EL PENSAMIENTO MATEMTICO EN LOS NIOS: LOS NMEROS Y LAS OPERACIONESArthur J. Baroody y Amanda R. JohnsonUniversidad de Illinois en Urbana-ChampaignKelly S. MixMichigan State University3/22/06Ponencia presentada en el Congreso Internacional "La lgico matemtica en educacin infantil" organizado porla Asociacin Mundial de Educadores Infantiles, Madrid, Espaa, Abril de 2006.La preparacin de esta ponencia ha sido apoyada, en parte, por una subvencin dela Fundacin Nacional parala Ciencia (BCS-0111829) y porla Fundacin Spencer (200400033). Las opiniones expresadas en este texto son exclusivamente las de los autores y no reflejan necesariamente la posicin, poltica o apoyo dela Fundacin Nacional parala Ciencia ola Fundacin Spencer.Puntos de vista que cambianDurante el siglo veinte, los psiclogos llegaron a conclusiones dramticamente distintas sobre:1. La naturaleza de la competencia matemtica de los nios pequeos (es decir, los conocimientos informales sobre matemticas que ya tenan los preescolares) y2. Su base (es decir, que papel juega el lenguaje en el desarrollo de los conceptos).1. Cambios en la visin convencional sobre lanaturalezade los conocimientos informales de los preescolares.Como si se tratara de un pndulo, la visin convencional de las competencias numricas y aritmticas de los nios pequeos ha oscilado desde ser extremadamente pesimista hasta ser extremadamente optimista y de nuevo hasta el punto intermedio.a. Puntos de vista pesimistas.Durante casi todo el siglo, los psiclogos han tenido una visin pesimista y se han centrado en lo que los nios no pueden hacer. William James (1890)La percepcin de los nios sobre el mundo = una gran y creciente confusin. Edward L. Thorndike (1922)Los nios pequeos son tan matemticamente ineptos que "se gana muy poco trabajando la aritmtica con ellos antes del 2 grado, aunque hay muchos hechos aritmticos que los nios pueden memorizar en el primer grado (p.198)". Jean Piaget (1965)Los puntos de vista relativamente pesimistas de Piaget sobre las habilidades y capacidades de los nios pequeos tuvieron el efecto de limitar las expectativas sobre lo que podan aprender y lo que se les poda ensear. Por ejemplo, el crea que los preescolares estaban en la etapa pre-operativa y que eran incapaces de pensar lgica y sistemticamente o de construir conceptos abstractos (por ejemplo, el verdadero concepto de nmero o la comprensin de la aritmtica).Las visiones pesimistas de los tericos sociales reforz el enfoqueminimalistade la enseanza de las matemticas en la infancia temprana.Por ejemplo, en sus respuestas a la encuesta sobre prcticas de instruccin de Juanita Copley (Universidad de Houston, 2004), algunos educadores infantiles contestaron cosas como:"No hago matemticas""Los nios pequeos no deberan hacer matemticas...no es apropiado".Hasta hace poco, estas respuestas reflejaban la actitud ms comn en nuestra cultura sobre la enseanza de las matemticas a los nios en edad preescolar. Adems de, tal vez, hacer que los nios memorizaran la secuencia de conteo, los nombres de los nmeros escritos, como el tres y el cuatro, algunos datos aritmticos y los nombres de formas geomtricas simples, los padres, educadores, editores y los medios en general, prestaban poca atencin a la enseanza de las matemticas en esta edad.b. El cambio a un punto de vista extremadamente optimistaEn los ltimos aos del siglo 20, los psiclogos adoptaron un punto de vista extremadamente optimista y se centraron en lo que los nios pueden hacer (Gelman, 1979).Por ejemplo, Wynn (1998) sealaba: "Las investigaciones realizadas en los ltimos 20 aos han demostrado que los nios pequeos son sensitivos al nmero (p.5) Especficamente, ella afirmaba que los nios nacen con una habilidad para reconocer y distinguir entre uno, dos y tres, y que incluso pueden razonar sobre, y operar con, nmeros muy pequeos (por ejemplo, reconocer que un objeto sumado a otro nos da dos y que dos menos uno es uno), todo esto antes de que desarrollen la competencia para contar verbalmente.De hecho, Gelman (ejemplo, Gelman & Meck, 1992), afirmaba que los nios estn dotados de forma innata con los principios del conteo - principios que les permiten contar de forma no verbal (utilizando etiquetas o representaciones no verbales) y que los nios pequeos pueden aprender rpidamente los nombres de los nmeros y cmo usarlos en actividades de conteo.c. El cambio reciente al punto intermedioPuntos de vista. Hay algunas investigaciones realizadas en los ltimos 10 aos que nos indican que los nativistas como Wynn (1992, 1998) pueden haber sido demasiado optimistas y que se necesita una visin ms equilibrada de los conocimientos informales de las matemticas de los nios.Si los nativistas estn en lo correcto y los nios nacen con un concepto innato y no verbal del uno al tres, no tendran dificultad para realizar tareas numricas y aritmticas no verbales que utilicen estos nmeros "intuitivos".Consideremos el caso de Shytiesha, una nia de cuatro aos.