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Magíster Iris Montenegro
MÓDULO 1
Curso: Matemática
EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES
UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO
Introducción
Los estudiantes que inician el curso de Matemática a nivel superior buscan profundizar los conocimientos
adquiridos durante su instrucción de educación media. Este módulo pretende orientarlos, de la mejor
manera posible, en un aprendizaje matemático más significativo y perecedero.
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Magíster Iris Montenegro
Módulo 1. Los Números Reales. Duración: 2 semanas
Objetivos Competenciales:
1. Define y ejemplifica conjuntos.
2. Emplea la notación y simbología adecuada para los conjuntos.
3. Resalta la importancia de extender el conjunto de los números naturales al conjunto de los reales.
4. Resuelve operaciones básicas entre conjuntos.
Un conjunto es una colección o agrupación de cosas, personas, objetos, animales. Usualmente los
conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto.
Ejemplos de Conjuntos:
1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro.
2. Las letras del alfabeto.
3. Los alumnos de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO.
Un subconjunto es una parte de un conjunto.
De los ejemplos anteriores, obtendremos algunos subconjuntos.
1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro que son mayores de 35 años.
2. Las vocales.
3. Los alumnos del primer año de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO.
Se le denomina elementos a cada uno de los objetos, cosas, animales o personas que forman parte de un
conjunto dado. El símbolo matemático empleado para denotar que un elemento pertenece a un conjunto
es y cuando deseamos escribir que el elemento no pertenece a un conjunto usamos el símbolo.
Ejemplo.
Sea el conjunto 𝐴 = {2, 3,5,7,11}
Podemos decir que 3 A y se lee “3 es elemento o pertenece al conjunto A”.
Sin embargo, 12 A y se lee “12 no es elemento de A”.
CONJUNTOS NUMÉRICOS.
La historia ha demostrado que la evolución conceptual de los distintos conjuntos numéricos ha
evolucionado a lo largo de las distintas épocas de desarrollo del pensamiento humano. En la actualidad
conocer su génesis es de suma importancia para poder vencer las dificultades epistemológicas de los
aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos.
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Magíster Iris Montenegro
A. Los Números Naturales: son los números que utilizamos para contar. Se denotan mediante el
símbolo ℕ y se definen como ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …
Otras nociones básicas:
a) Múltiplo de un número dado: Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe
otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r.
Ejemplo:
Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36,42,48, 54, 60, 66, 72,…
b) Divisor de un número dado: Son los números naturales que dividen al número dado de manera
exacta.
Ejemplo.
Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15
Tipos de Números
a) Números Pares: Son aquellos cuya unidad termina en 0, 2, 4, 6, 8. Ejemplos de números pares
56 7890 112358 102
b) Números Impares: Son aquellos cuya unidad termina en 1, 3, 5, 7, 9. Ejemplos de números impares
655 1701 247 992173
c) Números Primos: Aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (1) y el propio número.
Ejemplos de números primos = 2, 3, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,…
d) Números compuestos: todos aquellos números que no son primos.
Ejemplos de números compuestos = 24, 35, 78, 107, 94, 236, 459, 312, 39, 169,…
e) Números Gemelos: son números primos cuya diferencia es dos.
Ejemplos:
5 y 3 son gemelos porque ambos son primos y al restarlos, 5 – 3, la diferencia es 2.
B. Los Números Enteros: Se denota mediante el símbolo ℤ es el conjunto formado por:
Los enteros positivos: ℤ+ = +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, …
Los enteros negativos: ℤ- = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, …
El número cero.
Valor absoluto de un número entero: se define como sigue:
⌊𝑥⌋ = {𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 00, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0}
Cuando se determina el valor absoluto de un número entero nos interesa su valor numérico pero no
su signo.
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Ejemplos:
⌊−3⌋ = 3
⌊+15⌋ = 15
⌊0⌋ = 0
Los símbolos de relación de orden son:
a. Mayor que, >. Ejemplo, -2 > -9
b. Menor que <, Ejemplo, -2 < +2
c. Igual que =, Ejemplo, -5 = -5
Operaciones Básicas:
1. Adición con números enteros. Los términos de la adición son sumandos (números que se van a
adicionar) y suma o total (resultado de la adición)
Para adicionar dos o más números enteros se deben seguir las siguientes reglas:
Si los sumandos tienen signos iguales, se adicionan los valores absolutos de los sumandos y
el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
(-3) + (-4) = -7
(+4) + (+6) = +10
Si los sumandos tienen signos diferentes, se restan los valores absolutos de los sumandos y
el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
(-6) + (+13) = +7
(+10) + (-24) = -14
2. Sustracción: Los términos de la sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia. La
resta se indica mediante el signo de menos (-). Para la sustracción se debe recordar que el signo de
resta le cambia el signo al sustraendo. Luego se aplican las mismas reglas de la adición.
