El campo eléctrico y la materia

Tema 9Curso 2004-2005

Electrostática y dieléctricosEl átomo como un dipolo eléctricoLos dieléctricos como distribución de dipolos. El vector polarización P. Susceptibilidad dieléctrica. Permitividad dieléctricaCampo creado por un medio dieléctrico polarizadoEl vector desplazamiento DCondiciones de frontera entre dieléctricosAlgunos efectos eléctricos y mecánicos entre dieléctricosMedios conductores. Conductividad eléctrica.

Electrostática y dieléctricosFaraday acuñó la palabra dieléctrico para describir el efecto de un aislante en un condensadorFaraday observó que al situar un aislante entre las placas de un condensador, la capacidad del sistema, la energía almacenada y la carga aumentan un factor κκ es una característica del medioEn un dieléctrico las cargas no son libres como en un metal, están ligadas a los átomos o moléculasCuando se aplica un campo eléctrico, el átomo o molécula se polariza (se desplaza la carga negativa respecto de la positiva y se forma un dipolo)

Dipolo atómico inducido

~p

Átomo sin polarizar Átomo polarizado

núcleo

nube electrónica

~p = αε0 ~Eloc

da

~E0

MODELO

qe = ρ4πd3 = −Zed3

a3ρe = −

Ze

4πa3

F = ZeE0 =Zeqe4πε0d2

= − Z2e2d

4πε0a3d =

4πε0a3

ZeE0

α = 4πε0a3

59.6Cs

4.04Xe47.3Rb

2.48Kr43.4K

1.64Ar23.6Na

0.396Ne24.3Li

0.205He0.667H

en unidades de 10-30 m3α/4πε0

Polarizabilidades atómicas

Teoría cuántica

− ~2

2m∇2ψ − e2

4πε0rψ + eE0zψ = Eψ

~p = hψ|− e~r|ψi = 9

2(4πε0a

3B)E0~uz

α

4πε0=9

2a3B = 0.667× 10−30m3

Ecuación de Schrödinger:

Momento dipolar:

Polarizabilidad atómica:

Moléculas polares

Hay moléculas con momento dipolarpermanenteLa unidad que caracteriza el momento dipolar es el debye: 1 D=3.34 10-30 C m.Moléculas grandes, mayor momento dipolarMateriales compuestos por moléculas polares: campos internos cuya magnitud depende de T

2.5eaB

1.48NH3

1.83H2O0.83HI0.80HBr1.04HCl1.75HF

Molécula m. dip. (D)

Momentos dipolaresmoleculares

Si tomamos el eje z como la dirección de ~E = E0~uz

h~pi =Re−U/kT ~pdΩRe−U/kT dΩ

~τ = ~p× ~E

U = −~p · ~E = −pE0 cos θ

hpzi =pR +1−1 e

−(pE0/kT ) cos θ cos θd cos θR +1−1 e

−(pE0/kT ) cos θd cos θ= p

∙coth

µpE0kT

¶− kT

pE0

¸

coth z ≈ 1z+z

3

llegamos a la fórmula de Langevin-Debye

Dipolo en un campo eléctrico

Momento dipolar promedio

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

<pz>/

p

pE/kT

pE/3kT

Esta es la fórmula de Langevin.Si se hace la aproximación

α = α0 +p2

3kT

Polarización y carga de polarización

Para incluir el efecto de la polarizabilidadatómica es necesario introducir un nuevo campo, el campo de polarización La polarización es una vectorial de la posición en el dieléctrico

se define como la densidad media de momentos dipolares~P (~r)

~P (~r)

~P (~r)d3~r =NXi=1

~pi

V (~r) =1

4πε0

∙IσbdS

0

|~r − ~r0| +Z

ρbd3~r0

|~r − ~r0|

¸

Potencial de un dipolo

La contribución al potencial de un conjunto de dipolos

Potencial de un medio polarizado

V (~r) =1

4πε0

~r · ~pr3

V (~r) =1

4πε0

(~r − ~ri) · ~pi|~r − ~ri|3

dV (~r) =1

4πε0

NXi=1

(~r − ~ri) · ~pi|~r − ~ri|3

' 1

4πε0

(~r − ~r0) · ~P (~r0)d3~r0|~r − ~r0|3

V (~r) =1

4πε0

"I ~P · ~ndS0|~r − ~r0| −

Z ~∇0 · ~P (~r0)d3~r0|~r − ~r0|

#V (~r) =

1

4πε0

Z(~r − ~r0) · ~P (~r0)d3~r0

|~r − ~r0|3

Potencial en términos de las cargas de polarización

σb = ~P · ~n ρb = −~∇ · ~PDensidades de carga de polarización

σb = ~P · ~n ρb = −~∇ · ~P

Densidades de carga de polarización

El vector desplazamientoLas ecuaciones fundamentales de la electrostática son yEstas ecuaciones son correctas en el vacío y en un medio dieléctrico Al analizar un medio dieléctrico es conveniente separarPeroLa combinación es un nuevo vector denominado campo desplazamientoSe cumple la ley de Gauss con las cargas libres

