El mundo de las El mundo de las espirespir@@lesles

Eva AbrilEva Abril

Clara PérezClara Pérez

IES Salvador VictoriaIES Salvador Victoria

Monreal del CampoMonreal del Campo

TeruelTeruel

¿QUÉ ES UNA ESPIRAL?¿QUÉ ES UNA ESPIRAL?

Una espiral es...Una espiral es...

Una curva abiertaUna curva abiertaque surge a partir que surge a partir

dedeun punto que gira yun punto que gira yal mismo tiempo seal mismo tiempo sealeja del puntoaleja del puntoorigen.origen.Combinan rotación Combinan rotación

yydilatación.dilatación.

Según hacia donde se abren Según hacia donde se abren pueden ser:pueden ser:

DextrógirasDextrógiras

se abre hacia la se abre hacia la derechaderecha

LevógirasLevógiras

se abren hacia la se abren hacia la izquierdaizquierda

¿Dónde las ¿Dónde las encontramos…?encontramos…?

Nos dan la horaNos dan la hora

Jugamos con ellas:Jugamos con ellas:

Nos adornan:Nos adornan:

Decoran nuestras casas:Decoran nuestras casas:

Y nuestras calles:Y nuestras calles:

Nos las comemos:Nos las comemos:

Nos resuelven problemas de Nos resuelven problemas de espacio:espacio:

Las encontramos Las encontramos en…en…

La arquitectura:La arquitectura:

Y en el arte:Y en el arte:

Están presentes…Están presentes…

En la flora:En la flora:

En la fauna:En la fauna:

En los fenómenos atmosféricos:En los fenómenos atmosféricos:

Y en el universo:Y en el universo:

Clasificación:Clasificación:

Por sus características podemosPor sus características podemos distinguir: distinguir:

ParabólicasParabólicas Fermat 1636Fermat 1636

Es la curva descrita en Es la curva descrita en algunas danzas rituales algunas danzas rituales como “El baile de la grulla”como “El baile de la grulla”

HiperbólicasHiperbólicas

Varignon 1704 Varignon 1704

Bernouilli 1710Bernouilli 1710

En ciertas condiciones resulta En ciertas condiciones resulta la sombra de la hélice.la sombra de la hélice.

Es la curva que permite colocarse a los corredores en el punto de salida en un estadio circular

ClotoideClotoide

Euler 1774Euler 1774““Curva del acuerdo”Curva del acuerdo”porque conecta rectas yporque conecta rectas ycurvas.curvas.Usada en la Usada en la

construcciónconstrucciónde nudos dede nudos decomunicación.comunicación.

...pero las más conocidas y ...pero las más conocidas y estudiadas sonestudiadas son

- La de Arquímedes- La de Arquímedes- La logarítmica- La logarítmica

Espiral de ArquímedesEspiral de Arquímedes

Conocida desde la EdadConocida desde la Edadde Piedra: grabadosde Piedra: grabadosrupestres del Neolíticorupestres del Neolíticosahariano (5000 a.C)sahariano (5000 a.C)Utilizada como grafoUtilizada como grafodecorativo o símbolo míticodecorativo o símbolo míticoen las culturas maya, azteca,en las culturas maya, azteca,inca...inca...Arquímedes fue quien realizóArquímedes fue quien realizóel primer estudio enel primer estudio enProfundidad (s.III a.C)Profundidad (s.III a.C)

CaracterísticasCaracterísticas

El radio varía de forma proporcional al El radio varía de forma proporcional al ángulo girado.ángulo girado.

La anchura de sus espiras es constante.La anchura de sus espiras es constante.

r = a. θ

Algunos ejemplos:Algunos ejemplos:

Capiteles jónicosCapiteles jónicos Ensaimada Ensaimada Mata suegrasMata suegras Tejido de cesteríaTejido de cestería Cerámica popularCerámica popular Rastra de embutidoRastra de embutido

TelarañasTelarañas Serpiente enroscadaSerpiente enroscada Remolinos de peloRemolinos de pelo Cintas de videoCintas de video Carretes de fotoCarretes de foto Enrollamiento de Enrollamiento de

papel, cuerda ...papel, cuerda ...

Espiral LogarítmicaEspiral Logarítmica Durero la dibuja con Durero la dibuja con

mucha aproximación mucha aproximación con regla y compás con regla y compás (1528).(1528).

Descartes encontró Descartes encontró su ecuación(1638).su ecuación(1638).

Bernoulli la llama Bernoulli la llama “Spira mirabilis”, “Spira mirabilis”, fascinado por su fascinado por su belleza y sus belleza y sus propiedades.propiedades.

Características:Características:

Se puede expresar en coordenadas Se puede expresar en coordenadas polares mediante un polares mediante un logaritmo.logaritmo.