(Segmento de video N 1).Tarea 1: "Batalla justa" (hacer parejas de iguales de forma no verbal).Hay que observar que Shytiesha form correctamente un conjunto cuando el conjunto del examinador consista de uno o dos objetos.Sin embargo, ella coloc cuatro objetos cuando el conjunto del examinador era de tres o cuatro objetos. Es decir, que para ella los conjuntos de tres y cuatro son equivalentes.La actuacin de Shytiesha nos ilustra algo que ya hemos observado: La actuacin numrica de los nios pequeos decrece dramticamente cuando se trata de conjuntos de ms de dos objetos.Es decir, parece haber unhuecoentre su habilidad para manejar 1 objeto, 2 y 3, o nmeros mayores. Los nativistas predeciran que el fallo estara entre el 3 y el 4.Tarea 2 "Juego del escondite" (produccin no verbal)Observen que esta tarea, a diferencia de la anterior, requiere que el nio se haga una representacin mental de el conjunto que le muestra el examinador, porque el lo va a ocultar despus de mostrarlo durante 3 segundos.Observen que Shytiesha ha recreado correctamente el conjunto del examinador cuando se trataba de uno o dos objetos.Observen que se equivocaba al decir que el conjunto del examinador, de cuatro objetos es de "tres" y que luego ella coloca cuatro objetos sobre la mesa.Observen que nuevamente coloca cuatro objetos cuando el conjunto del examinador era de tres.Para Shytiesha, la palabra "tres" no parece tener el mismo significado que para un adulto. Al parecer, ella utiliza "tres" cuando quiere decir "muchos".Tarea 3: "Juego del escondite doble" (Representacin mental y produccin no verbal de dos colecciones).Observen que Shytiesha ahora llama a el conjunto de cuatro "montn", asi que cuatro objetos son un "montn" y "tres" son muchos.Observen que ella llama y reproduce correctamente el conjunto de dos.Observen que Shytiesha dice sobre el conjunto de 4 objetos; "Es lo mismo" (que el conjunto de 3). "Es un montn". As que nuevamente, ella considera tres y cuatro objetos como equivalentes (como muchos).No solamente se empeora la actuacin entre 2 y 3, la zona en que los nios pequeos se sienten cmodos se sobrepasa mucho ms rpidamente de lo que predecan los nativistas.Dowker (1997, 1998, 2003) identific tres niveles de competencia aritmtica mental entre los nios de la escuela primaria, niveles que tambin se pueden aplicar a la competencia numrica (Baroody, Benson & Lai, 2003):1. La zona de competencia(familiaridad y comodidad) en la que los nios pueden determinar la respuesta exacta bien por cmputo o de memoria, o en el caso de un conjunto de objetos pueden reconocer visualmente y especificar el valor (total) cardinal del conjunto.2. La zona de competencia prxima(familiaridad moderada y comodidad) en la que los nios pueden usar la informacin existente para calculare la respuesta o, en el caso de un conjunto pueden aproximarse razonablemente al valor cardinal de el conjunto.3. La zona de incompetencia(falta de familiaridad e incomodidad) en la que los nios se "derriten" (es decir, intentan adivinar la respuesta o se niegan a responder).Consideremos el caso de Haley, una nia de tres aos.(Segmento de video N 2)."Juego del escondite" (produccin no verbal)Observen que para las pruebas con el 3 y el 4, Haley simplemente respondi colocando todos los objetos disponibles (es decir, se "derriti" y no intent dar una respuesta exacta o aproximada."Juego del escondite doble" (Produccin no verbal de dos colecciones).En las primeras pruebas (1 & 1 y 3 & 2) observen la importancia de etiquetar un conjunto con una palabra numrica ("uno" y "dos") que sirven de ayuda a la memoria.En la segunda y tercera prueba (3 & 2 y 2 & 4) Haley no reproduce exactamente el 3 y el 4 pero al menos hace una buena aproximacin. Observen que llama al 4 "tres" que parece querer decir "muchos" para ella."Juego del escondite doble" (Produccin no verbal de dos colecciones) - continuacinObserven que para la ltima prueba (4 & 3), Haley mir las dos colecciones del examinador y afirm "Esta (el conjunto de 3) es como la otra (el conjunto de 4), es decir, para ella 3 y 4 son equivalentes y ambos son "muchos".Observen que casi se "derrite" y termina por poner sobre la mesa casi todos los objetos disponibles (7 de 8).Observen que Haley intenta resolver el problema. Al parecer, ella reconoce que las dos colecciones deberan tener "muchos" pero solamente le queda un objeto para el segundo grupo, as que pide prestados 4 fichas de la primera coleccin para representar "muchos" en la segunda, dejando entonces tres fichas ("muchos) en la primera coleccin.Vamos a ver otros ejemplos en los que los nios se "derriten".14. Un nio de dos aos crea correctamente un conjunto de pares colocando dos dinosaurios.