~∇× ~E = 0 ~∇ · ~E = ρ/ε0

ρ(~r) = ρf (~r) + ρb(~r)

ρ(~r) = ε0~∇ · ~E = ρf (~r)− ~∇ · ~P~D = ε0 ~E + ~P

~∇ · ~D = ρf

I~D · d~S = (qf )enc

Dieléctricos lineales

Un aislante con P proporcional a E es un medio lineal dieléctricoSe utilizan diversos parámetros que relacionan E, P y D:

Constante dieléctrica

Permitividad

Susceptibilidad

Ecuación constitutivasímboloParámetro

χe

ε

κ

~P = χeε0 ~E

~D = ε~E

κ = ε/ε0

Dos relaciones adicionales de interés son:

es siempre positivo ya que los dipolos atómicos se alinean con E de forma que P apunta en la dirección de E. Así, y para cualquier material dieléctrico.

En el vacío,

En la materia, los parámetros macroscópicos están determinados finalmente por las propiedades atómicas.

χe

ε = ε0(1 + χe) κ = 1 + χe

ε > ε0 κ > 1

χe = 0, ε = ε0 y κ = 1

Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo eléctrico en la superficie del cristal (turmalina, el “iman Ceylon”, 1703)Ferroeléctricos: materiales en los que la polarización espontáneapuede alterarse mediante un campo eléctrico aplicadoFerroelásticos: materiales en los que tensiones mecánicas alteranla polarización espontáneaPiezoeléctrico: material en los que la aplicación de una tensióngenera cargas eléctricas en su superficie (efecto piezoeléctricodirecto, Pierre Currie, 1880)Electrostricción: acoplamiento secundario en el que la tensión esproporcional al cuadrado del campo eléctrico; frecuentementeimplica un “efecto piezoeléctrico inverso” (energía eléctrica se convierte en mecánica; Lippman, a partir de principiostermodinámicos, Currie experimentalmente en 1881)

Otras propiedades dieléctricas

¿Qué es la ferroelectricidad?¿Qué es la ferroelectricidad?

Los ferroeléctricos presentan dos estadosestables, base de aplicaciones de memoria

Los ferroeléctricos presentan dos estadosestables, base de aplicaciones de memoria

“0”

“1”

Polarización

Voltaje

Energía

Z

Campoeléctrico

Los materiales ferroeléctricosmuestran una polarizaciónespontánea con el campo eléctrico aplicado debido al desplazamiento atómico del átomo “centrado en cuerpo”en la estructura de la perovskita (ABO3).

El estado de polarización se mantiene al desaparecer el campo aplicado.

A O

BEstructura ABO3

Fotografía de una memoria FRAM de 64MbFotografía de una memoria FRAM de 64Mb

En un gas diluido (moléculas sin interacción),

de donde la susceptibilidad adquiere la expresión (fórmula de Langevin-Debye):

Moléculas polares

~P = nα ~E, χe = nα/ε0 y κ = 1+ nα/ε0

χe =np2

3kTε0

Moléculas no polares

A partir de un modelo de oscilador clásico

La susceptibilidad es

Para el hidrógeno, en condiciones normales de presión y temperatura

ω0 = 1.8× 1016 s−1 (λ ' 100 nm) y n = 2.69× 1025 m−3

χe = 2.64 × 10−4

χe =nq2

ε0mω20

~p = ~qδ~r =q2 ~E

mω20

Materia condensada

El campo responsable de la polarización de una molécula en un medio denso no es el campo macroscópico aplicado A este campo se le denomina campo local o campo molecularLa forma de calcular es dividir el dieléctrico en dos regiones: una esfera de radio alrededor del punto donde queremos calcular el campo y el resto del dieléctrico (que puede tratarse como un continuo). Finalmente se aplica el principio de superposición.

~E0

~Eloc~Eloc

El campo local puede descomponerse en las siguientes contribuciones (figura):

Ec = V/d ~Ed = − ~P/ε0

~E = ~Ec + ~Ed

~Es(0) =1

4πε0

Zσb~rd

3~r

r3=

1

4πε0

2πa3 ~P

a3

Z +1

−1cos2 θd cos θ =

1

3ε0~P

Campo macroscópico Campo local de Lorentz

~Eloc = ~Ec + ~Ed + ~Es + ~Ei

~Eloc = ~E +1

3ε0~P

El campo de polarización en un medio polarizado vale

De la relación entre P y E podemos deducir el valor de la susceptibilidad macroscópica

Por tanto, la polarizabilidad atómica vale, en función de la susceptibilidad:

~P = n~p = nα

Ã~E +

~P

3ε0

!