La diferencia entre las espiras aumenta La diferencia entre las espiras aumenta mucho más rápido que la rotación.mucho más rápido que la rotación.

       ,

Algunos ejemplos:Algunos ejemplos:

Las borrascasLas borrascas Las galaxiasLas galaxias Los pétalos de las Los pétalos de las

rosas.rosas. Las piñasLas piñas La trompa de La trompa de

algunos insectos algunos insectos (espirotrompa)(espirotrompa)

El caracol de oído El caracol de oído humanohumano

Las conchas de Las conchas de caracolescaracoles

Fósiles de amonitasFósiles de amonitas Cola del caballito de marCola del caballito de mar Las margaritasLas margaritas Las semillas del girasolLas semillas del girasol

Como se construyen…Como se construyen…

E. ArquímedesE. Arquímedes

a)a) Método manualMétodo manualPodemos dibujar una espiral enrollando un trozo de hilo en torno a un Podemos dibujar una espiral enrollando un trozo de hilo en torno a un

lápiz, sujetando el extremo libre a una chincheta en el centro de lápiz, sujetando el extremo libre a una chincheta en el centro de una hoja de papel y luego dando vueltas con el lápiz con el hilo una hoja de papel y luego dando vueltas con el lápiz con el hilo tenso, dejando que se vaya soltando. tenso, dejando que se vaya soltando.

b) b) Método geométrico:Método geométrico:

E. de DureroE. de Durero

Es una aproximación Es una aproximación de la logarítmicade la logarítmica

Es la única que se Es la única que se puede construir con puede construir con regla y compás.regla y compás.

Su construcción se Su construcción se realiza partiendo de realiza partiendo de un rectángulo cuyos un rectángulo cuyos lados guardan lados guardan proporción áurea.proporción áurea.

CuriosidadesCuriosidades

Bernoulli, enamorado Bernoulli, enamorado de la de la espira mirabilisespira mirabilis, , pidió que fuera pidió que fuera grabada en su tumba. grabada en su tumba. Pero el cantero que Pero el cantero que grabó la lápida dibujó grabó la lápida dibujó una espiral de una espiral de Arquímedes en vez de Arquímedes en vez de la Logarítmica.la Logarítmica.

"Eadem mutata resurgo""Eadem mutata resurgo" Resurjo cambiada pero igualResurjo cambiada pero igual

Arquímedes murió a Arquímedes murió a manos de un manos de un soldado romano soldado romano mientras dibujaba mientras dibujaba una de sus una de sus espirales.espirales.

¡No molestes a mis ¡No molestes a mis círculos!círculos!

Arquímedes inventó Arquímedes inventó su famoso tornillo su famoso tornillo para sacar el agua de para sacar el agua de los ríos. los ríos.

Sin embargo, hace 100 años a alguien se le ocurrió utilizarlo Sin embargo, hace 100 años a alguien se le ocurrió utilizarlo como atracción de feria; como atracción de feria;

los pasajeros se montaban en unas barquillas en las que los pasajeros se montaban en unas barquillas en las que eran subidos hasta lo alto de una torre. eran subidos hasta lo alto de una torre.

Al tiempo que veían el tornillo espiral girar a su alrededor la Al tiempo que veían el tornillo espiral girar a su alrededor la barquilla iba avanzando lentamente en línea recta.barquilla iba avanzando lentamente en línea recta.

Muchas especies de Muchas especies de cefalópodos tienen conchas cefalópodos tienen conchas en forma de espiral. El en forma de espiral. El “Nautilus pompilius”habita “Nautilus pompilius”habita en las profundidades, así en las profundidades, así que necesita resistir una que necesita resistir una gran presión del agua, lo gran presión del agua, lo que consigue gracias a que que consigue gracias a que su concha está formada por su concha está formada por varias camaras que varias camaras que aumentan de tamaño aumentan de tamaño siguiendo una espiral siguiendo una espiral logarítmica conforme va logarítmica conforme va creciendo el Nautilus.creciendo el Nautilus.

El número de El número de espirales levógiras y espirales levógiras y dextrógiras que dextrógiras que forman las semillas forman las semillas de una piña o de un de una piña o de un girasol es igual a girasol es igual a números de la números de la sucesión de sucesión de fibonacci: por fibonacci: por ejemplo 55 y 89 o 89 ejemplo 55 y 89 o 89 y 144y 144

Las espiroquetas, Las espiroquetas, bacterias causantes bacterias causantes de enfermedades de enfermedades dentales, adoptan la dentales, adoptan la forma de una espiral forma de una espiral de Arquímedes para de Arquímedes para encogerse cuando encogerse cuando hay peligro, o sea, hay peligro, o sea, cuando llega el cuando llega el cepillo de dientescepillo de dientes