1. IntroduccinLas soluciones matemticas para el clculo de impedancias en laslneas de transmisin son laboriosas. En consecuencia, seacostumbra usar grficas.Hay varias grficas en las que se presentan las propiedades de laslneas de transmisin. Sin embargo, las ms tiles son aquellasque expresan las relaciones de impedancia que existen a lo largode una lnea de transmisin sin prdida, para diversascondiciones de carga. El diagrama de Smith es la calculadorams usada en lneas de transmisin de este tipo. Es un tipoespecial de sistema de coordenadas de impedancia, que retrata larelacin entre la impedancia en cualquier punto a lo largo de unalnea de transmisin uniforme, y la impedancia en cualquier otropunto de la lnea.

2. DeduccinLa impedancia de una lnea de transmisin est formada porcomponentes real e imaginario de cualquier signo (Z = R +/- jX).Todos los valores de Z que corresponden a redes pasivas se debengraficar en o hacia la derecha del eje imaginario del plano Z; estose debe a que un componente real negativo implica que la red escapaz de suministrar energa. Para mostrar la impedancia detodas las redes pasivas posibles en una grfica rectangular, esagrfica se debera prolongar al infinito en tresdirecciones, +R, +jX y jX. El diagrama de Smith supera estalimitacin, porque se grfica el coeficiente de reflexincomplejo, = z 1/z + 1 3. en donde z es la impedancia normalizada a la impedanciacaracterstica, es decir, z = Z/Zo. De acuerdo con la primerecuacin, para todos los valores z de impedancia pasiva, lamagnitud de est entre 0 y 1. Tambin, como ll 1, todo ellado derecho del plano z se puede trazar en un rea circular en elplano . El crculo que resulta tiene un radio r = 1 y su centro esten = 0, lo cual corresponde a z = 1 o a Z = Zo. 4. Lneas de Re (z) constante: 5. La figura a) muestra la grfica rectangular de cuatro lneas deresistencia constante Re(z) = 0, 0.5, 1 y 2. Por ejemplo, todaimpedancia cuya parte real sea Re = 1, estar en la recta R = 1.Ahora en la figura b) Re(z) son crculos de Re(). La diferenciaprincipal entre las dos grficas es que en la grfica circular laslneas ya no se prolongan al infinito. 6. Lneas de X(z) constante: 7. La figura a) muestra la grfica rectangular de tres lneas dereactancia inductiva constante, X = 0.5, 1 y 2, tres lneas dereactancia capacitiva constante, X = -0.5, -1 y -2, y una lnea dereactancia cero, X = 0. La figura b) muestra los mismos sietevalores de jX, graficados en el plano . Todo el plano rectangularz se enrosca hacia la derecha, y sus tres ejes, que antes seprolongaban al infinito, se encuentran en la interseccin delcrculo = 1 con el eje horizontal. 8. Graficacin de la impedancia ySWRToda impedancia Z se puede graficar en el diagrama de Smithslo normalizando su valor respecto a la impedanciacaracterstica, es decir, z = Z/Zo, y graficando las partes real eimaginaria. Por ejemplo, para una impedancia caracterstica Zo =50 y una impedancia resistiva Z = 25 , la impedancianormalizada z se calcula como siguez = Z/Zo = 25/50 = 0.5Como z es puramente resistiva, esta grfica debe estardirectamente sobre el eje horizontal. 9. Una caracterstica muy importante del diagrama de Smith es quecualquier lnea sin prdida se puede representar por un crculocon origen en 1 +/- j0, el centro de la grfica, y con radio igual a ladistancia entre el origen y la grfica de impedancia. Porconsiguiente, la relacin de onda estacionaria (SWR) quecorresponde a algn crculo determinado es igual al valor deZ/Zo en el que el crculo cruza el eje horizontal al lado derechode la grfica. En consecuencia, para este ejemplo, SWR = 2. 10. Para una impedancia caracterstica Zo = 50 y una cargainductiva Z = +j25, la impedancia normalizada z se determinacomo sigue:z = +j25/50 = +j0.5Como z es puramente inductiva, su grfica debe estar en el eje R= 0, que es el crculo exterior de la grfica (punto A). En esteejemplo, SWR debe estar en el extremo derecho del ejehorizontal (punto C ) y corresponde a SWR = , inevitable parauna carga puramente reactiva. 11. Para una impedancia compleja Z = 25 + j25, z se determina comosigue:z = 25 + j25/50 = 0.5 + j0.5La impedancia z se determina en la grfica de Smith ubicando elpunto donde el arco R = 0.5 intersecta el arco X = 0.5 en la mitadsuperior de la grfica. En la siguiente figura se grafica el punto z= 0.5 + j0.5 en el punto A. Segn esta grfica, SWR esaproximadamente 2.6 (punto C). 