El arte de escher, la gráfica smith y la geometría hiperbólica

66 IEEE microwave magazine Octubre 2006

El Arte de Escher, la Gráfica Smith y la Geometría Hiperbólica Madhu S. Gupta Traducción: Dr. Roberto S. Murphy Arteaga

l propósito de este artículo es señalar un enlace conceptual entre la creación artística del bien conocido artista holandés M.C. Escher (1898-1972), llamada Círculo Límite IV (grabado en

madera, 1960), y la más conocida ayuda gráfica en ingeniería de microondas, llamada Gráfica Smith (1939-1944), creada por el ingeniero estadounidense P.H. Smith (1905-1987). El fundamento del arte de Escher y de la gráfica Smith se puede atribuir a la invariancia de la razón cruzada de cuatro números complejos sujetos a una transformación de Möbius en el dominio de los números complejos. Al ser medidas usando una métrica de distancia hiperbólica inducida por la razón cruzada invariante con el modelo de disco abierto del espacio hiperbólico de Poincare, las figuras geométricas visualmente diferentes del trabajo de Escher muestran periodicidad y forman un mosaico de tamaño fijo. La Gráfica Smith se puede usar como una herramienta para construir otros dibujos parecidos a los de Escher, que presentan patrones en mosaico periódicos y a la vez se perciben como una progresión infinita en el círculo unitario. A pesar de la imagen pública del ingeniero transmitida por los medios, los ingenieros se involucran, disfrutan, contribuyen, hacen posible e inspiran las bellas artes, tanto personal como profesionalmente. Esto es de esperarse, ya que la ingeniería, como el arte, requiere creatividad, disciplina, atención al detalle, y sensibilidad a la percepción humana. La vibrante frontera entre tecnología y arte ha sido ejemplificada por una gran variedad de trabajos, aparatos y exhibiciones creativas de varias formas de arte, como son la música, el drama, la fotografía, la escultura y la pintura [1]-[3]. Este artículo destaca otra frontera, aunque poco conocida, entre el arte y las herramientas tecnológicas, específicamente aquella que enlaza ciertos grabados en madera de Escher y la gráfica Smith, que permea la ingeniería de microondas. Los lectores lo pueden usar para aumentar su apreciación de ese arte, para estimular el interés en microondas entre los no-profesionales, o para crear arte similar a la de Escher ellos mismos.

Madhu S. Gupta está en la Universidad Estatal de San

Diego, San Diego, CA 92182 EUA, 1 619 594 7015, [email protected].

Este artículo es una versión aumentada de la plática invitada dada por el autor en MIKON-2006, Cracovia,

Polonia, en mayo de 2006. Más información sobre MIKON-2006 se puede encontrar en

“Transnational News”, en la p. 94.

Escher y su arte Un artista apreciado por los tecnólogos Han existido varios artistas, como sería Leonardo da Vinci, cuyo trabajo tiene un cierto atractivo y ofrece un nivel de apreciación más profundo entre el público orientado a la tecnología. Entre este tipo de artistas, uno de los favoritos del Siglo XX es Escher, cuyos trabajos han fascinado a los científicos y a los ingenieros por cerca de medio siglo. Sus trabajos han sido reproducidos en publicaciones científicas, revistas y monografías, y en las cubiertas de libros de texto, pósteres, calendarios, y en los medios populares. Una razón de su atractivo se debe al uso de Escher de figuras como poliedros regulares, diseños periódicos, imágenes en espejo, y objetos como la banda de Möbius, que son conocidos por los tecnólogos y que proporcionan un sentido de armonía y orden. Una segunda razón de su popularidad es la forma poco usual en que maneja el espacio en sus trabajos, con reflexiones, estiramiento, deformaciones, proyecciones y otras transformaciones similares, que le llaman la atención al público orientado a la tecnología. Esto es de especial importancia si consideramos que Escher no fue un matemático profesional, y ni siquiera tenía algún entrenamiento en matemáticas. Sin embargo, su manipulación intuitiva de regiones espaciales, derivada de principios estéticos, representa herramientas matemáticas sofisticadas, tales como el mapeo conformal y la geometría hiperbólica, lo que sugiere que estas operaciones no son enteramente arbitrarias en un modo abstracto, sino que están relacionadas a la percepción humana. La vida de Escher Maurits Cornelis Escher nació en Leeuwarden, Holanda, el 17 de junio de 1898, y creció con sus cuatro hermanos en Arnhem. A pesar de que su padre era un ingeniero civil, y tres de sus hermanos siguieron carreras en los campos de la ciencia y la ingeniería, él no tenía inclinaciones hacia las matemáticas y orientó sus intereses a las artes gráficas. Estudió en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, en donde aprendió la técnica de madera de Samuel de Mesquita. En 1922 emigró a Italia, estableciéndose en Roma, donde vivió hasta 1934. En este tiempo, produjo una gran cantidad de bocetos de paisajes y edificios del sur de Italia. En 1935 viajó a Suiza, donde vivió por dos años, seguidos de tres años en Bélgica, y finalmente en 1941, se estableció en Baarn, Holanda, donde vivió las siguientes tres décadas hasta su muerte en

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1972. Un autorretrato de Escher en 1935 se aprecia en la Figura 1.

Figura 1. Autorretrato de M.C. Escher (1898-1972) en espejo esférico, fechado en 1935, titulado Mano con Globo Reflector. La Obra de Escher Las creaciones de Escher, producidas a lo largo de cuatro décadas, incluyen unos 450 trabajos de arte, que incluyen grabados en madera, litografías y dibujos [4]. Aunque existe una gran variedad en el trabajo de Escher, se pueden identificar temas recurrentes en sus creaciones, de los cuales los siguientes seis son los principales. Un ejemplo ilustrativo de cada uno se muestra en la Figura 2. Paisajes Durante sus años inciales en Italia, Escher produjo dibujos de paisajes, tanto reales como imaginarios, con un impacto visual importante debido a su selección de punto de referencia o el uso de luz, sombras y color. Perspectivas inusuales Escher produjo una variedad de dibujos mostrando detalles finos en las cosas, desde objetos cotidianos o escenas de la vida diaria hasta los detalles arquitectónicos de majestuosos edificios, pero desde puntos de referencia ventajosos para producir resultados cautivantes.

Simetrías y Periodicidades Los teselados son formas de arreglos de adornos periódicos en forma de mosaico. Una gran cantidad de los trabajos de Escher se inspiraron en el arte de los moros, quienes ocuparon España de 711 a 1492, y decoraron pisos y paredes con mosaicos multicolores que cubrían la superficie en su totalidad. Sin embargo, mientras que los moros tenían prohibido representar objetos animados por razones religiosas, Escher lo hizo su marca distintiva. Sus dibujos ilustran muchos tipos de simetrías, que han deleitado a cristalógrafos y especialistas de teoría de grupos [5], [6]. Transmutaciones graduales Un motivo distintivo en muchas de las creaciones de Escher, especialmente en sus obras más conocidas, es la transformación gradual de una figura o teselado a otra en piezas consecutivas de dibujos de mosaicos periódicos. Combinadas con perspectivas poco usuales, brindan un efecto impresionante. Ilusiones en dos y tres dimensiones La representación de un objeto tridimensional (3-D) en un dibujo bidimensional (2-D) resulta en ambigüedades de observación que proporcionan muchas oportunidades para ilusiones ópticas. Escher fue un maestro en este arte de engañar al ojo humano en formas encantadoras. Representaciones del Infinito Muchas de la obras de Escher transmiten una impresión gráfica del infinito dentro de fronteras finitas, al sugerir una continuación indefinida de teselados en el espacio. Los trabajos de este tipo son los que se examinarán en este artículo. Representación del Infinito con Teselados El concepto del infinito siempre ha tenido un aura de misterio entre los matemáticos y aún entre quines no tienen experiencia en este campo [7]-[8]. Muchos de los trabajos tipo mosaico de Escher dan una sensación de infinito debido a su periodicidad y capacidad de extensión indefinida [8], pero en la práctica, tienen que llegar a un paro brusco en el borde de la obra. Es evidente que se necesita más para verdaderamente transmitir el sentido de extensión infinita, y Escher estaba fascinado con la representación del infinito en un espacio finito. En los últimos años de su carrera, empezando en la década de los 50, Escher hizo varios intentos de representar un mosaico infinito dentro de una frontera circular o cuadrada, como se ilustra en la Figura 3. Escher trató de capturar la percepción de un continuo infinito con la reducción progresiva del tamaño de cada pieza, ya sea hacia el centro o hacia el borde del dibujo. En uno de sus primeros intentos [Figura 3(a)], el acercamiento al infinito ocurre en el centro del


(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f)

Figura 2. Ejemplos representativos del arte de Escher, ilustrando los principales temas de su obra. (a) Paisajes inusuales. Goriano Sicoli, Abruzzi (1929). (b) Perspectivas inusuales. Dentro de San Pedro (1935). (c) Teselado. Divisiones Regulares del Plano III (1957). (d) Transformaciones graduales. Cielo y Agua I (1938). (e) Ilusiones en dos y tres dimensiones. Cascada (1961). (f) Representaciones del infinito. Viñeta de Peces (1956).


dibujo con la reducción del tamaño de las piezas. En trabajos subsecuentes usó la técnica inversa [Figuras 3(b) y 3(c)], en los que busca alcanzar el infinito presentando la reducción de tamaño hacia el perímetro del dibujo. El mismo Escher no estuvo satisfecho con estos intentos iniciales, y siempre buscó formas de mejorarlos. Sus trabajos posteriores incluyen dos grabados en madera, titulados Círculo Límite III [Figura 3(d)] y Círculo Límite IV [Figura 3(e)], que son sus trabajos en este género mejor conocidos. El procedimiento para la construcción de teselados con una figura fija, de cualquier contorno deseado, ha sido descrito en la literatura [9], [10], como también ha sido el análisis de la estructura geométrica de Círculo Límite III [11], [12]. En este artículo se analiza en detalle la estructura del Círculo Límite IV. La Estructura de Círculo Límite IV Teselados Construidos con Transformaciones Círculo Límite IV, también conocida como Cielo e Infierno, completada en julio de 1960 (Figura 4), es considerada una de las obras maestras de Escher. El original es un grabado en madera, impreso en negro y ocre, mide 416 mm de diámetro, y muestra ángeles y demonios en un teselado que llena por completo el plano. El tamaño de estas figuras decrece paulatinamente del centro al perímetro, con más de dos docenas de tamaños identificables, hasta que se pierden en el límite visual identificable en un grabado en madera. A pesar de que las figuras son de tamaño diferente en el sentido euclidiano, demostraremos que son de hecho congruentes bajo una métrica hiperbólica de distancia; visto de esta manera, la obra es simplemente un mosaico periódico con piezas de tamaño constante y periodicidad uniforme en el espacio hiperbólico. El primer requisito, y la característica determinante para un teselado, es la apariencia repetitiva del elemento unitario en desplazamientos espaciales periódicos. La especialidad de Escher era introducir una transformación gradual del elemento base con cada repetición sucesiva. Para que la figura transformada se siga reconociendo como una transformación de la figura previa, es necesario que ciertas características básicas de la figura no sufran cambios. La transformación aplicada al elemento base debe por lo tanto presentar algunas invariantes, y esas invariantes deben tener una manifestación geométrica agradable a la vista. Ésta es la base de muchos de los teselados de Escher que usan este cambio gradual. Un segundo requisito impuesto aquí es la necesidad de incluir una red infinita en un lienzo finito, lo que implica que el tamaño y los desplazamientos espaciales del elemento base no pueden ser constantes. Por lo tanto, se requiere de una segunda transformación en el tamaño y el desplazamiento del elemento base en cada réplica. Como resultado de esta transformación, el tamaño de las piezas debe

tender a cero, transmitiendo la sensación de infinito deseada. El grabado Círculo Límite IV (Figura 4) y otras obras en esta categoría presentan ambas características —un patrón repetido sujeto a una continua alteración y una periodicidad con menor distancia en cada repetición de la pieza. Por lo tanto, estas obras deben emplear dos transformaciones simultáneas. En el caso del Círculo Límite IV, la única transformación aplicada al elemento base, la figura del ángel, es una rotación. La transformación aplicada al tamaño y distancia del elemento base es mucho más complicada, y es sujeta a escrutinio en lo que sigue. El Círculo Límite IV de Escher y la Gráfica Smith La clave que nos dice que la gráfica Smith es relevante en el entendimiento del arte gráfico de Escher está en las escalas radiales tradicionalmente provistas en la gráfica Smith. Entre las varias escalas provistas para leer los coeficientes de reflexión, las pérdidas por retorno, y la razón de voltaje de onda estacionaria en diversas unidades, existe una que expresa la razón de voltaje de onda estacionaria (VSWR) en decibeles, que se extiende desde cero en el centro de la gráfica a ∞ en el perímetro de la gráfica. Este rango corresponde al que Escher necesita para tratar de representar al infinito gráficamente. Como una prueba preliminar de esta idea, las siguientes mediciones simples se pueden hacer en el Círculo Límite IV. Aunque la mayoría de los ángeles del dibujo son asimétricos, los que presentan simetría bilateral tienen un eje de simetría que pasa por el centro del círculo. La altura de los ángeles bilateralmente simétricos (definida en la dirección radial como la distancia de cabeza a pie) se puede por lo tanto obtener al medir, para cada uno de los dos extremos, la distancia radial desde el origen, y tomar su magnitud de la diferencia entre sus coordenadas radiales. Si el Círculo Límite IV se escala para caber exactamente dentro del círculo unitario de la gráfica Smith, y la distancia radial de un punto se mide con la escala para el VSWR en decibeles, se obtienen los resultados listados en la Tabla 1. Se encuentra que la altura de los ángeles bilateralmente simétricos es de aproximadamente 8 dB. Este resultado acrecenta la conjetura de que las figuras en el Círculo Límite IV son congruentes una con otra, y abre la esperanza de que una herramienta de la ingeniería como es la gráfica Smith pueda ser relevante para entender una obra de arte estética. El demostrar que los ángeles sin simetría bilateral también son congruentes requiere de un análisis más detallado. La escala de VSWR nos permite únicamente medir la distancia a lo largo de la dirección radial en el círculo

unitario. Para medir la distancia entre pares de puntos arbitrarios Γ1 y Γ2 dentro del círculo unitario, debemos examinar el origen geométrico de la escala

para el VSWR usada en la gráfica Smith. Estas


(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f)

Figura 3. Intentos de Escher de representar el infinito de varias maneras. (a) Más Pequeño y Más Pequeño (1956). (b) Círculo Límite I (1958). (c) Círculo Límite II (1959). (d) Círculo Límite III (1959). (e) Círculo Límite IV (1960). (f) Cuadrado Límite (1964).


mediciones generalizadas de distancia ya han sido usadas en trabajos de microondas en una variedad de contextos, y serán señaladas más adelante. La Gráfica Smith y las Transformaciones de Möbius La Gráfica Smith como una Ayuda Gráfica La Gráfica Smith (Figura 5) se ha convertido en un icono de la ingeniería de microondas. Por ejemplo, se usa frecuentemente en el diseño de logotipos, y es la parte más recordada de los cursos de ingeniería de microondas décadas después, cuando todo lo demás que se aprendió en el salón de clases se ha olvidado. La gráfica Smith tenía inicialmente la intención de ser una herramienta gráfica para eliminar el tedio del cómputo con números complejos [13], [14]. Aún cuando esto ya no es una necesidad desde el advenimiento de las calculadoras electrónicas en la década de los 60, la gráfica Smith sigue siendo altamente útil como una representación visual para el entendimiento de la información.

Figura 4. El grabado en madera de Escher titulado Cielo e Infierno, también conocido como Círculo Límite IV (julio 1960), colocado en el círculo unitario con la escala del VSWR de la gráfica Smith. De entre las numerosas extensiones y aplicaciones de la gráfica que se han propuesto a lo largo de los años [15], aquellas que ayudan a pensar (más que sólo calcular) continúan siendo útiles para los profesionales que han desarrollado la apreciación intuitiva de ésta. La gráfica Smith está tan inmersa en la conceptualización de los ingenieros de microondas que a pesar de la muy sofisticada capacidad de

cómputo, tanto en modernos programas de diseño ayudado por computadora como en equipo de medición de microondas controlado por computadora, se sigue presentando la información en formato de gráfica Smith. La gráfica Smith se construye esencialmente para realizar dos tareas básicas: 1) La transformación entre un coeficiente de reflexión Γ definido con respecto a una impedancia de referencia Z0 y la correspondiente impedancia normalizada Z/Z0:

0

0

Z ZZ Z

−Γ =

+ y 0 0Z Z

Z1+ Γ

=− Γ

(1)

2) La transformación, ya sea de Γ o Z, al cambiar el plano de referencia en el que están definidos, por una distancia l12 a lo largo de una línea de transmisión uniforme con impedancia característica Z0 y constante de propagación γ=jβ:

1 0 122 0

1 12 0

Z Z tanhZ Z

Z tanh Z+ γ

=γ +

ll

y 1222 1 e− γΓ = Γ l (2)

Tabla 1. Medidas de las alturas de las figuras en Círculo Límite IV.

Figura

Coordenada Radial de la Cabeza, H

Coordenada Radial dl pie,

F

Altura de la

Figura, |H-F|

Ángel #1 8.3 dB 0 dB 8.3 dB Ángel #2 7.2 dB 15.5 dB 8.3 dB Ángel #3 23.5 dB 15.3 dB 8.2 dB Ángel #4 22 dB 30.2 dB 8.2 dB Ángel #5 39 dB 31 dB 8.0 dB

Mediciones limitadas a los ángeles con simetría bilateral. Círculo Límite IV está sobrepuesto a la gráfica Smith, y las distancias radiales desde el centro se toman con la escala para el VSWR (en decibeles) provista con la gráfica Smith.

La gráfica de Smith cumple con la primera tarea al 1) dibujar las escalas de las coordenadas polares en el plano para graficar Γ, restringida al círculo unitario (es decir, para valores de Γ de una red pasiva de un puerto); 2) dibujar las líneas de las coordenadas cartesianas rectangulares en otro plano, distorsionable, para graficar Z/Z0, limitándose al semiplano derecho (también para una red pasiva de un puerto), y 3) distorsionando el sistema coordenado cartesiano a manera que cuando ambos sistemas se sobreponen, cada punto en un sistema coincide exactamente con su mapa en el otro sistema coordenado. La segunda tarea se realiza fácilmente al rotar Γ por un ángulo de 2Im[γ]*l12, y sólo requiere que se rotule la escala angular en el sistema coordenado polar en unidades de 1/λ. Ya que cada


una de estas dos tareas es sencillamente un ejemplo de una transformación bilineal de Möbius de un número complejo, podemos afirmar que la gráfica Smith es una ayuda gráfica para realizar transformaciones de Möbius.

Figura 5. La Gráfica Smith, con sus escalas radiales. (Cortesía de Analog Instrument Co.) Transformaciones Bilineales de Möbius Las transformaciones de Möbius son ubicuas en el trabajo de microondas por razones prácticas. El plano de referencia deseado o requerido para definir Γ o Z es muy frecuentemente distinto al que se tiene para llevar a cabo las mediciones o los cálculos exacta y convenientemente; las razones incluyen la imposibilidad de acceder al plano para las mediciones, la falta de disponibilidad de estándares de referencia útiles en el plano, y la complejidad estructural que crea campos multimodo o acoplamientos en el plano. Por lo tanto, muy frecuentemente es necesario transformar, o extraer, impedancias o coeficientes de reflexión entre dos planos de referencia. La estructura electromagnética que interviene entre estos dos planos muy frecuentemente se puede representar adecuadamente por una red lineal de dos puertos, caracterizada en el dominio de la frecuencia por una matriz de impedancia [Z] o una matriz de dispersión [S]. La transformación de una función de respuesta (como sería un coeficiente de reflexión o una impedancia) por una red lineal de dos puertos arbitraria está dada por

( )11 22 12 21 L 11in

22 L

S S S S SS 1− Γ +

Γ =Γ +

O ( )11 L 11 22 12 21

inL 22

Z Z Z Z Z ZZ

Z Z− −

=+

(3)

Y cada una de éstas es un ejemplo de la transformación de Möbius de un número complejo. La transformación bilineal (lineal fraccional) de Möbius de un número complejo está definida por

( ) AZ BM Z WCZ D

+≡ ≡

+ (4)

Donde A, B, C, y D son constantes complejas (es decir, independientes de Z). Las propiedades de esta transformación se pueden expresar de manera más compacta añadiendo a esta definición algunos requisitos adicionales, como los siguientes:

1) ( )M A / C∞ ≡ , y ( )M D/ C− ≡ ∞ , lo que nos permite extender el plano complejo al incluir el punto Z = ∞ al especificar el dominio y el rango de la transformación, haciendo así la transformación de Möbius homomórfica.