χe =nα/ε0

1− nα/3ε0

α =ε0n

χe1 + χe/3

=3ε0n

κ− 1κ+ 2

Ecuación de Clausius-Mossotti

El condensador con un dieléctrico

condensadoresel condensador “plano”

El campo en el dieléctricoTensión o carga constante

D = σf =Q

A

V =Qd

εA

C =Q

V=κε0A

d

8332Titanato de estroncio80Agua

144 a 6Pyrex3.8 a 4.1Cuarzo fundido

163.7Papel3.1Mylar

602.1Teflón403.4Plexiglás202.8Lucita202.5Poliestireno31.00059Aire

Tensión dieléctricaConstante dieléctricaMaterialEmax 10

6 V/mκ

Propiedades dieléctricas de algunos aislantes

Condiciones de contorno

δ/2δ/2

δ/2δ/2

A A

ε2

ε1 ε1ε2

I~D · d~S = q

~D

(D1n −D2

n)A+

ZSδ

~D · d~S = σfA+

ZδSδ

ρd3~r

D1n −D2

n = σf

δ/2δ/2

ll

~Eδ/2

δ/2I~E · d~l = (E1t −E2t )l +

ZΓδ

~E · d~l = 0 E1t = E2t

ε1 ε2

ε1ε2

Un condensador plano de área ab y separación d se conecta a una batería y se carga con una ddp V. Posteriormente, lo desconectamos de la batería e introducimos un dieléctrico de constante dieléctrica κ (ver figura).Determinar:

a) La energía almacenada en el condensador antes y después de insertar el dieléctrico

b) ¿Cuál es la energía almacenada si solamente hay una proporción de dieléctrico (x sobre a) entre las placas?

c) ¿Qué ocurre si mantenemos conectada la batería?

a) Al conectar el condensador a la batería, éste se carga con una carga Q=CV, siendo C la capacidad del condensador y V la ddp. Dado que la capacidad del condensador plano es ,

Obviamente el campo eléctrico es igual a la densidad superficial de carga dividida por . La energía electrostática es

y puede definirse una densidad de energía almacenada en términos del campo eléctrico:

que puede generalizarse a cualquier volumen en el que exista un campo eléctrico. Si el condensador contiene un dieléctrico, como sabemos, su capacidad aumenta. En nuestro caso, y puesto que el condensador está aislado de la batería, i.e. la carga se conserva, la tensión ahora es:

y la energía potencial es κ veces más pequeña:

ε0

C = κε0ab/d

V =Q

C=V0κ

Q = C0V0 = ε0abV0/d = ε0abE0

U0 =1

2C0V

20 =

1

2QV0 =

1

2ε0abdE

20

U = U0/κ

C0 = ε0ab/d

uE =1

2ε0E

20

b) Si solo hay una parte del dieléctrico dentro del condensador, el campo eléctrico sería distinto en la región del dieléctrico y fuera del dieléctrico. Pero esto no es posible, ya que una superficie metálica es equipotencial. El vector desplazamiento (densidad decargas reales) será por tanto distinto:

D1 =Q1xb

C = ε0[a+ (κ− 1)x]b

d

La carga total sobre el dieléctrico es Q, luego

Entre 0 y x, D1 = κε0E = ε0E + P , mientras que entre x y a D2 = ε0E.

La capacidad del dieléctrico será por tanto

La energía almacenada,

Q = Q1+Q2 = D1xb+D2(a−x)b = [xκ+ (a− x)] bε0E = [a+ (κ− 1)x] ε0bV/d

D2 =Q2

(a− x)b

U =1

2QV =

1

2

Q2

C=1

2

Q2d

ε0[a+ (κ− 1)x]b

Si tomamos como densidad de energía eléctrica, en presencia de un dieléctrico,

la energía potencial será

U =1

2

ZuEd

3~r =1

2Ebd

∙Z x

0

D1dx+

Z a

x

D2dx

¸uE =

1

2κε0E

2 =1

2~D · ~E

Integrando, obtenemos la misma expresión que antes:

Hemos visto que al introducir el dieléctrico, la energía almacenada disminuye en un factor κ. Esto implica que el condensador hace un trabajo en polarizar el dieléctrico. ¿Cómo podemos calcular ese trabajo? La forma trivial es a través de la diferencia de energía potencial. Una forma más académica sería calcular la fuerza sobre el dieléctrico e integrar entre x=0 y x=a. Hemos de poner U en términos de Q, que es constante, ¡el potencial V depende de x!

U =1

2ε0E

2bd[xκ+ (a− x)] = 1

2

Q2d

ε0[a+ (κ− 1)x]b

La fuerza vale:

El trabajo que cuesta introducir el dieléctrico en el condensador es:

F = −dUdx

=Q2d

2ε0b

κ− 1[a+ (κ− 1)x]2 > 0

U =1

2CV 2 =

1

2ε0[a+ (κ− 1)x]b

dV 2

F = −dUdx

= −ε0(κ− 1)bV2

2d< 0

W =

Z a

0

F (x)dx = −Z a

0

dU = U(0)−U(a) = ε0V2b

2d[a− κa] = −1

2C0V

2(κ−1)

W =

Z a

0

F (x)dx = −Z a

0

dU = U(0)− U(a) = Q2d

2ε0b

∙1

a− 1

κa

¸=1

2

Q2

C0

κ− 1κ

La fuerza es positiva (no nos cuesta trabajo introducir el dieléctrico) y por tanto eltrabajo es positivo.c) Si la batería permanece conectada, dado que la capacidad varía y V permanece constante, Q irá variando. Luego conviene expresar U en función de V:

En este caso la fuerza es:

y el trabajo también es negativo. El trabajo es suministrado por la batería: