EL MÉTODO MONTE CARLO EN FÍSICA MÉDICAvalente/Documents/DidacticsMaterial/Notas... ·...

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“Notas_Curso_MonteCarlo_enFisicaMedica” — 2017/4/11 — 13:46 — page 1 — #1 ii

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Curso de posgrado - pp. 1-38

http://www.famaf.unc.edu.ar/~valenteISBN (no registrado)

c© 2017 Mauro Valente.

EL MÉTODO MONTE CARLO EN FÍSICAMÉDICA

Mauro Valente†*

† CONICET & Universidad Nacional de Córdoba; ArgentinaCFIM & Dpto. Ciencias Físicas, Universidad de La Frontera: Chile.

Primer semestre año académico 2017

Magister en Física MédicaUniversidad de La Frontera

*Contacto e-mail: [email protected] || [email protected]

http://www.famaf.unc.edu.ar/~valente

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Prefacio

El presente trabajo El método Monte Carlo en Física Médica es un compendio originalde notas elaborado por Mauro Valente en 2017, para ser utilizado como material de estudioy referencia para el curso de especialización de grado EL MÉTODO MONTE CARLO ENFÍSICA MÉDICA en el ámbito del Magister en Física Médica en la Universidad de LaFrontera.

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Programa y contenido

MÓDULO I: Introducción a los Métodos de Monte Carlo

1. Introducción histórica y esquema general de la técnica Monte Carlo.

2. Conceptos básicos de la técnica Monte Carlo.

MÓDULO II: Repaso de estadística y conteo

1. ...

2. ...

3. ...

MÓDULO III: Repaso de teoría de distribuciones

1. ...

2. ...

3. ...

MÓDULO IV: La ecuación de transporte de radiación de Boltzmann

1. ...

2. ...

3. ...

MÓDULO V: Estimación de volúmenes e integrales

1. Introducción al uso de técnica Monte Carlo en problemas de integración numérica.

2. Tamaño del espacio de muestreo.

3. Niveles de incerteza.

MÓDULO VI: Comparación con otros métodos clásicos para integración en múltiplesvariables

1. Problemas de Conteo.

2. Generación de muestras.

3. Números aleatorios y pseudo-aleatorios.

MÓDULO VII: Técnicas de reducción de varianzas y eficiencia computacional

1. Intervalos de confianza simultáneos.

2. Estimación de cocientes.

3. Estimación secuencial.

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MÓDULO VIII: Simulación Monte Carlo en física médica

1. Ejemplos históricos.

2. Paquetes de simulación Monte Carlo en física médica.

3. El código PENELOPE.

4. Rudimentos básicos sobre el código FLUKA.

5. Distribuciones de dosis en profundidad.

6. Simulación de equipamiento médico de radiología.

7. Simulación de procedimientos de medicina nuclear.

8. Simulación de procesos avanzados y técnicas complejas.

MÓDULO IX: Integración en un problema de aplicación en física médica

1. Formulación de una propuesta para ejemplo de aplicación.

2. Diseño de rutina para resolución del problema propuesto.

3. implementación/adaptación de rutina.

4. Chequeo y validación de rutina.

5. Análisis y discusión de resultados obtenidos.

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TRABAJOS PRÁCTICOS ESPECIALES Y ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

El presente curso incluye la realización de trabajos prácticos de laboratorio informático.Las actividades prácticas de laboratorio se refieren a la ejercitación computacional, según el sigu-iente esquema:

Trabajo práctico: Rudimentos ásicos de programación en lenguaje FORTRAN 77.

Trabajo práctico: Rudimentos básicos de programación en plataforma MATLAB.

Trabajo práctico: Elaboración de rutinas de procesamiento y visualización en MATLAB.

Trabajo práctico: Elaboración de rutinas de simulación Monte Carlo básicas en MATLAB.

Trabajo práctico: Adaptación de rutinas de simulación Monte Carlo del código PENELOPE.

Trabajo práctico: Interpretación de resultados obtenidos del código FLUKA.