2) AD BC 0− ≠ , lo que nos permite normalizar la transformación al dividir cada una de las constantes A, B, C, y D por la cantidad AD-BC sin alterar de ninguna manera la transformación.

La transformación de Möbius en el plano complejo tiene varias propiedades útiles [16], prácticas tanto en el arte como en la ingeniería de microondas [17], [18]. Estas propiedades se pueden describir en varios lenguajes, es decir, algebraicamente, en forma de matrices, geométricamente y topológicamente. El enfoque geométrico es el más útil aquí, en vista de la necesidad de relacionarlas a la obra gráfica de Escher. Propiedades Geométricas de las Transformaciones de Möbius La transformación de Möbius mapea un número complejo Z a otro número complejo W, cada uno de los cuales requiere de un plano bidimensional para su representación geométrica, en la cual es representado por un punto. Una curva CZ en el plano Z es por lo tanto una sucesión de puntos, cada uno de los cuales se mapea a otro punto en el plano W, cuya sucesión define otra curva CW; este proceso se puede llamar la transformación de la curva. Esta transformación conserva ciertas propiedades de la curva, y son estas invariantes, compartidas por CZ y CW, las que nos interesan aquí. Para visualizar el efecto de esta transformación en el plano complejo, nos ayuda considerar algunos casos especiales de la transformación de Möbius dada en (4).


• Translación: W=Z+B (cuando A=D=1; C=0). • Escalamiento: W=|A|Z (cuando B=C=0; D=1,

A es real y positiva) • Rotación: ( )W Zexp j A= ∠ (cuando B=C=0;

D=1; |A|=1) • Inversión: W=1/Z (cuando A=0; B=C=1; D=0)

El efecto geométrico de las primeras tres en una curva se puede visualizar directamente; la última operación puede ser vista como una reflexión en el círculo unitario. La utilidad de estos casos especiales reside en que sirven de bloques básicos para cualquier transformación de Möbius, que se puede expresar como la concatenación de estas operaciones elementales; así se puede llegar a W en (4) siguiendo la secuencia de transformaciones:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

Z CZ CZ D 1/ CZ D

BC AD / C / CZ D

BC AD / C / CZ D A / C

AZ B / CZ D W.

→ → + → +

→ − + → − + +

= + + =

La transformación de Möbius de una curva en el plano complejo tiene varias propiedades útiles, de entre las cuales las tres siguientes son particularmente relevantes aquí: • La transformación mapea círculos (y por lo tanto

líneas rectas, que son un caso especial de los círculos) en el plano Z a círculos en el plano W. [De aquí la forma de las líneas en la gráfica Smith, representando la transformación de las curvas Re[Z] e Im[Z] por la transformación de Möbius de (1)].

• La transformación es conformal, en el sentido de que el ángulo formado por las curvas CZ1 y CZ2 (definido como el ángulo entre las tangentes a estas curvas en su punto de intersección) en el plano Z permanece sin alteración, tanto en magnitud como en signo, después de una transformación al plano W.

• Con la selección adecuada de una métrica de distancia, la longitud de la curva geodésica entre dos puntos Z1 y Z2 en el plano Z, es la misma que entre sus imágenes W1 y W2; la métrica euclidiana no es adecuada.

Las demostraciones, ejemplos y aplicaciones de estas propiedades se pueden encontrar en la literatura [16] y [19] y en otras fuentes. Es evidente que las dos primeras propiedades pueden ayudar a conservar la forma de una figura reconocible después de una transformación, mientras que la tercera proporciona el escalamiento en el plano euclidiano donde la distancia no es invariante. Estos son los dos requisitos esenciales mencionados en “Teselados Construidas por Transformaciones” para la construcción de teselados que representan el infinito. Nos enfocamos a la tercera propiedad y la

métrica de distancia requerida para invariancia a manera de entender el escalamiento en distancia y tamaño en la obras de Escher. Métrica de Distancia Hiperbólica Definición de una Métrica de Distancia La distancia d(Z1,Z2) entre dos puntos Z1 y Z2 se define como la trayectoria o curva más corta entre los dos puntos. La curva con la longitud más corta entre dos puntos es una geodésica, que es la generalización de la línea recta de la geometría euclidiana. A su vez, la longitud de una curva se define como la integral (es decir, la suma) de longitudes elementales entre puntos sucesivos a lo largo de la curva, cada uno separado del otro por una distancia infinitesimal. Finalmente, la distancia infinitesimal entre dos puntos se puede definir de la manera euclidiana, ya que en el límite infinitesimal, todos los espacios son esencialmente euclidianos [20]. La métrica de distancia resultante tiene las propiedades que esperaríamos intuitivamente de una distancia, que son:

• No negatividad: ( )1 2d Z ,Z 0≥ para toda Z1, Z2.

• Identidad: ( )1 2d Z ,Z 0= si y sólo si Z1=Z2.

• Simetría Bilateral: ( ) ( )1 2 2 1d Z ,Z d Z ,Z= para toda Z1, Z2.

• Desigualdad del Triángulo: ( ) ( ) ( )1 3 1 2 2 3d Z ,Z d Z ,Z d Z ,Z≤ + para toda Z1,

Z2 y Z3. • Continuidad de ( )1 2d Z ,Z , garantizada por su

correspondencia uno a uno con números reales.

