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1/52

EL ELEMENTO FINITO

APLICADO A LAS ESTRUCTURA S

METALICAS

ING. F. JAVIER ANAYA ESTRELLA

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INTRODUCCION

UNA REGION COMPLEJA QUE DEFINE UN CONTINUO SE DISCRETIZA EN

FORMAS GEOMETRICAS SIMPLES LLAMADAS ELEMENTOS FINITOS. LAS

PROPIEDADES DEL MATERIAL Y LAS RELACIONES GOBERNATES SON

CONSIDERADAS SOBRE ESOS ELEMENTOS Y EXPRESADAS EN

TÉRMINOS DE VALORES DESCONOCIDOS EN LOS BORDES DEL

ELEMENTO. UN PROCESO DE ESAMBLE CUANDO SE CONSIDERAN

DEBIDAMENTE LAS CARGAS Y RESTRICCIONES DA LUGAR AUN

CONJUNTO DE ECUACIONES. LA SOLUCION DE ESAS ECUACIONES NOS

DA EL COMPORTAMIENTO APROXIMADO DEL CONTINUO.

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3/52

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

La solución aproximada se propone para cada ecuación diferencial en

forma un tanto arbitraria y se considera que es buena si proporciona

resultados aproximados a los reales. Una característica común de lolas

soluciones aproximadas es que son funciones continuas en todo el

dominio y diferenciables un número infinito de veces.En el caso del método de los elementos finitos, la idea no es encontrar

una función que sea la solución aproximada en todo el dominio, sino

más bien, el objetivo es determinar los valores de la solución

aproximada en ciertos puntos del dominio y en el resto del dominio la

solución aproximada se encuentra mediante funciones de

interpolación.

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4/52


El método de los elementos finitos tiene las siguientes características:

• El dominio de la función de divide en varios elementos, introduciendo

artificialmente ciertos puntos llamados nodos y se encuentra una

solución aproximada para cada elemento.

• Se emplea una forma estándar de la solución aproximada que es

independiente del tipo de ecuación diferencial que se pretende

resolver.

• No da como resultado la función aproximada sino los valores de lafunción aproximada en ciertos puntos del dominio (nodos) y se

emplean funciones de interpolación para determinar los valores de la

función en los puntos restantes.

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• Para encontrar los valores de la función aproximada en los puntos

del dominio, el MEF utiliza funciones continuas a “pedazos” y

diferenciables solo el número de veces que sea necesario. Estas

funciones por lo general son polinomios de primer o segundo orden,

es decir, la función aproximada es un conjunto de segmentos derectas o curvas.

• Como consecuencia de la discretización del dominio, el MEF genera

un sistema de ecuaciones lineales con un gran número de incógnitas

que se debe resolver aplicando algún método numérico eficiente.

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INTERPOLACIONES

Funciones de interpolación lineal y cuadrática

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7/52


Se puede definir entonces que:

EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ES UN PROCEDIMIENTO

NUMERICO PARA RESOLVER PROBLEMAS FISICOS GOBERNADO POR

ECUACIONES DIFERENCIALES.

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ASPECTOS HISTORICOS

1941 Hrenikoff presentó una solución de problemas de la elasticidad usandoel “método de trabajo del marco”.

1943 Courant usó interpolación polinomial por partes sobre subregiones

triangulares para modelar problemas de torsión.

1955 Argyris publica un libro sobre teoremas de energía y métodos

matriciales, cimentó métodos adicionales en los estudios del elemento finito.

1956 Turner y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para

armaduras, vigas y otros elementos.

1960 Clough es el primero en emplear y acuñar el término “elemento finito”.

En los primeros años de esta década los ingenieros usaron el método para

obtener soluciones aproximadas en problemas de análisis de esfuerzos, flujo de

fluidos, transferencia de calor y otras áreas.

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9/52

•Discretización del dominio:

La región donde se desea determinar

la solución del problema se debe

discretizar, esto significa que el

dominio real se substituye por

elementos discretos mediante la

elección de ciertos puntos nodales

de coordenadas conocidas.

•Elección de las funciones de

aproximación:

Se debe elegir el orden de la

aproximación: lineal, cuadrática o demayor orden, y se debe plantear una

función de interpolación para cada

elemento en términos de los valores

nodales desconocidos.

• Formulación de las ecuaciones del

MEF:

Con las funciones de interpolación

elegidas se aplica el método deGalerkin (o alguno de los métodos

que se verán más adelante) al

problema analizado para obtener las

ecuaciones finales que resuelven el

problema.