Práctico I: ...

1. ...

2. ...

3. ...

Práctico II: ...

1. ...

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3. ...

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OVJETIVOS Y METODOLOGÍA DEL TRABAJO

OBJETIVOSObjetivos generales: Formar a los estudiantes en el área de la técnica Monte Carlo, con aplica-

ciones en física médica, desarrollando los fundamentos basales de la técnica y su implementacióncomo metodología para la resolución numérica en el cálculo, particularmente de estimación de inte-grales en las ecuaciones de transporte de radiación de Boltzmann en problemas de física médica.

Objetivos específicos:

Proporcionar al estudiante los conceptos teóricos relevantes de la técnica Monte Carlo.

Proporcionar al estudiante las herramientas prácticas para diseñar e implementar rutinas bási-cas de simulación Monte Carlo para la resolución de problemas de cálculo numérico.

Proporcionar al estudiante conocimientos y experiencia para adaptar rutinas de códigosMonte Carlo de transporte de radiación para aplicaciones en física médica.

METODOLOGÍA DEL TRABAJO

CLASES TEÓRICASSe realizaran clases teóricas en aula con una carga semanal de 4 (cuatro) horas. Se tomaráasistencia durante las clases teóricas.

CLASES DE EJERCITACIÓN PRÁCTICASe realizarán prcticos de ejercicios en aula, en base al contenido de las clases teóricas, conuna carga horaria de 2 (dos) horas semanales, más tiermpo de estudio y ejercitación por partedel estudiante.

TRABAJOS PRÁCTICOS Y DE LABORATORIOSe realizarán trabajos en laboratorio de informática, supervisada por el docente, con una cargahoraria de 2 (dos) horas semanales. Los trabajos de laboratorio son obligatorios en momentoy lugar que se determinen.

CLASES DE CONSULTAEl docente dispondrá de 2 (dos) horas semanales extra, en lugar y horario a convenir con losalumnos, para recibir consultas o profundizar temáticas de interés de los alumnos. El horariode consulta a disposición de los alumnos será sin obligación de asistencia.

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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA SUGERIDA

La asignatura contará con bibliografía específica, desarrollada originalmente por el docente paraeste curso. Además de la lista de artículos científicos que el docente proveerá a lo largo del curso, serecomienda la siguiente lista de bibliografía:

1. Valente M. Elementos de cálculo dosimétrico para hadronterapia y campos mixtosNotas del curso de posgrado en FaMAF 2010-2012-2013-2014-2015. (disponible en:http://www.famaf.unc.edu.ar/ valente)

2. Valente M. Fundamentos de física médica Notas del curso de grado en FaMAF 2016.(disponible en: http://www.famaf.unc.edu.ar/ valente)

3. Binder, K. The Monte Carlo Methods in Statistical Physics, Springer-Verlag, 1979.

4. F. Salvat et al. PENELOPE, an algorithm and computing code for Monte Carlo simulation ofelectron photon ahowers Ed. NEA, 2008.

5. Binder, K. and Heermann D. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, Springer-Verlag,1988.

6. Crank, J. Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, 1990.

7. M. Valente y P. Perez. Dosimetría y radiobiología Notas para curso de grado, Uiversidad deCatamarca., 2011. (disponible en: http://www.famaf.unc.edu.ar/ valente)

8. Kahn F. The physics of the radiation therapy 3th ed, Lippincott Williams & Wil, 2003.

9. Knoll G. Radiation detection and measurements 3rd ed, John Wiley & Sons, 1999.

10. Cherry S. et al. Physics in nuclear medicine 3th ed, Saunders, 2003

11. F. Attix. Introduction to radiological physics and radiation dosimetry Ed. John Wiley andSons, 1986.

12. M. Valente Física nuclear con aplicaciones Notas del curso de especialidad en FaMAF 2008.(disponible en: http://www.famaf.unc.edu.ar/ valente)

13. Duderstadt, J. and Martin W. Transport Theory, John Wiley & Sons, 1979.

14. Tain, S. Monte Carlo Simulations of Disordered Systems, World Scientific, Singapore, 1992.

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BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