Ejemplos:
(-12) – (+13) = -12 -13 = -25
(+15) – (-18) = +15 + 18 = +33
(+20) – (-17) = +20 +17 = +37
(-19) – (-25) = -19 +25 = +6
3. Multiplicación: Los términos de la multiplicación son factores (los números que se multiplican)
y producto (resultado de la multiplicación)
La multiplicación se puede indicar simbólicamente de tres formas:
a. Empleando el símbolo de por:
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b. Utilizando signos de agrupación: llaves , paréntesis (), corchete
c. Utilizando un punto (.) o un asterisco (*).
Para multiplicar dos o más números enteros se aplican las siguientes reglas:
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -
Ejemplos:
(-8) (-3) = +24
-15 +4 = - 60
+8 * +32 = +256
4. División: Los términos de la división son dividendo, divisor y cociente. La división se
puede denotar mediante el símbolo ÷ o por medio de una barra horizontal de la forma 𝑚
𝑛.
Para dividir dos números enteros se siguen las mismas reglas de los signos de la división.
+ ÷ + = +
- ÷ - = +
+ ÷ - = -
- ÷ + = -
Ejemplos:
+30 ÷ +5 = +6
−45
−15= +3
C. Los Números Racionales: Este conjunto se denota con el símbolo ℚ. Se escriben de la forma 𝑎
𝑏.
A los elementos del conjunto de los números racionales usualmente se les llama fracciones.
Una fracción es una parte de la que se ha dividido la unidad.
Ejemplo:
Supóngase que usted tiene una barra de chocolate y desea compartirla usted con otras dos personas
más. Observe la figura. ¿Qué cantidad de chocolate le corresponde a usted?
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¿En cuántas partes iguales se dividió la barra de chocolate? Respuesta: 3
¿Cuántas partes le corresponden a usted? Respuesta: 1
Al escribir la fracción resulta 𝟏
𝟑
El número 1 recibe el nombre de numerador y el número 3 recibe el nombre de denominador
Los números racionales pueden ser:
a. Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.
2
14
b. Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el
denominador.
5
3
c. Fracción Mixta: poseen una parte entera y una parte fraccionaria.
62
9
Representación Gráfica de Racionales.
Una fracción es un número que representa una unidad dividida en partes iguales de la cual se toman
porciones o secciones.
Ejemplos:
a) 3
4 significa que una unidad se divide en 4 partes iguales de las cuales se toman 3.
b) Si la fracción es 3
5, la unidad se divide en cinco partes iguales, y se toman tres de ellas.
c) Si la fracción es 5
4, esto nos conduce a representarla como:
Operaciones con números racionales:
1. Adición: para adicionar dos números racionales debemos considerar los denominadores. Si
los denominadores son iguales se dicen homogéneas y si tienen denominadores diferentes se
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llaman heterogéneas. Las reglas de los signos son las mismas que se aplican cuando se usan
números enteros.
Si las fracciones son homogéneas se adicionan los numeradores y se escribe el mismo
denominador.
−2
3+
7
3=
−𝟐 + 𝟕
𝟑= +
5
3
Si las fracciones son heterogéneas se debe buscar el mínimo común múltiplo de los
denominadores, este número se divide entre cada denominador de los sumandos y el
cociente obtenido se multiplica por cada numerador. Luego, se adicionan las fracciones
homogéneas resultantes.
−𝟐
𝟑+
𝟓
𝟔+
𝟏
𝟒=
−4(2) + 2(5) + 3(1)
12=
−8 + 10 + 3
12=
−8 + 13
12= +
5
12
Los denominadores son 3, 6 y 4
Recordemos cómo se calcula el mínimo común de los denominadores.
3 – 6 – 4 2
3 – 3 – 2 2
3 – 3 – 1 3
1 – 1 – 1
Luego, se multiplica 2 2 3 = 12
Veamos un segundo ejemplo,
−2𝟏
𝟔−
𝟑
𝟖−
𝟐
𝟏𝟎= −
𝟏𝟑
𝟔−
𝟑
𝟖−
𝟐
𝟏𝟎=
−20(𝟏𝟑) − 15(𝟑) − 12(𝟐)
120=
−260 − 45 − 24
12
=−329
120
En este ejemplo anterior, la fracción mixta se convierte a fracción impropia multiplicando
el denominador por el número entero y a este producto se le añade el numerador, este
resultado será el numerador de la fracción impropia, el denominador del mixto es el mismo
de la fracción impropia.
Ejemplo. Convertir 52
7 a fracción impropia.
52
7=
(5 × 7) + 2
7=
35 + 2
7=
37
7
Para convertir una fracción impropia a mixta se debe dividir el numerador entre el
denominador; el cociente será el entero, el residuo de la división es el numerador y el diviso
será el denominador.
Ejemplo. Convertir 17
9= 17 ÷ 9 = 1
8
9
8
Magíster Iris Montenegro
2. Multiplicación: en esta operación se pueden simplificar numeradores con denominadores.
Luego, se multiplican todos los numeradores y todos los denominadores.
−12
35×
20
21×
14
3= −
12
35×
20
21×
14
3= −
4
7×
4
7×
14
3= −
4
7×
4
1×
2
3= −
32
21
Cuando se tienen fracciones mixtas, de forma análoga, debe convertirlas a fracciones impropias.
3. División: para dividir dos números racionales se debe invertir la fracción divisor.
12
25÷ −
20
45=
12
25× −
45
20=
6
5× −
9
10=
3
5× −
9
5= −
27
25= −1
2
25
−41
5÷ −
3
10= −
21
5÷ −
3
10= −
21
5× −
10
3= −
7
1× −
2
1= +14
4. Potenciación. Los términos de la potenciación son base, exponente y potencia (resultado).
La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un mismo número (base) un número
de veces (exponente).
Ejemplo. Determine la potencia de:
a. −55 = −5 × −5 × −5 × −5 × −5 = 3125
b. (3
7)
4
=3
7×
3
7×
3
7×
3
7=
81
2401
5. Radicación: Es una operación que consiste en determinar el número que actúa como base
cuando se conoce la potencia y el exponente. Se expresa de la forma general como √𝒂𝒏 = 𝒃
Los elementos de la potenciación son radicando, índice y raíz. La radicación es una operación
inversa a la potenciación.
Ejemplo. Para la expresión √−3433
= −7
3 índice
-343 radicando
-7 raíz o solución
Para obtener la raíz enésima de un número dado, emplearemos el método de descomposición de
factores o factorización, el cual consiste dividir el número especificado entre los números primos
que lo dividan. Un número primo es aquel que solamente es divisible por él mismo y por el número
uno.
Recuerda que:
Números primos = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,…
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Magíster Iris Montenegro
Ejemplo. Utilice el método de factorización para determinar la raíz de las siguientes cantidades,
√𝟏𝟐𝟗𝟔
𝟏𝟒𝟔𝟒𝟏
𝟒
a. Descomponemos factorialmente los números 1296 y 14641 por separado. Debo expresar los
divisores que sean iguales como potencias.
1296 2 14641 11
648 2 1331 11
324 2 121 11
162 2 11 11
81 3 1
27 3
9 3
3 3
1
b. Luego, divido el exponente de la potencia entre el índice del radical. Esta división debe ser
exacta.
√1296
14641
4
= √24 × 34
114
4
=24÷4 × 34÷4
114÷4=
21 × 31
111=
2 × 3
11=
6
11
Ejemplo. Utilice el método de factorización para determinar la raíz de las siguientes cantidades,
√𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟗𝟕
𝟑
a. Descomponemos factorialmente los números 1296 y 14641 por separado. Debo expresar los
divisores que sean iguales como potencias. En este ejemplo observamos que el índice del
radical es 3, por lo tanto, debemos tomar los números de 3 en 3.
3125 5 2197 13
625 5 169 13
125 5 13 13
25 5 1
5 5
1
b. Luego, divido el exponente de la potencia entre el índice del radical. Esta división debe ser
exacta.
24
34
114
53 133
52=25
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Magíster Iris Montenegro
√𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟗𝟕
𝟑
= √53 × 25
133
4
=53÷3 × √25
3
133÷3=
51 × √253
131=
𝟓√𝟐𝟓𝟑
𝟏𝟑
𝑽𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒔. 𝑬𝒔𝒕𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒆 𝒂 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔.
Los números racionales se pueden escribir de forma decimal y viceversa.
Ejemplo, escribir 12
5 de forma decimal. Para hacerlo debemos dividir el numerador entre el denominador.
12
5= 12 ÷ 5 = 2,4
En algunos casos, la parte decimal resulta infinita y periódica (se repite el mismo digito).