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10/52

•Ensamble de los elementos:

Una vez establecidas las ecuaciones

del MEF para cada elemento se

deben “ensamblar” de acuerdo con

la posición que ocupan sus nodos,

para formar un sistema general de

ecuaciones que abarque todo el

dominio. El concepto de “ensamble”

se entiende en el sentido de

considerar la participación de todos

los elementos que convergen en un

mismo nodo al valor aproximado de

la incógnita en ese nodo.

•Solución del sistema de

ecuaciones:

El MEF genera un sistema de

ecuaciones lineales con un gran

número de incógnitas que se debe

resolver aplicando algún método

numérico eficiente.

Determinación de los valores

aproximados:

Finalmente se determinan los

valores aproximados de la función

en los puntos nodales.

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11/52

El método de Galerkin se emplea para encontrar la solución aproximada de

ecuaciones diferenciales y también es conocido que este es uno de los métodos

más utilizados para resolver las ecuaciones diferenciales aplicando el MEF.

Para resolver aproximadamente problemas de Mecánica de Sólidos aplicando el

MEF es frecuente emplear, además del método de Galerkin, otros métodos. Los

dos métodos más importantes son el que se basa en el principio de los trabajos

virtuales y el que emplea el principio de la energía potencial total mínima.

Principio de los trabajos virtuales

Principio de la energía potencial total

mínima. Método de Rayleigh-Ritz

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ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

Algunos problemas físicos gobernados por ecuacionesdiferenciales ordinarias, se pueden modelar o discretizar como

un sistema de elementos unidimensionales. Las armaduras,

vigas, marcos, entre otros, se pueden discretizar con elementos

de este tipo.

Los elementos unidimensionales son segmentos de recta cuya

longitud y posición quedan definidas por las coordenadas de sus

nodos inicial y final (ver Figura 1 ). Estos elementos se unen oconectan en ciertos puntos llamados nodos formando de esta

manera un sistema. Cabe mencionar que los nodos a que se hace

referencia no existen necesariamente en la realidad sino que

aparecen como resultado de la discretización del problema.

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L

i N

N j

j

i

x i

x j

i

j

x

(x)= N (x) N (x) i i j j

x

(x)

Figura 1 Elementounidimensional lineal

( ) ( ) ( )i i j j x N x N x

j ii j

j i j i

x x x x(x)

x x x x

( )

( )

j j

i

j i

i i j

j i

x x x x

N x x x L

x x x x N x

x x L

( ) x N y

i

i j j

N N N

FORMA MATRICIAL:

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Las funciones de forma juegan un papel fundamental en el MEF y esmuy importante conocer sus principales características. De las

expresiones anteriores se deduce que:

• Las funciones de forma son válidas solamente para el elemento

donde fueron definidas.• Cada nodo del elemento tiene su propia función de forma.

• Las funciones de forma unidimensionales sólo dependen de la

coordenada x.• Las funciones de forma tienen un valor igual a la unidad en su

propio nodo y son igual con cero en el otro nodo del elemento, es

decir:

( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1i i i j j i j j x N x N x N x

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( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1i i i j j i j j x N x N x N x

x

N(x)

i j

i

i x

j j x

N (x)i

j (x)

1

0 x

i N (x) N (x) j

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x1

1

1 2

2

2 x x3

3

3 4

4

4 x x5

5

5

L L L L1 2 3 4

1 2 3 4

e e ei i j j N N

(1) (1) (1)

1 1 2 2

(2) (2) (2)

2 2 3 3

(3) (3) (3)3 3 4 4

(4) (4) (4)

4 4 5 5

N N

N N

N N

N N

SOLUCIONES

APROXIMADAS PARA

CADA ELEMENTO:

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FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DEL MEF

Para formular la solución de un problema específico empleando el

MEF se debe conocer de antemano:

• la ecuación diferencial gobernante,

• el dominio o región de integración y• las condiciones de frontera.

La formulación de las ecuaciones básicas para resolver una ecuación

diferencial aplicando el MEF tiene un procedimiento estándar,independiente de la ecuación que se pretende resolver.

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ECUACION FINAL A LA QUE SE LLEGA APLICANDO EL MEF A UN

ELEMENTO AISLADO:

T T

e e

d N d N

D dx N Q dxdx dx

k f

e

T

L

d N d N k D dx

dx dx

eT

L f N Q dx

PARA UN ELEMENTO:

K F

1 1 1

n n n

e e e

K k F f

PARA EL SISTEMA:

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19/52


x

P

q

P

L t

e

x j

j

x i

iu

ji

u

a) b)

Le

Ae

e e+1

e+1 A

ELEMENTOS BARRA

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UTILIZANDO EL METODO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES:

a qT T i L L B E A B dx N dx P

ae e e

k f

e

Lk B AE B dx

qe

LQ N dx

e

i f Q P

PARA UN ELEMENTO EN

PARTICULAR:

En estas expresiones, es

la matriz de rigidez del

elemento, es el vector de

desplazamientos nodales,

es el vector de fuerzas

distribuidas y el vector de

fuerzas concentradas en

los nodos del elemento.