1. Fricke gel dosimeter with improved sensitivity for low-dose-level measurements. Valente M.,Molina W., Carrizales Silva L., Figueroa R., Malano F., Pérez P., Santibáñez M & Vede-lago J. Journal of Applied Clinical Medical Physics 17(4) pp. 402-417, 2016. Get it @www.scopus.com or Publisher

2. Neutron dose estimation in a zero power nuclear reactor. Triviño S., Vedelago J., CantargiF., Keil W., Figueroa R., Mattea F., Chautemps A., Santibáñez, M & Valente M. RadiationPhysics and Chemistry 127 pp. 62-67, 2016. Get it @ www.scopus.com or Publisher

3. Fricke and polymer gel 2D dosimetry validation using Monte Carlo simulation. Vedelago J.,Obando D.C., Malano F., Conejeros R., Figueroa R., García D., González G., Romero M.,Santibáez M., Strumia M.C., Velásquez J., Mattea F. & Valente. Radiation Measurements 91pp. 54-64, 2016. Get it @ www.scopus.com or Publisher

4. Analytical and rheological studies of modified gel dosimeters exposed to X-ray beams.Romero M., Mattea F., Vedelago J., Chacón D., Valente M., Igarzábal Álvarez C. & StrumiaM. Microchemical Journal 127 pp. 231-236, 2016. Get it @ www.scopus.com or Publisher

5. Evaluation of EDXRF configurations to improve the limit of detection and exposure for invivo quantification of gadolinium in tumor tissue. Santibáñez, M., Vásquez, M., Figueroa,R.G. & Valente, M. Radiation Physics and Chemistry 122 pp. 28-34, 2016. Get it @www.scopus.com or Publisher

6. Characterization of the VARIAN PaxScan 2020+ flat panel detector for quantitative X-rayimaging Geser, F.A., Chacón, D., Figueroa, R., Malano F., Santibañez, M., Valente, M. X-Ray Spectrometry 45 (3) pp. 169-175, 2016. Get it @ www.scopus.com or Publisher

7. Characterization of hemispherical area X-ray detector based on set of proportional coun-ters with needle anodes Figueroa, R.G., Santibáñez, M., Valdés, C.N., Valente, M. AppliedRadiation and Isotopes 107 pp. 191-194, 2016. Get it @ www.scopus.com or Publisher

8. Optimal configuration for detection of gold nanoparticles in tumors using Kβ X-ray fluores-cence line Figueroa, R.G., Santibáñez, M., Malano, F., Valente, M. Radiation Physics andChemistry 117 pp. 198-202, 2015. Get it @ www.scopus.com or Publisher

9. Polymer gel dosimeter based on itaconic acid Mattea, F., Chacón, D., Vedelago, J., Va-lente, M., Strumia, M.C. Applied Radiation and Isotopes 105 pp. 98-104, 2015. Get it @www.scopus.com or Publisher

10. Physical characterization of single convergent beam device for teletherapy: Theoretical andMonte Carlo approach Figueroa, R.G., Valente, M. Physics in Medicine and Biology 60 pp.7191-7206, 2015. Get it @ www.scopus.com or Publisher

11. Molecular structure effects on the post irradiation diffusion in polymer gel dosimeters Mattea,F., Romero, M.R., Vedelago, J., Chacón D., Valente, M., Strumia, M.C. Applied Radiationand Isotopes 100 pp. 101-107, 2015. Get it @ www.scopus.com or Publisher

12. Characterization of ferric ions diffusion in Fricke gel dosimeters by using inverse problemtechniques Vedelago, J., Quiroga, A., Valente, M. Radiation Effects and Defects in Solids 169pp. 845-854, 2014. Get it @ www.scopus.com or Publisher

