la geometría queda que:

α=θi1+θi2

δ=θi1-θr 1+θ r2−θi2=θ i1+θ r2−α

Si se aplica la ley de Snell a cada cara queda lo siguiente:

2

Figura 2. Prisma [2]

Figura 1. Espectrómetro.

θr 2=sen−1 (nsenθi2 )¿ sen−1 [nsen (α−θr1 ) ]

¿ sen−1(nsenαcosθ r1−ncosαsenθ r1)Además por Snell y trigonometría:

senθr1=senθi1n

cosθ r1=√1−sen2θi1/n2

Por lo tanto:δ=θi1−α+sen

−1[senα√n2−sen2θi1−cosαsenθ i1]De la cual se quiere saber cuándo es

mínima.

Se sabe que para calcular un mínimo se debe encontrar la derivada y realizar un proceso tedioso, pero con física se puede encontrar el mínimo, si se aplica reversibilidad se invierten todas las flechas de los rayos y se obtendrá un proceso que satisface la ley de Snell. A esto se le llama Refracción de ida o de regreso.

Se observa que hay un único mínimo que debe ocurrir cuando:

θi1=θ r2Y por lo tanto:

θr 1=α2; δmin=2θi1−α

Aplicando Snell a una cara y resolviendo para n se obtiene que:

n=senθi1senθr 1

=sen

δmin+α2

senα2

O t r a f o r m a d e d e t e r m i n a r e l í n d i c e

de refracción de una sustancia transparente es la ecuación de Cauchy la cual es una formula empírica bastante exacta que nos relaciona la longitud de onda con unas constantes.

n( λ)=A+ Bλ2

+ Cλ4

+…

La ecuación 3 no es válida cuando la región del espectro que se considera tiene bandas de absorción, pero se cumple bien para las sustancias transparentes más comunes como el vidrio, cuarzo, etc., iluminadas con luz visible. Por lo general basta con tomar los dos primeros sumandos, de modo que:

n≈ A+ Bλ2

Si se conocen dos índices de refracción n1 y n2 para dos longitudes de onda λ1 y λ2 respectivamente se obtiene:

n1≈ A+ Bλ12

y

n2≈ A+ Bλ22

Resolviendo para A y B se encuentra que:

A=n1 λ1

2−n2 λ22

λ12−λ2

2

B=λ22 λ1

2(n2−n1)λ12−λ2

2

Los objetivos buscados para esta práctica fueron:

- Con un espectroscopio determinar el ángulo del vértice principal del prisma y el ángulo de desviación mínima para las diferentes líneas del espectro del cadmio.

- Con los datos de al menos cuatro líneas espectrales y con ayuda de tablas que contengan las longitudes de onda de estas determinar el índice de refracción del prisma para cada una de ellas.

3

Ecuación 2. Relación del ángulo de

desviación mínima y el índice de

refracción de un prisma.

Ecuación 3. Formula de Cauchy.

Ecuaciones 4 y 5. Coeficientes de

la fórmula de Cauchy.

- Con los datos obtenidos determinar los coeficientes A y B de la fórmula de Cauchy.

- En base a lo aprendido determinar la longitud de onda de una fuente monocromática (laser) y el índice de refracción del prisma asociada a esta.

Desarrollo experimentalMaterial.-

- Espectrómetro- Prisma dispersor- Lámpara de cadmio- Pantalla- Mesa elevadora - Nivel- Pedazo de cartulina negra de

5x9cm (con una ranura en el centro de 2-3mm de ancho por 3cm de largo)

- Vernier (incertidumbre ±0.05mm) y/o Flexometro (±0.5mm)

- Cinta doble cara para adherir el prisma en la plataforma circular

Procedimiento.-Se procedió primeramente a alinear el espectrómetro cuidando mucho esta parte de tal manera que tanto el colimador, la plataforma circular y el telescopio de alineen y queden a 0 y 180. Una vez realizado esto se colocó el prisma cuidando que el vértice del ángulo principal quedara en el centro de la plataforma (1 o 2mm delante del centro). Una vez realizado esto con ayuda de la fuente de luz de Cd procedemos a determinar el ángulo refrigerante con ayuda del método de triangulación, después con las líneas del espectro determinamos el ángulo de desviación mínima para cuatro líneas.

4

Figura 3. Montaje experimental.

Figura 4. Montaje de la lámpara de

Cd

ResultadosSe realizaron las mediciones para los siguientes casos; rojo (692nm), verde (509nm), verde-azul (480nm) y amarillo-morado (468nm) y se obtuvieron los siguientes resultados:

Cuyos promedios se obtuvieron y queda que αprom=64.5±3.5531676° y δprom=70.6±27.7812887° con α el ángulo principal del prisma y δ la dispersión mínima.

Entonces aplicando la ecuación 2 para cada uno de los datos nos queda la siguiente tabla:

Cuyo promedio es nprom=-0.17010702 ±0.880712237.

Para la línea del espectro verde se obtuvo lo siguiente:

Cuyos promedios quedan; αprom=68.5±3.36154726° y δprom=56.2±5.47265832°.

Aplicando la ecuación 2 para cada uno de los datos y se obtuvo la siguiente tabla de los índices de refracción:

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Figura 5. Espectro de la luz del Cd.