Es fácil ver que la métrica de distancia euclidiana permanece invariante a las operaciones de desplazamiento y rotación; también permanece invariante a la operación del complejo conjugado ( *W Z= ), que se puede interpretar como una reflexión sobre el eje real. En contraste, como se ha demostrado antes, una transformación de Möbius se compone de escalamiento e inversión además de translación y rotación, y en consecuencia, en general no permite que la distancia euclidiana entre dos puntos sea invariante. En su lugar, una de las invariantes de la transformación de Möbius es su razón cruzada, definida por:

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

1 3 2 4 1 3 2 4

1 4 2 3 1 4 2 3

W W W W Z Z Z ZW W W W Z Z Z Z

− − − −=

− − − − (5)

Donde W1, W2, W3 y W4 son las imágenes de Z1, Z2, Z3, y Z4 respectivamente, bajo la transformación. Por lo tanto, una métrica de distancia basada en la razón cruzada, o una función monotónica de ésta, sería invariante a la transformación de Möbius. Lo que es


más, ya que la métrica de distancia es dependiente de la geodésica, que a su vez es determinada por las reglas de geometría del espacio, es necesario introducir un espacio diferente en el cual las reglas geométricas son distintas a las euclidianas. De aquí la necesidad de un espacio no-euclidiano. Geometría No-Euclidiana La geometría de la escuela de educación primaria es llamada Geometría Euclidiana, en honor de Euclides de Alejandría (alrededor de 300 AC), quien fue el autor de Elementos de Geometría, un tratado sobre geometría, que es aparentemente el libro más leído en todas las ciencias, matemáticas y tecnología, en la historia de la humanidad. Muy poco se puede decir con certeza de Euclides, ya que la versión más antigua de su libro, escrita en latín por Plono, data de 900 DC, 12 siglos después de Euclides (de hecho, de los 15 libros o capítulos contenidos en los Elementos, los dos últimos parecen ser adiciones posteriores, no escritos por Euclides). Euclides consolidó el conocimiento de geometría de su tiempo al darle una estructura axiomática, por medio de la cual todos los resultados pueden ser deducidos del conjunto más pequeño posible de postulados a priori. Este conjunto mínimo consiste de cinco axiomas euclidianos, que básicamente postulan la existencia de una línea recta, continuidad, una métrica de distancia, la congruencia de los ángulos, y las líneas paralelas. El quinto postulado, el postulado de las paralelas, puede ser escrito en una variedad de formas alternas pero equivalentes (es decir, deducibles unas de otras), en que especifica que existe una sola línea que pasa por un punto P y es paralela a una línea L dada. Después de Euclides, en un período de más de 2,000 años, existe una larga historia de esfuerzos por matemáticos desde Arquímedes hasta Legendre, para tratar de reducir el conjunto de postulados euclidianos, siendo el quinto postulado el que ha recibido el mayor escrutinio en intentos de deducirlo de los otros cuatro. Fue hasta el Siglo XIX cuando quedó claro que 1) el quinto postulado no es consecuencia de los otros cuatro, 2) no es esencial en la consistencia interna de la geometría, y 3) su reemplazo por postulados alternativos puede resultar en una geometría perfectamente auto consistente. Estas geometrías son llamadas no-euclidianas, y hay dos claras variedades de ellas, dependiendo del reemplazo seleccionado para el quinto postulado. Si el número de líneas pasando por P y paralelas a L es cero, la geometría es elíptica (o de Riemann), en la cual la suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor a 180°. Si el número es dos o más, la geometría es hiperbólica, y en ésta la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180°. Posiblemente, la manera más sencilla de ilustrar y entender la geometría no-euclidiana, y al mismo tiempo demostrar la existencia y consistencia de sus axiomas, es el construir un modelo de geometría no euclidiana que se basa en la ya conocida geometría