13. Analytical and numerical methods for anatomical and metabolic medical imaging BCMalano, F., Valente, M. Medical Imaging: Procedures, Techniques and Applications pp. 51-81, 2012. Get it @ www.scopus.com or Publisher

http://www.scopus.com/

http://www.jacmp.org/index.php/jacmp/article/view/5626


http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1350448716301202


http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0026265X16300066






http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/xrs.2683/abstract








http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0031-9155/60/18/7191




http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10420150.2014.958749?journalCode=grad20


https://www.novapublishers.com/catalog/product_info.php?products_id=29253

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14. Calculation of electron and isotopes dose point kernels with fluka Monte Carlo code fordosimetry in nuclear medicine therapy F. Botta, A. Mairani, G. Battistoni, M. Cremonesi, A.Di Dia, A. Fassó, A. Ferrari, M. Ferrari, G. Paganelli, G. Pedroli, M. Valente Medical Physics38 pp. 3944-3954, 2011. Get it @ www.scopus.com or Publisher

15. Developing and improving a scanning system for dosimetric applications Pérez, P., Castel-lano, G., Galván, V., Valente, M. AIP Conference Proceedings 1265 pp. 419-422, 2010. Getit @ www.scopus.com or Publisher

16. Characterisation of a megavoltage linear accelerator Bremsstrahlung by means of MonteCarlo simulations Valente, M., Malano, F., Pérez, P., Castro, N., Carrasco, F. X-Ray Spec-trometry 39 pp. 384-390, 2010. Get it @ www.scopus.com or Publisher

17. A computational tool for evaluating the exposure risk in nuclear medicine treatments Valente,M., Malano, F., Tirao, G. International Journal of Low Radiation 7 pp. 333-346, 2010. Getit @ www.scopus.com or Publisher

18. 3D dose and TCP distribution for radionuclide therapy in nuclear medicine Valente M.,Malano F., Pérez, P. AIP Conference Proceedings 1265 pp. 427-430, 2010. Get it @www.scopus.com or Publisher

19. X-ray spectra by means of Monte Carlo simulations for imaging applications Tirao G.,Quintana C., Malano F., Valente, M. X-Ray Spectrometry 39 pp. 376-383, 2010. Get it @www.scopus.com or Publisher

20. Mammography image quality optimisation: A Monte Carlo study Tirao G., Quintana C.,Valente, M. International Journal of Low Radiation 7 pp. 276-297, 2010. Get it @www.scopus.com or Publisher

21. Fricke gel dosimeter tissue-equivalence: A Monte Carlo study Valente, M., Bartesaghi, G.,Gambarini, G., Brusa D,. Castellano, G., Carrara, M. Astroparticle, Particle and SpacePhysics, Detectors and Medical Physics Applications - Proceedings of the 10th Conferencepp. 605-609, 2008. Get it @ www.scopus.com or Publisher

22. Study of polymer gel for dose imaging in radiotherapy Vanossi, E., Carrara, M., Gambari-ni, G., Mariani, M., Valente, M. Radiation Measurements pp. 442-445, 2008. Get it @www.scopus.com or Publisher

23. Dose distributions in phantoms irradiated in thermal columns of two different nuclear re-actors Gambarini G., Agosteo S., Altieri S., Bortolussi S., Carrara M., Gay S., Nava E.,Petrovich C., Rosi G., Valente M. Radiation Protection Dosimetry 126 pp. 640-644, 2007.Get it @ www.scopus.com or Publisher

24. Optical analysis of gel dosimeters: Comparison of Fricke and normoxic polymer gels Gam-barini, G., Carrara, M., Mariani, M., Pirola L., Tomatis S., Valente, M., Vanossi, E. NuclearInstruments and Methods in Physics Research, Section B: Beam Interactions with Materialsand Atoms 263 pp. 191-195, 2007. Get it @ www.scopus.com or Publisher

25. Gel dosimeters as useful dose and thermal-fluence detectors in boron neutron capture therapyMoss R., Mariani M., Carrara M., Daquino G. Nievaart V., Valente M., Vanossi E. RadiationEffects and Defects in Solids pp. 65-70, 2007. Get it @ www.scopus.com or Publisher