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21/52

UTILIZANDO EL METODO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES:

PARA EL SISTEMA:

a K F

1 1 1

a an n n

e ee

e e e

K k F f

En esta ecuación, es la matriz de

rigidez general del sistema

(ensamblada), y son el vector de

los desplazamientos nodales

(incógnitas) y el vector de fuerzas

nodales del sistema (ensamblados),

respectivamente.

K

a F

ji dN

d N dN Bdx dx dx

a ad N du

Bdx dx

a E E B Esfuerzos normales

en los nodos del

elemento

A la matriz , que contiene las derivadas de las

funciones de forma, se le llama matriz de

deformación.

B

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22/52

El potencial más grande del MEF está quizás, en la solución deproblemas en medios continuos bi y tridimensionales cuyas

ecuaciones gobernantes se expresan en términos de derivadas

parciales.

Uno de los primeros elementos finitos usados en la práctica fue el

elemento triangular de tres nodos, debido a su gran versatilidad paraadaptarse a dominios con contornos irregulares.

El elemento triangular lineal tiene tres lados rectos y un nodo en

cada vértice. Al discretizar una región con elementos de este tipo se

recomienda que los triángulos, en la medida de lo posible, tengan

sus lados iguales aunque sean de diferentes tamaños.

ELEMENTOS BIDIMENSIONALES LINEALES

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x, u

y, v P x

y P

q y

xq

i j

k

e u iiv

uk k v

e

u j jv

k

i

j

En los problemas

bidimensionales la solución

aproximada de la ecuación

gobernante depende de las

coordenadas x y y . Si seconsidera que dentro de cadaelemento triangular la soluciónaproximada dependelinealmente de ambascoordenadas, entonces la

función aproximada puedeexpresarse en la siguienteforma:

1 2 3( , ) x y x y

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24/52


En general, las funciones de forma de los elementos triangulares tienenpropiedades similares a las enunciadas para los elementos unidimensionales, estas

propiedades son:

• Cada nodo del elemento tiene su propia función de forma.

• Las funciones de forma de un elemento solo dependen de las coordenadas x, y. • Las funciones de forma tienen un valor igual a la unidad en su propio nodo y son

igual con cero en los otros nodos del elemento como se muestra en la Figura 2. De esto se deduce que la función de forma de un nodo varía linealmente a lo

largo de los lados que convergen en él y es igual con cero sobre el lado opuesto.

( ) 1 ( ) 0 ( ) 0

( ) 0 ( ) 1 ( ) 0

( ) 0 ( ) 0 ( ) 1

i i j i k i

i j j j k j

i k j k k k

N x N x N x

N x N x N x

N x N x N x

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x

y

i N

i

j

k

N = 1i

x

y

j N

i

j

k

j

x

y

k N

i j

k

N = 1k

N = 0i

N = 0i

N = 1 N = 0 j

N = 0 j

N = 0k

N =0k

FIG. 2 FUNCIONES DE FORMA DEL ELEMENTO TRIANGULAR LINEAL

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CÁLCULO DE ESFUERZOS EN SÓLIDOS ELÁSTICOS

BIDIMENSIONALES

Una de las primeras aplicaciones del método de los elementos finitos fue el

cálculo de esfuerzos en sólidos elásticos. En este tipo de problemas, el MEF se aplica para determinar los desplazamientos nodales y posteriormente se

calculan las deformaciones y los esfuerzos correspondientes.

DISCRETIZACIÓN DE LA REGIÓN DE CÁLCULO

La región de cálculo se debe discretizar con elementos triangulares

considerando los siguientes criterios:

• Los lados de los triángulos deben ser aproximadamente iguales,

evitando triángulos demasiado alargados o estrechos.

• La colocación de los triángulos debe seguir aproximadamente la

forma geométrica del cuerpo analizado.• Se deben colocar nodos en los puntos de aplicación de las cargas

concentradas y en los puntos donde comienzan y terminan las cargas

distribuidas.

• Se deben colocar nodos en los todos los puntos de apoyo.

