El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes

El metodo de Arquımedes para calcular areas yvolumenes

La historia de las Matematicas como herramienta didactica

Alicia Tocino Sanchez

Master Universitario de Formacion del Profesorado de Educacion SecundariaObligatoria y Bachillerato, Formacion Profesional y Ensenanzas de Idiomas

Especialidad de Matematicas

22 de Octubre de 2018

El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes

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1 Estructura y Objetivos Principales

2 Area de un Cırculo

3 Area y Volumen de una Esfera

4 Principio de Cavalieri

5 Actividades

6 Analisis y Conclusiones

El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes

Estructura y Objetivos Principales

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Estructura

� Introduccion

� Fundamentacion teorica

� Metodologıa

� Analisis y Conclusiones

� Bibliografıa

� Anexos

Objetivos Principales

� Introducir la historia de lasmatematicas en la ensenanza

� Proponer actividades didacticas

� Comenzar un proceso deinvestigacion-accion yformacion continua

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Area de un Cırculo

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El area de un cırculo

es igual al area de un triangulorectangulo donde uno de los catetoses el radio del cırculo y el otro es lacircunferencia.

Metodo de exhaucion

Realizamos doble reduccion al absurdo inscribiendo ycircunscribiendo un cırculo por polıgonos regulares.

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Area y Volumen de una Esfera

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Relacion entre una esfera y su cilindro circunscrito

Todo cilindro de base un cırculo maximo de una esfera y de alturaigual al diametro de la esfera es 3

2 de la esfera y su area lateral consus bases es 3

2 del area de la esfera.

Volumen Esfera + Volumen Cono = Volumen Cilindro

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Area y Volumen de una Esfera

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Metodo mecanico

Consideramos a un lado de la palanca un cilindro y al otro ladouna esfera y un cono como en la figura. Realizamos cortes en lossolidos y aplicamos la ley de la palanca para calcular el volumen dela esfera a partir de las secciones en el cilindro y en el cono.

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Principio de Cavalieri

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Enunciado en 3 dimensiones

Consideramos dos solidos en un espacio delimitado por dos planos.Si cada plano paralelo a esos planos interseca ambos solidos ensecciones con la misma area, entonces los dos solidos tienen igualvolumen.

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Principio de Cavalieri

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Volumen de la esfera

Consideramos la semiesfera y el solido formado por un cilindromenos un cono inscrito en el con la misma base y altura que elcilindro. Aplicamos el Principio de Cavalieri comparando el area delas secciones de cada solido.

Volumen Esfera = Volumen Cilindro − Volumen Cono

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Actividades

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Algunas actividades propuestas

� Aplicar el metodo mecanico para calcular el volumen de unparaboloide

� Aplicar el Principio de Cavalieri para calcular el volumen de unparaboloide

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Analisis y Conclusiones

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Lıneas futuras de trabajo - Formacion continua

� Area de una elipse por el metodo de exhaucion

� Volumen de un elipsoide por el metodo mecanico

� Aproximaciones del numero π y de numeros irracionales

� Estudios de otro matematico ilustre (Euclides)

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Gracias por vuestra atencion