26. An optimized Monte Carlo (PENELOPE) code for the characterization of gel-layer detectorsin radiotherapy Castellano, G., Brusa, D., Carrara, M., Gambarini, G., Valente, M. Nucle-ar Instruments and Methods in Physics Research, Section A: Accelerators, Spectrometers,Detectors and Associated Equipment 580 pp. 502-505, 2007. Get it @ www.scopus.com orPublisher


http://scitation.aip.org/content/aapm/journal/medphys/38/7/10.1118/1.3586038


http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.3480219




http://www.inderscienceonline.com/doi/abs/10.1504/IJLR.2010.03492


http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.3480223




http://www.inderscienceonline.com/doi/abs/10.1504/IJLR.2010.034916





http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/17576652




http://publications.jrc.ec.europa.eu/repository/handle/JRC34195


http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016890020701090X

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27. Gel dosimetry measurements and Monte Carlo modeling for external radiotherapy photonbeams. Comparison with a treatment planning system dose distribution Valente M., Aon E.,Brunetto M., Castellano G., Gallivanone F., Gambarinia, G. Nuclear Instruments and Meth-ods in Physics Research, Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and AssociatedEquipment 580 pp. 497-501, 2007. Get it @ www.scopus.com or Publisher

28. Gel-layer dosimetry for dose verification in intensity-modulated radiation therapy Tomatis,S., Carrara, M., Gambarini, G., Marchesini, R., Valente, M. Nuclear Instruments and Meth-ods in Physics Research, Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and AssociatedEquipment 580 pp. 506-509, 2007. Get it @ www.scopus.com or Publisher

29. Dose distribution measurements by means of gel-layer dosimeters. Evaluation of algorithmsfor artifacts amendment Carrara, M., Gambarini, G., Tomatis, S., Valente, M. Nuclear Instru-ments and Methods in Physics Research, Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectorsand Associated Equipment 579 pp. 334-338, 2007. Get it @ www.scopus.com or Publisher

30. Preliminary results from a polymer gel dosimeter for absorbed dose imaging in radiotherapyMariani, M., Vanossi, E., Gambarini, G., Carrara, M., Valente, M. Radiation Physics andChemistry 76 pp. 1507-1510, 2007. Get it @ www.scopus.com or Publisher

31. PhoNeS: A novel approach to BNCT with conventional radiotherapy accelerators Bevilac-qua R., Giannini G., Calligaris F., Fontanarosa D., Longo F., Scian G., Totaro P., Vittor K.,Vallazza E., Severgnini M, Vidimari R., Bartesaghi G., Conti V., Mascagna V., Perboni C.,Prest M., Gambarini G., Gay S., Valente M., Mozzanica A., Monti A., Ostinelli A., AzariodL, Fidanzio A., Piermattei A., Borla O., Durisic E., Fasolo F., Nastasi U. Perosino E., ZaniniA., Tommasino L. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A: Accel-erators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment 572 pp. 231-232, 2007. Get it@ www.scopus.com or Publisher

32. 3D-reconstruction of absorbed dose obtained from gel-dosimeter-layers Gambarini, G., Car-rara, M., Valente, M. Astroparticle, Particle and Space Physics, Detectors and MedicalPhysics Applications - Proceedings of the 9th Conference pp. 705-709, 2007. Get it @www.scopus.com or Publisher

33. Dose imaging in radiotherapy photon fields with Fricke and normoxic-polymer gels Gam-barini, G., Brusa, D., Carrara, M., Castellano G., Valente, M., Vanossi, E. Journal of Physics:Conference Series 41 pp. 466-474, 2006. Get it @ www.scopus.com or Publisher













http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/41/1/052/meta

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Índice1.. Módulo I: Introducción a los Métodos de Monte Carlo 14

1.1.. Introducción y aspectos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.. Algoritmos de números pesudo-aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.. Transformación de variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.. Estimación de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.. Estimación numérica por métodos aceptación/rechazo . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.. El método Monte Carlo en física de partículas: transporte y colisiones . . . . . . . 23