euclidiana. En lo que sigue, presentamos únicamente un modelo de entre los muchos posibles, y sólo para la variedad hiperbólica de la geometría no euclidiana, que será requerido para la discusión posterior. El Modelo del Disco Abierto de Poincaré para el Espacio Hiperbólico Para construir la nueva geometría, necesitamos objetos que puedan englobar los conceptos de puntos, líneas y planos, y a los cuales se puedan aplicar un conjunto de postulados consistentes; un conjunto mínimo consiste, por ejemplo, de los axiomas euclidianos, que básicamente postulan la existencia de una línea recta, continuidad, una métrica para distancia, la congruencia de los ángulos, y líneas paralelas. Sin embargo, el último postulado, el postulado de las paralelas, no es esencial para auto-consistencia, y por lo tanto puede ser violado para obtener una nueva geometría. Estos objetos pueden ser seleccionados del mundo euclidiano en sí, y hay muchas alternativas disponibles. Una de las selecciones es aquella de los puntos en el interior de un círculo unitario, llevando al llamado Modelo de Disco Abierto de Poincaré para la geometría hiperbólica. En el plano euclidiano, en el que cualquier punto puede ser especificado por un número complejo Γ, considere un círculo de radio unitario con su centro en el origen. Designamos el interior de este círculo como el plano hiperbólico, y el conjunto de todos los puntos con |Γ|<1 en el círculo unitario abierto como puntos hiperbólicos (puntos h). En seguida, considere un círculo euclidiano (con centro C y radio R) que es perpendicular al círculo unitario, es decir, intersecta el círculo unitario en ángulos rectos en P y Q, que son los puntos de intersección (por simetría, si los círculos son mutualmente ortogonales en P, también serán ortogonales en Q). Una línea hiperbólica (línea h) se define como el conjunto de todos los puntos h en el segmento interior de cualquier círculo ortogonal, como se muestra en la Figura 6; cada selección de la localización de C y la magnitud de R proporciona una línea h diferente. Dados dos puntos h Γ1 y Γ2, existe un círculo euclidiano único que pasa por ellos y es a la vez normal al círculo unitario; por lo tanto, existe una línea h única a través de dos puntos h dados. El postulado euclidiano de congruencia de ángulos es asegurado al conservar la medida euclidiana del ángulo entre dos líneas. Estas definiciones cumplen con los cuatro primeros postulados euclidianos, incluyendo la existencia, continuidad y extensión ilimitada, de una línea (hacia P y Q, que no son parte de la línea al no ser puntos h). Finalmente, consideramos un quinto postulado en relación a las líneas paralelas. Dos líneas h son paralelas entre sí si no se cruzan, es decir, no tienen un punto h en común. Ya que más de una línea h se puede dibujar pasando por un punto h dado Γ3, cada una de ellas sin intersección con una línea h que pasa


por Γ1 y Γ2, es claro que en este modelo el número de líneas paralelas que pasan por un punto dado, que son paralelas a una línea dada, es mayor a uno, que es la característica distintiva de las geometrías hiperbólicas. El probar la congruencia de segmentos de línea requiere tener una métrica de distancia. En el espacio hiperbólico, el requerir que la métrica de distancia satisfaga las condiciones listadas en la sección anterior, conlleva a una métrica natural, que se define en lo siguiente. La Métrica de Distancia Hiperbólica La distancia hiperbólica ( )H 1 2d ,Γ Γ entre dos puntos h Γ1 y Γ2 (es decir, la longitud de la línea h que los une) es diferente de la distancia euclidiana dE entre dos puntos euclidianos Γ1 y Γ2. De hecho, dH puede ser definida en función de las distancias euclidianas de cada uno de los puntos Γ1 y Γ2 desde los puntos de intersección P y Q del círculo euclidiano ortogonal mencionado antes (precaución: P es el punto límite al que se aproxima la línea h Γ1Γ2 al extenderse hacia Γ1, mientras que Q es el punto límite al extenderse hacia Γ2); entonces, la métrica de distancia hiperbólica, obtenida del procedimiento detallado arriba, es la siguiente:

( ) ( )( )

( )( )

E 1 E 2H 1 2 e

E 2 E 1

d ,Q d ,Pd , log

d ,Q d ,P

Γ ΓΓ Γ = Γ Γ

(6)

Donde dE denota la conocida distancia euclidiana entre dos números complejos, definida por

( )E 1 1d ,Q QΓ = Γ − . Estas distancias euclidianas se pueden evaluar explícitamente en el modelo del disco abierto, y después de su substitución, la distancia hiperbólica entre dos puntos Γ1 y Γ2 se puede expresar únicamente en función de los puntos por:

( ) 1 1 2H 1 2 *

1 2d , 2 tanh

1− Γ − Γ

Γ Γ =− Γ Γ

(7)

Esta definición de la distancia hiperbólica entre dos puntos satisface todas las propiedades esperadas de una métrica de distancia, listadas anteriormente. Adicionalmente, es invariante ante una transformación de Möbius, ya que la distancia en (6) es una función monotónica de la razón cruzada, como se define en (5). En la gráfica Smith, esta misma invariancia de la razón cruzada y la métrica de distancia se manifiestan de muchas maneras, como es en la escala radial usada para el VSWR, y son usadas en ciertas construcciones geométricas, y en la definición de la medida de variación entre dos impedancias distintas. En el caso especial cuando uno de los puntos está en

el origen, la distancia radial al otro punto desde el origen está dada por:

( ) 1H e

1d 0, 2 tanh log

1− + Γ

Γ = Γ = − Γ (8)

Figura 6. Una línea hiperbólica en el círculo unitario. Esto es idéntico, considerando el factor de escalamiento, con la definición del VSWR (en decibeles) en una línea de transmisión sin pérdidas y uniforme, terminada en una carga con coeficiente de reflexión Γ. Como resultado, la escala para el VSWR en decibeles, provista en la gráfica Smith, es esencialmente una escala para la medición de la distancia radial desde el origen usando la métrica hiperbólica. Adicionalmente, (7) se puede ver como la generalización de la definición del VSWR, y cuantifica la distancia entre dos coeficientes de reflexión cualquiera. Esta medición de distancia ha sido usada en la ingeniería de microondas para una gran variedad de situaciones, como sería medir la distancia entre dos valores de impedancia en un diodo conmutado [21] o para definir la ganancia de potencia unilateral de un dispositivo activo inmerso en una red sin pérdidas [18]. El Círculo Límite IV Analizado con la Métrica Hiperbólica de Distancia Regresando al Círculo Límite IV, ahora ya podemos medir todas las figuras que aparecen en el dibujo, incluyendo aquellas que no presentan simetría bilateral. Cuando las figuras individuales son rotadas, las partes más alejadas del origen sufren una reducción en tamaño más severa a consecuencia de la reducción de la escala hiperbólica cerca del perímetro, y esto causa la aparente asimetría de las figuras. Con el objetivo de ilustrar esto, seleccionaremos sólo una característica, la envergadura de las alas de los ángeles con motivo de comparación. La Tabla 2