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ECUACIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELÁSTICA DE ESFUERZOS

0

0 x

y

xy

u

x x

uv

y v y

u v

y x y x

S u

0

0 y

x

uS

v y

y x

u

FORMA MATRICIAL:

2

12

1 0

1 01

0 0 (1 )

x x

y y

xy xy

E

1 01

(1 )1 0

(1 ) (1 2 ) 1

1 20 0

2(1 )

x x

y y

xy xy

E

ESTADO PLANO DE

ESFUERZOS

ESTADO PLANO DE

DEFORMACIONES

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ECUACIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELÁSTICA DE ESFUERZOS

FORMA COMPACTA

ESTADO PLANO DE

ESFUERZOS

ESTADO PLANO DE

DEFORMACIONES

D

2

1

2

1 011 0

(1 )1 0 ó 1 0

1 (1 )(1 2 ) 10 0 (1 )

1 20 0

2(1 )

E E D D

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u u

v v

i i j j k k

i i j j k k

N u N u N u N

N v N v N v N

N au

i

i

2 1

6 1

u

v

uuy

vv

u

v

j

j

k

k

a

u

2 6

0 0 0

0 0 0

i j k

i j k i j k

N N N N N N N

N N N

00 0

00 0

ji k

i j k ji k

N N N

N N N N N N

S N a B a

0 0 0

0 0 0

ji k

ji k

j ji i k k

N N N

x x x

N N N B

y y y

N N N N N N

y x y x y x

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

i j k

i j k

i j k

i j k

N N N b b b

x A x A x A

N N N c c c

y A y A y A

0 0 01

0 0 02

i j k

i j k

i i j j k k

b b b

B c c c A

c b c b c b

Esta matriz no depende de las coordenadas y sólo

contiene valores constantes

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30/52


Una vez conocidos los desplazamientos nodales se

pueden calcular los esfuerzos en cada elemento

ee e D B a

Los esfuerzos en cualquier punto de un elemento resultan serconstantes pero varían de elemento a elemento. Este

comportamiento es una característica particular de los

elementos triangulares lineales (que no se presenta en otros

tipos de elementos finitos) y se debe considerar en el

momento de determinar el tamaño de los elementos. Es

común asociar los esfuerzos calculados con un punto ubicadoen el centroide de cada elemento.

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31/52

ELEMENTO RECTANGULAR BILINEAL

El elemento rectangular de cuatro nodos apareció inmediatamente

después del elemento triangular y es el más simple de la familia de

los elementos rectangulares.

El elemento rectangular tiene lados paralelos a los ejes generales x e y . Se acostumbra numerar sus nodos en dirección contraria a las

manecillas del reloj comenzando con el nodo inferior izquierdo. Laaltura del elemento se considera igual a 2b y su base a 2a, como

se muestra en la Figura 3

2 a

2 b

e

r

s

i

m k

k m

ji

y

x

q

s

r

jt

FIG. 3 ELEMENTO RECTANGULAR BILINEAL

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FUNCIÓN APROXIMADA. FUNCIONES DE FORMA

Cada función de forma varía linealmente a lo largo de los dos lados

del rectángulo que convergen en su nodo y vale uno en su propio

nodo y cero en los otros nodos del rectángulo.

Una vez conocidos los valores nodales de la función aproximada es

posible determinar los valores de esta misma función en cualquier

punto en el interior de un elemento.La variación lineal de la función a lo largo de los lados de los

elementos rectangulares y triangulares hace que estos elementos

sean compatibles y se puedan combinar en la solución de un

mismo problema.

1 11 1 1 14 4

1 11 1 1 1

4 4

i j

k m

r s r s N a b a b

r s r s N

a b a b

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33/52

EVALUACIÓN DE LAS MATRICES DE LOS ELEMENTOS

N au

i

i

2 1

8 1

y

j

j

k

k

k

k

u

v

u

vua

uv

vu

v

u

2 8 j

N N N N N i k m

2 2

0, , ,

0

ii

i

N N i i j k m

N

B a

0 0 0 0

0 0 0 0

ji k m

ji k m

j ji i k k m m

N N N N

x x x x

N N N N B

y y y y

N N N N N N N N

y x y x y x y x

3 8

i j k m B B B B B

3 2

0

0 , , ,

i

i

i

i i

N

x N

B i i j k m y

N N

y x

1 1 4 4

3 32 2

3 32 1 1 4 2 4

0 0 0 0

0 0 0 0

c c c c

c cc c B

c cc c c c c c

1 2

3 4

1 1

4 4

1 1

4 4

b s a r c c

a b a b

a r b sc c

a b a b

Se deduce que, a diferencia del

elemento triangular, la matriz de

deformación del elemento

rectangular depende de las

coordenadas locales r y s y por lotanto es posible determinar los

esfuerzos en cualquier punto del

elemento.