2.. Módulo II: Repaso de estadística 272.1.. Magnitudes estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.. Otras magnitudes estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.. Medidas estadísticas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.. Ejemplos de aplicación: Ejercitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.. Módulo III: Tópicos de teoría de Probabilidades 343.1.. Repaso histórico de la teoría de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.. Introducción y definiciones de teoría de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1.. Ejemplo de aplicación: Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . 38

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Tabla de Constantes físicas

Cantidad Símbolo ValorNúmero de Avogadro NA 6,0221415 ·1023mol−1

Velocidad luz en vacío c 2,99792458 ·105ms−1

Masa del electrón m0,me 9,1093826 ·10−31kgCarga del electrón e,qe 6,58211915 ·10−16eV s

Constante de Planck reducida ~≡ h/2π 6,58211915 ·10−16eV sEnergía en reposo de electrón mec2 510,998918keV

Radio clásico del electrón re ≡ q2e/(mec2) 2,817940325 ·10−15m

Constante de estructura fina α≡ q2e/(~c) 1/137,03599911

Radio de Bohr a0 ≡ ~2/(meq2e) 0,5291772108 ·10−10m

Tabla de Conversión de Unidades dosimétricas

Cantidad Unidad SI Unidad tradicionalActividad 1Bequerel (Bq) 2,703 ·10−11 Curie (Ci)Energía 1 Joule (J) 6,242 ·1018 electronVolt (eV )

Dosis Absorbida 1 Gray (Gy) 100 radExposición 1 C/kgaire 3876 Roentgen

Dosis Equivalente 1 Sievert (Sv) 100 rems

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El Método Monte Carlo en Física Médica MÓDULO I 13

MÓDULO I

Introducción a los Métodos de Monte Carlo

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14 Introducción a los Métodos de Monte Carlo MÓDULO I

1.. Módulo I: Introducción a los Métodos de Monte Carlo

El Capítulo 1. está destimado a presentar un breve resumen sobre los aspectos históricosy las ideas fundamentales que subyacen a la técnica de simulación Monte Carlo.

1.1.. Introducción y aspectos básicos

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1.2.. Algoritmos de números pesudo-aleatorios

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1.3.. Transformación de variables estadísticas

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1.4.. Estimación de integrales

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1.5.. Estimación numérica por métodos aceptación/rechazo

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1.6.. El método Monte Carlo en física de partículas: transporte y colisiones

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26 Repaso de estadísica MÓDULO II

MÓDULO II

Repaso de estadística

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El Método Monte Carlo en Física Médica MÓDULO II 27

2.. Módulo II: Repaso de estadística

El Capítulo 2. está orientado a un breve repaso de los conceptos y cantidades estadísti-cas más relevantes para el uso de la técnica Monte Carlo.

2.1.. Magnitudes estadísticas

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2.2.. Otras magnitudes estadísticas

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2.3.. Medidas estadísticas de dispersión

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2.4.. Ejemplos de aplicación: Ejercitación

Desarrollar los siguientes ejercicios prácticos:

1. Calcular la mediana y la desviación stanandard para la estimación de población en 7países europeos.

2. Calcular la media, la mediana y la moda del conjunto de datos del item precedente.

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MÓDULO III

Tópicos de teoría de Probabilidades

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34 Tópicos de teoría de Probabilidades MÓDULO III

3.. Módulo III: Tópicos de teoría de Probabilidades

El Capítulo 3. está destinado a repasar los tópicos básicos de la teoría de probabilidades,que resultan necesarios para la técnica de simulación Monte Carlo.

3.1.. Repaso histórico de la teoría de probabilidades

Los juegos de azar tienen una antigüedad de más de 40000 años; así por ejemplo, losdados se utilizaron tanto en el juego como en ceremonias religiosas. Las civilizacionesantiguas explicaban el azar mediante la voluntad divina. En el Renacimiento el abandonoprogresivo de explicaciones teológicas conduce a una reconsideración de los experimentosaleatorios. En el siglo XVI, matemáticos italianos comenzaron a interpretar los resultadosde experimentos aleatorios simples y a finales del siglo XVI, existía un análisis empírico delos resultados aleatorios.