Tabla 1. Datos obtenidos para el

espectro rojo

Tabla 2. Índices de refracción para

la línea del espectro roja.

Tabla 3. Datos obtenidos para la

línea del espectro verde

α ±3.5531676°δ±27.7812887°

64 119.569.5 5064.5 62.5

65 61.559.5 59.5

n±0.880712237

-1.088539130.31210548

0.8364437980.459419983-0.18997358-1.35009868

α±3.36154726° δ±5.47265932°

64.5 60.567 63

73.5 49.567.5 53.569.5 54.5

Cuyo promedio queda nprom=0.51955241

Para la línea del espectro verde-azul,

se obtuvieron los siguientes datos:

Y cuyos promedios son; αprom=68.71428571

A p l i c a n d o l a e c u a c i ó n 2 p a r a c a d a

uno de los datos obtenidos nos queda la siguiente tabla con los índices de refracción:

Curo promedio está dado por nprom=-0.92623891±1.23330468.

Y por último para la línea del espectro azul-morado obtuvimos los siguientes datos:

Cuyos promedios son; αprom=58.3571429

Aplicando la ecuación 2 a estos datos se obtiene la siguiente tabla con los índices de refracción:

Cuyo promedio es; nprom=3.8645014±9.58188415.

Para la segunda parte de la práctica se determinaran los coeficientes de la fórmula de Cauchy, para esto realizaremos primero la siguiente tabla:

6

Tabla 4. Índices de refracción para

los datos obtenidos para la línea

verde del espectro.

Tabla 5. Datos obtenidos para la

línea verde-azul del espectro.

Tabla 6. Índices de refracción para

la línea del espectro verde-azul

Tabla 7. Datos obtenidos para la

línea azul-morada

Tabla 8. Índices de refracción para

los datos obtenidos de la línea del

espectro azul-morado.

n±1.9462169-0.43986344

0.94913411.19521509-1.00212183.86409846

-1.44914797α±4.759701871°

δ±3.90207515°

69 56.575 5175 51.565 6267 57

67.5 5962.5 56

n±1.23330468

-1.42225235-0.84609058-2.05293326

0.7009313-0.848521130.56197357

-2.58027994

α±4.20034012°

δ±9.67753904°

61 55.566 54.560 58.5

56.5 70.555.5 74.5

55 7554.5 75.5

n±9.58188415

-1.25010494-0.53101234-0.4313374725.46217581.65155498

1.18246760.96776619

Graficando ʎ vs n(ʎ) obtenemos lo siguiente:

Y graficando 1/ʎ^2 vs n(ʎ) obtenemos la gráfica:

0.000001 0.000002 0.000003 0.000004 0.000005-20246

f(x) = 808257.402514972 x − 2.18205094775795R² = 0.185370581327024

1/ʎ^2 vs n(ʎ)

1/ʎ^2

n(ʎ)

De las ecuaciones de las gráficas 1 y 2

nos queda que y=4.9922 y x=8.8762x10-6

los cuales corresponden a los coeficientes B y A de la ecuación de Cauchy.

ConclusionesEstá claro que las mediciones realizadas se realizaron de mal manera debido a los altos errores obtenidos, por ejemplo para la línea del espectro roja se obtuvo un error en el Angulo de desviación mínima de ±27.7812887° y en el ángulo del vértice principal ±3.55° estos errores de medición tan grandes contribuyeron a que se obtuvieran índices de refracción negativos que si bien tienen un significado físico, esto solo ocurre cuando el material tiene una permitividad negativa, lo cual es obvio que no sucedía con el prisma utilizado, en general las mediciones fueron malas como se puede observar en las tablas con incertidumbres bastante grandes (ver tablas 1,3,5,7) así que los resultados obtenidos distan mucho de lo que puede ser la realidad.

En la segunda parte de la práctica el cálculo de los coeficientes de Cauchy se realizó de forma minuciosa, pero como se utilizaron los datos obtenidos anteriormente para calcularlos es poco probable que estos resultados

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Tabla 9.Determinación de los

coeficientes

450 500 550 600 650 700 750-2-1012345

f(x) = − 0.0077668413635498 x + 4.99216052256713R² = 0.148540837508024

ʎ vs.n(ʎ)

n(ʎ)

ʎ

Grafica 1. ʎ vs n(ʎ)

Grafica 2. 1/ ʎ^2 vs. n(ʎ)

ʎ(nm) n(ʎ) 1/ʎ^2

692-0.17010702 ±0.880712237

2.08828E-06

5090.51955241±1.94622169 3.8598E-06

480

-0.92623891±1.23330468

4.34028E-06

4683.8645014±9.58188415

4.56571E-06

(A=8.8762x10-6 y B=4.9922) sean buenos, además de la dispersión observada en las gráficas 1 y 2.

Se cumplieron los objetivos para la segunda parte de la práctica, en cuanto a la primera si bien el tratamiento de los datos se realizó correctamente debemos tomar en cuenta que las mediciones se realizaron sin la minuciosidad requerida.

Bibliografía[1] Notas de la práctica profesor Antonio Alfonso Rodríguez Rosales[2] Notas entregadas clase de óptica profesor José Ignacio Jiménez Mier y Terán

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