15. Cuando le mostramos 4, el nio coloca todos los objetos disponibles ("se derrite").

16. Cuando le pedimos que coloque 4 otra vez, el nio empuja los dinosaurios.

17. Y luego empuja su alfombrilla hacia la alfombrilla del examinador.

18. El examinador muestra 2 dinosaurios a un nio de 2 aos.

19. El examinador esconde 2 dinosaurios.

20. El nio coloca uno.

21. El examinador muestra y esconde 2 dinosaurios otra vez.

22. El nio simplemente recoge un montn con cada mano (se "derrite")

23. el examinador muestra y oculta 4 dinosaurios.

24. El nio se marcha (se "derrite").

Estas investigaciones que acabamos de comentar tienen las siguientes implicaciones educativas importantes.La enseanza (y la evaluacin) deberan tener en cuenta el nivel de desarrollo de los nios en general y sus niveles individuales de competencia, competencia parcial o incompetencia en particular.Para poder asegurar que los factores externos se conjugan con los internos en la promocin del aprendizaje significativo (Dewey, 1963) los maestros de preescolar deben estar conscientes de que lo que puede representar un grupo "grande" varia de nio a nio y que este factor interno clave puede incluir nmeros muy pequeos y puede sobrepasarse fcilmente.2.Cambios en el conocimiento convencional sobre la base de los conocimientos informales previos sobre el nmero y la aritmtica de los preescolares.Como un pndulo, la informacin convencional sobre el papel del lenguaje en el desarrollo numrico tambin ha fluctuado de un extremo a otro durante los ltimos 100 aos (ver Mix, Sandhofer & Baroody, 2005, para una discusin detallada).a. El punto de vista del conteo temprano.Dewey (1989) y Thorndike (1922) concluyeron que la enseanza inicial en matemticas de los nios debera centrase en ensearles a contar.b. El punto de vista del concepto numrico no verbal antes del concepto verbalDurante la mayor parte del siglo 20, los psiclogos han credo que el concepto de nmero se desarrollaba independientemente del conteo o antes de que los nios adquiriesen una comprensin de los nmeros verbales. Piaget (1965), por ejemplo, desech el conteo verbal y de objetos como una habilidad aprendida por repeticin, habilidades que no tienen impacto alguno en la construccin de un concepto numrico. Segn l argumentaba, la construccin de un concepto numrico dependa del desarrollo y sntesis de las habilidades de pensamiento lgico para clasificar y ordenar. Los Nativistas han argumentado que los nios tienen un concepto innato no verbal de al menos los nmeros intuitivos.c. El lenguaje en los juegos de palabras numricas tiene un papel principal en la formacin de los conceptos de nmero, conteo y aritmtica (y probablemente en los de geometra y otros aspectos de las matemticas).Concepto de nmero (reconocimiento del nmero verbal).El uso de las primeras palabras de conteo ("uno", "dos", "tres") mientras se muestran ejemplos y no ejemplos de cada uno pueden ayudar a los nios aconstruir un concepto confiable y exacto de los nmeros uno, dos y tresy una comprensin de lo que es cada uno. Al ver ejemplos de pares, DD, yootodos marcados como "dos" los nios pequeos pueden reconocer que la apariencia de los objetos en los conjuntos no es importante (la forma y el color son irrelevantes al nmero). El ver ,, D, DDD,, y(que no son ejemplos de pares) marcados como "no dos", o con otra palabra numrica, puede ayudar a los nios a definir los lmites del concepto de "dos" y aplicar ms exacta y selectivamente esta palabra. Conteo significativo de objetos.El reconocimiento de los nmeros verbales tambin puede servir de base alconteo significativo de objetos o la enumeracin.Una vez que los nios pueden reconocer significativamente y nombrar pequeas colecciones, el uso de esta habilidad conceptual de reconocimiento, junto con la observacin de la enumeracin hecha por otros nios puede ayudar a los nios a entender el porqu y el cmo se hace. Especficamente, el reconocimiento significativo de nmeros verbales puede ayudar a los nios a discernir el propsito de la enumeracin (es otra manera de determinar el nmero total de objetos en un conjunto o su nmero cardinal) y la importancia de los procedimientos de enumeracin (es decir, porque se enfatiza o repite la ltima palabra numrica utilizada en el proceso de enumeracin: porque representa el nmero total de objetos o el valor cardinal de el conjunto). Concepto (gran idea) de descomposicin y composicin. El reconocimiento de los nmeros verbales tambin permite a los nios ver dos como uno y uno y tres como dos y uno o como uno y uno y uno - como un conjunto compuesto de unidades o como un todo compuesto de partes individuales (Freeman, 1912). Estas experiencias nos proporcionan la base