El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente du-rante los siglos XVI y XVII. El cálculo de probabilidades se consolida como disciplinaindependiente en el período entre la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos delsiglo XVIII. La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Fermat y Pas-cal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Sin embargo,algunos marcan sus inicios cuando Cardano escribió hacia 1520 El Libro de los Juegos deAzar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, en 1660) no es hasta dichafecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

La industria de los seguros, que nació en el siglo XIX, requería un conocimiento exactodel riesgo de perder pues de lo contrario no se podían calcular las pólizas. Posteriormente,se estudia la probabilidad como un instrumento que permitiría entender los fenómenos so-ciales.

Por otro lado, la necesidad de comparar con exactitud los datos observados con la teoríarequería un tratamiento riguroso del mismo, que va a dar lugar a la teoría de errores. Du-rante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar,se publicaron varios documentos de este tipo. Jakob Bernouilli escribió Ars Conjectandi(publicado en 1713 aunque escrito hacia 1690).

El impulso fundamental proviene de la obra de Pierre Simon, Marqués de Laplace, pu-blicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre losjuegos de azar, y fue quien indujo la primera definición explícita de probabilidad. Tambiéndesarrolló la ley normal como modelo para describir variabilidad de los errores de medida,formuló y estimó el primer modelo explicativo estadístico. Por su parte, Gauss hizo suaporte en la estimación de modelos estadísticos.

3.2.. Introducción y definiciones de teoría de probabilidades

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observadosson diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia seanlas mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estosfenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En el lenguaje

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El Método Monte Carlo en Física Médica MÓDULO III 35

habitual, frases como “probablemente...”, “es poco probable que...”, “hay muchas posibi-lidades de que...” hacen referencia a esta incertidumbre.

La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelar y tratarcon situaciones de este tipo. Por otra parte, cuando se aplican las técnicas estadísticas almuestreo, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporcionauna base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias rea--lizadas. El objetivo del Cálculo de Probabilidades es el estudio de métodos de análisis delcomportamiento de fenómenos aleatorios.

Aunque desde sus orígenes siempre han estado ligadas, es cierto que existe un cier-to paralelismo entre la estadística descriptiva y el cálculo de probabilidades, como puedeapreciarse en la siguiente tabla 3.2.:

En la actividad diaria, uno se encuentra con ciertos tipos de fenómenos que puedenreproducirse un gran número de veces, en condiciones similares dando lugar a un conjuntode dos o más posibles resultados. Estos fenómenos pueden ser de dos tipos: determinísticosy aleatorios.

Fenómeno determinístico Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones inicialesse obtiene siempre los mismos resultados.

Fenómeno aleatorio Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales no seobtiene siempre los mismos resultados. Ejemplo: cuando se lanza una moneda al aireobservando la sucesión de caras y cruces que resultan.

Experimento aleatorio Operación que se repite bajo idénticas condiciones inicialesy no se obtiene siempre los mismos resultados. Ejemplo: lanzamiento de un dadoobservando la sucesión de números que resultan (1, 2, 3, 4, 5, 6, es decir, la sucesiónde haber obtenido 1, 2, 3, 4, 5 y 6, en ese orden).

Suceso elemental Cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio;luego un suceso elemental consta de un sólo elemento del espacio muestral. En elejemplo del dado: 1.

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Espacio muestral Conjunto de todos los sucesos elementales del experimento aleato-rio y lo se designará como E. Ejemplo del dado: 1,2,3,4,5,6.

Suceso Conjunto formado por uno o más sucesos elementales, es decir, un subcon-junto de resultados elementales del experimento aleatorio. Ejemplo del dado: interesasaber si el resultado a sido un número impar A = 1,3,5.

Suceso seguro Coincide con el suceso elemental, ya que al realizar el experimentoaleatorio se obtendrá con seguridad uno de los posibles resultados o sucesos elemen-tales, y por tanto ocurrirá E.