12. Impedancia de entradaCon la grfica de Smith se puede determinar la impedancia deentrada de una lnea de transmisin a cualquier distancia de lacarga. Las dos escalas externas de la grfica de Smith indican ladistancia, en longitudes de onda. La escala externa muestra ladistancia de la carga al generador, y aumenta en direccin de lasmanecillas del reloj, y la segunda escala muestra la distancia de lafuente a la carga y aumenta en direccin contraria a lasmanecillas del reloj. Sin embargo, ninguna de las escalas indicanecesariamente la posicin de la fuente o de la carga. Unarevolucin completa (360) representa una distancia de la mitadde una longitud de onda (0.5), y la mitad de una revolucin(180) representa una distancia de un cuarto de longitud de onda(0.25), etctera. 13. Por ejemplo, para una impedancia de carga ZL = 37.5 , y unaimpedancia caracterstica de lnea de transmisin Zo = 75 , laimpedancia de entrada a varias distancias de la carga sedetermina como sigue,z = ZL/Zo = 37.5/75 = 0.5Se grafica z = 0.5 en la grfica de Smith (punto A). Se traza uncrculo que pase por el punto A, con su centro ubicado en lainterseccin del crculo R = 1 y el arco x = 0.Se lee SWR en forma directa en la interseccin del crculo z= 0.5 con la recta X = 0 en el lado derecho (punto F). Eneste caso, SWR = 2. Con el crculo de impedancia sepueden describir todas las impedancias a lo largo de lalnea de transmisin. 14. Por consiguiente, la impedancia de entrada (Zi), a la distancia ala queremos ubicarla que es de 0.125 de la carga, se determinaproyectando el crculo z hasta el exterior de la grfica; el punto Ase mueve hacia su posicin correspondiente en la escala externa(punto B), y recorriendo la escala en direccin de las manecillasdel reloj, a una distancia de 0.125.Se da la vuelta del punto B hasta una distancia igual a la longitudde la lnea de transmisin (punto C). Se proyecta este punto auna posicin correspondiente en el crculo z = 0.5 (punto D). 15. La impedancia de entrada normalizada est en el punto D (0.8 +j0.6). La impedancia real se determina multiplicando laimpedancia normalizada por la impedancia caracterstica de lalnea. Entonces, la impedancia de entrada Zi es: Zi = (0.8 + j0.6) x 75 = 60 + j45Para distancias mayores que 0.5 se contina girando sobre elcrculo, y cada giro completo corresponde a 0.5. 16. Lnea de acoplamientomediante stubLos stub en corto y abiertos se pueden usar para cancelar la partereactiva de una impedancia compleja de carga, y con ello acoplarla carga a la lnea de transmisin. Se prefieren los stub encorto, porque los abiertos tienen mayor tendencia a irradiar.El acoplamiento de una carga compleja ZL = 50 j100 a una lneade transmisin de 75 , usando un stub en corto, se hace enforma muy sencilla con un diagrama de Smith. El procedimientoes:z = 50 j100/75 = 0.67 j1.33 17. Se grafica z = 0.67 j1.33 en la grfica de Smith (punto A), y setraza el crculo de impedancia. Como los stub estn en paralelocon la carga, se usan admitancias, ms que impedancias, parasimplificar los clculos.La admitancia normalizada y se determina en la grfica de Smithgirando 180 la grfica de impedancia z. Para ello se traza unarecta del punto A que pase por el centro de la grfica, hasta ellado opuesto del crculo (punto B).Se gira el punto de admitancia en sentido de las manecillas delreloj hasta un punto sobre el crculo de impedancia donde cruceel crculo R = 1 (punto C). El componente real de la impedanciade entrada en este punto es igual a la impedancia caractersticaZo; Zent = R +/- jX, donde R = Zo. En el punto C, la admitanciaes y = 1 + j1.7 18. La distancia del punto B al punto C es la que debe haber entre lacarga y el stub. Para este ejemplo, la distancia es 0.18 0.09 =0.09. El stub debe tener impedancia con componente resistivocero, y con una susceptancia que tenga la polaridad opuesta, esdecir, ys = 0 j1.7.Para determinar la longitud del stub con admitancia ys = 0 j1.7, se avanza por el crculo externo (donde R = 0), con unalongitud de onda identificada en el punto D, hasta que sedetermine una admitancia y = 1.7 (el valor de la longitud de ondase identifica en el punto E). Se comienza en D, porque un stuben corto tiene resistencia mnima (R = 0). La distancia delpunto D al punto E es la longitud del stub. Es decir, 0.334 0.25 = 0.084.