para la comprensin fundamental de "la gran idea"de descomposicin y composicin Suma.La comprensin fundamental de la descomposicin y composicin tambin nos proporciona la base para construir una comprensin bsica de las relaciones parte-todo que forman parte del concepto desuma.Por ejemplo, al sumar un objeto a un conjunto de dos artculos, un nio puede ver literalmente que el conjunto original se ha transformado en un conjunto todava mayor, de tres. Esto nos puede proporcionar la base para construir un cambio informal en el concepto de suma.La implicacin educativa clave es que el ayudar a los nios a desarrollar la habilidad para reconocer verbalmente los nmeros intuitivos (del 1 al 3)marcando los ejemplos y no ejemplos es la base fundamental de la instruccin matemtica y debe hacerse antes de intentar ensear al nio a contar objetos.Otra implicacin educativa fundamental es que los maestros deberan centrarse en ayudar a los nios a descubrir y comprenderlas grandes ideas- ideas clave de muchos conceptos y procedimientos.Como Paulos (1991) aconsejaba,"hay que remarcar algunos principios bsicos y dejar casi todos los detalles en manos del alumno"(p. 7) Si los estudiantes comprenden las grandes ideas, la mayora de ellos podr redescubrir o reinventar los principios, propiedades y procedimientos de la aritmtica y la geometra bsicas incluyendo los procedimientos para renombrar, los principios conmutativo y distributivo y las frmulas.El comprender las grandes ideas puede ayudar a los alumnos a comprender la razn de ser de mtodos especficos (por ejemplo, procedimientos y frmulas), adaptarlos para resolver nuevos problemas o tareas (adaptabilidad) y ver cmo varios conceptos y procedimientos se relacionan entre s. Esto puede ayudar a los estudiantes a ver que las matemticas son un sistema de conocimiento, lo que a la vez puede ayudar a aprender distintas ideas y procedimientos.Por ejemplo, las grandes ideas de la composicin- las partes se pueden combinar (componer) muchas veces de diferentes maneras para formar un todo y la descomposicin. El todo consiste de partes que se pueden separar (descomponer) muchas veces, de diferentes maneras, forman parte de varios aspectos o tpicos de las matemticas: Otros nombres para un nmero(por ejemplo, diferentes partes pueden componer un mismo todo, como en1 + 7 = 82 +6 = 83 +5 = 84 + 4 = 8 Y un todo se puede descomponer de diferentes maneras como en:8 = 1 + 78 = 2 + 68 = 3 + 58 = 4 + 4 Invencin de estrategias de razonamiento y dominio de combinaciones mayores de sumaEjemplos: 7 + 8 = 7 + (7+1) = (7+7) + 1 = 14 + 1 = 15 7 + 8 = (7-2) + (8+2) = 5 + 10 = 15 Relaciones numricas parte - todoPor ejemplo, una o dos partes son menores que el todo y este es mayor que cualquiera de sus partes. Problemas de partes faltantes o aadidasPor ejemplo, en el problema que sigue, o en la ecuacin 4 + ? = 6, la parte que falta debe ser menor que el todo de 6 y cuando se sume a 4 nos debe dar 6.Georgia tena 4 vestidos. Su mam le compr algunos ms. Georgia encontr 6 vestidos en su armario. Cuantos vestidos le compr su mam? Invencin de estrategias de raciocinio y dominio de las combinaciones de restaPor ejemplo, para 6-4=?, el todo de 6 menos la parte 4 es igual a la otra parte, que si la sumramos a 4 nos dara 6, es decir, 6-4=? Est relacionada a la expresin 4+?=6 y, porque si 4+2=6, la parte desconocida es 2. Renombrar (procedimientos para pasar y prestar)Por ejemplo, para 37 + 28, el nio tiene que poder reconocer que la suma de las unidades que da quince se puede descomponer en 10 y 5 y que ese 10 lo podemos aadir a los tres 10 y dos 10 que tenemos en la columna de las decenas. GeometraPor ejemplo, un cuadrado que se puede descomponer en dos tringulos issceles y viceversa.Ejemplo de una actividad de composicin y descomposicin: El juego de los nmeros.Este juego lo pueden jugar de dos a seis nios. Se coloca una carta en el centro con un nmero como el 13. Se pone una pila de cartas numeradas del 1 al 10 boca abajo y cada jugador saca seis cartas de la pila. Por turnos, los jugadores deben colocar sus cartas de tal modo que puedan conseguir una suma igual al nmero que hay en la carta del centro.Si un jugador tiene las cartas 2, 3, 5, 5, 5, y 8, puede combinar 5 y 8 3, 5 y 5 para sumar 13. Como cada solucin correcta vale 1 punto, el jugador puede conseguir dos puntos en un turno. Si el jugador ha elegido combinar 2+3+8 ya no le queda otra combinacin que pueda hacer y solamente conseguira 1 punto en su jugada.Otra manera de jugar es dar puntos por el nmero de partes usadas para llegar a la solucin, es decir 3+5+5 y 5+8 ganaran 5 puntos porque se han usado 5 cartas y 2+3+8+ ganara 3 puntos porque se han usado 3 cartas.