Dos sucesos son iguales cuando todo suceso elemental de uno está en el otro, yviceversa.

Suceso imposible Es el que no tiene ningún elemento del espacio muestral E, y portanto no ocurrirá nunca, y se representa como ∅. Ejemplo: En el lanzamiento deldado no puede darse el 7.

Suceso complementario a un suceso A (A) Es el suceso que se verifica si, comoresultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a denotar con elsímbolo A.

Sucesos incompatibles Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente ex-cluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.

Algunas propiedades importantes, son las siguientes: Parados sucesos cualesquiera A y

B: A está contenido en B, entonces B no está contenido en A: A⊂ B⇒ B * A.Para dos sucesos cualesquiera A y B donde A está contenido en B y B está contenido

en A, entonces A = B.En el cuadro siguente 3.2. resume algunas -de las muchas- propiedades de probabili-

dades de sucesos:

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Para definir la probabilidad se darán varias definiciones o conceptos de probabilidad.Con estas definiciones se pretende expresar de manera objetiva y precisa el grado de o-currencia de ciertos resultados de un fenómeno aleatorio.

Concepto Frecuentista Dado un suceso A que se repite un número de veces, se ob-serva la frecuencia con que se repite ese suceso, obteniendo las probabilidades asociadasasignando la frecuencia relativa a cada suceso.

Se denomina frecuencia absoluta ( fa) de un suceso A al número de veces que se veri-fica A al realizar el experimento un número determinado de veces. Se denomina frecuenciarelativa ( fr) de un suceso A al cociente entre su frecuencia absoluta y el número de vecesque se realiza el experimento, que viene dada por: fr ≡ ( fa)

n , donde n es número de vecesque se repite el experimento.

Definición de Laplace La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entreel número de resultados favorables o resultados que integran el suceso A y el número totalde los elementos o posibles resultados del espacio muestral E: P(A)≡ Nm.casos f avorables

Nm.casostotales .Como se mencionó, los sucesos se los considera como conjuntos, siendo válido para los

sucesos todo lo estudiado en la teoría de conjuntos. Para llegarla construcción axiomáticadel Cálculo de Probabilidades, es necesario dar unas estructuras algebraicas básicas con-struídas sobre los sucesos de la misma manera que con construían sobre los conjuntos. Paraello, es necesario desarrollar metodologías del Álgebra de Boole, lo cual se encuentra fuerade las posibilidades del presenyte curso. ero, en muy resumidos términos, puede decirseque: todo fenómeno aleatorio lleva asociado un espacio muestral. Para medir el grado deocurrencia de los sucesos se utiliza el Álgebra de Boole, álgebra de sucesos o sigma álgebra.

3.3.. Probabilidad condicionada

Hasta el momento, se prtesentó el concepto de probabilidad partiendo de que la únicainformación disponible sobre el experimento es el espacio muestral. Sin embargo, en oca-siones se conoce que un determinado suceso ha ocurrido. Por tanto: Modificará esta nuevainformación adicional la probabilidad de que ocurra otro suceso? Se verá que generalmentesí. A partir de esta idea surge la idea de probabilidad condicionada, que define: Sea un es-pacio probabilístico y un suceso B perteneciente al Álgebra de Boole, tal que P(B) 6= 0,entonces se define la probabilidad de que ocurra A si antes ha ocurrido B (P(A/B)), comosigue: P(A/B)≡ P(A∩B)

P(A) siempre que P(B) 6= 0.

Análogamente, puede definirse P(A/B) como: P(A/B)≡ P(A∩B)P(B) siempre que P(A) 6= 0.

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De las definiciones anteriores se deducen claramente las relaciones siguientes:

3.3.1.. Ejemplo de aplicación: Probabilidad condicionada

De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras, se extraen sucesivamente 2 bolas.Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. Que las dos sean negras

2. Que las dos sean rojas

3. Que la primera se roja y la segunda negra

4. Que la segunda se roja sabiendo que la primera fue negra

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