muestra las coordenadas polares de las puntas de las alas para un número de figuras de ángel, medidas en referencia a otra. La envergadura se calcula entonces de la métrica hiperbólica en (7), y también se lista en la tabla. Los resultados muestran que las dimensiones son idénticas considerando la exactitud que se puede obtener en un grabado en madera, y nos permite concluir que en verdad las figuras son congruentes. El Círculo Límite IV es por lo tanto sólo un teselado regular cuando se mide con la métrica hiperbólica, en la cual las piezas individuales han sido rotadas. Tabla 2. Medidas de las características de las figuras en Círculo Límite IV. Coordenadas de los Extremos de las Alas

Figura

Ala Izquierda

Ala Derecha

Enver-gadura, en dB

Ángel #1 0.515 ∠ 0° 0.515 ∠ 60° 10.0 dB Ángel #2 0.515 ∠ 0° 0.81 ∠ 13° 10.5 dB Ángel #3 0.815 ∠ 0° 0.87 ∠ 11° 9.5 dB Ángel #4 0.887 ∠ 0° 0.887 ∠ 9° 9.5 dB Ángel #5 0.815 ∠ 0° 0.91 ∠ 8° 10.5 dB

Distancias en la métrica hiperbólica deducidas de las coordenadas polares en el círculo unitario y cerradas al medio decibel más próximo.

Agradecimientos Debo hacer patente mi agradecimiento al finado Prof. Robert L. Kyhl (1918-2003) del Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT), Cambridge, quien me introdujo a este tema a través de un curso corto, impartido durante el “Período de Actividades Independientes” del MIT. Mi agradecimiento también a la Compañía M.C. Escher (Baarn, Holanda), propietaria de los derechos de autor, por su permiso para reproducir los trabajos de Escher en este artículo. Las obras de M.C. Escher Mano con Globo Reflector, Gorianno Sicoli, Abruzzi, Dentro de San Pedro, Divisiones Regulares del Plano III, Cielo y Agua I, Cascada, Viñeta de Peces, Más Pequeño y Más Pequeño, Círculo Límite I, Círculo Límite II, Círculo Límite III, Círculo Límite IV, y Cuadrado Límite están registradas (© 2006) por M.C. Escher Company-Holland. Todos los derechos reservados. www.mcescher.com. [M.C. Escher’s Hand with Reflecting Globe, Gorianno Sicoli, Abruzzi, Inside St. Peter’s, Regular Division of Plane III, Sky and Water I, Waterfall, Fish Vignette, Smaller and Smaller, Circle Limit I, Circle Limit II, Circle Limit III, Circle Limit IV, and Square Limit © 2006 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. www.mcescher.com] Referencias

[1] E. Strosberg, Art and Science. Paris: Unesco, 1999 (también New York: Abbeville Press, 2001).

[2] S. Ede, Art and Science. London, U.K.: L.B. Tauris, 2005.

[3] S. Wilson, Information Arts: Intersection of Arts, Science, and Technology. Cambridge, MA: MIT Press, 2002.

[4] M.C. Escher, M.C. Escher, His Life and Complete Graphic Works (traducción del holandés por F.H. Bool). New York: Abradale Press/Harry N. Abrams, 1992.

[5] D. Schattschneider, Visions of Symmetry: Notebooks, Periodic Drawings, and Related Works of M.C. Escher. San Francisco, CA: Freeman, 1990.

[6] C.H. MacGillavry, Fantasy and Symmetry: The Periodic Drawings of M.C. Escher. New York: Harry N. Abrams, 1976.

[7] E. Maor, To Infinity and Beyond. Cambridge, MA: Birkhauser, 1987.

[8] M.C. Escher, Escher on Escher: Exploring the Infinite (traducción del holandés por K. Ford). New York: Abrams, 1989.

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[10] J.L. Teeters, “How to draw tessellations of the Escher type,” Math. Teacher, vol. 67, pp. 307–310, abril 1974.

[11] H.S.M. Coxeter, “The non-Euclidean symmetry of Escher’s picture Circle Limit III,” Leonardo, vol. 12, no. 1, pp. 19–25, invierno 1979.

[12] H.S.M. Coxeter, “The trigonometry of Escher’s woodcut Circle Limit III,” Math. Intell., vol. 18, no. 4, pp. 42–46, 1996.

[13] P.H. Smith, “Transmission line calculator,” Electronics, vol. 12, no. 1, p. 29, enero 1939.

[14] P.H. Smith, “An improved transmission line calculator,” Electronics, vol. 17, no. 1, pp. 130–133, enero 1944.

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[20] H.S.M. Coxeter, Non-Euclidean Geometry. Toronto, Canada: Univ. Toronto Press, 1942.

[21] K. Kurokawa and W.O. Schlosser, “Quality factor of switching diodes for digital modulation,” Proc. IEEE, vol. 58, no. 1, pp. 180–181, enero 1970.

El arte de escher, la gráfica smith y la geometría hiperbólica

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