Otro ejemplo de una actividad de composicin - descomposicin: Tres en rayaEste juego es similar al anterior, y lo pueden jugar dos nios.Cada jugador saca seis cartas de una pila de cartas numeradas del 1 al 10 y colocadas boca abajo. En las 9 casillas del tablero hay nmeros escritos.Los jugadores abren sus cartas y por turnos colocan sus cartas para formar una suma igual a uno de los nmeros escritos en el tablero. Si un jugador lo consigue, coloca una ficha en el cuadro que ha resuelto, deja las cartas que ha usado y saca nuevas cartas de la pila. El objetivo del juego es colocar tres fichas en raya.

Uso de jeroglficos egipcios para explicar la descomposicin y representar valoresBasado en la investigacin 6.1 (Baroody con Coslick, 1998)|= 1= 10 = 100Hay que pedir a los alumnos que encuentren de cuntas maneras se pueden combinar los dgitos 1, 2 y 5 para formar un numeral de tres dgitos. Preguntarles si 152, 215, 251, 512 y 521 representan el mismo nmero que 125 (Whitin & Wilde, 1992). Hay que repetir la pregunta usando jeroglficos egipcios. Luego, podemos discutir las similitudes y diferencias entre los nmeros arbicos y los jeroglficos egipcios.Fuente: http://www.waece.org/cdlogicomatematicas/ponencias/amandajohson_ponencias_es.htm