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34/52

EVALUACIÓN DE LAS MATRICES DE LOS ELEMENTOS

Es importante recordar que a

diferencia del elemento triangular,

ahora la matriz de deformación es

una función que depende de las

coordenadas locales del elemento y

de sus dimensiones. Entonces, se

pueden calcular los esfuerzos encualquier punto de un elemento

sustituyendo las coordenadas

apropiadas en la siguiente expresión

Es frecuente calcular los esfuerzos en

los puntos nodales de cada elemento

y posteriormente se presentan enforma gráfica como isolíneas de

esfuerzos. La deficiencia principal de

los elementos rectangulares bilineales

es su poca adaptabilidad a contornos

irregulares, de aquí que su uso sea

poco frecuente.

,T

i j i j

r a s b

r a s b

k B D B t ds dr

11 12

12 11

33

11 12 332 2 2

11 12 33

0

0

0 0

(1 ). . :

1 1 2(1 )

1. . . :

1 1 2 1 1 2 2(1 )

D d d

d

E E E e p de esfuerzos d d d

E E E e p de desp d d d

K U F

( , , ) ( , , ) ee e

e r s D B e r s a

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35/52

Funciones de forma para elementos unidimensionales

cuadráticos

21 2 3( ) a a a

3

1

2

L / 2

L / 2

Funciones de forma para elementos triangulares

cuadráticos

1 2 3 4 5 6( , ) x y a a x a y a x a x y a y

y

x

3

2

1

4

5

6

L = 1

1

1 L = 1 / 2

L = 0

1 1 L = 0

L = 1 / 2

1

1 L = 1

6

5

4

1

2

3

x

y

L = 1 / 2

2

2 L = 1

2 L = 0

L

=

1 /

2

3

3

L

=

0

3

L

=

1

a) b)

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36/52

Funciones de forma para elementos triangulares

cúbicos

Funciones de forma para elementos rectangulares

Lagrangianos

2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , ) x y a a x a y a x a x y a y a x a x y a x y a y

x

3

2

1

4

5

6

7

8

9

10

y

n mi i jl l

1 2 3

4

9

8

7 6 5

4 3

1 2

c)a) b)

Elementos Lagrangianos: a) Lineal, b) cuadrático y c) cúbico

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37/52

Funciones de forma de la familia “serendípita” en elementos rectangulares

b)a) c)

21

34

567

8 4

321

1 3 42

9 7810

6

512

11

Es conveniente que el polinomio de interpolación y las funciones de forma

solo dependan de las coordenadas de nodos situados en el contorno del

elemento. Precisamente esta propiedad tienen los elementos

rectangulares de la familia serendípita.

Figura 5 Elementos de la familia “ serendípita”: a) lineal, b) cuadrático y c) cúbico

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38/52

Figura 6 ELEMENTOS PRISMATICOSRECTANGULARES

(FAMILIA SERENDIPITIA)

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39/52


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CRITERIOS DE FALLA EN MATERIALES DUCTILES

Teoría de la tensión tangencial

máxima Criterio de Tresca)

, la tensión de límite elástico del material

de la pieza.

, mayor y la menor tensión principal en elpunto considerado.

Teoría de la máxima energía

de distorsión Criterio de Von

Mises)

, son las tensiones principales en el punto considerado.

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http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_el%C3%A1sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n_principalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n_principalhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_el%C3%A1stico


41/52

CRITERIOS DE FALLA EN MATERIALES DUCTILES

Comparación de las superficies de fluencia para

los criterios de Von Mises y Tresca usando

las tensiones principales como coordenadas.

Figura 8

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http://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n_principalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n_principal


42/52

APLICACIONES

Figura 9 ANCLAJE DE VARILLAS EN UN BLOQUE DE CONCRETO

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43/52

APLICACIONES

Figura 10 PLACA BASE

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44/52

PLIC CIONES…

Figura 11 PLACA BASE

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C t A d


45/52

PLIC CIONES…

Figura 12 MODELADO DE PUENTE VEHICULAR

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C t A d


46/52

PLIC CIONES…

Figura 13 SECCION DE PUENTE CURVO

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47/52

PLIC CIONES…

Figura 14 TORRES BICENTENERIO

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48/52

PLIC CIONES…

Figura 15 ESFUERZOS EN LA ABERTURA EN UNA PLACA

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49/52

PLIC CIONES…

Figura 16 ESFUERZOS EN UNA ESFERA SUJETA A PRESION INTERNA

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50/52

PLIC CIONES…

Figura 17 ESFUERZOS EN UNA VIGA IPR

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51/52

PLIC CIONES…

Figura 18 BANCO DE APOYO METÁLICO PARA UN PUENTE

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52/52

FINAL DE LA PRESENTACION

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