Ejemplo, escribir 11
3 de forma decimal.
Para hacerlo debemos dividir el numerador entre el denominador.
11
3= 11 ÷ 3 = 3,6666666 …
En ese caso, se expresa mediante una barrita horizontal por encima del dígito que se repite. De la forma,
3, 6̅
Lectura de números decimales:
0, 1 2 3 4 5 6…
Décimo1
10
Centésimo 1
100
Milésimo 1
1000
Diez milésimo 1
10000
Cien milésimo1
100000
Millonésimo 1
1000000
Ejemplos:
0,34 treinta y cuatro centésimos.
3,012567 tres enteros con doce mil quinientos sesenta y siete millonésimas.
1,0026 un entero con veintiséis diez milésimas.
0,013 trece milésimas
Para leer los números decimales consideramos cuántos dígitos hay después de la coma decimal.
Para adicionar números decimales se debe colocar la coma debajo de la coma, es decir, décimo debajo de
décimo, centésimos debajo de centésimos y así sucesivamente.
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Magíster Iris Montenegro
Ejemplo. Adicionar 12,34 + 523,006 + 8,1 = 543,446
1 2 , 3 4
5 2 3 , 0 0 6
8 , 1
5 4 3 , 4 4 6
Para multiplicar números decimales se procede de forma análoga como se multiplican los números
enteros.
Ejemplo, multiplicar 3,45 0,68
3,45 0,68
2760
2060
2,346
D. Los Números Irracionales: son aquellos números cuya parte decimal es infinita y no periódica.
Este conjunto se denota con el símbolo I. Estos surgen de raíces inexactas.
Dos o más radicales se dicen semejantes si tienen el mismo el mismo índice y el mismo radical.
Para adicionar números irracionales se adicionan los factores numéricos que preceden al signo de
radical. El resultado lleva el mismo índice y la misma cantidad sub radical.
Adicionar 3√5 − 8√5 + 10√5 − 13√5 = (3 − 8 + 10 − 13)√5 = (13 − 21)√5 = −8√5
Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los factores numéricos y las cantidades sub
radicales.
Multiplicar (−8√124
)(−3√244
) = (−8 × −3)√12 × 244
= 24√2884
= 24√24 × 184
= (24 × 2)√184
=
48√184
E. Los Números Reales: es el conjunto formado por los irracionales y los racionales. Este
conjunto se denota con el símbolo ℝ = ℚ I
Radicales semejantes Radicales no semejantes
√53
; 8√53
8√7; 6√73
−4√𝑚2; 3√𝑚2 5 √310
; 3 √510
ℝ I ℚ Los números reales contienen a
los naturales, los enteros, los
racionales y los irracionales.
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Magíster Iris Montenegro
Ejercicios de Refuerzo:
Marque en la casilla una equis para indicar si el número dado es natural, entero, racional, irracional o real.
Número Natural Entero Racional Irracional Real
-56
√1733
−3
11
5,45
Aporte 3 ejemplos de múltiplos y divisores de los números dados.
Número Múltiplos Divisores
20
8
35
121
Marque con una equis (X) la casilla que corresponda al tipo de número.
Número Par Impar Primo Compuesto
58
19
36
71
Dada la siguiente figura, escriba de forma numérica el número racional que representa.
Escriba los siguientes números decimales de forma alfabética.
a. 1125,45 _________________________________________
b. 0,0037 _________________________________________
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Magíster Iris Montenegro
c. 9,999445 _________________________________________
d. 0,145 _________________________________________
e. 10,10 _________________________________________
f. 23,78951 _________________________________________
Escriba de forma numérica cada cantidad.
a. Tres enteros con diecinueve diez milésimas. _____________________
b. Un entero con quinientos millonésimas. _____________________
c. Trece mil enteros con cinco centésimas. _____________________
d. Un entero con cien cien milésimas. _____________________
Ejercicios Retadores
Resuelva las siguientes operaciones con números reales.
1. 3
7− 3
5
21+
1
9
2. 1
5√7-4√7+8√7-
2
3√7
3. 0,234 − 12 + 13,45 + 8,1256 − 6,01
4. 28
45×
18
39× −
65
42
5. 33
11÷ −
144
121
6. 1+
2
3−
2
3
−6
7. {−12 + [−82 + (−33)(7 − 11)] − 15} − (−135 ÷ 17)
8. √10245
9. −34 + 52 − 27
10. √2187
46656
6
11. 3√−1203
× −4√253
12. −53 + 24 − 112